На волне Вселенной. Шрёдингер. Квантовые парадоксы

Брешь, пробитая Эйнштейном и Планком в здании классической детерминированности, расширялась по мере того, как прогрессировала квантовая механика. В тот момент, когда растерянность достигла своего пика, Гейзенберг предложил отказаться от любых интуитивных представлений об атоме, а Шрёдингер положил на стол классическое уравнение, которое, казалось, вернет смысл физике.

Мы никогда не узнаем точное число погибших в Первой мировой войне, но оно оценивается примерно в 10 миллионов, не считая раненых и искалеченных солдат. Однако потери семьи Шрёдингера связаны не с войной, а с лишениями послевоенного времени. Двум гордым империям, немецкой и австровенгерской, которые держали мир в страхе в течение четырех лет, пришлось пережить крайне болезненный период. Кайзер Вильгельм II отправился в изгнание в Нидерланды, променяв свою страсть к военной стратегии на садоводство, а молодой император Карл I был сослан на остров Мадейра, где заболел пневмонией и умер. До весны 1919 года Австрия подвергалась продовольственному эмбарго, наложенному союзниками, и население встало на грань голодной смерти. Шрёдингер пытался найти убежище от нужды в аскетизме древней индуистской мудрости, но позже, в возрасте 73 лет, так вспоминал эти годы:

«Война принесла нам, жителям Вены, неспособность удовлетворять даже основные потребности. Голод был наказанием, выбранным победоносной Антантой, чтобы отомстить ее врагам за бесконечные нападения подводных лодок. Голод свирепствовал по всей стране, за исключением ферм, куда мы отправляли наших бедных женщин просить яиц, масла и молока. В обмен они предлагали прекрасные вещи (одежду ручной работы, юбки и так далее), но несмотря на это их высмеивали и обращались с ними как с нищенками».

Семья дошла до того, что начала пользоваться бесплатными обедами для бедняков — воплощением искусства готовить из ничего. Но в таких столовых они могли встречаться со старыми знакомыми, и эти встречи, пожалуй, были главными социальными событиями в Вене в то время. Даже всегда веселая и энергичная молодежь, вернувшаяся с фронта, чувствовала изнурение, а сам Шрёдингер после заражения легочной инфекцией страдал от туберкулеза.

Великолепное здание, приобретенное дедом Бауэром в самом центре первого округа Вены, разрушалось. Из-за отключенного газоснабжения квартира в пятом округе была погружена в холод и темноту. Заядлый читатель Рудольф боролся с потемками, устанавливая в своей библиотеке рудничные лампы, но они не только освещали полки с книгами, но и источали нестерпимое зловоние. Георгина до войны перенесла сложную хирургическую операцию в связи с раком молочной железы и никак не могла восстановиться. Рудольф, которому было уже за 70, быстро слабел. Завод, которому он посвятил всю свою жизнь, прекратил работу. Ему становилось все труднее преодолевать пять лестничных пролетов, отделявших квартиру от улицы. Отец Шрёдингера умер в канун Рождества 1919 года — он мирно скончался перед ужином, сидя в своем кресле-качалке.

Шрёдингер так никогда и не избавился от чувства вины из-за того, что он постоянно стремился сбежать из родного дома с его гнетущей атмосферой.

«Даже если я отказываюсь это признать, я способен на такое и сегодня: в этот вечер я, как и в предыдущие недели, оставил свою мать одну с безнадежно больным человеком. При этом я понимал, как важен для нее этот праздник, я знал, что мой отец отмечает его последний раз. Поэтому сегодня Рождество не наполняет меня нежностью, и вообще я не жду от него ничего хорошего. Этот праздник прежде всего напоминает мне об уклонении от ответственности».

Угрызения совести долго после этого терзали молодого человека. Его одолевали кошмары, в которых он распродавал библиотеку отца и научное оборудование.

В эти годы Шрёдингер посвятил себя изучению восприятия цвета. Возможно, вызвано это было влиянием Шопенгауэра, который, посетив Гёте в Веймаре, закончил сочинение о физиологии зрения и присутствовал на оптических экспериментах поэта и исследователя. Этой же темой занимался и Физический институт Вены, в частности Экснер — учитель и один из руководителей экспериментов Шрёдингера — и Фридрих Кольрауш. Эта дисциплина, находящаяся на пересечении науки и искусства, очень заинтересовала молодого ученого, поскольку давала возможность проверять свои ощущения экспериментальными данными. Так появилась работа под названием «Основные принципы метрики цветов в дневном свете».

Но не только лаборатория уберегала ученого от тягот окружающей жизни. К этому времени он очень сблизился с Аннемари Бертель. Через какое-то время после трагического Рождества Шрёдингеру предложили должность профессора на кафедре теоретической физики в его университете. Но положенного жалования катастрофически не хватило бы на то, чтобы содержать семью, а ведь Шрёдингеру было уже 32 года и он твердо решил жениться. Аннемари работала секретарем генерального директора крупной страховой компании, и ее месячная зарплата была больше годового вознаграждения, предложенного университетом. Конечно же, Эрвин отклонил это предложение, и пост вновь достался его другу Гансу Тиррингу.

Сам Шрёдингер в поисках финансовой стабильности решил покинуть родную Вену и отправился в Германию, которая меньше Австрии пострадала от послевоенной инфляции. Основной мотивацией ученого была финансовая, но эта перемена декораций принесла его работе огромную пользу. Шрё- дингер встретился с другими учеными, не входящими в его комфортный венский круг и потому проявлявшими большую критичность. Полученный импульс привел ученого в авангард науки. Первые шаги в Берлине он сделал в качестве ассистента Макса Вина в Йенском университете весной 1920 года. Его сопровождала Аннемари, ставшая его женой 24 марта этого же года.

Кажется, что огонь их медового месяца погас еще до истечения первого года совместной жизни. Некоторые предполагали, что причиной этому было бесплодие Аннемари, другие считали, что чета Шрёдингеров имеет абсолютно несовместимые характеры. Хотя сами супруги этого, казалось, не осознавали. Аннемари не имела научного образования и была мало склонна к поэтическому или философскому самоанализу. Она любила музыку, которая вызывала тайную неприязнь у Эрвина, убежденного в том, что именно музицирование могло стать причиной рака у его матери, которая часто играла на скрипке. Аннемари мечтала о пианино, но Шрёдингер всеми силами противился этому. Часто казалось, что пара находится на грани развода, но до этого так и не дошло. Постепенно Шрёдингеры убедились, что хотя их отношения не укладываются в романтический идеал, они все равно могут быть прекрасными. Они решили воспользоваться всеми удобствами буржуазного брака — проверенного и эффективного института — и утолять страсть в другом месте. Оба пускались в авантюры, но в итоге всегда возвращались друг к другу, чтобы укрыться от урагана чувств внешнего мира. Аннемари и Эрвин были друзьями и соучастниками — роли, далекие от мелодрамы, но, тем не менее, прекрасные.

Однажды Аннемари призналась общему другу: «Мне было бы намного легче жить с канарейкой, чем со скаковой лошадью, но я предпочитаю скаковую лошадь». Она никогда не скрывала своего восхищения мужем и приложила много усилий, чтобы создать ему комфортные условия, в которых он мог посвятить себя работе. Шрёдингер принял эту жертву с индуистской отрешенностью: «Цель мужчины — сохранять и развивать свою карму. У женщин цель похожая, но несколько иная: она состоит, если можно так выразиться, в построении жилища, принимающего карму мужчины». Без сомнения, Аннемари очень помогла Эрвину с реализацией его кармы.

Шрёдингер женился на Аннемари Бертель перед отъездом в Вену, 24 марта 1920 года.

Фото со свадебного приема. Сидящие, слева направо: пара Кольрауш (Вилма и Фридрих), Аннемари и Эрвин.

