Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Основы алгоритмов

Как точно определить понятие алгоритма, или машины Тьюринга, или универсальной машины Тьюринга? Почему эти понятия играют одну из главных ролей в современном представлении о «мыслящем устройстве»? Есть ли какие-нибудь абсолютные ограничения на принципиальные возможности использования алгоритмов? Для того чтобы ответить на эти вопросы, нам придется разобраться в деталях, что представляют собой алгоритм и машины Тьюринга.

В дальнейших рассуждениях я буду иногда прибегать к математическим выражениям. Вероятно, некоторых читателей эти выкладки напугают и даже заставят отложить книгу в сторону. Если вы как раз такой читатель, то я прошу вашего снисхождения и рекомендую вам последовать совету, данному мной в Обращении к читателю вначале книги! Доказательства, которые здесь встретятся, не потребуют владения математическим аппаратом, выходящим за пределы школьного курса, но чтобы в них детально разобраться, все же понадобятся интеллектуальные усилия. На самом деле, большинство рассуждений изложено весьма подробно, и если внимательно им следовать, можно добиться глубокого понимания. Однако, даже беглый просмотр доказательств позволяет ухватить основную идею. С другой стороны, если вы являетесь экспертом в этой области, то я опять вынужден принести свои извинения. Но я осмелюсь предположить, что даже в этом случае вам будет небесполезно ознакомиться с моими рассуждениями, в которых почти наверняка найдется что-то интересное и для вас.

Слово «алгоритм» происходит от имени персидского математика IX века Абу Джафара Мухаммеда ибн Мусы аль-Хорезми, написавшего около 825 года н. э. руководство по математике «Kitab al-jabr wa’l-muqa-bala», которое оказало значительное влияние на математическую мысль того времени. Современное написание «алгоритм», пришедшее на смену более раннему и точному «алгоризм», своим происхождением обязано, скорее всего, ассоциации со словом «арифметика» [39]. (Примечательно, что и слово «алгебра» происходит от арабского al-jabr , фигурирующего в названии вышеупомянутой книги.)

Примеры алгоритмов были, однако, известны задолго до появления книги аль-Хорезми. Один из наиболее известных — алгоритм Евклида — процедура отыскания наибольшего общего делителя двух чисел, восходит к античности (примерно 300 лет до н. э.). Давайте посмотрим, как он работает. Возьмем для определенности два числа, скажем, 1365 и 3654. Наибольшим общим делителем двух чисел называется самое большое натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел без остатка. Алгоритм Евклида состоит в следующем. Мы берем одно из этих чисел, делим его на другое и вычисляем остаток: так как 1365 входит дважды в 3654, в остатке получается 3654 ―

2 х 1365 = 924.

Далее мы заменяем наши два исходные числа делителем ( 1365) и полученным остатком ( 924), соответственно, производим с этой парой ту же самую операцию и получаем новый остаток:

1365 — 924 = 441.

Для новой пары чисел — а именно, 924 и 441, — получаем остаток 42. Эту процедуру надо повторять до тех пор, пока очередная пара чисел не поделится нацело. Выпишем эту последовательность:

3654:1365

дает в остатке 924

1365:924

дает в остатке 441

924:421

дает в остатке 42

441:42

дает в остатке 21

42:21

дает в остатке 0

Последнее число, на которое мы делим, а именно 21, и есть искомый наибольший общий делитель.

Алгоритм Евклида является систематической процедурой , которая позволяет найти этот делитель. Мы только что применили эту процедуру к двум конкретным числам, но она работает и в самом общем случае с произвольными числами. Для очень больших чисел эта процедура может занять много времени, и будет выполняться тем дольше, чем больше сами числа. Но в каждом конкретном случае выполнение процедуры в конце концов заканчивается, приводя за конечное число шагов к вполне определенному ответу. На каждом этапе мы точно представляем себе действие, которое должно быть выполнено, и точно знаем, когда получен окончательный результат. Более того, всю процедуру можно описать конечным числом терминов, несмотря на то, что она может применяться к любым, сколь угодно большим натуральным числам. («Натуральными числами» называются неотрицательные [40]целые числа 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11….) На самом деле нетрудно изобразить (конечную) блок-схему, описывающую логическую последовательность операций алгоритма Евклида (рис. 2.1).

Нужно заметить, что на схеме эта процедура не до конца разбита на простейшие составляющие, поскольку мы неявным образом предположили, что нам уже «известно», как выполнять необходимую базовую операцию получения остатка от деления двух произвольных натуральных чисел А и В. Эта операция, в свою очередь, также алгоритмична и выполняется при помощи хорошо знакомой нам со школы процедуры деления. Эта процедура, на самом деле, сложнее, чем все остальные части алгоритма Евклида, но и она может быть представлена в виде блок-схемы. Основное затруднение здесь возникает из-за использования привычной «десятичной» записи натуральных чисел, что вынуждает нас выписывать все таблицы умножения, учитывать перенос и т. п. Если бы для представления некоторого числа n мы использовали последовательность из n каких-нибудь одинаковых знаков, например, пяти звездочек (*****) для обозначения пятерки, то определение остатка свелось бы к совершенно элементарной алгоритмической операции. Для того чтобы получить остаток от деления А на В, достаточно просто убирать из записи числа А последовательность знаков, представляющих В, до тех пор, пока на некотором этапе оставшееся число знаков в записи А не станет недостаточным для выполнения следующего шага. Эта последовательность знаков и даст требуемый ответ. Например, желая получить остаток от деления 17 на 5, мы просто будем последовательно удалять ***** из *****************, как это показано ниже:

*****************

************

*******

* *,

и в результате получим, очевидно, 2, так как следующее удаление уже станет невозможно. Блок-схема изложенного выше процесса нахождения остатка от деления путем последовательных вычитаний приведена на рис. 2.2.

Чтобы придать блок-схеме алгоритма Евклида завершенный вид, мы должны подставить схему отыскания остатка в соответствующий блок справа в центре предыдущей схемы. Такая подстановка одного алгоритма в другой — распространенная в компьютерном программировании процедура. Алгоритм вычисления остатка, изображенный на рис. 2.2, служит примером подпрограммы, иначе говоря, это алгоритм (как правило, уже известный), вызываемый и используемый по мере надобности в ходе выполнения основного алгоритма.

Безусловно, обозначение числа n просто набором из n звездочек чрезвычайно неэффективно, когда речь заходит о больших числах. Именно поэтому обычно используют более компактную запись, например, стандартную (десятичную) систему. Однако оставим в стороне эффективность операций и обозначений и уделим все внимание вопросу о том, какие операции в принципе могут выполняться алгоритмически. Действие, которое поддается алгоритмизации в одной записи, сохранит это свойство и в любой другой. Эти два случая различаются только техническими нюансами и сложностью выполнения алгоритма.

Алгоритм Евклида — это лишь одна из многих, часто классических, алгоритмических процедур, встречающихся в математике повсеместно. Но, вероятно, не лишним будет отметить, что, несмотря на значительный исторический возраст отдельных алгоритмов, точная формулировка универсального определения алгоритма появилась только в двадцатом веке. В 1930-х годах было предложено несколько альтернативных формулировок этого понятия, из которых наиболее емкая и убедительная — и, к тому же, наиболее значимая в историческом плане — опирается на понятие машины Тьюринга. Поэтому нам будет полезно рассмотреть некоторые свойства этих «машин».

Прежде всего следует помнить, что «машина» Тьюринга принадлежит области «абстрактной математики» и ни в коем случае не является физическим объектом. Это понятие было введено в 1935–1936 годах английским математиком и кибернетиком Аланом Тьюрингом, внесшим огромный новаторский вклад в развитие компьютерной науки (Тьюринг [1937]). Тьюринг рассматривал задачу весьма общего характера (известную как проблема алгоритмической разрешимости), которая была поставлена великим немецким математиком Давидом Гильбертом частично в 1900 году на Парижском Конгрессе математиков (так называемая «десятая проблема Гильберта»), и более полно — на международном конгрессе 1928 года в Болонье. Проблема, поставленная Гильбертом, состояла ни больше, ни меньше как в отыскании универсальной алгоритмической процедуры для решения математических задач или, вернее, ответа на вопрос о принципиальной возможности такой процедуры. Кроме того, Гильберт сформулировал программу, целью которой было построение математики на несокрушимом фундаменте из аксиом и правил вывода, установленных раз и навсегда. Но к тому моменту, когда Тьюринг написал свою великую работу, сама идея этой программы уже была опровергнута поразительной теоремой, доказанной в 1931 году блестящим австрийским логиком Куртом Геделем. Мы рассмотрим теорему Геделя и ее значение в четвертой главе. Проблема Гильберта, которую исследовал Тьюринг (Entscheidungsproblem), не зависит от какого-либо конкретного построения математики в терминах аксиоматической системы. Вопрос формулировался так: существует ли некая универсальная механическая процедура, позволяющая, в принципе, решить все математические задачи (из некоторого вполне определенного класса) одну за другой?

Трудность с ответом на этот вопрос была связана отчасти с определением смысла «механической процедуры» — это понятие выходило за рамки стандартных математических идей того времени. Чтобы как-то ее преодолеть, Тьюринг постарался представить, как можно было бы формализовать понятие «машина» путем расчленения ее действий на элементарные операции. Вполне вероятно, что в качестве примера «машины», помимо прочего, Тьюринг рассматривал и человеческий мозг, тем самым относя к «механическим процедурам» все действия, которые математики выполняют, размышляя над решением математических задач.

Хотя такой взгляд на процесс мышления оказался весьма полезным при разработке Тьюрингом его в высшей степени важной теории, нам совершенно необязательно его придерживаться. Действительно, дав точное определение механической процедуры, Тьюринг тем самым показал, что существуют совершенно четко определенные математические операции, которые никак не могут называться механическими в общепринятом смысле слова. Можно, наверное, усмотреть некую иронию в том, что эта сторона работы Тьюринга позволяет нам теперь косвенным образом выявить его собственную точку зрения на природу мышления. Однако, нас это пока занимать не будет. Прежде всего нам необходимо выяснить, в чем же, собственно, заключается теория Тьюринга.

Концепция Тьюринга

Попробуем представить себе устройство, предназначенное для выполнения некоторой (конечноопределенной) вычислительной процедуры. Каким могло бы быть такое устройство в общем случае? Мы должны быть готовы к некоторой идеализации и не должны обращать внимания на практические аспекты — мы на самом деле рассматриваем математическую идеализацию «машины». Нам нужно устройство, способное принимать дискретное множество различных возможных состояний, число которых конечно(хотя и может быть очень большим). Мы назовем их внутренними состояниями устройства. Однако мы не хотим, чтобы объем выполняемых на этом устройстве вычислений был принципиально ограничен. Вспомним описанный выше алгоритм Евклида. В принципе, не существует предельной величины числа, после которой алгоритм перестает работать. Этот алгоритм, или некая общая вычислительная процедура, будет тем же самым независимо от того, сколь велики числа, к которым он применяется. Естественно, для очень больших чисел выполнение процедуры может занять много времени и может потребоваться огромное количество «черновиков» для выполнения пошаговых вычислений. Но сам по себе алгоритм останется тем же конечным набором инструкций, сколь бы большими ни были эти числа.

Значит, несмотря на конечность числа внутренних состояний, наше устройство должно быть приспособлено для работы с входными данными неограниченного объема. Более того, устройство должно иметь возможность использовать внешнюю память неограниченного объема (наши «черновики») для хранения данных, необходимых для вычислений, а также уметь выдавать окончательное решение любого размера. Поскольку наше устройство имеет только конечное число различных внутренних состояний, мы не можем ожидать, что оно будет «хранить внутри себя» все внешние данные, равно как и результаты своих промежуточных вычислений. Напротив, оно должно обращаться только к тем данным и полученным результатам, с которыми оно работает непосредственно в настоящий момент, и уметь производить над ними требуемые (опять же, в данный момент) операции. Далее, устройство записывает результаты этих операций — возможно, в отведенной для этого внешней памяти — и переходит к следующему шагу. Именно неограниченные объемы входных данных, вычислений и окончательного результата говорят о том, что мы имеем дело с идеализированным математическим объектом, который не может быть реализован на практике (рис. 2.3).

