На волне Вселенной. Шрёдингер. Квантовые парадоксы

Зарождающаяся квантовая механика поставила перед классическими теориями множество ограничений, необходимых для воспроизводства результатов экспериментов. Уравнение Шрёдингера положило начало второму акту квантовой трагедии. Ученый долго не мог отказаться от интерпретации своего открытия в духе классической физики, но этот решающий шаг сделали Гейзенберг, Борн и Бор.

С января по июнь 1926 года Шрёдингер, охваченный творческой лихорадкой, написал полдюжины статей, открывая в квантовой механике неожиданные горизонты. Свидетель этой работы вспоминает, что Шрёдингер воткнул в уши затычки, чтобы не отвлекаться на шум и не терять концентрации. В общем, это был настоящий марафон, отмеченный локализованной (но основательной) помощью Германа Вейля. Как заметил Зоммерфельд, по счастливому стечению обстоятельств Шрёдингер подружился в Цюрихе с этим несравненным математиком, и с тех пор они встречались каждый вторник, чтобы обсуждать свои достижения.

Волновая механика порождала новые ожидания внутри научного сообщества. Как в любом хорошем романе, любопытство читателей разгоралось с каждой новой публикацией. Некоторые читали появляющиеся труды с благоговением, другие исписывали поля каждой страницы знаками вопроса, замечаниями и возражениями. Наконец, Шрёдингер решил отложить перо, чтобы отправиться на ряд научных конференций и обсудить там с коллегами новые идеи.

Во время этого путешествия ученый снова посетил места, где началась его университетская карьера, — Штутгарт, Йену и, конечно же, Берлин — столицу немецкой физики. Именно там он встретил Планка, который, словно престарелый Зевс, подумывал о предстоящей пенсии и присматривал себе достойного преемника.

Иногда Планк приходил к Шрёдингеру, чтобы рассказать ему о разных новостях и других ученых — ведь «физика не сводится к исследованию атома, как и наука не сводится к физике, как и жизнь не сводится к одной физике». Следуя этому правилу, Шрёдингер решил на время отвлечься от высшей математики и начал давать частные уроки сестрам Юнгер — Ите и Розите. Эти 14-летние близняшки, знакомые родственников Аннемари, отставали по алгебре. Ита нуждалась в помощи больше своей сестры, поэтому Шрёдингер сконцентрировал внимание на ней. Однако обучение столкнулось с некоторыми сложностями. Нет, дело не в уроках — занятия пошли девушке на пользу: Ита блестяще сдала экзамены. Проблема лежала за пределами педагогики. Если вначале Шрёдингеру хватало предлогов для общения со своей юной подопечной, то в дальнейшем ему пришлось эти предлоги выдумывать, с чем он, надо сказать, гениально справлялся. Он начал оказывать Ите знаки внимания — сначала осторожно, затем открыто, пока она, наконец, не задула 17 свечей на именинном торте.

Однако это небольшое отвлечение не стало преградой для профессиональных обязанностей Шрёдингера. В этом же году, 18 декабря 1926 года, он отправился из Гавра в США, где его ждало утомительное турне: 50 конференций за три месяца. Шрёдингер был крайне раздражен во время всего путешествия. Готовясь к поездке в Нью-Йорк, он не находил для Статуи Свободы других эпитетов, кроме как «гротескная», «полукомичная», «полууродливая». Аннемари тоже слегка нервничала: она опасалась преступников, боялась шума и дорожной пыли. Нарочитое дружелюбие торговцев в магазинах тоже казалось чужим и непривычным. Шрёдингер был не прочь выпить хорошего вина в теплой компании, но в Америке в это время действовал сухой закон. Ученый проехал из конца в конец большую шахматную доску Соединенных Штатов: Нью-Йорк, Мэриленд, Массачусетс, Иллинойс, Айова, Миннесота, Юта и Калифорния. Он не только говорил о волновой механике (иногда уже через силу), но даже нашел время посетить знаменитые туристические места. Побывал он в индейской резервации, Большом Каньоне в Колорадо, на холмах Голливуда. Проезжая через Солт-Лейк-Сити, ученый обратил внимание на традицию многоженства у мормонов. А 10 апреля он отмечал возвращение в Цюрих, откупоривая бутылку хорошего вина.

В следующем месяце в Берлине приступили к поискам преемника Планка на кафедре теоретической физики. Некоторые кандидаты были отклонены по различным причинам: Эйнштейн, например, уже занимал престижный пост в Берлине; талантливый Гейзенберг был слишком молод. Хорошей кандидатурой был Зоммерфельд, но он отказался покидать Мюнхен.

Когда все эти кандидатуры были отклонены, выбор заключался между двумя кандидатами — Шрёдингером и Максом Борном.

Шрёдингер имел определенные преимущества: если Борн отличался довольно сдержанным и даже скрытным характером, то наш венец явно был более яркой личностью. Кроме того, научного веса ему добавляли последние работы по волновой механике. Да и сам Планк был убежден, что Шрёдингер выведет физику из тупика. Словом, выбор был сделан.

Когда он получил это достойное предложение из Берлина, его первой реакцией было написать им: «Я глубоко огорчен, но я не могу вместить всего себя в часы лекций. У меня нет возможности работать по утрам».

Аннемари Бертель о реакции Шрёдингера на предложение из университета Берлина

Услышав о новостях из Берлина, студенты Цюриха организовали факельное шествие. Они подошли к дому Шрёдингера и умоляли его не оставлять их. Этот жест, несомненно, был приятен ученому, но остановить его не мог, потому что решение уже было принято. Однако едва Шрёдингер распаковал чемоданы в столице Пруссии летом 1927 года, как у него возникло предчувствие, что в Берлине он задержится не так уж и надолго.

Впервые открывая окна своей берлинской квартиры в богатом квартале Грюнвальд и вдыхая ароматы бука и сосны, Шрёдингер мог еще раз подумать о своем молниеносном переезде. Прошло семь лет с тех пор, как он покинул Вену ради должности ассистента в маленьком немецком университете. И за эти годы он взобрался на вершину физики.

В берлинских аудиториях Эрвин впечатлял студентов своим даром оратора, но почти не уделял им внимания помимо лекций. При всех своих талантах Шрёдингер был очень плохим наставником, особенно в сравнении с Бором, Борном или Зоммерфельдом. Как и Эйнштейн, наш герой был волком-одиночкой. Производила на окружающих впечатление и его манера одеваться — дерзкая, даже немного развязная, она в действительности скрывала консервативный ум ученого. В феврале 1929 года он стал членом Прусской академии наук. В 42 года он был самым молодым преподавателем университета. В Берлине Шрёдингер подружился с Эйнштейном. Братья по оружию на баррикадах квантовой войны, которая вскоре будет объявлена, они чувствовали еще и творческую солидарность перед лицом берлинского формализма.

Чтобы компенсировать неустойчивость своего брака, который переживал новый трудный период, Эрвин и Аннемари решили вести насыщенную социальную жизнь. Каждую неделю они организовывали у себя дома «вечер венских колбасок». Аннемари оказывала меценатскую помощь самым разным фестивалям, вроде того бала-маскарада, который превратил их квартиру в «Отель ψ ψ*». Город, отличавшийся очень богатой культурой, стал постоянным источником искушения для Шрёдингера и напоминал ему о золотой венской молодости, правда, на смену новаторским пьесам Франца Грильпарцера пришли драмы Бертольта Брехта. У Шрёдингера всегда был выбор между тем, куда пойти: в театр на Марлен Дитрих или Рут Берлау, послушать Лотте Ленья или просто посидеть в кабаре. Увы, на улицах Берлина пышно цвели не только цветы искусства. Эта почва оказалась очень благодатной для терний национал-социализма, который вскоре пустил корни и в садах преподавателей.