Едва Шрёдингер оставил родной дом, как его начали преследовать семейные несчастья. Инфляция уничтожила наследство деда Бауэра, и он был вынужден перебраться в квартиру своей дочери. Сама Георгина тоже страдала от финансовых неурядиц, и при этом у нее начался рецидив рака. Шрёдингер всегда помнил о невзгодах, которые пережила его мать, поэтому перед смертью завещал небольшое состояние Аннемари. Однако в 1920 году его средств было недостаточно, чтобы поддерживать вдовствующую мать. Все, что он мог сделать, — это время от времени принимать ее у себя и видеть, как болезнь подтачивает ее силы. В апреле 1921 года, на 85 году жизни, умер дед Шрёдингера, Александр Бауэр, а в сентябре за ним последовала и Георгина. Так завершился тяжелый для семьи период.

Менее чем за два года Шрёдингер потерял родителей и деда. За это же время он сменил три города и четыре академические должности: ассистент Макса Вина и доцент кафедры теоретической физики в Йене, экстраординарный профессор в Высшей технической школе Штутгарта и профессор теоретической физики в Бреслау (ныне Вроцлав, Польша). Позднее Шрёдингер назовет этот период «ранними годами странствий». Впрочем, в немецкой культуре профессиональная мобильность была обычным делом. Университеты соединялись между собой, словно сообщающиеся сосуды, и каждая вакансия вызывала целую серию перестановок и продвижений. Десятки преподавателей встречались на железнодорожных станциях, направляясь из Вены в Лейпциг, из Гёттингена в Берлин, из Гамбурга в Цюрих, от одного поста к другому.

Для Шрёдингера странствия по Германии словно стали внутренним путешествием к квантовой механике. Как сказал об этом в свое время Артур Эддингтон, «в ту эпоху квантовая теория была немецким изобретением». В Бреслау, например, Шрёдингер встретил Отто Люммера, чьи фундаментальные исследования распределения энергии в спектре абсолютно черного тела помогли Максу Планку создать в дальнейшем теорию теплового излучения.

Как преподаватель он выражается невероятно ясно, и то, что он говорит, — это всегда плод тщательного размышления.

А кроме этого его супруга — просто прелесть.

Эрих Регенер о Шрёдингере, своем коллеге в Штутгарте

В Штутгарте Шрёдингер погрузился в чтение монографии Арнольда Зоммерфельда «Строение атома и спектры», ставшей классикой еще до того, как на издании высохла типографская краска. Шрёдингер заинтересовался этой темой и, как это уже было с общей теорией относительности, почти сразу опубликовал статью с уточнениями атомной модели Зоммерфельда. В Бреслау ученый задержался всего на несколько недель: еще в Штутгарте он получил приглашение возглавить кафедру теоретической физики Цюрихского университета. На этом посту он стал преемником Альберта Эйнштейна и Макса фон Лауэ — и был согласен на более скромное жалованье.

Должность профессора в одном из самых престижных университетов Европы стала для Шрёдингера трамплином в его академической карьере. Кажется, сам воздух города был особым — то ли из-за горных альпийских ветров, то ли из-за дыхания Цюрихского озера. Атмосфера здесь стимулировала воображение не только революционеров, таких как Ленин или Троцкий, или писателей, таких как Джойс. Именно в Цюрихе была завершена теория относительности Эйнштейна, здесь работали фон Лауэ и Петер Дебай.

Ранее Шрёдингер демонстрировал исключительную универсальность, исправляя и углубляя работы других ученых в большинстве дисциплин, вызывавших его интерес. Но этот широкий диапазон, казалось, подтверждал известную пословицу о двух зайцах: ни в одной из этих дисциплин сам Шрёдингер не создал ничего революционного. Комиссия в Цюрихе попросила венского физика Зоммерфельда охарактеризовать своего молодого коллегу, и тот отметил: «Первоклассный ум, очень твердый и критический». И чаша весов склонилась на сторону Шрёдингера — диапазон его возможностей, казалось, удовлетворил всех. Приемная комиссия особенно оценила исследования ученого о восприятии цвета, потому что его назначение позволяло «проводить конференции по биометрии, так любимой биологами».

Ученый появился в Цюрихе в середине октября 1921 года, измученный трауром и многомесячными переездами. «Я был настолько истощен, — признавался он, — что у меня уже не оставалось никаких идей». Из-за усталости вновь дали о себе знать слабые легкие, и Шрёдингер, едва заняв новую должность в университете, вынужден был просить отпуск, чтобы отправиться на лечение и отдых на альпийский курорт Ароза. Он вернулся к работе через полгода, в ноябре 1922-го. За весь следующий год физик не опубликовал ни одной статьи. Учитывая, что ему было уже 36 лет — возраст, в котором творческая энергия многих ученых уже иссякает, — можно было посчитать, что научная карьера Шрёдингера завершена.

Музыка атомов

В твердых телах и жидкостях свобода атомов ограничена, поскольку их движения сдерживаются электромагнитным взаимодействием, создающим между ними прочную связь. Это взаимное влияние, соединяющее миллиарды ядер и электронов, вводит определенную сложность, отсутствующую в газе, молекулы которого часто можно рассматривать как практически независимые. Вещество твердых тел и жидкостей не только взаимодействует с окружающим миром, но и поддерживает тесные связи внутри самого себя. Изучение газов помогает понять диалог, который свет ведет с каждым атомом.

Чтобы сделать этот диалог видимым, газ может быть нагрет или подвергнут воздействию электрического поля, — опыт, распространенный в лабораториях XIX века. Одним из наиболее популярных приборов в то время была газоразрядная лампа: стеклянная колба с двумя электродами, между которыми создается разность потенциалов. Внутри лампы находится газ — водород, гелий, криптон или пары ртути и натрия.

Разница между непрерывным спектром твердого тела и дискретным спектром газа.

В первом случае перед нами непрерывный диапазон цветов от красного до фиолетового. Во втором мы видим полосы изолированных цветов.

К: красный О: оранжевый Ж: желтый 3: зеленый Г: голубой Ф: фиолетовый

При превышении порогового напряжения лампа испускает интенсивное свечение. Если пропустить ее свет через призму, можно наблюдать последовательность тонких линий различных цветов, разделенных полосами черного цвета. Спектр газов, таким образом, гораздо проще спектра излучения твердых тел или жидкостей (непрерывного вдоль широкого диапазона частот). Если воспользоваться аналогией из предыдущей главы, это соответстует такому распределению, когда вес концентрируется вокруг нескольких дискретных значений (см. рисунок выше).

Спектроскописты поняли, что разность потенциалов влечет испускание из катода (отрицательного электрода) потока электронов, которые пересекают лампу в направлении анода (положительного электрода). Если на своем пути эти электроны сталкиваются с молекулами газа, это порождает световое излучение, которое ученые проанализировали с помощью призмы. Каким образом работает прибор, было неизвестно. Единственное, чем располагали физики, — это набор светящихся линий, наблюдаемых в спектре каждого газа. Как показано на рисунке, для водорода при очень низком давлении видимы четыре линии, соответствующие цветам с длинами волн 410 нм (фиолетовый), 434 нм (голубой), 486 нм (зеленый) и 656 нм (красный). Почему именно эти длины волн? Почему для каждого элемента эти волны разные? Все это было тайной.

Экспериментальная установка для определения видимого спектра водорода. Г азоразрядная трубка содержит водород в газообразном состоянии и начинает светиться, как только разность потенциалов превышает заданный порог. Линза и прорезь собирают и направляют часть света, передаваемого на призму, которая раскладывает луч на цвета.

В 1885 году Иоганн Якоб Бальмер, швейцарский математик, зарабатывавший на жизнь преподаванием в женском институте Базеля, проанализировал эту проблему. Он не искал решение в лаборатории, а довольствовался изучением данных, опубликованных физиками-экспериментаторами. Внимание ученого привлекла головоломка с водородом. В 60 лет он оказался способен найти модель, которая бросала вызов воображению физиков. Она выглядела так:

где n является целым числом (3, 21, 102 и так далее) при n> 2 и где R — постоянная Ридберга со значением R = 1,097 х 10⁷ м^-1. При введении в это уравнение п = 3, 4, 5 и 6 λ водорода, кажется, появляется из ниоткуда: 656 нм, 486 нм, 434 нм и 410 нм.

