Курсы развития мышления

Вы, вероятно, считаете полезными ежедневные физические упражнения, и они вас не затрудняют. Не менее полезными стали бы для вас умственные упражнения, предлагаемые этим вторым пятидневным курсом.

Как и в первом случае, задачи здесь не являются каким-либо тестом. Не имеет значения, насколько быстро вы решаете их. Спешки быть не должно. Возможно, вы даже найдете решения, что называется, в один присест, но тогда ничего, кроме удовлетворения своего самолюбия, вы не почерпнете из этой книги. С другой стороны, решая по задаче в день, вы будете иметь достаточно времени для анализа своего процесса мышления, а это принесет вам гораздо больше пользы.

Комментарии автора не носят поучающий, назидательный характер, они лишь предлагают вам путь в ходе анализа процесса своего мышления. Надеюсь, предлагаемый здесь курс немного развлечет вас и покажет пользу самообучения. У этого метода есть определенное достоинство: никаких учителей, полная свобода действий.

До некоторой степени задачи второго курса схожи с задачами предыдущего, но и абсолютно другие.

Как и раньше, читателю здесь не требуются ни предварительный опыт, ни специальные знания. Каждая задача, законченная сама по себе, является в то же время частью серии аналогичных задач. Они позволяют научиться правильно использовать свой опыт, что немаловажно для процесса мышления. Основное различие между задачами первого и второго курсов состоит в количестве возможных подходов к их решению. В задачах с банками таких подходов не так уж и много. А в случае с блоками вариантов решения гораздо больше, так что трудно усидеть на месте и ничего не предпринять.

Между первым и вторым курсами есть определенная взаимосвязь. От читателя не потребуется чрезмерных усилий, а метод повторения даст возможность закрепить в памяти некоторые полезные идеи. Курсы можно изучать и раздельно, нет необходимости следовать здесь жесткому порядку.

Если решение задач первого курса, как мы говорим, требовало некоего «озарения», то здесь, во втором курсе, нужно определить последовательность шагов, дающих в итоге искомое решение: либо последовательно генерировать различные идеи, либо столь же последовательно развивать какую-либо из них.

Оборудование

Необходимы лишь шесть предметов прямоугольной формы. Успешно заменят нужные вам блоки книги (одинаковых размеров и толщины), сигаретные пачки, спичечные коробки, различные коробки из-под сыпучих пищевых продуктов или стирального порошка.

Особенно удобны не вскрытые коробки с сыпучими продуктами. Кусочки сахара использовать не рекомендуется, так как они слишком малы и не одинаковы по форме.

Задачи

В каждой задаче требуется расположить блоки в определенном порядке. При этом важно то, как блоки соприкасаются один с другим. Два правила, которых нужно придерживаться, состоят в следующем.

1. Считается, что касание имеет место, когда грань либо часть грани одного блока находится в контакте с гранью либо частью грани другого блока. «Точечное» касание (углом блока к грани другого) в расчет не принимается. Например, блоки, изображенные на рис. 7, не считаются касающимися.

2. Конструкция из блоков должна быть самонесущей. Это означает, что она должна сохранять устойчивость и форму. Нельзя придерживать ее рукой или подпирать каким-либо посторонним предметом.

Рис. 7. Это не касающиеся блоки.

Так как читатель – единственный судья верности своего решения, необходимо тщательно проверять его на соответствие изложенным выше требованиям. Проиллюстрировать все решения невозможно. Не все идеи оказываются верными на практике. Предлагая рассматриваемые здесь задачи разным людям, я нередко получал ответы, оказывающиеся при тщательном анализе ошибочными. Поэтому, чтобы убедиться в верности решения, необходимо рассмотреть положение каждого блока в отдельности и его контактирование с другими блоками. Считаю нужным заострить на этом ваше внимание, так как неверный ответ приводит к непоправимой ошибке, если вовремя его не распознать.

Задача 1

Расположите шесть блоков так, чтобы каждый из них касался двух, и только двух, других.

Задача эта не из сложных, и для нее возможны несколько решений. Если вы легко нашли хотя бы одно из них, то найдете и другие.

В поиске наипростейшего решения есть эстетическое наслаждение, а его красота состоит в минимуме затраченных усилий. При множестве альтернатив вам, возможно, захочется добиться и красоты решения, помимо его эффективности.

