Популярная физика. От архимедова рычага до квантовой механики

От философии к физике

Ученые Древней Греции были первыми из известных нам, кто сделал попытку тщательного исследования Вселенной: они проводили систематический сбор знаний, получаемых посредством человеческого восприятия. Те, кто начал этот рационалистический поиск понимания без участия интуиции, вдохновения, озарений или других нерациональных источников информации, называли себя «философами» (это слово в греческом языке буквально означает «любители мудрости»)[1].

По направлению изучения философия могла быть направлена вовнутрь — в поисках понимания человеческого поведения, этики и морали, побуждений и ответных реакций или наружу — на исследование Вселенной, находящейся вне осязаемой оболочки человеческого разума, короче говоря на исследование «природы».

Философы, относившиеся ко второму направлению, назывались «естественными философами». И в течение многих столетий после периода расцвета Греции изучение явлений природы продолжает называться естественной философией. Более современное слово, которое мы используем вместо него, — «наука» (происходит от латинского слова, означающего «чтобы знать»), стало широко распространенным только в середине XIX столетия. И даже в наши дни самая высокая университетская степень, присвоенная за достижения в области наук, называется «доктор философии».

Слово «естественный» (natural) имеет латинское происхождение, таким образом, термин «естественная философия» (natural philosophy), который состоит наполовину из латинского и наполовину из греческого, обычно подвергался нападкам «борцов за чистоту терминологии». Греческое слово, означающее «естественный», — hysikos. Таким образом, то, что мы привыкли называть современной наукой, более точно может быть описано термином «физическая философия».

Термин «физика» являлся просто краткой формой термина «физическая философия», или «естественная философия», и в его оригинальном значении включал в себя всю науку.

Однако поскольку области исследований науки расширялись и углублялись и объем собранной информации все возрастал, то те философы, которые охватывали более пространные области изучения, вынуждены были специализироваться, выбирая какой-то один сегмент в качестве точки приложения научных усилий. Эти сегменты получили свои собственные имена и со временем стали отделять себя от общего универсального домена физики.

Таким образом, изучение абстрактных взаимоотношений формы и чисел стало называться «математикой»; изучение положений и движения небесных тел — «астрономией»; изучение физических особенностей земли, на которой мы живем, — «геологией»; изучение состава и взаимодействия материалов — «химией»; изучение структуры, функций и взаимосвязи живущих на Земле организмов — «биологией» и так далее.

Термин «физика» в те времена стал использоваться для описания особенностей изучения тех частей природы, которые остались после отделения перечисленных выше наук. По этой причине слово «физика» должно было охватить довольно разнотипную и неоднородную область изучения природы, и соответственно его четкое определение довольно сложно.

«Оставшееся» включает в себя такие явления, как движение, теплота, свет, звук, электричество и магнетизм. Все они являются формами «энергии» (термин, о котором я позже расскажу значительно больше). Таким образом, изучение физики может считаться прежде всего рассмотрением взаимосвязей между энергией и материей.

Данное определение может интерпретироваться или узко, или широко. Если интерпретировать его достаточно широко, то границы физики могут быть раздвинуты так, что эта наука будет включать в себя значительную часть из «соседних» с ней наук. Действительно, как показал опыт XX столетия, такое положение возникает достаточно часто.

В конце концов, разделение науки на отдельные «сегменты» — искусственное и сделано человеком в целях собственного удобства. В то время, когда уровень знания был еще довольно низок, такое разделение было полезным и казалось естественным. Можно было изучать астрономию или биологию независимо от химии или физики и, наоборот, изучать химию или физику изолированно от других наук. Со временем в связи с накопленной информацией границы различных частей науки сблизились, встретились и, наконец, пересеклись. Методы, используемые при изучении одной науки, стали применимы и более того — новаторскими в приложении к другим наукам.

В последней половине XIX столетия физические методы сделали возможным определить химический состав и физическую структуру звезд, что служило началом рождения новой науки — «астрофизики». Изучение колебаний, происходящих в толще земли и вызванных землетрясениями, дало начало «геофизике». Изучение химических реакций физическими методами открыло постоянно расширяемое поле «физической химии», а последняя, в свою очередь, проникла в изучение биологии, произведя на свет то, что мы теперь называем «молекулярная биология».

Что касается математики, которая была инструментом, который больше использовали физики (естественно, только вначале и по сравнению с химией и биологией), то по мере того, как поиск основополагающих принципов становился более тонким и основательным, стало практически невозможно уловить различия между «чистой математикой» и «теоретической физикой».

Однако в этой книге я буду рассматривать физику с точки зрения ее традиционной, узкой специализации, избегая (по возможности) тех ее областей, которые вторгаются на территории соседних наук.

Представление греков о движении

Одним из первых явлений, которое стали рассматривать любопытные греки, было движение. На первый взгляд можно предположить, что движение является признаком жизни; в конце концов, люди и, например, кошки свободно двигаются, а камни и неживые тела — нет. Можно придать камню движение, но обычно посредством импульса, данного ему живым существом.

Однако этот первоначальный взгляд — не верен, так как имеется много примеров движения, в которые жизнь не вовлечена. Движение небесных тел или порыв ветра происходят сами по себе. Конечно, можно было бы предположить, что небесные тела передвигаются ангелами и что ветер является дыханием бога штормов, и действительно, такие объяснения были общеприняты в большинстве обществ в течение многих столетий. Греческие философы, однако, принимали только те объяснения и вовлекали в них только ту часть Вселенной, которая могла бы быть объяснена на основе явлений, поддающихся определению человеческими чувствами. Это исключило и ангелов, и штормовых богов. Кроме того, имелись и менее глобальные примеры движения. Дым костра поднимался вверх. Камень, отпущенный в воздушном пространстве, быстро падал вниз, хотя он не получал никакого импульса в этом направлении. Конечно же даже наиболее мистически настроенный индивидуум не был готов предположить, что каждый клуб дыма, каждый кусочек падающего материала содержит маленького бога или демона, заставляющего его двигаться туда или сюда.

Греческие понятия по данному вопросу были обобщены в достаточно сложной форме философом Аристотелем (384−322 до н.э.). Он утверждал, что каждая из различных фундаментальных видов материи («элементов») имеет свое собственное естественное место во Вселенной. Элемент «земля», в который были включены все окружающие нас твердые материалы, естественно, был расположен в центре Вселенной. Вся материальная, «земляная», часть Вселенной собралась там и сформировала мир, в котором мы живем. В том случае, если бы каждая часть элемента «земля» расположилась так близко к центру, насколько это возможно, Земля должна была бы принять форму сферы (это в действительности было одной линией в рассуждениях, использованных Аристотелем, для доказательства того, что земля имеет сферическую форму, а не плоскую).

Элемент «вода» располагался естественным образом относительно поверхности сферы «земли», элемент «воздух» располагался естественным образом относительно поверхности сферы «воды», и элемент «огонь» располагался естественным образом вне поверхности сферы «воздуха».

Понятно, что можно вывести любую схему строения Вселенной, но в то же время понятно, что не имеет смысла тратить время на то, что ни в коей мере не подтверждается реальностью, то есть на то, что не находит подтверждения благодаря нашим органам чувств, В данном случае наблюдения на первый взгляд поддерживают аристотелевское представление о Вселенной. Наши чувства сообщают нам, что Земля действительно находится в центре Вселенной; водное покрытие в виде океанов и морей занимает большую часть Земли; воздух простирается относительно земли и моря и в воздушных просторах даже имеются свидетельства существования сферы огня, которая проявляет себя во время штормов и гроз в виде молнии.

Рассуждение Аристотеля о том, что каждая форма материи имеет свое естественное место во Вселенной, — типичный пример «аксиомы». Аксиому принимают без доказательств, некорректно говорить об истинности или ложности аксиомы только потому, что не доказано иное. (Если имелось бы доказательство иного, то это больше бы не было аксиомой.) Аксиомы лучше рассматривать с точки зрения их полезности или бесполезности в зависимости оттого, насколько выводы из них соотносятся с реальностью. Если две различные аксиомы или серии аксиом приводят к выводам, которые соответствуют действительности, то более полезна та, которая объясняет больше.

С другой стороны, кажется очевидным, что именно аксиомы являются наиболее слабыми точками в любом аргументированном споре, поскольку они должны быть приняты «на веру», в то время как основой философской науки является ее рационализм. Но ведь для того чтобы начать, нужно иметь «отправную точку», то есть аксиому. Мы должны постараться ограничить себя минимальным количеством аксиом, насколько это возможно. Поэтому из двух теорий, которые объясняют одни и те же области Вселенной, более правильной следует считать ту, которая основывается на меньшем количестве аксиом. Эту точку зрения высказал средневековый английский философ Уильям Оккам (1300? — 1349?), и в честь его метод уменьшения ненужного количества аксиом назван «бритвой Оккама».

Аксиома о «естественном месте» казалась грекам весьма полезной. Предположив, что такое естественное место существует, казалось разумным предположить, что всякий раз, когда объект оказывается вне своего естественного места, он старается вернуться в него, как только представится случай. Например, камень, который мы держим в руке, в воздухе дает нам понять о своем «желании» вернуться на поверхность земли — свое естественное место — силой, которой он давит на нашу руку. Из этого можно сделать вывод, что он имеет вес. Если мы перестанем поддерживать камень рукой, то он быстро начнет перемещаться к своему естественному месту, то есть падать вниз. При помощи такого же рассуждения мы можем объяснять, почему языки огня стремятся вверх, почему галька падает сквозь воду на дно и почему воздушные пузыри поднимаются сквозь воду вверх.

Ту же аргументацию можно использовать, чтобы объяснить, почему идет дождь. Когда под действием тепла солнца вода испаряется («превращается в воздух», как сказали бы древние греки), пары быстро поднимаются вверх в поиске своего естественного места. Но как только те же пары снова преобразуются в жидкость, воду, последняя падает на землю в виде капель в поисках своего естественного места.

Из аксиомы о «естественном месте» можно сделать и дальнейшие выводы. Как известно, одни объекты тяжелее других. Более тяжелый объект «толкает» руку вниз с большим «рвением», чем это делает более легкий объект. Конечно же если освободить каждый из них, то более тяжелый объект выразит свое большее «рвение» возвратиться на свое естественное место, падая быстрее, чем более легкий объект. Так что Аристотель поддерживал и это, действительно кажущееся естественным, заключение, потому что легкие объекты типа перьев, листьев и снежинок дрейфовали вниз медленно, в то время как камни или кирпичи падали быстро.

Но может ли эта теорий выстоять против искусственно созданных трудностей? Например, объект может быть вынужден покинуть свое естественное место, как в случае, когда мы бросаем камень в воздух. Первоначально движение камня вызвано мускульным импульсом, но, как только камень отделяется от руки, она больше не прикладывает импульс к нему. Почему же тогда камень сразу не возобновляет свое естественное движение и не падает на землю? Почему он продолжает подниматься в воздух?

Аристотель объяснял это тем, что данный импульс от камня был передан воздуху и что воздух как бы несет камень. Но поскольку импульс передается от точки к точке, в воздухе он слабеет, и начинает возобладать естественное движение камня. Восходящее движение камня замедляется и в конечном счете превращается в нисходящее движение, пока, наконец, камень не возвратится на свое естественное место — на землю. Сила руки или катапульты не может в конечном счете преодолеть естественное движение камня. (Как говорится: «Кто поднялся — упадет» — «Whatever goes up must come down».)

Из этого следует, что вынужденное движение (отрыв от естественного места) должно неизбежно уступить естественному движению (обратно к естественному месту) и что естественное движение в конечном счете приведет объект к его естественному месту. Оказавшись там, объект прекратит перемешаться, так как ему некуда больше двигаться. Поэтому состояние «покоя», или недостаток движения, является естественным состоянием любого объекта.

Это также соотносится с наблюдением, что все брошенные объекты возвращаются на землю и останавливаются; вращение или скольжение объектов тоже останавливается и даже живые объекты не могут двигаться вечно. Если мы поднимаемся в гору, то делаем это с усилием, и, поскольку импульс в наших мускулах постепенно слабеет, мы вынуждены периодически отдыхать. Даже самые слабые движения требуют некоторого усилия, и импульс, находящийся в пределах каждого живого существа, в конечном счете бывает растрачен. Живой организм затухает и возвращается к естественному состоянию покоя. («Все люди смертны».)

Но как же быть с небесными телами? В отношении их позиция кажется весьма отличной от той, с которой мы рассматривали объекты на земле. Естественное движение небесных тел кажется круговым, в отличие от движения вверх-вниз земных тел, и они не кажутся приближающимися или удаляющимися от земли.

Аристотель мог только заключить, что небеса и небесные тела сделаны из материи, которая не была ни землей, ни водой, ни воздухом, ни огнем. Этот пятый «элемент» он назвал «эфир» (греческое слово, означающее «сверкание», ведь, как известно, небесные тела часто испускают свет).

Естественное место пятого элемента было вне сферы огня. Почему же тогда, несмотря на то что божественные тела находились в своем естественном месте, они не оставались в покое? Некоторые школяры в конце концов высказали предположение, что небесные тела двигаются под воздействием ангелов, которые катают их по небесам, но Аристотеля не могли удовлетворить такие легкие объяснения. Вместо этого он был вынужден ввести новую аксиому, предполагающую, что законы, управляющие движением небесных тел, отличаются от законов, управляющих движением земных тел. Если естественным состоянием земных тел является покой, то на небесах естественным состоянием является бесконечное круговое движение.

Недостатки в теории

Я так подробно рассматриваю представление греков о движении потому, что это была физическая теория, разработанная одним из самых великих умов в истории человечества. Эта теория, казалось, объясняла так много, что она была признана большими учеными на протяжении более чем двух тысяч лет; однако в конце концов все ее положения были заменены другими теориями, которые различались с ней практически по всем пунктам.

Аристотелевское представление Вселенной казалось таким логическим и верным. Почему же тогда оно было заменено? А если было неверным, то почему так много людей в течение такого долгого времени полагали, что оно верно? И что же в конечном счете случилось такое, что заставило их изменить свое мнение относительно правильности теории строения мира «по Аристотелю»?

Метод «сомнения в любой теории» (уважаемый и установленный еще в давние времена) показывает, что из постулатов Аристотеля могут быть выдвинуты два противоречащих друг другу заключения.

Например, камень, брошенный в воду, падает более медленно, чем тот же самый камень, брошенный в воздух. Можно бы было сделать вывод, что чем тоньше материя, сквозь которую падает камень, тем быстрее он движется по пути к своему естественному месту. Но если на пути камня нет вообще никакой материи («вакуум» — от латинского слова, означающего «пустой»), то и камень будет двигаться с бесконечно большой скоростью.

Некоторые ученые отмечали этот момент, и так как они чувствовали, что бесконечная скорость была невозможна, то утверждали, что этот аргумент доказывает невозможность существования вакуума. (Поговорка, которая возникла тогда и которую мы до сих пор употребляем: «Природа не терпит пустоты» — «Nature abhors a vacuum».)

С другой стороны, согласно представлениям Аристотеля, когда камень брошен, на него воздействует импульс, проводимый воздухом, что и делает возможным движение камня в заданном направлении. Если бы воздуха не было, а был бы вакуум, не существовало бы ничего, что могло бы переместить камень. Хорошо, что же тогда бы делал камень в вакууме: перемещался бы с бесконечно большой скоростью или вообще не двигался? Любое утверждение кажется справедливым.

Пожалуйста, вот еще одно противоречие. Предположим, что имеются два груза: весом в один фунт и в два фунта. Позвольте им упасть. Двухфунтовый вес, являющийся более тяжелым, больше стремится достичь своего естественного места и поэтому падает быстрее, чем однофунтовый вес. Теперь положите эти два груза вместе в крепко завязанный мешок и отпустите их. Можно утверждать, что двухфунтовый груз будет сдержан в этих гонках вниз своим менее торопливым однофунтовым соседом. Таким образом, средняя скорость падения будет промежуточная — меньше, чем у двухфунтового груза, падающего в одиночку, и больше, чем у однофунтового груза, если бы он падал один.

С другой стороны, можно утверждать, что двухфунтовый груз и однофунтовый груз вместе сформировали единую систему, весящую три фунта, которая должна падать более быстро, чем один двухфунтовый груз. Хорошо, тогда все-таки система падает быстрее или медленнее, чем двухфунтовый груз? Похоже, что и здесь две различные, но одинаково справедливые точки зрения на один и тот же вопрос.

Такое более внимательное рассмотрение указывает на слабости в теории, но в реальности оно редко приводит к ее отрицанию. Сторонники теории обычно выдвигают контрдоводы. Например, можно сказать, что в вакууме естественное движение становится бесконечным по скорости, в то время как принудительное движение становится невозможным. Можно было бы доказывать, что скорость падения двух связанных весов зависит от того, насколько сильно и прочно они скреплены, и так далее.

Второй метод испытания теории (который оказывается гораздо более действенным) состоит в том, чтобы, получив необходимое заключение из теории, затем тщательно проверить его на практике.

Например, двухфунтовый объект осуществляет давление на руку в два раза сильнее, чем однофунтовый. Достаточно ли этого, чтобы сказать, что двухфунтовый объект упадет быстрее, чем однофунтовый? Если двухфунтовый объект «показывает» в два раза большее «рвение» возвратиться к своему естественному месту, говорит ли это о том, что он должен падать в два раза быстрее? Почему бы не проверить этот факт? Почему бы не получить точные данные и не сравнить их, чтобы выяснить: действительно ли двухфунтовый объект падает в два раза быстрее однофунтового? Если данные не совпадут, то, конечно, греческую теорию движения следует пересмотреть. Если, с другой стороны, двухфунтовый вес действительно падает в два раза быстрее, то это послужит лишним подтверждением греческой теории движения.

И все же такое преднамеренное испытание (или, как мы его теперь называем, — «эксперимент») не было проведено не только Аристотелем, но и в течение двух тысяч лет после него. Причина этого двойственна. Во-первых, теоретический аспект.

Древние греки достигли самых больших успехов в геометрии, которая имеет дело с абстрактными концепциями типа точек нулевого размера и прямых линий, не имеющих ширины. Они достигли результатов большой простоты и общности, которых они не могли бы получить, измеряя реально существующие объекты. Это привело, в частности, к возникновению мнения, что реальный мир груб, неправильно устроен и что, основываясь на нем, нельзя разрабатывать абстрактные теории Вселенной. Безусловно, были древние греки, которые экспериментировали и получали важные заключения именно в результате этих экспериментов; например, Архимед (ок. 287 — 212 до н.э.) и Герон (начало I века н.э.). Однако и в древние, и в Средние века была более широко принята форма вычитания из нескольких предположений по сравнению с испытанием экспериментированием.

Вторая причина была чисто практическая. Эксперимент не всегда столь же легко поставить, как это можно было бы предположить. Нетрудно проверить скорость падающего тела в наш век секундомеров и электронных методов измерения коротких интервалов времени. Но всего лишь три столетия назад не существовало никаких часов, приспособленных для измерения коротких интервалов времени, и немногие хорошие измерительные приборы любого типа ценились на вес золота.

Положив в основу «чистую» теорию, древние философы действительно сделали то, на что они больше всего были способны, что же касается их кажущегося презрения к экспериментированию — тут типичный случай, когда из вынужденной необходимости делают достоинство[2].

Ситуация медленно начала изменяться только в конце Средневековья. Все большее число ученых начали оценивать значение экспериментирования как метода испытания теорий и повсеместно начали пробовать разрабатывать методики проведения экспериментов.

Экспериментаторы не имели значительного влияния на науку вплоть до появления на сцене итальянского ученого Галилео Галилея (1564–1642). Он не изобретал экспериментирования, но сделал его показательным, захватывающим и популярным. Его эксперименты с движением были настолько изобретательны и убедительны в доказательстве, что они не только начали разрушение аристотелевской физики, но и продемонстрировали раз и навсегда потребность науки в экспериментаторстве. Именно от Галилео (он больше известен по имени[3]) и начинается отсчет даты рождения «экспериментальной науки», или просто — «современной науки».

Наклонные плоскости

Главной трудностью, с которой столкнулся Галилео, была проблема хронометрирования. Он не имел часов, достойных своего названия, так что был вынужден импровизировать. Например, он использовал контейнер с маленьким отверстием в основании, из которого вода капала в кастрюлю с достаточной равномерностью. Узнав вес воды, которая перетекла между двумя событиями, можно узнать затраченное время.

Конечно, данный способ не подходит для измерения времени нахождения тел в «свободном падении», то есть беспрепятственном падении вниз. Свободное падение с любой разумной высоты закончится слишком быстро, и количество воды, собранной за время падения, слишком мало, чтобы сделать даже приблизительно точные замеры времени.

Поэтому Галилео решил использовать наклонную плоскость. Гладкий шар будет катиться вниз по гладкому углублению на такой плоскости с явно более низкой скоростью, чем двигался бы в свободном полете. Кроме того, если уменьшить наклон этой плоскости к горизонтали, то шар будет катиться все менее и менее быстро; при точно горизонтальной плоскости шар не будет катиться вообще (по крайней мере, из состояния покоя). Этим методом можно замедлить скорость падения до уровня, при котором даже грубые устройства измерения времени начинают выдавать достаточно точные результаты.

Можно спросить: а может ли движение вниз по наклонной плоскости дать результаты, которые справедливо применять и для случая свободного падения? Кажется вполне разумным предположить, что может. Если что-то истинно для любого из углов, под которым находится наклонная плоскость, оно должно быть истинно и для свободного падения, поскольку свободное падение можно рассматривать как качение вниз по наклонной плоскости, максимально отклоненной по отношению к горизонтали, то есть под углом 90 градусов.

Например, можно легко видеть, что достаточно тяжелые шары различных весов катятся вниз по одной и той же наклонной плоскости с одной и той же скоростью. Это правило является истинным для любого угла к горизонтали, под которым отклонена наклонная плоскость. Если плоскость отклонить более резко, шары покатятся быстрее, но все они одинаково увеличат скорость своего движения и в конечном итоге покроют одно и то же расстояние за одно и то же время. Справедливо будет заключить, что свободно падающие тела пролетят равные расстояния за равное время независимо от их веса. Другими словами, тяжелое тело не будет падать более быстро, чем легкое тело, что не соответствует точке зрения Аристотеля.

(Существует известная история о том, что Галилео доказал это, бросив два объекта различного веса с наклонной Пизанской башни, и они ударились о землю одновременно. К сожалению, это — только легенда. Историки совершенно уверены, что Галилео никогда не проводил такого эксперимента, но вот голландский ученый Симон Стевин (1548–1620) производил подобные измерения за несколько лет до экспериментов Галилео. В холодном мире науки, однако, осторожные и исчерпывающие эксперименты вроде тех, что проводил Галилео с наклонными плоскостями, иногда значат больше, чем некоторые сенсационные демонстрации.)

Все же можем ли мы действительно так легко расстаться с аристотелевскими представлениями о движении? Нет никаких сомнений в справедливости утверждения того, что скорости движения шаров по наклонной плоскости равны, но, с другой стороны, не менее справедлив и тот факт, что мыльный пузырь падает гораздо медленнее, чем шарик от пинг-понга того же самого размера, и что шарик от пинг-понга падает гораздо более медленно, чем твердый деревянный шар того же самого размера.

Однако этому имеется объяснение. Объекты не падают сквозь ничто, они падают сквозь воздух, и, чтобы падать, они должны, если можно так выразиться, «раздвинуть» воздух. Мы можем принять точку зрения, что процесс «раздвигания» воздуха занимает время. Тяжелое тело осуществляет сильный нажим и легко «раздвигает» воздух, «проталкивая» его мимо себя, и поэтому не теряет фактически никакого времени. Не имеет значения, сколько весит тело: один фунт или сотню фунтов. Однофунтовый вес испытывает такое малое сопротивление воздуха в процессе его «раздвигания», что вес в сотню фунтов едва ли может улучшить этот результат. Поэтому оба веса падают на равные расстояния за равное время[4]. Действительно, легкое тело типа шарика для пинг-понга нажимает на воздух настолько мягко, что из-за этого испытывает значительное сопротивление в «раздвигании» воздуха на своем пути и поэтому падает медленно. По той же причине мыльный пузырь падает вообще еле заметно.

Можно ли использовать это объяснение «воздушного сопротивления» как соответствующее истине? Или это только выдумка, призванная объяснить неудачу обобщения Галилео для реальных условий жизни? К счастью, данный вопрос может быть проверен. Сначала предположите, что у вас есть два объекта равного веса, причем первый — сферический и компактный, а другой — широкий и плоский. Широкий плоский объект вступает в контакт с воздухом по более широкому фронту и, чтобы упасть, должен «раздвинуть» большее количество воздуха на своем пути. Поэтому он будет испытывать большее сопротивление воздуха, чем компактный сферический объект, и будет падать медленнее, несмотря на то что оба объекта имеют равный вес. Проверка показывает, что все верно. Действительно, если лист бумаги смят в шарик, то он падает быстрее, потому что он преодолевает меньшее сопротивление воздуха. Я упомянул этот эксперимент как один из тех, которые древние греки могли бы легко выполнить и благодаря которому они могли бы обнаружить, что что-то неладно с аристотелевским представлением о движении.

Еще более безошибочным тестом было бы избавиться от воздуха и позволить телам падать в вакууме. В среде, где отсутствует сопротивление воздуха, все тела, независимо от того, легкие они или тяжелые, должны падать на равные расстояния за равные промежутки времени. Галилео был убежден, что это так, но в его время проверить это было невозможно, так как не существовало способов создания вакуума. В позднейшие времена, когда вакуум уже научились создавать, эксперимент по совместному падению перышка и свинцовой глыбы, с целью подтверждения факта их одновременного приземления, стал достаточно заурядным. Таким образом, можно сказать, что сопротивление воздуха — вполне реальное явление, а не только средство спасения престижа.

Конечно, это поднимает вопрос, оправданно ли, ради изложения простого правила, описывать Вселенную в нереальных условиях? Правило Галилео о том, что все объекты любого веса падают на равные расстояния в равное время, может быть выражено в очень простой математической форме. Однако правило это истинно только в физическом вакууме, который фактически не существует. (Даже лучший вакуум, который мы можем создать, даже вакуум межзвездного пространства не является абсолютным.) С другой стороны, мнение Аристотеля о том, что более тяжелые объекты падают более быстро, чем легкие, — истинно, по крайней мере до некоторой степени, в реальном мире. Однако его нельзя привести к простому математическому выражению, поскольку скорость падения тел зависит не только от их веса, но также и от их формы.

Можно считать, что следует придерживаться реальности любой ценой. Однако хотя это может быть и правильно с моральной точки зрения, такой подход далеко не самый полезный и удобный. Сами греки в своей геометрии предпочли идеальный подход реальному и продемонстрировали, что гораздо больших результатов можно достигнуть рассмотрением абстрактных линий и форм, чем изучением реальных линий и форм мира; большее понимание, полученное при помощи абстракции, можно удачно применять при подходе к той самой действительности, которая игнорировалась в процессе получения знания.

Почти четыре столетия опытов, начиная с эпохи Галилео, показали, что часто более полезно отбыть из реального мира и построить «модель» изучаемой системы; в такой модели отбрасываются некоторые из усложнений, поэтому из оставшегося Может быть создана простая и обобщенная математическая структура. Как только это сделано, мы можем начать восстанавливать один за другим факторы усложнения и соответственно изменять взаимоотношения. Попытка же учесть все взаимосвязи сложностей действительности без предварительной разработки упрощенной модели является настолько трудным делом, что фактически никогда не была предпринята, и мы смеем предположить, что если бы такая попытка и была предпринята, то вряд ли бы увенчалась успехом.

Таким образом, бесполезно судить, являются ли взгляды Галилео «истинными», а Аристотеля «ложными» или наоборот. В отношении скоростей падения тел имеются аргументы, которые поддерживают как одну точку зрения, так и другую. Что мы можем сказать наверняка, так это то, что взгляды Галилео на движение, как оказалось, объяснили намного больше и в более простой форме, чем это сделали взгляды Аристотеля. Поэтому Галилеево представление о движении было гораздо более пригодным. Последнее было признано вскоре после того, как были описаны эксперименты Галилео и аристотелевская физика рухнула.

Ускорение

Если мы будем измерять расстояние, пройденное телом, катящимся вниз по наклонной плоскости, мы обнаружим, что тело последовательно покрывает все большие и большие расстояния за равные временные интервалы.

То есть мы видим, что в первую секунду тело прошло расстояние в 2 фута; в следующую секунду оно прошло уже 6 футов при полном расстоянии в 8 футов; в третью секунду — 10 футов при расстоянии в 18 футов; в четвертую секунду — 14 футов при полном расстоянии в 32 фута. Ясно, что с течением времени шар катится все более и более быстро.

Это само по себе не идет вразрез с аристотелевской физикой, поскольку теория Аристотеля не говорит ничего относительно того, как изменяется со временем скорость падающего тела. Фактически это увеличение в скорости соотносится с аристотелевским представлением, поскольку можно сказать, что, так как тело приближается к своему естественному месту, его «рвение» попасть туда усиливается, что приводит к соответствующему увеличению скорости.

Однако важность метода Галилео заключается в том, что он подошел к вопросу изменения скорости не качественным, а количественным способом. Недостаточно просто сказать «скорость увеличивается со временем». Если это представляется возможным, надо сказать, насколько она увеличивается, и постараться разработать точную взаимосвязь скорости и времени.

Например, если шар проходит 2 фута за одну секунду, 8 футов за две секунды, 18 футов за три секунды и 32 фута за четыре секунды, то, казалось бы, имеется взаимосвязь между пройденным расстоянием и квадратом затраченного на его прохождение времени. Как мы видим, 2 равно 2 х 1², 8 равно 2 х 2², 18 равно 2 х 3², и 32 равно 2 х 4². Мы можем определить эти отношения, сказав, что полное расстояние, покрытое шаром, катящимся вниз по наклонной плоскости (или объектом, находящимся в свободном падении) со старта из состояния покоя, — прямо пропорционально[5] квадрату затраченного времени.

Физика приняла этот акцент на точное измерение, который предложил Галилео, аналогично поступили и другие области науки, везде, где это было возможно. (Тот факт, что химики и биологи не приняли математического отношения в полной мере, как это сделали физики, не говорит о том, что химики и биологи являются менее интеллектуальными или менее точными, чем физики. На самом деле это произошло потому, что системы, изучаемые физиками, более просты, чем те, которые изучают химики и биологи, и более легко могут быть приведены к идеализированному виду, в котором их можно было бы выразить в простой математической форме.)

Теперь рассмотрим шар, который проходит 2 фута в секунду. Его средняя «скорость» (расстояние, которое он покрывает в единицу времени) на протяжении этого односекундного интервала равна двум футам, поделенным на одну секунду. Легко разделить 2 на 1, но важно запомнить, что мы также должны разделить и единицы измерения: «футы» на «секунды». Мы можем выразить это деление единиц измерения обычным способом — в виде дроби. Другими словами, 2 фута, разделенные на 1 секунду, могут быть выражены как (2 фута)/( 1 секунду), или 2 фута в секунду. Эта запись может быть сокращена как 2 фт/с, и обычно читается как «два фута за секунду»[6]. Важно, чтобы использование «за» не обмануло нас, создав впечатление, что мы в действительности имеем дело с умножением. Мы имеем дело с дробью, то есть делением, и, несмотря на то что числитель и знаменатель этой дроби содержат единицы измерения, а не числа, она не перестает быть дробью.

Но вернемся к катящемуся шару… За одну секунду он проходит 2 фута при средней скорости 2 фт/с; за две секунды — 8 футов при средней скорости по полному расстоянию 4 фт/с; за три секунды — 18 футов при средней скорости по полному расстоянию 6 фт/с. И как вы можете лично убедиться, средняя скорость в течение первых четырех секунд — 8 фт/с. Средняя скорость, как и сказано, находится в прямой пропорции к затраченному времени.

Здесь, однако, мы имеем дело со средними скоростями. А какова же скорость катящегося шара в каждый конкретный момент? Рассмотрим первую секунду временного интервала. В течение этой секунды шар катится со средней скоростью 2 фт/с. Он начинает двигаться с малой скоростью. На самом деле он начинает двигаться из состояния покоя — его скорость в начале движения (другими словами, после того как прошло 0 секунд) была 0 фт/с. Чтобы получить среднее значение в 2 фт/с, шар должен достичь соответственно более высокой скорости во второй половине временного интервала (то есть после начала движения). Если мы предположим, что скорость повышается плавно по времени, то из этого следует, что если скорость в начале временного интервала была на 2 фт/с меньше, чем среднее значение, то в конце временного интервала (после того как прошла еще секунда) она должна быть больше на 2 фт/с, чем среднее значение, то есть 4 фт/с.

Если следовать той же логике рассуждения, которую мы использовали для средних скоростей в течение первых двух секунд, для первых трех секунд и далее мы получим следующие значения скорости: в 0 секунд — 0 фт/с; через одну секунду (в этот момент) — 4 фт/с; через две секунды — 8 фт/с; через три секунды — 12 фт/с; через четыре секунды — 16 фт/с и так далее.

Обратите внимание на то, что после каждой секунды скорость увеличивалась точно на 4 фт/с. Такое изменение скорости со временем называется «ускорением» (от латинских слов, означающих «добавить скорость»). Чтобы определить значение ускорения, мы должны разделить увеличение скорости в течение специфического интервала времени на значение этого интервала времени. Например, если в первую секунду скорость была 4 фт/с, в то время как в четвертую секунду она была равна 16 фт/с, то за время интервала 2 — 3 секунды она возросла на 12 фт/с. Ускорение в этом случае равно: 12 фт/с разделить на три секунды. (Обратите внимание, что в этом случае мы делим не 12 фт/с на 3, а 12 фт/с на 3 секунды. Во всех выражениях, где есть единицы измерения, они должны быть включены в любое математическое преобразование.)

Когда мы делим 12 фт/с на 3 секунды, получаем ответ, в котором единицы измерения так же, как и числовые значения, подвергаются делению, — другими словами, 4 фт/с разделить на с. Это может быть записано в виде 4 фт/с/с (читается «четыре фута в секунду за секунду»). Как мы знаем, и алгебраическом преобразовании a/b разделить на b равно a/b, умноженному 1/b, соответственно окончательный результат равен a/b². Теперь преобразуем единицы измерения по тому же принципу, мы получим (4 фт/с)/с , то есть 4 фт/с² (читается «четыре фута на секунду в квадрате»).

Как вы можете видеть в данном случае, если посчитаете ускорение для любого временного интервала, ответ будет всегда тот же самый: 4 фт/с². Для разных наклонных плоскостей ускорение будет различно в зависимости от степени наклона, но оно останется постоянным (константой) для любой данной наклонной плоскости в любой интервал времени.

Таким образом, мы можем выразить открытие Галилео относительно падающих тел более простым и более наглядным способом. Сказать, что все тела преодолевают равные расстояния за равные промежутки времени, будет правильно; однако это не говорит ничего о том, падают ли тела с равномерными скоростями, равноускоренно или с неравномерными скоростями. Еще раз, если мы говорим, что все тела падают с равными скоростями, мы ничего не говорим относительно того, как эти скорости могут изменяться по времени.

Теперь мы можем сказать, что все тела независимо от веса (мы пренебрегаем сопротивлением воздуха) катятся вниз по наклонным плоскостям или свободно падают с равным и постоянным ускорением. Если сказанное верно, из этого следует неизбежно, что два падающих тела проходят одно и то же расстояние за одинаковое время и что в любой данный момент они падают с одной и той же скоростью (предполагая, что они начали падать в одно и то же время). Это также говорит нам о том, что скорость тел увеличивается со временем и что она увеличивается на постоянную величину.

Общепринято выражать такие взаимоотношения при помощи математических символов. При таком способе мы не привносим в них ничего существенно нового. Используя математические символы, мы выражаем именно то, что мы хотели бы сказать словами, но более кратко и более общо. Математика — язык стенографии, в котором каждый символ имеет точное и согласованное значение. Как только язык изучен, мы понимаем, что это, в конце концов, всего лишь одна из форм английского языка.

Например, мы только что рассмотрели случай ускорения 4 фт/с² (из состояния покоя). Это означает, что в конце первой секунды скорость объекта равна 4 фт/с, после двух секунд — 8 фт/с, после трех секунд — 12 фт/с и так далее. Короче говоря, скорость равна ускорению, умноженному на время. Если мы обозначим скорость символом v, а время — символом t, мы можем сказать, что в этом случае v равна 4t.

Но фактическое ускорение зависит от угла, под которым отклонена наклонная плоскость. Если наклонная плоскость сделана более крутой, это приведет к увеличению ускорения; если сделать ее менее крутой, то ускорение уменьшится. Для любой данной плоскости ускорение постоянно, но специфическое значение константы может очень измениться от плоскости к плоскости. Позвольте нам поэтому не привязываться к конкретному числовому значению ускорения, давайте просто обозначим это ускорение символом а. Тогда мы можем сказать:

Важно помнить, что такие уравнения в физике включают в себя не только числа, но и единицы измерения. Таким образом, а в уравнении 2.1 не представляет собой число, например, скажем, 4, а представляет собой число и его единицы измерения — 4 фт/с² — единицы измерения, соответствующие ускорению. Так же и t, которым обозначают время, представляет собой число и его единицы измерения, например три секунды (3 с). Рассчитывая at, мы умножаем 4 фт/с² на 3 с, перемножая единицы измерения так же, как цифры. Преобразовывая единицы измерения так, как если бы они были дробями (другими словами, как если бы мы должны были умножить a/b² на b), получаем произведение, равное 12 фт/с. Таким образом, умножение ускорения (а) на время (t) действительно дает нам скорость (v), а полученные единицы измерения фт/с, соответствующие скорости, подтверждают правильность нашего преобразования.

В любом уравнении в физике единицы измерения, находящиеся по обеим сторонам знака равенства, должны быть сбалансированы после того, как закончены все необходимые алгебраические преобразования. Если этот баланс не получен, то уравнение не соответствует действительности и не может быть названо верным. Если единицы измерения какого-либо из символов неизвестны, они могут быть определены посредством решения того, какой единицы недостаточно для того, чтобы сбалансировать уравнение (это иногда еще называют «анализом размерностей»).

Теперь, учитывая все предыдущее, рассмотрим шар, начинающий движение из состояния покоя и катящийся вниз по наклонной плоскости в течение t секунд. Так, шар начинает свое движение из состояния покоя, его скорость в начале временного интервала равна 0 фт/с. Согласно уравнению 2.1, в конце временного интервала во время / его скорость v равна at фт/с. Чтобы получить среднюю скорость на всем временном интервале равномерного увеличения скорости, мы берем сумму первоначальной и заключительной скорости (0 + at) и делим ее на 2. Таким образом, средняя скорость в течение временного интервала равна at/2. Расстояние (d), которое прошел шар за это время, должно быть равно средней скорости, умноженной на время, то есть at/2xt. Поэтому мы можем написать, что

Я не буду пытаться проверять единицы измерения для каждого представленного в книге уравнения, но сделаю это для данного. Единицы измерения ускорения (а) — фт/с², а единицы измерения времени (t) — с (секунды). Поэтому итоговые единицы измерения равны at² — (фт/с²) ∙ с ∙ с, то есть (фт∙с²)/с², упростив это выражение, получаем просто фт (футы). От деления на 2 at² не изменяется, так же как с², так как 2 в этом случае — «чистое число», то есть оно не имеет единиц измерения. (Так же как, если вы делите линейку длиной в фут на два, каждая половина имеет длину 12 дюймов, разделенных на 2 или на 6 дюймов. На единицу измерения это же не оказывает эффекта.) Таким образом, получающиеся единицы измерения at²/2 — фт (футы), что соответствует единицам, применяемым для измерения расстояния (d)[7].

Свободное падение

Как я сказал ранее, значение ускорения (а) шара, катящегося вниз по наклонной плоскости, изменяется в соответствии с углом наклона плоскости. Чем более крутая плоскость, тем больше значение а.

В результате экспериментов показано, что для данной наклонной плоскости значение а находится в прямой пропорциональной зависимости от отношения высоты поднятого конца плоскости к длине плоскости. Если вы обозначите высоту поднятого конца плоскости как Н, а длину плоскости как L, то предыдущее предложение можно выразить в математических символах как а ∞ gH/L. Где символ ∞ означает «находится в прямой пропорциональной зависимости от».

В такой прямой пропорции значение выражения на одной стороне изменяется в точном соответствии со значением выражения на другой стороне. Если H/L удваивается, то удваивается и а; если H/L делится пополам, то пополам делится и а; если H/L умножают на 2,529, то и а умножается на 2,529. Такой подход предполагается прямой пропорциональностью. Но предположите, что для некоего значения а значение H/L оказывается равным одной трети a. Если значение а изменяется каким-либо способом, значение H/L изменяется точно таким же способом, так что оно все равно остается равным третьей части значения а. В этом специфическом случае а — в три раза больше H/L, причем не только для этого набора значений, а для всех значений вообще.

Общее правило таково: если один член пропорции x находится в прямой пропорциональной зависимости от другого члена y, мы всегда можем заменить знак отношения на знак равенства, введя некоторое соответствующее постоянное значение (называемое «коэффициентом пропорциональности»), на которое нужно умножить у, чтобы получить х. Обычно вначале мы не знаем точное значение коэффициента пропорциональности. Так что имеет смысл обозначить его некоторым символом. Этот символ обычно k (от немецкого слова «Konstant»). Поэтому мы можем сказать, что если (x ~ y), то x = ky.

Нет никакой абсолютной необходимости использовать в качестве символа для коэффициента пропорциональности именно k. Например, скорость шара, катящегося из состояния покоя, находится в прямой пропорциональной зависимости от времени t, в течение которого он катился, а расстояние, на которое он переместился, d находится в прямой пропорциональной зависимости от квадрата того же времени; поэтому v ~ t и d = (at²)/2. В первом случае» однако, мы приняли для коэффициента пропорциональности специальное название — «ускорение» — и обозначили его a, в то время как во втором случае взаимосвязь с ускорением такова, что мы обозначили коэффициент пропорциональности как a/2. Таким образом, мы имеем, что v = at и d = (at²)/2.

В случае, который мы сейчас рассматриваем, значение ускорения a находится в прямой пропорциональной зависимости от H/L, коэффициент пропорциональности удобно символизировать буквой g. Поэтому мы можем сказать:

Обе величины — H и L измерены в футах. При делении H на L футы делятся на футы и единицы измерения пропадают. В результате мы имеем то, что отношение H/L является «чистым» числом и не привязано ни к каким единицам измерения. Но единицы измерения ускорения (g) — фт/с². Чтобы поддержать баланс единиц измерения в уравнении 2.3, необходимо, чтобы единицы измерения g также были фт/с², потому что H/L не вносит в уравнения никаких единиц измерения. Из этого мы можем заключить, что коэффициент пропорциональности g в уравнении 2.3 имеет единицы измерения как у ускорения и поэтому должен представлять собой ускорение.

Для того чтобы понять, что это значит, поднимаем выше один конец наклонной плоскости; чем более крутой мы делаем данную наклонную плоскость, чем больше высота ее поднятого конца, тем больше значение H. Длина же наклонной плоскости (L), конечно, не изменяется. Наконец, когда плоскость встала совершенно вертикально, высота поднятого конца равна полной длине плоскости, то есть H равняется L, a H/L равняется 1.

Шар, катящийся вниз по совершенно вертикальной наклонной плоскости, фактически находится в состоянии свободного падения. Таким образом, в свободном падении H/L равно 1, и уравнение 2.3 приходит к виду:

Все сказанное выше показывает нам на то, что g — не просто ускорение, а специфическое ускорение, которому подвергается тело, находящееся в свободном падении. Тенденция тел — иметь вес и падать на землю — результат свойства называемого «тяжестью» («gravity») (от латинского слова «тяжелый», поэтому для обозначения ускорения свободного падения используется символ «g»).

Если измерить действительное ускорение тела, катящегося вниз по любой данной наклонной плоскости, то можно получить цифровое значение g. Уравнение 2.3 может быть преобразовано в g = aL/H. Для данной наклонной плоскости можно легко измерить длину (L) и высоту (H) поднятого конца и, зная a, можно сразу определить g. Его значение оказывается равным 32 фт/с² (по крайней мере, на уровне моря).

До этого места я в целях поддержания дружественных отношений использовал в качестве меры расстояния футы. Это — одна из общепринятых единиц измерения расстояния, используемых в Соединенных Штатах и Великобритании, и мы привыкли к ним. Однако ученые во всем мире используют метрическую систему мер, и мы уже достаточно далеко зашли в изучение предмета, чтобы, как мне кажется, быть способными присоединиться к ним в этом.

Ценность метрической системы в том, что ее различные единицы измерения связаны между собой простыми и логическими отношениями. Например, в обычной системе 1 миля равна 1760 ярдам, 1 ярд равен 3 футам и 1 фут равен 12 дюймам. Преобразование одной единицы измерения в другую — всегда трудная рутинная работа.

В метрической системе единица измерения расстояния — метр. Другие единицы измерения расстояния получаются путем умножения метра на 10 или на число, кратное 10. Благодаря такой системе написания чисел преобразование одной единицы измерения в другую в пределах метрической системы может быть выполнено простым изменением положения десятичной запятой.

Кроме того, в наборе используются стандартизированные префиксы — приставки. Приставка «деци-» всегда подразумевает ¹/₁₀ стандартной единицы измерения, так что дециметр — ¹/₁₀ метра. Приставка «гекто-» всегда подразумевает увеличение в 100 раз стандартной единицы измерения, так что гектометр — 100 метров. То же самое действительно и для других приставок.

Сам метр имеет длину 39,37 дюйма. Это делает его эквивалентом примерно 1,09 ярда, или 3,28 фута, две другие метрические единицы измерения, наиболее часто используемые в физике, — сантиметр и километр. Приставка «санти-» подразумевает ¹/₁₀₀ стандартной единицы измерения, так что сантиметр — ¹/₁₀₀ метра. Он эквивалентен 0,3937 дюйма, или приблизительно ²/₅ дюйма. Приставка «кило-» подразумевает 1000-кратное увеличение стандартной единицы измерения, так что километр равен 1000 метрам, или 100 000 сантиметрам. Длина километра — 39,370 дюйма, то есть примерно ⁵/₈ мили. Сокращения, обычно используемые для метра, сантиметра и километра, — это м, см и км соответственно.

Секунды, как основная единица измерения времени, используются в метрической системе так же, как и в обычной системе. Поэтому, если мы хотим выразить ускорение в метрических единицах измерения, мы должны использовать для этой цели «метры в секунду за секунду», или м/с². Так как 3,28 фута равняется 1 метру, мы делим 32 фт/с² на 3,28 и получаем, что в метрических единицах измерения значение g равно 9,8 м/с².

Еще раз напомню о важности единиц измерения. Неправильно и некорректно говорить, что «значение g нравно 32» или «значение g равно 9,8». Отдельно взятое число не имеет в этой связи никакого значения. Нужно говорить или 32 фт/с², или 9,8 м/с².

Эти два последних значения абсолютно эквивалентны. Числовые части выражения могут быть различны, когда мы берем их самих по себе, но когда мы добавляем единицы измерения, они становятся идентичными величинами. Ни одна из них ни в коем случае не «более истинна» или «более точна», чем другая; выражение в метрических единицах измерения просто более удобно.

Мы всегда должны знать, какие единицы измерения используются. При свободном падении a равно g, так что уравнение 2.1 может быть написано (v = 32t), если мы используем обычные единицы измерения, и (v = 9,8t), если мы используем метрические единицы измерения. При записи уравнений в краткой форме единицы измерения не включаются, поэтому всегда имеется шанс некоей путаницы. Если вы попробуете использовать обычные единицы измерения в уравнении (v = 9,8t) или метрические единицы измерения в уравнении (v = 32t), вы получите результаты, которые не соответствуют действительности. По этой причине правила процедуры должны быть совершенно ясными и однозначными. В данной книге, например, впредь будет считаться само собой разумеющимся, что везде используется метрическая система, кроме тех случаев, когда я специально обговариваю иное.

Таким образом, мы можем сказать, что для тел, находящихся в состоянии свободного падения, из стартового состояния покоя:

Таким же образом, для такого тела уравнение 2.2 становится:

или:

В конце первой секунды, когда падающее тело пролетело 4,9 м, оно падает со скоростью 9,8 м/с. Через две секунды его перемещение уже равно 19,6 м, а скорость падения равна 19,6 м/с. Через три секунды расстояние, покрытое телом, уже равно 44,1 м, а падает оно со скоростью 29,4 м/с, и так далее[8].

Инерция

Работы Галилео о падающих телах были систематизированы столетием позже английским ученым Исааком Ньютоном (1642–1727), который родился, как любят указывать, в год смерти Галилео.

Ньютон систематизировал свои знания в книге «Philosophlae naturalisprincipia mathematical («Математические принципы естественной философии»), которая была издана в 1687 году. Книга обычно упоминается просто как «Principia» («Принципы»). Аристотелевская модель физической Вселенной лежала в руинах почти сотню лет, и именно Ньютон теперь заменил ее новой, более точной и более пригодной моделью. Основу новой картины Вселенной составляют три важных научных обобщения относительно движения, которые обычно называются «три закона движения Ньютона»[9].

Его первый закон движения можно выразить следующим образом:

Как вы можете видеть, этот первый закон вступает в противоречие с аристотелевским предположением о «естественном месте» вместе с его заключением, что естественным состоянием объекта является состояние покоя на его естественном месте.

В ньютоновском представлении — для любого объекта не существует никакого естественного места. Везде, где объект находится вне действия какой-либо силы[10], он остается в покое. Кроме того, если он находится в движении без воздействия на него какой-либо силы, то он и останется в этом движении навсегда, не выражая никакого «желания» перейти в состояние покоя. (В данный момент я не даю определения понятию «сила», думаю, что вы, несомненно, уже имеете хотя бы грубое представление о том, что этот термин означает; надлежащее определение будет приведено позже.)

Эта тенденция движения (или покоя) к сохранению своего «устойчивого» состояния без воздействия некой внешней силы может рассматриваться как своего рода «лень» или нежелание перемен. И действительно, первый закон движения обычно еще называют принципом инерции, от латинского слова, означающего «безделье» или «лень». (Привычка к приписыванию человеческих побуждений или эмоций неодушевленным объектам называется «персонификация». Это плохая привычка в науке, хотя и весьма общеупотребимая, я же побаловался ею здесь только для того, чтобы объяснить слово «инерция».)

На первый взгляд принцип инерции не кажется почти столь же самоочевидным, как аристотелевское предположение о «естественном месте». Мы можем видеть собственными глазами, что перемещающиеся объекты действительно имеют тенденцию останавливаться, даже если мы не видим ничего, что могло бы остановить их. Опять же, если камень выпущен в воздушном пространстве, он начинает перемещаться и продолжает перемещаться все быстрее и быстрее, несмотря на то что мы не видим ничего, что вызывало бы это движение. Если принцип инерции верен, мы должны желать допустить присутствие неких тонких сил, которые не проявляют столь очевидно своего существования.

Например, хоккейная шайба, получив быстрый толчок, по тротуару или цементной площадке будет двигаться по прямой линии, но будет делать это с так быстро уменьшающейся скоростью, что скоро остановится. Если той же самой шайбе дают тот же самый быстрый толчок, но на гладком льду, то она будет двигаться намного дальше, опять же по прямой линии, но на сей раз — с медленно уменьшающейся скоростью. Если мы еще поэкспериментируем, то достаточно быстро выясним, что чем более шершавая поверхность, по которой перемешается шайба, тем быстрее она остановится.

Кажется, что крошечные неровности грубой поверхности цепляются за крошечные неровности хоккейной шайбы и замедляют движение. Это «цепляние» одних неровностей за другие называется «трением» (friction) (от латинского слова, означающего «трется»), и это трение действует в качестве силы, которая замедляет движение шайбы. Чем меньше трение, тем меньше сила трения и тем медленнее уменьшается скорость шайбы. На очень гладкой поверхности, типа упомянутого выше льда, трение настолько мало, что шайба перемещается на большие расстояния. Если мы представим себе горизонтальную поверхность без трения вообще, то хоккейная шайба будет перемещаться по этой поверхности по прямой линии с постоянной скоростью, вечно.

Ньютоновский принцип инерции действует поэтому только в несуществующем, идеальном мире, в котором никаких вмешивающихся сил не существует: нет ни трения, ни сопротивления воздуха.

Далее давайте рассмотрим камень, находящийся в воздушном пространстве. Он находится в состоянии покоя, но в момент, когда мы отпускаем его, начинает двигаться. Ясно, тогда должна иметься некоторая сила, которая заставит его двигаться, так как принцип инерции требует, чтобы при отсутствии силы тело осталось в покое. Так как движение камня, если он просто отпущен, происходит всегда в направлении земли, то и сила должна быть направлена туда же. Так как свойство, которое заставляет камень подать, долго называли «тяжестью» (gravity), было естественным назвать силу, которая вызвала это движение, «силой тяготения» (гравитационной силой), или «силой тяжести».

Поэтому казалось бы, что в доказательстве принципа инерции существует некий «порочный круг». Мы начинаем, заявляя, что тело будет вести себя некоторым способом, если на него не действует никакая сила. Затем всякий раз, когда выясняется, что тело не ведет себя таким «предсказанным» образом, мы изобретаем силу, чтобы объяснить это отклонение.

Такая круговая аргументация была бы действительно плоха, если бы мы приступали к доказательству первого закона Ньютона, но мы не делаем этого. Ньютоновские законы движения представляют собой предположения и определения и не требуют доказательств. В частности, понятие «инерция» — такое же предположение, как и понятие Аристотеля о «естественном месте». Однако между ними существует разница: принцип инерции доказал свою чрезвычайную полезность в изучении физики в течение почти трех столетий и не вовлек физиков ни в какие противоречия. Именно по этой причине (а не из каких-либо соображений «правды») физики продолжают держаться за законы движения.

Безусловно, новое релятивистское представление о Вселенной, выдвинутое Эйнштейном, однозначно дает понять, что в некоторых отношениях ньютоновские законы движения — только результат аппроксимации, приближение. При очень больших скоростях и очень больших расстояниях аппроксимации значительно расходятся с действительностью. Однако при обычных скоростях и расстояниях аппроксимации чрезвычайно хороши[11].

