Курсы развития мышления

Задачи с блоками бьши не так интересны, как с банками. Третий курс связан с игрой, которая может показаться слишком простой. В предыдущих курсах принималось любое пригодное решение. Хотя вас и призывали искать наиболее оригинальное и красивое, это вряд ли оказывало нужное воздействие.

К задачам третьего курса легко найти решение, но здесь необходимо отыскать лучшее из всех возможных. Такие задачи часто возникают в соревнованиях. Новая L-игра является удобной базой для этого курса. Как и ранее, от читателя не требуется ни предварительного опыта, ни специальных знаний.

В отличие от предыдущих задач, игровые ситуации постоянно изменяются, поэтому вашей главной целью становится выработка общих принципов, правил, а не разрешение каждой проблемной ситуации. Это можно назвать стратегическим мышлением.

L-игра

Эту игру придумал автор этой книги, поскольку его увлекают любые игры, хотя он не любит концентрировать свое внимание на большом количестве их элементов. Он хотел сделать игру простой по форме, но объемной по содержанию, требующей нетривиального мышления. Игра должна была удовлетворять следующим условиям:

1) минимальное количество игровых предметов;

2) минимальные размеры игрового поля;

3) минимальное количество правил, простота и доступность;

4) игра должна продолжать быть интересной даже при высочайшем уровне владения ею;

5) игра не должна быть детерминированной. В детерминированной игре типа «крестики – нолики» тот, кто делает первый ход, всегда выигрывает, если знает правильную стратегию. Недетерминированная игра – такая, где два опытных мастера могут «сражаться вечно».

L-игра удовлетворяет всем этим условиям. У каждого игрока имеется по одной L-образной фигуре. Поле состоит из шестнадцати квадратов (4×4). Игра гораздо проще «крестиков – ноликов». Иногда я играл в нее по часу и более. Определенные навыки необходимы, так как есть множество вариантов действий. Поле содержит 18 000 разных позиций для фигур. В игровой ситуации количество возможных ходов может достигать 195.

Правила L-игры

ФИГУРЫ

Каждому игроку дается по одной L-образной фигуре, покрывающей четыре квадрата. Две дополнительные нейтральные фигуры занимают по одному квадрату. Они не принадлежат игрокам, но могут перемещаться любым из них.

СТАРТОВАЯ ПОЗИЦИЯ

На рис. 22 показано положение фигур на поле перед началом игры.

Ходы

Игроки перемещают свои L-фигуры по очереди: поднимают, как угодно поворачивают и снова кладут на поле, но в новую позицию. Позиция считается новой, если L-фигура освободила хотя бы одну из ранее занимаемых ею клеток. Фигура должна располагаться точно по границам квадратов и не накрывать никакую другую.

После очередного хода игрок может при желании переместить любую из нейтральных фигур на любую свободную клетку поля.

ЦЕЛЬ ИГРЫ

Она состоит в том, чтобы загнать фигуру противника в положение, из которого нельзя делать дальнейшие ходы. Вы выиграли, если противник уже не может изменить позицию своей L-фигуры (напомню, что L-фигуру всегда перемещают до хода нейтральной фигурой).

Рис. 22. L-игра – стартовая позиция.

ЗАДАЧИ

В задачах этого курса L-игра изображена на рисунках в простейшей форме. Черные кружки – это нейтральные фигуры. L-образные фигуры несколько уменьшены в размерах, чтобы были отчетливо видны закрываемые ими квадраты. Предполагается, что заштрихованная L-фигура принадлежит читателю, а однотонная – автору этой книги.

Задачи очень просты, но они помогут вам выработать стратегию, которую вы сможете использовать в игре с настоящим противником.

Задача 1

На рис. 23 изображены одна из позиций фигур и три возможных хода: A, B, C. Ваша задача состоит в выборе наилучшего хода.

Вряд ли эта задача покажется вам сложной. Но, вероятно, затруднения появятся, как только вы приступите к ее решению. Ситуация новая для вас, а поблизости нет советчика, кто подсказал бы вам направление действий. Каждый из возможных ходов кажется простым, однако вы опасаетесь, что любой из них может оказаться проигрышным.