Несмотря на то что Шрёдингер не был замечен в политической активности и не участвовал в общественных организациях, он ненавидел нацистов. День 1 апреля 1933 года был объявлен национальным днем бойкота еврейских предпринимателей. Витрины были завешаны устрашающими плакатами, в которых немецким патриотам не советовали делать покупки, а для нечувствительных к пропаганде или даже противостоящих этим советам людей возле дверей всех еврейских магазинчиков, медицинских кабинетов и адвокатских бюро стояли бравые малые в коричневых рубашках. Возмущенный Шрё- дингер даже избил кого-то, кто слишком активно выступал в поддержку этих акций устрашения. Один из его студентов, водружая свастику, которая была обязательной, вытащил преподавателя из этой неразберихи и помог ему избежать допроса с пристрастием. Быстрое развитие национал-социализма привело к тому, что чистка евреев началась не только на улицах, но и в общественных учреждениях. Через неделю после бойкота был принят закон, предусматривающий исключение из администрации любого служащего с сомнительными взглядами или неспособного доказать чистоту своего происхождения. Реакция немецкого университетского сообщества была очень неоднозначной, однако количество возражений можно было посчитать по пальцам. Многие решили спасаться бегством, они оставили свои места, на которые сразу же были назначены другие лица, пусть даже не обладавшие должным профессионализмом, но с достаточной чистотой арийской крови. Возможность повысить социальный статус не упустили молодые карьеристы и старые ученые с потускневшей славой.

Когда у Шрёдингера спросили, почему он покинул Германию, тот ответил: «Я терпеть не могу, когда меня донимают политикой», — ответ стандартный и мало что говорящий. Но становится понятно, что за ним скрывается, если знать, что очень многие профессора в этой же ситуации предпочли терпеть это донимательство. Ни Эрвин, ни Аннемари не были евреями, так что режим им не угрожал. Но все-таки в свои 46 лет Шрёдингер, занимавший один из самых видных университетских постов в мире — трон Берлина, по собственному желанию променял его на неизвестность ссылки.

Однако, несмотря на все эти чрезвычайные политические и личные обстоятельства, жизнь шла своим чередом. Отношения Шрёдингера с молодой Итой привели к ее беременности. Ученый уговаривал подругу сохранить ребенка, однако разводиться не собирался. Ита решила избавиться от плода, и их со Шрёдингером отношения потеряли былую теплоту. Однако ученый обратился за утешением к Хильдегунде, жене его давнего друга, австрийского физика Артура Марха. В течение нескольких месяцев Хильда отвергала все его знаки внимания, но в конце концов и она не устояла перед обаянием Шрёдингера.

Летом 1933 года несколько ученых, решивших покинуть Германию, договорились встретиться. Они хотели последний раз насладиться солнцем, горными пейзажами севера Италии и общением друг с другом. Вейль, жена которого была еврейкой, отправлялся в Институт перспективных исследований Принстона. Еврея Борна ждал Кэмбридж. А Шрёдингер нашел временное пристанище в колледже св. Магдалины в Оксфорде. Друзья выбрали самые красивые и самые уединенные места, чтобы надолго оставить в памяти теплые воспоминания и чтобы ничего не испортило момент. В какой-то момент Эрвин и Хильда покинули компанию и отправились на велосипедную прогулку в окрестности озера Гарда. Здесь все и произошло. Вскоре выяснилось, что Хильда забеременела. Отчасти поэтому одним из условий, которое Шрёдингер поставил перед английской стороной,— это пост ассистента для Артура Марха.

Аннемари, Эрвин и Хильда прибыли в Оксфорд 4 ноября. Через пять дней в скромном отеле, где они остановились, раздался телефонный звонок. Редакция The Times сообщила Аннемари новость, которая только готовилась к публикации: ее муж разделил с Полем Дираком Нобелевскую премию по физике.

С возвращением Шрёдингера из Стокгольма ситуация стала крайне деликатной: и Шрёдингер, и Хильда не скрывали своих отношений от Аннемари и Артура. Аннемари стала второй матерью девочке, которая родилась 30 мая 1934 года и была названа Рут Джорджия Эрика Марх. Только в возрасте 17 лет Рут узнала, кто был ее биологическим отцом. Однажды на пляже Эрвин сказал ей: «Посмотри на свои ноги. Они точь- в-точь как мои».

Шрёдингер почти не прилагал усилий, чтобы уберечь свою репутацию. Скоро в Оксфорде пошли слухи о том, что у него две жены, а ученый и без этих неприятностей чувствовал себя в колледже св. Магдалины не очень уютно. Шрёдингеру не хватало немецкой университетской системы, и он каждый день помнил, что его пост был создан специально для него, для беженца. Такая «жизнь благодаря великодушию других» его подавляла.

(Мужчины) чувствовали смущение в присутствии женщин. <...> Жизнь в колледжах была организована, как в монастыре. Хороший стол, хорошие напитки предназначались для мужчин. Если какой-либо коллега был женат, его жену не принимали.

Впечатление Шрёдингера об обстановке в колледже св. Магдалины в Оксфорде

Часто бывало, что ученому «становилось не по себе, когда его сосед по столу, которому он с присущей ему откровенностью высказывал свое мнение, принимал важный вид, почти как какой-то бывший премьер-министр». Тоска по дому все не проходила, и в это время давний университетский друг Шрёдингера Ганс Тирринг предложил ему место профессора в университете Граца — австрийском городе, расположенном на юго- востоке страны. Шрёдингер почувствовал, что части большого пазла его жизни, который разлетелся после побега из Берлина, наконец, становятся на место. Отношения Артура и Хильды исчерпали себя. По возвращении на родину Шрёдингер найдет себе новую работу, вернет родной язык, свою дочь Рут, а также обретет новую любовь — Ханси Бауэр, дочь генерального директора страхового общества, в котором Аннемари работала после их помолвки в Вене.

Богатый внутренний мир ученого мешал ему ясно видеть происходящее вокруг него. Шрёдингер даже не подозревал, что его страна вскоре будет присоединена к Третьему рейху... И что нацисты не забыли его дерзкого отъезда из Берлина. Через много лет он расценит это решение вернуться домой как «беспрецедентную глупость».

Аллергия на классическую физику

Вернер Гейзенберг благодаря отличному образованию обладал нестандартным мышлением. Его отец был профессором греческого языка в университете Мюнхена, мать — дочерью ректора закрытого института. Гейзенберг любил быть первым во всем, чем занимался, — не важно, о чем шла речь: о теоретической физике, игре в настольный теннис или музицировании на пианино (на этом инструменте он играл с почти профессиональной виртуозностью). В мире науки Гейзенбергу посчастливилось встретить лучших учителей: «Я выучил физику, смешанную с оптимизмом Зоммерфельда и математикой Макса Борна, тогда как Нильс Бор посвятил меня в глубокий философский смысл научных проблем».

Неожиданный приход Гейзенберга в квантовую механику означал появление человека, который мыслил оригинально и без всяких обязательств по отношению к наследию прошлого. Планк был прав, утверждая, что «новая научная правда побеждает не потому, что удается переубедить оппонентов и заставить их прозреть, а больше благодаря тому, что оппоненты в конце концов умирают, уступая место новому поколению, для которого эта правда уже привычна». Для движения вперед нужно было, чтобы пришло новое поколение, способное без внутренних затруднений работать над пробелами, уже заполненными квантовой теорией, и углублять знание. Первая мировая война задержала упомянутую смену поколений. Многие молодые ученые, такие как Шрёдингер, должны были оставить исследования и пойти на фронт. Кто-то из них не вернулся из окопов, и их возможный вклад в науку погиб вместе с ними. В первые послевоенные годы Германия, изгнанная из международного сообщества, страдала от научной изоляции. Однако когда Гейзенберг вошел в зрелый возраст, лед тронулся.

В статье, которая вскоре сделает его знаменитым, Гейзенберг прислушался к словам из «Логико-философского трактата» Людвига Витгенштейна, опубликованного четырьмя годами ранее: «О чем невозможно говорить, о том следует молчать». Он применил этот совет, исследуя мир атомов: «О том, что невозможно измерить, следует умолчать». Объясняя феномены, ученые должны были воздержаться от введения элементов, которые невозможно измерить в лаборатории. Добавление любого элемента ради того, чтобы облегчить понимание, могло завести науку в тупик. Так Гейзенберг положил начало физике для канатоходцев. Прежде всего необходимо придерживаться математических правил. Тот, кто видел дальше других благодаря своему воображению, заканчивал тем, что спотыкался. Исходя из этого было несложно предвидеть результат: не следует применять интуитивное понимание к теории, которую невозможно увидеть. Статья Гейзенберга под названием «О квантовотеоретическом истолковании кинематических и механических соотношений» появилась летом 1925 года — за шесть месяцев до волновой механики Шрёдингера.

Австрийский физик получает Нобелевскую премию из рук короля Швеции Густава V в 1933 году.

