Лейбниц. Анализ бесконечно малых

ГЛАВА 3 Древние и современные коды

Сегодня мы не представляем нашу жизнь без компьютеров. Но чтобы разбираться в них, нам необходимо освоить язык этих машин, то есть двоичную систему счисления. Именно Лейбниц заложил основы этой системы и, кроме того, усмотрел в ней связь с древними гексаграммами китайской гадательной книги "И Цзин". Он также занимался другими типами языков и даже хотел создать универсальный язык для математического выражения всех идей.

Проектом, который оказался для Лейбница сложной головоломкой, стала организация эксплуатации одной из шахт в Альт- Гарце, к югу от города Гослара, примерно в 100 км от Ганновера. В этих местах были большие залежи серебра, меди, железа и свинца. У Лейбница было несколько идей по улучшению технологии их добычи в шахте.

Среди сочинений, написанных ученым для герцога после посещения Гамбурга в 1678 году, было одно, над которым Лейбниц начал работать еще в Париже. Оно было посвящено тому, что сегодня мы называем возобновляемыми источниками энергии. Лейбниц создал проект системы насосов и ветряных мельниц, которые позволили бы использовать энергию ветра и гидроэнергию для улучшения дренажа шахт. Насосы, разработанные ученым, требовали минимального обслуживания. Конструкция его мельниц позволяла им работать даже при очень слабом ветре и с большей отдачей, чем обычные мельницы. Идея была в том, чтобы использовать мельницы все возможное время и заменять их гидроэнергией, когда они не могут работать. Таким образом создавался постоянно действующий в любое время года источник энергии, с помощью которого теоретически всегда была возможность выполнять необходимые водные и горные работы, поскольку во времена засухи работа шахт останавливалась.

За всем этим стояло желание Лейбница, как он сообщил герцогу после одобрения проекта, часть полученных доходов вложить в исследование для увеличения добычи, а другую часть отдать на финансирование Берлинской академии, создание которой он тогда обдумывал. Хотя изначально проект был не очень хорошо принят, в основном из-за расходов, необходимых для строительства большого количества новых сооружений, Лейбниц сумел опровергнуть все контрдоводы. В конце 1679 года ученый получил одобрение герцога на заключение соглашения с Ведомством шахт, которое наряду с герцогом и самим Лейбницем должно было финансировать проект.

Однако с самого начала у Лейбница возникли проблемы с реализацией своего замысла. К открытому саботажу служащих шахт, которые считали его чужаком, не обладающим необходимыми знаниями, добавилась ненастная погода, сменяемая периодами полного безветрия. По-видимому, Лейбниц пренебрег необходимостью изучения ветров в этой местности. Другой сложностью стало строительство сооружений, поскольку в некоторых случаях, когда были нарушены инструкции по изготовлению, машины не работали должным образом, и нужно было переделывать их снова и снова.

В связи с увеличением стоимости, которая в 1683 году была уже почти в восемь раз больше предусмотренной, герцог предложил закрыть проект. Но заплатив из собственного кармана, Лейбниц настоял на том, чтобы его продлили еще на год: он хотел доказать, что план все-таки осуществим. Ему пришлось полностью пересмотреть проект и усовершенствовать конструкцию мельниц так, чтобы их можно было построить за полцены. Также Лейбниц придумал механизм парусов, которые складывались и раскрывались в зависимости от необходимости, и предложил улучшить работу насосов, используя сжатый воздух, но обе идеи оказались неудачными. Позже, в связи со слабостью ветра в этой местности, он разработал горизонтальные мельницы вместо вертикальных, способные работать при любом ветре и даже в грозу. Но их отдача равнялась одной трети от традиционной, поэтому они также оказались нежизнеспособными. Проект окончательно закрыли в 1685 году.

Горное дело не было просто очередным увлечением среди огромного количества интересов Лейбница; совсем наоборот, это была одна из его любимых областей познания. В течение шести лет, которые длился проект, Лейбниц проводил больше половины своего времени в Альт-Гарце, из чего видно, какую огромную работу ему пришлось проделать. Кроме того, он постоянно думал о том, как улучшить добычу. В 1680 году, когда у Лейбница еще была надежда на успех проекта, он написал герцогу, что они смогут получить большую прибыль от соглашения с голландцами на переработку руды из золотых и серебряных шахт на Суматре, собственности Голландской Ост-Индской компании. Годом позже в другом документе Лейбниц советовал герцогу заключить соглашение с императором и курфюрстом Саксонии с целью прийти к общему мнению и вынести его на политическую конференцию, которая должна была состояться во Франкфурте, по вопросу увеличения цены на серебро.