Бальмер расшифровал математическую структуру, скрытую за вальсом спектральных линий, но ему не хватало понимания того, как энергия превращается в свет. Этот вопрос занимал всех спектроскопистов того времени, в том числе Ганса Мариуса Хансена, работавшего в Копенгагене. Он постарался получить как можно более узкие линии всех известных элементов, а объяснение их появления, считал Хансен, нужно было возложить на физиков-теоретиков. Именно поэтому ученый обратился к своему однокашнику, молодому датчанину Нильсу Бору со словами: «Почему бы вам не попытаться объяснить формулу Бальмера?» Бор задумался.

Этот вызов по своей природе очень отличался от того, с которым столкнулись Планк и Эйнштейн. Датчанин оказался лицом к лицу со структурой, состоящей из отдельных атомов: в газе атомы ведут себя словно хор, который поет одну ноту в унисон. Изучая их спектральные линии, можно понять, о чем поет каждый из них. А непрерывный обмен квантами между световым лучом и осцилляторами, образующими стенки печи, напоминает какофонию толпы, комментирующей концерт, выходя из зала.

Отправной точкой для Бора служила модель атома Резерфорда: массивное ядро, в котором концентрируется положительный электрический заряд, скомпенсировано отрицательным зарядом электронов на орбите. Аналогия с Солнечной системой была неизбежна: ядро играет роль Солнца, а электроны напоминают планеты. Да и сила гравитационного притяжения подобна силе электрического — обе слабеют с квадратом расстояния. Так же как Луна, которая не падает на Землю благодаря своей скорости, сохраняющей ее подвешенной в состоянии постоянного падения, электроны не могут себе позволить ни секунды отдыха. При этом они ведут себя не совсем так, как Луна, поскольку обладают электрическим зарядом. Согласно теории Максвелла электрические заряды излучают свет, и, следовательно, движение уменьшает их энергию. Эта постоянная энергетическая «кровопотеря» превращает орбиту электрона в самоубийственную спираль, направленную к ядру. Предсказания Максвелла приговорили Вселенную к мелодраматическому затуханию: все электроны в конечном итоге столкнулись бы с ядрами, уничтожившись в ослепительной вспышке спустя 10~⁸ с. Картина ошеломляла, но секунды шли, а атомы Вселенной сохраняли стабильность. Вытащив модель Резерфорда из шкафа, Бор рассмотрел ее для частных случаев. Результаты противоречили модели. Более того, они противоречили аксиомам евклидовой геометрии, да и вообще здравому смыслу.

Вот к каким предположениям пришел Бор.

— Электроны не имеют в своем распоряжении всего пространства вокруг. Они могут двигаться только по круговым орбитам, расположенным на определенном расстоянии от ядра. Это было предпосылкой для появления квантовой физики: фиксированный радиус орбиты не допускал непрерывного диапазона значений, однако электрон может перескакивать с одной орбиты на другую.

— Находясь на орбите, электрон не излучает свет и не тратит энергию. Это называется стационарным состоянием.

— Каждая орбита соответствует разной величине энергии, так что квантование пространства сопровождается аналогичным квантованием энергии. Последняя увеличивается с удалением от ядра.

— Электрон не приговорен вечно двигаться по своей орбите, а может перемещаться на другие. Например, он может перейти на орбиту с меньшим радиусом и, соответственно, меньшей энергией. При этом электрон сбрасывает избыточную энергию, испуская пакет излучения, или фотон. Также электрон может перейти на более длинную орбиту, но для этого ему необходим приток энергии извне. В этом случае он поглощает энергию фотона, испущенного другим электроном или при столкновении с другой частицей. В результате электрон переходит в возбужденное состояние, что крайне странно, поскольку, следуя едва ли не универсальному правилу природы, электрон стремится найти состояние с наименьшей энергией.

— Прыжки электронов с одной орбиты на другую происходят за счет фотонов, так что энергетический баланс соблюдается. Разность энергий между состоянием конечной орбиты (Ε_f) и начальной (Ε_i) выражается отношением Планка:

ΔΕ = Ε_f- Ε_i = h · v.

Постоянная Планка, после применения к свету, была использована в атоме. Согласно Бору, кванты печи вызывали непрерывные прыжки электронов вверх и вниз на протяжении всей энергетической лестницы атомов, составляющих стенки печи.

Квазинезависимые молекулы газа образуют лестницы с хорошо определимыми широкими ступенями, особенно на низших уровнях. И наоборот, в твердых телах и жидкостях интенсивное взаимодействие астрономического количества частиц создает мельчайшие энергетические ступени, ничтожные по высоте. Электроны имеют доступ к почти бесконечному диапазону переходов — и большим, и почти незаметным скачкам, — генерируя фотоны бесконечного количества частот, что и дает непрерывный спектр.

Почему классическая физика должна соглашаться с правилами Бора, которые казались несколько произвольными? С помощью простых расчетов ученый получил выражение для энергии каждой орбиты в своей модели в соответствии с целым числом, п, которое будет названо главным квантовым числом:

где m — масса электрона, е — его электрический заряд, K соответствует коэффициенту пропорциональности закона Кулона, a h — постоянной Планка.

Значение п характеризует орбиты разных радиусов. Отрицательный знак говорит, что электрон обладает меньшей энергией, когда он связан с атомом, чем когда он на свободе: энергия необходима, чтобы отделить его от ядра (рисунок 1). Чем меньше n, тем больше нужно энергии. Основное состояние соответствует n = 1. Таким образом формируется последовательность концентрических кругов (рисунок 2).

Вычитая значения энергии для двух различных радиусов и использовав выражение Планка, Бор получил формулу Бальмера. Кроме того, он вывел постоянную Ридберга из более фундаментальных констант, таких как масса и заряд электрона или скорость света. Формула Бора была полнее, чем предложенная Бальмером: видимый спектр водорода, с которым работал преподаватель из Базеля, состоял только из четырех переходов, от орбит n = 3, n = 4, n = 5 и n = 6к более низкой орбите, с n = 2, а Бор мог вычислить длину волны для каждого перехода между любыми орбитами. Спектроскописты уже определили, что линии за пределами видимого диапазона находятся в инфракрасном и ультрафиолетовом спектрах, и вычислили их частоту. Уравнение [1] помогало это сделать точнее.

РИС. 1

Модель Бора также примерно объясняла, что происходит в газоразрядной лампе, в которой через водород проходит электрический разряд. Электрон тока, генерируемого между электродами, сталкиваясь с молекулой газа, передает энергию одному из электронов молекулы, заставляя его двигаться на более высокую орбиту, где он на короткое время остается в возбужденном состоянии. Частота излучаемого фотона зависит от энергетической ступени: чем ступень выше, тем больше энергия фотона и, таким образом, больше его частота. Линии спектра Бальмера создают своего рода рентгенографию ступеней атома водорода (рисунок 2).

РИС. 2

Итогом работы Бора стала статья в трех частях «О строении атомов и молекул», опубликованная в 1913 году. Он пронзил квантовые потемки, оставив, впрочем, в стороне ряд вопросов. Как подчеркнул английский математик Джеймс Джинс, «существует только одна причина — не считая менее значительных — принять эту гипотезу: ее успех». Однако после того как первоначальная эйфория поутихла, появились теоретические сомнения, основанные на том, что Бор проигнорировал. Шрёдингер справедливо заметил:

«...Β то время как так называемые стационарные состояния, в которых обычно находится атом (то есть периоды относительно неинтересные, когда ничего не происходит), были описаны с точностью часовщика, теория умолчала о переходных фазах, или «квантовых скачках», как их стали называть».

Модель помещала атом под стробоскопический свет, где электроны двигались в темноте, но никогда не оказывались застигнуты в середине процесса. Бор первый признал эти ограничения: «Эта модель не претендует на то, чтобы быть истинным объяснением: я не говорю, почему излучение испускается».

Сформулированные постулаты объясняли только поведение атомов с одним электроном, то есть водорода и положительных ионов, таких как Не⁺ (атом гелия с потерянным электроном), Li⁺⁺ (атом лития, потерявший два электрона) и так далее. По мере того как методика анализа была усовершенствована и на смену призмам пришли дифракционные решетки, оказалось, что известные спектральные линии в реальности состояли из более мелких групп линий. Этот набор новых частот был частью тонкой структуры, которую модель Бора никак не объясняла.

