Катастрофы в природе и обществе

Мы начнем с простейшей модели, позволяющей понять ряд важных проблем: стабилизацию популяций, циклические процессы в популяциях и вспышки массового размножения. Как мы увидим, эта модель позволяет без вычислений, с помощью простых графиков описать и прогнозировать внезапное многократное возрастание численности популяции, которое и называется "вспышкой массового размножения". В некоторых случаях такие вспышки провоцировал человек, привозя новые виды животных и растений в страны, где отсутствовали условия, регулирующие их численность, – например, где у них не было естественных врагов: так произошло в Австралии размножение кролика, ввезенного туда европейскими колонистами, или в Европе и Азии размножение американского вредителя картофеля – случайно завезенного колорадского жука. Но надо иметь в виду, что такие вспышки размножения были всегда, и независимо от человека: это общее явление природы, как можно видеть в общеизвестных нашествиях мышей, леммингов или саранчи.

Закономерности этого явления проще всего объяснить в случае размножения насекомых, питающихся деревьями. Классический пример их вспышек размножения представляет хорошо изученный черный большой усач, обитающий в Саянских горах. Вспышка начинается, когда насекомые почти не заметны в лесу, но за несколько лет их число возрастает в 10 раз, и вспышка прокатывается по лесу, уничтожая на своем пути значительную часть деревьев, затем она затухает, и насекомых опять почти не видно.

Фазовые портреты

Для изучения динамики популяции важно знать, каким образом по численности насекомых в текущем году можно предсказать, сколько их будет в следующем. Пусть на некотором участке в текущем году оказалось К насекомых, а в следующем – М. Тогда отношение М/К измеряет, во сколько раз увеличилось число насекомых (если это отношение больше 1), или уменьшилось (если оно меньше 1). Отношение М/К называется коэффициентом размножения рассматриваемого вида на выбранном участке. Если природные условия на участке мало меняются, а насекомые распределяются на нем равномерно, то их численность пропорциональна площади, и отношение М/К для любой части участка одно и то же. Поэтому достаточно брать для исследования участки одной и той же площади, например, в 1 кв. километр. Конечно, в разных частях леса отношение М/К может быть различно, в зависимости от природных условий, и – что наиболее важно для дальнейшего – оно может меняться от года к году: в самом деле, уже имеющаяся численность насекомых должна влиять на процесс размножения, поскольку от нее зависит, сколько остается в лесу пищи и удобных мест для поселения. Ясно, например, что если насекомых становится слишком много, то есть происходит перенаселение, то их размножение должно замедлиться, так как часть потомства не может выжить.

Таким образом, если известно только число насекомых данного вида К, живущих на участке в 1 кв. километр, то нет простого правила, позволяющего предсказать их число М в следующем году. Для изучения этого вопроса служит описываемый ниже метод "фазовых портретов".

Назовем "стандартным наблюдением" подсчет в текущем году числа насекомых рассматриваемого вида К на данном участке и числа тех же насекомых М на том же участке в следующем году. Стандартное наблюдение дает пару чисел (К, М), которую можно изобразить геометрически с помощью координат. Для этого построим на плоскости две перпендикулярные оси (рис.1) и выберем на обеих осях одну и ту же единицу масштаба (означающую, скажем, 1000 насекомых). Будем откладывать число К по горизонтальной оси (оси абсцисс), а число М – по вертикальной (оси ординат). Тогда результат стандартного наблюдения – пара чисел (К,М) – изображается точкой Р плоскости с координатами (К,М): на рис.1 К = 5000, М = 6000. Это значит, что в первый год на участке оказалось 5000 насекомых, а во второй год наблюдения – 6000.

Рис.1

Теперь представим себе, что в изучаемом лесу в течение ряда лет производится множество стандартных наблюдений, на разных или на одних и тех же участках. Изображая результат каждого наблюдения точкой плоскости (К,М), мы получаем "облако" точек (рис.2), называемое фазовым портретом интересующей нас популяции.

Рис.2

Каждая точка "облака" изображает два числа, полученные подсчетом на одном и том же участке в два последовательных года. Так, точка P₁ может означать, что в 1985 году на некотором участке было обнаружено 8000 насекомых (абсцисса точки), а в следующем 1986 году на том же участке 6000 насекомых (ордината точки). Точка P₂ может изображать стандартное наблюдение на том же участке, в котором исходная популяция в 1986 году (6000) превращается в 1987 году в 5000. Таким образом, точки Р₁, Р₂ изображают два последовательных стандартных наблюдения на одном и том же участке. Точка P₃ может относиться к тому же, или к другому участку, где стандартное наблюдение было проведено в 1992 году (с результатом 8000) и в 1993 году (с результатом 11000). Точка P₄ означает, что на каком-то участке в 1990 году оказалось 14000 насекомых, а в 1991 году – 8000.

Хотя может оказаться, что разные точки "облака" относятся к одному и тому же участку (и к разным годам наблюдения), в общем случае они относятся к разным участкам и изображают результаты многолетних наблюдений, каждое из которых производится в два последовательных года. Можно спросить себя, содержат ли полученные данные какую-либо зависимость между числом К – численностью популяции в текущем году – и числом М – численностью популяции на том же участке в следующем году. В общем случае такой зависимости нет, поскольку для одной и той же абсциссы К в облаке может быть много точек с различными ординатами М. Это означает, что размножение насекомых зависит не только от исходного их количества, но и от каких-нибудь природных условий – качества леса на участке, погоды в выбранном для наблюдения году и т.д. (напомним, что площадь участка всегда берется стандартной – 1 км²).

