Лейбниц. Анализ бесконечно малых

ГЛАВА 4 Гений не только в математике

В XVII веке еще существовали виртуозы, которые разрабатывали великие идеи как в теории, так и на практике, обладая очень широким кругом интересов. Одним из таких ярких примеров является Лейбниц, пионер геологии и палеонтологии — наук, которые только зарождались. Кроме того, он вложил весь свой гений в механику, особенно в динамику, изучая силы, влияющие на движение.

Курфюрст Эрнст Август скончался 23 июня 1698 года, и к власти пришел его сын Георг Людвиг. Лейбниц сохранил свою должность, и хотя вначале казалось, что ничего не изменилось, постепенно стало ясно: отношения с новым курфюрстом у ученого не сложились. Георг Людвиг никогда не поддерживал разнонаправленную деятельность Лейбница.

Основной работой ученого по-прежнему было написание истории правящей династии герцогства Брауншвейг-Люнебург, но даже спустя восемь лет ощутимых результатов все еще не было. Хотя Лейбниц постоянно сообщал о том, какие места он посетил и какие действия предпринял, курфюрст всегда оставался недоволен. В письме своей матери Софии герцог жаловался на то, что он никогда не знает, где находится Лейбниц, и что тот всегда говорит о каких-то несуществующих книгах, над которыми работает.

В 1698 и 1700 годах Лейбниц издал два тома не публиковавшихся ранее немецких исторических хроник под названием Accessaries historicae. Он также опубликовал первое собрание документов из герцогской библиотеки.

Начиная с 1698 года София Шарлотта регулярно приглашала Лейбница посетить Берлин, но он получил разрешение на поездку только через два года, когда курфюрст Бранденбурга поручил ему заняться созданием Прусской академии наук.

В то время Лейбниц уже был немолод и имел проблемы со здоровьем, которые будут преследовать его до конца жизни. Он часто страдал от головных болей и лихорадки, а в последние годы его мучили подагра и артрит. Многие болезни не позволяли Лейбницу путешествовать так, как он этого хотел, и служили предлогом, часто реальным, для того чтобы не возвращаться немедленно в Ганновер, когда того требовал курфюрст.

Приехав в Берлин, Лейбниц попытался добиться помощи Филиппа Ноде (1654-1729), придворного математика, чтобы продолжить заниматься двоичной системой. В этот период он несколько раз искал себе в помощники какого-нибудь молодого математика, надеясь закончить исследования, работа над которыми уже давалась ему с трудом. Лейбниц получил несколько числовых таблиц, созданных Ноде, в двоичной записи, включавших числа до 1023, то есть те, что могут быть записаны максимум с помощью десяти цифр. Лейбниц изучал, каким образом располагались цифры этих чисел. Так, в первом столбике таблицы у чисел чередовались цифры 01, во втором столбике повторялись ряды 0011, в третьем — 00001111, и так далее. Он также осуществлял исследования о вариации кратных чисел. На основе собранного материала Лейбниц написал "Эссе о новой науке о числах", которое послал в Парижскую академию наук после того, как стал ее членом. В письме, прилагаемом к этому сочинению, ученый сделал комментарий о том, что данная система не задумана для практических вычислений.

В 1669 году был опубликован третий том "Математических работ", великого труда Джона Уоллиса. В него вошла переписка между Лейбницем и Ньютоном через Ольденбурга, а именно Epistola prior и Epistola posterior. Хотя Лейбниц предоставил право выбора писем Уоллису, результатом он остался доволен. Ему совсем не понравилась работа Фатио де Дюилье, в которой он представлял Лейбница вторым изобретателем анализа. У него также случился спор с математиком-самоучкой Мишелем Роллем (1652-1719), выступившим с критикой анализа Лейбница: он указал на то, что понятие производной нечеткое, и отверг идею бесконечно малых высшего порядка. В Академии этот спор разрешил математик Пьер Вариньон (1654-1722), заявив, что Ролль не имеет представления об анализе, который отверг.

Лейбниц сохранил тесную дружбу с курфюрстиной Софией, супругой курфюрста Эрнста Августа, и ее дочерью, принцессой Софией Шарлоттой, супругой курфюрста Бранденбурга, который в январе 1701 года был провозглашен королем Пруссии. Хотя София Шарлотта всегда рассматривала Лейбница как друга своей матери, она вскоре начала считать его и своим другом и учителем. В послании 1699 года София Шарлотта писала ему, что он может считать ее своей ученицей. Начиная с 1700 года, когда Лейбниц посетил ее первый раз во дворце Литценбурге (в настоящее время Шарлоттенбург), его с настойчивостью приглашали в Берлин, чтобы побеседовать с королевой. Они нередко встречались и разговаривали на философские, религиозные и политические темы. В последующие годы Лейбниц часто писал ей, затрагивая в большинстве случаев философские темы и не упоминая математики — она была слишком сложна для человека без образования.

В 1704 году ученый познакомился с принцессой Каролиной Ансбахской, которая вышла замуж за сына Георга Людвига, Георга Августа. Последний сначала сменил своего отца в качестве курфюрста Ганновера, а затем короля Англии.