Существовали и другие подводные камни. Предполагалось, что электрон движется по орбите вокруг ядра со скоростью, близкой к 1% от скорости света, — достаточно, чтобы породить релятивистские эффекты, явно отсутствовавшие в модели. Кроме того, модель игнорировала и другой аспект: как для водителя дорога движется под колесами его автомобиля, так для электрона ядро — движущийся положительный заряд, производящий магнитное поле. В сущности, проблемы тонкой структуры и относительности были тесно связаны.

Прежде чем менять парадигму, стоило вначале усовершенствовать ее. Этому себя посвятил Арнольд Зоммерфельд. Сам облик этой легендарной личности свидетельствовал о студенческой вспыльчивости: лоб Зоммерфельда был отмечен шрамом, полученным в фехтовальной дуэли. Он был убежден в том, что модель атома нуждается в дополнениях, которые раскрыли бы богатство линий тонкой структуры. Исследователь начал с предположения о том, что орбиты имеют эллиптическую форму, что позволило ему играть с направлениями. К этим новым атрибутам он присовокупил новые параметры, целые числа, связанные друг с другом, которые примкнули к числам, введенным Бальмером.

Схема модели Зоммерфельда, показывающая, что траектории электронов могут быть круглыми или эллиптическими. Квантовое число η означает размер орбиты;l — вид эллипса, m — его наклон.

Таким образом, n стало главным квантовым числом, дающим представление о размере орбиты. Небольшое n соответствовало электрону, расположенному близко к ядру, в то время как большое располагало его на периферии атома. Следующее квантовое число, l, определяло сплюснутость эллипса. Третье, m, соответствовало направлениям, в которых были сориентированы орбиты (см. рисунок).

Несмотря на эту новую концепцию орбит, атом Зоммерфельда излучал такое же количество энергии, что и атом Бора. Во время квантовых переходов он генерировал фотоны с теми же частотами, которые образовывали те же спектральные линии, проецировавшиеся на экран. Пришло время обратиться к специальной теории относительности. Согласно теории Эйнштейна, тела изменяют массу (а следовательно, и энергию: Е = mc²), когда их скорость увеличивается или уменьшается. Этот эффект незаметен при рассмотрении ускорения, производимого макроскопическими телами в окружающей нас действительности, но в бурной жизни электронов он не может быть проигнорирован. Еще Кеплеру и Ньютону было известно, что для прохождения по эллиптическим орбитам тела должны постоянно менять свою скорость. Этих небольших изменений хватало, чтобы вызвать тонкие смещения в энергетических уровнях, что и объясняет расщепление линий.

Модель Бора — Зоммерфельда с ее квантовыми скачками, генерирующими порции энергии, произвела эффект взрыва, отстоящего на световые годы от классической физики, но она породила почти столько же проблем, сколько решила. Можно ли вычислить, когда произойдет скачок электронов? В каком направлении будут излучаться фотоны? Да и в чем, собственно, состоит квантовый скачок? Электрон, словно иллюзионист, исчезает на одной орбите, чтобы мгновенно появиться на другой! Такое поведение настолько же сбивало с толку, как если бы Юпитер вдруг исчез и вновь появился на орбите Марса. Или электрон переходит на другую орбиту постепенно? У Шрёдингера подобный произвольный характер предположений вызывал настоящее отвращение, и он отказывался признать новую модель: «Говорят, что электрон, вращающийся вокруг атома, регулярно делает оборот на чем-то вроде орбиты, не испуская излучение. Никто не знает, почему он не излучает: согласно теории Максвелла — должен».

Простой водород оказался в затруднительном положении, когда его вынули из изолированной ячейки и поместили в электрическое и магнитное поле. Когда в лаборатории старая газоразрядная лампа была подвергнута воздействию электрического поля, которое накладывалось на созданное с помощью электродов, известные линии снова умножились (эффект Штарка). То же самое происходило при приближении магнита (эффект Зеемана). Новые линии оставались плотно соединенными, когда поля были слабыми, но расходились с ростом их интенсивности.

Для восстановления порядка в этих экспериментальных джунглях следовало вначале усугубить неясность. Следующий шаг был сделан французским аристократом, который посмотрел на электроны сквозь призму квантования. Если, несмотря то что свет — это волна, он может вести себя как частица (фотон) в атомной среде, ведут ли себя частицы, известные своими корпускулярными свойствами, как волны?

Де Бройль и вызов Шрёдингеру

Морис де Бройль, шестой герцог Брольи, воплотил мечту всех физиков-экспериментаторов: он создал идеальную лабораторию, абсолютно не стесняя себя в средствах. Принадлежность к аристократическому кругу позволила ему использовать для этого семейный особняк на улице Шатобриан, в самом центре Парижа. Герцог заполнил шкафы эпохи Людовика XV множеством электрических приборов, слуг сменил на целый батальон помощников и задумал комплексную программу исследований рентгеновского излучения и фотоэлектрического эффекта. Научная страсть де Бройля в конечном итоге заставила его младшего брата, Луи, свернуть с гуманитарной дорожки: тот забросил изучение средневековой истории ради карьеры физика. По словам Луи, Морис «признавал излучения, формируемые волнами и частицами, но не имел четкого представления об этом, не будучи теоретиком». За разъяснения взялся сам Луи, поскольку он глубоко изучил природу электромагнитного излучения на военной службе в годы Первой мировой войны, а затем работал радистом на Эйфелевой башне.

Возможно, именно железная конструкция башни привела Мориса к открытию: «После глубоких размышлений в одиночестве в 1923 году меня внезапно осенило: открытие, сделанное в 1905 году Эйнштейном, должно было распространяться на все материальные частицы, в том числе на электроны». Другими словами, если свет может обладать корпускулярными свойствами, то электроны должны также проявлять свойства волны. Де Бройль предложил тогда, что такая частица, как электрон, блуждающий свободно в пространстве, будет связана с волной, длина которой X = h/p, где р — физическая величина, названная импульсом и определяемая в целом как произведение массы частицы на ее скорость (р =m • v).

Получив диплом Французской академии наук, Морис де Бройль опубликовал в сентябре 1923 года две небольшие работы, содержавшие плоды его размышлений. К следующему году на основе этих тезисов герцог написал докторскую диссертацию. Его научный руководитель Поль Ланжевен, как и другие ученые, находился в некотором замешательстве — работа де Бройля казалась ему столь же изобретательной, сколь и маловероятной, поэтому он подкинул ее Эйнштейну, который тут же пришел в восторг. Он посчитал гипотезу де Бройля не только смелой, но и перспективной и заявил: «Я вижу здесь робкий луч света в одной из наиболее темных физических загадок».

Сам де Бройль искал способы подтвердить свою догадку. Он заметил, что если электроны с длиной волны, связанной с размером, равным межатомному расстоянию твердого вещества (около 10^-10м), будут спроецированы на стекло, то с другой стороны появится интерференционная картина. Интерференция — одно из явлений, наиболее ясно раскрывающих волновую природу любого объекта (подробнее см. статью «Интерференция волн», стр. 72-73).

Американцы Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер осуществили подобный опыт в лаборатории Бэлла, а англичане Александр Рид и Джордж Томсон проделали то же самое в Абердинском университете. Обе группы ученых обнаружили, что какими бы ни были электроны, они вели себя как волны, проникая сквозь монокристалл никеля или тончайшую металлическую пластину.

Если бы электроны вели себя как частицы, то, достигая атомарной решетки твердого тела, они бы отскочили от нее в разных направлениях, словно крошечные мячики. Но регистрируя рассеянные электроны, ученые получили широкую дисперсию волнового профиля (см. рисунок).

Эксперименты позволили сделать безапелляционный вывод: электронам свойственно поведение, как у волны. Однако прорыв де Бройля, как это все чаще случалось с тем, что касалось квантов, больше ставил вопросов, чем давал ответов. Из чего состояли эти волны? Каким образом их интерпретировать? Как что-нибудь могло одновременно иметь две столь противоречивые природы, как волна и частица? Частицы концентрируются вокруг точек, а волны стремятся к тому, чтобы рассеиваться во все концы пространства, словно круги на водной глади от камня, брошенного в пруд. Уравнение де Бройля λ = h/p соединяло противоположные миры: λ является величиной волнообразного типа, р — корпускулярного. Материальные волны, в отличие от света, не связаны ни с каким полем, ни электрическим, ни магнитным, и могут проходить через вакуум при любой скорости, отличной от скорости света. Мяч, пересекая поле для гольфа на скорости 30 м/с, имеет длину волны λ = 1,9 х 10^-34 м. Постоянная Планка h сказывается на повседневной жизни, но все же: как мяч может иметь столь незначительную и даже невообразимо малую длину волны?

