Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Страна Тор'Блед-Нам

Представим себе, что мы совершаем большое путешествие в некий далекий мир. Назовем его Тор'Блед-Нам. Наша телеметрическая система зарегистрировала сигнал, вывела его на монитор и, отфокусировав изображение, мы увидели следующую картину (рис. 3.1):

Что бы это могло быть? Странного вида насекомое? А может быть, темное озеро с многочисленными втекающими в него ручьями? Или огромный причудливой формы внеземной город, с исходящими в разных направлениях дорогами, которые ведут в расположенные поблизости городки и деревушки? Возможно, это остров — и если это так, то давайте поищем поблизости континент, с которым он связан. Для этого «отойдем назад», т. е. уменьшим увеличение наших приборов раз в 15. И вот — посмотрите-ка — этот новый мир предстал перед нашим взором во всей своей полноте (рис. 3.2):

На рис. 3.2 наш «островок» выглядит как маленькая точка под стрелкой «рис. 3.1». Все волокна (ручьи, дороги, мосты?), исходящие из первоначального островка, обрываются, за исключением одного — того, что выходит из внутренней части расположенной справа расщелины, и который, в свою очередь, соединен с объектом гораздо большего размера (он изображен на рис. 3.2). Последний, как нетрудно заметить, подобен первоначальному островку, хотя их формы несколько отличаются. При более подробном рассмотрении «береговой линии» выявляются бесчисленные округлые выступы, края которых, в свою очередь, густо усеяны выступами такой же формы. Каждый маленький выступ соединен в каком-нибудь месте с более крупным, и все вместе они образуют бородавчатую структуру, где более крупные выступы покрыты наростами помельче, те — еще более мелкими и т. д. По мере того, как картина становится все более отчетливой, мы видим мириады мельчайших волокон, исходящих из рассматриваемой структуры. Сами волоконца ветвятся в разных местах, беспорядочно извиваясь. В некоторых частях волокон просматриваются узлы более сложной структуры, неразрешимые при данном увеличении приборов. Ясно, что наш объект — это никакой не остров или континент, и даже не пейзаж. Не исключено, что перед нашим взором чудовищный жук, а то, что мы увидели вначале, — это его детеныш, все еще соединенный с родителем своеобразной волокнистой пуповиной.

Давайте исследуем один из наростов у нашего насекомого, для чего увеличим разрешение примерно в десять раз (см. рис. 3.3 — соответствующая область на рис. 3.2. отмечена как «рис. 3.3»).

Своим видом нарост сильно напоминает все существо целиком, за исключением места соединения. Обратите внимание, что на рис. 3.3 имеется множество точек, в которых сходятся пять волокон. По-видимому, этому конкретному наросту свойственна некая «пятеричность» (точно также как для самой верхней «бородавки» на рис. 3.2 характерна определенная «троичность»). На самом деле, если исследовать (на рис. 3.2) расположенный чуть ниже и левее следующий разумного размера нарост, то мы обнаружим у него «семеричность», а у следующего — характерную «девятеричность» и т. д. При углублении во впадину между двумя самыми крупными областями на рис. 3.2, справа будут встречаться наросты с постоянно нарастающим нечетным числом лучей. Давайте всмотримся внимательно вниз вглубь заостренной впадины, повысив увеличение еще в десять раз по сравнению с рис. 3.2 (рис. 3.4).

Мы обнаружим множество других мельчайших наростиков на фоне общего беспорядочного завихрения. Справа видны едва различимые спиралевидные структуры, напоминающие «хвосты морских коньков», расположенные в области, которую мы так и назовем — «долина морских коньков». Здесь нам встретятся — если смотреть на это место при достаточно большом увеличении — разнообразные «морские анемоны» или области с богатой флорой. В конце концов, перед нами действительно может быть какой-то экзотический берег — возможно, коралловый риф, изобилующий всевозможными формами жизни. Объект, принятый нами за цветок, при более сильном увеличении может оказаться состоящим из мириада мельчайших и при этом невероятно сложных структур, с многочисленными волокнами и вихреобразными спиралевидными хвостами. Давайте рассмотрим подробнее один из более крупных хвостов морских коньков, а именно — едва различимое образование, обозначенное на рис. 3.4 как «рис. 3.5» (и соединенное с 29-ричным наростом!). Повысив увеличение в 250 раз, мы увидим изображенную на рис. 3.5 спираль.

При этом окажется, что это не обычный хвост: и он тоже состоит из сложнейших вихреобразных структур с многочисленными мельчайшими спиралями и областями в форме осьминогов и морских коньков!

Во многих местах видно, что исследуемые нами структуры расположены точно в том месте, где сходятся две спирали. Рассмотрим одно такое место (обозначенное как «рис. 3.6» на рис. 3.5) с дополнительным 30-кратным увеличением. Посмотрите-ка: в самой середине теперь виднеется странный объект, в котором, однако, есть что-то знакомое. Увеличим изображение еще в шесть раз (рис. 3.7) — появляется крохотный дочерний объект, практически идентичный всей структуре!

При более внимательном рассмотрении обнаруживаются некоторые отличия присоединенных к этой субструктуре волокон от тех, что выходят из основной структуры, — новые волокна, закручиваясь, уходят на значительно большие относительные расстояния. И при этом маленькое существо выглядит почти неотличимым от своего родителя, — у него даже есть аналогично расположенные собственные детеныши. Можно было бы исследовать и их, если вновь повысить увеличение приборов. «Внуки» тоже будут напоминать своего общего предка — и нетрудно увидеть, что так может продолжаться до бесконечности. Этот странный мир Тор'Блед-Нам можно исследовать как угодно долго, постоянно увеличивая разрешающую способность нашей системы наблюдения. И тогда перед нами предстанет бесконечное разнообразие: никакие две области не являются в точности одинаковыми, но всем им свойственны общие черты, которые очень быстро становятся узнаваемыми. Знакомые нам уже жукообразные существа появляются на все меньших и меньших масштабах. Каждый раз при этом расположенные рядом волокнистые структуры отличаются от предыдущих, демонстрируя новые фантастические сцены невероятной сложности.