Но подобная идеализация является очень важной. Чудеса современных компьютерных технологий позволяют создавать электронные устройства хранения информации, которые мы можем рассматривать как неограниченные в приложении к большинству практических задач.

На самом деле память устройства, которая выше была названа «внешней», можно рассматривать как внутренний компонент современного компьютера. Но это уже технические детали — рассматривать часть объема для хранения информации как внутреннюю или внешнюю по отношению к устройству. Одним из способов проводить такое деление между «устройством» и «внешней» частью могло бы стать использование понятий аппаратного (hardware) и программного (software) обеспечения вычислений. В этой терминологии внутренняя часть могла бы соответствовать аппаратному обеспечению (hardware), тогда как внешняя — программному обеспечению (software). Я не буду жестко придерживаться именно этой классификации, однако, какую бы точку зрения мы не заняли, не вызывает сомнений, что идеализация Тьюринга достаточно точно аппроксимируется современными электронными компьютерами.

Тьюринг представлял внешние данные и объем для хранения информации в виде «ленты» с нанесенными на нее метками. Устройство по мере необходимости могло обращаться к этой ленте, «считывать» с нее информацию и перемещать ее вперед или назад в ходе выполнения операций. Помимо этого, устройство могло ставить новые метки на ленту и стирать с нее старые, что позволяло использовать одну и ту же ленту и как внешнюю память (то есть «черновик»), и как источник входных данных. На самом деле, не стоило бы проводить явное различие между этими двумя понятиями, поскольку во многих операциях промежуточные результаты вычислений могут играть роль новых исходных данных. Вспомним, что при использовании алгоритма Евклида мы раз за разом замещали исходные числа ( А и В) результатами, полученными на разных этапах вычислений. Сходным образом та же самая лента может быть использована и для вывода окончательного результата («ответа»). Лента будет двигаться через устройство туда-сюда до тех пор, пока выполняются вычисления. Когда, наконец, все вычисления закончены, устройство останавливается, и результат вычислений отображается на части ленты, лежащей по одну сторону от устройства. Для определенности будем считать, что ответ всегда записывается на части ленты, расположенной слева от устройства, а все исходные числовые данные и условия задачи — на части ленты, расположенной справа от него.

Меня всегда несколько смущало представление о конечном устройстве, которое двигает потенциально бесконечную ленту вперед и назад. Неважно, насколько легок материал ленты — сдвинуть бесконечную ленту все-таки будет трудно! Вместо этого я предпочитаю представлять себе эту ленту как некое окружение, по которому может перемещаться наше конечное устройство. (Конечно же, в современных электронных устройствах ни «лента», ни само «устройство» не должны в обычном смысле физически «перемещаться», но представление о таком «движении» позволяет достичь известной наглядности.) При таком подходе устройство получает все входные данные из этого окружения, использует его в качестве «черновика» и, наконец, записывает в него конечный результат.

В представлении Тьюринга «лента» состоит из бесконечной в обоих направлениях линейной последовательности квадратов. Каждый квадрат либо пуст, либо помечен [41]. Использование помеченных и пустых квадратов означает, что мы допускаем разбиение нашего «окружения» (т. е. ленты) на части и возможность его описания множеством дискретных элементов (в противоположность непрерывному описанию). Это представляется вполне разумным, если мы хотим, чтобы наше устройство работало надежно и совершенно определенным образом. В силу используемой математической идеализации мы допускаем (потенциальную) бесконечность «окружения», однако в каждом конкретном случае входные данные, промежуточные вычисления и окончательный результат всегда должны быть конечными. Таким образом, хотя лента и имеет бесконечную длину, на ней должно быть конечное число непустых квадратов. Другими словами, и с той, и с другой стороны от устройства найдутся квадратики, после которых лента будет абсолютно пустой. Мы обозначим пустые квадраты символом «0», а помеченные — символом «1», например:

Нам нужно, чтобы устройство «считывало» информацию с ленты. Мы будем считать, что оно считывает по одному квадрату за раз и смещается после этого ровно на один квадрат влево или вправо. При этом мы не утрачиваем общности рассуждений: устройство, которое читает за один раз n квадратов или перемещается на k квадратов, легко моделируется устройством, указанным выше. Передвижение на k квадратов можно построить из к перемещений по одному квадрату, а считывание n квадратов за один прием сводится к запоминанию результатов n однократных считываний.

Что именно может делать такое устройство? Каким образом в самом общем случае могло бы функционировать устройство, названное нами «механическим»? Вспомним, что число внутренних состояний нашего устройства должно быть конечным. Все, что нам надо иметь в виду помимо этого — это то, что поведение нашего устройства полностью определяется его внутренним состоянием и входными данными. Входные данные мы упростили до двух символов — «0» и «1». При заданном начальном состоянии и таких входных данных устройство должно работать совершенно определенным образом: оно переходит в новое состояние (или остается в прежнем), заменяет считанный символ 0 или 1 тем же или другим символом 1 или 0 , передвигается на один квадрат вправо или влево, и наконец, оно решает, продолжить вычисления или же закончить их и остановиться.

Чтобы явно определить операции, производимые нашим устройством, для начала пронумеруем его внутренние состояния, например: 0,1,2,3,4,5. Тогда действия нашего устройства, или машины Тьюринга, полностью определялись бы неким явным списком замен, например:

0 0 → 0 0R

0 1 → 13 1L

1 0 → 65 1R

1 1 → 1 0R

2 0 → 0 1R.STOP

2 1 → 66 1L

3 0 → 37 0R

• •

• •

• •

210 0 → 3 1L

• •

• •

• •

2581 → 0 0R. STOP

2590 → 97 1R

2591 → 0 0R. STOP

Выделенная цифра слева от стрелки — это символ на ленте, который устройство в данный момент считывает. Оно заменяет этот символ выделенной цифрой в середине справа от стрелки. R означает, что устройство должно переместиться вдоль ленты на один квадрат вправо, a L соответствует такому же перемещению влево. (Если, в соответствии с исходным представлением Тьюринга, мы полагаем, что движется не устройство, а лента, то R означает перемещение ленты на один квадрат влево, a L— вправо.) Слово STOP означает, что вычисления завершены и устройство должно остановиться. Например, вторая инструкция 0 1 → 13 1L говорит о том, что если устройство находится в начальном состоянии 0 и считывает с ленты 1, то оно должно перейти в состояние 13, оставить на ленте тот же символ 1 и переместиться по ленте на один квадрат влево. Последняя же инструкция 259 1 → 0 0R.STOP говорит о том, что если устройство находится в состоянии 259 и считывает с ленты 1, то оно должно вернуться в состояние 0, стереть с ленты 1, т. е. записать в текущий квадрат 0, переместиться по ленте на один квадрат вправо и прекратить вычисления.

Вместо номеров 0, 1, 2, 3, 4, 5…. для обозначения внутренних состояний мы можем — и это более соответствовало бы знаковой системе нанесения меток на ленту — прибегнуть к системе нумерации, построенной только на символах «0» и «1». Состояние n можно было бы обозначить просто последовательностью из n единиц, но такая запись неэффективна. Вместо этого мы используем двоичную систему счисления, ставшую теперь общепринятой:

0 → 0,

1 → 1,

2 → 10,

3 → 11,

4 → 100,

5 → 101,

6 → 110,

7 → 111,

8 → 1000,

9 → 1001,

10 → 1010,

11 → 1011,

12 → 1100 и т. д.

Здесь последняя цифра справа соответствует «единицам» точно так же, как и в стандартной (десятичной) системе записи, но цифра прямо перед ней показывает число «двоек», а не «десятков». В свою очередь третья цифра справа относится не к «сотням», а к «четверкам»; четвертая — к «восьмеркам», а не к «тысячам» и т. д. При этом разрядность каждой последующей цифры (по мере продвижения влево) дается соответственной степенью двойки: 1, 2, 4 (= 2 х 2), 8 (= 2 х 2 х 2), 16 (= 2х2х2х2), 32 (= 2x2x2х2х2). (В дальнейшем нам будет иногда удобно использовать в качестве основания системы счисления числа, отличные от «2» и «10». Например, запись десятичного числа 64 по основанию «три» даст 2101, где каждая цифра теперь — некоторая степень тройки:

64 = (2 х З ³) + З ²+ 1; см. главу 4).

Используя двоичную запись для внутренних состояний, можно представить вышеприведенную инструкцию, описывающую машину Тьюринга, следующим образом:

Здесь я к тому же сократил R.STOP до STOP, поскольку мы вправе считать, что L.STOP никогда не происходит, так как результат последнего шага вычислений, будучи частью окончательного ответа, всегда отображается слева от устройства.

Предположим, что наше устройство находится во внутреннем состоянии, представленном бинарной последовательностью 11010010, и процессу вычисления соответствует участок ленты, изображенный на предыдущем рисунке. Пусть мы задаем команду

11010010 0 → 11 1L.

Та цифра на ленте, которая в данный момент считывается (в нашем случае цифра «0»), показана «жирным» символом справа от последовательности нулей и единиц, обозначающих внутреннее состояние.

В частично описанном выше примере машины Тьюринга (который я выбрал более-менее произвольно) считанный «0» был бы тогда замещен на «1», внутреннее состояние поменялось бы на «11» и устройство переместилось бы на один шаг влево:

Теперь устройство готово к считыванию следующей цифры, снова «0». Согласно таблице, оно оставляет этот «0» нетронутым, но изменяет свое внутреннее состояние на «100101» и передвигается по ленте назад, т. е. на один шаг вправо. Теперь оно считывает «1» и находит где-то ниже в таблице инструкцию, которая определяет изменение внутреннего состояния и указывает, должна ли быть изменена считанная цифра и в каком направлении по ленте должно дальше двигаться устройство. Таким образом устройство будет действовать до тех пор, пока не достигнет команды STOP. В этой точке — после еще одного шага вправо — раздастся звонок, оповещающий оператора о том, что вычисления завершены.

Мы будем считать, что машина всегда начинает с внутреннего состояния «0» и что вся лента справа от устройства изначально пуста. Все инструкции и данные подаются в устройство с правой стороны. Как упоминалось ранее, эта информация всегда имеет форму конечной строки из нулей и единиц, за которой следует пустая лента (т. е. нули). Когда машина получает команду STOP, результаты вычислений оказываются на ленте слева от считывающего устройства.

Поскольку мы хотели бы иметь возможность вводить в устройство и числовые данные, то нам потребуется некий способ описания обычных чисел (под которыми я здесь имею в виду целые неотрицательные числа 0, 1, 2, 3, 4….) как части входной информации. Для представления числа n можно было бы просто использовать строку из n единиц (хотя при этом могут возникнуть трудности, когда речь зайдет о нуле):

1 → 1,

2 → 11,

3 → 111,

4 → 1111,

5 → 11111 и т. д.