Но в ряде важных случаев все эти факторы оказываются не очень существенными, а главное значение имеет численность исходной популяции К. В таких случаях "облако" рис.2 принимает "вытянутую" форму, изображенную на рис.3а. Сужение облака означает, что (предполагая наблюдения достаточно полными) при данном значении К популяция в следующем году всегда оказывается лишь в узких пределах (M₁, M₂).

Рис.3a и 3б

Если "облако" достаточно узко, то его можно приближенно заменить кривой (рис.3б), воспроизводящей его форму и играющей роль приближенного фазового портрета популяции. Конечно, при этом мы "огрубляем" наше описание размножения популяции, не учитывая колебаний М в зависимости от природных условий и погоды и оставляя лишь зависимость М от К, т.е. от численности исходной популяции: в самом деле, на рис.3б при заданном К соответствующее значение определяется точкой пересечения кривой с вертикалью, на которой абсцисса равна К, и больше ни от чего не зависит. Такая зависимость между величинами, при которой значение первой величины (аргумента) полностью определяет значение второй (функции), называется функциональной зависимостью. Рис.3б изображает зависимость М от К; здесь К – аргумент, М – функция, а кривая на рисунке – график этой функции. Читатель может найти по этому графику несколько значений М, произвольно задавая значения К.

Конечно, процедура перехода от "узкого облака" на рис.3а к графику рис.3б очень типична и встречается во всех случаях, когда функциональные зависимости получаются из опыта (или, как говорят, являются "эмпирическими" зависимостями). В действительности облако может быть значительно уже, чем на рис.3а, и приближение 3б оказывается значительно точнее. Мы будем считать, что в нашей задаче о размножении насекомых (и в ряде других задач, рассматриваемых дальше) такое приближение законно. Естественно, это предположение должно быть подтверждено опытом, и в целом ряде вопросов оно в самом деле хорошо подтверждается. Итак, в качестве фазовых портретов мы будем чаще всего рассматривать кривые – графики функций.

В простейших случаях, изучаемых в курсе средней школы, функции могут быть выражены в виде формул, позволяющих по заданному значению аргумента вычислить соответствующее ему значение функции (например, в наших обозначениях: М = К², М = (К+1)³, М = lg К). Такие формулы получаются обычно из математики или из физических теорий, описывающих достаточно простые явления природы. В экологии и родственных ей областях (например, в экономике и социологии) ситуации более сложны, и описание их с помощью формул удается редко. Как правило, в таких вопросах приходится довольствоваться "эмпирическими" зависимостями вроде кривой 3б. Нам надо научиться исследовать такие эмпирические зависимости.

На рис.4 изображен ряд точек Р₁, Р₂, ... , полученных путем многолетних "стандартных наблюдений" и "укладывающихся" на эмпирическую кривую, которую мы проводим через них и считаем фазовым портретом изучаемого явления. Для точки Р₁ имеем К₁ = 3000, М₁ = 5300.

Рис.4

Ясно, что "облако" рис.2 невозможно уложить на одну кривую, так что в этом случае излагаемые далее методы неприменимы. "Облако" рис.3а плохо изображается кривой 3б; дальше предполагается, что наблюдения дают значительно более узкое "облако", практически совпадающее с такой кривой, что и происходит в ряде случаев.

На рис.5 изображено несколько графиков, "общий вид" которых позволяет делать заключения о ходе соответствующего процесса. Поясним, что означает здесь выражение "общий вид кривой". Кривая 1 поднимается снизу вверх, так что большему значению К соответствует на ней большее значение М; такая функция М от К (в записи: М = М(К)) называется возрастающей. Кривая 2 опускается, так что при увеличении К ордината точки этой кривой М убывает; такая функция называется убывающей. Кривая 3 изображает функцию, которая сначала убывает, а затем, пройдя через наименьшее значение (минимум), возрастает. (Постройте график функции, имеющей наибольшее значение – максимум).

Рис.5

Кривая 1 выпукла; это значит, что если соединить отрезком прямой (хордой) две любых ее точки, то отрезанная дуга лежит выше хорды. Выпуклая кривая напоминает по форме сосуд, обращенный дном вверх. Кривая 3 вогнута; это значит, что любая ее хорда отрезает дугу, лежащую ниже этой хорды. Вогнутая кривая похожа на сосуд, обращенный дном вниз. Кривая 2 сначала вогнута, а затем становится выпуклой; участки вогнутости и выпуклости разделяются на этой кривой точкой перегиба (найдите ее на кривой).

Прием отражения в биссектрисе

Как мы увидим, фазовый портрет – кривая, полученная в течение многолетних наблюдений – позволяет предсказывать изменение численности популяции на много лет вперед. Для этого очень полезен излагаемый ниже геометрический прием, используемый также для прогнозирования многих других явлений.

Для многих популяций фазовый портрет представляет собой выпуклую кривую, исходящую из начала координат О (точки пересечения координатных осей) и пересекающую биссектрису координатного угла в единственной точке 1 (рис.6).