Когда проект был закрыт, Лейбниц, все еще веря в то, что его идеи будут признаны, не перестал заниматься улучшением методов добычи минералов. Он разработал механизм, состоящий из ряда связанных между собой цепью контейнеров: они постоянно поднимались и опускались, позволяя поднимать руду. Так уменьшался расход энергии на подъем контейнера с рудой из недр шахты, поскольку иногда цепь для подъема весила больше, чем сама руда. Эта идея была также не принята, как и другие предложенные ученым новшества.

В 1685 году Лейбниц получил задание написать историю Брауншвейг-Люнебургской династии, его самую важную работу с тех пор. Он был убежден в возможности составить историю рода примерно до 600 года, но для этого нужно было прибегнуть к изучению оригинальных документов, хранящихся в монастырях.

Дом Эсте, ведущий свой род из Франции, был разделен на две ветви: Вельф-Эсте, известный как дом Вельф, и Фулько-Эсте, который превратился в итальянский дом Эсте. Во время войн между гвельфами и гибеллинами, происходившими в период Позднего Средневековья, Эсте завладели Феррарой, которая была папским уделом, и в 1332 году стали папскими викариями. В 1288 году они присоединили к себе Модену, хотя только в 1452 году получили титул герцогов Модены и Реджо из рук Фридриха II Габсбургского, императора Священной Римской империи и эрцгерцога Австрии. Эсте щедро поддерживали искусство эпохи Возрождения и состояли в родстве с очень важными итальянскими семьями, такими как Борджиа и Сфорца. Когда в 1597 году прекратилась прямая наследная линия, папа снова присоединил Феррару к Папскому государству, и власть дома Эсте начала угасать. Из самой древней ветви семьи вышли герцоги Баварии, Саксонии и Брауншвейг-Люнебурга.

В начале 1687 года Лейбниц осуществлял исследование в предместьях Ганновера, а в конце года совершил поездку на юг Германии и Австрии. В апреле 1688 года он сделал в Аугсбурге очень важное открытие. В местном бенедиктинском монастыре ученый ознакомился с рукописью "История гвелъфских принцев", в которой нашел доказательства, связывавшие гвельфов, создателей герцогства Брауншвейг-Люнебург, с благородным домом Эсте, который правил герцогствами Феррара и Модена. Из-за новой информации Лейбницу пришлось совершить поездку в Италию, и в первую очередь в Модену, где он также способствовал заключению политического брачного союза.

В итоге историческое исследование Лейбница оказалось намного сложнее, чем он ожидал. В 1691 году ученый сообщил герцогу, что работа сможет быть закончена через пару лет, если ему дадут в помощь секретаря. Секретарь был ему предоставлен. Однако, хотя действительно очень скоро были изданы три тома этого исследования, оно так никогда и не было закончено.

Тем не менее Лейбниц смог изложить часть собранной информации. В 1695 году в связи с заключением брака между династией Брауншвейг-Люнебург и домом Эсте в Модене Лейбниц создал памятную медаль нового союза династий, состоявшегося более чем через шесть веков. Также он написал сочинение, изданное в Ганновере, под названием "Письмо о связи между Домами Брауншвейг и д’Эсте", в котором изложил свои исторические находки.

Во время всех этих поездок Лейбниц встречался с образованными людьми и учеными, посещал музеи и собирал информацию на очень разнообразные темы, например об ископаемых — сведения о них пригодились ему впоследствии для создания работы "Протогея". Ученый также в течение нескольких недель был гостем в доме ландграфа Эрнста из Гессен-Рейнфельса, с которым беседовал на темы истории и религии, делая особый акцент на своем так и не забытом проекте объединения Католической и Протестантской церквей. Кроме того, Лейбниц добился выполнения своей мечты быть принятым на аудиенции императором Священной Римской империи Леопольдом I.

В духовном мире ищи ясность, в материальном — пользу.

Готфрид Вильгельм Лейбниц

Во время пребывания в Риме ученый смог посетить Ватиканскую библиотеку, где нашел рукописи, подтверждавшие открытия, сделанные им в Аугсбурге. Он также застал смерть папы Иннокентия XI, который был сторонником объединения церквей. В эти дни Лейбниц, о чем свидетельствуют его записи, приступил к чтению "Начал" Ньютона.

Несмотря на службу у герцога, ученый продолжал выполнять и другие поручения, не требовавшие его постоянного физического присутствия. В 1691 году он получил должность в библиотеке в Вольфенбюттеле (Нижняя Саксония) и занимал ее до самой смерти. Хотя Лейбниц должен был заниматься долгосрочным планированием, от него не требовалось каждодневной работы. В 1693 году он опубликовал сочинение "Кодекс международного дипломатического права", в котором собрал документы с XII по XIV века, в большинстве своем неизданные.