Эта примитивная схема нумерации называется (хотя и довольно нелогично) унарной (единичной) системой. В этом случае символ 0 мог бы использоваться в качестве пробела для разделения двух разных чисел. Наличие такого способа разделения для нас существенно, так как многие алгоритмы оперируют не отдельными числами, а множествами чисел. Например, для выполнения алгоритма Евклида наше устройство должно производить определенные действия над парой чисел А и В. Соответствующая машина Тьюринга может быть легко записана в явном виде. В качестве упражнения заинтересованный читатель может проверить, что нижеследующий набор инструкций действительно описывает машину Тьюринга (которую я буду называть EUC), выполняющую алгоритм Евклида, если в качестве исходных данных использовать два «унарных» числа, разделенных символом 0:

0 0 → 0 0R

0 1 → 1 1L

1 0 → 10 1R

1 1 → 1 1L

10 0 →1010 0R

10 1 → 11 0R

11 0 → 100 0R

11 1 → 11 1R

100 0 → 100 0R

100 1 → 101 0R

101 0 → 111 0L

101 1 → 110 1L

110 0 → 110 0L

110 1 → 1 1L

111 0 → 111 0L

111 1 → 1000 1L

1000 0 → 1001 0L

1000 1 → 1000 1L

1001 0 → 10 0R

1001 1 → 1 1L

1010 0 → 0 0.STOP

1010 1 → 1010 1R

Однако я бы порекомендовал такому читателю начать не с этого упражнения, а с чего-нибудь гораздо более простого, например, с машины Тьюринга UN + 1, которая просто прибавляет единицу к числу в унарном представлении:

0 0 → 0 0R

0 1 → 1 1R

1 0 → 0 1. STOP

11 → 1 1R

Чтобы убедиться в том, что UN +1 на самом деле производит такую операцию, давайте мысленно применим ее, скажем, к ленте вида

…00000111100000…,

соответствующей числу четыре. Мы будем полагать, что наше устройство сначала находится где-то слева от последовательности единиц. Находясь в исходном состоянии 0, оно считывает 0, в соответствии с первой инструкцией сохраняет его неизмененным, после чего перемещается на шаг вправо, оставаясь во внутреннем состоянии 0. Оно продолжает последовательно передвигаться вправо до тех пор, пока не встретит первую единицу. После этого вступает в силу вторая инструкция: устройство оставляет единицу как есть и сдвигается на шаг вправо, но уже в состоянии 1. В соответствии с четвертой инструкцией оно сохраняет внутреннее состояние 1, равно как и все считываемые единицы, двигаясь вправо до встречи с первым после набора единиц нулем. Тогда начинает действовать третья инструкция, согласно которой устройство заменяет этот нуль на 1, перемещается на один шаг вправо (вспомним, что команда STOP эквивалентна R.STOP) и останавливается. Тем самым к последовательности из четырех единиц прибавляется еще одна, превращая — как и требовалось — 4 в 5.

В качестве несколько более трудного упражнения можно проверить, что машина UN х 2, определяемая набором инструкций

0 0 → 0 0R

0 1 → 1 0R

1 0 → 10 1L

1 1 → 1 1R

10 0 → 11 0R

10 1 → 100 0R

11 0 → 0 1. STOP

11 1 → 11 1R

100 0 → 101 1L

100 1 → 100 1R

101 0 → 10 1L

101 1 → 101 1L

удваивает унарное число, как и должно быть, судя по ее названию.

Чтобы понять, как работает машина EUC, нужно явным образом задать пару подходящих чисел, скажем, 6 и 8. Как и ранее, изначально машина находится во внутреннем состоянии 0 и расположена слева, а лента выглядит следующим образом:

… 0000011111101111111100000….

После того, как машина Тьюринга после большого числа шагов останавливается, мы получаем ленту с записью вида

…000011000000000000…,

при этом машина располагается справа от ненулевых цифр. Таким образом, найденный наибольший общий делитель равен 2(как и должно быть).

Исчерпывающее объяснение, почему машина EUC(или UN х 2) на самом деле осуществляет действие, для которого она предназначена, включает в себя некоторые тонкости, и разобраться в нем, может быть, даже труднее, чем понять устройство самой машины — довольно обычная ситуация с компьютерными программами! (Чтобы полностью понять, почему алгоритмические процедуры делают то, что от них ожидается, необходима определенная интуиция. А не являются ли интуитивные прозрения сами алгоритмическими? Это один из вопросов, которые будут для нас важны в дальнейшем.) Яне буду пытаться дать здесь такое объяснение для приведенных примеров EUC или UN х 2. Читатель, шаг за шагом проверив их действие, обнаружит, что я незначительно изменил обычный алгоритм Евклида, чтобы получить более компактную запись в рамках используемой схемы. И все же описание EUC остается достаточно сложным, включая в себя 22 элементарные инструкции для 11 различных внутренних состояний. В основном эти сложности носят чисто организационный характер. Можно отметить, например, что из этих 22 инструкций только 3 в действительности изменяют запись на ленте! (Даже для UN х 2 я использовал 12 инструкций, половина из которых меняют запись на ленте.)

Двоичная запись цифровых данных

Унарная система чрезвычайно неэффективна для записи больших чисел. Поэтому мы по большей части будем использовать вышеописанную двоичную систему. Однако, сделать это напрямую и попытаться читать ленту просто как двоичное число мы не сможем. Дело в том, что мы не имеем возможности сказать, когда кончается двоичное представление числа и начинается бесконечная последовательность нулей справа, которая отвечает пустой ленте. Нам нужен способ как-то обозначать конец двоичной записи числа. Более того, часто нам будет нужно вводить в машину несколько чисел, как, например, в случае с алгоритмом Евклида, когда требуется пара чисел [42]. Но в двоичном представлении мы не можем отличить пробелы между числами от нулей или строчек нулей, входящих в записи этих двоичных чисел. К тому же, помимо чисел нам может понадобиться и запись всевозможных сложных инструкций на той же ленте. Для того чтобы преодолеть эти трудности, воспользуемся процедурой, которую я буду в дальнейшем называть сокращением и согласно которой любая строчка нулей и единиц (с конечным числом единиц) не просто считывается как двоичное число, но замещается строкой из нулей, единиц, двоек, троек и т. д. таким образом, чтобы каждое число в получившейся строчке соответствовало числу единиц между соседними нулями в исходной записи двоичного числа. Например, последовательность

01000101101010110100011101010111100110

превратится в

Мы теперь можем считывать числа 2, 3, 4… как метки или инструкции определенного рода. Действительно, пусть 2 будет просто «запятой», указывающей на пробел между двумя числами, а числа 3, 4, 5… могли бы по нашему желанию символизировать различные инструкции или необходимые обозначения, как, например, «минус», «плюс», «умножить», «перейти в позицию со следующим числом», «повторить предыдущую операцию следующее число раз», и т. п. Теперь у нас есть разнообразные последовательности нулей и единиц, разделенные цифрами большей величины. Эти последовательности нулей и единиц будут представлять собой обычные числа, записанные в двоичной форме. Тогда записанная выше строка (при замене двоек «запятыми») примет вид:

(двоичное число 1001) запятая (двоичное число 11) запятая….

Используя обычные арабские числа «9», «3», «4», «0» для записи соответствующих двоичных чисел 1001, 11, 100 и 0, получаем новую запись всей последовательности в виде: 9, 3, 4 (инструкция 3) 3 (инструкция 4) 0.

Такая процедура дает нам, в частности, возможность указывать, где заканчивается запись числа (и тем самым отделять ее от бесконечной полосы пустой ленты справа), просто используя запятую в конце этой записи. Более того, она позволяет закодировать любую последовательность натуральных чисел, записанных в двоичной системе, как простую последовательность нулей и единиц, в которой для разделения чисел мы используем запятые. Посмотрим, как это сделать, на конкретном примере. Возьмем последовательность

5, 13, 0, 1, 1, 4.

В двоичном представлении она эквивалентна последовательности

101, 1101, 0, 1, 1, 100,

что на ленте можно записать с помощью операции расширения(обратной по отношению к описанной выше процедуре сокращения) как

…000010010110101001011001101011010110100011000…

Такое кодирование легко выполнить, если в исходной двоичной записи чисел провести следующие замены:

0 → 0

1 → 10

, → 110

и после этого добавить бесконечные последовательности нулей с обеих сторон вновь полученной записи. Чтобы сделать более понятной эту процедуру в применении к нашему примеру, разделим полученные двоичные числа пробелами:

0000 10 0 10 110 10 10 0 10 110 0 110 10 110 10 110 10 0 0 110 00.

Я буду называть этот способ представления (наборов) чисел расширенной двоичной записью. (Так, в частности, в расширенной двоичной форме записи число 13 выглядит как 1010010.)

Есть еще одно, последнее, замечание, которое надо сделать в связи с этой системой записи. Это не более, чем техническая деталь, но она необходима для полноты изложения [43]. Двоичная (или десятичная) запись натуральных чисел в некоторой степени избыточна в том смысле, что нули, расположенные слева от записи числа, «не считаются» и обычно опускаются, так что 00110010 представляет собой то же самое двоичное число, что и 110010(а 0050 — то же самое десятичное число, что и 50). Эта избыточность распространяется и на нуль, который может быть записан и как 000, и как 00, и, конечно, как 0. На самом деле и пустое поле, если рассуждать логически, должно обозначать нуль! В обычном представлении это привело бы к большой путанице, но в описанной выше системе кодирования никаких затруднений не возникает: нуль между двумя запятыми можно записать просто в виде двух запятых, следующих подряд (''). На ленте такой записи будет соответствовать код, состоящий из двух пар единиц, разделенных одним нулем:

…001101100…

Тогда исходный набор из шести чисел может быть записан в двоичной форме как

101,1101''1,1,100,

и на ленте при кодировании в расширенной двоичной форме мы получим последовательность

…00001001011010100101101101011010110100011000.,

в которой на один нуль меньше по сравнению с предыдущим кодом того же набора.

Теперь мы можем рассмотреть машину Тьюринга, реализующую, скажем, алгоритм Евклида в применении к паре чисел, записанных в расширенной бинарной форме. Для примера возьмем ту же пару чисел — 6 и 8, которую мы брали ранее. Вместо прежней унарной записи

…0000011111101111111100000…

воспользуемся двоичным представлением 6 и 8, т. е. 110 и 1000, соответственно. Тогда эта пара имеет вид

6, 8, или в двоичной форме 110, 1000,

и в расширенной двоичной записи на ленте она будет выглядеть следующим образом

… 00000101001101000011000000….

Для этой конкретной пары чисел двоичная форма записи не дает никакого выигрыша по сравнению с унарной. Предположим, однако, что мы берем для вычислений (десятичные) числа 1 583 169 и 8610. В двоичной записи они имеют вид

110000010100001000001,

10000110100010.

На ленте при расширенном двоичном кодировании им будет соответствовать последовательность

… 001010000001001000001000000101101000001010010000100110

которая занимает менее двух строк, тогда как для унарной записи пары чисел «1 583 169, 8610» не хватило бы места на страницах этой книги!

Машину Тьюринга, выполняющую алгоритм Евклида для чисел, записанных в расширенной двоичной форме, при желании можно получить из EUC с помощью пары дополнительных алгоритмов, которые переводили бы числа из расширенной двоичной формы в унарную и обратно. Однако, такой подход чрезвычайно неэффективен, ибо громоздкость унарной системы записи была бы по-прежнему «внутренне» присуща всему устройству, что проявилось бы в его низком быстродействии и потребности в огромном количестве «черновиков» (на левой стороне ленты). Можно построить и более эффективную машину Тьюринга для алгоритма Евклида, оперирующую исключительно расширенными двоичными числами, но для понимания принципов ее работы это не особенно важно.

Для того чтобы показать, каким образом машина Тьюринга может работать с числами в расширенном двоичном представлении, обратимся к значительно более простой, чем алгоритм Евклида, процедуре — просто прибавлению единицы к произвольному натуральному числу. Ее можно выполнить с помощью следующей машины Тьюринга (которую я назову XN + 1):

0 0 → 0 0R

0 1 → 1 1R

1 0 → 0 0R

1 1 → 10 1R

10 0 → 11 0L

10 1 → 10 1R

11 0 → 10 1.STOP

11 1 → 100 0L

100 0 → 101 1L

100 1 → 100 1L

101 0 → 110 0R

101 1 → 10 1R

110 1 → 111 1R

111 0 → 11 1R

111 1 → 111 0R

И вновь некоторые дотошные читатели могут захотеть проверить, вправду ли эта машина Тьюринга действует так, как должна, если взять, скажем, число 167. Это число имеет двоичное представление 10100111 и записывается на ленте как

…0000100100010101011000…

Чтобы прибавить единицу к двоичному числу, мы просто находим в его записи последний нуль и меняем его на единицу, а все непосредственно следующие за ним единицы — на нули. Так что

167 + 1 = 168

в двоичной форме записывается в виде

10100111 + 1 = 10101000.

Таким образом, наша «прибавляющая единицу» машина Тьюринга должна превратить предыдущую запись на ленте в

… 0000100100100001100000

что она и делает.

