Математика и искусство

Архитектура — удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника и искусство. Только соразмерное, гармоническое единство этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры, неподвластным времени, подобно памятникам литературы, ваяния, музыки. Если же какой-то из элементов зодчества — наука, техника или искусство — начинает подавлять остальные, то истинная архитектура скатывается на одно из тупиковых направлений, именуемых функционализмом, техницизмом, эклектизмом или еще каким-нибудь "измом".

Но архитектура не только древнейшая сфера человеческой деятельности, не только "искусство строить", как определял ее еще Альберти, но и результат такой деятельности. Архитектура — это совокупность зданий и сооружений, это пространство, созданное человеком и необходимое для его жизни и деятельности. Эта искусственная среда, воздвигнутая человеческими руками, является непременным условием существования и развития общества. Вот почему архитектура зарождается вместе с человеком и сопровождает человечество на всем его историческом пути. По образному выражению Гоголя, "...архитектура — тоже летопись мира: она говорит, когда уже молчат и песни, и предания и когда уже ничто не говорит о погибшем народе. Пусть же она хоть отрывками является среди наших городов в таком виде, в каком она была при отжившем уже народе, чтобы при взгляде на нее осенила нас мысль о минувшей жизни, и погрузила бы нас в его быт, в его привычки и степень понимания, и вызывала бы у нас благодарность за его существование, бывшее ступенью нашего собственного возвышения". Да, зодчество — это и "каменная летопись истории". Без греческих и римских развалин, без узких средневековых улочек и таинственных замков, без кружева готических соборов и очарования древнерусских храмов наши представления о прошедших эпохах были бы невообразимо бедными.

Архитектура бифункциональна: она призвана отвечать не только эстетическим, но и утилитарным требованиям, она должна создавать не только прекрасное, но и полезное. Интуиция и расчет — непременные спутники зодчего.

Архитектура триедина: она извечно сочетает в себе логику ученого, ремесло мастера и вдохновение художника. "Прочность — польза — красота" — такова знаменитая формула единого архитектурного целого, выведенная два тысячелетия тому назад древнеримским теоретиком зодчества Витрувием (I в. до н. э.). Вот почему архитектура как нельзя более отвечает теме нашего разговора: взаимодействие науки и искусства, математика и искусство.

Роль математики в формировании "прочности" и "пользы" архитектуры очевидна. Она такова же, какова роль математики в естествознании и технике, в которых со времен Галилея "царице всех наук" принадлежат только первые

роли. Вот почему мы почти не будем касаться этой темы, которая могла бы составить содержание увлекательной книги. Нас же будет интересовать "неочевидный" вклад математики в красоту архитектуры, т. е. для нас архитектура будет прежде всего искусством. Но и в этой "надводной" части архитектурного айсберга математике, и прежде всего геометрии, принадлежит выдающаяся роль, о чем и пойдет речь в настоящей части книги.

13. Архитектура = (наука + техника)*искусство

"Возвышенное чудо мира! Дух мой возносится в священном восторге, когда с удивлением взираю на твое неизмеримое великолепие. Своею немой бесконечностью ты пробуждаешь мысль за мыслью и не даешь успокоиться восхищенной душе". Так восторженно писал об архитектурном облике собора Св. Петра в Риме Вильгельм Генрих Ваккенродер. Однако, если бы Ваккенродер был знаком с инженерной (внутренней) красотой собора, которая прячется за красотою его внешних архитектурных форм, ему бы пришлось повторить свой взволнованный монолог дважды.

В самом деле, строительство каменного купола собора диаметром 42 м представляло собой сложнейшую техническую задачу. Достаточно сказать, что за всю историю человечества построено только 4 сооружения, имеющих каменные купола диаметром более 40 м! Это Пантеон в Риме (123), собор Санта-Мария дель Фьоре во Флоренции (1434), собор Св. Петра в Риме (1590) и мавзолей Гол-Гумбаз в Биджапуре (Индия, 1656)[23]. Фундамент собора Св. Петра был заложен в 1506 г., сооружение купола закончено в 1590 г., а грандиозный ансамбль площади собора со знаменитой 4-рядной колоннадой был завершен в 1663 г. На протяжении этих 150 лет строительством собора руководили такие замечательные художники и архитекторы, как Браманте, Рафаэль, Микеланджело, Виньола, Бернини. Хотя Микеланджело было 72 года, когда в 1547 г. он был назначен на должность архитектора собора, великий Буонарроти фактически заново разработал проект купола собора и еще 17 лет вплоть до своей смерти плодотворно руководил строительством этого грандиозного сооружения.

Собор Св. Петра в Риме (Ватикан). 1506-1663. Одно из лучших мировых купольных сооружений, главный храм католической церкви. В 42-метровом каменном куполе собора навеки материализовалась неиссякаемая энергия его создателя — великого Микеланджело

История строительства и дальнейшего существования собора полна драматических событий. Так, в 1740 г., через 150 лет после сооружения купола, некоторые трещины, неизбежно возникающие в кладке, расширились до угрожающих размеров. Это событие стимулировало новые теоретические исследования. В 1748 г. профессор экспериментальной философии (т. е. физики) университета в Падуе Джиованни Полени, опираясь на работы математика Стирлинга и механика Ла Гира, математически доказал, что купол собора находится в состоянии статического равновесия и появившиеся трещины угрозы не представляют. Прошедшие с тех пор 200 лет являются лучшим подтверждением справедливости математических расчетов Полени. К сожалению, теория каменных куполов была полностью завершена только в XX веке, когда такие купола превратились в отжившую конструкцию и их перестали строить.

История собора Св. Петра в Риме (а подобную историю имеет каждое выдающееся архитектурное сооружение) убеждает в том, что зодчество представляет собой сложный узел научных, технических и эстетических проблем. Архитектура парадоксально соединяет в себе результаты строительной деятельности и художественного творчества, инженерный расчет, научное знание и художественное озарение.

"Прочность — польза — красота",- говорит формула архитектуры Витрувия. Прочность не случайно стоит в ней на первом месте. Вся история архитектуры есть история созидания прочности, история борьбы с действием всемогущей силы тяготения. Недаром самый первый строительный кодекс, составленный в царствование вавилонского царя Хаммурапи за 1800 лет до нашей эры, гласит: "Если строитель построил дом для человека, и работа его не крепка, и дом, построенный им, обвалился и убил владельца, то строитель сей должен быть казнен". (Эта запись вытесана на колонне, ныне хранящейся в парижском Лувре.) Мелькали годы, проходили эпохи, менялись строительные материалы, а значит, и конструкции архитектурных сооружений, но всегда соображения прочности были определяющими в выборе новой архитектурной конструкции.

Но если относительно "прочности" у архитекторов никогда сомнений не возникало, то "польза" и "красота" являются предметом постоянных дискуссий. Впрочем, дискуссии о красоте и целесообразности (пользе) не являются привилегией одних только архитекторов. Это общеэстетическая проблема, уходящая корнями в седую древность. "Прекрасно то, что хорошо служит данной цели",- учит Сократ. "Дома строят для того, чтобы в них жить, а не для того, чтобы ими любоваться",- вторил Сократу через 2000 лет Фрэнсис Бэкон. Увлечение формулой Бэкона еще через 300 лет привело к тому, что безликие фасады со скоростью произрастания сорняков расплодились по всему земному шару. Невозможно стало отличить не только два новых дома, но и два новых района и даже два новых города. Архитектурная безликость стала притчей во языцех, сделав возможными смешные коллизии типа той, что произошла в пьесе Э. Брагинского и Э. Рязанова "С легким паром!". Надо сказать, что на сегодняшний день ошибочность увлечения одной только пользой в архитектуре осознана всеми и делаются серьезные шаги по преодолению этого заблуждения.

Есть и другая крайность во взглядах На соотношение пользы и красоты. Известный нам Джон Рескин говорил: "Искусство — это то, что бесполезно. Как только вещь становится полезной, она более не может быть красивой". Англичанина Рескина поддерживал француз Теофил Готье: "По-настоящему прекрасным является только то, что ничему не служит". По-видимому, те же взгляды на соотношение пользы и красоты имели и фараоны Древнего царства, жившие за ,4500 лет до Рескина и Готье. Во всяком случае, построенные ими пирамиды останутся в истории человечества непревзойденным образцом самого грандиозного и самого бесполезного сооружения. Только в условиях рабовладельческого строя возможна была такая бессмысленная трата человеческой энергии, когда сто тысяч рабов в течение двадцати лет возводили гробницу для одного из смертных — фараона Хеопса. Внутренний, полезный объем пирамиды настолько ничтожен, что ее вообще с трудом можно отнести к архитектурному сооружению.

Зато прочность пирамид недосягаема. Желая прославить своего фараона в веках, древнеегипетские зодчие из всех геометрических тел выбрали именно пирамиду. Выбор этот не случаен, ибо в условиях земного тяготения пирамида является наиболее устойчивой конструкцией, способной существовать в веках без риска обвалиться или рассыпаться. Главное правило устойчивости конструкции — уменьшение ее массы по мере увеличения высоты над землей — выражено в пирамиде с предельной ясностью и симметрией. Рациональность, "полезность" геометрической формы пирамиды заставляют забыть о ее утилитарной бесполезности. Именно эта геометрически оправданная форма пирамиды, подчеркнутая ее циклопическими размерами и точной системой пропорций, придает пирамиде ни с чем не сравнимую выразительность, особую красоту и величие, вызывает ощущение вечности, бессмертия, мудрости и покоя.

"Сорок веков смотрят на вас с высоты этих пирамид" — эти красивые слова генерал Бонапарт произнес перед сражением при египетских пирамидах 21 июля 1798 г. Однако отнюдь не философские размышления, а сиюминутные честолюбивые планы вызывал у генерала вид четырехтысячелетних сооружений. Для генерала Бонапарта предстоящее сражение было еще одним шагом на пути к короне императора Наполеона...

А пирамиды продолжают бесстрастно взирать на проходящих у их подножия людей, прославляя в веках мудрость, мастерство и вдохновение древнеегипетских зодчих.

Пирамида фараона Хеопса в Гизе. XXVIII в. до н. э. Первоначальная высота пирамиды — 147 м. Это самая большая из древнеегипетских пирамид и вплоть до XIX в.- самое высокое из рукотворных сооружений

Разговор о египетских пирамидах незаметно привел нас к важнейшей проблеме архитектурной теории: проблеме соотношения конструкции и архитектурной формы. Только единство конструкции и наружной формы придает строению качество, именуемое архитектурной истиной. Диалектическое единство внутренней конструкции и внешней формы является главнейшим правилом образования архитектурных форм. Суть этой проблемы точно схвачена в афоризме французского архитектора Огюста Перре (1874-1954): "Тот, кто прячет колонну, столб или какую-либо несущую часть, допускает ошибку; тот, кто делает ложную колонну, совершает преступление".

Развитие стоечно-балочной конструкции в архитектуре. Храм Амона в Карнаке (Египет). XV в. до н. э

Конструкция древнеегипетской пирамиды является самой простой, прочной и устойчивой. Вес каждого верхнего блока пирамиды по всей поверхности передается нижним блокам. Форма пирамиды представляет полное единство с ее конструкцией. Однако такая конструкция не создает внутреннего объема и, по существу, не является архитектурной конструкцией.

Развитие стоечно-балочной конструкции в архитектуре. Схема действия веса балки на опоры

Развитие стоечно-балочной конструкции в архитектуре. Комплекс Стонхендж (Англия). XX-XVIII вв. до н. э

Простейшей и древнейшей архитектурной конструкцией является стоечно-балочная система. Ее прототипом был дольмен — культовое сооружение, состоящее из двух вертикально поставленных камней, на которые наши предки водрузили третий горизонтальный камень. Назначение дольмена до конца не выяснено. Но ясно одно: дольмен — это гимн челочка о преодолении силы тяжести, это Вступление к грандиозной архитектурной симфонии будущего.

Развитие стоечно-балочной конструкции в архитектуре. Кариатиды храма Эрехтейнов (Греция). V в. до н. э

Со временем дольмен перерос в кромлех — сооружение, служившее, по всей видимости, для жертвоприношений и ритуальных торжеств. Кромлех состоял из огромных отдельно стоящих камней, которые накрывались горизонтальными камнями и образовывали одну или несколько концентрических окружностей. Самый значительный и загадочный кромлех сохранился в местечке Стонхендж (Англия) и относится к XX-XVII векам до н. э. Есть основания считать, что он был и древней астрономической обсерваторией.

В дальнейшем оставалось только придать каменному столбу кромлеха форму лотоса или изящной женской фигуры — кариатиды (по-гречески "девушки"), и стоечно-балочная конструкция превращалась в произведение искусства. Такое чудесное превращение мы видим в колоннах древнеегипетского храма бога Амона в Карнаке (XV в. до н. э.) или в кариатидах древнегреческого храма Эрехтейон на афинском Акрополе (421 — 406 гг. до н. э.).

Разумеется, стоечно-балочная конструкция проигрывала пирамиде в устойчивости и распределении веса, но она позволяла создавать внутренние объемы и, безусловно, явилась выдающимся завоеванием человеческой мысли. Главным же недостатком такой конструкции было то, что камень плохо работает на изгиб. Каменный брус сечением 10 X10 см и длиной 1 м 34 см обламывается под действием собственного веса. Вот почему в храме Амона в Карнаке мы видим такой лес колонн. Зато камень прекрасно работает на сжатие. Это свойство камня и дало жизнь новой архитектурной конструкции — арке, а затем и своду.

Родившись в Месопотамии и Персии, арочно-сводчатая конструкция была доведена римлянами до совершенства и стала основой древнеримской архитектуры. Арочно-сводчатая конструкция позволяла римлянам возводить гигантские сооружения. Это амфитеатр Флавиев (Колизей — от лат. colosseus — колоссальный; 75-80 гг.) — самое высокое (48 м) из сохранившихся сооружений античного Рима, вмещавшее 56 тысяч зрителей. Три яруса арок Колизея являются необходимым элементом его конструкции и неотъемлемой частью его архитектурной формы. Построенный за 10 лет, впоследствии Колизей в течение многих веков использовался как каменоломня. Это гигантские термы (бани) Каракаллы (нач. III в.) и Диоклетиана (нач. IV в.) в Риме, вмещавшие одновременно до 3 тысяч посетителей. Римские термы имели мощные цилиндрические и крестовые своды огромной высоты, были пышно украшены мозаикой, скульптурой, росписями, имели залы для омовения, массажа, сухого потения, гимнастических упражнений и даже библиотеки и походили скорее на дворцы. Это система арочных водоводов-акведуков (пролет арок — от 5 до 25 м, высота — более 40 м, общая протяженность — до 60 км), которые стали неотъемлемой частью римского пейзажа. И наконец, вершина древнеримского строительного искусства — Пантеон — храм всех богов. Мы уже отмечали, что в "классе каменных куполов" 43-метровый купол Пантеона в истории зодчества остался недосягаемым. Но Пантеон не только вершина научных и технических достижений древнеримских строителей, а и шедевр архитектурного искусства. В интерьере Пантеона достигнута завораживающая гармония между высотой и диаметром сооружения, которая имеет простое математическое выражение: высота стен Пантеона равна радиусу полусферы его купола, т. е. весь Пантеон как бы наброшен на 43-метровый шар. Цельность и величественность Пантеона оказали огромное влияние на многие поколения архитекторов.

Схема усилий в полуциркульной арке

Арочно-сводчатая конструкция в древнеримской архитектуре. Амфитеатр Флавиев (Колизей). Рим. 70-80

Акведук 'Гардский мост' близ Нима. Франция. I-II вв.

Пантеон (интерьер). Рим. 123 н. э. Здание освещается через 9-метровое отверстие в центре полусферического купола

Пантеон (внешний вид). Рим. 123 н. э. Здание освещается через 9-метровое отверстие в центре полусферического купола

Итак, арки и своды произвели целую революцию в архитектуре. С того момента, как в арке устанавливался так называемый замковый камень, арка становилась самонесущей конструкцией. (Поэтому процесс установления замкового камня часто сопровождался религиозной церемонией, а сам камень старались как-то украсить.)

Математика и архитектура

Математика и архитектура

Римские арки, своды и купола были неизменно полуциркульными. Здесь, видимо, сказывалось влияние пифагорейской философии, считавшей круг и сферу идеальными фигурами, а также, безусловно, простота построения. Как бы то ни было, с появлением арочно-сводчатой конструкции в архитектуру прямых линий и плоскостей пришли окружности, сферы и круговые цилиндры, что сделало геометрический язык архитектуры значительно богаче. Однако полуциркульная арка или полусферический купол давали сильный боковой распор, что ясно видно из схемы сил, действующих в арке. Боковые усилия приходилось гасить толщиной стен и устройством дополнительных контрфорсов (толщина стен Пантеона достигала 7 метров!), а это влекло огромный расход строительных материалов.

Рим пал, растоптанный варварами, а вместе с Римом пало и рабовладение. Средневековые мастера уже не могли себе позволить гасить огромные распоры от полуциркульных сводов семиметровыми стенами. Камень был дорог, да и каменотесам нужно было платить. Благо, вместе с пленниками-сарацинами крестоносцы привезли в Европу секреты возведения стрельчатых арок. Так новая конструкция породила новую архитектуру — готику.

Стрельчатая арка по сравнению с полуциркульной является более совершенной конструкцией: она вызывает меньший боковой распор, а следовательно, и меньший расход камня. Очевидно также, что стрельчатая арка имеет более сложную геометрическую форму по сравнению с полуциркульной, которая строится одним движением циркуля. Таким образом, на примере трех конструкций — стоечно-балочной, арочной и стрельчатой — мы видим, что по мере совершенствования конструкции усложняется и ее геометрия. Современная архитектура подтверждает эту закономерность.

Собор в Реймсе. Витражи центрального нефа и апсида. 1211 — 1427

Готическая архитектура. Новая конструкция, породившая и новую, устремленную ввысь, архитектурную форму. Собор в Амьене. Западный фасад. 1220-1288

Аркбутаны собора в Ле Мане с высоты птичьего полета. 1217-1254

Схема усилий в аркбутане и контрфорсе

Стрельчатая арка привнесла в готическую архитектуру два конструктивных новшества. Во-первых, стрельчатые своды

Собор в Шартре. Аркбутаны. 1134-1260.

стали выполнять на нервюрах — каменных ребрах, несущих независимые друг от друга части свода — распалубки. Нервюры служат как бы скелетом свода, они воспринимают на себя основную нагрузку. В результате конструкция свода становится более гибкой: она может выдерживать те деформации, которые для монолитного свода окажутся губительными. Таким образом, нервюры явились прототипом современной каркасной конструкции.

Во-вторых, боковой распор от стрельчатого свода средневековые зодчие решили гасить не в самих стенах, несущих этот свод, а вне их. Для этого за пределами внутреннего пространства готического собора ставились специальные опоры — контрфорсы, нагрузка на которые передавалась с помощью арочных конструкций — аркбутанов. Аркбутаны, словно растопырившиеся ребра рыбьего скелета, окружали снаружи готический собор.

Зато внутренним опорам и стенам готического собора оставалась лишь одна вертикальная нагрузка — вот почему их можно было делать более тонкими и изящными. Со временем центральные устои готического храма превратились в пучок нервюр, которые, словно преодолев земное притяжение, стремительно возносились к небу. Стрельчатая форма арок подчеркивала это безудержное стремление ввысь. Самые высокие своды имели соборы Северной Франции: собор в Амьене (1288 г., 43 м) и собор в Бове (1347 г., 48 м). Своды готического собора будто парили далеко в вышине, освещенные вибрирующими потоками света от цветных витражей. Поскольку вертикальную нагрузку готического храма нес пучок нервюр, центральные стены как несущие конструкции оказались ненужными, и их заменили цветными витражами. Вы слышите, как перекликаются готические конструкции XII-XV веков с современными архитектурными конструкциями, у которых на грузку взял на себя тонкий железобетонный каркас, а стены стали стеклянными?

Однако потребовалось еще не одно столетие, чтобы каркас преодолел силу, куда более значительную, чем земное тяготение,- силу инерции человеческого мышления. Слишком привычным и естественным было видеть основу архитектурной конструкции в толстых стенах, несущих основную нагрузку. Правда, было и еще одно сдерживающее обстоятельство: нужен был новый материал для каркаса, более технологичный и дешевый, чем камень. Такой материал появился лишь в XIX веке. Это был металл.

XIX век можно назвать "железным веком" в истории человечества: железные дороги и паровые машины, первый железный мост через Темзу (1816), первые застекленные металлические крыши (типа крыши московского ГУМа), металлические купола, быстро побившие недосягаемые древнеримские рекорды, и металлические пролеты, превысившие к концу века 100-метровый рубеж. В 1889 г. к открытию Всемирной выставки в Париже как символ победоносного шествия металла в технике и архитектуре была построена знаменитая Эйфелева башня по проекту французского инженера Гюстава Эйфеля (1832-1923). Она сразу вдвое перекрыла все рекорды по преодолению высоты, взметнувшись вверх на 312,6 метра! Так был побит самый долговечный рекорд в истории человечества: ведь пирамида Хеопса в течение 45 веков оставалась самым высоким творением рук человека. Первоначальная высота пирамиды Хеопса была 147 м, хотя к настоящему времени ее верхушка обвалилась и пирамида стала на 10 м ниже. Шпили готических соборов лишь приближались к этой отметке. Самым высоким в Англии был собор в Солисбери (1258 г., 123 м), а во Франции — Страсбургский собор (1439 г., 142 м). Башня собора в Бове, построенная в 1569 г., лишь на 8 метров и только на 4 года побила рекорд высоты пирамиды Хеопса, а затем рухнула. Крест собора Св. Петра в Риме был поднят на высоту 138 м. Только в XIX веке шпиль Ульмского собора поднялся на 12 метров выше пирамиды Хеопса. И вот в конце XIX века принципиально новая конструкция из принципиально нового материала дает принципиально новый результат!