Силы и векторы

Термин «сила» происходит от латинского слова, обозначающего «силу», и мы знаем его обычное значение, когда говорим о «силе обстоятельств», «силе аргументов» или «военной силе». В физике, однако, сила определена ньютоновскими законами движения. Сила — то, при приложении чего может произойти изменение скорости движения материального тела.

Мы ощущаем такие силы обычно (но не всегда) как мускульные усилия. Мы сознаем, кроме того, что они могут быть приложены в определенных направлениях. Например, мы можем приложить силу к объекту, находящемуся в состоянии покоя, таким образом, чтобы заставить его двигаться от нас. Или мы можем приложить подобную же силу таким способом, чтобы заставить его двигаться к нам. Когда направления приложения силы ясно видны, в обычной разговорной речи мы даем таким силам два отдельных названия. Сила, направленная непосредственно от нас, — толчок; направленная непосредственно к нам — рывок. По этой причине сила иногда определяется как «толчок или рывок», но это не является определением, а только сообщает нам, что данная сила является одним или другим видом силы.

Величина, которая обладает и размером и направлением, как сила, называется «векторной величиной» или просто — «вектором». Та же величина, которая имеет только размер, называется «скалярной величиной». Например, с расстоянием обычно обращаются как со скалярной величиной. Можно сказать, что автомобиль прошел расстояние в 15 миль — при этом не учитывается направление, в котором он путешествовал.

С другой стороны, при некоторых обстоятельствах важное значение имеет объединить направление с расстоянием. Если город B находится на 15 миль к северу от города A, то недостаточно направить автомобилиста, указав расстояние в 15 миль, чтобы он мог достигнуть города В. Необходимо определить направление движения. Если он поедет 15 миль на север, он туда доберется, если же он проедет те же 15 миль на восток (или в любом другом направлении, кроме северного), он туда не попадет. Если мы назовем комбинацию размера пройденного расстояния и направления движения «перемещением», то можно сказать, что перемещение — векторная величина (или просто — вектор).

Важность понимания различий между векторами и скалярами состоит в том, что эти два вида величин управляются по-разному. Например, при сложении скаляров достаточно использовать обычное правило сложения, преподаваемое в начальной школе. Если вы путешествуете 15 миль в одном направлении, потом — 15 миль в другом направлении, полное расстояние, пройденное вами, равно 15 плюс 15, или 30 милям. Безотносительно направления полное расстояние равно 30 миль. Если вы перемещаетесь на 15 миль на север, потом — еще на 15 миль на север, то полное перемещение составляет: север — 30 миль. Предположим, однако, что вы путешествуете 15 миль на север, а потом 15 миль на восток. Чему же тогда равно ваше полное перемещение? Как далеко, другими словами, находитесь вы от своей отправной точки? Полное расстояние, которое вы прошли, — по-прежнему те же 30 миль, но ваше окончательное перемещение: северо-восток — 21,2 мили. Если вы путешествуете на север на 15 миль, а затем на юг на 15 миль, расстояние, которое вы прошли, — по-прежнему те же 30 миль, но ваше окончательное перемещение составляет 0 миль, поскольку вы вернулись назад к вашей отправной точке.

Таким же образом, имеется обычное приращение — скалярное и «приращение векторное». Обычное приращение 15 + 15 — всегда равно 30; в векторном приращении 15+15 может быть равно чему угодно в пределах от 0 до 30, в зависимости от обстоятельств.

Так как сила — вектор, две силы складываются вместе согласно правилам сложения векторов. Если одна сила прикладывается к телу в одном направлении, а другая, равная ей сила прикладывается в противоположном направлении, сумма этих двух сил равна нулю; в таком случае, несмотря на то что силы приложены, тело, к которому они приложены, не изменяет свою скорость. Если оно находится в состоянии покоя, то оно и остается в покое. Фактически в каждом случае, когда тело в реальном мире находится в состоянии покоя, мы можем быть уверенными, что это не подразумевает, что не имеется никаких сил, которые могли бы изменить его состояние. Всегда на него действуют какие-либо силы (сила тяготения, как минимум). Если тело находится в состоянии покоя или постоянного движения, то это потому, что имеется более чем одна сила, и векторная сумма всех приложенных сил равна нулю.

Если векторная сумма всех приложенных к телу сил не равна нулю, то имеется неуравновешенная сила (упомянутая в моем определении первого закона Ньютона), или суммарная сила. Надо понимать, что всякий раз, когда я говорю о силе, приложенной к телу, я подразумеваю равнодействующую (результирующую) силу.

Специфическая сила может оказывать один из нескольких эффектов на перемещающееся тело. Сила тяжести, например, направлена вниз, к земле, и падающее тело, перемещающееся в направлении гравитационного притяжения, двигается со все возрастающей скоростью, испытывая при этом ускорение в 9,8 м/с².

Тело, брошенное вверх, наоборот, перемещается в направлении, противоположном направлению силы тяжести. Следовательно, его как будто тянет назад силой, заставляя перемещаться все медленнее. Это, наконец, приводит к тому, что тело останавливается, полностью изменяет свое направление движения и начинает падать. Такое изменение скорости может называться «замедлением» или «отрицательным ускорением». Однако было бы удобно, если бы специфическая сила, как та, которую мы рассматриваем, производила бы специфическое ускорение. Чтобы избежать разговоров о замедлении, мы вместо этого будем говорить об отрицательной скорости.

Другими словами, будем считать, что скорость является вектором. Это означает, что движение со скоростью 40 м/с вниз — не идентично движению со скоростью 40 м/с вверх. Самый простой способ обозначить различия между противоположными величинами состоит в том, чтобы обозначить одну величину положительным, а другую отрицательным значением. Поэтому будем говорить, что нисходящее движение равно +40 м/с, а восходящее равно -40 м/с.

Так как нисходящая сила порождает и нисходящее ускорение[12] (ускорение также является вектором), мы можем выразить размер ускорения, вызванного действием силы тяжести, не как просто 9,8 м/с², но и как +9,8 м/с².

Если тело перемещается со скоростью +40 м/с (вниз, другими словами), эффект ускорения должен увеличить это число. Сложение двух положительных чисел векторным способом дает результат, аналогичный полученному от обычного сложения, поэтому после первой секунды тело перемещается со скоростью +49,8 м/с, после другой секунды +59,6 м/с и так далее. Если, с другой стороны, тело перемещается со скоростью -40 м/с (вверх), векторное сложение положительной и отрицательной величин аналогично обычному вычитанию, поскольку изменяется только сама величина. Таким образом, после первой секунды тело будет перемещаться со скоростью -30,2 м/с, после двух секунд -20,4 м/с и после четырех секунд -0,8 м/с. Вскоре после четырехсекундной отметки тело достигнет скорости 0 м/с, и в этой точке оно придет к мгновенной остановке. Тогда оно начнет падать, и после пяти секунд его скорость будет +9,0 м/с.

Как мы можем видеть, ускорение, вызванное силой тяжести, одно и то же независимо от того, перемещается ли тело вверх или вниз, и все же имеются различия в этих двух случаях. Тело покрывает все большее расстояние за каждую секунду нисходящего движения, но все меньшее расстояние за каждую секунду восходящего движения. Величина расстояния, которое проходит тело за единицу времени, мы называем «скоростью»[13].

В разговорной речи скорость и векторная скорость — синонимы, другое дело — в физике. Скорость — скалярная величина и не включает в себя направление. Объект, перемещающийся на север со скоростью 16 м/с движется с той же скоростью, что и объект, перемещающийся на восток со скоростью 16 м/с, но эти два объекта перемещаются с различной векторной скоростью. При определенных обстоятельствах можно направить силу таким образом, чтобы заставить тело двигаться кругами. Скорость в таком случае может не изменяться вообще, но векторная скорость (которая включает в себя направление) будет постоянно меняться.

Из этих двух терминов термин «векторная скорость» используется физиками намного чаще, поскольку это — более широкий и более удобный термин. Например, мы могли бы определять силу как «то, что изменяет скорость тела или направление его движения, или и то и другое» или как «то, что изменяет вектор скорости тела» — это более краткая, но сохраняющая первоначальное значение фраза.

Так как изменение в скорости — это ускорение, мы могли бы также определять силу как «то, что прикладывает ускорение к телу, причем ускорение и сила приложены в одном том же направлении».

Масса

Первый закон Ньютона объясняет концепцию силы, но, чтобы позволить нам измерить величину силы, необходимо еще что-то. Если мы определяем силу как то, что порождает ускорение, казалось бы логичным измерить размер силы размером ускорения, которое ее вызывает. Это имеет смысл, когда мы ограничиваем себя рассмотрением одного специфического тела, например баскетбольного мяча. Если мы толкаем баскетбольный мяч по земле с постоянной силой, он перемещается все быстрее и после десяти секунд такого перемещения развивает скорость, например, 2 м/с. Его ускорение — 2 м/с поделить на 10 секунд — 0,2 м/с². Но если вы опять начнете с нуля и будете толкать мяч не так сильно, то после десяти секунд баскетбольный мяч будет перемешаться со скоростью только 1 м/с и поэтому подвергнется ускорению, равному только лишь 0,1 м/с². Так как в первом случае ускорение в два раза больше, чем во втором, кажется справедливым предположить, что и сила в первом случае была в два раза больше, чем во втором.

Но если бы вы попробовали применить те же самые силы к твердому пушечному ядру вместо баскетбольного мяча, то обнаружили бы, что пушечное ядро не будет подвержено таким же ускорениям, как указаны выше. Потребуется применить гораздо большую силу для того, чтобы вообще заставить пушечное ядро двигаться.

Опять же, когда баскетбольный мяч катится со скоростью 2 м/с, вы можете достаточно легко его остановить. Изменение скорости с 2 м/с до 0 м/с требует приложения силы, и вы вполне можете создать достаточную силу, чтобы остановить баскетбольный мяч. Или вы можете пнуть баскетбольный мяч во время его движения и таким образом заставить его изменить направление движения. Пушечное же ядро, перемещающееся со скоростью в 2 м/с, однако, может быть остановлено только приложением очень большого усилия, и, если пнуть его во время движения, это изменит его направление весьма незначительно (а вы отобьете ногу).

Пушечное ядро, другими словами, ведет себя так, как если бы оно обладало большим количеством инерции, чем баскетбольный мяч, и поэтому требует соответственно большего количества силы для получения заданного ускорения. Ньютон использовал термин «масса», чтобы указать величину инерции, которой обладает тело. Таким образом, его второй закон движения гласит: «Ускорение, полученное в результате действия какой-либо силы, действующей на тело, — прямо пропорционально величине этой силы и обратно пропорционально массе тела».

Как я уже объяснил, когда x считают прямо пропорциональным к y, это означает, что x = ky. С другой стороны, если мы говорим, что х является обратно пропорциональным к другой величине, например z, то мы подразумеваем, что любое увеличение z приводит к уменьшению х на соответствующую величину, и наоборот. Таким образом, если z увеличена в три раза, х получается равным ¹/₃; если z увеличена в одиннадцать раз, x получается равным ¹/₁₁, и так далее. Математически это понятие обратной пропорции наиболее просто может быть выражено как x ~ 1/z, тогда, когда z равно 3, х равна ¹/₃, когда z удваивается до 6, x в два раза уменьшается и становится равным ¹/₆ и так далее. Мы можем заменить пропорциональность на равенство, умножив какую-либо часть на константу таким образом, чтобы величина x была обратно пропорциональна z, то есть x = ky/z. Но если x является одновременно прямо пропорциональной к y и обратно пропорциональной к z, то это означает, что x = ky/z.

Учитывая это, давайте обозначим ускорение как a, величину силы как f, а массу тела как m. Тогда второй закон движения Ньютона приобретает такой вид:

Давайте теперь рассмотрим единицы, в которых будем измерять каждую из величин, начиная с массы, так как мы пока еще не упоминали ее в этой книге. Вы можете подумать, что, если я говорю, что пушечное ядро более массивно, чем баскетбольный мяч, я подразумеваю, что оно и более тяжелое. На самом деле я так не делаю. «Массивный» — не то же самое, что «тяжелый», и «масса» — не то же самое, что «вес», как я объясню вам чуть позже в этой книге. Однако между этими двумя концепциями имеется некоторое подобие, и их часто путают. В повседневной жизни, по мере того как тела становятся более массивными, они также становятся и более тяжелыми, кроме того, физики тоже внесли свой «элемент беспорядка», используя для измерения массы тела единицы, которые нефизики обычно считают единицами веса.

В метрической системе измерений приняты две основные единицы измерения массы тела — грамм (г) и килограмм (кг). Грамм — мелкая единица измерения массы. Например, кварта молока имеет массу приблизительно 975 граммов. Килограмм, как вы и можете ожидать (от приставки), равен 1000 граммам и, таким образом, представляет собой массу чуть больше, чем кварта молока.

(В обычных единицах массу часто представляют в виде «унций» и «фунтов», эти единицы также используют и для веса. В этой книге, однако, я буду ограничиваться метрической системой, насколько это представится возможным, и буду использовать обычные единицы, например кварты, только тогда, когда они действительно необходимы для ясности.)

При измерении величины силы необходимо рассматривать две величины: ускорение и массу. При использовании метрических единиц ускорение обычно имеет размерность м/с² или см/с², в то время как масса измеряется в г или кг. Традиционно всякий раз, когда расстояние дается в метрах, масса дается в килограммах, то есть в сравнительно больших единицах. С другой стороны, всякий раз, когда расстояние дается в сравнительно мелких единицах — сантиметрах, масса тоже дается в сравнительно мелких единицах — граммах. В любом из указанных случаев единица времени — секунда.

Следовательно, единицы измерения многих физических величин могут быть составлены из сантиметров, граммов и секунд в различных комбинациях или из метров, килограммов и секунд в различных комбинациях. Первый вариант известен как система СГС, второй вариант — как система МКС. Еще полвека назад более часто использовали систему СГС, но теперь более популярной стала система МКС. В этой книге я буду использовать обе системы.

В системе СГС за единицу силы принята такая сила, которая заставляет тело массой 1 г двигаться с ускорением 1 см/с². Поэтому единицы размерности там 1 см/с², умноженный на 1 г. (При умножении двух алгебраических величин a и b мы можем выразить произведение просто как ab. Мы обращаемся с единицами измерения так, как если бы они были алгебраическими величинами, но, поскольку прямое присоединение одних слов к другим выглядит запутывающе, я буду использовать дефис, который, в конце концов, обычно и используется, чтобы присоединить одни слова к другим). Таким образом, единица силы, равная произведению 1 см/с² на 1 г, будет называться 1 г∙см/с² (грамм-сантиметр в секунду за секунду. — Пер.). Единица силы, г∙см/с², часто используется физиками, но так как звучит она довольно «громоздко», то для этого выражения было придумано более короткое название «дина» (от греческого слова, означающего «сила»).

Теперь давайте решим уравнение 3.1 для k. Получается, что:

Значение k остается одним и тем же для любого совместимого набора значений a, m и f, так что мы также можем брать простые числа. Предположим, что мы присваиваем т значение, равное 1 г, а a — равное 1 см/с². Количество силы, которое соответствует такой массе и ускорению, по нашему определению, 1 г∙см/с² (или 1 дина).

Подставив эти значения в уравнение 3.2, мы получаем, что:

В этом случае, по крайней мере, k — безразмерная величина.

Так как к равна 1, мы можем привести уравнение 3.2 к виду ma/f = 1, откуда мы получаем, что:

при условии, что мы используем надлежащие наборы единиц измерения, то есть если мы измеряем массу в граммах, ускорение — в сантиметрах в секунду за секунду, а силу — в динах.

В системе измерений МКС ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате, а масса в килограммах. Единица силы может быть определена как количество силы, которое производит ускорение, равное 1 м/с², будучи приложенной к телу массой 1 кг. Единицы силы в этой системе поэтому 1 м/с², умноженные на 1 кг, или 1 кг∙м/с².[14] Эта единица силы более кратко называется 1 ньютон, и конечно же в честь Исаака Ньютона. Уравнение 3.3 справедливо и для второй комбинации совместимых единиц измерения, когда масса измеряется в кг, ускорение — в м/с², а сила — в ньютонах.

Зная, что килограмм равен 1000 граммам, а метр — 100 сантиметрам, можно получить, что 1 кг∙м/с² равен (1000 г)∙(100 см)/с², или 100 000 г∙см/с². То есть более кратко: 1 ньютон = 100 000 дин.

Перед тем как оставить второй закон движения, давайте рассмотрим случай, когда к телу не приложена никакая суммарная сила. В этом случае мы можем сказать, что f = 0, таким образом, уравнение 3.3 приобретает вид: ma = 0. Но любое материальное тело должно иметь массу больше нуля, то есть единственный вариант, при котором та может равняться 0, это — когда мы имеем a равное 0.

Другими словами, если на тело не действует никакая суммарная сила, то оно не испытывает никакого ускорения и поэтому должно находиться в покое или в состоянии равномерного движения.

Это последнее замечание, однако, представляет собой не что иное, как выражение первого закона движения Ньютона. Из этого следует, что второй закон движения включает в себя первый закон как частный случай. То есть если справедливость второго закона признана, нет никакой необходимости в первом законе. Значение первого закона в значительной степени психологическое. Частный случай f = 0, будучи однажды принятым, освобождает от того, чтобы учитывать основанное на «здравом смысле» аристотелевское понятие того, что естественной тенденцией объектов является стремление к состоянию покоя. Приняв такой частный случай, можно уже рассматривать и более общий.

Взаимодействие тел

Чтобы существовать, сила должна происходить от чего-либо и быть приложена к чему-нибудь. Очевидно, что-то не может быть сдвинуто с места, если другое что-то не подталкивает его. Также должно быть очевидно, что что-то не может подталкивать, если не существует самого предмета подталкивания. Попробуйте представить себе, что вы тянете или толкаете вакуум.

Значит, два тела соединяет сила, и соответственно возникает вопрос: какое же из тел является толкающим, а какое подталкиваемым? Если в процесс вовлечен некий живой организм, мы привыкли думать о нем как об источнике происхождения силы. Мы думаем о себе как о толкающем пушечное ядро, а о лошади — как о том, кто тянет фургон, а не наоборот: о пушечном ядре, толкающем нас, и о фургоне, тянущем лошадь.

В случае же, если рассматриваются два неодушевленных объекта, мы не можем быть настолько уверенными. Стальной шар, падающий на мраморный пол, собирается толкнуть этот пол в момент удара, то есть приложить к нему силу. С другой стороны, в тот момент, когда стальной шар ударяется об пол, пол начинает прикладывать силу по отношению к шару. Принимая во внимание, что сила, которую прикладывает шар, направлена вниз на пол, понятно, что сила, которую прикладывает пол, должна быть направлена вверх на шар.

В этом и во многих других подобных случаях, как мы видим, имеются две силы, равные по величине и противоположные по направлению.

Ньютон сделал обобщение, что такое явление существует всегда и обязательно и истинно во всех случаях. Он отобразил это в своем третьем законе движения. Часто этот закон формулируют в краткой форме: «Для каждого действия имеется равное противодействие». По этой причине третий закон Ньютона иногда упоминается как «закон действия и противодействия».

Возможно, однако, это не лучший вариант формулировки. Говоря относительно действия и противодействия, мы все еще думаем о живом объекте, прикладывающем силу к некоторому неодушевленному предмету, который соответственно реагирует автоматически. Одна сила («действие») кажется более важной и предшествующей по времени другой силе («реакции»).

Но это не так. С точки зрения физики обе силы имеют абсолютно равную важность и существуют одновременно. Любая из них может рассматриваться как «действие» или как «реакция». Поэтому было бы лучше сформулировать закон примерно в такой форме:

В такой форме данный закон может называться «законом взаимодействия».

Третий закон движения может вызвать некоторое замешательство. Люди имеют тенденцию спрашивать: «Если каждая сила вызывает равную и противоположную противосилу, почему же обе силы всегда не уничтожают друг друга при векторном сложении, не оставляя никакой суммарной силы вообще?» (Если бы это было так, то ускорение было бы невозможным и второй закон был бы бессмысленным.)

Ответ заключается в том, что две равные и противоположные по направлению силы уничтожают друг друга в том случае, когда они приложены к одному и тому же телу. Если сила была приложена к данному конкретному камню и равная и противоположная сила была также приложена к этому камню, то не будет никакой результирующей силы: камень будет оставаться в покое независимо от того, насколько большой была каждая из сил. (Силы могут быть достаточно большие, чтобы «растереть» камень в порошок, но они не будут перемещать его.)

Закон взаимодействия, однако, относится к равным и противоположным по направлению силам, приложенным к двум разным телам. Таким образом, если вы прикладываете силу к камню, равная и противоположная сила приложена камнем к вам; и камень и вы — каждый получает отдельную неуравновешенную силу. Если вы прикладываете силу к камню и в то же время отпускаете его, то камень, в ответ на эту отдельную силу, ускоряется в направлении этой силы, то есть вдаль от вас. Вторая сила приложена к вам, и вы, в свою очередь, ускоряетесь в направлении этой второй силы, то есть в направлении, противоположном тому, в котором полетел камень. Обычно если вы стоите на неровном основании (земле), то трение между вашими ботинками и основанием порождает новые силы, которые предохраняют вас от перемещения. Ваше ускорение поэтому замаскировано, так что истинный эффект закона взаимодействия может пройти незамеченным. Однако если бы вы стояли на очень гладком, скользком льду и швырнули тяжелый камень, например в восточном направлении, то вы бы начали скользить на запад.

Таким же образом газы, сформированные горящим топливом в двигателе ракеты, прикладывают силу к внутренним стенкам двигателя, в то время как стенки двигателя прикладывают равную и противоположную силу к газам. Газы вынуждены ускоряться вниз, в то время как стенки (и присоединенная к ним ракета) вынуждены ускоряться по направлению вверх. Каждая взлетающая в воздух ракета является свидетельством правильности третьего закона движения Ньютона.

В рассмотренных случаях оба вовлеченных объекта были физически разделены или могли бы быть физически разделены. Одно тело могло ускоряться в одном направлении, а другое — в противоположном. Но что же делать в случае, когда эти два вовлеченных тела связаны вместе? Что делать с лошадью, тянущей фургон? Фургон также тянет лошадь в противоположном направлении, с равной силой. И все же лошадь и фургон не ускоряются в противоположных направлениях. Они связаны вместе, и оба движутся в одном и том же направлении.

Если бы силы, соединяющие фургон и лошадь, были единственными из вовлеченных, то действительно не имелось бы никакого совместного движения. Фургон и лошадь, стоящие на очень скользком льду, не сдвинулись бы с места, независимо от того, как барахталась бы лошадь. На обычном же основании (земле) существуют фрикциональные эффекты. Лошадь прикладывает силу к Земле, а Земля прикладывает противосилу на лошадь (и связанный с ней фургон). Следовательно, лошадь перемешается вперед, а Земля — назад.

Но так как Земля имеет массу намного большую, чем лошадь, то ее ускорение назад (помните, что ускорение, произведенное силой, обратно пропорционально массе ускоряемого тела) настолько мало, что практически неизмеримо. Мы видим только движение лошади, и поэтому нам кажется, что лошадь тянет фургон. Достаточно трудно осознать, что фургон в то же время тянет лошадь.

Комбинация сил

Еще будучи двадцатилетним, Ньютон обратил внимание на очень важный и глубокий вопрос. Законы движения применимы только к Земле или они справедливы и для небесных тел? Наблюдая на ферме матери падение яблока с дерева[15], он стал задаваться вопросом, действуют ли на Луну те же силы, что и на яблоко.

На первый взгляд могло бы показаться, что Луна не может быть во власти той же самой силы, что и яблоко, поскольку яблоко упало на Землю, а Луна этого не делает. Конечно, если бы одна и та же самая сила была приложена к обоим этим объектам, то она вызвала бы одно и то же ускорение, и они бы оба упали. Однако это — упрощение. Что, если Луна действительно находится во власти той же самой силы, что и яблоко, и поэтому перемещается вниз к Земле; но, кроме того, что, если Луна также подвержена второму движению? Что, если комбинацией этих двух движений является такое, которое заставляет Луну кружиться над Землей и никогда не падать на нее?

Это понятие полного движения, составленного из двух или более движений в различных направлениях, было весьма нелегким для восприятия концепцией для ученых того времени. Когда Николай Коперник (1473–1543) предположил, что Земля вращается вокруг Солнца (а не наоборот), некоторые из наиболее ярых возражений были те, что, если Земля вращается на своей оси и (что еще хуже) перемещается в пространстве в своем вращении вокруг Солнца, на поверхности Земли невозможно будет находиться чему-либо подвижному. Любой, кто подпрыгнул бы в воздух, опустился бы на много ярдов дальше, так как земля под ним передвигалась бы в то время, как он был в воздухе. Спорящие таким образом были настолько уверены в очевидности своих аргументов, что даже не принимали никаких возражений.

Те, кто принимал коперниковское понятие о движении Земли, должны были доказать, что для объекта действительно возможно обладать двумя движениями сразу: то есть что прыгающий человек во время перемещения вверх и вниз может также двигаться вместе с поворачивающейся Землей и поэтому опускается на то же самое место, с которого он прыгал вверх.

Галилео показал, что объект, брошенный вниз с верхушки мачты двигающегося судна, упал в точку у основания мачты. Судно не «выехало» из-под падающего объекта, и он не упал в море. Следовательно, падающий объект, в то время как он перемещался вниз, должно быть, также участвовал и в горизонтальном движении судна. На практике Галилео не пробовал выполнить описанное выше, он предложил то, что сегодня мы называем «мысленный эксперимент». Но даже при том, что данный эксперимент был предложен только в мысленной форме, он был крайне убедительным; суда плавали по морям в течение тысяч лет, и множество предметов, должно быть, было сброшено с верхушек мачт в течение всех этих лет, и все же ни один моряк никогда не сообщал о том, что судно выплыло из-под падающего предмета. (И конечно, в наше время мы можем щелкать монетами о край бьющей струи и ловить их, поскольку они снижаются, без того, чтобы переместить нашу руку. Монета участвует в движении струи, а также — в перемещении вверх и вниз.)

Почему тогда некоторые ученые XVI и XVII столетий уверенно утверждали, что объекты не могут обладать двумя различными движениями одновременно? Очевидно, потому, что они все еще «страдали греческой болезнью» — принимать за основу кажущиеся явными основные предположения и не всегда испытывать необходимость проверить эти заключения в условиях реальной Вселенной.

Например, ученые XVI столетия рассуждали, что снаряд, которым выстрелили из орудия или катапульты, потенциально подчиняется воздействию двух движений: во-первых, импульса, данного ему орудием или катапультой и, во-вторых, его «естественного движения» к земле. Предположив для начала, что объект не может обладать двумя движениями одновременно, можно сделать справедливый вывод, что одно движение должно закончиться перед тем, как начнется второе. Другими словами, утверждается, что пушечное ядро будет перемещаться по прямой в направлении выстрела, пока импульс, вызванный взрывом пороха, не исчерпает себя, а затем — упадет вниз, по прямой.

Галилео придерживался весьма отличной от такой точки зрения. Безусловно, снаряд будет перемещаться вперед, в направлении выстрела из орудия. Больше того — он будет делать это с постоянной скоростью, так как сила взрыва пороха была приложена к нему только один раз и больше не прикладывалась. (Как позже объяснил Ньютон — без непрерывной силы не существует и непрерывного ускорения.) Кроме того, однако, пушечное ядро начинает снижаться, как только оно покидает ствол орудия, в соответствии с законами падающих тел, причем с постоянно увеличивающейся скоростью, увеличивающейся из-за постоянного ускорения (вызванного благодаря непрерывному присутствию постоянной силы тяжести). Легко показать геометрическими методами, что объект, который передвигается в одном направлении с постоянной скоростью, а в другом — со скоростью, которая возрастает прямо пропорционально со временем, будет двигаться по кривой, называемой «парабола». Галилео также доказал, что максимальная дальность полета пушечного ядра будет достигаться в том случае, если орудие будет направлено вверх под углом 45° к земле.

Орудие, направленное под некоторым углом к горизонту, способно было бы доставить пушечное ядро на одно расстояние, если ранние представления о движении пушечного ядра были правильны, и на совсем другое расстояние в том случае, если верными были взгляды Галилео. Показать, что именно подход Галилео был верным, не представляло особой трудности.

Действительно, во все времена стрелки, которые, возможно, и не понимали много в теории, нацеливали свои орудия так, чтобы воспользоваться преимуществами параболического движения пушечного ядра[16]. Короче говоря, возможность тела обладать двумя или более движениями одновременно ни разу не была подвергнута сомнению со времен Галилео.

Каким же образом можно сложить отдельные движения и получить результирующую этих движений? Это может быть сделано при помощи векторного сложения, по методу, наиболее легко представляемому в геометрической форме. Рассмотрим два движения в различных направлениях, эти два направления находятся под углом α друг к другу. (Символ α — греческая буква «альфа». Греческие буквы вообще часто используются в физике в качестве символов, чтобы ослабить нагрузку на обычные буквы алфавита.) Эти два движения могут тогда быть представлены двумя стрелками, находящимися под углом α, а длина этих двух стрелок пропорциональна соответствующим им скоростям. (Если одна скорость вдвое больше другой, то и соответствующая стрелка в два раза больше другой.) Если мы представим эти две стрелки как стороны параллелограмма, то результирующее движение, созданное из двух составляющих движений, может быть диагональю этого параллелограмма, которая находится в промежутке между направлениями составляющих компонентов.

Зная значения этих двух скоростей и угла между ними, можно вычислить значение и направление результирующей скорости даже и без геометрических построений, хотя последние всегда полезны в качестве зрительной помощи. Например, если одна скорость — 3 м/с в одном направлении, а другая — 4 м/с в направлении перпендикулярном (под прямым углом к) первому, то результирующая скорость — 5 м/с, в направлении, которое составляет угол менее чем 37° с большим компонентом и более чем 53° — с меньшим.

Таким же образом данная конкретная скорость может быть разложена на две составляющие скорости. Если мы выразим данную скорость как диагональ параллелограмма, то две из смежных сторон параллелограмма представят собой составляющие скорости. Это может быть проделано бесконечное число раз, так как линия, представляющая скорость или силу, может быть представлена диагональю бесконечного числа параллелограммов. Однако удобно, чтобы скорость была разложена на компоненты, которые находятся под прямыми углами друг к другу. В этом случае параллелограмм превращается в прямоугольник.

Этот метод использования параллелограмма может применяться для сложения или разложения любого количества векторов. Данный метод очень часто используется для расчета сил, и поэтому обычно его называют «параллелограммом сил».

Движение Луны

Теперь позвольте нам вернуться к Луне. Относительно Земли она двигается по эллиптической орбите. Однако эллипс, который она описывает в своем вращении вокруг Земли, очень близок по форме к кругу. Луна путешествует по этой орбите со скоростью, которая близка к постоянной.

Хотя линейная скорость Луны почти постоянна, ее векторная скорость, конечно, — нет. Так как Луна перемещается по кривой, направление ее движения в каждый данный момент времени изменяется, и поэтому ее векторная скорость изменяется тоже. Если мы говорим, что векторная скорость Луны непрерывно изменяется, то, конечно, должны сказать, что она подвергается постоянному ускорению.

Если же мы рассматриваем Луну как перемещающуюся с постоянной скоростью по равномерно круговому пути (что является, по крайней мере приблизительно, истинным), то мы можем сказать, что в каждую последовательную единицу времени направление ее движения изменяется на одну и ту же величину. Поэтому она испытывает постоянное ускорение и, согласно второму закону движения Ньютона, должна быть подчинена воздействию постоянной силы. Поскольку изменение в направлении движения всегда направлено к Земле, то ускорение и соответственно сила тоже должны быть направлены к Земле.

Конечно, если имеется сила, притягивающая Луну к Земле, это может быть та же хорошо известная сила, которая притягивает яблоко к земле. Однако, если это было бы так и Луна испытывала бы постоянное ускорение, направленное к Земле при наличии постоянной силы, почему же она не падает на Землю, как делает яблоко?

Чтобы понять, почему этого не происходит, мы должны разложить движение Луны на две составляющие движения, находящиеся под прямым углом друг к другу. Одна из составляющих направлена как стрелка, указывающая на Землю, по радиусу круговой орбиты Луны. Она представляет собой движение в ответ на силу, притягивающую Луну к Земле. Другая составляющая направлена под прямым углом к первой и, таким образом, представляет собой касательную к кругу орбиты Луны. И Луна бы двигалась по касательному движению, если бы не имелось никакой силы, притягивающей ее к Земле. Фактическое же движение лежит между этими двумя составляющими. Луна, другими словами, всегда падает на Землю, но в то же самое время также «отступает в сторону».

В некотором смысле это «отступление» означает, что поверхность Земли отходит от Луны с такой же скоростью, как Луна приближается к ней, падая. Таким образом, расстояние между Землей и Луной остается неизменным. Чтобы было более понятно, представим себе снаряд, выстреленный горизонтально с вершины горы на земле, и развивающий все большую и большую скорость. Чем больше скорость, тем дальше перемещается снаряд, прежде чем удариться о землю. Чем дальше он перемещается, тем дальше от него сферическая земная поверхность, таким образом увеличивается перемещение снаряда. Ну и наконец, если снаряд выстрелен вперед с достаточной скоростью, высота его падения становится равной величине кривизны земной поверхности, и снаряд «остается на орбите». Именно так на орбиту Земли выводят искусственные спутники, и именно поэтому Луна не падает на Землю, а остается на орбите.

При рассмотрении движения Луны мы должны учитывать только ту составляющую движения, которая направлена к Земле. Естественно возникает вопрос: не является ли этот компонент результатом действия той же силы, которая притягивает к земле яблоко? Ну что же, давайте обратимся к яблоку и посмотрим, как интерпретировать силу взаимодействия между ним и землей в свете законов движения.

Во-первых, все яблоки падают с одним и тем же ускорением, независимо от того, насколько они массивны. Но если одно яблоко имеет массу вдвое большую, чем второе яблоко, и все же падает с тем же самым ускорением, то на первое яблоко должна воздействовать вдвое большая сила (согласно второму закону движения). Сила, притягивающая яблоко к земле (часто ее называют весом яблока), должна быть пропорциональна массе яблока.

Но согласно третьему закону движения всякий раз, когда одно тело прикладывает силу к другому, второе прикладывает равную и противоположную силу к первому. Это означает, что, если Земля привлекает яблоко с некоторой нисходящей силой, яблоко привлекает Землю с равной восходящей силой.

Это кажется странным. Как крошечное яблоко может проявлять силу, равную той, что проявлена огромной Землей? Если бы это происходило, то можно было бы ожидать, что яблоко притянет к себе другие объекты, как это делает Земля, но этого, конечно, не происходит. Логично было бы объяснить это предположением, что сила притяжения между яблоком и землей зависит не только от массы яблока, но также и от массы Земли. Она не может зависеть от суммы масс, поскольку, когда мы удвоим массу яблока, суммарная масса яблока и Земли остается примерно прежней, в то время как сила притяжения удваивается. Очевидно, что она должна зависеть не от суммы масс, а от произведения масс.

Если мы умножаем массы, маленькая масса оказывает столь же сильный эффект на конечное произведение, как и большая. Таким образом, результатом умножения малого количества a на огромное количество b является произведение ab. Если теперь мы удвоим a, оно становится равным 2a. Если мы умножаем его на b, произведение становится равным 2ab. Таким образом, при удвоении одного из двух множителей в умножении маленький множитель может удвоить произведение. И удвоение массы яблока удваивает размер силы между яблоком и Землей.

Что же касается притяжения яблоком какого-либо другого объекта обычного размера, оно существует, но столь мало заметно из-за того, что произведение масс этих объектов составляет ничтожно малую часть от произведения массы этого объекта и массы Земли. Сила притяжения между двумя объектами обычного размера соответственно меньшая, и, несмотря на то что такая сила существует, она настолько бесконечно мала, что никак не может обнаружить себя при нормальном состоянии вещей.

Так как Земля притягивает все материальные объекты к себе (даже газообразная атмосфера крепко привязана к планете благодаря силе тяготения), может показаться, что сила тяготения в любой форме порождается массой Земли. Однако Земля вовсе не должна быть вовлечена. Любые две массы должны взаимодействовать гравитационно, и если мы замечаем силу, только когда вовлечена Земля, то потому, что сама наша Земля — единственное тело в нашем окружении достаточно массивное, чтобы породить силу тяготения, достаточно большую, чтобы заявить нам о своем существовании.

Такова сущность вклада Ньютона. Он не открывал закон тяготения в том смысле, что все земные объекты привлечены к земле. (Эта ограниченная концепция, по крайней мере, столь же стара, как Аристотель, а слово «тяжесть» использовалось в этом смысле в течение многих столетий до Ньютона.) Ньютон указал на то, что все существующие массы притягивают другие массы, таким образом, притяжение Земли не является уникальным. Ньютон утверждал, что между любыми двумя материальными телами во Вселенной имеется гравитационное притяжение, его обобщение называется «универсальный закон всемирного тяготения», и прилагательное «универсальный» — наиболее важное слово в этом названии[17].

Если бы это было все, то мы могли бы теперь рассчитать величину составляющей движения Луны, которая направлена к Земле. Все тела, падая на Землю, движутся с одним и тем же ускорением, и поэтому казалось бы логичным решить, что Луна, находясь во власти той же самой силы притяжения, должна делать так же. За одну секунду она должна падать на Землю приблизительно на 4,9 метра. Фактически же составляющая движения Луны к Земле — намного меньше.

Чтобы объяснить это, можно было предположить, что сила тяготения Земли ослабляется с расстоянием, и это кажется разумной гипотезой. Опыт показывает нам, что существует много вещей, которые ослабляются с расстоянием. Так происходит со светом и звуком — двумя наиболее привычными явлениями, с которыми человек всегда был знаком.

И все же — был ли вывод о таком ослаблении поддержан экспериментальным свидетельством?

На первый взгляд может показаться, что не было. Камень, брошенный вниз с высоты 100 метров, падает с ускорением 9,8 м/с², а другой камень, брошенный вниз с высоты 200 метров, падает с тем же ускорением. Если сила тяготения уменьшается с удалением от Земли, разве не должно паление с большей высоты вызывать меньшее ускорение? Разве ускорение не должно равномерно увеличиваться по мере приближения камня к земле, вместо того чтобы оставаться постоянным, как оно это делает?

Но взгляд Ньютона на эту проблему состоит в том, что все тела привлекают к себе все другие тела. Падающий камень привлекается не только той частью Земли, которая представляет собой ее поверхность непосредственно под ним, но также и той ее частью, которая находится глубже, вплоть до центра и далее, к антиподам, на расстояние 12 740 километров (8000 миль). Он также притягивается и всеми остальными частями во всех направлениях: на север, восток, юг, запад, и во всех промежуточных точках.

Кажется вполне разумным, что для тела, подобного Земле, которая имеет почти правильную сферическую форму, мы могли бы упростить этот вопрос. Притяжение с севера компенсируется притяжением с юга; притяжение с запада компенсируется притяжением с востока; отдаленное притяжение антиподов компенсируется притяжением поверхности непосредственно под нами и так далее. То есть мы можем предположить, что результирующее влияние — полное притяжение Земли — сконцентрировано точно в ее центре.

Радиус Земли равен приблизительно 6370 километрам (3960 милям). Объект, падающий с высоты 100 метров (0,1 километра), начинает свое падение поэтому с точки, находящейся на расстоянии 6370,1 километра от центра Земли, в то время как другой объект, падающий с высоты 200 метров, начинает свое падение с точки, находящейся на расстоянии 6370,2 километра от центра. Различие в силе при такой разнице в расстоянии настолько незначительно, что гравитационное притяжение на таком маленьком расстоянии может рассматриваться в качестве константы. (На самом деле современные инструменты со значительной точностью могут измерять разницу в силе поля тяготения даже при такой маленькой разнице в расстояниях.)

Однако расстояние от Луны до Земли (от центра до центра) в среднем равно 384 500 километрам (239 000 миль). Это — в 60,3 раза дальше от центра Земли, чем в случае, когда объект находится на ее поверхности. При увеличении расстояния в 60 раз сила тяготения могла бы действительно значительно уменьшиться.

Но насколько — «значительно»? Земля притягивает тела по всей своей поверхности, поэтому сила тяготения может рассматриваться как излучение, направленное наружу от Земли во всех направлениях. Если сила действительно делает это, то оно, направленное излучение, может рассматриваться в виде поверхности сферы, которая расширяется все больше и больше, по мере того как отступает от Земли. Если некое установленное количество силы тяготения распространено по поверхности такой растущей сферы, то интенсивность силы на некоем данном месте на поверхности должна уменьшаться, поскольку площадь поверхности возрастает.

Из стереометрии известно, что площадь поверхности сферы находится в прямой пропорции к квадрату ее радиуса. Если одна сфера имеет радиус в три раза больше другого, то площадь ее поверхности больше в девять раз.

По мере того как расстояние между двумя телами увеличивается, сила тяготения между ними должна изменяться обратно пропорционально квадрату этого расстояния. (Такие взаимосвязи хорошо известны как «обратно квадратичная зависимость». Не только тяготение, но и такие явления, как интенсивность света, интенсивность магнитного притяжения и интенсивность электростатического притяжения, ослабляются таким же образом.)

Сравнивая движение Луны и движение яблока к поверхности Земли, мы должны помнить, что Луна в 60,3 раза дальше от центра Земли, чем яблоко, и что сила тяготения на Луне является более слабой: коэффициент ослабления 60,3 на 60,3, или в 3636 раз. Принимая во внимание, что яблоко падает в первую секунду на 4,9 метра, Луна за то же время должна упасть на расстояние, умноженное на 1/3636, или 0,0013 метра за секунду падения. (Тысячная часть метра — миллиметр, поэтому 0,0013 метра равны 1,3 миллиметра.)

Действительно, астрономические измерения показывают, что Луна в своем движении по орбите вокруг Земли в каждую секунду отклоняется от прямого курса примерно на 1,3 миллиметра. Уже на основании одного этого можно было с достаточной вероятностью подтвердить, что та же самая сила, которая притягивает яблоко, притягивает и Луну. Однако Ньютон продолжил свои исследования и показал, что сила тяготения универсально объясняет такие факты: что орбита Луны относительно Земли представляет собой эллипс, с Землей, находящейся в одном фокусе; что планеты вращаются относительно Солнца в такой же эллиптической манере; что приливы существуют и ведут себя именно так; что имеет место прецессия равноденствий и так далее. Одно простое и ясное обобщение объяснило так много, что это было с восторгом принято всем научным сообществом.

Через столетие после смерти Ньютона немецко-английский астроном Уильям Гершель (1738–1822) обнаружил признаки существования далеких звезд, которые вращались относительно друг друга в строгом соответствии с ньютоновским законом всемирного тяготения, и тем самым еще раз подтвердил его универсальность. Невидимые планеты были в конечном счете обнаружены благодаря слабым гравитационным эффектам, которые могли произойти только благодаря их невидимому присутствию. Неудивительно, что закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, часто называют «самым большим отдельным открытием в истории науки»[18].

Гравитационная постоянная

Ньютон открыл обобщение, что любые два тела во Вселенной притягивают друг друга с силой (f), которая прямо пропорциональна произведению масс (m и m) тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния (d) между ними. Чтобы преобразовать пропорцию в равенство, конечно, необходимо подставить константу. Упомянутая в данном случае константа обычно называется «гравитационной постоянной» и обозначается символом G. Таким образом, ньютоновский закон всемирного тяготения может быть выражен как:

Проблемой, которую Ньютон оставил нерешенной, было значение G.

Чтобы понять, почему проблема не была решена, давайте рассмотрим известный случай падения яблока и попробуем заменить значения в уравнении 4.1 единицами измерения в системе МКС. Мы знаем значение расстояния от яблока до центра Земли и можем установить d; оно равно 6 370 000 метрам. Имеются различные пути измерения массы яблока, но мы можем установить его, например, в 0,1 килограмма. Что касается величины силы тяготения (F) между яблоком и Землей, то она равна (см. уравнение 3.3), согласно ньютоновскому второму закону движения, произведению массы яблока на ускорение, которому оно подверглось под воздействием силы тяжести. Таким образом, значение Нравно — 0,1 кг умножить на 9,8 м/с², или 0,98 кг∙м/с².

Однако тут мы видим еще два неопределенных значения: G — гравитационная постоянная и m — масса Земли. Если бы мы знали любое из них, то могли бы сразу вычислить другое, но Ньютон не знал, так же как и кто-либо другой в его время.

(Вы могли бы задать вопрос: не могли ли бы мы сократить константу в уравнении 4.1, так же как мы это сделали в уравнении 3.3? Однако это было сделано надлежащим выбором единиц измерения. Мы могли бы и здесь сделать так же, изобретя единицу, которую назвали бы, например, «земной единицей», и сказав, что Земля имеет массу в 1 земную единицу. Мы могли бы и далее изобретать подобные произвольные единицы измерения: для массы яблока и расстояния яблока от центра Земли и так далее. Однако такие уловки имели бы ограниченное значение. Недостаточно знать, что Земля имеет массу в 1 земную единицу. Мы хотим знать массу Земли в знакомых терминах, например в единицах измерения системы МКС. А для этого мы должны знать значение G в системе МКС.)

Закон всемирного тяготения подразумевает, что значение G — одно и то же при любых условиях. Поэтому если бы мы могли измерить силу тяготения между двумя телами известной массы, отдаленных друг от друга на известное расстояние, то смогли бы сразу определить значение G, а после этого — и массу Земли.

К сожалению, сила тяжести, наверное, самая слабая из известных сил, существующих в природе. Требуется тело, имеющее размер, сопоставимый с огромным размером Земли, чтобы произвести силу тяготения достаточную, для ускорения в 9,8 м/с². Небольшие усилия, которые могут быть произведены всего несколькими фунтами мускулов, способны противостоять всей силе тяготения всякий раз, когда мы отжимаемся, подтягиваемся, прыгаем вверх или поднимаемся на гору.

Для тел, которые являются большими, хотя и менее массивными, чем Земля, уменьшение силы тяготения имеет решающее значение. Благодаря силе тяжести Земля обеспечивает устойчивый «захват» своей мощной атмосферы, а вот сила тяжести планеты Марс, который имеет массу, равную только ¹/₁₀ массы Земли, может удержать только тонкую атмосферу. Луна имеет огромную массу по обычным стандартам, однако она равна только ¹/₈₁ массы Земли и имеет силу тяготения слишком слабую, чтобы удержать какую-либо атмосферу вообще.

Когда мы рассматриваем тела обычного размера, произведенные ими силы тяготения совершенно незначащие. Масса горы проявляет по отношению к вам гравитационное притяжение, но вы не испытываете никаких трудностей, удаляясь от этой горы.

Поэтому главной является проблема, как измерить столь слабую силу, какой является сила тяжести. Мы могли бы размышлять о возможных путях измерения сил тяготения между двумя соседними горами, но собственные массы гор не намного меньше, чем масса Земли. Кроме того, горы имеют неправильную форму, а сила тяготения сконцентрирована в некотором «центральном положении», которое было бы трудно определить.

Поэтому мы должны измерять силы тяготения, происходящие в симметричных телах, достаточно маленьких, чтобы быть легко обработанными в пределах лаборатории, но измерение крошечных сил тяготения, которые вызываются такими телами, может оказаться далеко за пределами существующих у нас возможностей.

Начало решения проблемы было заложено еще во времена Ньютона благодаря работам английского ученого Роберта Гука (1635–1703). Как предварительное объяснение к работе Гука, позвольте мне напомнить вам, что когда силы прикладываются к телу, то в результате воздействия этих сил тело часто изменяет свою форму. Если деревянная доска положена на две опоры и кто-то садится в центре, то доска согнется под грузом. Если резиновый жгут потянуть за оба конца в противоположных направлениях, он растянется. Если сжать в кулаке губку, то она сомнется, а если вращать ее концы в противоположных направлениях, она будет скручиваться. Если нажать справа на один ее конец и слева — на другой, не позволяя ей вращаться, она будет уплотняться.

Все эти типы деформирующих сил могут быть названы «нагрузками». Изменения, которым подвергается тело под воздействием нагрузок, называется «деформация».

Когда в результате воздействия нагрузок объект подвергается деформации, может получиться так, что после того, как мы удалили нагрузку, объект восстанавливает свою первоначальную форму. Деревянная доска распрямляется, после того как вы встаете; резиновый жгут стягивается, после того как отпустили его концы; губка, выпущенная из рук сжимающего, крутящего или уплотняющего ее, прыгает назад. Опять же стальной шар сплющивается после удара о землю, так же как бейсбольный мяч после удара битой или шар для гольфа после удара клюшки. Когда деформирующая сила пропала, все сферы становятся прежними. Эта тенденция возвращаться к первоначальной форме после деформации под нагрузкой называется «эластичность» или упругость.

У любой материи имеется предел упругости — точка, после которой нагрузка на тело произведет его постоянную деформацию. Для материала типа воска эта точка может быть легко достигнута, и даже слабые нагрузки заставят кусок воска постоянно изменять свою форму. (Он скорее пластичен, чем эластичен.) Если приложить слишком большое усилие к неукрепленному центру деревянной доски, она сломается. Резиновый шнур при слишком большом растяжении будет «звенеть» (и лопнет). Стальной шар при слишком большом сжатии сплющится.

Однако, если работать с нагрузками недостаточно большими, чтобы превзойти этот предел, можно, как это сделал Гук, прийти к весьма полезному обобщению, которое может быть кратко выражено следующим образом: «Деформация пропорциональна нагрузке».

Это выражение называется законом Гука. Как можно увидеть из закона Гука, если сила x растягивает пружину на расстояние y, то сила 2x будет растягивать ее на расстояние 2y, а сила x/2 будет растягивать ее на расстояние y/2. Предположим тогда, что величина растяжения, которое произвела некая известная сила, измерено. Тогда любая сила неизвестной величины (в диапазоне предела упругости) может быть измерена величиной деформации, которую произвела эта нагрузка.

Этот принцип может применяться к любому другому виду нагрузок, который производит легко измеряемую деформацию, например к кручению или искривлению эластичного прутка и волокна. Когда, для того чтобы измерить размер неизвестной нагрузки но величине скручивания, используется кручение, установка, на которой производятся измерения, называется «крутильными весами». Если взять чрезвычайно тонкое волокно, которое может быть искривлено даже очень маленькими силами, становится понятно, что даже крошечные силы тяготения могут быть измерены.

В 1798 году английский ученый Генри Кавендиш (1731–1810) использовал для этой цели тонкие крутильные весы.

Его крутильные весы состояли из легкого прута, подвешенного за середину на тонком проводе приблизительно в ярд длиной. На каждом из концов легкого прута находился свинцовый шар диаметром приблизительно в два дюйма. Вообразите себе силу, приложенную к каждому свинцовому шару в противоположных направлениях и под прямым углом к пруту и к тонкому проводу. Чрезвычайно маленьких сил было бы вполне достаточно, чтобы заставить провод скручиваться.

В качестве предварительного шага Кавендиш приложил чрезвычайно маленькие силы, чтобы определить получающееся количество смещения. Затем, тщательно экранируя свой аппарат от воздушных потоков, он принес два больших свинцовых шара, каждый приблизительно восемь дюймов в диаметре, и расположил их почти в контакте с маленькими свинцовыми шарами, но на противоположных сторонах. Сила тяготения между свинцовыми шарами теперь произвела скручивание в волокне, и, зная полный угол скручивания, Кавендиш смог измерить величину силы, возникшей между маленьким и большим свинцовыми шарами. (Оказалось, что она равна примерно ¹/_2000000ньютона.)

Теперь предположим, что мы преобразуем уравнение 4.1 следующим образом:

Зная значение F, измеренного по методике, описанной выше, достаточно просто измерить массу свинцовых шаров (m и m’) и расстояние между их центрами (d). Как только все значения символов на правой стороне уравнения стали известны, вычислить значение G — простая арифметическая задача. (Так как единицы измерения F в системе МКС — кг∙м/с², единицами d², m² и mm’ являются соответственно метры на метры и килограммы на килограммы, то есть кг²; единица измерения G, полученная из уравнения 4.2, равна (кг∙м/с²) м²)/(кг²), или м³/кг∙с².)

Лучший современный расчет дает нам значение G, равное 0,0000000000667 м³/кг∙с², конечно же достаточно крошечное значение. Надо отдать должное большому таланту Кавендиша-экспериментатора, потому что в еще в первом своем измерении он получил значение очень близкое к этому.

Предположим, теперь мы преобразуем уравнение 4.1 следующим образом:

И попытаемся еще раз определить массу Земли (m’). Мы уже имеем, в системе МКС, значение для F, равное 0,98, значение d, равное 6 370 000 и значение (m) равное 0,1. Если мы теперь добавим значение G равное 0,0000000000667, то вычислить массу Земли m — простая арифметика. Как вы можете увидеть, т равно (0,98)∙(6 370 000)∙(6 370 000), деленное на (0,0000000000667)∙(0,1), или, примерно, 6 000 000 000 000 000 000 000 000 килограммов.

Физики обычно выражают такие большие числа как степени числа 10. Таким образом, 1 000 000 обычно записывают в виде 10⁶, что выражает произведение шестидесяти. Экспонента (для чисел больше 1) показывает число нулей в исходном числе. Из этого следует, что 6 500 000 равно 6,5∙10⁶. Отрицательные экспоненты выражают числа меньше чем 1, то есть 10⁶ равно 1/10⁶ или ¹/_1000000, или 0,000001. То есть 0,00000235 равно 2,35∙10^–6.

Используя такую экспоненциальную систему обозначений, можно записать значение G = 6,67∙10^-11 м³/кг∙с², а массу Земли как т = 6∙10²⁴ кг. (В системе СГС значение G = 6,67∙10^-8 см³/г∙с², а масса Земли равна 6∙10²⁷ г.)

Форма Земли

Определяя значение G, Кавендиш в действительности определил массу Земли. По этой причине о Кавендише часто говорят как о «том, кто взвесил Землю», но на самом деле он сделал совсем не это.