Но условия задачи в значительной степени упрощены, поскольку предлагают вам выбрать лишь один из трех возможных ходов. Намного труднее решать задачу, если бы их число не ограничивалось. Пришлось бы выявить все возможные ходы и оценить их. При положении фигур, изображенном на рис. 24, вы имеете 195 потенциальных ходов.

Рис. 23. Условия задачи 1.

Рис. 24. У вас 195 возможных ходов.

Но анализ даже трех ходов может оказаться затруднительным, если вы новичок в игре. Полагаю, вы будете делать их мысленно, чтобы выявить возможный результат. Поначалу возникнут затруднения в таком анализе, но наиболее серьезные из них еще впереди. Предвидеть последствия своего хода – значит предугадать ход соперника. В такой ситуации нужно всегда предполагать, что ваш противник сделает лучший ход из всех возможных.

Но как вы угадаете сильные ходы противника, если не уверены в своих? Неумение предвидеть наиболее вероятный ответ противника является главной причиной неверного выбора и своего хода.

Осознавая подобные трудности, вы, возможно, предпочтете выбрать одну из альтернатив и посмотреть, что из этого получится. При игре такой подход помогает приобрести навык обращения с фигурами. Неверные ходы становятся поучительными.

Решение задачи 1

На рис. 25 изображены ответные ходы противника на любой из ваших трех возможных ходов. Очевидно, ход С – наилучший. Остальные два хода были бы проигрышными. Попытайтесь передвинуть свою L-фигуру, и вы убедитесь в этом сами.

Рис. 25. Ответные ходы противника.

Несмотря на ваше, возможно, быстрое поражение, не следует думать, что выиграть здесь столь же легко. Подобная ситуация характерна лишь для сражения новичка с опытным игроком. Если оба игрока достаточно опытны, каждый из них способен точно оценивать свои ходы, как и предугадывать ответные действия соперника. При наличии какого-либо выбора они не дадут загнать себя в западню. В игре новичков все иначе: один из них может допустить ошибку, а второй, по незнанию, не увидеть ее и не воспользоваться промахом соперника.

К моим комментариям относительно задания на первый день можете добавить и свои соображения.

1. Необходимо тщательно продумывать каждый ход и его последствия.

2. Успешность хода зависит и от мастерства соперника. Если игрок не искушен в стратегии игры, он считает таковым и своего соперника. Поэтому предполагаемые последствия ходов могут отличаться от реальных.

3. Чтобы оценивать свои ходы наиболее точно, нужно всегда предполагать высочайшее мастерство своего противника, даже если это и не так на самом деле.

4. Даже если ваш соперник – первоклассный игрок, его можно обезоружить каким-нибудь психологическим маневром.

Задача 2

Положение фигур на данной стадии игры показано на рис. 26. Вам необходимо распределить все возможные варианты ходов по следующим группам:

проигрышные – позволяющие противнику выигрывать на следующем ходу;

слабые – не проигрышные, но способные привести к проигрышной позиции; они вынуждают вас к обороне;

нейтральные – не дающие преимуществ ни одному из игроков;

сильные – обеспечивающие выигрышную позицию или заставляющие соперника отступать.

Существует два вида экстремальных игровых ситуаций. Большинство реальных ситуаций находятся между этими двумя.

Первый тип: число возможных ходов ограничено, и все они известны обоим игрокам. Тогда успех зависит от умения предвидеть ход противника и вводить его в заблуждение относительно своих дальнейших намерений. Борьба становится скорее психологической.

При втором типе ситуаций психологические маневры не нужны. Положение фигур сложнее, возможных ходов – множество. Успех здесь определяет умение лучше ориентироваться в ситуации, нежели ваш противник, а значит, и правильно делать ходы. Вы полагаете, что и соперник всегда реализует лучший ход из всех возможных. Насколько он далек от такого идеала, настолько вы близки к успеху. Психологические маневры оправдывают себя, лишь когда оба игрока слишком хорошо изучили ситуацию и все возможные ходы. Но тогда ситуация явно относится к первому типу.