К сожалению, отношения Лейбница с его ученицей длились недолго, поскольку 1 февраля 1705 года королева София Шарлотта умерла.

По просьбе императора Леопольда I Лейбниц встретился в Вене с епископом фон Бухаймом с целью обсудить тему объединения Католической и Протестантской церквей. Он также виделся с придворным капелланом Бранденбурга Яблонским, пытаясь воссоединить лютеранскую и реформированную ветви протестантизма, что казалось даже сложнее, чем воссоединение с католиками. Лейбниц продолжал эти дипломатические переговоры до своей смерти. В 1716 году, в последний год своей жизни, он снова встретился с Яблонским по просьбе короля Пруссии Фридриха Вильгельма I, чтобы попытаться воссоединить обе конфессии и вступить в переговоры с Англиканской церковью. Главная надежда возлагалась на то, что курфюрст Брауншвейг-Люнебургский стал королем Великобритании и, следовательно, главой Англиканской церкви. Поскольку от собственной религии он не отказался, существовала надежда на достижение благоприятных результатов. Однако у короля Великобритании не было интереса к данной теме, и миссия провалилась.

В начале 1670-х годов главная дипломатическая работа, которой был занят Лейбниц, заключалась в том, чтобы поддержать права курфюрстины Софии на корону Англии. Уже в 1698 году он обращался к королю Англии Вильгельму III с инициативой объявить Софию наследницей, а также предлагал заключить брак герцога Глоучестерского с принцессой Ганноверской. София из-за своего пожилого возраста не выказывала большого энтузиазма к наследию, поэтому Лейбниц на переговорах проявлял излишнее рвение. Однако в 1701 году в Англии был принят Акт о престолонаследии, гарантировавший английскую корону протестантским наследникам ганноверской династии.

Лейбниц также выступал посредником между Ганновером и Бранденбургом, которые противостояли Вольфенбюттелю, заключившему договор о нейтралитете с Францией и создавшему большую армию. В это время Англия и Нидерланды с поддержкой Австрии, Дании, Пруссии, Ганновера и Пфальца образовали союз против Франции. В 1701 году между союзниками и Францией началась война. Лейбниц написал доклад, в котором дал несколько советов, касающихся военных дел и хода войны. Координация планов и ресурсов, медицинская забота о солдатах и создание двух штаб-квартир, одной имперской, а другой нидерландской, — вот некоторые из его предложений.

Кроме того, ученый поддержал австрийскую династию в Испании с помощью одного из средств, которое нравилось ему больше всего: написал письмо, якобы от жителя Амстердама, в ответ гражданину Антверпена. Оба письма получили широкое распространение.

В 1713 году в Карлсбаде Лейбниц встретился с российским царем Петром I, будучи приглашенным им лично. Ученый воспользовался встречей, чтобы высказаться за союз между Россией и Австрией, который позволял закончить войну с Францией. Еще за год до описываемых событий, на свадьбе царевича Алексея и Шарлотты, Лейбниц общался с царем, который предоставил ему титул тайного советника, назначил жалованье и поручил развитие науки, а также разработку правовой реформы в России. Лейбниц предложил Петру I исследовать по всей стране магнитное склонение и наладить отношения с Китаем, чтобы китайская культура и наука дошли до Европы.

После поездки в Карлсбад Лейбниц переместился в Вену, не уведомив об этом Ганновер и получая неотложные приказы курфюрста вернуться в город. Оттуда он написал письмо первому министру Ганновера Андреасу Готлибу фон Бернсторфу, информируя о том, что император предложил ему доступ к своей библиотеке, поскольку считал историю династии Брауншвейг-Люнебург достоянием всей империи.

Несмотря на постоянные упреки, работа, осуществленная Лейбницем, начала приносить свои плоды. В июне 1707 года появился первый том Scriptorum brunsvicensia illustrantium, изданный самим ученым. Ему пришлось заплатить своим помощникам, выдать авансом средства на издание второго тома и купить ряд экземпляров, чтобы распространить их. Все эти траты он выдержал с трудом.

Второй том вышел в 1710 году, в довольно плодотворный год для Лейбница, поскольку он также опубликовал первый номер журнала Miscellanea Berolonensia, принадлежавшего Берлинской академии, и одну из своих главных философских работ — "Теодицею". В следующем году появился третий том истории.

Лейбниц предполагал, что история будет дополнена еще двумя томами. Он планировал закончить первый из них в конце 1714 года и после него написать еще краткий второй том. Но, к несчастью, смерть помешала ему закончить эту работу. Однако в 1749 году секретарь ученого Экхардт опубликовал четыре тома о происхождении гвельфов в качестве введения в историю.

Как только король Георг I взошел на трон, Лейбниц попытался получить назначение историографом Англии, аргументируя это тем, что его исследование должно было касаться также некоторых аспектов английских династий. Но ему не удалось получить эту должность: король считал, что ученый не сможет закончить историю династии Брауншвейг-Люнебург из-за многочисленных дополнительных дел.