В 1696 году Лейбниц был назначен тайным советником юстиции, то есть получил должность чуть ниже вице-канцлера. В это время он осуществил проект установки фонтанов в саду Герренгаузена, в Ганновере.

В начале 1680-х годов ученый попытался достать экземпляр изобретенной Дени Папеном (1647-1712) скороварки с предохранительным клапаном, которая позволяла размягчать кости и делать их съедобными. Папен был французским физиком и изобретателем, вынужденно эмигрировавшим в Англию, а затем в Германию из-за религиозных убеждений и связанных с ними проблем. Кроме чугунка, или варочного котла, как он называл скороварку, Папен изобрел подводную лодку, паровую повозку и машину для подъема воды, применяемую для мельниц и фонтанов. Изобретение скороварки вдохновило Лейбница на написание сатирического произведения, где собаки защищали свои права на кости, которые хотели приготовить с помощью упомянутого прибора.

В 1696 и 1697 годах главной дипломатической задачей Лейбница стало получение для герцога в постоянное владение епископства Оснабрюк. Характерным для данного епископства было то, что после Вестфальского мира им поочередно правили католический епископ и протестантский граф.

Лейбниц получал в своей жизни много важных поручений. В основном он был советником влиятельных людей. Но от некоторых должностей он отказался, чтобы не предавать свою веру. Например, ему предложили должность в Ватиканской библиотеке, но с условием принятия католичества, на что ученый не согласился. То же самое произошло в 1698 году, когда Лейбницу предложили стать библиотекарем в Париже. Через своего друга ландграфа Эрнста он также получил предложение стать канцлером епархии Хильдесхайма в Нижней Саксонии, но отказался из-за своих обязанностей и религии.

Многие люди, с которыми Лейбниц общался, пытались обратить его в католицизм, особенно ландграф Эрнст из Гессен- Рейнфельса, но у них ничего не получилось. Лейбниц считал, что авторитет Церкви неоспорим в вопросах веры, при этом множество научных и философских идей, которые не противоречат ни Священному Писанию, ни какому-либо Вселенскому собору, незаслуженно отвергаются Церковью даже после того, как было доказано, что они истинны. Ученый говорил, что если бы он вырос в Католической церкви, то не оставил бы ее; но поскольку он рос в лютеранстве, то не мог согласиться с этими противоречиями.

Тем не менее Лейбниц всю свою жизнь продолжал выступать за объединение обеих конфессий. Он искал поддержку где только мог, понимая, что если не удастся привлечь папу, императора или какого-нибудь правящего принца, то не будет ни малейшей возможности добиться объединения. За свою жизнь ученый написал много работ в защиту этой идеи: например, в "Теологической системе" объединение церквей обосновывалось с католической точки зрения (опубликована только в 1845 году).

Во время пребывания в Вене Лейбниц навестил своего друга, епископа Христофа-Рохаса Спинолу, с которым он несколько раз встречался в Ганновере. Епископ посещал город для решения различных вопросов, иногда связанных с императором или с объединением протестантских теологов. Он следовал тому же курсу, что и Лейбниц, то есть выступал за объединение конфессий, и показал ему свою переписку с папой и некоторыми епископами на данную тему. Через Спинолу Лейбниц вступил в контакт с различными чиновниками императорского двора, которые помогли ему добиться аудиенции у императора.

Закончив свои исследования в Италии, Лейбниц намеревался вернуться в Ганновер после почти трех лет путешествий. Но герцог Эрнст Август дал ему ряд поручений в Вене. Ученый снова встретился со Спинолой, и они решили поддержать совместную дипломатическую встречу курфюрстов Брауншвейг-Люнебурга и Саксонии с императором, который отказался помогать проекту религиозного объединения.

Научная работа Лейбница в эти годы была безустанной. Он продолжал переписываться с учеными из многих стран и посылать статьи почти во все серьезные журналы того времени. В письме своему другу он горько жаловался на то, что в Ганновере ему не с кем общаться на научные темы. В 1689 году, проездом оказавшись в Риме, ученый был избран членом физико-математической Академии.

Лейбниц также по-прежнему вел полемику с другими образованными людьми на научные и философские темы. Всю свою жизнь он достаточно критически относился к учению Декарта. Во многих своих работах он выражал несогласие с его философией, а в марте 1686 года опубликовал в "Актах ученых" статью с вполне ясным названием: "Краткое доказательство примечательной ошибки Декарта". В ней Лейбниц напрямую выступал против ученого. Через несколько месяцев в нидерландском журнале "Новости литературной республики" появилась статья аббата Кателана, убежденного картезианца, который критиковал Лейбница, утверждая, что ошибается именно он. Это позволило немецкому ученому опубликовать ответ в том же самом журнале. После еще некоторых реплик с обеих сторон Лейбниц предложил Кателану задачу: воспользоваться картезианским методом для нахождения кривой равномерного падения, то есть цепной линии. Аббат так и не ответил, зато опубликовал решение Гюйгенса, хотя и без доказательства. Лейбниц же опубликовал решение вместе с доказательством в статье 1689 года в "Актах ученых".