Каждый волен использовать свой подход к решению задачи. Любой подход удовлетворителен, если он дает нужное решение. Но еще более важен анализ пути, каким к нему пришли.

Решение может быть найдено так быстро, что вы даже не осознаете, как все произошло. Но вам тем не менее интересно знать, что этому способствовало.

Некоторые из вас будут сидеть и смотреть некоторое время на блоки, а затем сразу же расположат их в верном порядке. Логический путь к решению может оказаться настолько очевидным, что не вызовет никаких сомнений. Кое-кто начнет манипулировать блоками, надеясь, что решение само «всплывет». Надежда на случай может себя оправдать. Правильное решение появится либо в виде почти законченного, либо требующего лишь небольшой модификации. Такой метод кажется чрезвычайно легким. Перебор вариантов – тоже шанс найти нужное решение. Продолжать игру и создавать новые конструкции из блоков относительно легко, чего часто нельзя делать в других задачах.

Вторая сторона метода случайного поиска – это оценка возможных решений. Каждая новая комбинация должна тщательно проверяться, так как она продиктована не логикой, а волей случая. От быстроты и точности такой проверки зависит успех метода. Слишком медленный или неточный анализ решений делает его неэффективным. Я часто был свидетелем того, что люди, нашедшие решение методом случайного поиска, отбрасывали его, не подвергнув тщательному анализу.

Вас, возможно, удивит предложение использовать этот метод при решении задачи. Здесь вроде бы нет места логике и разуму. Или же, наоборот, вы считаете случайный поиск единственно возможным.

А раз так, то блоки можно выбросить в окно: пусть они сами создадут нужную комбинацию на земле. Шанс, что это действительно произойдет, ничтожен. Значит, нужно установить определенные пределы для игры случая. Например, первое ограничение – пусть блоки падают на пол в комнате. Следующее ограничение – то же, но в пределах стола. И при этих двух ограничениях шансы на успех не повысились, хотя процедура стала намного удобнее. Еще одно ограничение – блоки должны касаться друг друга. Это означает, что их нужно перемещать руками, а не бросать. Случайный поиск здесь таковым и остается, так как действия не планируются, но вероятность успеха постепенно повышается. Можно продолжить в том же духе и ввести новые ограничения, но тогда вас ждут некоторые новые осложнения, о которых мы поговорим чуть позже.

Вероятно, вы все-таки решили прибегнуть к логике, а не отдаться на волю случая. Возможно, вы уже нашли по крайней мере одно решение.

Решение задачи 1

Одно из возможных решений показано на рис. 8. Большинство читателей придут к нему либо к одному из его вариантов. Это решение проще всего найти логическим путем.

Первый подход: в комбинации каждый блок имеет два соседних – спереди и сзади; очевидная форма – круговая.

Другой подход заключается в образовании какой-либо простой комбинации, а затем в превращении ее в нужную путем модификации. Такой комбинацией мог бы стать ряд, где каждый блок, кроме крайних, касается двух других. Крайние блоки можно соединить, придав ряду круговую форму. Каждый из блоков соприкасается с двумя другими, и, значит, проблема решена.

Менее тривиальное решение изображено на рис. 9. Если вы пришли к нему, можете поздравить себя – вам не откажешь в оригинальности ума. Особенностью этого решения является то, что его почти невозможно найти методом случайного поиска. Как уже отмечалось, одно из ограничений задачи состоит в обязательном касании блока с двумя другими. Если вы желаете достичь успеха, не забывайте об этом. В решении, представленном на рис. 8, не все блоки касаются друг друга, а составляют практически две группы блоков. Случайный поиск опасен в том отношении, что путь к нужному решению может лежать и за пределами ограничений, которые лишь указывают направление действий.

Возможны и другие решения задачи. Например, круговая конструкция из вертикально поставленных блоков образует таким образом «окошко». Суть здесь та же, что и в первом решении.

Очевидное преимущество круговой конструкции состоит в том, что по этому принципу можно упорядочить любое количество блоков и каждый из них будет соприкасаться с двумя другими. Для шести блоков, объединенных по три в две группы, решение на рис. 8 является уникальным. Знание общего принципа может пригодиться в будущем.

Итак, сделаем некоторые выводы.

1. Случайный поиск решения вполне пригоден на практике.

2. Случайный поиск заключается в выработке множества вариантов решения и их быстрой оценке.

