Математика и искусство

"Ну это уж слишком! — рассердится уставший читатель.- Да, архитектура — наполовину наука, наполовину искусство, и потому "математическое начало" в ней естественно. Да, музыка слагается из колебаний среды и, следовательно, подчиняется законам акустики, которая полностью математизирована. Но какая математика нужна художнику, которому, кроме холста и красок, вообще ничего не нужно!? Примером "математики в живописи" может служить разве что картина Богданова-Бельского "Устный счет"!"

В этой части книги мы попытаемся убедить сердитого читателя в том, что он глубоко не прав.

Раздел называется "Математика и живопись", хотя, быть может, правильнее его следовало бы назвать "Математика и изобразительные искусства". Последние, как известно, объединяют живопись, скульптуру и графику. Тем не менее речь в этом разделе пойдет прежде всего о живописи: с одной стороны, потому, что живопись является ведущей составляющей изобразительного искусства, а с другой — потому, что именно в живописи заключены основные математические проблемы изобразительного искусства.

К сожалению, говоря о живописи, мы оставим в стороне ее основное изобразительное средство — цвет. Причин тому две: во-первых, ограниченные размеры книги, а во-вторых, сложность проблемы. Вопрос о цветовой гамме — совокупности взаимосвязанных цветов и их оттенков, "эстетике цвета" и "математике цвета" — во многом остается загадочным. Между тем еще Ньютон, разложивший солнечный свет на семь цветовых составляющих, заметил, что частоты v границ цветов солнечного спектра относятся как частоты самой симметричной фригийской гаммы чистого строя (8.8):

Тем самым вместе с дисперсией света Ньютон открыл и удивительную аналогию между цветом и музыкой, послужившую толчком к развитию цветомузыки. В наше время с изобретением цветного телевидения бурное развитие получила наука о количественном измерении цвета — колориметрия. Однако все эти вопросы для нас останутся в стороне.

Н. Богданов-Бельский. Устный счет. 1895. На картине изображен известный педагог, профессор С. А. Рачинский, сменивший университетскую кафедру на место учителя в сельской школе

Остановимся на другом важнейшем изобразительном средстве живописи — рисунке, который, по словам Вазари, является "отцом живописи". Рисунок играет важнейшую роль в определении очертаний предметов, их форм, объемов и взаимного расположения в пространстве. Таким образом, рисунок является "скелетом живописи", ее конструктивной основой и именно в нем заложены геометрические законы живописи. Вот почему все, что мы будем говорить о "математическом содержании живописи", будет как частный случай относиться и к графике — "одноцветной живописи", а в той части, где речь будет идти о пропорциях,- и к скульптуре. Заметим, что в скульптуре, основанной на принципе объемного трехмерного изображения предмета, само собой отпадает основная математическая проблема живописи — проблема изображения трехмерного пространства на двумерной плоскости картины, проблема перспективы.

Говоря о живописи, мы не будем касаться и таких средств языка живописи, как сюжет, композиция, колорит, светотень, контраст, фактура, тон, валёр, рефлекс, лессировка и т. д. Список этот можно продолжить: он говорит лишь о неисчерпаемых возможностях художественного образа. Однако, сколько бы мы ни продолжали этот список, сколько бы ни уточняли и ни утончали его составляющие, он не поможет нам понять закономерности языка живописи, раскрыть логику взаимосвязи и характер "содружества" тех или иных выразительных средств. Логика живописного произведения откроется нам лишь в том случае, если мы освободимся от частностей, вычленим лишь самую суть, предельно абстрагируемся, и как вершина такой абстракции встанет перед нами геометрия живописи.

Во вступлении ко второй части (с. 88) мы говорили о том, что поиски математических закономерностей в области изобразительных искусств имеют едва ли не древнейшую традицию. Блестящим тому подтверждением служит знаменитый канон Имхотепа, жившего в Древнем Египте в XXVIII веке до н. э., т. е. более чем за 2000 лет до того, как Пифагор открыл законы целочисленных отношений в музыке. Однако в отличие от объективных "законов Пифагора в музыке", которые справедливы и сегодня, "законы Имхотепа в ваянии" субъективны, и потому на смену им приходили столь же субъективные каноны Поликлета, Лисиппа и др. Тем не менее все эти каноны были попыткой найти объективные математические закономерности в строении человека — "законы красоты" человека.

Другой важнейшей математической темой в живописи, которая также на протяжении тысячелетий стимулировала поиски и дарила находки как художникам, так и ученым, является проблема построения перспективы. Эти две темы и составят предмет последней части книги.

19. "Законы красоты" человека

Во все времена, от наскальной живописи в Сахаре до полотен Сальвадора Дали, человек был и остается главной темой изобразительного искусства. "Виллендорфская Венера" или Венера Милосская, царь Хаммурапи или бог Аполлон, Сикстинская мадонна или девушка с персиками — для художника все они прежде всего были образами человека. Более того, в предыдущей части мы увидели, что образ человека, его пропорции нашли воплощение и в архитектурных произведениях от античных й древнерусских храмов до ультрасовременных сооружений Ле Корбюзье. Настало время подробнее поговорить об этих пропорциях — "законах красоты" человека[30].

С древнейших времен пропорции человека составляли предмет изучения художника, его "математическую лабораторию". На первых порах художником руководило, быть может, не столько стремление "дойти до самой сути", сколько необходимость в каких-то объективных — числовых или геометрических — формах передать свой опыт и свое мировоззрение преемникам. Так в искусстве возникали каноны.

Известны три древнеегипетских канона : первый канон эпохи Древнего царства, приписываемый Имхотепу (XXVIII в. до н. э.), слагает рост человека из 6 ступеней ноги; второй — эпохи Среднего и Нового царства (XXI-XII вв. до н. э.) разбивает каждую ступню еще на три части и таким образом составляет рост человека из 18 единиц; третий канон позднего периода[31] (XI-IV вв. до н. э.) складывает рост человека из 21 части с четвертью. Текст египетских канонов не сохранился, хотя в дошедшем до нас каталоге храмовой библиотеки в Эдфу под шестым номером значится трактат "Предписание для стенной живописи и канон пропорций". Легко видеть, как с течением времени усложнялся древнеегипетский канон, хотя и на такие ничтожные для современника "уточнения" потребовалось ни много ни мало 2500 лет!

Да, мерно, как воды Нила, текло время в Древнем Египте. И столь же неторопливым, статичным было египетское искусство. Более того, следование раз и навсегда принятым канонам, в том числе и художественным, неизменность всего сущего были своего рода философией древнеегипетского общества. И эта философия оцепенения мастерски воплощена древним художником в камне. Впрочем, для нас важно другое: почти за 3000 лет до н. э. изобразительное искусство подверглось математическому анализу и анализ этот был весьма объективен, коль скоро он устраивал древнеегипетских художников на протяжении тысячелетий. Только в математических закономерностях и можно было на века сохранить художественные каноны.

Вера египтян в универсальность математического знания отражена в одном из математических папирусов, который начинается словами: "Точное сложение — врата в знание всех вещей и мрачных тайн". А вера в универсальность канона доходила до того, что один и тот же канон египтяне применяли как в живописи, так и в архитектуре. Сетка квадратов, применявшаяся с равным успехом и в ваянии, и в зодчестве, была у египтян математической основой, организующей изображение. Меняться могли лишь абсолютные размеры этой сетки, само же изображение, его пропорции оставались неизменными.

Сетка квадратов 21¹/₄ X14 — канон древнеегипетского искусства, применявшийся как в живописи, так и в зодчестве

Сетка квадратов 21¹/₄X14 — канон древнеегипетского искусства, применявшийся как в живописи, так и в зодчестве

Но и внутри сетки положение фигуры строго регламентировалось математическими законами. Рассмотрим одно геометрическое построение, которое, как полагают, было известно древним египтянам. Стороны квадрата ABCD разделим в золотой пропорции точками Е_i (i = 1, 2,..., 8). (Это легко сделать, разбив данный квадрат на четыре квадрата и в каждом двойном квадрате выполнив построения, указанные на рисунке, с. 265.) Из вершины квадрата проведем в точки деления по две "диагонали". В результате образуется восьмиконечная звезда, внутри которой заключены два малых квадрата, образующих звездчатый восьмиугольник. Соединяя через одну точки пересечения малых квадратов, построим меньший квадрат со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата. В последнем квадрате всю процедуру можно повторить. Таким образом, получится созвездие вписанных друг в друга восьмиконечных звезд, столь же красивое, как и созвездия пятиконечных и десятиконечных звезд, которые мы наблюдали на рисунках (с. 206).

Не будем перегружать рисунок дополнительными построениями и лишать любителей математики удовольствия самим найти на чертеже две гаммы треугольников, подобных прямоугольным треугольникам АВЕ₂ и AFH. Отметим лишь, принимая сторону исходного квадрата за единицу, главное. В ΔАВЕ₂ АВ = 1, BЕ₂ = φ, АЕ₂ = √1 + φ² = ψ. В ΔABF ~ ΔАВЕ₂

AF = ¹/_ψ, BF = ^φ/_ψ, AB = 1. Из ΔABF и ΔBFG, имеющих общую сторону BF, можно найти элементы ΔBFG: BF = ^φ/_ψ, FG = ^φ/_2ψ ,BG = ^ψ/₂, а значит, и элементы ΔAFH: AF = ¹/_ψ, FH = ¹/_2ψ, АH = ^ψ/_2φ. (Напомним, что φ = (√5 — 1)/2 и при выводе соотношений в треугольниках используется аддитивное свойство ряда золотого сечения: 1 = φ + φ², φ = φ² + φ³, ... .)

Продолжая рассмотрение подобных треугольников, легко увидеть, что отношения соответствующих элементов треугольников, подобных ΔABE₂, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию :

(19.1)

а отношения соответствующих элементов треугольников, подобных ΔAFH, образуют прогрессию:

(19.2)

Кроме того, имеют место комбинации двух основных типов прогрессий, а именно прогрессии вида

(19.3)

Итак, построения рисунка дают нам не только ряд золотого сечения (19.2), но и гамму геометрических прогрессий вида

(19.4)

соответствующие члены которых также находятся в золотой пропорции.

Любопытно, что в Заметим также, что в

Таким образом, меньшие углы в треугольниках ΔВЕ₂ и AFH почти равны; следовательно, эти треугольники почти подобны, а углы исходного квадрата делятся "диагоналями" почти точно на три части. Итак рассмотренное построение дает нам прекрасный пример приблизительной симметрии (см. гл. 4).

Созвездие восьмиконечных звезд, вписанных в квадрат, содержит целую гамму золотых пропорций и использовалось древнеегипетскими художниками в пропорциях человека

Математическое построение древнеегипетских рисунков на базе восьми пропорциональных величин (по Ф. де Кора). Фигурки жреца (а) и богини Ночи (б)

Интересно, что... Впрочем, достаточно. Оставим радость открытия любителям математики, тем более что у любителей искусства, видимо, давно уже созрел вопрос: "А какое отношение вся эта геометрия и алгебра имеют к теме нашего разговора — пропорциям человека?" А вот какое.

По мнению французского египтолога Фурнье де Кора, восемь величин из ряда (19.4), а именно

(19.5)

определяют весь пропорциональный строй древнеегипетской живописи. Этот вывод де Кора основан на кропотливом изучении пропорции многих памятников изобразительного искусства Древнего Египта. На рисунке мы видим, что местоположение всех основных элементов фигур — уровень глаз, носа, рта, шеи, плеч, пояса и т. д.- с удивительной точностью определяется пропорциональными величинами (19.5), умноженными на общую длину фигурки (Н). Пользуясь (19.5) и соотношениями φⁿ = φⁿ⁺¹ + φⁿ⁺², легко доказать равенства типа 2А₁ + А₈ = 1, А₁ + А₂ + А₆ = 1, А₁ + 2А₃ = 1, А₆ + А₈ = А₃, А₃ + A₈ = A₂, А₃ + А₆ = А₁, и т. д.

Конечно, ряд (19.4) дает настолько богатую гамму пропорций, что при достаточном числе членов она может быть точнее миллиметровой линейки. Математику, разумеется, не понравится, что в (19.5) пропущены члены φ, ^φ/_ψ, ^φ2/_ψ и φ⁴ отчего теория де Кора теряет в логической стройности. Да, по прошествии четырех тысячелетий трудно установить, какой именно системой пропорций пользовался древнеегипетский художник. Поэтому так много различных теорий пропорций. Но бесспорно другое: древнеегипетский художник применял жестко детерминированную систему математических правил, которая на века определила стиль древнеегипетского изобразительного искусства. Эта математика рисунка, ставшая каноном, на века сковала искусство Древнего Египта.

Описание египетского канона позднего периода и любопытную историю, связанную с ним, мы находим у древнегреческого историка Диодора Сицилийского (ок. 90-21 гг. до н. э.). По преданию, отец Пифагора Мнесарх построил на родном острове Самос храм в честь Аполлона Пифийского, статую для которого поручили изваять прославленным греческим скульпторам. "Из древних скульпторов наибольшею славою пользовались у них Телекл и Феодор, сыновья Река, которые соорудили для самосцев статую Аполлона Пифийского. Рассказывают, что одна половина этой статуи была приготовлена Телеклом на Самосе, другая же часть была сделана его братом Феодором в Эфесе. Будучи сложенными, эти части настолько соответствовали одна другой, что казалось, будто все произведение исполнено одним мастером. Однако этот род работы никогда не применяется у греков, но большей частью употребляется у египтян... У них соразмерность статуи определяется не на глаз, но они после того, как высекут камни и обработают, разделив их на части, берут пропорцию от мельчайших до наибольших частей; рост тела они делят на 21¹/₄ — часть и так дают все соразмерности живого человека. Поэтому после того, как работники сговорятся о размерах, то, разделивши между собой труд, обрабатывают согласно заданной величине так точно, что работа их наполняет изумлением". Возможно, что эта история, рассказанная Диодором, не более чем легенда. Но важен в ней даже не факт совпадения сложенных изваяний, сколько сама постановка такого вопроса. В этой истории, даже если она и легенда, отражена безграничная вера древних греков в могущество математики, которую с равным успехом можно применять не только в инженерных расчетах (вспомним о самосском туннеле, с. 89), но и в искусстве ваяния. Создавая свои бессмертные творения, древние не боялись "алгеброй разрушить гармонию" и твердо верили: математика поможет там, где, по словам Дюрера, "рука из-за спешки обманет тебя".

Курос из Теней ('Аполлон Тенейский'). Ок. 560 до н. э. Тождественность пропорций Аполлона Тенейского и египетского канона ваяния позднего периода еще раз доказывает факт влияния древнеегипетского искусства на раннее греческое искусство периода архаики

На рисунке изображен египетский канон, описанный у Диодора. Высота фигуры разделена точно на 21 — части, причем одно целое деление соответствует длине среднего пальца. Высота фигуры без головного убора составляет 19 частей. Рядом расположена греческая скульптура Аполлона Тенейского, относящаяся к середине VI века до н. э.- так называемому архаическому (от греч. "архайос" — древний) периоду греческого искусства. Точное совпадение пропорций этих двух фигур является математическим доказательством достаточно очевидной истины: греческое искусство периода архаики взросло на почве древнеегипетского искусства. Конечно, художественные образы этих фигур совершенно различны. Аполлон Тенейский, юноша-атлет (курос), светится жизнью и радостью: еще мгновение — и он сойдет с места навстречу новому искусству Эллады. Однако его пропорции- "математика Аполлона" — полностью сохраняют влияние древнеегипетского канона.

Греческое искусство развивалось очень динамично. Уже через 100 лет после Аполлона Тенейского, в середине V века до н. э., греческая цивилизация достигает своего апогея. Наступает период наивысшего расцвета искусства Древней Греции, именуемый периодом высокой классики. Возвышенные идеалы классики, вера в духовное, нравственное и физическое совершенство свободного эллина нашли отражение в скульптурах Поликлета, творившего во второй половине V века. Поликлет был не только гениальным скульптором, автором "Дорифора", "Дуадумена" и "Раненой амазонки", но и выдающимся теоретиком искусства.

Свои теоретические воззрения о пропорциях человека Поликлет изложил в трактате "Канон". Трактат этот, увы, не сохранился. Но как бы предчувствуя бренность написанного и бессмертие изваянного, Поликлет создает статую, в которой в бронзе воплощает свои теоретические воззрения. (Статуя эта также не сохранилась, но, к счастью, сохранилась ее римская мраморная копия.) Вот почему прославленная статуя юноши-копьеносца "Дорифор" имеет также и другое название — "Канон".

К сожалению, мы опять-таки не знаем, в каких конкретных математических отношениях выражался канон Поликлета. Но знание философских воззрений Поликлета, а главное — его скульптура помогают восстановить эти отношения. Поликлет был пифагорейцем, следовательно, он был неплохим математиком и, безусловно, был знаком с золотой пропорцией, которую пифагорейцы считали верхом совершенства. Можно только догадываться, какое изумление и радость испытал пифагореец Поликлет, когда обнаружил, что золотая пропорция присуща не только абстрактной геометрической фигуре, главному пифагорейскому символу — пятиконечной звезде, но и естественным образом входит в пропорции человека. Человеческое тело оказалось благодатным материалом для философа-пифагорейца: как нам известно, золотая пропорция пронизывает тело человека от малых размеров (три фаланги среднего пальца) до самых больших (см. с. 214). Анализ пропорций "Дорифора" и других скульптур Поликлета подтверждает наши предположения: в скульптурах Поликлета с большой точностью выдержаны пропорции ряда золотого сечения (см. с. 207)

1, φ, φ², φ³, φ⁴, φ⁵, φ⁶.

Заметим, что в самом методе построения пропорций Поликлета есть принципиальное отличие от метода пропорционирования египтян. Египтяне исходили из какой-то условной единицы измерения, например длины среднего пальца, которую затем целое число раз "укладывали" в ту или иную часть изображения человека. Поликлет же рост человека принимает за единицу, затем фиксирует определенную часть тела, какова бы она ни была по размерам, и находит их отношение. Такое отношение могло выражаться не только отношением целых чисел, как у египтян, но и быть иррациональным числом, как в случае золотого сечения.

Таким образом, открытие золотой пропорции в строении человека, которое, по-видимому, принадлежит Поликлету, можно считать вслед за открытием закона целочисленных отношений в музыке вторым важнейшим событием в "математической теории искусств".

Рисунок Леонардо да Винчи из анатомических рукописей, связавший совершенные геометрические фигуры с пропорциями человека, стал своеобразным символом синтеза математики и искусства

Разумеется, в рамках этой главы невозможно даже кратко остановиться на всех теориях пропорций человека, имеющих тысячелетнюю традицию и массу вариаций. Желая ярче передать тот или иной образ, художник намеренно усиливал одни пропорции и сглаживал другие и таким образом создавал свой собственный канон. Так, уже через сто лет после Поликлета, в IV веке до н. э., в Древней Греции сложился другой, более "утонченный" канон скульптора Лисиппа, бывшего придворным художником Александра Македонского. Как писал Плиний, Лисипп изображал людей не "какими они есть", но "какими они кажутся". Впрочем, вопрос о том, какие пропорции и насколько соответствуют тому или иному художественному образу, является вопросом искусствоведения, и нам не следует погружаться в него. Однако имена двух гениальных художников и мыслителей, двух титанов эпохи Возрождения — Леонардо да Винчи и Альбрехта Дюрера — мы не можем обойти здесь молчанием.