Рис.6

Мы рассмотрим этот часто встречающийся случай. Начало координат О изображает "самое простое" стандартное наблюдение: К = 0 означает, что в "текущем" году насекомых вовсе не было, а М = 0 – что в"следующем" году их тоже не было – что вполне естественно. Конечно, повторные наблюдения дадут тот же результат, что и предсказывается фазовым портретом: если в некотором году численность популяции равна нулю, то она будет равна нулю и в следующем году. Это значит, что популяция вымерла. Точка фазовой кривой, где популяция постоянна, т.е. где М = К, называется стационарной, а соответствующее состояние популяции называется стационарным состоянием; отсюда ясно, почему биссектриса – геометрическое место точек, где М = К – играет важную роль в дальнейших исследованиях. Кроме начала координат, на рис.6 есть еще одна стационарная точка – это точка пересечения 1 фазовой кривой с биссектрисой. Если координаты этой точки ( не обозначенные на рис.6 ) равны К_c , М_c ( с означает "стационарность"), то М_c = К_c, и если в каком-то году популяция насчитывает в точности К_c особей, то и в следующем году их будет столько же, и через любое время – то же число. Но, конечно, такое точное равенство бывает очень редко, а на практике К может быть близко К_c Что произойдет в этом случае, мы увидим в дальнейшем, а пока рассмотрим популяцию, численность которой в первый год наблюдения K₁ положительна, но меньше К_c. Чтобы предсказать численность той же популяции в следующем году, надо воспользоваться фазовой кривой: взять на ней точку Р с абсциссой К₁ (рис.6), и тогда ордината M₁ этой точки даст нам прогноз численности в следующем году.

Но теперь мы можем повторно воспользоваться той же фазовой кривой и предсказать численность этой же популяции еще через год. Для этого надо взять точку кривой R с абсциссой К₂, равной М₁, поскольку теперь M₁ будет численностью исходной популяции, и найти ординату М₂ точки R: это и будет численность популяции через год после того, как она была равна М₁. Переход от точки графика Р к точке R можно упростить, заметив, что если ОК₂ = ОМ₁, то на отрезках ОК₂ и ОМ₁ можно построить квадрат, вершина которого Q лежит на биссектрисе (так как биссектриса как раз состоит из точек, равноудаленных от осей). Чтобы найти точку Q, достаточно построить горизонтальную прямую, проходящую через точку Р, до пересечения ее с биссектрисой – как раз в точке Q. Но точка R, по ее построению, имеет ту же абсциссу К₂, что и точка Q. Поэтому, чтобы найти точку R, достаточно провести через Q вертикальную прямую, которая пересечет график в искомой точке R.

Теперь ясно, что численность популяции через год после численности M₁ (то есть M₂) геометрически определяется переходом из точки графика Р в другую точку графика R, который можно выполнить по следующему правилу:

Надо провести через Р горизонталь до пересечения с биссектрисой в точке Q, а затем через Q вертикаль до пересечения с графиком в точке R.

При этом можно не строить, как на рис.6, точки K₁, K₂ и отрезки К₁Р, К₂Q: достаточно следить за ординатами М₁, М₂. Чтобы предсказать по численности популяции М₁ численность ее в следующем году, достаточно построить прямоугольник М₁QRМ₂. Как мы увидим дальше, повторение этой процедуры позволяет предсказать развитие популяции в целом ряде случаев.

Отрезки РQ, QR образуют с биссектрисой равные углы (в 45°), так же, как это происходит при отражении от зеркала световых лучей. Отсюда ясно, почему мы назвали только что описанный прием "отражением в биссектрисе".

Простейшие популяционные процессы

На рис.7 изображен важный и часто встречающийся вид зависимости М(К), при котором фазовая кривая выпукла, проходит через начало координат О и пересекает биссектрису координатного угла в единственной точке, обозначенной цифрой 1. Ясно, что начало координат, где К = М = 0, представляет собой точку равновесия популяции, но неинтересную, поскольку в ней популяция попросту отсутствует. Эта точка равновесия приобретает значение в тех случаях, когда точка кривой Р приближается к О: это значит, что популяция гибнет. Как видно из предыдущего анализа, при рассматриваемом виде фазовой кривой это не может произойти, так как с каждым годом численность ее

Рис.7

возрастает, во всяком случае, на дуге кривой выше биссектрисы: точка R всегда правее точки Р, то есть K₂ > K₁ (см.рис.6). Более того, из выпуклости кривой следует, что ее хорда ОР опускается при движении точки Р вправо (этот наглядно очевидный факт можно математически доказать, но достаточно взглянуть на рис.7). Тем самым, убывает наклон прямой ОР по отношению к оси абсцисс, измеряемый отношением ординаты точки Р к ее абсциссе и называемый угловым коэффициентом прямой ОР : он равен тангенсу угла между ОР и осью абсцисс и убывает вместе с этим углом). Итак, при возрастании К отношение М/К убывает. Это отношение называется коэффициентом размножения популяции; оно определяет, во сколько раз число особей в следующем поколении больше, чем в предыдущем (если М/К > 1), или меньше (если М/К < 1). Напротив, когда К уменьшается, коэффициент размножения возрастает; наибольшее значение он имеет при К = 0, то есть (биологически) при исчезающе малой популяции. Математически это наибольшее значение получается предельным переходом [Читатель, которого затруднит эта фраза, может опустить ее без вреда для дальнейшего]: когда К уменьшается до нуля, угловой коэффициент "хорды" ОР, равный М/К, стремится к пределу, который называется производной функции М(К) при К = 0 и обозначается М'(0); геометрический смысл этого предела – угловой коэффициент касательной к графику в точке О.