Однако объявлять Эйфелеву башню произведением искусства парижане не спешили. "Здесь нет искусства, один металл!" — возмущались они. "Я бежал из Парижа, а затем покинул Францию, потому что меня навязчиво преследовал вид Эйфелевой башни,- писал Ги де Мопассан.- Вообразите же, что скажут отдаленные потомки о нашем поколении, если только вспышка народного гнева не повалит эту высоченную и тощую пирамиду железных лестниц".

Но не отдаленные потомки, а уже следующее поколение Парижан не мыслило себе родного города без Эйфелевой башни. И конечно же, бессмертие принесла Эйфелевой башне не ее конструкция, которая сегодня кажется архаичной, а пропорциональность и гармоническое единство ее форм, т. е. как раз то, что и делает строительную конструкцию произведением архитектурного искусства.

"Век железа" в архитектуре оказался недолгим. С новым XX веком пришел и новый необычный материал — железобетон, совершивший подлинную революцию в зодчестве. "Первая ласточка" новой архитектуры появилась в 1903 г. Это был жилой дом архитектора О. Перре в Париже — железобетонный каркас с большими остекленными проемами. Перре доказал, что возведение домов из кирпича и камня с массивными стенами необязательно. Так начался "век железобетона". Железобетон открывал невиданные возможности перед архитекторами: он был дешев, обладал необходимой прочностью, мог непрерывно переходить из одной формы в другую. Неудивительно, что зодчие спешили проверить новый материал на перекрытиях, сооружение которых всегда представляло одну из важнейших технических проблем. Скорлупа обычного куриного яйца была для архитекторов эталоном прочной и легкой конструкции. Отношение диаметра большого куриного яйца к толщине скорлупы равно в среднем 130. Такое соотношение между диаметром пролета и его толщиной казалось недостижимым. Например, для Пантеона в Риме оно равнялось 11, т. е. было на порядок меньше. И вот железобетонные "скорлупки" опрокидывают все традиционные представления и оставляют далеко позади рекорды куриного яйца. Наглядное представление о динамике этого важного в архитектуре параметра дает таблица 5.

Таблица 5. Динамика отношения диаметра оболочки к ее толщине в истории архитектуры

Радиобашня (впоследствии телебашня) Шухова на Шаболовке (Москва. 1922) и линейчатое свойство однополостного гиперболоида

Строительство железобетонных покрытий требовало опалубки, удерживающей жидкий бетон и придающей ему лучшую форму. Опалубку же удобнее всего делать из прямых досок. Простейшие поверхности, образованные движением прямой в пространстве и называемые линейчатыми поверхностями — цилиндры и конусы,- были известны давно. Еще древние римляне сооружали цилиндрические своды. А существуют ли другие линейчатые поверхности? Ответ на этот вопрос архитекторам подсказали математики, которые обнаружили еще два типа линейчатых поверхностей:

однополостный гиперболоид:

(13.1)

гиперболический параболоид:

(13.2)

Канонические уравнения этих поверхностей (13.1) и (13.2) легко представить в виде

откуда и видно, что они образованы двумя семействами прямых в пространстве (в уравнение прямой переменные х, у, z входят только в первых степенях).

Архитекторы воспользовались открытием математиков. Форму однополостного гиперболоида имеют градирни — устройства для охлаждения воды атмосферным воздухом. Линейчатое свойство однополостного гиперболоида положено в основу конструкции Шаболовской радиобашни в Москве, построенной по проекту замечательного русского советского инженера, почетного академика В. Г. Шухова (1853- 1939). Башня Шухова состоит из нескольких поставленных друг на друга частей однополостных гиперболоидов, причем каждая часть сделана из двух семейств прямолинейных балок, соединенных в точках пересечения.

Если однополостный гиперболоид отдает должное "пользе" в архитектуре, то гиперболический параболоид (архитекторы называют его красивым сокращенным именем гипар) благодаря своей выразительной и элегантной форме служит "красоте". Архитектурные возможности гипаров открыл инженер Феликс Кандела — испанский патриот, сражавшийся против фашистской диктатуры Франко, в 1939 г. вынужденный эмигрировать в Мексику. Кандела с блеском продемонстрировал выразительные свойства гипаров на различных сооружениях — от промышленных зданий до ресторанов, ночных клубов и церквей. Объединяло столь функционально несхожие сооружения одно: в них математическая поверхность становилась произведением архитектурного искусства. Линейчатое свойство гипаров позволяет разрезать их по прямолинейным образующим и составлять из нескольких гипаров экзотические конструкции. Именно так поступил в 1958 г. Ле Корбюзье, построив причудливый павильон фирмы "Филипс" на Международной выставке в Брюсселе.

Точно сказал о внутренней красоте гипаров один из ее приверженцев — американский инженер Вейдлингер: "Красота форм достигается не средствами "косметики", а вытекает из сущности конструкции. Сама по себе форма является почти эпюрой[24] усилий, которые она должна воспринять". А для людей, которые видят только внешнюю красоту гипаров, они напоминают крылья огромных фантастических птиц, опустившихся на нашу Землю лишь отдохнуть и в каждое мгновение готовых взмахнуть крыльями-гипарами и улететь в свои неведомые миры. Именно эта "вторая реальность", "поэтическое дыхание" и преобразуют математическую поверхность, строительную конструкцию в искусство, именуемое архитектурой.

Ни один из видов искусств так тесно не связан с геометрией, как архитектура. "Окружающий нас мир — это мир геометрии чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Все вокруг — геометрия. Никогда мы не видим так ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, гипар, выполненных с такой тщательностью и так уверенно". Эти восторженные слова о геометрии принадлежат Ле Корбюзье.

Вечерний зал в Акапулько (Мексика) архитектора Канде-ла и линейчатое свойство гиперболического параболоида

Но в отличие от "абстрактной", "математической" геометрии "архитектурная" геометрия наполнена собственным эстетическим содержанием. Дело в том, что образы "математической" геометрии бестелесны: они не имеют толщины, не имеют веса и потому свободно парят в нашем воображении. Иное дело — образы "архитектурной" геометрии. Они созданы из конкретного материала: они весомы, они живут в поле земного тяготения. Геометрическую фигуру, например пирамиду, мы можем поворачивать в нашем воображении в любую сторону — от этого ее свойства не изменяются. Но попробуйте мысленно повернуть вершиной вниз пирамиду Хеопса, и вам сразу станет не по себе: пирамида начнет качаться из стороны в сторону и разваливаться на куски. Причина здесь очевидна: на пирамиду Хеопса даже в нашем воображении действует земное притяжение. И для того чтобы обеспечить своему сооружению бессмертие, древнеегипетский зодчий гениально воплотил в каменной пирамиде важнейшее правило устойчивости и прочности конструкции — расширение книзу. Так пирамида в архитектуре закономерно стала олицетворением устойчивости и прочности, вечности и покоя. В этом ее эстетическое содержание. Художественное выражение закономерностей архитектурного сооружения или конструкции называется архитектоникой или просто тектоникой. Можно сказать, что пирамида является символом тектоники всей классической архитектуры, ее эстетическим флагом.

Современное зодчество бросило вызов классической тектонике. Получив в свое распоряжение особо прочные материалы и конструкции, оно стремится перевернуть вверх ногами "пирамиду архитектоники". Современная архитектура, будто преодолев силы тяготения, парит в воздухе. Человечество всегда мечтало о легкой и воздушной архитектуре, и вот в XX веке эти мечты обретают плоть. Горизонтальные плоскости, будто летящие в пространстве ("Дом над водопадом" в Бер-Ране, США, арх. Ф. Райт, 1936 г.); гигантские нависающие объемы (Клуб им. И. В. Русакова в Москве, арх. К. Мельников, 1929 г.); V-образные опоры, оторвавшие здание от земли ("Лучезарный дом" в Марселе, арх. Ле Корбюзье, 1952 г.); стены, превращенные в витражи, в которые любуются золотые купола Кремлевских соборов (Кремлевский Дворец съездов, арх. М. Посохин и др., 1961 г.); причудливые линии козырьков и сводов-оболочек в форме гипаров (церковь де ла Виргин Милагроза в Мехико, инж. Ф. Кандела, 1955 г.)- все это приметы современной архитектоники и ставшие классикой примеры современной архитектуры. Все эти приметы, собранные вместе, легко обнаружить в здании Штаб-квартиры ЮНЕСКО в Париже (арх. П. Нерви и др., 1957 г.), которое и было задумано как символ современной архитектуры.

А вот и символ современной архитектоники — проект музея современного искусства в столице Венесуэлы Каракасе. Проект создан лауреатом Ленинской премии мира, бразильским архитектором Оскаром Нимейром и представляет собой огромную пирамиду из стекла и бетона, стоящую "вверх ногами". Конечно, главное в проекте Нимейера — это вызов классической каменной тектонике, стремление выразить новые возможности новой архитектуры в новой, пусть даже парадоксальной форме. Право на жизнь новых идей доказывается в проекте Нимейера "методом от противного".

Проект Нимейера остался неосуществленным, но его смелые тектонические идеи дали свои всходы. Вот здание фирмы "Эссо" в Риме, построенное в 1980 г. архитекторами Дж. Лафуэнте и Г. Ребеккини. Здание напоминает три пирамиды в Гизе (см. с. 180), перевернутые "вверх ногами"; оно явно перекликается со знаменитым проектом Нимейера, хотя конструктивно решено по-своему. Веер стальных опор является конструктивным и эмоциональным стержнем здания, которое напоминает, скорее, не дом, а какой-то сложный механизм. Благодаря новым тектоническим идеям, цельности и геометричности всей композиции здание "Эссо" производит сильное впечатление, хотя, разумеется, и стоит особняком в архитектуре второй половины XX века.

Современная архитектура — это геометрия, парящая в воздухе. Дом над водопадом в Бер-Ране. США. Арх. Ф. Райт. 1936

Клуб им. И. В. Русакова в Москве. Арх. К. Мельников. 1929

Здание ЮНЕСКО в Париже — классика современной архитектуры. Арх. М. Брейер, Б. Зерфюсс, П. Нерви. 1957

Возможно, "перевернутая пирамида" Оскара Нимейера или "падающие дома", проект которых разработан советским архитектором Г. Б. Борисовским, в будущем станут привычными элементами архитектурного пейзажа. Ведь стала же таким элементом V-образная опора, которая в соперничестве с античной колонной сужается, а не расширяется книзу! Несмотря на свое противоречие с законами старой, доброй классической тектоники, V-образная опора, форма которой непосредственно следует из эпюры распределения нагрузок в конструкции, сумела отстоять свое место под солнцем. Так формы "чистой" геометрии обретают в геометрии архитектурной новое эстетическое звучание.

Наш краткий обзор некоторых страниц истории архитектуры дает достаточно ясное представление о том, насколько тесно взаимосвязаны в ней наука, техника и искусство, как важна для архитектуры гармония определяющих ее начал: "прочности — пользы — красоты", как сказал Витрувий, или "конструкции — функции — формы", как любят говорить современные архитекторы. Вся история архитектуры — это история поисков гармонического единства "функции — конструкции — формы", это история непрерывного восхождения на пути к вершине, имя которой "прочность — польза — красота ".

Здание фирмы 'Эссо' в Риме — предвестник новой архитектоники. Арх. Дж. Лафунте, Г. Ре-беккини. 1980

И все-таки одному из начал — красоте — зодчие придают особое значение, ибо без красоты, без искусства архитектуры вообще нет, остаются только серые безликие строения. Памятник архитектуры может стать непрочным и бесполезным (таковым сейчас стал двадцатидвухглавый красавец Преображенский собор на острове Кижи — жемчужина древнерусского деревянного зодчества), но памятник архитектуры не может быть некрасивым, ибо в таком случае он из памятника превращается в строение. Вот почему в формуле архитектуры, данной известным советским архитектором, лауреатом Государственных премий Ф. А. Новиковым, искусство стоит не слагаемым, а сомножителем: архитектура = (наука + техника) — искусство. Вот почему с этой формулы начинается настоящий параграф: она с математической откровенностью говорит, что если множитель "искусство" окажется равным нулю, то и весь результат — "архитектура" — будет равен нулю. И сколько бы мы ни увеличивали стоящие в скобках слагаемые, как бы ни были глубоки научные изыскания и сколь современна ни была бы строительная техника, их детище окажется мертвым, равным нулю, пока его не оживит волшебный сомножитель искусства. Вот об этом сомножителе в формуле архитектуры и пойдет речь далее.

14. Пропорция — математика архитектурной гармонии

Церковь Покрова Богородицы на Hep ли. 1165. Весенним половодьем церковь плывет над водой, будто сказочное видение

Весенним половодьем белым видением из сказочного града Китежа встает над водой, залившей луга, церковь Покрова Богородицы... "Сей же великий князь Андрей, аще печалию о скончавшемся сыне объят быв, и скорбяше, обаче более в богоугодныя дела поощряшеся... на реке Клязьме, в лугу, нача здати церковь во имя Пресвятыя Богородицы Честнаго ея Покрова, на устьи реки Нерли... и помо-щию Пресвятыя Богоматере оную церковь единым летом соверши",- сказано в житии великого князя Андрея Боголюбского о постройке храма в лето 1165. Более восьмисот раз разливалась с тех пор тихая Нерль, и кажется, будто церковь Покрова родилась вместе с речкой, ее лугами и перелесками, а не стоит на искусственном холме, на мощном десятиметровом фундаменте, созданном руками человека... В чем красота и очарование церкви Покрова на Нерли? Ведь она имеет скромные размеры (высота от основания до маковки — 24 м), ее архитектурные формы крайне просты, а белокаменные украшения сдержаны и лаконичны. И тем не менее церковь по праву считается жемчужиной русской архитектуры. Почему?

Ответить на этот вопрос лучше всего словами выдающегося советского зодчего, автора гостиницы "Москва", Казанского вокзала, академика А. В. Щусева (1873- 1949): "Пожалуй, самым трудным и вместе с тем обязательным в архитектурном творчестве является простота. Простота форм обязывает придавать прекрасные пропорции и соотношения, которые сообщили бы им необходимую гармонию".

Но и за 300 лет до Щусева представитель другой эпохи и другого архитектурного направления, французский зодчий Франсуа Блондель (1618-1686) в своем "Курсе архитектуры" восторженно писал о пропорциях: "Удовлетворение, которое мы испытываем, глядя на прекрасное произведение искусства, проистекает оттого, что в нем соблюдены правила и мера, ибо удовольствие в нас вызывают единственно лишь пропорции. Если же они отсутствуют, то, сколько бы мы ни украшали здание, эти наружные украшения не заменят нам внутреннюю красоту и привлекательность, коль скоро их нет, и, пожалуй, можно сказать, что уродство становится еще ненавистнее и невыносимее, чем пышнее наружные украшения, чем дороже или роскошнее материал... Дабы подкрепить наше утверждение, я заявляю, что красота, возникающая из меры и пропорции, вовсе не требует дорогих материалов и изящной работы, дабы вызвать восхищение, напротив, она сверкает и делается все ощутимее, проступая сквозь грязь и хаос материала и его обработки. Нам приятно смотреть на некоторые соотношения тех готических зданий, красота которых, очевидно, возникла из симметрии и пропорций между целым и частями и внутри отдельных частей, и видна, невзирая на уродливые трещины и скрывающие их украшения".

Огромную роль пропорций прекрасно осознавали древнегреческие и древнеегипетские зодчие. Более того, по мнению другого французского архитектора и теоретика Виолле-ле-Дюка (1814 — 1879), "большое достоинство греческих зодчих состояло в том, что у них были выработаны законы пропорциональности в архитектуре и что греки им подчинялись, несчастье нашего времени составляет убеждение, что архитектурное произведение может быть создано, руководствуясь одним лишь воображением, одной лишь фантазией, подчиняясь единственно так называемому вкусу, одним словом так, как создается туалет красивой женщины".

В чем же заключается сила архитектурных пропорций? В том, что архитектурные пропорции — это математика зодчего. А математика — это универсальный язык науки (см. с. 40), поэтому мы можем сказать, что пропорции — это универсальный язык архитектуры, язык всеобъемлющий и всесильный, как всеобъемлюща и всесильна математика. Обратим внимание на то, что не случайно в высказываниях архитекторов о пропорциях так часто встречаются слова "внутренняя красота", "простота", "всеобщность", т. е. те же слова, которыми в главе 2 мы описывали качества математики.

Уже Платон глубоко понимал не только математическую, но и эстетическую сущность пропорции, позволяющей связывать целое и его части. Об этом свидетельствует следующий отрывок из цитированного нами "Тимея": "Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей, так как между ними должна появиться связь, которая скрепила бы их. Это наилучшим образом может выполнить пропорция, ибо если три числа обладают тем свойством, что среднее так относится к меньшему, как большее к среднему, и, наоборот, меньшее так относится к среднему, как среднее к большему, то последнее и первое и будет средним, а среднее первым и последним".

Этот отрывок, как и все у Платона, не сразу поддается пониманию. Однако он станет совершенно прозрачным, если его перевести на язык математики. Вводя обозначения: а — большее ("последнее") число, х — среднее число ("связь"), у — меньшее ("первое") число,- имеем х:у = =а:x, или у:х = х: а, или ау = х². С легкой руки Луки Пачоли (см. с. 209) считалось, что под х и у Платон понимал части целого а, т. е. что х + у = а, и поэтому Платон говорил о золотой пропорции (12.1) а:х = х:(а — х). Отсюда пошло мнение, что античные пропорции основаны на золотом сечении. Однако, как считает сегодня архитектор И. Ш. Шевелев, такое мнение не обосновано и речь у Платона идет о геометрической пропорции общего вида а:х = х:у, откуда следует совершенно иная теория античных пропорций (см. гл. 16).

Пропорции являются важным и надежным средством зодчего для достижения хрупкого и тонко сбалансированного равновесия между целым и его частями, имя которому — гармония. Напомним, что по сравнению с композитором или скульптором архитектор находится в более сложном положении, ибо на пути к гармонии он должен заботиться не только о "красоте", но также и о "пользе", и "прочности". Еще Гораций в послании к братьям Пизонам "Наука поэзии" в образной форме говорил о том, как непросто красиво и целесообразно соединять части в единое целое, что взятые вместе "части": лицо женщины, грива льва, тигровая шкура или павлиний хвост, которые сами по себе являются своеобразными эталонами красоты,- не только не дают нам прекрасного "целого"- гармонии, но представляют, по крайней мере, странное зрелище.

Гармония в природе и гармония в архитектуре — две стороны единого великого процесса созидания. Замечательный советский зодчий и теоретик И. В. Жолтовский (1867-1959) считал творчество архитектора частью творчества природы. Широко известно высказывание Жолтовского о том, что архитектор — "дитя природы", что архитектурные формы должны члениться, следовать одна за другой, вырастать друг из друга, как ветви древесного ствола. Впрочем, ту же мысль на 500 лет ранее высказывал и Альберти: "Здание есть как бы живое существо, создавая которое следует подражать природе ".

Гармонию в природе естествоиспытатели видят в целесообразном и совершенном устройстве мироздания, которое находит выражение в "красивых" математических уравнениях и принципах симметрии (см. гл. 4). Гармонию в архитектуре зодчие рассматривают как сложную иерархическую систему, которая связывает все элементы архитектурной композиции в единое художественное целое и которая проявляется опять-таки в математических законах, законах пропорциональности. Так, Жолтовский считал, что гармония в природе и гармония в архитектуре обретают одинаковое математическое выражение в законе золотого сечения.

Пропорциональность является наиболее ярким, зримым, объективным и математически закономерным выражением архитектурной гармонии. Пропорция — это математическая закономерность, прошедшая через душу зодчего, это поэзия числа и геометрии в его архитектурном языке. Вот почему на языке пропорций говорили зодчие всех времен и всех архитектурных направлений: древние египтяне и древние греки, средневековые каменотесы и древнерусские плотники, представители барокко и классицизма, коструктивисты и рационалисты, апологеты эклектизма и функционализма, поклонники "модерна" и "хайтека". Правда, некоторые современные зодчие пытаются напрочь исключить пропорции из своего архитектурного арсенала, сделав своим кумиром "геометрию беспорядка". Вот как им отвечает французский теоретик искусства М. Гика: "И гордый геометр, создавший план Великой Пирамиды, и зодчие, и философы века Перикла, ... и Альберти, и Леонардо да Винчи, и Джакопо да Барбари (его ученик) думали, что как в живой природе, так и в искусстве, являющемся ее эманацией, беспрестанно проявляется закон Числа. Браманте, Рафаэль, Микеланджело и Виньола думали так же и считали, что совершенное знание геометрии и непрестанное размышление о законах "науки пространства" необходимы каждому, кто призван создавать или закреплять формы при помощи кисти, резца или шнура. Может быть, они преувеличивали? Но может быть, преувеличиваем мы, недооценивая геометрию?"