В обычном языке слова «вес» и «масса» часто имеют одно и то же значение, а о теле часто говорят как о «тяжелом» или «массивном»; даже физики иногда попадают в эту западню. Однако рассмотрим, что такое вес. Вес тела — это сила, с которой тело притягивается к земле. Повторяю, вес — это сила, и единицы измерения он имеет как у силы!

Простой путь измерения веса объекта состоит в том, чтобы подвесить его на кольцевую пружину. В соответствии с законом Гука сила, с которой тело притягивается к Земле, будет растягивать пружину; величина же растяжения (или деформации) пропорциональна силе растяжения (или нагрузке). Именно по этому принципу устроены для измерения веса приборы такого типа — пружинные весы.

Масса тела, с другой стороны, является количеством инерции, которой оно обладает. Согласно второму закону Ньютона, m = f/a, то есть это — сила, разделенная на ускорение. Вес, который является силой, должен в соответствии с тем же самым законом быть массой, умноженной на ускорение. В случае веса, который является силой воздействия поля тяготения Земли на тело, рассматриваемое ускорение, естественно, является тем, что произведено полем тяготения земли.

Вес тела (w), другими словами, равен массе (m) этого тела, умноженной на ускорение свободного падения (g), возникшее благодаря земной гравитации (то есть — силе притяжения Земли):

Так как значение g при обычных условиях примерно постоянно, вес, можно сказать, прямо пропорционален массе тела. Сказать, что A является в 3,65 раза столь же массивным, как В, эквивалентно тому, чтобы сказать, что при обычных условиях А является в 3,65 раза более тяжелым, чем В. Поскольку эти два утверждения обычно эквивалентны, существует сильное искушение признать их синонимами, и в этом и скрывается источник путаницы между массой и весом.

Эта путаница еще ухудшается тем, что для них используются общие единицы измерения. Тело массой в один килограмм, как обычно считают, имеет и вес в один килограмм[19]. В системе МКС, однако, единицы измерения m — килограммы (кг), а единицы измерения g — м/с². Так как вес равен массе, умноженной на ускорение свободного падения (mg), то единицы измерения веса — кг-м/с², или Н (ньютоны). Таким образом, при нормальных условиях один килограмм массы проявляет 9,8 Н силы.

Килограмм веса (который может быть сокращен как кг (веса), чтобы отличить его от килограмма массы) не равен 1 кг, а равен 9,8 Н. В системе СГС g равно 980 см/с². Таким образом, вес тела с массой 1 г равен 1 г, умноженному на 980 см/с², или 980 г∙см/с². Следовательно, 1 г (веса) равняется 980 динам.

Все это может показаться вам излишне пуристическим — созданием различий там, где их на самом деле нет. В конце концов, если вес и масса всегда изменяются одинаковым образом, зачем так много беспокоиться относительно того, что есть что?

Дело в том, что масса и вес не всегда изменяются одинаково. Они связаны с g, а значение g не является константой при любых условиях.

Сила тяготения (F), которую Земля проявляет на некотором произвольно взятом теле, равна mg, как это показано в уравнении 5.1. Но она также равна Gmm’/d², как это показано в уравнении 4.1. Поэтому mg = Gmm’/d², или, если разделить обе части уравнения на m:

Из величин, от которых зависит значение g в уравнении 5.2, гравитационная постоянная (G) и масса земли (m’) могут рассматриваться как константы. Значение d, однако, которое является расстоянием от тела до центра Земли, — конечно, не константа, и (g) изменяется обратно пропорционально квадрату этого расстояния.

Объект на уровне моря, например, может быть на расстоянии 6370 км от центра Земли, но на вершине близлежащей горы он будет на расстоянии 6373 км от центра, а стратолайнер поднимет его на высоту 6385 км от центра.

Даже если мы ограничим себя высотой на уровне моря, расстояние до центра Земли не всегда равно одной и той же величине. Под воздействием лишь силы тяжести Земля имела бы правильную сферическую форму (не принимая во внимание мелкие поверхностные недостатки) — факт, указанный еще Аристотелем, а потому расстояние от уровня моря до центра Земли всюду было бы одним и тем же. Однако вторым из влиятельных факторов является тот факт, что Земля вращается вокруг своей оси. Это вращение, как впервые отметил Ньютон, означает, что Земля не может быть правильной сферой.

Поскольку Земля вращается вокруг своей оси, поверхность Земли непрерывно испытывает ускорение, направленное внутрь, к центру Земли (так же, как это происходит с Луной при ее вращении вокруг Земли). Но если это так, то в действие вступает третий закон Ньютона. Центр Земли проявляет постоянную силу на внешних слоях Земли, чтобы создать постоянное, направленное вовнутрь ускорение, поскольку планета вращается; внешние же слои должны поэтому действием и реакцией проявлять силу, направленную наружу от центра Земли. Сила, направленная внутрь, обычно называется «центростремительной силой», а та, что направлена наружу, называется «центробежной силой» (эти слова, пришедшие из латинского языка, соответственно означают — «идущий к центру» и «бегущий от центра»).

Две эти силы направлены в противоположные стороны, и как результат мы имеем растяжение земной материи. Если вы можете вообразить крепкую веревку, протянувшуюся от поверхности Земли и до ее центра, с поверхностными слоями Земли, тянущими наружу ее один конец, и центром Земли, тянущим ее вовнутрь за другой конец, то вам будет понятно, что такая веревка будет немного растягиваться; так вот материя, из которой состоит Земля, делает то же самое.

Если бы каждая точка на поверхности Земли вращалась с одинаковой скоростью, то растяжение было бы одинаковым по всей поверхности и Земля имела бы правильную сферическую форму. Однако когда Земля вращается на своей оси, то чем ближе к оси находится некоторая часть поверхности Земли, тем медленнее она вращается. На полюсах поверхность Земли касается оси, и поэтому скорость вращения там нулевая. На экваторе же, наоборот, поверхность Земли находится на максимальном расстоянии от оси, и соответственно скорость вращения там — самая высокая (чуть больше чем 1600 километров в час).

Взаимодействующие силы на полюсах равны нулю и плавно возрастают при приближении к экватору. Одновременно возрастает и «растяжение» земной поверхности, которое достигает своего максимального значения на экваторе. Из-за этой экваториальной выпуклости расстояние от центра Земли до уровня моря на экваторе на 21 км (13 миль) больше, чем такое же расстояние на любом из полюсов.

Земля поэтому не сфера, а сплющенный сфероид.

Безусловно, 21 км при полном расстоянии в 6370 км — это немного, но и этого вполне достаточно, чтобы внести существенные различия в значение g. Что же касается выпуклости на экваторе и локальных различий в высоте, то, например, в штате Аляска есть точки, где значение g больше чем 9,82 м/с², в то время как на экваторе это значение — только чуть выше, чем 9,78 м/с². Представленные цифры отражают разницу в почти полпроцента и соответственно отражаются на весе.

Другими словами, вес объекта в значительной мере изменяется при перемещении его с места на место по поверхности Земли, что и показывают пружинные весы. Человек, который весит 200 фунтов на полюсах, весил бы 199 фунтов на экваторе. Химику или физику, заинтересованному в массе объекта (многие свойства объектов зависят от массы), такое «замещение» измерения массы измерением веса доставило бы серьезные погрешности.

Ученые обычно, когда у них возникает необходимость «взвесить» объект, используют весы, состоящие из двух чашек, расположенных на противоположных концах прутка, который в середине установлен на шарнире. В одну чашку помещают объекты известного веса, а в другую — объект, который необходимо взвесить. Известные веса добавляют до тех пор, пока вся конструкция не сбалансируется. В этом случае сила тяжести на обеих чашках становится одинаковой (если бы она была большей на любой из них, то эта чашка опустилась бы, в то время как другая поднялась бы вверх).

Если вес с обеих сторон один и тот же, то и mg будет с обеих сторон одинаковым, так как g, которое в больших пределах изменяется в зависимости от точки земной поверхности, на которой находится тело, будет одно и то же для двух чашек весов, стоящих рядом на практически одной и той же точке земной поверхности. Поэтому масса m объектов, находящихся в обеих чашах весов, будет одна и та же. То есть масса неизвестного объекта будет равна массе грузов (вес которых нам известен)[20].

Вне Земли

Естественно, мелкие изменения в значениях g становятся все большими по мере удаления тела от центра Земли. Дальнейшее усложнение ситуации представляет собой то, что при удалении тела на большое расстояние от Земли мы можем приблизить его к некоторому другому значительному скоплению массы. Такая ситуация возникает в первую очередь в связи с Луной и имеет очень важное значение, поскольку искусственные объекты уже приземлились там, а живые люди могут встать на поверхность Луны в ближайшие несколько лет[21].

Объект на поверхности Луны все еще находится в пределах поля тяготения Земли, которое простирается не только на Луну, но и в принципе на всю Вселенную. Однако Луна также имеет собственное поле тяготения. Это поле намного слабее, чем земное, поскольку Луна намного менее массивна, чем Земля, а объект на поверхности Луны находится намного ближе к центру Луны, чем к центру Земли; гравитационное притяжение Луны поэтому гораздо сильнее, чем таковое у отдаленной Земли, и человек, стоящий на поверхности Луны, будет ощущать только ее притяжение.

Но Луна притягивает к своей поверхности объект отнюдь не с той же силой, как это делает Земля. Чтобы увидеть разницу между этими двумя силами, обратимся назад, к уравнению 4.1, которое утверждает, что F = Gmm’/d². Эта F представляет собой интенсивность притяжения Земли, с которым она воздействует на объект на ее поверхности. Притяжение Луны, с которым она воздействует на объект на ее поверхности, мы можем обозначить F_m.

Далее, объект имеет одну и ту же массу независимо от того, находится ли он на поверхности Земли или на поверхности Луны, так что m остается неизменным. Значение G также неизменно, поскольку оно является константой повсюду во Вселенной. Масса Луны, однако, как известно, является ¹/₈₁ массы (m’) Земли. Масса Луны, следовательно, равна m’/81. Расстояние от поверхности Луны до ее центра — 1737 км, или примерно ³/₁₁, расстояния от поверхности Земли до ее центра, равного 6370 км (d). Следовательно, мы можем выразить расстояние от поверхности Луны до ее центра как 3d/11.

Теперь подставим эти значения в уравнение 4.1, используя массу и радиус Луны, и мы получим уравнение, которое выражает значение силы притяжения Луны для объекта, находящегося на ее поверхности. Итак, это:

Если мы теперь разделим уравнение 5.3 на уравнение 4.1, то найдем, что F_m/F) (отношение силы тяжести на Луне к силе тяжести на Земле) равно ¹/₈₁, разделенной на (³/₁₁)², или почти точно — ¹/₆. Таким образом, сила тяжести, которую мы испытали бы на поверхности Луны, будет равна ¹/₆ той, к которой мы привыкли на поверхности Земли. Человек весом в 180 фунтов, взвесив себя на пружинных весах, найдет, что он весит всего 30 фунтов.

Но, несмотря на столь решительное уменьшение веса, масса объекта останется неизменной. Это означает, что сила, требующаяся, чтобы ускорить данный объект до данной величины, остается той же самой и на Луне, и на Земле. Мы могли бы поднять в воздух своего 180-фунтового друга без особых усилий, поскольку усилие подъема будет не больше, чем то, которое мы развиваем на Земле, поднимая 30 фунтов. Однако на Луне мы не могли бы поднять человека более быстро, чем на Земле. Здесь, на Земле, мы можем достаточно легко управиться с чем-то, что весит 30 фунтов. Но на Луне это что-то, весящее 30 фунтов, будет иметь массу в шесть раз больше «нормальной», а такое количество массы можно переместить только достаточно медленно. По этой причине манипулирование объектами на поверхности Луны создает чувство «замедленного движения», или как будто проталкиваешься сквозь патоку.

Опять же, если мы подпрыгиваем на Луне, силе наших мускулов будет противостоять только ¹/₆ той силы тяготения, к которой мы привыкли на Земле. Поэтому центр нашего тела поднимется на высоту в шесть раз большую, чем это было бы на Земле. Достигнув этой необычной высоты, мы будем падать по направлению к поверхности, но с ускорением, составляющим ¹/₆ обычного ускорения (1,63 м/с²). Это означает, что мы, внешне, как бы падали медленно вниз, «планируя, подобно перу». Однако к тому времени, когда бы мы снова достигли поверхности с ¹/₆ от обычного ускорения и с расстояния большего в шесть раз, мы к моменту приземления все равно бы достигли той скорости, с которой мы приземлились бы после прыжка на Земле (затратив для этого равное усилие, но достигнув значительно меньшей высоты).

Остановка после такой скорости на Луне потребовала бы от нас таких же усилий, как на Земле, поскольку это усилие зависит от массы, а не от веса, а масса остается неизменной и на Луне. И если, введенный в заблуждение своей легкостью, вы поддадитесь искушению приземлиться на большой палец правой ноги, то вы почти наверняка сломаете этот палец.

Однако ситуация может быть сделана даже более необычной и без всяких полетов на Луну. Субъективное ощущение, которое мы называем «весом», является результатом того факта, что мы физически изолированы от реакции на ускорение силы тяжести. Когда мы стоим на поверхности Земли, сама земная материя препятствует нашему ускоренному падению к центру Земли. Эта сила, приложенная к нам в направлении, противоположном реакции твердого основания (земли, на которой мы стоим), и интерпретируется нами как «вес».

Если бы мы падали с ускорением, равным гравитационному ускорению (свободное падение), мы не почувствовали бы никакого веса. Если бы мы находились в подъемнике, который сорвался и рухнул вниз, или в самолете, который пошел в пике, наше чувство веса пропало бы. Мы не сможем давить ногами на пол лифта или самолета, так как этот пол будет падать так же быстро, как мы. И если бы мы были в воздушном пространстве в пределах кабины подъемника, мы не смогли бы снизиться к его полу, поскольку этот пол перемещался бы с такой же скоростью, как это делали мы. Поэтому мы оставались бы «плавающими в воздушном пространстве» и ощутили бы себя невесомыми.

Указанные выше примеры свободного падения несовершенны. Ни подъемник, ни самолет не могут падать длительное время без того, чтобы разбиться и тем самым нарушить эксперимент. Кроме того, падение подъемника или самолета было бы несколько замедлено сопротивлением воздуха, через который они мчатся, причем замедление это больше, чем то, которое испытывает от сопротивления воздуха человек, находящийся в пределах этого подъемника или самолета. Поэтому некоторое чувство веса все-таки присутствовало бы.

Чтобы достичь истинного чувства свободного падения, мы были бы должны подняться выше главной части атмосферы, скажем на высоту примерно 160 километров или более над поверхностью Земли. Чтобы удержаться на этой высоте, было бы неплохо иметь также небольшое поперечное движение, которое удерживало бы нас на орбите вокруг Земли, таким же образом, как комбинация внутренних и поперечных сил удерживает Луну на орбите вокруг Земли.

Описанная ситуация точно воспроизведена в отношении искусственного орбитального спутника. Такой спутник находится в свободном падении и может продолжать это свободное падение в течение долгого периода времени. Астронавт в его пределах не ощущает собственного веса. Это происходит не потому, что он — «вне притяжения Земли», как говорят некоторые дикторы службы новостей. Это происходит потому, что он находится в состоянии свободного падения и все в этом спутнике вместе с ним самим падает с абсолютно одним и тем же ускорением.

Сама Земля находится в состоянии свободного падения на орбите вокруг Солнца. И хотя ее масса огромна, вес ее равен нулю. Кавендиш не «взвесил Землю», поскольку это было ему не нужно; ее вес был равен нулю, и это понимали уже со времен Ньютона. Что сделал Кавендиш, так это — определил массу Земли.

Даже в свободном падении, когда вес равен нулю, масса любого взятого тела остается неизменной. Астронавты, строящие космическую станцию, будут перемещать огромные прогоны, которые не будут иметь никакого веса. Они даже будут способны балансировать такими прогонами на одном пальце, если прогон и палец будут неподвижны относительно друг друга. Однако если прогон был приведен в движение, или если он уже перемещается и должен быть остановлен, или требуется изменить направление его движения, то усилие, которое требуется приложить для этого, будет точно такое же большое, как если бы это происходило на Земле. Человек, попавший в ловушку между двумя прогонами, перемещающимися по направлению друг к другу, может оказаться раздавленным насмерть двумя невесомыми, но не «безмассовыми» объектами.

Различие между массой и весом, которое кажется настолько непринципиальным на Земле, является поэтому совсем не тривиальным, когда мы находимся в космическом пространстве, и легко может стать вопросом жизни и смерти.

Вторая космическая скорость

По мере того как объект падает на землю со все большей и большей высоты, время, которое требуется объекту, чтобы достичь ее, увеличивается, а объект приближается к земле со все более и более высокой скоростью. Если мы воспользуемся уравнениями 2.1 и 2.2, подставив в этих уравнениях значение a, равное 9,8 м/с² (ускорение свободного падения), то можем сделать некоторые легкие вычисления. Тело, упавшее с высоты 4,9 метра, ударится о землю через одну секунду и будет перемешаться в момент соударения со скоростью 9,8 м/с. Если отпустить тело с высоты 19,6 метра, оно ударилось бы о землю через две секунды, а скорость его была бы соответственно 19,6 м/с. Если отпустить тело с высоты 44,1 метра, оно ударилось бы о землю через три секунды, перемещаясь в момент контакта с землей со скоростью 29,4 м/с.

Казалось бы, что если вы бы только могли поднять объект на достаточно большую высоту, то достигли бы такой высокой скорости соударения, какой вам захотелось. Конечно, это кажется верным, но только в том случае, если значение достается одним и тем же для любых высот.

Но значение g не является константой; оно уменьшается с высотой. Значение g изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от объекта до центра Земли. Точка подъема в 6370 километрах над поверхностью Земли будет на самом деле на высоте 12 740 километров от Земли, поскольку мы рассчитываем расстояние до центра — в два раза дальше от центра, чем от поверхности. А значение g на такой высоте равно всего лишь ¹/₄ того, каким оно является на поверхности.

Объект, падающий из состояния покоя, с высоты 6370 километров над поверхностью Земли, в первую секунду разовьет скорость, равную лишь 2,45 м/с, вместо 9,8 м/с, которых он достиг бы после одной секунды падения в непосредственной близости от поверхности Земли.

Но поскольку тело продолжает падать и приближаться к Земле, значение g, конечно, постоянно возрастает и в конце падения достигает 9,8 м/с². Однако падающее тело не ударилось бы о поверхность Земли со столь же высокой скоростью соударения, как оно бы сделало, если бы значение g было равно 9,8 м/с² на протяжении всего его пути вниз.

Представьте себе тело, брошенное сначала с высоты 1000 километров, затем — с высоты 2000 километров, затем — с 3000 километров и так далее. Падение с высоты в 1000 километров закончилось бы скоростью соударения, равной v₁. Если бы значение #было постоянным, то падение с высоты 2000 километров вызвало бы увеличение в скорости на первых 1000 километрах, равное увеличению на вторых 1000 километрах, так что окончательная скорость соударения была бы v₁ + v₂, или 2v₁. Однако верхние 1000 километров представляют собой ту часть расстояния, на котором значение g меньше, чем на более низких 1000 километрах. Соответственно движение по этой половине дистанции добавляет меньшее количество скорости, чем при движении по более низкой половине, и заключительная скорость соударения равна v₁ + v₂, где v₂ меньше, чем v₁. Те же самые аргументы могут быть повторены для других частей дистанции, таким образом, падение с высоты 10 000 километров закончилось бы со скоростью соударения, равной v₁ + v₂ + v₃ + v₄ и так далее, до v₁₀. Здесь каждый символ представляет собой часть заключительной скорости, привнесенной в окончательную все более и более высокими частями дистанции, каждая из которых равна 1000 километров, и значение каждого следующего символа меньше, чем таковое предшествующего.

Всякий раз, когда вы видите перед собой ряд чисел, каждое из которых меньше, чем предыдущее, имеется возможность наличия сходящегося ряда. В таком ряде сумма чисел никогда не превосходит некоторое установленное значение — предел суммы — независимо от того, сколько чисел добавлено. Наиболее хорошо известный случай такого сходящегося ряда — это 1 + ½ + ¼ + ¹/₈ + ¹/₁₆, в котором каждое следующее число — половина предыдущего. Сумма первых двух чисел — 1,5; сумма первых трех чисел — 1,75; сумма первых четырех чисел — 1,875; сумма первых пяти чисел — 1,9325 и так далее. По мере добавления в ряд все большего количества чисел сумма становится все больше и приближается к 2, никогда не достигая его. Предел суммы этого своеобразного числового ряда равен 2.

Оказывается, что числа, представляющие собой приращения скорости, получаемые в результате падения тела со все большей высоты, действительно образуют сходящийся ряд. Поскольку тело падает со все большей и большей высоты, окончательная скорость соударения не увеличивается беспредельно; вместо этого она имеет тенденцию стремиться к некоторой предельной скорости, превзойти которую не может.

Эта предельная скорость соударения (v,) зависит от значения g и радиуса (r) тела, которое является источником поля тяготения. Важность величины радиуса опирается на тот факт, что чем больше его значение, тем медленнее «затухает» при увеличении расстояния значение g. Предположим, что тело имеет радиус 1000 километров. Находящееся на расстоянии 10 000 километров от его центра падающее тело в десять раз дальше от центра, чем объект, лежащий на его поверхности, и поэтому значение g там равно всего ¹/₁₀₀ значения на поверхности. Предположим далее, что тело имеет радиус 2000 километров, находящееся на расстоянии 10 000 километров от его центра падающее тело будет тогда только в пять раз дальше от центра, чем объект, находящийся на поверхности. И значение g соответственно будет равно только ¹/₂₅ значения на поверхности. Поэтому по мере прохождения высот значение g уменьшалось бы более быстро для маленького тела, чем для большого, и окончательная скорость соударения была бы меньше для маленького тела, несмотря на то что поверхностное значение его g может быть тем же самым, что и у большого тела.

Оказывается, что:

В системе МКС значение g равно 9,8 м/с², что касается г, то оно равно 6 370 000 м, таким образом, 2gr равно приблизительно 124 800 000 м²/с². При извлечении квадратного корня из этого числа мы должны также извлечь квадратный корень и из единиц измерения. Так как квадратный корень из a²b² равен ab, должно быть ясно, что квадратный корень из м²/с² равен м/с. Квадратный корень из 124 800 000 м²/с² равен приблизительно 11 200 м/с. То есть предел скорости соударения равен 11,2 км/с (или примерно семь миль в секунду). Ни один объект, падая по направлению к Земле из состояния покоя, не может когда-либо удариться об нее со скоростью большей чем 11,2 км/с. (Конечно, если рассматриваемый объект представляет собой метеор или что-либо в этом роде, который летит с ускорением в направлении Земли, то его собственная скорость добавится к скорости, вызванной полем тяготения Земли, и он ударится о Землю со скоростью соударения большей чем 11,2 км/с.) Для Луны, на которой значения g и г гораздо меньше, максимальная скорость соударения будет равна только 2,4 км/с (или 1,5 мили в секунду).

Давайте теперь рассмотрим этот вопрос с другой точки зрения. Вместо падающего тела рассмотрим такое, которое перемешается вверх от поверхности Земли. Для тела, перемещающегося вверх, g представляет собой величину, на которую его скорость уменьшается в каждую секунду полета. В данном случае ситуация развивается с точностью до наоборот, то есть если тело, первоначально находившееся в состоянии покоя, падает с высоты h и в момент соударения достигает скорости v, то тело, брошенное вверх со скоростью v, перед тем как остановиться, достигнет высоты h (и начнет падать назад, по направлению к Земле).

Но тело, падающее с любой высоты, однако, никогда не может достигнуть скорости соударения большей чем 11,2 км/с. Это означает, что, если тело бросают вверх со скоростью 11,2 км/с или больше, оно никогда не достигнет точки покоя и поэтому никогда не упадет обратно на Землю (взаимное влияние и наложение гравитационных полей других тел мы не рассматриваем).

Таким образом, предел скорости соударения — это также скорость, с которой тело, подброшенное вверх, навсегда улетит с Земли; поэтому такая скорость называется «второй космической скоростью». Вторая космическая скорость на поверхности Земли равна 11,2 км/с, а вторая космическая скорость на поверхности Луны — 2,4 км/с.

Тело, которое находится на орбите вокруг Земли, не может улететь от нее. Оно падает на Землю, и только его горизонтальная скорость препятствует этому падению вниз. Поэтому для того чтобы удержать объект на орбите, требуется гораздо меньшая скорость, чем та, которая нужна, чтобы вывести его на нее. Для круговой орбиты скорость должна быть равна √gr, где r — расстояние от орбитального тела до центра земли, a g — величина ускорения свободного падения на таком расстоянии. В непосредственной близости от поверхности Земли такая скорость составляет 7,9 км/с (или 4,9 мили в секунду). Орбитальные спутники перемещаются с такой скоростью и заканчивают свое «кругосветное путешествие» длиной 40 000 километров за минимальное время в 85 минут.

По мере увеличения расстояния от центра Земли значение г, конечно, увеличивается, в то время как значение g — уменьшается, изменяясь как 1/r². Изменение √gr (которая называется «первой космической», или «орбитальной», скоростью) происходит как √(1/r²)/r или √(1/r). Другими словами, первая космическая скорость тела изменяется обратно пропорционально квадратному корню из расстояния до объекта, вокруг которого вращается данное тело.

Мы знаем, что расстояние от Луны до центра Земли равно 382 400 километрам. Это в 60,3 раза больше расстояния от центра орбитального спутника, находящегося сразу за пределами атмосферы. Поэтому на Луне первая космическая скорость меньше, чем такая же на Земле, коэффициент пересчета равен √60,3. Другими словами, первая лунная космическая скорость равна 7,9/√60,3, или примерно 1 км/с.

Теперь рассмотрим спутник, находящийся на орбите в 42 000 километров от центра Земли (приблизительно 35 600 километров над ее поверхностью). Его расстояние от центра Земли в 6,6 раза больше, чем у объекта на поверхности Земли. Его первая космическая скорость поэтому равна 7,9/√6,6, или почти 3,1 км/с. Длина его орбиты приблизительно равна 264 000 километрам, и при достижении первой космической скорости спутнику потребуется как раз 24 часа для того, чтобы совершить одно обращение вокруг планеты. Поэтому при таких условиях спутник будет двигаться со скоростью вращения Земли, а нам будет казаться, что он неподвижно висит на небе. Такие внешне неподвижные спутники прекрасно служат в качестве спутников связи.

Импульс

Давайте снова рассмотрим падающее тело. Объект, удерживаемый в некоторой точке над землей, находится в состоянии покоя. Если мы отпустим его, то он сразу начнет падать. Очевидно, что мы создали движение там, где его изначально не существовало. Но «создали» — слово, которое физики переваривают с трудом (для этого существуют философы). Разве что-нибудь действительно может быть создано из ничего? Или одна вещь просто превращается в другую, так что вторая появляется только за счет перехода первой в состояние небытия? Или, возможно, один объект подвергается изменениям (например, переходит из состояния покоя в стадию движения, например) потому и только потому, что другой объект подвергается противодействующим изменениям (например, из состояния покоя — в стадию движения, но в противоположном направлении). В этом последнем случае то, что создано, не является движением, а является движением плюс «антидвижение», и если сложить их вместе, то мы получим нуль, а следовательно, возможно, что никакого движения не было создано вообще.

Чтобы разрешить эти вопросы, давайте сначала попробуем точно решить, что же мы подразумеваем под понятием «движение».

Мы можем начать с того, скажем, что сила, конечно, создает движение. Приложенная к любому телу, первоначально находившемуся в состоянии покоя, например к хоккейной шайбе на льду, сила порождает ускорение и заставляет шайбу перемещаться все быстрее и быстрее! Чем дольше действует сила, тем быстрее двигается хоккейная шайба. Если сила постоянна, то скорость в любой данный момент времени пропорциональна величине силы, умноженной на время, в течение которого она действует. К этому произведению силы (f) на время (t) применяют термин «импульс» (I):

Так как сила производит движение, мы могли бы ожидать, что данный импульс (то есть данная сила, действующая в течение данного времени) будет всегда производить одно и то же количество движения. Однако если это так, то количество движения не может зависеть только от одной скорости. Если та же самая сила будет действовать на вторую хоккейную шайбу, массой в десять раз больше первой, она создаст меньшее ускорение и за данное время создаст меньшую скорость, чем в первом случае. Поэтому количество движения, произведенного импульсом, должно также учитывать не только скорость, но и массу.

Это и есть то, что фактически подразумевается уравнением 6.1. В соответствии со вторым законом Ньютона мы знаем, что сила равна массе, умноженной на ускорение (f = ma). Мы поэтому можем заменить ma на f в уравнении 6.1 и написать:

Но из уравнения 2.1 мы знаем, что для любого тела, начинающего движение из состояния покоя, скорость (v), произведенная силой, равна ускорению a, умноженному на время (t), то есть at = v. Если мы заменим v на at в уравнении 6.2, то получим:

Именно эта величина, mv — масса, умноженная на время, и является действительной мерой движения тела. Тело, перемещающееся быстро, требует и большего усилия для своей остановки, чем то же самое тело, перемещающееся медленно. Увеличение в скорости поэтому увеличивает количество его движения. С другой стороны, массивное тело, перемещающееся с некоторой скоростью, требует и большего усилия для своей остановки, чем это требует легкое тело, перемещающееся с той же самой скоростью. Увеличение в массе также увеличивает количество его движения. Следовательно, произведение mv призвано, чтобы назваться «количеством движения» (momentum) (от латинского слова, означающего «движение»).

Физический смысл уравнения 6.3 заключается в том, что импульс (ft), приложенный к телу, находящемуся в состоянии покоя, заставляет это тело получить количество движения (mv), равное импульсу. В более общем виде: если тело уже находится в движении, то приложение импульса вызовет изменение количества движения, равное импульсу. Говоря более коротко, импульс (силы) равен изменению количества движения.

Единицами измерения импульса должны быть, с одной стороны, единицы измерения силы, умноженной на время, согласно уравнению 6.1, или массы, умноженной на скорость, согласно уравнению 6.3. В системе МКС единицы измерения силы — ньютоны, так что импульс может быть измерен в ньютон-с. С другой стороны, единицы измерения массы — килограммы, а единицы измерения скорости — метры в секунду, так что единицы измерения импульса (масса, умноженная на скорость) равны кг-м/с. Однако ньютоны были определены как кг-м/с². Таким образом, ньютон-с равны кг-м-с/с², или кг-м/с. То есть единицы измерения I через ft получились теми же самыми, что и единицы измерения I, полученные через mv. В системе СГС, как легко можно показать, единицы измерения импульса — дины∙с или г∙см/с, и они также совпадают с обеих сторон.

Закон сохранения (импульса) количества движения

Представьте себе хоккейную шайбу массой m, двигающуюся по льду со скоростью v. Ее количество движения равно mv. Теперь представьте себе другую хоккейную шайбу той же самой массы, перемещающуюся с той же самой скоростью, но в противоположном направлении. Ее скорость поэтому –v. и ее количество движения равно –mv. Количество движения, как вы видите, является векторной величиной, так как оно зависит от скорости и имеет не только количественную характеристику, величину, но и направление. Естественно, что, если мы имеем два тела с импульсами в противоположных направлениях, мы можем сказать, что одно количество движения равняется некоторому положительному значению, а другое — некоторому отрицательному значению.

Предположим теперь, две хоккейные шайбы покрыты по кругу слоем клея, достаточно сильного, чтобы заставить их немедленно сцепиться вместе при вступлении в контакт друг с другом. И предположим, что они вступают в контакт «лоб в лоб». Если это произойдет, они мгновенно остановятся.

Будет ли уничтожено количество их движения? Нисколько. Полное количество движения системы[23] было равно mv + (-mv), или 0, перед столкновением, и 0 + o, или (все еще) 0, после столкновения. Распределение количества движения среди частей системы до столкновения было иным, чем после столкновения, но полное количество движения осталось неизменным.

Предположим теперь, что вместо того, чтобы прилипнуть, когда эти две шайбы столкнулись (неупругое столкновение), они отпрыгнули бы друг от друга с абсолютной упругостью (упругое столкновение). Если бы это произошло, то каждая из шайб полностью изменила направление своего движения. Та, чье количество движения было равно (mv), теперь имела бы количество движения, равное (−mv), и наоборот. Вместо суммы mv + (–mv) мы получили бы сумму (–mv) + mv. Снова произошло бы изменение в распределении количества движения, но снова — полное количество движения системы будет неизменно.

Если столкновение не было ни совершенно упругим, ни полностью неупругим, если шайбы отпрыгнули обособленно, но только слабо, то значение количества движения для каждой из шайб могло бы изменяться от mv до –0,2mv, в то время как количество движения другой шайбы могло измениться от –mv до 0,2mv. В любом случае конечная сумма была бы равна нулю.

Все это справедливо и в том случае, если шайбы встречаются «под углом», а не «лоб в лоб» и касаются друг друга «по скользящей». Если они встречаются «под углом», то есть таким образом, что их скорости не направлены в точно противоположных направлениях, оба импульса этих тел не обнулятся, даже если скорости этих двух шайб были равны. Полное количество движения системы можно вычислить векторным сложением этих двух индивидуальных импульсов. И шайбы тогда отпрыгнут таким образом, каким укажет вектор их суммы. Это же сложение укажет нам на тот факт, что суммарное общее количество движения системы осталось таким же, как до столкновения. Все это также справедливо для частного случая, когда двигающаяся шайба ударяет скользящим ударом в шайбу, находящуюся в состоянии покоя. Шайба, находящаяся в состоянии покоя, будет приведена в движение, а шайба, которая изначально перемещалась, изменит направление своего движения; однако оба получившихся в результате столкновения импульса в итоге составят величину, равную оригинальной.

Рассматриваемые величины останутся, по существу, неизменными, даже если эти две шайбы имели различные массы. Предположим, что одна шайба перемещалась с некоторой данной скоростью направо и имела количество движения, равное mv, в то время как другая, имеющая массу в три раза больше первой, перемещалась с той же самой скоростью налево и имела поэтому импульс, равный –3/mv. Если рассмотреть эти две, связанные вместе после столкновения «лоб в лоб», объединенные шайбы (с полной массой 4 т), то мы увидим, что они продолжили бы перемещаться влево, в направлении, в котором двигалась более массивная шайба, но суммарная скорость системы была бы равна половине начальной скорости оригинала (— v/2). Первоначальное количество движения системы было: mv + (–3mv), или –2mv. Окончательное количество движения системы будет: (4m) x (–v/2), или –2mv. Опять мы видим, что полное количество движения системы осталось неизменным.

А что получается в том случае, если количество движения, как кажется, создано «из ничего»? Давайте рассмотрим пулю, которая первоначально находится в состоянии покоя (поэтому ее количество движения равно нулю), которую внезапно выстреливают из ружья, а значит — она начинает перемещаться с высокой скоростью. Как мы знаем, пуля теперь имеет значительное количество движения, равное (mv). Однако пуля — это только часть системы. Оставшаяся часть системы — ружье — тоже должно получить импульс, равный –mv, так как оно перемещается в противоположном направлении. Если ружье обладает массой в n раз большей, чем масса пули, оно должно переместиться в противоположном направлении со скоростью, равной 1/n скорости ускоряющейся пули. Количество движения ружья (минус пуля) будет тогда: (nm)∙(–v/n), или –mv. (Если в момент выстрела ружье не было закреплено, то этот «обратный» рывок его — хорошо виден. Если же мы стреляем из ружья обыкновенным образом, то чувствуем его обратное движение в виде «отдачи».) Полное количество движения, равное импульсу пули плюс импульс ружья, как было равно нулю до выстрела, так и осталось равно нулю после выстрела, хотя в данном случае распределение количества движения среди частей системы весьма различается до и после выстрела.

Короче говоря, все эксперименты, которые мы можем провести, приводят нас к заключению, что: «Полное количество движения изолированной системы тел остается постоянным». Это выражение называется законом сохранения импульса.

Конечно, чтобы доказать обобщение, нужно не просто перечислять отдельные случаи, подтверждающие его истинность. Независимо от того, насколько часто вы экспериментируете и приходите к выводу, что количество движения сохранено, вы не можете заявить с уверенностью, что так будет всегда. В лучшем случае можно заявить, что поскольку эксперимент за экспериментом подтверждают истинность закона и поскольку в результате экспериментов не было получено данных, опровергающих этот закон, то существует большая вероятность того, что данный закон верен. Было бы гораздо лучше, если бы мы могли доказать обобщение, опираясь на другое обобщение, истинность которого уже была доказана ранее.

Например, предположите, что дна тела любой массы, перемещающиеся с любыми скоростями, сталкиваются под любым углом, с любой степенью упругости. В момент столкновения одно тело прикладывает силу (f) ко второму. В соответствии с третьим законом Ньютона второе тело прикладывает к первому телу равную и противоположную по знаку силу (–f). Сила прикладывается в течение времени, пока эти два тела остаются в контакте. Время (t) контакта, очевидно, одинаково для обоих тел, поскольку, когда первое тело перестает быть в контакте со вторым, второе также перестает быть в контакте с первым. Это означает, что импульс первого тела на втором равен ft, а второго на первом равен –ft.

Импульс первого тела на втором передает изменение количества движения, равное mv, второму телу. Но импульс второго тела на первом, являющийся абсолютно равным по величине, но противоположным по знаку, должен передать изменение в количестве движения, равном –mv, первому. Изменения в количестве движения могут быть большие или маленькие в зависимости от размера импульса, угла столкновения и эластичности материала; однако независимо от величины изменения количества движения первого тела изменение количества движения второго тела равно по величине и противоположно по направлению. Полное количество движения системы должно оставаться тем же самым.

Таким образом, закон сохранения импульса может быть получен из ньютоновского третьего закона движения. На самом деле, однако, этого не произошло, и закон сохранения импульса был открыт в 1671 году английским математиком Джоном Валлисом (1616–1703) на дюжину лет раньше, чем Ньютон опубликовал свои законы движения. Обратный путь, кстати, тоже возможен, и третий закон движения тоже можно получить из закона сохранения импульса.

Туг у вас может появиться ощущение, что что-то не так, ведь если физики доказывают закон сохранения количества движения, опираясь на третий закон движения, а затем доказывают третий закон движения, исходя из закона сохранения количества движения, то они фактически ходят по кругу и не доказывают ничего вообще. Это бы и было, если бы происходило так, но все происходит иначе.

Здесь не столько вопрос «доказательства», сколько вопрос создания предположения и демонстрации последствий этого предположения. Можно начинать с того, что принять третий закон движения, а затем показать» что закон сохранения импульса есть следствие его действия. Точно так же можно начать с того, что принять закон сохранения импульса и показать, что третий закон — следствие из него.

Направление доказательства, которое вы выберете, — просто вопрос удобства. В любом случае не существует никакого магического «доказательства», также нет и никакой обычной «ясности». Целая структура опирается на тот факт, что никто в течение почти трех столетий не был в состоянии провести четкую демонстрацию опыта, который показал бы, что существует или может быть искусственно создана система, в которой не действует третий закон движения или закон сохранения импульса. Такая демонстрация может быть проведена завтра, и тогда, как последствие этой демонстрации, придется, вероятно, изменить многие основы физики; но к настоящему моменту времени вероятность того, что это случится, кажется весьма и весьма небольшой[24].

И все же, может быть, мы немного пофантазируем и попытаемся придумать случаи, когда этот закон не соответствует действительности? Например, предположим, что бильярдный шар бьет в борт бильярдного стола и отскакивает по своей собственной линии удара. Его скорость была v, стала после отскока — у, и так как его масса не изменилась, то первоначальная величина mv количества движения стала равна — mv. Разве это не явное изменение количества движения?

Да, это так. Но бильярдный шар не представляет собой систему целиком. Полная система включает в себя борт бильярдного стола, который приложил импульс, изменивший количество движения бильярдного шара. В действительности, так как бильярдный стол удержан на основании (земле) при помощи сил трения, преодолеть которые шар не может из-за их слишком большой величины, то система включает в себя также и всю планету. Количество движения Земли изменяется ровно настолько, чтобы компенсировать изменение в количестве движения бильярдного шара. Однако масса Земли значительно больше, чем у бильярдного шара, и изменение в ее скорости поэтому также соответственно меньше — слишком ничтожно малое, чтобы быть обнаруженным любыми известными человеку средствами.

Все же можно было бы предположить, что, если достаточное количество бильярдных шаров, двигающихся в одном и том же направлении, будут ударять в достаточное количество бильярдных столов в течение достаточно долгого времени, движение Земли могло бы быть ощутимо изменено. Как бы не так! Каждый ударяющийся бильярдный шар должен ударить противоположный край стола, или вашу руку, или какое-то другое препятствие. Но если даже он просто медленно остановится благодаря трению (которое можно рассматривать как серию микроударов шара о ткань стола), это ничего не изменит. Независимо от того, каким образом двигается бильярдный шар, он распределит изменения в своем количестве движения одинаково в обоих направлениях, прежде чем остановится, если только непосредственно вовлечены шар и Земля.

В наиболее общем случае распределение количества движения между Землей и всеми подвижными объектами на ее поверхности или около может время от времени изменяться, но полное количество движения и поэтому общая скорость Земли плюс всех этих подвижных объектов (предполагая, что общая масса остается неизменной) должны оставаться теми же самыми. Никакая величина или вид взаимодействия среди компонентов системы не могут изменить полное количество движения этой системы.

А теперь решение проблемы падающего тела, которой я открыл данную главу. В то время как тело падает, оно получает некоторое количество движения (mv), это количество движения нарастает по мере увеличения скорости. Система, однако, состоит не только из одного падающего тела. Сила тяготения, которая вызывает движение, относится и к телу, и к Земле. Следовательно, Земля должна получить количество движения, равное (–mv), двигаясь навстречу телу. Из-за огромной массы Земли это ее встречное ускорение исчезающе мало и при любых практических вычислениях может игнорироваться. Однако принцип остается. Когда тело падает, движение не создается из ничего. Скорее возникает и движение тела, и антидвижение Земли, и эти два движения взаимоисключаются. Полное количество движения Земли и падающего тела относительно друг друга является нулевым до того, как тело начинает падать, нулевым — после того, как оно заканчивает падение, и нулевым — в любой произвольно взятый момент времени в течение его падения.

Вращательное движение

До сих пор я рассматривал движение, как если бы оно вовлекало перемещение объекта через пространство в едином целом с различными частями объекта, поддерживающими их взаимную неизменяемую ориентацию. Такое движение называется «поступательным» (translationat) — от латинских слов, означающих «переносить».

Однако возможно и перемещение тела, при котором оно не будет двигаться через пространство как единое целое, но при этом — все же будет перемещаться. Например, центр колеса может быть закреплен на одном месте, чтобы колесо в целом не изменяло своего положения; однако само колесо может вращаться относительно этого центра. Подобным же образом сфера, установленная в пределах некоторого объема пространства, может вращаться вокруг некоторой установленной линии, оси. Этот вид движения называется «вращательным» (rotational) — от латинского слова, означающего «колесо». (Конечно, тело может двигаться и в комбинации из этих двух типов движения, как это делает бейсбольный мяч, который крутится, одновременно перемещаясь вперед, или как Земля, которая вращается вокруг своей оси, одновременно перемещаясь вперед по своей орбите вокруг Солнца.)

Вращательное движение весьма аналогично поступательному, но рассмотрение его требует изменения точки зрения. Например, мы привыкли думать о скорости поступательного движения в терминах «миля в час» или «сантиметры в секунду», во вращательном движении единицы измерения другие. Кроме того, мы принимаем как очевидное, что если одна часть тела имеет некоторую скорость поступательного движения, то и все остальные части тела имеют такую же скорость. Другими словами — весь самолет перемещается вперед со скоростью своего носа.

В случае вращательного движения эти вопросы различны. Точка на ободе вращающегося колеса перемещается уже с некоторой скоростью, точка, находящаяся ближе к центру колеса, перемещается с меньшей скоростью, а точка, находящаяся еще ближе к центру, перемещается с еще меньшей скоростью. Точка, находящаяся в центре вращающегося колеса, неподвижна. Поэтому сказать, что колесо вращается со скоростью столько-то сантиметров в секунду, является бессмысленным, если мы не указываем точную часть колеса, к которой относится данное высказывание, а это может быть достаточно неудобно.

Было бы более удобно, если бы мы могли найти некоторый метод измерения скорости вращения, который был бы применим сразу ко всему телу вращения. Одним из таких методов может быть рассмотрение числа оборотов тела за единицу времени. Хотя различные точки на колесе могут двигаться с различной скоростью, каждая точка на колесе заканчивает вращение в один и тот же момент времени, так как колесо вращается «как единое целое». Поэтому мы можем говорить о колесе (или любом другом объекте вращения), что оно «имеет скорость в столько-то вращений в минуту» (обычно это выражение сокращают как «об/мин», или «rpm» — от английского «revolutions per minute».

Или мы могли бы разделить одно обращение колеса на 360 равных частей, называемых «градусами» (сокращенно градус обозначается значком °. В этом случае 1 оборот в минуту был бы равен 360 град./мин, или 6 град./с (градусов в секунду). В то время как колесо поворачивается на какой-то градус линия, соединяющая центр колеса с точкой на его ободе, образует угол. Поэтому о скорости, данной в оборотах в минуту или в градусах в секунду, обычно говорят как об «угловой скорости».

Вращательное движение способно совершаться любым из двух зеркально отраженных способов. Если смотреть из некоторого фиксированного положения, то колесо может выглядеть вращающимся «по часовой стрелке», то есть в том же направлении, в котором двигаются стрелки часов. Но с другой стороны, оно может двигаться «против часовой стрелки», то есть в сторону, противоположную движению стрелок часов[25]. Поэтому об угловой скорости можно говорить, учитывая не только величину, но также и направление. (Что касается скоростей, включаемых в поступательное движение, то о них можно говорить как о «линейных скоростях», так как движение тут происходит скорее по линии, чем по углу.)

Физики используют другую единицу измерения вращательной скорости — радиан. Это угол, который отображает на окружности дугу, равную по длине радиусу круга. Длина окружности равна π, умноженному на диаметр окружности[26], то есть 2π умножить на радиус круга. Поэтому длина окружности равна 2πr, умноженным на длину дуги, обозначенной одним радианом. Один полный оборот заключает в себя прохождение одной полной длины окружности, то есть один оборот равняется 2π радианам, или 360°. Из этого следует, что один радиан равняется 360°/2π, или, так как к равняется 3,14159, один радиан примерно равен 57,3° (1 рад = 57,3°).

Угловая скорость часто обозначается греческой буквой ω («омега»), так как это — греческий эквивалент латинской буквы v, обычно используемой для обозначения линейной скорости.

Для любой данной точки на вращающемся теле угловая скорость может быть приведена к линейной скорости. Линейная скорость зависит не только от угловой скорости, но также и от расстояния, на котором находится рассматриваемая точка от центра вращения (r). Если для той же самой угловой скорости удвоить расстояние от точки до центра вращения, то линейная скорость точки также удвоится. В таком случае можно сказать, что:

Это уравнение абсолютно корректно, когда ω измеряется в радианах в единицу времени. Например, если угловая скорость — один радиан в секунду, то за одну секунду данная точка, расположенная на окружности колеса, проходит дугу, равную ее расстоянию от центра, и v = r. Εсли ω равняется 2 радианам в секунду, то v = 2r и так далее.

Если бы мы измеряли ω в оборотах в единицу времени, то уравнение 6.4 можно было бы прочитать как (v = 2πrω), а если бы мы измеряли ее в градусах в единицу времени, то это же уравнение можно было бы прочитать как v = rω/57,3. Это — пример того, как единица измерения, которая на первый взгляд может показаться имеющей странную и неудобную размерность, оказывается весьма полезной, потому что она позволяет выразить отношения между величинами с максимальной простотой.

Крутящий момент

Для того чтобы привести тело, находящееся в состоянии покоя, в поступательное движение, требуется приложить к нему силу. Но при некоторых условиях сила может вместо этого вызвать вращательное движение тела. Предположим, например, вы прибили гвоздем один конец доски к деревянному основанию. Если вы теперь толкнете доску, то она не будет двигаться в поступательной манере движения, так как один конец ее закреплен. Вместо этого доска начнет совершать вращательное движение вокруг зафиксированного конца.

Сила, которая вызывает такое вращательное движение, называется крутящим моментом («torque» — от латинского слова, означающего «вращать»). Если мы продолжим использовать греческие буквы для обозначения элементов вращательного движения, мы можем обозначить крутящий момент греческой буквой τ («tau» — «тау»), которая является эквивалентом латинской буквы «t» (от латинского «torque» — очевидно).

Данная сила не всегда вызывает тот же самый крутящий момент. В случае упомянутой доски величина крутящего момента зависит от расстояния между точкой, к которой приложена сила, и фиксированной точкой. Сила, приложенная непосредственно к фиксированной точке, не будет вызывать крутящий момент. По мере отступа от этой точки данная сила произведет все более быстрое вращение и поэтому вызовет все больший и больший крутящий момент. Фактически крутящий момент равен силе (f), умноженной на расстояние (r):

В прошлом о крутящем моменте говорили как о «моменте силы», но эта фраза теперь вышла из употребления. Крутящий момент может быть вызван не только в случае, когда какая-то часть тела зафиксирована в пространстве, но даже тогда, когда все тело способно свободно перемещаться.

Рассмотрим тело, обладающее массой, но состоящее из одной-единственной точки. Такое тело может подвергнуться только поступательному движению. Вращающееся тело, в конце концов, крутится относительно некоторой точки (или линии); если эта точка — все, что существует, и нет ничего еще, что могло бы вращаться, возможно только линейное движение. Зато к таким точечным массам наиболее просто применить законы движения.

Однако в реальной Вселенной не существует никаких точечных масс. Все реальные тела, обладающие массой, могут расширяться. Однако можно показать, что в некоторых случаях такие реальные тела ведут себя так, как будто вся их масса сконцентрирована в какой-то одной точке. Точка, в которой эта кажущаяся концентрация может быть найдена, называется «центром масс» тела. Если тело симметрично по форме и однородно по плотности или имеет плотность, которая изменяется симметричным образом, центр массы совпадает с геометрическим центром тела. Например, Земля, по существу, сферическое тело, но в то же время оно неравномерно плотно, плотность Земли — наибольшая в центре, и эта плотность уменьшается одинаково во всех направлениях, по мере приближения к поверхности. Центр масс Земли поэтому совпадает с ее геометрическим центром, и именно к этому центру и направлена сила тяжести.

Концепция центра масс может объяснять несколько вещей, которые иначе могли быть достаточно озадачивающими. Согласно ньютоновскому первому закону движения, объект, находящийся в движении, продолжает перемещаться с постоянной скоростью, если на него не воздействовать некоторой внешней силой. Предположим, что снаряд, содержащий взрывчатое вещество, перемещается через пространство с постоянной скоростью и что в некоторой точке он взрывается. Фрагменты снаряда разлетаются во всех направлениях, и различные химические продукты взрыва также расширяются по различным направлениям вовне. Этот взрыв является внутренней силой, однако, будучи одним из фрагментов в пределах рассматриваемой системы, согласно первому закону он не должен оказывать никакого эффекта на движение системы. Все же различные фрагменты снаряда больше не перемещаются с первоначальной скоростью. Что же — сломались ньютоновские законы движения?

Нисколько. Законы описывают систему в целом и совсем не обязательно должны подходить к той или иной ее части, рассмотренной в изоляции от других. В результате взрыва система изменила свою форму. Но изменил ли взрыв центр масс системы? Центр масс мог бы рассматриваться как «средняя точка» тела. Если одна часть снаряда брошена наружу, то это сбалансировано другой частью, брошенной в противоположном направлении. Чтобы быть более точным, согласно закону сохранения импульса векторная сумма всех импульсов в одном направлении должна быть равна векторной сумме всех импульсов в противоположном направлении. Можно показать, что независимо от того, как изменилась форма тела под действием внутренних силы, центр масс остается там, где он и находился до того, как произошло изменение формы. Другими словами, центр масс системы перемещается с постоянной скоростью независимо от взрыва, который расшвырял частицы системы туда и сюда.

Если бы тело под влиянием силы тяготения двигалось по параболической дуге, его внезапный взрыв не заставил бы центр масс прекратить плавное движение по этой параболической дуге, несмотря на то что отдельные фрагменты разлетелись бы во все стороны. (Сказанное подразумевает отсутствие вмешательства сил извне системы. Если фрагменты ударяются в другие тела и (при)останавливаются, движение центра масс изменяется. Опять же эффект, который оказывает сопротивление воздуха на множество частиц после взрыва, не может быть тем же, что оказывает действие на цельный снаряд перед взрывом; это тоже может изменять движение центра масс.)

Предположим теперь, что тело падает к земле. Каждую частицу тела тянет сила тяжести, но тело ведет себя так, как будто вся сила сконцентрирована в одной точке в пределах тела; такая точка называется «центром тяжести» тела. Если рассматриваемое тело находится в однородном поле тяготения, центр тяжести совпадает с центром масс тела. Однако более низкая часть тела находится несколько ближе к центру земли, чем верхняя, поэтому более низкая часть испытывает на себе большее гравитационное влияние. Следовательно, центр тяжести тела находится чуть-чуть ниже центра масс; при нормальных условиях эта разница настолько незначительная, что ей можно пренебречь, но не следует смешивать или подменять друг другом эти понятия.

Концепция центра тяжести весьма полезна при рассмотрении устойчивости тел. Представьте себе кирпич, опирающийся на свою узкую сторону. Если его слегка качнуть, а затем отпустить, он вернется назад, к своему первоначальному положению. Если качнуть его несколько больше и снова отпустить, он снова вернется назад. По мере увеличения наклона, однако, наступает такое положение, когда он падает на другую свою сторону. Что это за положение, при котором происходит этот «переворот»?

Мы можем рассматривать силу тяжести как силу, воздействующую на центр тяжести кирпича и только на эту точку. Пока центр тяжести расположен непосредственно по некоторой части первоначального основания, после удаления качающей силы эффект гравитационного напряжения перемещает кирпич назад на это основание. Если кирпич качнуть так сильно, что центр тяжести сместится на некоторую точку вне первоначального основания, кирпич упадет на то основание, на котором теперь расположена эта точка.