3. Для повышения эффективности процесса необходимы определенные ограничения – пределы, в которых ведется поиск.

4. Подобные ограничения могут оставлять за своей чертой верный подход к нужному решению.

5. Логический подход надежен и эффективен, но он лишен оригинальности.

6. Выявление основного принципа, пригодного для анализа задач в будущем, может оказаться полезней решения одной конкретной задачи.

Рис. 8. Первое решение задачи 1.

Рис. 9. Второе решение задачи 1.

Задача 2

Расположите блоки так, чтобы каждый из них касался трех других блоков.

Полезным здесь является то, что задачи 1 и 2 следуют одна за другой. Многие положительные стороны предыдущего опыта указаны в первом курсе. Однако вам стоит добавить и свои замечания к приведенным ниже.

Первая функция опыта – придать вам уверенность в выборе действий. Правда, иногда этого не удается достичь, но тем не менее экспериментировать всегда полезно.

Вторая функция – выявление ошибок. Однако в нашем случае первая задача не должна была вызвать затруднений.

Третья функция – формулирование основных принципов. Это могут быть главные подходы к решению задач либо более специфичные для их конкретных типов.

Четвертая функция – конструирование комбинаций предметов (в нашем случае – блоков), модификация которых приводит к решению задачи.

В какой мере вы полагаетесь на опыт? Как часто вы к нему обращаетесь? Возможно, это зависит от ваших предпочтений либо темперамента. Так или иначе предыдущий опыт всегда оказывает влияние, даже если вы им явно пренебрегаете. Ошибки, как правило, не повторяются, даже если вы не пытаетесь их помнить. С другой стороны, анализ уже пройденного может стать отправной точкой к решению стоящей перед вами задачи.

Метод модификаций – обязательная часть даже самого действенного подхода. Можете использовать его с самого начала или подключать в процессе поиска решения, когда вы уже значительно близки к нему, но нужно еще поработать над некоторыми слабыми сторонами вашей версии. В последнем случае вы фокусируете свое внимание на этих сторонах своего подхода и последовательно улучшаете их. А если хорошая комбинация, подсказанная опытом, найдена в самом начале, метод модификаций целесообразно использовать сразу же.

Будете ли вы обращаться к опыту, полученному при решении первой задачи, не имеет никакого значения. Право выбора остается за вами.

Решение задачи 2

К решениям, изложенным здесь, можно прийти логическим путем, методом модификаций либо в процессе случайного поиска. Описывается логическая последовательность действий, которую легко вывести из готового решения, а не в ходе процесса его поиска.

Решение, представленное на рис. 10, получено методом модификаций. В круговой комбинации (см. рис. 8) сначала нужно было убрать два блока, размещенных по бокам, а затем передвинуть парные блоки. В новой комбинации каждый блок соприкасается с двумя другими. Задача расчленяется на две части: переместить четыре блока так, чтобы каждый из них касался двух других, а потом добавить еще два блока и образовать комбинацию, где каждый блок примыкает к трем другим.

Два дополнительных блока теперь установлены на противоположных стыках четырех первых блоков, и расположение блоков отвечает условиям задачи. Дополнительные блоки тоже соприкасаются друг с другом – значит, каждый из шести блоков касается трех других.

Более элегантное решение легко получить из второго решения задачи 1 (см. рис. 9), где в двух группах блоков каждый из них касается двух других. Если одну группу поставить на другую, то каждый блок верхней или нижней группы будет иметь еще одну поверхность касания – горизонтальную (рис. 11). К этому результату можно было прийти путем соединения трех парных, размещенных один на другом, блоков. Итак, решение, которое раньше казалось нам бесполезным, не дающим никакого общего правила, оказалось в данной ситуации эффективным, хотя этого и нельзя было предсказать заранее. Так что и случайный выбор комбинации иногда бывает весьма полезным позже.

Полагаю, лишь немногие из вас нашли решение, изображенное на рис. 12. Оно интересно тем, что может быть получено любым из описанных выше подходов. С одной стороны, это две группы из трех блоков, придвинутые одна к другой. Во-вторых, здесь можно выделить комбинацию из четырех блоков, где каждый из них касается двух других (напомню, что касание углом не берется в расчет). Путем модификации этой комбинации – введением еще двух дополнительных блоков – получаем нужную по условиям задачи конструкцию.

Возможно, кроме описанных решений, вы найдете и свои, элегантные или даже странные.