К сожалению, ни древние египтяне, ни древние греки, ни средневековые каменщики, ни плотники Древней Руси не сохранили для потомков секреты своих пропорций. Ни в уцелевших фрагментах пифагорейцев, ни в трудах Платона, Аристотеля, Архита, Евклида, Архимеда, Аполлония нет ни намека на теорию архитектурных пропорций. И это в то время, когда Пифагор знал, по крайней мере, три вида "древних" пропорций (5.1), когда Платон в "Тимее" доказывал, что красота полностью зависит от совершенства пропорций, а Евклид в "Началах" дал развитое математическое учение о пропорциональности и применял правило золотого сечения для построения правильного пятиугольника! Единственное дошедшее до нас античное сочинение о зодчестве — это знаменитые "Десять книг об архитектуре" Витрувия, время написания которых относят к 27 — 14 гг. до н. э.

"Десять книг" Витрувия в архитектуре, как и "Начала" Евклида в математике, — это энциклопедия античных знаний, это не только собственное сочинение автора, но и собрание известных к тому времени трудов в данной области. Сам автор ни в коем случае не скрывал этого, более того: "Что до меня, о Цезарь, то я не выпускаю этого сочинения под своим именем, заметая следы чужой работы, и не намерен доказывать свою правоту, опорочивая чьи-либо мысли, но, напротив, я приношу бесконечную благодарность всем писателям за то, что, собрав из прошлого превосходные творения человеческого гения, они, каждый в своем роде, накопили изобильные запасы знаний, благодаря которым мы, как бы черпая воду из источника и проводя ее для собственных нужд, имеем возможность писать красноречивее и свободнее и, опираясь на таких авторов, осмеливаемся давать новые наставления".

Не правда ли, превосходный урок научной этики преподал Витрувий 2000 лет тому назад!

Вот почему после "Начал" Евклида (ок. 300 гг. до н. э.), "Альмагеста" Птолемея (ок. 150 гг. до н. э.) и "Десяти книг об архитектуре" Витрувия (ок. 20 гг. дон. э.) труды многих предшественников этих ученых в математике, астрономии и зодчестве стали представлять интерес лишь для историков науки. Однако такая "собирательность" (по-латыни — "компилятивность") не умаляет достоинств названных авторов, ибо, как сказал однажды выдающийся немецкий математик Давид Гильберт (1862 -1943), значение научной работы можно измерить числом предыдущих публикаций, которые стали ненужными после появления этой работы.

Но в теории архитектурных пропорций энциклопедии античного зодчества Витрувия суждено было стать источником глубоких заблуждений. Дело в том, что в своем сочинении Витрувий справедливо называет совершенными те сооружения, в которых достигнута "точная соразмерность" всех частей с основной мерой. Однако какой математический смысл вкладывал автор в эту фразу, оставалось неясным. После падения Рима о Витрувий, как и о всей античной "премудрости", надолго забыли, и только через тысячу лет, в 1414 г., в монастыре Сен-Галлен в Италии был случайно обнаружен единственный экземпляр трактата. "Десять книг" мгновенно стали настольной книгой зодчих итальянского Возрождения, страстных поклонников античной классики. Авторитет Витрувия был огромен. Еще бы: ведь ему посчастливилось читать пропавший трактат самого создателя Парфенона, зодчего Иктина "О соразмерности дорийского храма на Акрополе"! И вот с тех пор "точную соразмерность", о которой говорит Витрувий, стали понимать в простейшем арифметическом смысле — как кратность всех частей сооружения основному модулю. Поясним, что это значит.

Модуль в архитектуре (от лат. modulus — мера) — это единица измерения, принимаемая для согласования размеров частей сооружения между собой и со всем сооружением. В качестве модуля в зависимости от особенностей конструкции и композиции здания принимались различные величины, например диаметр колонны в античной архитектуре или диаметр купола в византийском зодчестве. Еще чаще использовали так называемый линейный модуль, когда архитектурной мерой являлась непосредственно мера длины. В истории всех народов меры длины (вплоть до 10 декабря 1799 г., когда впервые была введена искусственная мера длины — метр) всегда естественным образом связывались с человеком: шаг, сажень, стопа, пядь, фут, дюйм, ярд... (Последний, например, был введен в 1101 г. указом английского короля Генриха I и равнялся расстоянию от кончика носа его величества до конца среднего пальца его вытянутой руки.) Так вот, "точную соразмерность" теоретики Возрождения поняли арифметически: модуль должен целое число раз ("точно"!) откладываться в каждой из частей архитектурного сооружения. Таким образом, в теории архитектуры допускались только рациональные пропорции, отношения целых чисел, а об иррациональных пропорциях не могло быть и речи. Это убеждение подкреплялось и тем, что в музыке, как мы знаем, со времен Пифагора также господствовали целочисленные отношения интервалов.

Но сами шедевры древней архитектуры безмолвно взывали к обратному: античные пропорции основаны на иррациональных отношениях! В самом деле, ведь "точную соразмерность" частей и целого можно достигнуть и другим путем — геометрическим. Например, построив квадрат со стороной АВ и измерив шнуром его диагональ АС, нетрудно было получить иррациональную пропорцию АВ/АС = 1/, даже не зная иррациональных чисел. Далее, отложив с помощью шнура на продолжении стороны АВ диагональ AC = AD, легко было построить прямоугольник с иррациональным отношением сторон DE/AD = 1/. Повторив эту операцию несколько раз, можно получить систему прямоугольников с иррациональными отношениями сторон. Ясно, что прямоугольник AHKN на рисунке (б) состоит из двух квадратов. Таким образом, мы получаем еще один практически удобный способ получения иррациональных отношений — систему двух квадратов. Два квадрата, приставленных один к другому, дают иррациональные отношения ВС/АС = 1/√5, АВ/АС = 2/√5, а с помощью двух операций циркулем или шнурком, как показано на рисунке (в), в них можно получить и золотое сечение ЕВ/АЕ = АЕ/АВ = (√5 — 1)/2 = φ, АВ/АЕ = АЕ/ЕВ=1/φ = (√5 + 1)/2 = Φ (см. (12.1)-(12.3)).

Помимо гипотез, построенных на изучении геометрических свойств античных памятников, были и "материальные" свидетельства того, что древние пользовались иррациональными пропорциями. История сохранила имена древнейших математиков и зодчих — Имхотепа и Хесиры, живших в XXVIII веке до н. э., — строителей первой в истории Древнего Египта пирамиды фараона Джосера в Саккаре. Это были высокочтимые люди, о чем свидетельствуют древнеегипетские иероглифы: "Визирь фараона Нижнего Египта, первый после фараона Верхнего Египта, управитель великой палаты, почетный гражданин, великий жрец Гелиополиса, Имхотеп, строитель и скульптор"; "Хесира, начальник Дестиутса и начальник Бута, начальник врачей, писец фараона, приближенный фараона, жрец Гора, главный архитектор фараона, Верховный начальник десятки Юга и резчик". Хесира был похоронен вблизи пирамиды Джосера. Стены его гробницы украшали рельефы на досках. Поистине потрясающе, что древние доски, которым почти 5000 лет, прекрасно сохранились и выставлены сегодня в Египетском музее в Каире. На двух панелях изображены фигуры владельца гробницы, которые считаются лучшими образцами рельефного портрета в древнеегипетском искусстве. Но для нас эти рельефы интересны прежде всего потому, что в руках у Хесиры, помимо прибора для письма, изображены две палки — два эталона меры. Если теперь взять линейку, измерить Длины этих палок и найти их отношение, то мы обнаружим, что они относятся как 1/√5 = 0,447!

Примеры геометрического построения иррациональных отношений. Диагональ квадрата (а). Система прямоугольников с иррациональными отношениями сторон (б). Золотое сечение в системе 'двойной квадрат' (в). Помпейскйй пропорциональный циркуль, установленный на золотое сечение (г)

Зодчий Хесира. Фрагмент деревянной панели из гробницы Хесиры в Саккаре. XXVIII в. до н. э. Рельеф Хесиры — не только лучший образец древнеегипетского рельефного портрета, не только древнейшее в мире художественное произведение на дереве, но и научное свидетельство о древнеегипетской системе архитектурного пропорционирования

Существует и еще одно удивительное свидетельство мудрости древних. В Неаполе, в Национальном музее, хранится пропорциональный циркуль, найденный при раскопках в Помпеях. Пропорциональный циркуль является необходимым атрибутом архитектора. Он состоит из двух равных подлине ножек, скрепленных винтом наподобие ножниц, и позволяет (минуя вычисления!) для любого отрезка получать отрезок, находящийся с ним в заданном отношении. Действие пропорционального циркуля основано на подобии треугольников и не требует особых комментариев (г). Так вот, помпейский циркуль наглухо закреплен в отношении золотого сечения! Это легко проверить, зная размеры циркуля, которые на рисунке (г) указаны в миллиметрах.

Кроме помпейского, особый интерес представляет циркуль из Музея терм в Риме. Он также имеет длину вполовину римского фута — 146 мм, но настроен на другую иррациональную пропорцию (больший отрезок — 92 мм, меньший — 52 мм):

Геометрически эта пропорция означает отношение отрезка AD ко всей диагонали АС (см. с. 199). Как считает архитектор П. Ш. Шевелев, именно с помощью такого циркуля мог быть построен чертеж Парфенона.

Но, несмотря на многие доказательства, авторитет Витрувия (возможно, и неправильно понятого), авторитет модульной системы в архитектуре, был столь велик, что мысль о геометрическом построении иррациональных пропорций древними оформилась лишь к XX веку. Но как именно, по какой системе древние строили свои замечательные пропорции? Это по-прежнему оставалось тайной, и здесь теоретики архитектуры могли довольствоваться лишь гипотезами. Стремление познать тайны древних пропорций было огромным. Еще бы: ведь это дало бы ключ к созданию новых шедевров!

Естественно, что каждый автор стремился проверить свою теорию на пропорциях Парфенона. Парфенон был и остается совершеннейшим из архитектурных сооружений, архитектурной скульптурой, мраморным сводом законов античного зодчества. Уникальность и бессмертие Парфенона осознавали уже в античности. Вот как писал о Парфеноне в I веке древнегреческий писатель, историк и философ Плутарх (ок. 46 — ок. 127): "Так вырастали эти строения, гордые в своем величии, непревзойденные по своей волшебной красоте. Такими они были потому, что мастера старались превзойти друг друга, каждый из них свое ремесло превращал в художественное творчество... И так эти здания словно дышат молодостью, из века в век защищающей их от зуба времени. Можно сказать, что от этих творений веет ароматом каменных цветов и в них живет душа, которая никогда не стареет".

Теорий античных пропорций, и в частности пропорций Парфенона, становилось все больше. Наконец, к середине XX века их стало столько, что сами архитекторы перестали понимать, какие же из этих теорий справедливы и есть ли среди них таковые. Некоторые архитекторы вообще потеряли веру в пропорции. Вот, например, выдержка из книги архитектора Г. Б. Борисовского " Наука, техника, искусство":

"Все исследователи, почти как правило, дают анализ пропорций Парфенона,

стараясь привлечь его в качестве авторитетного свидетеля правоты их теории. Это делают Тирш, Цейзинг, Жолтовский, Гримм и др. Все ищут в нем именно тот порядок, который они отстаивают своей теорией. Если сопоставить эти анализы, то обнаружится несколько странная ситуация.

Тирш еще в прошлом столетии заявил: пропорции Парфенона построены на подобии. Вот чертеж, неоспоримо доказывающий это. (Чудесно,- говорят все.)

Цейзинг уверяет: в основе пропорций Парфенона лежит золотое сечение. Вот чертеж, это подтверждающий. (Все в восхищении.)

Жолтовский считает: Парфенон зиждется на золотом сечении. И дает совершенно иной чертеж, неоспоримо подтверждающий это. (Все в восторге.)

Гримм утверждает то же, что Цейзинг и Жолтовский, и приводит другой чертеж, не менее убедительный, хотя и совсем не похожий на два предыдущих. (Все в изумлении.)

Хэмбридж утверждает: пропорции Парфенона складываются из динамических прямоугольников. Вот чертеж, неоспоримо это доказывающий. (Все аплодируют.)

Мессель заявляет: пропорции Парфенона основаны на членении окружности. Вот чертеж, убеждающий нас в этом. (Аплодисменты, переходящие в овацию.)

Не так давно архитектор И. Шевелев опубликовал статью и небольшую книгу, в которой утверждает, что пропорции Парфенона основаны на соотношении 1:√5, и представляет чертеж с расчетом, убедительно это подтверждающим. (Аплодисментов пока не слышно.)

Явно здесь что-то не так ..."

Действительно, глядя на различные чертежи пропорций Парфенона, кажется, что между ними нет ничего общего. Между тем здесь все "так". Различные анализы пропорций Парфенона — это различные доказательства "теоремы Парфенона", которая, как и теорема Пифагора, имеет много доказательств. Но от этого "теорема Парфенона" не становится хуже (или вовсе перестает существовать, как кажется Борисовскому), а, напротив, предстает перед нами во всем своем богатстве и красоте. Ибо множество доказательств свидетельствует о большом числе конкретных реализаций, о "всеобщности" доказываемого, а всеобщность является одним из признаков красоты науки (см. с. 29, 30).

Различные методы анализа пропорций Парфенона: Жолтовский (а), Хэмбидж (б), Мессель (в), Шевелев (г)

В самом деле, Тирш говорит о подобии. Но подобие — это геометрическое выражение пропорциональности.

Цейзинг и Жолтовский уточняют: в пропорциях Парфенона имеется золотое сечение. В частности, в золотой пропорции соотносятся главные вертикальные размеры портика: высота ВС поддерживающих частей (основание и колонны) и высота АС поддерживаемых частей (антаблемент и фронтон).

Гримм, воспитанный на целочисленных музыкальных пропорциях Возрождения, считает, что главные вертикали Парфенона находятся в отношении малой сексты (8/5). Казалось бы, совершенно иной, "музыкальный", подход. Но и здесь нет противоречия с Цейзингом и Жолтовским, ибо 8/5, как будет показано в следующей главе, есть отношение двух членов ряда Фибоначчи и является одним из рациональных приближений коэффициента золотого сечения Ф (8/5 = 1,600; Φ ≈ 1,618). Гримм правильно заметил, что золотое сечение в главных вертикалях Парфенона выдержано лишь приблизительно, и этим уточнил Цейзинга и Жолтовского.

Но все эти исследования носили эмпирический характер и не давали целостной системы античного пропорционирования. Первой такой попыткой была система динамических прямоугольников американского искусствоведа Хэмбиджа. Прямоугольники с иррациональным отношением сторон Хэмбидж называет динамическими, связывая с ними идею роста, движения и гармонии в природе и искусстве. Особую роль Хэмбидж отводит прямоугольнику с отношением сторон . Хэмбидж разбивает фасад Парфенона на ряд динамических прямоугольников (l:√5) и квадратов (1:1). Здесь все ново и спорно: и подход, и метод, и чертеж. Но что будет с интересующими нас главными вертикалями? Выражая вертикальные элементы х, у, z через ширину основания а:х — а/2√5, у = а/4√5, z = а/4, легко видеть, что главные вертикали Парфенона по-прежнему находятся в золотой пропорции

Метод пропорционирования немецкого теоретика Месселя основан на десятикрат ном делении окружности. Мессель считает, что обычный циркуль (или шнур) являлся основным рабочим инструментом античного и средневекового зодчего. Подход Месселя также оригинален и также спорен во всех аспектах, кроме одного — математического. Действительно, как мы увидим в следующей главе, при делении окружности на десять частей можно получить весь ряд золотого сечения (12.4)! Поэтому В₁С₁:С₁А₁ = Φ ≈ВС:СА, т. е. интересующие нас главные вертикали Парфенона приблизительно находятся в золотой пропорции.

В главе 16 мы подробнее познакомимся с системой пропорционирования Шевелева и покажем, что в этой системе для главных вертикалей также приближенно выполняется золотая пропорция.

Заметим, что во всех случаях приближенного выполнения пропорции золотого сечения ошибка не превышает 1%. К сожалению, существующие обмеры Парфенона выполнены примерно с такой же точностью и поэтому не могут служить критерием истинности теории. Но и более тщательные обмеры Парфенона нужно будет осторожно применять в качестве критерия истины, ибо при строительстве сооружения 2500 лет назад, разумеется, могли быть допущены отклонения от замысла автора.

Вот почему главным критерием истинности той или иной гипотезы будет оставаться ее логическая непротиворечивость, ее математическая целостность. Этим требованиям, по нашему мнению, наиболее полно удовлетворяет система Шевелева, которая не получила еще должного признания. Система Шевелева позволяет из одного размера — ширины стилобата (верхней ступени основания) — получить все размеры Парфенона в диапазоне от 69,5 м (длина стилобата) до 16 см (высота шейки капители)! Таким образом, именно в системе Шевелева выполняется принцип гармонии Гераклита: "из всего — единое, из единого — все".

Итак, главный вопрос о том, какой системой пропорций пользовался гениальный создатель Парфенона зодчий Иктин, пока остается открытым. Заметим, что мы остановились только на соотношении двух главных вертикалей Парфенона. В золотой пропорции соотносятся и многие другие элементы Парфенона, однако подробный анализ пропорций этого великого архитектурного памятника занял бы объем, по крайней мере равный объему всей этой книги. Мы же в нашем кратком обозрении убедились, что разговор об архитектурных пропорциях неизбежно приводит к золотой, или, как ее называли во времена Возрождения, божественной пропорции. Поэтому нам необходимо подробнее познакомиться с математическими свойствами этого интереснейшего феномена.

15. Тайны золотого сечения

Пятиконечной звезде — около 3000 лет. Ее первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички. Из Древней Вавилонии в Средиземноморье, как полагают, звездчатый пятиугольник перевез Пифагор и сделал его символом жизни и здоровья, а также тайным опознавательным знаком. В средние века пентаграмма "предохраняла" от "нечистой силы", что, впрочем, не мешало называть ее "лапой ведьмы". Вспомним гётевского "Фауста":

Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира.

Чем же объясняется такая популярность звездчатого пятиугольника? Тем, что совершенная форма этой геометрической фигуры радует глаз и разум. Звездчатый пятиугольник буквально соткан из пропорций, и прежде всего золотой пропорции. Красота формы пентаграммы, вытекающая из внутренней красоты ее математического строения, была замечена еще Пифагором и с тех пор не устает радовать глаз художника и разум математика.

Рассмотрим подробнее свойства звездчатого пятиугольника. Прежде всего заметим, что уже первый этап его построения — деление окружности на пять равных частей — представляет собой прекрасный пример "обретения неочевидной истины". В самом деле, в то время как деление окружности на 3, 4 и 6 равных частей не представляет затруднений, разделить окружность на 5 равных частей не так-то просто. Вот почему задача о пятикратном делении окружности подробно разбирается в таких великих сочинениях "Начала" Евклида, "Альмагест" Птолемея, "Руководство к измерению" Дюрера[25].

Отметим, что хотя метод Дюрера является приближенным, он отличается большой точностью (углы 1 и 2 равны не 108°, а 108°21'58", углы 4 и 5 чуть больше 107°, а угол С чуть больше 109°), так что погрешности приближенного построения на глаз совершенно не воспринимаются. Сам великий художник не обращал внимание читателей на приближенный характер своих построений, возможно, считая их точными. Дюрер придавал исключительное значение геометрии в искусстве. Вместе с книгой "О пропорциях человеческого тела" трактат Дюрера "Руководство к измерению" является торжественным гимном геометрии в искусстве, блестящей страницей в истории взаимодействия науки и искусства. Однако тема искусства и геометрии в творчестве Дюрера заслуживает особого разговора.

Итак, пусть окружность разделена на 5 равных частей. Соединяя последовательно точки деления, получим правильный пятиугольник, диагонали которого образуют пятиконечную звезду. Легко видеть, что внутри этой звезды вновь образуется правильный пятиугольник, диагонали которого дают новую звезду, и т. д. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором ∠A = 36°, ∠B = ∠С = 72° (как вписанные в окружность углы, опирающиеся на дуги в 72° (360°: 5) и 144° соответственно). Но ABCD = 36°, поэтому CD является биссектрисой в треугольнике ABC и отсекает от него ΔBCD ∞ ΔАВС. Из подобия этих треугольников имеем АВ:ВС=ВС:DB (рис. (а) на с. 206). Учитывая, что ВС = CD = AD, приходим к пропорции

(15.1)

т. е. "целое" (АВ) так относится к большей части (AD), как большая часть к меньшей (DB). Иначе говоря, точка D делит отрезок АВ в золотом сечении.

Точное деление окружности на 5 равных частей, описанное в 'Альмагесте' Птолемея. Ок 150 до н. э. (а). Приближенное построение пятиугольника по заданной стороне из 'Руководства к измерению' Дюрера 1525 (б). Цифрами обозначены последовательные положение ножки циркуля

Принимая сторону исходного правильного пятиугольника за единицу AF = AD = 1, полагая DB = x и, следовательно АВ = 1 + х, из (15.1) приходим к уравнению (12.1) при а = 1:

которое имеет единственный положительный корень

Поскольку

(проверьте это), то мы окончательно находим: x = DB = AE = EF =...= φ, AD = DC = CB = AF = ... = 1, ED = EG = ...= = 1 — φ = φ².

Ряд золотого сечения 1, φ, φ², φ³, ... в последовательности звездчатых пятиугольников (а) и звездчатых десятиугольников (б)

Повторяя наши рассуждения для треугольника DGH, в котором DG = y, легко видеть, что стороны внутренней звезды будут равны φ³, а стороны ее внутреннего правильного пятиугольника — φ⁴. И т. д.