Естественно, чем более широким является основание по сравнению с высотой центра тяжести, тем на больший градус требуется качнуть кирпич, прежде чем центр его тяжести переместится, другими словами: чем шире основание, тем устойчивей тело. Кирпич, лежащий на своей самой широкой стороне, более устойчив, чем такой же, но стоящий на своей узкой стороне.

Конус, опирающийся на свой острый конец, может быть выставлен таким образом, что его центр тяжести будет непосредственно выше этой точки. Тогда он останется в состоянии равновесия. Однако самое небольшое движение или слабое дуновение воздуха способно переместить его центр тяжести за эту точку в одном или другом направлении, и конус упадет вниз. Жонглер переносит объекты, сбалансированные на точках, или, говоря более точно, на очень маленьких основаниях, перемещая собственное тело таким образом, чтобы подводить основание под центр тяжести каждый раз, когда центр тяжести пытается сместиться из этого положения.

Если тело неоднородно по плотности, то его центр тяжести не расположен в его геометрическом центре, а смещен к более плотным частям. Объект, который является особенно плотным в своей самой нижней части («с тяжелым основанием»), имеет необычно низкий центр тяжести. Даже большой градус наклона не будет выносить этот низкий центр тяжести за границу основания, и, когда мы отпустим его, объект возвратится в свое первоначальное положение. С другой стороны, объект, который является особенно плотным в своей верхней части («с тяжелой вершиной»), имеет необычно высокий центр тяжести и упадет даже после небольшого качания. Так как обычно мы имеем дело с объектами примерно однородной плотности, мы удивляемся отказу объекта с тяжелым основанием падать (например, детская игрушка ванька-встанька, которая поднимается, даже если мы положим ее на бок), или легкости, с которой объект с тяжелой вершиной переворачивается.

Позвольте нам теперь вернуться к нашей точечной массе, которая подвержена только поступательному движению. Если мы представим себе силу, приложенную к реальному телу таким образом, чтобы пересечь его центр масс, то это реальное тело ведет себя так, как будто оно — точечная масса и подвергается чисто поступательному движению. Таким образом, у свободно падающего тела сила тяжести приложена непосредственно к центру тяжести (обычно совпадающему с центром масс), поэтому (без учета действия возможного крутящего момента, возникающего в момент, когда тело отпускают, а также ветра и сопротивления воздуха) тело будет падать чисто поступательно.

Если, однако, сила приложена к телу таким способом, что направлена по одной или другой стороне от центра масс, происходит возникновение крутящего момента. Такие тела, даже когда сила приводит их в поступательное движение, одновременно подвергаются и вращательному движению. Манера, в которой двигается футбольный мяч, бейсбольный мяч и любой другой подобный объект, известна всем. В природе настолько трудно сосредоточить силу на центре масс, что фактически невозможно предохранить тело от вращения.

Естественно, чем дальше точка приложения силы находится от центра масс, тем больше в движении тела доля вращательного движения по сравнению с поступательным. Мы можем легко заставить крутиться стоящую на ребре монетку, взяв ее за ребра пальцами, при этом скорость ее вращения — велика, а скорость перемещения — очень небольшая.

Есть теория, согласно которой звезды и планеты были порождены увеличением в результате соударений растущих ядер тел и маленьких фрагментов. В результате труда астрономов возникли схемы, из которых видно, что эти сталкивающиеся тела кажутся имеющими тенденцию более частого соударения со сторонами вне центра масс, что приводит к образованию крутящих моментов, сумма которых не равна нулю. Таким образом, образуется комбинированное движение небесных тел — они двигаются прямолинейно, одновременно вращаясь вокруг некоторой оси.

Сохранение углового количества движения

Наряду с известной нам поступательной инерцией имеется и вращательная инерция. Если колесо вращается на абсолютно гладкой оси, то оно будет продолжать вращаться с постоянной угловой скоростью до тех пор, пока к нему не будет приложен внешний крутящий момент.

В угловом движении приложение крутящего момента стимулирует ускорение. Это угловое ускорение обозначают буквой α (греческая буква «альфа», которая является эквивалентом латинской буквы «a»). Единицы измерения углового ускорения — радианы в секунду за секунду, или рад/с². Так же как линейная скорость равна угловой скорости, умноженной на расстояние от центра вращения (см. уравнение 6.4), так и, следуя той же самой логике рассуждения, линейное ускорение a равно угловому ускорению α, умноженному на расстояние от центра r, или:

В соответствии со вторым законом движения мы знаем, что сила равна массе, умноженной на линейное ускорение (f = та). Подставив это выражение в уравнение 6.6, мы можем заменить (rα) на а и получаем:

Мы уже решили, что крутящий момент (τ) равен силе, умноженной на расстояние от центра (fr). Это было выражено в уравнении 6.5. Подставляя значение для f, полученное в 6.7, мы имеем:

Теперь, согласно законам движения в применении к прямолинейному движению, отношение силы к ускорению (f/a) равно массе (m) (см. уравнение 3.3). Что, если мы возьмем аналогичное отношение в угловом движении — то есть отношение крутящего момента к угловому ускорению (τ/α)? Перестраивая уравнение 6.8, мы можем получить значение для такого отношения:

Таким образом, во вращательном движении величина mr² (масса, умноженная на квадрат расстояния от центра вращения) аналогична массе (m) в поступательном движении. Это наводит на мысли об интересных различиях между этими двумя типами движения.

Рассмотрим тело, перемещающееся по прямой линии, которое при этом составлено из тысячи единиц равной массы. Сила, требуемая, чтобы остановить движение этого тела в данном периоде времени, зависит только от полной массы. Она не зависит от того, как эти единицы распределены: упакованы они плотно или нет, находятся в полой сфере или в объеме кубической формы, скомпонованы по прямой или как-нибудь еще. Имеет значение только полная масса, а манера, в которой распределены ее составляющие, — не изменяет значения полной массы.

Во вращательном движении, однако, влияние оказывает не просто масса, а масса, умноженная на квадрат расстояния от точки (или линии), относительно которой имеет место вращение. Рассмотрим, например, сферу вращения, составленную из тысячи единиц равной массы. Некоторые из этих единиц находятся ближе к оси, а некоторые — дальше от оси. Те, что находятся ближе к оси, имеют маленький r, а поэтому маленький mr², в то время как те, что дальше от оси, имеют большой r, а поэтому — большой mr². Тело в целом имеет некоторый средний mr², который и называется моментом инерции, часто обозначаемый символом I. Крутящий момент, который требуется, чтобы остановить сферу вращения в данный момент времени, зависит не от массы сферы, а от ее момента инерции.

Значение момента инерции зависит от распределения массы и может быть изменено без изменения полной массы. Если вместо твердой сферы мы возьмем полую сферу, составленную из тех же самых единиц массы, но некоторые из единиц, ранее располагавшиеся близко к оси, теперь будут расположены далеко от оси. А с другой стороны, мы возьмем такую, где никакие единицы не были бы перемещены ближе к оси. Среднее число r увеличилось бы, и момент инерции (среднее число mr²) также значительно увеличился, даже несмотря на то, что полная масса не изменилась. Для того чтобы остановить вращающуюся полую сферу в данный момент времени, потребовался бы намного больший крутящий момент, чем для того, чтобы остановить твердую сферу той же самой массы, вращающуюся с той же самой угловой скоростью.

Поэтому гироскопы и маховики, в которых требуется поддерживать стабильную угловую скорость, несмотря на крутящие моменты одного или другого типа, построены так, чтобы иметь обод настолько массивный, насколько это возможно, и внутреннюю часть — легкой, насколько это возможно. Тогда ускорения, произведенные данными крутящими моментами, сводятся к минимуму, потому что момент инерции был сведен к максимуму.

Неудивительно, что, рассматривая аналогии между вращательным и поступательным движением, мы видим экспериментальное подтверждение такой веши, как закон сохранения момента импульса. По аналогии с законом сохранения импульса в поступательном движении этот дополнительный закон может быть выражен в следующем виде: «Полное угловое количество движения изолированной системы тел остается постоянным».

Но как бы мы определили угловое количество движения? Обычное поступательное количество движения равно mv. массе, умноженной на скорость. Для углового количества движения мы должны заменить массу на момент инерции I, а скорость поступательного движения — на угловую скорость ω. Тогда угловое количество движения получается равным Iω.

И снова момент инерции (средняя величина mr³) может быть изменен без того, чтобы изменить полную массу, а это производит любопытные эффекты.

Предположим, например, что вы стоите на абсолютно гладком поворотном столе, который был приведен во вращение; вы держите ваши руки раздвинутыми на ширину плеч, в каждой руке у вас — тяжелый груз.

Ось вращения проходит через центр вашего тела от головы к пальцам ног, а масса ваших раскинутых рук находится дальше от этой оси, чем вся остальная часть тела. Грузы, которые вы держите в обеих руках, находятся еще дальше. Следовательно, ваши руки и грузы, которые они держат, оказывающие очень большое влияние на значение r, вносят большую составляющую в значение mr² и создают момент инерции, намного больше того, которым вы обычно обладаете.

Предположим затем, что при вращении вы опускаете руки. Масса ваших рук и грузов, которые они держат, теперь значительно ближе к оси вращения, и, несмотря на то что полная масса не изменилась, момент инерции очень уменьшился. Если момент инерции (I) уменьшился, то угловая скорость со должна быть соответственно увеличена, чтобы угловое количество движения (Iω) оставалось постоянным. (Другими словами, если вам нужно, чтобы произведение двух чисел всегда равнялось 24, а затем изменяете множитель с 8 на 4, то вы должны изменить второй множитель с 3 на 6, чтобы произведение продолжало равняться 24: 24 = 8∙3; 24 = 6∙4; 24 = 4∙6; 24 = 3∙8; 24 = 2∙12…)

Так и получается. Поворотный стол внезапно увеличивает скорость своего вращения, в то время как вы опускаете руки, и также скорость вращения резко уменьшается, когда вы снова поднимаете руки. Фигурист использует этот же принцип при выступлениях на льду: сначала он вращается достаточно быстро с руками раздвинутыми в стороны, а затем руки опускает вниз или вытягивает вертикально вверх и осуществляет стремительное вращение на носке конька.

Тело, которое обладает только угловым количеством движения, не может передать неуравновешенное поступательное количество движения к другому телу, поскольку передавать ему нечего. Безусловно, вращающиеся колеса автомобиля дают поступательное количество движения. Но в этом случае, однако, равное по величине, но противоположное по знаку количество движения дает земля. Эти два поступательных импульса складываются, чтобы в результате дать нуль. Любой автомобилист, который когда-либо пробовал двигаться по льду, подтвердит этот факт. Как только трение уменьшилось до величины, когда оно очень малое или никакое количество движения не может быть передано земле, автомобиль получит малое или никакое количество движения, и колеса будут прокручиваться вхолостую.

Рычаг

Законы сохранения нравятся ученым. Во-первых, закон сохранения устанавливает пределы возможностей. При рассмотрении нового явления очень удобно исключить все объяснения, которые повлекли бы нарушение одного из законов сохранения (по крайней мере, пока не придут к выводу, что ничего, за исключением такого нарушения, не может объяснить явление). С оставшимися возможностями тогда гораздо легче работать.

В дополнение ко всему имеется интуитивное чувство, что ничто не возникает из ничего. Поэтому кажется надлежащим и правильным предположить, что Вселенная обладает определенным ограниченным количеством тех или других свойств материи (типа количества движения) и что в то время, как это количество распределено различными способами среди различных тел Вселенной, общая сумма их не может быть ни увеличена, ни уменьшена.

Следовательно, если мы наблюдаем ситуацию, в которой кажется, что в некотором отношении что-то получено из ничего, сразу имеет смысл начать поиск некоторого фактора ситуации, который уменьшается, компенсируя это увеличение. Может оказаться, что это — два фактора, объединенные некоторым способом, которые образуют константу. В случае углового количества движения, например, момент инерции может изменяться по желанию и может, по-видимому, появляться из ниоткуда или исчезать в никуда.

Угловая скорость, однако, всегда сразу изменяется в противоположную сторону, а произведение момента инерции и угловой скорости является константой.

Другой случай такого плана — результат рассмотрения «рычага». Рычаг — это любой твердый объект, способный к вращению вокруг некоторой фиксированной точки, называемой «точкой опоры» рычага. В качестве практического примера можно рассмотреть деревянную доску, лежащую на «козлах»; доска является рычагом, «козлы» — точкой опоры.

Если точка опоры находится точно под центром тяжести рычага, то рычаг останется сбалансированным, то есть не наклонится ни в ту ни в другую сторону. Поскольку рычаг, как и. любой другой объект, ведет себя так, как будто весь его вес сконцентрирован в центре тяжести, он может тогда удержаться целиком на узком крае точки опоры. Если рычаг обладает однородными геометрическими характеристиками и плотностью, центр тяжести его находится в геометрическом центре, и именно туда следует поместить точку опоры, как в известной детской игре — в качелях.

Если к любой точке на рычаге приложить направленную вниз силу, то эта сила, умноженная на расстояние до точки опоры, даст нам крутящий момент и рычаг начнет вращательное движение в направлении крутящего момента.

Предположим, однако, что к рычагу в тоже самое время, во с другой стороны точки опоры прикладывают другую направленную вниз силу. Если вторая сила равна первой и приложена на таком же расстоянии от точки опоры, то полученные два крутящих момента равны по величине, но не по направлению. Крутящий момент на одной стороне точки опоры имеет тенденцию вызывать вращение по часовой стрелке, а тот, что с другой стороны, имеет тенденцию вызывать вращение против часовой стрелки. Если обозначить один крутящий момент как τ, то другой должен быть равен -τ. Эти два крутящих момента складываются, сумма их равна нулю, и рычаг не двигается. Он остается в положении равновесия.

(С другой стороны, если сила приложена вниз на одной стороне точки опоры и вверх на другой, то оба производят движение в том же самом направлении: оба по часовой стрелке или оба против часовой стрелки. Крутящие моменты в этом случае будут одного и того же знака, и сумма их будет составлять 2τ или –2τ. Такой удвоенный крутящий момент называется «парой», и, естественно, пара моментов может более легко переместить рычаг относительно точки опоры. Такую пару мы используем, когда заводим будильник или открываем штопором бутылку.)

Крутящие моменты, используемые при применении рычага, часто образуются под действием грузов, опирающихся на концы балансировочного рычага; они также могут находиться на чашках, установленных на этих концах. Можно сказать, что два равных груза приведут рычаг в положение равновесия, если они помещены на противоположные стороны точки опоры и на равных расстояниях от нее.

Это фактически и является принципом «балансирных весов». Такие весы имеют две чашки равного веса, установленные на концах горизонтального прутка («коромысла», поэтому такие весы также называют «весами с коромыслом». — Пер.), который вращается относительно центральной точки опоры. Если мы поместим объект неизвестного веса в одну чашку, а в другую чашку — набор известных весов (тарированные гирьки) и приведем весы в положение равновесия, то неизвестный вес будет равен сумме известных весов в другой чашке. По этому же принципу мы измеряем массу, а не только вес.

Рычаг, подвергнутый воздействию равных и противоположных по знаку крутящих моментов, считается находящимся «в положении равновесия» («equilibrum» — от латинских слов, означающих «равные веса»). Это выражение применяют к любой системе, находящейся под воздействием сил, которые производят взаимоисключающие эффекты и оставляют общее состояние системы неизменным.

Для того чтобы рычаг находился в положении равновесия, он должен быть подвергнут воздействию равных и противоположных по знаку крутящих моментов, и это справедливо даже в том случае, если приложенные силы неравны. Рассмотрим направленную вниз силу f), приложенную к точке на одной стороне рычага на некотором расстоянии (к) от точки опоры. Крутящий момент, создаваемый этой силой, равен fr. Затем рассмотрим другую направленную вниз силу, величиной вдвое больше, чем первая (2f), приложенную к точке на другой стороне от точки опоры, но на расстоянии, равном только половине первого (–r/2). (Мы ставим отрицательный знак перед величиной расстояния потому, что это расстояние находится на противоположном от точки опоры направлении относительно первого.) Этот второй крутящий момент равен (2f)∙(–r/2) или (–fr). То есть мы имеем два крутящих момента, которые равны и противоположны, и рычаг остается в положении равновесия.

Легко видеть, что если силы произведены неравными весами, опирающимися на концы рычага, то центр тяжести системы должен сместиться к концу с большим весом. Чтобы поддерживать равновесие, точка опоры должна находиться непосредственно под новым положением центра тяжести. Как только это будет сделано, мы сразу сможем обнаружить, что его положение центра тяжести стало таким, что произведение одного веса на его расстояние от точки опоры стало равно произведению другого веса на его расстояние от точки опоры.

Таким образом, если два ребенка примерно равного веса находятся на качелях, правильным для них будет сесть на концы качелей. Если один ребенок заметно более тяжелый, чем другой, он должен сидеть ближе к точке опоры. Эти двое детей должны расположиться таким образом, чтобы их собственный центр тяжести плюс таковой качелей находился непосредственно над точкой опоры. (В устройстве некоторых качелей предусмотрена возможность перемещения, то есть имеется регулировка длины коромысла для «подстройки» его положения по отношению к точке опоры.)

Тот факт, что для равновесия системы требуется равенство крутящих моментов, а не сил, определил широкое использование рычага. Предположим, что мы поместили вес в 250 килограммов (эквивалент силы приблизительно в 2450 ньютонов) на расстояние, равное 1 метру от точки опоры. Затем предположим, что на расстоянии 10 метров от точки опоры, с другой стороны рычага, человек прикладывает направленную вниз силу, равную 245 ньютонам (эквивалент веса в 25 килограммов). Крутящий момент, который создает эта сила (25∙10), равен и противоположен крутящему моменту, созданному весом с другой стороны рычага (250∙1). Рычаг находится в положении равновесия, и большой вес поддерживается малой силой. Если человек применит несколько большую силу (которая является все еще значительно меньшей, чем та, что создана весом с другой стороны), рычаг перевесит на его сторону.

Человек не столь чувствителен к крутящему моменту, как к силе (точнее, к мускульному усилию). Он знает, что не может создать достаточную силу, чтобы непосредственно поднять вес в 250 килограммов. Используя рычаг, однако, он может делать работу с силой, равной одной десятой той, которая потребовалась бы для прямого подъема. Регулируя длину рычага, он смог бы обойтись силой в одну сотую, в одну тысячную или в любую другую часть силы, действительно требуемой для прямого подъема. Полезность рычага как способа умножения сил человека для подъема грузов заложена в самом слове «рычаг» (lever), которое происходит от латинского слова, означающего «поднимать».

Без сомнения, еще первобытный человек наткнулся на этот «принцип рычага», но только во времена греческого математика Архимеда (ок. 287 — 212 до н.э.) ситуация впервые была проанализирована с научной точки зрения. Высокая оценка принципов использовании рычага отразилась в его знаменитой, хотя и немного напыщенной фразе: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир».

Любое устройство, которое передает силу от точки приложения к другой точке, где она используется, называется «механизмом» (machine — от латинского слова, означающего «изобретение» или «устройство»). Рычаг делает то, что сила, приложенная на одной стороне к точке опоры, может поднять вес с другой стороны; он делает это столь несложным способом, что далее упростить его уже невозможно. Поэтому рычаг является примером простого механизма. Другие примеры простых механизмов — наклонная плоскость, колесо и ось. Некоторые добавляют к этому списку еще три других простых механизма: шкив, клин и винт. Однако шкив может рассматриваться как своего рода рычаг, клин состоит из двух наклонных плоскостей, связанных основаниями, а винт представляет собой наклонную плоскость, «обвитую» вокруг оси.

Фактически все более сложные механизмы, изобретенные и используемые человечеством вплоть до недавнего времени, являются просто комбинациями двух или более простых механизмов. Эти механизмы зависят от движений и сил, вызванных действием в прямом контакте двигающихся тел. В результате та ветвь физики, которая имеет дело с такими движениями и силами, называется «механикой».

Та ветвь механики, которая имеет дело непосредственно с движением, называется «динамикой» (dynamics), в то время как та ветвь, что имеет дело с движениями, связанными с положением равновесия, называется «статикой» (statics — от греческого слова, означающего «остановить»). Архимед был первым великим ученым в области статики благодаря работам по изучению рычага. Галилео Галилей был первым великим ученым в области динамики.

Единственная сила, которая, кажется, не является результатом прямого воздействия одного тела на другое, — сила тяжести. Тяготение, по-видимому, воздействует силой на расстоянии и вызывает движение без вступления в прямой контакт с телами. Такое «действие на расстоянии» интересовало как Ньютона, так и многих физиков после него. Были разработаны различные варианты оправдания ее, и сила тяжести заняла свое почетное место в ряду механических сил. Таким образом, изучение движений небесных тел, которые происходят и управляются силами тяготения, называется «астрономической механикой».

Умножение силы

Механизм не только передает силу, часто он может использоваться, чтобы умножить эту силу, как мы видим на примере описанного выше рычага. И все же к этому умножению силы нужно относиться с подозрением. Как один ньютон силы может делать работу десяти ньютонов только посредством передачи ее через твердый брусок? Как я указал в начале этой главы, рассчитывать на такое великодушие со стороны Вселенной слишком трудно. Что-то еще должно быть потеряно, чтобы восполнить его.

Если мы рассмотрим рычаг, поднимающий вес в 250 килограммов при помощи эквивалента силы, равного только 25 килограммам веса, то, как видно из диаграммы, мы имеем два подобных треугольника. Стороны и высота одного пропорциональны соответствующим сторонам и высоте другого, поскольку расстояние от точки приложения веса до точки опоры пропорционально расстоянию от точки приложения силы до точки опоры.

Другими словами, если мы прикладываем силу в точке, в десять раз так же отдаленной от точки опоры, как вес, а затем поднимаем вес на данное расстояние, мы должны опустить рычаг вниз на расстояние в десять раз большее. Вот он — ответ! При подъеме веса посредством рычага мы можем регулировать расстояния от точки опоры таким образом, чтобы использовать только часть силы, которая потребовалась бы, если бы мы поднимали груз без рычага, но тогда мы должны применить эту часть силы на соответственно большем расстоянии. Произведение силы на расстояние остается тем же самым с обоих концов рычага.

Это оказывается истинным для любого механизма, который, как нам кажется, умножает силу. Меньшая сила исполняет задачу, которая без механизма потребовала бы большей силы, но всегда за счет необходимости приложения этой силы на соответственно большем расстоянии. Произведение силы на перемещение, на котором действует сила, называется «работой» и обычно обозначается w. Таким образом:

В некотором смысле работа — достаточно неудачный термин, чтобы использовать его в данной связи. Любой согласится, что подъем веса на какое-то расстояние — работа, но в повседневном использовании смысл данного термина не ограничен одним этим значением. В повседневной речи работа — термин, который применяется к любой форме производства. Если я спокойно сижу в своем кресле и в течение получаса думаю о том, что же дальше написать в этой книге, то такое действие может показаться мне тяжелой работой, но данный процесс не включает в себя какого-либо действия на каком-либо расстоянии, а значит, с точки зрения физика, не является работой. Опять же стоять на одном месте и держать в руке тяжелый чемодан — кажется тяжелой работой, но так как чемодан не двигается, то при этом не совершается никакой работы. Если идете и несете чемодан, то опять же при этом не производится никакой работы, поскольку хотя чемодан и перемещается (горизонтально), но перемещается не в направлении действия силы (вертикально), которая предохраняет его от падения.

Тем не менее термин «работа», означающий силу, умноженную на расстояние, на которое тело перемещается под ее действием, установлен повсеместно и не подлежит переделке.

Единицы измерения работы — это единицы измерения силы, умноженные на единицы измерения расстояния. В системе МКС единицей измерения работы является произведение ньютона на метр; это произведение было названо «джоулем» в честь английского физика, о котором я буду иметь случай упомянуть позже. В системе СГС единица работы получается равной дине, умноженной на сантиметр; эта единица называется «эрг» (от греческого слова, означающего «работа»). Так как ньютон равен 100 000 дин, а метр равен 100 сантиметрам, то ньютон-метр равен 100 000 раз по 100 дин-сантиметров. Другими словами, один джоуль равен 10 000 000 эргов.

Так как сила — векторная величина, может показаться, что работа, которая является произведением силы на расстояние, также должна быть вектором; это означало бы, что можно говорить о данном количестве работы, сделанной при движении направо, и том же количестве работы, сделанной при движении налево, как о равных и противоположных по знаку. Однако это не так. Для того чтобы понять — почему, рассмотрим единицы измерения работы еще раз.

Ньютон определяется как килограммометр в секунду за секунду, или кг-м/с². Если джоуль равен ньютон-метру, то тогда он равен килограмм-метр-метру в секунду за секунду, или кг-м²/с². Это последнее выражение может быть записано как кг-(м/с)². Но м/с (метры в секунду) — единица скорости, а это означает, что единица работы равна единице массы, умноженной на квадрат единицы скорости, или w = mv².

Истинно, что скорость является векторной величиной, поэтому можно было бы говорить о –v и +v, но единица работы включает в себя квадрат скорости. Как мы знаем из элементарной алгебры, квадрат положительного числа (+v) x (+v) и квадрат отрицательного числа (– v)∙(−v) положительны (+v²).

Следовательно, квадрат скорости не показывает никаких различий в знаках, и единица, которая включает в себя квадрат скорости, — не векторная, а скалярная величина (если, конечно, она не содержит других (иных, чем скорость) векторных единиц измерения).

Таким образом, мы пришли к выводу, что работа — скалярная величина.

Возвращаясь к рычагу, мы видим, что работа, потраченная на подъем валуна рычагом, та же самая, что потребовалась бы на подъем валуна без рычага. В данном случае отличается лишь распределение работы между силой и расстоянием. То же самое истинно и в том случае, когда в качестве механизма мы используем наклонную плоскость.

Допустим, что нам необходимо поднять 50-килограммовую бочку на высоту два метра на задний борт грузовика. Так как килограмм веса прикладывает направленную вниз силу, равную 9,8 ньютона, то, чтобы поднять бочку, потребуется сила общей величиной 490 ньютонов. Приложив силу, равную 490 ньютонов, на расстояние в два метра в направлении силы, мы выполним 980 джоулей работы.

Предположим вместо этого, что мы кладем доску от основания (земли) на грузовик таким образом, чтобы доска составляла угол в 30° с землей. При таких условиях длина доски от основания до грузовика только в два раза больше вертикального расстояния от земли до грузовика, или четыре метра. Сила, которая потребуется, чтобы катить бочку по доске, равна 245 ньютонам, то есть только половине силы, требуемой для прямого подъема. Эта половина силы прикладывается на расстоянии в два раза большем, но работа продолжает равняться 980 джоулям.

Чем меньше угол наклона наклонной плоскости, тем меньше сила, которая потребуется, чтобы переместить бочку, и тем длиннее расстояние, на которое она должна быть перемещена. Наклонная плоскость уменьшает силу так же, как она уменьшала скорость в опыте с силой тяжести, который выполнил Галилео. Ни наклонная плоскость, ни рычаг, ни любой другой механизм не уменьшает работу. Если мы рассматриваем работу, то мы никогда не получаем что-то из ничего.

Но если мы не получаем никаких преимуществ при выполнении работы, то зачем беспокоиться? Ответ состоит в том, что, даже если мы не получаем ничего непосредственно, мы можем извлечь пользу, изменяя распределение между силой и расстоянием. Если рассматриваемый случай — подъем груза, когда мы должны поднять вверх на два метра 250 килограммов, то без дополнительной помощи мы не сможем его поднять и вынуждены будем отказаться. Мы не сможем поднять его на метр, сантиметр или вообще на какую-либо высоту; мы не сможем сдвинуть его. Однако переместить груз, эквивалентный 50 килограммам, на расстояние в десять метров — вполне выполнимая задача, особенно если нам некуда спешить; таким образом, мы можем сделать ту же самую работу (50∙10), которая была признана невозможной при предыдущих условиях (250∙2). Поднять эквивалент пяти килограммов по наклонной плоскости длиной 100 метров — может быть, утомительно, но вполне возможно.

Опять же если бы нас попросили подтянуться вверх по веревке, спущенной с крыши пятиэтажного здания, то мы могли бы сразу решить, что это — вне пределов наших способностей, разве что мы находимся в превосходной физической форме. Однако совершенно обычный человек может поднять свой вес на крышу пятиэтажного дома, если он идет по скату, который является наклонной плоскостью, позволяющему ему использовать меньшее количество силы, чтобы поднять свое тело за счет перемещения его на более длинное расстояние.

Иногда удобно сделать противоположное: израсходовать дополнительную силу, чтобы получить выигрыш в расстоянии. Именно таким образом мы прикладываем много силы к педали велосипеда. Это усилие передается к точке на заднем колесе, около его центра. Далее спицы колеса действуют как рычаги (с точкой опоры на оси колеса), так что на обод колеса передается небольшая сила, благодаря которой велосипед перемещается на большое расстояние.

Велосипед поэтому — механизм, который позволяет телу преобразовывать силу в расстояние (без изменения полного количества выполненной работы) более эффективно, чем это могло быть сделано без велосипеда. По этой причине человек на велосипеде может легко обогнать бегущего человека, хотя оба используют мускулы своих ног с равным усилием.

Определение работы как произведения силы на расстояние, на которое она действует, не говорит ничего относительно времени, которое требуется для того, чтобы выполнить данное действие. Люди обычно предпочитают выполнять какое-то количество работы за более короткое время, чем за длительное, и поэтому заинтересованы знать норму, по которой выполняется данная работа. Такая норма называется «мощностью». Единицы измерения мощности — Дж/с в системе МКС и эрг/с в системе СГС.

Очень распространенная единица мощности, которая не входит ни в какую систему, была разработана шотландским инженером Джеймсом Ваттом (1736–1819) в конце XVIII века, он улучшил паровой двигатель и сделал его пригодным для практического применения; он стремился узнать, насколько норма работы в водяной помпе его двигателя при откачке воды из угольных шахт отличается от нормы работы лошадей, которых до этого использовали в качестве силового привода на подобной работе. Чтобы определить «лошадиную силу», Ватт проверял, сколько веса, на какое расстояние и за какое время могут поднять лошади. Он пришел к заключению, что сильная лошадь могла поднять 150 фунтов веса на высоту 220 футов за одну минуту, так что одна лошадиная сила была равна 150∙200/1, или 33 000 фунтов-футов в минуту.

Эта неудобная единица равна 745,2 Дж/с, или 7 452 000 000 эрг/с. Величине джоуль/секунда было в честь Джеймса Ватта присвоено название «ватт», так что мы можем также говорить, что одна лошадиная сила равна 745,2 ватта. Ватт, однако, наиболее часто используется при электрических измерениях. В механической инженерии (по крайней мере, в Великобритании и Соединенных Штатах) пока еще главенствует лошадиная сила. Например, мощность наших автомобильных двигателей обычно дается в лошадиных силах[27].

Механическая энергия

Приятно видеть, что работа, которую мы прикладываем к одному концу рычага, равна работе, выходящей из другого его конца, и мы могли бы справедливо предположить существование «закона сохранения работы».

К сожалению, такой возможный закон сохранения почти сразу натыкается на препятствие. В конце концов, где работа пребывала до того, как быть приложенной к рычагу? Если один конец рычага управлялся человеком, который использовал рычаг, чтобы поднять груз, работа произошла от перемещения, вызванного движением человеческой руки.

А откуда взялась работа перемещающей рычаг руки? Сидящий спокойно человек может внезапно переместить свою руку и сделать работу там, где никакой работы до этого, казалось, не существовало. Это входит в противоречие с понятием сохранения, в соответствии с которым сохраняемое явление не может быть ни создано, ни разрушено.

Поэтому, если вы стремитесь к тому, чтобы основать закон сохранения работы, вы должны предположить, что работа, или какой-то эквивалент работы, могла бы быть сохранена в человеческом теле (и в других возможных объектах) и что по мере необходимости могут происходить обращения к этому «складу» и вызванная работа была бы сконвертирована в видимую, ощутимую форму.

На первый взгляд такой «склад» работы кажется связанным с живыми формами, так как живые существа кажутся заполненными этой способностью — делать работу, в то время как неодушевленные предметы главным образом лежат в состоянии покоя и не работают. Немецкий философ и ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 — 1716), который был первым, кто получил ясное понятие работы в физическом смысле, хотел назвать этот «склад работы» — vis viva (от латинского выражения, означающего «живая сила»).

Однако совершенно ошибочно предположить, что работа может быть «заложена» только в живых существах; так, ветер может нести суда, а вода поворачивает колесо жернова, и в обоих случаях сила прикладывается на расстоянии. Отсюда возникло предположение, что «склад» работы может быть также и в неодушевленных предметах. В 1807 году английский врач Томас Юнг (1773–1829) предложил для этого «склада» работы термин «энергия». Этот термин происходит от греческих слов, означающих «вместилище работы», и является вполне нейтральным термином, который может применяться к любому объекту независимо от того, живой он или неодушевленный.

Термин «энергия» постепенно приобрел популярность и теперь применяется к любому явлению, способному к преобразованию в работу. Человечеству известно огромное множество таких явлений, а следовательно, множество форм энергии.

Первой формой энергии является непосредственно само движение. Работа включает в себя движение (так как объект должен быть перемещен на какое-то расстояние), так что неудивительно, что движение способно делать работу. Двигающийся воздух, то есть ветер, приводит в движение судно, а не «стоячий» воздух; поток воды поворачивает жернов, а не неподвижная вода. Значит, не воздух или вода содержат энергию, а движение воздуха или воды. Фактически все, что перемещается, содержит энергию, поскольку если перемещающийся объект независимо от того, что он собой представляет, столкнется с другим объектом, то он сможет передать свое количество движения этому второму объекту и привести его массу в движение — таким образом выполняется работа, поскольку масса будет перемещаться на некое расстояние под воздействием силы.

Энергия, связанная с движением, называется «кинетической энергией», этот термин предложил английский физик лорд Уильям Кельвин (1824– 1907) в 1856 году. Слово «кинетический» происходит от греческого слова, означающего «движение».

Так сколько же точно содержится кинетической энергии в теле, перемещающемся с некоторой скоростью, равной v? Чтобы определить это, давайте предположим, что в конце концов мы собираемся обнаружить существование закона сохранения для работы во всех ее формах. В этом случае было бы разумным утверждать, что, если мы выясним, сколько работы требуется, чтобы переместить тело с некоторой скоростью, равной v, тогда это автоматически будет означать количество работы, которую можно выполнить по отношению к некоторому другому объекту благодаря его движению с этой скоростью. Короче говоря, это будет его кинетическая энергия.

Чтобы заставить тело двигаться, во-первых, требуется приложить силу, а эта сила, в соответствии со вторым законом Ньютона, равна массе перемещающегося тела, умноженной на его ускорение: f = та. Тело будет перемещаться на некоторое расстояние, равное d, прежде чем ускорение разгонит его до скорости v, с которой мы и начали разговор. Работа, приложенная к телу, которая требуется, чтобы заставить его двигаться с этой скоростью, равна произведению силы на расстояние.

Если мы выразим силу как ma, то мы получим:

Значительно раньше, в этой книге, когда мы обсуждали эксперименты Галилео с падающими телами, мы показали, что v = at, то есть скорость, другими словами, является произведением ускорения на время. Это выражение можно легко преобразовать в t = v/a. Также при обсуждении экспериментов Галилео мы заметили, что там, где имеется однородное ускорение,

где d — расстояние, покрытое перемещающимся телом. Если вместо t в указанном выше отношении мы подставим v/a, то получим:

Давайте теперь подставим это значение для d в уравнение 7.2, которое тогда примет форму:

Это — работа, которую следует приложить к телу массой m, чтобы заставить его двигаться со скоростью v. И поэтому это — кинетическая энергия, которую содержит тело такой массы, двигающееся с такой скоростью. Если мы обозначим кинетическую энергию как e_k, то можем написать:

Как я уже сказал ранее, единицы измерения работы включают в себя единицы измерения массы, умноженные на квадрат единиц измерения скорости, и, как видно из уравнения 7.5, кинетическая энергия — тоже. Поэтому кинетическая энергия, как и работа, может быть измерена в джоулях или эргах. И действительно, все формы существования энергии могут быть измерены в этих единицах.

Теперь представим себе, что мы можем обосновать закон сохранения, в котором кинетическая энергия может быть преобразована в работу и наоборот, но в котором сумма кинетической энергии и работы в любой изолированной системе должна остаться постоянной. Но такой закон сохранения не выдержит, как будет показано ниже, никакой критики.

Объект, брошенный в воздух, по мере того как он покидает руку (или катапульту, или некое орудие), приобретает некоторую скорость и поэтому некоторую кинетическую энергию. Поскольку он поднимается вверх, его скорость уменьшается, из-за ускорения, наложенного на него полем тяготения Земли. Значит, и его кинетическая энергия постоянно уменьшается, и в конечном счете, когда объект достигает максимальной высоты и останавливается, его кинетическая энергия полностью исчезает — становится равной нулю. Можно бы было предположить, что кинетическая энергия исчезла из-за того, что в атмосфере была произведена работа и что поэтому кинетическая энергия была переведена в работу. Однако это — неадекватное объяснение события, поскольку то же самое происходило бы и в вакууме. Далее: можно было бы предположить, что кинетическая энергия исчезла полностью и без следа, то есть без появления работы, и что поэтому нет возможности применить какой-либо закон сохранения, включающий в себя работу и энергию. Однако после того как объект достиг максимальной высоты и скорость его движения стала равна нулю, он снова начинает падать, теперь уже вниз, все еще находясь под действием силы тяготения. Он падает все быстрее и быстрее, приобретая все большую кинетическую энергию, и в тот момент, когда он ударяется о землю (сопротивлением воздуха мы пренебрегаем), он обладает всей той кинетической энергией, с которой начал свое движение.

Чтобы не потерять свой шанс обосновать закон сохранения, мне кажется разумным предположить, что энергия, наверное, не исчезала при движении объекта вверх, а просто запасалась в некоторой другой форме, чем кинетическая энергия. Для того чтобы поднять объект на некоторую высоту, преодолевая силу тяжести, требуется выполнить некоторую работу, даже несмотря на то, что, когда объект достиг этой высоты, он остановился. Эта работа должна быть запасена в виде энергии, которую объект содержит в себе и которая основывается на его положении по отношению к полю тяготения земли.

Таким образом, можно сказать, что по мере подъема объекта кинетическая энергия постепенно преобразовывалась в «энергию положения». На максимальной высоте вся кинетическая энергия стала такой «энергией положения». По мере падения объекта назад, вниз «энергия положения» еще раз преобразовалась — обратно в кинетическую энергию. Так как «энергия положения» имеет потенциальность кинетической энергии, то шотландский инженер Уильям Дж.М. Ранкин (1820–1872) в 1853 году предложил назвать такую энергию «потенциальной», и это предложение было принято.

Чтобы поднять тело на некоторое расстояние (d) вверх, требуется приложить силу, равную его весу, на требуемом расстоянии. Сила, приложенная весом, равна mg, где m — масса тела, a g — ускорение свободного падения (см. уравнение 5.1). Если мы обозначим потенциальную энергию как e_p, то получим:

Если вся кинетическая энергия тела была преобразована в потенциальную энергию, то значит — первоначальная e_k конвертировалась в эквивалентную e, или, объединив уравнения 7.5 и 7.6, получим:

упростив это выражение и приняв предположение, что величина g — постоянна, получаем:

Из этого соотношения можно вычислить (пренебрегая сопротивлением воздуха) высоту, до которой поднимется объект, если нам известна его начальная скорость, то есть та, с которой он двигается вверх. Те же самые соотношения могут быть получены из уравнений, которые явились результатом экспериментов Галилео Галилея с падающими объектами.

Кинетическая энергия и потенциальная энергия — это типы энергии, которые используются механизмами, созданными при помощи рычагов, наклонных плоскостей и колес, а потому эти две формы могут быть объединены одним общим понятием — «механическая энергия». Уже во времена Лейбница было признано, что существует своего рода понятие «сохранения механической энергии» и что (если отбросить такие внешние коэффициенты, как трение и сопротивление воздуха) механическая энергия могла бы быть визуализирована в виде движения вперед и назад между кинетической и потенциальной формами или между ними и работой, но не (и это справедливо для всех трех форм) как нечто, появляющееся из ниоткуда или исчезающее в никуда.

Сохранение энергии

К сожалению, «закон сохранения механической энергии», внешне — такой аккуратный, как это могло бы показаться при некоторых ограниченных обстоятельствах, имеет свои дефекты, и они сразу выбрасывают его из стройного ряда истинных законов сохранения.

Объект, подброшенный в воздух с некоторой кинетической энергией, возвращается на землю, не обладая той кинетической энергией, которая была у него сначала. Небольшое количество ее теряется на преодоление сопротивления воздуха. Опять же если упругий объект падает с некоторой данной высоты, то он должен был бы (в случае, если механическая энергия полностью сохраняется) сильно удариться и вернуться точно на свою первоначальную высоту. Однако этого не происходит. Он всегда возвращается на высоту несколько меньшую первоначальной, и если позволить ему падать снова и снова, то с каждым разом высота его отскока будет уменьшаться, пока не исчезнет вообще. Это зависит не только от сопротивления воздуха, которое, конечно, тоже вносит свою лепту, но также и от несовершенной эластичности непосредственно самого тела. Действительно, если бросить вниз глыбу мягкой глины, ее потенциальная энергия будет преобразована в кинетическую, но в момент, когда глина ударится о землю с «жестким» шлепком, вся кинетическая энергия пропадет без всякого перехода в потенциальную форму. Судя по всему, в таких случаях механическая энергия просто исчезает.

Можно было бы доказывать, что эти потери механической энергии происходят из-за «несовершенства» окружающей среды. Если предположить, что абсолютно гладкая система двигается в абсолютном вакууме или что все объекты абсолютно упругие, то механическая энергия была бы сохранена.

Однако такой спор абсолютно бесполезен, поскольку в истинном законе сохранения дефекты окружающего, реального мира не затрагивают сущность закона. Количество движения, например, сохраняется независимо от трения, сопротивления воздуха, несовершенной эластичности или любого другого отклонения от идеала.

Если мы все еще хотим найти закон сохранения, который вовлекает работу, мы должны иметь в виду, что на каждую потерю механической энергии должно появиться какое-либо увеличение чего-то еще. Такое «кое-что» совсем не трудно найти. Трение — один из наиболее очевидных дефектов окружающей среды — вызывает повышение температуры, то есть нагрев, и, если трение значительно, вызываемое им количество теплоты также значительно. (Температура спичечной головки может быть доведена до точки загорания за одну секунду простым движением по грубой, шершавой поверхности.)

Справедливо и обратное — теплота весьма способна к тому, чтобы ее превратили в механическую энергию. Теплота Солнца поднимает бесчисленные тонны километров водяного пара высоко в воздух, так что вся механическая энергия падения воды (такая, как дождь, водопад или спокойное течение плавной реки) происходит от теплоты, отдаваемой Солнцем.

Более того, уже в XVIII столетии человек преднамеренно преобразовал теплоту в механическую энергию посредством устройства, предназначенного, чтобы изменить мир. Теплота использовалась, чтобы превратить воду в пар в замкнутой камере и использовать этот пар для вращения поршней двигателя и колеса. (Это устройство конечно же называется «паровой двигатель».)

Поэтому кажется ясно, что при разработке истинного закона сохранения мы должны добавить к таким явлениям, как работа, кинетическая и потенциальная энергии, и такое явление, как теплота. Короче говоря, теплоту надо рассматривать как другую форму энергии.

Но если это так, то любое другое явление, которое вызывает повышение температуры, также должно рассматриваться как форма энергии. Электрический ток может нагревать провод, а магнит может вызывать электрический ток, так что и электричество и магнетизм — формы энергии. Свет и звук — также формы энергии и так далее.

Если закон сохранения, который мы выводим, должен охватить работу и все формы энергии (а не только одну механическую энергию), то необходимо показать, что одна форма энергии может быть преобразована в другую форму количественно. Другими словами, в таких энергетических преобразованиях следует рассматривать всю энергию, существующую в процессе; никакая энергия не должна быть полностью потеряна и никакая не создана.

Эта точка зрения была тщательно проверена в 1840-х годах английским пивоваром по имени Джеймс Прескотт Джоуль (1818–1889), чьим хобби было изучение физики. Он измерил теплоту, произведенную электрическим током, трением воды об стекло, образованную кинетической энергией вращения лопастей привода водяного колеса в воде, работой, которая потребовалась для сжатия газа, и так далее. При этом он нашел, что некоторое определенное количество одного вида энергии конвертируется в определенное количество другого вида энергии и что если рассматривать энергию во всем множестве ее проявлений, то никакая энергия не создается или теряется. Именно в его честь единицу измерения работы и энергии в системе МКС назвали «джоулем».

В более ограниченном смысле можно сказать, что Джоуль доказал, что некоторое определенное количество работы всегда производит некоторое количество теплоты. Применяемая обычно в Британии единица работы «фут на фунт» равна работе, которая требуется, чтобы поднять один фунт массы на высоту в один фут, преодолевая силу тяжести. Общепринятая британская единица теплоты называется «британская тепловая единица» (обычно сокращаемая до «Btu») и является тем количеством теплоты, которое требуется, чтобы поднять температуру одного фунта воды на 1° Фаренгейта. Джоуль и его преемники решили, что 778 фут-фунтов эквивалентны 1 Btu, и именно это и называется «механическим эквивалентом теплоты».

Гораздо предпочтительнее выражать этот механический эквивалент теплоты в метрической системе единиц измерения. Фут-фунт равен 1,356 джоуля, то есть 778 фут-фунтов равны 1055 джоулям. Кроме того, наиболее распространенная единица количества теплоты в физике — это «калория», которая равна количеству теплоты, которое требуется, чтобы поднять температуру одного грамма воды на Г Цельсия (т. е. по стоградусной шкале)[28]; 1 Btu равен 252 калориям (кал). Поэтому механический эквивалент теплоты Джоуля может быть выражен таким образом: поскольку 1055 джоулей равняются 252 калориям, то 4,18 джоуля = 1 калории.

Как только стало ясным перечисленное выше, дальнейшим естественным ходом было предположить, что закон сохранения механической энергии должен быть преобразован в закон сохранения энергии, то есть включить в себя самый широкий смысл того, что мы понимаем под понятиями «энергия», «работа», «механическая энергия», «теплота» и всеми остальными, которые могли бы быть конвертированы в теплоту. Джоуль видел это, и даже до того, как его эксперименты получили дальнейшее развитие, немецкий физик Юлиус Роберт фон Майер (1814–1878) экспериментально подтвердил истинность таких предположений. Однако впервые закон сохранения энергии был заявлен научному сообществу в форме достаточно ясной и недвусмысленной в 1847 году немецким физиком и биологом Германом фон Гельмгольцем (1821–1894), и поэтому именно он считается первооткрывателем закона.

Закон сохранения энергии, вероятно, является наиболее фундаментальным из всех обобщений, сделанных учеными-физиками, и таким, от которого им меньше всего хотелось бы отказываться. Мы рады сообщить, что пока что этот закон держится, несмотря на все отклонения реальной Вселенной от идеальных моделей, основанных учеными; он справедлив для всех систем — живых и неживых — и действует как для крошечного мира субатомного царства, так и для космического мира галактик. По крайней мере дважды в прошлом (XX) столетии были обнаружены явления, которые, казалось, нарушали закон сохранения энергии, но физики оба раза оказались в состоянии спасти закон, расширяя интерпретацию понятия «энергия». В 1905 году Альберт Эйнштейн доказал, что сама масса является формой энергии, а в 1931 году австрийский физик Вольфганг Паули (1900–1958) выдвинул концепцию нового вида субатомной частицы — «нейтрино», существование которой смогло объяснить очевидные отклонения от закона сохранения энергии.

И все это не было просто вопросом «спасения лица» или внесения исправлений в закон, который начал «разваливаться» и «плыть». Каждое расширение концепции «сохранения энергии» аккуратно вписалось в расширяющуюся структуру науки XX века и помогло объяснить происхождение явлений; оно также помогло предсказать (и абсолютно точно) другие явления, которые нельзя было бы объяснить или предсказать иначе. Ядерная бомба, например, явление, которое можно объяснить только в соответствии с эйнштейновской концепцией о том, что масса является формой энергии.

Гармонические колебания

Закон сохранения энергии служит, чтобы пролить свет на те виды движения, которые мы еще не рассмотрели.

Рассмотренные до настоящего момента виды движений независимо от того, были ли они поступательными или вращательными, происходили (если их не нарушать) непрерывно и в одном направлении. Однако любое движение способно прогрессировать поочередно: сначала в одном, а затем — в другом направлении, изменяя свое направление иногда после долгого интервала времени, иногда после короткого, а иногда — даже очень короткого. Такое движение в противоположных направлениях называется «вибрацией» или «вибрационным движением» (от латинского слова, означающего «колебаться, дрожать»).

Этот тип движения весьма распространен, и мы его постоянно видим и чувствуем, например колебание или дрожание веток и листьев растений под воздействием ветра или быструю дрожь работающих машин, например автомобиля, работающего на холостых оборотах; даже стук наших зубов или тряска рук, когда мы дрожим от холода или возбуждения, являются примерами вибрационных колебаний.

Первой формой вибрации, которую подвергли научным исследованиям, было дрожание тугой струны. Такие струны использовались в музыкальных инструментах, известных даже древнейшим; струны издают музыкальные звуки благодаря тому, что вибрационные движения, которые передаются струнами непосредственно воздуху, порождают акустические колебания (см. главы 11, 12). Первым, кто начал изучать такие колебания, был древнегреческий математик и философ Пифагор Самосский (VI столетие до н.э.). Его интересы лежали полностью в изучении взаимоотношений этих колебаний и музыки, и как результат вибрационные колебания часто стали называть «гармоническими колебаниями».

Большинство вибрационных колебаний имеют сложную природу и нелегко поддаются математическому анализу. Однако специфический тип колебаний, иллюстрацией которого является вибрация тугой струны, является исключением. Он может быть проанализирован сравнительно легко, и поэтому такой тип колебаний называется «простым гармоническим колебанием» (иногда сокращенно называемым SHM).

Как было обнаружено, в простых гармонических колебаниях все стадии движения находятся под действием закона Гука. Если мы тянем тугую струну из ее первоначального равновесного положения, величина перемещения от равновесного положения пропорциональна силе, которая старается восстановить это положение равновесия. Если отпустить натянутую струну, то сила упругости ускоряет ее в направлении равновесного положения. Другими словами, струна прыгает назад к состоянию равновесия, перемещаясь все быстрее и быстрее по мере движения.

По мере приближения струны к равновесному положению ее смещение от этого положения становится все меньше и меньше, и сила упругости пропорционально уменьшается. Поскольку уменьшение силы упругости, естественно, создает ускорение, которое передает струне, то, хотя по мере приближения к положению равновесия струна двигается все более быстро, приращение скорости становится все меньше и меньше. Наконец, когда струна достигла равновесия, сила упругости стала равна нулю и ускорение — тоже. Струна больше не может развивать скорость, и амплитуда ее движения равна максимуму.

Но, несмотря на то что струна не получает приращения скорости, она перемещается быстро и поэтому не может остановиться в положении равновесия, а двигается мимо него. Только сила может остановить ее перемещение (первый закон Ньютона), а в положении равновесия не имеется никакой силы, чтобы это сделать. Но поскольку струна проходит мимо точки равновесия, ее перемещение вызывает возникновение силы упругости; эта сила производит ускорение, которое служит, чтобы уменьшить скорость движения струны (которая теперь двигается в направлении, противоположном действию силы). Так как струна продолжает двигаться, ее смещение и сила упругости продолжают увеличиваться, скорость уменьшается все быстрее и быстрее, пока не достигнет нуля. Струна теперь опять неподвижна в точке максимального смещения, которая является равной величине первоначального смещения (когда мы оттянули струну рукой).

Под влиянием силы упругости струна снова начинает двигаться в противоположную сторону, проходит через положение равновесия и из него — в первоначальное максимальное смещение. Оттуда она снова идет назад, затем — вперед и так далее.

Если бы не существовало никакого сопротивления воздуха и никакого трения в точках крепления струны, максимальные смещения струны влево и вправо были бы постоянными и одинаковыми и вибрация продолжалась бы неопределенно долго. Но описанные колебания в конце концов в значительной мере не достигают своего максимума и, наоборот, с каждым движением вправо (или влево) достигают точки смещения, не равной, а меньшей, чем та, что была достигнута при предыдущем движении в этом направлении. Колебания «заглушены» и медленно «затухают».

Во всех случаях простых гармонических колебаний принципиальным моментом является то, что изменения скорости всегда происходят гладко и плавно и никогда — резко. Вообразим себе падающее тело, проходящее через поверхность Земли и твердую материю планеты. Сила тяжести, приложенная к этому телу, непрерывно становится все больше с увеличением расстояния от поверхности планеты и все меньше с продвижением его под этой поверхностью. По мере падения тело ускоряется на все меньшую и меньшую величину. К тому времени, когда оно достигнет центра Земли, на него не будет действовать никакой силы, а его скорость будет максимальной. Тогда тело пройдет сквозь центр Земли и начнет перемещаться к противоположной части планеты; его скорость начнет уменьшаться, поскольку сила тяжести становится все больше и больше, пока тело не появится на противоположной поверхности Земли и не поднимется на такую же высоту, как это было вначале (с другой стороны). Но тогда оно бы повторило свое движение, возвращаясь к своей первоначальной позиции, оно бы начало движение в противоположном направлении и так далее. Такое воображаемое движение также являет собой пример простых гармонических колебаний.

В реальности, однако, движение падающего тела было бы прервано поверхностью Земли, и скорость его резко бы изменилась в момент контакта с этой поверхностью. Получившиеся в результате этого сильные удары — тоже пример вибраций или гармонических колебаний, но совсем не простых гармонических колебаний.

Период колебаний

Особый интерес при рассмотрении любых вибрационных колебаний представляет собой время, которое требуется телу, чтобы пройти расстояние от одной экстремальной точки к другой и назад. Время, которое потребуется для завершения этого движения (или любого другого подобного в этом отношении движения), называется «периодом» этого движения[29].