Шрёдингер в период своего пребывания в колледже св. Магдалины в Оксфорде (около 1934 года), где он активно участвовал в споре относительно интерпретации квантовой теории.

Эрвин Шрёдингер на конференции, около 1950 года.

Если Шрёдингера охватывало творческое вдохновение, когда он находился на курорте в компании таинственной дамы, то Гейзенбергу меньше повезло с романтическими обстоятельствами: к нему пришло озарение, когда он в полном одиночестве находился на острове Гельголанд в Северном море, в 70 километрах от суши — остров был почти полностью лишен растительности, и ученый здесь надеялся спастись от жестокого приступа сезонной аллергии. «По прибытии на остров я, должно быть, находился в жалком состоянии, — вспоминает он. — Из-за моего опухшего лица дама, которая сдавала мне комнату, заподозрила, что я подрался накануне вечером, и прочитала мне наставления».

Гейзенберг на острове много купался и гулял в дюнах, но также оставлял время для размышлений. Ученый поставил перед собой сложную задачу — «создать теоретическую базу для квантовой механики, которая основывается исключительно на отношениях между величинами в принципе наблюдаемыми». Он откинул несколько заметок, например об орбитах Бора, в которых было написано, что представлениям об орбитах электронов мы обязаны воображению, поскольку до сих пор никто не смог их зарегистрировать с помощью экспериментов и приборов. Гейзенберг решил опираться в поисках математической закономерности только на наблюдаемые величины.

В случае спектров это частоты и интенсивности, и ни к чему бессмысленное отслеживание положения и скоростей электронов. Гейзенберг разработал систему, в которой наблюдаемые объекты были единственным материалом для построения модели. Главная забота ученого состояла в том, чтобы дать наблюдаемому объекту концептуальную основу, свободную от противоречий: «Особенно меня терзали сомнения относительно того, будет ли выполняться закон сохранения энергии. Я знал, что если энергия не сохранится, значит, концепция неверна».

Принципиальные измеримые показатели, относящиеся к динамике частицы (заряд, частота или энергия), характеризовали ее переход между начальным и конечным состоянием, которое ученый представил совокупностью характеристик пит. Затем он подключил к переходам вероятности и выявил правила, их регулирующие. Гейзенберг доказал мастерство, воплощая свои физические предположения с помощью математических моделей, которые он не знал и с которыми импровизировал.

И тут ученый наткнулся на «существенную сложность». В своих расчетах, умножая заряд одной частицы на ее энергию, он получал разные результаты, когда менял местами множитель и множимое. И даже несмотря на это расчеты не приводили к несогласованности. Когда Гейзенберг увидел, что закон сохранения энергии соблюдается, его охватило сильнейшее волнение:

«В первый момент я до глубины души испугался. У меня было ощущение, что я гляжу сквозь поверхность атомных явлений на лежащее глубоко под нею основание поразительной внутренней красоты, и у меня кружилась голова от мысли, что я могу теперь проследить всю полноту математических структур, которые там, в глубине, развернула передо мной природа. Я был так взволнован, что не мог и думать о сне. Тогда я вышел из дома и направился к южной стороне острова. Там я заметил огромную скалу в виде башни, она возвышалась над морем, и я захотел взобраться на нее. Уже на вершине я дождался восхода солнца».

После возвращения с Гельголанда Гейзенберг провел три недели, расшифровывая свои сделанные на скорую руку записи. Не вполне доверяя себе, молодой ученый решил отдать рукопись Максу Борну, чтобы узнать его мнение, а сам в это время отправился на конференции в Лейден и Кэмбридж. За время его отсутствия Борн прочитал статью. Это чтение «воодушевило его так, словно после кругосветного плавания он наконец-то увидел долгожданную землю». К счастью для Гейзенберга, любопытство Борна толкало его присутствовать на множестве лекций, которые читались в Бреслау: астрономия, логика, химия, философия, зоология и... высшая алгебра. Борн увидел в правилах Гейзенберга скрытую структуру, знакомую математикам, — матрицы.

Уж если Макс Борн, который мог похвастаться солидными знаниями математики, должен был перерыть закрома своей памяти, чтобы вспомнить прошлые занятия по алгебре, можно представить эффект, произведенный статьей Гейзенберга на большинство физиков, которые все эти матрицы попросту игнорировали. Математика была абстрактной наукой и на взгляд новичка таила в себе что-то недосказанное, секретное. Даже для последующих физиков, привычных к языку матриц, расчеты Гейзенберга казались неявными, да они и не приводились полностью в статье «О квантовотеоретическом истолковании кинематических и механических соотношений». Стивен Вайнберг, лауреат Нобелевской премии по физике 1979 года, видел в матрицах нечто магическое: «Если то, что сделал Гейзенберг, озадачивает читателя, то вы, читатель, не одиноки. Несколько раз я пытался прочесть статью, написанную Гейзенбергом по возвращении с Гельголанда, и хотя, как мне кажется, я понимаю квантовую механику, мне никогда не удавалось уловить те мотивы, которые побудили Гейзенберга к математическим действиям в его работе».

Борн провел лето 1925 года вместе со своим ассистентом, математиком Паскуалем Иорданом, шлифуя идеи Гейзенберга, используя матрицы. В этой работе участвовал и сам Гейзенберг, сначала с помощью писем, затем — лично, когда вернулся с каникул. Наконец, эти трое опубликовали совместную статью, в которой изложили официальную версию матричной механики. Физикам эта работа известна под названием Dreimannerarbeit («Произведение трех мужчин»). И подход авторов был так же необычен, как и сам мир атомов.

Квантовый язык

Матрицы — это особые математические объекты, которые могут быть представлены в виде таблицы, состоящей из строк и столбцов, с произвольным числом в каждой клетке.

Обычно их пишут в скобках и без клеток:

5 -1 52

7/3 8 -21

0 -19/7 1

С матрицами можно производить различные операции (сложение, вычитание, умножение или деление), которые дают новые матрицы в соответствии с особыми математическими правилами.

Одним из их основных свойств является некоммутативность матричного произведения: А • В =/= В • А. Это означает, что хорошо известный принцип, согласно которому «порядок множителей не влияет на произведение», не выполняется. Чтобы привести более наглядный пример некоммутативности какой-либо операции, рассмотрим вращения в пространстве. Повороты математически могут быть представлены как произведение матриц. Пусть М и S — это две точки на сфере; если мы осуществляем два последовательных оборота вокруг осей, которые проходят через них, результат будет зависеть от направления (см. рисунок).

Объясняя таинственные правила Гейзенберга при помощи старых алгебраических методов, Борн и Йордан сформулировали одно из самых важных уравнений всей квантовой механики:

где Р и Q являются матрицами, представляющими количество движений (Р) и расположение (Q, i — корень от -1, a h — постоянная Планка. I — это единичная матрица, которая играет такую же роль в алгебре матриц, что и число 1 в арифметике.

В первом случае конечное расположение М и S — это М₁ и S₁. Во втором — это М₂ и S₂. Как можно увидеть, они не совпадают. Второй случай переносит точку М₂ на другую сторону сферы.

Уравнение (1) означает, что произведение Р х Q дает матрицу, отличную от Q • Р. Из этого можно сделать вывод: каждое измерение материального объекта (например, электрона) меняет его. Таким образом, если вначале определяют положение, а затем импульс, результат отличается от того, который мы получим при измерении сначала импульса, а затем положения. Это удивительное наблюдение говорит о принципе неопределенности, как мы это увидим дальше. На тех уровнях, где h появляется исчезающе малой величиной, мы имеем дело с феноменами, которые можем наблюдать с помощью наших органов чувств, и можно предположить, что постоянная равна нулю, как в хитрости Больцмана, которую Планк использовал, чтобы сократить спектр излучения внутри печи.

Таким образом, если h → 0, тогда: Р • Q— Q • Р = 0, откуда: P • Q = Q • P.

Произведение вновь становится коммутативным, и мы оказываемся в обычной ситуации. Аналогично, расстояние между дискретными значениями стремится к нулю и доходит до него, что позволяет вернуться к классическому подходу. Уравнение (1) играет такую же роль углового камня матричной механики, как и уравнение Шрёдингера для волновой механики. На самом деле значительные трудности, возникающие с некоммутативностью матриц, означают, что мы работаем с квантовым состоянием.