В построении пропорций человека Леонардо да Винчи исходит прежде всего из анализа многочисленных измерений самого человека, из его анатомии, а не из каких-то "высших" соображений, как это делали средневековые художники. Жажда научного знания, основанного на опыте и только опыте, отражает переворот в мышлении эпохи Возрождения, знаменует начало экспериментального естествознания. Стремление как можно глубже изучить пропорции и вообще строение человека, столь необходимые Леонардо-художнику, переросло в страсть к науке анатомии Леонардо-ученого, Составленные им анатомические тетради явились вершиной анатомии того времени и по сей день остаются непревзойденным образцом синтеза науки и искусства.

Свои исследования Леонардо не успел (а может, и не хотел) систематизировать, и они остались рассыпанными в виде рукописных набросков, в которых говорится буквально обо всем на свете, а текст перемежается великолепными рисунками. Мы остановимся лишь на одном наиболее популярном рисунке Леонардо на тему о пропорциях. Вот отрывок текста, которым Леонардо сопровождает рисунок: "Если ты раздвинешь ноги настолько, что убавишься в росте на ¹/₁₄, и если ты тогда разведешь руки и поднимешь их так, что коснешься средними пальцами макушки головы, то должен ты знать, что центром круга, описанного концами вытянутых членов, будет пупок и что пространство между ногами образует равносторонний треугольник. А пролет распростертых рук человека равен его росту". Заметим, что идея этого рисунка восходит к известному нам сочинению Витрувия.

Свое высшее развитие учение о пропорциях человека получило в трудах Дюрера. С немецкой скрупулезностью проводит Дюрер свои измерения и в конце концов доводит разбиение человеческого тела до 1/1800 части его длины, т. е. до величины, не превышающей одного миллиметра! По мнению А. Лосева, столь тщательное измерение "стало самоцелью и каким-то измерительным спортом!". Ни до, ни после Дюрера учение о пропорциях не доводилось до такой степени точности. Но главное, пожалуй, было в другом: Дюрер отказался от создания какого-либо "идеального" канона, а разработал не менее 26 различных типов пропорций человека.

Обратимся к трактату Дюрера "Четыре книги о пропорциях". "Если я намереваюсь сделать изображение человека,- читаем мы,- то прежде всего я поступаю таким образом: я беру линейку длиннее, чем фигура, и провожу на ней прямую линию такой длины, какой должна быть изображенная фигура, так, чтобы один конец касался макушки головы, а другой подошв... И я старательно делю всю длину, которую я обозначаю цифрой 1, на части от двух до пятидесяти или ста частей, сколько мне нужно, наношу их точками на линейку возле длинной линии, провожу из них линии вверх до высоты макушки и обозначаю их цифрами 2, 3, 4 и т. д. Таким образом, меньшие цифры будут обозначать более длинные части, а большие — короткие. Так, половина всей длины будет 2, треть — 3, четверть — 4 и т. д.". Затем Дюрер указывает "важнейшие расчленяющие линии": "верхнюю я называю макушкою, следующую под нею — лбом, следующую — бровями, затем идут нос, подбородок и далее плечевые мускулы, шейная впадина, верх груди..." и так далее вплоть до подошвы.

Пропорции фигурки младенца из трактата Дюрера 'Четыре книги о пропорциях'

Рисунки из 'Четырех книг о пропорциях' Дюрера. В своем трактате художник пытался найти совокупность геометрических преобразований, позволяющую охватить все многообразие человеческих лиц

Хотя Дюрер и отмечает, что таковых линий "можно сделать больше или меньше", большая тщательность в анализе фигуры человека современному читателю кажется просто немыслимой. Далее следуют промеры указанных линий, которые Даются для различных типов фигур: от мужских и женских фигур до фигурки младенца. Последняя дает ясное представление о том, сколь филигранными были геометрические построения Дюрера. В третьей книге трактата Дюрер показывает, "как можно изменять или искажать эти вышеописанные размеры... благодаря чему фигура становится неузнаваемой...". Предложенный Дюрером для этой цели "измените ль" представляет собой не что иное, как систему подобных треугольников. При этом Дюрер ясно осознает, что если пропорционально изменить все размеры фигуры, то ее вид останется прежним. И напротив, "если увеличить одни части и уменьшить другие, вид вещи станет иным".

Но если пропорции человеческой фигуры еще можно как-то классифицировать, то лицо человека никак не укладывалось у Дюрера в жесткие рамки пропорциональной сетки. Дюрер изобретает массу геометрических способов, которыми можно до неузнаваемости трансформировать изображение лица. Однако чем большим становится набор таких способов, тем яснее видно, что их число уходит в бесконечность. Дюрер-художник интуитивно осознает это: в его трактате не раз проскальзывает фраза о том, что "контуры человеческой фигуры нельзя начертить при помощи циркуля и линейки". И в то же время Дюрер-геометр упрямо продолжает поиски универсального геометрического метода в построении изображения человека.

На рисунке приведены некоторые из геометрических преобразований Дюрера. В первой строке слева показано исходное "правильное" лицо. Вторая строка слева представляет собой геометрические преобразования, которые в математике называются аффинными. Аффинное преобразование, или отображение,- это такое взаимно однозначное отображение, при котором параллельные прямые исходной плоскости (верхняя строка) переходят в параллельные прямые на плоскости отображения (вторая строка). Рисунки справа дают пример более сложных геометрических преобразований.

Глядя по прошествии 500 лет на геометрические построения Дюрера, хорошо видно, как в его исследованиях назрела потребность в точной науке о непрерывных процессах, науке о проявлении прерывного в непрерывном, науке о бесконечно большом числе бесконечно малых изменений. Такая наука родилась лишь через полтора века после Дюрера в трудах Ньютона и Лейбница, когда вместе с понятием производной "в математику вошли движение и диалектика" (Ф. Энгельс, т. 20, с. 573). Таким образом, творчество Дюрера еще раз убеждает нас в том, что пути науки и искусства связаны тысячами нитей. В геометрических поисках Дюрера мы видим, как одно из величайших завоеваний человеческой мысли — дифференциальное исчисление — зрело не только в лоне науки, но и в недрах искусства.

А как развивалась теория пропорций человека после Дюрера? В XVII веке движение вошло не только в науку, но и в искусство. На смену застывшим формам объекта, где царствовали покой и пропорция, в искусстве пробуждается интерес к изменчивому, как солнечный луч, субъекту, его настроению и мироощущению. Голландским люминаристам XVII века и французским импрессионистам XIX века уже не нужны были пропорции, ибо форма, объект растворялись в их полотнах в потоках воздуха, цвета и света. Искусство XX века еще более динамично: оно разрушает все каноны, часто не успевая провозгласить свои. Сегодня каждый художник стремится создать свой собственный канон, что порождает бесконечные споры об искусстве. Тот же "канон Ильи Глазунова" расколол наших современников на сторонников и противников, что, впрочем, не мешает и тем и другим в едином строю опоясывать Манеж с выставками художника.

Рисунок человека, выполненный ЭВМ в исследовательском отделе фирмы 'Боинг'. Система топологических правил, введенных в ЭВМ, позволяет нарисовать различные стадии движения человека

Так что же, теория пропорций стала отжившим рудиментом искусства? Автору так не кажется. Да, в своем "арифметическом" выражении теория пропорций себя исчерпала. Да, человек — мера всех вещей — настолько разнообразен, что его нельзя втиснуть в рамки дискретных канонов. Но пропорции живы, как жив и сам человек.

Теория пропорций сегодня не умерла, а лишь замерла в ожидании качественно нового скачка, в ожидании перехода от "арифметического" к "аналитическому" и даже "компьютерному" выражению. Почва для такого скачка сегодня созрела: есть современный математический аппарат, позволяющий описать контуры человека не "на уровне циркуля и линейки"; есть современные ЭВМ с их графопостроителями и дисплеями. Нужно содружество художников и математиков.

Примеры такого содружества есть. В исследовательском отделе американской фирмы "Боинг" выполнен рисунок на ЭВМ. Рисунок математически сконструирован по стандартным дюреровским пропорциям человека и ряду топологических правил, определяющих работу суставов и обеспечивающих непрерывность контура человека при его перемещениях. Таким образом, этот "машинный человечек" может двигаться, а сама ЭВМ может создать целый мультфильм. Однако эта увлекательная тема — искусство и ЭВМ — выходит за рамки нашей книги.

20. Перспектива — геометрия живописи

В первом наскальном изображении первый первобытный художник столкнулся с непростой математической задачей: отобразить трехмерный оригинал на двумерную плоскость "картины". Сама природа помогла ему в решении этой задачи, ибо, как заметил Леонардо да Винчи, "первая картина состояла из одной-единственной линии, которая окружала тень человека, отброшенную солнцем на стену".

Почему художник не довольствовался трехмерной скульптурой, а стремился к двумерному изображению оригинала, понять нетрудно: плоская поверхность пещеры или стены храма, глиняной таблички или папируса, пергамена или бумаги была удобным носителем графической информации. В последних случаях такую поверхность можно было попросту свернуть в рулон и унести с собой.

Люди издревле научились отображать всевозможные объекты окружающего их трехмерного мира на двумерную плоскость картины. Однако по мере развития такого искусства отображения все чаще возникал вопрос: насколько точно и насколько убедительно эти плоские образы отражают реальные трехмерные прообразы? На эти вопросы призвана была ответить наука, и прежде всего геометрия. И она по мере сил отвечала на них, хотя решение столь простой на первый взгляд задачи растянулось на тысячелетия.

В этой главе мы рассмотрим с точки зрения геометрии, какие основные возможности имеются в решении задачи отображения трехмерного пространства на двумерную плоскость. А в главе 22 мы увидим, как эти возможности реализовы-вались в искусстве живописи.

Раздел геометрии, в котором изучаются различные методы изображения пространственных форм на плоскости, называется начертательной геометрией. В основе начертательной геометрии лежит метод проекций, сущность которого такова. В пространстве выбирают фиксированную точку S — центр проектирования и плоскость проекций К (картинную плоскость), не проходящую через S. Для получения изображения — проекции[32] — объекта на плоскость К через центр проекций S и каждую точку А, В, С,... объекта проводят проектирующие лучи до пересечения с плоскостью К. Совокупность точек пересечения проектирующих лучей с картинной плоскостью и даст изображение (проекцию) объекта, которое называют центральной проекцией.

Представим теперь, что центр проектирования S уходит в бесконечность. Тогда проектирующие лучи становятся параллельными между собой. Считая центр проектирования расположенным в бесконечно удаленной точке S_∞ , мы, таким образом, приходим к важному частному случаю центрального проектирования — параллельному проектированию. Наконец, важным частным случаем параллельных проекций являются ортогональные проекции, когда проектирующие лучи ортогональны К, т. е. образуют прямые углы с плоскостью проекций К.

При построении проекций некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции. Такими неизменными свойствами — инвариантами — при центральном проектировании обладают:

1) точки (проекция точки — точка);

2) прямые;

3) свойство точки принадлежать прямой.

При параллельном проектировании помимо того сохраняются следующие свойства:

4) параллельность прямых;

5) отношение отрезков прямых;

6) метрические свойства плоских фигур, параллельных картинной плоскости (плоские фигуры, параллельные картинной плоскости, проектируются на эту плоскость без искажений).

Обратим внимание на то, что свойство параллельности прямых при центральном проектировании не сохраняется.

Важнейшие виды проекций: центральные (а), параллельные (б) и ортогональные (в)

Приложение начертательной геометрии к технике выдвинуло требование "обратимости" чертежа, т. е. возможности точного определения пространственной фигуры по плоскому чертежу, или, говоря языком математики, взаимно однозначности отображения пространства на плоскость. Рассмотренные проекции являются однозначными, но не взаимно однозначными отображениями, т. е. каждой точке пространства соответствует единственная точка плоскости, но не наоборот. Нетрудно убедиться и в том, что для определения положения точки в пространстве по ее чертежу необходимо иметь две проекции точки, полученные из двух центров или при двух направлениях проектирования. Эта гениально простая мысль и составляет основу начертательной геометрии, заложенную выдающимся французским математиком, активным деятелем Великой французской революции, другом и советником Наполеона Гаспаром Монжем (1746-1818).

Суть метода Монжа можно изложить двумя предложениями, как это сделал член-корреспондент АН СССР Б. Н. Делоне: "Пространственный объект проектируется ортогонально (т. е. перпендикулярами) на плоскость и также проектируется на некоторую другую ей перпендикулярную плоскость, и затем одна из этих плоскостей поворачивается вокруг прямой пересечения этих плоскостей, пока не совместится с другой. В результате на одной и той же плоскости оказываются две различные проекции (вида) рассматриваемого объекта, по которым уже можно, методами Монжа, восстановить размеры, углы и т. д., имеющиеся у данного пространственного объекта в натуре."

Несмотря на то что ортогональные проекции известны человечеству с незапамятных времен (вся живопись Древнего Египта есть не что иное, как ортогональные проекции на плоскость рисунка), простая мысль использовать две ортогональные проекции для получения взаимно однозначного отображения пространства на плоскость пришла Монжу лишь в конце XVIII века. Имея огромное практическое значение в теории фортификации, метод Монжа еще в течение 15 лет оберегался как военная тайна. Простота метода Монжа ошеломила современников. Познакомившись с его идеями, Лагранж, перемежая иронию с восторгом, воскликнул: "До слушания лекции Монжа я не знал, что мне известна начертательная геометрия!"

На рисунке показаны различные типы проекции одного и того же прямоугольного параллелепипеда с отношением сторон 1:2:3. Метод ортогональных проекций Монжа иллюстрирует рисунок а. Заметим, что третья проекция с точки зрения математики является лишней, но ею часто пользуются, чтобы создать более полное представление о пространственном теле. Как отмечалось, при ортогональном проектировании сохраняются истинные размеры контуров тела.

Однако ортогональные проекции не дают целостного впечатления о форме пространственного объекта. Более наглядное представление о форме тела дают аксонометрические проекции[33] — частный вид параллельных проекций, отображающих на плоскость К все точки пространственного объекта вместе с декартовой системой координат, к которой этот объект отнесен. На рисунке б построена аксонометрическая проекция нашего параллелепипеда. Мы видим, что в аксонометрии происходят искажения линейных размеров, различные по разным осям. Согласно основной теореме аксонометрии — теореме Польке, три произвольных отрезка на плоскости, выходящие из одной точки, могут быть приняты за параллельную проекцию трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков, выходящих из некоторой точки пространства, Следовательно, аксонометрические оси и коэффициенты искажения по ним (отношение длины по аксонометрической оси к истинной длине по соответствующей оси) могут быть выбраны произвольно. (В нашей аксонометрии углы между осями равны 120°, а коэффициенты искажения — 1.)

Наконец, на рисунке в построена центральная проекция нашего параллелепипеда. Сопоставляя все три проекции, мы видим, что перспектива наиболее адекватно, т. е. "похоже", передает видимый нами объект. Это замечательное свойство центральной проекции и снискало ей славу в искусстве живописи, где она получила особое название — перспектива (от лат. perspicio — ясно вижу). Перспективные проекции, являются и наиболее трудными из рассмотренных нами, поэтому остановимся на перспективе более подробно.

Прежде всего заметим, что реально существующий мир и видимый нами мир — не одно и то же. В самом деле, вспомним всем хорошо знакомый пример: рельсы железной дороги кажутся нам сходящимися на горизонте, хотя мы прекрасно знаем, что это не так и ни один машинист, увидев такую картину, не бросится останавливать поезд.

Ортогональные (а), аксонометрические (б) и центральные проекции (в) прямоугольного параллелепипеда с отношением сторон 1:2:3

Объяснение этому "парадоксу" было известно еще до нашей эры. В своем сочинении "Оптика" Евклид постулировал, что мы воспринимаем предметы, когда исходящие от них прямолинейные лучи света сходятся в нашем глазу. Таким образом, всю систему лучей зрения можно представить в виде "пирамиды зрения", вершина которой находится в глазу, а основанием служит рассматриваемый объект. В предложении 4 "Оптики" Евклид доказал, что из двух предметов одинакового размера более удаленный, т. е. видимый под меньшим углом зрения, кажется меньшим. Итак, почему дальние предметы кажутся меньшими, было понятно. Оставалось сделать еще один шаг — рассмотреть картину как сечение пирамиды зрения картинной плоскостью. Однако на этот шаг человечеству потребовалось более 1500 лет.

Мучительно долго ожидали идеи Евклида своего часа, и только в XIV веке могучий поток Возрождения подхватил их. Филиппо Брунеллёски (1377-1446), итальянский архитектор и ученый, автор выдающегося инженерного сооружения — грандиозного 42-метрового каменного купола над хором флорентийского собора Санта-Мария дель Фьоре, ставшего символом Флоренции,- сделал оставшийся шаг. Брунеллёски рассек пирамиду зрения Евклида картинной плоскостью и получил на ней центральную проекцию объекта, или перспективу. Перспектива, таким образом, была не просто объективным геометрическим методом построения изображения, но и "физиологическим" методом, т. е. методом, учитывающим закономерности работы человеческого глаза. Именно поэтому перспектива давала изображения, столь замечательно "похожие" на видимую глазом натуру.

Вслед за Брунеллёски поднимается мощная волна работ по перспективе. Титаны Возрождения не замыкаются в геометрических построениях, а воплощают теоретические разработки в своих бессмертных полотнах. Геометрия и живопись идут рука об руку. Вместе с трактатами "О живописи" Леона Баттисты Альберти, "О живописной перспективе" Пьеро делла Франчески[34] (ок. 1420-1492), "Трактатом о перспективе" Леонардо да Винчи, "Руководством к измерению" Альбрехта Дюрера, "Шестью книгами о перспективе" Гвидо Убальди (1545-1607) рождаются и такие памятники перспективе, как "Бичевание Христа" Пьеро делла Франчески, "Тайная вечеря" Леонардо да Винчи, "Обручение Марии" Рафаэля, "Меланхолия" и "Св. Иероним" Дюрера...

Но вернемся к нашему примеру с железной дорогой. Посмотрим, как изобразятся на плоскости картины "рельсы" — прямые, ортогональные плоскости картины, и "шпалы"- равноотстоящие прямые, параллельные этой плоскости. Пусть точка зрения S есть центр проекций, который определяет положение глаза художника; Т — горизонтальная плоскость, на которой лежат изображаемые объекты; К — плоскость картины (К1.Т). Из точки S мы смотрим[35] на "точки закрепления рельс к шпалам" А₁, А₂, А₃, ... и В₁, В₂, В₃,... Точки пересечения лучей зрения SA_i и SB_i с плоскостью К дают нам изображения (проекции) этих точек а₁, а₂, а₃,... и b₁, b₂, b₃,... на картине К. Очевидно, что точки, лежащие в основании картины, tt — линии пересечения плоскостей К и Т — при проектировании переходят сами в себя, т. е. линейные размеры в основании картины не искажаются.