Всякий раз, когда движение складывается из ряда повторных поддвижений, каждое из которых имеет свой собственный период колебаний, говорят, что такое движение называется «периодическими колебаниями», особенно когда индивидуальные периоды колебаний равны. Движение по кругу или любой замкнутой кривой может рассматриваться как составленное из последовательных возвращений к первоначальной точке начала движения, с каждым отдельным движением по кривой; следовательно, это ряд повторных поддвижений и он может быть назван периодическими колебаниями. Вибрация также представляет собой ряд возвращений к первоначальной точке, хотя скорее посредством движений «вперед-назад», чем в соответствии с движением по замкнутой кривой, поэтому и вибрация может также служить примером периодических колебаний.

Определить период колебаний объекта, даже когда он вибрирует в соответствии с законами, управляющими простыми гармоническими колебаниями, довольно сложно, если иметь дело непосредственно с вибрацией. В такой вибрации величины скорости, ускорения не являются постоянными, обе они изменяются в зависимости от положения в каждый данный момент времени. Поэтому при таких исследованиях ищут пути представить вибрацию посредством некоторого вида движения, включающего в себя постоянное ускорение.

Это может быть достигнуто путем перехода от вибрации к другой форме периодических колебаний — круговому движению. Объект может быть изображен как перемещающийся по кругу при постоянном внутреннем ускорении и, следовательно, как перемещение по окружности круга с постоянной скоростью.

Если рассматриваемый круг имеет радиус длины a, тогда длина его окружности равна 2πa. Если точка перемещается со скоростью v, то время t, которое требуется, чтобы сделать полное обращение (период кругового движения), равно:

Теперь если мы представим себе круг, бросающий тень на стену, то тень его боковой поверхности будет прямой линией. Точка, перемещающаяся по кругу, на тени будет казаться перемещающейся вперед и назад по прямой линии. По мере движения точки по окружности точка на тени будет совершать возвратно-поступательное движение по прямой линии. Период колебаний по окружности (уравнение 8.1) будет также равен периоду вибрации тени.

На любом из крайних положений линии-тени точка будет казаться перемещающейся очень медленно, потому что ее движение по кругу отражается на линию-тень под более или менее прямым углом, что дает очень немного поперечного движения. (А только поперечное движение обнаружит себя на тени.) По мере передвижения точки в промежуточные части круга его движение становится все более поперечным и все менее поступательным по отношению к линии, так что точка на тени кажется двигающейся все быстрее и быстрее, чем дальше она находится от крайнего положения. Таким образом, когда точка находится в самом центре, точка на окружности перемещается параллельно линии и все ее движение — поперечно. В центре теневой линии поэтому точка кажется перемещающейся самым быстрым образом. Движение точки по линии-тени напоминает движения тела при простых гармонических колебаниях, и действительно, данное движение является таковым. Следовательно, формула 8.1 представляет собой период (t) простых гармонических колебаний.

Уравнение 8.1 все еще представляет трудность для анализа, так как включает в себя скорость v, и, в то время как точка перемещается по окружности с постоянной скоростью, она перемещается по линии-тени с постоянно меняющейся скоростью. Поэтому мы должны найти, если возможно, что-то, что займет место v.

В любых простых гармонических колебаниях максимальная скорость проходит через среднюю точку между двумя экстремумами. В этот момент тело, испытывающее такое движение, находится в положении равновесия, где оно и осталось бы, если бы находилось в состоянии покоя. В этой точке тело не обладает никакой потенциальной энергией, а обладает только энергией движения, или, как ее иначе называют, «кинетической энергией». Поскольку тело перемещается дальше от своего положения равновесия, оно теряет скорость и поэтому теряет кинетическую энергию. Однако оно перемещается в положение, в котором кинетическая энергия равна нулю, зато получает энергию положения, или, как ее иначе называют, «потенциальную энергию». В экстремальном положении тело останавливается на мгновение, и вся его энергия находится в форме потенциальной энергии. Тело, участвующее в простых гармонических колебаниях, демонстрирует периодический переход кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно и (не принимая во внимание эффект демпфирования трением и сопротивление воздуха) являет собой превосходный пример сохранения механической энергии.

Как я уже сказал ранее, в соответствии с законом Гука, сила упругости, приложенная к телу, испытывающему простые гармонические колебания, пропорциональна его смещению от положения равновесия. Она равна F = kd, где F — сила упругости, а d — смещение. Сила упругости — наименьшая в положении равновесия (которое находится в центре нашей прямолинейной тени). В этой точке не имеется никакого смещения и сила упругости равна нулю. Максимальное значение силы упругости достигается в точке максимального смещения, которая, конечно, расположена на краю прямолинейной тени. Это крайнее положение равно расстоянию a (радиусу окружности, которая отбрасывает прямолинейную тень) от центра или положения равновесия, следовательно, мы можем сказать, что сила упругости в ее максимальном значении равна ka.

В то время как тело перемещается из положения равновесия до крайнего положения, оно перемещается против силы, которая начинается в 0 и плавно увеличивается до ka, а средняя сила, против которой действует перемещающееся тело, поэтому равна ka плюс 0, разделенные на два, или (ka/2).

Работа, приложенная к телу, которая необходима, чтобы вывести его из положения равновесия и переместить в данную точку, равна силе, умноженной на расстояние, на котором приложена сила. Это означает ka/2 умножить на a, или ka²/2. В крайней точке вся эта работа будет запасена в виде потенциальной энергии и поэтому максимальная потенциальная энергия тела, перемещающегося на условиях простых гармонических колебаний, равна ka²/2.

В то же самое время кинетическая энергия тела достигает своего максимального значения в средней точке, там, где вся потенциальная энергия была преобразована в движение и где скорость достигает своего максимума. Кинетическая энергия тогда равна mv²/2, где m — масса тела, a v его максимальная скорость.

Так как потенциальная энергия и кинетическая энергия постоянно конвертируются между собой в течение всего времени существования простых гармонических колебаний без существенных потерь, максимальная величина потенциальной энергии и максимальная величина кинетической энергии должны быть равны. Таким образом:

Мы легко можем преобразовать это уравнение:

Заменив (m/k) на (a/v) в уравнении 8.1, мы получаем:

Это совершенно удивительный результат, поскольку выясняется, что период простых гармонических колебаний зависит только от массы перемещающегося тела и пропорционален константе между нагрузкой и напряжением. Все эти данные могут легко быть определены для данного специфического тела, и, таким образом, мы можем сразу рассчитать период колебаний.

Следует отметить, что период колебаний не зависит ни от скорости тела, перемещающегося с простыми гармоническими колебаниями, ни от расстояния, на которое тело перемещено из среднего положения, так как и v и а исчезли из уравнения 8.4. Это означает, что, если струна оттянута на некоторое расстояние от ее среднего положения, она достигнет некоторой максимальной скорости в средней точке ее колебаний и будет иметь некоторый период вибрации. Если ее оттянуть на большее или меньшее расстояние, она получит большую или соответственно меньшую максимальную скорость; в любом случае изменения в скорости будет только достаточно, чтобы восполнить изменение в расстоянии смещения, так что период колебаний останется тем же самым.

Этот постоянный период вибрации является большим благом для всего человечества, потому что предлагает средство для весьма точного измерения времени — подсчет колебаний, причем даже затухающих колебаний.

Теоретически любые периодические колебания делают это возможным. Первым периодическим движением, которое служит человечеству в качестве часов, было непосредственно само движение Земли; каждый поворот планеты на ее оси отмечает один день и ночь, а каждый поворот планеты относительно Солнца отмечает один цикл сезонов. К сожалению, движения Земли не могут нам предложить хороших средств измерения промежутков времени меньше чем длиною в день.

В древние времена человечество использовало апериодические движения, разбитые (как надеялись) на равные части. Они включают в себя движение тени по основанию, движение песка через узкое отверстие, капанье воды через отверстие, сокращение длины горящей свечи и так далее. Все, что можно было получить таким способом, — это довольно приблизительно равные промежутки времени; и только в середине XVII столетия появилась возможность сообщить время с точностью до часа или менее или измерить единицы времени меньшие чем час с некоторой разумной точностью.

Только когда стали использоваться периодические колебания с короткими периодами вибрации, стали возможными современные устройства для измерения времени, а вместе с ними (до очень большой степени) и вся современная наука.

Маятник

Сам Галилео весьма страдал от неспособности точно измерить короткие интервалы времени. (В некоторых случаях он использовал для замера времени свой пульс, и хотя это было периодическое явление, но, к сожалению, не очень устойчивое.) Однако хотя он непосредственно сам и не извлек выгоды из этого, он был первым, кто обнаружил периодические колебания, которые в конечном счете стали использоваться для измерения времени.

В 1583 году, когда Галилео был юношей и студентом-медиком в Университете Пизы, он однажды пошел в местный собор, чтобы помолиться. Но даже его глубокая вера (а Галилео всегда был очень набожным человеком) не смогла удержать его пытливый ум от наблюдений. Он не мог не заметить колебание паникадила[30] в нефе. Время от времени благодаря капризу ветра оно описывало большую дугу, время от времени — меньшую, но, как показалось Галилео, период колебаний все время был тем же самым независимо от длины дуги. Он прервал свои молитвы и проверил эту догадку, рассчитав колебания при помощи своего пульса.

Вернувшись домой, Галилео продолжил эксперимент, подвесив маленькие «люстры», сделанные из «отвесов» и нитей, к потолку и позволив им раскачиваться с различным периодом колебаний. (Такие подвешенные грузы называются «маятниками» (pendulum — от латинского слова, означающего «висение» или «покачивание».) Галилео смог доказать, что период колебания не зависел от тяжести отвесов, а только от квадратного корня из длины нити. Другими словами, маятник, подвешенный на нити длиной четыре фута, имеет период колебания вдвое больший, чем такой же, но с нитью длиной в один фут.

Теперь рассмотрим маятник. Если отвес висит вертикально на своей нити, он останется неподвижным. Это — его положение равновесия. Если отвес отклонить в сторону, натяжение нити заставит его двигаться по дуге круга так, что он поднимется на более высокий уровень. Если отпустить его, то под воздействием силы тяжести он будет двигаться вниз с увеличивающейся скоростью, назад по дуге круга, к своему самому нижнему положению.

Результирующая сила, которая вызывает это движение, получается в итоге сложения силы тяжести и силы натяжения нити. По мере снижения отвеса нить становится все более и более вертикальной и компенсирует все большую часть силы тяжести. Результирующая сила постоянно уменьшается по мере снижения отвеса, так же как ускорение. Когда отвес попадает в самую нижнюю часть дуги, маятник оказывается подвешенным на совершенно вертикальной линии, и нить полностью компенсирует все гравитационное напряжение. В этой точке не существует никакого неуравновешенного гравитационного напряжения и никакого ускорения. Отвес перемещается с максимальной скоростью.

Из-за инерции отвес проходит через точку равновесия и начинает описывать дугу в другом направлении. Теперь снова имеется результирующая сила, которая замедляет его движение. Чем выше он поднимается, тем больше неуравновешенная сила тяготения и тем быстрее замедляется движение отвеса. В конечном счете его движение замедляется до нуля, и в этот момент отвес достигает точки максимального смещения. Далее начинается обратное движение вниз, через точку равновесия, до максимального смещения с другой стороны и так далее.

Это очень похоже на описание простых гармонических колебаний, за исключением того, что там щипание струны вызывает движение вперед и назад по прямой линии, а смещение маятника вызывает движение вперед и назад по дуге круга. Как нам может показаться — это не является принципиальной и существенной разницей, потому что нам кажется, почему бы не существовать периодическому вращательному движению точно так, как существует периодическое поступательное движение? И действительно — имеется достаточное количество обоих видов этих простых гармонических колебаний.

Но действительно ли движение маятника является одним из них? Во всех случаях простых гармонических колебаний типа вибрации струны, скручивающегося и раскручивающегося шнура, движения вверх и вниз натянутой струны и раскручивания и закручивания упругой спирали сила упругости находится в пределах материала, из которого изготовлен предмет, она — производное его эластичности (упругости). В случае маятника сила упругости находится вне системы в форме неуравновешенного гравитационного напряжения. Это может представлять собой принципиальную разницу. Чтобы проверить, качается ли маятник согласно свойствам простых гармонических колебаний, мы должны проверить, действительно ли является сила упругости, компенсирующая силу тяжести, прямо пропорциональной величине смещения, что служит показателем того, что в данном случае действует закон Гука (характеризующий простые гармонические колебания).

Давайте начнем со смещения. Это — длина дуги круга, по которой маятник передвигается, чтобы достигнуть некоторого положения. Длина этой дуги зависит и от длины l струны, и от величины угла (θ)[31], на который перемещается маятник. Смещение (D) фактически равно длине струны, умноженной на угол, на который перемещается вес:

Теперь рассмотрим силу упругости. Она, конечно, зависит от силы тяжести. Полное значение натяжения нити, вызванное силой тяжести, направленной вниз, соответственно должно быть равно mg, где m — масса отвеса, a g — ускорение свободного падения[32]. Однако отвес не двигается точно вниз, он перемещается по дуге. Это перемещение складывается из воображаемых «скатываний» по наклонной плоскости, которая изменяет свой угол наклона в каждой из точек окружности.

Эта ситуация подобна той, с которой мы столкнулись, когда рассматривали наклонные плоскости. Вообразите отвес маятника в некоторой точке его движения, когда поддерживающая его струна составляет с вертикальной линией угол, равный θ. В этой точке отвес как будто скатывается по наклонной плоскости, составленной по тангенсу к дуге колебания в этой точке. Мы могли бы изобразить такую наклонную плоскость, как часть прямоугольного треугольника. Наклонная плоскость имела бы длину L и высоту H от горизонтальной линии. Угол, который наклонная плоскость создает с горизонтальной линией, как это можно видеть из обычной геометрии, равен углу сдвига, то есть также равен θ.

Как мы узнали, максимальная сила тяготения должна быть умножена на отношение H к L, так что сила упругости (F) будет равна mg(H/L). Отношение H к L представляет собой синус[33] угла θ и обозначается «sin θ». Поэтому мы можем выразить силу упругости как:

Таким образом, отношение силы упругости к смещению в случае качающегося маятника равно (объединяем уравнения 8.5 и 8.6):

Теперь возникает вопрос: является ли это отношение константой, поскольку если это так, то качающийся маятник должен рассматриваться как пример простых гармонических колебаний. Масса (m) отвеса и длина струны (l) не изменяются в процессе колебания маятника, значение g также постоянно для любой данной точки поверхности Земли, так что величина mg/l также может рассматриваться в качестве константы. Остается только определить, является ли величина (sinθ)/θ также константой. Если это так, то задача решена.

К сожалению, данное отношение не является константой. Как мы можем легко определить, синус 30° равен ½, в то время как синус 90° равен 1. Другими словами: в то время как синус угла только удвоился, сам угол стал больше в три раза. Это означает, что (sinθ)/θ не является константой, что сила упругости нити маятника не является величиной, прямо пропорциональной смешению, и что покачивание маятника не является примером простых гармонических колебаний.

Однако если отношение (sinθ)/θ и не является константой, то оно почти постоянно для маленьких углов (10° или меньше). Поэтому, если маятник качается вперед и назад по небольшой дуге, это движение практически является примером простых гармонических колебаний.

На практике для маленьких углов (sinθ)/θ — не просто константа, это отношение равно единице. По этой причине (не забываем, что мы имеем дело с маятниками, качающимися только по маленьким дугам) мы можем устранить выражение (sinθ)/θ в уравнении 8.7 и написать:

в котором символ ≈ означает «приблизительно равно».

(Вы можете задать вопрос: почему же мы желаем воспользоваться приблизительным равенством, ведь наука должна оперировать только точными отношениями? Ответ таков: иногда следует удовлетвориться аппроксимацией (т. е. максимально приближенным значением) — в этом случае мы можем обращаться с маятником как с примером простых гармонических колебаний и производить некоторые другие вычисления, весьма простые, пусть даже и не совсем точные.)

Например, как мы уже определили, период (t) простых гармонических колебаний объекта равен: 2πm/k (другая форма той же записи — см. уравнение 8.4).

Символ к представляет собой отношение силы упругости к смещению, для которого в случае маятника мы нашли значение в уравнении 8.8; там оно установлено приблизительно равным mg/l При объединении уравнений 8.4 и 8.8 (и при сохранении символа приблизительного равенства) мы можем заявить, что период умеренно качающегося маятника равен:

Как вы видите, период умеренно качающегося маятника не зависит от массы отвеса, а зависит (по крайней мере, в весьма хорошем приближении) от квадратного корня из длины струны, что, собственно, в далеком XVI столетии и определил Галилео экспериментальным путем.

Присутствие в уравнении величины g — ускорения, вызванного силой тяжести, — имеет очень важное значение. Если преобразовать уравнение 8.9 так, чтобы выразить значение g, то мы получим:

Это дает нам гораздо более легкий метод для измерения g, чем непосредственное измерение скорости свободного падения. Длина маятника определяется легко, и его период — также. Использование маятников во времена Ньютона показало, что изменение g в зависимости от широты местности, где производятся измерения, и добавило еще одно экспериментальное подтверждение к предположению Ньютона, что Земля имеет форму сплющенного сфероида.

Так как период умеренно качающегося маятника практически является константой, это его свойство может использоваться для измерения времени. Если маятник связан с зубчатыми колесами таким способом, что с каждым колебанием маятника колесо продвигается вперед только на один зубец, это движение тогда легко может быть преобразовано таким образом, чтобы подвинуть один указатель по кругу, составляющему точно один час (минутная стрелка), а другой указатель вокруг того же круга, но за двенадцать часов (часовая стрелка). Добавив в систему веса (гири), мы можем компенсировать затухание колебаний маятника, которое вызвано трением и сопротивлением воздуха.

Будучи уже в преклонном возрасте, Галилео имел возможность увидеть практическое применение этого его открытия, сделанного в далекой юности. Оно было осуществлено голландским ученым Христианом Гюйгенсом (1629–1695) в 1673 году. Гюйгенс не стал даже учитывать несовершенство маятника. Он показал, что физический маятник — это не математический маятник и имеет отвес некоторого конечного объема, подвешенный на струне или прутке, имеющем некую конечную массу. Он также показал, что если маятник качается по кривой, которая не является дугой окружности, а двигается по траектории гораздо более сложной кривой, называемой «циклоидой», то тогда его период будет константой. Кроме того, он показал, как можно сделать маятник, который качался бы по такой циклоидальной дуге.

С того времени использовались многие изобретательные методы, предназначенные для того, чтобы принять во внимание тот факт, что длина маятника (и поэтому его период) слегка изменяется также в зависимости от температуры окружающей среды.

Другие представители простых гармонических колебаний могут использоваться для измерения времени. Гук (тот, что открыл закон Гука) изобрел «волосок» — тонкую спиральную пружину, которая может применяться для того, чтобы развертываться и свертываться, совершая простые гармонические колебания. Работа тонкой пружины поддерживается при помощи разматывания большой «главной пружины», которую периодически подтягивают при помощи механического привода — «заводят». Такие волосковые пружины используются в наручных часах, где нет места для маятника и в которых (даже если бы место существовало) движения руки немедленно приведут маятник в беспорядочное движение[34].

В последние годы (конец XX века. — Пер.) для измерения времени используются колебания атомов, которые перемещаются внутри молекул в соответствии все с теми же законами простых гармонических колебаний. Такие «атомные часы» обладают гораздо большей точностью и стабильностью, чем любые из часов, которые могут быть созданы на основе механики макромира.

Давление

Я предполагал, что «тела», которые мы до этого рассматривали, были «твердыми», то есть что они являются более или менее жесткими и имеют определенную неизменяемую форму. Они сопротивляются любой силе, имеющей тенденцию к изменению или деформации этой формы (хотя если мы будем увеличивать силу без предела, то в конечном счете достигнем точки, в которой даже наиболее твердая форма будет деформироваться или ломаться). Твердые тела рассматривались как сплошные, то есть если часть твердого тела двигалась, то и все тело двигалось таким образом, чтобы сохранить свою форму.

Однако есть такие тела, которые не имеют определенной формы и не сопротивляются деформации. Если приложить к ним даже маленькое усилие, которое будет сокращать или вытягивать их, они в ответ изменят свою форму. В частности, они реагируют на силу тяжести и изменяют свою форму таким образом, чтобы свести свою потенциальную энергию к минимуму. В ответ на гравитацию такие тела будут перемещаться максимально вниз и в максимально возможной степени сглаживаться; таким образом, они будут принимать форму любого контейнера (сосуда), в котором они находятся. Если наклонить открытый сверху контейнер или если в его основании сделать отверстие, материал под влиянием силы тяжести выльется и примет новое положение, в котором его потенциальная энергия еще меньше, то есть — на стол, на пол или в отверстие. Эта способность литься или течь и дала имя таким телам — «текучие» (fluids)[35] от латинского слова, означающего «течь».

Текучие тела делятся на два класса. В одном классе направленная вниз сила тяжести первостепенна, то есть текучее тело, принимающее форму контейнера, собирается в самой нижней части его и не обязательно заполняет контейнер полностью. Такие текучие тела имеют если и неопределенную форму, но определенный объем и называются «жидкостями» (также от латинского слова, означающего «течь»). Наиболее знакомая и хорошо известная нам жидкость, конечно, вода.

В другом классе текучих тел направленной вниз силе тяжести противостоят другие эффекты, которые мы будем рассматривать в более поздних главах. В этом классе также имеется некоторая концентрация тела к основанию контейнера, но она недостаточна, чтобы заметить ее при обычных условиях. В целом такие текучие тела распространяются более или менее равномерно по всему ограниченному пространству и не имеют никакого собственного, определенного объема. Такие текучие тела — без определенной формы или определенного объема — называются «газами»[36].

Наиболее хорошо знакомый нам газ — воздух. Я рассмотрю по отдельности оба класса этих разнообразных текучих тел и начну с жидкостей.

Вес объекта, как я рассказывал раньше, является направленной вниз силой, которая приложена к объекту и является ответом на гравитационное притяжение. В случае твердых тел эта сила проявляет себя через любую часть своей нижней поверхности, посредством которой оно вступает в контакт с другим телом. Так как нижняя поверхность обычно шероховатая (даже если это видно только через микроскоп), сила неравномерна: она приложена в тех точках, где имеется фактический контакт, а не в тех, где контакта в действительности нет. По этой причине обычно принято говорить только относительно полной направленной вниз силы, приложенной твердым телом.

В случае жидкости, однако, контакт между ее нижней поверхностью и объектом, на котором она находится, весьма гладок и равномерно распределен, так что все части поверхности получают равную долю[37]. Поэтому для жидкостей становится удобным говорить относительно веса (или, более правильно, силы), приложенной на единицу площади. Эта величина — сила на единицу площади — называется «давлением».

Обычно для измерения давления используют такие единицы, как «фунты на квадратный дюйм» (иногда также используется сокращение «psi»); в этом случае фунты являются единицей веса, но никак не единицей массы.

В метрической системе соответствующие единицы измерения давления — ньютон на квадратный метр — в системе МКС и дина на квадратный сантиметр — в системе СГС. Так как один ньютон равен 100 000 дин, а квадратный метр равняется 10 000 квадратных сантиметров, то 1 н/м² равен 100 000 дин на 10 000 квадратных сантиметров, или 10 дин/см². Зависимость между английскими и метрическими единицами измерения такова: 1 фунт на квадратный дюйм равен 6900 н/м², а 1 грамм на квадратный сантиметр равен 98 н/м².

Предположим, что мы рассматриваем один квадратный сантиметр основания контейнера (сосуда), заполненного жидкостью до высоты, равной п. Давление (дин/см²) зависит от веса жидкости, опирающейся на этот квадратный сантиметр. Вес зависит, по крайней мере частично, от объема этого столба жидкости размером в один квадратный сантиметр в площади поперечного сечения и высотой в n сантиметров. Объем этого столба равен n кубических сантиметров.

Однако из того, что мы знаем объем вещества, отнюдь не следует, что знаем его вес. Общеизвестно, что вес тела данного объема изменяется в зависимости от материала, из которого состоит это тело. Например, мы готовы признать, что железо «более тяжелое», чем алюминий. Но при этом, конечно, предполагается, что данный объем железа является более тяжелым, чем тот же самый объем алюминия. (Если мы уберем это ограничение равенства объемов, то тут же столкнемся с фактом, что большой слиток алюминия обладает гораздо большим весом, чем железный гвоздь.)

Для любого объекта существует характеристика, которая выражает количество его веса в единице его объема и называется «плотностью тела»; в метрической системе единицей измерения плотности обычно является грамм (веса) на кубический сантиметр или килограмм (веса) на кубический метр. Поэтому было бы более верно сказать, что железо скорее «более плотное», чем «более тяжелое», чем алюминий.

Если высота столба жидкости, опирающейся на единицу площади поверхности, определяет ее объем, а плотность этой жидкости является ее весом на единицу объема, то полный вес на единице площади, или давление (p), равен высоте столба жидкости (h), умноженной на ее плотность (d)[38]:

Давление жидкости на основание контейнера поэтому зависит только от высоты и плотности жидкости, а не от формы контейнера или полного количества жидкости в этом сосуде. Это означает, в частности, что на приведенном рисунке различные сосуды, обладающие одинаковым основанием, но различной формой и содержащие различное количество жидкости, будут испытывать равное давление на свое основание.

Легко видеть, что сосуд с расширенной верхней частью должен испытывать то же самое давление на основание, поскольку верхняя горизонтальная часть сосуда явно содержит дополнительное ее количество. Но отнюдь не кажется логичным тот факт, что сосуд с зауженной верхней частью также должен испытывать то же самое давление на основание. Жидкость, которая отсутствует из-за сужения сосуда, ведь не вносит свой вклад в общее давление? Каким же образом тогда получается, что величина давления остается такой же, как если бы жидкость там присутствовала?

Чтобы объяснить этот факт, мы должны понять, что давление в жидкостях распространяется по-другому, не так, как в твердых телах. Твердое тело сопротивляется деформирующему влиянию собственного веса. Большая мраморная колонна (столб) может стоять прямо на каменном полу и передавать на этот пол достаточно большое давление, но сама она под действием собственного веса перемещаться не будет. Колонна не будет также выпирать посередине, и если мы приложим к ней ладони, то не почувствуем никакого бокового давления.

Давайте теперь представим себе такой же столб, но сделанный из воды. Понятно, что он не просуществует и доли секунды. Под силой своего собственного веса он «выпятится» в разные стороны наружу, в каждой точке по всей его длине и «рассыплется». Если же водяной столб заключен в замкнутый алюминиевый сосуд, то свойство воды «выпячиваться наружу», очевидно, проявит себя в виде некоторой поперечной силы. Если в алюминиевом цилиндре просверлить отверстие, то вода будет выплескиваться вбок под влиянием этой самой силы. Применяя ту же логику рассуждений, мы можем показать, что и по отношению к наклоненной диагонально стенке вода при контакте проявит себя подобным же образом.

Жидкость действительно осуществляет давление во всех направлениях, и особенно в направлении, перпендикулярном к любой поверхности, с которой она вступает в контакт. Величина давления, приложенного в любой данной точке, зависит от высоты жидкости над этой указанной точкой. Таким образом, если в цилиндрическом сосуде с водой просверлено отверстие, то жидкость будет выплескиваться с большей силой, если отверстие около основания (высота жидкости над отверстием) больше, и с меньшей, если это отверстие находится около поверхности воды (высота жидкости над отверстием — меньше).

Таким образом, как изображено на рисунке, в горизонтальной секции сосуда с зауженной частью имеется давление жидкости. Величина этого давления зависит от высоты жидкости над этой горизонтальной секцией. В соответствии с третьим законом Ньютона верхняя горизонтальная секция прикладывает равное давление вниз на жидкость. Направленное вниз давление горизонтальной секции равно тому, которое было бы вызвано отсутствующей жидкостью, если бы она там была, и, таким образом, давление на дне сосуда остается тем же.

Плавучесть

Обобщение, рассматривающее давление в жидкостях, которое мы привели в предыдущем абзаце, впервые было использовало и ясно обосновано французским математиком Блезом Паскалем (1623–1662) и поэтому часто упоминается как «принцип Паскаля».

Это обобщение может быть выражено следующим образом: давление жидкости в замкнутом сосуде распространяется одинаково во все стороны, одинаково по всей его граничащей с жидкостью поверхности и направлено под прямым углом к стенкам сосуда.

Этот же принцип можно использовать для объяснения такого известного факта, что, если сосуд с жидкостью содержит два или более отверстий, к которым подсоединены трубки различной формы, по которым жидкость может свободно подниматься, и если в сосуде находится достаточное количество жидкости, то уровень жидкости в трубках будет точно соответствовать уровню жидкости в сосуде, невзирая на разницу в форме[39].

Чтобы объяснить это явление, давайте рассмотрим частный случай сосуда с двумя отверстиями и представим себе, что этот сосуд разделен пополам подвижной вертикальной стенкой, проходящей посередине между этими двумя отверстиями. Давление слева от разделения будет зависеть от высоты жидкости слева, в то время как давление справа будет зависеть от высоты жидкости справа. Если столб жидкости слева выше, то давление жидкости на левой стороне больше, чем таковое на правой стороне, соответственно имеется разность давлений слева направо. Жидкость вынуждена смещать разделение в этом направлении так, чтобы высота столба жидкости на левой стороне уменьшилась, а справа — увеличилась. Когда высоты обоих столбов жидкости сравняются, то разность давлений исчезает и стенка перестает перемещаться.

Этот эффект издавна известен в народе, что подтверждает пословица: «Каждая вода ищет свой уровень».

Прошу вас обратить внимание на тот факт, что я считаю само собой разумеющимся, что жидкости будут двигаться, или течь, в ответ на воздействие некоей внешней силы. Законы движения применяются к жидкостям так же, как к твердым телам, и изучение механики, в его широком смысле, включает в себя изучение сил и движений не только в твердых телах, но и в жидкостях. Однако общим правилом является ограничение использования термина «механика» только твердыми телами. Механике жидкостей посвящена специальная область науки, называемая «гидродинамика» (от греческих слов, означающих «движение воды»), а механике газов — своя область, называется «пневматика» (от греческого слова, означающего «воздух»). Иногда эти две области науки группируют вместе под общим названием «гидроаэромеханика».

Не только собственно вес жидкости может быть преобразован в давление всех ее частей, но и всякая другая внешняя сила.

Например, предположим, что жидкость полностью заполняет сосуд с двумя отводами, каждый из которых закупорен подвижным поршнем; для простоты будем считать поршни невесомыми. Предположим, кроме того, что отводы имеют различную ширину, так что поршень в большем отводе имеет площадь поперечного сечения, равную 10 см², в то время как поршень в меньшем отводе имеет площадь поперечного сечения, равную всего лишь 1см².

Теперь представьте себе, что к меньшему поршню приложена сила, равная одной дине. Так как площадь поверхности меньшего поршня равна 1 см², то давление на него, полученное в результате приложения этой силы, равно 1 дин/см². В соответствии с принципом Паскаля это давление передается через все тело жидкости неизменным и направлено перпендикулярно ко всем стенкам. В частности, данное давление перпендикулярно той части стенок, которая представляет собой больший поршень. И поскольку поршень меньшего размера перемещается вниз, то поршень большего размера будет перемещаться вверх.

Восходящее давление против большего поршня должно быть тем же самым, что и нисходящее давление против меньшего поршня, то есть 1 дин/см². Однако площадь поверхности большего поршня равна 10 см². Поэтому полная сила, которая действует на больший поршень, равна 1 дин/см², умноженной на 10 см², или 10 дин. Полная сила была умножена в десять раз, и соответственно вес, который могла поднять первоначальная сила, также будет увеличен в десять раз. Приспособление, которое называется «гидравлическим прессом», основано на этом эффекте, означающем, что тяжелые грузы могут быть подняты при помощи разумного количества силы.

Что же, мы опять получаем нечто из ничего? Нисколько! Предположим, что мы нажимаем на маленький поршень (площадью 1 см²) и заставляем его переместиться на расстояние в 1 см.

Объем жидкости, которую это заставило переместиться, равен 1 см², умноженному на 1 см, то есть одному кубическому сантиметру (1 см³). Больший поршень (площадью 10 см²) может переместиться вверх лишь на расстояние, достаточное для того, чтобы вместить этот перемещенный 1 см³ жидкости. Требуемое расстояние равно 1 см³ поделить на 10 см² или 0,1 см. Таким образом, создалась такая же ситуация, как в случае рычага. Да, полученная сила стала десятикратно увеличенной, но расстояние, на котором действует эта сила, уменьшилось в десять раз. Полная работа (сила, умноженная на расстояние), полученная на выходе гидравлического пресса, остается такой же (если мы пренебрегаем такими вещами, как трение), как полная работа на его входе.

Давление жидкости передается не только стенкам сосуда, но также и (перпендикулярно) поверхностям любого твердого объекта, находящегося в пределах жидкости. Представьте себе железный куб, опущенный в жидкость таким образом, что верхняя поверхность и основание куба совершенно горизонтальны, а другие четыре поверхности — совершенно вертикальны. Давление на каждую из четырех вертикальных поверхностей зависит от высоты жидкости над ними, а она является одинаковой для всех. Таким образом, для вертикальных поверхностей мы имеем равные давления, направленные попарно и противоположно. Следовательно, в любом из направлений не существует никакого суммарного поперечного давления.

Но что, если мы рассмотрим две горизонтальные поверхности — верхнюю и основание? Ясно, что для нижней поверхности высота жидкости больше, а для верхней поверхности — меньше. Поэтому возникает сравнительно большое восходящее давление, приложенное к нижней поверхности, а ему противостоит сравнительно небольшое нисходящее давление, приложенное к верхней поверхности. В результате на тело, погруженное в жидкость, начинает действовать результирующая сила, направленная вверх. (Это наиболее легко проследить в случае твердого куба, но можно показать, что такое утверждение справедливо для твердого тела любой формы или, если это имеет значение, для погруженной капли жидкости или пузырька газа.) Эта выталкивающая вверх сила, с которой жидкость действует на погруженные в нее объекты, называется «плавучесть».

Насколько же велика эта выталкивающая сила? Рассмотрите твердое тело, погруженное в жидкость, содержащуюся в контейнере. Твердое тело должно создать место для того, чтобы разместить собственный объем, раздвигая или перемещая эквивалентный объем жидкости; уровень жидкости в контейнере соответственно повышается, чтобы разместить этот перемещенный объем.

Из рассмотренного следует, что твердое тело при погружении прикладывает к жидкости направленную вниз силу, достаточно большую, чтобы сбалансировать вес собственного объема твердого тела жидкостью. В соответствии с третьим законом Ньютона ожидается, что жидкость, в свою очередь, приложит к твердому телу эквивалентную выталкивающую силу, равную весу все того же количества жидкости.

Первоначальный вес погруженного тела равен его объему (V), умноженному на его плотность (D). Вес вытесненной жидкости равен ее объему (который является равным объему погруженного твердого тела и, следовательно, также равен V), умноженному на ее плотность (d). Вес тела после погружения (W) равен его первоначальному весу минус вес вытесненной воды:

Решая данное уравнение для D (плотность погруженного твердого тела), мы имеем:

Вес погруженного тела (W) может быть непосредственно измерен, объем вытесненной жидкости (V) — получен сразу после измерения повышения уровня жидкости и площади поперечного сечения сосуда, а плотность жидкости (d) также может быть легко измерена. Имея эти данные, мы легко можем рассчитать из уравнения 9.3 плотность погруженного тела.

Этот метод измерения плотности был открыт в III столетии до н.э. великим греческим математиком Архимедом. История гласит, что царь Гиерон из Сиракуз, получив золотую корону от ювелира, заподозрил того в нечестности. Царь чувствовал (а точнее, ему донесли), что ювелир сплавил золото с более дешевым серебром и присвоил себе разницу. Царь дал указание Архимеду определить: так ли оно было сделано. Естественно, корону повреждать было нельзя.

Архимед знал, что плотность короны, сделанной из серебряного сплава, будет меньше, чем золотой, но он не мог найти способ измерить плотность короны. Для определения плотности ему было необходимо знать как вес, так и объем короны. Однако если вес короны он мог узнать легко, то как узнать объем короны, не придавая ей формы куба, сферы или другой формы, для которой геометрией того времени была разработана методика расчета объема, он не знал. Кроме того, Гиерон не одобрил бы такое «изменение формы» со всеми вытекающими из этого факта последствиями.

Как гласит легенда, принцип плавучести пришел в голову Архимеду, когда он лег отдохнуть в полную ванну и увидел вытесненную из нее на пол воду. История донесла до нас зрелище голого, бегущего по улицам Сиракуз Архимеда. Он бежал, крича: «Эврика! Эврика!» («Я нашел! Я нашел!») Погрузив в воду корону и измерив повышение уровня воды, а также зная ее вес, и сделав то же самое с куском чистого золота равного веса, он сразу смог сообщить, что плотность материала, из которого была сделана корона, значительно меньше, чем у золота; соответственно ювелир был наказан. А основные принципы плавучести с тех пор называются «законы Архимеда».

Погруженное тело имеет большую плотность, чем плотность жидкости, в которую оно погружено, то есть D больше, чем d, и VD, естественно, больше, чем Vd. Из уравнения 9.2 мы видим, что в этом случае вес (W) погруженного тела должен быть положительным числом. Вес тела уменьшается, но все же он еще больше, чем нуль, и тело тонет в жидкости. (Подобным образом, твердый — железный или алюминиевый — предмет тонет в воде.)

Однако если погруженное тело имеет меньшую плотность, чем плотность жидкости, в которую оно погружается, то есть D меньше, чем d, VD меньше, чем Vd, то погруженное тело имеет вес, который выражается отрицательным числом. С отрицательным весом тело в ответ на поле тяготения скорее перемещается вверх. (Таким образом, деревянная палочка или пузырек воздуха, погруженные в воду, будут «падать вверх», как только мы перестанем их удерживать под водой и позволим им свободно двигаться.)

Тело, обладающее меньшей плотностью, чем окружающая его жидкость, будет плавать, частично погруженное, на поверхности этой жидкости; в этом состоянии вес воды, которую это тело вытеснило, равен его собственному первоначальному весу; в таком случае его вес в воде равен нулю и оно не всплывает и не тонет. Твердое тело плавает, когда оно вытеснило такое количество воды (меньшее, чем его собственный объем), чтобы оно равнялось его собственному первоначальному весу.

Однако, несмотря на то что стальное судно плавает, это не означает, что плотность стали меньше, чем плотность воды. Ведь не сталь в одиночку вытесняет воду. Внутри судна находится воздушная полость, то есть по мере погружения в воду находящийся там воздух вытесняет воду так, как это делает стальной корпус. Суммарная плотность же сплава «сталь плюс вложенный воздух» является меньшей, чем плотность воды, хотя плотность стали в одиночку конечно же нет; вот поэтому стальные суда и плавают.

Сила плавучести, между прочим, это не только вопрос вычислений и теории; ее можно легко почувствовать. Поднимите тяжелый камень из воды, и вы почувствуете, как он внезапно увеличился в весе, едва попав на воздух. Опустите в воду большой кусок древесины и попробуйте его утопить; вы увидите, что дерево как бы «сопротивляется» вашим попыткам, — это сила плавучести выталкивает дерево из воды, и вы можете почувствовать ее «своими руками».

Когезия и адгезия

Твердые тела, как я уже сказал в начале главы, действуют как единое сплошное целое. Каждый фрагмент твердого объекта крепко сцепляется с любым другим его фрагментом; таким образом, если вы схватили один участок камня и поднимаете его, то поднимается целиком и весь камень. Это свойство фрагментов — сцепляться вместе — называется «когезией» (cohesion — от латинских слов, означающих «сцепляться»).

В жидкостях нет ничего подобного когезии твердых тел. Если вы опустите руку в воду, стараясь «зацепить» ее, надеясь на то, что вся жидкость поднимется из сосуда вслед за вашей рукой, вы только намочите пальцы — и все. Однако из этого нельзя заключить, что в жидкостях сила когезии полностью отсутствует. Эта сила в большинстве жидкостей намного меньше, чем в твердых телах, но она не равна нулю. Это наиболее четко можно увидеть, когда мы рассматриваем поверхность жидкости.

В теле жидкости, даже совсем рядом с ее поверхностью, данная часть жидкости связана силами сцепления с другими частями жидкости, которые окружают ее, одинаково во всех направлениях. В любом заданном направлении мы не можем обнаружить никакой суммарной неуравновешенной силы[40]. На поверхности же жидкости, однако, силы сцепления направлены только внутрь, в тело жидкости, и не направлены наружу, где никакой жидкости, чтобы вызвать к жизни силы сцепления, нет. (Наиболее часто с другой стороны поверхности жидкости находится только воздух, а силы притяжения между воздухом и жидкостью настолько малы, что их можно игнорировать.) Результирующая этой полусферы сил сцепления, построенной относительно частицы жидкости на поверхности, направлена внутрь жидкости и расположена перпендикулярно этой поверхности.

Чтобы дать возможность поверхности жидкости противостоять этой внутренней силе, требуется выполнить работу, поэтому поверхность представляет собой форму потенциальной энергии. Такая специфическая форма потенциальной энергии обычно называется «поверхностной энергией»[41].

Такая поверхностная энергия распределена по площади поверхности, таким образом, ее единицы измерения — работа на площади. В системе МКС это джоули на квадратный метр (Дж/м²), а в системе СГС это будут эрги на квадратный сантиметр (эрг/см²). В случае поверхностной энергии чаще используется система СГС, как более удобная. Один эрг равен 1 дин-см, или 1 г-см²/с², так что 1 эрг/см² равен 1 (г-см²/с²)см². Если мы сократим на одну из единиц измерения (сантиметры), то получим 1 (г-см/с²)/см, или I дин/см; фактически наиболее часто пользуются последними из представленных единиц измерения поверхностной энергии — дин/см (дина на сантиметр).

Предоставленная самой себе поверхностная энергия приходит к минимуму способом, аналогичным тому, как гравитационная потенциальная энергия приходит к минимуму всякий раз, когда шар, находящийся высоко в воздухе, падает на землю или когда водяной столб снижается и растекается, если целостность сосуда с жидкостью нарушена. Небольшое количество жидкости, когда оно находится во взвешенном состоянии, в воздухе, приобретает форму сферы; поскольку сфера обладает для данного объема самой маленькой площадью поверхности, то поверхностная энергия тоже становится минимальной. Такая сфера из жидкости, однако, искажается в «неправильный» объект неуравновешенным нисходящим напряжением силы тяжести. Если она падает в воздухе, как это делает, например, дождевая капля, то ее основание будет сплющено благодаря восходящей силе сопротивления воздуха. Чем меньше капелька жидкости, тем в меньшей степени воздействуют на нее относительные эффекты силы тяжести и сопротивления воздуха, и она становится все более сферической. Мыльные пузыри — полые, жидкие структуры, которые являются настолько легкими для их объема (из-за находящегося в них воздуха), что силы тяжести (необычно низкая в этом случае) и сопротивления воздуха (необычно высокая в этом случае) компенсируют друг друга. Мыльные пузыри поэтому дрейфуют по воздуху относительно медленно и имеют практически точную сферическую форму.

Значительное количество жидкости склонно к равномерному сглаживанию. Потребность в уменьшении гравитационной потенциальной энергии стоит выше потребности в уменьшении поверхностной потенциальной энергии; поэтому поверхность стоящего в покое ведра воды (или водоема с водой) кажется нам плоскостью. Фактически же это — сегмент сферы, но большой сферы, такой, которая имеет радиус, равный радиусу Земли. Посмотрите, как расположен Тихий океан на глобусе Земли, и вы увидите, что его поверхность почти сформировала полусферу.

Если энергия в любой форме добавляется к жидкостям, то некоторые из них умеют хорошо увеличивать поверхностную энергию, расширяя площадь своей поверхности за пределы ее минимума. Таким образом, ветер заставляет поверхность океана или озера стать неровной и поэтому увеличиться в площади. Поверхность в стакане воды будет пениться, если стакан взболтать.

Поскольку поверхность жидкости «растягивается» в большую, когда осуществляется такой ввод энергии, и потому, что она отступает к минимуму, когда ввод энергии прекращается, можно провести безошибочную аналогию между поверхностью жидкости и упругой оболочкой под растяжением (например, очень тонкая пленка из натянутой резины). Поэтому о поверхностных эффектах часто говорят как об эффектах, скорее вызванных «поверхностным натяжением», чем поверхностной энергией.

Те же самые силы сцепления, которые действуют, удерживая отдельные части жидкости через поверхностное натяжение, также удерживают части жидкости в контакте с частями соседствующего твердого тела. В этом, последнем, случае, когда сила притяжения скорее существует между твердым телом и жидкостью (не так, как между частицами), чем между частями жидкости (подобно частицам), такое явление называется «адгезией» (название это также, подобно когезии, происходит от латинских слов, означающих «сцепляться»). Силы прилипания (адгезии) могут быть столь же большими, как силы сцепления (когезии), или даже большими. В частности, адгезия воды к чистому стеклу — больше, чем когезия воды к самой себе.

Это вызывает эффект формы поверхности жидкости (воды) в стеклянном сосуде. В тех местах, где вода соприкасается со стеклом, притяжение воды к стеклу — достаточно большое, чтобы преодолеть силы сцепления воды. В результате поверхность воды повышается, чтобы в максимально возможной степени увеличить контакт на границе вода — стекло (или так называемую поверхность раздела) за счет более слабых «межводных» сил сцепления. Если бы не имелось никаких противодействующих сил, то вода бы повысилась до края сосуда и далее. Однако ей противодействует сила тяжести. Таким образом, существует некоторая точка, где вес поднятой воды, добавленный к силам сцепления воды, уравнивает восходящее натяжение «липких» сил, и эта точка равновесия достигается вскоре после того, как уровень жидкости поднимется на очень небольшой градус.

Если сосуд достаточно широк, то этот изгиб поверхности вверх ограничен только окрестностями водно-стеклянного контакта. Водная же поверхность в середине остается плоской. Когда же сосуд относительно узкий, поверхность жидкости целиком находится в области водно-стеклянного контакта; в этом случае поверхность жидкости не имеет плоских участков, вместо этого она формирует полусферу, прогнутую в центре трубки к ее нижней части. При взгляде со стороны поверхность походит на полумесяц, и поэтому это явление называется «мениском» (meniscus — от греческого слова, означающего «маленькая луна»).

Силы сцепления во многих случаях также могут быть значительно больше, чем силы прилипания. Например, силы сцепления в жидкой ртути намного больше, чем у воды; они также больше, чем силы прилипания между ртутью и стеклом. Если мы посмотрим на ртуть, находящуюся в стеклянной трубке, то увидим, что на поверхности раздела, где ртуть встречается со стеклом, ртуть отталкивается от стекла, уменьшая ртутно-стеклянную поверхность раздела. Ртутный мениск в такой трубке прогибается вниз по границе со стеклом и достигает максимальной высоты в центре трубки. Тот же самый эффект наблюдается даже для воды, если стеклянный сосуд имеет восковое покрытие, так как силы прилипания между водой и воском — меньше, чем внутренние силы сцепления в воде.

Если мы нальем воду на плоскую стеклянную поверхность, то она распространится в разные стороны, превратившись в тонкую пленку, чтобы создать наибольший возможный контакт, увеличивая полную силу прилипания за счет более слабой силы сцепления. Вода, другими словами, смачивает стекло. Однако когда мы нальем на поверхность стекла ртуть (или воду на вощеную поверхность), то она старается уменьшить контакт со стеклом, насколько это возможно, приобретая форму маленьких искривленных тяжестью сфер и увеличивая полную силу сцепления за счет более слабой силы прилипания. Ртуть не смачивает стекло, а вода не смачивает воск. Все эти явления являются результатом минимизации величины полной поверхностной энергии (энергии на границе жидкость/воздух плюс то же самое, но на жидкой/твердой поверхности раздела).

Если присоединить достаточно тонкую трубку к резервуару с водой, то мы сможем увидеть значительное повышение уровня воды в трубке над ее «естественным уровнем», вызванное восходящей силой адгезии.

Мы можем вычислить, какой должна быть высота подъема (h) уровня воды в данной трубке. Адгезия — форма поверхностного натяжения (обозначим ее греческой буквой «сигма» — σ), действующая по окружности трубки, там, где вода соприкасается со стеклом. Эта окружность имеет длину 2πr, где r — радиус трубки. Тогда суммарная подъемная сила, вызванная адгезией, равна поверхностному натяжению поверхности раздела вода — стекло, σ дин/см, умноженному на длину окружности, по которой происходит соприкосновение воды и стекла, то есть 2prσ, или, иными словами, полная сила равна 2prσ дин.

Этой восходящей силе противодействует направленная вниз сила тяжести, которая равна весу (mg дин) поднятой воды. Масса водяного столба, поднятая адгезией, равна его объему (V), умноженному на плотность (d) воды. Подставляя Vd для m, мы получаем, что вес воды равен Vdg дин. Так как поднятый в трубке столбик воды имеет форму цилиндра, мы можем использовать геометрическую формулу для объема цилиндра и сказать, что объем поднятой воды равен высоте столбика воды (h), умноженной на площадь поперечного сечения трубки (πr²), где r — радиус водяного столба. Заменив πr²h на V, мы получаем, что вес воды равен πr²hdg дин.

Как только вода в узкой трубке поднимется на свою максимальную высоту и остановится, восходящая сила прилипания будет сбалансирована нисходящей силой тяготения, так что мы можем написать следующее равенство:

Решив данное уравнение для h, получаем:

Ускорение свободного падения (g) является фиксированной величиной для любой данной точки земной поверхности и для любой специфической жидкости, поверхностное натяжение (s) и плотность (d) являются данными для специфических условий эксперимента. Важной переменной величиной является радиус трубки (r). Как вы видите, высота, на которую столб воды поднимается в узкой трубке, обратно пропорциональна радиусу трубки. То есть чем уже трубка, тем на большую высоту поднимается жидкость. Следовательно, данный эффект наиболее ярко проявляет себя в трубках (естественных или искусственно созданных) микроскопической толщины. Такие трубки называются «капиллярными трубками» (от латинского выражения, означающего «похожие на волосы»), а повышение уровня водяного столба в таких трубках называется «капиллярным явлением». Именно благодаря капиллярному явлению вода поднимается по узким каналам куска сахара или впитывается промокательной бумагой и (в большой степени) благодаря капиллярному явлению жидкости поднимаются по стеблям и стволам растений.

Опять же, если мы знаем значение плотности данной жидкости и высоту подъема ее столба в трубке известного радиуса (и высоту и радиус мы легко можем измерить), то из этого следует, что поскольку значение g нам также известно, то мы всегда можем рассчитать из уравнения 9.5 значение величины поверхностного натяжения (σ).

В случае ртути, где силы прилипания к стеклу направлены вниз, уровень ее уходит ниже, чем «естественный уровень». Степень же понижения уровня увеличивается по мере уменьшения радиуса трубки.

Вязкость

Мы уже знакомы с понятием существования силы трения как силы, которая направлена против той, что вызывает движение твердого тела по другому твердому телу. Такое трение имеет тенденцию замедлять, а затем и совсем прекращать движение тела, если только действующая на него сила не будет постоянной.

В случае, когда твердое тело двигается сквозь жидкость, например, судно рассекает воду, тоже существует трение. Несмотря на то что вода кажется настолько гладкой и недостаточно прилипчивой, чтобы «ухватиться» за судно, судно, однажды приведенное в движение, быстро остановится, его энергия будет поглощена преодолением трения с водой, если только двигающая его сила не будет энергично поддерживаться.

Это трение является результатом следующего факта: для того чтобы «раздвинуть» воду на промежуток, необходимый для продвижения судна (или любого другого объекта), необходимо израсходовать энергию, направленную на преодоление ее собственных сил сцепления. Израсходованная энергия изменяется в зависимости от формы объекта, перемещающегося сквозь жидкость. Если жидкость «раздвигают» таким образом, что при этом образуются водовороты и другие неровности движения (называемые «турбулентностью»), израсходованная энергия умножается, и движение прекращается гораздо скорее; чтобы предотвратить остановку, двигающая сила должна быть в значительной мере увеличена. Если же, напротив, жидкость «раздвигают» постепенно, передним краем перемещающегося объекта, и позволяют ей сомкнуться сразу позади объекта, так что турбулентность снижена до минимума, израсходованная энергия значительно снижается, и сила, требующаяся для того, чтобы поддерживать движение, соответственно снижается. «Обтекаемая» форма тела — это такая форма, которая представляет собой гладко изогнутый, сужающийся фронт и резко сужающийся тыл — форма капли воды, падающей сквозь воздух, рыб, пингвинов, тюленей и китов, плывущих сквозь воду. Такая форма используется и в устройствах, сделанных человеком, тогда, когда требуется добиться максимально экономичного движения сквозь жидкую среду. Эта форма, необходимая человеку, была получена методом проб и ошибок задолго до того, как было выдвинуто теоретическое обоснование всего процесса.

Величина трения между перемещающимся твердым телом и окружающей его жидкостью увеличивается вместе со скоростью. Таким образом, на тонущий объект действует ускорение силы тяжести, которое преодолевает сопротивление силы трения тела с водой. Однако в то время как скорость падения (а тонущее тело фактически «падает» сквозь воду) тела увеличивается, соответственно увеличивается и трение; сила же тяжести, конечно, остается постоянной. В конечном итоге сила сопротивления трения возрастает до такого значения, когда она компенсирует силу тяжести, а ускорение тогда становится равным нулю. Когда это происходит, тело начинает «проваливаться» в жидкость с постоянной «предельной» скоростью.

Мы сами не раз встречались с проявлением силы трения, возникающей при движении твердого тела сквозь жидкость. Любой, кто пробовал идти по пояс в воде, не может не чувствовать необычно большого потребления требуемой энергии и эффекта «замедленной съемки».

Трение проявляет себя даже тогда, когда сама жидкость — единственная вовлеченная в процесс сущность. Когда жидкость двигается, она не перемещается «единым целым», как это делает твердое тело. Вместо этого данная часть жидкости будет перемещаться относительно соседней части, и «внутреннее трение» между этими двумя частями будет противостоять движению. Когда силы сцепления, которые являются источником этого внутреннего трения, низки, как в воде, мы обычно не очень ощущаем их. Когда же они высоки, как, например, в глицерине или в сахарном сиропе, жидкость льется медленно, так медленно, что мы, приученные к сравнительно быстрому водному потоку, обычно начинаем проявлять нетерпение. Внутреннее трение становится выше при низких температурах и меньше — при высоких температурах. Как говорят в народе: так медленно, как патока в январе (as slow as molasses in January) — это выражение ярко отражает нашу нетерпеливость.