L-игра относится ко второму типу. Количество возможных ходов огромно. Игрок, лучше ориентирующийся в них, будет и лучше действовать.

Рис. 26. Положение фигур в задаче 2.

Решение задачи 2

Количество потенциальных ходов в игровой ситуации, показанной на рис. 26, составляет 65. В том числе: проигрышных – 22, слабых – 17, нейтральных – 26, сильных – 0.

Возможно, вы сдались на полпути, посчитав задачу слишком трудной. А надо было сначала определить количество возможных ходов своей L-фигуры. И для каждого из них существует 13 различных вариантов расположения нейтральных фигур: либо они остаются на месте, либо любая из них перемещается в одну из шести возможных позиций.

Если же вы избрали другой путь решения задачи, то ваша оценка вариантов, скорее всего, не совпадет с оценкой автора. Не исключая, что ваша классификация лучше, смею предположить: опытный игрок более глубоко проанализирует все контрходы, а значит, даст более точную оценку ходов.

Вне зависимости от того, решили вы задачу или нет, она, несомненно, показалась вам трудной. Сомневаюсь, что вы будете пользоваться такой процедурой каждый раз, когда вам нужно сделать очередной ход.

Описанный способ выбора решения является идеальным для игр подобного типа, но практически не реализуемым. Оценить каждый возможный ход – значит найти их все, а затем проанализировать и каждый из возможных ответных ходов. Если есть 50 вариантов ходов, а к ним 50 вариантов контрходов, то общее число альтернатив, которые нужно рассмотреть, составляет 2500. Это сложно и само по себе, а если вы вдобавок смотрите на несколько ходов вперед, то и физически невыполнимым. С такими задачами даже компьютеры порой не справляются.

Поэтому столь идеальный способ разрешения игровых ситуаций хорош разве что для «крестиков – ноликов». В других случаях необходимы и другие способы, методы.

Комментарии к заданию второго дня будут следующие.

1. В игровых ситуациях первого типа, когда все ходы известны и их число ограничено, успех достигается психологическими маневрами.

2. В игровых ситуациях второго типа возможных ходов чрезвычайно много, поэтому успех здесь зависит от умения их анализировать и оценивать лучше, чем противник.

3. Наилучший способ разрешения игровой ситуации – оценка всех возможных ходов и контрходов.

4. Эта задача может оказаться невыполнимой при чрезмерно большом количестве альтернатив и необходимости мыслить на несколько ходов вперед.

5. Есть и лучшие методы, помогающие выбрать нужный ход.

Задача З

На рис. 27 изображено 9 игровых ситуаций. Решите, какая из них похожа на первую – ситуацию А. Предполагается, что вы найдете ответ, прежде чем приступите к чтению текста, приведенного ниже.

В предыдущей главе говорилось, что идеальная стратегия игры является или трудоемкой, или вообще не реализуемой. Но есть и другой метод, настолько простой, насколько сложен первый. Он заключается в использовании уже полученного вами опыта, который будет вашим проводником на любом этапе игры. Вы имитируете те ходы, которые использовали раньше, не пытаясь искать и оценивать другие варианты.

Легче всего вы овладеете этим методом, если не будете бояться проигрывать. Всякий раз при проигрыше вы замечаете две вещи: какой ход привел вас к поражению и какой стал победным для противника.

Рис. 27. Игровые ситуации в задаче 3.

Если у вас хорошая память и вы проводите за игрой достаточно много времени, то вскоре овладеете искусством анализа двух типов ходов – выигрышных и проигрышных. Тогда вы научитесь делать нужные ходы и избегать других. Со временем вы будете твердо знать ходы, неизменно ведущие к победе. Для начала научитесь мыслить хотя бы на ход вперед.

Этот метод может показаться столь же утомительным, как и первый, так как он требует большого игрового опыта. С каждой проигранной «схваткой» ваша квалификация все более повышается. (Но берегитесь: ваши друзья устанут обыгрывать вас, пока вы станете классным специалистом. И это не так забавно.) Метод только кажется неэффективным, пока вами не накоплен необходимый значительный опыт игры.