Корпускулярные электроны

Волновые электроны

На рисунке показаны два возможных исхода опыта Дэвиссона и Джермера в соответствии с поведением электронов.

Если бы электроны были частицами, то они сосредоточились бы на детекторе, а если волнами — то были бы распределены по ряду детекторов, при этом количество частиц на каждом подчинялось бы волновой схеме. В итоге был получен второй результат.

Де Бройль предположил, что эти волны направляют частицы, и хотя это заявление в целом соответствовало интуиции, оно не уточняло, какие отношения у волны с электроном. Например, известно, что частица, подвергаясь воздействию на нее (при столкновении с другой частицей, влиянии магнита и так далее), изменяет свою скорость и, следовательно, свою длину волны. Но каков механизм этого? Ни одно уравнение не позволяло рассчитать динамику волн, связанных с электронами.

Все эти вопросы держали в напряжении голландского физика Петера Дебая, который в середине октября 1925 года бросил Шрёдингеру в Цюрихе: «Прямо сейчас вы не работаете ни над чем важным. Я не понимаю всей этой суеты вокруг де Бройля. Почитайте его. Посмотрим, выйдет ли интересный разговор». Шрёдингер изучил работы герцога и даже представил их 7 декабря на конференции. Однако присутствовавший в зале Дебай не был удовлетворен. Он напомнил Шрёдингеру: чтобы корректно говорить о волне, когда речь идет о вибрации гитарной струны, колебаниях давления молекул воздуха (звук) или электромагнитном излучении, необходимо волновое уравнение. И прежде чем покинуть конференц-зал, он потребовал: «Найдите это уравнение!»

Часто кажется, что свет движется по прямой линии. Появление теней или отражения в зеркале прекрасно иллюстрируют это интуитивное представление. Целый раздел физики — геометрическая оптика — посвящен изучению явлений, в которых лучи света смиренно склоняются перед властью прямых линий. И все же существует широкий спектр ситуаций, в которых свет ведет себя словно волна — звуковая волна или волна, распространяющаяся на водной поверхности.

Когда фронт плоских волн наталкивается на пластину с щелью, возникает ряд полусферических волн. Если в пластине две щели, два ряда полусфер пересекаются, и пертурбации, порождаемые каждым новым фронтом, соприкасаются в каждой точке пространства. Как показано на рисунке 1, когда впадина одного фронта совпадает с гребнем другого, они нейтрализуются (деструктивная интерференция). И наоборот, если два гребня или две впадины совпадают, пертурбации усиливаются (конструктивная интерференция). Промежуточные состояния формируются на уровне других точек. В случае света это взаимопроникновение волн образует последовательность полос различной яркости, расположенных между темными полосами. Рисунок 2 показывает, как градация интенсивности выявляет силуэт волны.

РИС. 1

Подобное происходит, когда после броска двух камней две сферические волны накладываются и распространяются по поверхности пруда. При увеличении количества источников новых волн образуются более сложные конфигурации, например когда волна разбивается о сваи пристани. Каждая свая становится источником смешивающихся кругов. Получаемая модель зависит от расстояния между сваями.

Для света результат зависит от расстояния между щелями. При изучении изображений, образующих интерференцию, структуры, ее вызвавшие, могут быть воспроизведены математически. Немецкий физик Макс фон Лауз, выдающийся ученик Планка, думал, что такой же эффект будет вызван прохождением электромагнитных волн с очень короткой длиной волны через сеть атомов, которые, словно опоры, аккуратно расставленные в трехмерном пространстве, составляют структуру твердого тела (рисунок 3).

РИС. 2

РИС.З

Кристаллическая решетка атомов. Каждый атом решетки выступает генератором новых волн.

В апреле 1912 года в университете Мюнхена ученые заставили разбиться фронт рентгеновского излучения (с λ порядка 10^-11 м) об атомную кристаллическую решетку сульфата меди. Полученная картина интерференции соответствовала ожиданиям. В 1950-х годах структура миоглобина, гемоглобина или ДНК могла быть прочитана благодаря нескольким изображениям, полученным путем облучения кристаллических версий молекул пучком рентгеновских лучей.

Это словно повторяло ситуацию, когда Ганс Мариус Хансен попросил Бора подтвердить формулу Бальмера. Шрёдингер принял вызов Дебая и заложил тем самым первый камень будущего шедевра. Второй камень, однако, не имел отношения к науке. В Цюрихе лодка их брака с Аннемари дала течь. Находясь на грани кораблекрушения, они обнаружили, что их новый круг общения в Цюрихе, включавший дадаистов, склонных к анархии и антибуржуазному протесту, демонстрировал терпимость по отношению к внебрачным связям, которые иногда образуются внутри группы. По словам математика Германа Вейля, друга Эрвина и любовника Аннемари, Шрёдингер «совершает свои решающие работы в период позднего любовного изобилия». Вейль знал, о чем говорит, поскольку тесно сотрудничал с австрийским физиком, помогая ему преодолеть технические препятствия на пути к волновому уравнению. Его замечание дало повод ко множеству догадок о личности квантовой музы, но безуспешно. Дневник, который Шрёдингер вел в это время, был утерян, поэтому нам известно лишь то, что музой была «старая подружка из Вены» и что ученый провел с ней Рождество на том же горнолыжном курорте, где четырьмя годами ранее проходил курс лечения. Может быть, он вспомнил о Фелиси? Как бы там ни было, эта муза запустила период потрясающего научного творчества, когда Шрёдингер создал свои лучшие работы. Если ранее он публиковал в научных журналах в среднем 40 страниц в год, то в 1926 году его продуктивность возросла почти в семь раз, достигнув рекордных 265 страниц. Кроме того, он больше не довольствовался критикой чужих исследований и добавлением к ним математической глубины. Его работа приняла иной оборот. Его научная компетенция была признана, но сколько-нибудь революционных статей до сих пор Шрёдингер не написал, и все же он вошел в пантеон великих ученых XX века. Физик сформулировал свое волновое уравнение не на основе экспериментальных данных или солидной теоретической базы, а буквально на ощупь, благодаря готовности рискнуть и физической интуиции.

После Рождества руководство в университете Цюриха поинтересовалось у ученого, с пользой ли он отдохнул в Арозе.

Жизнь Шрёдингера была отмечена многочисленными любовными приключениями. На фото вверху — австрийский физик (в центре) на берегу Цюрихского озера,около 1925 года. Внизу Шрёдингер (сидит справа) во время праздника в 1933 году.

Отвечая, Шрёдингер не упоминал о любовной стороне дела и ограничился признанием, что сделал некоторые расчеты. И на первой же конференции в новом году он обратился к аудитории со словами: «Мой коллега Дебай напомнил мне, что необходимо волновое уравнение. Ну вот, одно я нашел!»

Анатомия уравнения

Волновое уравнение Шрёдингера — это дифференциальное уравнение в частных производных:

где ψ — функция времени и трех пространственных координат (х, у, z), i = sqrt(-1) и h = h/2n. Чтобы понять это выражение, необходимы математические знания, выходящие за рамки этой книги. Поэтому мы ограничимся упрощенной версией уравнения — в одном измерении и опустив зависимость от времени:

Этого упрощения вполне достаточно, чтобы проиллюстрировать широкий спектр квантовых состояний. Но прежде чем его интерпретировать, представим каждый его компонент.

Когда говорят об уравнении, первое, что приходит на ум, — это алгебраическое выражение с одним или несколькими неизвестными:

x²+x=7

x²-y²+3=0

Уравнение обычно подвергает одну или несколько переменных величин — неизвестных чисел — серии действий, выраженных математическими операциями (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня), которым удовлетворяют только решения.