В титанической работе на более чем 30 страницах Вольфганг Паули рассчитал уровни энергии Е_n стационарных состояний атома водорода (знаменитая формула Бора), применяя идеи Гейзенберга и Борна до того, как Шрёдингер сделал то же самое со своим волновым уравнением. Несмотря на успех, это нововведение было не очень принято в физических кругах.

В марте 1926 года Эйнштейн осторожно заявил: «Концепции Борна и Гейзенберга заставляют нас потерять дар речи, они переворачивают видение любого человека, склонного к теории. Мы, наблюдавшие за этим, ощущаем не столько смирение, сколько некоторое напряжение». Наедине он давал волю сарказму: «Гейзенберг снес огромное квантовое яйцо. Гёттингенцы верят ему, я — нет».

Шрёдингер был согласен с Эйнштейном. Его волновая механика была ответом на захватывающий поворот событий, который принимали квантовые теории, звучавшие в Гёттингене:

«Для меня крайне сложно подойти к проблемам, вроде уже упомянутых, если мы вынуждены по эпистемологическим причинам вычеркнуть видение атомной динамики и работать лишь с абстрактными концепциями, такими как вероятности перехода, уровни энергии и так далее».

Борн считал, что Шрёдингер ищет путь, который позволил бы вернуться к классической физике, дающей ясное понимание событий.

Чтобы определить каждый из элементов матриц, мы прибегаем к тому же методу, который используется в игре в морской бой. Только вместо применения буквы и цифры (A1, G5) мы вводим две цифры: первая обозначает строку, вторая — столбец. Таким образом, в примере, приведенном выше, число -21 находится на позиции 23 (вторая строка, третий столбец), а число 0 — на позиции 31 (третья строка, первый столбец). Когда речь идет о произвольной матрице, ее элементы представляют буквами:

Элементы с двумя одинаковыми индексами составляют диагональ матрицы.

Классическая непрерывность естественно выражается функциями. Квантовая дискретность отлично сочетается с матрицами. Если представить уровни энергии атома водорода (по формуле Бора) с помощью горизонтальных линий:

получим схему, похожую на изображенную на следующем рисунке.

Значения для каждого уровня выражены в электронвольтах — единицах измерения энергии в малых количествах, адаптированных для масштаба атома. Например, 3,75 • 10²⁰ eV необходимо, чтобы заставить работать электрическую лампочку мощностью 60 W в течение одной секунды.

Затем мы записываем данные в клетки матрицы, указывая значения для каждого уровня энергии вдоль диагонали, а возможные переходы — вне диагонали. Таким образом, элемент Е_mn матрицы соответствует скачку Е_n-Е_m. Принимая во внимание, что n и m могут расти до бесконечности, матрица тоже увеличивается до бесконечности (смотри рисунок). Значения других наблюдаемых величин, таких как положение или импульс, также могут быть записаны в бесконечной матрице.

Подобного хотели также Планк и Эйнштейн, правда, они направлялись не назад, а вперед. Именно поэтому Шрёдингер на какое-то время отошел от гёттингенской группы, которая жонглировала матрицами и недоумевала, почему так много физиков хотят скорее завершить этот алгебраический кошмар. Шрёдингер даже не подозревал, что именно один из его научных оппонентов найдет ответ на вопрос, который так долго ему не давался: что такое ψ?

Венский физик Вольфганг Паули (1900-1958) входил в число ученых, которые часто становятся героями анекдотов. Говорили, что в его присутствии чувствительное лабораторное оборудование переставало работать и даже ломалось (знаменитый эффект Паули). Невзирая на авторитет Эйнштейна или Бора, он резко критиковал их; доставалось и другим физикам. Гейзенберг, один из лучших друзей Паули, терпеливо сносил всю его язвительность, потому что Паули не только бранился, но и очень быстро умел определить, что в работе шло не так:

«Я не считаю, сколько раз он обозвал меня идиотом или как-нибудь еще.

Главное — что это мне очень помогло».

Коллеги иногда называли ученого «совестью физики», потому что, встретив откровенно слабую работу, он был безжалостен и не щадил ее автора. Стало знаменитым его высказывание об одном из таких опусов: «Это не только неправильно, это даже не дотягивает до ошибочного!» Разрушительная критика Паули помогала развитию науки, в которой, по мнению ученого, в отличие от религии, не место аргументам, которые нельзя оспорить. Физик любил работать по ночам. В студенческие годы Гейзенберг часто возмущался, видя Паули приходящим в университет после обеда.

Наследие Паули богато и разнообразно. Он способствовал формированию основ квантовой механики и ядерной физики. В1925 году Паули изложил свой знаменитый принцип запрета: в пределах одной квантовой системы два и более тождественных фермиона (протона, электрона, нейтрино и других частиц) не могут одновременно находиться в одном же квантовом состоянии. Принцип Паули заставляет частицы с одним квантовым состоянием сохранять расстояния между собой и объясняет наличие в структуре атома электронных оболочек, а соответственно, и многообразие химических элементов. Этот принцип объясняет, почему материя остается плотной, а не распадается на более мелкие части. В 1930 году физик предположил существование самой таинственной элементарной частицы — нейтрона (нейтрино). Через 26 лет экспериментальные физики наконец смогли открыть эту частицу, причем именно там, где предсказывал Паули.

Кризис абстракций

В 1921 году Макс Борн был назначен руководителем Института физики Гёттингена. Обладая природным дружелюбием, он всегда опекал молодых исследователей и помогал им достичь успеха. Тот факт, что трое его ассистентов получили Нобелевскую премию, не простое совпадение. Несмотря на свою скромность, Борн был одним из самых продуктивных ученых. Одна из его работ сразу стала причиной бурных научных споров и принесла своему автору известность — это была работа, в которой Борн нашел неизвестную ψ.

Как сочетается волновая функция Шрёдингера с корпускулярностью, которую Борн подтверждал опытным путем каждый день? Физики, исследуя микропространство, либо натыкались на какую-то частицу, либо не находили ничего, в том числе им не встречались и признаки плотности протяженного заряда. Как говорил Борн, «стало возможным пересчитать частицы с помощью детектора или счетчика Гейгера», и казалось маловероятным, что в момент измерения рассеянный заряд концентрируется в какой-то одной точке пространства. В действительности ответ на самый большой вопрос волнового уравнения находился не в функции ψ. Вообще говоря, решение уравнения Шрёдингера представляет собой комплексное число, то есть число вида а + bi, где r = sqrt(-1). Но это влечет новую квантовую головоломку: на практике со времен Архимеда (чтобы не заходить еще дальше вглубь веков) даже в самых сложных измерениях комплексные числа не применялись. Расстояние, время, давление или сила тока всегда характеризовались действительными числами — 7, —2/3, sqrt(5) или π. Какое-то время Шрёдингер считал, что сможет обойти этот подводный камень и использовать только действительную часть числа, как в других случаях, когда комплексные числа вводили для облегчения расчетов. Математический смысл операции заключался в том, чтобы выделить из комплексного числа часть без загадочной r. Например, действительная часть из 5 + 3i — это просто-напросто 5.

Но стратегия не принесла ожидаемых результатов, и нужно было придумать что-то другое, чтобы разрешить проблему функции ψ. Каждое мнимое число имеет симметричное, сопряженное число — зеркальное отражение относительно вещественной оси. Это воображаемое отражение записывают, изменяя знак комплексной части. Например, сопряженное число для 2 + Зi — это 2 - Зi. Если числа обозначены буквами, сопряженное число маркируется звездочкой.

Если а = 2 + Зi, тогда а* = 2-Зi.

Перемножая сопряженные числа, всегда получаем действительное число.

Если мнимая часть равна нулю (у = 0), произведение сводится к тому, чтобы просто вычислить квадрат числа.

Физическим смыслом была наделена не функция ψ, а произведение ψ х ψ*, которое также записывают в виде |ψ|². Как и в случае с ψ, это значение является функцией положения и времени.

Освободив электрон от корпускулярных свойств, Шрёдингер сделал эту величину частью заряженного облака, «размазанного» в пространстве. Значения |ψ|² определяли, какая порция электрического заряда находилась в каждой точке в каждый момент времени. Борн решил отказаться от использования подобных конкретных интерпретаций в пользу статистической перспективы. Он увидел в |ψ|² указание на вероятность события: когда физик в лаборатории определяет положение какой-либо частицы, вероятность найти ее в данной точке пропорциональна значению квадрата ψ.