В какой же странной и удивительно замысловатой по своей структуре стране мы оказались? Не сомневаюсь, что многие читатели уже знакомы с ней, но не все. Это не что иное, как фрагмент абстрактной математики — множество, известное под названием множества Мандельброта [57]. При всей его несомненной сложности оно получается на редкость простым образом! Чтобы как следует объяснить правила построения этого множества, необходимо сначала рассказать о том, что такое комплексные числа . Именно этим я сейчас займусь. Комплексные числа нам понадобятся и в дальнейшем. Они являются неотъемлемой частью структуры квантовой механики и вследствие этого лежат в основе поведения самого мира, в котором мы живем. Кроме того, комплексные числа являют собой одно из великих чудес математики. Чтобы объяснить, что такое комплексные числа, мне сначала потребуется напомнить вам, что подразумевается под термином «действительные числа». Не лишним будет также отметить связь этого понятия с действительностью «реального мира»!

Действительные числа

Напомним, что натуральные числа являются целыми величинами:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…

Это самый элементарный и фундаментальный вид чисел. Ими можно количественно измерить любую дискретную сущность: можно говорить о двадцати семи овцах в поле, двух вспышках молнии, двенадцати ночах, тысяче слов, четырех беседах, нуле новых идей, одной ошибке, шести отсутствующих, двукратной смене направления и т. д. Натуральные числа можно складывать или перемножать, получая при этом новые натуральные числа. Мы использовали эти числа при обсуждении алгоритмов в предыдущей главе.

На самом деле при счете дат имеет место некоторое отступление от этого правила, поскольку нулевой год пропускается.

Тем не менее некоторые важные математические операции могут все же вывести нас за пределы мира натуральных чисел. Простейшая из них — вычитание. Для систематического определения вычитания нам понадобятся отрицательные числа. Теперь мы можем выстроить всю систему целых чисел:

… -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0,

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…

Некоторые вещи — такие, как электрический заряд, банковские балансы или даты [58], измеряются количественно этими числами. Однако сфера применения целых чисел все же слишком ограничена, поскольку деление одного числа на другое может оказаться неразрешимой задачей в рамках целых чисел. Соответственно, нам понадобятся дроби, или, как их называют, рациональные числа:

0, 1, -1, 1/2, -1, 2, -2, 3/2, -3/2, 1/3…

Этих чисел достаточно для операций конечной арифметики, но для очень многих задач нам потребуется пойти еще дальше, с тем чтобы охватить бесконечные операции или операции перехода к пределу. Например, хорошо известная — и играющая огромную роль в математике — величина ж возникает как результат многих бесконечных выражений. В частности, мы имеем:

а также

Это знаменитые выражения. Первое из них было найдено английским математиком, филологом и криптографом Джоном Уоллисом в 1655 году, а второе — шотландским математиком и астрономом (а также изобретателем первого телескопа-рефлектора) Джеймсом Грегори в 1671 году. Как и π , определенные подобным образом числа не обязаны быть рациональными (то есть представляться в виде m/n , где m и n — целые числа, причем n не равно нулю). Систему чисел необходимо расширить, обеспечив возможность включения в нее таких величин.

Расширенная таким образом система чисел называется системой действительных чисел— тех самых хорошо знакомых нам чисел, что представляются в виде бесконечных десятичных дробей, таких как:

―583,70264439121009538…

В этом представлении мы получаем следующее известное выражение для числа π :

π = 3,14159265358979323846….

Другими примерами чисел, представимых таким образом, являются квадратные корни (или кубические корни, или корни четвертой степени) из положительных рациональных чисел, такие как:

√2= 1,41421356237309504…

или же квадратные корни (или кубические корни и т. д.) любого положительного числа, как, например, выражение для числа π , найденное великим швейцарским математиком Леонардом Эйлером:

π = √6 (1 + 1/4 + 1/9 + 1/25 + 1/36 +…).

Действительные числа нам в сущности хорошо знакомы — мы с ними сталкиваемся в повседневной жизни. Правда обычно нас интересуют всего лишь приближения к этим числам и мы предпочитаем ограничиваться разложениями, состоящими из небольшого числа десятичных знаков. Тем не менее, в математических утверждениях может потребоваться точное задание действительных чисел и, как следствие, необходимость в некотором бесконечном способе описания наподобие бесконечной десятичной дроби, или какого-нибудь иного бесконечного математического выражения вроде приведенных выше формул для числа π , предложенных Уоллисом, Грегори и Эйлером. (В дальнейшем я буду обычно использовать десятичные дроби, но лишь потому, что они нам наиболее привычны. У математиков есть множество разных и более удовлетворительных способов представления действительных чисел, но нас это здесь не интересует.)

Может создаться впечатление, что представить себе все бесконечное десятичное разложение целиком невозможно, но это не так. Вот простой пример, когда вся последовательность знаков оказывается явным образом обозримой:

1/3 = 0,333333333333333…

Многоточие указывает на то, что последовательность троек продолжается бесконечно. Для получения полного представления об этом разложении достаточно знать, что оно действительно состоит из неограниченной последовательности одних лишь троек. У каждого рационального числа есть повторяющееся (или конечное) десятичное представление вроде:

93/74 = 1,2567567567567567…,

где последовательность 567 повторяется неограниченное число раз. Это число тоже оказывается полностью обозримым. Также обозримым является выражение

0,220002222000002222220000000222222220…

которое определяет иррациональное число (оно просто состоит из последовательностей нулей и двоек, длины которых каждый раз увеличиваются на единицу), и еще много похожих выражений. В каждом таком случае нам достаточно знать правило, по которому составлено разложение. Знание алгоритма порождения очередной цифры в разложении числа — при условии, что такой алгоритм существует — дает нам способ «увидеть» целиком все бесконечное десятичное разложение. Действительные числа с алгоритмически порождаемыми десятичными разложениями называются вычислимыми числами (см. также гл.2 «Числа, отличные от натуральных»). (При этом не важно, десятичное это разложение или двоичное. Вычислимыми в этом смысле оказываются одни и те же числа, независимо от использованного основания разложения.) Только что рассмотренные числа π и √ 2 представляют собой примеры вычислимых чисел. В обоих случаях подробное описание соответствующего правила — задача довольно-таки кропотливая, но, в принципе, нетрудная.