Таким образом, последовательность правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образует ряд золотого сечения (12.4) при а=1:

причем стороны правильных пятиугольников образуют ряд четных степеней:

а стороны звезд — ряд нечетных степеней:

Наконец, если продолжить стороны правильного пятиугольника до пересечения, то получим звезду, сторона которой х находится со стороной исходного пятиугольника AF = 1 в золотом отношении, т. е. 1/х = φ ⇒ 1/φ = (√5 + 1)/2 = Φ

Итак, ряд золотого сечения можно неограниченно продолжить и в сторону увеличения, и в общем виде ряд золотого сечения будет иметь вид

или

(15.2)

Ряд (15.2) является геометрической прогрессией со знаменателем Ф. Однако из бесконечного множества геометрических прогрессий ряд (15.2) отличается уникальным свойством, называемым аддитивным свойством: сумма двух соседних членов ряда равна следующему члену ряда:

В самом деле, поскольку 1 + Φ = Φ² (проверьте это), то

(15.3)

Именно благодаря аддитивному свойству ряд золотого сечения играет важную роль в архитектуре, о чем мы подробнее поговорим чуть позже. А пока заметим, что вместо ряда (15.2) удобнее рассматривать две его "половинки":

возрастающую геометрическую прогрессию со знаменателем Φ≈1,618033988:

(15.4)

и убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем φ = Φ^-1≈0,618033988:

(15.5)

Аддитивное свойство ряда (15.5) прекрасно иллюстрируется последовательностью вписанных друг в друга правильных пятиугольников и пятиконечных звезд (см. с. 206): AD = AE + ED (1 = φ + φ²), DG = DK + KG (φ = φ² + φ³) и т. д.

Итак, правильный пятиугольник и пятиконечная звезда, образованная его диагоналями, обладают массой интересных свойств:

1. Пересекающиеся диагонали правильного пятиугольника делят друг друга в золотой пропорции

2. Сторона правильного пятиугольника, сторона вписанной в него пятиконечной звезды и сторона образованного звездой внутреннего пятиугольника также относятся в золотой пропорции

3. Стороны правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образуют ряд золотого сечения (15.5), который является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем ф и обладает аддитивным свойством (φⁿ = φⁿ⁺¹ + φⁿ⁺², n = 0, 1, 2, ...).

4. Отрезки пятиконечной звезды АВ = Φ, AD = 1, АЕ = φ и ED = φ² связаны между собой всеми видами "древних" средних (5.1), а именно:

— арифметическое среднее;

— геометрическое среднее;

— гармоническое среднее.

В общем случае для четырех последовательных членов ряда (15.5) φⁿ, φⁿ⁺¹, φⁿ⁺², φⁿ⁺³ нетрудно доказать справедливость соотношения

5. Из всех равнобедренных треугольников только треугольник, у которого углы при основании (72°) вдвое больше угла при вершине (36°), обладает особым свойством: биссектриса угла при основании делит противоположную сторону в золотом сечении. Такой треугольник (например, ΔАВС на с. 206) получил название "возвышенного".

Подведем некоторый итог: мы выполнили обещание, данное на с. 204 и показали, что пятиконечная звезда (пентаграмма) наряду с золотой пропорцией содержит все "древние" средние. Такое необычайно пропорциональное строение пентаграммы, красота ее внутреннего математического строения, по-видимому, и являются основой красоты ее внешней формы. Можно только догадываться, в какой восторг приводило пифагорейцев столь редкое обилие математических свойств в одной геометрической фигуре. Поэтому неудивительно, что именно пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа жизни и здоровья.

Разделим теперь окружность на 10 равных частей. Это легко сделать с помощью описанного нами метода Птолемея (см. с. 205), в котором отрезок ОА дает сторону правильного десятиугольника (докажите это). Соединяя подряд точки деления окружности, получим правильный десятиугольник, а соединяя точки деления через две,- звездчатый десятиугольник. Внутри звездчатого десятиугольника вновь образуется правильный десятиугольник, в который можно вписать новый звездчатый десятиугольник, и т. д. (см. рисунок на с. 206).

Проведя радиусы в вершины десятиугольников, легко увидеть (именно увидеть глазами) целое созвездие пятиконечных звезд. А зная свойства последних, мы предчувствуем обилие золотых пропорций. Действительно, прежде всего заметим, что треугольник АОВ является возвышенным, поэтому АВ:ОВ = φ, т. е. сторона правильного десятиугольника а₁₀ относится к радиусу описанной окружности R в золотой пропорции а₁₀:R = φ.

Далее, считая радиус исходной окружности R = l и учитывая свойства пятиконечной звезды, легко обнаружить весь ряд золотого сечения (15.5) в последовательности вписанных друг в друга звездчатых десятиугольников. В частности, на рисунке (б) ВС = φ, ОС = фφ², поэтому ВС/ОС = 1/φ = Φ (тем самым мы погасили еще один "долг" и доказали, что на рисунке ( в, с. 202) B₁C₁/C₁A₁ = 0). Попутно мы чисто геометрическим путем доказали равенство

которое легко доказать и алгебраически, вспоминая формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

В нашем случае а₁=φ², q = φ, поэтому

Заметим, что обнаруженное нами созвездие вложенных друг в друга пятиконечных звезд позволило сразу увидеть ряд золотого сечения при десятикратном делении окружности и избавило от громоздких алгебраических выкладок.

Теперь становится понятным, почему именно десятикратное деление окружности было выбрано Месселем в качестве метода архитектурного пропорционирования. При десятикратном делении окружности легко получить весь ряд золотого сечения (15.5), который играет огромную роль в архитектурных пропорциях.

Рассмотренные нами геометрические свойства золотого сечения в числе других были с восторгом описаны в 1509 г. в книге монаха ордена францисканцев Луки Пачоли (ок. 1445 — ок. 1514) "О божественной пропорции". Пачоли приводит лишь тринадцать свойств золотого сечения (дабы почтить двенадцать апостолов и их учителя Христа), отмечая, что для перечисления всех свойств золотого сечения не хватило бы чернил и бумаги. Каждому свойству золотого сечения Пачоли ставит особый эпитет, говоря "...о его третьем исключительном свойстве... о его четвертом невыразимом свойстве... о его десятом возвышенном свойстве... о его двенадцатом почти сверхъестественном свойстве...". Пачоли преподавал в различных университетах Италии и был талантливым педагогом. Любопытно, что хорошо известная каждому современному школьнику задача о трубах, наполняющих бассейн, описана в книге Пачоли "Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях", изданной в 1494 г.

Джакопо де Барбари. Портрет Луки Пачоли. Ок. 1510. Справа изображен ученик Пачоли Гвидобальдо д'Урбино. Возможно, это автопортрет художника. В левом верхнем углу подвешен ромбокубооктаэдр — одно из тел Архимеда. Справа на старинном фолианте стоит додекаэдр

Рассмотрим теперь ряд золотого сечения (15.4)

и, пользуясь аддитивным свойством ряда, будем выражать степени Φⁿ через Φ:

Легко видеть, что коэффициенты при Φ, также как и первые слагаемые, образуют последовательность натуральных чисел:

(15.6)

каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов, т. е.

(15.7)

Последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая функция предыдущих, называются рекуррентными или возвратными.

Последовательность (15.6) имеет древнюю историю. Она впервые была описана в 1202 г. в "Книге об абаке" итальянским купцом и математиком Леонардо из Пизы, известным более по его прозвищу — Фибоначчи — сын доброй природы. С тех пор последовательность (15.6) называется рядом Фибоначчи, а ее члены — числами Фибоначчи. "Книга об абаке" Фибоначчи была своего рода математической энциклопедией средневековья и сыграла заметную роль в развитии математики в Европе. Значительную часть этого трактата составляли задачи, одна из которых гласила:

"Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца своего рождения. Так как первая пара в первом месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажется 2 пары; из них одна пара, а именно первая, рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары; из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родятся еще 2 пары кроликов, и число пар кроликов в этом месяце достигнет 5; ..." И т. д. В заключение Фибоначчи пишет: "...мы складываем первое число со вторым, т. е. 1 и 2; и второе с третьим; и третье с четвертым; и четвертое с пятым; и так одно за другим, пока не сложим десятое с одиннадцатым, т. е. 144 с 233; и мы получим общее число упомянутых (пар.- А. В.) кроликов, т. е. 377; и так можно делать по порядку до бесконечного числа месяцев".

Заметим, что свое решение Фибоначчи дал для взрослой пары кроликов. Если же решать задачу для новорожденной пары, то мы получим полный ряд Фибоначчи (15.6) и к концу года будем иметь 233 пары кроликов.

Но какое отношение задача о размножении кроликов имеет к золотому сечению? А вот какое. Если мы возьмем отношение последующего члена ряда (15.6) к предыдущему

, то весьма скоро обнаружим, что это отношение с ростом k стремится к коэффициенту золотого сечения Φ. В самом деле,

Поэтому, глядя на рисунок, нетрудно убедиться (хотя не так-то просто доказать!), что

(15.8)

и наоборот,

(15.9)

Процесс асимптотического приближения отношения U_k+1/U_k к Φ напоминает затухающие колебания маятника.

'Генеалогическое древо кроликов' в задаче Фибоначчи. Общее число пар кроликов, так же как и число новорожденных пар, образует последовательность чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Рассмотрим цепную дробь

Обозначая эту дробь через х>0, нетрудно увидеть то же самое х в знаменателе первой дроби. Поэтому

откуда находим уравнение для х:

которое имеет единственный положительный корень

Итак, коэффициент золотого сечения Φ можно представить в виде цепной дроби

(15.10)

Для ряда Фибоначчи [U_k] отношение U_k+1/U_k последующего члена ряда к предыдущему с ростом k стремится к коэффициенту золотого сечения Φ = (√5 + 1)/2

Выпишем подходящие дроби (см. с. 136) Цепной дроби (15.10):

Как видим, подходящие дроби, которые являются рациональными приближениями иррационального числа Φ, равны отношениям соседних чисел Фибоначчи Поэтому

Итак, отношение двух соседних чисел Фибоначчи является рациональным приближением коэффициента золотого сечения, т. е.

Именно таким рациональным приближением числа Φ и является интервальный коэффициент малой сексты (обращение большой терции , которым Гримм выражал отношение главных вертикалей Парфенона; см. с. 202). Другим примером рационального приближения числа Ф является отношение числа четвертей во второй и четвертой паре "проведение — интермедия" в фуге ре минор Баха (см. с. 165), которое в точности равно отношению . Еще раз обратим внимание на потрясающую точность (относительная погрешность составляет 0,06%!), с которой у Баха выполнен закон золотого сечения.

В 1843 г., через 641 год после открытия ряда Фибоначчи, определяемого рекуррентно через сумму двух предыдущих членов ряда, французский математик Ж. Бине нашел формулу для вычисления n-го члена ряда Фибоначчи как функции его номера:

(15.11)

Пользуясь формулой Бине (15.11) нетрудно доказать, что

Наконец, укажем еще одно представление коэффициента золотого сечения Φ, полученное в начале нашего века:

(15.12)

Не правда ли, все формулы (15.10)- (15.12) отличаются особой красотой, простотой и изяществом!

Боттичелли. Рождение Венеры. Ок. 1483-1484. Нет живописи более поэтичной, чем живопись Боттичелли, и нет у великого Сандро картины более знаменитой, чем его 'Венера'. Неповторимо нервное изящество боттичеллиевских линий и болезненная хрупкость его вытянутых фигур. Неповторима младенческая чистота Венеры и кроткая печаль ее взора. Неповторим льнущий к телу клубок золотых волос Венеры, в котором, как в клубке змей, таится роковое коварство этого безгрешного существа. Но для неоплатоника Боттичелли его Венера, так же как и для неопифагорейца Поликлета его Дорифор,- это воплощение идеи универсальной гармонии золотого сечения, господствующего в природе

Пропорциональный анализ Венеры убеждает нас в этом

Итак, ряд золотого сечения (15.4), (15.5) и тесно связанный с ним ряд Фибоначчи (15.6) обладают массой исключительных математических свойств, которые каким-то поразительным образом сошлись в этих феноменах. Но золотое сечение и числа Фибоначчи имеют не менее удивительные приложения не только в искусстве (с чем мы немного познакомились в гл. 4 и гл. 12), но и в живой природе. К настоящему времени накоплено множество фактов, показывающих, что ряд Фибоначчи проявляется в формах живой природы как закон единообразного роста. Ряд Фибоначчи обнаружен и в расположении семян подсолнечника или сосновой шишки, и в распределении листьев и хвои на деревьях, и в расположении стеблей. Возьмите линейку и измерьте длину трех фаланг среднего пальца и пясти. Поделив эти числа на длину первой фаланги, вы с поразительной точностью обнаружите 4 члена ряда золотого сечения (15.4):

Но самым удивительным, пожалуй, является то, что точка, питающая новую жизнь,- пуп человека — делит тело человека в золотом сечении.

Что стоит за этими и многими другими фактами — игра чисел или некоторый универсальный закон природы? Хочется верить, во второе, ибо жизнь — это не хаос случайностей, а претворение генетически определенных законов. Видимо, действием закона золотого сечения в природе и объясняются интригующие проявления этого закона в искусстве. По крайней мере, автор стоит на "природнической" точке зрения на прекрасное и в законах искусства видит отражение законов красоты природы (хотя и те и другие законы пока еще не познаны).

Почему же закон золотого сечения так часто проявляется в архитектуре? Этому есть, на наш взгляд, вполне рациональное, математическое объяснение. Мы знаем, что для достижения гармонии в произведении искусства (в том числе и в архитектурном произведении) должен выполняться принцип Гераклита: "из всего — единое, из единого — все". В самом деле, гармония в архитектурном произведении зависит не столько от размеров самого сооружения, сколько от соотношений между размерами составляющих его частей. Для того чтобы выполнялся основной принцип гармонии "все во всем", взаимосвязь частей и целого в архитектурном произведении должна иметь единое математическое выражение, т. е. архитектурное "целое" а и его части а₁, а₂, а₃, а₄, ... должны находиться в одинаковых отношениях

Отсюда a = a₁p, а₁ =а₂р, а₂ = а₃p, ..., или a₁ = qa, a₂ = q²a, a₃ = g³a, ... (q = l/p), т. е. "целое" а и его части a₁, а₂, а₃, ... должны образовывать геометрическую прогрессию

(15.13)

Но части архитектурного целого должны "сходиться" в целое, т. е., разделив "целое" а на части а₁ и а₂, необходимо, чтобы

Учитывая (15.13), условие (15.14) примет вид

т. е. единственное положительное значение для q равно коэффициенту золотого сечения φ.

Итак, из всех геометрических прогрессий (15.13) только ряд золотого сечения обладает аддитивным свойством (15.14), поэтому только при делении "целого" a на части а₁ и а₂ в золотой пропорции выполняется принцип "все во всем" и одновременно части "сходятся" в целое.

Пропорции храма Василия Блаженного в Москве определяются восемью членами ряда золотого сечения: 1, φ, φ², φ³, φ⁴, φ⁵, φ⁶, φ⁷

При этом соотношения (15.13) и (15.14) принимают вид (12.4)

Это и есть знакомый нам ряд золотого сечения.

Подробным анализом пропорций некоторых архитектурных шедевров разных эпох, стилей и разных народов мы займемся в следующих двух главах. Но сейчас нам хочется закончить разговор о золотом сечении одним примером, показывающим, насколько органично входит оно в архитектурные пропорции. В качестве примера рассмотрим пропорциональный строй одной из жемчужин древнерусской архитектуры — храма Василия Блаженного в Москве. За "целое" а = 1 принята высота храма. Пропорции храма определяются восемью членами ряда золотого сечения:

Многие из членов ряда неоднократно повторяются в пропорциях этого затейливого архитектурного сооружения, но всегда благодаря аддитивному свойству золотого сечения мы уверены в том, что части сойдутся в целое, т. е.

Таким образом, аддитивное свойство золотого сечения делает эту геометрическую пропорцию единственной и неповторимой.

16. Пропорции: от Парфенона до Нотр-Дама

"Человек — мера всех вещей..." Этот знаменитый афоризм древнегреческого философа-софиста Протагора (ок. 490 — ок. 420 до н. э.) является ключом к разгадке тайны пропорций Парфенона, его поразительной гармонии и спокойствия. Как это ни парадоксально, но между живыми линиями человеческого тела и застывшими на тысячелетия каменными очертаниями древнего сооружения существует глубокая связь, выраженная в математических законах пропорциональности. Но по порядку...

Мы уже знаем о многих теориях античных пропорций, пытавшихся объяснить гармонию Парфенона на основе золотого сечения (см. гл. 14). Такой подход понятен ввиду особой роли золотого сечения как в природе, так и в искусстве, роли, которая во многом еще остается загадочной. Кроме того, апологеты золотого сечения ссылались на некоторые высказывания Платона о пропорциях. Однако эти высказывания великого философа, видимо, понимались слишком узко (см. с. 195). В главе 14 мы показали, что многие внешне различные теории пропорций Парфенона математически приводят к золотому сечению в отдельных элементах этого архитектурного шедевра. Но целостной теории на базе золотого сечения все-таки не получалось.

Некоторых исследователей отсутствие единой теории античных пропорций вообще разуверило в принципе пропорциональности. Пессимисты подняли на щит высказывание великого теоретика пропорций XX века Ле Корбюзье о том, что "Парфенон — это более, чем архитектура, это — скульптура". Они объявили математическое исследование пропорций Парфенона кощунством. Действительно, тщательное изучение показало, что в Парфеноне, как и в человеческом теле, нет прямых линий. Линии Парфенона наполнены жизнью и пластикой. Однако это отнюдь не означает, что в них нет пропорциональной зависимости, той самой, которую так одержимо искали и находили в теле человека Поликлет, Леонардо да Винчи, Дюрер и др.

А оптимисты продолжают поиск законов строения архитектурных шедевров, поиск тех вечных истин, которые, возможно, являются общими законами формообразования и в природе, и в искусстве. Оригинальную теорию разрабатывает в течение последних двадцати лет архитектор И. Ш. Шевелев. Это теория парных мер, которая настолько естественна, что просто удивительно, почему она до середины XX века никому не пришла в голову. Парные меры - это два эталона длины а и Ь, которые позволяли устанавливать одинаковые отношения между отдельными парами архитектурного сооружения a:b = na:nb (n = 1, 2, 3, ...). Какие же величины выступали в качестве парных мер? Сама история развития математики указывает на то, что это были геометрические объекты: сторона и диагональ прямоугольника. В самом деле, математика начиналась с геометрии, а слово "геометрия" означает землемерие. Основной задачей последнего было измерение площадей земельных участков. Древнейшим методом измерения площадей был метод приложения, суть которого состояла в следующем. К измеряемому прямоугольнику прикладывается эталон площади (как правило, квадрат). В прямоугольнике, образованном стороной эталона и стороной измеряемого участка, проводилась диагональ до пересечения с продолжением второй стороны эталона.

Измерение площади прямоугольного участка 'методом приложения'

Получалось три прямоугольника. Два из них, через которые прошла диагональ, подобны, а третий равновелик эталону (докажите это). Сторона равновеликого прямоугольника и служила линейной мерой для определения площади. Так измерение площади сводилось к простому подсчету числа линейных мер в стороне измеряемого прямоугольника. Так сторона и диагональ прямоугольника становились основными инструментами древних землемеров-математиков.

Из всего множества прямоугольников квадрат и двойной квадрат обладают тем практическим преимуществом, что требует для построения прямого угла не три, а две меры (в двойном квадрате большая сторона получается двукратным отложением малой). Так появились парные меры 1:√2 и 1:√5 (см. с. 199).

Знания, накопленные в геометрии, использовались и в архитектуре. Древние зодчие были прекрасными математиками. Но в отличие от землемерия архитектура обладает третьим измерением — высотой. Поэтому стороны и диагональ прямоугольника, проведенные на земле, пришлось заменить мерными палками, которыми можно было оперировать и в третьем измерении. Парную меру двойного квадрата 1:√5 мы и видим в руках древнеегипетского зодчего Хесиры (см. с. 200).

Геометрические свойства системы двух квадратов. Исходный двойной квадрат показан красным, прямоугольники золотого сечения — синим. Рисунок демонстрирует также аддитивное свойство прямоугольников системы двойного квадрата

Парная мера 1:√5 встречается во множестве древних сооружений, разделенных между собой веками и тысячами километров: пирамиды Джосера, Хеопса, Хефрена и Миккерина, пропорции Парфенона и Эрехтейона, церковь Покрова на Нерли и храм Вознесения в Коломенском, древние храмы Киева и Новгорода...

Разумеется, причина популярности этой парной меры не только в том, что для построения прямого угла с ее помощью требуются именно две, а не три меры. Истинная причина заключена в разнообразии математических свойств двойного квадрата.

В самом деле, возьмем квадрат со стороной 1, построим двойной квадрат (т. е. прямоугольник со сторонами 1 и 2), проведем в нем диагональ и опишем ею полуокружность (см. рис. ). Так мы построим новый двойной квадрат с малой стороной √5. Продлив стороны исходного двойного квадрата до пересечения со сторонами нового, мы получим целую гамму пропорций, содержащую практически все коэффициенты пропорциональности от до 1 с шагом 0,1:

и т. д. Заметим: двойной квадрат тесно связан с золотым сечением. Так, в результате наших построений мы получили два прямоугольника золотого сечения, выделенные синим цветом: и .