Любопытно, что Шрёдингер в своей четвертой статье по волновой механике, которую он отправил в журнал Annalen der Physik («Анналы физики») в июне 1926 года, всего за несколько дней до Борна делает такой же вывод. Несложно догадаться, почему все же ученый отказался от этой идеи: его уравнение хорошо работало в комфортном окружении непрерывных функций и частных производных, но статистическая интерпретация добавила к ψ абстрактную сложность матричной механики, покончив с любой попыткой визуализации электронов. Когда речь идет о матрицах, вероятностях перехода или статистических функциях, случайный выбор управляет законами природы, что размывает любое изображение атома. Волновая вероятностная функция была совершенно непригодна для того, чтобы следовать за электроном, повторяя классические траектории или описывая последовательность его положений.

В примерах, рассмотренных в предыдущей главе и касающихся радиальной зависимости ψ в стационарных состояниях атома водорода, отношение между R(r) и вероятностью Р(r) найти электрон в радиусе г ядра изображено на рисунке. Максимумы функций Р(r) указывают места, где электрон находится вероятнее всего. Пик первой функции, соответствующий фундаментальному состоянию, находится на расстоянии, равном радиусу, который Бор присвоил самой маленькой кольцевой орбите своей модели. Однако, согласно Борну, существует вероятность — пусть незначительная — найти электрон даже в галактике Андромеды. Иначе говоря, частица может находиться практически в любом месте, но очень велика вероятность, что она располагается в особых местах, на которые указывает |ψ|². Это дополнение означает, что уравнение Шрёдингера совершенно точно объясняет поведение волновой функции.

Слева: Радиальная волновая функция R(r) справа: Радиальное распределение вероятностей Р(r)

В квантовой системе уравнение Шрёдингера рассматривает все возможные состояния и рассчитывает вероятность каждого, точно как шансы игрока в карты. Игрок знает свои шансы выиграть, но он не знает, какой будет следующая карта, выданная крупье. Вероятности продиктованы структурой и элементами системы. Играть 40 картами и восьмью или девятью, двумя джокерами или сразу двумя колодами — все это не одно и то же. Зная структуру и элементы системы, статистика позволяет проанализировать игру и разработать выигрышную стратегию. В жизни нам в этом анализе помогает некоторый уровень знаний об игре. А еще можно открыть все карты и запомнить, где находится каждая из них. Теперь, если мы опять положим карты рубашкой вверх, больше нет необходимости в статистике: мы уже знаем, какой будет следующая карта и где лежит туз. Возможно ли такое в наших знаниях о квантовом мире? Существует ли уровень реальности, на котором можно увидеть все карты природы, тот детерминистический уровень, на котором использование квантовой статистики объясняется лишь нашим частичным незнанием? Большинство физиков считают, что такого уровня не существует. А Эйнштейн был прямо-таки убежден в том, что квантовая механика характеризуется определенной неполнотой.

Безусловно, вероятности с помощью этой функции определялись отлично, но тень от них мешала физику «увидеть» происходящее. Была ли такая неизмеримость само собой разумеющимся построением? Борн считал, что уравнение Шрёдингера соответствовало критериям Гейзенберга: при лабораторном анализе все квантовые измерения распределялись согласно моделям, описанным с помощью волнового уравнения. По мнению Гейзенберга, Борн «соединил математику Шрёдингера с удачной интерпретацией».

Функция |ψ (х, у, 2, t)|² зависит от трех пространственных координат и одной временной, но она неприменима для реального пространства. Чтобы объяснить это, используем аналогию. Если человек находится перед мишенью так близко, что может дотронуться до нее, вероятность того, что он попадет в цель, максимальна (присвоим ей значение 1). При удалении стрелка от мишени вероятность попасть в цель уменьшается в зависимости от расстояния и угла выстрела. Если игрок находится позади мишени или на расстоянии одного километра от нее, вероятность попадания равна 0. Таким образом, следует сформулировать статистическую функцию, которая зависит от пространственных координат, присваивая каждой точке пространства вероятность попасть в цель, находящуюся в промежутке между максимумом и минимумом (1 и 0).

Что происходит, если цель движется? Распределение вероятностей в пространстве также меняется. Координаты, для которых функция равна 1, перемещаются вместе с целью. Вероятности для положений, откуда стрелок имел все шансы проявить меткость, уменьшаются по мере удаления мишени, тогда как вероятности других точек растут (смотри рисунок). Мы можем сделать следующий вывод: значения вероятностей распределяются в пространстве, следуя за мишенью, и меняются с течением времени, однако никакой прибор не может их зафиксировать. Нашей функции соответствуют определенные значения, но она не имеет никакого физического смысла и не применяется в реальном пространстве.

Два положения движущейся мишени и связанные с ними изменения вероятностей в каждой точке.

Функция ψ, словно частный детектив, определяет обычное положение электрона или его последние известные точки пребывания. Однако она не позволяет сделать некоторые прогнозы относительно его поведения в зависимости от изменений в его окружении. Зоны, где вероятнее всего может находиться частица, с течением времени меняются, но это изменение не может быть зарегистрировано приборами. Реальность мира электронов гораздо тоньше привычной нам реальности.

Модели атомов

Новая интерпретация ψ влечет различный расчет вероятностей в зависимости от уровня энергии атома водорода. Проведем такой мысленный эксперимент: возьмем 100 независимых атомов, находящихся в одинаковом энергетическом состоянии, и попытаемся определить положение их электронов. Каждый займет определенную точку пространства с зафиксированными координатами. Затем внесем данные в компьютер и объединим 100 атомов в одну целостную картину. Мы заметим, что в одних зонах атомы располагаются менее, а в других — более концентрированно, образуя, таким образом, облака нерегулярной плотности (рисунок 1).

Количество точек в каждой зоне дает представление о вероятности найти в ней электрон в ходе нового эксперимента. Если бы нужно было предположить, в какой зоне будет находиться электрон 101-го атома, то мы однозначно остановились бы на одном из таких мест концентрации атомов. Это зоны, в которых |ψ|² достигает максимального значения. С уменьшением плотности точек функция тоже уменьшается; там, где точек нет вообще, функция равна нулю. Если бы мы проводили этот опыт с другими 100 атомами водорода с одинаковым уровнем энергии (но этот уровень отличался бы от уровня в предыдущем опыте), облака точек были бы организованы другим образом (рисунок 2).

РИС. 1

РИС. 2

Благодаря ψ и |ψ|² эти данные можно представить в виде чисел. Мы уже знаем, что невозможно визуализировать ψ в трех измерениях; это же справедливо и для |ψ|². Чтобы представить часть информации, содержащейся в этих функциях, графически, обычно изображают облака точек или нечто подобное.

Технически термин «орбитальный» является синонимом волновой функции, но на практике он используется для описания этих представлений. Функции — решения уравнения Шрёдингера математически определяют контуры всех уровней энергии, на которых электрон может находиться в атоме водорода.

Любопытная деталь: существуют различные варианты форм орбиталей, однако их не бесконечное количество, скорее мы имеем дело с повторяющимися шаблонами, которые имеют разные размеры или другие незначительные отличия друг от друга. Все типы форм физики распределили по группам: s-орбитали соответствуют облакам со сферической симметрией; p-орбитали похожи на лопасти пропеллера; d- и f-орбитали состоят из множества лепестков и напоминают цветок. Буквенные обозначения соответствуют терминологии, которую используют спектроскописты: s — от sharp («резкий»), р — от principal («главный»), d — от diffuse («диффузный») и f — от fundamental («фундаментальный») (рисунок 3, стр. 125).

В функциях — решениях ψ также находят отражение квантовые числа n, m и l, как и в модели Зоммерфельда. Каждое из них означает определенный параметр, позволяющий смоделировать орбитали. Число / обозначает модель: l=0 соответствует s-орбитали; l = 1 соответствует р-орбитали; l = 2 — d-орбитали; l = 3 - f-орбитали. Число п дает представление о масштабе, то есть является ли орбиталь для данной модели большей или меньшей. Число т определяет ориентацию орбитали. Меняя эти параметры, в итоге получаем модель s-орбитали, трех р-орбиталей, пяти d-орбиталей и семи f-орбиталей, расположение которых будет зависеть от уровня энергии (рисунки 4 и 5).