В 1703 году Лейбниц добился у королевы Софии Шарлотты разрешения на ведение шелководства в Пруссии, чтобы финансировать Берлинскую академию, о чем он не переставал думать. В 1707 году ученый представил королю работу с предложением новых методов дренажа болот, так что часть прибыли должна была пойти на этот проект.

Лейбниц претендовал на многие вакантные места. В 1704 году он подал прошение на пост вице-канцлера Ганновера, но курфюрст решил убрать эту должность, так же как четырьмя годами ранее он убрал должность канцлера. В 1709 году в связи с напряженными отношениями с курфюрстом Лейбниц даже просил герцога Антона Ульриха взять его на службу.

Когда в 1711 году был коронован новый император Карл VI, ученый начал дергать за все доступные ему нити, чтобы получить должность императорского советника. В итоге в следующем году он добился желаемого, однако неприятным сюрпризом для него стало то, что эта почетная должность оказалась неоплачиваемой. Позже Лейбниц добился ежегодной компенсации, которую иногда все-таки не выплачивали, и тогда он снова был вынужден настаивать на ее получении.

В XVIII веке Лейбниц написал самые важные работы, отражающие развитие его философии. Первая из них — "Опыты теодицеи о благости Божией, свободе человека и начале зла". Сочинение было опубликовано в двух томах в 1710 году как дань уважения к Софии Шарлотте: в нем он собрал многие свои беседы с королевой в Шарлоттенбурге и даже упоминания о теологической полемике того времени. Лейбниц высказал следующую точку зрения: мы живем в наилучшем из возможных миров, и мировое зло не противоречит Божественной доброте. Вольтер, поклонник Ньютона, в своей повести "Кандид" написал карикатуру на "Теодицею".

"Об искусстве комбинаторики" и "Теодицея" стали единственными философскими работами Лейбница, опубликованными при жизни автора; остальные были посмертными. В 1686 году ученый написал "Рассуждение о метафизике", свою первую большую философскую работу, в которой собрал воедино все свои мысли о Боге, мире и человеке. В данном сочинении появились его идеи о простых и сложных субстанциях, которые были прообразом монад; Лейбниц отвергал декартовы законы сохранения движения, в то же время продвигая свою идею о живой силе, прообразе кинетической энергии. Эта работа была опубликована только в 1846 году.

В 1714 году Лейбниц написал в Вене два сочинения: "Начала природы и благодати, основанные на разуме", опубликованные в 1718 году, и "Монадологию", в которой он довольно схематично представлял обзор всей своей философии. Ученый создал эту работу для своего друга Николя Ремона, за несколько лет до этого воодушевившего его написать о китайской теологии. На французском языке и никак не озаглавленная, она попала к издателю. Ее впервые опубликовали в 1720 году, кстати, уже на немецком, и дали ей название.

В обеих работах Лейбниц представил свою идею о простой и сложной субстанциях. В первом абзаце "Монадологии" можно прочитать:

"Монада, о которой мы будем здесь говорить, есть не что иное, как простая субстанция, которая входит в состав сложных; простая — значит не имеющая частей".

В третьем абзаце приводится ее пример в природе:

"А где нет частей, там нет ни протяжения, ни фигуры и невозможна делимость. Эти-то монады и суть истинные атомы природы, одним словом элементы вещей. [...] Итак, можно сказать, что монады способны произойти или погибнуть сразу, то есть они могут получить начало только путем творения и погибнуть только через уничтожение, тогда как то, что сложно, начинается и кончается по частям".

Ученый представляет себе эти монады как вид метафизических сущностей, не имеющих ни формы, ни размеров. Следовательно, они должны различаться по какому-либо качеству, чтобы породить различные формы при сочетании. Кроме того, они меняются не из-за какого-либо внешнего воздействия, а по внутренним причинам. Лейбниц называет перцепцией состояние отношения каждой монады с остальными, а внутренний процесс, меняющий перцепцию, — стремлением, или apetitos.

На основе этих понятий ученый делит монады на три класса: те, у которых есть только восприятие без сознания; те, у которых восприятие сопровождается сознанием, что соответствует животным; и те, что обладают также разумом и называются разумной душой, или духом.

Еще в доисторические времена люди открыли, работая с металлами, что одни элементы трансформируются в другие. Фалес Милетский (ок. 620-546 до н. э.) был первым, кто поставил вопрос: может ли любое вещество превратиться в другое, пройдя через несколько этапов? Если такое возможно, тогда должен существовать базовый элемент, присутствующий везде. Фалес считал этим элементом воду, и его главная философская мысль заключалась в том, что "всё есть вода". Анаксимен Милетский (585-524 до н. э.) решил, что этот элемент — воздух, а Гераклит Эфесский (544-483 до н. э.) предложил огонь. Эмпедокл (ок. 495-435 до н. э.), последователь Пифагора, думал, что элементов больше, чем один, и предложил четыре базовых: вода, воздух, огонь и земля. Аристотель (384-322 до н. э.), в свою очередь, добавил пятый элемент — эфир. Ученые Древней Греции не допускали вакуума, следовательно должен был существовать элемент между небом и землей. Роль Аристотеля была так велика, что в течение 20 веков его мнение оказывало существенное влияние на представления о составе материи.