Ясно, что по мере удаления точек А_i и B_i в бесконечность лучи SA_i и SB_i становятся все более пологими и все ближе подходят друг к другу (так как угол зрения, под которым мы видим равные отрезки A_iB_i, уменьшается), пока наконец не сольются, заняв предельное положение SS_∞. Можно считать, что луч SS_∞ пересекается с обоими "рельсами" (и вообще, с любой прямой, параллельной "рельсам") в бесконечно удаленной точке Sx, которая проектируется в главную точку картины О. Точка О лежит на прямой hh, называемой линией горизонта, которая есть линия пересечения картинной плоскости К и плоскости, проходящей через точку S параллельно плоскости Т. Расстояние SS' = 00' называется высотой точки зрения.

Построение перспективного изображения прямых, перпендикулярных и параллельных картинной плоскости

Таким образом, мы приходим к основной теореме теории перспективы: семейство бесконечных параллельных прямых на плоскости Т, не параллельных основанию картины, изображается семейством пересекающихся отрезков на плоскости К, причем точка пересечения этих отрезков — точка схода - лежит на линии горизонта hh. Различным направлениям на плоскости Т соответствуют различные точки схода на линии горизонта. Следовательно, линия горизонта есть геометрическое место точек схода для всевозможных направлений на плоскости Т. Прямые плоскости T, параллельные основанию картины, точки схода не имеют и проектируются на плоскости К в прямые, параллельные основанию картины ("шпалы" на рисунке).

Разумеется, получать проекции точек объекта на картинной плоскости с помощью пространственных построений, как это сделано на рисунке, трудно и неудобно. Поэтому еще архитекторами Возрождения был разработан способ построения перспективы, названный способом архитекторов, позволяющий с помощью точек схода и линии горизонта непосредственно переходить с горизонтальной плоскости Т на плоскость картины К. Для построения точки схода F линии L по способу архитекторов из проекции точки зрения S' проводят линию L' параллельно L до пересечения с основанием картины в точке F'. Точка F' есть проекция точки схода F на основание картины. Восстанавливая из F' перпендикуляр до линии горизонта, находим саму точку схода F. (Доказательство справедливости этого построения очевидно из рисунка, а обоснование остальных построений способа архитекторов мы дадим в конце следующей главы.)

Перспектива открыла перед живописцами небывалые возможности. Впервые у художников появился геометрический метод изображения не отдельного предмета, а всего видимого трехмерного пространства, всего окружающего мира. Невиданные возможности перспективы наиболее ярко раскрывались в изображении интерьера. Вот почему художники Возрождения так любили изображать интерьер (вспомним "Афинскую школу" Рафаэля и "Тайную вечерю" Леонардо да Винчи, см. с. 55 и 308).

В самом деле, полностью изобразить интерьер комнаты, например, в аксонометрии просто невозможно. Для этого нужно считать стены комнаты и ее потолок прозрачными. Можно, конечно, дать ортогональные проекции стен, пола и потолка, но это будет чертеж комнаты. Иное дело — перспектива. Она чудесным образом раскрывает перед нами всю комнату, позволяя увидеть одновременно и ее стены, и пол, и потолок.

На рисунке в способом архитекторов построена перспектива "математической" комнаты в форме куба, имеющей окно, дверь, две балки на потолке и пол, выложенный квадратными плитами. Вынутая стена ABCD комнаты совпадает с плоскостью картины К и передается на ней без искажений (естественно, сохраняются и все размеры на ABCD, такие, как х, у, z и т. д.). Глаз художника расположен напротив центра комнаты, т. е. главная точка картины находится в центре квадрата ABCD. В главной точке картины пересекаются все прямые, перпендикулярные плоскости картины. Для построения перспективы берем план пола комнаты и, проводя из проекции точки зрения S' прямые, параллельные диагоналям пола, находим проекции точек схода F₁' и F₂' диагоналей. Перенося эти точки на линию горизонта hh, получаем точки схода диагоналей F₁ и F₂. В этих точках на перспективе пересекаются диагонали пола и параллельные им (на плане) прямые. Дальнейшее построение перспективы пола и стен комнаты, а также горизонтальных границ окна и двери понятно из рисунка.

Разметка вертикальных линий окна точками А₂, А₃, А₄ делается следующим образом. Берем отрезок A₁A₅, задающий вертикальные линии окна, и его перспективное изображение а₁а₅. Затем откладываем из точки а₁ отрезок A₁A₅ параллельно линии горизонта и проводим через точки А5 и а₅ прямую до пересечения с линией горизонта в точке V. Прямые, проходящие через точку V и точки А₁, А₂, ... , А₅ отрезка A₁A₅, разделят перспективу этого отрезка а₁a₅ в том же отношении. Аналогично размечаются вертикальные линии двери. Перспектива нашей "математической" комнаты готова.

Заметим, что проблема правильного построения перспективы "клетчатого" пола долго не давалась художникам Возрождения. Вот почему, решив эту геометрическую задачу, мастера Возрождения так любили изображать квадраты пола на своих полотнах (см. например, "Афинскую школу" и "Обручение Марии" Рафаэля, с. 310). Квадратные плиты были своеобразной координатной сеткой на плоскости пола и придавали глубине картины особую выразительность.

Заканчивая короткое знакомство с геометрическими основами теории перспективы, покажем, как построить перспективу прямоугольного параллелепипеда, расположенного под углом к плоскости картины К. Для простоты будем считать, что переднее ребро параллелепипеда лежит в плоскости картины. Пространственные построения здесь неудобны (см. рисунок в на с. 277), поэтому перспективу параллелепипеда найдем способом архитекторов, используя только основание параллелепипеда — прямоугольник ABCD, лежащий в горизонтальной плоскости Т.

Построение перспективы интерьера комнаты способом архитекторов: (а) — аксонометрия комнаты; (б) — перспектива комнаты; (в) — план пола комнаты и проекция точки зрения

Прямая (а) и обратная (в) перспективы прямоугольного параллелепипеда, расположенного под углом к картинной плоскости (б)

Прежде всего на плоскости картины К проводим линию основания tt и линию горизонта hh, которая выбирается по усмотрению художника (это высота точки зрения художника). Затем, проводя прямые S'F₁' и S'F₂' параллельные CD и СВ, строим точки схода F₁ и F₂ этих линий. Делая построения, понятные из рисунков а, б, получаем перспективу abcd основания ABCD. Далее, восставляя из точек а, b, с, d перпендикуляры и откладывая из точки а высоту параллелепипеда (так как переднее ребро параллелепипеда лежит в плоскости картины, то его размеры в перспективе сохраняются), получаем вершину параллелепипеда а'. Наконец, соединяя точку а' с точками схода F₁ и F₂, а также соединяя образуемые при этом точки b' и d' с соответствующими точками схода, получаем перспективу всего параллелепипеда.

Вообразим теперь, что, проводя линию горизонта hh, мы ошиблись и она оказалась у нас не выше, а ниже основания картины (рис. в на с. 282). В точности повторяя все предыдущие построения, мы получим обратную перспективу а, b, с, d прямоугольника ABCD.

Вместо привычного в прямой перспективе сокращения видимых размеров предмета по мере удаления его от наблюдателя в обратной перспективе происходит увеличение этих размеров. Заметим, что обратную перспективу a₁b₁c₁d₁ прямоугольника ABCD можно увидеть, если посмотреть на прямую перспективу abed этого прямоугольника из-за картины, да еще и "вверх ногами" (в этом легко убедиться, перевернув книгу и посмотрев на abed на свет с другой стороны страницы).

Если далее повторить все те же построения с высотами параллелепипеда, по-прежнему сохраняя его высоту в плоскости картины, то мы получим обратную перспективу всего параллелепипеда. Еще раз обратим внимание на "странность" обратной перспективы: видимые размеры фигуры в обратной перспективе по мере удаления от глаза наблюдателя не сокращаются (как в прямой перспективе), а увеличиваются.

До тех пор пока ваши построения обратной перспективы носили чисто геометрический характер, в них, может быть, и не было бы ничего странного, кроме замеченного расхождения обратной перспективы с нашим зрительным опытом. Но уж совсем удивительным оказывается то, что именно обратная перспектива является геометрической основой древнерусской живописи. Такая странная геометрия живописи Древней Руси до сих пор не дает покоя ее исследователям. Некоторые называют ее просто "ошибочным приемом". Другие связывают "потустороннее" геометрическое происхождение обратной перспективы (вспомните наш взгляд из-за картины) с тем "потусторонним" неземным ирреальным миром, который призвана была изображать древнерусская икона. Наконец, есть и третий, как нам кажется, наиболее реалистичный и научный взгляд на обратную перспективу. Но обо всем этом речь пойдет несколько позже.

Итак, перспектива — это очень просто. Это чистая геометрия. Так что же, овладев геометрией перспективы, каждый может стать художником? К сожалению, нет. Математически точная перспектива — это еще не живопись, а только чертеж, хотя бы и такой прекрасный, как воспроизведенный здесь нами. Перспектива — это только геометрическая основа живописи. Но эта основа мертва, до тех пор пока художник не вложит в нее частичку своей души, не сделает ее живописью. При этом в чем-то можно и поступиться геометрией (что часто и делали художники) во имя жизни самого искусства живописи.

Как мы видели, построение перспективных изображений — дело довольно сложное. Поэтому наряду с разработкой строгих математических основ теории перспективы художники Возрождения старались дать своим собратьям и простые практические методы построения перспективы. Остроумное устройство для построения перспективы описывает А. Дюрер в трактате "Руководство к измерению". На стене закреплена проушина (это "глаз" художника), через которую продет шнур, идущий последовательно от точки к точке предмета (это "луч зрения"). Шнур проходит через раму, которая закрывается дверцей с натянутой на ней бумагой. Рама имеет подвижные нити — горизонтальную и вертикальную, позволяющие фиксировать координаты точки пересечения "луча зрения" с открытой рамой и переносить их на бумагу (для этого шнур убирают, закрывают дверцу с бумагой и отмечают на ней соответствующую точку). Свой метод Дюрер иллюстрирует прекрасной гравюрой, которая, несмотря на свое "техническое" содержание, сама является произведением искусства.

Перспективный чертеж церкви Покрова Богородицы на Нерли — геометрия, переходящая JB искусство

Как происходило дальнейшее развитие теории перспективы? Уже наше короткое знакомство с перспективой убеждает в том, что по перспективному изображению весьма трудно судить об истинных размерах предмета. Желая преодолеть эту трудность, математик и архитектор из Лиона Жерар Дезарг (1593-1662) в работе "Общий метод изображения предметов в перспективе" предложил использовать при построении перспективы метод координат. Изображение предмета предлагалось выполнять совместно с системой координат, относительно которой он ориентирован в пространстве. Метод Дезарга положил начало новому самостоятельному методу изображения, впоследствии названному аксонометрическим.

Дезарг обратил внимание и на другую особенность, возникающую при построении перспективы. Как мы видели, при центральном проектировании прямые, параллельные в горизонтальной плоскости Т, могут переходить в пересекающиеся прямые в картинной плоскости К (см. на с. 281). При этом точка схода параллельных прямых в картинной плоскости (точка О на рисунке) не имеет своего прообраза в плоскости Т. Желая избавиться от тацой особенности, Дезарг предложил дополнить обычную евклидову плоскость (плоскость с конечными точками) бесконечно удаленными точками, названными несобственными точками. Сколько бесконечно удаленных точек следовало ввести на плоскости Т? Очевидно, сколько есть направлений для параллельных прямых, так как естественно считать, что все параллельные друг другу прямые пересекаются в одной бесконечно удаленной точке. Ясно, что таких точек бесконечно много. Совокупность бесконечно удаленных точек на плоскости Т образует бесконечно удаленную прямую, которая на картинной плоскости К переходит в линию горизонта. Плоскость, дополненная бесконечно удаленными точками и бесконечно удаленной прямой, получила название расширенной, или проективной плоскости.

Далее Дезарг предложил стереть различия между собственными и несобственными элементами расширенной плоскости. Это значительно упрощало и обобщало многие рассуждения. В самом деле, в таком случае на расширенной плоскости исчезало само понятие параллельности прямых, так как параллельные прямые можно было считать пересекающимися в бесконечно удаленной точке. Но тогда автоматически устранялась и та особенность центрального проектирования, с которой все и началось: на расширенной плоскости пересекающиеся прямые (в том числе и пересекающиеся в несобственной точке, т. е. параллельные) проектировались в пересекающиеся. Таким образом, на расширенной плоскости центральные проекции дополнялись еще одним инвариантом (см. с. 275) — свойством прямых пересекаться.

Дюрер. Устройство для изображения предметов в перспективе. Гравюра. Ок. 1520

Поведение точек и прямых на расширенной плоскости управлялось лишь двумя аксиомами:

1) две различные точки на расширенной плоскости определяют прямую, и притом только одну, которой они принадлежат;

2) две различные прямые на расширенной плоскости определяют точку, и притом только одну, через которую они проходят.

Нет параллельных прямых! Нет знаменитого пятого постулата Евклида, который 2000 лет не давал покоя математикам! Геометрия расширенной плоскости — это геометрия точек, прямых и пересечений. Любая теорема о конфигурации этих элементов на расширенной плоскости оставалась справедливой и для любой центральной проекции этой конфигурации. Отсюда и пошло название новой геометрии — проективная геометрия.

Так, в недрах искусства живописи родилась новая наука — проективная геометрия — еще одно свидетельство тесных уз между наукой и искусством.

Новые идеи оказались чрезвычайно плодотворными и позволили Дезаргу получить ряд первоклассных результатов, в том числе и знаменитую теорему, носящую его имя. Однако идеи Дезарга опередили его время. Его сочинения отпугивали современников сжатостью изложения и многочисленностью новых обозначений. О Дезарге и его методе просто забыли...

Пути науки неисповедимы. Судьбе угодно было распорядиться так, чтобы ровно через 150 лет после смерти Дезарга его идеи возродил его же соотечественник. Однако произошло это не в родной Франции, а в далекой России, в глухом провинциальном городе Саратове...

21. В плену, в Саратове: рождение проективной геометрии

1812 год. Ноябрь. Истерзанная Бородинским сражением, испуганная московскими пожарами, измученная отсутствием продовольствия и фуража, "великая армия" Наполеона отступала. Впрочем, не отступала — бежала. Так и не дождавшись ключей от Москвы, не сумев пробиться в южные районы России, император молча скакал по им же разоренной Смоленской дороге. Из-за бескормицы начался падеж лошадей, приходилось бросать артиллерию. Лошади, еще месяц назад оглашавшие ржанием гулкие соборы Московского Кремля, валялись теперь вдоль дороги с раздутыми боками. Непрерывные атаки отрядов атамана Платова и Дениса Давыдова повергали в паническое оцепенение некогда грозную гвардию. Крепчали морозы, и таяла на глазах "великая армия" Наполеона.

3 (15) ноября авангарды генералов М. Милорадовича и Д. Голицына под местечком Красным близ Смоленска внезапно столкнулись с самим Наполеоном. Три дня шли кровопролитные бои, приведшие к разгрому лучших войск Наполеона. Французы потеряли 6 тысяч убитыми и ранеными, 26 тысяч пленными. Армия фактически была брошена императором, голодные и обмороженные солдаты прятались по лесам и далее спасались кто как может. Это была прелюдия к развязке на реке Березине.

Среди оставленных умирать на красном снегу под красным был и двадцатитрехлетний сублейтенант инженерных войск Жан Виктор Понселе. К счастью, дозорный отряд казаков заметил, что молодой "французик" еще дышит. Мундир офицера корпуса инженеров спас ему жизнь. Его подобрали и доставили в русский штаб для допроса.

Затем последовал мучительный 1000-верстный переход вглубь России. Почти пять месяцев нескончаемые вереницы полураздетых и полуживых военнопленных брели по бескрайним заснеженным равнинам. Морозы были так крепки, что ртуть застывала в термометрах. Люди падали и замерзали, не имея сил подняться. В марте 1813 г. Понселе с оставшимися в живых товарищами по несчастью оказался на берегах Волги, в губернском городе Саратове.

Русский народ всегда был велик состраданием. В обмороженных французах сердобольные волжане увидели не бывших врагов, а нынешних страдальцев. Их обогрели, откормили. Яркое апрельское солнце, молодость и жажда жизни победили. Они выжили.

Пленных не обременяли работами. Доподлинно известно лишь то, что они разбили прекрасную дубовую аллею у загородного дома саратовского губернатора. Возможно, один из немногих ныне уцелевших дубов был посажен руками Понселе. Со временем те, кто владел ремеслом, открыли лавки; другие подвизались на ниве воспитания: саратовские красавицы не упускали случая взять уроки модных парижских танцев. Жизнь вошла в свое русло.

Понселе занялся науками. Книг, разумеется, не было, письменные принадлежности — самые скудные. Поэтому прежде всего он восстановил по памяти все, что знал по математике,- от арифметики до математического анализа и высшей геометрии. Вокруг Понселе собирается кружок единомышленников — таких же, как и он, воспитанников Политехнической школы в Париже либо мечтающих выдержать туда экзамен, если когда-нибудь они снова увидят родную Францию. Занятия математикой скрашивали долгие вечера. Любопытно признание самого Понселе в том, что практически все сложные математические выкладки, которые он изучал, стерлись в его памяти, тогда как общие фундаментальные принципы остались в ней такими же ясными, как и много лет назад. Именно за этими занятиями математикой Понселе и пришел к своему гениальному творению — созданию проективной геометрии.

То, что в саратовском плену Понселе вспомнил прежде всего о геометрии, разумеется, не было случайным. Вся французская наука того времени была пронизана духом геометрии. Во главе Политехнической школы, которую Наполеон называл наседкой, несущей ему золотые яйца, стоял отец начертательной геометрии Гаспар Монж. Да и сам император оставил в геометрии несколько теорем, носящих его имя.

Саратовский плен оказался недолгим. 25 марта (6 апреля) 1814 г. Наполеон подписал в Фонтебло отречение от престола и был сослан на остров Эльба. А в сентябре того же года пленники вернулись на родину.

Понселе возвратился во Францию с семью записными книжками, хранившими его блестящие идеи. Именно "материал семи рукописных записных книжек, написанных в Саратове, в русском плену (с 1813 по 1814 г.), вместе с разными другими записями, старыми и новыми", и составил основу классического труда молодого офицера — "Трактат о проектных свойствах фигур". Первое издание трактата вышло в 1822 г. Второму изданию, вышедшему сорок лет спустя, была предпослана "апология" — описание давних приключений автора, имевших самый счастливый конец[36].