О такой медленно наливающейся жидкости говорят как о «вязкой», от латинского слова viscosity, означающего липкую разновидность птичьего клея, который имеет такое свойство. Внутреннее трение, определяющее манеру, в которой будет литься жидкость, называется «вязкостью». Существуют жидкости, которые являются настолько вязкими, что силы тяжести недостаточно, чтобы заставить их литься потоком, преодолевая силы внутреннего трения. Стекло — образец такой жидкости; ее вязкость такова, что оно, с обычной, ненаучной точки зрения, кажется нам твердым телом[42].

Чтобы рассмотреть измерение величины вязкости, представим себе два параллельных слоя жидкости, каждый из которых является прямоугольником площадью, равной a, и разделенных расстоянием, равным d. Чтобы заставить один из этих прямоугольников двигаться относительно другого со скоростью, равной v, преодолевая сопротивление внутреннего трения, потребуется сила, равная f. Оказывается, что связь между всеми этими величинами может быть выражена следующим уравнением:

где η (греческая буква «эта») является постоянной величиной (константой) при данной температуре и представляет собой меру вязкости.

Единицу измерения вязкости мы можем вывести из уравнения 9.6. Выражение fd в числителе дроби в уравнении 9.6 представляет собой силу, умноженную на расстояние, то есть работу. Единица работы в системе СГС равна (дина-см) или (г-см²/с²). Выражение va в знаменателе дроби представляет собой объем (см/с), умноженный на площадь (квадратные сантиметры). Таким образом, мы получаем, что единицей измерения va поэтому является (см/с)∙(см²), или см³/с.

Чтобы получить единицу вязкости в системе СГС, мы должны разделить единицы измерения fd на таковые va. Оказывается, что выражение (г-см²/с²)/(см³/с) можно при помощи обычного алгебраического преобразования привести к виду г/см-с, или граммы на сантиметр в секунду. Один г/см∙с назван «пуазом» в честь французского врача Жан-Луи-Мари Пуазейля (1799–1869), который в 1843 году был первым, кто произвел количественное изучение вязкости. (Как врач, он был прежде всего заинтересован перемещением хорошо нам известной вязкой жидкости — крови — по узким кровеносным сосудам.)

Поскольку пуаз слишком велик, чтобы быть удобным, когда мы имеем дело с большинством жидкостей, то для удобства используют сантипуаз (размером в одну сотую долю пуаза) и даже миллипуаз (размером в одну тысячную долю пуаза). Таким образом, вязкость воды при комнатной температуре равна примерно одному сантипуазу. При той же самой температуре вязкость диэтилового эфира (обычный обезболивающий препарат) равна 0,23 сантипуаза, или 2,3 миллипуаза, в то время как вязкость глицерина равна приблизительно 1500 сантипуазам, или 15 пуазам.

Движение жидкости оказывает влияние на ее давление. Вообразите столб воды, текущей через горизонтальную трубку некоего данного диаметра. Вода находится под давлением, иначе она бы не перемещалась, и давление (сила на единицу площади) — одно и то же во всех точках, поскольку вода течет с одной и той же скоростью во всех пунктах. Это можно продемонстрировать, если проткнуть трубку через некоторые интервалы и вставить в каждое отверстие еще одну трубку. В каждой трубке вода поднимется на один и тот же уровень.

Но предположим, что трубка имеет в середине некую сжатую область. Тот же самый объем воды был бы должен пройти через сжатую область за то же самое время, что и через равную длину несжатой области. Если бы этого не было, то вода накопилась бы на входе в сжатую область, чего, конечно, не происходит. (Если бы сжатие было достаточно узкое, чтобы перекрыть поток в целом, то поток бы остановился, и объем воды, проходящей через данное сечение, был бы равен 0 см³/с — одинаково в сжатых и несжатых областях.)

Но для того чтобы один и тот же объем воды прошел через сжатые и несжатые области за данное время, поток воды должен быть более быстрым при прохождении через сжатую область (подобно тому, как широкая, медленно текущая река становится бурным потоком при прохождении через узкое ущелье). Так как при прохождении через узкую область скорость воды увеличивается, это показывает на ускорение и соответственно это должно быть вызвано силой. Мы можем достаточно легко найти такую силу, основываясь на разности в давлении. Если давление в несжатой части больше, чем в сжатой части, то имеется результирующая сила, направленная от несжатой части (высокое давление) к сжатой части (низкое давление), и жидкость действительно ускоряется в то время, как входит в сжатие.

Далее, когда жидкость оставляет сжатие и входит в новую несжатую область, ее скорость снова должна уменьшиться. Это снова показывает на ускорение, а значит, чтобы вызвать такое замедление скорости, должна существовать сила, направленная против потока. Однако поскольку новая несжатая область снова является областью высокого давления, такую силу можно выявить.

Короче говоря, все это можно выразить в виде некоего важного обобщения, что давление жидкости (или жидкость вообще) падает по мере увеличения ее скорости. Это называется принципом Бернулли, названным так в честь швейцарского математика Даниила Бернулли (1700–1782), который был первым, кто изучил данное явление в 1738 году и кто при изучении данного феномена изобрел термин «гидродинамика».

Плотность

Свойства жидкости, описанные в предыдущей главе, являются весьма важными в связи с фундаментальным вопросом рассмотрения структуры строения материи — вопросом, который больше всего волновал ученых уже во времена древних греков.

Насколько можно видеть невооруженным глазом, материя может быть разделена на части неопределенное количество раз. Частичка бумаги может быть порвана пополам, на четверть, на восемь частей — и все еще оставаться бумагой. Капля воды может быть разделена на две меньшие капли или на четыре еще меньшие капли — и все еще оставаться водой. Может ли такое деление продолжаться вечно? Действительно ли материя непрерывна даже в своей окончательной малости? Так как не имелось никакой технической возможности, при помощи которой древние мыслители могли бы проверить это практическим путем, они обратились к логическим аргументам, основанным на том, что они считали первыми принципами.

Некоторые философы, особенно Демокрит из Абдерры (V столетие до н.э.), поддерживали ту точку зрения, что материя не может быть разделена вечно навсегда, что в конечном счете можно достигнуть некоторой очень маленькой части, которую уже невозможно будет далее разделить. Такую частицу материи он назвал «atomos» (в буквальном переводе — «неделимая часть»), и теперь мы говорим о его взглядах, что они представляют «атомизм», или «теорию атома».

Другие греческие философы, особенно Аристотель, приводили доводы против этого понятия, однако приведенные против атомистической идеи контрдоводы кажутся нам нелогичными. Но, вообще говоря, неатомистическое представление о материи добилось успеха и оставалось в среде ученых превалирующим мнением в течение двух тысяч лет.

Если мы ограничимся изучением свойств твердых тел, то вполне можно принять аристотелевское представление о материи, потому что, когда разговор идет о твердом теле, мы не видим никаких признаков чего-либо, что заставило бы нас сделать логический вывод о том, что оно состоит из скопления мелких частиц. Больше того, если бы это было так, то мы должны бы были предположить, что частицы твердого тела крепко связаны между собой, потому что все твердые тела ведут себя «как одно целое». Ну а если мы предполагаем, что частицы твердого тела так крепко связаны между собой, то почему бы нам не отказаться от теории существования мелких частиц в целом и не сделать вывод о том, что твердое тело в первую очередь представляет собой единую часть непрерывной материи?

Совершенно другая ситуация возникает в случае, когда мы рассматриваем жидкости. Сам факт того, что жидкости не двигаются «как одно целое», уже заставляет нас предположить, что они могут состоять из отдельных частиц. Масса крошечных металлических опилок или куча порошка тоже примут форму любого сосуда, в который их поместить, и, если мы наклоним сосуд, они будут «литься» так, как это делала бы жидкость. Если бы частицы были достаточно липкие, то они «лились» бы подобно вязкой жидкости.

Фактически многие свойства жидкостей можно было бы легко объяснить, если предположить, что они состоят из субмикроскопических частиц, которые каким-либо образом притягивают друг друга. Например, таким образом можно было бы объяснить поверхностное натяжение.

Однако те свойства жидкостей, которые заставляют нас предположить в них явление атомизма, с большей вероятностью, чем в твердых телах, становятся еще более усиленными в газах. И фактически именно изучение газов, которым активно занимались ученые в XVII и XVIII столетиях, наконец вынудило ученых полностью изменить свое раннее решение, принятое в пользу Аристотеля, и снова, уже в начале XIX столетия, отдать предпочтение незаслуженно отвергнутому представлению Демокрита.

Наиболее ясное и очевидное отличие газов от жидкостей — их плотность. По сравнению с жидкостями газы менее плотные — более разреженные.

В английской системе измерений плотность воды равна 62,43 фунта на один кубический фут. Если мы используем метрические единицы измерения, то это — один грамм на кубический сантиметр (1 г/см³)[43] в системе СГС и десять килограммов на кубический метр (10 кг/м³) в системе МКС. Наименее плотная жидкость, которая существует при комнатной температуре или ниже, — жидкий водород, в то время как самой плотной является ртуть. Первая имеет плотность 0,07 г/см³, а последняя обладает плотностью, равной 13,546 г/см³. (При повышенной температуре некоторые металлы, такие как платина, плавятся, превращаясь в жидкости с плотностью, достигающей 20 г/см³.)

Плотности твердых тел попадают также главным образом в пределы этого диапазона. Самое легкое из твердых тел — твердый водород — имеет плотность 0,08 г/см³, в то время как самый тяжелый — металлический осмий — имеет плотность, равную 22,48 г/см³.

Такие плотности также характеризуют при помощи «удельного веса» тела — термина, возникшего еще в Средневековье. Удельный вес может быть определен как отношение плотности вещества к плотности воды. Другими словами, если плотность ртути равна 13,546 г/см³, а плотность воды — I г/см³, то удельный вес ртути равен (13,546 г/см³)/(1 г/см³), или 13,546.

Поскольку плотность воды равна 1 г/см³, удельный вес тела получается численно равным плотности в системе СГС, но не следует вводить себя в заблуждение этим очевидным равенством, поскольку в единицах измерения содержится важная разница. При делении плотности на плотность единицы измерения (г/см³, в случае, рассматриваемом в предыдущем параграфе) сокращаются, поэтому значение для удельного веса является безразмерным, то есть просто числом.

Единицы измерения сокращаются при расчете удельного веса независимо от того, какая система единиц измерения используется для выражения плотности. В системе МКС плотность ртути и воды равна соответственно 135,46 кг/м³ и 10 кг/м³. Решив это отношение, мы получаем, что удельный вес ртути, как и прежде, равен 13,546. В английской системе единиц измерения плотность ртути и воды равна 845,67 фунта на кубический фут и 62,43 фунта на кубический фут, а их отношение по-прежнему равно 13,546.

Именно этим и удобны безразмерные величины — они универсально используются с любыми системами единиц измерения.

Удельный вес газов намного меньше, чем жидкостей или твердых тел. Наиболее часто встречающийся газ — воздух — имеет удельный вес, равный при нормальных условиях 0,0013. Самый легкий газ — водород — имеет при нормальных условиях удельный вес, равный 0,00009. Примером очень плотного газа является вещество под названием «гексафторид урана», который при нормальных условиях является жидкостью, но если его слегка нагреть, то он переходит в газообразную форму с удельным весом, равным 0,031.

Таким образом, при нормальных условиях даже самые плотные газы обладают вдвое меньшей плотностью, чем наименее плотные жидкости или твердые тела, в то время как обычный газ, типа воздуха, имеет плотность, равную только ¹/₇₀₀ плотности наиболее обычной жидкости, типа воды, и только ¹/₂₀₀₀ плотности наиболее обычных твердых тел, типа камней, составляющих поверхность Земли.

Давление в газах

Газы обладают всеми свойствами жидкости, но в уменьшенной степени, как и могло бы ожидаться, принимая во внимание разницу в их плотности. Например, газы оказывают давление так же, как это делают жидкости, но для данной высоты столба газа давление значительно меньше, чем таковое для водяного столба той же высоты. Столб воздуха высотой в метр создаст давление на основание, равное всего лишь ¹/₇₀₀ давления такого же, метрового, водяного столба.

Однако мы живем на дне океана воздуха высотой во много миль. Его давление должно быть значительно, и это действительно так; давление воздуха эквивалентно давлению, которое произвел бы водяной столб высотой в десять метров. Впервые это давление было измерено итальянским физиком Эванджелистой Торричелли (1608–1647) в 1644 году.

Торричелли взял длинную трубку, закрытую с одного конца, и заполнил ее ртутью. Затем он перевернул ее вверх ногами, опустив открытый конец в чашку с ртутью. Под воздействием направленной вниз силы тяжести ртуть частично вылилась из трубки. Однако на поверхность ртути в чашке действовало давление атмосферы, представлявшее собой противосилу. Это давление было передано во всех направлениях, в пределах тела ртути (согласно принципу Паскаля), включая давление вверх ртути, находящейся в трубке.

По мере того как ртуть выливалась из трубки, масса ртутного столба и поэтому величина давления, вызванного силой тяжести, уменьшалась, пока оно просто не сравнялось с силой восходящего давления, вызванного давлением атмосферы на поверхность ртути в чашке. В этой точке силы уравновесились, а значит, ртуть больше не перемещалась. Столб ртути, который остался, выдерживал давление (из-за своего веса), равное давлению атмосферы (из-за ее веса). Полный вес атмосферы, конечно, во много миллионов раз больше, чем полный вес ртути, но нас здесь, как вы помните, больше всего интересует давление на единицу площади.

Оказывается, что давление атмосферы на уровне моря равно таковому ртутного столба высотой примерно 30 дюймов (или 76 сантиметров); Торричелли, в действительности, изобрел барометр. Атмосферное давление часто измеряется, особенно метеорологами, в дюймах ртутного столба или в сантиметрах ртутного столба, обычно сокращенно пишут «in Hg» или «см Hg» соответственно[44]. Естественно было установить, что 30 in Hg, или 76 см Hg, равняется одной «атмосфере». Миллиметр ртутного столба (мм Hg) был назван в честь великого физика «1 торричелли», так что можно сказать, что одна атмосфера равна 760 торричелли.

Атмосферное давление может быть измерено так же, как давление веса на площадь поверхности. В таком случае нормальное атмосферное давление на уровне моря равно 14,7 фунта веса на квадратный дюйм, или 1033 грамма веса на квадратный сантиметр (г[w]/см²). Выраженная в более формальных единицах измерения силы, действующей на площадь, одна атмосфера равна 1 013 300 дин/см². Было принято считать один миллион дин на квадратный сантиметр равным одному бару (от греческого слова, обозначающего «тяжелый»), таким образом, получается, что одна атмосфера равна 10 133 барам.

Вполне естественно, что если именно давление атмосферы балансирует давление ртутного столба, то, когда любой человек, несущий в руках барометр, поднимается, скажем, в гору, высота ртутного столба должна уменьшиться. По мере подъема по крайней мере часть атмосферы становится ниже уровня барометра, а высота оставшейся выше барометра атмосферы становится все меньше и меньше. Вес оставшейся атмосферы соответственно становится все меньше и меньше, поэтому его давление становится более низким, как и то, что давит на ртутный столбик и которое он балансирует.

Это утверждение было практически проверено Паскалем в 1658 году. Он послал своего родственника на соседнюю возвышенность с барометром в руке. На высоте в один километр высота ртутного столба понизилась на десять процентов, с 76 до 68 сантиметров.

Кроме того, атмосфера Земли распределена вокруг нее неравномерно. Движения воздушных масс, которые вызваны неравномерностью их прогрева, приводят к тому, что в одном месте накапливается большее количество атмосферного воздуха, а в другом соответственно меньшее. Снимая показания барометра, находящегося на уровне моря, мы можем получить и такое «высокое» давление, как 31 in Hg, и такое «низкое», как 29 in Hg. (В центре урагана давление может быть даже еще ниже, вплоть до 27 in Hg.) Эти «высоты» и «понижения» давления в основном путешествуют с запада на восток по земному шару, а потому мы можем использовать их движение для того, чтобы предсказывать погоду. Прибытие областей высокого давления (повышающийся барометр) обычно означает хорошую погоду, в то время как прибытие областей низкого давления (падающий барометр), как правило, обещает ухудшение погоды, бури и штормы.

Несмотря на то что на каждый дюйм поверхности человеческого тела давит вес в 14,7 фунта, человечество, привыкшее к этому давлению с самого своего рождения, не замечает его. В течение тысячелетий люди полагали, что воздух — невесомый. (До сих пор мы все еще говорим «легкий как воздух» или «легкий, воздушный» или «надутый» в смысле «наполненный ничем».)

Причиной этого является то, что воздух прикладывает свое давление во всех направлениях, как это делают и все жидкости. Пустой воздушный шар, несмотря на то что на него давит воздух высотой во много миль, не сомнется, если развязать его, потому что давление воздуха внутри его и давление снаружи — равны. «Откачайте» ртом давление внутри шара так, чтобы давление внутри его было меньше, чем давление снаружи, и тогда его стенки сомнутся. Теперь шар больше не расправлен — его стенки плотно сжаты.

Точно такое же явление происходит и с людьми. Воздух в наших легких, кровь в наших венах, жидкость, которой насыщены наши тела (а живая ткань — это, по существу, плотная, вязкая жидкость), находятся под действием атмосферного давления и создают внутреннее давление в теле, которое направлено наружу и равно давлению атмосферы, направленному внутрь. Суммарное же давление, приложенное к нам, равно нулю, и поэтому мы его не ощущаем и не чувствуем веса давящего на нас воздуха.

Если же мы погрузимся в воду, то давление извне быстро увеличится, а это не может быть скомпенсировано давлением изнутри нашего тела без нанесения ущерба нашим тканям. По этой причине не защищенный ничем, кроме водолазного костюма, человек может проникнуть только на строго ограниченную глубину, независимо от того, настолько хорошо он снабжается кислородом. С другой стороны, живые формы, приспособленные к жизни на глубине, существуют в самых экстремальных безднах океана, там, где водяное давление превышает тысячу атмосфер. Эти формы жизни также не сознают огромного давления (поскольку оно сбалансировано снаружи и изнутри), которое оказывается на них, и также беспрепятственно перемещаются, как это делаем мы, не замечающие давления воздуха.

Как только было признано, что воздух имеет вес и способен создавать давление, было также быстро признано, что это можно легко продемонстрировать, если обеспечить разность давлений снаружи и изнутри. Другими словами, казалось, что возможно полностью удалить воздух изнутри сосуда, создав там «вакуум» (латинское слово, означающее «пустой»), так чтобы атмосферное давление извне осталось не уравновешенным каким-либо заметным давлением изнутри. Торричелли получил (по случайной неосторожности) первый искусственно созданный вакуум, когда он перевернул вверх ногами свою трубку _с ртутью. Ртутный столбик, который выливался в чашку, оставлял после себя небольшой объем «ничего» (если не считать небольших завихрений паров ртути); это явление до сих пор называется «Торричеллиева пустота».

Всего на несколько лет позже, в 1650 году, немецкий физик Отто фон Герике (1602–1686) изобрел механическое устройство, которое постепенно отсасывало воздух из контейнера. Это позволило ему по желанию формировать вакуум различной требуемой величины и демонстрировать эффекты неуравновешенного атмосферного давления. Он создал такое разрежение, что внешнее атмосферное давление удержало от расцепления два металлических полушария, которые пытались разорвать две упряжки по восемь лошадей, прицепленные к полушариям канатами и подгоняемые кнутами возниц. Когда доступ воздуха в полость, образованную полушариями, был открыт, они развалились на части просто под действием собственного веса.

Еще один показательный опыт состоял в том, что пятьдесят человек тщетно пытались удержать канат, привязанный к поршню, который под действием атмосферного давления входил в цилиндр, из которого выкачивали воздух.

В других отношениях газ, подобно воздуху, также проявляет свойства жидкостей, только в уменьшенной форме. Например, это показывает явление плавучести. Сами мы перемещаем объем воздуха, который равняется нашему собственному объему, а эффект плавучести позволяет человеку весом в 150 фунтов весить приблизительно на три унции меньше, чем он был бы, находясь в вакууме. Конечно, этого обычно недостаточно, чтобы стать очень заметным, но для объектов, обладающих очень низким удельным весом, такой эффект очень значимый.

Это особенно истинно для веществ (типа некоторых газов), которые легче воздуха. Газообразный водород, например, имеет только ¹/₁₄ плотности воздуха. Если заключить водород в пределы некоего сосуда, то он будет подвергнут действию некоторой восходящей силы, подобно тому как на кусок древесины, погруженной в воду, действует выталкивающая сила. Если сосуд достаточно легок, то он будет поднят вверх действием этой восходящей силы. И если взять достаточное количество водорода, то этой силы хватит, чтобы поднять вверх прикрепленную к контейнеру гондолу, содержащую инструменты или даже людей. Впервые такой «воздушный шар» был запущен во Франции в 1783 году.

В тех случаях, когда между газом и твердым телом существует относительное движение, возникает и трение, так же как это происходит при движении твердого тела в жидкости, хотя и снова возникающий эффект намного меньше, чем тот, который возникает при движении в жидкости. Однако трения твердого тела о газ («сопротивления воздуха») вполне достаточно, чтобы замедлить скорость снаряда, летящего в цель, и артиллерист должен скорректировать свой прицел с учетом такого явления. Сопротивление воздуха также препятствует полному и точному обмену кинетической и потенциальной энергией, рассеивая часть энергии в виде теплоты.

Направленная вниз сила поля тяготения пропорциональна полной массе тела, в то время как восходящая сила сопротивления воздуха пропорциональна области контакта перемещающегося тела с воздухом в направлении его движения. Для компактного и относительно тяжелого тела, типа камня, кирпича или глыбы металла, сила тяжести высока, в то время как контакт с воздухом достаточно мал из-за того, что область, по которой оно контактирует с воздухом, достаточно ограниченна; поэтому сопротивление воздуха также достаточно низкое. Когда мы рассматриваем такой тип движения, как это делал Галилео во время своих экспериментов, то можно сказать, что оно по характеристикам достаточно близко к движению в вакууме, поэтому заключения, которые сделал Галилео из своих экспериментов, достоверны.

Если же мы рассмотрим легкие тела, то для них сила тяготения относительно невелика. Если же такие тела являются еще и тонкими и плоскими (например, как листья или перья), то они подставляют воздуху относительно большую площадь поверхности контакта, и сопротивление воздуха приобретает относительно высокое значение. В таких случаях сопротивление воздуха почти компенсирует силу тяжести, и поэтому эти легкие тела падают медленно (в вакууме они падали бы быстро); эта медленная скорость падения и ввела в заблуждение древнегреческих философов, наблюдавших за ней, заставив поверить в то, что между весом тела и скоростью свободного падения имеется тесная взаимосвязь.

При движении тела сквозь воздух под действием силы тяжести имеется некая предельная скорость, так как сопротивление воздуха не остается постоянным, а увеличивается вместе с увеличением скорости движения объекта. По мере увеличения скорости сопротивление воздуха в конце концов компенсирует силу тяжести. Для тяжелых, компактных объектов эта предельная скорость очень высока, но для легких, плоских объектов ее значение весьма невелико. Снежинки быстро достигают своей низкой предельной скорости и в дальнейшем нисколько не ускоряются, хотя они падают много миль. Если компактный объект прикреплен к легкому и плоскому, то эти два объекта вместе достигают гораздо более низкой предельной скорости, чем это было бы, если бы компактный объект падал в одиночку; вот именно поэтому парашют делает возможным благополучное падение с весьма больших высот.

И снова, для газов, как и для жидкостей, действует эффект Бернулли, и величина давления воздуха снижается по мере увеличения скорости перемещения воздуха. Струя воздуха, направленная поперек отверстия, охватывает это отверстие областью низкого давления («частичный вакуум»). Если трубка, в отверстии которой возникает это падение давления, связана с жидкостью, находящейся под нормальным атмосферным давлением, то эта жидкость будет втянута в трубку и выйдет наружу в виде мелких распыленных капель[45].

Когда бейсбольный мяч или мяч для гольфа летит, вращаясь, сквозь воздух, то одна сторона его вращается вместе с движением воздуха, текущего мимо мяча во время движения; другая же сторона мяча вращается против этого движения. Сторона, которая крутится против движения, имеет большую скорость относительно воздуха, и сопротивление воздуха в этом направлении, меньше. Шар бросают в направлении более низкого давления, так чтобы бейсбольный мяч «изогнулся» во время своего полета (чего обычно и добивается питчер[46], бросающий мяч), в то время как мяч для гольфа «идет крюком» или «мажет» (что обычно нежелательно).

В тех случаях, когда нам необходимо поддерживать высокую скорость движения сквозь воздух с использованием минимума силы, большое значение приобретает обтекаемость тела. Важность этого увеличивается одновременно с увеличением скорости, потому что сопротивление воздуха также увеличивается. Таким образом, лошадь и фургон не требуют никакой обтекаемости, автомобили же требуют ее в малой степени. (Тенденция к созданию автомобиля с абсолютно обтекаемой формой, появившаяся в конце 1930-х годов, была скорее вопросом подачи формы, а не предметом необходимости и вскоре была оставлена.)

Однако когда разговор касается самолетов, вопрос об обтекаемости приобретает первостепенное значение, а при достижении сверхзвуковых скоростей в первую очередь происходит развитие не столько мощности тяги, сколько надлежащего изменения формы для уменьшения сопротивления воздуха. Больше того, крылья самолета (в свою очередь, обтекаемые) разработаны таким образом, чтобы воздух проходил большее расстояние над верхней частью крыла, чем под нижней, и поэтому скорость его движения над крылом больше, чем под крылом. В соответствии с принципом Бернулли это означает, что над крылом самолета получается меньшее давление воздуха, чем под ним, а это вызывает возникновение «подъемной силы», которая помогает поддержать самолет в воздухе.

Закон Бойля

Свойства газов имеют принципиальную важность при рассмотрении возможной атомистической природы материи. Если материя неатомна, то вариации в плотности должны быть вызваны непосредственно свойственными только ей различиями в самой материи. Однако каждая частица этой материи, сколь малой бы она ни была, должна быть столь же плотной, как и любая другая частица. В материи не может существовать ни пустот, ни отверстий, как это будет в случае, если материя состоит из атомов.

Если материя состоит из атомов, то между ними имелось бы пространство, содержащее только вакуум. Материю можно было бы сделать менее плотной, если каким-либо образом растянуть атомы в разные стороны, чтобы увеличить пропорциональное содержание пустот в пределах данного объема. И наоборот, материю можно было бы сделать более плотной, сдвигая атомы вместе и, таким образом, уменьшая пропорциональное содержание в ней пустот.

Действительно, могло бы показаться, что плотность данной некоторой материи можно изменить таким образом при помощи нагрева или охлаждения. Плотность обычно уменьшается при нагревании и увеличивается при охлаждении. Действительно, хотя плотность холодной воды равна 1 г/см³, плотность такой же, но горячей воды равна всего лишь приблизительно 0,96 г/см³.

Опять же твердые тела, если их достаточно нагреть, в расплавленном виде превращаются в жидкости, а жидкости снова становятся твердыми телами, будучи охлаждены. Это изменение в «состоянии материи» сопровождается внезапным изменением в плотности. Таким образом, лед имеет плотность 0,92 г/см³, но, как только мы расплавим его, он превращается в воду с резким увеличением плотности — до 1,00 г/см³. И снова твердое железо имеет плотность 7,8 г/см³, но она резко уменьшается, когда железо расплавлено и перешло в жидкую форму, которая имеет плотность всего лишь 6,9 г/см³. Ученый-атомист мог бы указать на то, что существует готовое объяснение этого эффекта — в одном состоянии вещества, составляющие его атомы, являются более компактными, чем в другом. (Согласитесь, обычно твердое тело обладает большей плотностью, вода являет собой довольно любопытное исключение.)

Однако во всех таких изменениях плотность меняется только на несколько процентов, а это не слишком убедительно. Против атомиста работает и тот факт, что жидкости и твердые тела являются относительно несжимаемыми. Требуется большое увеличение давления (достижимое только при помощи специального оборудования), чтобы вызвать даже маленькое уменьшение в объеме. По этой причине в обычной материи не может существовать значимого количества пустот между атомами, и даже атомисты вынуждены признать, что в жидкостях и твердых телах атомы, если они существуют, находятся в непосредственном контакте. Так как жидкости и твердые тела остаются несжимаемыми при любой температуре, то мнение о том, что атомы находятся на больших расстояниях в горячей воде по сравнению с холодной или в жидком железе по сравнению с твердым, скорее всего, неправильное. Если бы оно не было неправильно, то горячая вода и жидкое железо были бы, по крайней мере, умеренно сжимаемы, а они не ведут себя таким образом.

Однако совсем другое дело получается, когда разговор переходит от жидкостей и твердых тел к газам. Когда жидкая вода закипает и формируется газообразный пар, изменение в плотности — разительное и радикальное. В то время как вода в точке кипения имеет плотность 0,96 г/см³, пар при той же самой температуре имеет плотность не более чем 0,0006 г/см³. То есть пар имеет плотность, равную всего лишь ¹/₁₇₀₀ плотности воды.

Этому можно найти разумное объяснение с точки зрения атомистического представления о материи. Можно предположить, что составляющие воду атомы (или группы атомов) отдаляются на значительное расстояние при переходе воды из жидкого состояния в газообразный пар, и пар имеет столь низкую плотность, так как состоит главным образом из пустот между атомами. Мы могли бы обобщить это представление и сказать: принимая во внимание, что в жидкостях и твердых телах атомы находятся фактически в тесном контакте, то в газах они находятся далеко друг от друга. Такое расположение атомов частиц газа объяснило бы не только чрезвычайно низкую плотность газов, но также и их низкое давление, небольшие силы трения и так далее.

Если это атомистическое представление верно и если частицы газа широко распространены, то газы должны быть легко сжимаемы. То есть если приложить к данному объему газа давление, то этот объем должен значительно уменьшиться. Это действительно так, и этот факт был впервые представлен научному сообществу английским физиком Робертом Бойлем (1627–1691) в 1660 году.

Он налил ртуть в открытый длинный конец J-образной трубки и запер некоторое количество воздуха в закрытом коротком конце. Добавляя дополнительное количество ртути, он повышал давление на запертый воздух на величину, которую мог измерить через разность между высотой ртути в открытом и закрытом концах. Он обнаружил, что удвоение давления на запертый газ вдвое уменьшало его объем, утраивание давления приводило к тройному уменьшению объема и так далее.

Запертый газ был всегда способен поддержать ртутный столб, находившийся с другой стороны, и, как только его объем уменьшался на соответствующее количество, давление, создаваемое им, становилось равным давлению, приложенному к нему. (Это и должно ожидаться вследствие третьего закона Ньютона, который, однако, во времена Бойля еще не был провозглашен.)

Следовательно, мы можем сказать, что для данного количества газа давление (P) обратно пропорционально объему (V); таким образом, увеличение любого из них ведет к уменьшение другого (P = k/V), поэтому произведение этих двух величин остается постоянным:

Это уравнение называется законом Бойля[47].

Другая формулировка закона Бойля приводится ниже. Предположим, что вы имеете образец газа с давлением, равным Р₁, и объемом, равным V₁. Если вы изменяете давление, увеличивая или уменьшая его, до значения, равного P₂, то вы обнаружите, что объем газа автоматически изменяется до значения, равного V₂. Однако согласно уравнению 10.1 произведение давления на объем должно остаться константой, так что мы можем сказать, что для данного количества газа:

И это также является формулировкой закона Бойля.

Действительно, газ так легко сжать, что давление верхних слоев столба газа сожмет более низкие слои. В отличие от столба фактически несжимаемой жидкости, который имеет постоянную плотность повсюду, столб газа значительно изменяется по плотности на разной высоте. Это особенно заметно при рассмотрении непосредственно нашей атмосферы.

Если бы газ был несжимаем как жидкость и если бы его плотность была одинаковой по всей высоте столба газа, равной, скажем, плотности на уровне моря_х было бы достаточно легко посчитать, чему же равна высота нашей атмосферы. Атмосферное давление равно 1033,2 грамма веса на квадратный сантиметр. Это означает, что столб газа с поперечным сечением в один квадратный сантиметр и длиной до конца атмосферы весит 1033,2 грамма. Столб с таким поперечным сечением, но только высотой в один сантиметр имеет вес 1,3 миллиграмма. Каждое дополнительное увеличение высоты столба на один сантиметр добавило бы дополнительные 1,3 миллиграмма, то есть потребуется суммарная высота приблизительно в 800 000 сантиметров, чтобы обеспечить эти 1033,2 грамма атмосферного давления. Это — высота примерно в пять миль.

Однако это не может быть правдой, потому что воздушные шары поднимаются на высоту более чем 20 миль, а менее прямые методы измерения показали существование заметного количества воздуха на высотах более чем в 100 миль.

Все дело в том, что атмосфера обладает непостоянной плотностью. По мере продвижения вверх обнаруживается, что данное количество газа находится под меньшим давлением, потому что количество воздуха выше этого уровня стало меньше. Если следовать закону Бойля, то данное количество газа должно поэтому занимать больший объем. Следовательно, по мере повышения количество атмосферы, остающейся выше точки нашего измерения, одновременно с быстрым уменьшением в весе достаточно медленно уменьшается в объеме. По этой причине действительно атмосфера не имеет никакого четко определенного верхнего предела, но постепенно уменьшается на протяжении сотен миль от поверхности Земли, уменьшаясь в плотности, пока не превратится в невероятно тонкие струйки газа, которые составляют межпланетное пространство.

Начав свой рассказ с атомистической теории, я пробовал сделать абсолютно ясным важность и значение эксперимента Бойля. Однако не следует предполагать, что один эксперимент сразу склонил мировое научное мнение к атомизму. Только в первые десятилетия XIX столетия, через полтора века после эксперимента Бойля, скопился такой вес свидетельств очевидности этой теории, что ученые наконец не смогли уже больше избегать понятия «атомизм».

Когда говорят об окончательном установлении атомизма, обычно называют имя английского химика Джона Дальтона (1776–1844), который между 1803-м и 1808 годами, основываясь в основном на своем изучении свойств газов, в которых он оттолкнулся от экспериментов Бойля, детально разработал «современную атомную теорию». (На самом деле можно сказать, что сам закон Бойля призвал атомизм к жизни, а все, что было после него, всего лишь способствовало более красивой подаче этой теории.)

В наше время повсеместно признано, что вся материя состоит из атомов, что эти атомы могут существовать в одиночку, но более часто они находятся в группах, размером от двух до многих сотен и тысяч атомов, что эти группы атомов называются «молекулами», что эти молекулы при нормальных условиях идентичны и составляют то, что мы называем «частицами материи»[48].

Именно благодаря исследованиям свойств газов было выяснено, что они состоят из широко расставленных молекул (а точнее — из широко расставленных индивидуальных атомов), а это дало возможность посмотреть на такие физические явления, как звук и тепло, с другой и более фундаментальной точки зрения.

Волны в жидкостях

Жидкости могут двигаться различными способами, подобными тем, которыми движутся твердые тела. Они могут подвергаться поступательному движению, как это делают текущие реки или дующие ветра. Они могут подвергаться вращательному движению, как это делают водовороты или торнадо. Наконец, они могут быть подвергнуты колебательному движению. Вот это, последнее, мы сейчас и будем рассматривать, поскольку вибрация в жидкостях может создавать изменение формы, которое будет направлено изнутри тела наружу. Такое перемещающееся изменение формы называется «волна». Несмотря на то что волны можно создать и в твердых телах, наиболее ясно видимы и заметны они на поверхностях жидкостей. Наши далекие доисторические предки были прекрасно знакомы с волнами на поверхностях воды и научились их бояться.

Если бросить камень в середину спокойного водоема, то вес камня толкает вниз воду, с которой он вступил в контакт, и создает понижение уровня воды в этом месте. Вода фактически несжимаема, так что воде, которая идет вниз, необходимо место, чтобы «отступить». Это можно сделать только одним способом: поднятием воды в непосредственной близости от брошенного камня, поэтому центральное понижение всегда окружено кольцом приподнятой воды.

Кольцо приподнятой воды опускается назад под воздействием силы тяжести, и его вес действует подобно весу первоначально брошенного камня. Оно перемещает воду ниже себя вниз и «выбрасывает» вверх более широкое кольцо воды немного дальше от первоначального центра возмущения.

По мере того как это продолжается, кольцо приподнятой воды расходится все дальше и дальше от центра. По мере перемещения все дальше и дальше наружу полная масса приподнятой воды распространяется по все большей и большей окружности, а высота приподнятого кольца поэтому становится все меньше и меньше.

Но при этом из центра возмущения не выходит одна-единственная волна. Поскольку начальный вал приподнятой воды немедленно опускается относительно центра возмущения, это не только выталкивает вал воды вне себя, но также выталкивает воду и в центре. Центр поднимается, а затем снова опускается; действие это, если можно так выразиться, подобно тому, если бы мы бросили второй камень, что приводит к возникновению второго кругового вала воды, который распространяется по внутренней части направленного наружу первого вала. Это, в свою очередь, приводит к возникновению третьего вала… и так далее. Каждый последующий вал — более низкий, чем предыдущий, так как с каждым повышением и падением части воды часть энергии используется на преодоление внутреннего трения воды и преобразуется в теплоту. В то время как данный вал воды распространяется наружу, часть его энергии также непрерывно преобразовывается в теплоту. В конечном итоге все волны заглохнут и водная гладь снова станет тихой; однако вода станет немного более теплой, потому что поглотила кинетическую энергию падающего камня.

Чтобы создать волну, нам требуется создать начальное возмущение. Если это начальное возмущение в процессе «самоисправления» нарушает соседнюю область способом, подобным первоначальному возмущению, то мы получаем новую волну — первоначальная волна «размножается».

Если мы сконцентрируем наше внимание на некоторой точке, находящейся в пределах этой порожденной волны, то мы увидим, что некоторые свойства в этой точке возрастают и убывают, часто — периодически. В случае волн в жидкости, например, если мы рассмотрим некоторую часть водной поверхности, то обнаружим, что таким изменяющимся свойством является потенциальная энергия, поскольку эта часть поверхности сначала поднимается, а затем опускается, чтобы снова подняться.

Важно понять, что вода перемещается только вверх и вниз. Возмущение распространяется по направлению наружу, поперек поверхности воды, и поэтому случайному наблюдателю кажется, что вода перемещается по направлению наружу; однако этого не происходит! Существует только возмущение поверхности. Деревянная щепка, плавающая на воде, по которой пошла рябь, будет двигаться вверх и вниз вместе с водой, на которую она опирается, но перемещающаяся по поверхности воды рябь не будет нести щепку вслед за собой. Безусловно, волны, прибивающие к берегу ряску и камыш, несут их на себе, иной раз даже с достаточной силой; мы можем наблюдать, как волны бьют эти предметы о скалы или выбрасывают на морской песок. Однако происхождение этих волн иное — они порождены горизонтальной силой ветра, а мы рассматриваем рябь, которая возникает в водоеме от брошенного туда вертикально камня.

Представим себе поперечное сечение поверхности воды, в которой происходит возмущение от упавшего камня. В идеальном случае, если не принимать во внимание потерю высоты при увеличении окружности или потерю энергии за счет теплоты, мы имеем равномерное повышение и падение. Эти повышения и падения и являются тем, что мы обычно понимаем под словом «волна», а также и тем, что мы имеем в виду, когда говорим «волнистая линия».

В своей самой простой форме такая волнистая линия идентична той, что возникает, если мы проецируем значение синуса равномерно изменяющегося угла на миллиметровую бумагу. Для угла в 0° значение синуса равно 0. По мере увеличения угла синус его также увеличивается, сначала быстро, а затем все более медленно, пока оно не достигнет своего максимума, равного единице, при значении угла, равном 90°. При дальнейшем возрастании угла значение синуса начинает уменьшаться, сначала медленно, а затем все более быстро, снова достигая 0 при 180°, переходя после этого и в область отрицательных значений. Оно достигает своего минимума, равного -1, при 270°, а затем продолжает увеличиваться, чтобы снова достигнуть 0 при 360°. Угол в 360° может рассматриваться эквивалентным углу в 0°, так что весь процесс можно рассматривать как начавшийся снова и продолжающийся неопределенное время. Тогда в проекции графика движения мы получаем волнообразную фигуру, которая простирается по направлению наружу на неопределенное расстояние и совершает регулярные колебания между значениями +1 и –1. Именно эта волнообразная фигура (синусоида) и представляет собой форму идеализированной жидкостной волны.

Волны, подобные жидкостной волне, в которой движение каждой ее части происходит в одном направлении (в этом случае — вверх и вниз) и направление распространения возмущения находится под прямым углом к этому направлению движения (в нашем случае — направлено наружу поперек поверхности жидкости), называются «поперечными волнами» (transverse wave — от латинских слов, означающих «лежащий поперек»; движение воды происходит «поперек» линии распространения).

Точка, в которой возмущение является наибольшим в восходящем направлении (+1 на синусоиде), называется «гребнем» волны, а точка, в которой оно является наименьшим в нисходящем направлении (–1 на синусоиде), называется «впадиной»[49]. Между гребнем и впадиной находятся точки, где вода на мгновение находится на «нулевом» уровне, то есть она уже не поднимается, но еще не опускается (точка 0 на синусоиде); такие точки называются «узлами». В жидкостных волнах имеются два вида таких узлов, поскольку вода проходит через узел по мере продвижения к впадине и по мере продвижения к вершине гребня. Мы можем назвать их «восходящие узлы» и «нисходящие узлы» (позаимствовав термины, используемые для аналогичной цели в астрономии). Вертикальное расстояние от узла до гребня волны или до впадины называется ее «амплитудой».

Если две или более точки занимают одни и те же взаимные положения в синусоиде, то про такие точки говорят, что они находятся в фазе. Например, все точки на различных вершинах одной волны находятся в фазе, так же как и все точки на различных впадинах. Все восходящие узлы находятся в фазе; все нисходящие узлы находятся в фазе. Все точки, находящиеся на одном расстоянии между восходящим узлом и гребнем, находятся в фазе и так далее. Если существуют две таких волны, у которых в любой момент времени каждый гребень совпадает в пространстве или по форме с гребнем другой в тот же самый момент времени, то говорят, что части этих двух волн находятся в фазе. Возможен даже такой случай, что обе волны могут быть в фазе на всем своем протяжении таким образом — гребень в гребень и впадина во впадину.

Естественно было бы назвать точки, расположенные на одной и той же волне и находящиеся не в фазе, точками «не в фазе». И пару волн, у которых гребень в данный момент времени не совпадает с гребнем другой волны, — волнами «не в фазе».

Синусоида может рассматриваться как состоящая из одной специфической маленькой части, которая повторяет себя неопределенное число раз. Например, часть синусоиды от одного гребня до следующего может быть воспроизведена в виде печати, и если вам захочется, то полную синусоиду можно воспроизвести, отпечатывая одну эту часть, присоединяя печать справа к окончанию предыдущей, к ее окончанию — следующую и так далее. Тот же самый эффект мы получим, если возьмем часть синусоиды от впадины до впадины, или от восходящего узла до восходящего узла, или от нисходящего узла до нисходящего узла и так далее. Мы всегда можем получить соответствующий шаблон, если возьмем участок от одной точки на синусоиде до второй, находящейся с ней в фазе.

Для любой взятой синусоиды расстояние от некоторой произвольной точки до следующей такой же — величина постоянная. Эта длина (для простоты возьмем длину от гребня до гребня) определяет «длину волны». Длина волны обычно обозначается греческой буквой «лямбда» (λ).

Если узлы не отличаются друг от друга (а в физике они обычно не различаются), то расстояние между последовательными узлами равно половине длины волны (полуволне). Если восходящий узел одной волны при наложении совпадает с нисходящим узлом другой волны (такое иногда тоже случается), то говорят, что волны находятся «в противофазе», но расстояние между последовательными узлами все равно составляет половину длины волны.

В данной волне гребень двигается по направлению наружу по поверхности воды (хотя вода непосредственно, хочу повторить, не двигается наружу вместе с ним); расстояние, которое он проходит за одну секунду, называется скоростью распространения волны.

Давайте представим себе, что скорость распространения данной волны составляет десять метров в секунду и что длина волны (то есть расстояние от гребня до гребня) равняется двум метрам. Если мы обратим наше внимание на некоторую точку на поверхности воды, мы увидим, что в ней через некоторое время образуется гребень. Он начинает перемещаться, и, когда он переместится на два метра по направлению наружу, его место займет второй гребень, еще два метра вперед, и в точке появится третий гребень и так далее. После того как пройдет одна секунда, первоначальный гребень окажется на расстоянии в десять метров, а его место займет пятый гребень (10 разделить на 2).

Количество гребней (или количество впадин, восходящих узлов, нисходящих узлов или любых других последовательных точек в фазе), которые прошли через данную точку за одну секунду, называется «частотой колебаний» волны. Частота обычно обозначается греческой буквой «ню» (ν).

Из того, что я только что сказал, должно быть ясно, что скорость распространения волны, поделенная на ее длину, равняется частоте ее колебаний, то есть:

Единицы измерения скорости в системе МКС — метры в секунду, единицы измерения длины волны — метры. Поэтому единицы измерения частоты получаются равными (м/с)/м, или 1/с. Поскольку в алгебре 1/a называется величиной, «обратной» a, величину 1/с иногда называют «обратными секундами». Более часто, конечно, мы просто говорим «в секунду». Например, частота упомянутой выше волны может быть записана как 5/с и читаться как «5 раз в секунду» или как «5 обратных секунд».

Звуковые волны

Еще на сравнительно ранней стадии развития поисков знания у исследователей возникли мысли о том, что звук представляет собой один из видов волнового движения. Впервые эксперименты со звуком начали проводить еще древние греки, и замечательно то, что созданная ими для изучения звука ветвь физики с самого начала развивалась в правильном направлении даже с точки зрения современных критериев.

Уже в VI столетии до н.э. Пифагор Самосский изучал звук, который издают струны. Как мы можем заметить, если струну «ущипнуть», то она начинает вибрировать. Движения струны выглядят как размытое пятно, но даже в этом случае можно получить некоторые полезные факты, связанные со звуком. Похоже на то, что ширина этого размытого пятна, созданного движением струны, соответствует громкости звука. По мере того как вибрация утихает, а ширина пятна сужается, звук становится менее громким. А когда вибрация прекращается, не важно — естественным замедлением или резкой остановкой струны рукой, — звук также прекращается. Кроме того, легко выяснить, что чем короче натянутая струна, тем более быстро она вибрирует, и более быстрая вибрация, как кажется, производит более пронзительный звук; в то же время более длинная струна, как кажется, вибрирует медленнее, а звук издает более низкого тона.

В 400 году до н.э. Архит Тарентский (ок. 420–365 до н.э.), член пифагорейской школы, предположил, что звук производится благодаря соударению тел — быстрое движение порождает высокий тон, а медленное движение — низкий тон. Примерно в 350 году до н.э. Аристотель предположил, что вибрирующая струна ударяет по воздуху и что та часть воздуха, которая была подвержена удару струны, в свою очередь, перемещается от удара, чтобы ударить соседнюю часть, которая, в свою очередь, ударяет следующую часть и так далее. Аристотель далее пришел к выводу, что воздух является средой, необходимой для того, чтобы звук распространялся, и что в безвоздушном пространстве никакого распространения, а значит, и самого звука не будет. (И в этом Аристотель был, несомненно, прав.)

Поскольку вибрирующая струна, двигаясь в быстром темпе, ударяет воздух не однажды, а многократно, то воздух должен провести не один удар, а целый длинный ряд ударов. Римский архитектор Витрувий, живший в I столетии до н.э., предположил, что воздух просто не двигается, а вибрирует и что он ведет себя таким образом в ответ на колебания струны. Он утверждал далее, что именно эти воздушные колебания мы и слышим как звук.

Ну и наконец, приблизительно в 500 году н.э. римский философ Северин Боэций (480–524?) сделал сравнительную аналогию проводимости звука сквозь воздух с волнами, которые возникают в спокойной воде от брошенного туда камня. Несмотря на то что данная аналогия достаточно справедлива и до сих пор можно рассматривать распространение звука в воздушной среде именно таким образом (и именно так, например, мы рассматриваем его в этой книге), все-таки следует отметить, что такой подход надо рассматривать только как предварительный, потому что между жидкостными волнами и звуковыми волнами на самом деле имеются достаточно важные различия.

Поперечные волны, типа жидкостных волн, могут появляться только при некоторых определенных условиях. Эти волны представляют собой такие состояния тел, при которых одна часть тела (а точнее — его поперечное сечение) перемещается боком относительно другой части, а затем совершает такое же движение, но в противоположную сторону. (Можно воспроизвести поперечную волну, если взять очень высокую стопку карт и переместить каждую карту вбок на нужное расстояние.) Такое поперечное движение производится определенным типом силы, называемым «сдвиг». Но для того чтобы воздействие сдвига закончилось появлением поперечной волны, необходимо, чтобы силе, производящей сдвиг, противостояла другая сила, которая сдвигает части тела обратно, на первоначальные места.

Например, в пределах твердого тела удар может заставить одну часть материи тела сдвигаться вбок относительно соседней части. Однако сильные силы сцепления между молекулами твердого тела, которые имеют тенденцию удерживать каждую молекулу на одном месте, будут возвращать сдвинутую часть. Она отскакивает назад, проходит свое «нулевое» положение, отскакивает назад снова, проходит мимо «нулевого» положения и так далее. Явившаяся результатом этого вибрация распространяется таким же образом, каким волны распространяются по поверхности жидкости; результатом является возможность передать поперечные волны через материю твердого тела.

Однако в жидкостях и газах силы сцепления гораздо более слабые, чем в твердых телах, и не способны восстановить сдвиг. Если мы переместим часть воды или воздуха вбок относительно соседней части, то некоторое дополнительное количество воды или воздуха просто натечет в область, которую перемещающаяся часть оставила «пустой», а новое взаимное расположение частей останется. Поэтому в телах жидкостей не существует никаких поперечных волн.

Точнее говоря, поперечные волны будут перемещаться по горизонтальной верхней поверхности жидкостей, поскольку там мы имеем особый случай — существование внешней силы — силы тяжести, которая сопротивляется сдвигу «вверх и вниз». Однако в пределах тела жидкости сила тяжести не может выполнять эту работу, поскольку каждый из фрагментов воды поддерживается на поверхности окружающей его водой. Так как плотность каждой частицы воды равна плотности окружающей ее воды, то вес каждой частицы воды равен нулю, и она не отвечает на воздействие силы тяжести. Если часть воды в пределах тела жидкости поднята на сдвиг, она остается в новом положении, несмотря на силу тяжести. Таким образом, распространение поперечных волн ограничено поверхностью жидкости, а так как газы не имеют никакого определенного объема и поэтому никакой определенной поверхности, то из этого следует, что поперечные волны не передаются газами ни при каких условиях.

Следовательно, если звук передается сквозь воздух в форме волны (а все свидетельствует, что так оно и есть), то форма этой волны не может быть поперечной. Логично было бы предположить существование альтернативной формы волны, такой, чтобы она состояла из периодических сжатий и разрежений.

Рассмотрим, например, колебания камертона. Ножка камертона создает быстрые периодические колебания, перемещаясь влево-вправо, влево-вправо и так далее. По мере того как она перемещается вправо, молекулы воздуха, находящиеся непосредственно справа от нее, смещаются, сдвигаясь вместе и формируя маленький объем сжатия. Давление в пределах этого сжатого объема больше, чем в соседнем объеме нормального воздуха. Молекулы в сжатом объеме «разворачиваются» и «толкают» молекулы примыкающего к ним объема, сжимая его. Соседний объем, по мере того как «разворачивается», сжимает следующего за ним соседа и так далее. Таким образом, данный объем сжатия распространяется наружу но всех направлениях, формируя вокруг источника возмущения расширяющуюся сферу так же, как в жидкости вокруг источника возмущения формируется расширяющийся круг, состоящий из гребней воды. (Атмосфера является трехмерной средой, а поверхность воды — двумерной, вот почему мы в одном случае имеем расширяющуюся сферу, а в другом случае — расширяющийся круг.)

Тем временем ножка камертона, которая переместилась вправо и создала расширяющийся объем сжатия, перемещается влево. Направо от ножки образуется большее количество места, а находящийся там объем воздуха расширяется и становится более разреженным. Давление, которое в соседнем, неразреженном, объеме выше, толкает воздух в разреженное место и разрежается в процессе этого само. Таким образом, объем разрежения расширяется по направлению наружу, вслед за объемом сжатия.

И снова ножка камертона перемещается вправо, затем — опять влево, снова — вправо, то есть таким образом, что объемы сжатия и разрежения в быстром чередовании следуют друг за другом по направлению наружу все то время, пока ножка камертона продолжает вибрировать. Каждый период движения ножки (одно движение назад и одно вперед) вызывает образование одной комбинации «сжатие — разрежение».

В этих волнах, основанных на принципе «дополнительного сжатия и разрежения», индивидуальные молекулы воздуха двигаются в одном направлении по мере сжатия, а затем в обратном направлении по мере разрежения; объемы сжатия и разрежения двигаются по направлению наружу и распространяются в направлении, параллельном возвратно-поступательному движению молекул. Такие волны, в которых частицы двигаются параллельно распространению волны в большей степени, чем перпендикулярно в направлении к нему, называются «продольными», или «компрессионными», волнами.

Продольные волны гораздо труднее проиллюстрировать и труднее воспринять, чем поперечные волны, поскольку в обычной жизни мы не сталкиваемся ни с какими внешними проявлениями их существования, как это было, например, с жидкостными волнами. Однако, поняв детально принцип распространения поперечных волн, мы можем по аналогии перенести этот принцип и на продольные волны.

Точки максимального сжатия аналогичны гребням поперечных волн, а точки максимального разрежения — впадинам. Между ними имеются области, где давление на мгновение становится нормальным, и мы можем их сопоставить.