Однако среди древнегреческих ученых развился интересный спор о делимости материи. Некоторые (включая Аристотеля) считали, что ее можно делить неопределенное количество раз и любой полученный элемент, каким бы маленьким он ни был, можно снова разделить. Их оппоненты утверждали, что при делении можно дойти до мельчайшей частицы, которую уже нельзя разделить. Данная концепция получила название атомизма, и ее главным сторонником был фракиец Демокрит (460-370 до н. э.), который назвал атомами эти неделимые частицы и указал, что вся материя состоит из них.

Однако авторитет Аристотеля, как уже говорилось выше, был так силен, что атомизм был практически стерт из древнегреческой мысли. Сохранился он благодаря Эпикуру (341-270 до н. э.), у которого было много последователей. Другой известный персонаж, римский поэт Лукреций, в I веке до н. э. защищал атомизм с дидактической точки зрения в своей поэме De rerum natura ("О природе вещей").

В течение 20 веков идеи Аристотеля властвовали в научной среде. Алхимия занималась изучением трансформации одних элементов в другие — как для получения конкретных элементов, таких как золото, так и для применения в медицине, как это делали Авиценна (980-1037) и Парацельс (1493-1541). Но произошел любопытный факт. Одной из первых книг, опубликованных после изобретения печатного станка, была именно поэма Лукреция, и, как следствие, атомизм снова набрал силу в Европе.

Одним из самых известных ученых того времени был Роберт Бойль, с которым Лейбниц несколько раз встречался в Лондоне и с которым вел переписку до самой смерти. Очень возможно, что именно это знакомство привело его к созданию теории монад.

Роберт Бойль (1627-1691) был английским химиком, изучавшим поведение газов при повышенном давлении.

Плод его исследований — закон, гласящий, что объем обратно пропорционален давлению. Его также независимо открыл француз Эдм Мариотт (1620- 1684), поэтому сегодня он известен как закон Бойля — Мариопа, который изучают в средней школе. В 1661 году Бойль написал работу "Химик-скептик", благодаря которой сегодня он считается отцом современной химии.

В данном сочинении он утверждает, что материя образована группами атомов в движении, и столкновения между ними порождают явления, которые мы наблюдаем. Он проводил исследования по распространению звука, относительной плотности, рефракции в кристаллах и открыл участие кислорода в горении и дыхании.

Человек всегда интересовался тем, как образовались различные элементы на Земле. Хотя в Древней Греции были люди, которых волновали подобные вопросы, обычно считается, что именно арабские философы первыми начали исследовать данную тему. Авиценна, например, объяснил, как образуются горы и что вызывает землетрясения. А в эпоху Средневековья термин геология все еще использовался для обозначения изучения всего земного в противоположность божественному.

Современная же геология начала свой путь в XVI веке. Абрахам Ортелий (1527-1598) первым высказал гипотезу дрейфа материков. Но, без сомнения, самой важной фигурой в этой области является Николас Стено, отец современной геологии, поскольку он сформулировал один из законов стратиграфии — науки, изучающей геологические пласты, или страты, Земли.

Швейцарский ученый Конрад фон Геснер (1516-1565) считается основателем палеонтологии. Он опубликовал главную работу по этой дисциплине: De omni rerum fossilium genere, gemmis, lapidibus, metallis, et huiusmodi..., в которой отделял органические ископаемые от драгоценных камней и минералов, основываясь на их рисунках. Роберт Гук использовал микроскоп для сравнения структуры ископаемой древесины с современной и представил свои результаты в работе "Микрография" 1665 года. Он также изучал головоногих и связал их с современными наутилусами. Кроме того, он был предшественником теории эволюции видов.

Николас Стено (1638-1686), родившийся в Копенгагене, был ученым широкого профиля, в частности анатомом.

Он заложил основы современной стратиграфии, утверждая, что слои земной коры — продукт осаждения морских пород: каждый слой является более ранним, чем тот, что расположен над ним, и последующим по отношению к нижнему, на котором он держится.

Стено также высказал мнение, что каждый слой создается горизонтально, а наклонен он может быть из-за более позднего движения. Кроме того, он различал первичные породы, предшествовавшие растениям и животным, и вторичные, которые накладываются на предыдущие и содержат ископаемые остатки. Стено сравнил окаменевшие раковины с раковинами живых видов, обитающих как в пресной, так и в морской воде. Все это было представлено в его работе, которую называют шедевром: "Предварительное изложение диссертации о твердом, естественно содержащемся в твердом"; 1668. Благодаря этому труду Николас Стено считается отцом современной геологии. Он также разработал несколько законов в области кристаллографии.