Биологический смысл полученного результата состоит в том, что растущая популяция занимает наиболее удобные места для питания и откладывания личинок, от чего размножение замедляется. Часто влияют и другие факторы: выделение продуктов жизнедеятельности, загрязняющее среду, рост инфекционных заболеваний, и т.п. Возможно, конкуренция за места обитания служит именно для избежания этих явлений. Вплоть до точки 1 (то есть при К < Кc, где Кc – абсцисса точки 1) отношение М/К остается больше 1 (см.рис.7), то есть М > К, и популяция с каждым годом возрастает. Но при К > Кc наклон прямой ОР становится меньше 1, то есть М < К, и популяция начинает убывать: это можно истолковать как эффект перенаселения.

Особый интерес представляют стационарные состояния, в которых М(К) = К. Очевидно, если популяция попала в такое состояние, то она в нем навсегда останется, так как численность ее точно воспроизводится через любое число лет. Но, конечно, этот вывод имеет лишь формальное значение, так как уже небольшое случайное отклонение от состояния равновесия может привести к удалению от этого состояния. Главный интерес представляют устойчивые состояния равновесия – такие, что при любом небольшом отклонении от этого состояния популяция к нему возвращается. В нашем случае, когда фазовая кривая выпукла, она может пересекать биссектрису координатного угла в единственной точке (подумайте, почему?). Мы обозначили эту точку через 1, ее абсциссу через Кc, а ордината ее Мc = Kc . Как мы покажем, точка 1 – устойчивая точка равновесия нашей популяции.

Начнем с популяции, изображаемой точкой графика Р₀ (К₀,М₀) (рис.8), то есть с начальной численностью популяции К₀, равной

Рис.8

абсциссе точки Р₀, и численностью в следующем году, равной ординате М0 точки P₀ (чтобы не загромождать чертеж, мы не указываем проекции на оси).

Если К₀ < K_c, то есть точка P₀ лежит левее точки 1, то прием отражения в биссектрисе, как это видно из рис.8, переводит Р₀ в точку P₁, изображающую популяцию в следующем году, численность которой равна абсциссе K₁ точки P₁. Следующее применение того же приема приводит к точке P₂, абсцисса которой K₂ равна численности популяции еще через год, и так далее. Из рис.8 ясно, что точки P₀, P₁, P₂,... подходят сколь угодно близко к точке 1, так что при любой начальной популяции, оказавшейся "левее" точки 1, процесс ее развития подходит сколь угодно близко к состоянию равновесия 1. С другой стороны, если начальное состояние P₀' оказалось"справа" от точки 1, то оно переходит в состояния P₁' ,P₂', P₃',..., сходящиеся к точке 1 справа (убедитесь в этом!). Если какие-нибудь случайные факторы заставят точку P несколько отойти от состояния 1 или "перепрыгнуть" через него, то затем она будет снова приближаться к нему, с той или иной стороны. Это и есть то явление, которое называется устойчивым равновесием популяции. Если вначале популяция сколь угодно отличается от равновесной, то (при указанной форме фазовой кривой М(К)!) она в конечном счете стабилизируется около равновесного значения. Таким образом, в отсутствие особых отклоняющих условий всегда будет наблюдаться популяция, близкая к Кc.

Рассмотрим теперь следующий, столь же простой случай, когда фазовая кривая М(К) вогнута, и также пересекает биссектрису в единственной точке 1 (рис.9). Как видно из рисунка, любое состояние популяции P₀, лежащее между точками 0 и 1, перейдет последовательно в состояния P₁, P₂,..., приближающиеся к точке 0; абсциссы этих точек,

Рис.9

то есть численности популяции в последовательные годы, убывают, приближаясь к нулю: популяция вымирает. Если же начальное состояние популяции P₀' расположено справа от точки 1, то в следующих состояниях P₁', P₂',..., как видно из чертежа, численность популяции неограниченно возрастает. Ясно, что такого явления в природе не может быть; следовательно, при достаточно больших значениях численности К кривая на рис.9 уже не является реалистическим изображением процесса размножения; она уже не может быть вогнутой. Какой она может быть при бо'льших численностях, мы скоро увидим.

Точка 1 опять является точкой равновесия, но теперь это неустойчивое равновесие: при малейшем отклонении от этого состояния популяция удаляется от него, либо в сторону вымирания (если отклонение было влево), либо в сторону возрастания (если вправо). Ясно, что такое состояние, как 1, не может сохраниться и никогда не наблюдается в природе. Но точки этого типа важны в качестве "водоразделов", отделяющих области разного поведения популяции.

Если кривая рис.8 часто встречается – а вместе с нею часто встречаются, при неизменных внешних условиях, устойчивые популяции – то кривая рис.9 в целом нереальна; запомним только, что участок вогнутости, лежащий ниже биссектрисы, означает убывание численности популяции до левого конца участка.

Более сложные популяционные процессы

До сих пор мы рассматривали только возрастающие функции М(К), то есть такие, что при увеличении К увеличивается также М; это значит, что большей популяции в данном году соответствует бо'льшая в следующем. При таком условии мы могли предвидеть только один вид поведения популяции: ее изменение в одну сторону (возрастание или убывание) вплоть до состояния равновесия (которым может быть и точка 0, соответствующая вымиранию рассматриваемого вида). Но для некоторых видов фазовая функция не везде возрастает, что позволяет предсказать и другие способы поведения популяции, тоже наблюдаемые в природе. Предположение, что при больших К популяция начинает убывать, означает, конечно, перенаселение и может быть проверено наблюдением.