Обратите внимание, что даже самая простая операция прибавления единицы в такой записи выглядит довольно сложно, включая в себя 15 инструкций и восемь различных внутренних состояний! Конечно, в случае унарной записи все было значительно проще, поскольку тогда «прибавление единицы» означало удлинение строчки единиц еще на одну, поэтому не удивительно, что машина UN +1 была более простой. Однако, для очень больших чисел UN + 1 была бы слишком медленной из-за чрезмерной длины ленты, и тогда более сложная машина XN + 1, но работающая с более компактным расширенным двоичным представлением, оказалась бы предпочтительнее.

Несколько отступая в сторону, я укажу операцию, для которой машина Тьюринга проще в расширенной двоичной, нежели в унарной форме — это умножение на два. Действительно, машина Тьюринга XN х 2, заданная в виде

0 0 → 0 0R

0 1 → 1 0R

1 0→ 0 1R

1 1 → 10 0R

10 0 → 11 1R

11 0 → 0 1.STOP

запросто выполнит эту операцию в расширенной двоичной форме, тогда как соответствующая унарная машина UN х 2, описанная ранее, гораздо сложнее!

Этот раздел дает определенное представление о том, на что способны в простейших случаях машины Тьюринга. Как и следовало ожидать, при выполнении более или менее сложных операций эти машины могут становиться, и действительно становятся, несравненно более сложными. Каковы же принципиальные возможности таких устройств? Мы рассмотрим этот вопрос в следующем параграфе.

Тезис Черча — Тьюринга

После ознакомления с принципами построения простых машин Тьюринга легко убедиться, что все основные математические операции, такие как сложение двух чисел, их перемножение или возведение одного из них в степень другого, могут на самом деле быть выполнены соответствующими машинами Тьюринга. Построение таких машин в явном виде не представляет больших затруднений, но я не собираюсь сейчас этим заниматься. Машины Тьюринга могут выполнять операции, результат которых выражается парой натуральных чисел, например, деление с остатком, или сколь угодно большим, но конечным множеством чисел. Более того, можно сконструировать такие машины Тьюринга, для которых арифметические операции не предопределены заранее, а могут задаваться инструкциями, вводимыми с ленты. При этом возможно, что та конкретная операция, которая должна быть выполнена, будет зависеть в тот или иной момент от результатов вычислений, которые машина должна была выполнить на предыдущих этапах. («Если результат вычислений больше, чем то-то, надо сделать то-то, в противном случае выполнить то-то».) Убедившись, что можно построить машины Тьюринга, выполняющие арифметические или простые логические операции, уже не так трудно представить себе, какими должны быть машины, выполняющие более сложные задачи алгоритмического характера. «Повозившись» немного с подобными задачами, легко приходишь к убеждению в том, что машина этого типа может выполнять вообще любые механические операции! Тогда с точки зрений математики приобретает смысл определение механической операции как такой операции, которую может выполнить подобная машина. Существительное «алгоритм» и прилагательные «вычислимый», «рекурсивный» и «эффективный» используются математиками для обозначения механических операций, которые могут быть выполнены теоретическими устройствами такого рода, т. е. машинами Тьюринга. Если некоторая процедура четко определена и по природе своей механистична, то можно вполне обоснованно предположить, что найдется машина Тьюринга, способная ее выполнить. Это, в конце концов, и есть основной момент наших (то есть Тьюринга) рассуждений, лежащий и в основе самой концепции машины Тьюринга.

С другой стороны, остается ощущение, что принципы построения этих машин содержат излишние ограничения. Разрешение устройству считывать за один раз только одну двоичную цифру ( 0 или 1) и передвигаться каждый раз только на один шаг да еще вдоль единственной одномерной ленты, на первый взгляд, ограничивает возможности машины. Почему бы не разрешить одновременное использование четырех, пяти или, возможно, тысячи разных лент, по которым одновременно двигалось бы большое количество взаимосвязанных считывающих устройств? Почему бы не ввести целую плоскость с нулями и единицами (или, например, трехмерное пространство), вместо того чтобы настаивать на использовании одномерной ленты? Почему бы не использовать другие системы счисления или символы из каких-нибудь более сложных алфавитов? По сути, ни одно из этих изменений ни в малейшей степени не влияет на то, что в принципе может быть достигнуто с помощью машины Тьюринга, хотя некоторые из них отразились бы на экономичности производимых операций (как это наверняка произошло бы, разреши мы использование нескольких лент). Класс осуществляемых операций, попадающих, таким образом, под определение «алгоритма» (или «вычисления», или «выполнимой процедуры», или «рекурсивной операции»), остался бы в точности тем же самым, если мы расширим определение наших машин и включим в него даже все предлагавшиеся выше модификации одновременно!

Мы можем видеть, что нет необходимости в дополнительных лентах, коль скоро устройство может по мере надобности находить свободное место на одной ленте. При этом может потребоваться постоянная перезапись данных с одного места ленты на другое. Это, может быть, «неэффективно», но в принципе не ограничивает возможности машин Тьюринга [44]. Сходным образом, использование более чем одного устройства Тьюринга для параллельных вычислений— идея, ставшая очень популярной в последние годы в связи с попытками более точного моделирования человеческого мозга, — не дает никаких принципиальных преимуществ (хотя при определенных обстоятельствах может увеличиться быстродействие). Использование двух непосредственно не связанных друг с другом устройств не даст выигрыша по сравнению с двумя взаимосвязанными устройствами. Но если два устройства связаны друг с другом, то, в сущности, это уже одно устройство!

А что можно сказать об ограничении Тьюринга, касающегося одномерности ленты? Если мы считаем, что эта лента представляет собой «окружение», то, возможно, мы бы предпочли в качестве такового иметь плоскую поверхность, или, допустим, трехмерное пространство. Может показаться, что плоскость лучше подошла бы для изображения «блок-схемы» вычислений (как в вышеприведенном описании последовательности действий алгоритма Евклида), чем одномерная лента [45]. Однако запись блок-схемы в «одномерной» форме не представляет принципиальных трудностей (например, можно использовать обычное словесное описание). Двумерное плоское изображение дает только удобство и простоту восприятия, но, по сути, ничего не меняет. Всегда есть возможность преобразовать координаты отметки или объекта на двумерной плоскости или в трехмерном пространстве и явным образом отобразить их на одномерной ленте. (Фактически, использование двумерной плоскости полностью эквивалентно использованию двух лент. Две ленты дают две «координаты», которые нужны для определения местоположения точки на двумерной плоскости; аналогично, три ленты могут выполнять ту же роль для точки в трехмерном пространстве.) И хотя эта одномерная запись может вновь оказаться «неэффективной», принципиальные возможности устройства это никак не ограничивает.

Несмотря на все это, по-прежнему остается вопрос о том, действительно ли понятие машины Тьюринга охватывает все логические или математические операции, которые мы могли бы назвать «механическими». В то время, когда Тьюринг написал свою основополагающую работу, ситуация была гораздо менее ясной, чем сегодня, поэтому Тьюринг справедливо посчитал необходимым предоставить развернутое изложение этого вопроса. Детально рассмотренная Тьюрингом проблема получила дополнительное обоснование благодаря тому, что совершенно независимо от Тьюринга (и на самом деле несколько ранее) американский логик Алонзо Черч (совместно со Стивеном Клини), стремясь найти решение проблемы алгоритмической разрешимости Гильберта, предложил свою схему лямбда-исчисления. Хотя то, что это была всеобъемлющая полностью механическая схема, было не так очевидно, как в случае с подходом Тьюринга, ее несомненным преимуществом была удивительная компактность математической структуры. (Я буду рассматривать замечательный анализ Черча в конце главы.) Независимо от Тьюринга были предложены и другие подходы к решению задачи Гильберта (см. Ганди [1988]), среди которых можно выделить работу американского логика польского происхождения Эмиля Поста (опубликованную несколько позже работы Тьюринга, но содержащую идеи, более близкие идеям Тьюринга, нежели Черча). В скором времени было доказано, что все эти схемы совершенно эквивалентны.

Это значительно укрепило точку зрения, известную как тезис Черча — Тьюринга , которая утверждает, что машина Тьюринга (или ее эквивалент) на самом деле определяет то, что в математике понимают под алгоритмической (или выполнимой, или рекурсивной, или механической) процедурой. Сегодня, когда быстродействующие электронные компьютеры прочно вошли в нашу жизнь, немного найдется тех, кто считает необходимым ставить под сомнение эту теорию в ее изначальной формулировке. Вместо этого сейчас исследователи обратили внимание на вопрос, какие логические и математические операции могут выполнять реальные физические системы (возможно, включающие и человеческий мозг), подчиняющиеся точным физическим законам: точно такие же, что и машины Тьюринга, или же их возможности больше или меньше? Что касается меня, то я с удовольствием принимаю исходную математическую интерпретацию тезиса Черча — Тьюринга. С другой стороны, вопрос о его отношении к поведению реальных физических систем заслуживает отдельного рассмотрения и будет занимать в дальнейшем центральное место в наших рассуждениях.

Числа, отличные от натуральных

В предыдущих параграфах мы рассматривали действия над натуральными числами и отметили тот замечательный факт, что машина Тьюринга может оперировать с натуральными числами произвольной величины, несмотря на то, что каждая машина имеет фиксированное и конечное число внутренних состояний. Однако часто возникает необходимость в операциях с более сложными числами, такими как отрицательные числа, обыкновенные дроби и бесконечные десятичные дроби. Первые две категории (т. е. числа вида -597/26) легко поддаются обработке машинами Тьюринга, причем и числители, и знаменатели могут быть сколь угодно большими. Все, что для этого нужно — какой-нибудь подходящий код для знаков «-» и « /», который можно легко выбрать при использовании расширенной двоичной записи (например, « 3» = 1110 для знака «-», а « 4»= 11110— для знака « /»). Таким образом, отрицательные числа и обыкновенные дроби рассматриваются как конечные наборы натуральных чисел, и с точки зрения общих вопросов вычислимости ничего нового не дают.

То же можно сказать и о конечных десятичных выражениях с произвольным числом знаков после запятой, поскольку они представляют собой лишь частный случай обыкновенных дробей. Так, например, конечная десятичная аппроксимация иррационального числа π , заданная числом 3,14159265, есть просто дробь 314 159 265/100 000 000. Однако бесконечные десятичные выражения, такие как полная запись числа π

π = 3,14159265358979…,

представляют определенные трудности. На самом деле, ни входные, ни выходные данные машины Тьюринга не могут быть бесконечными десятичными выражениями. Можно было бы думать, что нашлась бы машина Тьюринга, способная выдавать одну за другой все последовательные цифры — 3, 1, 4, 1, 5, 9… в десятичной записи числа π и переносить их на выходную ленту, а мы просто позволим этой машине работать бесконечно долго. Но это запрещено для машин Тьюринга. Мы должны дождаться остановки машины (сопровождаемой звонком колокольчика!), прежде чем сможем ознакомиться с результатом. До того момента, пока машина не выполнит команды STOP, выходные данные могут изменяться и поэтому не являются достоверными. С другой стороны, после полной остановки машины результат должен быть с необходимостью конечным.

Существует, однако, «законная» процедура для того, чтобы заставить машину Тьюринга последовательно воспроизводить цифры примерно так, как это предлагалось выше. Если мы хотим получить бесконечную десятичную запись, скажем, числа π , мы могли бы заставить машину Тьюринга сначала рассчитать его целую часть, 3, используя на входе 0, затем — первую цифру дробной части, 1, используя на входе 1, затем — вторую цифру дробной части, 4, используя на входе 2, потом — третью цифру, 1, используя 3 и т. д. Вообще говоря, машина Тьюринга для получения всех цифр десятичной записи числа π в этом смысле действительно существует, хотя реализовать ее в явном виде было бы затруднительно. Подобное же замечание относится и ко многим другим иррациональным числам, таким, например, как √2 = 1,414213562… Однако оказывается — и мы увидим это в следующей главе, — что некоторые иррациональные числа принципиально не могут быть получены с помощью машины Тьюринга. Числа, которые можно получить таким образом, называются вычислимыми(Тьюринг [1937]), а остальные (в действительности абсолютное большинство!) — невычислимыми. Я еще вернусь к этой теме и затрону ряд смежных вопросов в последующих главах. К нам это имеет отношение в связи с вопросом о том, может ли реальный физический объект (например, человеческий мозг) быть адекватно описан в терминах вычислимых математических структур в соответствии с нашими физическими теориями.