Мои комментарии к заданию второго дня будут следующие.

1. Иногда полезно расчленять проблемы на части и затем решать их одну за другой.

2. Иногда нет ничего легче, как модифицировать уже имеющееся решение.

3. Удачный выбор решения на каждом этапе может оправдаться позже.

4. Кажущиеся разными решения могут оказаться и совершенно одинаковыми при ближайшем рассмотрении.

5. К одному и тому же решению можно прийти разными путями.

Рис. 10. Первое решение задачи 2.

Рис. 11. Второе решение задачи 2.

Рис. 12. Третье решение задачи 2.

Задача З

Расположите блоки так, чтобы каждый из них касался четырех других.

Почему задачи требуют много времени на их решение? Почему нельзя просто протянуть руку и сразу же расположить блоки в нужном порядке, как это сделали некоторые в задаче 1?

Задачи с блоками прямо противоположны задачам с банками: они иллюстрируют разные аспекты решений, поэтому и их трудоемкость разная.

В задачах с банками крайне тяжело добиться какого-либо прогресса, пока решение вдруг не придет в законченном виде. Необходимо ждать появления верной идеи, вырабатывать нужный подход к задаче. К тому же не так уж и много подходов можно было опробовать.

В задачах с блоками дело обстоит иначе. Здесь легко апробировать новые идеи, просто перемещая блоки. Это очевидно, но сложность таких задач заключается в избытке идей. Поэтому можно легко пойти по неверному направлению. Тогда есть риск уйти от нужного решения, а не двигаться к нему. Если первоначальный выбор комбинаций неверен, решение задачи усложняется. В случае с блоками альтернатив так много, что вы не знаете, с чего начать.

Любой подход кажется вам правильным. Хотя не все шаги еще ясны, вы чувствуете себя на верном пути. Если он все же приводит в тупик, вы вскоре находите новый. Энтузиазм не покидает вас: очередная альтернатива кажется вам единственно верной. Так случается всякий раз с каждым новым подходом.

В какой-то момент вам может показаться, что все ваши усилия решить задачу с блоками, лежащими на столе, напрасны. Вдруг вас осеняет: блоки должны не лежать, а стоять! Возможно, в этом новом подходе и кроется успех. Пока нет никаких доводов «за», но новизна этой идеи обнадеживает вас. Многим кажется, что рассматриваемые задачи не могут быть решены простым, очевидным путем, поэтому оригинальная идея поставить блоки вертикально приобретает особую ценность.

Однажды я наблюдал, как один мой знакомый решает всю серию задач, размещая блоки вертикально. Это не дало ему никаких преимуществ. Дело в том, что он пользовался блоками несколько необычной формы: более высокими и узкими. С такими блоками можно делать то же, что и с обыкновенными плоскими, но они менее удобны. Этот пример показывает опасность неадекватного подхода к решению задачи. Такой подход, дающий, хотя и с большим трудом, нужное решение, может стать привычным. Очень редко люди отказываются от проверенного метода в пользу другого, эффективность которого еще нужно доказать. Так ранний успех может оказаться вредным по существу.

Надеюсь, обсуждение столь оригинального размещения блоков не заставит вас полностью от него отказаться, особенно если в определенной ситуации оно сулит вам успех. Несмотря на приведенные выше комментарии, новизна идеи – достаточный довод в пользу ее апробации.

Решение задачи 3

Комбинация, изображенная на рис. 13, непосредственно следует из решения предыдущей задачи (см. рис. 11), полученного, в свою очередь, из анализа первой. Во всех трех решениях использованы группы из трех блоков. В этом и состоит общий подход ко всем задачам. Его можно назвать главным принципом или правилом.

Решение третьей задачи можно вывести из решения второй чисто логическим путем. Возможно, вы так и сделали или, по крайней мере, пытались.

В предыдущем случае каждый блок касался двух соседних в горизонтальной плоскости и одного соседнего – но в вертикальной. Чтобы удовлетворить требования задачи 3, нужно, чтобы каждый блок касался двух других в обеих плоскостях. Именно это и достигнуто в решении задачи 3, показанном на рис. 12.