С выходом в свет трактата Понселе проективная геометрия стала самостоятельной наукой. Заслуга Понселе заключалась в выделении проективных свойств фигур (Понселе понимал их как свойства, которые остаются неизменными при любом центральном проектировании фигуры с одной плоскости на другую) в отдельный класс и установлении соответствий между метрическими и проективными свойствами этих фигур. Помимо точек и прямых проективными свойствами oбладают, например, линии второго порядка (окружности, эллипсы, параболы и гиперболы). Понселе были сформулированы также принцип непрерывности и принцип двойственности. Первый принцип позволил рассмотреть всякого рода исключения и особые случаи с более широкой точки зрения (например, параллельность прямых как пересечение их в бесконечно удаленной точке) и дать геометрический аналог мнимым числам в геометрии. С помощью второго принципа стало возможным в два раза увеличивать число теорем проективной геометрии, не прилагая при этом никаких усилий.

Истинное значение проективных свойств геометрии было осознано лишь в конце XIХ века, когда немецкий математик Феликс Клейн (1849-1925) доказал, что обычная геометрия Евклида, и "необычная" геометрия Лобачевского могут быть ассмотрены в рамках проективной геометрии. Так было установлено кардинальное значение проективной геометрии по всей геометрии.

"Милостивые государи! Между приобретениями, сделанными в области геометрии за последние пятьдесят лет, развитие проективной геометрии занимает свое место". Этими словами в старинном немецком городке Эрлангене в 1872 г. Клейн начал свою знаменитую лекцию, вошедшую в историю математики как Эрлангенская программа". В этой лекции, изменившей взгляд на геометрию в целом, Клейн дал новое определение древней науки: геометрия есть учение об инвариантах той или иной группы преобразований. Выбирая по-разному группу преобразований, можно получать разные геометрии. Заметим, что проективная геометрия лежит в основе теории аэрофотосъемки и находит сегодня важнейшее приложение при обработке снимков из космоса.

Рассмотрим основные идеи проективной геометрии. Как отмечалось в конце предыдущей главы, Понселе возродил идею проективной плоскости Дезарга, т. е. плоскости, дополненной бесконечно удаленными точками и бесконечно удаленной прямой. На проективной плоскости стираются различия между параллельными и пересекающимися прямыми, свойство прямых пересекаться становится инвариантным относительно операции проектирования, а поведение точек и прямых определяется двумя аксиомами (см. с. 285). Поскольку метрические свойства геометрических фигур (расстояния и углы) при проектировании не сохраняются (см. с. 275), а проективная геометрия изучает свойства фигур, инвариантные относительно операции проектирования, то метрические свойства в проективной геометрии не рассматриваются. Именно поэтому проективную геометрию называют "геометрией положения" или "геометрией линейки без делений".

Разумеется, проективная геометрия развилась не вдруг с появлением трактата Понселе. Известны три важнейшие предтечи проективной геометрии — три теоремы элементарной геометрии, которые не содержат в условиях метрических характеристик. Первая теорема известна с глубокой древности и носит имя александрийского геометра III века Паппа.

Теорема Паппа. Пусть l и m — две прямые на плоскости; А, В, С — различные точки прямой l, а А', В', С' — различные точки прямой m. Тогда точки пересечения трех пар накрест лежащих прямых АВ' и А'В, ВС' и В'С, С А' и С'А принадлежат одной прямой. Проективный характер теоремы Паппа очевиден: в ней фигурируют только точки, прямые и их пересечения; поэтому теорема Паппа остается справедлива при любом проективном преобразовании.

Через 1200 лет после Паппа шестнадцатилетний юноша Блез Паскаль (1623-1662) опубликовал свое лучшее математическое сочинение "Трактат о конических сечениях". В трактате Паскаль доказал теорему, которую он назвал Hexagramma mysticum (Волшебный шестиугольник) и которую он украсил почти 400 следствиями. Теорему Паскаля можно считать своего рода обобщением теоремы Паппа на случай конических сечений^*, которые, как и прямые, обладают проективными свойствами.

^* (Коническими сечениями (линиями второго порядка) называют эллипс (и его частный вид — окружность), параболу и гиперболу — линии, которые могут быть получены как сечения прямого кругового конуса. В последнем легко убедиться, посветив обычным карманным фонариком (световой конус) на стену. Когда фонарик перпендикулярен стене, мы видим окружность, затем при наклоне фонарика — эллипс. Когда одна из образующих светового конуса станет параллельна стене, мы Увидим параболу и, наконец, при больших углах наклона — гиперболу. Математическое доказательство этих результатов принадлежит выдающемуся античному математику Апполонию из Перги.)

Теорема Паскаля. Пусть А, В, С, А', В', С' — шесть точек, принадлежащих некоторому коническому сечению. Тогда точки пересечения трех пар накрест лежащих прямых АВ' и А'В, ВС' и В'С, СА' и С'А принадлежат одной прямой. Существует и другая формулировка теоремы Паскаля, в которой ее связь с теоремой Паппа не столь очевидна: три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в коническое сечение, лежат на одной прямой (см. с. 294). Еще раз подчеркнем, что теорема Паскаля справедлива для любого конического сечения (окружности, эллипса, параболы и гиперболы). Более того, при надлежащем определении касательной в точке конического сечения теорема Паскаля будет выполняться в том случае, когда не все из шести точек различны.

Теорема Паппа (а) и теорема Паскаля (б)

Наконец, третья теорема — одна из важнейших теорем проективной геометрии — носит имя Дезарга, который вместе с Понселе разделяет славу создания проективной геометрии.

Теорема Дезарга. Пусть ABC и А'В'С — два треугольника (необязательно лежащие в одной плоскости), такие, что прямые АА', ВВ' и СС', соединяющие соответственные вершины треугольников, сходятся в одной точке S. Тогда точки пересечения соответственных сторон этих треугольников АВ и А'В', ВС и В'С', СА и С'А' лежат на одной прямой. Плоский вариант теоремы Дезарга, как и теоремы Паппа и Паскаля, отнюдь не очевиден, тогда как ее пространственный вариант настолько прозрачен, что просто удивительно, как художники Возрождения, так много занимавшиеся теорией перспективы, не "заметили" его.

Плоский (а) и пространственный (б) варианты теоремы Дезарга

В самом деле, пусть треугольник ABC лежит в горизонтальной плоскости Т, треугольник А'В'С' есть его изображение на картинной плоскости К и точка S — центр проектирования. Прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников,- это "лучи зрения", а ΔА'В'С есть сечение "пирамиды зрения" с основанием ABC и вершиной в точке S. Соответственные стороны АВ и А'В' расположены на грани SAB "пирамиды зрения", т. е. лежат в одной плоскости и пересекаются в некоторой точке L. Но точка L одновременно принадлежит прямым АВ и А'В'. Значит, она одновременно принадлежит плоскости Т и плоскости К, т. е. лежит на линии пересечения этих плоскостей — прямой tt. Аналогично доказываем, что и точка пересечения сторон АС и А'С (точка М) и сторон ВС и В'С (точка N) лежат на той же прямой tt. Следовательно, все три точки L, М, N лежат на одной прямой. Пространственная теорема Дезарга доказана.

Для доказательства плоской теоремы Дезарга достаточно ΔА'В'С', лежащий в картинной плоскости К, спроектировать на плоскость Т из двух центров проекции S и S₁ определяющих прямую S¹ S'. В результате на плоскости Т мы получим два треугольника: ABC и А'В'С. Поскольку прямые S₁A" и SA лежат в одной плоскости, то точки А" и А будут лежать на одной прямой S'A — линии пересечения этой плоскости с плоскостью Т (аналогично для точек В" и B, а также С" и С). Следовательно, прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников ABC и А"В"С", пересекаются в одной точке S' т. е. удовлетворяют условию теоремы Дезарга. Для каждой из пар треугольников: ΔА'В'С' и ΔАВС, а также ΔА'В'С' и ΔА"В"С" -справедлива пространственная теорема Дезарга. Более того, так как в каждой паре этих треугольников имеется один й тот же ΔА'В'С', то всякий раз все три соответственные стороны этих треугольников будут пересекаться в одной точке. Так мы получим точки L, М и N, лежащее на прямой tt, т. е. придем к плоской теореме Дезарга.

Оба доказательства теоремы Дезарга настолько просты и изящны, что трудно было удержаться от соблазна привести их здесь. Но дело не только в этом. Мы доказали плоскую теорему Дезарга с помощью ее пространственного аналога, т. е. при помощи пространственных построений. Как показал в конце XIX века Д. Гильберт, без выхода из плоскости в пространство вообще невозможно доказать плоскую теорему Дезарга методами проективной геометрии (без привлечения метрических понятий). Следовательно, если задаться целью разрабатывать плоскую проективную геометрию лишь средствами плоскости, не используя пространство, то мы обязаны присоединить теорему Дезарга в качестве новой аксиомы этой плоской геометрии. Затем Гильберт показал, что, исключив "аксиому Дезарга", можно построить новую, так называемую недезар-гову, геометрию на плоскости. Так на протяжении веков раскрывалась чрезвычайно важная роль теоремы Дезарга в проективной геометрии.

К доказательству плоской теоремы Дезарга

Заканчивая краткое знакомство с тремя великими предтечами проективной геометрии, нельзя не отметить и ту глубокую связь между теоремами Паскаля и Дезарга, которая также была раскрыта лишь спустя столетия. Если взять два треугольника, удовлетворяющих условию теоремы Дезарга (такие треугольники называются гомологическими, т. е. сходственными), то всего существует 9 возможных точек пересечения их сторон. Три точки пересечения соответственных сторон, как следует из теоремы Дезарга, лежат на одной прямой. А вот остальные шесть точек пересечения всегда лежат на некотором коническом сечении, т. е. удовлетворяют теореме Паскаля! Заинтересовавшийся читатель может сам построить массу интересных конфигураций с гомологическими треугольниками.

Связь между теоремами Паскаля и Дезарга: из 9 возможных точек пересечения гомологических треугольников ABC и А'В'С' 3 точки пересечения сходственных сторон лежат на одной прямой (точки 1, 2, 3), а остальные 6 — на коническом сечении (гиперболе) — точки 4, 5, 6, 7, 8, 9

Наконец, теорема Дезарга является теоретическим фундаментом перспективных построений, о чем мы еще скажем в конце главы.

И снова вернемся к Понселе. Помимо того что Понселе возродил идею проективной плоскости Дезарга и придал "геометрии положения" самостоятельный статус, он обогатил новую науку и новыми идеями, среди которых, как уже отмечалось, были принципы непрерывности и двойственности.

Принцип непрерывности, позволяющий выводить свойства одной фигуры из свойств другой, Понселе сформулировал так: "Если одна фигура получается из другой непрерывным изменением и столь же обща, как и первая, тогда без дальнейших соображений можно отнести свойства, доказанные для первой фигуры, ко второй". Например, ясно, что противоположные стороны правильного шестиугольника, вписанного в окружность, пересекаются в бесконечно удаленных точках, т. е. лежат на одной бесконечно удаленной прямой. Но это есть доказательство простейшего случая теоремы Паскаля! Тогда согласно принципу непрерывности это утверждение должно быть справедливо и для любого шестиугольника, вписанного в коническое сечение, т. е. мы получаем доказательство общей теоремы Паскаля! Итак, сформулировав и доказав теорему проективной геометрии в простейшем частном случае, Понселе автоматически получал ее обобщение для любой проекции, в которой вид первоначальной конфигурации мог измениться до неузнаваемости.

Несмотря на неточную формулировку, в руках Понселе принцип непрерывности дал новые и верные результаты. Однако на пути применения принципа часто возникали подводные камни. Например, легко видеть, что эллипсы или параболы пересекаются на плоскости в четырех точках, тогда как окружности — только в двух. Между тем как конические сечения эти линии должны обладать одинаковыми свойствами. Вводя на плоскости систему координат и следуя принципу непрерывности, Понселе пришел к выводу, что все окружности помимо двух действительных точек пересечения имеют на плоскости еще две точки пересечения, которые являются не только бесконечно удаленными, но и мнимыми (точнее, комплексно-сопряженными). Так в геометрии появились комплексные числа.

Но если принцип непрерывности достаточно сложен и требует поистине математического полета фантазии, то принцип двойственности прост и прозрачен. Рассмотрим, как действует принцип двойственности в планиметрии.

Вспомним основные аксиомы проективной геометрии на плоскости, формулировка которых стала возможной с введением понятия бесконечно удаленных точек (см. с. 285). Принцип двойственности основан на том простом факте, что эти две аксиомы обнаруживают двойственность, т. е. переходят друг в друга, если поменять местами слова точки и прямые (соответственно из соображений литературности языка следует поменять глаголы лежат и проходят, а также предлоги на и через). Если же, говоря о точке, лежащей На прямой, или о прямой, проходящей через точку, ввести более общий термин прямая и точка инцидентны, то последние языковые различия устраняются и аксиомы проективной планиметрии примут наиболее универсальный вид:

А.1. Две различные точки на проективной плоскости определяют прямую, и притом только одну, которой они обе инцидентны.

А.2. Две различные прямые на проективной плоскости определяют точку, и притом только одну, которой они обе инцидентны.

Теперь эти две аксиомы отличаются друг от друга только выделенными словами, т. е. словами точки и прямые, а мы получаем возможность сформулировать сам принцип двойственности: все утверждения проективной планиметрии образуют пары, в которых одно из утверждений пары можно непосредственно получить из другого, взаимозаменив слова точка и прямая.

Понселе не только открыл принцип двойственности, но и применял его до пределов возможного. С легкой руки Понселе стало принято записывать теоремы проективной геометрии в два столбца: в одном столбце пишут доказанную теорему, а в другом — двойственную ей. Разумеется, доказательство двойственной теоремы становится излишним. Таким образом, с открытием Понселе стало возможным удвоить число теорем проективной геометрии, не затратив при этом никакого труда.

В качестве примера двойственных теорем приведем следующую пару. В левом столбце записана известная нам теорема Паскаля, которая сформулирована в удобном для "двойственного перевода" виде. Дополнив наш "словарь двойственных терминов" еще одной парой: точка пересечения двух прямых и прямая, проходящая через две точки,- мы легко получаем в правом столбце теорему, двойственную теореме Паскаля. (В обеих теоремах взаимозаменяемые термины выделены, а выражения, проясняющие смысл, взяты в скобки.)

Если А, B, С, D, Е, F — любые точки конического сечения, то три точки пересечения двух противоположных прямых (сторон вписанного шестиугольника) инцидентны одной прямой. Теорема Паскаля

Если А, В, С, D, Е, F — любые прямые (касательные) к коническому сечению, то три прямые, проходящие через две противоположные точки (вершины описанного шестиугольника), инцидентны одной точке. Теорема Брианшона

Каков же был восторг Понселе, когда в теореме, двойственной теореме Паскаля, он увидел теорему, доказанную в 1806 г. его однокашником, студентом Политехнической школы Шарлем Брианшоном (1785-1864)! Однако в отличие от Брианшона Понселе доказывал эту теорему "автоматически". Это открытие утвердило Понселе в могуществе принципа двойственности.

Принцип двойственности: теорема Паскаля (а) и теорема Брианшона (б)

И в заключение вновь перейдем от математики к искусству. Рождению проективной геометрии во многом способствовали геометрические исследования художников Возрождения. А появившись на свет, проективная геометрия стала теоретическим фундаментом искусства перспективы. Важную роль при построении перспективных изображений играет теорема Дезарга. Мы остановимся на двух приложениях этой теоремы к теории перспективы.

Теорема Дезарга и способ архитекторов. Способ-архитекторов, который мы применили в предыдущей главе для построения перспективы интерьера комнаты и перспективы параллелепипеда (см. с. 282), состоит, по существу, в построении двух точек: точки схода изображаемой линии и точки пересечения этой линии с основанием картины. Зная эти две точки, мы можем построить перспективное изображение данной линии. Метод построения точки схода на перспективе был нами разобран на с. 279, доказательство его справедливости очевидно из рисунка на с. 281. А вот найти точку пересечения образа данной линии с основанием картины позволяет нам теорема Дезарга.

Обратимся для определенности к рисунку на с. 282. Прежде всего заметим, что любую фигуру, состоящую из прямых линий, можно разбить на соответствующее число треугольников. Рассмотрим треугольник ABC на плоскости Т (рис. б) и его перспективное изображение треугольник abc на плоскости К (рис. а). По теореме Дезарга соответственные стороны этих треугольников пересекаются в одной точке на основании картины tt. Именно поэтому в наших построениях мы продолжили сторону ВС до пересечения с линией основания tt в точке М (рис. б), а затем перенесли эту точку ни линию tt в плоскости К. Так мы нашли неизвестную нам точку пересечения образа линии ВС с линией основания tt (точка m на рис. а). Аналогично найдена и точка п. Зная точки пересечения m, a, n и их точки схода F_l и F₂, легко построить перспективу прямоугольника ABCD.

Теорема Дезарга и недоступные точки схода. Случается, что при построении перспективного изображения художник, а еще чаще архитектор сталкиваются с такой трудностью: точка схода некоторой линии оказывается за пределами картины (чертежа). Покажем, как теорема Дезарга может помочь в этом случае.

Пусть на плоскости картины К даны две прямые а и b, идущие в недоступную точку схода (в качестве одной из таких прямых чаще всего выступает линия горизонта). Требуется через некоторую точку С∈К провести прямую с в недоступную точку схода. Выберем на плоскости К произвольную точку L и проведем через эту точку три произвольных луча l₁, l₂, l₃. Лучи l₁, и l₃ пересекут прямые а и b в точках А, В и А', В' соответственно. Через точку С проведем прямые МА и СВ, пересекающие луч l₂ в точках М и N. Наконец, проведем прямые МА' и NB' до пересечения в точке С'. Как следует из теоремы Дезарга, прямая с, проходящая через точки С и С', пересекается с прямыми а и b в одной точке, т. е. прямая с и является искомой прямой, идущей в недоступную точку схода.

Проведение прямой с в недоступную точку схода с помощью теоремы Дезарга

Мы познакомились с геометрическими методами отображения трехмерного пространства на плоскость картины. Методы эти составляют предмет изучения самостоятельной науки — начертательной геометрии, которая в свою очередь стимулировала развитие еще одной ветви математики — проективной геометрии. Но эти же геометрические методы живут полнокровной жизнью и в искусстве живописи. Они помогают художнику разрешать извечный парадокс искусства живописи: заставить зрителя в плоском холсте, покрытом красками, увидеть реальный трехмерный мир, окружающий человека. В разные эпохи эта "вечная" проблема живописи решалась по-разному, в том числе и разными геометрическими методами, в чем легко убедиться, прочитав следующую главу.

22. Геометрия и живопись: страницы истории

Геометрия и живопись... Пути науки и искусства переплетались в них на протяжении столетий. Геометрия дарила живописи новые изобразительные возможности, обогащала язык живописи, а живопись эпохи Возрождения стимулировала исследования по геометрии, дала начало проективной геометрии. Сейчас нам предстоит взглянуть на геометрию с неожиданной, быть может, стороны. Мы увидим, что геометрия, будучи могучей ветвью древа математики, является в то же время и тем связующим стержнем, который проходит через всю историю живописи.