Есть, однако, действительные числа, которые не являются вычислимыми в упомянутом выше смысле. Как мы убедились в главе 2, существуют невычислимые и при этом совершенно четко определенные последовательности. В качестве примера можно рассмотреть десятичное разложение, в котором n-я цифра равна 0 или 1 в зависимости от того, останавливается или нет n-я машина Тьюринга, производящая действия над числом n. В общем случае мы потребуем лишь, чтобы для действительного числа существовало какое-нибудь бесконечное десятичное разложение. Мы не только не требуем существования алгоритма порождения n-й цифры, но нам даже не обязательно знать о существовании какого бы то ни было правила, в принципе определяющего n-ю цифру [59]. Заметим, что вычислимые числа неудобны в работе. Невозможно обойтись одними лишь вычислимыми операциями, даже оперируя вычислимыми числами. Например, в общем случае вычислимым образом невозможно даже решить, равны ли два вычислимых числа друг другу! По этой причине мы будем работать со всеми действительными числами, когда десятичная последовательность может быть любой, а не только, скажем, вычислимой.

В заключение отметим также тождественность действительных чисел, чьи десятичные разложения заканчиваются бесконечной последовательностью девяток, и чисел, чьи разложения заканчиваются бесконечной последовательностью нулей. Например:

— 27,1860999999… = -27,1861000000…

Сколько же всего действительных чисел?

Давайте остановимся на минутку, чтобы оценить всю колоссальность обобщения при переходе от рациональных чисел к действительным.

Вначале может показаться, что целых чисел больше, чем натуральных, поскольку каждое натуральное число является целым, в то время как некоторые целые числа (а именно отрицательные) натуральными не являются. Аналогично может создаться впечатление, что дробей больше, чем целых чисел. Однако это не так. Согласно мощной и очень красивой теории бесконечных чисел, разработанной в конце XIX века Георгом Кантором — исключительно самобытным немецким математиком русского происхождения, — общее число дробных чисел, общее количество всех целых чисел и число всех натуральных чисел равны одному и тому же бесконечному числу, обозначаемому ℵ₀ [60]«алеф-нуль»). (Удивительно, что похожая идея была частично предвосхищена еще за 250 лет до этого в начале XVII века великим итальянским физиком и астрономом Галилео Галилеем. Мы вспомним о некоторых других достижениях Галилея в главе 5.) Равенство количества целых чисел количеству натуральных чисел видно из следующего взаимно-однозначного соответствия:

Обратите внимание, что каждое целое число (в левом столбце) и каждое натуральное число (в правом столбце) встречаются один и только один раз в своем списке. В канторовской теории множеств именно существование такого рода взаимно-однозначного соответствия устанавливает факт равенства числа объектов в левом столбце числу объектов в правом столбце. Таким образом, число целых чисел действительно равно числу натуральных чисел. В данном случае это число бесконечно, но это не Имеет значения. (Единственное необычное свойство бесконечных чисел состоит в том, что даже если мы исключим некоторые элементы одного из списков, мы можем установить взаимно-одиозначное соответствие между элементами двух списков.) Аналогичным, хотя и несколько более сложным образом, устанавливается взаимно-однозначное соответствие между дробными и целыми числами. (Для этого можно использовать какой-либо из способов представления пар натуральных чисел — числителей и знаменателей — через отдельные натуральные числа; см. главу 2, «Двоичная запись цифровых данных») Множества, которые можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с рядом натуральных чисел, называются счетными; таким образом, счетные бесконечные множества — это множества, состоящие из N ₀ элементов. И, как мы только что убедились, множество целых чисел, равно как и множество дробных чисел, является счетным.

Существуют ли множества, не являющиеся счетными? Несмотря на расширение натуральной системы чисел сначала целыми, а затем и рациональными числами, общее число рассматриваемых объектов не увеличилось. Как мы убедились, число объектов во всех случаях осталось счетным. У читателя теперь может создаться впечатление, что все бесконечные множества счетны. Это не так, поскольку ситуация меняется коренным образом при переходе к действительным числам. Одним из замечательных достижений Кантора явилось доказательство того, что действительных чисел больше, чем натуральных. При этом Кантор применил так называемый диагональный процесс, который упоминался в главе 2 и который Тьюринг использовал в своем доказательстве неразрешимости проблемы остановки Для машин Тьюринга. Доказательство Кантора, как и более позднее доказательство Тьюринга, — это доказательство от противного. Предположим, что утверждение, справедливость которого мы хотим установить, на самом деле ложно, то есть множество действительных чисел счетно. Тогда множество действительных чисел в интервале от 0 до 1 должно быть заведомо счетным и должен существовать какой-нибудь список, устанавливающий взаимно-однозначное соответствие между рассматриваемым множеством действительных чисел и множеством натуральных чисел, наподобие вот этого:

Жирным шрифтом выделены диагональные десятичные знаки. В данном случае эти цифры равны:

1, 4, 1, 0, 0, 3, 1, 4, 8, 5, 1…..