Я же использовал решение предыдущей задачи менее логичным, но, как мне кажется, более оригинальным способом. Чтобы решить задачу 3, я проанализировал вторую и задал себе вопрос: что произойдет, если переместить три верхних блока? Когда я так и сделал, задача неожиданно оказалась решенной. Это было скорее игрой случая. Те, кто не пренебрег группированием блоков по два, вероятно, пришли к решению, показанному на рис. 14. Сразу бросается в глаза, что два боковых блока расположены вертикально. Это решение можно получить несколькими подходами, один из которых будет описан ниже.

Чтобы каждый блок касался четырех других, необходимо расположить четыре блока компактной группой, как на рис. 12, а затем поставить пятый на их крестообразное соединение. В этой незаконченной комбинации из пяти блоков один из них касается четырех других, а четыре – трех блоков. Следующий очевидный шаг – поместить шестой блок снизу, под «крестом». Таким образом, он будет иметь четыре плоскости касания. К сожалению, такая конструкция неустойчива, что противоречит условию задачи. Поэтому необходимо перестроить комбинацию по вертикали, как показано на рис. 14. Если теперь посмотреть на нее сбоку, то можно увидеть, что вертикально стоящие блоки «прикрывают» группу из четырех блоков с двух сторон.

Комментарии к заданию на третий день состоят в следующем.

1. Задача может оказаться трудной для решения как при недостатке, так и при избытке идей. Выбор неверного направления действий лишь уводит от нужного решения.

2. Новизна и оригинальность идеи уже сами по себе являются достаточными доводами для ее апробации.

3. Необходимо всегда стремиться заменить не совсем адекватный подход на лучший.

4. Подход, оправдавший себя в прошлом, стоит использовать и еще раз.

5. Модификация комбинаций методом проб и ошибок может оказаться столь же эффективной, как и применение при этом логического метода.

6. Нередко стоит попытаться решить задачу, расчленив ее на части.

Рис. 13. Первое решение задачи 3.

Рис. 14. Второе решение задачи 3.

Задача 4

Расположите шесть блоков так, чтобы каждый из них касался пяти других.

Эта задача посложнее. Если вы решили ее без труда, вас можно поздравить – вы обладаете блестящим мышлением. Если же вы долго возились с ней, утешайте себя тем, что и многие другие люди испытывали те же затруднения.

Здесь можно воспользоваться и логическим методом, и методом случайного поиска. Можно модифицировать решение предыдущей задачи либо начать с нуля. Осмотрительно выбирайте подход и направление действий.

Хотя метод проб и ошибок требует меньше усилий, он может стать утомительным из-за необходимости тщательной проверки каждой комбинации. Один из способов оценки – определение числа всех контактов каждого блока. Такая оценка является обязательной. Однако простой предварительный тест может значительно ускорить процесс. Если комбинация удовлетворяет его условиям, выполняется окончательная проверка. Предварительный тест связан с соблюдением какого-либо условия задачи. Если вы предпочитаете метод случайного поиска, то сами можете придумать такой тест. Затраченные усилия окупят себя, так как значительно ускорится ваш мыслительный процесс. Ведь проверка идей занимает гораздо больше времени, нежели их генерация.

Возможно, вам не импонирует метод случайного поиска. Но считаю нужным напомнить, что этот метод имеет и значительное преимущество перед логическим: при решении задач с блоками трудно найти отправную точку и направление действий, а метод проб и ошибок вообще с этим никак не связан. По определению, любой шаг в нем не зависит от предыдущего (в противоположность логическому методу). Может быть, вы и после этих доводов будете считать, что метод случайного поиска хуже, что к нему прибегают люди, неспособные справиться с задачей посредством логики.

Есть и еще одна причина, по которой логика не всегда успешно справляется с задачей. Иногда поиск решения заходит в тупик, и тогда необходима некая свежая идея. Никакая модификация прежних версий не дает нужного ответа. Совершенно новая идея не связана с прошлым опытом. Логика здесь не поможет. Ради справедливости заметим, что к идее, которую один человек воспринимает как абсолютно новую, другой приходит логическим путем, проанализировав ситуацию с иной точки зрения.

Решение задачи 4

Прежде чем перейти к его рассмотрению, обратимся к предварительному тесту возможных комбинаций. Так как блоков шесть, а по условию задачи каждый из них должен касаться пяти других, значит, он будет иметь касание со всеми остальными. Следовательно, любая комбинация, в которой какие-либо два блока не соприкасаются, должна считаться непригодной. Этот простой тест намного проще, нежели подсчет числа контактов каждого блока.