В 1690 году он восстановил контакты с Лондоном через Анри Жюстеля, королевского библиотекаря. Лейбниц попросил у него информацию о новейших открытиях, поскольку последний журнал, который он получил, датировался 1678 годом. Спустя два года он связался через Жюстеля с Эдмундом Галлеем (1656-1742), бывшим тогда секретарем Королевского общества. В то время Фатио де Дюилье уже развязал полемику о первенстве открытия математического анализа, выразив в письме Гюйгенсу удивление тем, что Лейбниц не воздал должное Ньютону при публикации своих статей об анализе. В 1693 году Лейбниц отправил первое письмо напрямую Ньютону, который ответил не сразу, поскольку послание где-то затерялось, и не выказывал никакой неприязни.

В 1687 году началась плодотворная переписка Лейбница с братьями Бернулли, а в 1692 году — с маркизом Лопиталем. Последний уже разбирался в анализе, поскольку прочитал статью Лейбница, опубликованную в 1688 году, и, кроме того, взял уроки у Иоганна Бернулли. В письмах они рассказывали друг другу о своих проектах, и Лопиталь, в частности, поведал Лейбницу о работе, посвященной дифференциальному исчислению, которую он опубликовал только в 1696 году. Лопиталь также предполагал, что затем возьмется за другой труд — об интегральном исчислении. В предисловии к книге он упоминал признание Лейбница в одной из статей о том, что Ньютон открыл нечто, похожее на его анализ, хотя метод Лейбница был быстрее и его было легче применять.

Бернардино Рамадзини (1633- 1714) — врач и философ, родившийся в городе Карпи, недалеко от Модены.

Он изучал медицину в университете в Парме и, получив степень доктора медицины, начал практиковать в родном городе. В 1671 году Рамадзини переехал в Модену, где стал помощником личного врача герцога Франческо II из дома Эсте. В 1682 году ему предложили возглавить кафедру медицины в Моденском университете.

В 1700 году он переехал в университет Падуи, где стал деканом. Он был членом многих медицинских сообществ и Берлинской академии (по рекомендации Лейбница, который тогда был ее председателем). Рамадзини вошел в историю медицины, поскольку был первым, кто досконально занимался исследованием профессиональных заболеваний. Он описал их в своей главной работе De morbis artificum diatribe ("О болезнях рабочих"), опубликованной в 1700 году. Рамадзини был первым, кто изучал недуги больных, интересуясь их профессией.

У Лейбница были весьма разносторонние интересы. Литература, театр, опера, технологические разработки, военная организация... Почти все привлекало его внимание. Помимо всего прочего ученый заинтересовался медициной. Лейбниц пытался быть в курсе достижений этой науки, которая все еще пребывала в очень примитивном состоянии. Не прошло и ста лет с тех пор, как было открыто кровообращение, но только через два века появится простая идея о том, что врачам нужно мыть руки перед операцией. Когда в 1691 году через Жюстеля ученый узнал о лекарстве от дизентерии, он не успокоился, пока не получил его. Это была ипекакуана, растущая в Южной Америке, и Лейбниц выступал за ее использование в Германии.

Через пару лет в работе, посланной принцессе Софии, он давал ряд рекомендаций по медицине, которые сегодня кажутся нам очевидными. Для прогресса в области медицины нужно было осуществлять соответствующие исследования и распространять результаты. Постановка диагноза обязательно должна происходить до лечения. Нужно следить за симптомами болезни и вести письменную историю ее развития и реакции пациента на лечение. Необходимо распространять сообщения о самых интересных случаях. Важно, чтобы больницы хорошо финансировались и в них работал квалифицированный персонал. Лейбниц также отстаивал необходимость профилактической медицины и создания Совета по здравоохранению, куда входили бы политики и врачи, способные предложить ряд мер для лечения социально значимых заболеваний, способных вызывать эпидемии.

Еще одной темой, заинтересовавшей ученого после бесед с врачом Бернардино Рамадзини (1633-1714), с которым он познакомился в Модене, была медицинская статистика. Лейбниц был уверен, что распространение статистических данных пошло бы всем только на пользу, поскольку тогда врачи будут лучше подготовлены к столкновениям с наиболее распространенными заболеваниями. Он отстаивал эту точку зрения в различных дискуссиях и даже предложил "Журналь дэ саван" ежегодно публиковать медицинскую статистику, полученную с помощью метода, установленного Рамадзини.