По мере роста п увеличивается и энергия, и в каждой модели мы наблюдаем изменения, которые напоминают манипуляции продавца воздушных шариков, когда он скручивает свои шарики-колбаски, превращая их в маленькую собачку. Эти перегибы играют роль узлов на колеблющейся струне, и с ростом энергии их количество также увеличивается. В структуре атомов эти узлы обозначают зоны, в которых вероятность найти электрон равна нулю. Некоторые из этих частиц построены на основании радиальных функций, рассмотренных в предыдущей главе, и функции радиального распределения вероятностей Р(r) в рассматриваемой площади. Если бы мы решили рассмотреть различные орбитали во время описанного мысленного эксперимента со 100 атомами, то смогли бы увидеть узлы, совершив поперечное сечение облака распределения атомов: узлы соответствовали бы пустым зонам, свободным от точек (рисунок 6, стр. 126).

За исключением самых простых случаев (таких как атом водорода) листа бумаги и карандаша недостаточно для поиска решений уравнения Шрёдингера, поскольку это выражения, сформулированные с помощью известных функций, в которых участвуют различные переменные и постоянные показатели. Однако когда уравнение уже сформулировано, можно пойти путем приближений. Самое простое предположение, возможно, заключается в том, что атом, состоящий, например, из семи электронов, мы могли бы представить, накладывая друг на друга (словно слои в фотошопе) семь отдельных атомов водорода, причем состояние всех семи электронов отличалось бы.

РИС.З

Орбиталь s Орбиталь р Орбиталь d Орбиталь f

РИС. 4

Три р-орбитали при n = 2 Три р-орбитали при n- 3

РИС. 5

Пять d-орбиталей при n = 3 Семь f-орбиталей при n = 4

РИС. 6

Облако и Р(r) для s-орбитали, n = 1 (0 узлов)

Облако и Р(r) для s-орбитали, n = 2 (1 узел)

Облако и Р(r) для р-орбитали, n = 2 (1 узел)

Облако и Р(r) для р-орбитали, n = 3 (2 узла)

Облако и Р(r) для р-орбитали, n = 4 (3 узла)

Таким образом, основываясь на строении атома водорода, мы можем предполагать, как устроены более сложные атомы. Чтобы сделать последний штрих, нам не хватает главного ингредиента — им является принцип запрета Паули. Применительно к атому принцип означает, что на одной орбитали могут находиться максимум два электрона. Благодаря этому ограничению заряды не концентрируются на уровне минимальной энергии, в отличие, например, от толпы зрителей на концерте, которая стремится собраться перед сценой. В соответствии с принципом Паули заряды распределяются по энергетическим ступенькам, формируя таким образом структуру атома. Каждая s-орбиталь может принять два электрона, три р-орбитали могут принять шесть электронов, пять d-орбиталей — десять электронов и семь f-орбиталей — 14 электронов. По мере возрастания энергии количество орбиталей увеличивается, и атом становится похож на матрешку или луковицу. Химические свойства вещества определяются формой и содержимым орбиталей, расположенных ближе к внешнему краю. Конечно, описывая атом таким образом, мы несколько упрощаем: в реальности волновая функция атома из семи электронов является результатом взаимодействия частиц, а не механического наслоения семи независимых электронов.

Зимним утром 1869 года русский химик Дмитрий Менделеев (1834-1907) записал на маленьких кусочках картона названия 63 элементов, известных в то время, а также коротко перечислил их главные характеристики. Оставляя некоторые места пустыми, он уложил эти кусочки картона в ряды и столбцы, и это расположение в общих чертах иллюстрировало периодическое повторение химических свойств элементов. При этом Менделеев эмпирическим путем смог подтвердить справедливость орбитальной модели. Каждая клетка таблицы содержит один элемент. Таблица читается слева направо и сверху вниз. Чтобы перейти от одной клетки к другой (от одного элемента к другому), достаточно прибавить к исходному элементу один протон и один электрон. Положительный заряд концентрируется в ядре, а отрицательный находится на орбиталях. Отправная точка — это водород, состоящий из одного электрона и одного протона; следующий элемент — это гелий, с двумя электронами и двумя протонами, и так далее. Нейтроны живут по своим собственным правилам. Электроны элементов одного столбца распределены на орбиталях, ближних к внешнему краю, одинаково.

Периодическая таблица и орбитали.

Например, каждый элемент столбца 7А имеет пять электронов, распределенных по трем р-орбиталям, которые расположены ближе к внешнему краю. Речь идет о галогенах: фторе, хлоре, броме, йоде... Все эти элементы, несмотря на свои различия, имеют общие характеристики. Например, они очень летучи и легко могут отнять электрон у других элементов, чтобы пополнить свою р-орбиталь, на которой всегда находится одинокий электрон.

Модель наложения прозрачных контуров орбиталей можно расширить, добавив к ней другие атомы и соединив их с молекулами. Наложение атомных орбиталей позволяет увидеть молекулярные орбитали. В более точных вариантах приближения молекулярные орбитали являются результатом взаимодействия между всеми зарядами, а не обычного наложения независимых атомов.

Шрёдингер против Борна

Во время конференции, которая была организована до вручения Нобелевской премии и длилась несколько дней, Борн узнал, что большинство физиков приняли представленную им статистическую интерпретацию, но убедила она далеко не всех.

«Планк до самой смерти оставался на стороне скептиков, хотя Эйнштейн, де Бройль и Шрёдингер не перестали настаивать на сомнительных моментах квантовой механики, желая возвращения к классическим ньютоновским концепциям и предлагая для этого решения, не опровергающие экспериментальные результаты».

В ходе своей дискуссии с Бором и Гейзенбергом Эйнштейн писал Бору свое знаменитое: «Квантовая механика — теория, внушающая большое уважение. Но внутренний голос говорит мне, что это еще не то, что нужно. Эта теория дает много, но едва ли она подвела нас ближе к тайне Старика (Бога. — Примеч. ред.). Во всяком случае, я убежден, что тот не играет в кости». Этот намек на статистическую интерпретацию поразил Борна: «Мнение Эйнштейна о квантовой механике было словно нож гильотины». Более молодое поколение физиков не испытывало подобной озабоченности. В своей частной переписке Гейзенберг подшучивал над Эйнштейном, де Бройлем и Шрёдингером, называя их рыцарями постоянства.

Бог знает, что я совсем не люблю статистическую теорию.

На самом деле я ее возненавидел с того момента, как наш дорогой друг Макс Борн представил ее свету.

Шрёдингер о работах Макса Борна

В результате сформировались две фракции. С одной стороны, коалиция Гёттингена и Института Бора восхваляла каноническую версию квантовой механики, так называемую копенгагенскую интерпретацию. С другой — Эйнштейн и Шрёдингер и прочие радикалы прилагали все усилия, чтобы подорвать ее основы. Это была не личная вражда, а всего лишь поиск научной истины, во время которого противоборствующие лагеря то и дело обменивались перебежчиками. Шрёдингер никогда не принимал метод, которым Борн изменил его волновую функцию, и к концу жизни, наблюдая почти полную победу статистической интерпретации, упрекнул того в письме, полном юмора, сердечности и шутливого негодования:

«Ты, Максик, знаешь, как я тебя люблю, и здесь ничего нельзя изменить. Но да будет мне позволено устроить тебе хорошую головомойку. Ты так неделикатно кричишь о якобы универсальной копенгагенской интерпретации на всех научных углах и без всякой скромности утверждаешь это перед галеркой любителей включительно, и это граничит с нахальством. Ты действительно думаешь, что однажды человечество склонится перед этой чушью?»

Шрёдингер против Гейзенберга и Бора

В мае 1926 года невозмутимый Шрёдингер без остановок шел к своей цели. Он был убежден, что значение его работ утрачено, а претензии Гейзенберга привели к превращению квантовой механики в абстрактную территорию, и это беспокоило физика:

«Учитывая радикальные различия между отправными точками и концепциями квантовой механики Гейзенберга и <...> волновой механикой <...>, крайне странно, что известные факты этих двух теорий, в которых и состоит главное отличие от старой квантовой теории, будут объединены».