На практике проиграть можно легко и быстро, если не обдумывать тщательно каждый ход. Не бойтесь проигрывать. Вокруг всегда найдутся люди, желающие выиграть. Чтобы использовать этот метод достаточно эффективно, нет необходимости обдумывать все возможные варианты ходов. Посмотрите, есть ли в игровой ситуации выигрышные ходы, известные вам, или нет. Если известных выигрышных или проигрышных ходов вы не нашли, можете делать любой. Запомните этот ход и его результат. Так будет обогащаться ваш опыт.

Решение задачи 3

Функционально идентичными позиции А на рис. 27 являются ситуации B, E и I них есть лишь незначительные изменения в положении фигур либо они представляют собой зеркальное изображение ситуации A. В остальных случаях изменено расположение фигур на поле.

Один и тот же ход годится в функционально идентичных ситуациях. Проблема заключается в распознавании их аналогии, что характерно не только для игровых ситуаций. Для того чтобы успешно пользоваться методом эксперимента, необходимо быстро распознавать знакомые вам ситуации, для которых уже имеется готовое решение.

Так как у игрового поля четыре стороны, игровая ситуация может быть представлена в четырех направлениях – северном, южном, западном и восточном. В каждом из этих направлений возможна ее зеркальная трансформация. Значит, количество видов одной и той же комбинации достигает восьми. Любой из этих вариантов может оказаться перед вами либо перед вашим соперником. Вы должны научиться выявлять знакомую вам ситуацию из этих шестнадцати, если хотите эффективно использовать метод эксперимента.

Предполагалось, что задача 3 не вызовет у вас особых затруднений, но все же интересно, сколько времени у вас на нее ушло.

Те из вас, кто легко справился с ней, должно быть, заметили: комбинация в задаче 2 была всего лишь зеркальным изображением начальной позиции в L-игре, повернутым в другую сторону, чтобы запутать вас. Если вы заметили это, то вам уже не покажется скучным убеждать себя в полезности анализа всех возможных шагов, начиная со стартовой позиции. Согласитесь: стыдно проиграть сразу же, на первом ходу.

Комментарии к заданию на третий день будут следующие.

1. Можно играть, опираясь лишь на экспериментальный метод. Он прост настолько, насколько утомительны другие.

2. Экспериментальный метод состоит в имитации уже известных ситуаций и знакомых вам ходов.

3. Есть два вида ходов: выигрышные, которые и нужно использовать, и проигрышные. Если в данной игровой ситуации вы не видите ни тех, ни других, делайте любой ход.

4. Самый быстрый путь к накоплению опыта – играть как можно чаще, намереваясь проигрывать. Постепенно ваш банк данных о выигрышных и проигрышных ходах будет все более пополняться.

5. Чтобы эффективно использовать экспериментальный метод, необходимо уметь распознавать уже знакомую ситуацию при любой ее ориентации, в любом зеркальном изображении, глядя на нее и глазами своего соперника.

Задача 4

На рис. 28 изображены диспозиция фигур на поле и три хода из всех возможных. Выберите лучший среди этих трех.

Вероятно, вас разочарует курс, который пока предложил вам лишь два довольно непрактичных метода игры. С другой стороны, вы почувствуете удовлетворение, найдя свой, лучший способ.

Третий метод – промежуточный между двумя первыми. Он обладает достоинствами и одного, и другого. Третий метод – выработка стратегических правил.

Последовательная оценка всех возможных ходов оказывается чрезвычайно трудоемкой. Ее можно значительно упростить, если варианты ходов разделить на классы или категории. Например, количество вариантов сократится на тринадцать, если рассматривать перемещения только L-фигуры. Если вам известен общий принцип выбора ее позиции, нет необходимости рассматривать еще 13 вариантов, связанных с нейтральными фигурами.

Оперируя целыми классами ходов, можно облегчить их оценку. Принципы вашей стратегии могут быть следующими:

1) выявлять желательные угловые позиции L-фигуры;

2) избегать симметричного расположения фигур;

3) всегда располагать одну нейтральную фигуру рядом с L-фигурой;

4) стараться прижать свою L-фигуру к углу L-фигуры соперника.