Ну а какое отношение математика двойного квадрата имеет к архитектуре? Широкое распространение в архитектуре пропорции двойного квадрата, как и пропорции золотого сечения, получили благодаря свойству, которое по аналогии с золотым сечением можно назвать аддитивным свойством площадей. Дело в том, что каждое архитектурное произведение или его часть можно вписать в прямоугольник. Так вот, прямоугольники системы двойного квадрата могут без остатка разлагаться на другие прямоугольники этой же системы. Это и есть аддитивное свойство площадей системы двух квадратов, аналогичное линейному аддитивному свойству золотого сечения. Например, прямоугольник золотого сечения (+1) одной линией можно разделить на два прямоугольника, стороны которых будут относиться как 1:2 и 2:, а прямоугольник со сторонами 2 и легко разложить на "золотой" прямоугольник (-1):2 и двойной квадрат 1:2. Прямоугольник 1:2 четырьмя линиями разбивается на шесть прямоугольников: два неравных прямоугольника 1:2, два равных прямоугольника 2: √5 и два неравных "золотых" прямоугольника (√5 — 1): 2. И т. д. Таким образом, система двух квадратов дает поразительное разнообразие разбиений целого на части, находящиеся в тех же пропорциональных отношениях. Так, благодаря аддитивному свойству площадей системы двух квадратов достигается взаимосвязь целого и его частей, осуществляется основной принцип гармонии: "из всего — единое, из единого — все".

Заметим, что получаемые в системе Двух квадратов прямоугольники с отношением сторон :2≈1,118 близки к квадратам, а само отношение √5:2 представляет так называемую функцию золотого сечения, введенную архитектором Жолтовским. В терминах ряда золотого сечения (15.5) функция золотого сечения определяется как отношение

Поскольку , то мы легко получаем

Прямоугольник с отношением сторон :2 Жолтовский называл "живым квадратом", считая, что он должен заменить в архитектуре математический квадрат, который не встречается в природе и не радует глаз своей пропорцией (1:1). Будучи большим энтузиастом золотого сечения и его функции, Жолтовский нашел многочисленные примеры этих пропорций в архитектурных шедеврах, в том числе и в Парфеноне (см. с. 202). Итак, среди многих пропорций, обладающих аддитивным свойством площадей, двойной квадрат содержит и такие "выдающиеся" пропорции, как золотое сечение и функцию золотого сечения.

Теория парных мер родилась в 60-е годы. Однако, кроме мерных палок Хесиры, эта теория реальных подтверждений не имела и, по существу, оставалась гипотезой, построенной на математических рассуждениях. Правда, пропорциональные циркули (см. с. 199) также представляют собой парные меры. Но это меры, с помощью которых строился чертеж архитектурного сооружения, а не само сооружение. И вот в 1970 г. теория парных мер получила еще одно блестящее доказательство. При археологических раскопках в Новгороде экспедицией члена-корреспондента АН СССР А. В. Арциховского был найден обломок мерной трости конца XII века. Мерная трость представляет собой брусок прямоугольного сечения, на трех гранях которого нанесены три различные шкалы. 24 деления каждой из шкал дают разные сажени: тмутараканскую (С_т= 142,1 см), мерную (С_м = 175,6 см) и косую новгородскую (К_н = 200,9 см). Но ведь это не что иное, как парные меры системы двух квадратов! В самом деле, С_т : С_м = 1:( — 1) = 0,809, С_т:К_н = 1:√2 = 0,707. (Подробнее о древнерусских парных мерах и системах пропорционирования мы поговорим в следующей главе.) Так мерная трость[26], а вместе с ней и парные меры из математических абстракций перешли в область реального. Так в нетрадиционной области — теории архитектуры — еще раз проявилось удивительное свойство математики совершать открытия "на кончике пера". Так геометрия двойного квадрата связала воедино мерные палки Хесиры, античные пропорциональные циркули и новгородскую мерную трость.

Вернемся, наконец, к теории пропорций Парфенона, к афоризму Протагора: "человек — мера всех вещей". Для древнегреческой философии, искусства и религии всегда было характерно очеловечивание сил природы — антропоморфизм. Даже греческие боги были подвержены человеческим слабостям и страстям. Архитектура в антропоморфизме греков не составляла исключения. Вот что по этому поводу писал тонкий знаток античной архитектуры, профессор Н. И. Врунов: "Ордер классического греческого храма является также главным носителем человеческого начала: он осуществляет на языке архитектуры образ монументализированного человека-героя... Самая форма дорической колонны вызывает ассоциации, связанные с человеческим телом. Прежде всего — вертикализм колонны. Вертикаль — главная ось человеческого тела, основная характерная особенность внешнего облика человека, главное его отличие от облика животного".

Но какой именно математической зависимостью связаны пропорции дорической колонны и человеческого тела? В поисках ответа на этот вопрос роковую роль сыграло следующее высказывание Витрувия: "Желая сделать так, чтобы они (колонны.- А. В.) были пригодны к поддержанию тяжести и обладали правильным и красивым обличьем, они измерили след мужской ступни по отношению к человеческому росту, и, найдя, что ступня составляет шестую его долю, применили это соотношение к колоннаде, и, сообразно с толщиной основания ее ствола, вывели ее высоту в 6 раз больше, включая сюда и капитель. Таким образом, дорийская колонна стала воспроизводить в зданиях пропорции, крепость и красоту мужского тела". Итак, по Витрувию, справедливы отношения: (стопа человека): (высота его тела) = (диаметр колонны): (общая высота колонны) = 1:6. Между тем обмеры дорических колонн упрямо противоречили Витрувию. Неумолимые цифры заставили Брунова отказаться от своих прежних воззрений: "Нельзя утверждать, что дорическая колонна повторяет пропорции тела человека, потому что людей таких пропорций, как колонны Парфенона, не существует". Разгадка была где-то рядом, но ее нашел только в 60-е годы архитектор Шевелев. Вот его решение.

Отношение длины стопы человека к длине его тела от основания шеи до стопы 1:5 — ключ к пропорциональному строю Парфенона (по Шевелеву)

Со времен Поликлета установлено, что если стопу человека принять за единицу измерения — фут (греческий фут = 30,89 см), то рост человека составит 6 футов, а голова вместе с шеей — 1 фут. В этом можно убедиться, глядя на рисунок на следующей странице. Следовательно, на оставшуюся часть тела приходится 5 футов. Именно эта часть и олицетворяет "крепость и красоту мужского тела". В самом деле, в "человеческой колонне" шея — самое слабое место. Груз взваливают на плечи, и даже атланты сгибают шеи и принимают тяжесть на поднятые к голове руки. Эта простая мысль и привела Шевелева к тому, что ствол колонны, несущий тяжесть, должен ассоциироваться не с полным ростом человека, а с его наиболее крепкой частью от стоп до основания шеи. Все сразу стало на свои места. Возникла цепочка пропорций, выполнявшихся с прекрасной точностью:(нижний диаметр колонны):(высота ствола колонны)=(ширина капители по абаке):(высота колонны с капителью) = (стопа человека):(высота человека от стоп до основания шеи)=1:5. Далее, поскольку "подобное в мириады раз прекраснее того, что неподобно" (Витрувий), отношение 1:5 было распространено на всю соразмерность колоннады в целом: (высота колоннады = колонна + антаблемент):(длина храма по стилобату)=1:5.

Мы употребили немало терминов, относящихся к классическому ордеру. Ордер (от лат. ordo — порядок) — это тип архитектурной композиции, названный так Витрувием и основанный на художественной переработке стоечно-балочной конструкции (см. с. 181). Огромную роль в развитии европейской архитектуры сыграли родившиеся в Древней Греции классические ордеры: дорический, ионический и коринфский. Название ордера происходит от названия соответствующей области Древней Греции или Малой Азии. Все последующие архитектурные стили, не говоря уже о зодчестве Возрождения и классицизма, развивались под влиянием классического ордера. Наиболее древний — дорический — ордер (ордер Парфенона) отличается торжественной монументальностью форм, строгостью пропорций и лаконизмом деталей.

Основные элементы дорического ордера, видимые на главном фасаде Парфенона, и их выражение через ширину стилобата: а = 100 фут. = 30,87 м

Итак, в дорической колонне воспроизведены пропорции несущей части мужского тела 1:5. В том же отношении находятся и крайние размеры всего Парфенона — высота колоннады и длина храма. Но вспомним Платона: "невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей...", которая является их средним геометрическим (см. с. 195)[27]. Следовательно, пропорции Парфенона должны определяться еще одной величиной — средним геометрическим чисел 1 и 5, т. е. Ho ведь √5 есть не что иное, как диагональ двойного квадрата! Таким образом именно парная мера 1:√5 являлся ключом к пропорциональному строению всего Парфенона! Вслед за Шевелевым нам остается только убедиться в справедливости этой гипотезы. В самом деле, между крайними размерами — высотой колоннады и длиной храма — должно лежать и их среднее геометрическое — ширина сооружения. Размеры Парфенона подтверждают это:

(16.1)

Поскольку ширина стилобата точно равна 100 греческим футам, то естественно предположить, что именно этот размер был выбран за исходный размер Парфенона. Итак, если ширина стилобата равна а, то согласно (16.1) его длина b = a√5, a высота колоннады а₁ = а:√5. Так же и шаг колонн связывает всю колоннаду в единое целое и является средним геометрическим диаметра колонны и высоты ее ствола:

(16.2)

Высота колоннады а₁ складывается из высот колонны и антаблемента либо из высот нагрузки а₂ и ствола колонны а₃, т. е. а₁ = а₂ + а₃. Последние две высоты также относятся как 1:√5, откуда легко получить выражение а₃ через а₁.

Зная высоту ствола колонны а₃, из (16.2) находим шаг колоннады b = а₃:√5 и диаметр колонны b₂ = b₁:√5.

Далее. В композиции главного фасада Парфенона можно выделить две пары связанных между собой элементов. Первая пара — это два горизонтальных каменных пояса: нагрузка а₂ и стереобат а₄. Эта пара связана числом членений: стереобат и нагрузка содержат по четыре элемента. (Возможно, число элементов в этих парах навеяно учением о четырех стихиях, ибо Парфенон является воплощением в камне всей античной философии.) Вторую пару образуют стволы колонн а₃ и фронтон а₅. Обе пары связаны все тем же законом пропорциональности 1:√5:

(16.4)

Таким образом, "главный фасад оказался зарифмован через строку,- пишет Шевелев.- Причем движение от меньшего к большему (от стереобата к нагрузке), определенное пропорциональной связью первой пары, уравновешено движением от меньшего к большему второй пары (фронтон — ствол колонны), которое противоположно направлено".

Перейдем к оставшимся вертикальным Размерам Парфенона. Высота капители а₇ и диаметр колонны b₂ опять же соотносятся как 1:, откуда а₇=b₂: = а:5( + 1). Зная а₇, легко выразить высоту антаблемента: а₆ = а₂ — а₇ = 4а:5( + 1). Наконец, антаблемент а₆ и капитель а₇ разделены одинаково, зеркально-симметрично, в отношении 1:1: на части х, х, х: и y, y, y: соответственно. Тогда из условия x+x+x: = a₆ и у+у+у: = а₇ находим: x = k₂a₆, y = k₂a₇, k₂ = :(2 + 1), т. е. находим высоты составляющих антаблемент частей — архитрава а₈ = k₂a₆, фриза а₁₀ = k₂а₆ и карниза a₁₂ = k₂a₆:, а также высоты элементов капители — абака a₉ = k₂a₇, эхина a₁₁ =k₂a₇ и шейки а₁₃ = k₂а₇:.

Таковы лишь основные идеи пропорционального деления основных элементов Парфенона.

Пропорциональное дерево Парфенона (по Шевелеву). Все размеры храма от длины стилобата b = 69,5 м до высоты шейки а₁₃ = 0,158 м выражаются через ширину стилобата: а = 100 фут. = 30,87 м

А более пытливому исследователю Парфенон открывает и свои более сокровенные тайны. Оказывается, что угловые колонны в Парфеноне толще остальных, рядовых, и сближены с ними. Отношение верхнего диаметра к нижнему в угловых колоннах менее контрастно, чем в рядовых. Такая расстановка колонн логична: ведь и в жизни сильных людей ставят на флангах. Но дело не столько в этом. Дело в том, что угловые колонны смотрятся на фоне яркого неба Эллады. Солнечные лучи дифрагируют, огибают угловые колонны. Поэтому если их сделать одинаковыми с рядовыми колоннами, которые смотрятся на темном фоне целлы — святилища храма, то угловые колонны будут казаться тоньше. Итак, в конструкцию Парфенона введены так называемые оптические поправки.

Древние греки прекрасно знали особенности оптического восприятия человеческого глаза: строго вертикальные и параллельные колонны кажутся распадающимися, а горизонтальная балка — прогнувшейся книзу.

Но даже оптические поправки в Парфеноне подчинены закону Действительно, нижний диаметр угловых колонн больше "теоретического диаметра" b₂ = a:5( + l) = 190,79 см на 2,96 см, а у рядовых — меньше на 1,32 см. Взяв отношение этих поправок, мы с изумлением обнаруживаем: 1,32:2,96 = 0,446 ≈ 1:( = 0,447!

Оптические иллюзии восприятия. Так выглядел бы Парфенон, если бы его линии были строго горизонтальны и вертикальны (а). Таков Парфенон в действительности (б). Парфенон, каким мы его видим благодаря оптическим поправкам (в). Наклоны и искривления прямых сильно преувеличены

Раз уж мы заговорили об отличии "теоретических" размеров Парфенона от истинных, следует расставить все точки над i. Разумеется, совпадение "теоретических" размеров (см. (16.1) — (16.4) и рис. на с. 222) с реальными размерами Парфенона не является абсолютным. Относительные расхождения теории с действительностью колеблются в пределах от 05% до 1,6%. Наибольшее расхождение получается для высоты антаблемента — 3,5%. Это и понятно, ибо высота антаблемента — единственный размер в "пропорциональном дереве Парфенона", полученный не с помощью закона пропорциональности 1:(, а выражением через другие размеры. Таким образом, антаблемент является наиболее слабым местом в теории Шевелева, и эта слабость теории автоматически проявилась в математической оценке погрешностей. Впрочем, как нам кажется, и такая точность в расстояниях между горизонтальными линиями сооружения (3,5 см на 1 м) является желанным эталоном для некоторых современных строителей.

Заканчивая наш анализ пропорций Парфенона, естественно поставить вопросы: является ли теория Шевелева окончательной теорией Парфенона? Таков ли на самом деле был план построения чертежа Парфенона мудрым Иктином? Ответы на эти вопросы, возможно, даст время. Ибо, как это ни парадоксально, но чем дальше мы уходим от древних, тем лучше мы их узнаем. В этом убеждает нас весь ход развития исторической науки.

И последнее. Внимательный читатель должен задать еще один вопрос: а как теория Шевелева стыкуется с "теориями золотого сечения Парфенона", рассмотренными нами в главе 14? Напомним, что там мы привели к общему знаменателю разнообразные теории пропорций Парфенона, Цейзинга, Жолтовского, Гримма, Хэмбриджа и Месселя и показали, что все они, несмотря на внешнее различие, дают золотое сечение в главных вертикалях Парфенона, т. е. в отношении несущих частей с₁ к несомым с₂ (см. с. 202). А как обстоит дело с этим отношением в теории Шевелева? Из рисунка ясно, что

Поэтому

(16.5)

Итак, мы выполнили обещание, данное на с. 203, и показали, что и теория Шевелева, столь не похожая на все остальные теории Парфенона, там, где оно есть, с большой точностью дает золотое сечение. Точные обмеры показывают, что в самом Парфеноне закон золотого сечения выполнен приблизительно.

(Для поклонников золотого сечения покажем, что в теории Шевелева таковое имеется и в чистом виде. Например, отношение а₁ :(a₂ + a₅) = l:2k₁ = ( + 2):2 = Φ. Этот факт еще раз говорит только о том, что двойной квадрат 1: тесно связан с золотым сечением.)

Прежде чем окончательно расстаться с Парфеноном, заметим, что и пропорции этого шедевра, и дорический ордер, в котором он выполнен, были не единственными архитектурными канонами, созданными гениальными древними греками. Неподалеку от Парфенона, на том же священном для древних и для современной цивилизации Акрополе, возвышается и другой бессмертный шедевр — храм Афины и Посейдона-Эрехтея — Эрехтейон, построенный чуть позже Парфенона, в 421 — 406 гг. до н. э. Но как не похоже это изящное и изысканное асимметричное сооружение, исполненное в ионическом ордере, на спокойный, строгий и симметрично уравновешенный Парфенон! Сколь отличны их пропорции! Достаточно сказать, что колонны Эрехтейона "вдвое стройнее": в них отношение диаметра основания к высоте равно 1:10. Но пропорции Эрехтейона — это еще одна увлекательная страница в архитектуре античности. А нас уже ждут гулкие своды готики.

Из светлого и жизнеобильного мира Древней Эллады перенесемся сквозь полтора тысячелетия в сумрачную эпоху европейского средневековья. Как все переменилось! Иная культура, иная философия, иная религия, иная архитектура... Вместо озаренной улыбкой античной любви к жизни и человеку — философия "умерщвления плоти", презрения земных радостей, аскетизма. Любые ростки свободной мысли, всякий вольный полет фантазии проходили через безжалостное прокрустово ложе церковных канонов. Но и в этих условиях

"В те времена каждый родившийся поэтом становился зодчим. Рассеянные в массах дарования, придавленные со всех сторон феодализмом... не видя иного исхода, кроме зодчества, открывали себе дорогу с помощью этого искусства, и их илиады выливались в форму соборов. Все прочие искусства повиновались зодчеству и подчинялись его требованиям... Архитектор — поэт — мастер в себе одном объединял скульптуру, покрывающую резьбой созданные им фасады, и живопись, расцвечивающую его витражи, и музыку, приводящую в движение колокола и гудящую в органных трубах. Даже бедная поэзия, подлинная поэзия, столь упорно прозябавшая в рукописях, вынуждена была под формой гимна или хорала заключить себя в оправу здания..." (В. Гюго. "Собор Парижской Богоматери").

Но если греческое сознание всегда было обращено к человеку, если даже в дорических колоннах греки видели торжественное могущество мужского тела, а в изящных завитках ионических волют — женскую грацию и кокетство, то ни о каких реминисценциях с пропорциями человеческого тела в готической архитектуре не могло быть и речи. Человеческая плоть презиралась христианской религией, и в пропорциях готики господствует холодная геометрия. Треугольники и квадраты — простейшие геометрические фигуры — вот основа готических пропорций; триангулирование и квадрирование[28] — вот методы достижения гармонии в готике. Но ведь и чистая геометрия прекрасна, и она смогла стать теоретической базой готической архитектуры, которая, по словам Гоголя, "есть явление такое, какого еще никогда не производил вкус и воображение человека".

Хотя средневековье на полтора тысячелетия ближе к нам, чем Древняя Греция, мы также почти не располагаем подлинными документами о методах строительства готических соборов. И причиной тому не столько пламя военных пожарищ, беспрерывно полыхавшее над Европой, сколько особый характер созданных средневековыми строителями и зодчими организаций. Это были не просто обычные для средневековья цеховые объединения. Это были союзы, именовавшие себя братствами строителей-каменщиков, которые, подобно пифагорейским союзам, были окружены плотной завесой тайны. Члены братства каменщиков считали себя избранными, приобщенными к тайнам высочайшего искусства архитектуры. Как и пифагорейцы, каменщики пользовались лишь им понятным символическим языком, тщательно оберегая от непосвященных свои профессиональные секреты. И если у пифагорейцев их главной богиней была математика, то средневековые каменщики боготворили архитектуру. Собрания членов братства происходили в закрытых помещениях — ложах. Ложи имели строгую иерархию, разделяя братьев на учеников, подмастерьев, мастеров, великих мастеров. Вступая в ложу, ученики приносили клятву верности братству и соблюдения тайны великого искусства архитектуры. Собрания и прием новых членов регламентировались строго разработанным церемониалом, до краев наполненным средневековым мистицизмом. Все это свидетельствует об исключительном авторитете науки и искусства архитектуры в средние века. Заметим, что под влиянием союзов каменщиков-строителей средневековья с начала XVIII века в Европе возникают религиозно-этические союзы вольных каменщиков-масонов (от франц. macon — каменщик). Ложи масонов, сохранившие на Западе огромное влияние и поныне, уже не имели никакого отношения к строительству, хотя и заимствовали у своих средневековых предшественников полный набор мистических обрядов и традиций. (Собрание масонской ложи красочно описано в "Войне и мире" Льва Толстого.)

Виллар де Оннекур. Рисунки из альбома. 1235. Париж. Национальная библиотека. Попытки геометризированного рисования человека и животных, приведшие к полному отрицанию естественных пропорций

Виллар де Оннекур. Рисунки из альбома. 1235. Париж. Национальная библиотека. Попытки геометризированного рисования человека

Но истину нельзя удержать в узде: стало достоянием человечества учение Пифагора, обрели жизнь и теоретические изыскания мастеров-каменотесов. Наиболее ранние из них мы находим в альбоме французского зодчего XIII века Вил л ара де Оннекура. Альбом содержит ряд геометрических конструкций, позволявших моделировать архитектурные формы, а также размышления автора о пропорциях человеческого тела. Сколь отличны эти рисунки от работ античных мастеров! Если древние греки пытались постичь законы пропорционального строения человеческого тела, а затем перенести эти законы на архитектурные сооружения, то средневековые мастера, наоборот, пытаются втиснуть живые линии в рамки простейших геометрических фигур, полностью игнорируя естественные пропорции. Вот голова мужчины, вписанная в сетку квадратов и их диагоналей (см. рис.). Это отнюдь не шарж или шутка, а прорисовка с витражей знаменитого Реймского собора. Человеческое тело не является более "мерой всех вещей". Такой мерой становится система геометрических фигур. Именно сетка геометрических линий является тем скелетом, на котором строится тело здания.