Шрёдингер использовал свои потрясающие способности к анализу и математическую интуицию, чтобы сравнить свои работы и работы Гейзенберга. Необходимо было решить парадокс: почему абстрактная и волновая теория достигали одинаковых результатов в исследовании одних и тех же проблем? Ответ был неожиданным: эти теории оказались идентичными с математической точки зрения. Так же как положение точки в пространстве может быть описано тремя декартовыми координатами (х, у, z) или при помощи радиуса г и углов (Θ, ф), матрицы и дифференциальные уравнения представляли собой два разных инструмента, игравших одинаковую роль. Так же как дом можно описать при помощи картинки или текста, эти теории передавали одно и то же сообщение двумя разными способами. И так же, как следует сравнивать слова, описывающие размеры комнаты или материала, из которого сделана мебель, с изображением на картинке, нужно было сравнить выражения анализа с алгебраическими. Оба метода содержали преимущества и недостатки и имели разную эффективность при передаче некоторых нюансов. Но в любом случае обе теории описывали один и тот же дом. И матрицы, и дифференциальные уравнения на разных языках описывали одно и то же.

Что означает это соответствие с технической точки зрения? Шрёдингер знал, что для некоторых ученых математический эквивалент «рифмуется» с физическим, но сам этого мнения не придерживался. Отшельники от математики, ведущие уединенную жизнь, были более склонны к абстракциям, чем ученые, открытые миру и приверженные физическому подходу. В этом плане волновая механика представляла собой идеальный компромисс. Для того чтобы теория могла развиваться, необходима система, способная как проектировать интуитивные модели, так и приближать их к реальности.

Мой молодой друг, вам еще многое предстоит выучить в физике... Поэтому устраивайтесь поудобней.

Замечание Вильгельма Вина, адресованное Гейзенбергу во время семинара в Мюнхене в 1926 году

Однако, несмотря на такое сближение волновой и матричной механики, красноречивый Шрёдингер критически отзывался о детище Гейзенберга: «Моя теория вдохновлена работой Луи де Бройля и некоторыми замечаниями Альберта Эйнштейна. <...> Я не вижу в ней никакой связи с представлениями Гейзенберга. Конечно, я знал о его теории, однако меня отпугивали, если не сказать отталкивали, казавшиеся мне очень трудными методы трансцендентной алгебры и отсутствие всякой наглядности». Это замечание оскорбило Гейзенберга, однако он промолчал и лишь наедине с Паули дал выход своим чувствам: «Чем больше я размышляю о физической части теории Шрёдингера, тем ужаснее она мне кажется». Из справедливости как матричного, так и аналитического подхода следовало, что математические основы квантовой механики были сформулированы. Однако науку ожидало решающее сражение относительно окончательной интерпретации теории.

Именно в Мюнхене 21 июля 1926 года состоялась первая дискуссия: Шрёдингер принял приглашение Зоммерфельда и Вильяма Вина и приехал, чтобы провести два семинара по своей новой волновой механике. Гейзенберг в это время находился у родителей в этом же городе и специально пришел послушать доклад коллеги. Когда начались прения, он заметил, что вследствие толкования Шрёдингера совершенно невозможно объяснить закон излучения Планка. Шрёдингер не нашел, что ответить, однако тут вмешался Вильгельм Вин, также присутствовавший на прениях. Он довольно резко заявил, что теперь с квантовым скачком покончено и что упомянутые Гейзенбергом трудности будут преодолены в ближайшем будущем.

Гейзенберг кипел от возмущения. Он попробовал продолжить спор, но Вин, который испытывал к молодому ученому некоторую неприязнь, едва не попросил его покинуть аудиторию. Гейзенберга оскорбила не только эта грубость, позже он говорил: «Шрёдингер просто выбрасывает за борт все квантово-теоретическое, то есть фотоэлектронный эффект, ионизационные толчки Франка, опыты Штерна, Герлаха и так далее. Не очень сложно построить теорию таким способом». Немного успокоившись, в этот же вечер Вернер встретился со своими наставниками, Борном и Бором, и обсудил ситуацию. А чуть позже Шрёдингер получил от Бора приглашение посетить в октябре Копенгаген, чтобы спокойно обсудить интерпретацию квантовой теории. Гейзенберг так вспоминал об этой встрече:

«Дискуссия между Бором и Шрёдингером началась прямо на вокзале в Копенгагене и продолжалась с раннего утра до поздней ночи каждый день. Шрёдингер остановился в доме Бора, так что никакие посторонние обстоятельства не мешали их разговорам. И хотя Бор в общении с людьми был всегда предупредителен и любезен, теперь он казался мне чуть ли не фанатиком, не идущим ни на какие уступки своему собеседнику и не прощающим ему малейшей неточности».

Непреклонный датчанин отметал все аргументы, сразу замечал уязвимые места в возражениях оппонента. Через эту экзекуцию прошел каждый довод Шрёдингера, а позднее — каждое наблюдение Эйнштейна. Однажды, почти в отчаянии, Шрёдингер воскликнул: «Если мы собираемся сохранить эти проклятые квантовые скачки, то я вообще сожалею, что имел дело с атомной теорией!» Словом, Бор все эти дни, не снимая с лица любезной улыбки, безжалостно терзал гостя:

«Через несколько дней Шрёдингер заболел — вероятно, вследствие чрезмерного перенапряжения. Он слег с простудой. Госпожа Бор ухаживала за ним, приносила ему чай с пирожными, а Нильс Бор сидел на краешке кровати и внушал Шрёдингеру: «Но вы же должны признать, что...»

При всем проявленном рвении Бор признавал вклад, сделанный Шрёдингером: «Ваша волновая механика принесла с собой такую математическую ясность и простоту, что явилась гигантским шагом вперед». Инструмент, предложенный Шрёдингером, также был бесценным, но он не соответствовал прилагаемой инструкции. Даже Гейзенберг оценил волновое уравнение по достоинству. Победив лихорадку и вернувшись из Копенгагена живым и здоровым, Шрёдингер надолго запомнил дар убеждения, присущий Бору. Он даже признался Вину: «Довольно скоро наступает момент, когда ты уже не понимаешь, должен ты принять позицию атакующего или сам атаковать ее». Словом, поездка в Копенгаген стала для Шрёдингера «действительно незабываемым опытом».

Гейзенберг все это время находился на втором плане. Поприсутствовав на поединке Бора и Шрёдингера, он перевернул страницу квантовой теории — эту главу он считал завершенной, а споры относительно нее — бесцельными.

Неопределенность

Осознавая последствия своей интерпретации волновой функции, Макс Борн принял рискованное решение: «Я готов отказаться от детерминизма ради атомного плана».

В 1927 году Гейзенберг предоставляет для такого отказа весомые аргументы и четко определяет границы детерминизма относительно квантовой физики. Своими мыслями он делится с Паули, написав тому письмо на десять с лишним страниц, которое впоследствии послужит основой для статьи «О наглядном содержании квантовотеоретической кинематики и механики». В работе была освещена статистическая интерпретация функции |ψ|², а ее публикация в марте этого же года ознаменовала конец эпохи классической механики. Кроме того, работа вводила в физику новое уравнение, которое станет таким же известным, как уравнение Шрёдингера.

Динамика Ньютона основывалась на следующих постулатах: расположение и скорость тела в любой момент могут быть определены с произвольной точностью. Теоретически траектория определяется решением дифференциального уравнения, а на практике достаточно определить время и положение объекта. Но для этого необходимо проследить за его движением. Это условие не создает трудностей, когда речь идет о мяче или космическом корабле. Но как увидеть электрон? Для начала его необходимо осветить. Однако осветить частицу — не то же самое, что осветить мяч. В случае с мячом существует значительное отличие в масштабах между размером структуры, которую рассматривают (мяч), и тем, что его освещает (фотон). А элементарная частица и фотон — это два квантовых объекта, которые вступают между собой во взаимодействие.

Мы можем проследить за траекторией мяча на теннисном корте. При этом свет воздействует на электроны, в изобилии встречающиеся в пространстве (затем эти электроны возвращаются на уровни с более низкой энергией и излучают фотоны, которые улавливаются клетками нашей сетчатки), но не смещает мяч с его траектории. Как мы видели в главе 1, Эйнштейн пришел к выводу, что фотоны должны себя вести как частицы. Затем Комптон доказал в лаборатории, что светящиеся кванты заставляют электроны изменить траекторию, словно при столкновении бильярдных шаров. Таким образом, простая попытка осветить частицу вызывает ее смещение относительно положения, которое мы хотели зафиксировать. Можно ли узнать, где находилась частица до того, как ее траектория была изменена? Нет. Единственный способ узнать положение частицы — это зафиксировать его, при этом сам факт наблюдения влечет изменение этого положения. Представим, что теннисный мяч, получив импульс от ракетки, меняет свою траекторию при каждом столкновении с фотоном. В этом случае было бы практически невозможно воспроизвести подобную хаотичную траекторию. Именно это и происходит на уровне атомов.