В самом деле, существуют три принципиальных геометрических метода отображения трехмерного пространства на двумерную плоскость картины: метод ортогональных проекций, аксонометрия и перспектива (см. рис. на с. 277). Перспектива, как явствует из рисунка, может быть прямой или обратной. Все эти принципиальные возможности изображения пространства на плоскости были реализованы в искусстве живописи, причем в разных пластах художественной культуры каждый из этих методов находил свое наиболее полное и чистое выражение. Так, система ортогональных проекций составила геометрическую основу живописи

Древнего Египта; аксонометрия (параллельная перспектива) характерна для живописи средневекового Китая и Японии; обратная перспектива — для фресок и икон Византии и Древней Руси; прямая перспектива — это геометрический язык ренессансной живописи, а также станковой и монументальной живописи европейского искусства XVII века и русского искусства XVIII- XIX веков.

Итак, ортогональные проекции — аксонометрия — перспектива. Именно по такой схеме шло развитие геометрии живописи. Видимо, простота метода прежде всего определяла его положение в этой схеме. Метод ортогональных проекций как наиболее простой занял в ней первое место. Ортогональные проекции передавали без искажений контуры реальных предметов, а идея метода, как справедливо заметил Леонардо да Винчи (см. с. 274), была подсказана человеку самой природой: тень, отброшенная вечерним солнцем на стену, и была первой картиной, нарисованной этим методом. Однако ортогональные проекции никак не передавали глубину реального пространства, поэтому уже в искусстве Древнего Египта появились робкие ростки аксонометрии.

Аксонометрия при надлежащем выборе точки зрения передавала без искажений фронтальную плоскость изображаемого предмета; она давала представление о глубине пространства, хотя и трудно было понять, сколь протяженна эта глубина. Строгий математический взгляд на аксонометрию как центральную проекцию с бесконечно удаленным центром сложился сравнительно недавно, в XVIII веке, в трудах немецкого математика и философа Иоганна Генриха Ламберта (1728- 1777). Однако как нестрогий метод изображения пространства на плоскости аксонометрия, именуемая тогда вольной перспективой, известна давно. Начиная с Птолемея (II в.) и вплоть до XVIII века (до появления начертательной геометрии) планы городов изображались в вольной перспективе, как бы с высоты птичьего полета. (Этот принцип и сегодня широко используется на туристских схемах.)

Недостатки аксонометрии в передаче глубины пространства вместе с "вольностями" вольной перспективы были исправлены в ренессансной системе перспективы. Эта система имела единые правила, основанные на математических доказательствах, отчего за ней закрепилось название научной системы перспективы. Ренессансная перспектива — наиболее сложный геометрический метод в живописи. Построенный с учетом геометрических закономерностей зрения (геометрической оптики), он наиболее точно воспроизводил видимый человеком мир. Ренессансная перспектива, как и вся философия эпохи Возрождения, распахнула перед человеком "окно в Природу", беспредельно расширила горизонты человеческого мироощущения.

Таким образом, каждый из трех геометрических методов был очередным этапом в развитии искусства живописи, новой ступенью в поисках более точной и совершенной системы передачи зрительных ощущений. Любопытно, что по такой же схеме идет развитие и детского рисунка, хотя многие так и не поднимаются выше ее первой ступени. Психологи много спорят, почему дети начинают рисовать именно с "ортогональных проекций", хотя, как нам кажется, главной причиной тому является простота и естественность метода, который с рождения демонстрирует ребенку само Солнце.

Еще раз обратим внимание на то, что человека окружают два геометрических пространства, хотя и похожие, но различные. Одно — это объективное, или реальное, пространство. Другое пространство создается в нашем сознании совместной работой глаза и мозга. Это пространство мы "видим", воспринимаем в нашем сознании, поэтому его называют субъективным, или перцептивным^* (вспомним пример с рельсами на с. 279). Таким образом, история развития живописи шла по линии приближения от изображения объективного пространства к пространству видимому, перцептивному. Вершиной на этом пути можно считать рождение системы так называемой перцептивной перспективы, которая интуитивно осознавалась художниками XIX — XX веков и проявлялась на их полотнах в виде всевозможных "отклонений" от ренессансной системы перспективы. Общая теория перспективы, включающая в себя как частные случаи и ренессансную, и перцептивную перспективы, была разработана в наши дни академиком Б. В. Раушенбахом (см. следующую главу).

^*(От лат. perceptio — восприятие.)

Вместе с тем Раушенбахом было показано, что не существует идеальной системы перспективы в изображении перцептивного пространства, как не существует и идеальных (т. е. не дающих метрических искажений) методов отображения трехмерного пространства на двумерную плоскость. "Идеальное" изображение трехмерного пространства (как объективного, так и субъективного) в принципе невозможно, а значит, художник при всем своем желании способен дать на холсте лишь приближенную геометрическую картину внешнего мира. В зависимости от своих задач художник вправе избрать тот или иной геометрический метод, который позволит ему ярче раскрыть задуманный им образ. Поэтому вовсе не обязательно, как это любят делать искусствоведы, упрекать древнеегипетского художника в чрезмерной наивности, детскости его рисунка, японского — в недоработке глубины, древнерусского — в неправильности его перспективы, а ренессансного художника объявлять непререкаемой истиной в живописи, хотя и последнего нередко обвиняют в излишней фотографичности.

В каждой геометрической системе живописи есть свои достоинства и свои недостатки: одна система лучше передает объективное пространство, а другая — субъективное. Следовательно, в каждой системе есть и свои выразительные возможности, и "невозможности", что станет более понятным из ближайшего рассмотрения этих систем.

22.1. "Ортогональная" живопись Древнего Египта. Идея незыблемости, вечности абсолютной власти фараона, почитавшегося сыном бога, пронизывала всю философию и весь жизненный уклад древнеегипетского общества. Эта идея не только откристаллизовалась в острых гранях пирамид — апофеозе вечности, но и нашла воплощение в древнеегипетской живописи. Согласно "философии вечности" образы древнеегипетской живописи также должны были вбирать в себя все непреходящее и наиболее устойчивое. Каждый предмет как бы вычленялся художником из окружающего мира, осмыслялась "идея" этого предмета, отбрасывалось все сиюминутное, нехарактерное, и в результате возникал живописный образ, который не зависел ни от места, ни от времени его создания и который сегодня удачно называют "образом-существительным".

Образы-существительные слагались в картины-предложения и даже картины-повествования. Живопись Древнего Египта была близка к письменности, и образы-существительные часто перемежались с иероглифами, от которых они отличались лишь степенью детализации, количеством подробностей. Собственно говоря, в древнеегипетской живописи и произошло разделение древнего пиктографического письма[37] на иероглифическую письменность, которая все дальше отходила от изображения реальных объектов и все более приобретала знаковый характер, и живопись, в которой все зримее проступали художественные образы и все более стирались знаковые особенности.

Какой же изобразительный прием, какая геометрия лучше всего подходили для создания образа-существительного, для воплощения идеи незыблемости? Таким геометрическим методом является, конечно, метод ортогональных проекций. В самом деле, если изобразить, например, крышку стола в аксонометрии или перспективе, то в зависимости от точки зрения мы будем иметь бесконечное разнообразие параллелограммов (в аксонометрии) или трапеций и даже неправильных четырехугольников (в перспективе). Такое разнообразие изображений, зависящее от точки зрения художника, такой "импрессионизм", без которого современный художник не мыслит своего существования, никак не могли устроить художника древнеегипетского. И он выбирает единственно правильный и единственно возможный в данном случае путь — метод ортогональных проекций. Только в ортогональной проекции форма предмета может быть зафиксирована единственным образом, только ортогональные проекции, как мы знаем, передают без искажений контуры реального предмета.

Роспись гробницы Нахта, жреца Амона при фараоне Аменхотепе II. 1420 -1411 до н. э. Фивы. Стенопись древнеегипетских гробниц напоминала развернутый свиток папируса, где священные тексты 'Книги мертвых' перемежались с яркими иллюстрациями. Это была одновременно и научная книга, и художественный альбом. Особой живописностью отличались росписи некрополя фиванской знати, а среди них — гробница Нахта, подлинным украшением которой являются знаменитые музыкантши — высочайший образец изящества и пластики древнеегипетского искусства

Итак, ортогональные проекции позволяли древнеегипетскому художнику сообщать зрителю объективную информацию об окружающем мире. Что касается самой потребности в такой информации, то, во-первых, древнеегипетская живопись еще не совсем отошла от пиктографического письма: ее целью было сообщать о деяниях фараонов, военных походах, удачной охоте, о богах, загробной жизни и т. д.; во-вторых, изображения на стенах гробниц призваны были "служить" усопшему в потустороннем мире. Поэтому, естественно, эти изображения должны были носить объективный характер. Этими особенностями целей живописи Древнего Египта объясняется и выбор ее геометрического средства — метода ортогональных проекций.

Метод ортогональных проекций был в совершенстве разработан живописцами Древнего Египта. Поскольку художник не мог дать все три проекции предмета (все-таки это была живопись, а не чертеж!), он делал одну проекцию с наиболее характерной стороны, в наиболее выгодном ракурсе. Вот почему при изображении животных выбирался вид сбоку, профильное изображение как наиболее информативное. По той же причине человеческая фигура рисовалась в несколько странном ракурсе: голова и ноги давались в профиль (профильное изображение ног позволяло легко передать движение или покой), а грудь и плечи рисовались в фас, повернутыми к зрителю. В то же время убитые враги, лежащие на земле, показывались сверху, т. е. также с наиболее информативной точки зрения.

Бог Осирис у пруда с деревьями. Иллюстрация из 'Книги мертвых'. XV в. до н. э

Показ предмета с наиболее выразительной точки зрения не останавливал древнеегипетского художника перед явными с современной точки зрения казусами. Так, на иллюстрации из "Книги Мертвых" художник показывает бога Осириса в характерном профильном изображении с развернутыми к зрителю плечами. Если строго следовать методу ортогональных проекций, то пруд, у которого сидит Осирис, превратился бы в ничего не говорящий зрителю отрезок прямой. Поэтому художник показывает пруд сверху. Однако при такой проекции окружающие пруд деревья стали бы крайне невыразительными, попросту непонятными, и художник поворачивает деревья на прямой угол по каждой из сторон пруда. Таким образом в этом рисунке совмещены, по крайней мере, 6 точек зрения, 6 ортогональных проекций.

Вообще, древнеегипетский живописец творил не столько согласно зрению, сколько согласно умозрению. Умозрение позволяло художнику совмещать в одном рисунке разные точки зрения. Умозрение давало возможность изображать рыб и крокодилов, которых в действительности не видно в воде. Умозрение помогло выработать математическую систему правил в изображении фигуры человека — канон. С математическим содержанием древнеегипетского канона мы достаточно подробно познакомились в главе 19. Канон демонстрировал приобщенность живописца к знанию и власти, был символом посвященности в тайны жрецов, олицетворением подрядка. Поэтому канон древнеегипетским художником почитался как святыня.

Не следует думать, что ограниченная рамками канона и ортогональных проекций древнеегипетская живопись превратилась в безжизненный и бесстрастный чертеж. Напротив, чем жестче рамки канонов, тем большее мастерство требуется художнику, для того чтобы, не выходя за эти рамки, создать истинное произведение искусства. Именно по такому пути и шел древнеегипетский мастер. В качестве примера достаточно привести поразительное по пластике и изысканности рисунка изображение акробатки на кусочке черепка — остраконе.

Загрузка египетских кораблей. Рельеф из храма Хатшепсут. XV в. до н. э

Но вот чего не было в древнеегипетской живописи, так это глубины пространства. Созданные методом ортогональных проекций образы Древнего Египта были нарочито двумерными, плоскими, и это, казалось, нимало не смущало их авторов. Проблема изображения трехмерного пространства египтянами не ставилась. Их интересовали выделенные из среды и лишенные индивидуальных черт абстрактные образы-символы, а не то, как они взаимосвязаны между собой. Предмет как таковой подавлял в древнеегипетской живописи пространство, которое по сути и не интересовало художника.

Если же действие и развивалось в древнеегипетской картине, то оно развивалось не в глубину, а параллельно плоскости картины, по строкам. Пример строчной композиции мы находим в первом же приведенном нами рисунке — сцене охоты. Расположенные друг над другом строки следовало понимать как события, происходящие ближе или дальше от наблюдателя, т. е. смещенные по глубине картины. Это опять-таки умозрительный подход к изображаемому миру.

И все-таки, несмотря на хорошо разработанные условные приемы, проблема изображения глубины пространства неизбежно вырастала в древнеегипетской живописи. В ряде случаев художник заслонял одну фигуру другой, показывая тем самым взаимное расположение этих фигур в третьем измерении. Однако такой прием не всегда давал ожидаемые результаты. Например, на изображении фараона Эхнатона и сидящей рядом с ним супруги о существовании последней можно только догадываться по ее правой руке, которая, трепетно обнимая стан фараона, возникает будто бы из ниоткуда, и по ладони левой руки жены фараона, покоящейся в ладони властелина. Конечно, этот рисунок трудно назвать искусством. Это чистая математика, слепое следование методу ортогональных проекций.

Зато на другом рисунке передача глубины пространства древнеегипетскому мастеру явно удалась. Четкий профиль переднего лучника повторен со сдвигом чуть вправо и вверх. В результате возникает острое ощущение глубины пространства, стройная шеренга воинов. Но ведь с точки зрения геометрии живописи мы зДесь имеем не что иное, как фронтальную косоугольную аксонометрию!

Остракон с изображением акробатки, делающей мостик. XII в. до н. э. Остраконы — своеобразные 'листки из альбома' древнеегипетских рисовальщиков — не несли на себе тяжести канонов и отличались свободой и непосредственностью. Акробатка, безусловно, жемчужина этого жанра

К проблеме передачи глубины пространства в древнеегипетской живописи. Фараон Эхнатон с супругой (а) и лучники (б)

Таким образом, потребность в изображении пространственных отношений между предметами неизбежно приводит к новой геометрической системе в живописи — аксонометрии. Несмотря на то что отдельные ростки аксонометрии встречались уже в живописи Древнего Египта, свое подлинное развитие эта геометрическая система в живописи получила значительно позже.

Что касается живописи Древнего Египта в целом, то лучшая ее оценка, на наш взгляд, дана Б. Раушенбахом: "Среди искусств, взявших за основу изображение геометрии объективного пространства, древнеегипетское является наиболее цельным и законченным".

22.2. "Параллельная" живопись средневекового Китая и Японии. Попытки передать глубину пространства на плоскости картины, согласовать умозрение со зрением, которые мы обнаружили еще в живописи Древнего Египта, привели к образованию новой геометрической системы в живописи — аксонометрии, или параллельной перспективы. Явные признаки параллельной перспективы, точнее, суммы двух идущих навстречу друг другу параллельных перспектив, легко увидеть в живописи Древней Греции. Такая геометрическая система в живописи, именуемая искусствоведами "рыбья кость", имела ось схода и, безусловно, тяготела к линейной перспективе, хотя так и не переросла в нее. Та же "рыбья кость" имела место и в знаменитых помпейских росписях Древнего Рима, именуемых, впрочем, "запоздалым эхом древнегреческой живописи". Рим пал, не успев, а может, и не сумев развить живописную систему греков, и свое законченное развитие аксонометрия нашла много веков спустя на другом конце земли в живописи средневекового Китая и Японии.

В отличие от средневековой Европы искусство Китая не было сковано путами церковных догматов. Здесь мирно сосуществовали и три религиозно-философских учения: конфуцианство, даосизм и буддизм — и два направления искусства: религиозное и светское. Согласно этим учениям, путь познания истины проходил через отрешение от мирской суеты, растворение и духовное очищение в природе. Именно в природе китайские художники, многие из которых были монахами, искали и находили умиротворяющую гармонию. Природу и ее изображение на картине — пейзаж — китайский художник воспринимал как безбрежный океан, как непостижимый космос, в котором растворена созерцающая его личность художника-философа.

Поистине удивительно, как точно этой философии созерцания была найдена соответствующая геометрия живописи! Ведь аксонометрия, как мы знаем, есть центральная проекция с бесконечно удаленным центром проектирования. Таким образом, именно в этой геометрической системе точка зрения художника отодвигалась в бесконечность, художник растворялся в безграничных пространствах природы и бесстрастно взирал на ее мудрое спокойствие. В силу своей геометрии (параллельные линии остаются параллельными) аксонометрия не знает ни угла зрения, ни точек схода, ни линии горизонта. Горизонт как бы все время ускользает от наблюдателя, поднимаясь вверх и растворяясь там. Взгляд из бесконечности, кажется, может и бесконечно простираться за пределы картины. Картина не выглядит ограниченной рамой и будто в любой момент готова беспредельно разойтись, волшебным образом превратившись в изображенную на ней природу и поглотив своего бесконечно далекого наблюдателя.

Конечно, увидеть параллельную перспективу китайской живописи лучше всего не на примере горного пейзажа, где беспорядочно громоздятся бесформенные скалы, а в бытовых картинах, где упорядочение стоят оформленные творения рук человеческих, скажем, параллелепипеды домов. Аксонометрия здесь очевидна. Но очевидно также и то, что и сцены человеческой жизни видятся китайскому художнику очень издалека, "с высоты птичьего полета", откуда трудно различить заботы и тревоги отдельных людей, а видно лишь общее копошение человеческого муравейника.

Аксонометрия, как нам известно, имеет три координаты. Если оси координат выбрать так, чтобы по двум осям иметь фронтальную ортогональную проекцию (без искажения), то по третьей координате обязательно будут искажения. Это фронтальная косоугольная аксонометрия, в которой, как правило, и творили китайские мастера. Поскольку коэффициент искажения по третьей координате неизвестен (в лучшем случае он был известен только автору!), то судить о протяженности глубины по первым двум координатам (ширине и высоте) затруднительно, т. е. протяженность по глубине оказывается неопределенной. Эта неопределенность глубины в аксонометрии усиливается параллельностью "глубинных" линий, которые не сближаются по мере удаления от наблюдателя. Таким образом, в "параллельной" живописи возникают два противоположных начала: глубинное и плоское. Картина будто бы имеет глубинное начало, но это просто плоские срезы перемещаются по третьей координате (глубине) без всяких метрических сокращений.

Ли Чжао-дао (?). Путники в горах. Фрагмент свитка на шелку. Конец VII — начало VIII в.

Чжан Цзе-Дуань. Вверх по реке на праздник весны. Фрагмент свитка XII в.