К концу XV века было издано несколько книг, посвященных секретам строительного мастерства средневековых зодчих. Вот строки из книги "О камне", написанной в 1486 г. немецким мастером Матхаусом Роцирером: "Если хочешь начертить план башни на точной геометрической основе по примеру каменотесов, начерти квадрат, обозначь его углы буквами а, Ь, с, d ... затем раздели линию а — b на две равные части и обозначь середину буквой е и таким же образом раздели три оставшиеся стороны квадрата. Затем поверни меньший квадрат так, как показано на рисунке". Система квадратов, описанная здесь, очевидна.

Чертежи для конструирования готических башен из книги Матхауса Роцирера 'О камне'. Регенсбург. 1486 (а)

Система квадрирования из книги Лоренца Лахера 'Наставления мастера Лахера'. Нюрнберг. 1516 (б)

Система триангулирования Миланского собора. Иллюстрация из 'Комментариев к Витрувию' Цезаря Чезарино. Милан. 1521

Миланский собор. 1386-1858. Этот самый большой из всех готических соборов мира вмещает 40 000 молящихся. Строительство собора началось в 1386, шпиль был сооружен в 1756-1779, главный фасад завершен в 1805-1813, а последний шпиль — в 1858. Таким образом, собор строился 572 года!

Витражи королевской капеллы Сен-Шапель-жемчужины французской высокой готики. Париж. 1240-1248

Равносторонний треугольник — основа пропорциональной сетки капеллы Сен-Шапель (по Виолле-ле-Дюку)

Однако протест всесильных лож, требовавших строжайшего запрета на разглашение тайн строительства, помешал Роциреру продолжить публикацию своих трудов. Более того, из сохранившихся документов известно, что за нежелание подчиняться уставу строитель собора мастер Вольфган Роцирер, дядя Матхауса Роцирера, а с ним и резчик Микаэл Лой в 1514 г. были приговорены к смертной казни.

Пропорции западного фасада собора Парижской Богоматери

Показательны и строки из завещания сыну другого немецкого мастера Лоренца Лахера, написанного в 1516 г.: "Впиши один в другой три квадрата — и ты получишь длину и ширину, это та единая основа, к которой сводятся почти все необходимые нам чертежи".

Собор Парижской Богоматери (Нотр-Дам де Пари). Западный фасад. 1163-1257

Но была у средневековых мастеров и другая система пропорционального построения — система триангулирования. Противоположность мнений сторонников систем "ад квадратум" и "ад триангулам" со всей остротой проявилась в дискуссии, состоявшейся во время строительства Миланского собора. По причине огромных размеров собора, заложенного в 1386 г., при его строительстве возникли серьезные затруднения. Миланские зодчие пригласили иностранных коллег. В 1389 г. из Парижа был вызван мастер Николас де Бонавентура. В 1391 г. миланский мастер Джиованни был направлен для консультаций в Германию к мастеру Кельнского собора. В 1394 г. из германского города Ульма прибыл в Милан Ульрих фон Энсинген, а в 1399 г.- из Парижа Жан Миньо. В этот период положение с собором стало критическим. 11 января 1400 г. состоялось собрание всех архитекторов, на котором возник серьезный спор между Миньо и итальянскими зодчими. Разногласия во мнениях составили 54 пункта, среди которых был и пункт о системах пропорционирования. Сторонники системы триангулирования победили. На чертеже, сделанном в 1521 г. Чезаре Чезарино с оригинала 1395 г., мы видим, что в основе пропорций собора лежат равносторонние треугольники (см. рис. на с. 230).

Пропорции: от Парфенона до Нотр-Дама

Среди сторонников системы триангулирования также велись споры относительно того, из каких треугольников должна состоять пропорциональная сетка готического собора: равносторонних, "египетских" и т. д. Мы не будем углубляться в эти теоретические премудрости, а только заметим, что и сторонники системы "ад триангулам", и приверженцы схемы "ад квадратум" оставили потомкам первоклассные архитектурные памятники. В качестве примера укажем на две жемчужины французской столицы: королевскую капеллу Сен Шапель (1243-1248) и знаменитый Нотр-Дам де Пари - собор Парижской Богоматери (1163-1257).

Капелла Сен Шапель — вершина высокой готики, образец совершенной гармонии и безукоризненной формы. Интерьер капеллы ошеломляет даже знатоков готического искусства: потоки теплого света, струящиеся из ее витражей, мощным аккордом вливаются в застывшую симфонию изысканных архитектурных форм капеллы. Согласно исследованиям Виолле-ле-Дюка, пропорциональная сетка капеллы построена на равносторонних треугольниках.

Собор Парижской Богоматери — самый величественный и самый популярный памятник ранней готики. В гордой размеренности западного фасада собора горизонтальные линии еще соперничают с вертикальными. Еще не исчезла стена фасада (ведь это только начало готики), но она уже приобрела легкость и даже прозрачность. Как показал французский историк архитектуры Огюст Шуази, пропорциональную основу западного фасада собора Нотр-Дам составляет квадрат, а высота башен фасада равна половине стороны этого квадрата...

17. Пропорции: от Покрова на Нерли до Модулора ле Корбюзье

В 1784 г. смиренный отец боголюбовской монашеской братии испросил разрешения у преосвященнейшего Виктора, архипастыря владимирского, благословления на разборку для монастырских потреб обветшавшей и полузаброшенной церковки. Разрешение было милостиво жаловано, но, как говорится, жизнь распорядилась по-своему: заказчики и подрядчики не сошлись в цене. Работы не начались, а там о них и вовсе забыли. Так волею судьбы остался жив памятник, который обошли стороной полчища Батыя и Мамая, пощадили столетия и пожарища бесконечных войн, шедевр древнерусского зодчества церковь Покрова Богородицы на Нерли.

В ясные летние дни среди зелени заливных лугов ее стройная белизна, отраженная гладью старицы Клязьмы, дышит поэзией сказки. Лишь в короткие минуты заката белая свеча церкви загорается тревожно-багряным пламенем. В суровые зимы бескрайняя снежная пелена, будто заботливая мать, укутывает и прячет свое замерзшее дитя. "Во всей русской поэзии, давшей миру столько непревзойденных шедевров, нет, быть может, памятника более лирического, чем церковь Покрова на Нерли, ибо этот архитектурный памятник воспринимается как поэма, запечатленная в камне. Поэма русской природы, тихой грусти и созерцания" (Л. Любимов).

Прежде чем приблизиться к тайне очарования древнерусской архитектуры, нам необходимо познакомиться с системой мер, существовавшей в Древней Руси. Мы уже отмечали (с. 198), что в разных местах земного шара, в разные времена и у разных народов эталоны длины были в принципе одинаковыми: они так или иначе происходили от человеческого тела. Эти так называемые антропометрические меры обладали ценнейшим для архитектуры качеством, о котором с введением метрической системы мер забыли, но к которому в XX веке вернулся Ле Корбюзье. Дело в том, что антропометрические меры в силу своего происхождения соразмерны человеку и поэтому удобны для конструирования искусственной среды обитания людей — архитектурных сооружений. Более того, в "человечьих" мерах заложены пропорции, отобранные самой природой, такие, как деление пополам, золотое сечение, функция золотого сечения. Следовательно, в антропометрических мерах естественным образом заложена гармония природы.

Основной строительной мерой в Древней Руси была сажень, равная размаху рук в стороны. Сажень делилась на 2 полусажени, полусажень — на 2 локтя - расстояние от кончиков пальцев до локтя, локоть — на 2 пяди — расстояние между вытянутыми в противоположные стороны большим пальцем и мизинцем. Все четко и логично. Однако чем пристальнее историки изучали древнерусские летописи, тем больше становилось саженей, а когда их число перевалило за десять, голова у историков пошла кругом. Необходимо стало навести математический порядок в древнерусской системе мер. Это сделали историк, академик Б. А. Рыбаков и архитектор И. Ш. Шевелев. Начало антропометрическим мерам дает рост человека а. Главной из всех видов саженей является мерная, или маховая, сажень С_м, которая равна размаху рук человека в стороны. Изучение пропорций человеческого тела показывает, что С_м = 1,03а. Другой важной мерой у всех народов являлся двойной шаг, который равен высоте туловища от стоп до основания шеи. Последнее расстояние, как мы знаем (с. 220), равно ⁵/₆а. Таким образом, двойной шаг, или малая (тмутараканская) сажень, С_т = ⁵/₆а = 0,833а. Но главный сюрприз кроется в отношении этих двух основных размеров:

(17.1)

Следовательно, малая сажень С_т относится к мерной С_м как сторона двойного квадрата к его диагонали без малой стороны:

Из (17.1) ясно, что отношение мерной полусажени С_м/2 к малой сажени С_т равно золотому сечению:

(17.2)

Итак, в установленном самой природой отношении полуразмаха рук (RS) к высоте туловища (LQ), т. е. в отношении двух основных мер Древней Руси, заключено золотое сечение, столь распространенное в древнерусской архитектуре.

Рост человека: а = АВ

Мерная сажень: С_н = AC = CN = 1,03a

Малая (тмутараканская) сажень:

Сажень без чети:

Косая новгородская сажень:

Косая великая сажень:

Соотношения между саженями:

— золотое сечение

— функция золотого сечения

Основные древнерусские меры длины и геометрическая взаимосвязь между ними

Построив квадраты на малой С_т и мерной С_м саженях и проведя в них диагонали, мы получаем еще два типа саженей: косую новгородскую саженьи великую косую сажень. В отличие от первых двух саженей (малой и мерной), выражающих природные меры, косые сажени получены чисто геометрическим путем. Ясно, что

(17.3)

Наконец, существовала еще одна сажень, получаемая геометрическим путем. Это так называемая сажень без чети С_ч, равная диагонали AM половины квадрата, построенного на мерной сажени С_м. У этой сажени не было соответствующей косой пары, и поэтому ее называли саженью без пары, без четы, или без чети. Из треугольника АСМ следует, что , откуда

(17.4)

т. е. отношение сажени без чети С_ч к мерной сажени С_м равно функции золотого сечения (см. с. 219).

Таковы лишь основные типы саженей, существовавших в древнерусской метрологии. Новгородская мерная трость, найденная в 1970 г. (см. с. 219), позволила уточнить их размеры. Новгородские меры XII века соответствуют росту человека: а = 170,5 см. Тогда С_м = 175,6 см, С_т = 142,1 см, К_н= 200,9 см, К_в= 248,3 см, С_ч= 196,3 см. Если же рост человека принять равным 6 греческим футам: а = 6*30,87 = 185,22 см, то для основных саженей (мерной и малой) получим значения: С_м = 190,8 см и С_т = 154,3 см. Именно эти меры наиболее часто встречаются в древнерусских храмах XI века, строительство которых, по-видимому, велось византийскими мастерами. Так, вместе с христианством Русь наследовала византийскую систему мер, которая в свою очередь взросла на античной средиземноморской культуре. Абсолютные размеры саженей в России с течением времени сильно колебались вплоть до введения метрической системы мер в 1918 г. Но важно то, что пропорциональные отношения между парными саженями сохранялись. Эти пропорции становились пропорциями архитектурных сооружений.

О том, что меры древнерусскими строителями применялись парами, свидетельствует, например, новгородская грамота XVI века, которая так описывает размеры Софийского храма в Новгороде: "а внутри главы, где окна,- 12 сажен, а от Спасова образа ото лбу до моста церковного — 15 сажен мерных". (Обмеры показывают, что упоминаемые сажени соотносятся как :2.) О применении парных мер говорит и новгородская мерная трость, в которой малая сажень С_т использовалась либо в паре с мерной саженью С_м(С_т:С_м = 1:( — 1)), либо с косой новгородской К_н(С_т:К_н = 1:√2). Если же на новгородской трости брались мерные полусажени в паре с малой саженью, то эта пара давала золотое сечение (С_м/2:С_т=φ). Итак, красота пропорций древнерусской архитектуры заложена в самой системе древнерусских мер, дающей такие важнейшие пропорции, как золотое сечение, функция золотого сечения, отношение двойного квадрата.

Но помимо всех этих пропорций, которые от самой природы перешли в систему мер, а затем и в архитектурные памятники, был у древнерусских мастеров и еще один секрет. Именно этот секрет позволял придавать каждому древнему сооружению неповторимую прелесть, "нюанс", как говорят архитекторы. Секрет этот раскрыт в рядной записи плотника Федора на постройку деревянной церкви Усть-Кулуйского погоста (кон. XVII в.), где сказано: "А рубить мне, Федору, в высоту до порога 9 рядов, а от полу до поволоки — как мера и красота скажет..."

"Как мера и красота скажет..." Эта замечательная формула безвестного русского плотника выражает суть диалектики взаимодействия рационального (мера) и чувственного (красота) начал в достижении прекрасного, союз математики (мера) и искусства (красота) в создании архитектурных памятников.

Перейдем, наконец, к анализу пропорций церкви Покрова на Нерли. Этот архитектурный шедевр для русского человека значит столько же, сколько Парфенон для грека. Поэтому неудивительно, что пропорциональный строй небольшой церкви анализировался многими исследователями и каждый из них старался дать свою "окончательную" разгадку тайны ее очарования. Рассмотрим кратко и мы пропорции церкви Покрова на Нерли с двух точек зрения.

Согласно архитектору Шевелеву, в основе пропорционального строения церкви Покрова лежит отношение сажени без чети к мерной сажени, которое является функцией золотого сечения (С_ч:С_м = √5:2), а сам план церкви был построен следующим образом. Вначале размечался прямоугольник длиной 3 сажени без чети и шириной 3 мерные сажени, который очерчивал столбы, несущие барабан и своды. Поскольку 3С_ч: 3С_м = √5:2 = 1,118, то стороны этого прямоугольника относятся к функции золотого сечения, а сам прямоугольник является почти квадратом, или, в терминологии Жолтовского, "живым квадратом". Проведя в исходном прямоугольнике диагонали, зодчий получал центр храма, а отложив на диагоналях от вершин к центру по 1 мерной сажени,- подкупольный прямоугольник и размеры несущих столбов. Так было построено ядро плана, определявшее все дальнейшие горизонтальные и вертикальные размеры сооружения. Мерная сажень строителей церкви Покрова равнялась С_м = 1,79 м.

Отмерив от Центра храма на восток 3С_м и на запад 3С_ч, мастер получал длину внешнего прямоугольника, равную . А отложив этот размер в мерных саженях,- его ширину 5³/₄С_м. Таким образом, внешний прямоугольник плана церкви подобен ядру плана и также является "живым квадратом". Диагональ подкупольного прямоугольника определила диаметр центральной абсиды (подкупольного алтарного выступа) и диаметр барабана храма. Короткая сторона подкупольного прямоугольника задавала диаметры боковых абсид.

Наконец, высота основания храма — четверика, читаемая по высоте тонких колонок,- равна удвоенной длине ядра плана, т. е. 2*3С_ч = 6С_ч, а высота барабана с шлемовидной главой[29] — удвоенной ширине ядра, т. е. 2*3С_м = 6С_м. Таким образом, главные вертикальные размеры храма — высота основания и высота завершения — также относятся в функции золотого сечения. Сам же четверик представляет собой "почти куб", основанием которого является "почти квадрат", а высота почти равна сторонам основания. Итак, в построении четверика храма явно виден принцип приблизительной симметрии, который так часто встречается в природе и искусстве (см. гл. 4). Можно указать и на более мелкие членения храма, относящиеся в функции золотого сечения, т. е. в отношении сажени без чети к мерной сажени. Например, каменный поясок, венчающий колончатый фриз, который охватывает всю церковь и является ее важной архитектурной деталью, делит высоту четверика в функции золотого сечения.

Рассмотрим теперь ихнографию храма Покрова на Нерли, какой ее видит знаток древнерусской архитектуры К. Н. Афанасьев. Согласно Витрувию, "ихнография есть надлежащее и последовательное применение циркуля и линейки для получения очертаний плана". Как считает Афанасьев, исходным размером церкви Покрова является меньшая сторона подкупольного прямоугольника, равная 10 греческим футам: а = 10 греч. фут. = 308,7 см. Тогда большая сторона подкупольного прямоугольника получается как диагональ двойного квадрата со стороной а/2. Таким образом, подкупольный прямоугольник является "живым квадратом", стороны которого соотносятся в функции золотого сечения. Толщина столбов определяется отношением золотого сечения к модулю а/2. Дальнейшие построения ясны из рисунка. Так строится ядро плана. Остальные размеры плана получаются аналогичными построениями, опираясь в основном на модуль а/2.

Пропорции церкви Покрова Богородицы на Hepли. Построение плана с помощью парных мер по Шевелеву (а). Геометрическое построение ядра плана по Афанасьеву (б). Некоторые пропорциональные членения западного фасада (в)

Заметим, что вместе с функцией золотого сечения закон золотого сечения также определяет пропорциональный строй церкви Покрова. Это неудивительно, ибо данные отношения связаны геометрией двойного квадрата. Как установил Афанасьев, закону золотого сечения подчинены прежде всего главные вертикали храма, определяющие его силуэт: высота основания, равная высоте тонких колонок четверика, и высота барабана. Диаметр барабана относится к его высоте также в золотой пропорции. Эти пропорции видны с любых точек зрения. Переходя к западному фасаду, ряд золотого сечения можно продолжить: плечи храма относятся к диаметру барабана в золотой пропорции. Итак, принимая высоту белокаменной части церкви (от цоколя до купола) за единицу, мы получаем ряд золотого сечения: 1, φ, φ², φ³, φ⁴, который определяет силуэт архитектурного сооружения. Этот ряд можно продолжить и в более мелких деталях. (Разумеется, западный фасад с точки зрения золотой пропорции не составляет исключения и взят нами лишь в качестве примера.)

Подведем некоторые итоги. Мы видим, что непостижимая, казалось бы, гармония храма Покрова подчинена математически строгим законам пропорциональности. План церкви построен на пропорциях функции золотого сечения — "живых квадратах", а ее силуэт определяется рядом золотого сечения. Эта цепь математических закономерностей и становится волшебной мелодией взаимосвязанных архитектурных форм. Конечно, законы пропорциональности определяют только "скелет" сооружения, который должен быть правильным и соразмерным, как скелет здорового человека. Но помимо математических законов меры в недрах архитектурного шедевра непременно заложены и непознанные законы красоты: "как мера и красота скажет..."! Именно диалектика взаимодействия законов меры и законов красоты, которые часто проявляются в отклонениях от законов меры, и создает неповторимый образ архитектурного шедевра.

Заметим, что с точки зрения геометрии рассмотренные нами реконструкции пропорционального строения церкви Покрова аналогичны. Они согласуются между собой и дают в плане три вписанных друг в друга "живых квадрата", отношение сторон которых √5:2 определяет весь пропорциональный строй храма. Однако с точки зрения истории архитектуры эти реконструкции отличаются принципиально. Первая из них основана на древнерусской системе мер и, следовательно, предполагает, что церковь Покрова была построена русскими зодчими. Вторая же в качестве основного размера имеет греческую меру и потому дает основание считать, что церковь строилась приглашенными из Византии мастерами... Кто и как создал жемчужину русской архитектуры? Возможно, мы еще узнаем ответ и на этот вопрос...

Церковь Покрова была построена в 1165 г. А через 73 года она стала свидетельницей небывалой в истории России беды: полчища Батыя, превратив в пепелище Рязань, Коломну и Москву, осадили Владимир. Русскому государству, истерзанному княжескими раздорами, был нанесен смертельный удар, оправиться от которого в полной мере Россия смогла только через 200 лет, к концу XV века.

Церковь Вознесения в селе Коломенском (ныне Москва). 1532. Шедевр древнерусского зодчества, один из первых каменных шатровых храмов на Руси

В 1530 г. в царской усадьбе — селе Коломенском под Москвой — родился будущий царь пробуждающейся России Иван Грозный. А через два года здесь же, в Коломенском, на крутом берегу Москвы-реки, было завершено строительство церкви, поставленной в память об этом событии. Зодчие будто предвидели рождение небывало грозного царя: церковь тоже была небывалой. В ней все", и высота (почти 62 м), и каменный шатер, и устремленная ввысь форма — было невиданным. Новый храм словно символизировал прорыв России в свободное от татарского ига будущее. "...Бе же церковь та велми чюдна высотою и красотою и светлостию, такова не бывала прежде на Руси",- писал о ней летописец. Весь пропорциональный строй церкви, все ее безудержное стремление ввысь как нельзя более соответствовали названию — храм Вознесения.

Но для нас храм Вознесения интересен еще и тем, что он является не только гимном расправляющей крылья России, но и архитектурным гимном геометрии.

Ни один из рассмотренных архитектурных шедевров, в том числе и Парфенон, не настолько пронизан геометрией, не настолько прост и лаконичен в своей размерной структуре, как храм Вознесения в Коломенском. Соразмерности храма с предельной ясностью определены двумя парными мерами: горизонтальные — малой (тмутараканской) саженью С_т и косой новгородской саженью К_н (С_т:К_н = 1:√2), вертикальные — малой саженью С_т и мерной саженью С_м (С_т:С_м = 1:(√5 — 1)) и их комбинацией С_м:2С_т= (√5 — 1):2 = φ, дающей золотое сечение. Таким образом, храм Вознесения является также прекрасным примером применения московскими мастерами измерительного инструмента типа новгородской мерной трости, созданной, как мы помним, для работы именно этими двумя парами мер (см. с. 220). Рассмотрим пропорциональ-ный анализ храма, сделанный архитектором Шевелевым.