У Лейбница были большие способности к языкам. В молодости он почти самостоятельно изучал латынь и греческий, а также писал статьи на латыни, французском и немецком. Он даже опубликовал одну статью на итальянском, продемонстрировав хорошее владение языком. Ученый был убежден в том, что должен существовать исходный язык, от которого произошли все остальные, и его следы должны были остаться во всех существующих языках. Чтобы проверить это, он собирал примеры языков всего мира. Он также утверждал, что изучение языков должно дополнять образование в области истории и происхождения и миграций народов.

В 1696 году, желая продвинуть изучение немецкого языка, Лейбниц предложил создать Немецкое общество в Вольфенбюттеле под руководством герцога Антона Ульриха, который правил вместе со своим братом Рудольфом Августом. Они оба были друзьями Лейбница.

Одна из самых главных работ ученого в этой области — Unvorgreiffliche Gedanken, betreffenddieAusubungund Verbesserung derteutschen Sprache ("Предварительные размышления об использовании и совершенствовании немецкого языка"), написанная в 1697 году и опубликованная в 1717-м. В ней он выступал за то, чтобы превратить немецкий язык в средство культурного и научного выражения, а также замечал, что со времен Тридцатилетней войны немецкий язык деградировал и подвергается опасности стать испорченным французским языком.

Но Лейбница волновали не только существующие языки; он, кроме того, хотел создать собственный язык, связанный с математикой. Еще в школе у него была мысль придумать универсальный алфавит, которую он частично развил в своей "Комбинаторике". Лейбниц задумывал алфавит человеческой мысли, что привело его к понятию универсальной характеристики. Точно так же, как слова образуются комбинациями букв, на основе небольшого числа простых идей можно построить более сложные идеи. В универсальном языке ученого идеи должны были образовываться сочетаниями знаков, которые были бы компонентами этой идеи. Если, кроме того, установить серию правил для сочетания данных знаков, можно осуществлять рассуждения так же, как осуществляются числовые вычисления. В некоторых письмах, где он затрагивал эту тему, Лейбниц приводил в качестве примера универсальной характеристики китайское письмо.

Дом, в котором жил Лейбниц в Ганновере до своей смерти. Гравюра К. Хапке.

Страница из "Изложения двоичной арифметики" — статьи, которую Лейбниц послал в Парижскую академию наук.

Во время бури в Италии протестанта Лейбница суеверные моряки хотели выбросить за борт, но он начал молиться на итальянском и спас свою жизнь.

В 1678 году он написал работу "Универсальный язык", в которой представлял простые идеи в виде простых чисел, а выводимые из них идеи — в виде произведения этих чисел. Чтобы понимать данный язык, нужно было знать простые идеи и уметь раскладывать числа на множители для их нахождения. Для превращения чисел в живую речь Лейбниц воспользовался идеей шотландского лингвиста Джорджа Дальгарно (1626— 1687): гласные представляли числа 1, 10, 100, 1000 и 10 000, а числа от 1 до 9 были первыми согласными, Ь-1, с-2, d-3, f-4 и так далее. Например, число 245 выражалось как cifega. Перестановка слогов давала то же число, то есть 245 также могло быть fegaci.

Позже Лейбниц оставил эту идею, поскольку нашел ее слишком сложной, и приспособил другую схему, основанную на латыни. В его новом подходе нужно было свести все понятия к более простым элементам, обозначить их символами и создать другие символы для сочетаний предыдущих элементов. Для этого он предлагал создать энциклопедию, которая включала бы в себя все существующее знание. Ученый даже написал введение для энциклопедии и проводил исследования, пытаясь приспособить вычисление и геометрию к нахождению универсальной характеристики. В итоге проект не получил конкретного развития.

Хотя в истории существовали отдельные попытки сделать двоичную систему счисления, именно Лейбниц создал такую систему в том виде, в каком мы ее знаем сегодня. Мы не можем сказать точно, когда именно ученый занимался этой идеей, но уже в 1682 году он написал о возможностях двоичной системы и начал разрабатывать конструкцию основанной на ней арифметической машины, хотя в дальнейшем ему пришлось отказаться от данного проекта из-за большого количества технических сложностей.

В распоряжении нашей десятичной системы есть 10 цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Если имеется более 9 элементов, поскольку у нас нет других знаков, мы переходим к старшему разряду (десяткам), и так элемент, следующий за 9, обозначается 10, го есть один десяток и ноль единиц. Точно так же, если добавить единицу к группе из 99 элементов, получается сотня, которая обозначается 100, и так далее.