Расстояние между точками максимального сжатия (или между точками максимального разрежения) называется длиной продольной волны. Количество точек максимального сжатия (или максимального разрежения), проходящих через данное положение за одну секунду, называется частотой продольной волны.

Так как молекулы жидкостей и твердых тел, как и молекулы газов, при сжатии формируют противосилу, старающуюся восстановить их форму, продольные волны могут передаваться и в газах, и в жидкостях, и в твердых телах. Звуковые волны особенно хорошо распространяются в воде и металле, равно как и воздушным путем. (Волны, произведенные в теле Земли колебаниями, вызванными землетрясениями, состоят из обоих типов волн — и поперечных и продольных. Они передаются твердой материей Земли, но было выяснено, что, когда волны проникают на некоторую глубину ниже поверхности земли, только продольные продолжают распространяться на дальние расстояния, в то время как поперечные волны внезапно и полностью останавливаются. Именно благодаря этому геологи пришли к выводу, что Земля содержит жидкое ядро, и оказались способными измерить его диаметр со значительной точностью.)

Однако звуковые волны не могут переноситься при полном отсутствии молекул. Если мы поместим электрический звонок под колокол воздушного насоса, то сначала мы будем слышать его звон через стекло, но затем, по мере того как воздух будет откачиваться, звучание звонка будет становиться все более и более тихим. Язычок может продолжать неистово ударять по звонку, и сам звонок может даже начать вибрировать, но из-за отсутствия воздуха образование продольных волн невозможно. В результате никакого звука не будет слышно.

(Часто повторяют, что Луна, на которой практически нет атмосферы, является беззвучным миром. Однако звук может быть передан по поверхности Луны, и космонавт сможет услышать отдаленный взрыв, если он надлежащим образом создаст контакт с ее поверхностью.)

Громкость звука

Предположим, что мы рассматриваем звуковую волну, в которой последовательность сжатий и разрежений является регулярной. Она была бы аналогична поперечной волне, имеющей форму правильной синусоиды. Такую звуковую волну слышим мы как устойчивую музыкальную ноту, и именно такой звук производит камертон. Действительно, если мы закрепим какой-либо пишущий инструмент на ножке камертона таким образом, что он сможет писать на рулоне бумаги, перемещаемой с постоянной скоростью в направлении, перпендикулярном к направлению вибрации ножки, то на бумаге получится изображение синусоидальной волны.

Камертон может издавать звуки, которые отличаются по громкости. Если мы ударим его лишь слегка, он издаст мягкий звук; если же мы ударим ножку камертона сильнее, то он испустит звук, который будет совершенно идентичным первому и будет отличаться от него только уровнем громкости. Когда мы слегка ударяем камертон, его ножка двигается вперед и назад по сравнительно небольшой дуге; при более сильном ударе ножка будет двигаться вперед и назад по гораздо большей дуге. Согласно тому, как и должны проявлять себя простые гармонические колебания, эти два движения будут иметь одинаковый период, несмотря на разницу в амплитуде, иначе говоря, одинаковое количество сжатий и разрежений в одну секунду. То есть частота произведенного звука в любом случае будет той же самой.

Однако тот камертон, который мы ударили более сильно, по мере перемещения по большей дуге сжимает воздух более активно и сильно. Поэтому более громкая нота отличается от более тихой ноты тем, что сжимаемые объемы в первой — более сжаты, а разрежаемые объемы — более разреженны. Разница в степени сжатия в продольной волне аналогична разнице в амплитуде в поперечной волне. Это можно легко визуализировать, если снова провести эксперимент с камертоном и прикрепленной к нему ручкой. Слабо вибрирующая ножка нарисует синусоиду маленькой амплитуды, а сильно вибрирующая, то есть двигающаяся по большей луге в результате более сильного удара, отметит синусоиду большей амплитуды.

Чтобы сжать воздух, преодолевая сопротивление его давления, потребуется затратить энергию. Таким образом, сжатый воздух является аккумулятором энергии, то есть может запасать некоторое количество энергии, которую он может израсходовать, расширяясь и толкая все, что находится в непосредственной близости от него. По этой причине звуковые волны могут рассматриваться как форма энергии.

Чем сильнее сжат воздух, тем больше количество энергии, которую он содержит и может израсходовать. Если подойти к данному вопросу с другой стороны, то можно сказать, что вибрирующий камертон обладает кинетической энергией, которая тратится на сжатие воздуха[50]. Если ножка камертона колеблется по большей дуге, но период ее колебаний заканчивается в одно и то же время, что и у ножки, двигающейся по меньшей дуге, то это означает, что она перемещается с большей средней скоростью и обладает большим количеством кинетической энергии, которую она может израсходовать на сжатие воздуха. Независимо от точки зрения, с которой мы подходим к данному вопросу, мы можем прийти к выводу, что громкость — вопрос количества энергии и что громкий звук содержит большее количество энергии, чем тихий.

Громкость, или «интенсивность звука», измеряется в единицах количества энергии, проходящих каждую секунду через один квадратный сантиметр площади области, находящейся перпендикулярно к направлению распространения звука. Энергия, израсходованная в единицу времени, представляет собой мощность, но величина мощности, которую несет с собой звук, очень мала. Для того чтобы показать, насколько она мала, давайте рассмотрим некоторые единицы измерения мощности.

В системе единиц измерения МКС ватт — единица мощности, равен одному джоулю в секунду. Мы хорошо знакомы с ваттами применительно к мощности электрических лампочек; мы знаем, что про лампочку мощностью 75 ватт нельзя сказать, что она слишком яркая для чтения, а что касается лампочки мощностью 40 ватт, то она выглядит довольно-таки тускло. Ночные «дежурные» фонари достаточно яркие, чтобы хоть чуть-чуть рассеять глубокую тень и позволить нам добраться до ванной, не стукаясь о мебель, имеют мощность в ¼ ватта. Один микроватт — это ¹/_1000000 часть ватта, то есть такой «дежурный» свет имеет мощность в 250 000 микроватт.

С этой позиции обычная разговорная речь обладает мощностью не более 1000 микроватт, а тихие звуки опускаются до незначительных долей микроватта.

Человеческое ухо скорее обнаруживает различия в громкости звуков по отношению друг к другу, чем чувствует фактическую разницу. Таким образом, звук мощностью в 2000 микроватт будет казаться некоторым громче, чем звук мощностью в 1000 микроватт, но звук мощностью в 3000 микроватт не будет казаться настолько же громче предыдущего. Потребуется звук мощностью в 4000 микроватт, чтобы создать у нас впечатление возрастания мощности настолько, насколько звук мощностью в 2000 микроватт громче, чем звук мощностью в 1000 микроватт. Чтобы достичь звука, который является настолько же более громким, насколько громче предыдущий 4000-микроваттный звук, мы должны усилить его до величины в 8000 микроватт. Отношения 2000/1000, 4000/2000 и 8000/4000 равны друг другу, но различия не одинаковы, а наше ухо судит о звуке не по величине, а по различию.

Все это означает, что человеческое ухо воспринимает не мощность звука, а логарифм[51] этой мощности. Когда один звук обладает мощностью в десять раз большей, чем мощность другого звука, отношение мощности первого к мощности второго равно 10, а десятичный логарифм этого отношения равен 1. Разница в интенсивности звука, таким образом, является равной одному «белу», единице, названной так в честь Александра Грэхема Белла (1847–1922) — ученого, изучавшего физику звука и изобретателя телефона. В соответствии с вышесказанным мы получаем, что увеличение мощности звука в 100 раз дает нам увеличение громкости на 2 бела, увеличение мощности в 1000 раз — 3 бела и так далее. Этот тип единицы измерения отражает логарифмические свойства восприятия звука человеческим ухом.

Бел представляет собой довольно крупную единицу измерения, чтобы быть удобной. Обычно употребляют единицу, равную десятой части бела и называемую «децибелом». Когда говорят, что один звук громче другого на один децибел, это означает, что первый звук мощнее второго в 1,26 раза, поскольку логарифм 1,26 примерно равен 0,1.

Из-за того что даже громкие звуки несут в себе очень малое количество энергии, звуковая энергия не является чем-то, чего мы обычно опасаемся. Энергии, заключенной в раскате грома, вполне может быть достаточно, чтобы заставить объекты заметно вибрировать. Телефон представляет собой пример того, как человеческая изобретательность сумела использовать преобразование звуковой энергии в электрическую энергию и обратно с пользой для себя.

Однако звуки, которые непрерывно окружают нас, независимо от того, созданы ли они людьми, другими формами жизни или неодушевленными предметами, просто исчезают и преобразуются в теплоту.

Если бы звук оставался неконвертированным в другие формы энергии, мы смогли бы легко увидеть, как громкость звука уменьшается по мере удаления от его источника. Звуковые волны распространяются по направлению наружу в виде расширяющейся сферы, исходящей из источника звука, и полная мощность каждой представленной звуковой волны распространяется по этой поверхности. Поверхность сферы равна 4πr², где r — радиус сферы, то есть расстояние до источника. Если расстояние от центра увеличить в три раза, то площадь поверхности увеличивается в девять раз и, таким образом, через квадратный сантиметр поверхности проходит только девятая часть мощности. Интенсивность звука, как ожидалось бы, изменится обратно пропорционально квадрату расстояния от источника. Таким же образом, например, уменьшается интенсивность гравитационного притяжения. Однако тяжесть не поглощается материей, а звук может быть легко поглощен большинством объектов, с которыми он вступает в контакт, даже непосредственно воздухом. В результате звук уменьшается гораздо быстрее, чем можно было бы ожидать.

Скорость звука

Каждый объект имеет некоторый собственный период колебаний, и, по крайней мере, в случае простых гармонических колебаний этот период пропорционален к квадратному корню из массы объекта, деленного на силу упругости (см. уравнение 8.4). В случае маятника, где силой упругости является сила тяжести (которая увеличивается вместе с массой тела), период колебаний изменяется, как квадратный корень из длины маятника, разделенной на ускорение свободного падения (см. уравнение 8.9).

Это означает, что если мы рассматриваем два однотипных объекта, то ожидаем, что больший и более массивный из них будет иметь и более длинный период колебаний. Следовательно, он произведет меньшее количество звуковых волн в единицу времени, и индивидуальные волны будут иметь большую длину волны и более низкую частоту.

Период колебаний также может быть изменен, если мы изменим величину силы упругости: по мере увеличения силы упругости период колебаний становится короче. То, что тугую струну более трудно вывести из положения равновесия, чем слабо натянутую, иллюстрирует то, что сила, имеющая тенденцию восстанавливать струну к «нулевому» положению, увеличивается по мере возрастания натяжения струны. Из двух одинаковых струн более тугая струна сокращается также быстрее, и если это — тетива лука, то позволяет лучнику выстрелить дальше. (Именно поэтому тетиву лука содержат натянутой настолько туго, насколько это возможно, когда лук находится в действии.) Тугая струна, более быстро «отскакивая» назад, естественно, имеет и более короткий период колебаний, чем слабо натянутая, она и звуковые волны производит с более высокой частотой и более короткой длиной волны.

Однако из опыта мы знаем, что все приспособления, которые служат для того, чтобы производить звуковую волну низкой частоты, также издают низкий тон, в то время как те, что производят звуковую волну высокой частоты, также издают высокий, пронзительный тон. Большие объекты с длинными периодами вибрации производят низкие тоны, в то время как подобные им маленькие объекты производят высокие: сравните звон церковного колокола со звяканьем колокольчика на салазках, низкий тон струны на контрабасе с пронзительностью струны на скрипке. В живой жизни сравните трубные звуки, которые издает слон, с писком мыши; «гудение» гуся — с чириканьем канарейки. Голос мужчины, с его более длинными голосовыми связками, глубже, чем голоса женщин и детей, с их более короткими. Но каждый индивидуум может изменить высоту звука, который он издает, регулируя натяжение своих голосовых связок (хотя он и не знает, что поступает именно таким образом), а звук свободно вибрирующей струны можно сделать более пронзительным, если потуже натянуть эту струну.

Это свойство пронзительности, или глубины тона, называется «высотой звука», и весьма очевидно, что человеческое ухо дифференцирует частоты звуковых волн по их высоте. По мере увеличения частоты звук, который мы слышим, кажется нам все более и более пронзительным. По мере уменьшения частоты, наоборот, слышимый нами звук кажется нам все более и более низким.

Частоту звуковой волны определить достаточно легко. Действительно, колебания камертона можно подсчитать несколькими различными способами, включая (наверное, самый простой метод) нанесение линии непосредственно самописцем, закрепленным на ножке камертона на перемещающейся миллиметровой бумаге, и подсчет волн, произведенных в единицу времени. Таким образом, и частота, и высота звука могут быть согласованы. Например, можно показать, что и механический камертон, и духовой камертон — трубочка с язычком, в которую дуют, а она издает звук — «стандартное ля», по которому музыканты настраивают свои инструменты, — имеют частоту 440 раз в секунду.

Для того чтобы вычислить фактическую длину волны звука некоторой высоты, можно использовать уравнение 11.1. Как мы видим из него, частота (ν) является равной скорости распространения волны V, деленной на длину волны (λ). Решая уравнение 11.1 для (λ), мы находим, что:

Чтобы сделать уравнение 12.1 более полезным, нам необходима дополнительная информация, а именно: скорость звука. Эта скорость может быть определена со значительной точностью в результате прямого эксперимента, который впервые был успешно осуществлен в начале XVII столетия.

Предположим, что на одном холме установлено орудие (пушка), а на другом холме размещены наблюдатели; расстояние между холмами может быть измерено и известно. Когда орудие стреляет, то вспышка будет замечена сразу (предположение о том, что свет распространяется настолько быстро, что его перемещение от одного холма до другого займет фактически нулевое время, сделанное еще в те времена, оказалось абсолютно правильным). Звук выстрела орудия, однако, будет услышан только спустя некоторый интервал времени, который можно измерить. Если разделить расстояние между орудием и наблюдателями на число секунд задержки между появлением вспышки и звуком от выстрела, то (при условии обладания точными часами) это и даст нам величину скорости звука.

Безусловно, если имеется ветер, то волны сжатия будут ускорены вперед движением воздуха или, наоборот, замедлены в зависимости от направления ветра. Однако это можно учесть, если сначала расположить орудие на одном холме, а затем наоборот. Таким образом, независимо от направления ветра мы можем исключить его влияние, взяв среднее значение из этих величин, то есть полученная величина (из-за взаимного исключения скоростей) и даст нам скорость звука в стоячем воздухе.

В настоящее время общепринятая скорость воздуха при нормальной температуре (скажем, 20 °С, или, что является эквивалентным, 68 °F)[52] равна 344 метрам в секунду (или 1130 футов в секунду, или 758 миль в час). При изменении температуры эта скорость также немного изменяется. В холодный зимний день она может опуститься до 330 метров в секунду, в то время как в жаркий летний день она может подняться до 355 метров в секунду.

Разница температур оказывает достаточно важный эффект на скорость звука. В течение дня верхние слои атмосферы в целом более холодные, чем воздух вблизи поверхности Земли. Поскольку направленная вверх часть пучка звуковых волн проникает в холодную стратосферу, она замедляется; эффектом этого является то, что весь пучок отклоняется вверх. (Представьте себе, что вы идете, а кто-то захватывает вашу левую руку, замедляя эту часть вашего тела, при этом вы автоматически измените направление своего движения — влево.) Ночью ситуация обратная, поскольку верхние слои становятся теплее низких: верхняя часть пучка звуковых волн ускоряется, и весь пучок изменяет направление — отклоняется вниз. По этой причине ночью звук обычно можно услышать более ясно и на большем расстоянии, чем днем.

Однако если мы ограничимся комнатной температурой, то мы можем записать уравнение 12.1 в виде:

До недавнего времени скорость звука намного превосходила скорость любого транспортного средства, сделанного человеком, поэтому она не имела никакого практического применения. Однако с изобретением самолета и с постоянным увеличением скоростей, на которые он был рассчитан, важность скорости звука возросла, причем по причинам, напрямую не связанным со скоростью сообщения.

Скорость, с которой сжатая область восстанавливает себя до нормального состояния и сжимает следующую область, определяется скоростью естественного восстановления молекул после упругой деформации (сжатия); таким образом, именно эта скорость восстановления и определяет скорость звука. Также эта скорость определяет способность воздуха «уйти с пути» летящего на него самолета. По мере того как скорость самолета приближается к скорости звука, его скорость приближается к той, с которой молекулы воздуха могут «отступать». Самолет начинает «догонять» «отступающие» молекулы воздуха и по мере дальнейшего возрастания скорости все больше и больше настигает их. Такой самолет постоянно как бы сжимает воздух перед собой (или, по крайней мере, пока поддерживает данную скорость движения) по причине того, что воздух не может «уйти с его пути». Этот объем сжатого воздуха, находящийся перед самолетом, оказывает огромное влияние на структуру материала, из которого самолет сделан; одно время, в 1940-х годах, даже возникло мнение, что при достижении скорости звука самолет распадется. Появление понятия «звуковой барьер» обязано собой именно этому факту, как если бы скорость звука представляла собой стену, через которую самолет не сможет прорваться.

Отношение скорости движения объекта к скорости звука в среде, в которой перемещается объект, называется «числом Маха», названным так в честь австрийского физика Эрнста Маха (1838–1916), который в конце XIX столетия первым исследовал теоретические последствия движений на таких скоростях. Тело, двигающееся со скоростью звука, перемещается «со скоростью в один мах», со скоростью в две скорости звука — «в два маха» и так далее. Число Маха не представляет собой определенной скорости, оно зависит от природы, температуры и плотности среды, через которую перемещается объект. Для обычного воздуха при комнатной температуре один мах равен 344 метра в секунду, или 758 милям в час.

По мере улучшения конструкций самолетов они смогли противостоять все большим напряжениям на высоких скоростях, и 14 октября 1947 года специально подготовленный самолет «пробил звуковой барьер», двигаясь со скоростью более одного маха.

С тех пор были достигнуты скорости в три маха и больше. (Можно сказать, что астронавт, летящий над Землей со скоростью пять миль в секунду, двигается со скоростью 25 махов, если использовать сравнение со скоростью в воздушной среде. Однако астронавт перемещается сквозь вакуум, а вакуум в значительной мере не передает звук, поэтому число Маха в действительности к такому движению неприменимо.)

Самолет, двигающийся со «сверхзвуковой» скоростью (скоростью более одного маха), несет звуковые волны за собой, если так можно выразиться, так как он перемещается быстрее, чем они. Объемы сжатия соединяются, и вместо плавного нарастания от сжатия до разрежения и обратно, как в обычных звуковых волнах, возникает резкая граница разделения между объемом сильных сжатий и окружающей нормальной атмосферой. Эти сильные потоки сжатия, направленные назад в виде конуса, угол которого зависит от числа Маха, и называются «ударной волной». Подобные потоки ударной волны возникают также от летящих пуль, или, например, от зигзага молнии, или других движений, которые энергично расширяют воздух при скоростях больше чем один мах. (Кстати, ударная волна — пример непериодической формы волны.)

Однако если самолет, летящий со сверхзвуковой скоростью, замедлится или изменит направление, ударная волна превратится в обычные звуковые колебания, переносящие при этом объемы необычно сильного сжатия и разрежения. В этой серии колебаний звуковые волны расширяются и ослабляются по мере того, как они распространяются, но если они начинаются довольно близко от земли или, случается, направлены вниз, то они ударят в землю со значительной силой, произведя эффект, известный как «акустический удар».

Гром, который производит молния, — один из примеров звукового удара, «щелчок» пастушеского кнута тоже представляет собой миниатюрный звуковой удар, так как было установлено, что у правильно сделанного кнута кончик перемещается со скоростью выше скорости звука.

Обычно, когда мы говорим о скорости звука, мы подразумеваем скорость его распространения сквозь воздух. Однако звуковые колебания распространяются сквозь любое материальное тело, и скорость их распространения изменяется в зависимости от природы этого тела. Межмолекулярные силы в жидкостях и твердых телах гораздо более сильные, чем в газах, а значит, восстановление их после сжатия происходит гораздо быстрее. Следовательно, звук распространяется в жидкостях и твердых телах с гораздо большей скоростью, чем в любом газе, и чем более твердой материей обладает тело (и, следовательно, с чем более сильными межмолекулярными силами), с тем большей скоростью звук распространяется сквозь него. В воде звуковые колебания распространяются со скоростью 1450 метров в секунду (3240 миль в час), а в металле — со скоростью приблизительно 5000 метров в секунду (или 11 200 миль в час).

Музыкальная шкала

В музыкальных инструментах звуки различной высоты тона могут быть воспроизведены посредством удара или щипка за струны различной длины и толщины, как это делается на фортепьяно или арфе, или, как в случае со скрипкой, используя немного струн, но изменяя их эффективную длину, зажимая пальцем один конец струны в различных точках, или позволяя звуковой волне заполнять трубки, которые могут удлиняться или сокращаться в зависимости от положения руки исполнителя, как это делается в тромбоне; или закрывая и открывая дополнительные объемы в трубке, закрывая отверстие пальцем, как во флейте, или нажимая на вентиль, как в трубе.

Когда на каком-либо инструменте берутся две ноты вместе или одна за другой, их комбинация кажется нам иногда приятной, а иногда — неприятной. Это, конечно, вопрос очень субъективный, к тому же основанный на культурном наследии слушателя, поскольку мы любим то, к чему мы привыкли, и множество типов музыки, начиная от рок-н-ролла и кончая, например, традиционной японской, могут показаться неприятными для непосвященного, но весьма нравятся их приверженцам. Однако если мы ограничимся рассмотрением «серьезной» классической западной музыки, то мы можем прийти к некоторым обобщениям и заключениям относительно ее.

Если две ноты прозвучали вместе, то результатом этого не являются два раздельных ряда звуковых волн, каждый из которых путешествует сквозь воздух независимо от другого, — мы имеем результирующую волну, которая произошла от сложения двух волн вместе.

Чтобы еще упростить, предположим, что мы каким-то образом создали две звуковых волны, каждая из которых одной и той же частоты, но звучит таким образом, что отстает от другой на половину длины волны. Всякий раз, когда одна звуковая волна формирует область сжатия в одной точке, другая — формирует там же область разрежения, и наоборот. Два эффекта взаимоуничтожают друг друга, и воздух не двигается. В результате взятые вместе два звука производят тишину; такое явление называется «интерференцией». Трудно представить это себе, если мы говорим о продольных волнах. Однако если изобразить продольные волны как аналогичные им поперечные волны (поскольку для данной цели такая замена вполне приемлема), то интерференцию достаточно легко изобразить. Во всех случаях, когда синусоида одной звуковой волны идет вверх, синусоида другой звуковой волны идет вниз, и если сложить эти два участка, то в результате мы получим ровную линию, то есть никакой волны вообще.

С другой стороны, если две волны одной и той же частоты звучат точно в фазе, они складываются друг с другом, так что сжимаемые области еще больше сжимаются, а разрежаемые области разрежаются еще больше, чем это бы было, если бы любой из этих звуков воспроизводился в одиночку. На аналогичной поперечной волне гребни и впадины отдельных волн совпадают и суммарные гребни будут выше, а впадины глубже, чем у любой из них. Наше ухо услышит один звук той же высоты тона, но более громкий. Это явление называется «укреплением» (reinforcement)[53].

На самом деле полная интерференция, или укрепление, маловероятна. Вместо этого две или более волн объединяются, укрепляясь здесь, уменьшаясь там, и в результате формируют окончательные образцы очень сложной формы, которая нисколько не будет походить на периодические синусоидальные волны ни одной из исходных нот. Однако сколь сложными бы эти образцы ни были, они останутся периодическими. То есть если взять небольшой повторяющийся отрезок из части образца, то повторением этого отрезка можно составить весь образец целиком.

В 1807 году французский физик Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830), изучая общие формы волны, показал, что любой периодический образец волны, каким бы сложным он ни казался, может быть разложен соответствующими математическими методами на составляющие его синусоидальные волны. Такие математические методы получили название «гармонический анализ», поскольку их можно применять по отношению к музыкальным звукам. (Образцы волн музыкальных звуков составлены из отдельных синусоидальных волн, которые демонстрируют организованный набор взаимосвязей. В тех случаях, когда этого не происходит, то есть когда составляющие синусоидальные волны выбираются и объединяются хаотически, результатом является не музыка, а «шум». Разница аналогична той, что существует между сложной, но правильно организованной геометрической фигурой и набором тех же линий, но начерченных случайным образом, — в последнем случае мы получаем обыкновенные каракули. Однако методы, разработанные Фурье, могут использоваться и для анализа образцов шумовых волн, поэтому для обозначения их часто употребляют более нейтральный термин — «волновой анализ».)

Давайте ограничимся рассмотрением очень простых примеров и не будем вовлекать сложные математические вычисления. Рассмотрим две ноты различной высоты тона, а потому — различной частоты, звучащие вместе. Сжатые области звуковой волны (или гребни, если мы будем говорить в более легко визуализируемых аналогиях поперечной волны) двигаются с более короткими интервалами — в случае ноты с более высокой частотой, а значит, они настигнут таковые звуковой волной с более низкой частотой.

Предположим, что одна нота имеет частоту 250 раз в секунду, а другая нота — частоту 251 раз в секунду, и предположим, что они начинают звучание в фазе. Первый гребень появляется одновременно у обеих нот. Второй гребень у ноты 251/с появляется только чуть-чуть раньше, чем второй гребень у ноты 250/с. Третий гребень появляется еще раньше, а четвертый гребень — раньше, чем третий. Однако в конце первой секунды и одна и другая ноты закончили точно 250 и 251 колебание соответственно. Они опять в фазе, но нота 251/с получает в каждую секунду один полный дополнительный гребень[54]. И за каждую следующую секунду нота 251/с получает еще один новый дополнительный полный гребень.

В точке, где две ноты находятся в фазе, гребень к гребню, имеется короткий период полного укрепления, и нота звучит громко. По мере прохождения секунды и падения гребней они все более и более выходят из фазы, то есть интерференция все более и более увеличивается, а звук становится более тихим. В полуминутной точке, на полпути между двумя синфазными периодами, ноты полностью выходят из фазы и гребень одной располагается напротив впадины другой ноты; в этой точке имеется короткий период полной интерференции. Результатом ее является полное затухание и пропадание звука, причем периодичность затухания происходит с интервалом, следующим за тем, когда гребни совпадают. Такое периодическое изменение громкости, когда две ноты звучат вместе, называется «биением».

Давайте рассмотрим еще две ноты с частотами 250/с и 252/с соответственно. Тогда после половины секунды одна нота закончит 125 колебаний, а другая — 126 колебаний, и они возвратятся в фазу, соответствующую гребню. Это будет повторяться каждую половину секунды, то есть будут получаться два биения в секунду. Число биений в секунду, в случае одновременного звучания двух нот, равно разности в частоте этих двух нот.

Если биения настольно редкие, что их можно различимо услышать, то они создают звуковые комбинации, неприятные для слуха. Наиболее неприятным является, очевидно, 30 биений в секунду. Однако в том случае, когда число биений в секунду больше 60, они взаимопроникают друг в друга, и для человеческого уха их комбинация кажется приятной или гармоничной.

Теперь давайте рассмотрим две ноты, у которых одна имеет частоту точно в два раза больше другой. Например, первая имеет частоту 220/с, а вторая — 440/с; отношение частот равно 1:2. Число биений, когда ноты звучат вместе, равно 440—220, или 220 раз в секунду. Биения дублируют ноту более низкого тона, так что кажется, что две ноты «сплавляются» друг с другом и начинают представлять собой одну и ту же ноту. Они гармонируют друг с другом.

Именно Пифагор был первым, кто заметил, что гармонирующие ноты связаны между собой целочисленными отношениями небольшой величины. У него не было никакой аппаратуры для непосредственного измерения самой частоты, но он рассмотрел струны различной длины. Он обнаружил, что две струны с длинами, относящимися как 1:2, производят приятную комбинацию, так же как струны с соотношением длин 2:3 и 3:4.

(Результаты этих наблюдений за звуком были истолкованы Пифагором с мистической точки зрения. Он рассматривал роль взаимодействия небольших целочисленных отношений в создании благозвучий в соответствии со своими взглядами о том, что вся Вселенная управляется числами. Он и его ученики предполагали, что и сами планеты способны создавать звуки — так называемую «музыку сфер», ноты в которой основаны на их расстояниях относительно Земли. Наука не могла освободиться от этих заблуждений в течение 2000 лет.)

Предположим тогда, что мы начинаем с ноты, частота которой равна 440/с (стандартная частота для музыкантов); назовем эту ноту А. Нота вдвое большей частоты звучит настолько подобно этой, что мы можем предположить, что это — тоже А, то есть мы можем использовать эту букву для обозначения ноты с частотой, равной половине А. Таким образом, фактически мы получим целый ряд значений такого А, с частотами, равными 110/с, 220/с, 440/с, 880/с, 1760/с и так далее, расширяя диапазон, из которого мы выбираем, на неопределенное значение вверх и вниз.

Между любыми двумя последовательными нотами А мы можем поставить другие ноты с частотами, которые состоят в некоторых других последовательных арифметических отношениях к нотам А и друг к другу. Общепринято подставлять в этот интервал шесть других нот; они обозначаются буквами В, С, D, Е, F и G. Таким образом, в интервале от А до А мы имеем ноты: А, В, С, D, E, F, G, А. В интервале от А до А располагаются восемь нот (считая и А), между которыми находятся семь интервалов. Поэтому интервал от А до А называется октавой (от латинского слова, означающего «восьмой».) Другие интервалы называются по-английски. Интервал от С до G (С, D, E, F, G), который включает в себя пять нот, называется «пятым», в то время как интервал от С до F — «четвертым». В нашей стране, да и во всем остальном мире, кроме США, общепринята латинская система обозначения музыкальных интервалов. Согласно ей сама нота С (представляющая собой интервал от себя до себя) называется «прима», интервал от С до D называется «секунда», от С до Е — «терция», от С до F — «кварта», от С до G — «квинта», от С до А — «секста», от С до В — «септима» и, наконец, от С до С — «октава». (Все названия музыкальных интервалов происходят от латинских слов, означающих соответственно: «первый», «второй», «третий», «четвертый», «пятый», «шестой», «седьмой» и «восьмой». — Пер.)

Частоты, соответствующие нотам, в диапазоне от А (220/с) до А (880/с):

Диапазон от 220/с до 440/с составляет одну октаву, а диапазон от 440/с до 880/с — другую октаву. Каждая нота в верхней октаве представляет собой удвоенную по частоте соответствующую ноту в более низкой октаве, так что интервал от В до В представляет собой октаву, так же как интервал от С до С, от D до D и так далее. Если вы запомните, что удвоение частоты создает ноты для каждой следующей более высокой октавы, а деление пополам — ноты для каждой более низкой октавы, вы сможете написать частоты для любой ноты в любой октаве.

Если мы послушаем ноты, идущие последовательно в пределах любой октавы, то обнаружим, что они звучат точно так же, как соответствующие ноты в пределах любой другой октавы: выше или ниже. Стандартная клавиатура фортепьяно охватывает диапазон немногим более семи октав; если мы будем нажимать одну за другой белые клавиши, то легко обнаружим, что одна и та же «мелодия» последовательно будет повторяться семь раз, только переходя на все более высокие тоны звуков.

Все частоты связаны между собой отношениями, которые могут быть выражены в небольших целых числах. Отношение G к С, например, равно 396:264, или 3:2; а отношение F к С равно 352:264, или 4:3. Именно эти простые отношения изучал Пифагор, и именно простота отношений обосновывает величину биений, при которых ноты «укрепляются» и хорошо «смешиваются» между собой. Именно поэтому квинты (3:2) и кварты (4:3) очень часто используются для построения благозвучных интервалов между последовательными нотами.

Но тогда также и отношения между тремя нотами (сочетание которых называется «основным трезвучием» или «аккордом»), С, Е и G, равное 264:330:396, или 4:5:6, будет благозвучным. F, А и С также составляют мажорное трезвучие, так же как и G, В и D. Фактически интервалы между нотами задуманы таким образом, что каждая нота может быть частью одного из этих трех мажорных трезвучий[55].

Если мы рассмотрим отношение частот смежных нот, то оказывается, что В:А относится как 9:8. Отношения между D и С, так же как и G:F, равны 9:8. Отношения E:D и A:G — не совсем такие же, но очень близки — 10:9. Другими словами, из семи интервалов между нотами в пределах одной октавы пять имеют примерно равный размер; мы можем назвать их «целыми интервалами».

Частотное отношение F:E, однако, является только половинкой, поскольку оно равно 352:330, или 16:15; это также истинно и для отношения С:В. (Более просто можно объяснить это другими словами. Отношение 9:8 представляет собой увеличение в частоте на 12,5 процента, а отношение 10:9 представляет собой увеличение на 11,1 процента. Однако отношение 16:15 представляет собой увеличение только на 6,7 процента.) То есть при переходе от В к С или от Е к F мы преодолеваем только «половину интервала»[56].

Если мы начнем с А и будем подниматься по октаве вверх через ноты В, С и так далее, то мы будем проходить интервалы в следующем порядке: тон, полутон, тон, тон, полутон, тон, тон, тон, полутон, тон, тон, полутон и так далее. Полутона последовательно отделены двумя целыми тонами, затем — тремя целыми тонами, двумя тонами, тремя тонами и так далее.

Когда мы поем гамму, используя традиционные имена для нот (до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до), благодаря многовековой привычке мы настаиваем на размещении полутоновых интервалов между ми и фа и между си и до. Любая другая последовательность кажется нам звучащей неправильно. Таким образом, мы хотим, чтобы семь интервалов октавы располагались по следующему образцу: тон, тон, полутон, тон, тон, тон, полутон. Если вы посмотрите назад, то увидите, что такая специфическая последовательность может существовать, только если мы начинаем гамму с ноты до, то есть до на ноте С (на которой из С — не имеет никакого значения). Тогда ре становится D, ми — Е, фа — F, соль — G, ля — А, си — В и снова до становится С. Малый интервал «ми — фа», в котором расстояние между нотами равно полутону, переписывается в EF, а интервал «си — до», в котором расстояние равно тому же полутону, соответствует ВС. Расположение нот, которые вы поете, теперь соответствует последовательным нотам, из которых состоит октава, если начинать ее с С и играть на белых клавишах фортепьяно. Если вы начнете играть ноты на любой другой клавише, кроме С, и будете нажимать последовательно белые клавиши, то и фортепьяно, и вы будете извлекать полутона в непривычных местах, а потому — звучание (фортепьяно, конечно, а не ваше) будет казаться вам ужасным.

Желательно быть способным играть гамму от любой точки на клавиатуре фортепьяно, например, для того, чтобы приспособить диапазон фортепьяно к конкретному человеческому голосу. По этой причине в каждую октаву вставлены пять черных нот, расстояния между «белыми» клавишами и «черными» клавишами равны одному полутону, что позволяет разбить любую октаву на пять больших интервалов. Это позволяет нам сохранить привычную последовательность двух (CD, DE) и трех тонов (FG, GA, АВ) — тон, тон, полутон, тон, тон, тон, полутон — по всей клавиатуре. Теперь можно начинать играть гамму с любой клавиши фортепьяно, не важно — с черной или с белой; не забывайте только выбирать ноты тщательно и нажимать иногда черную, а иногда белую. И только если вы начинаете с С, вы можете сыграть всю гамму, всего лишь нажимая последовательно белые клавиши.

Именно по той причине, что С оказывается естественной до, игра в «ключе С» является самой простой для начинающих (главным образом — только белые клавиши). До первой октавы[57] является специфической нотой, которая находится примерно в середине клавиатуры фортепьяно, частота этой ноты равна 264/с[58].

Преобразование звука

Высота тона изменяется, если источник звука перемещается относительно слушателя. Предположим, что стоящий вдалеке поезд издает гудок, который имеет частоту 344/с. В этом случае, когда звуковая волна достигает нас, в нашу барабанную перепонку каждую секунду будут ударять 344 комбинации сжатия/разрежения. Поскольку звук (при комнатной температуре) двигается со скоростью 344 метра в секунду, последовательные области сжатия будут располагаться на расстоянии одного метра.

Предположим теперь, что поезд начинает быстро двигаться по направлению к нам со скоростью 34,4 метра в секунду (75,8 мили в час), или, иначе, — со скоростью, равной одной десятой скорости звука. Он все еще продолжает издавать гудок. Одна область сжатия перемещается перед ним; ко времени, когда она переместилась на один метр, испускается другая область сжатия. Однако к этому времени поезд продвинулся вперед на десятую часть метра, и вторая область сжатия будет находиться на расстоянии только 0,9 метра позади первой. Если поезд движется с постоянной скоростью, то же самое происходит и со всеми остальными последовательными областями сжатия. По этой причине наших барабанных перепонок достигает сначала первая область, а затем — следующая, но звуковые волны исходят от движущегося поезда, а потому вторая волна достигнет наших барабанных перепонок на 0,1 секунды раньше, то есть до нас доходит 344/0,9, или 382 колебания. Человек, едущий на поезде и поэтому перемещающийся вместе с источником звука, получает за одну секунду все те же 344 области сжатия. Отношение 382:344 близко к 9:8, так что звук гудка поезда представляется более пронзительным для человека, наблюдающего подход поезда, чем для человека, который едет на поезде, и разница составляет почти целый тон.

С другой стороны, если поезд удаляется от слушателя, то за то время, когда первая область сжатия переместилась на метр к слушателю, возникает новая область, поезд отдалится на десятую часть метра и расстояние между двумя областями сжатия будет 1,1 метра. Частота звука составит тогда 344/1,1, или 312 раз в секунду. Теперь это ниже почти на целый тон, чем было бы слышно человеку на поезде.

Если бы мы стояли на перроне, то звук гудящего и проносящегося мимо нас поезда изменился бы внезапно: от частоты 382/с по мере приближения и прохождения к частоте 312/с по мере удаления. Это явление называется эффектом Доплера, названным так в честь австрийского физика Иоганна Кристиана Допплера (1803–1853), который первым изучил и дал правильное объяснение данному эффекту в 1842 году.

Высота тона также может изменяться и гораздо более тонким способом. Одна и та же нота, сыгранная с одной и той же громкостью на фортепьяно, скрипке или кларнете, звучит для нас по-разному. При наличии хотя бы минимального опыта мы можем легко определить, на каком из инструментов была сыграна данная нота. Эта разница в звуках, которые являются идентичными по высоте и громкости, определяется разницей в «качестве», или «тембре», звука.

Чтобы объяснить это, мы должны учесть, что колебания струны или любого другого устройства, производящего звук, на самом деле более сложные, чем я их описал. Струна, например, может действительно вибрировать целиком, чтобы создать вибрацию и поэтому звуковую волну данной частоты. По аналогии с поперечной волной это была бы простая синусоида и то, что называется «основным тоном». Именно основной тон мы обычно и имеем в виду, когда говорим о частоте какой-то специфической ноты.

Однако струна может вибрировать так же, как состоящая из двух половин: одна половина смещается вправо, в то время как другая половина смещается влево, и наоборот; средняя же точка струны, разграничивающая эти две половины, выступает в роли неподвижного узла. Каждая из половин струны вибрирует с частотой в два раза большей, чем частота целой струны, так что звучащий тон будет по высоте в два раза выше, чем основной тон. Струна может также вибрировать с периодом в три, четыре, пять и так далее раз меньшим, производя при этом тон в три, четыре, пять и так далее раз более высокий, чем основной. Все эти ноты более высоких частот называются «обертонами». Основной тон и различные обертоны звучат одновременно, и в реальности движение струны является их комбинацией. Основной тон остается доминирующим, но обертоны добавляют свои формы волны, и поэтому окончательная форма волны является гораздо больше сложной, чем простая синусоида. Кроме того, при различных условиях в струнах (пока мы не будем говорить о других источниках звука) обертоны могут обладать различной громкостью звука, в некоторых случаях обертон может даже звучать громче, чем основной тон, так что окончательная форма звуковой волны будет различной для разных инструментов. Разница в звучании является вполне достаточной, чтобы мы могли ее заметить при помощи наших барабанных перепонок.

Эту разницу можно усилить при помощи различных методов отбора некоторых обертонов и их последующего усиления. Давайте посмотрим, как это делается.

Один источник звуковых колебаний может заставить другой вибрировать совместно с ним, издавая ту же самую звуковую волну, что и первый, и воспроизводить тот же самый звук. Если вибрирующий камертон посадить на основание ручкой вниз, то его звук внезапно становится громче, потому что теперь вместе с ним вибрирует все основание.

Такие «вынужденные колебания» не являются даже результатом прямого физического контакта между твердыми телами. Вполне достаточно косвенного контакта сквозь воздух. Данная вибрация создает пульсацию воздуха в виде продольных волн; эти волны, в свою очередь, заставляют совместно вибрировать барабанную перепонку. Барабанная перепонка будет двигаться внутрь, когда на нее воздействует область сжатия, и наружу, когда на нее воздействует область разрежения; она способна отклоняться на большие расстояния от положения равновесия, по мере того как области становятся более сжатыми или более разреженными. Таким образом, через такие принудительные колебания, при которых барабанная перепонка точно дублирует первоначальную вибрацию, благодаря сложному механизму восприятия звуков человеком (который мы не будем описывать здесь), мы способны судить о высоте тона, громкости и даже тембре звука.

Однако существуют случаи, когда некоторая определенная частота может быть «вызвана» на втором объекте еще более легко. Представьте себе, например, что вы раскачиваете качели с ребенком. Ребенок на качелях представляет собой разновидность маятника и имеет собственный период колебаний. Если вы начинаете последовательно, через произвольные интервалы времени подталкивать его, то иногда вы будете создавать встречное движение, «притормаживая» его, поскольку ваше движение и движение качелей будут направлены противоположно. Продолжая далее, вы обратите внимание на тот факт, что такие толчки расходуют большое количество вашей энергии. Однако если вы так рассчитали свои толчки, что прикладываете их в тот момент, когда качели начинают двигаться от вас, то есть они действуют вместе с собственными колебаниями качелей, то таким образом добавляете приращение к их скорости, все более увеличивая ее с каждым колебанием и с каждым ритмичным толчком. Потратив гораздо меньшее количество энергии, вы получите значительно более быстрое и расширенное колебание. (Когда рота солдат пересекает мост, звучит команда: «Сбить шаг!» Иначе если все солдаты идут в ногу, то может быть как в случае, когда сильный стук шагов роты совпал с собственным периодом колебаний моста, мост начал раскачиваться все больше и больше и в конечном итоге разрушился.)

Аналогичная ситуация существует и для звуковых волн. Звуковая волна определенного тона каждой своей областью сжатия и разрежения будет подталкивать другой объект. Если ритм «толчков и натяжений» не будет соответствовать периоду собственных колебаний объекта назначения, то вынужденные колебания могут быть получены только за счет затрат значительного количества энергии, используемой для того, чтобы преодолеть эти собственные колебания. Однако если частота звуковых колебаний соответствует периоду собственных колебаний объекта назначения, то последний начинает вибрировать все больше и больше. Это явление называется «резонансом» (от латинских слов, означающих «зазвучать снова»).

Любая данная звуковая волна произведет гораздо большее количество колебаний в объекте резонирования, чем в любом другом; фактически только объект резонирования может начать издавать звуковые волны достаточно громкие, чтобы быть слышимыми. Предположим, например, что вы поднимаете крышку пианино, открываете струны и нажимаете ногой на педаль громкости, чтобы дать возможность этим струнам свободно вибрировать. Теперь спойте короткую, громкую ноту. Только те из струн, которые вибрируют в частоте этой ноты, будут резонировать, и когда вы прекратите петь, то услышите, что пианино тихо отзывается той же самой нотой.

Звук музыкальных инструментов зависит от резонанса материалов, из которых они сделаны, их структура усиливает и добавляет богатую окраску к извлекаемым из инструмента звукам. Фортепьяно имеет специальный «резонансный щит», называемый «декой», находящийся под струнами и способный резонировать с различными нотами. Если бы деки не существовало, то звуки, которые издавали бы струны фортепьяно при игре на нем, были бы гораздо тише.

Естественно, эффективность звуковой отдачи резонирующих частей каждого инструмента является весьма различной для различных нот (однако резонирующие части инструментов делаются такими по форме и устроению, чтобы максимально совместить собственный период колебаний резонирующих частей музыкального инструмента со звуками, издаваемыми этим инструментом). Дерево, из которого делают скрипки, резонирует от нот, которые издает этот инструмент, но оно может еще более эффективно резонировать от некоторых обертонов. Не существует двух скрипок, которые имели бы точно ту же форму, совершенно ту же структуру древесины или были бы покрыты точно таким же лаком. Как результат, от инструмента к инструменту имеются тонкие различия в резонансе. Великий итальянский скрипичный мастер Антонио Страдивари (1644–1737) изготавливал скрипки, которые до сих пор приводят в отчаяние мастеров, пытающихся подражать его работам или копировать их, поскольку до сих пор не представилось возможным создать инструмент, который дублировал бы богатство их тона.

Сами звуки, которые мы издаем, производят резонансы в воздухе, заполняющем пустоты в горле, рту и в носовых полостях. Собственные колебания воздуха зависят от формы и размера полостей, а так как ни у каких двух индивидуумов эти полости не являются в точности теми же самыми по форме и размеру, то соответственно различаются и человеческие голоса; в то же время наше ухо обладает огромной избирательной способностью, позволяющей нам, например, распознать голос друга, кричащего нам из большой толпы.

Отражение звука

Рябь на поверхности водяного резервуара поворачивают обратно, когда она ударяется о стенку резервуара; если мы скажем, что, например, до удара она распространялась влево, то после контакта она продолжает распространяться вправо, подобно тому как отражается бильярдный шар, ударившись о борт стола. То, что произошло, называется «отражением» (reflected) жидкостной волны (от латинских слов, означающих «согнуться назад»).

Звуковые волны также могут отражаться. Например, они могут отразиться от стены горы. Если, стоя в долине, мы прокричим какое-то слово, то в первый раз мы услышим его практически мгновенно, по мере того как оно оставляет наши губы, поскольку воздух тут же передаст от губ до уха. Второй раз мы услышим его через несколько секунд, когда звуковая волна достигнет горы, отразится и пересечет долину второй раз. Это явление называется «эхо». При определенном расположении стен гор можно услышать эхо еще не один раз.

Подобное эхо можно услышать в туннелях, в больших пустых комнатах и в любых других местах, где поверхности состоят из твердого материала, который скорее отражает звук, чем поглощает его. В эллипсоидальных комнатах звук, произнесенный в одном фокусе эллипса, распространяется во всех направлениях; однако, отражаясь от различных частей стен и потолка, он снова концентрируется в другом фокусе эллипса. Двое людей, стоящие в фокусах, могут разговаривать шепотом, несмотря на то что они разделены большим расстоянием. Такие «шептальные галереи» всегда поражают тех, кто прежде никогда с ними не сталкивался.

В комнатах умеренного размера отрезок времени, за который звуковая волна распространяется до стены, отражается к противоположной стене, снова отражается по направлению к первой стене и так далее, является настолько коротким, что четко различимое эхо услышать невозможно. Вместо этого последовательность очень коротких эхо сливается в монотонный, глухой шум, который может сохраняться в течение довольно значительного времени после того, как первоначальный звук уже прекратился. Это явление сохранения звука называется «реверберацией». Изучение поведения звука в определенных, заданных местах, особенно в отношении того, насколько возможно возникновение такой реверберации, называется «акустикой» (от греческого слова, означающего «слушать»), сам термин «акустика» иногда применяют и к изучению звука вообще.

Реверберация может создавать большие неудобства. Например, лектор может обнаружить, что его слова невозможно разобрать из-за затухающего звука его предыдущих слов. Оркестранты могут обнаружить, что все их усилия сошли на нет из-за того, что сыгранные ноты накладываются на те, которые играются в данный момент. Реверберацию можно уменьшить, если задрапировать стены, использовать мягкий, пористый материал для потолка или даже просто присутствием в аудитории людей в зимней одежде. Когда звуковые волны проникают в маленькие промежутки в ткани или другом пористом материале, контакт перемещающихся молекул воздуха с твердыми частями материала происходит по чрезвычайно расширенной области. Трение резко увеличивается, и звуковая энергия преобразовывается в теплоту. Звуковые волны, другими словами, скорее поглощаются, чем отражаются.

Однако тут существует другая опасность — чрезмерное уменьшение реверберации. Если реверберацию приводят к слишком низкому уровню, то это создает эффект «мертвого звука». Обычно стремятся достигнуть времени реверберации, равного одной секунде или даже двум секундам, если помещение очень большое.

Звуковые волны не всегда отражаются или поглощаются (так же как и жидкостные волны), они могут огибать препятствия и продолжать двигаться вперед. Именно поэтому мы и не испытываем никаких трудностей, чтобы услышать кого-то, обращающегося к нам из-за дерева или из-за угла. Эта способность огибать препятствия не является характерной для любых видов волн.

В 1818 году французский физик Огюстен Жан Френель (1788–1827) смог показать, в рамках исследований о движении волн вообще, что от сравнительного размера длины волны и препятствия зависит — была волна отражена или нет. Когда препятствие было размером с длину волны или меньше, оно не отражало волну, волна вместо этого огибала препятствие. С другой стороны, если препятствие было значительно больше, чем длина волны, то волна отражалась от него.

Если мы рассмотрим повседневные звуки, которые нас окружают, и сопоставим их с частотами, скажем, в средней части клавиатуры фортепьяно, то они попадут в диапазон от до большой октавы до до третьей октавы, то есть в диапазон четырех октав. Диапазон частот простирается от 66/с до 1056/с. Если мы воспользуемся уравнением 12.2, то увидим, что диапазон длин волн по этим четырем октавам — от 5,2 до 0,32 метра (примерно — от 1 до 18 футов). Размер физических препятствий, которые мы обычно встречаем в жизни, попадает в пределы этого диапазона размеров, и поэтому они не отражают звук в большой степени, а звук огибает их.

Это огибание, конечно, более вероятно для более низких звуков, чем для более высоких. Мы судим о направлении звука по разнице в их громкости по отношению к нашим двум ушам. Автоматически мы поворачиваем голову до тех пор, пока оба наших уха не услышат звук с равной громкостью. Наша голова достаточно крупная для того, чтобы отражать в небольшой степени пронзительный звук, приходящий к нам с одной стороны. Тогда возникает значительная разница во времени доступа для звука, приходящего к одному уху, и для другого, огибающего нашу голову по пути к другому уху. Поэтому нам не представляет никаких трудностей определить местонахождение ребенка, зашедшегося пронзительным криком. С другой стороны, звуки глубокого тона, например низкого регистра органа, легко двигаются вокруг нашей головы и одинаково интенсивны в обоих ушах. Звук кажется нам приходящим со всех сторон; это добавляет органу возвышенности и величественности.

Полный диапазон фортепьяно охватывает 7,5 октавы. Самая низкая нота в этом диапазоне обладает частотой 27,5/с и длиной волны 12,5 метра. Мы можем слышать даже еще более низкие звуки, однако обычно пределом слышимости является 15/с звук с длиной волны 22 метра. Самая высокая нота фортепьяно обладает частотой 4224/с и длиной волны 0,081 метра, или 8,1 сантиметра. Ухо взрослого человека способно слышать звуки с частотой вплоть до 15 000/с (длина волны равна 2,2 сантиметра), а ребенок может иногда слышать частоты высотой до 20 000/с (длина волны равна 1,7 сантиметра). Такие чрезвычайно пронзительные звуки очень хорошо отражаются объектами, которые слишком малы для того, чтобы отражать звуки в среднем звуковом диапазоне. Высокий по тону скрип сверчка может быть так хорошо отражен различными объектами, что почти невозможно точно определить, откуда доносится первоначальный звук.

Несомненно, различные объекты могут вибрировать с частотой меньше чем 15/с и больше чем 20 000/с; когда это случается, то получаемые в результате звуковые волны нам не слышны. Те звуковые волны, которые находятся ниже порога нашего слухового восприятия, называются «инфразвуковыми волнами» (infrasonic — от латинских слов, означающих «ниже звука»), в то время как те волны, которые являются слишком высокими для того, чтобы мы их услышали, называются «ультразвуковыми волнами» (ultrasonic — от латинских слов, означающих «выше звука»). В повседневной жизни более приняты упрощенные названия: «инфразвук» и «ультразвук».

Инфразвуковые волны играют сравнительно незначительную роль в повседневной жизни, кроме случаев, когда они становятся достаточно энергичными, чтобы нанести физические повреждения, например при землетрясениях. Ультразвуковые же волны воздействуют на нас более часто и различными способами. Во-первых, они неслышимы не для всех форм жизни; многие животные могут и слышать их, и воспроизводить. «Беззвучные» свистки, на которые реагируют собаки, производят волны ультразвуковой частоты, которые мы не слышим, но которые прекрасно слышат собаки. Поющая канарейка воспроизводит ультразвуковые волны, которые, несомненно, очень украсили бы ее песни, если бы мы могли их услышать. Писк мыши содержит ультразвук, который мы не слышим, зато его слышит кот, что весьма увеличивает эффективность его охоты.

Ультразвуковые волны, длины волн которых даже короче, чем таковые самых пронзительных звуков, которые мы можем услышать, весьма эффективно отражаются даже достаточно маленькими объектами. Летучие мыши пользуются преимуществами этого факта. При полете они испускают непрерывный писк, который представляет собой ряд ультразвуковых импульсов с частотами от 40 000 до 80 000/с, то есть с длиной волны от 8 до 4 миллиметров. Даже тонкий прутик или мелкое насекомое будут иметь тенденцию отражать звуки столь короткой длины волны; летучая мышь, чей писк имеет чрезвычайно короткую продолжительность, ловит слабое отраженное от предметов эхо. Таким образом, летучая мышь летит на слух и может точно и эффективно продолжать полет, даже в условиях полной слепоты. Процесс, посредством которого летучая мышь ориентируется в пространстве, называется «эхолокацией».