Рис.10

На рис.10 изображена кривая М(К) с резким убыванием после точки равновесия 1. Если популяция случайно окажется в состоянии Р или Q, где Р и Q – вершины квадрата, рассекаемого пополам биссектрисой, то в следующем году она перейдет в состояние Q, соответственно, Р, и так далее, то есть численность ее будет периодически колебаться.

Конечно, на практике "точный" цикл не получается, поскольку начальное состояние не бывает в точности Р или Q. Только что описанный циклический процесс представляет идеализацию, наблюдаемую лишь в некотором приближении. В действительности такой "почти циклический" процесс со временем нарушается. На рис. 11 изображено изменение популяции, сдвинувшейся с циклического процесса "наружу" и развертывающейся по спирали. В дальнейшем значение абсциссы К может довольно широко колебаться вокруг равновесного значения (абсциссы точки 1). Такие процессы называются "квазихаотическими". Так как численность популяции может в таких условиях значительно отклоняться от положения равновесия неограниченное число раз, стационарная точка только что описанного типа считается неустойчивой.

Рис.11

Перейдем теперь к важному, часто встречающемуся в природе случаю, когда фазовая кривая пересекает биссектрису координатного угла в трех точках 1, 2, 3 (не считая начала координат О). Это значит, что есть три стационарных численности популяции, кроме нулевой, соответствующей вымиранию вида. На рис.12 изображен наиболее обычный случай, когда фазовый портрет изображает возрастающую функцию М(К), то есть когда большему исходному значению К соответствует и большее значение М в следующем году.

Рис.12

Биологический смысл этой зависимости мы выясним позже, а теперь попробуем формально применить к кривой рис.12 прием отражения в биссектрисе.

Мы можем воспользоваться тем, что уже знаем об участках кривой выше и ниже биссектрисы. Начальные состояния между точками 0 и 1 будут двигаться вправо, приближаясь к точке 1, а начальные состояния между точками 1 и 2 – влево, тоже приближаясь к точке 1. Таким образом, точка 1 будет по-прежнему точкой устойчивого равновесия, но теперь с одной оговоркой: слишком сильное нарушение равновесия в сторону возрастания популяции уже не приведет к возвращению в точку 1, поскольку состояния между точками 2 и 3, тоже принадлежащие дуге над биссектрисой, будут двигаться вправо, как и точки дуги 0-1. Таким образом, точка 2 изображает неустойчивое равновесие, как на рис.9. Напротив, точка 3, как и точка 1, изображает устойчивое равновесие, но с большей численностью популяции, чем точка 1. Здесь опять надо иметь в виду, что устойчивость популяции – понятие "локальное", так что слишком большие отклонения от равновесия уже не восстанавливаются.

Рекомендуем читателю провести геометрические построения, подобные изображенным на рисунках 8, 9, на более сложном рис.12, для участков 0-1, 1-2, 2-3 и правее точки 3.

Участок графика 0-1 можно считать благоприятным для жизни вида, поскольку любая популяция, находящаяся на этом участке, будет расти до состояния устойчивого равновесия 1, а затем останется в этом состоянии (практически – с небольшими колебаниями около него, от разных случайных причин). Участок 1-2 неблагоприятен, на нем численность популяции убывает, но не до нуля, а до устойчивого равновесия 1. Участок 2-3 опять благоприятен и приводит к устойчивому равновесию 3. За точкой 3 может больше не быть точек пересечения с биссектрисой, и тогда все состояния справа от 3 приближаются к состоянию 3, с уменьшением популяции; или же существуют дальнейшие точки пересечения, которые будут по очереди точками неустойчивого и устойчивого равновесия. В случае насекомых, насколько нам известно, более трех точек равновесия (за исключением нулевой) в природе не встречается.

Естественно, возникает вопрос, от каких биологических причин зависит форма кривой, называемой "фазовым портретом" популяции. В случае насекомых вроде упомянутого выше черного усача эти причины известны. Кривые вида, изображенного на рис.8, соответствуют образу жизни насекомого в молодых лесах, или – в горной местности – в лесах, расположенных на нижней части склонов, близ границы со степью. В таких лесах усач нападает на слабые и больные деревья, забираясь в луб и откладывая там яйца. Сильных деревьев он не трогает, потому что они защищаются, заливая яйца смолой. Равновесие 1 рисунка 8 означает устойчивую популяцию насекомых в лесу с постоянной долей ослабленных деревьев, служащих им пищей и местом размножения.