Немецкий физик и иезуит Афанасий Кирхер (1602-1680) предположил, что Земля является эволюционирующей звездой, и описал ее внутреннее устройство, впрочем ничего общего с реальностью не имевшее. По его мнению, деятельность вулканов была вызвана внутренними пожарами. Однако большим вкладом Кирхера в науку были наблюдения и изучение движения Земли.

До этого времени общее мнение приписывало появление ископаемых, удаленных от моря, библейскому Всемирному потопу. Первым с критикой подобных взглядов выступил граф де Бюффон (1707-1788). Его теория заключалось в том, что геологические эрозии и трансформации происходят из-за воды и воздуха; кроме того, он поделил эволюцию природы на три эпохи — от создания планеты до появления человека. Бюффон в своей "Естественной истории" признал вклад Лейбница в создание геологии.

Лейбниц всегда выказывал большой интерес к изучению эволюции Земли. В поездках он интересовался коллекциями раритетов, в которых присутствовали окаменелости и образцы минералов. Во время пребывания в Гарце ученый посетил пещеры, где находили кости и зубы доисторических животных. Он также собрал много интересных образцов во время поездок по Германии и Италии.

В Ганновере Лейбниц встретился со Стено, а также ознакомился с трудами Кирхера. Полученные таким образом новые данные пригодились при создании главной его работы в области геологии и палеонтологии, "Протогеи", написанной в 1691 году и опубликованной в 1749-м (отрывки из нее были напечатаны в "Актах ученых" уже в 1693-м). Ученый также включил свой обзор теории эволюции Земли в "Теодицею". Его историческое исследование должно было начинаться с обзора географического и геологического аспектов. В своем сочинении Лейбниц говорил о новой науке, которую назвал естественной географией (соответствует современной геологии).

"Протогея" — первое произведение, которое охватывает большую часть основных геологических тем: возникновение планеты Земля, образование рельефа, причины приливов и отливов, слои и минералы, а также органическое происхождение ископаемых остатков. Лейбниц признавал теорию появления планеты из огня и существование центрального огня, как и Декарт. Но в отличие от своего коллеги, утверждавшего, что огонь является причиной земных трансформаций, Лейбниц считал геологическим агентом также и воду. По его мнению, горы обязаны своим происхождением извержениям, произошедшим до Потопа, который был вызван не только дождями, но и выбросом подземных вод. Ученый также говорил о воде и ветре как элементах, формирующих рельеф, и разделял огненные и осадочные породы.

Кроме того, Лейбниц был одним из пионеров эволюционной теории. Он объяснял отличие современных животных от найденных окаменелостей тем, что виды животных меняются из-за постоянных геологических трансформаций.

Возможно, наиболее передовой наукой в XVI и XVII веках была механика, исследующая движение в его многочисленных аспектах. В это время для изучения движения стали применяться математические методы, что существенно ускорило развитие механики и физики в целом.

В рамках механики выделились два больших раздела: кинематика, изучающая математическое описание движения без учета причин, его вызывающих; и динамика, которая занимается причинами, порождающими движение и влияющими на него. Все великие ученые того времени внесли свой вклад в механику, особенно в динамику.

В VI веке последователь Аристотеля Иоанн Филопон ввел понятие impetus для обозначения сил, заключенных в телах и являющихся причиной их движения. В Средние века схоласты утверждали, что движение вызвано силой: оно сохраняется, пока действует сила, и заканчивается, когда она прекращает действовать. В современной физике, наоборот, считается, что для продолжения движения наличия действующей на тело силы не требуется.

Многие авторы полагали, что impetus сохраняется неопределенно долго, если не испытывает сопротивления внешних факторов. Но Николай Орезмский высказал мнение, что эта сила исчерпывается спонтанно. Данная идея позволяла ему объяснить движение маятников, пружин и вибрирующих струн. В свою очередь, французский схоласт Жан Буридан (1300-1358) применил impetus для изучения падения тел и перемещения снарядов. Он говорил:

"Когда двигатель приводит тело в движение, он испускает некий impetus, или движущую силу, действующую в том направлении, в котором двигатель привел тело в движение, то есть вверх или вниз, в сторону или по кругу".

Однако на самом деле законы современной динамики создал Галилео Галилей, который также изучал падение тел и движение снарядов. Сначала он признавал, как это было принято со времен Аристотеля, что когда тело падает, оно увеличивает свою скорость, пока не достигнет постоянной скорости падения. Позже благодаря экспериментам ученый пришел к пониманию равноускоренного движения. Поскольку было очень сложно изучать тело в свободном падении, он проводил опыты с шарами, которые скатывались по наклонной плоскости.

Законы, управляющие движением с постоянным ускорением, сегодня хорошо известны. Если считать, что s представляет собой пройденное расстояние, t — время, v₀ — начальную скорость, ν — конечную, а — ускорение, то основные формулы будут следующие:

v = v₀ + a · t,

s = v₀ · t+1/2 · (v-v₀) · t,

s = v₀ · t+1/2 · a · t²,

Однако значение константы ускорения свободного падения вычислил Гюйгенс, который обозначил eё g = 9,81 м/с². Галилей вывел следующие законы.