Метод диагонального процесса состоит в построении действительного числа (в интервале от 0 до 1), чье десятичное разложение (после десятичной запятой) отличается в каждом разряде от соответствующего числа приведенной выше последовательности. Для определенности положим, что цифра данного разряда равна 1, если цифра соответствующего разряда на диагонали отлична от 1, и равна 2, если цифра на диагонали равна 1. Таким образом, в рассматриваемом случае получается такое действительное число:

0,21211121112…

Это действительное число не может быть в списке, поскольку оно отличается от первого числа в первом десятичном разряде (после десятичной запятой), от второго числа — во втором разряде, от третьего числа — в третьем разряде и т. д. Таким образом, мы приходим к противоречию, поскольку полагали, что рассматриваемый список содержит все действительные числа в интервале от 0 до 1. Из этого противоречия следует истинность утверждения, которое нам требовалось доказать, — а именно, что не существует взаимно-однозначного соответствия между множеством действительных чисел и множеством натуральных чисел и, соответственно, что число действительных чисел больше числа рациональных чисел и не является счетным.

Число действительных чисел равно бесконечному числу, обозначаемому С. (Здесь С является сокращенным обозначением слова континуум — другого названия системы действительных чисел.) Может возникнуть вопрос, почему мы не обозначаем это число, например, N ₁. Символ N ₁ на самом деле обозначает следующее за N ₀ бесконечное число, а вопрос о том, верно ли утверждение С= N ₁— это так называемая континуум-гипотеза , — представляет собой знаменитую и пока что нерешенную проблему.

При этом следует отметить, что множество вычислимых чисел счетно. Пересчитать их можно просто перечислив по порядку машины Тьюринга, порождающие действительные числа (то есть машины, последовательно порождающие цифры каждого разряда действительных чисел). При этом можно исключить из списка любую машину Тьюринга, порождающую действительное число, которое уже встречалось ранее в списке. Поскольку множество машин Тьюринга счетно, то, следовательно, счетным также должно быть и множество вычислимых действительных чисел. Почему же нельзя применить диагональный процесс к этому списку с тем, чтобы породить новое не включенное в список вычислимое число? Ответ состоит в том, что в общем случае невозможно с помощью вычислений решить, следует ли ту или иную машину Тьюринга включать в список, поскольку для этого мы должны были бы иметь возможность решить проблему остановки. Некоторые машины Тьюринга, начав порождение цифр действительного числа, могут зависнуть и оказаться уже не в состоянии выдать очередную цифру (поскольку они «не остановятся»). Не существует вычислимого способа, который позволил бы решить, какие именно машины Тьюринга зависнут таким образом. Это, в сущности, и есть проблема остановки. Значит, хотя метод диагонального процесса и породит некоторое действительное число, последнее не будет вычислимым. На самом деле, это рассуждение может использоваться для доказательства существования невычислимых чисел. Именно в этом ключе выдержано описанное в предыдущей главе тьюринговское доказательство существования классов алгоритмически неразрешимых задач. Другие области применения диагонального процесса будут рассмотрены дальше.

«Действительность» действительных чисел

Если отвлечься от понятия вычислимости, то действительные числа называются «действительными», потому что они, как представляется, дают величины, необходимые для измерения расстояний, углов, времени, энергии, температуры и многих других геометрических и физических параметров. Однако связь абстрактно определенных «действительных» чисел с физическими величинами не так проста, как может показаться. Действительные числа следует рассматривать скорее как некоторую математическую идеализацию, чем как реальную меру физически объективных величин. Система действительных чисел обладает, например, таким свойством, что между любыми двумя действительными числами (вне зависимости от их близости) существует третье действительное число. При этом совершенно не ясно, можно ли обоснованно утверждать то же самое о физических расстояниях или промежутках времени. Если мы продолжим дробить физическое расстояние между двумя точками, то мы в конце концов достигнем масштабов столь малых, что само понятие расстояния в обычном его смысле станет бессмысленным. Предполагается, что это действительно имеет место на масштабах, характерных для квантовой теории гравитации, которые в 10 ²⁰раз [61]меньше размеров субатомных частиц. Но чтобы отобразить действительные числа нам потребуется дойти до сколь угодно более мелких масштабов, которые, например, в 10 ²⁰⁰, 10 ²⁰⁰⁰или даже в

раз меньше размеров частиц. И совершенно не ясно, есть ли какой бы то ни было физический смысл у столь абсурдно малых масштабов. То же самое можно сказать и в отношении столь же малых интервалов времени.

Система действительных чисел выбрана в физике в силу ее математической полезности, простоты и изящества, а также поскольку она согласуется на очень широком интервале масштабов с физическими понятиями пространства и времени. Она выбрана не потому, что мы будто бы знаем, что она согласуется с упомянутыми физическими величинами на всех масштабах. Такое согласие вполне может не иметь места на очень малых пространственных и временны́х масштабах. Обычные расстояния измеряются при помощи линейки, но линейка оказывается «зернистой» при переходе к масштабам образующих ее атомов. Само по себе это не мешает нам продолжать использовать действительные числа подходящим образом, но измерение меньших расстояний требует уже гораздо большей изобретательности. По крайней мере, мы должны быть готовы предположить, что на очень-очень малых масштабах могут встречаться принципиальные трудности с расстояниями. Как оказывается, природа оказалась к нам на удивление благосклонна, сделав те самые действительные числа, которые мы привыкли повседневно применять для описания предметов на макромасштабах, пригодными для описания расстояний гораздо меньших атомных — по крайней мере, на масштабах, равных одной сотой «классического» диаметра элементарной частицы — такой, как электрон или протон, — и, по-видимому, вплоть до «масштабов квантовой теории гравитации», что на двадцать порядков меньше размеров таких частиц! Это пример исключительно сильной экстраполяции нашего опыта. Сфера применимости привычного понятия расстояния, измеряемого действительными числами, по-видимому, простирается до самых далеких квазаров и еще дальше. Общий диапазон измеримых расстояний составляет 10 ⁴², а может быть, 10 ⁶⁰или даже больше. Кстати, сомнения в правомерности использования системы действительных чисел высказывались не так уж часто. Почему же мы так уверены в том, что эти числа дают точное описание физических явлений, хотя реально об их применимости мы знаем лишь в весьма ограниченном диапазоне масштабов? Должно быть, эта уверенность — возможно, неверная — основывается на (правда, не очень часто признаваемых) логическом изяществе, внутренней согласованности и математической мощи системы действительных чисел в сочетании с верой в глубинную математическую гармонию природы.