В основу плана церкви Вознесения положен квадрат ABCD со стороной в 10 малых сажень: а = АВ = 10С_т. Ясно, что диагонали квадрата равны 10 косым новгородским саженям: AC = BD = 10√2СТ = 10К_н. Так с помощью парных мер С_т и К_н осуществлялся контроль правильности построения исходного квадрата. Окружность радиуса R = 5K_н, описывающая квадрат, определяет положение всех 12 наружных углов плана храма. Вписав через середины сторон в квадрат ABCD новый квадрат и сделав построения, мы получим внешний контур плана — 20-уголъник. Выступающие над исходным квадратом части называются притворами, их ширина равна а/2 = 5С_т. Выразив радиус описанной окружности R в мерных саженях и отложив эту величину в малых саженях, строители получали сторону квадрата b, определяющего внутреннее пространство храма:

Разумеется, коломенские мастера не вычисляли никаких радикалов! Они просто прикладывали мерную трость разными сторонами и автоматически переходили из одной меры в другую. План церкви построен. А мы выразим еще сторону квадрата с, охватывающего притворы: с = ^√7/₂а (треугольник, из которого находится с/2, на чертеже не показан, чтобы не портить красоту центральной симметрии плана; найдите его). Зная а, b, с, легко выразить все остальные размеры плана и соотношения между ними.

Перейдем к объемам и вертикальным членениям храма. Церковь Вознесения со всех сторон окружена крытой галереей, поднятой над уровнем земли и называемой гульбищем. Гульбище делалось на уровне перекрытия подклета — полуподвального помещения, используемого в хозяйственных целях. Вход в церковь устраивался с гульбища, на которое в храме Вознесения ведут три крыльца, и, таким образом, вертикальные размеры церкви с гульбищем воспринимаются от уровня последнего.

Основной объем храма составляет 20-гранная призма, поставленная на подклет. Ее высота равна стороне исходного квадрата а. Таким образом, ядром основного объема является куб — четверик а×а×а (а=10С_т), украшенный гранями притворов. Вместе с подклетом высота 20-гранной призмы равна диагонали исходного квадрата а√2 = 10√2С_т = 10К_н. Итак, сторона и диагональ исходного квадрата (ядра плана) полностью определяют вертикальные размеры основного объема (ядра основания).

Двадцатигранная призма основного объема через затейливый пояс кокошников переходит в восьмигранную призму — восьмерик. Восьмерик также вписан к куб d×d×d(d = 9C_т). Затем восьмерик переходит в восьмигранный шатер, высота которого h = d√2 = 9√2С_т = 9К_н, т. е. шатер вписан в прямоугольный параллелепипед 9С_т×9С_т×9К_н. Площадь верхнего сечения шатра уменьшена в 16 раз, а его линейные размеры — в 4 раза. Поскольку 1/4 сажени равна локтю, то, следовательно, верхнее сечение вписано в квадрат где Л_т — малый (тмутараканский) локоть (4Л_т = С_т). Наконец, через венчающий карниз шатер завершается восьмигранным барабаном, сечение которого на малый полулокоть превышает верхнее сечение шатра. Барабан чуть нависает над шатром и вписан в куб f×f×f (f = 9,5Л_т), а вместе с главкой, взятой без яблока (см. рис. на с. 242), барабан вписан в прямоугольный параллелепипед f×f×√2f.

Итак, мы видим как сторона ядра плана а, измеренная то малой саженью, то косой новгородской, рождает все главные вертикали храма. Заметим, что общая высота церкви от верха цоколя до яблока, на котором стоит крест, равна 4а = 40С_т, т. е. также простейшим образом выражается через исходный размер а. И еще одно важное отношение. Пояс кокошников, через который четверик основания переходит восьмерик шатра, делит храм на две части — основание и завершение. Высота основания h₁≈14C_т, а высота завершения h₂≈14K_н, откуда h₁:h₂ = C_т:K_н = 1:√2, т. е. главные вертикальные членения храма также относятся как малая и косая новгородская сажени.

Пропорциональный строй церкви Вознесения в Коломенском (по Шевелеву)

Но пропорции храма Вознесения определены не одной, а двумя математическими закономерностями. Помимо пропорции С_т:К_н= 1:√2, определяющей основание, статическое начало храма, есть в нем и другая тема — тема развития вверх, вознесения, которая определена пропорциональной цепью: С_т:С_м = 1:(√5 — 1), а также пропорцией золотого сечения: С_м:2С_т=φ. В проведении этой темы соблюден знакомый нам по Парфенону принцип встречного движения пропорций. Две разные пропорциональные цепи накладываются друг на друга, сталкиваются и противоборствуют. В этом столкновении двух противоборствующих начал — горизонтального и вертикального — и заключается архитектурный образ церкви Вознесения. Не останавливаясь на математическом анализе этих двух систем, предоставим слово автору прекрасного эстетического анализа церкви Вознесения, искусствоведу А. Циресу. "В образе этой церкви,- пишет Цирес,- сплетаются два основных лейтмотива: мотив острого, полного столкновений и диссонансов динамизма и мотив гармонически спокойной красоты... Сложный ритм арок нижних галерей... идет, учащаясь от краев к центру,... теснит арки от краев к углам основного массива церкви и к ее середине,... подсказывает смену горизонтального движения движением, направленным ввысь... Так снизу вверх идет последовательное смягчение кристаллизма и нарастание компактности объема, вплоть до его стянутости в крепкий узел, венчающий всю объемную композицию главкой".

Но закончить разговор о пропорциях церкви Вознесения в Коломенском нам хочется словами автора математического анализа ее пропорций, Шевелева. "Подчеркнем выразительнейшую деталь размерной структуры, наиболее ярко показывающую особенность логики древнего мастера, стремящегося особенно точно выразить в метрологии главное. Так же как 10 саженей определили, по существу, весь храм, его ядро, так же и 10 локтей определили символ и венчание церкви — крест (10С_тХ10С_тХ10С_т — четверик; 10С_тХ10С_тХ10К_н — призма четверика; 10Л_тХ10Л_т — соразмерность креста, ибо в нем заключен для зодчего и смысловой символ соединения, и символ торжества вертикали, и символ храма, и символ пропорции, построившей этот образ)".

Модулор Ле Корбюзье. Рисунок Ле Корбюзье. 'Модулор — это измерительный прибор, в основе которого лежат человеческий рост и математика' (Ле Корбюзье)

Нам остается только добавить, что село Коломенское давно уже стало частью современной Москвы и тем, кто не знает этого, мы рекомендуем сойти на одноименной станции метро и воочию убедиться в гениальности безвестных русских мастеров. Ну а те, кто знаком с храмом Вознесения, быть может, захотят теперь взглянуть на него другими глазами, увидеть в нем не только причудливую игру воображения художника, но и мудрый расчет изощренного ума мастера.

Коль скоро речь у нас зашла о метро, то перенесемся, наконец, в современный XX век. Время поисков пропорций и сегодня не кануло в Лету, напротив, по мнению Ле Корбюзье, оно только настало.

Мы уже отмечали (с. 220), что антропометрические меры благодаря своему происхождению оказались как нельзя лучше приспособлены для конструирования архитектурной среды. Мы только что убедились в том, что антропометрические меры содержали в себе замечательные пропорции, позволявшие древним мастерам создавать прекрасные памятники архитектуры.

7 апреля 1795 г. во Франции была введена метрическая система мер, в разработке которой участвовали такие крупнейшие ученые, как Лаплас, Монж, Кондорсе. За единицу длины — метр — была принята 1/10 000 000 часть 1/4 длины парижского географического меридиана. Метрическая система обладала бесспорными преимуществами и все шире раздвигала границы своего существования. Однако метр никоим образом не был связан с человеком, и, по мнению Ле Корбюзье, для архитектуре это имело самые серьезные последствия^ "Принимая участие в постройке хижин, жилых домов, храмов, предназначенных для потребностей человека, метр, по-видимому, ввел в них чужие и чуждые единицы измерения и, если мы присмотримся к нему ближе, может быть обвинен в дезориентации современной архитектуры и ее искажении... Архитектура, построенная на метрических измерениях, сбилась с правильного пути".

Но главная причина, толкавшая зодчих XX века на поиски новых систем измерений в архитектуре, была все-таки не в недостатках метрической системы мер. Английская архитектура с постоянством продолжала пользоваться футами и дюймами, но и у нее возникли те же проблемы. Дело было в том, что вместе с XX веком в архитектуру пришли невиданные объемы и темпы строительства. Проектирование архитектурной среды стало преимущественно типовым, а сама архитектура — индустриальной. В этих условиях строительные элементы необходимо было стандартизировать и унифицировать. Кроме того, архитекторам хотелось бы примирить непримиримое: красоту и стандарт. Требовалось найти такие методы пропорционирования, которые обладали бы максимальной гибкостью, простотой и универсальностью. "Если бы появился какой-нибудь линейный измеритель, подобный системам музыкальной записи, не облегчился бы ряд проблем, связанных со строительством?" — спрашивал Ле Корбюзье. И в 1949 г. он сам отвечает на этот вопрос, предложив в качестве такого измерителя систему модульной унификации — модулор.

Идея построения модулора гениально проста. Модулор — это ряд золотого сечения (15.2):

(17.1)

умноженный на два коэффициента. Первый коэффициент k₁ равен росту человека; умножая (17.1) на k₁, Корбюзье получает так называемый красный ряд. Второй коэффициент k₂ равен расстоянию от земли до конца поднятой руки человека (это большая сажень в древнерусской системе мер)- При умножении (17.1) на k₂ получается синий ряд. Осталось только выбрать числовые значения коэффициентов. Желая примирить в моду лоре английскую и французскую системы мер, а также следуя античной традиции, согласно которой рост человека равен 6 футам, Корбюзье взял в качестве k₁ 6 английских футов, т. е. k₁ = 6*30,48 = 182,88 см. Значение k₂ принято равным 226,0 см. Так были получены красный ряд:

(17.2)

и синий ряд:

(17.3)

Значение k₂ было выбрано еще и так, чтобы между красным и синим рядами существовала простая связь:

(17.4)

Следовательно, синий ряд фактически есть удвоение красного ряда.

Будучи геометрическими прогрессиями, члены обоих рядов модулора образуют цепь равных отношений: a_n+1:a_n = b_n+1:b_n = Φ, т. е. в моду лоре воплощается принцип гармонии: "из всего — единое, из единого — все". Благодаря аддитивному свойству золотого сечения "части" модулора сходятся в "целое". Наконец, абсолютные значения шкал модулора происходят от человека и потому хорошо приспособлены для проектирования архитектурной среды. Так, по мнению автора, модулор вносит порядок, стандарт в производство и в то же время связывает все его элементы законами гармонии.

Числа красной и синей шкал модулора — действительные размеры, соответствующие определенным положениям тела человека. Рисунок Ле Корбюзье

Капелла в Роншане. 1958 (б). Эти два антипода в творчестве великого зодчего, две различные философии в архитектуре связаны воедино гаммой архитектурных пропорций — модулором

Ле Корбюзье. 'Лучезарный дом' в Марселе. 1947-1952 (а). Эти два антипода в творчестве великого зодчего, две различные философии в архитектуре связаны воедино гаммой архитектурных пропорций — модулором

Однако "погоня за двумя зайцами" (желание иметь хорошие числа и в метрах, и в футах) вылилась в серьезный недостаток: размеры модулора оказались несоразмерными со средним ростом человека. Широкого распространения модулор не получил. Но идеи стандарта и гармонии, заложенные в модулоре, не перестают волновать архитекторов. Вечный поиск совершенной гармонии продолжается. Недавно советским, архитектором Я. Д. Гликиным разработана универсальная система пропорциональности, которая, как показывает автор, вбирает в себя все известные до сего времени системы пропорционирования: системы триангулирования на египетском и на равностороннем треугольнике; системы Вйтрувия, Альберти, Хэмбриджа, Месселя, Шевелева; систему древнерусских мер и модулор Ле Корбюзье.

Что же объединяет все системы пропорциональности? Дело в том, что любая пропорциональная система — это основа, скелет архитектурного сооружения, это та гамма, а точнее, тот лад, в котором будет звучать архитектурная музыка. Именно это свойство модулора Ле Корбюзье имел в виду Альберт Эйнштейн, давая ему восторженную оценку: "Модулор — это гамма пропорций, которая делает плохое трудным, а хорошее — легким". Но гамма — это еще не мелодия, не музыка. Это хорошо осознавал и сам Корбюзье: "Модулор — это гамма. Музыкант располагает гаммой и создает музыку по своим способностям — банальную или прекрасную". В самом деле, как гамма уже третье тысячелетие дает возможность композитору создавать бесконечное разнообразие мелодий, так и система пропорционирования — модулор — нисколько не стесняет в творчестве архитектора. Сам

Корбюзье блестяще доказал это, построив с помощью своего модулора и знаменитый "Лучезарный дом" в Марселе, и не менее знаменитую капеллу в Роншане. Эти два произведения великого зодчего — два антипода, две разные философии в архитектуре. С одной стороны, воплощение здравого смысла, ясного, прямолинейного и рационального. С другой — нечто иррациональное, пластическое, скульптурное, сказочное. Единственное, что объединяет эти два выдающихся памятника зодчества — это модулор, архитектурная гамма пропорций, общая для обоих произведений Ле Корбюзье.

Но почему великий Эйнштейн систему пропорционирования в архитектуре — модулор — сравнивает с музыкальной гаммой? Почему его великий соотечественник Гёте называет архитектуру отзвучавшей музыкой? Что общего между архитектурой и музыкой? Это и будет последний вопрос, на который мы попытаемся ответить в этой части книги.

18. Архитектура — математика — музыка

С легкой руки великого Гёте афоризм об архитектуре и музыке немецкого философа, идейного вождя немецкого романтизма Фридриха Шеллинга (1775-1854) стал настолько популярным, что сегодня, забыв имя настоящего автора, его настойчиво вкладывают в уста создателя "Фауста". Парадоксальность высказывания Шеллинга, соединившего в себе две столь далекие друг от друга области искусства — архитектуру и музыку, делает его еще более привлекательным. А ведь сопоставление архитектуры и музыки в большей степени закономерно, чем парадоксально, и поистине замечательно, что связующим звеном между архитектурой и музыкой выступает математика.

Гравюра из книги Франкино Гафурио 'Теория музыки'. Мы видим атрибуты музыки — органные трубы и струны, связанные отношениями 6:4:3, а также атрибут архитектуры — циркуль, который, возможно, указывает на применение этих отношений в архитектуре

В чем же проявляется общность архитектуры, музыки и математики? Прежде всего — в максимальной абстрактности этих форм человеческой деятельности. Архитектура является наиболее абстрактным из пластических искусств, т. е. искусств, существующих в пространстве и воспринимаемых зрением. Назначение зрения — воспринимать предметы внешнего мира, а назначение пластических искусств — воспроизводить с той или иной мерой чувственной достоверности эти предметы. Однако архитектура не отображает реально существующие объекты, а создает некоторые абстрактные формы, которые являются плодом фантазии ее творца. Конечно, нам известны колонны в форме лотоса в древнеегипетской архитектуре или древнегреческие атланты и кариатиды, растительные мотивы коринфских капителей или звериные маски во владимиро-суздальском зодчестве. Но все это лишь элементы, украшения, архитектурная скульптура, но не сама архитектура в целом.

Музыка на первый взгляд является антиподом архитектуры. В противоположность архитектуре музыка развивается во времени, а не в пространстве; музыка обращена к слуху. Однако роднит эти два искусства та же абстрактность формы. В самом деле, на слух мы воспринимаем звуковую информацию из внешнего мира. Но музыка не воспроизводит словесную речь, она ничего не описывает и обычно не изображает природные звуки и звукосочетания. Музыкальная форма абстрактна, она рождается в голове ее создателя и практически не имеет аналогов во внешнем мире.

Так же и математика. Будучи наукой, целью которой является выработка и систематизация объективных знаний о действительности, математика не имеет' материального предмета изучения во внешнем мире. Математика — предельно абстрактная наука, но именно это качество наделяет ее силой, позволяет математике стать универсальным языком науки. Впрочем, эти качества математики мы уже обсуждали в главе 2.

Как и математика, архитектура и музыка от объектов реального мира через многие ступени абстракции поднимаются до совершенных высочайших идеальных образов. И разница между этими сферами творческой деятельности здесь проявляется лишь в том, что в математике абстрактные образы логические, в музыке — чувственные, а в архитектуре, пожалуй, и те и другие, ибо архитектура вбирает в себя качества и науки, и искусства. Ни математик, ни композитор, ни архитектор не могут непосредственно сравнить результаты своего творчества с конкретными явлениями внешнего мира. И лишь одна путеводная звезда — логика развития науки или искусства — направляет их путь. Но разумеется, ни архитектурные, ни музыкальные, ни математические абстракции — это не химеры, существующие в своем ирреальном мире, а те идеализации, которые, отбрасывая преходящее, частное, отражают природу глубже, вернее, полнее.

Итак, архитектура и музыка являются искусствами неизобразительными и неописательными. Архитектурная и музыкальная формы абстрактны, и поэтому в них яснее, нежели в других искусствах, проявляются такие законы построения формы, как симметрия, пропорциональность, гармония, равенство, повторы частей и т. д. Лишенные внутренних законов построения, эти абстрактные формы будут лишены и тех внешних ориентиров, которые так необходимы при их восприятии. Именно объективным системным характером внутренних законов построения музыкальной формы объясняется то, что "музыка вызывает сходные мысли в разных головах" (Бодлер). То же в полной мере относится и к архитектуре.

Но откуда и архитектуре, и музыке взять законы построения формы, "законы красоты", которые бы стали их фундаментом? Для тех, кто стоит на "природнической" точке зрения на красоту, этой проблемы не существует. Разумеется, у природы. Но ведь законы природы, законы гармоничного, целесообразного и прекрасного устройства мироздания описываются математикой! Вспомним "непостижимую эффективность математики в естественных науках" (с. 44), вспомним слова Гейзенберга: "Понимание всего богато окрашенного многообразия явлений достигается путем осознания присущего всем явлениям объединяющего принципа форм, выражаемого на языке математики. Таким же образом устанавливается тесная взаимосвязь между тем, что воспринимается как прекрасное, и тем, что доступно пониманию лишь с помощью интеллекта".

Особенно ценно, что к тому же выводу о необходимости существования в основе архитектуры и музыки "объединяющего принципа формы" приходят не только представители естественных наук (что вполне естественно), но и служители мира искусств. Вот слова архитектора, академика Щусева: "Наряду с меняющимися формами природы и жизни есть и нечто вечное, а именно — закон красоты и гармонии, который проявляется одинаково в жизни природы и человека. Именно этот закон дает возможность построить теорию пропорций и пластических форм, а в музыке — теорию соотношения звуковых ладов". А вот мнение музыковеда, профессора Мазеля: "Без высотной (ладовой) организации музыки невозможно выработать некоторый "музыкальный язык", понятный широкому кругу людей. Без какой-либо ладовой системы, существующей во внутреннем слухе поющих, напев не мог бы запомниться и передаваться".

Но что же является этим загадочным "объединяющим принципом формы", который должен лежать в основе архитектуры и музыки? Как нам кажется, именно математика стала тем фундаментом, тем "законом красоты и гармонии", на котором строятся абстрактные формы архитектуры и музыки.

Поясним эту мысль на знакомых нам примерах. В главе 11 мы задавались вопросом: почему из 4000 звуков, хорошо различимых человеком, в музыке используются лишь около 90? Да только потому, что в основу музыки положена строгая математическая организация звуков. Только организовав звуки в октавы, только упорядочив их внутри каждой октавы, человек смог навести в мире звуков порядок, который стал "радовать глаз и разум" (в нашем случае — "слух и разум"). Только после построения гаммы стало возможным выработать "музыкальный язык" и передавать "музыкальные мысли" — мелодии на этом языке. Таким образом, музыкальная гамма — это основа музыкального языка, заложенная по законам математики. Ну а что сказать на этом языке, зависит от таланта, вкуса, душевного богатства композитора.

Что представляет собой гамма внутри октавы, каково ее математическое строение? Этим вопросом мы занимались практически на протяжении всей второй части. В главе 9 мы показали, что равномерно-темперированная гамма — основа сегодняшней музыки — есть не что иное, как геометрическая прогрессия со знаменателем Но ведь именно в геометрической прогрессии достигается соразмерность частей и целого, именуемая гармонией. Таким образом, гамма в пределах октавы также есть упорядоченная по законам математики последовательность звуков, которая в силу октавного подобия звуков является основой основ музыки. Не случайно Пифагор придавал огромное значение построению именно этой части музыкальной шкалы (см. эпиграф к гл. 6).

То же самое мы наблюдаем и в архитектуре. Из бесконечного многообразия соотношений между частями и целым в архитектурных шедеврах непременно заложена какая-то математическая закономерность, позволяющая отобрать и упорядочить эти отношения. В основе построения архитектурной формы лежит некоторый математический закон — закон пропорционального строения этой формы. В качестве такого закона в силу особых математических свойств (см. гл. 15) часто выступает геометрическая прогрессия — ряд золотого сечения или его производная — модулор Ле Корбюзье, а также функция золотого сечения или парные меры 1:√2 или 1:√5 Эти математические закономерности гармонизируют размеры сооружения, определяют его соразмерную структуру. Разумеется, как в музыке, так и в архитектуре пропорциональная шкала — это только "эстетический фундамент" архитектурного произведения, который никак не сдерживает творческой фантазии автора.

Заметим, что проблема гармонизации частей и целого давно уже перестала быть прерогативой лишь музыки или архитектуры. Повышение эстетических качеств промышленных изделий, придание им красивой формы и одновременно их стандартизация — одна из важнейших задач технической эстетики. Естественно, что решается эта задача на базе того же математического аппарата.