Проблема вычислимости важна для математики в целом. Не следует думать, что она относится только к числам как таковым. Ведь машины Тьюринга могут непосредственно оперировать математическими формулами, например, алгебраическими или тригонометрическими выражениями, или выполнять формальные действия математического анализа. Все, что для этого нужно, это некий способ точного кодирования всех используемых математических символов в виде последовательностей нулей и единиц, которые позволят применить соответствующую машину Тьюринга. Именно это Тьюринг имел в виду, когда он взялся за проблему алгоритмической разрешимости, в которой требуется найти алгоритмическую процедуру для ответа на самые общие математические вопросы. Очень скоро мы вновь обратимся к этой теме.

Универсальная машина Тьюринга

Я еще не затрагивал понятия универсальной машины Тьюринга. Лежащий в ее основе принцип понять нетрудно, хотя детали могут быть сложны. Основная идея состоит в том, чтобы закодировать команды для произвольной машины Тьюринга Т в виде последовательности нулей и единиц, которую можно записать на ленте. Эта запись используется как начальная часть входных данных для некоторой особой машины Тьюринга U, называемой универсальной, которая затем обрабатывает остальную часть ленты в точности так, как это сделала бы машина Т. Универсальная машина Тьюринга — это универсальный имитатор. Начальная часть ленты дает универсальной машине U всю информацию, необходимую для точной имитации любой машины Т!

Чтобы показать, как это может быть реализовано, нам потребуется какая-нибудь система нумерации машин Тьюринга. Рассмотрим список инструкций, определяющих произвольную машину Тьюринга, например, одну из описанных выше. Мы должны в соответствии с некоторыми четкими правилами представить эти инструкции в виде последовательностей нулей и единиц. Это можно сделать, например, с помощью процедуры «сокращения», которую мы использовали ранее. Тогда, если мы закодируем символы R, L, STOP , «стрелка» (→) и «запятая», скажем, числами 2, 3, 4, 5 и 6 соответственно, то мы сможем записать их в виде «сокращений» 110, 1110, 11110, 111110 и 1111110. Цифры 0 и 1, кодируемые, соответственно, как 0 и 10, могут быть использованы для записи строк этих символов, входящих в таблицу действий машины Тьюринга. Нам не нужны различные обозначения для «жирных» цифр 0 и 1 и для остальных цифр в таблице, поскольку расположение «жирных» цифр в конце двоичного кода является достаточным отличительным признаком. При этом 110 1, например, будет читаться как двоичное число 1101, представляемое на ленте последовательностью 1010010. в частности, 0 0 будет читаться как 00, что без всякой двусмысленности можно закодировать как 0 или вовсе опустить. Можно существенно сэкономить, если не кодировать «стрелки» и непосредственно предшествующие им символы, а воспользоваться цифровым упорядочением команд, позволяющим определить, какими должны быть эти символы. Правда, для этого надо убедиться в отсутствии «дырок» в получившемся порядке и добавить, где требуется, «немые» команды. (Например, машина Тьюринга XN +1 не имеет команды, соответствующей коду 110 0, поскольку такая комбинация в ходе ее работы никогда не встречается. Следовательно, мы должны ввести в список команд немую команду, скажем 110 0 → 0 0R, которая не вызовет каких бы то ни было изменений в работе машины. Сходным образом мы должны добавить немую команду 10 1 → 0 0R в список команд машины XN х 2.) Без таких «немых» команд кодирование последующих команд было бы нарушено. Как можно видеть, на самом деле мы не нуждаемся и в запятой в конце каждой команды, поскольку символов L и R вполне достаточно для отделения команд друг от друга. Поэтому мы просто будем использовать такую систему кодирования:

0 для 0 или 0,

10 для 1 или 1,

110 для R,

1110 для L,

11110 для STOP.

В качестве примера выпишем команды для машины Тьюринга XN +1(с дополнительной немой командой 110 0 → 0 0R). Опуская стрелки, цифры, непосредственно предшествующие им, и запятые, получим

Мы можем улучшить полученный результат, если опустим все 0 0 и заменим каждые 0 1 просто единицей в соответствии с тем, что говорилось ранее. Тогда мы получим строку символов

которая на ленте записывается как последовательность

Есть еще два способа немного сэкономить. Во-первых, всегда можно удалить код 110 в начале записи (вместе с бесконечным участком пустой ленты, предшествующим этому коду). Он обозначает последовательность 0 0R, соответствующую начальной команде 0 0 → 0 0R, которую я до сих пор неявно считал общей для всех машин Тьюринга, поскольку она необходима для того, чтобы устройство, начав работу в произвольной точке слева от начала записи на ленте, могло перемещаться вправо до тех пор, пока не встретит первую непустую клетку. Во-вторых, точно так же всегда можно удалить код 110(и неявную бесконечную последовательность нулей, которая, по предположению, следует за ним) в конце записи, поскольку этой кодовой последовательностью должно заканчиваться описание любой машины Тьюринга (во всех случаях список команд заканчивается командой R, L или STOP ). Получающееся двоичное число— это номер машины Тьюринга, который для XN + 1 будет выглядеть так:

В обычной десятичной записи этот номер равен

450813704461563958982113775643437908.

Иногда машину с номером n мы, не вполне точно, будем называть n- й машиной Тьюринга и обозначать ее T _n . В этом случае XN +1 становится

450813704461563958982113775643437908 — й

машиной Тьюринга!

Кажется поразительным факт, что нам надо пробежать так долго вдоль «списка» машин Тьюринга, чтобы найти машину, выполняющую такую тривиальную операцию, как прибавление единицы к натуральному числу (в расширенном двоичном представлении). (Я не думаю, что моя система кодирования была в целом настолько неэффективна, хотя в ней и есть еще возможности для незначительных улучшений.) В действительности, есть машины Тьюринга и с меньшими номерами, которые представляют интерес, например UN +1 с двоичным номером

101011010111101010,

который в десятичной записи превращается всего лишь в 177 642. Значит, особенно тривиальная машина UN +1, которая просто дописывает 1 единицу в конце последовательности единиц, является 177 642- й машиной Тьюринга. Интересно, что «умножение на два» в списке машин Тьюринга попадает где-то между этими двумя машинами, причем и в унарном, и в расширенном двоичном представлении: номер XN х 2 равен 10 389 728 107, а номер UN х 2— 1492 923 420 919 872 026 917 547 669.

Наверное, принимая во внимание величины этих номеров, уже не вызовет удивления тот факт, что абсолютное большинство натуральных чисел не соответствует ни одной рабочей машине Тьюринга. Приведем перечень первых тринадцати машин Тьюринга в соответствии с принятой нумерацией:

Из этих машин T ₀ просто перемещается вправо, стирая все, что ей попадается на пути, никогда не останавливаясь и не меняя направления движения. Машина Т ₁ выполняет в сущности ту же операцию, но более громоздким путем, отступая на шаг назад каждый раз, когда она стирает очередную единицу на ленте. Так же как и T ₀ , машина T ₂ двигается вправо, никогда не останавливаясь, но относится к ленте более «почтительно», попросту оставляя всю информацию нетронутой. Эти машины не могут использоваться в качестве машин Тьюринга, поскольку никогда не останавливаются. T ₃ — первая в этом списке «правильная» машина: она скромно прекращает действие после того, как изменяет первую (самую левую) единицу на нуль. T ₄ сталкивается с серьезной проблемой. Найдя первую единицу на ленте, она переходит во внутреннее состояние, которое нигде не описано, и, следовательно, машина не имеет никаких команд для следующего шага. С той же проблемой сталкиваются T ₈, T ₉ и T ₁₀ . С T ₇ возникают трудности еще более фундаментального характера. Строка нулей и единиц, которой она представляется, включает последовательность из пяти единиц: 110111110. Интерпретации этой последовательности не существует, поэтому T ₇ намертво застревает сразу же, как только доходит до первой единицы. (Я буду называть T ₇ , равно как и любую другую машину T _n , двоичное расширенное представлений которой содержит более четырех единиц, некорректно определенной .) Машины T ₅, T ₆ и T ₁₂ испытывают те же трудности, что и T ₀, T ₁, T ₂: они просто никогда не останавливаются. Все эти машины — T ₀, T ₁, T ₂, T ₅, T ₆, T ₇, T ₈, T ₉, T ₁₀ и T ₁₂ — совершенно бесполезные устройства! Только T ₃ и T ₁₁ являются функциональными машинами Тьюринга, да и то не слишком интересными. Причем T ₁₁ даже скромнее, чем T ₃ : натолкнувшись на первую же единицу, она останавливается и вообще ничего не меняет!

Надо заметить, что наш перечень содержит избыточную информацию. Машина T ₁₂ идентична T ₆ , а по действиям обе они аналогичны T ₀ , поскольку ни T ₆ , ни T ₁₂ никогда не переходят во внутреннее состояние 1. Но нам нет нужды волноваться из-за этой избыточности, равно как из-за изобилия неработоспособных (фиктивных) машин Тьюринга в нашем списке. На самом деле, мы могли бы изменить систему кодирования таким образом, чтобы избавиться от большого числа бесполезных устройств и значительно уменьшить избыточность списка машин. Но все это можно сделать только ценой усложнения нашей примитивной универсальной машины Тьюринга, которая должна расшифровывать вводимую в нее запись и имитировать машину T _n , чей номер она считала. Это было бы оправдано, если бы было можно избавиться от всех бесполезных (и повторяющихся) машин. Но это, как мы увидим чуть позднее, невозможно! Поэтому мы оставим нашу систему кодирования без изменений.

Будет удобно интерпретировать ленту с последовательностью меток на ней, например

…0001101110010000…,

как двоичное представление некоторого числа. Вспомним, что нули простираются бесконечно в обе стороны, а вот количество единиц конечно. Кроме того, я буду полагать, что их число отлично от нуля(т. е. что в этой последовательности существует хотя бы одна единица). Мы можем тогда считывать конечную строку символов между первой и последней единицами (включительно), которая в предыдущем случае имеет вид

110111001,

как двоичное представление натурального числа (в десятичной форме это 441). Однако такая процедура даст нам только нечетные числа (их двоичное представление оканчивается на 1), тогда как нам нужна возможность представления всех натуральных чисел. Поэтому мы воспользуемся следующим несложным приемом — будем удалять последнюю единицу (которая принимается просто за маркер, обозначающий конец выражения) и считывать оставшуюся часть как двоичное число [46]. Тогда в последнем примере получим двоичное число

11011100,

которое соответствует десятичному числу 220. Эта процедура имеет то преимущество, что нуль также представляется непустой лентой, а именно:

… 0000001000000….

Рассмотрим, как действует машина Тьюринга T _n на некоторую (конечную) строку нулей и единиц на ленте, которая подается в устройство справа. Удобно рассматривать эту строку как двоичное представление некоторого числа, например m , в соответствии с приведенной выше схемой. Предположим, что после определенного числа шагов машина T _n в конце концов останавливается (т. е. доходит до команды STOP). Строка двоичных цифр, которые машина выписала к этому моменту на левой части ленты, и будет искомым результатом вычислений. Считывая эту последовательность в соответствии с той же схемой так же как двоичное представление некоторого числа, получим новое число, скажем, р . Тогда мы можем записать соотношение, выражающее тот факт, что результатом действия n-й машины Тьюринга T _n на число m является число p , следующим образом:

T _n (m)=p .