До введения в XVI веке французом Франсуа Виетом современной символической записи с буквами, египетские и арабские математики выражали условия уравнения в словесной форме. Так, уравнение вида х²+х=3 формулировалось в виде вопроса: «Что за вещь, умноженная сама на себя и добавленная к себе, дает три в результате?» При словесном описании естественно желание придать «вещи» более широкое значение, увеличивая набор операций и множество математических объектов, к которым они применяются.

Следуя стремлению к абстрагированию, появившемуся в течение XIX века, в условия уравнений были добавлены не только числа, но и более сложные математические объекты, такие как функции или матрицы (последние, как мы увидим, сыграли первостепенную роль в истории квантовой механики). Сейчас нам нужно добавить в наш набор только функции и новую операцию — дифференцирование.

Простейшие функции зависят от одной переменной, у (х), и представлены кривыми (рисунок 3, на следующей странице).

Каждому значению х уравнения соответствует значение у, таким образом появляется множество точек с координатами (х, у), образующих кривую.

Функции с двумя переменными представлены в виде поверхности, размещенной в трехмерном пространстве; с тремя переменными и более — бросают вызов способности человеческого мозга их представить. Как и числа, функции могут подчиняться целому ряду математических условий, и те, которые этим условиям удовлетворяют, становятся решениями уравнения.

Дифференциальные уравнения практически ничем не отличаются от алгебраических, однако их решения разнообразнее (решениями могут быть функции), как и возможные действия (операции включают производные). Например:

РИС. 3

где k — константа.

Древние так сформулировали бы это уравнение: какая функция, будучи дифференцированной, равна константе k, помноженной на ту же функцию? Ответ: у(х) = у₀е^kx, где у₀ = у(0) — дополнительное требование к уравнению.

Само обозначение у(х) подчеркивает зависимость у от х. Производная функции отражает динамику — то, как первая переменная величина меняется с помощью второй. На кривой рисунка 4 (стр. 79) у изменяется прогрессивно при условии, что значение х увеличивается. Чтобы выявить эту динамику изменения, можно использовать касательную, то есть прямую, которая касается кривой функции в одной точке. Наблюдая за углом, который образует касательная к оси абсцисс, мы получаем наглядное представление о значении производной функции. Горизонтальная касательная недвусмысленно говорит о нулевой производной (у не изменяется при изменении х), тогда как касательная, приближающаяся к оси ординат, соответствует производной, движущейся к бесконечности (и очень увеличивающейся с малейшим изменением х). В настоящем случае наклон всех касательных является малым, то есть они постепенно удаляются от абсцисс (рисунок 5).

РИС. 4

РИС. 5

РИС. 6

РИС. 7

РИС. 8

Если бы кривая представляла план участка, мы едва ли заметили бы неровности, шагая по нему Однако переменная величина у некоторых функций изменяется прерывисто (рисунок 6).

Рисуя производные (касательные), мы замечаем, что среди них есть некоторое число вертикальных. По такой поверхности идти довольно сложно (рисунок 7).

Касательные новой функции больше тяготеют к вертикальной оси и не приближаются к горизонтальной, динамика их изменений замедляется в вершинах и впадинах кривой (рисунок 8).

В дифференциальные уравнения также могут быть введены вторичные производные, то есть производные производных. Информация, предоставленная этим повторным действием, говорит о динамике изменений касательной.

Мы видим, что если взять какую-либо функцию, как на рисунке 9, затем ее вытянуть (рисунок 10) и, наконец, сжать (рисунок 11), переменная у принимает одинаковые значения в обоих случаях. Тем не менее на рисунке 10 она это делает таким образом, что касательная изменяется постепенно, при условии, что х растет (ее вторичная производная мала); в обратном случае, на рисунке 11, касательная сильно колеблется (ее вторая производная увеличена).

Когда неизвестная функция зависит от одной переменной, как в случае с у(х), дифференциальное уравнение называется обычным. Когда она зависит от нескольких переменных, как f(x, у) или g(x, у, z), речь идет о дифференциальном уравнении с частичными производными, именно таким является уравнение Шрёдингера, которое зависит, главным образом, от трех пространственных и временной координат.

РИС. 9

РИС. 10

РИС. 11

Производные оказываются идеальным инструментом для описания законов природы. Расположение молекул воздуха изменяется совсем как температура какого-либо металла, атмосферное давление, количество радиоактивных ядер при распаде, плотность пластика, натяжение кожи барабана... Эти изменения могут быть внезапными или постепенными, прогрессирующими постоянно или происходящими мгновенно, циклическими или хаотичными. Цель ученого — определить правила этих изменений, локализовать их агентов и посредников, понять роль, которую они играют, и установить их скорость. Дифференциальные уравнения решают эту задачу математически четко и последовательно. Они часто описывают феномены, существование которых до сих пор было вне подозрений, начиная с физической наглядности или анализа ситуации. Иногда прибегают к помощи уравнений, чтобы составить новый сценарий и потом доказать, что еще не изученное явление, следуя собственным законам, развивается, исходя из изначально сформулированных предпосылок. Именно в этой роли производные используются как профессиональный инструмент химиков, инженеров, биологов и экономистов.

Смысл производных помогает расшифровать потаенный язык дифференциальных уравнений. Возьмем уже привычный пример:

с его решением: у(х) =у₀е^kx.

Возьмем самый простой случай:

Теперь, как можно увидеть из уравнения, касательная пропорциональна значению функции в каждой точке. Решение у(х) = е^х представлено на рисунке.

Несколько значений функции:

у(0) = е⁰ = 1

у(1) = е¹ = 2,72

у(2) = е² = 7,39

у(3) = е³ = 20,09

На самом деле мы констатируем, что у быстро возрастает при увеличении значения х и что у заставляет свою касательную принять такую же динамику (рисунок напротив).

Начиная с XVII века математический механизм, изучавший свойства функций и их производных, стали использовать в физике для прогнозирования, и этот способ предсказания до сих пор был неизвестен в истории науки. Физические соображения выражались в уравнениях, и математика давала ответ на вопрос, где будет располагаться планета Марс через пять столетий или пуля через долю секунды.

При попытке решить физические задачи использовались все грани анализа. Математики шли все дальше в джунгли дифференциальных уравнений, ведь там их ждали открытия.

Одним из первых их любопытство пробудило волновое уравнение. С реальностью его сближала музыкальная теория, поскольку уравнение описывало колебания струны, натянутой между подставкой и колками. Уравнение описывало поведение струны после прикосновения. Применение законов Ньютона вело к следующему выражению с частичными производными:

где р и Т— две постоянные (линейная плотность струны и сила, на нее воздействующая) и где а — пространственная и временная функция, соответствующая вертикальному расстоянию, отделяющему каждую точку струны от горизонтальной плоскости (рисунок 12).

Это уравнение допускает бесконечное множество решений. Некоторые из них приемлемы для математиков, но теряют физический смысл и потому отбрасываются; другие не удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, к примеру тому, что концы струны никогда не колеблются, что струна остается неподвижной до того момента, пока ее не коснутся или пока она не приобретет определенную форму Эти требования сокращают диапазон приемлемых решений, но также они квантифицируют значение частоты (v), с которой колеблется струна. При прикосновении к концам струны решениями являются волны, которые свободно распространяются по струне слева направо. Они могут это делать с любой частотой: тогда v является постоянной величиной. Однако при фиксации струны волны останавливаются между двумя краями, v прерывается и становится дискретной переменной. Диапазон ее значений кратен фундаментальной частоте, v1 звучание струны при этом может приближаться (через р и Т) к чистой музыкальной ноте (рисунок 13).

РИС. 12

РИС. 13

Эти колебания называются стоячими волнами: в каждой их точке колебания происходят с той же частотой, что и у встречных волн. Волны свободно распространяются вдоль струны влево или вправо, затем они сталкиваются с закрепленными концами и возвращаются обратно. Две волны встречаются и расходятся в разные стороны, при этом их наложение друг на друга образует стоячую волну. Струна оказывается разделенной на равные сегменты точками соприкосновения — узлами стоячей волны, при этом оставшаяся часть струны колеблется. Узлы первой, или фундаментальной частоты (ее также называют гармоникой) находятся на концах струны, для второй гармоники добавляется один узел, в середине струны, для третьей — два, делящие струну на трети, и так далее (см. рисунок).