Рис. 28. Условия задачи 4.

Этот список не является исчерпывающим. Подобные принципы вы можете выработать и сами.

Но как сформулировать такие принципы? Некоторые из вас придут к ним логическим путем, другие узнают о них от друзей, но для большинства читателей, несомненно, они станут результатом личного опыта.

Экспериментальный метод казался вам непрактичным. Ведь, пока вы не обладаете достаточным опытом, шансы на выигрыш невелики. Вы утешали себя мыслью, что каждое поражение дает новый опыт, но выигрывать все же приятнее. Да и какая польза от такого опыта – играть, но не выигрывать? Как ни парадоксально, она все-таки есть: вы выявляете принципы стратегии. Умея находить их из ограниченного числа экспериментов, вы будете эффективно использовать их в дальнейшем.

Следовательно, знание основ стратегии небесполезно как при экспериментальном методе, так и при полной оценке ходов. Другими словами, такую оценку можно сделать на базе принципов, выведенных из эксперимента, и реализовать для целого класса ходов.

Решение задачи 4

На рис. 29 показаны ответные ходы к предложенным в задаче вариантам.

Проигрышным является лишь ход В. Остальные – нет. Такое решение задачи может удивить тех, кто уже сформулировал для себя стратегический принцип, запрещающий угловое расположение фигур. С другой стороны, добившиеся углового расположения L-фигуры, базируясь на ином принципе, автоматически сделали верный выбор.

Рис. 29. Ответные ходы в задаче 4.

Стратегия, базирующаяся на основополагающих принципах (иногда называемая эвристическим подходом), наиболее практична. Именно она заложена в компьютерные игры. Но эффективность стратегии зависит от заложенных в ней принципов. Нечетко сформулированные, они приведут, скорее всего, к поражению. Принципы, выявленные логически из анализа игры, предпочтительнее тех, которые выведены из ограниченного числа экспериментов. Тем не менее лучше использовать неверный принцип и затем модифицировать его, нежели формулировать новые один за другим, если они не оправдывают себя.

Иногда даже верные принципы грешат излишней общностью. Так, если вы избегаете симметричных комбинаций, среди них хотя бы одна может оказаться и полезной. Неуклонное следование общему принципу означает, что какая-нибудь из необычных позиций никогда не будет проанализирована и опробована. Научившись формулировать общие принципы, вы сможете делать из них и нужные исключения.

Комментарии к заданию на четвертый день будут следующие.

1. Наиболее целесообразный метод игры – выработка принципов стратегии.

2. Использование основополагающих принципов позволяет анализировать все возможные ходы, разделив их на классы.

3. Принципы стратегии могут быть выведены логически, получены из собственных экспериментов или подсказаны другими опытными игроками.

4. Ценность стратегических принципов состоит в том, что они сокращают объем необходимого для успешной игры предварительного опыта.

5. Неверные принципы ведут к поражению.

6. Лучше использовать неверные принципы, постепенно улучшая их, чем не пользоваться ими вовсе.

7. Из-за чрезмерной общности некоторых принципов остаются вне рассмотрения те или иные весьма полезные исключения из них.

8. Обладая достаточным опытом, можно успешно оперировать такими исключениями, не нарушая общего принципа.

Задача 5

Эта задача состоит из двух частей:

A. На рис. 30 показана игровая ситуация A. Предполагается, что вы уже сделали ход L-фигурой и теперь должны переместить нейтральную фигуру. Выберите для нее наилучший ход.

B. Показана и другая ситуация – B. Выберите наилучший ход для нейтральной фигуры.

Рис. 30. Положение фигур в задаче 5.

Естественно полагать, что L-фигура важнее, нежели нейтральная. Во-первых, ходят нейтральной фигурой лишь по необходимости, а во-вторых, она не принадлежит ни одному из игроков. Следовательно, для L-фигуры сложнее найти новую позицию. К тому же L-фигура больше по размеру. Однако нейтральная фигура иногда становится более важной. Оценка позиции L-фигуры зависит от положения нейтральной фигуры. Выиграть можно, лишь умело оперируя ими обеими.