Выше, на склонах гор, условия в лесу меняются – там прохладнее и больше влаги. В таких более благоприятных условиях данному значению исходной популяции К соответствует большее значение М, так что фазовый портрет популяции 8 поднимается и в ряде случаев принимает форму, изображенную на рис.12. Участок 2-3 соответствует существующему в этих условиях другому режиму питания, когда при возросшей плотности населения усачам уже не хватает ослабленных деревьев, и они начинают нападать на здоровые, защитные средства которых теперь оказываются недостаточными. В отличие от описанного выше способа питания, при котором возможно экологическое равновесие между лесом и насекомыми и который может неограниченно долго существовать в нижней зоне горного леса, граничащей со степью, этот новый режим питания угрожает уже самому существованию леса. Но для того, чтобы участок 2-3 в самом деле "использовался" насекомыми, их численность должна достигнуть некоторого уровня – абсциссы точки 2. Так как на участке 1-2 рост популяции невозможен, это в “нормальных” условиях и не происходит, и, следовательно, популяция остается вблизи точки устойчивого равновесия 1. "Ненормальные" условия возникают, когда популяция высокой плотности заносится извне, что вполне возможно, поскольку насекомые летают; об этом еще будет речь дальше. Тогда численность популяции возрастает не за счет прежнего населения, не способного перейти неблагоприятный участок 1-2, то есть не за счет размножения "местных" насекомых, а за счет появления "чужих". Как только число насекомых превышает абсциссу точки 2, начинает "работать" участок фазового портрета 2-3, и численность популяции возрастает до точки нового устойчивого равновесия 3: это и есть вспышка массового размножения. В случае усача число насекомых в состоянии 3 может быть примерно в десять раз больше, чем в "нормальном" состоянии 1, но для других насекомых оно может возрасти в десятки тысяч раз, так что участок 2-3 становится гораздо длиннее, чем это можно изобразить на бумаге.

Наконец, близ вершин ( если горы не слишком высоки) для леса существуют особенно благоприятные условия. В спелом лесу, если он вырос в этих местах (так называется лес, где деревья больше не растут), фазовая кривая (рис.13) имеет другой вид, чем на рис.12: она получается из предыдущей подъемом вверх, смысл которого, как и прежде, нетрудно понять: при одном и том же значении численности исходной популяции К в спелом лесу окажется через год большее число насекомых М, чем в менее благоприятных условиях, соответствующих рисунку 12. При подъеме графика точки пересечения с биссектрисой 1 и 2 исчезают, и остается только точка 3.

При такой фазовой кривой насекомые будут размножаться безостановочно до точки 3, и популяционная вспышка становится неизбежной. Как только популяция оказывается достаточно плотной, насекомые начинают нападать на спелый лес, и этот режим питания сохраняется,

Рис.13

пока весь спелый лес не погибнет. Тогда плотная популяция насекомых начинает спускаться по склону горы,"приводя в действие" не работавший до того участок 2-3 свойственной этой области кривой рисунка 12. Теперь в лесу, растущем на склоне, начинается вспышка размножения, истребляющая этот лес и скатывающаяся, как волна, сверху вниз. Наконец, вспышка достигает нижней зоны леса, которой свойственна фазовая кривая рис.8. Здесь не может существовать слишком многочисленная популяция, так как справа от точки 1 она может только уменьшаться; излишнее число залетевших насекомых вымирает, и вспышка прекращается.

Так как насекомые не трогают молодых деревьев, то после угасания вспышки лес обычно восстанавливается, начиная расти с возраста, привлекающего насекомых. Поэтому со временем на вершинах гор и на склонах вырастает спелый лес, примерно однородный по возрасту, после чего снова начинается вспышка. Периодическое повторение вспышек действует аналогично лесным пожарам, также опустошающим сразу весь лес, но после пожара лес может вовсе не восстановиться, что после вспышки случается реже. В таких случаях горы покрываются травой или лесом другого типа. Вследствие периодических экологических катастроф, в верхней зоне гор не наблюдается "переспелый" лес с участками деревьев разного возраста: на аэрокосмических снимках чаще всего можно увидеть вершины сопок, покрытые молодым лесом.

Вмешательство человека может изменить вид фазовой кривой, обычно в неблагоприятную сторону. Так, "подъем" кривой, изображенный на рис.13, в природе происходит при особенно благоприятных для насекомых условиях, когда они могут перейти к питанию сильными деревьями; но к такому же подъему кривой может привести ослабление леса вследствие вырубки или промышленного отравления воздуха, облегчающее насекомым использование леса. Так человек провоцирует вспышки массового размножения.

С другой стороны, человек может также уменьшить вероятность вспышек или вовсе прекратить их, прибегнув к химическому или биологическому уничтожению насекомых-вредителей; при этом фазовая кривая может опуститься, как это изображено на рис.14, и опять принять форму рис.8.

Рис.14

До сих пор мы рассматривали популяционные вспышки на примере насекомых – вредителей леса. Но выясненные при этом закономерности носят весьма общий характер. Приведем несколько других примеров, показывающих, что вспышки массового размножения могут иметь важное значение для человека.

Самым известным примером являются вспышки размножения саранчи. С точки зрения зоологической классификации саранча – это попросту один из видов кузнечика, обитающий в засушливых степях, в особенности в степях восточной Азии. В "нормальных" условиях эти кузнечики не являются "общественными" насекомыми и живут, как наши; но если по каким-нибудь (еще не вполне выясненным) причинам плотность их популяции слишком возрастает, то у них вырастают крылья (редуцированные в обычном состоянии), они обретают способность летать, собираются в огромные стаи, становятся тем, что называют саранчой, и перелетают в другие страны, уничтожая там растительность и перемещаясь по мере поедания корма, точно так же, как это делают вредители леса.