Комплексные числа

Оказывается, что действительные числа — это не единственная математически мощная и изящная система чисел. Система действительных чисел все же не лишена некоторых неудобств. Например, квадратные корни можно извлекать только из положительных чисел (или нуля), но никак не из отрицательных чисел. С математической точки зрения — и отвлекаясь пока что от вопроса о непосредственной связи с физическом миром — было бы очень удобно иметь возможность извлекать квадратные корни как из положительных, так и из отрицательных чисел. Давайте постулируем существование, или попросту «изобретем» квадратный корень из числа -1 . Обозначим его буквой i . Тогда мы имеем:

i ²= -1 .

Величина i , конечно же, не может быть действительным числом, поскольку произведение действительного числа на самого себя всегда положительно (или равно нулю, если само число равно нулю). Поэтому числа, квадраты которых отрицательны, обычно называют мнимыми . Следует, однако, отметить, что эти «мнимые» числа не менее реальны, чем ставшие уже привычными «действительные» числа. Как я уже отмечал выше, связь таких «действительных» чисел с физической реальностью далеко не столь непосредственна и убедительна, как может показаться на первый взгляд, и основана на математической идеализации о допустимости бесконечного уточнения, которая не имеет ясного априорного обоснования в природе.

Имея квадратный корень из -1 , можно без особого труда получить квадратные корни для всех действительных чисел. Если а является положительным действительным числом, то величина i х √ a есть квадратный корень из отрицательного действительного числа — а . (У этого числа есть еще другой квадратный корень, а именно — i х √ а .) Ну, а что же можно сказать о самом числе i ? Есть ли у него квадратный корень? Разумеется есть, поскольку, как легко проверить, величина

1 + i /√ 2

(равно как и та же величина, взятая с отрицательным знаком), будучи возведена в квадрат, равна i . А у этой величины, в свою очередь, есть квадратный корень? Ответ опять положительный: квадрат числа

или того же числа, взятого с отрицательным знаком, действительно равен (1 + i)/√2.

Обратите внимание, что при образовании такого рода величин мы позволили себе складывать действительные и мнимые числа, а также умножать наши числа на произвольные действительные числа (или делить их на произвольные ненулевые действительные числа, а это то же самое, что умножать их на обратные величины). Получаемые таким образом объекты называются комплексными числами . Комплексное число это число вида: а + ib , где а и b — это действительные числа, называемые, соответственно, действительной и мнимой частью комплексного числа. Правила сложения и умножения двух таких чисел вытекают из обычных правил (школьной) алгебры с одним дополнительным правилом i ² = — 1 :

(а + ib) + (с + id) = (а + с) + i(b + d),

(а + ib) х (с + id) = (ас — bd) + i(ad + bc).

Удивительное дело: к созданию этой системы чисел нас подтолкнуло желание иметь возможность извлечения квадратных корней из любых чисел. Эта цель достигнута, хотя само по себе это еще не очевидно. Но новая система чисел позволяет делать гораздо больше: безнаказанно извлекать кубические корни, корни пятой степени, корни девяносто девятой степени, корни π -й степени, корни степени 1 + i и т. д. (это смог доказать еще в XVIII веке великий математик Леонард Эйлер). В качестве другого примера волшебных свойств комплексных чисел рассмотрим довольно сложные на вид тригонометрические формулы, которые проходят в школе. Так, синус и косинус суммы двух углов

sin (А + В) = sin A cos В + cos A sin В,

cos (А + В) = cos A cos В — sin A sin В

представляют собой, соответственно, просто-напросто мнимую и действительную части гораздо более простого (и легче запоминаемого!) комплексного уравнения [62]:

e ^iA+iB= e ^iAe ^iB

Все, что нам нужно здесь знать, это «формула Эйлера» (по-видимому, полученная за много лет до Эйлера замечательным английским математиком XVI века Роджером Котсом):

e ^iA= cosA+i sinA,

которую мы теперь подставим в приведенное выше уравнение. В результате имеем:

cos (А + B) + i sin (А + В) = (cosА + i sinA)(cosВ + i sinВ),

и, выполнив умножение в правой части, получим искомые тригонометрические соотношения.

Более того, любое алгебраическое уравнение

(где a ₀, a ₁, a ₂…., a _n являются комплексными числами и a _n≠ 0) всегда имеет своим решением некоторое комплексное число z . Например, существует комплексное число, удовлетворяющее соотношению:

z ¹⁰²+ 999 z ³³— πz ²= — 417 + i, хотя это совершенно не очевидно!

Это общее свойство иногда называют «основной теоремой алгебры». Многие математики XVIII века старались доказать этот результат. Получить удовлетворительное доказательство в общем случае оказалось не под силу даже Эйлеру. И только в 1831 году великий математик и естествоиспытатель Карл Фридрих Гаусс предложил потрясающий по своей оригинальности ход рассуждений и представил первое общее доказательство. Ключевым компонентом этого доказательства было применение топологических [63]рассуждений к геометрическому представлению комплексных чисел.