В двоичной системе есть только две цифры: 0 и 1. Поэтому когда мы хотим представить элементы больше 0 или 1, мы должны также использовать разряды высшего ранга. Например, чтобы зафиксировать значение 2, мы будем использовать запись 10: одна единица второго разряда и ноль единиц первого разряда. Двоичное число состоит из ряда нулей и единиц. Первые двоичные числа представлены в следующей таблице.

Чтобы перевести десятичное число в двоичную форму, мы должны делить его и образующиеся результаты деления на 2: остатки от деления — это нули и единицы, которые нужно расположить от последнего к первому. Посмотрим, как превратить число 54 в двоичное, то есть 54 = 110 110 ₍₂.

Кроме двоичной системы счисления существуют другие подобные. Одна из них — восьмеричная: в ней только восемь цифр, от 0 до 7, и следующее значение вместо 8 — это 10. Но, возможно, наиболее используемой является 16-ричная система — на основе 16. Для нее требуется 16 различных цифр, а у нас есть только 10, поэтому недостающие цифры заменяются буквами. В результате в 16-ричной системе имеются цифры 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F.

Преимущество 16-ричной системы в том, что мы можем использовать только одну цифру для первых 16 значений, для чего в двоичной понадобилось бы четыре. В информатике базовая единица информации называется бит, который может иметь значение 0 или 1. Программное обеспечение компьютера работает с байтами, образованными из восьми битов; следовательно, каждый байт может принимать значение от 0 до 255, и ему нужно восемь двоичных цифр. Обычно это очень широко используется в кодировании цветов. Любой цвет в цифровом виде образован смешением трех первичных цветов, красного (red), зеленого (green) и синего (blue), что известно как код RGB. Каждому из таких первичных значений присваивается число от 0 до 255, показывающее интенсивность этого цвета, участвующего в составном цвете. Часто цвет представляют в виде шести 16-ричных цифр, чтобы указать его код RGB.

Чтобы перейти от двоичного к десятичному, нам нужно учитывать разложение числа. В десятичной системе число 2357 равно

2357 = 2000 + 300 + 50 + 7 = 2 · 1000 + 3 · 100 + 510 + 7·1 = 2·10³ + 3·10² + 5·10¹ + 7·10⁰.

Аналогично, число 110 110 ₍₂, разложенное в двоичной системе, равно

110 110₍₂= 1·2⁵+1·2⁴ + 0·2³+1·2²+1·2¹ + 0·2⁰ = 32 +16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 54.

Во время поездки в Вольфенбюттель в 1696 году Лейбниц представил свою систему герцогу Рудольфу Августу, и она произвела на него сильное впечатление. Лейбниц придумал монету, на лицевой стороне которой было изображение герцога, а на обратной — аллегория, посвященная двоичной системе. Если точнее, он выгравировал таблицу с числами от 0 до 15 и их соответствующими двоичными значениями, а также примеры сложения и умножения двоичных чисел.

Лейбниц видел в данной системе представление собственной философии и аналогию непрерывного создания чего-то из ничего. Он также связывал ее с сотворением мира. Сначала не было ничего — 0, а в первый день был только Бог. Через 7 дней уже было все, поскольку 7 в двоичной записи — это 111, в этом обозначении нет ни одного нуля.

Когда в 1700 году Лейбниц был избран иностранным членом восстановленной Парижской академии наук, он послал туда работу, в которой была изложена двоичная система. Однако, хотя академики и выразили интерес к открытию, они нашли, что его систему очень сложно использовать, и стали ждать, пока ученый представит примеры ее применения. Через несколько лет он снова представил свое исследование, которое было принято лучше, но в этот раз связал его с гексаграммами "И Цзин". Лейбниц также написал статью под заголовком "Изложение двоичной арифметики".

Сегодня двоичная система — основа информатики. Все компьютеры работают, используя эту систему счисления, и вся информация, которая проходит через них, превращается в набор нулей и единиц.

Лейбниц всегда испытывал особое влечение к китайской культуре. Уже в 1678 году он знал китайский язык, который лучше всего отвечал его представлениям об идеальном языке. Ученый считал, что европейская цивилизация наиболее совершенна, поскольку основана на христианском откровении, а китайская — наилучший пример нехристианской цивилизации. В 1689 году в Риме он познакомился с иезуитским миссионером Клаудио Филиппо Гримальди, президентом китайского управления математики в Пекине, и тот рассказал ему, что император, принцы и другие чиновники получают ежедневный урок математики, сам император знаком с учением Евклида и умеет вычислять движения небесных тел. В 1697 году Лейбниц опубликовал Novissima Sinica ("Последние новости из Китая"), сочинение, включавшее письма и работы иезуитских миссионеров в Китае. Через отца Вержюса, руководителя иезуитской миссии в Китае, которому он послал один экземпляр, эта работа попала в руки отца Иоахима Буве, миссионера, находившегося в Париже. С тех пор между Лейбницем и Буве установились очень тесные отношения, они даже вели совместную разработку двоичной системы. Познакомившись с философией Лейбница, Буве сравнил ее с древнекитайской философией, которая была основана на принципе естественного права. Также именно Буве привлек внимание Лейбница к гексаграммам "И Цзин", соответствовавшим двоичной системе, созданной Фу Си, мифическим персонажем — основателем китайской культуры.