Чтобы лучше понять волновое уравнение, можно проиллюстрировать колебания струны с помощью серии фотографий. На каждой из них время останавливается, позволяя уловить профиль волны, наподобие изображенного на рисунке 1.

РИС. 1

Расположение струны в момент t_r

Затем мы засекаем промежуток времени (ось абсцисс) и вновь отпускаем струну, концентрируя внимание на ее точке и наблюдая изменение ее положения. Изобразим это изменение, учитывая, что струна колеблется сверху вниз. Если мы расположим эти фотографии рядом, то заметим, что последовательность точек образует вторую волну (рисунок 2). Также изменение расположения точки в зависимости от времени может быть представлено таким образом, как на рисунке 3.

РИС. 2

Последовательность рисунков отображает изменение высоты точки струны (зафиксированное положение в момент времени x₁).

РИС. 3

Изменение положения струны, колеблющейся снизу вверх, в точке х₁

Уравнение

говорит нам, что скорость, с которой изменяется касательная к струне, изображенная на графике ее пространственного изменения

пропорциональна скорости, с которой меняется касательная на графике временного изменения

Если, например, коэффициент Т/р больше 1, волна будет более сжатой на временной оси, чем на пространственной (рисунок 4).

РИС. 4

Если Т/р меньше 1, отношение обратное; если Т = р, касательная изменяется одинаково в пространстве и во времени.

Иными словами, мы видим перед собой классическое описание работы струнного музыкального инструмента, сделанное с помощью постоянной функции, но со своими переменными, частотой, квантами. Между квантованием энергии уравнения Бора (1) для атомов и уравнением частоты гармоник нет существенного различия. Подчеркнем, что эта мощная аналогия до сих пор не привлекала внимания физиков, однако Шрёдингер не прошел мимо. Его уравнение предполагает бесконечность чисто математических решений, но если ввести дополнительные условия, то один из его параметров — энергия — становится квантованным.

фундаментальная или первая гармоника

вторая гармоника

третья гармоника

Первая статья Шрёдингера, посвященная структуре атома, называлась «Квантование как задача о собственных значениях» (1926). Под термином «собственное значение» имеется в виду параметр, который является квантованным после наложения на дифференциальное уравнение определенных условий. В этой статье Шрёдингер определенно ссылается на колебания струны. Целые числа, возникающие при рассмотрении атома водорода, получаются «естественным образом, сами по себе, подобно тому как сама по себе получается целочисленность числа узлов при рассмотрении колеблющейся струны. Это новое представление может быть обобщено, и я думаю, что оно тесно связано с истинной природой квантования».

Пришло время вернуться к выражению:

где m — масса электрона и Е — энергия системы. Функция ψ связана с информацией относительно расположения электрона таким способом, который пока еще нельзя объяснить. Функция V(x) представляет любое воздействие Вселенной на электрон. Когда она равна нулю, предполагают, что электрон является свободным, но как только электрон приближается к ядру и оказывается связанным с атомом, функция V(x) перестает быть равной нулю и подчиняется электрическому присутствию протонов:

где Z — число протонов, идентифицирующее атом. Мы располагаем ядро в начале координат (х = 0) таким образом, что переменная х также означает расстояние, отделяющее нас от ядра. Введем это выражение в уравнение Шрёдингера:

Мы можем рассматривать V(x) как произведение постоянной (соединяющей К_c, Z и е²) и функции расположения 1/х:

где функция 1/х принимает вид как на рисунке 14 (стр. 89), на котором мы видим, что функция 1/х стремится к бесконечности при х = 0 и убывает до исчезновения, когда х становится очень большим числом.

Когда функция У исчезает, электрон становится свободным, и уравнение Шрёдингера сокращается до своей самой простой формы:

Это очень похоже на уже рассмотренное первое дифференциальное уравнение:

Из этого мы делаем вывод, что касательная у пропорциональна значению функции в каждой точке. Именно сейчас проявляется динамика изменения касательной функции ψ. Отметим, что при повышенном значении для Е (электрон с высокой энергией) вторая производная будет больше постоянной ψ. Мы окажемся в ситуации сжатой волны с малой длиной (см. рисунок 11, стр. 80). Если мы возьмем выражение де Бройля λ = h/p, то малая λ соответствует большой р (то есть повышенной скорости р = mv). И наоборот, малая Е приводит нас к случаю вытянутой волны, с большой длиной и, таким образом, низкой скоростью: электрон с низкой энергией. В уравнении (1) электрон, не испытывая никакого влияния окружающей среды, находится в состоянии, похожем на состояние свободной струны, и его частота постоянна. К тому же форма ψ очень похожа на волну, распространяющуюся в свободном пространстве. Энергия частицы также не является квантованной и предполагает бесконечный спектр значений.

График кривой показывает, что V оказывается принципиальным в уравнении, когда значение х мало (когда электрон блуждает около ядра). Если мы разделим число на другое, намного меньшее, чем единица, то получим в качестве результата большое число. Чем сильнее уменьшается знаменатель, тем больше становится коэффициент. Например:

И наоборот, если х увеличивается, коэффициент

уменьшается, пока не станет незначительным. Эти две тенденции показывают, что электрон подвержен воздействию притяжения, когда он находится поблизости от ядра (где V сильно увеличивается). И его присутствие едва заметно, когда он очень далеко (V уменьшается, пока не исчезнет). В последнем случае, когда V стремится к нулю, уравнение сокращается до того вида, который соответствует свободному электрону (рисунок 15).

Мы предполагаем, что в любой момент ядро находится в состоянии покоя (или что можно не обращать внимания на его скорость, как и на скорость электронов).

РИС. 14

РИС. 15

Действие V, связывающее электроны с ядром, равносильно тому, чтобы зафиксировать струну на подставке скрипки.

Так как функция а(х,t) должна быть равна нулю на концах или соответствовать форме струны до касания, существуют дополнительные условия к ψ. Она должна быть постоянной и ее значение должно стремиться к нулю при нахождении далеко от ядра. Настоящее значение этих условий будет раскрыто в следующей главе. В тот момент, когда условия будут выполнены, энергия системы будет квантована согласно формуле Бора. Функции решения ψ ведут себя так же, как стоячие волны, создавая в атоме стабильную ситуацию.

Главная загадка уравнения Шрёдингера (которая будет решена в следующей главе) — какая физическая величина представляет знаменитую функцию ψ? Этот вопрос вызвал бурные споры с того самого момента, когда он был поставлен.

Чтобы описать реальный атом водорода, необходимо ввести три координаты:

В трех измерениях анализ уравнения усложняется. Очевидно, чтобы визуализировать решения, необходимы четыре оси: одна — для ψ и три другие — для х, у и z. И если мы введем время t, то нам понадобится пятая ось. Но несмотря на эти сложности, можно сделать несколько замечаний относительно вида искомого решения. Например, проясняя (1), мы замечаем, что сумма динамики изменения касательных ψ

которую мы назовем R_{изменения}, равна:

Переобозначим постоянные для большей ясности:

Когда мы удаляемся от начала координат (х, у и z, большие), SQRT(x² + у² + z²) приобретает намного большее значение, чем b, и коэффициент уменьшается до тех пор, пока не исчезнет. Таким образом, из уравнения следует:

R_{изменения} =3Ψ.

Принимая во внимание, что одно из условий, поставленных функции ψ, было таким, чтобы она стремилась к нулю при удалении от ядра, произведение постоянной а через ψ в равной степени будет тяготеть к нулю. Тогда последнее уравнение показывает, что сумма динамики изменения трех касательных стремится к нулю с ростом расстояния: R_{изменения} -> О· Кажется разумным предположить, что они изменятся по отдельности. Если бы это было так, у них была бы возможность соединиться, чтобы исчезнуть при сложении. Вдалеке от протонов ψ исчезает, и касательные принимают горизонтальное положение. И наоборот, когда электрон находится рядом с ядром, где значения переменных х, у и z, малы, сумма динамики изменения касательных будет выше. Это поведение обязано тому факту, что при R_{изменения} выражение

стремительно растет и превышает постоянную а. На кривой функции ψ мы увидим взлеты и падения около начала координат. Затем функция успокаивается при условии, что она удаляется (см. рисунок).