На самом деле Гаусс не был первым, кто использовал геометрическое представление комплексных чисел. Уоллис сделал то же самое примерно за двести лет до Гаусса, хотя далеко не столь результативно. Геометрическое представление комплексных чисел обычно связывают с именем Жана Робера Аргана — швейцарского бухгалтера, описавшего это представление в 1806 году, хотя полное описание этого представление было на самом деле дано девятью годами раньше норвежским геодезистом Каспаром Весселем. Согласно этой традиционной (хотя и не совсем правильной с исторической точки зрения) терминологии, я буду называть стандартное геометрическое представление комплексных чисел плоскостью Аргана.

Плоскость Аргана представляет собой обычную евклидову плоскость со стандартными декартовыми координатами x и y , где x обозначает расстояние по горизонтали (положительное вправо и отрицательное влево), а у — расстояние по вертикали (положительное вверху и отрицательное внизу). В этом случае комплексное число z = х + iy представляется точкой на плоскости Аргана с координатами ( x , y ) (рис. 3.8).

Обратите внимание, что число 0 (рассматриваемое как комплексное число) соответствует началу координат, а число 1 — одной из точек на оси х .

Плоскость Аргана есть просто способ геометрически наглядной организации семейства комплексных чисел. Такое представление не является для нас чем-то совершенно новым. Мы уже знакомы с геометрическим представлением действительных чисел — в виде прямой линии, простирающейся на неограниченное расстояние в обоих направлениях. Одна из точек обозначена как 0 , а еще одна — как 1 . Точка 2 смещена относительно точки 1 равно настолько, насколько точка 1 смещена относительно точки 0 ; точка 1/2 расположена в точности посередине между точками 0 и 1 ; точка - 1 расположена так, что точка 0 находится в точности посередине между точками - 1 и 1 , и т. д., и т. п. Отображенное таким образом множество действительных чисел называется действительной прямой . В случае комплексных чисел у нас есть уже целых два действительных числа — а и b — которые могут рассматриваться как координаты комплексного числа а + ib . Эти два числа дают нам две координаты точки на плоскости, в данном случае — на плоскости Аргана. Для примера я указал на рис. 3.9 приблизительные положения комплексных чисел

u = 1 + i 1,3, v = - 2 + i, w = - 1,5— i 0,4.

Теперь основные алгебраические операции сложения и умножения комплексных чисел приобретают ясную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим сначала сложение. Предположим, что u и v это два комплексных числа, представленные на плоскости Аргана в соответствии с описанной выше схемой. Тогда сумма этих двух чисел u + v представляется «векторной суммой» двух точек, то есть точка u + v находится на месте недостающей вершины параллелограмма, образованного точками u , v и началом координат 0 . Нетрудно убедиться, что эта конструкция (рис. 3.10) действительно дает сумму двух чисел, но соответствующее доказательство я здесь опускаю.

Произведение uv двух комплексных чисел тоже имеет простую, хотя и, быть может, несколько менее очевидную геометрическую интерпретацию (рис. 3.11). (Я опять опускаю доказательство.)

Угол при начале координат между 1 и uv равен сумме углов между 1 и v и между 1 и u (все углы измеряются против часовой стрелки), а расстояние точки uv от начала координат равно произведению расстояний от начала координат до u и v . Это эквивалентно утверждению, что треугольник, образованный точками 0 , v и uv подобен (и ориентирован подобно) треугольнику, образованному точками 0 , 1 и u . (Энергичные читатели, не знакомые с такого рода построениями, могут сами убедиться в том, что эти построения непосредственно следуют из только что приведенных алгебраических правил сложения и умножения комплексных чисел, также как и упомянутые выше тригонометрические тождества.)

Построение множества Мандельброта

Теперь мы можем рассмотреть, как определяется множество Мандельброта. Пусть z — это некоторое произвольное комплексное число. Каковым бы ни было это число, оно представляется некоторой точкой на плоскости Аргана. Рассмотрим теперь отображение, при котором z превращается в новое комплексное число, равное

z → z ²+ с ,

где с есть некое фиксированное (то есть заданное) комплексное число. Числу z ²+ с будет сопоставляться некоторая другая точка на плоскости Аргана. Например, если с равно числу 1,63— i4,2, то z отображается согласно формуле

z → z ²+ 1,63— i4,2,

так что, в частности, число 3 превратится в

З ²+ 1,63 — i4,2= 9+ 1,63 — i4,2= 10,63 — i4,2,

а число - 2,7+ i0,3 в

(- 2,7+ i0,3) ² + 1,63 — i4,2=

= (- 2,7) ² — ( 0,3) ² + 1,63+

+ i{(- 2,7)( 0,3) — 4,2} = 8,83 — i5,82.

Когда числа становятся громоздкими, вычисления лучше выполнять на компьютере.

Теперь, каково бы ни было число c , число 0 превращается, согласно принятой схеме, в число с . А что же можно сказать о самом числе с ? Оно превращается в с ²+ с . Давайте продолжим этот процесс, применив наше преобразование к с ²+ с . Мы получим:

( с ²+ с) ² + с= с+ 2 с+ с ²+ с.

Снова повторим отображение, применив его к приведенному выше числу. Мы получим:

( с ⁴+ 2 с ³+ с ²+ с) ² + с=

= с ⁸+ 4с ⁷+ 6 с ⁶+ 6с ⁵+ 5с ⁴+ 2 с ³+ с ²+ с.

Потом еще раз применим процедуру, теперь уже к последнему числу, и т. д. В результате мы получаем последовательность комплексных чисел, которая начинается с числа 0 :

0, с, с ²+ с, с ⁴+ 2с ³+ с ²+ с…

Данная процедура, будучи реализована при некоторых определенных значениях комплексного числа с , дает последовательность чисел, которые все время остаются вблизи начала координат плоскости Аргана; точнее, для выбранных таким образом значений с получаемая последовательность оказывается ограниченной, то есть любой ее член находится в пределах некоторого фиксированного круга с центром в начале координат (рис. 3.12).