Лейбниц во многих инстанциях выступал за то, чтобы добиться тесной связи между Европой и Китаем через Россию.

Так как у него были хорошие отношения с Москвой, он надеялся осуществить свое намерение. Ученый даже настаивал в Берлинской академии на подготовке протестантской миссии в Китае. По его мнению, если бы удалось обратить императора, это был бы большой успех, а католическая миссия не сильно продвинулась в этом деле.

Лейбниц опубликовал свою основную работу о Китае за несколько месяцев до смерти, назвав ее Discours sur la theologie naturelle des chinois ("Сочинение о естественной теологии китайцев"). В ней он утверждал, что древние китайцы создали естественную религию, совместимую с христианством. Он указал на аспекты древнекитайской философии, которые были схожи с его собственной. В последней части Лейбниц излагал свою двоичную систему и ее связь с "И Цзин". Он также указывал на важные моменты, которые делали китайцев цивилизованным народом, не уступающим европейцам: их древнейшие исторические хроники, в чем Европа явно отставала; их значительные достижения в практической философии (образовании, гражданских делах, личных отношениях) и в науках, которые превзошла только европейская наука.

"И Цзин", или "Книга перемен",— это древнекитайская книга для гадания, с помощью которой можно узнать будущее, связанное с семьей и другими аспектами жизни. В ней развивается даосистская философия инь и ян. Она была написана мифическим императором Фу Си около 2400 года до н. э. и дополнена в последующие эпохи, например Конфуцием в 500 году до н. э.

Толкование книги основывается на ряде символов (гексаграмм), каждый из которых имеет разное значение в зависимости от контекста. Они образованы непрерывными и пунктирными линиями, сгруппированными в триграммы. Каждая гексаграмма состоит из сочетания двух триграмм в разных вариантах. Восемь триграмм показаны на следующем рисунке.

Если соединить две триграммы всеми возможными способами, получаются 64 возможные гексаграммы, образованные шестью линиями. Хотя Буве думал, что это было создание самого Фу Си, именно китайский философ Шао Юн (1011-1077) придал гексаграммам вид, напоминающий двоичную систему На следующем рисунке мы можем увидеть некоторые из гексаграмм. Хотя китайцы не знали нуля, если рассматривать пунктирную линию как нуль, а непрерывную — как единицу, мы можем увидеть первые зашифрованные двоичные числа.

Так можно обозначить двоичные числа от 0 до 63. Достаточно назначить гексаграмме двоичный код и превратить его в десятичное число. Например, гексаграмма на следующем рисунке обозначала бы число:

101001₍₂= 1·2⁵ + 0·2⁴+1·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 1·2° = 32 + 8+1 =41.

Обычно мы воспринимаем вещи, которые знаем с детства, так, словно они были всегда. Кажется, что интернет, мобильные телефоны, компьютеры и телевидение существуют уже давным- давно, хотя многие из нас жили еще в те времена, когда их еще не изобрели. С символами, используемыми в науке, происходит то же самое. Мы привыкли писать и совершать операции с числами и функциями, используя символы, которые, кажется, были всегда. При этом, например, арабские цифры, сопровождающие нас в повседневной жизни, более "новые" для нашей культуры, нежели римские.

В XVI и XVII веках одной из сложностей для обмена результатами исследований или понимания разработок других ученых было именно отсутствие четкой и унифицированной записи.

Символы + и - для операций сложения и вычитания начали применяться только в XV веке в Германии. После этого еще довольно долго в некоторых странах, например в Испании, продолжали работать с символами ~р и ~т (начальные от plus и minus). Использование знака х для умножения приписывается Отреду, изобретателю логарифмической линейки.

Черта для обозначения деления считается арабским изобретением, а Фибоначчи (ок. 1170 — ок. 1250) распространил его по Европе. Любопытно, что только в XIX веке английский математик Огастес де Морган (1806-1871) начал использовать вариант α/b, исходя из интересов книгопечатания, поскольку в изданиях выражение

a/b

занимает три строчки, в то время как предыдущее — только одну.

Ньютон был первым, кто применил степени для представления дробей и корней. Так, он использовал а^-1 для обозначения

1/a

и а^3/5 — для 5√а³. Символ √ для корней — как деформация буквы r — начал использоваться в XVI веке.