Чтобы связать части целого единым пропорциональным отношением, строятся так называемые ряды предпочтительных чисел (R), которые являются не чем иным, как геометрическими прогрессиями. В качестве знаменателей таких прогрессий выбирают степени числа 10. При этом сами степени в свою очередь образуют геометрическую прогрессию со знаменателем: 1/2: 1/5, 1/10, 1/20, 1/40. Так получаются инвариантные гармонические ряды:

что каждый предыдущий ряд "вложен" во все последующие. Кроме того, поскольку 10^3/10 = 10^6/20 = 10^12/40 = 1,9951≈2, то в ряду R10 происходит удвоение чисел через каждые 3 члена, в ряду R20 — через 6 членов, а в ряду R40 — через 12 членов. Исходя из этого свойства значения предпочтительных чисел " округляются.

Отметим одну любопытную деталь. Так как то с достаточной степенью точности можно сказать, что ряд R40 лежит в основе равномерно-темперированного строя:

Преимущества гармонизации с помощью ряда предпочтительных чисел (геометрической прогрессии) перед обычным рядом чисел (арифметической прогрессией) очевидны из простого примера. Если стороны прямоугольника а и b увеличивать в геометрической прогрессии (а_n = aqⁿ, b_n = bqⁿ), то пропорции прямоугольника будут сохраняться: более того, Арифметическая прогрессия (a_n = a + nq, b = a + nq) не сохраняет пропорции прямоугольника: , причем т. е. форма прямоугольника будет приближаться к квадрату. Свойство геометрической прогрессии сохранять пропорции ее членов было использовано еще в 1805 г. во Франции для упорядочения типографских шрифтов.

Изменение сторон прямоугольника с помощью геометрической прогрессии сохраняет его пропорции (а), а с помощью арифметической прогрессии искажает их (б)

Отметим еще одну геометрическую прогрессию, имеющую непосредственное отношение к этой книге. Сегодня во многих странах, в том числе и в нашей, применяется стандарт, введенный в начале века немецким ученым Портсманом. Портсман выбрал отношение сторон прямоугольного листа бумаги а:b из условия, чтобы при складывании (фальцовке) эта пропорция сохранялась, т. е. a:b = b:a/2 (см. рис.). Решая это элементарное уравнение, находим: а:b = √2. В качестве исходного формата был выбран лист площадью 1 м² со сторонами 1189X841 мм (√:1), а затем найдены и его доли: 1/2 м² = 841Х594 мм; 1/4 м² = 594Х Х420 мм; 1/8 м² = 420Х297 мм; 1/16 м² = 297X210 мм — лист для пишущей машинки; 1/32 м² = 210X148 мм; 1/64 м² = 148X105 мм — формат почтовой открытки. Так был построен основной ряд форматов бумаги RA. Существуют также и производные от этого ряда.

Построение основного формата бумаги RA с помощью геометрической прогрессии (q = √2), сохраняющей пропорции прямоугольного листа при фальцовке

Как видим, математические вопросы гармонизации частей и целого увели нас далеко и от музыки, и от архитектуры. Как тут не вспомнить высказывание английского естествоиспытателя, соратника Чарльза Дарвина — Томаса Гексли (1825-1895) о том, что математика, подобно жернову, перемалывает то, что под него засыпают. Однако если вдуматься, то все это имеет самое прямое отношение к нашей теме, ибо как на стандартном листе бумаги можно написать все что угодно, так и с помощью гармонизированной шкалы звуков (музыкальная гамма) или шкалы пропорций (модулор Ле Корбюзье) можно создать бессмертное произведение, а можно и...

Но вернемся к архитектуре и музыке. Музыка развивается во времени, она не стоит на месте, подвижна, она меняется каждое мгновение. Но если прозвучавшую музыку целиком охватить в памяти, то в нашем сознании станут проступать закономерности ее архитектурного строения: симметрия, пропорциональность, соразмерность частей и целого — гармония, ритм и т. д.

Именно законы общего построения музыки, которые выявляются памятью только в отзвучавшей мелодии, своеобразный глобальный ритм музыки и роднят ее с архитектурой. Именно "отзвучавшую музыку", ее глобальный ритм, ее архитектуру мы изучали в главе 12, когда рассматривали целиком всю хроматическую фантазию и всю фугу ре минор Баха и находили в их строении, в больших и малых формах пропорции золотого сечения, законы симметрии (см. с. 164).

С другой стороны, локальный ритм музыки, звучащие сию минуту музыкальные фразы сближают музыку с поэзией. И как связь музыкального произведения с поэтическим словом или сценическим действием делает образное содержание произведения более богатым и многогранным, так и связь произведения архитектуры с пластикой скульптуры и живописи (росписи стен, мозаики, барельефы, скульптурные группы) — синтез искусств — позволяет достигнуть многостороннего эмоционального воздействия, небывалого по силе и полноте чувств.

Архитектура во времени неизменна. Но подвижен человек, и, перемещаясь, он воспринимает архитектуру динамично. Меняя свое положение в архитектурной среде, глядя на памятник архитектуры с разных точек зрения, человек по-разному воспринимает его пластические формы; они оживают, и "застывшая музыка" начинает издавать волшебные звуки. "Искусство архитектуры заключается в том, чтобы заставить звучать опоры",- говорил французский архитектор О. Перре. Мысль эта отнюдь не парадоксальна: опора, несущая тяжесть, была и остается главной темой архитектурной симфонии, как вечен сам закон тяготения.

Но архитектура динамична даже тогда, когда воспринимающий ее человек неподвижен. Меняется положение солнца, и изменяется светотеневая пластика архитектурных форм. Днем и ночью, в предрассветном тумане и в лучах заходящего солнца, укутанные мягким снегом и омытые грозовыми дождями памятники зодчества поют неповторимые чарующие песнопения.

Итак, неподвижная архитектура, подобно звучащей музыке, постигается нами во времени. Однако процессы восприятия архитектуры и музыки существенно отличаются друг от друга. Музыка, как и само время, развивается только в одном направлении; ее нельзя повернуть вспять, остановить или ускорить по воле слушателя. Напротив, при рассмотрении памятника архитектуры мы не связаны никакой наперед заданной последовательностью, мы вольны приблизиться к архитектурному сооружению или отойти от него, зайти слева и справа, остановиться. Поэтому в музыке композитор имеет возможность управлять процессом эстетического восприятия, он может заранее подготовить слушателя к кульминации или для усиления выразительности допустить диссонанс и тут же разрешить его в консонанс.

Архитектор лишен таких возможностей. Архитектурный диссонанс не может организованно разрешиться в консонанс и будет постоянно довлеть на зрителя. В отличие от музыки, которая может быть веселой и задумчивой, торжественной и траурной, архитектура — это искусственная среда, в которой человеку предстоит жить и работать, и она должна доставлять ему только радость. Правда, есть и обратные примеры. Стендаль признавался: "Я бы разучился смеяться через неделю, если бы жил в палаццо Арконати". Немало унылых памятников архитектурной какофонии окружают нас и сегодня. И все-таки по своей эстетической направленности архитектура призвана быть искусством положительных эмоций, она должна вбирать в себя все лучшие духовные ценности человечества и нести их людям. "Архитектура включает в себя всю культуру эпохи, в архитектуре проявляется дух времени",- писал Ле Корбюзье, чье высказывание дополняют слова Луначарского: "Всякому великому времени соответствует великая архитектура".

Есть в архитектуре и еще одно движение — внутреннее. Оно несет в себе один из парадоксов искусства архитектуры — движение, застывшее в вечном покое. В дорических колоннах Парфенона чувствуется невозмутимая и величавая поступь героя, а в ионическом ордере Эрехтейона — легкий шаг античной красавицы. В готике все устремлено вверх: на головокружительную высоту взлетают пучки тонких нервюр и распадаются там в паутину сводов, тянутся вверх стрельчатые окна витражей, зубчатые шпили и башенки. Среди зелени лесов и полей кружится хоровод древнерусских церквей...

Так неподвижная архитектура оживает при ее восприятии, а подвижная музыка застывает в нашей памяти.

И в заключение — немного истории, ибо сопоставление архитектуры и музыки имеет давнюю традицию и началось задолго до Шеллинга и Гёте. o Как музыка в античную эпоху считалась дочерью математики, так и архитектура мыслителям Возрождения казалась дочерью музыки.

Ренессанс... Новая весна человечества... Возрождался интерес к античному духовному наследию, живой античной мысли и жизнеобильному античному искусству, бесплодные штудии божественного (studio divina) сменялись пытливым изучением человеческого (studio humana)...

Пифагор (справа), аллегория Арифметики и Боэций. Гравюра из книги Грегора Райха 'Маргарита философика'. В средневековой Европе Пифагор считался изобретателем счетной доски абака, а Боэций — создателем новой нумерации

Мы знаем (гл. 14) о том, какое огромное влияние на зодчих Возрождения оказал трактат Витрувия "Десять книг об архитектуре". Но мы также знаем, что архитектурная энциклопедия Витрувия стала источником многих заблуждений, происходивших чаще всего от неправильного толкования мыслей автора. Так случилось с архитектурой и музыкой.

Ссылаясь на авторитет Витрувия, архитекторы Возрождения выдвинули тезис о том, что наиболее приятными для созерцания должны быть те прямоугольники, стороны которых относятся как числа в благозвучных (консонантных) интервалах, т. е. как октава 2:1, квинта 3:2, кварта 4:3, а также большая 5:4 и малая 6:5 терции и их обращения — малая 8:5 и большая 5:3 сексты. В 1485 г. во Флоренции был издан трактат "Десять книг о зодчестве". Его автором был славный представитель архитектуры Раннего Возрождения, итальянский ученый, писатель и музыкант Леон Баттиста Альберти, умерший за 13 лет до того, как его детище увидело свет. "Десять книг" Альберти было вторым после "Десяти книг" Витрувия всеобъемлющим сочинением по архитектуре. В нем мы читаем: "И конечно, вновь и вновь следует повторить изречение Пифагора: "нет сомнений, что природа во всем остается себе подобной". Дело обстоит так: существуют числа, благодаря которым гармония звуков пленяет слух, эти же числа преисполняют и глаза, и дух чудесным наслаждением. Мы должны воспользоваться пропорциями, взятыми у музыкантов, кои величайшие мастера в этом виде чисел". Поскольку приятные слуху музыкальные интервалы описываются отношением целых чисел, то, согласно Альберти, и приятные глазу архитектурные формы также должны находиться в целочисленных "музыкальных" пропорциях.

В XVI веке архитектора Альберти поддержал математик Джероламо Кардано (1501 -1576), известный сегодня как автор формулы решения кубичного уравнения, которую, впрочем, как великую тайну ему открыл Никколо Тарталья (ок. 1499 — 1557). Как истинный представитель точного знания Кардано утверждал, что приятные для слуха и глаза целочисленные (музыкальные) отношения являются таковыми, поскольку они легкопостижимы разумом. Авторство музыкальной аналогии в архитектуре Кардано также приписывал незыблемому авторитету Витрувия.

В действительности интерес Витрувия к музыке ограничивался вопросами конструирования резонаторов для античных театров, а также правильной настройкой струн в катапультах и боевых машинах, которые находились в ведении архитекторов того времени. Правда, Витрувий дал в качестве прекрасных пропорций три "музыкальных" отношения 2:1, 3:2, 5:3. Но наряду с ними он рассматривал и такое отнюдь не музыкальное отношение, как отношение диагонали к стороне квадрата √2:1.

Как бы то ни было, но музыкальная аналогия прочно вошла в сознание архитекторов Возрождения. На первый взгляд, кажется странным, что теоретические воззрения зодчих Возрождения в большей мере определялись не трудами самих архитекторов, а математическими разработками по теории музыки. Но если вдуматься, то это, скорее, следовало из универсального характера математики: хорошо известные в музыке "математические законы красоты" (законы целочисленных консонантных отношений и законы среднепропорциональных) архитекторы Возрождения пытались перенести на свою почву. Не говорит ли эта попытка "пройти" из музыки в архитектуру с помощью математики о безграничной вере мыслителей Возрождения в универсальное могущество математики?!

Огромную роль в развитии музыкальной аналогии в архитектуре сыграл трактат Северина Боэция "О музыке", который вобрал в себя все античные теории музыкальной гармонии и фактически сохранил их для потомков. Автор другого выдающегося трактата по математической теории музыки — итальянский композитор XVI века Джузеппе Царлино — нам также знаком. Как мы знаем (с. 129), среди современников-музыкантов идеи Царлино должного признания не получили. Зато математические выкладки Царлино и его мысль о том, что консонантные (приятные для слуха) интервалы получаются как среднее арифметическое и среднее гармоническое, запали в душу современников-архитекторов и применялись ими для получения "консонантных" (приятных для глаза) пропорций.

Палладио. Вилла Ротонда в Виченце. 1581. Воплощение идеи симметрии, математической строгости и музыкальных пропорций в архитектуре Ренессанса

Леонардо да Винчи. План собора, основанный на правильной восьмиконечной звезде, обладает поворотной симметрией 8-го порядка и отнюдь 'не музыкальной' системой пропорций √2:1

Музыкальная система пропорционирования нашла живой отклик в творчестве выдающегося итальянского архитектора Андреа Палладио (1508 -1580)- автора трактата "Четыре книги об архитектуре". Созданные Палладио типы городского дворца, церкви, виллы благодаря своей завершенности, сочетанию строгой упорядоченности и пластики получили распространение не только в Италии XVI века, но и составили целое направление — палладианство — в европейском зодчестве XVII-XVIII веков. Идея всепроникающей музыкальной гармонии, структурно-математическое понимание красоты, идея симметрии как неотъемлемого качества красоты наиболее полно воплощены Палладио в вилле Ротонда. С высоты птичьего полета в этом каноне архитектуры Ренессанса хорошо видны как поворотная симметрия 4-го порядка всего здания, так и зеркальная симметрия его фасадов, а также ощущается музыка простых целочисленных пропорций.

Вообще, убеждение в том, что архитектура — это наука и что красота здания определяется симметрией и математическими законами гармонии, можно считать главной аксиомой архитектуры Возрождения. Мыслители Возрождения были неоплатониками. Они верили в то, что платонов гептахорд (7.1), который содержит все консонансы, определяет гармонию мироздания, а значит, и единую гармонию всех искусств, а значит, и архитектуры.

И все-таки Палладио был больше архитектором, нежели философом-неоплатоником. Именно поэтому Палладио включил прямоугольник, стороны которого равны стороне и диагонали квадрата, т. е. прямоугольник с иррациональным соотношением сторон √2:1, в список семи форм,

рекомендуемых для планирования комнат. А ведь одного этого прямоугольника достаточно для того, чтобы полностью разрушить музыкальную аналогию в архитектуре.

В самом деле, как мы помним, интервал тритона √2:1 является острейшим диссонансом в музыке и назывался "дьяволом в музыке". С другой стороны, мы знаем, насколько широко парная мера √2:1 применялась в архитектуре. Знали это и архитекторы Возрождения. И не только из сочинений Витрувия. Достаточно вспомнить проект собора, выполненный Леонардо да Винчи и основанный на последовательности восьмиконечных звезд. Разбиение окружности на 8 равных частей порождает угол в 45°, а восьмиконечная звезда — систему равнобедренных прямоугольных треугольников, т. е. треугольников с соотношением √2:1.

Таким образом, красота архитектурных форм явно не умещалась в прокрустово ложе целочисленных отношений. Это понимали архитекторы Позднего Возрождения, и это было для них такой же трагедией, какой открытие несоизмеримости было для их кумиров — пифагорейцев. "Можно сказать, что Ренессанс вообще раздирается этим ужасающим противоречием: возрожденцам хотелось видеть и изображать живое и одушевленное трехмерное тело и в то же самое время им хотелось все свести на арифметику целых чисел" (А. Лосев. "Эстетика Возрождения").

Тем не менее музыкальная аналогия в архитектуре оставалась очень популярной и продолжала жить в творчестве архитекторов-палладианцев XVII и XVIII веков. А попытки примирить музыку архитектуры с иррациональными отношениями не прекращаются и в XX веке. Так, одни исследователи пропорций обращают внимание на то, что золотое сечение Φ = 1,618... достаточно хорошо аппроксимируется (приближенно выражается) отношениями членов ряда Фибоначчи (15.6): 5/3-1,666... и 8/5-1,6 (это большая и малая сексты в музыкальной терминологии). Действительно, без наложения друг на друга эти три пропорции отличить практически невозможно, и, таким образом, с точки зрения эстетического восприятия споры о преимуществах той или иной пропорции кажутся академическими. Другие объясняют "приятность для глаза" диссонантных иррациональных отношений тем, что при восприятии архитектурной формы глаз соизмеряет не линейные размеры, а площади поверхности. Тогда два квадрата с "немузыкальным" отношением сторон √2:1 дают "музыкальное" отношение площадей 2:1 (октаву). Квадраты с немыслимым в музыке соотношением сторон √3:√2 дадут в площадях квинту 3:2 и т. д.

Мы не будем вдаваться в обсуждение вопроса, почему одни отношения приятны для слуха или для глаза, а другие — нет. Несмотря на давнюю историю, вопрос этот на карте науки остается почти абсолютно белым пятном. Напомним, что консонансы в музыке Гельмгольц объяснял отсутствием неприятных биений между обертонами составляющих их гармоник (см. с. 151). Однако в настоящее время в теории Гельмгольца обнаружено много изъянов и восприятие консонансов не считается чисто физиологическим явлением. Тем более нет каких-либо установившихся соображений для объяснения эстетики восприятия тех или иных пропорций. "Не углубляясь еще дальше в эту спорную область, хотелось бы подчеркнуть большое значение какой бы то ни было теории в архитектурном проектировании". Этими словами известный английский математик и знаток искусства Дан Пидоу в книге "Геометрия и искусство" закончил обсуждение проблемы эстетики восприятия музыкальных пропорций в архитектуре. Конечно, нам следовало бы внять его мудрому примеру, но хочется сказать еще два слова вот о чем.

В 1830-1834 гг. немецкий физиолог Эрнст Вебер (1795-1878) на основании многочисленных экспериментов установил, что человек воспринимает не абсолютный, а относительный прирост силы раздражителя (света, звука, груза, давящего на кожу, и т. д.), т. е. ^dR/_R, где R — сила раздражителя, dR — прирост этой силы. Каждый по своему жизненному опыту знает, что, например, электрическая лампочка, включенная днем, не вызывает у нас никакой реакции, так как по отношению к солнечному свету прирост этой силы раздражения слишком мал(, так как R велико). Зато в темноте нас слепит даже зажженная спичка (здесь так как R≈0). R

20 лет спустя немецкий физик, психолог, философ и писатель Густав Фехнер (1801 -1887) математически обработал результаты экспериментов Вебера, т. е. на языке математики записал факт, установленный Вебером: приращение интенсивности ощущения dE пропорционально относительному приращению силы раздраения ^dR/_R

(18.1)

здесь а — коэффициент пропорциональности. Получилось простейшее дифференциальное уравнение, решая которое Фехнер нашел связь между интенсивностью ощущения Е и силой раздражения R, действующей на какой-либо орган чувств:

(18.2)

или

(18.3)

здесь R₀ — сила начального раздражения.

Формулы (18.1) — (18.3) и есть математическое выражение основного психофизического закона — закона Вебера — Фехнера.

Согласно закону Вебера — Фехнера, для того, чтобы интенсивность ощущений Е нарастала в арифметической прогрессии, вызывающая их сила раздражения R должна нарастать в геометрической прогрессии

Что же мы можем извлечь из закона Вебера — Фехнера? Естественно предположить, что нам будет приятно, если наши ощущения в процессе восприятия музыки или архитектуры будут нарастать равномерно, т. е. в арифметической прогрессии. Положим Е_n = Е₀ + α_n (n = 0, 1, 2, ...; α — разность арифметической прогрессии). Тогда согласно (18.3) вызывающая эти ощущения сила раздражения должна нарастать по закону

т. е. сила раздражения R_n должна нарастать в геометрической прогрессии со знаменателем q = e^α/_a.

Но ведь и гамма равномерно-темперированного строя (9.1), и ряд золотого сечения (15.4) или (15.5), и красная (17.2) и синяя (17.3) шкалы модулора Ле Корбюзье являются геометрическими прогрессиями! Следовательно, все эти "раздражители"- наших органов чувств обеспечивают равномерное возрастание (или убывание) наших ощущений. Таким образом, именно закон Вебера — Фехнера, скорее всего, и является тем математическим законом, который лежит в основе основ как музыки (музыкальная гамма), так и архитектуры (шкала пропорциональностей), той "математикой", которая связывает и музыку, и архитектуру!

Подтверждением этому могли бы стать экспериментальные значения коэффициента ^α/_а, полученные в результате психофизических опытов. Поскольку для равномерно-темперированной гаммы q = = = 1,06, а для ряда золотого сечения q = 1,618 (q = e^α/a), то легко находим: для музыкальной гаммы α/а = 0,058, а для ряда золотого сечения α/а = 0,482. Если эти значения совпадут с экспериментальными, то это и будет хотя бы в первом приближении объяснением, почему именно 12-ступенная гамма и золотое сечение в течение тысячелетий продолжают радовать наши слух, глаз и разум.

Насколько это справедливо, покажут будущие исследования. Хочется верить, что законы красоты все-таки будут разгаданы, и, памятуя традиции Баха и Моцарта (см. с. 149), закончить последнюю главу об архитектуре и музыке мажорным аккордом.