Другой пример – исчезновение лесов в древней Греции. Эта горная страна в исторические времена всегда была безлесной, с оголенными скалистыми хребтами. Но в доисторическую эпоху греческие горы были покрыты лесом, о чем сохранились воспоминания в традиции греков, и что подтверждается палеонтологическими исследованиями. Вряд ли эти леса были вырублены редким населением. Существует предположение, что их уничтожили козы, домашние животные, вследствие вспышки массового размножения. Поскольку козы съедали молодые побеги деревьев, лес не восстановился, и дожди смыли с гор не защищенную лесом почву. Таким образом, "классический греческий пейзаж", который мы теперь знаем, является результатом спровоцированной человеком экологической катастрофы. Возможно, таким же образом возникли некоторые пустыни, вследствие чрезмерного выпаса крупного рогатого скота, лошадей и овец – например, пустыня Сахара.

Случайно завезенные в Австралию кролики не нашли в этой стране достаточно сильных естественных врагов; местные сумчатые хищники, к тому времени уже редкие, не могли контролировать их численность, и происшедшая популяционная вспышка поставила под угрозу все сельское хозяйство. Дело дошло до того, что построили изгородь от кроликов через весь континент.

Вероятно, что и наш вид пережил вспышку массового размножения, когда люди освоили охоту на мамонтов и перешли тем самым на новый режим питания. Когда мамонты были истреблены, численность людей, по-видимому, резко сократилась. Возможно, еще одна вспышка размножения человека произошла в двадцатом веке.

Пример экологического просчета

Этот поучительный пример связан с размножением лосося. Лосось во взрослом состоянии живет в открытом море, а нерестится в реках нашего Дальнего Востока и Америки, причем каждая рыба через семь лет возвращается для нереста в место своего рождения, в устье той же реки; во время перед нерестом там собирается много рыбы. В пограничной зоне шириной в 12 миль, запрещенной для иностранцев, ее отлавливали только наши рыбаки, а на подходах к этой зоне – также японские рыбаки. Чтобы помешать им это делать, советские ихтиологи предложили правительству расширить запретную зону до 24 миль; предполагалось, что от этого улов лосося значительно увеличится. Но в действительности он заметно уменьшился, а возрос лишь позже, после нескольких семилетий. Чтобы понять, что произошло, мы изложим соображения ихтиологов (пользовавшихся другим описанием) на нашей модели (рис.15), где численности популяции К, М относятся к последовательным семилетиями и потому разнесены по времени на семь лет (все равно, считать ли мальков или рыб, пришедших на нерест).

Лосось – один из видов, численность которых резко убывает при перенаселении, то есть фазовый портрет его популяции загибается резко вниз. На рис.15 жирная кривая изображает фазовый портрет до расширения запретной зоны, а кривая над ней – предполагаемый фазовый портрет после расширения. До этого популяция находилась в устойчивом равновесии 1, а после, как предполагалось, должна была перейти в точку нового равновесия 2, с бо'льшим значением населения.

Но в действительности резко уменьшился промысел не всех особей, а только особей, идущих на нерест (потому что принятые меры не коснулись промысла в открытом море и в реках); вследствие этого резко возросло число особей, успешно пришедших на нерест. Если мы хотим описать вновь возникшую популяцию на языке фазовых портретов, то надо прежде всего понять, каково будет новое исходное значение численности, когда мы начнем пользоваться новым фазовым

Рис.15

портретом. Можно предположить, что на нерестилищах была достигнута избыточная плотность, при которой начинает наблюдаться обратная зависимость количества потомства от количества нерестящихся рыб – это значит, что рыбы мешают друг другу нереститься, причем так сильно, что это не компенсируется большим числом нерестящихся рыб.

В итоге первый цикл репродукции после расширения запретной зоны изображается точкой нового фазового графика 3, где число К значительно больше прежнего устойчивого числа рыб, приходивших на нерест (абсцисса точки 1), но через семь лет получится число М, меньшее прежнего. После нескольких дальнейших семилетних циклов, первый из которых изображается точкой новой фазовой кривой 4, популяция должна установиться на уровне точки 2, то есть станет больше, чем в прежней точке 1, что и произошло в действительности.

Классификация популяционных вспышек

Если понимать под вспышками массового размножения любые случаи, когда численность вида может резко колебаться, то характерные фазовые портреты позволяют построить классификацию различных типов вспышек. Мы ограничимся здесь только случаями, когда график функции М(К), выходя из начала координат, затем пересекает биссектрису еще в трех точках: точка 1 соответствует самой низкой ненулевой стационарной численности, точка 2 – промежуточной стационарной численности и точка 3 – самой высокой стационарной численности. В принципе каждая из них в отдельности может быть как устойчивой, так и неустойчивой, но при этом возможны лишь некоторые сочетания типов устойчивости. Больше трех стационарных состояний у насекомых не бывает, что оправдывает сделанное предположение.

Прежде всего, мы покажем, что стационарная точка 2, хотя и может оказаться устойчивой относительно небольших отклонений, в течение длительного времени чаще всего не сохраняется, так что у длительно существующих видов этот случай встречается редко. В самом деле, представим себе, что эта точка устойчива, как показано на рисунке 16.

Рис.16

Как видно из рисунка, в этом случае непременно оказывается устойчивой и стационарная точка нулевой численности. Конечно, если популяция все время описывается таким фазовым портретом, то она попадет в окрестность точки 2 и никогда не сможет перейти в обратном направлении "благоприятную" зону 1-2. Но в течение длительного времени могут произойти события, нарушающие "нормальное" поведение популяции – резкое ее сокращение по какой-нибудь случайной причине; вспомним, как вследствие заноса летающих насекомых происходит резкое возрастание плотности популяции в данной местности, переводящее ее в ранее недоступную область фазовой кривой 2-3 (рис.12). Точно так же, какое-нибудь "бедствие" может перевести популяцию рисунка 16 в область 0-1, после чего она непременно двинется к точке 0, то есть вымрет. Поэтому виды с динамикой, изображенной на рис.16, встречаются относительно редко, и в разрабатываемой здесь грубой классификации их можно не учитывать. (Для сравнения вспомните популяции с фазовым портретом вида рис.8, которые даже при большом отклонении всегда возвращаются в положение равновесия 1!).