Англичанин Роберт Рекорд (1510-1558) первым ввел символ =, поскольку считал, что нет ничего более равного, чем две параллельные линии. Однако потребовался почти век, чтобы этот знак приняли в качестве распространенного символа. Декарт, например, пользовался символом ∞ (у его символа раскрытие было слева). Символы < и > для обозначения меньшего и большего появились только в начале XVII века благодаря англичанину Томасу Хэрриоту (1560-1621).

Другим важным элементом вычисления было понятие функции. Французу Николаю Орезмскому приписывают авторство примитивного понятия функции, которую он определял так: "Все, что варьирует, вне зависимости от того, можно ли это измерить, можно вообразить в виде непрерывной величины, представленной отрезком". Именно Декарт начал работать с данным понятием как с отношением между двумя переменными, которое можно представить в виде кривой. С него, кстати, пошла традиция пользовался первыми буквами алфавита для обозначения констант и последними — для переменных, как мы это делаем и сегодня.

Первое ясное представление о функциональном отношении появилось благодаря шотландцу Джеймсу Грегори, который указывал, что переменная зависит от нескольких выражений, если ее можно получить из них с помощью любой вообразимой операции.

Лейбниц очень осторожно относился к выбранной записи и посвящал много времени ее совершенствованию. Он был первым, кто начал использовать точку (·) для обозначения действия умножения, поскольку символ х можно перепутать с переменной.

Лейбниц также был первым, кто стал использовать символ : для деления — из тех же соображений, которыми позже руководствовался Морган. Он писал:

"а, деленное на b, обычно обозначают

a/b

однако очень часто предпочтительно избегать этого и продолжать в том же абзаце, воспользовавшись вставкой двух точек; то есть

а : b обозначает а, деленное на b".

Швейцарец Иоганн Генрих Ран за несколько лет до этого применил знак для обозначения деления. Данный символ прижился в Англии и используется в англо-саксонских странах, в то время как в большинстве других стран принято обозначение Лейбница.

Лейбниц также был первым человеком, употреблявшим слово функция в своих работах, хотя это еще было не то же самое понятие, которое подразумеваем мы. Именно Иоганн Бернулли первым использовал это слово и дал ему конкретное определение: "Функция переменной определяется как величина, состоящая неким образом из переменной и констант"; под "неким образом" предполагается как "алгебраически", так и "трансцендентно". Кроме того, он был первым, кто использовал слова константа, переменная и параметр.

Лейбниц начал пользоваться аббревиатурой omn для вычисления интеграла. Это слово применял Кавальери, оно происходит от латинского omnia lineas (все линии), поскольку площадь интеграла складывается из множества линий, являющихся неделимыми. В рукописи 1675 года Лейбниц решил заменить omn символом, который мы используем сегодня: ∫. Однако впервые слово интеграл ввел Якоб Бернулли — в первой статье, где был представлен его анализ (напечатана в "Актах ученых" в 1690 году).

Лейбниц выяснил, что omn увеличивает свое значение, поскольку происходит сложение, а обратная ей операция — нахождение производной — должна вести к уменьшению. Можно сказать, что отп суммировались, а обратная операция вычиталась, поэтому для обозначения разности во второй операции ученый использовал символ d. Изначально Лейбниц ставил d в знаменателе. Он писал: "Это получается обратным вычислением. Предположим, что ∫l = уа. То есть

l = yα/d.

тогда точно так же, как ∫ растет, d уменьшается в размерах". Позже Лейбниц уже помещал d в числитель.

В первой статье об анализе 1684 года уже присутствовал символ d для обозначения дифференцирования, а во второй статье 1686 года появился символ ∫ и даже dx внутри интеграла.

С тех пор как в 1676 году Лейбниц стал советником дома Брауншвейг-Люнебург при ганноверском дворе, он тратил много сил на службу герцогу во всем. Ученый предлагал много проектов тем, кто, как он считал, могли ими заинтересоваться. Он пользовался свободой и поддержкой в занятиях, которые казались ему интересными. Кроме того, поездки, связанные с выполнением поручений герцога, позволяли Лейбницу общаться с учеными, техниками, теологами и философами из разных стран.

В июне 1698 года после затяжной болезни умер Эрнст Август, за время правления которого герцогство Брауншвейг- Люнебург стало курфюршеством. Герцога сменил его сын Георг Людвиг, позже ставший королем Великобритании Георгом I. Отношения Лейбница с новым покровителем не были столь теплыми, как с его отцом и дядей. Наоборот, они были натянутыми до такой степени, что когда Георг переехал в Англию, он не позволил Лейбницу отправиться с ним, вынудив его остаться на континенте.