— Любое тело, движущееся по горизонтальной плоскости без трения, продолжит движение в течение неопределенного времени с той же скоростью (закон инерции).

— В свободном падении в вакууме все предметы [независимо от их массы] проходят определенное расстояние за одно и то же время.

— Движение тела при свободном падении или катящегося по наклонной плоскости равномерно ускорено, то есть наблюдается одинаковое увеличение скорости за одинаковый промежуток времени.

Второй закон противоречил здравому смыслу, так что для его подтверждения Галилей провел (предположительно) знаменитый эксперимент на Пизанской башне: он состоял в том, чтобы уронить два объекта с разной массой и проверить, упадут ли они на землю одновременно. Хотя и правда, что сила тяжести больше действует на тело большей массы, так как эта сила равна произведению массы тела на ускорение, однако последняя величина постоянна для обоих тел.

Главной работой Галилея были "Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению". Он написал ее в период, когда находился в тюремном заключении за спор с Инквизицией, и потом опубликовал в Нидерландах в 1638 году. Данное сочинение представлено в виде разговора трех персонажей: Сальвиати, озвучивавшего точку зрения Галилея, Симпличио, защищавшего взгляд на проблему Аристотеля, и Сагредо, независимого индивида с открытым разумом, желающего учиться. Этот труд широко распространял Мерсенн. В работе Галилея утверждалось, что если тело перемещается по горизонтальной плоскости, то его равномерное движение протекает в течение неопределенного периода времени, но если плоскость заканчивается, на тело действует сила тяжести и вынуждает его двигаться вниз. Так рождалось сложное движение, применявшееся к снарядам, для которых характерно два типа движения: горизонтальное вперед и вертикальное вниз. Он также выделил два вида движения: равномерное и равноускоренное.

Ученик Галилея, Эванджелиста Торричелли, родоначальник гидродинамики, развил динамику в своих "Беседах".

Он доказал равенство скоростей, которые тело приобретает на различных наклонных плоскостях, начинающихся на одной и той же высоте. Другой последователь Галилея, Пьер Гассенди (1592-1655), провел эксперимент, бросив камень с мачты двигающегося корабля. С точки зрения здравого смысла камень должен был упасть далеко от мачты, поскольку корабль находился в движении, но выяснилось, что он падает в одно и то же место, у ее подножия. Таким образом Гассенди доказал, что движение относительно и зависит от системы координат, в которой мы находимся. Это разрешало спор о том, почему птицы не отстают, если Земля находится в движении.

Декарт также изучал движение, которое он охарактеризовал так: "...действие, из-за которого тело перемещается из одного места в другое". Для него движение было относительным и должно было определяться исходя из его отношений с другими телами:

"Движение — это перемещение одной части материи, или тела, из соседства одних непосредственно касающихся его тел, которое мы называем состоянием покоя, в соседство других тел".

Кроме того, Декарт изучал силы, используемые для поднятия тела в пространстве, указав, что...

"Сила, которая может поднять вес 100 фунтов на высоту 2 фута, также может поднять тело в 200 фунтов на высоту в 1 фут. [...] У этой силы всегда два измерения, то есть произведение веса на высоту".

Если вместо веса использовать понятие массы, то сила, о которой говорит ученый, сегодня известна нам как потенциальная энергия.

Из-за полного отрицания вакуума Декарт утверждал, что пространство заполнено порциями материи, взаимодействующими при столкновении, поэтому не признавал силу или действие на расстоянии. Гравитацию, например, он объяснял распространением импульсов через эфирную материю, заполнявшую пространство. Законы движения Декарта были следующие.

— Тело меняет свое движение (или состояние покоя) только из-за столкновения с другим телом.

— Тело имеет тенденцию двигаться по прямой, за исключением столкновения с другими телами.

— Когда одно тело сталкивается с другим, оно не может передать ему движение, не потеряв столько же от своего, и не может лишить его движения, не увеличив свое в той же пропорции.

Последний закон Декарт дополнял рядом правил, касающихся различных типов столкновений. Но так как он не указывал, упругие они или нет, и не учитывал направление движений, большинство из этих правил неверны.

То, что Декарт определял как количество движения — произведение массы на скорость, — представляло собой число (скалярную величину), и он утверждал, что оно постоянно. Это неверно, если не учитывать направление скорости.

С целью прояснить путаницу со столкновениями в 1668 году Королевское общество призвало своих членов изучить данную проблему. В результате был сделан вывод, что при столкновениях количество движения сохраняется только в случае, если учитывать направления скоростей, то есть если работать с векторными, а не скалярными величинами.

На призыв Королевского общества откликнулись Джон Уоллис, изучавший неупругие столкновения, Кристофер Рен, занимавшийся упругим столкновением (хотя он не подкрепил свои результаты полноценными доказательствами), и Гюйгенс. Последний изучал упругое столкновение, основываясь на понятии инерции, принципе относительности и постулате о том, что два одинаковых тела с одинаковой скоростью, сталкивающиеся напрямую, рикошетируют с одинаковой скоростью. Его исследование о столкновениях между неравными телами было опубликовано посмертно в 1700 году.