Обычно у гибнущих видов популяция становится слишком редкой, как это происходит, вероятно, с китами, вследствие их неумеренного промысла и загрязнения воды в океанах. Заметим, впрочем, что есть виды, у которых разрежение популяции предотвращается так называемым "эффектом Олли"; а именно, эти виды образуют территориально разделенные популяции с относительно плотным населением в каждой, что позволяет им оставаться в этих местах на участке 1-2, не спускаясь ниже критической точки 1. Эффект Олли заслуживает упоминания, поскольку он составляет корректив к общему закону Лоренца, по которому вид, под действием инстинкта внутривидовой агрессии, стремится равномерно расселиться по своему ареалу. Отметим еще, что правее точки 3 кривая рисунка 16 неизбежно должна загибаться книзу, ввиду ограниченности ресурсов и, следовательно, невозможности неограниченного роста популяции. Однако, у насекомых четвертая стационарная точка до сих пор не обнаружена.

По только что указанной причине мы можем ограничиться случаями, когда точка 2 неустойчива. Тогда возможны следующие варианты, которые читателю рекомендуется самостоятельно рассмотреть, применяя прием отражения в биссектрисе. Эти примеры послужат проверкой усвоения методов настоящей главы.

Случай, когда точка 1 и точка 3 устойчивы (рис.17):

Рис.17

Случай, когда точка 1 устойчива, а точка 3 неустойчива (рис.18 – здесь надо вспомнить, почему такая точка считается неустойчивой, см. пояснения к рис.11!):

Рис.18

Случай, когда точка 1 неустойчива, а точка 3 устойчива (рис.19):

Рис.19

Случай, когда точка 1 и точка 3 неустойчивы (рис.20):

Рис.20

На рисунках 18, 19 и 20 изображены такие ситуации, когда, начиная движение из неустойчивой точки 3 или 1, можно перейти через значение численности, соответствующей точке 2 – в таких случаях можно говорить о большой амплитуде колебаний численности и о возможности вспышек массового размножения.

Заметим еще, что в природе встречаются примеры приспособления, избегающего режима вспышек. Например, вредители хвойных лесов в Швейцарских Альпах съедают только нижнюю половину каждой хвоинки и не трогают верхнюю, более жесткую половину. При этом дерево выживает и способно отрастить новую хвою, так что не бывает вспышек, уничтожающих лес. Несколько таких видов насекомых обнаружено и в России. Такой режим питания выгоден не только лесу, но и паразитирующему на нем виду, поскольку этот вид сохраняет нужный ему ресурс. Мы еще встретимся с возобновляемыми и невозобновляемыми ресурсами при рассмотрении хозяйственной деятельности человека.

Классификация популяционных процессов

В общем случае популяционные процессы не допускают столь простого исследования, как в этой главе: смена поколений происходит не ежегодно, как в случае насекомых, и не через правильные промежутки времени, как в случае лососей и некоторых других рыб. В более сложных случаях поколения налегают друг на друга и существуют одновременно. Условия, в которых применимы изложенные выше методы, состоят в следующем:

1. Размножение животных данного вида происходит одновременно у всех особей, через вполне определенные периоды времени.

2. После промежутка размножения, малого по сравнению с периодом между такими промежутками, прежнее поколение умирает до начала следующего промежутка размножения.

При этих условиях, как мы видели, можно дать полную классификацию всех возможных популяционных процессов.

Ограничиваясь случаями, когда фазовая кривая пересекает биссектрису координатного угла не более чем в трех точках (не считая нулевой точки, когда популяция отсутствует), мы имеем следующие возможности:

(1) Существует единственная устойчивая стационарная точка популяции, как на рис.8.

(2) Существует единственная неустойчивая стационарная точка, как на рис.10 (или рис.11), с квазихаотическим процессом вокруг нее.

(3) Существуют две устойчивых стационарных точки и одна неустойчивая "точка убегания", как на рис.12 (или рис.17).

(4) Существуют одна устойчивая стационарная точка, одна неустойчивая точка с квазихаотическим процессом и одна неустойчивая "точка убегания", как на рис.18, причем численность популяции в первой меньше, чем во второй.

(5) Существуют одна устойчивая стационарная точка, одна неустойчивая точка с квазихаотическим процессом и одна неустойчивая "точка убегания", как на рис.19, причем численность популяции в первой больше, чем во второй.

(6) Существуют две неустойчивых стационарных точки с квазихаотическим процессом и одна неустойчивая "точка убегания", как на рис.20.

Читатель легко может убедиться, что фазовые кривые с двумя стационарными точками не представляют реальных ситуаций, так как справа от неустойчивой точки происходило бы неограниченное возрастание популяции; то же относится к любому четному числу стационарных точек. С другой стороны, нет теоретических причин, почему бы не могло быть любое нечетное число таких точек. В известных популяциях их оказывается не более трех, и вероятно, что предыдущая классификация для биологических применений является исчерпывающей.