Вам нужно определить для себя, каковы ценность и роль этих фигур в данном случае. Возможно, вы сочтете наиболее важной L-фигуру, для которой и необходимо найти новую позицию, а нейтральная фигура должна быть скорее атакующей. Или вы отведете ей другую роль – стратегически поддерживать вашу главную фигуру. В любой ситуации распределение ролей фигур и правильное оперирование ими определят ваш успех.

Согласно правилам L-игры, не требуется каждый раз перемещать нейтральную фигуру. Если вы не можете решить, куда ее передвинуть, так и не трогайте вовсе. Оставить фигуру на прежнем месте не означает не принять никакого решения. Напротив, вы его приняли – данное положение нейтральной фигуры сочли наилучшим. Отсутствие решения сделать что-либо практически означает решение ничего не делать, как бы странно это ни звучало.

В другую крайность впадают люди, которые, зная, что нейтральную фигуру можно перемещать, стремятся всегда получить от этого дополнительную выгоду. Я наблюдал, как подобная «жадность» разрушала выигрышные позиции.

Решение задачи 5А

На рис. 31 показано наилучшее расположение нейтральной фигуры. Выбрав эту позицию, вы решили бы исход игры в свою пользу. Если вы действительно наблюдательны, то заметили: такая же позиция использовалась против вас раньше (ответный ход В в задаче 1, см. рис. 25). Подобная наблюдательность отличает хорошего игрока от посредственного.

Главная особенность этого решения состоит в том, что за счет правильного выбора хода можно добиться победы в игре. Найдутся и другие безопасные ходы для нейтральной фигуры, но лишь один из них является атакующим. Если вы ставили перед собой цель просто найти любое безопасное ее положение, то могли и упустить шанс выиграть.

Атаковать или обороняться – это зависит от вашего темперамента. Возможно, вы относитесь к тем людям, которые предпочитают атаку и пренебрегают обороной своих позиций. А быть может, вы не уверены в своих силах и пытаетесь сперва закрепить позицию, а затем уж думаете об атаке.

Рис. 31. Решение задачи 5А.

Решение задачи 5В

На рис. 32 показана наилучшая позиция нейтральных фигур для начальной ситуации, изображенной на рис. ЗОВ. В отличие от первой части задачи, здесь выбраны лишь оборонительные ходы. Атака, к сожалению, невозможна. Лишь эта позиция безопасна, как мне кажется.

Атакующая и оборонительная стратегии не взаимоисключают друг друга. Некоторые ситуации потребуют одного подхода, а некоторые – и прямо противоположного. Но во всех случаях необходимо рассматривать оба подхода. Выбирая ход, обычно мы исходим из иерархии целей. Первая из них – найти выигрышную позицию. Если это невозможно, следующая цель – избежать явной проигрышной позиции.

По мере обогащения вашего опыта эта иерархия целей будет расширяться. Выявляя все больше и больше выигрышных и проигрышных ходов, игрок обязательно научится думать на ход вперед, затем на два и так далее. Это означает, что, если вы не сразу нашли выигрышной позиции, необходимо искать не просто безопасный, а ход, ведущий к победе.

Рис. 32. Решение задачи 5В.

Комментарии к заданию на пятый день изложены ниже.

1. Если в игре задействованы оба типа фигур, их роли будут определять ее исход.

2. Кажущаяся менее значимой фигура может оказаться решающей.

3. Неспособность решить сделать то или иное означает, по существу, решение ничего не делать.

4. От стратегии, атакующей или оборонительной, зависит выбор ходов. Предпочитая оборону, можно не заметить выигрышный ход.

5. Некоторые ситуации требуют атакующей стратегии, другие – оборонительной.

6. Выбирая ход, необходимо исходить из иерархии целей. Например: найти выигрышный ход; найти ход, предшествующий выигрышному; исключить проигрышный ход.

7. Игрок, обдумывающий большее число ходов наперед, всегда побеждает.

8. Нет необходимости делать все возможные ходы при каждом случае. Это не дает никаких явных преимуществ.