Портрет Лейбница, написанный Иоганном Фридрихом Венцелем около 1700 года. Сегодня находится в архиве Берлинско- Бранденбургской академии наук.

Могила Лейбница в Нойштедтер-Кирхе, лютеранской церкви в Ганновере. Простота надгробья одного из самых значимых ученых своего времени контрастирует с пышностью могилы другого гения той эпохи — Исаака Ньютона, похороненного в Вестминстерском аббатстве рядом с другими великими людьми.

Вид на Ганноверский университет, который с 2006 года называется Университетом Вильгельма Лейбница.

Гюйгенс открыл законы центростремительной силы — той, которая удерживает тело, движущееся вокруг центра. Он доказал, что в круговом движении центростремительная сила так относится к общей силе (m · а), как периметр (длина 2πr) к радиусу, откуда получил F_c = 2π · m v/t. И так как

t = s/v = 2πr/v,

то после замены получается формула, к которой пришел Гюйгенс:

F_c = m · v²/r

Из приведенного выше уравнения и третьего закона Кеплера Ньютон в своем законе всемирного тяготения сделал вывод о том, что сила притяжения двух тел обратно пропорциональна квадрату расстояния:

F = G (m₁ · m₂)/d²,

где G — постоянная всемирного тяготения.

Сила, действующая между двумя телами с массами m₁ и m₂ разделенными расстоянием d, прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Исаак Ньютон. Закон всемирного тяготения (1687)

Ньютон также изучал неупругие столкновения и утверждал, что необходимы внешние силы для начала или прекращения движения, которые изменили бы направление или скорость. Английский ученый рассматривал три различные силы.

— Vis insita, или сила инерции: "Это способность всех тел к сопротивлению, которую имеет каждое тело постольку, поскольку стремится сохранить свое нынешнее состояние, будь то покой или равномерное движение по прямой линии".

— Vis impressa, или приложенная сила: "Это действие, оказываемое на тело, чтобы изменить его состояние".

— Vis centripeta, или центростремительная сила: "Это сила, благодаря которой тела притягиваются, или отталкиваются, или каким-то образом стремятся к одной точке как к центру".

В качестве примеров последней силы он приводит тяготение или силу, притягивающую железо к магниту. Именно благодаря ей планеты вертятся вокруг Солнца, а не следуют по прямой линии. Эта центростремительная сила, которую Ньютон назвал в честь Гюйгенса, создает движение и в космосе. Ученый считал ее реакцией на центробежную силу.

В свою очередь Ньютон также сформулировал три закона движения.

— Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

— Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

— Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе взаимодействия двух тел друг на друга равны и направлены в противоположные стороны.

В 1669 году Лейбниц изучил работы Уоллиса, Рена и Гюйгенса о столкновениях. Затем он опубликовал свою первую работу о движении: "Новая физическая гипотеза" (1671), в которой поднял проблему непрерывного движения, утверждая, как и схоласты, что природа не развивается скачками. Лейбниц использовал термин conatus в том же значении, что и Гоббс, то есть как врожденную тенденцию продолжать движение по прямой линии. Из этого следовало, что тело, покидающее круговую траекторию, делает это по касательной к данной траектории.

Одно из моих самых важных и лучше всего проверенных изречений — то, что природа не делает скачков. Я назвал его законом непрерывности.

Лейбниц о законе непрерывности движения

В конце 1680-х годов Лейбниц написал сочинение "Динамика сил и законов природы тел". В нем он выступал против Декарта, заявляя, что количество движения не сохраняется во Вселенной. В качестве доказательства ученый приводил пример (см. рисунок), который он также включил в свое "Рассуждение о метафизике". Декарт утверждал, что должна быть применена одна и та же сила для поднятия тела весом 1 фунт на высоту 4 фута и тела массой 4 фунта — на высоту 1 фута. Следовательно, у тел А и В должна быть одна и та же сила при падении. Ученый применил закон Галилея, согласно которому скорость пропорциональна квадратному корню высоты падения. Согласно этому закону, в конце падения скорость тела А будет в два раза больше скорости тела В, но его масса в четыре раза меньше массы тела В. Следовательно, количество движения тела А будет равно половине количества движения тела В, что противоречило постулату Декарта.

Лейбниц утверждал, что постоянным является произведение массы на скорость в квадрате {mν²) — то, что он назвал vis viva, или живой силой. Эта живая сила является величиной, в два раза большей той, которую мы сегодня знаем как кинетическую энергию. Позже, в 1840 году, был сформулирован закон сохранения энергии в том виде, в каком мы знаем его сегодня. В нем говорится, что сумма потенциальной и кинетической энергии тела является постоянной. В "Динамике" Лейбниц сформулировал два своих главных закона: закон сохранения живой силы и закон непрерывности движения.

Лейбниц предположил, что необходима одинаковая сила для того, чтобы поднять тело весом в один фунт (А) на высоту в четыре фута и тело весом в четыре фунта (В) — на высоту одного фута.