Взглянем на это соотношение с несколько иной точки зрения. Мы будем считать, что это выражение описывает некоторую специфическую операцию, которая применяется к паре чисел m и n для того, чтобы получить p . (Это означает: для заданных двух чисел n и m мы можем найти значение p , если введем m в n -ю машину Тьюринга.) Эта специфическая операция является полностью алгоритмической. Поэтому она может быть выполнена одной конкретной машиной Тьюринга U; иными словами, U, совершая действие над парой (n , m ), дает в результате p . Поскольку машина U должна производить операцию над обоими числами n и m , чтобы получить ответ, выражаемый одним числом p , то нам нужно придумать способ для записи пары (n, m) на одной ленте. С этой целью предположим, что n записывается в стандартной двоичной форме и заканчивается последовательностью 111110. (Вспомним, что двоичный номер всякой корректно определенной машины Тьюринга, — это последовательность символов, состоящая только из сочетаний вида 0, 10, 110, 1110 и 11110, поэтому он нигде не содержит более четырех единиц подряд. Таким образом, если T _n — корректно определенная машина, то появление последовательности 111110 действительно будет означать конец записи номера n .) Все, что следует за ней, должно быть просто записью числа m на ленте в соответствии с приведенными выше правилами (т. е. двоичное число m и строка 1000… непосредственно за ним). Таким образом, с этой второй частью ленты машина T _n и должна производить предполагаемые действия.

Если в качестве примера мы возьмем n =11 и m =6, то на ленте, вводимой в мащину U, мы будем иметь последовательность

000101111111011010000..

Она образована из следующих составляющих:

… 0000 (пустое начало ленты)

1011 (двоичное представление одиннадцати)

111110 (обозначает окончание числа n )

110 (двоичное представление шести)

10000… (остаток ленты)

То, что машина Тьюринга U должна была бы делать на каждом очередном шагу процедуры, выполняемой T _n над m — это исследовать структуру последовательности цифр в выражении n с тем, чтобы можно было произвести соответствующие изменения цифр числа m (т. е. «ленты» машины T _n ). В принципе, реализация такой машины не вызывает существенных затруднений (хотя и довольно громоздка на практике). Список ее собственных команд должен был бы просто содержать правила для чтения подходящей команды из «списка», закодированного в числе n , на каждом этапе выполнения действий над цифрами, считанными с «ленты», как они фигурируют в числе m . Можно предположить, что при этом совершалось бы значительное количество прыжков взад-вперед по ленте между цифрами, составляющими n и m , и выполнение процедуры было бы чрезвычайно медленным. Тем не менее, список команд подобной машины, несомненно, можно составить, и такая машина называется нами универсальной машиной Тьюринга. Обозначая ее действие на пару чисел (n, m ) через U( n , m ), мы получаем:

U( n , m ) = Т _n ( m )

при любых ( n , m ), для которых T _n — корректно определенная машина Тьюринга [47]. Машина U, в которую первым вводится число n , в точности имитирует n -ю машину Тьюринга!

Поскольку U— машина Тьюринга, то она сама будет иметь номер. То есть, для некоторого числа u имеем

U = T _u .

Сколь велико u ? В сущности, мы можем положить, что u в точности равно следующему числу:

u =7244855335339317577

198395039615711237

952360672556559631

108144796606505059

404241090310483613

632359365644443458

382226883278767626

556144692814117715

017842551707554085

657689753346356942

478488597046934725

739988582283827795

294683460521061169

835945938791885546

326440925525505820

555989451890716537

414896033096753020

431553625034984529

832320651583047664

142130708819329717

234151056980262734

686429921838172157

333482823073453713

421475059740345184

372359593090640024

321077342178851492

760797597634415123

079586396354492269

159479654614711345

700145048167337562

172573464522731054

482980784965126988

788964569760906634

204477989021914437

932830019493570963

921703904833270882

596201301773727202

718625919914428275

437422351355675134

084222299889374410

534305471044368695

876405178128019437

530813870639942772

823156425289237514

565443899052780793

241144826142357286

193118332610656122

755531810207511085

337633806031082361

675045635852164214

869542347187426437

544428790062485827

091240422076538754

264454133451748566

291574299909502623

009733738137724162

172747723610206786

854002893566085696

822620141982486216

989026091309402985

706001743006700868

967590344734174127

874255812015493663

938996905817738591

654055356704092821

332221631410978710

814599786695997045

096818419062994436

560151454904880922

084480034822492077

304030431884298993

931352668823496621

019471619107014619

685231928474820344

958977095535611070

275817487333272966

789987984732840981

907648512726310017

401667873634776058

572450369644348979

920344899974556624

029374876688397514

044516657077500605

138839916688140725

455446652220507242

623923792115253181

625125363050931728

631422004064571305

275802307665183351

995689139748137504

926429605010013651

980186945639498

(или какому-нибудь другому подходящему, не менее внушительному по величине числу). Это число, без сомнения, выглядит устрашающе большим! Оно, действительно, чрезвычайно велико, но я не вижу способа, как его можно было бы сделать меньше. Процедуры кодирования и определения, использованные мною для машин Тьюринга, вполне разумны и достаточно просты, и все же с неизбежностью приводят к подобным несуразно большим числам для реальной универсальной машины Тьюринга [48].

Я уже говорил, что все современные общеупотребительные компьютеры, по сути, являются универсальными машинами Тьюринга. Я ни в коем случае не подразумеваю под этим, что их логическая структура должна в точности походить на предложенную мной выше структуру универсальной машины Тьюринга. Однако суть дела состоит в том, что если сперва ввести в произвольную универсальную машину Тьюринга соответствующую программу (начало подаваемой на вход ленты), то потом она сможет копировать поведение любой машины Тьюринга! В предыдущем примере программа просто принимает форму одного числа (числа n ), но этим разнообразие возможных процедур и вариантов исходной схемы Тьюринга отнюдь не исчерпывается. В действительности я сам, описывая машину, несколько отклонился от того, что исходно было предложено Тьюрингом. Но ни одно из этих отклонений не имеет сейчас для нас существенного значения.

Неразрешимость проблемы Гильберта

Мы теперь вплотную подходим к той цели, ради которой Тьюринг с самого начала разрабатывал свою теорию — получить ответ на вопрос, заключенный в общей проблеме алгоритмической разрешимости, поставленной Гильбертом, а именно: существует ли некая механическая процедура для решения всех математических задач, принадлежащих к некоторому широкому, но вполне определенному классу? Тьюринг обнаружил, что он мог бы перефразировать этот вопрос следующим образом: остановится ли в действительности n- я машина Тьюринга, если на ее вход поступит число m Эта задача получила название проблемы остановки . Не так сложно составить список команд, для которых машина никогда не остановится при любом m (как, например, в случаях n = 1 или 2, рассмотренных в предыдущем разделе, а также во всех случаях, когда вообще отсутствует команда STOP). Точно так же существует множество списков команд, для которых машина будет останавливаться всегда, независимо от вводимого числа m (например, T ₁₁ ). Кроме того, некоторые машины при работе с одними числами останавливались бы, а с другими — нет. Совершенно очевидно, что алгоритм, который никогда не прекращает работу, бесполезен. Это, собственно, и не алгоритм вовсе. Поэтому важно уметь ответить на вопрос, приведет ли когда-нибудь работа машины T _n над данным числом m к какому-то ответу или нет! Если нет (т. е. процесс вычисления никогда не прекращается), то я буду выражать это следующей записью:

T _n (m ) = ^□.

(Сюда же включены машины, которые в ходе работы попадают в ситуацию, когда нет команды, определяющей их дальнейшее поведение, как это было в случае рассмотренных выше фиктивных машин T ₄ и T ₁ . К сожалению, наша на первый взгляд работоспособная машина T ₃ должна теперь также считаться фиктивной, т. е.

T ₃ (m ) = ^□, поскольку результатом ее действия всегда будет просто пустая лента, тогда как нам, чтобы приписать номер полученному ответу, нужна хотя бы одна единица на выходе! Машина T ₁₁ , однако, совершенно полноправна, поскольку она производит единственную 1. Результатом ее работы будет лента с номером 0, так что T ₁₁ ( m ) = 0 для любого m .)

В математике весьма важно иметь возможность установить момент, когда машина Тьюринга остановится. Рассмотрим для примера уравнение

( х+ 1) ^ω+3+ ( у+ 1) ^ω+3= ( z+ 1) ^ω+3.

(Не пугайтесь, даже если Вы не любите вникать в детали математических вычислений. Это уравнение используется здесь только в качестве примера, и от вас не требуется его глубокого понимания.) Это конкретное уравнение относится к известной (возможно, самой известной) и пока нерешенной математической проблеме. Проблема формулируется следующим образом: существует ли какой-либо набор х , у , z , ω , для которого это равенство выполняется. Знаменитое утверждение, записанное на полях «Арифметики» Диофанта великим французским математиком семнадцатого столетия Пьером де Ферма (1601–1665) и известное как «последняя теорема Ферма», гласит, что это равенство никогда не выполняется [49] [50]. Будучи адвокатом по профессии, Ферма тем не менее был искуснейшим математиком своего времени. (Ферма был современником Декарта.) В своей записи он утверждал, что знает «воистину прекрасное доказательство» своей теоремы, но поля книги слишком малы, чтобы его привести. До сегодняшнего дня никому так и не удалось ни воспроизвести это доказательство [51], ни найти опровергающий это утверждение пример!

Очевидно, что для заданной четверки чисел ( x, у, z, ω ) выяснить, выполняется это равенство или нет, можно простым вычислением. Значит, мы можем представить себе вычислительный алгоритм, который последовательно перебирает все возможные четверки чисел одну за другой и останавливается только тогда, когда равенство удовлетворяется. (Мы уже знаем, что для конечных наборов чисел существуют способы их кодирования на ленте вычислимым способом, а именно, в виде одного числа. Таким образом, перебор всех четверок можно провести, просто следуя естественному порядку соответствующих им одиночных чисел.) Если бы мы могли установить, что этот алгоритм никогда не останавливается, то это стало бы доказательством утверждения Ферма.

Сходным образом в терминах проблемы остановки машины Тьюринга можно перефразировать многие другие нерешенные математические проблемы. Примером такого рода проблем может служить так называемое предположение Гольдбаха: любое четное число, большее двух, может быть представлено в виде суммы двух простых чисел [52]). Процесс, с помощью которого можно установить, относится некоторое натуральное число к простым или нет, является алгоритмическим, поскольку достаточно проверить делимость данного числа на все числа, меньшие его, а это достигается с помощью конечного числа вычислительных операций. Мы можем придумать машину Тьюринга, которая перебирает четные числа 6, 8, 10, 12, 14…, пробуя все возможные способы разбиения их на пары нечетных чисел

6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7 = 5 +5,

12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11=7 + 7…

и убеждаясь, что для каждого четного числа какое-то из разбиений образовано двумя простыми числами. (Очевидно, нам не надо проверять пары четных слагаемых, кроме 2 + 2, поскольку все простые числа за исключением 2 — нечетные.) Наша машина должна остановиться только в том случае, если она находит четное число, для которого ни одно из разбиений не является парой простых чисел. В этом случае мы получили бы контрпример к предположению Гольдбаха, т. е. нашли бы четное число, большее 2, которое не является суммой двух простых чисел. Следовательно, если бы мы могли установить, останавливается машина Тьюринга когда-нибудь или нет, то тем самым мы выяснили бы, справедливо предположение Гольдбаха или нет.

Возникает естественный вопрос: каким образом следует определять, остановится какая-то определенная машина Тьюринга (в которую введены конкретные начальные данные) или нет? Для многих машин Тьюринга ответить на этот вопрос нетрудно, но, как мы видели выше, иногда для ответа может потребоваться решение какой-нибудь до сих пор не решенной математической задачи. Так существует ли некая алгоритмическая процедура для решения общей проблемы — проблемы остановки — полностью механическим путем? Тьюринг показал, что такой процедуры на самом деле нет.