Оба подхода, описанные ниже, являются, по сути, логическими. Это не означает, что метод случайного поиска здесь неэффективен, он просто не был использован. В определенной степени даже логический метод связан с пробами и ошибками на некоторых стадиях решения задачи.

Обычно метод случайного поиска заключается в видоизменении начальной ситуации, пока она не станет удовлетворять нужному решению. Нередко целесообразен и обратный процесс.

Если отложить один блок в сторону, то достаточно лишь скомбинировать пять блоков так, чтобы каждый из них касался остальных четырех. Это первая часть задачи. Вторая: теперь нужно разместить шестой блок, и он должен касаться пяти других блоков. Таким образом, и остальные блоки будут иметь пять контактов (4 + 1 = 5). Для решения задачи сперва используется группа из трех блоков. Еще один блок необходимо расположить так, чтобы он касался этих трех. Это уже комбинация из четырех блоков, где каждый блок касается трех других. Пятый блок нужно расположить аналогично, чтобы он касался всех первых четырех блоков. Одним словом, без оригинальной идеи здесь не обойтись.

Новая идея заключается в размещении блоков по диагонали. Ранее же во всех комбинациях блоки располагались симметрично. Обычно идея диагонального размещения блоков приходит случайно, когда вы пытаетесь передвигать блоки по верху группы из трех блоков. Конечно, вы можете считать, что нашли ее чисто логическим путем.

После того как комбинация из пяти блоков завершена (рис. 15), остается лишь добавить шестой блок и затем переместить три верхних блока так, чтобы они касались всех нижних. Практически нужно сместить два верхних блока вверх и добавить к ним шестой блок.

Совершенно другой подход к решению вытекает из предположения, что наибольшее количество блоков, стоящих на горизонтальной плоскости и образующих один стык, составляет три. Это дает уже известную нам группу из трех блоков. Если одну такую группу поставить на другую (как это сделано в задачах 2 и 3), то останется лишь добиться нужной комбинации стыков. Теперь главное внимание уделяется именно стыкам. Блоки нам на данном этапе не нужны, поскольку они будут скорее мешать, чем помогать. Нарисуем один Т-образный стык блоков, а поверх него другой такой же, чтобы второе «Т» пересекало первое в четырех местах. Это означает, что каждый блок верхней группы будет перекрывать два стыка нижней группы, а следовательно, три блока. Такая комбинация показана на рис. 16.

Окончательное решение задачи 4 изображено на рис. 17.

Сделаем некоторые выводы.

1. Быстрый предварительный тест всех вариантов значительно ускорит процесс решения, особенно если используется метод случайного поиска.

2. Иногда для решения задачи необходим абсолютно новый подход.

3. Новая идея не должна следовать из старых, она приходит «извне» или по воле случая.

4. При решении задачи часто полезно идти от последней ситуации к начальной.

5. Иногда даже при использовании логического метода один из шагов может оказаться случайным.

6. Переключение внимания с одного аспекта задания на другой может привести к нужному решению.

7. Нередко и черновые наброски на бумаге оказываются полезными, даже если задача понятна с самого начала.

Рис. 15. Комбинация из пяти блоков.

Рис. 16. Т-образный стык блоков.

Рис. 17. Решение задачи 4.

Задача 5

Расположите блоки в следующем порядке:

один из блоков должен касаться лишь одного другого;

один – двух других;

один – трех;

один – четырех;

один – пяти остальных.

Эта задача кажется более сложной, чем предыдущая. На самом же деле в ней меньше условий, поскольку ограничения установлены лишь для пяти блоков. Главное отличие здесь – для каждого блока они формулируются отдельно. Вам предстоит узнать, усложняет это задачу или нет.

На первый взгляд, задача подходит для поэтапного решения. Многие люди чаще всего пользуются именно этим методом. Условия задачи удовлетворяются одно за другим, а когда и последнее требование выполнено, задача может считаться решенной. Если подобных требований очень много, то есть задача кажется вам сложной, этот метод особенно эффективен. Хотя, возможно, вы предпочтете другой подход, не расчленяя задачу на части, а пытаясь упростить ее в рамках единого целого.

Недостаток поэтапного решения заключается в том, что многие задачи нельзя решить «по кусочкам». Если все части решения взаимосвязаны, нельзя получить нужный ответ шаг за шагом. Задачи с банками относятся именно к таким.