Можно попробовать уменьшить энергию света, чтобы сократить воздействие на электрон и избежать значительного изменения его траектории. Согласно формуле Планка (Е = h х v), уменьшение энергии света происходит путем снижения частоты или удлинения электромагнитных волн, что одно и то же. Но эта стратегия не срабатывает. Четкость изображения (оно формируется с помощью электромагнитных волн) зависит от длины волны, которая с ним взаимодействует. Чем сильнее волны удлиняются, тем более размытой становится картинка, которую они дают. Это какой-то заговор! Мы способны или определить траекторию электрона, но при этом сам факт наблюдения эту траекторию нарушает, или сделать так, чтобы энергия не влияла на траекторию частицы, но при этом мы не сможем частицу рассмотреть.

Вернемся к примеру с теннисным кортом. Предположим, что у нас есть очень простой прибор, позволяющий менять длину волны света, с которой мы хотели бы смотреть соревнования. В принципе, на короткий период мы можем обеспечить достаточную четкость изображения, но фотоны толкают мяч с такой силой, что световые частицы, проходящие перед нашими глазами, не могут зафиксировать его положение. Будем увеличивать длину световой волны, снижая таким образом их влияние на мяч. Изображение корта станет более размытым. В тот момент, когда начинает вырисовываться траектория мяча, мы превысим допустимое разрешение и снова окажемся погруженными в квантовый туман. Как видите, существует степень неопределенности, присущая наблюдению, которую нельзя уменьшить. А все потому, что свет (измеряющий субъект) и электрон (измеряемый объект) являются квантовыми сущностями, которые воздействуют друг на друга.

Возьмем отношение Δq · Δρ => h/^4π, которое можно переформулировать, используя Δν, при этом р=m • у:

Неравенство показывает, что граница неопределенности для q и v зависит от отношения между постоянной Планка и массой т. Более того, для макроскопических объектов h будет незначительной, следовательно, Δq и Δρ тоже могут иметь малые значения. Таким образом, создается впечатление, что мы можем определить результат с желаемой точностью. Но с того момента как масса и размер приближаются к постоянной Планка, неопределенности начинают выходить на первый план. Чтобы доказать это, применим отношения неопределенности к трем различным объектам.

1. Автомобиль. Примем его массу примерно равной одной тонне:

Предположим, что автомобиль перемещается со скоростью 100 км/час (около 30 м/сек):

Разница между размером машины, который измеряется в метрах, и неопределенностью положения равна единице с 39 нулями перед ней. Невообразимо мало.

2. Пчела массой ОД грамма:

Это насекомое может перемещаться с максимальной скоростью 7 м/с:

Для пчелы длиной несколько сантиметров масштаб разницы между неопределенностью ее положения и размером — 10~³⁰. Это очень мало.

3. Электрон массой около 9,11 х 10^-31 кг:

Присвоим электрону среднюю скорость 10 ⁶ м/сек, или примерно 1% от скорости света:

Радиус орбиты электрона водорода в фундаментальном состоянии (модель Бора), как правило, является величиной, лежащей в основе модели атома. Как мы уже увидели, радиус соответствует волновой функции Шрёдингера для той же энергии. Его значение r = 5,29 х 10^-11 метров. Таким образом, в случае с электроном, неопределенность его положения — одного порядка с размером места, в котором он находится: невозможно его отследить.

Мы рассмотрели конкретный случай, но подобная неопределенность может наблюдаться в любом экспериментальном контексте. Физики обозначают степень неопределенности измерения с помощью символа Δ. Таким образом, Δx = 0 означает, что пространственная координатах частицы может иметь лишь одно значение, то есть положение частицы четко зафиксировано. Однако Δx = 5 означает, что частица может находиться где угодно в радиусе 5 метров. Гейзенберг не был удовлетворен изучением неопределенности и определил ее границы при помощи постоянной Планка:

где q означает положение частицы, а р — ее импульс. Речь идет о принципе неопределенности, в котором объединены две различные физики, и наше знание об одной обнаруживается через информированность о другой.

Помимо импульса и положения, Гейзенберг присвоил свое соотношение неопределенности другим парам сопряженных величин, произведение которых измеряется в тех же единицах, что и действие, то есть, подобно постоянной Планка, определяется как произведение энергии на время:

М, L и Т— фундаментальные физические величины (масса, длина и время). Считается, что произведение времени на энергию выражается в тех же единицах, что и произведение длины на импульс, а также постоянная Планка:

Гейзенберг сделал следующий вывод: «Чем точнее определено положение, тем меньше мы можем сказать в этот момент об импульсе, и наоборот». Предложенное им уравнение позволяет играть с этими нечеткостями. Как только какое-либо значение присваивается Δq, Δр вынуждено соответствовать условию:

Когда Δq стремится к нулю, знаменатель очень быстро уменьшается, что устремляет Δр в бесконечность. Знать точное положение — игнорировать все, что касается импульса. На макроскопическом уровне, где h невозможно обнаружить, уравнение вводит нас в привычную ситуацию, когда q и р определены одновременно с желаемой точностью:

h → 0; Δq • Δp => 0; сравнимо с Δq - Δр - 0.

Принцип неопределенности Гейзенберга работает как качели, на которых то взмывают вверх, то опускаются «ниже уровня радара» волновые и корпускулярные свойства квантовых сущностей. Чем сильнее Aq уменьшается, тем лучше мы можем наблюдать частицы. Напротив, уменьшение р отправляет нас к волне, положение которой не может быть определено, но ее скорость v — четко определена (см. рисунок). Таким образом, каждый из элементов квантового мира меняется исходя из того, откуда на него устремлен взгляд наблюдателя.

Некоторые физики решили, что принцип неопределенности ставит под сомнение их квалификацию экспериментаторов, и принялись ставить опыты, определяющие положение и импульс, нарушая при этом установленные ограничения. Выдвинул свои аргументы против такого субъективного аспекта квантовой теории и Эйнштейн.

Однако все возражения потерпели неудачу.

Чтобы вычислить траекторию объекта, необходимо знать всего лишь две его характеристики: положение в определенный момент и импульс, указывающий направление, в котором объект перемещается. Отношения неопределенностей не связаны с траекториями и, таким образом, помогают воплотить давнюю мечту Гейзенберга, которая появилась у него еще на Гельголанде. Тогда физик предупреждал: «Я все силы отдам уничтожению понятия орбиты». Такая решимость пугала Эйнштейна, общая теория относительности которого основывалась на расчете траекторий в пространстве, в четырех измерениях. Но идеи Гейзенберга угрожали не только траекториям. В своей статье от 1927 года ученый пришел к выводу: «На самом деле, однако, в жесткой формулировке закона причинности, гласящей: «Если мы точно знаем настоящее, мы можем вычислить будущее», ложной является не вторая часть, а предпосылка. Мы принципиально не можем узнать настоящее во всех деталях». Это незнание подрывает нашу способность к предвидению. Разрыв связи между настоящим и ближайшим будущем, вычисленным благодаря знанию и положения, и импульса, повлек крах классической физики. Конечно, эта невозможность существовала в науке и ранее. Она ощущалась во всех теориях, касавшихся как атомов и молекул, так и определения положения и импульса мириада классических объектов. Однако этот провал закона причинности связан с человеческим несовершенством, а не с действием объективного природного механизма.

Отношения неопределенностей кроются в самых дальних уголках атомной физики и немного напоминают алеф Борхеса: они одновременно и отражение мира, и его центр, они облегчают интуитивное понимание самых разных ситуаций. Если электрон сталкивается с ядром, его положение известно, однако в связи с этим он приобретает огромное ускорение и, следовательно, тут же отдаляется от ядра. Ограничения на скорость накладывает только теория относительности. Если средняя скорость равна 1% скорости света, то отношения Гейзенберга предписывают электрону пространственную неопределенность, равную размеру детской игровой площадки. Именно таким образом неопределенность заботится о равновесии материи.