В сущности, его доказательство сводилось к следующему. Предположим, наоборот, что указанный алгоритм существует [53]. Тогда существует и некая машина Тьюринга Н, которая «решает», остановится ли в конце концов n -я машина Тьюринга, действуя на число m . Условимся, что результатом действия машины Н будет лента с номером 0, если n -я машина не останавливается, и с номером 1 в противоположном случае:

Здесь мы могли бы воспользоваться способом кодирования пары ( n , m ), использованным ранее для универсальной машины Тьюринга U. Однако это привело бы к проблеме технического характера, поскольку при некоторых n (например, n = 7) T _n будет определена некорректно, и маркер 111101 будет непригоден для отделения на ленте n от m . Чтобы избежать этой проблемы, будем полагать, что n представлено не в двоичной, а в расширенной двоичной форме, тогда как для m будет по-прежнему использоваться обычная двоичная запись. В этом случае комбинации 110 будет достаточно для разделения n и m . Использование точки с запятой в обозначении Н( n ; m ) в отличие от запятой в обозначении универсальной машины U( n , m ) указывает на это различие в кодировании.

Представим себе теперь бесконечную таблицу, в которую включены окончательные результаты действий всех возможных машин Тьюринга на все возможные (различные) входные данные. В этой таблице N- й ряд представляет собой результаты вычислений n- й машины Тьюринга, полученные при ее работе последовательно с m = 0, 1, 2, 3, 4…:

Я немного «сжульничал» и не стал располагать машины Тьюринга по порядку их действительных номеров. Если бы я так сделал, то получился бы список, начало которого выглядело бы слишком скучным, поскольку все машины при значениях n меньших 11 не дают ничего, кроме ^□, а для n = 11 мы имеем просто нули. Дабы сделать начало этой таблицы более интересным, я предположил, что мы использовали некую гораздо более эффективную систему кодирования. Фактически, я просто присвоил ячейкам более или менее произвольные значения, только чтобы дать вам общее представление о том, как может выглядеть эта таблица.

На самом деле нам не требуется, чтобы эта таблица была построена путем вычислений, скажем, с помощью некоторого алгоритма. (На самом деле, как мы увидим далее, такого алгоритма и не существует.) Достаточно просто представить себе, что каким-то образом истинный список попал в наше распоряжение, возможно, с помощью Бога! Если бы мы попытались получить эту таблицу с помощью вычислений, то именно символы ^□вызвали бы затруднения, поскольку мы не могли бы с уверенностью сказать, когда в той или иной ячейке должен быть помещен символ ^□— ведь соответствующие вычисления никогда не заканчиваются!

Тем не менее искомую таблицу можно, построить с помощью вычислительной процедуры, если использовать нашу гипотетическую машину Н, поскольку она могла бы определить, где на самом деле появляются значения ^□. Однако вместо этого мы используем машину Н для того, чтобы избавиться от появления значений ^□в таблице, заменив их во всех случаях нулями. Это достигается за счет вычисления значения Н( n ; m ), предваряющего действие T _n на m , после чего мы позволим T _n производить соответствующие действия, только если H( n ; m ) = 1 (т. е. только тогда, когда вычисление T _n (m) приводит к определенному результату), и будем просто записывать в соответствующую ячейку 0 при Н( n ; m ) = 0 (т. е. если T _n ( m ) = ^□). Мы можем записать эту новую процедуру, представляющую собой последовательное действие Н( n ; m ) и T(m), как

T _n (m) х Н( n; m ).

(Здесь я использую общепринятую в математике договоренность о последовательности выполнения действий, согласно которой операция, записанная справа, должна выполняться первой. Обратите внимание, что в этом случае можно символически записать ^□х 0 = 0.)

Теперь таблица принимает следующий вид:

Заметьте, что, исходя из предположения существования машины Н, мы получаем ряды таблицы, состоящие из вычислимых последовательностей. (Под «вычислимой последовательностью» я понимаю бесконечную последовательность, элементы могут быть найдены один за другим посредством некоего алгоритма; это означает, что существует некоторая машина Тьюринга, которая, будучи применена поочередно к натуральным числам m = 0, 1, 2, 3, 4, 5…, производит члены рассматриваемой последовательности.) Обратите внимание на следующие два факта относительно этой таблицы. Во-первых, любая вычислимая последовательность натуральных чисел должна появиться где-то (может быть, далеко не сразу) среди рядов таблицы. Это свойство выполнялось уже и для исходной таблицы, содержавшей значения ^□. Мы просто добавили несколько рядов, чтобы заменить «фиктивные» машины Тьюринга (т. е. такие, которые приводят к ^□хотя бы в одном случае). Во-вторых, считая, что машина Тьюринга H существует, мы получили таблицу вычислительным путем(т. е. с помощью некоторого определенного алгоритма), а именно, посредством процедуры T _n (m) х Н( n ; m ). Иными словами, существует некая машина Тьюринга Q, применение которой к паре чисел ( n , m ) дает значение соответствующей ячейки таблицы. Для этой машины числа n и m на ленте можно кодировать таким же образом, как и для H, т. е. мы имеем

Q( n ; m ) = T _n ( m ) х H ( n ; m ).

Воспользуемся теперь разновидностью остроумного и мощного приема, так называемого диагонального процесса Георга Кантора. (Мы познакомимся с оригинальным вариантом этого метода в следующей главе.) Рассмотрим значения в ячейках, расположенных на главной диагонали таблицы — диагональные элементы (матрицы), — выделенные жирным шрифтом:

Эти элементы образуют некоторую последовательность 0,0,1,2,1,0, 3,7,1…., к каждому члену которой мы теперь прибавим единицу:

1, 1, 2, 3, 2, 1, 4, 8, 2…

Это, безусловно, механическая процедура, и, поскольку наша таблица была получена путем вычислений, мы получим новую вычислимую последовательность 1 + Q( n ; m ), т. е.

1 + T _n ( n ) х H ( n ; n )

(с учетом того, что для диагональных элементов n = m ). Но наша таблица содержит в себе все вычислимые последовательности, поэтому она должна содержать также и новую последовательность. Однако это невозможно! Ведь наша новая последовательность отличается от первого ряда первым элементом, от второго — вторым, от третьего — третьим, и т. д. Налицо явное противоречие, которое и устанавливает справедливость доказываемого нами утверждения о том, что машина Тьюринга H на самом деле не существует! Иными словами, не существует универсального алгоритма для решения вопроса об остановке произвольной машины Тьюринга.

Можно построить доказательство и по-другому. Для этого заметим, что из предположения о существовании H следует и существование машины Тьюринга с номером k , реализующей алгоритм (диагональный процесс!) 1 + Q( n ; n ), т. е. можно записать

1 + T _n ( n ) х H( n ; n ) = T _k ( n ).

Но если мы подставим в это выражение n = k , то получится

1 + T _k ( k ) x H( k ; k ) = T _k ( n ).

Мы приходим к противоречию, потому что если T _k ( k ) останавливается, то мы имеем невыполнимое равенство

1 + T _k ( k ) = T _k ( k )

(поскольку Н( k ; k ) = 1), тогда как в случае безостановочного действия T _k ( k ) (т. е. когда Н( k ; k ) = 0) мы получаем не менее абсурдное соотношение

1 + 0 = ^□.

Вопрос о том, останавливается ли конкретная машина Тьюринга или нет, представляет собой совершенно четко определенную математическую задачу (а ранее мы уже видели, что, наоборот, различные важные математические задачи могут быть сведены к вопросу об остановке машины Тьюринга). Таким образом, доказав, что не существует алгоритма для решения вопроса об остановке машины, Тьюринг показал (также как и Черч, который использовал свой собственный и весьма отличающийся подход), что не может быть и общего алгоритма для решения математических задач. Проблема разрешимости Гильберта не имеет решения !

Это не означает, что в каждом отдельном случае мы не в состоянии выяснить справедливость (или, наоборот, несостоятельность) некоторого конкретного математического утверждения или определить, остановится ли данная машина Тьюринга. С помощью интуиции, искусных технических приемов или же опираясь просто на здравый смысл, мы, вероятно, могли бы получить ответ на такие вопросы в частных случаях. (Так, например, если перечень инструкций некоторой машины Тьюринга не включает ни одной команды STOP или же, наоборот, состоит только из таких команд, то одного здравого смысла достаточно для решения вопроса о ее остановке!) Но не существует ни одного алгоритма, который позволял бы решать любую математическую задачу или давал ответ на вопрос об остановке любой машины Тьюринга при любых вводимых в нее числах.

Может показаться, что мы пришли к выводу о существовании по крайней мере нескольких неразрешимых математических вопросов. Однако это совсем не так! Мы не показали, что существует какая-то необычайно громоздкая машина Тьюринга, для которой (в некотором абсолютном смысле) невозможно решить вопрос об остановке при ее работе с каким-то особенно громоздким числом — в действительности, все как раз наоборот, как мы сможем скоро убедиться. Мы вообще ничего не говорили о неразрешимости какой-то отдельной задачи, а только лишь об алгоритмической неразрешимости классов задач. В каждом конкретном случае ответ будет либо «да», либо «нет», поэтому алгоритм для решения частной задачи, конечно, существует, а именно алгоритм, который при применении к этой задаче просто дает ответ «да» или, может быть, «нет»! Трудность в данном случае состоит в том, что мы не знаем, какой именно из имеющихся алгоритмов применять в том или ином случае. Это вопрос об установлении математической истинности отдельного утверждения, но не об общем решении проблемы для целого класса утверждений. Очень важно сознавать, что сами по себе алгоритмы не доказывают математическую истину. Решение о правомерности использования каждого алгоритма должно всегда приходить извне.

Как превзойти алгоритм

К вопросу о том, как установить истинность математических утверждений, мы вернемся позднее, в связи с теоремой Геделя (см. главу 4). Пока же я бы хотел обратить ваше внимание на то, что доказательство Тьюринга носит гораздо более конструктивный характер и не столь негативно, как могло показаться из предыдущего изложения. Мы ведь не показали, что есть некая определенная машина Тьюринга, для которой абсолютно невозможно решить, останавливается она или нет. Более того, если внимательно проследить за доказательством, то выяснится, что для кажущихся «чрезвычайно сложными» машин сама процедура Тьюринга, использованная для их построения, неявным образом дает ответ! Посмотрим, как это происходит. Допустим, у нас есть алгоритм, который иногда позволяет определить, что машина Тьюринга не остановится. Вышеописанная процедура Тьюринга позволяет явно проследить за вычислениями машины Тьюринга в случае, когда этот конкретный алгоритм не дает ответа на вопрос об остановке вычислительного процесса. Однако тем самым эта процедура дает нам в этом случае возможность узнать ответ! Конкретная машина Тьюринга, за работой которой мы следим, и вправду никогда не остановится.

Чтобы подробно разобраться в этом вопросе, предположим, что у нас есть некий алгоритм, который иногда позволяет решить проблему остановки. Как и ранее, мы обозначим этот алгоритм (машину Тьюринга) через H, но теперь мы допускаем, что этот алгоритм не всегда может точно определить, что машина Тьюринга не остановится:

так что Н( n ; m ) = ^□возможно в случае, когда T _n ( m ) = ^□. Существует немало алгоритмов типа Н( n ; m ). (Например, Н( n ; m ) мог бы просто давать на выходе 1, как только машина T _n ( m ) останавливается, хотя такой алгоритм едва ли представляет большой практический интерес!)

Мы можем повторить процедуру Тьюринга, следуя уже пройденным путем, с той только разницей, что теперь некоторые из « ^□» останутся не замененными на нули. Как и ранее, применив диагональный процесс, получим

1 + T _n ( n ) х H( n ; n )

в качестве n -го элемента диагонали. (Мы будем иметь ^□каждый раз, когда H( n ; n ) = ^□.

Отметим, что ^{□x □}= ^□, 1 + ^□= ^□.) Это безупречно алгоритмизованное вычисление, поэтому оно может быть произведено некоторой машиной Тьюринга, скажем k -й, и тогда мы получим

1 + T _n ( n ) х H( n ; n ) = Т _k ( n ).

Для k -го диагонального элемента (т. е. n = k ) мы имеем

1 + T _k ( k ) x H( k ; k ) = T _k ( k ).