Для изучения вида функции ψ она может быть разделена на три зоны. B A R_{изменения} увеличивается, и ψ представляет несколько касательных. В С R_{изменения} стремится к нулю как касательная ψ.

Научные дискуссии казались бесконечными, и Макс Борн, который предложил наиболее удовлетворительный ответ, должен был ждать около 30 лет, чтобы получить за него Нобелевскую премию. Шрёдингер сам не мог принять свою интерпретацию. Он всегда думал о том, что ψ представляла распределение заряда электрона, как если бы частица рассыпалась в пространстве. Словно разлитая вода, накапливающаяся в углублениях и избегающая возвышенностей, электрический заряд концентрируется больше в одних местах, чем в других. Волновая функция рисует карту распределения плотностей. Шрёдингер стремился к классической физике, но научная честность заставляла его заметить, что его традиционное видение теряет силу во владениях атома. Выход нашелся в отказе от примитивного значения частицы: «Материя представляет собой волны и только волны». Вселенная состояла из колебаний, которые часто сосредотачивались в определенных зонах пространства, создавая иллюзию частиц с макроскопической точки зрения. Математики могут играть с волновыми конструктивными и деструктивными интерференциями, суммируя их и заставляя принимать почти все формы, какие только возможно, особенно форму сгустка или, говоря техническим языком, форму волнового пакета (см. рисунок).

Проблема состоит в том, что практически невозможно поддерживать связность структуры по мере ее перемещения, и все заканчивается тем, что она распадается, словно айсберг, подходя к экватору. Волны стремятся к тому, чтобы рассеяться при малейшем столкновении, а пакет раскрывается, и поведение частиц, когда они сцепляются с окружающей средой, сразу же меняется. К концу четвертого дня творения электрон, заключенный внутри атома, мог бы рассеяться по четырем концам Солнечной системы. Перед наукой встала та же проблема, что и перед де Бройлем: необходимо было заново гармонизировать два противоположных объекта — волну и частицу.

Волновые помехи распространяются в некоторых пределах подобно тому, как это сделала бы частица.

Одним из важных последствий уравнения Шрёдингера является то, что оно объясняет квантовые феномены, такие как скачки, с помощью определенных функций определенных переменных, а также дифференциальных уравнений, открытых Ньютоном. Шрёдингер представлял электрон как электрически заряженное облако, обволакивающее атом, при этом сам электрон преобразовывался в пространственно-распределенную электромагнитную волну, движущуюся непрерывно, согласно приказам ψ, и без всякого квантового скачка:

«Не требует особых разъяснений то обстоятельство, что представление, по которому при квантовом переходе энергия преобразуется из одной колебательной формы в другую, значительно более удовлетворительно, чем представление о перескакивающем электроне».

Когда атом поглощал или излучал свет, ψ изменялась совсем как струна, тронутая гитаристом. Серия различных энергетических состояний напоминала о непрерывном ряде музыкальных нот. Шрёдингер поддерживал эту точку зрения до конца жизни. Он сформулировал первое основное дифференциальное уравнение квантовой механики; первое, определяющее самодостаточное условие, не будучи классической подпоркой; первое, которое не было пародией на прошлую и современную физику. Его уравнение — то же, что ньютоновское F=mx а для классической механики. Оно предопределило развитие квантовых систем и само содержало зачатки этого развития. Функция ψ, введенная Шрёдингером, стала для физиков необходимой опорой, которой они пользовались в то время, когда квантовая наука подрывала основы, но пока еще не представляла собой целостной концепции. Шрёдингер нарисовал карту территории и создал путеводитель, позволяющий ее изучать без риска потеряться. Все это наполнило энтузиазмом многих молодых исследователей. Один из них, физик Ганс Бете, очень высоко оценил значение уравнения Шрёдингера, сказав о нем:

«...любая проблема, к которой подходят с новыми инструментами квантовой механики, могла быть успешно решена, и сотни проблем, накопленные в течение десятков лет экспериментов, лежали на расстоянии вытянутой руки в ожидании, что кто-то за них возьмется».

Уравнение Шрёдингера открывало многочисленные феномены, о существовании которых до сих пор никто не подозревал, такие как туннельный эффект, сверхпроводники или сверхтекучесть. Как отметил британский физик Поль Дирак, шесть статей, отправленные Шрёдингером в журнал Annalen der Physik («Анналы физики») в 1926 году, «содержат в себе большую часть физики и всю химию» и теряют силу с появлением релятивистских эффектов или магнетизма (который также является релятивистским эффектом).

Принимая во внимание, что визуализировать ψ из-за ее четырехмерности нельзя, мы предпримем небольшое предприятие, чтобы узнать, не существует ли какого-то наглядного представления решений. Чтобы указать положение какой-либо точки пространства Р, иногда лучше использовать единственное расстояние (луч r) и два угла (Θ и φ), чем длины трех перпендикулярных осей (см. рисунок).

Положение точки Р может быть обозначено тремя последовательными координатами (три расстояния вдоль трех перпендикулярных осей: х, у, z) или длиной ориентированного луча длины г и углами Θ и φ.

Увеличивая или уменьшая г и изменяя его направление углами θ и ф, можно указать положение любой точки пространства с такой же точностью, как и с помощью обычных координат. Эти две системы эквивалентны друг другу, ψ может быть выражена посредством как х, у и z, так и r, Θ и φ:

ψ(x, у, z) = ψ(r, Θ, φ).

Зависимость от расстояния может быть отделена от угловой функции следующим образом:

ψ(r, Θ,φ) = R(r) • (Θ,φ).

R (r) описывает, как ψ изменяется по определенному направлению, заданному углами. На следующем рисунке представлена функция для нескольких значений энергии системы (Е₁, Е₂ и Е₃ формулы Бора).

Как и с колеблющейся струной, число узлов увеличивается с ростом энергии. На основном уровне узлов нет, а затем их количество начинает расти. Эти решения говорят о сферической симметрии, применимой и к атому: при вращении вокруг себя углы не меняются, как если бы мы рассматривали сферу.

Шрёдингер искал уравнение, вписывающееся в рамки теории Эйнштейна, — и он нашел одно такое, однако его решения не соответствовали экспериментальным результатам. Ученый не учел одно из свойств электронов (они ведут себя как крошечные магниты), о существовании которого в то время было еще неизвестно. Релятивистскую версию уравнения в 1928 году сформулировал Поль Дирак.

Почти единогласно публикация уравнения была признана хорошей новостью. Планк поведал Шрёдингеру о том, что прочитал его статьи «с тем же напряжением, с каким любопытный ребенок выслушивает развязку загадки, над которой он долго мучился». Эйнштейн, как всегда, высказался афористично: «Замысел Вашей работы свидетельствует о подлинной гениальности». Но до нового понимания атома оставалось еще 14 месяцев, пока Вернер Гейзенберг не нашел выход из лабиринта, в котором плутали физики. В научных кругах Гёттингена и Копенгагена Гейзенберг имел репутацию настоящего enfant terrible. За четыре месяца до появления волнового уравнения он начал отвергать любой подход к квантовой области, основанный на концепциях, вытекающих из повседневного опыта: нельзя сравнить электроны с мячами или волнами на поверхности пруда, хоть такое сравнение и просится. Столкновение между Гейзенбергом — сторонником дискретности и корпускулярное™ — и Шрёдингером — знаменосцем непрерывности и волнообразности — было неизбежным и стимулировало развитие науки. Язык дифференциальных уравнений был для физиков привычнее, чем рациональный матричный анализ, которым умело пользовался Гейзенберг и радикальная абстрагированность которого вызывала у них головокружение. Но несмотря ни на что Гейзенберг оставил за Шрёдингером право ответить на вопрос, что же представляла собой функция ψ. Студенты-физики в Цюрихе обычно сочиняли насмешливые стишки о своих профессорах. Одно из них звучало так:

Шрёдингер может с греческой пси

Считать день и ночь — Боже, спаси.

Но он и сам, как видно, не знает,

Что эта пси у него означает.

Греческая буква «пси» была началом греческого же корня psykho («душа»). Но что означала эта буква? И здесь в борьбе точек зрения Шрёдингера и Гейзенберга нас ждет неожиданный поворот.