Хорошим примером здесь может служить последовательность с = 0 , поскольку каждый ее член равен 0 . Другим примером ограниченного поведения является случай с = 1, при котором получается последовательность 0, -1, 0, -1, 0, -1….; еще один пример — это с = i , когда получается последовательность 0, i, i — 1, -i, i — 1, -i, i — 1, -i….. Однако, для целого ряда других комплексных чисел с получаемая последовательность все дальше удаляется от начала координат, то есть является неограниченной и не может находиться целиком в пределах фиксированного круга. Именно так происходит при с = 1 , когда получается последовательность 0, 1, 2, 5, 26, 677,458 330….; аналогичное поведение имеет место в случае с = 3— соответствующая последовательность имеет вид 0, -3, 6, 33,1086….; а также случай с = i — 1, который приводит к последовательности 0, i — 1, -i — 1, -1 + 3i, — 9 — i5, 55 + i91, -5257 + i10011,

Множество Мандельброта — то есть зачерненная часть страны Тор'Блед-Нам [64] — как раз и есть та самая область на плоскости Аргана, что состоит из всех точек с , для которых получаемая последовательность является ограниченной. Белая же область состоит из тех точек с , для которых получается неограниченная последовательность. Приведенные выше подробные рисунки основаны на результатах компьютерных вычислений. На компьютере был проведен систематический перебор всевозможных комплексных чисел с , для каждого из них строилась последовательность 0 , с , с ² + с …, после чего согласно некоторому критерию определялось, ограничена или нет получаемая последовательность. Если последовательность оказывалась ограниченной, то соответствующая числу с точка экрана становилась черной. Таким образом, для каждой точки в рассматриваемой области компьютер решал, закрасить ее в белый или черный цвет.

Множество Мандельброта впечатляет своей сложностью, особенно учитывая, как это часто бывает в математике, удивительную простоту его определения. Кроме того, структура этого множества в целом не очень чувствительна к выбору алгебраической формы отображения — z → z ² + с . Многие другие итеративные отображения (например, z → z ³ + iz ² + c ) приводят к поразительно похожим структурам (при условии выбора подходящего начального числа — возможно, это не 0 , а значение, четко задаваемое вполне определенным математическим правилом для каждого разумно выбранного отображения). Подобные «мандельбротовы» структуры характеризуются некоторыми универсальными или абсолютными свойствами по отношению к итеративным комплексным отображениям. Изучение таких структур является предметом отдельного раздела математики — так называемой теории комплексных динамических систем.

Платоническая реальность математических понятий?

Насколько реальны объекты математического мира? Некоторые считают, что ничего реального в них быть не может. Математические объекты суть просто понятия, они представляют собой мысленные идеализации, созданные математиками — часто под влиянием внешних проявлений и кажущегося порядка окружающего нас мира; но при этом они — всего лишь рожденные разумом абстракции. Могут ли они представлять собой что-либо, кроме просто произвольных конструкций, порожденных человеческим мышлением? И в то же время эти математические понятия часто выглядят глубоко реальными и эта реальность выходит далеко за пределы мыслительных процессов любого конкретного математика. Тут как будто имеет место обратное явление — человеческое мышление как бы само оказывается направляемым к некой внешней истине — истине, которая реальна сама по себе, и которая открывается каждому из нас лишь частично.

Множество Мандельброта представляет собой потрясающий пример. Его удивительно сложная структура не является результатом изобретения ни какой-либо отдельной личности, ни группы математиков. Сам Бенуа Мандельброт — американский математик польского происхождения (и один из главных разработчиков теории фракталов), который первый [65]изучил это множество, не мог себе представить, насколько фантастически сложным окажется этот объект, хотя и понимал, что обнаружил нечто очень интересное. Действительно, увидев самые первые компьютерные изображения, он счел увиденные им размытые структуры результатом сбоя (Мандельброт [1986])! И только потом он убедился, что они действительно являлись частью множества. Более того, сложную структуру множества Мандельброта во всех ее деталях не под силу охватить никому из нас, и ее невозможно полностью отобразить на компьютере. Создается впечатление, что рассматриваемая структура не является всего лишь частью нашего мышления, но что она реальна сама по себе. Кто бы из математиков или программистов ни занялся изучением этого множества, результатом их исследований обязательно будут приближения к одной и той же единой для всех фундаментальной математической структуре. Не важно, на каком компьютере проводятся вычисления — лишь бы он правильно работал (конечно, если отвлечься от различий в степени подробности выявляемых деталей и скорости их вывода, связанными с различиями в производительности, объеме памяти и параметрах монитора). При этом компьютер применяется в сущности так же, как прибор в руках физика-экспериментатора, исследующего строение физического мира. Множество Мандельброта — это не плод человеческого воображения, а открытие. Подобно горе Эверест, множество Мандельброта просто-напросто уже существовало «там вовне»!

Аналогичным образом сама система комплексных чисел обладает глубокой и вневременнбй реальностью, выходящей далеко за пределы мысленных конструкций, созданных любым конкретным математиком. Первые шаги на пути к пониманию комплексных чисел связаны с работами Джероламо Кардано. Он родился и жил в Италии с 1501 по 1576 год — врач, игрок и составитель гороскопов (однажды он даже составил гороскоп для Иисуса Христа), написавший в 1545 году очень важный и оказавший большое влияние на последующее развитие математики трактат по алгебре под названием Ars Magna. В этом трактате он предложил первое полное решение (в терминах иррациональных выражений, то есть корней n - й степени) кубического уравнения в общем виде [66]. Кардано заметил, что в некоторых — так называемых «неприводимых» — случаях, когда уравнение имело три действительных решения, он был вынужден на определенном этапе включать в свою формулу квадратный корень из отрицательного числа. Хотя это обстоятельство и приводило его в замешательство, он понял, что полное решение можно получить тогда и только тогда, если допустить возможность извлечения таких квадратных корней (окончательный результат всегда оказывался действительным числом). Позднее, в 1572 году Рафаэль Бомбелли в своей работе, озаглавленной «Алгебра», обобщил работу Кардано, положив начало изучению алгебры комплексных чисел.