В 1692 году ученый написал "Очерк динамики", в котором собрал и систематизировал все свои идеи о динамике. В нем он говорит о разнице между статической, или мертвой, силой и силой кинетической, то есть живой. В качестве примера первой он приводит центробежную силу и тяготение, утверждая, что при столкновениях возникает живая сила. Работа была опубликована только в 1860 году, но Лейбниц представил несколько отрывков в виде статей в "Актах ученых".

Итак, Лейбниц рассматривал силу в двух значениях. С одной стороны, это пассивная сила, которая скрывается в массе тела, и с другой — живая, или активная, сила, благодаря которой появляется движение. Вторая сила, в свою очередь, делилась на две. Это первообразная сила, существующая в каждом теле сама по себе, и производная — возникающая при столкновении тел: она, согласно Лейбницу, единственная принимает участие в движении.

Последние три года жизни Лейбница были довольно тяжелыми. В марте 1714 года умер его близкий друг — герцог Антон Ульрих, который много лет поддерживал его перед императором и защищал от курфюрста. В июне того же года ученый потерял свою подругу и ценительницу, курфюрстину-вдову Софию Ганноверскую. Осталась только принцесса Каролина, с которой он обычно беседовал так же, как с двумя предыдущими курфюрстинами.

Когда через пару месяцев после Софии умерла Анна, королева Англии, курфюрст Георг Людовик стал королем Великобритании Георгом I. В связи с этим он переехал вместе со всем своим двором, включающим и сына Георга Августа, нового принца Уэльского, в Англию. Лейбниц, который находился в Вене уже несколько месяцев и не мог никуда ездить из-за проблем со здоровьем, сделал усилие и приехал в Ганновер, чтобы попрощаться с курфюрстом, но тот уже отправился в Лондон.

Хотя ученый решил в следующем месяце отправиться в Англию вместе с принцессой Каролиной, ему пришлось отказаться от путешествия из-за плохого самочувствия. Позже Лейбниц получил несколько писем от министра Бернсторфа, который давал ему указание не ехать в Англию и сосредоточиться на своем неоконченном труде по истории. В начале 1715 года сам король послал ему приказ не совершать никаких дальних поездок, пока он не закончит историческую работу.

Итак, ученый провел последние годы жизни без друзей и ограниченный в передвижениях. Время шло, а он все никак не мог закончить свою гигантскую работу.

Также он ввязался в дискуссию с королевским капелланом Сэмюэлем Кларком, другом Ньютона, у которого уже было столкновение с принцессой Каролиной по поводу философии Лейбница. В пяти письмах, которые ученый послал Кларку, он выступал против философии Ньютона, указывая на его главные (как он думал) ошибки. Во-первых, Лейбниц считал, что Богу необходим орган чувств, чтобы воспринимать вещи, иначе воспринимаемые объекты не зависели бы от Него полностью и Он не мог бы их в свое время создать. Во-вторых, он утверждал, что в мире всегда присутствует одно и то же количество силы (vis viva), которая переходит от одних вещей к другим по законам природы, и вмешательства Бога в этот процесс (в противовес утверждениям сторонников Ньютона) не требуется. Последнее письмо, полученное им от Кларка, пришло за несколько дней до смерти Лейбница.

В июле 1716 года король Георг посетил Ганновер и провел несколько дней, отдыхая в Бад-Пирмонте. Ученый сопровождал его все время, и казалось, что прежнее напряжение между ними исчезло. Однако это примирение уже мало что значило, поскольку 14 ноября Лейбниц умер у себя дома, оставив в качестве единственного наследника своего племянника Фридриха Симона Лёффера. Уже в начале этого — последнего — месяца подагра поразила руки ученого, из-за чего он больше не мог писать, и врачи не могли ему ничем помочь.

Как рассказывал Иоганн Георг фон Экхардт, секретарь Лейбница и его первый биограф, на похоронах ученого присутствовали только его друзья и самые близкие родственники. Хотя двор был оповещен и находился довольно близко, от него не пришел ни один представитель. Это были похороны незаметного человека — современники из Ганновера не придали смерти Лейбница большого значения. Только в конце века был установлен памятный бюст из белого мрамора с надписью Genio Leibniti. Академии и сообщества, к которым принадлежал Лейбниц, не совершили никаких актов в его честь, хотя многие научные журналы, с которыми он сотрудничал, опубликовали некрологи.

Только через полвека после смерти Лейбница началась переоценка его личности. Этому способствовали публикации некоторых очерков ученого и его переписки с великими людьми, а также исследование его философии Иммануилом Кантом. В наши дни этот ученый гораздо более известен, чем при жизни. Слава Лейбница подтверждается, например, тем, что в 1970 году его именем назвали кратер на Луне. В 1985 году в Германии была создана премия имени Лейбница, считающаяся одной из главных наград за вклад в науку. А в 2006 году Ганноверский университет сменил название на Университет Вильгельма Лейбница.