Другой недостаток рассматриваемого метода: выбор этапов может стать решающим. Неверный их порядок значительно усложняет решение задачи либо делает его невозможным. Выбор верной последовательности действий не всегда является очевидным.

Вместо поэтапного решения можно попытаться упростить задачу. Как? Рассмотреть задачу со всех сторон, пока не выявится в полной мере ее суть.

Задача 5 не связана с предыдущими. Опыт их решения здесь бесполезен.

Решение задачи 5

Ниже приведены возможные шаги при использовании поэтапного метода.

Первое требование: один блок должен касаться лишь одного другого.

Первый шаг: положите на стол один блок и придвиньте к нему второй.

Второе требование: один блок должен касаться двух других.

Второй шаг: придвиньте к ним третий блок соответствующим образом.

К сожалению, при выполнении второго требования мы нарушили первое. Такие недоразумения возникают довольно часто. Возможно, на этот раз вам удалось их избежать, но вы не застрахованы от них в будущем.

Другой путь поэтапного решения – оперирование поначалу не шестью, а тремя блоками. На этом этапе задача заключается в поиске комбинации блоков, в которой один из них имеет два контакта с другими. Ответ очевиден: нужно расположить блоки в ряд, где центральный блок контактирует с двумя, а крайний – с одним блоком. Следующая стадия: добавить четвертый блок так, чтобы число контактов для отдельных блоков составляло 1, 2 и 3. Этого легко достичь (рис. 18). Затем необходимо добавить пятый блок так, чтобы один из блоков имел четыре контакта с другими. Решение для этого этапа изображено на рис. 19. И, наконец, последний этап – размещение шестого блока с пятью контактами. Решение здесь можно получить столь же легко, как и на предыдущих этапах. Окончательное решение изображено на рис. 20. Лишь при таком методичном подходе задача не кажется чрезмерно сложной.

Вместо поэтапного метода вы могли прибегнуть к преобразованию предыдущих решений. Один из весьма интересных способов состоит в использовании решения задачи 4 (см. рис. 17) с модификацией его «методом вычитания». Так как в этой комбинации каждый блок касается пяти других, то идея заключается в уменьшении числа контактов отдельных блоков последовательно, пока оно не составит 1, 2, 3, 4 и 5. Сначала снимем один из верхних блоков и приставим его к одиночному нижнему. Теперь этот нижний блок будет по-прежнему касаться пяти, а остальные – четырех других блоков. Затем снимем один верхний блок и разместим его так, чтобы у блока с пятью контактами их число не изменилось, как и у одного из блоков с четырьмя контактами. Количество контактов оставшегося верхнего блока будет равно трем. Перемещенные вниз блоки имеют один и два контакта соответственно. Задача решена. Окончательная комбинация блоков показана на рис. 21. В ней последний верхний блок слегка повернут. Итак, посредством перемещения всего двух блоков решение задачи 4 превращается в решение задачи 5.

Возможны и другие пути решения этой задачи. Для вас представляет интерес проанализировать выбранный вами метод, насколько он отличается от описанных здесь. Маловероятно, что в данном случае вы нашли лучшие подходы.

Тем из вас, кто не пренебрегает моими комментариями, скажу следующее.

1. Сложные задачи иногда можно решать «по кусочкам». Их условия выполняются последовательно. Этот метод можно назвать поэтапным.

2. Если решение состоит из взаимосвязанных частей, поэтапный метод вам не поможет.

3. При поэтапном методе определяющим является выбор последовательности рассматриваемых стадий. Неверный выбор такой последовательности может завести вас в тупик, верный же не всегда очевиден.

4. Рассмотрение сложной задачи с различных точек зрения иногда способствует ее упрощению.

5. Решение сложной задачи может быть последовательно выведено из решения более простой задачи.

6. Даже если связь новой задачи с предыдущими не очевидна, можно попытаться модифицировать уже известные решения.

7. Модификация «методом вычитания» состоит в последовательном упрощении решения более сложной задачи.

Рис. 18. Комбинация из четырех блоков с одним, двумя и тремя контактами.

Рис. 19. Комбинация из пяти блоков с одним, двумя, тремя и четырьмя контактами.

Рис. 20. Решение задачи 5, демонстрирующее число контактов от одного до пяти.

Рис. 21. Решение задачи 5, полученное из решения задачи 4.