Хотя вначале может показаться, что введение таких квадратных корней из отрицательных чисел представляет собой всего лишь некоторый прием — математическое изобретение для достижения конкретной цели, — впоследствии становится очевидным, что потенциал этих объектов выходит далеко за рамки их использования для первоначально поставленных целей. При том, что изначально комплексные числа вводились (как уже упоминалось выше) для обеспечения возможности «безнаказанно» извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, сделав этот шаг, мы получили в качестве бесплатного приложения еще и способ извлечения корней любой степени, а также решения любых алгебраических уравнений. Далее мы обнаружим у комплексных чисел много других волшебных свойств, о которых мы вначале даже и не подозревали. Эти свойства просто-напросто уже существуют «там вовне». Они не были привнесены туда ни Кардано, ни Бомбелли, ни Уоллисом, ни Котсом, ни Эйлером, ни Весселем, ни Гауссом, несмотря на несомненную прозорливость и их, и других великих математиков. Этот набор волшебных свойств был изначально присущ самой структуре, которую они шаг за шагом открывали. Когда Кардано вводил комплексные числа, он и подозревать не мог о существовании множества открытых впоследствии чудесных свойств, названных именами знаменитых ученых — таких как интегральная формула Коши, теорема отображения Римана или свойство продолжения Леви. Эти и многие другие замечательные свойства присущи самим числам — в точности тем самым числам, с которыми Кардано впервые столкнулся в 1539 году.

Что такое математика — изобретение или открытие? Процесс получения математиками результатов — что это: всего лишь построение не существующих в действительности сложных мысленных конструкций, мощь и элегантность которых способна обмануть даже их собственных изобретателей, заставив их поверить в «реальность» этих не более чем умозрительных построений? Или же математики действительно открывают истины уже где-то существующие, чья реальность в значительной степени независима от их деятельности? Я думаю, что читателю должно стать уже совершенно ясно, что я склонен придерживаться скорее второй, чем первой точки зрения, по крайней мере, в отношении таких структур, как комплексные числа или множество Мандельброта.

Однако, не все так просто. Как я уже сказал, в математике существуют вещи, к которым термин «открытие» подходит больше, чем «изобретение» — как в только что упомянутых примерах. Это происходит, когда структура дает гораздо больше того, что в нее было вложено изначально. Можно встать и на такую точку зрения, согласно которой в этих случаях математики просто наталкиваются на «творения Бога». Встречаются, однако, другие ситуации, когда математические структуры не столь убедительно уникальны — например, когда посреди доказательства какого-нибудь результата возникает необходимость в некой хитроумной, хотя и далеко не уникальной конструкции для достижения весьма специфической цели. В этих случаях от вновь созданной конструкции вряд ли следует ожидать больше того, что было в нее первоначально заложено, и термин «изобретение» представляется более подходящим, чем «открытие». Они, действительно, суть просто «творения человека». Согласно этой точке зрения, истинные математические открытия должны, как правило, рассматриваться как достижения более великие, чем «просто» изобретения.

Такого рода ранжирование обнаруживает некоторое сходство с тем, что мы иногда наблюдаем в области искусства или техники. Великие произведения искусства действительно «ближе к Богу», чем менее значительные творения. У художников нередко возникает чувство, что в своих величайших произведениях они открывают вечные истины, существовавшие уже до них в некотором высшем смысле [67], в то время как менее значительные произведения могут быть более случайными, являясь по своей природе всего лишь порождениями простых смертных. Точно также и новое инженерное решение с очень красивой структурой, позволяющее достичь значительных результатов через применение простой и неожиданной идеи, может с полным на то основанием рассматриваться скорее не как изобретение, а как открытие.

Однако, высказав все эти соображения, я не могу отделаться от ощущения, что в случае математики вера в некоторое высшее вечное существование — по крайней мере для наиболее глубоких математических концепций, — имеет под собой гораздо больше оснований, чем в других областях человеческой деятельности. Несомненная уникальность и универсальность такого рода математических идей по своей природе существенно отличается от всего того, с чем приходится сталкиваться в области искусства и техники. Точка зрения, согласно которой математические понятия могут существовать в такого рода вневременном, высшем смысле, была впервые высказана еще в древности (около 360 года до н. э.) великим греческим философом Платоном, и поэтому ее часто называют математическим платонизмом. Она играет важную роль в дальнейшем изложении.

В главе 1 я довольно много места уделил обсуждению точки зрения сильного искусственного интеллекта, согласно которой мыслительные явления находят свое воплощение в рамках математического понятия алгоритма. В главе 2 я особо подчеркнул, что алгоритм есть действительно очень глубокое и «Богом данное» понятие. В этой главе я старался доказать, что такие «Богом данные» математические идеи существуют в определенном смысле вне времени и независимо от нас смертных. Не могут ли эти соображения служить своего рода подтверждением справедливости концепции сильного искусственного интеллекта, допуская возможность некоего высшего существования мыслительной деятельности? Это вполне возможно — и я даже собираюсь далее привести ряд соображений в поддержку в чем-то похожей точки зрения. Но если у мыслительных явлений и вправду имеется такое вместилище, я все же не думаю, что это может относиться и к понятию алгоритма. Тут нужно что-то более «тонкое». Последующее обсуждение будет в значительной степени опираться на тот факт, что связанные с понятием алгоритма объекты составляют очень узкую и ограниченную часть математики. Следующая глава даст некоторое представление об огромных возможностях и изяществе неалгоритмической математики.