Китайские живописцы умело пользовались противоречием глубинного и плоского начал. По сути дела аксонометрия явилась своеобразным компромиссом между философией "отдельного", плоского (живопись Древнего Египта) и "целого", глубинного (живопись Возрождения). Плоское начало в китайской живописи сдвинулось в пространство, однако оно еще не стало пространством. Но китайский художник и не ставил целью создать иллюзию пространства, он не рисовал с натуры, он только пристально вглядывался в нее и переосмысливал природу в свою философскую систему. Плоское, "похожее" начало шло от наблюдателя природы, а глубинное, "непохожее" начало, которое никогда не уменьшалось и никогда не достигало предела — линии горизонта, выражало философскую идею бесконечности мира и миросозерцания.

Вообще, диалектика двух противоборствующих начал была стержнем всей древнекитайской философии. Вспомним символы Ин-Ян, с которых началась эта книга. Живопись Китая, будучи частью его философии, не могла пройти мимо этих двух начал. Ян для китайского живописца — это светлые, чистые места на картине, это горы, омытые дождями или покрытые чистым снегом, гордо парящие в неприступной вышине. Ин — вместилище темного, тонированного, это темная вода, низина, куда стекаются все нечистоты. Вот почему многие пейзажи выполнены китайскими мастерами в черно-белой технике, в которой они достигли непревзойденного мастерства и проникновения.

Часто говорят о принципиальной асимметрии китайской и японской живописи. У этой асимметрии есть свои геометрические корни: отсутствие линии горизонта и центральной точки схода, а значит, и фиксированного центра композиции приводит к асимметричности всей композиции. Есть и философские предпосылки: человек китайскими философами мыслился частью природы, а не центром мироздания, человек растворялся в природе, а не располагал ее вокруг собственного "я", ставшего центром симметрии в ренессансных композициях.

Но вместе с тем есть в китайской живописи и своя удивительная симметрия. Это не симметрия "левого-правого", а симметрия глубины. Поскольку размеры по глубине в аксонометрии не сокращаются, то дальний план уравновешивает в ней план передний. Дальние горы, подернутые туманом, видны в аксонометрии так же "близко", как и предметы переднего плана. Поэтому у дальних предметов "хватает сил" уравновесить передние. Симметрия "дальнего-близкого" господствует в китайской живописи, придает ей мудрое спокойствие и умиротворение.

Заметим, что аксонометрия является не только условным геометрическим приемом живописи, отвечающим определенной философии. Как показал Б. Раушенбах, аксонометрия является совершенно законным вариантом перцептивной ("видимой") перспективы, применимым для изображения очень далеких или очень близких и не слишком протяженных предметов. Первый случай и реализуется в китайских пейзажах. Благодаря второму аксонометрия нашла широкое применение в начертательной геометрии для изображения небольших деталей, приборов и т. п. Одновременно для передачи архитектурного пространства (т. е. не слишком близких и весьма протяженных объектов) в той же начертательной геометрии пользуются ренессансной перспективой.

И в заключение скажем несколько слов о живописи средневековой Японии.

Чен-Тао. Горный пейзаж. XVI-XVII вв.

Духовная культура этой страны (философия, эстетика, религия) выросла на почве более древней китайской культуры. Также и японское искусство впитало в себя сложившиеся в Китае художественные системы и методы. Отгороженная от всего мира морями, лишь единственный раз, в XIII веке, подвергшаяся неудачной попытке завоевания, Япония вплоть до наших дней сохранила свою обособленную и потому своеобычную культуру. Обособленность и характерный для Востока неторопливый темп общественного развития привели к тому, что вплоть до XIX века в Японии сохранились феодальные отношения.

Хокусай. Водопад Амида. Цветная ксилография. 1820-1832

На протяжении всей своей истории японская живопись, как и вся японская культура, не знала крутых переломов. Творчество Кацусика Хокусая (1760- 1849) считается естественным итогом всего долгого пути японского средневекового искусства. Жизнь Хокусая будто повторила историю средневекового искусства Японии: лишь после 50 лет обрел художник собственную манеру и стиль, а свои знаменитые серии "36 видов Фудзи", "Мосты", "Большие цветы", "Путешествие по водопадам" создал уже 70-летним старцем. Эти серии Хокусая — высший взлет творчества мастера, а само творчество Хокусая — вершина в развитии искусства старой Японии.

Излишне говорить, что геометрической основой японской живописи была та же параллельная перспектива. Даже Хокусая, творивший в XIX веке, через 400 лет после Леонардо да Винчи и Дюрера строго следует правилам параллельной перспективы! Так, на гравюре Хокусая "Водопад Амида", построенной по всем канонам "взгляда из бесконечности", помимо "ускользающего горизонта" мы видим и три параллелограмма ковров, показанных строго аксонометрически.

Творчество Хокусая явилось не только итогом развития искусства средневековой Японии, но и высочайшей вершиной геометрии параллельных в живописи.

22.3. Линейная перспектива Возрождения. Ветер Возрождения распахнул пыльные окна мастерских средневековых художников и впервые заставил их посмотреть на изумительный вид, открывающийся из окна.

Вера в идеалы гуманизма, в могущество человеческого разума, основанного не на проповедях теологов, а на непосредственном опыте, будоражила воображение и придавала силы разбуженным умам Возрождения. Новое мышление пришло и в живопись. В условиях ломки старых канонов, в условиях торжества эмпирического знания язык живописи также должен был опираться на непосредственный зрительный опыт человека. Таким геометрическим языком живописи стала перспектива.

Несмотря на то что ростки нового языка живописи встречались еще в античности: это и попытки Анаксагора дать научное обоснование написанию театральных декораций, и "пирамида зрения" в "Оптике" Евклида, и стереографические проекции в трудах Птолемея,- заговорить на новом языке живопись смогла только с утверждением новой философии Ренессанса.

Построенная на законах геометрической оптики, нашедшая в картине мысленный разрез видимого мира перспектива оказалась лучшим из известных приемов передачи видимого, перцептивного пространства. Таким образом, перспектива знаменовала окончательную победу зрения над умозрением в живописи. Перспектива противопоставила два подхода к искусству: следование традиции и следование природе — и однозначно выбрала второй путь.

Однако перспектива была не только плодом наблюдения, но и геометрического расчета, не только субъектом искусства, но и объектом науки. В перспективе слились воедино две характернейшие черты ренессансной культуры — эмпиризм и рационализм.

Считая зрение высшей формой знания, а себя — "учеником опыта", гений Высокого Возрождения Леонардо да Винчи подразделял учение о перспективе на три части: "Первая из них содержит только очертания тела; вторая — об уменьшении (ослаблении) цветов на различных расстояниях; третья — об утрате отчетливости тел на разных расстояниях". "Геометрическую часть" учения о перспективе, которая давала универсальный способ построения на плоскости картины окружающего пространства с помощью прямых линий — линии горизонта, линий схода и т. п.,- стали называть линейной перспективой. "Живописная часть" учения о передаче глубины пространства Живописными средствами была названа воздушной перспективой.

В главе 20 мы достаточно подробно познакомились с геометрическими основами перспективы, т. е. с линейной перспективой. Теперь нам остается лишь коротко рассказать о том, как новый язык живописи помогал художнику по-новому организовать живописное произведение. Линия горизонта и главная точка картины (см. с. 278) стали важнейшим инструментом в руках художника-перспективиста, скрытыми пружинами механизма построения композиции. Главная точка картины стала и главной точкой композиции, ее смысловым центром, а образы параллельных линий, сходящиеся к главной точке, будто путеводные нити, приводили зрителя к этому центру. Композиция картины стала строго симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через главную точку картины.

Вот перед нами знаменитая "Тайная вечеря" Леонардо да Винчи — фреска в трапезной церкви Санта-Мария делле Грация в Милане. Все, что написал Леонардо раньше, о чем думал в тиши своих уединений, получило завершение в этой вершине его творчества. В "Тайной вечере", написанной на излюбленный евангельский мотив, все, кроме сюжета, было ново: от новых композиционных формул до новых живописных приемов и техники[38].

Композиция картины математически строга и проста. В центре ее, на фоне светлого пятна окна, расположена фигура Христа. Главная точка картины, куда ведут образы параллельных линий стен и потолка, приходится на правый глаз Христа, который в наклоне головы расположен чуть выше и ближе к зрителю. Таким образом, геометрический центр картины и ее смысловой центр строго совпадают, а лучи, сходящиеся в главной точке, еще более нацеливают зрителя в этот центр. Впрочем, порой кажется наоборот; будто из центра картины, из глаз Христа, расходятся во все стороны эти лучи, словно потоки мысли.

Леонардо да Винчи. Тайная вечеря. Фреска. 1495-1497

Перспективный анализ 'Тайной вечери'

Двенадцать апостолов расположены вокруг своего учителя четырьмя группами: по две группы с каждой стороны от него и по три человека в каждой группе. Две ближние к Христу группы компактны и более динамичны: они словно вписаны в два треугольника, обрамляющих треугольник центральной фигуры. Две крайние группы показаны более спокойно и широко: они образуют статичные фигуры — четырехугольники. Наконец, две крайние фигуры, завершающие композицию, нарисованы в профиль и прямо: они как бы останавливают волны движения, идущие от центра к краям. Вся композиция строго симметрична и строго уравновешена относительно вертикальной оси, проходящей через ее главную точку.

Такова геометрия "Тайной вечери". Она очень проста и крайне строга, что наполняет фреску сдержанной внутренней динамикой. "Тайная вечеря" — это и наука, и искусство, которые для Леонардо были слиты в живописи воедино.

Наука и искусство, словно нити холста, переплетались в полотнах мастеров Возрождения. Живопись переходила в начертательную геометрию, а геометрия — в искусство. Пространство картины было не только симметрично, но и метрично. Всякий раз художник старался не просто показать глубину пространства кабины, но как бы вычислить эту глубину. Вот почему ренессансные художники так любили изображать квадраты плиток пола и кессоны (квадратные углубления) потолка, представляющие собой не то что иное, как систему координат на плоскости "ширина-глубина", анфилады комнат, ряды колонн или ковров (в "Тайной вечере"). Вот почему живописцы Возрождения так любили изображать архитектуру, которая органически перерастала в архитектонику изображения.

Все перечисленные приемы нетрудно найти в творчестве любого ренессансного мастера. Вот, к примеру, картина Рафаэля "Обручение Марии". Та же вертикальная симметрия композиции, те же квадраты плит пола, тот же архитектурный пейзаж, та же гармония частей и целого. Добавим к этому, что линия горизонта, проходящая через середину дверного проема ротонды, делит вертикаль картины точно в отношении золотого сечения. Таким образом, картина Рафаэля — не только результат вдохновенного порыва художника, но и плод его скрупулезных вычислений и геометрических построений.

Вернемся еще раз к "Меланхолии" Дюрера (см. с. 42) и посмотрим теперь на нее взором, умудренным знанием теории перспективы. Помимо высочайших художественных достоинств этот шедевр великого мастера Возрождения является и своеобразным учебником по перспективе, учебником геометрии живописи. В самом деле, на гравюре решена сложная геометрическая задача построения перспективы додекаэдра, решению которой много сил отдал Пьеро делла Франческа. Рядом показана перспектива круглого жернова, который изображается в виде эллипса. Перекладины лестницы параллельны линии горизонта, поскольку лестница прислонена к плоскости, параллельной плоскости картины. А вот и чистая математика "Меланхолии": в правом верхнем углу гравюры изображен магический квадрат — квадрат, составленный из первых чисел натурального ряда, сумма которых по любой строке, столбцу или диагонали одна и та же. Любопытно, что из 880 магических квадратов размером 4x4 выбран тот, у которого средние числа в последней строке изображают 1514 — год создания гравюры. Заметим, наконец, что шар на гравюре изображен в виде шара, хотя по правилам перспективы его следовало бы изобразить в виде эллипсоида. Здесь проявляют себя закономерности работы не только глаза, но и мозга при восприятии формы (законы "константности формы"), которые стали известны только в XX веке (см. с. 317), но которые и в начале XVI века угадывались гением Дюрера.

Итак, вместе с новой геометрией в живопись Возрождения пришло и новое художественное мышление. Ренессансная перспектива — это революция в искусстве! Это окно, распахнутое в окружающий человека мир. Как пишет Л. Мочалов в книге "Пространство мира и пространство картины", "перед европейскими художниками как бы открылось богатейшее "месторождение", новая золотоносная жила, которую они разрабатывали во множестве ее ответвлений почти на протяжении пятисот лет".

В живописи Высокого Возрождения XVI века нашел отражение пробуждающийся интерес к науке, который вскоре, в веке XVII, привел к рождению нового естествознания в трудах Галилея, Ньютона и Лейбница.

На протяжении почти 500 лет линейная перспектива считалась непререкаемым авторитетом в живописи. Такой "рекламе" линейная перспектива была обязана прежде всего математике. Именно благодаря тому что линейная перспектива основана на строгих единых геометрических правилах, она и казалась единственно возможной, единственно правильной и непогрешимой.

Рафаэль. Обручение Марии. 1504. Рафаэль обладал удивительным даром композиции. Мастерство, с которым он соединял элементы композиции в единое художественное целое, архитектоника его живописных произведений, острое чувство симметрии, пропорции, золотого сечения, ритма — все эти качества рафаэлевского гения не имеют себе равных

Математический анализ 'Обручения Марии'

Но существовала и другая система перспективы, не столь громкая, не так хорошо научно разработанная и далеко не единогласно признанная. Однако право на жизнь этой системы перспективы отнюдь не должно перечеркиваться лишь фактом существования ренессансной системы перспективы. Об этой системе, которую до недавнего времени чаще всего называли "неправильной" или даже "извращенной", и пойдет речь далее.

22.4. Обратная перспектива живописи Древней Руси. У древнерусской живописи трагическая судьба. Дело в том, что олифа, которой для лучшей сохранности покрывали живопись, со временем темнела и по прошествии ста лет превращалась в черную непроницаемую пелену. Такие "черные доски" ждало два исхода: либо от них избавлялись — пускали плыть по реке, сжигали, выносили на чердаки и колокольни, либо их "подновляли" — звали новых иконописцев, и они по едва просвечивающим контурам, а более по собственному наитию и разумению заново писали. В любом случае старая живопись безвозвратно уходила.

Так было до конца прошлого века, когда кто-то как-то случайно под одним черным слоем обнаружил другой, потом третий и даже четвертый и пятый, пока вдруг из глубины веков не вспыхнули на иконе пронзительно-звонкие древние краски. Это было потрясающее открытие, вызволившее из небытия целую эпоху в культуре русского народа. Появились первые крупные коллекционеры: И. С. Остроухов, Н. П. Лихачев, А. В. Морозов, С. П. Рябушинский, В. М. Васнецов...

Андрей Рублев. Троица. Начало XV в. Икона из Троицкого собора Троице-Сергиева монастыря

Об этом счастливом для древнерусской живописи времени вспоминает советский живописец и искусствовед, действительный член Академии наук и Академии художеств И. Э. Грабарь (1871 — 1960): "По северу разъезжали офени (бродячие торговцы.- А. В.), выменивая у попов и церковных старост старые иконы на новые "благолепные". Древние иконы обыкновенно валялись на колокольнях и в рухлядных, выброшенные туда за ветхостью... Офени привозили иконы возами во Мстеру, где их поджидали перекупщики-иконники, а иногда и прямо в Москву, также к перекупщикам..." Но чудом открытая древнерусская живопись чуть было вновь не погибла в руках воинствующих иконоборцев. К счастью, этого не случилось. Собранная в лучших музеях древнерусская живопись радует сегодня чистотою своих красок и нравственных идеалов. Но вместе с радостью древнерусская живопись преподнесла и немало загадок, в том числе и загадок чисто геометрических. Воспитанные на ренессансной перспективе искусствоведы поспешили назвать ее "неправильной", "наивной", "примитивной". Это было продолжение трагедии живописи Древней Руси.

Вот, к примеру, прославленная "Троица" Андрея Рублева — шедевр древнерусской живописи. Сотни статей написаны об этом совершенном творении великого мастера, о его величавом и мудром спокойствии, о его нежных красках, созвучных краскам русской природы: цвету поспевающей ржи и цветущего льна. Однако вопрос о геометрии пространства иконы либо обходят молчанием, либо глубокомысленно называют его "абстрактным пространством" или "пространством сердца" (о том, что прячется за этими фразами не говорится ни слова).

Дионисий. Митрополит Алексий в житии. Начало XVI в. Икона из Успенского собора Московского Кремля

А вопрос этот и в самом деле не простой! Приглядимся внимательнее. Подножие правого ангела показано в аксонометрии, в то время как подножие левого — в слабой обратной перспективе. Но даже если бы и левое подножие было дано в аксонометрии, то легко видеть, что показаны они с разных точек зрения: на правого ангела мы смотрим слева, а на левого — справа. Далее нетрудно обнаружить, что край правого табурета, не параллелен соответствующему краю правого подножия, а край левого табурета и края левого подножия не имеют общей точки схода. Следовательно, ни аксонометрия правой части иконы, ни обратная перспектива левой части строго не выдержаны. Наконец, легко представить, как ведут себя края стола, закрытые коленями ангелов. Следуя логике построения левой и правой частей иконы, им ничего не остается, как расходиться.

Но может быть, все эти геометрические несоответствия есть исключения из правил, причуды гения? Отнюдь. Даже беглого знакомства с древнерусской живописью достаточно, чтобы убедиться в обратном: это система, названная системой обратной перспективы. Обратимся еще только к двум примерам.

Рассмотрим икону Дионисия "Митрополит Алексий в житии". Обрамляющие фигуру митрополита картинки-клейма повествуют о жизни ("житии") Алексия. Нетрудно заметить, что гроб, изображенный на нижних клеймах, дан в сильной обратной перспективе. В среднем нижнем клейме в обратной перспективе показан стол. Строения в правом (или левом) нижнем клейме показаны в аксонометрии, но с двух точек зрения: правые — при виде слева, а левые — справа. Наконец, прямоугольный параллелепипед Евангелия, которое держит Алексий, также показан в сильной обратной перспективе: обрезы параллельных торцовых ребер Евангелия на иконе расходятся и его задняя обложка получается больше передней.

И в качестве последнего примера возьмем византийскую икону XII века "Григорий Чудотворец", на который мы также видим параллелепипед Евангелия в сильной обратной перспективе. Последний пример взят нами не случайно. Известно, что искусство Древней Руси уходит свои ми корнями в искусство Византии. Следовательно, истоки обратной перспективы лежат в византийской живописи, что очевидно из сравнения последних двух икон и времени их создания. Таким образом, как это ни парадоксально, обратная перспектива, будучи внешне полным антиподом перспективы прямой, была тем не менее непосредственной предшественницей системы прямой перспективы.

Но как объяснить появление в Византии столь странной системы? Ведь обратная перспектива явно выпадает из общего направления развития геометрии живописи (ортогональные проекции — параллельная перспектива — прямая перспектива), идущего от изображения реального пространства к изображению пространства видимого. Вопрос этот во многом остается открытым, хотя, разумеется, какие-то соображения по нему имеются.