Если вычисления Т _k ( k ) останавливаются, то мы приходим к противоречию ( в этом случае Н( k ; k ) должно равняться единице, но тогда возникнет невыполнимое равенство: 1+ Т _k ( k ) = Т _k ( k ) ). Значит, Т _k ( k ) не может остановиться, т. е.

Т _k ( k ) = ^□.

Но алгоритм не может этого «знать», потому что, если бы он давал Н( k ; k ) = 0, мы снова пришли бы к противоречию (мы получили бы тогда неверное соотношение 1+0= ^□).

Таким образом, если мы можем отыскать k , то мы знаем, как построить вычислительную процедуру, для которой алгоритм не дает решения проблемы остановки, но нам ответ известен! А как нам найти k ? Это непростая задача. Необходимо тщательно изучить конструкцию H( n ; m ) и T _n ( m ) и понять, как в точности действует 1 + Т _n ( n ) х Н( n ; n ) в качестве машины Тьюринга. Затем надо определить номер этой машины, который и есть k . Конечно, это выполнить трудно, но вполне возможно [54]. Из-за этих трудностей вычисление Т _k ( k ) нас бы вовсе не интересовало, не будь она специально предназначена для доказательства неэффективности алгоритма H! Важно то, что мы получили строго определенную процедуру, которая для любого наперед заданного алгоритма H позволяет найти такое k , что для Т _k ( k ) этот алгоритм не может решить проблему остановки, т. е. мы тем самым превзошли его. Возможно, мысль о том, что мы «умнее» каких-то алгоритмов, принесет нам некоторое удовлетворение!

На самом деле, упомянутая процедура настолько хорошо определена, что мы могли бы даже найти алгоритм для нахождения k по заданному H. Поэтому, прежде чем мы «погрязнем» в самодовольстве, мы должны осознать, что этот алгоритм может улучшить H [55], поскольку он, по сути, «знает», что Т _k ( k ) = ^□, - или все-таки нет? В предыдущем изложении было удобно использовать антропоморфный термин «знать» по отношению к алгоритму. Однако не мы ли в конечном счете «знаем», тогда как алгоритм просто следует определенным нами правилам? А может быть мы сами просто следуем правилам, запрограммированным в конструкции нашего мозга и в окружающей нас среде? Эта проблема затрагивает не только алгоритмы, но и то, как мы выносим суждения об истинности и ложности. К этим важнейшим проблемам мы вернемся позднее. Вопрос о математической истине (и ее неалгоритмической природе) будет рассмотрен в главе 4. На данный момент мы, по крайней мере, получили некоторое представление о значении слов «алгоритм» и «вычислимость» и достигли понимания некоторых из относящихся к ним вопросов.

Лямбда-исчисление Черча

Понятие вычислимости — очень важная и красивая математическая идея. Примечателен также и ее малый возраст в сравнении с другими столь же фундаментальными математическим проблемами: она была впервые выдвинута только в 1930-х годах. Эта проблема имеет отношение ко всем областям математики (хотя, справедливости ради, отметим, что большинство математиков пока не часто обращаются к вопросам вычислимости). Сила этой идеи связана отчасти с существованием четко определенных и все же неразрешимых математических операций (как, например, проблема остановки машины Тьюринга и некоторые другие, которые мы рассмотрим в главе 4). Если бы не было таких невычислимых объектов, то теория алгоритмической разрешимости не представляла бы особого интереса для математики. В конце концов, математики любят головоломки.

Задача о разрешимости определенной математической операции может их заинтриговать, особенно потому, что общее решение этой головоломки само по себе алгоритмически не разрешимо.

Следует сделать еще одно замечание. Вычислимость — это по-настоящему «абсолютная» математическая идея. Это абстрактное понятие, которое никак не зависит от какой-либо конкретной реализации в терминах «машин Тьюринга» в том виде, как я их описал выше. Как я уже указывал, нет необходимости придавать какое-либо специальное значение «лентам», «внутренним состояниям» и т. п., характерным для гениального, но тем не менее частного подхода Тьюринга. Существуют также и другие способы выражения идеи вычислимости, причем исторически первым было «лямбда-исчисление», предложенное американским логиком Алонзо Черчем совместно со Стивеном Клини. Процедура, предложенная Черчем, значительно отличалась от метода Тьюринга и была гораздо более абстрактна. Фактически, форма, в которой Черч изложил свою теорию, делала связь между ними и чем бы то ни было «механическим» совсем не очевидной. Главная идея, лежащая в основе процедуры Черча, абстрактна по своей сути — это математическая операция, которую сам Черч назвал «абстрагированием».

Мне кажется, что стоит привести краткое описание схемы Черча не только потому, что она подчеркивает математическую природу идеи вычислимости, не зависящую от конкретного понятия вычислительной машины, но и потому, что она иллюстрирует мощь абстрактных идей в математике. Читатель, не достаточно свободный в математике и не увлеченный излагаемыми математическими идеями как таковыми, скорее всего предпочтет сейчас перейти к следующей главе — и не утратит при этом нить рассуждений. Тем не менее я полагаю, что таким читателям будет небесполезно следовать за мной еще какое-то время и оценить чудесную по своей стройности и продуманности схему Черча (см. Черч [1941]).

В рамках этой схемы рассматривается «универсальное множество» различных объектов, обозначаемых, скажем, символами

каждый из которых представляет собой математическую операцию, или функцию. (Штрихованные буквы позволяют создавать неограниченные наборы символов для обозначения таких функций.) «Аргументы» этих функций, т. е. объекты, на которые эти функции действуют, в свою очередь являются объектами той же природы, т. е. функциями. Более того, результат действия одной функции на другую (ее «значение») также представляет собой функцию. (Поистине, в системе Черча наблюдается замечательная экономия понятий.) Поэтому, когда мы пишем [56]

а = bс ,

мы подразумеваем, что функция b , действуя на функцию c , дает в результате другую функцию а . В рамках этой схемы нетрудно сформулировать понятие функции двух или более переменных. Если мы хотим представить f как функцию двух переменных, скажем р и q , то мы можем просто написать

(fp)q

(что есть результат действия функции fp на функцию q ). Для функции трех переменных можно использовать выражение

((fp)q)r

и так далее.

Теперь мы можем перейти к описанию важнейшей операции абстрагирования. Для нее мы будем использовать греческую букву λ (лямбда). Непосредственно за ней будет следовать символ одной из функций Черча, скажем х , который мы будем рассматривать как «фиктивную переменную». Каждое появление х в квадратных скобках, следующих сразу за этим выражением, обозначает теперь просто место, куда подставляется все, что идет за всем этим выражением. Таким образом, когда мы пишем

λx . [ fx ],

мы подразумеваем функцию, которая при действии на, например, а имеет значение fа , т. е.

( λх . [ fx ]) a = fа .

Другими словами, λх . [ fх ] — это просто функция f , т. е.

λх . [ fх ] = f .

Сказанное выше требует определенного осмысления. Это одна из тех математических тонкостей, которые на первый взгляд кажутся настолько педантичными и тривиальными, что их смысл часто совершенно ускользает от понимания. Рассмотрим пример из знакомой всем школьной математики. Примем за f тригонометрическую функцию — синус угла. Тогда абстрактная функция «sin» будет определяться выражением

λх . [ sin х ] = sin .

(Не придавайте большого значения тому, что в качестве «функции» х может фигурировать величина угла. Мы скоро увидим, каким образом числа можно иногда рассматривать как функции, а величина угла — это просто число.) До сих пор все на самом деле тривиально. Однако представим себе, что обозначение «sin» не было изобретено, но нам известно о существовании представления sin х в форме степенного ряда:

Тогда мы могли бы ввести определение

Можно было поступить еще проще и определить, например, операцию «одна шестая куба», для которой не существует стандартного «функционального» обозначения:

Тогда, например,

К обсуждаемым проблемам большее отношение имеют выражения, составленные просто из элементарных функциональных операций Черча, таких как

λf.[f (fx)]

Это функция, которая, действуя на другую функцию, скажем g , дает дважды итерированную g , действующую на x

(λf.[f (fx)])g = g(gx) .

Мы могли бы сначала «абстрагироваться» от x и рассмотреть выражение

λf. [λх. [f (fх)]] ,

которое можно сократить до

λfx. [f (fx)] .

Это и есть операция, применение которой к g дает функцию «вторая итерация g ». По сути, это та самая функция, которую Черч обозначил номером 2 :

2 = λfx.[f (fx)] ,

так что (2g) y = g (gy) . Аналогичным образом он определил:

3 = λ fx. [f (f (fx))] ,

4 = λfх. [f (f (f (fx)))] , и т. д.,

а также

1 = λfх. [fх] и 0 = λ fx.

[x] .

Видно, что 2 Черча больше похоже на «дважды», 3 — на «трижды» и т. д. Значит, действие 3 на функцию f , т. е. 3f равносильно операции «применить f три раза», поэтому 3f при действии на у превращается в

(3f)y = f (f (f (y))) -

Посмотрим, как в схеме Черча можно представить очень простую математическую операцию — прибавление 1 к некоторому числу. Определим операцию

S = λabc. [b ((аb)с)] .

Чтобы убедиться, что S действительно прибавляет 1 к числу в обозначениях Черча, проверим ее действие на 3 :

поскольку (3b)с = b (b (bc)) . Очевидно, эта операция с таким же успехом может быть применена к любому другому натуральному числу Черча. (В действительности, операция

λаbс. [(аb)(bс)] приводит к тому же результату, что и S .)

А как насчет удвоения числа? Удвоение числа может быть получено с помощью операции

что легко видеть на примере ее действия на 3 :

Фактически, основные арифметические операции — сложение, умножение и возведение в степень могут быть определены, соответственно, следующим образом:

А = λfgxy. [((fx)(gx))y],

М = λfgx. [f (gx)],

P = λfg. [fg]

Читатель может самостоятельно убедиться (или же принять на веру), что

(Am) n = m + n ,

(Mm) n = m x n ,

(Pm) n = n ^m ,

где m и n — функции Черча для двух натуральных чисел, m + n — функция, выражающая их сумму, и т. д. Последняя из этих функций поражает больше всего. Посмотрим, например, что она дает в случае m = 2, n = 3 :

Операции вычитания и деления определяются не так легко (на самом деле нам потребуется соглашение о том, что делать с ( m — n ), когда m меньше n , и с ( m/n ), когда m не делится на n ). Решающий шаг в развитии этого метода был сделан в начале 1930-х годов, когда Клини удалось найти выражение для операции вычитания в рамках схемы Черча! Затем были описаны и другие операции. Наконец, в 1937 году Черч и Тьюринг независимо друг от друга показали, что всякая вычислимая (или алгоритмическая) операция — теперь уже в смысле машин Тьюринга — может быть получена в терминах одного из выражений Черча (и наоборот).

Это воистину замечательный факт, который подчеркивает глубоко объективный и математичный характер понятия вычислимости. На первый взгляд, понятие вычислимости по Черчу не связано с вычислительными машинами. И тем не менее, оно имеет непосредственное отношение к практическим аспектам вычислений. В частности, мощный и гибкий язык программирования LISP включает в себя как существенный элемент основные структуры исчисления Черча.

Как я отмечал ранее, существуют и другие способы определения понятия вычислимости. Несколько позже, но независимо от Тьюринга, Пост предложил во многом сходную концепцию вычислительной машины. Тогда же благодаря работам Дж. Хербранда и Геделя появилось и более практичное определение вычислимости (рекурсивности). X. Б. Карри в 1929 году, и ранее, в 1924, М. Шенфинкель, предложили иной подход, который был отчасти использован Черчем при создании своего исчисления (см. Ганди [1988]). Современные подходы к проблеме вычислимости (такие как машина с неограниченным регистром, описанная Катлендом [1980]) в деталях значительно отличаются от разработанного Тьюрингом и более пригодны для практического использования. Однако понятие вычислимости во всех этих подходах остается неизменным.

Как и многие другие математические идеи, особенно наиболее фундаментальные и красивые, идея вычислимости кажется овеществленной и объективно существующей в платоновском смысле. Именно к этому мистическому вопросу о платоновской реальности математических понятий мы и обратимся в следующих двух главах.