Прежде всего заметим, что ни византийские, ни древнерусские живописцы никогда строго не выдерживали системы обратной перспективы. Применяя формулу "как мера и красота скажет" к обратной перспективе, древнерусский мастер явно отдавал предпочтение второму слагаемому. Иное дело — мастер Возрождения, который свято соблюдал правила "меры" линейной перспективы*. Такая геометрическая непоследовательность древнерусского мастера во многом способствовала несерьезному отношению к самой системе обратной перспективы. Как это часто бывает с непонятными явлениями, от нее спешили отмахнуться, спешили назвать ее "ошибочной" или "ложной". Конечно, понять противоречивую геометрию изображения трудно. Л. Мочалов, пытающийся понять обратную перспективу, пишет: "Если бы мы попробовали вступить в мир иконы, построенный по законам обратной перспективы, то ежеминутно рисковали бы поломать себе ноги..." Здесь автор не совсем точен: если бы мир обратной перспективы на иконе был последовательно выдержан, то, двигаясь по законам этого мира, мы смогли бы безбоязненно в нем перемещаться. Но в том-то и беда, что в геометрии обратной перспективы было допущено много ошибок, что и дало повод поспешно назвать всю систему обратной перспективы "ошибочной".

^* (Конечно, исключения из правил были и здесь. Например, "Афинская школа". Ра фаэля (с. 55) написана с двух точек зрения: перспектива пола показана с верхней точки зрения, а своды и верхняя часть фрески — с нижней. Верхняя точка зрения для пола дала возможность показать на первом и втором планах всех действующих лиц, а нижняя — подчеркнуть величественность интерьера. Таким образом, здесь также перспективная "мера" была принесена в жертву "красоте". Заметим, что в картине Веронезе "Брак в Кане", одном из самых больших полотен в истории мировой живописи (666 X 990 см), специалисты насчитывают семь точек зрения и пять линий горизонта. )

М. Нестеров. Философы. 1917. Портрет П. А. Флоренского слева) и С. Н. Булгакова. Спокойствие летнего вечера подчеркивает в картине напряженную работу ума двух мыслителей. Явно укрупненный задний план картины, возможно, является данью Нестерова канонам обратной перспективы, столь горячо почитаемым Флоренским. В год создания портрета судьба обоих философов круто переменилась: первый был сослан в лагеря, второй — 'философским пароходом' выслан из России. Счастье, что сегодня своими многотомными сочинениями оба философа возвращаются на Родину

Григорий Чудотворец. Византийская икона. XII в.

А понять обратную перспективу, конечно, можно. Пожалуй, первой из таких попыток была замечательная работа математика, физика, искусствоведа, писателя и философа П. А. Флоренского (1882 — 1937?) "Обратная перспектива", написанная в 1919 г., но увидевшая свет лишь полвека спустя^*. Главной задачей автора было сломать укоренившееся убеждение в том, что линейная перспектива является единственно возможной и непогрешимой. В полемическом задоре, сравнивая две системы перспективы — обратную и прямую, Флоренский, пожалуй, увлекается, называя первую систему "созерцательно-творческой", а вторую "хищнически-механической". Но Флоренский прав в том, что две системы перспективы — обратная и прямая — это "два отношения к жизни — внутреннее и внешнее... два типа культуры".

^* (Имя Павла Александровича Флоренского и его энциклопедическое наследие лишь сегодня возвращаются к нам. Окончив физико-математический факультет Московского университета и Московскую духовную академию, Флоренский в своих работах значительное внимание уделял философии культуры, взаимосвязи материального и духовного, целостному мировосприятию. Усилиями Флоренского были сохранены сокровища Троице-Сергиевой лавры, ставшие основой ныне всемирно известного Загорского музея-заповедника. В 1933 г. Флоренский был репрессирован, сослан в Соловецкий лагерь, в 1937 г. вторично осужден, и дальнейшие сведения о его жизни неизвестны.)

И все-таки, как объяснить обратную перспективу? Чем вызвано расхождение параллельных линий в обратной перспективе? Есть два подхода к этому вопросу. В первом корни обратной перспективы ищутся в идейных задачах, которые она решала. Икона призвана была убедить верующего в реальности ирреального, она должна была "отстранить" молящегося от грешной земли. Поэтому, как считают сторонники философско-богословских взглядов на истоки обратной перспективы, изображение на иконе не должно было в точности походить на видимый человеком мир. Икона должна была походить и не походить на видимый мир. Именно так она и могла заставить верующего поверить в чудо, которое также есть одновременно реальное и сверхъестественное. Мир иконы не мог быть отображением мира реального; поэтому и появляются расходящиеся параллели обратной перспективы, которые дают некую "потустороннюю", "сверхъестественную" точку зрения на мир, некий отстраненный "взгляд изнутри". Заметим, что геометрически теория "взгляда изнутри" оправдана, в чем мы убедились на с. 283 (правда, при этом, кроме того что нужно за браться за плоскость картины, необходим еще и встать вверх ногами!). Но, несмотря: на верные частности, в целом, конечнс все эти объяснения слишком неясньные.

Другая точка зрения на истоки oбратной перспективы основана на чистом естествознании и прежде всего на закономерностях зрительного восприятия. Когда в 1966 г. Б. В. Раушенбах случае но попал в Музей древнерусского искусства имени Андрея Рублева, его порази необычный мир иконы. Но в то же время и покоробили слова экскурсовода, щедро раздававшей древнерусским живописцам ярлыки: "не умели", "не знали", "не смогли". И это мудрые, образованнейшие мастера, чьи произведения имена пережили столетия?! Раушенбах спешил назвать их "простодушными и наивными" (см. эпиграф к гл. 7). Он задумался...

20 лет спустя появилась на свет oбщая теория перспективы, в которой дре: нерусская обратная перспектива заняла свое достойное место.

23. Академик Раушенбах: космонавтика — иконография — общая теория перспектив!

12 апреля 1961 года. Впервые в истории человечества космический корабль-спутник "Восток" с первым в мире космонавтом на борту Юрием Гагариным за 1 час 48 минут облетел земной шар и благополучно вернулся на Землю. Вслед за тем волны восхищения прокатились по Земле. Земной шар буквально содрогался от этих волн: "Первый полет человека в космос", "Утро космической эры", "Первый гражданин Вселенной",- сообщали газеты, радио, телевидение...

В это же время видавший виды caм лет ИЛ-14 спешил с космодрома Байканур к месту приземления космонавтов! Никто не знал об этом рейсе ИЛ-14, никто не знал имен летевших пассажиров: академиков, профессоров сверхзасекреченных конструкторов. Bi среди них и ведущий специалист в области управления и ориентации космическ аппаратов, доктор технических наук, профессор, впоследствии действительный член Академии наук СССР и Международной академии астронавтики Борис Викторович Раушенбах. На борту "Востока" стояли три дублирующие друг друга системы ориентации, два комплекта органов управления и аппарат ручного управления. Все системы, созданные под руководством Б. В. Раушенбаха, сработали нормально, и их творец был счастлив.

Как управлять ракетой в полете? Как делать ее полет устойчивым и целенаправленным? Эти вопросы стали актуальными в 30-е годы. Ракеты уже взлетали: и наши, и немецкие "Фау", но в воздухе они вытворяли безумные пируэты, ежесекундно грозя превратиться в чудовищный бумеранг. Не было ни теории правления, ни самих средств управления. После войны круг вопросов расширился: а как управлять спутником в космосе, в невесомости, где нет ни внешней среды, ни точки опоры? Как сориентировать космический аппарат в данном направлении? Ведь, летя по инерции, он кувыркался во всех мыслимых направлениях! Впереди снова открывалось белое поле нерешенных проблем.

Вот этим проблемам Б. В. Раушенбах посвятил свою жизнь, пройдя путь от инженера до академика. С новыми полетами в космос появлялись и новые системы, новые проблемы. Если первые три спутника еще не имели системы ориентации кувыркались в полете, как слепые котята, то ровно через два года после запуска первого спутника, 4 октября 1959 г., межпланетной автоматической станки "Луна-3" была блестяще решена задача управления ориентацией станции. "Луна-3", как известно, облетела Луну, сфотографировала ее с обратной стороны передала изображение на Землю. Так человечество впервые увидело загадочную обратную сторону своего спутника, этом были "Венеры" и "Марсы", "Востоки" и "Восходы", "Молнии" и "Горизонты", "Союзы" и "Салюты". И с каждой новой станцией, новым кораблем вырастали все новые и новые проблемы.

Работа над проблемой стыковки космических кораблей "Союз" пробудила интерес Б. В. Раушенбаха к... живописи. Откуда такие неожиданные параллели? Дело в том, что на корабле "Союз" нет переднего иллюминатора (на его месте расположен стыковочный узел). Поэтому для наблюдения во время стыковки за другим кораблем установлены специальные оптические приборы типа перископов и телекамер, которые, как известно,-дают изображение по законам геометрической оптики, т. е. в линейной перспективе. Но вот тут-то и возникает вопрос: а можно ли доверять этим изображениям? Насколько точно они передают ощущение пространства, видимого непосредственно глазом? Насколько перспектива оптическая, линейная, отличается от перспективы видимой, перцептивной? Ведь стыковка двух кораблей, происходящая на первой космической скорости, требует фантастической точности!

Посещение музея Рублева стало последней каплей в чашу "перспективных" вопросов: у Раушенбаха появилось новое увлечение — геометрия живописи.

Мы уже упоминали о существовании двух геометрических пространств: реальном и перцептивном (с. 297). Перцептивное пространство возникает в нашем сознании в результате совместной работы глаз и мозга. На первом этапе на сетчатке глаза возникает изображение реального пространства, которое подчиняется законам геометрической оптики, т. е. линейной перспективы. На втором — это изображение преобразуется в нашем сознании в результате деятельности мозга. Таким образом, линейная (ренессансная!) перспектива учитывает только работу глаза, но не учитывает работу мозга. Вот где корни излишней "фотографичности" ренессансных полотен!

Какие же коррективы вносит мозг в сетчаточное (линейно-перспективное) изображение? Во-первых, заметим, что в линейно-перспективном изображении близкие предметы выходят чрезмерно большими, а далекие — слишком маленькими. Если бы такое изображение непосредственно передавалось в мозг, то, как отмечает Раушенбах, "человек мог бы испугаться близко сидящего котенка и остаться равнодушным к показавшемуся тигру". Поэтому сетчаточный образ в мозгу корректируется с учетом других признаков глубины пространства (таких, как заслонение близкими предметами далеких, "воздушная" перспектива, бинокулярные признаки). Корректировке подвергаются прежде всего сетчаточные образы малоудаленных предметов как наиболее необходимых в жизнедеятельности человека. В результате образы близких предметов становятся более похожими на их реальные прообразы, воспринимаемая величина близких предметов остается почти неизменной (константной), откуда и проистекает название этого корректирующего механизма работы мозга — механизм константности величины.

Другим важнейшим механизмом работы мозга, преобразующим сетчаточный образ, является механизм константности формы. Суть этого механизма заключается в том, что на сравнительно малых расстояниях знакомые человеку формы кажутся ему почти такими, какими они являются реально, а не такими, каковыми они изображаются на сетчатке глаза. Поясним сказанное примером. Известно, что в линейной перспективе (т. е. на сетчатке глаза) круг или квадрат, если смотреть на них под углом, изображаются как эллипс или трапеция. Однако если человек заранее знает истинную форму рассматриваемых предметов, то они кажутся ему более близкими к их реальной форме: эллипс видится "более круглым", а трапеция — "более квадратной". В этом и состоит суть механизма константности формы. Вот почему, интуитивно осознавая действие механизма константности формы, даже такие последовательные перспективисты, как Дюрер или Рафаэль, никогда не изображали шар в виде эллипсоида, а всегда в виде шара (см. "Меланхолию" Дюрера на с. 42 или "Афинскую школу" Рафаэля на с. 55).

Итак, перцептивное изображение, корректирующее линейный (сетчаточный) образ, существенно отличается от последнего. Это отличие сказывается прежде всего в увеличенных размерах удаленных предметов (например, цепи гор на горизонте), повышенной линии горизонта, сохранении метрических свойств ближних предметов. Последнее особенно важно для живописи: параллельные линии переднего плана в перцептивной перспективе выглядят параллельными. Более того, бинокулярность зрения может привести к тому, что параллельные линии переднего плана покажутся слегка расходящимися! Но ведь это же есть обратная перспектива!

К сожалению, вопрос об истоках обратной перспективы не решается так просто. К нему мы еще вернемся. А пока резюмируем сказанное рисунками, заимствованными нами из книги Б. В. Раушенбаха "Пространственные построения в древнерусской живописи". На рисунке сравниваются линейная (а) и перцептивная (б — монокулярная, в — бинокулярная) перспективы. Предполагается, что основание картины совпадает с горизонтальной поверхностью земли и, следовательно (как и на рис., с. 281), ширина дороги в основании картины (жирная линия) является ее истинной шириной. Характерные особенности каждой перспективы очевидны из рисунка.

Проводя математический анализ представленных перспективных изображений (для нас этот "анализ" сведется к сравнению всех трех рисунков), Раушенбах приходит к следующему выводу:

1) для среднего плана картинного пространства перцептивная перспектива практически совпадает с линейной: дальний план линейная перспектива преуменьшает;

2) для очень близкого и не слишком протяженного плана (т. е. оставаясь в области константности величины) или для очень далекого и не слишком большого объекта (т. е. для объекта с малыми угловыми размерами, для которого схождение параллельных пренебрежимо мало) перцептивная перспектива практически совпадает с аксонометрией;

3) при бинокулярном зрении возможен эффект "сверхконстантности" величины, когда для очень близкого и не слишком протяженного плана перцептивная перспектива, обычно совпадающая с аксонометрией, может принять вид обратной перспективы.

Изображение дороги и цепи гор на горизонте в линейной перспективе (а), перцептивной монокулярной (б) и бинокулярной (в) перспективе. Рисунок Б. В. Раушенбаха

Таким образом, все известные в живописи перспективные системы: параллельная, прямая и обратная — оказываются соответствующими частными случаями перспективы перцептивной.

Таковы современные психофизиологические представления о механизме зрения, с которых Раушенбах подошел к геометрическим загадкам древнерусской иконографии. Раушенбах исходил из естественного предположения о том, что древнерусский художник изображал мир таким, каким он его видел, т. е. в перцептивной перспективе. В самом деле, сам уровень развития средневековой науки и искусства говорит о том, что древнерусский художник не мог подобно художнику ренессансному пользоваться научно разработанной системой перспективы, а творил по наитию, т. е. как видел.

От того, как творил древнерусский мастер, перейдем к тому, что он творил. Слово "икона" в переводе с греческого означает образ, изображение. В центре внимания иконы было изображение Христа, Богоматери, святых и сцен из их жизни. Следовательно, в иконе господствовал "портрет", ближний план, и практически не было пейзажа, плана дальнего. Но согласно второму выводу перцептивная перспектива ближнего, не слишком протяженного плана практически совпадает с аксонометрией.

Так Раушенбах приходит к теоретическому выводу о том, что перспективной основой древнерусской живописи является аксонометрия. Перспективная основа — это еще не система перспективы, а только некоторое приближение к ней, приближение, допускающее разного рода отклонения. Этот вывод подтверждается анализом древнерусской живописи. Например, мы знаем, что подножие правого ангела в "Троице" Рублева дано в аксонометрии, а в изображении левого подножия допущено отклонение в сторону обратной перспективы. Более яркой иллюстрацией к сказанному является новгородская икона "Введение во храм", в которой аксонометрическая основа живописи очевидна. Но и здесь также хорошо видно, что древнерусский иконописец не был педантом от аксонометрии и легко допускал отклонения как в сторону прямой, так и в сторону обратной перспективы.

И все-таки отклонения в сторону обратной перспективы в древнерусской живописи преобладали. Чем же они были вызваны? На этот трудный вопрос нет однозначного ответа. Б. В. Раушенбах называет пять причин появления обратной перспективы:

1. Действие механизма константности формы. Мы знаем, что благодаря действию этого механизма форма знакомого предмета воспринимается человеком не как ее сетчаточный образ, а более близкой к реальным очертаниям этой формы. А как механизм константности формы "действует" на художника? Чтобы прояснить этот вопрос, Раушенбах рассматривает простой пример изображения параллелепипедов табурета и Евангелия, которые были излюбленными атрибутами древнерусской иконографии. На рисунке а показана аксонометрия этих предметов. Однако под действием механизма константности формы художник видит верхнюю крышку табурета (боковые грани книги) более плоско, ближе к их истинной форме, как показано штриховой линией на рисунке а. Но тогда сразу возникают трудности.

Введение во храм. Новгородская икона. XV в.

В случае с табуретом можно показать его ножки, как и раньше, в аксонометрии (рис. б). Однако тогда возникает впечатление, будто ножки табурета повисли в воздухе. Отчего это происходит? Дело в том, что механизм константности формы действует лишь на материальные, видимые, предметы, форма которых заранее известна. А мыслимый квадрат, в углах которого ножки касаются пола, есть нечто абстрактное. Механизм константности формы не должен "поднимать" ножки табурета, они остаются на месте, и тогда возникает обратная перспектива табурета (рис. в). В такой обратной перспективе изображен табурет левого ангела в "Троице" Рублева. Еще лучше ее видно на миниатюре из Евангелия XVI века.

В случае с Евангелием механизм константности формы приводит к разрыву боковых сторон книги (рис. б). Однако даже самый смелый современный художник не позволяет себе допускать разрывы там, где хорошо известно, что изображаемая форма непрерывна. Не мог себе такой вольности позволить и древнерусский иконописец. Поэтому он "склеивает" боковые грани книги некоей средней линией, и в результате получается обратная перспектива Евангелия (рис. в). Такие изображения мы встречали на с. 313.

Схема возникновения обратной перспективы (по Б. В. Раушенбаху). Аксонометрическое изображение (а), действие механизма константности формы (б), обратная перспектива (в)

2. Учет бинокулярности зрения. Сегодня экспериментально установлено, что на небольших расстояниях бинокулярность зрения может привести к эффекту слабой обратной перспективы. Этот факт для нас, с детства воспитанных на линейной перспективе фотоаппарата, кино и телевидения, а также на прямой ренессансной перспективе, кажется парадоксальным. Даже в песенке поется о том, что "рельсы, как и водится, у горизонта сходятся", а тут вдруг расхождение параллельных! Но факты — вещь упрямая. Более того, существуют способы, позволяющие натренировать свой глаз на обратную перспективу. Такой "обратноперспективный" взгляд имеет, например, Б. В. Раушенбах.

Но тогда становится совершенно понятным и естественным, что древнерусский художник, еще не отягощенный канонами прямой ренессансной перспективы, рисовал ближний план таким, каким он его видел, т. е. в легкой обратной перспективе. В дальнейшем, правда, обратная перспектива часто принимала гипертрофированные формы. Но это можно понять, если учесть, что обратная перспектива стала своеобразным художественным каноном, а древнерусский иконописец никогда не писал с натуры.

Самые же удивительные открытия, касающиеся обратной перспективы, были сделаны в самое последнее время. В 1947 г. немецкий ученый, работавший в США, Р. Лунберг, опираясь на экспериментальные данные, построил математическую теорию, из которой следовало, что для участков горизонтальной плоскости, находящихся в непосредственной близости от наблюдателя, свойства перцептивного пространства могут быть описаны как свойства риманова пространства постоянной отрицательной кривизны, т. е. как свойства пространства Лобачевского. Тогда, согласно геометрии Лобачевского, всякий прямоугольник ABCD, у которого AD является ближней к наблюдателю стороной, а ВС — дальней, отобразится в перцептивном пространстве в так называемый четырехугольник Ламберта А'В'C'D' стороны которого удовлетворяют неравенству B'C'>A'D'. Следовательно, "дальняя" сторона четырехугольника Ламберта В'С' будет больше его "ближней" стороны A'D'. Но это же и есть обратная перспектива! Древнерусская икона и геометрия Лобачевского! Поистине нет предела удивительному на перекрестках науки и искусства!

3. Подвижность точки зрения. Как отмечалось в сноске на с. 313, даже мастера Возрождения, свято чтившие правила линейной перспективы, позволяли себе совмещать на одном полотне несколько точек зрения. Это была жертва геометрии в пользу искусства; она усиливала впечатление от картины, полнее раскрывала замыслы художника. Древнерусский иконописец, весьма вольно обращавшийся с геометрией живописи, тем более мог позволить себе не одну точку зрения.

Надо сказать, что подвижность точки зрения, в особенности при передаче ближнего пространства, имеет весьма веские причины. Дело в том, что поле четкого зрения человека невелико. Поэтому при осмотре пространства, особенно близкого, мы часто меняем направление осмотра, а иногда и саму точку зрения. В результате близкое пространство мы воспринимаем как совокупность нескольких перцептивных пространств, а значит, и нескольких локальных аксонометрий.

4. Увеличение информативности картины. Мы знаем, что коммуникативная функция играет важнейшую роль в искусстве. Мы видели также, что стремление к наибольшей информативности картины не останавливало древнеегипетского художника перед явными геометрическими казусами: совмещение двух видов в изображении человека (фигурка жреца на с. 266) или соединение нескольких проекций при передаче пространства (Осирис у пруда, с. 300). Все эти геометрические вольности преследовали единственную цель — увеличение информативности картины. Эти же причины часто приводили древнерусского иконописца к обратной перспективе.

Обратимся еще раз к иконе "Митрополит Алексий в житии". Желая показать на нижних клеймах иконы не только гроб, но и возложенное в него тело, Дионисий приподнимает дальнюю от зрителя стенку гроба, что приводит к сильной обратной перспективе. Также и на миниатюре Дионисия младшего. Стремясь подробнее показать содержание записи евангелиста, художник искусственно разворачивает его фолиант к зрителю, что опять-таки создает эффект обратной перспективы.

Дионисий младший. Миниатюра из Евангелия. XVI в.

Новозаветная Троица. Икона XVI в.

Аналогичных примеров, когда поверхности книг с записями, поверхности столов с яствами и вообще горизонтальные поверхности с расположенными на них предметами "информационно" повернуты к зрителю в древнерусском искусстве немало. Все эти "информационные развороты" приводят к эффекту обратной перспективы.

5. Композиционные требования. Анализируя геометрические загадки древнерусской живописи, нельзя забывать, что средневековый иконописец был не только и не столько повествователем, стремящимся наиболее правдиво и наиболее информативно поведать о своем предмете, но прежде всего художником. Не только мера — геометрия, но и красота — искусство двигает рукою всякого истинного художника. В попытках наилучшим образом построить композицию картины, художник не по геометрическим или информативным, а по чисто художественным причинам мог обратиться к обратной перспективе, которая так или иначе становилась идейно-эстетической системой художественного языка древнерусской живописи.

Таковы основные причины возникновения обратной перспективы в древнерусской живописи, названные Б. В. Раушенбахом.

Именно так часто и воспринимал близкое пространство древнерусский художник: левую часть иконы он показывал с правой точки зрения, а правую — с левой. Так поступил Андрей Рублев в своей "Троице". Так поступали и многие другие безвестные иконописцы. В результате изображение становилось более "объемным": оно как бы разворачивалось перед зрителем, переводя его взгляд с одной точки зрения на другую.

Однако неизбежной была и плата за такую геометрическую вольность: там, где сходились две аксонометрии — левая и правая, возникала сильная обратная перспектива. Такую перспективу мы видим в изображении престола на иконе "Новозаветная Троица". Такая же сильная обратная перспектива угадывается и в рублевской "Троице". Однако Рублев мудро задрапировал этот геометрический дефект одеждами ангелов, и он явно не бросается в глаза.

Итак, "склейка" левой и правой аксонометрий являлась источником сильной обратной перспективы.

Необходимо отметить многообразие и разнородность источников обратной перспективы, среди которых есть и причины, никак не связанные с геометрией живописи. Тем не менее, действуя в совокупности, они привели к возникновению нового своеобразного стиля, в котором обратная перспектива стала геометрической основой.

Заметим, что обратная перспектива так и не стала единой геометрической системой древнерусской живописи, подобно линейной перспективе в живописи эпохи Возрождения. Но эта геометрическая непоследовательность придает древнерусской живописи удивительную открытость и очарование, мудрое отрешение от мелочной суетности, некую неопределенность и недосказанность, которые так свойственны истинным произведениям искусства.

Расставаясь с древнерусским искусством, вернемся еще раз к его шедевру, к тому, что "недосказал" Рублев и о чем веками продолжают "догадываться" его наследники. Предоставим слово Б. Раушенбаху: "Не изобразив боковых сторон престола, Рублев сознательно оставил поставленный вопрос без ответа. Представляется правдоподобным, что отмечавшаяся всеми исследователями творчества великого русского художника многогранность содержания "Троицы" требовала и "многогранной", т. е. не до конца определенной, геометрии изображения, чтобы эта геометрия "жила" и "изменялась", поворачиваясь то одной, то другой своей гранью, как и вложенные в "Троицу" идеи".

Но на древнерусском искусстве увлечение Раушенбаха живописью, точнее математикой живописи, не закончилось. Не только древние черные доски, но и яркие полотна мастеров XIX и XX веков таили в себе немало геометрических загадок. В какой перспективе творили Сезанн и Ван Гог, Поленов и Верещагин, Серов и Бенуа? Пока ясно было только одно: отнюдь не в ренессансной. Но тогда в какой? И снова вопросы, вопросы, вопросы.

Из этих вопросов и родилась общая теория перспективы. Новая теория учитывала не только законы геометрической оптики, по которым видит глаз, но и закономерности работы мозга при зрительном восприятии. Последние закономерности невозможно выразить на языке геометрии с помощью проектирования прямыми или искривленными лучами зрения, поэтому новая теория перспективы носит аналитический характер.

Переход к аналитическим методам математического описания вообще отражает процесс более глубокого проникновения математики в ту или иную область знания. В данном случае этот переход означает качественно новое математичекое описание механизма зрительного восприятия. В отличие от ренессансной системы в общей теории перспективы образа точки трехмерного пространства на картинной плоскости находится не путем геометрических построений, а путем вычислений.

Конечно, геометрические построена для художника более удобны и вряд ли найдется художник, который будет расчитывать пространство своей картин! Но теория и создавалась не для этог Новая теория позволила решить задач принципиально недоступную для рене сансной: количественно оценить отклонние полученного изображения от естесвенного зрительного восприятия и на основании этих количественных оценс дать качественное заключение о xapaктере допускаемых искажений (уточнит где преобладают ошибки: в передаче мен штаба изображения, либо в передаче глубины пространства, либо в подобии избражения). А уже на основании эти качественных оценок можно дать прость и удобные геометрические приемы пстроения перспективных изображений.

Мы не будем в самом конце книг утомлять читателя математическими выкладками общей теории перспективы которые к тому же отнюдь не элементарны и требуют знания дифференциального и интегрального исчисления. Остановимся на выводах и геометрически следствиях, которые вытекают из это теории.

Общая теория перспективы — это тория перцептивного изображения, в основе которой лежат обсуждавшиеся свойства перцептивного пространства. Системы перспективы, построенные на базе oбщей теории перспективы, будем назвать научными системами перспективы. Главный вывод, к которому приходит Б. В. Раушенбах, таков: не существует идеальной научной системы перспективы. Существует бесчисленное множество равноправных систем перспективы, каждая из которых содержит свои неизбежные ошибки изображения. Все системы отличаются друг от друга тем, на какие элементы изображения смещены эти ошибки, что и может в зависимости от художественных задач служить критерием выбора той или иной системы перспективы.

Этот вывод является частным случаем более общего математического факта: невозможно взаимнооднозначно и непрерывно отобразить трехмерное пространство на двумерную плоскость. Хотя на первый взгляд это кажется и странным, но взаимнооднозначное отображение пространства на плоскость возможно. Образно говоря, можно "истолочь" пространство на бесконечно малые точки и рассыпать эти точки бесконечно тонким слоем нa. плоскости. Однако при этом безвозвратно нарушается строение пространства, близкие элементы пространства не перейдут в близкие элементы плоскости, т. е. отображение не будет непрерывным. Разумеется, подобные отображения для изобразительных целей неприемлемы, ибo изобразительное искусство прежде всегo интересует именно форма. Рассмотренные нами способы проецирования пространства на плоскость (ортогональные проекции, аксонометрия, центральные проекции), равно как и научные системы перспективы, являются своеобразным компромиссом между взаимнооднозначностью и непрерывностью отображения пространства на плоскость. Аналогичное противоречие между "содержанием" (взаимнооднозначность) и "формой" (непрерывность) отображения приходится разрешать, например, в картографии при отображении сферы Земли на плоскость карты. Эта задача также не имеет "идеального" решения.

Проанализировав различные варианты научных систем перспективы, Раушенбах пришел к своеобразному "закону сохранения искажений в изобразительном искусстве". Суть этого закона, который наиболее ярко проявляется при изображении интерьера, т. е. не слишком протяженного пространства, заключается в том, что суммарная ошибка при передаче изображения для любой системы перспективы оказывается практически одной и той же. До обнаружения этого неожиданного факта казалось, что научная система перспективы должна носить абсолютный характер, так как она исходит из объективных законов природы (законов работы глаза и мозга). А оказалось, что научных систем перспективы сколь угодно много и все они с точки зрения математики (по суммарной ошибке искажений) равноценны. Поэтому проблема выбора подходящего варианта научной перспективы становится проблемой эстетической. Вот что по этому поводу пишет Раушенбах: "Эстетика "вторглась", казалось бы, в строго математическую область с неожиданной стороны... Именно эстетические соображения отбирают из бесчисленного множества предлагаемых математических вариантов тот, который является наиболее подходящим для решаемой художественной задачи".

"Закон сохранения искажений" еще раз убеждает нас в поразительной мудрости природы. Ведь если бы удалось найти систему перспективы, наиболее адекватную зрительному восприятию, то искусство живописи (по крайней мере, для художника-реалиста) должно было бы остановиться! Художнику не оставалось бы ничего, кроме как честно следовать этой наилучшей системе. И вот математика доказывает, что такой системы попросту нет, и последнее слово вновь остается за искусством!

Каковы же они, возможные научные системы перспективы? На рисунке показаны три варианта изображения условного пейзажа, взятые из книги Б. В. Paушенбаха "Системы перспективы в изобразительном искусстве. Общая теория перспективы". Горизонтальная поверхность Земли для большей наглядности разграфлена прямоугольной координатной сеткой. К цепи гор на горизонте ведет "дорога", проходящая по диагоналям прямоугольников. Вертикальные масштабы, построенные по правилам каждого варианта, показаны черными шестами, а прилегающие к ним белые шесты обозначают вертикальные размеры, соответствующие естественному зрительному восприятию. Все рисунки построены не "от руки", а рассчитаны согласно общей теории перспективы.

Вариант (а) соответствует системе перспективы, безошибочно передающей поверхность Земли (ширину и глубину пространства), а также дальний план (горы). Как видно из сравнения белых и черных шестов, неизбежные ошибки в этой системе смещены на вертикали, причем наибольшие ошибки допускаются при изображении вертикалей переднего плана, а по мере удаления к горизонту эти ошибки убывают. Здесь может воз никнуть естественный вопрос: а почему бы в этой системе, правильно передаю щей горизонтальные размеры, не пока зывать в соответствии с естественным восприятием и вертикальные линии? Тог да бы эта система стала "идеальной"? Однако такое насильственное вторжение в строение научной системы перспективы обернется тем, что при передаче полного пространства в изображении непрерыв них элементов появятся либо разрывы либо наложения одних элементов на другие. Подобные дефекты недопустимы, и поэтому в данном случае приходится жертвовать вертикалями.

Возможные варианты научной перспективы: (а) — правильная передача поверхности земли; (б) — правильная передача вертикальных размеров; (в) — ренессансная перспектива. Рисунки Б. В. Раушенбаха

Сезанн. Каштановая аллея в Жа де Буффан. 1883-1887. Перспективный анализ Б. В. Раушенбаха

В варианте (б) ошибки в передаче вертикальных размеров исправлены. Более того, в этой системе правильно передается и ширина, а значит, сохраняется подобие фронтальных изображений. Однако какой "ценой" все это достигнуто, очевидно из самого рисунка: на нем крайне невыразительно, ослабленно передана глубина пространства, особенно глубина переднего плана.

Наконец, на рисунке (в) тот же условный пейзаж передан в ренессансной (линейной) системе перспективы. Сравнение этого рисунка с вариантами (а), (б) выявляет главный недостаток ренессансной системы: сильное преувеличение переднего плана и явное преуменьшение дальних объектов. Этот недостаток ренессансной (а значит, и фотографической) перспективы хорошо знаком альпинистам: запечатлев себя на фоне грандиозной горной панорамы, дома они обнаруживают на пленке жалкую гряду холмов на горизонте. Для среднего плана все ошибки ренессансной перспективы практически равны нулю.

Таким образом, анализ ошибок, неизбежно возникающих в той или иной системе перспективы, позволяет определить границы применимости известных систем перспективы и сделать выводы, которые были приведены на с. 317.

Анализ ошибок при изображении пейзажа (глубокого пространства) показывает, что в любой системе перспективы наибольшим искажениям подвержен именно передний план. Этот "закон наибольших искажений переднего плана" хорошо осознан художниками на практике. Поэтому при изображении пейзажа опытные мастера либо "отсекают" передний план границами картины, либо погружают его в тень.

Обратим внимание на то, что в варианте перспективы, правильно передающем глубину пространства (рис. а), образы прямых линий, уходящих к горизонту, становятся криволинейными (см. координатные линии, сходящиеся в точке А, и "дорогу"). Это свойство перспективы, правильно передающей глубину, было интуитивно "нащупано" некоторыми художниками XIX-XX вв., которые стали умело им пользоваться. А вот искусствоведы, подходившие к анализу живописи с позиций ренессансной системы перспективы либо приводившие в качестве аргументов фотографии (но это также линейная перспектива!), продолжали обвинять таких художников в своеволии и отступлении от "научных" канонов линейной перспективы.

Особенно "не повезло" здесь Полю Сезанну (1839-1906), чьи пейзажи в специальной монографии были тщательно сравнены с соответствующими фотографиями и где были указаны все его "ошибки". Возьмем, к примеру, акварель Сезанна "Каштановая аллея в Жа де Буффан". Эта акварель удобна для перспективного анализа тем, что ряды каштанов в натуре заведомо прямолинейны. Однако на акварели они явно искривлены, что и позволило сделать скоропалительный вывод о том, что Сезанн отступал от натуры. Однако, как показал Раушенбах, криволинейный треугольник ANP в соответствующем масштабе с удивительной точностью вписывается в криволинейную сетку координат на рисунке а (с. 325). Таким образом, именно горизонтальная поверхность Земли (а значит, и ряды каштанов) переданы Сезанном в полном соответствии со зрительным восприятием[39].

Не менее убедительным оказывается и сделанный Раушенбахом перспективный анализ этюда В. Д. Поленова (1844-1927) "Церковь св. Елены". Этот этюд был написан Поленовым в 1882 г. во время путешествия по Ближнему Востоку. В ренессансной системе перспективы (или на фотографии) образы параллельных линий равной высоты, проходящих по карнизам колонн и через середины (верхние точки) трех арок, должны быть прямолинейными. Как видно из иллюстрации, эти линии на этюде сильно искривлены. Пересекаясь на линии горизонта, они указывают на истинную главную точку картины, отмеченную кружком. Столь сильное искривление образов объективно прямых линий вызвано тем, что в изображаемом интерьере передний план вплотную приближен к зрителю. Однако такая геометрия этюда Поленова также не является "перспективной ошибкой", а, напротив, хорошо согласуется с вариантом (а), правильно передающим глубину пространства.

Эти два примера убеждают в том, что художники прежде всего предпочитают те варианты научной перспективы, которым свойственна правильная передача глубины пространства. Но это и понятно, ибо именно здесь решается извечный парадокс живописи: убедительно изобразить трехмерное пространство мира (а значит, прежде всего показать глубину пространства) на двумерной плоскости картины.

Еще раз отметим, что с позиций общей теории перспективы с помощью математического анализа ошибок изображения удалось строго указать границы применимости таких двух систем перспективы, как аксонометрия и слабая обратная перспектива. Эти две системы при определенных условиях (см. с. 318) являются совершенно естественными и равноправными вариантами научной системы перспективы. Аксонометрия и слабая обратная перспектива являются хорошими способами передачи формы и объема отдельного предмета, а не целостного пространства. При этом аксонометрия является счастливым исключением, абсолютно безошибочно передающим близкие и не слишком протяженные объекты. Так, в рамках общей теории перспективы обрели свое место аксонометрия и обратная перспектива, не имевшие прежде теоретического фундамента, но сыгравшие выдающуюся роль в истории искусства (см. гл. 22).

В. Поленов. Церковь Св. Елены. 1882. Перспективный анализ Б. В. Раушенбаха

Книга Б. В. Раушенбаха "Системы перспективы в изобразительном искусстве. Общая теория перспективы" вышла в свет в 1986 г. До этой книги в течение почти 500 лет не появлялось фундаментальных трудов по перспективе! Проблема перспективы казалась решенной раз и навсегда еще в XV веке! И вот в конце XX века появляется труд, автор которого исходит из того, что не было известно науке XV века — математического анализа, дифференциальных уравнений, геометрии Лобачевского — и что так и осталось недоступным искусствоведам века XX. Только человек, соединяющий в одном лице глубокое знание математики с тонким чувством прекрасного, мог сделать это открытие!

Спираль науки сделала гигантский виток длиной в 500 лет и на качественно новом уровне решила, казалось бы, старую, как мир, задачу. Но вряд ли стоит думать, что все точки над i в теории перспективы расставлены окончательно. Пути науки, как и пути искусства, не имеют "точек схода", они простираются в бесконечность.