Люди научились использовать этот эффект, испуская при помощи специального прибора пучки ультразвуковых волн под водой. Они отражаются от различных морских объектов: дна моря, выступов на нем, камней, лежащих на морском дне, или плывущих косяков рыбы или субмарин. Такой прибор называется «гидролокатором» или «сонаром». SONAR (Sound Navigation And Ranging) — это аббревиатура, расшифровывающаяся как «звуковая навигация и размерность» (в данном случае слово «размерность» означает определение геометрических размеров тел, но, зная геометрические размеры и скорость распространения звука в воде, мы всегда можем определить и расстояние до объекта).

Тепло и холод

Несколько раз в данной книге я упоминал понятие теплоты, особенно в конце седьмой главы, когда рассматривал сохранение энергии. Однако я не остановился на этом понятии и не стал рассматривать его подробно, так как для этого сначала требовалось подробно рассмотреть свойства жидкостей и особенно газов. Теперь мы уже достаточно хорошо познакомились с этими свойствами, а поэтому желательно опять вернуться к рассмотрению понятия «теплота».

Теплота наиболее хорошо знакома нам по личным ощущениям. Мы чувствуем горячее и холодное и знаем, что подразумеваем, когда говорим, что один объект «более горячий», чем другой. Характеристика объекта, которая определяет, насколько данный объект горячий или холодный, называется его «температурой».

Температура имеет огромное значение для физиков, потому что очень многие из свойств материи, с которой они имеют дело, изменяются вместе с температурой. В предыдущей главе, например, я упомянул, что скорость звука изменяется в зависимости от температуры. Еще, например, объем данной массы воды увеличивается, когда температура ее находится вблизи точки кипения, а значит, плотность ее уменьшается. Горячая вода обладает более слабыми силами сцепления, чем холодная, так же ведут себя и вязкость, и поверхностное натяжение, которые уменьшаются по мере повышения температуры. Даже такие кажущиеся неизменяемыми величины, как длина железного прута, тоже изменяются в зависимости от температуры.

Из этого всего следует, что, если физик собирается сделать некие надлежащие обобщения, рассматривающие всю Вселенную, он должен знать, как свойства материи изменяются в зависимости от температуры, и, конечно, должен быть способен точно измерить эту температуру. Наши субъективные чувства недостаточно точны в зависимости от разных условий и иногда чрезвычайно неточны, поэтому для этой цели они непригодны.

Например, полированная металлическая поверхность, подвергнутая воздействию температуры замерзания воды, при прикосновении будет казаться нам намного более холодной, чем полированная деревянная поверхность, подвергнутая воздействию тех же самых условий. Еще больший парадокс можно получить в результате известного эксперимента. Если вы поместите одну руку в ледяную воду, а другую руку — в горячую и подержите их там в течение нескольких секунд, затем поместите обе руки в один и тот же сосуд с теплой водой, вы будете одновременно чувствовать, что теплая вода стала горячей (вашей холодной рукой) и холодной (вашей горячей рукой).

Поэтому появляется необходимость в средствах, которые позволили бы объективно измерять величину температуры. Логический метод состоит в том, чтобы найти некое свойство, которое изменяется в очевидно однородной манере одновременно с изменением температуры, а затем связать установленные изменения в температуре с установленными изменениями в этих свойствах. Для этой цели физики используют множество различных температурно зависимых свойств, но наиболее часто используемое свойство, характерное для диапазона температур, с которым мы встречаемся в повседневной жизни, — это свойство объемного расширения. Объем данной массы материи обычно увеличивается с повышением температуры и уменьшается по мере ее падения. (Я говорю «обычно», потому что и из этого правила встречаются некоторые исключения.)

В случае жидкостей и твердых тел изменение в объеме в зависимости от температуры весьма невелико и фактически неразличимо глазом. Таким образом, стальной прут длиной в один метр при нагревании его от температуры таяния льда до температуры кипения воды увеличится в длине на один миллиметр, то есть на одну тысячную часть. Так как расширяющийся прут обладает объемом, то другие измерения также увеличатся на одну тысячную часть, и если стальной прут обладает круглым сечением с радиусом в один сантиметр, то этот радиус увеличится на одну сотую миллиметра.

Несмотря на то что такие изменения крайне невелики, не следует недооценивать их значительность. Длинные металлические прогоны типа тех, что используют в мостах, или длинные рельсы типа тех, что используют на железнодорожных путях, расширятся и согнутся под горячим летним солнцем, если жестко закрепить оба их конца. Чтобы избежать этого, между сопряженными деталями оставляют небольшое свободное пространство, куда они могли бы расшириться. Даже незначительное изменение в длине маятника часов слегка изменит его период, поскольку этот период зависит от его длины. Ошибка в измерении времени, которая этим вызвана, является совокупной и создает необходимость периодической корректировки часов летом, несмотря на то что при более холодных температурах они показывают точное время.

При одном и том же изменении температуры разные материалы расширяются по-разному. Сплав железа и никеля (в соотношении от 5 до 3), например, расширяется только на одну десятую того, что показали бы железо или сталь. По этой причине такой сплав весьма полезен, чтобы делать из него измерительные ленты, прутки стандартной длины и так далее. Поскольку его длина более постоянная, чем таковая у большинства металлов, торговое название для этого сплава — инвар[59].

Стекло расширяется в зависимости от температуры почти в той же степени, что сталь. Если стеклянный сосуд подвергнуть значительному температурному воздействию, одна часть этого сосуда будет расширяться (или сокращаться), в то время как другая часть, на которую температура еще не воздействует, останется в прежнем состоянии. По абсолютному значению, это расширение или сокращение будет весьма невелико, но его будет достаточно для того, чтобы создать внутреннее напряжение, которому силы сцепления стекла не способны противостоять, поэтому стекло треснет.

Одним из путей решения этой проблемы является использование относительно тонкого стекла, чтобы при нагревании одной части сосуда другая часть также нагревалась достаточно быстро[60]. Более удачный путь состоит в том, чтобы использовать борсодержащее стекло, обычно известное под торговым названием «пирекс», который при том же изменении температуры изменит свой объем только на треть от того, насколько изменяется обычное стекло. Поэтому пирексное стекло гораздо более устойчиво к изменениям температуры; они вызывают в нем гораздо меньшие внутренние напряжения. Таким образом, не требуется приносить в жертву температурной стабильности ни его толщину, ни механическую прочность. Кварц обладает еще меньшей тенденцией к изменению своего объема в зависимости от температуры (меньшей даже, чем у инвара), а потому еще более пригоден для этой цели. Кварцевый сосуд можно нагреть «докрасна», затем погрузить в ледяную воду, и он выйдет из этого испытания неповрежденным.

Однако, несмотря на поразительные эффекты, которые вызывает это небольшое изменение объема, они остаются ничтожными по фактическому размеру. Чтобы использовать их для измерения температуры, нужно каким-то образом их усилить, в противном случае для измерения температур они становятся непригодными. К счастью, для усиления небольших объемных расширений существуют достаточно простые методы.

Один метод состоит в том, чтобы спаять вместе ленты из двух различных металлов, например железную и медную. При данном изменении температуры изменение в объеме (и поэтому в длине) медной ленты составит величину почти в два раза большую, чем у железной ленты того же размера. Если две металлические ленты не спаять вместе, медь расширится под влиянием увеличения температуры и выскользнет из-под железа, которое расширится крайне незначительно, и станет гораздо длиннее, хотя изначально обе полоски были равной величины. Если же вместо нагрева мы применим охлаждение, то опять же, сократившись, медная полоска станет короче железной, несмотря на то что изначально они были равной длины; медь сильно уменьшается с охлаждением, а железо — на весьма ничтожную величину; таким образом, медная полоска проскользнет под железную.

Однако эти две металлические ленты сварены вместе, и медь не может скользить по железу. Что же тогда происходит? Случается то, что при нагревании сваренные ленты («биметаллическая пластина» или «биметаллический стержень») сгибаются в направлении железа. В этом случае медь лежит по внешней стороне кривой, а железо — по внутренней. Так как внешняя сторона является более длинной, чем внутренняя, это позволяет медной полоске быть более длинной, чем железная, при сохранении целостности сварки. По мере падения температуры пластина распрямляется и при достижении исходной температуры снова становится прямой. Если же температура продолжает опускаться, то биметаллическая пластина изгибается в направлении меди, которая теперь находится на внутренней стороне кривой, в то время как железо находится на внешней стороне.

Если такая биметаллическая пластина закреплена с одного конца, то другой конец двигается из стороны в сторону в зависимости от влияющей на него температуры. Несмотря на то что внешняя сторона изогнутой ленты очень не намного более длинная, чем внутренняя, даже небольшое увеличение длины приводит к резкому уменьшению радиуса кривизны. По этой причине даже небольшая разница в температуре, производя очень маленькие различия в длине между железом и медью, в то же время значительно изменяет изгиб.

Устройство такого типа может использоваться как термостат. Когда температура в доме падает, биметаллическая лента начинает изгибаться, скажем налево, и при некоторой температуре этого изгиба становится достаточно для того, чтобы замкнуть электрический контакт, который включает обогреватель. Как только дом нагревается, биметаллическая пластина изгибается назад, размыкает контакт и, таким образом, выключает нагреватель. Изменяя положение электрического контакта (что достаточно легко осуществить), мы можем добиться того, чтобы биметаллическая пластина включала нагреватель при любой заданной температуре.

Опять же положение свободного конца такой биметаллической полоски может использоваться для измерения температуры. Если мы закрепим на ней писчее перо, поместим под него вращающийся с постоянной скоростью барабан с бумагой, то получившееся устройство будет показывать текущее значение температуры, а мы можем всегда увидеть изменение ее от заданной позиции.

Маятник опять же может быть спроектирован таким образом, чтобы его подвес был выполнен не из одного металла, а из двух, скажем из железа и цинка. Они могут быть соединены между собой горизонтальными пластинами таким способом, чтобы температурные изменения в цинке старались удлинить маятник, в то время как температурные изменения в железе — сократить его. Совместным действием такого механизма было бы поддержание неизменной длины маятника независимо от температуры окружающей среды. Такое устройство называется «компенсированным маятником».

Температурные шкалы

Общепринятым методом усиления объемного расширения в целях измерения температуры является использование не твердых тел, а жидкостей. Представьте себе сферический сосуд, из которого откачан воздух, с идущей из него вверх тонкой трубкой постоянного диаметра. Сосуд вмещает достаточно жидкости, чтобы полностью заполнить сферу, но трубка остается пустой и содержит только вакуум. Если жидкость нагреть, ее объем увеличится, и у нее не будет никакого выхода, кроме как подниматься вверх по трубке. Объем жидкости, который поднимается по трубке, можно посчитать по обычной формуле для объема цилиндра, V = πr²h, где r — радиус цилиндрической трубки, a h — высота, до которой повышается жидкость. Для данного объема чем меньше значение радиуса трубки, тем на большую высоту поднимется по ней жидкость. Из этого следует, что даже при том, что дополнительный объем жидкости (который возникает благодаря температурному расширению) очень невелик, изменение в высоте уровня жидкости в трубке можно сделать весьма значительным, стоит только уменьшить до нужной величины радиус трубки. С тем, чтобы отградуировать шкалу, отражающую изменение высоты жидкости в трубке в зависимости от изменения температуры, тоже нет никаких трудностей.

Устройство, сделанное по принципу расширения жидкости из резервуара в тонкую трубку, используется для измерения температуры. Оно называется «термометр» (от греческих слов, означающих «меру теплоты»). Такие термометры были сначала изобретены в XVII столетии; тогда в них использовались разнообразные жидкости. Вода, естественно, была одной из первых. К сожалению, при изменении температуры вода расширяется неравномерно. Фактически она достигает точки максимальной плотности и минимального объема при температуре, которая находится чуть выше ее точки замерзания. Если мы будем далее понижать температуру, то вода будет расширяться до тех пор, пока температура не достигнет точки замерзания; тогда она замерзнет (и при этом расширится еще больше, поскольку плотность льда меньше, чем плотность воды, почти на десять процентов). Кроме того, вода остается жидкостью в сравнительно маленьком температурном диапазоне и бесполезна для температур ниже ее точки замерзания или выше точки кипения. Этиловый спирт, также используемый в термометрах, остается жидкостью при температуре гораздо ниже той, при которой замерзает вода, однако кипит при температуре даже более низкой, чем температура кипения воды.

Кроме того, и вода, и этиловый спирт смачивают стекло. По мере того как высота жидкости падает с понижением температуры, какая-то часть жидкости остается на трубке, сцепившись со стеклом, а затем медленно опускается вниз. При этом происходит медленное повышение уровня жидкости и трудно решить, происходит это из-за повышения температуры или из-за того, что жидкость сочится вниз.

Первым, кто решил использовать в термометрах в качестве жидкости ртуть, был немецкий физик Даниель Габриель Фаренгейт (1686–1736), и это произошло в 1714 году. Точка замерзания ртути находится значительно ниже точки замерзания воды, а ее точка кипения — значительно выше; кроме того, при повышении температуры ртуть расширяется очень плавно. (Одним из путей оценки этого является то, что мы можем отметить согласованность между изменением объема ртути и другими изменениями в материи вещества, которые говорят об изменении температуры. Более разумно было бы предположить, что все эти изменения взаимосвязаны с изменением температуры, а не получены путем случайных совпадений.) Наконец, ртуть не смачивает стекло, а потому медленно стекающие остатки ртути не оказывают влияния на высоту ртутной колонки.

Как только мы получили легко видимое свидетельство изменения измеряемой температуры — посредством повышения и падения ртутного столбика в узкой трубке термометра, следующим этапом стало градуирование этого термометра, то есть необходимость связать некоторые определенные числовые значения с определенными положениями столбика термометра.

При нормальном атмосферном давлении, например, лед плавится при вполне определенной температуре, и резонно полагать, что эта температура одинакова везде и всегда. (По крайней мере, пока не будет доказано противоположное.) Точно так же при нормальном атмосферном давлении вода всегда кипит при определенной температуре, которая одинакова везде и всегда. Если поместить термометр в тающий лед, то можно поставить отметку на том уровне, на который поднимется ртутный столбик; можно также поставить другую отметку на том уровне, на который поднимается ртутный столбик, когда мы погружаем термометр в кипящую воду. Таким образом, все люди могут поставить эти две отметки на своих термометрах, и они будут «совместимы между собой», то есть «будут говорить на одном языке». Как только мы получили две такие отметки, мы можем поделить расстояние между ними на некие равные части, или, как их называют, «градусы».

К сожалению, метод, которым воспользовался Фаренгейт для установления точки отсчета, непосредственно не вовлекал ни точку таяния льда, ни точку кипения воды. Для определения нулевой точки он использовал смесь льда и соли, которая показала ему самую низкую точку замерзания, которую он мог получить, а для другой точки он использовал температуру человеческого тела. Он закончил тем, что связал точку замерзания чистой воды с числом 32, а точку закипания воды — с числом 212. (Как вы знаете, эти числа разделены 180 градусами.) Получившаяся шкала называется «шкалой Фаренгейта», а измерения по этой шкале делаются в «градусах Фаренгейта», или сокращенно «°F». Таким образом, точка замерзания воды равна 32 °F, а точка кипения воды равна 212 °F. Нормальная температура человеческого тела равна 98,6 °F, а комнатная температура, при которой человек чувствует себя комфортно, равна примерно 70 °F.

Если температура опускается ниже отметки 0 °F, то говорят, что «сейчас столько-то градусов ниже нуля», или используют для обозначения температуры знак «минус». Таким образом, этиловый спирт замерзает при температуре 179° ниже нуля по Фаренгейту, или при — 179 °F.

В 1742 году шведский астроном Андерс Цельсий (1701–1744) ввел в использование другую шкалу, в которой точка замерзания воды была связана с нулем, а точка кипения воды — с 100, таким образом, эти точки разделены величиной в сто градусов. Эта шкала называлась «стоградусной шкалой» (Centigrade — от латинских слов, означающих «сотня градусов»), но в 1950-х годах было принято решение увековечить память изобретателя, переименовав эту шкалу в «шкалу Цельсия». Когда мы используем «стоградусную шкалу», или «шкалу Цельсия», то обозначаем полученные значения в «°С». По шкале Цельсия точкой плавления льда, или точкой замерзания воды, является 0 °С, а точка кипения воды равна 100 °С.

Шкала Цельсия гораздо более удобна для различных ученых, потому что промежуток от 0 до 100 хорошо согласуется с десятичной природой метрической системы, а также потому, что на всем этом протяжении температур вода остается жидкой, что особенно важно для химиков. Именно шкала Цельсия является универсальной шкалой температур, которую используют все ученые.

Однако в повседневной жизни в Соединенных Штатах и Великобритании продолжают использовать шкалу Фаренгейта, которая имеет по крайней мере одно преимущество — диапазон от 0 до 100 градусов по шкале Фаренгейта охватывает весь обычный диапазон температур в мире. Метеорологи, использующие шкалу Цельсия, часто должны оперировать отрицательными числами, но, когда они используют шкалу Фаренгейта, необходимость в этом случается крайне редко.

Так как в Соединенных Штатах и Великобритании используются обе шкалы, полезно уметь конвертировать одну в другую. Итак, начнем с того, что в диапазоне температур между точкой замерзания воды и точкой кипения воды располагаются 180 градусов Фаренгейта и 100 градусов Цельсия. Очевидно, что градус Цельсия — больший из двух и равен ¹⁸⁰/₁₀₀, то есть ⁹/₅ градуса Фаренгейта. И наоборот, градус Фаренгейта равен ¹⁰⁰/₁₈₀, или ⁵/₉ градуса Цельсия.

Этого было бы достаточно, если бы обе шкалы имели общую точку отсчета, то есть нулевую точку, но это — не так. Если градусы Цельсия умножить на ⁹/₅» то в результате мы получим число градусов Фаренгейта, но не выше 0 °F, а выше 32 °F (поскольку 32 °F эквивалентны 0 °С). По этой причине к полученному результату следует прибавить 32. Другими словами:

Чтобы перевести значения по шкале Фаренгейта в градусы по шкале Цельсия, необходимо всего лишь решить уравнение 13.1 для С, ответом будет:

Расширение тел

Как только появилась возможность точного измерения температуры, стало возможным точно выражать и температурно зависимые изменения. Можно четко выразить, что означает «за столько-то градусов Цельсия» (фраза, которую можно сократить до «в °С» или «/°С»).

Например, предположим, что мы измеряем изменение длины прутка в зависимости от изменения температуры. В этом случае мы можем вычислить, чему равно приращение в длине прутка при нагревании его на 1 °С. Такое увеличение длины называется «коэффициентом линейного расширения» тела.

Величина коэффициента линейного расширения тела изменяется в зависимости от того, из какого материала состоит это тело, но, как правило, является очень малой. Для стали, например, она равна 0,00001/°С, или, если выразить в экспоненциальной форме: 1 x 10^–5/°C. Это означает, что прут длиной в один метр при нагревании на один 1 °С расширится на величину, равную 0,00001 метра, прут длиной в один километр расширится на величину, равную 0,00001 километра, прут длиной в один сантиметр расширится на величину, равную 0,00001 сантиметра, и так далее. (Примеры некоторых других коэффициентов линейного расширения: 1,9∙10^–5 °С для меди, 2,6∙10^–5/°С для алюминия и всего лишь 0,04∙10–5 °С Для кварца.)

Предположим, что мы обозначим коэффициент линейного расширения тел греческой буквой «альфа» (α). Если мы возьмем пруток длиной, равной при некоторой начальной температуре одному метру, поднимем эту температуру ровно на 1 °С, то длина его увеличится на α метров и составит 1 + α метров. Если мы поднимем температуру на 2 °С, то расширение составит вдвое большую величину, так что полная длина теперь становится равной 1 + 2α, при повышении температуры на 3 °С полная длина составит 1 + 3α. Короче говоря, для получения величины, на которую увеличивается длина тела, следует умножить значение α на то количество градусов, на которые изменяется температура.

В физике и в математике общепринято обозначать изменение в значении величины греческой буквой «дельта» (Δ). Если мы обозначим температуру символом t, то можем записать изменение в температуре как Δt (обычно читается — «дельта t»). Другими словами, мы можем представить длину однометрового прутка после некоторого повышения температуры как 1 + α(Δt).

Естественно, если температура, вместо того чтобы повышаться, падает, то значение Δt становится отрицательным, соответственно и α(Δt) — тоже. Выражение 1 + α(Δt) тогда становится меньше единицы, что является совершенно правильным — ведь при охлаждении размеры прутка уменьшаются.

Предположим теперь, что мы взяли двухметровый пруток. Мы можем рассматривать его как состоящий из двух однометровых прутков, соединенных вместе. Каждая однометровая половина после изменения температуры имеет полную длину, равную 1 + α(Δt), и поэтому полная длина прутка равна 2[1 + α(Δt)] — то же можно показать и для прутка любой другой произвольной длины. Фактически если мы обозначим длину прутка L, тогда после некоторого изменения в температуре, равного Δt, его длина составит L[1 + α(Δt)] или, перемножив, получаем L + Lα(Δt).

Теперь зададим себе вопрос: «Какое изменение в длине соответствует изменению в температуре?» Естественно было бы обозначить изменение в длине как ΔL, тогда изменение в длине будет равно длине после изменения температуры минус первоначальная длина. То есть это будет L + Lα(Δt) — L, и окончательная формула, которую мы получаем, будет выглядеть:

Однако с повышением температуры материя расширяется не только по длине, но и во всех других направлениях, поэтому гораздо важнее знать изменение в объеме тела, а не только в его длине. В жидкостях и газах мы вообще можем измерить только изменение в объеме. Что же касается твердых тел (особенно когда тело представляет собой длинный прут), то часто гораздо проще измерить линейное расширение, а уже из него вычислить объемное расширение.

Начнем с того, что примем утверждение, что коэффициент линейного расширения для данного материала имеет одно и то же значение для ширины и высоты тела, как и для его длины[61]. Предположим, что мы взяли тело размером в один кубический метр (то есть его длина, ширина и высота равны одному метру каждая). После повышения температуры на 1 °С его длина станет равной 1 + α метров. Однако его ширина также увеличится и станет равна 1 + α метров, то же самое справедливо и для его высоты. Начальный объем тела был равен 1³ метров (понятно, что 1³ = 1), теперь он стал равен (1 + α)³ кубических метров. При изменении температуры на 1 °С объем тела изменяется на (1 + α³) — 1³, или на (1 + α³) — 1. Эта величина характеризует изменение объема тела в зависимости от изменения температуры и называется «коэффициент объемного расширения».

Величина (1 + α³) может быть по обычным алгебраическим правилам выражена в виде: 1 + 3α + 3α² + α³. Из этого выражения мы вычитаем 1 и получаем, что коэффициент объемного расширения тела равен 3α + 3α² + α³, в этом выражении α — очень маленькая величина, как мы это уже отмечали в случае твердых тел и жидкостей, соответственно α² и α³ — еще гораздо меньшие величины[62], которые можно игнорировать как не вносящие существенного изменения в выражение. Тогда если мы отбросим квадрат и куб а, то можем с весьма достаточной точностью сказать, что коэффициент объемного расширения равен 3α, то есть утроенному коэффициенту линейного расширения. Таким образом, если коэффициент линейного расширения стали равен 1∙10^-5/°С, то его же коэффициент объемного расширения примерно равен 3∙10^-5/°С.

Коэффициент объемного расширения жидкостей приблизительно в десять раз больше, чем таковой для твердых тел, и значительно выше для газов. Как выяснилось, именно для газов коэффициент объемного расширения имеет самое большое теоретическое значение.

Еще Галилео понял, что газы расширяются по мере повышения температуры и сжимаются по мере ее понижения; основываясь на этом факте, он даже попробовал сделать термометр. Он взял нагретый стеклянный сосуд с вертикальным тонким отводом, открытым сверху, и перевернул его вверх ногами, погрузив в воду. По мере того как вода охлаждалась, газ в закрытой полости сжался, и вода частично опустилась вниз по отводу. Далее если температура повышалась, то газ, находящийся в сосуде, расширялся, подталкивая водяной столбик вниз. То есть если температура понижалась, уровень воды повышался. К несчастью для Галилео, на уровень воды в отводе также воздействовали изменения в атмосферном давлении, так что его термометр был не совсем точным. Однако принцип взаимосвязи между изменениями в объеме газа и изменениями температуры был установлен.

Если все это так, то объем газа, находящегося под ртутной колонкой (как в экспериментах Бойля), стал бы расширяться при нагревании или сжиматься при охлаждении. Это означает, что если мы изучили изменения в поведении некоторого объема газа под воздействием изменений в давлении, то мы бы поняли необходимость сохранения газа при постоянной температуре. В противном случае в газе начнут происходить изменения, за которые давление неответственно. Сам Бойль, при формулировке того, что мы теперь называем «законом Бойля», не отразил этот факт. Однако в 1676 году, через десять лет после экспериментов Бойля, французский физик, Эдм Мариотт (1620?–1684), независимо от Бойля пришедший к таким же результатам, отметил важность поддержания постоянной температуры. По этой причине в европейских научных кругах принято (и это справедливо) называть соотношения давления и объема, впервые открытые Бойлем, «законом Бойля — Мариотта».

Первая попытка изучения количественного расширения газов в зависимости от изменения температуры была предпринята в 1699 году. Французский физик Гильом Амонтон (1663–1705) доказал, что в замкнутом сосуде при повышении температуры повышается давление газа и что величина, на которую поднимается давление, зависит от температуры и не зависит от массы вовлеченного газа.

Однако Амонтон мог работать только с воздухом, поскольку в его время воздух был единственным по-настоящему доступным газом. Но уже в XVIII столетии было получено, описано и изучено множество газов. В 1802 году французский химик Жозеф Луи Гей-Люссак (1778–1850) не только определил коэффициент объемного расширения воздуха, но и показал, что различные общеизвестные газы, типа кислорода, азота и водорода, имеют примерно один и тот же коэффициент объемного расширения.

(Это было весьма удивительно, так как коэффициент объемного расширения хотя бы немного, но изменяется от одного твердого тела к другому и от одной жидкости к другой. Таким образом, коэффициент объемного расширения алюминия в 77 раз больше, чем у кварца, а у метилового спирта — в 6 раз больше, чем у ртути.)

Оказалось, что коэффициент объемного расширения газов равен 0,00366 при 0 °С, что приблизительно составляет величину, в 300 раз превышающую аналогичный средний показатель для твердых тел. Уравнение 13.3 может быть приспособлено, чтобы отражать расширение газов. Для этого мы заменим длину на объем (V), а коэффициент объемного расширения (0,00366, или ¹/₂₇₃) подставим вместо коэффициента линейного расширения. Сделав так, мы получим, что изменение в объеме газа (ΔV) связано с изменением в его температуре от 0 °С (Δt), следующим выражением:

Это один из способов выражения закона Гей-Люссака. Как это иногда случается, французский физик Жак Александр Сезар Шарль (1746–1823) утверждал, что пришел к тем же выводам, что и Гей-Люссак, еще в 1787 году. Он не издавал их ни тогда, ни позже, и обычно открытие не считается засчитанным, если оно не опубликовано. Но, несмотря на это, приведенное выше отношение часто называют «законом Шарля».

Абсолютная температура

Тот факт, что объекты расширяются и сжимаются в зависимости от изменения температуры, поднимает интересный вопрос. Легко увидеть, что объект будет неопределенно много расширяться при увеличении температуры, но будет ли он так же сильно сжиматься, если понижать температуру на неопределенно большую величину? Если будет сжиматься с постоянным коэффициентом, сможет ли он сжаться до такой степени, что его объем станет равен нулю? И что тогда?

Этот парадокс наиболее остро встает при рассмотрении газов, которые с уменьшением температуры сжимаются более быстро, чем это делают жидкости или твердые тела. Объем газа после некоторого изменения в температуре от 0 °С равен первоначальному объему при 0 °С плюс изменение в объеме: (V + ΔV).

Предположим тогда, что температура опустилась на 273 градуса ниже 0 °С. В том случае Δt будет равно –273. Из уравнения 13.4 мы видим, что ΔV в этом случае будет равно V(-273)/273, или –V. B результате новый объем, который равен (V + ΔV), будет равен (V — V), или нулю. Строгое применение закона Гей-Люссака показывает, что при достижении температуры –273 °С объем газов станет равным нулю.

Однако такая возможность не заставила физиков запаниковать. Они предположили, что, прежде чем газы достигнут температуры, равной — 273 °С, они перейдут из газообразной формы в жидкую, а там коэффициент объемного расширения будет намного меньшим. (И как оказалось, это было совершенно верным.) Но даже если бы это было не так, кажется весьма вероятным, что закон Гей-Люссака не может строго применяться при очень низких температурах[63] и что коэффициент объемного расширения может постепенно уменьшаться, по мере понижения температуры, и, хотя объем продолжает сокращаться, это будет происходить все медленнее и медленнее и в конечном итоге никогда не достигнет нуля.

Тем не менее температура –273 °С не была забыта. В 1848 году Уильям Томсон, которому позже было присвоен титул лорда Кельвина, указал, что было бы удобным принять –273 °С за точку отсчета, как самую низкую возможную температуру. Ее назвали «абсолютный нуль»[64].

Если мы примем величину в –273 °С за нуль и рассчитаем от этого значения вверх шкалу в градусах Цельсия, то получим «абсолютную шкалу температур». Данные, которые мы снимаем с этой шкалы, представляют собой «абсолютную температуру», а градусы, которые мы считываем, могут быть обозначены как (°А) (от слова «абсолютный») или, как более часто пишут, °К (от фамилии Кельвин).

Чтобы привести температуру в градусах Цельсия к абсолютной шкале, необходимо всего лишь добавить 273. Например, точка замерзания воды равна 0 °С, что равно 273 °К; а закипает вода при 100 °С, то есть при 373 'К. Чтобы предотвратить неразбериху, общепринято обозначать значения температуры по шкале Цельсия буквой t, а значения по шкале Кельвина — буквой T[65]. Таким образом, мы можем записать соотношение шкалы Кельвина к шкале Цельсия следующим образом:

Удобство использования абсолютной шкалы опирается на тот факт, что некоторые физические отношения могут быть выражены в более простой форме, если мы будем использовать T, а не t. Например, попробуем выразить взаимосвязь, по которой объем газа изменяется вместе с температурой. Начнем с температуры, равной t₁, при которой объем газа равен (V₁), тогда, когда температура изменится до значения t₂, объем газа будет равен V₂, окончательный объем будет равен первоначальному объему плюс изменение в объеме, то есть V₂ = V₁ + ΔV

Если мы возьмем уравнение 13.4, то увидим, что ΔV = V₁Δt)/273. Однако изменение в температуре (Δt) — это разность между конечной и начальной температурами (t₂ – t₁). Величина объемного расширения газов определяется для начальной температуры равной 0 °С, так что t₂ − t₁, становится равным t₂ — 0, или просто t₂. Поэтому мы можем заменить в уравнении 13.4 Δt на t₂. Тогда выражение (V₂ = V₁ + ΔV) приобретает вид:

Его можно легко преобразовать в:

Давайте теперь рассмотрим значение числа 273. Оно входит в это уравнение, поскольку ¹/₂₇₃ является коэффициентом объемного расширения для газов при температуре 0 °C. Однако вспомним, что единица измерения коэффициента объемного расширения равна «на °С» или «/°С». Число 273 является обратной величиной этого коэффициента, а значит, его единицы измерения должны быть обратными величинами единиц измерения коэффициента объемного расширения тел. Величина, обратная к «1/°С», будет равна «°С»[66].

Тогда размерность для 273 в уравнении 13.7 будет представлять собой «градусы Цельсия» (°С). Но (см. уравнение 13.5) если мы добавим 273 градуса Цельсия к значению температуры, которую мы отсчитываем по шкале Цельсия, то получим значение температуры, взятое по шкале Кельвина. Следовательно, конечная температура газа (t₂) плюс 273 представляет собой температуру по шкале Кельвина; или (t₂ + 273 = Т₂)… Аналогичным образом, 273 градуса по Цельсию представляют собой точку замерзания воды на шкале Кельвина, так как 0 + 273 = = 273. Начальная температура газа была 0 °С, так что если мы будем использовать шкалу Кельвина, то можем вместо нее подставить Т₁ = 273. Следовательно, уравнение 13.7 примет вид:

Это — еще одна форма выражения закона Гей-Люссака (или закона Шарля), причем, наверное, самая простая. Если бы мы использовали любую другую температурную шкалу, выражение стало бы более сложным. Физический смысл уравнения 13.8 состоит в том, что: «Если давление газа постоянно, то объем данной массы газа прямо пропорционален его абсолютной температуре».

Замечание насчет давления является очень важным, потому что если давление на газ изменится, то изменится и объем газа, несмотря на то что температура останется постоянной.

Итак, мы имеем закон Бойля — Мариотта, который связывает объем газа с давлением при постоянной температуре, и теперь имеем закон Гей-Люссака, который связывает объем газа с температурой при постоянном давлении. Существует ли какая-то взаимосвязь между объемом газа, температурой и давлением? Предположим, что начальные условия задачи таковы: объем газа равен V₁, давление Р₁, а температура T₁; мы будем изменять и давление и температуру до величин P₂ и Т₂ соответственно. Нам надо определить, каким будет новый объем газа V₂.

Начнем с того, что будем изменять давление от Р₁ до Р₂, при постоянной температуре, равной Т, Так как температура постоянна, мы можем применить закон Бойля — Мариотта, согласно которому новый объем (V₂) описывается следующим отношением: Р₂V_x = P₂V₂. Если мы решим это уравнение для V_x, то получим следующее:

Но V_x не является тем конечным объемом, который мы ищем. Это — просто некоторый объем, который мы получаем, изменяя давление. Теперь, удерживая давление на том уровне, которого мы достигли (P₂), поднимем температуру от T₁, до Т₂; объем снова изменится от V_x до V₂. Последний и есть тот объем, который мы ожидаем получить, когда давление достигнет P₂, a температура Т₂. При изменении объема от V_x до V₂ мы сохраняли постоянное давление, только поднимая температуру от T₁ до T₂, а потому мы можем применить закон Гей-Люссака, который можно записать в форме: V₂/V_x = T₂/T₁ (см. уравнение 13.8). Подставляя вместо V_x значение уравнения 13.9, мы получаем следующее выражение:

которое после обычных алгебраических преобразований приобретает вид:

Суммируя все сказанное выше, мы можем сказать, что для любого данного объема газа величина — объем, умноженный на давление и деленный на абсолютную температуру, — остается постоянной. В физике газов константа обычно обозначается как R, то есть мы можем написать, что: (PV)/T = R. Тогда наше уравнение приобретает вид:

Однако точные фактические измерения показывают, что уравнение 13.12 не всегда точно выдерживается для всех газов (по причинам, которые я буду объяснять позже). Оно справедливо при некоторых идеальных условиях, которые могут выполнить не все газы (хотя некоторые газы и очень близки к их выполнению), и если можно вообразить, что существует «идеальный газ» или «совершенный газ», то он будет точно следовать отношению, выраженному в уравнении 13.12. По этой причине уравнение 13.12 (или повторяющее его уравнение 13.11) называется «уравнением идеального газа».

Кинетическая теория газов

Если мы примем как данную атомистическую теорию структуры газа (неизбежно вытекающую из экспериментов Бойля), то она сможет объяснить газовые законы, описанные в предыдущей главе и ранее. Первый ученый, который еще в 1738 году предпринял серьезную попытку сделать это, был Бернулли (принцип Бернулли).

Если газы состоят из отдельных частиц (атомов или молекул), широко разделенных и обособленных, было бы разумно предположить, что они находятся в постоянном свободном движении. Если бы это было не так и газовые молекулы были неподвижны, они бы под действием силы тяжести падали на дно сосуда, в котором находятся, и оставались бы там. Это действительно имеет место для жидкостей и твердых тел, в которых атомы не движутся свободно, а находятся в эффективном контакте друг с другом и, таким образом, ограничивают перемещение друг друга. Предположение о том, что газы состоят из частиц, каждая из которых находится в постоянном движении и каждая фактически не подвержена влиянию других, называется «кинетической теорией газов» («кинетическая» происходит от греческого слова, означающего «двигаться»).

Сейчас мы не будем задаваться вопросом, почему частицы должны перемещаться, просто примем как факт, что это происходит. Кинетическая энергия газовых частиц должна намного превосходить слабую силу тяготения, которую Земля проявляет на столь маленьких частицах. (Как вы помните, сила тяжести, воздействующая на частицу, частично зависит от массы Земли, умноженной на массу частицы, но последняя — столь малая величина, что и полная сила получается ничтожно малой.)

Безусловно, притяжение Земли не равно нулю, и при рассмотрении большого количества газа эффект его значителен. Атмосфера Земли остается связанной с планетой именно благодаря силе тяготения, и большинство частиц газа, окружающего нашу планету, остается в пределах нескольких миль от ее поверхности. Лишь только тонкие пучки газа умеют проникать дальше. Однако для маленьких количеств газа, или, иначе говоря, для количеств, которые могут содержаться в пределах искусственных резервуаров, эффекты, которые оказывает сила тяжести, — величина достаточная, чтобы ее игнорировать. Следовательно, частицы в пределах таких сосудов могут рассматриваться как равномерно легко перемещающиеся в любом направлении: влево, вправо, вверх и вниз.

В любом данном сосуде случайное движение частиц в любом направлении заставляет газ распространяться равномерно. (Даже равномерного распространения газа в пределах сосуда вполне достаточно, чтобы показать случайный характер движения частиц. Если бы это было не так, газ скопился бы в одной или другой части сосуда.) Если одно и то же количество газа переместить в больший сосуд, то случайное движение частиц снова распространит их равномерно, в более просторных границах. Таким образом, газ расширяется, чтобы заполнить весь сосуд целиком независимо от того, насколько он велик, и (если сосуд не настолько огромен, что мы не можем дальше игнорировать эффект воздействия силы тяжести) заполняет его равномерно. С другой стороны, если газообразное содержимое большого сосуда каким-то образом перемещается в меньший сосуд, то частицы более близко сдвигаются между собой, и весь газ опять же вмещается в более ограниченный объем. Причем вмещается он всегда весь, без остатка.

Однако если мы будем рассматривать движение частиц газа, то ясно, что никакая отдельно взятая частица не может двигаться в течение долгого времени без того, чтобы не столкнуться с себе подобной. Частицы сталкиваются между собой постоянно, и не менее постоянно они сталкиваются со стенками сосуда. Можно предположить, что эти частицы имеют большую эластичность, и их сильные удары не приводят к полной потере энергии. Если бы это не было так, то частицы постепенно замедляли бы свое движение, теряли свою энергию, пока, наконец, не перешли к состоянию покоя (или почти к состоянию покоя) и не упали бы на дно сосуда под действием силы тяжести. Но этого не случается. Если мы возьмем и изолируем, насколько это позволяют наши возможности, сосуд с газом, то обнаружим, что состояние газа в нем не меняется неопределенно долгое время.

Бернулли указал, что соударение частиц газа со стенками сосуда создает эффект, который мы можем интерпретировать как давление. Поскольку при соударении со стенками сосуда каждая частица подвергает стенку воздействию крошечной силы, полная сила на единицу площади представляет собой давление. Строго говоря, то, что мы называем давлением, есть сумма многих отдельных давлений каждой из мельчайших частиц. Однако их так много и воздействие их так сжато по времени, что мы ощущаем эти толчки как единое целое равномерное давление. Поскольку движение частиц хаотично во всех направлениях, то и давление равномерно во всех направлениях.

Предположим, что газ находится в сосуде, ограниченном абсолютно гладким поршнем, вес которого таков, чтобы компенсировать давление частиц газа внутри этого сосуда (силу частиц, ударяющих в поверхность поршня). Если уменьшить его вес, то внешняя сила, давящая на верхнюю поверхность поршня, уменьшится. Направленная вверх сила движущихся частиц станет больше, чем сила, направленная вниз, и поршень поднимется вверх.

Однако поскольку поршень переместится вверх, объем сосуда увеличится. По мере того как объем увеличивается, расстояние, на которое может переместиться каждая из частиц, в среднем увеличивается, то есть в среднем возрастает расстояние, которое надо пройти каждой частице, для того чтобы достичь днища поршня. Естественно, тогда число столкновений частиц с днищем поршня должно уменьшаться в каждый данный момент времени, поскольку каждая частица тратит большее время на достижение стенки и меньшее время на столкновение. Как следствие этого уменьшится и давление. В конечном счете спад давления приведет к тому, что оно будет сбалансировано меньшим весом поршня, и поршень прекратит свое движение вверх. Как описано в законе Бойля: по мере увеличения объема уменьшилось давление газа.

Теперь предположим, что, наоборот, к первоначальному весу поршня был добавлен некоторый дополнительный вес. Теперь направленная вниз сила тяжести перемещает поршень вниз против силы столкновений частиц. Поскольку поршень перемещается вниз, объем уменьшается. Каждая частица, чтобы достигнуть днища поршня, перемещается в среднем на меньшее расстояние. Число столкновений между частицами газа и днищем поршня в каждый данный момент времени увеличивается, соответственно увеличивается и давление на стенки сосуда и днище поршня. В конечном итоге давление увеличивается до величины, когда дополнительный вес поршня сбалансируется. Объем газа уменьшился, а давление увеличилось; снова все происходит согласно закону Бойля.

Через столетие после Бернулли, когда ученые осознали эффект, который температура оказывает на объем и давление газов, потребовалось пересмотреть и расширить кинетическую теорию газов, чтобы объяснить причастность и температуры.

Представьте себе замкнутый сосуд с неподвижными стенками, в котором содержится некоторый газ. Если повысить температуру газа, его давление на стенки сосуда увеличится. Впервые это явление описал в своих работах Амонтон, и, как мы можем видеть из уравнения идеального газа (уравнение 13.12), если произведение объема на давление пропорционально абсолютной температуре, то при постоянном объеме само давление должно быть пропорционально абсолютной температуре.

В соответствии с кинетической теорией газов, давление увеличивается, если число столкновений частиц газа со стенками сосуда в любой данный момент времени увеличивается. Однако поскольку объем сосуда (его стенки неподвижны) не изменился, то каждая из частиц, для того чтобы достигнуть стенок сосуда, проходит одно и то же расстояние как до повышения температуры, так и после. Чтобы объяснить тот факт, что стенок сосуда достигает их большее количество (а следовательно, поднимает давление), следует предположить, что по мере повышения температуры частицы двигаются более быстро. В этом случае они не только чаще ударяются о стенку сосуда, но также и более энергично. И наоборот, по мере понижения температуры они двигаются более медленно.

Приняв это предположение, рассмотрим пример газа, находящегося под абсолютно гладким, обладающим весом поршнем. Направленная вниз сила веса поршня компенсирована направленной вверх силой давления газа. Если поднять температуру газа, го частицы, заставляющие поршень двигаться вверх, будут двигаться более быстро, и их столкновения с днищем поршня будут происходить более часто и энергично. Создаваемое ими давление превысит направленную вниз силу веса поршня, и он будет подниматься до тех пор, пока увеличение объема не увеличит расстояние, которое нужно пройти частицам до столкновения с днищем, до такого, при котором внешние и внутренние силы снова придут в состояние равновесия. Таким образом, мы пришли к выводу, что объем увеличивается с повышением температуры. Подобным же образом мы могли бы и доказать, что он уменьшается с понижением температуры; все происходит согласно закону Гей-Люссака.

Выше я показал, как кинетическая теория газов объясняет газовые законы с качественной стороны. Однако в 1860-х годах шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879) и австрийский физик Людвиг Больцман (1844–1906) подошли к кинетической теории газов со всей математической точностью и обосновали ее и с теоретической точки зрения. Давайте рассмотрим часть этого обоснования.

Начнем с того, что рассмотрим сосуд в форме параллелепипеда (другими словами — в форме кирпича), длина которого равняется a метров, ширина b метров, а высота c метров. Объем (V) такого сосуда равен abc кубическим метрам. Предположим затем, что в пределах этого сосуда находится N частиц, каждая из которых обладает массой m, и что все частицы перемещаются со скоростью v метров в секунду.

Эти частицы могут перемещаться в любом направлении, но такое движение всегда можно рассматривать как составленное из трех компонентов, находящихся под прямым углом друг к другу. (Это может быть сделано на основе «параллелепипеда сил», который является трехмерным аналогом «параллелограмма сил», упомянутого выше.) Для удобства мы можем рассмотреть взаимно перпендикулярные компоненты, а также можем выбрать один компонент — параллельный длине сосуда, другой — параллельный ширине, а третий — параллельный высоте сосуда.

Так как все движения случайны и в каком-либо направлении не существует никакого результирующего движения (иначе весь сосуд улетел бы в межпланетное пространство), справедливо предположить, что каждый компонент содержит равную долю движения. Тогда примем предположение, что ¹/₃ полного движения частицы параллельна краю a, ¹/₃ — параллельна краю b, а ¹/₃ — параллельна краю c. Это означает, что мы рассматриваем сосуд с газом как содержащий три равных потока частиц, перемещающихся один — на равные величины влево и вправо; другой — вверх и вниз; еще один — вперед и назад.

В действительности все частицы непрерывно сталкиваются друг с другом, отскакивают и изменяют направление. Так как частицы совершенно эластичны, это не изменяет полного движения даже при том, что распределение движения среди отдельно взятых частиц постоянно меняется. Упрощая, можно сказать, что, если одна частица изменяет направление своего движения в одну сторону, другая частица тотчас же изменяет свое направление таким образом, чтобы скомпенсировать действие первой. По этой причине мы можем игнорировать все взаимные столкновения между отдельными частицами.

Давайте сосредоточим наше внимание на одной частице, перемещающейся параллельно краю a. Она ударяется о ребро, составленное из сходящихся плоскостей b и с, и отскакивает назад с той же самой скоростью, но в противоположном направлении (все еще параллельно краю a), таким образом, если ее скорость до столкновения была v, то теперь она стала –v. Количество ее движения перед столкновением было равно mv, количество движения после столкновения стало –mv. Полное изменение в количестве движения частицы равно mv — (–mv), или 2mv.

Согласно закону сохранения импульса (количества движения), это изменение количества движения должно быть компенсировано противоположным по знаку изменением в количестве движения со стороны стенки сосуда. Поэтому стенка отражает частицу в противоположном направлении, и 2mv представляет собой один удар одной частицы о ребро, ограниченное плоскостями b и c. Для того чтобы узнать значение полной силы, действующей на поверхность, мы должны узнать, сколько частиц ударяют в данную поверхность за данную единицу времени.

Что касается отдельно взятой частицы, которую мы рассматриваем, то она, отразившись от плоскости, снова переместится на свое первоначальное место и, отразившись там, повторит весь процесс снова и снова. Величина ее перемещения от одного конца сосуда к другому составляет 2a метров. Так как ее скорость v метров в секунду, то число ее столкновений с рассматриваемой плоскостью сосуда равно v/2a раз за каждую секунду.

Полная сила, воздействующая на стенку одной отдельной частицей за одну секунду, — это изменение количества движения за один удар, умноженное на количество этих ударов в секунду. То есть это равно: 2mv умножить на v/2a, или mv²/a. Но как мы помним, третья часть всех частиц в сосуде (N/3) перемещается параллельно стороне a, и каждая привносит одну и ту же силу. Таким образом, полную силу воздействия всех частиц за одну секунду можно рассчитать, если N/3 умножить на mv²/a, или Nmv²/3a.

Давление — это сила, приложенная к единице площади. Стенка, которую мы рассматриваем, ограничена линиями, равными b и c метров, так что площадь этой стенки равна bc квадратных метров. Чтобы получить давление, то есть силу на квадратный метр, нужно разделить полную силу, приложенную на стенку, на число квадратных метров. Это означает, что мы должны разделить Nmv²/3a на bc, и, наконец, мы приходим к тому, что давление равняется Nmv²/3abc. Но abc — это то же самое, что объем (V) сосуда. Поэтому мы можем выразить давление (P) следующим образом:

Но величина, равная ½mv², представляет собой кинетическую энергию e_k. Поэтому мы можем преобразовать уравнение 14.1 следующим образом:

В любом данном количестве газа число его частиц постоянно, поэтому величина 2N/3 является постоянной. Физический смысл уравнения 14.2 заключается в том, что для данного количества газа произведение его давления на объем прямо пропорционально кинетической энергии составляющих его частиц.

Уравнение 13.12 указывает нам, кроме того, что произведение давления газа на его объем прямо пропорционально его абсолютной температуре.

Справедливо, что если x прямо пропорционален y и он же — прямо пропорционален z, то y — прямо пропорционален z. To есть мы приходим к выводу, что если величина PV прямо пропорциональна и абсолютной температуре, и кинетической энергии частиц газа, то и сама абсолютная температура прямо пропорциональна кинетической энергии частиц газа (этот вывод можно расширить и на частицы, составляющие другие виды материи).

Мы предположили, что все частицы в газе имеют идентичные скорости, но это — не так. Поскольку частицы сталкиваются друг с другом хаотически, то и количество движения будет передано случайным образом (хотя полное количество движения будет всегда тем же самым). Короче говоря, даже если частицы первоначально перемещались с равными скоростями, то очень скоро они будут перемещаться во всем диапазоне скоростей.

Максвелл получил уравнение, которое выражает распределение скоростей частицы при различных температурах. Но если мы имеем распределение скоростей, то это значит, что мы имеем и распределение кинетических энергий. Однако если мы знаем среднюю скорость, а ее мы можем получить из уравнения Максвелла, то мы знаем и среднюю кинетическую энергию[67]. При любой температуре будут существовать некоторые частицы с очень низкой энергией, но также и частицы с очень высокой энергией. Однако средняя кинетическая энергия частицы изменяется строго с повышением и понижением абсолютной температуры.

В соответствии с кинетической теорией газов мы можем определить теплоту как внутреннюю энергию, связанную с таким явлением, как хаотическое движение частиц (атомы и молекулы), составляющих материю. А абсолютная температура — мера средней кинетической энергии отдельных частиц системы.

Сказанное выше придает важное теоретическое значение понятию «абсолютного нуля». Оно становится не просто более удобным средством упрощения уравнений или точкой, в которой объем газа сжался бы настолько, чтобы стать равным нулю, если бы этот газ в точности следовал закону Гей-Люссака (однако, как мы уже говорили, газы в точности ему не следуют). Он выражает собой температуру, при которой кинетическая энергия частиц материи понижается до полного, далее не уменьшаемого минимума. Обычно этот минимум принимают равным нулю, но это не совсем правильно. Современные теории указывают на то, что даже при абсолютном нуле продолжает существовать очень незначительное количество кинетической энергии. Однако уменьшить это незначительное количество не представляется возможным, а это значит, что температуры ниже абсолютного нуля не могут существовать.

Диффузия

Мы можем использовать понятие движения газовых частиц также для того, чтобы объяснить явление «диффузии», то есть непосредственную способность двух разных газов взаимно перемешиваться, несмотря на то, что первоначально они разделяются, даже несмотря на то, что им приходится преодолевать силу тяжести. Предположим, что у нас есть сосуд, который разделен в центре горизонтальной перегородкой. В верхней части сосуда находится водород; в нижней части под тем же давлением — азот. Если убрать перегородку, то можно было бы ожидать, что водород (намного более легкий из этих двух газов) останется плавать сверху, как дерево плавает на воде. Однако через достаточно короткое время эти два газа будут представлять собой однородную смесь, причем азот распространится вверх, а водород — вниз, несмотря на силу тяжести.

Это происходит потому, что движение газовых частиц практически не зависит от силы тяжести. В любой данный момент времени третья часть частиц азота (в среднем, если мы говорим о хаотическом движении) перемещается вверх, а третья часть частиц водорода перемещается вниз. Естественно, что это приводит к перемешиванию этих двух газов.

Диффузия также имеет место между взаиморастворимыми жидкостями, хотя она и проходит более медленно. Например, этиловый спирт может быть налит на поверхность воды, которая является более плотной, чем он, и если подождать, то две жидкости равномерно перемещаются. Это указывает на то, что, несмотря на более сильные связи между частицами, составляющими жидкости, они, однако, имеют некоторую свободу движения и, проскальзывая относительно друг друга, способны расположиться среди частиц другой жидкости.

С другой стороны, диффузия между различными твердыми телами, находящимися в прямом контакте, происходит чрезмерно медленно, если вообще происходит, и это — признак того, что частицы, составляющие твердые тела, не только крепко связаны между собой, но и находятся в более или менее установленных местах. (Это не означает, однако, что частицы твердого тела неподвижны; все свидетельства указывают на тот факт, что, хотя они имеют установленное место расположения, они вибрируют в пределах этого установленного места со средней кинетической энергией, соответствующей абсолютной температуре твердого тела.)

Чтобы разобраться в количественных соотношениях, существующих в диффузии, давайте вернемся назад, к уравнению 14.1. Как мы установили, в нем P равно Nmv²/3V; теперь давайте решим это уравнение относительно средней скорости частиц v. Мы получим следующее отношение:

Это уравнение легко можно решить в цифровых значениях. Если мы имеем дело с неким данным количеством, например кислорода, то его давление (P) и объем (V) легко можно измерить. Величина Nm представляет собой число частиц, умноженных на массу одной частицы, что, в конце концов, представляет собой полную массу газа, и может быть легко измерена. Если не вникать и опустить все детали вычисления, то можно сказать, что, оказывается, при 0 °С (273 °К) и давлении в одну атмосферу[68] средняя скорость молекулы кислорода составляет 460 метров в секунду (0,28 миль в секунду).

Уравнение 14.3 может быть написано в виде: v = √(3Nm)√(PV). Поскольку для данного удельного количества Nm полная масса является величиной постоянной, то и величина √(3Nm) — тоже постоянна, а это значит, что и уравнение 14.3 можно записать в виде: v = k√(PV), то есть мы можем сказать, что скорость молекулы газа прямо пропорциональна квадратному корню из произведения объема на давление. Однако из уравнения 13.12 мы знаем, что произведение PV — прямо пропорционально абсолютной температуре T. Поэтому мы можем сказать, что v = k√T, то есть что средняя скорость молекулы газа прямо пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры.

Если молекула кислорода имеет среднюю скорость 460 м/с при температуре 273 °К (0 °С), то что будет, если мы удвоим температуру до 546 °К (273 °С)? Тогда средняя скорость умножится на √2, или приблизительно в 1,4 раза. При этой, более высокой температуре молекулы кислорода будут двигаться со средней скоростью 650 с (0,40 мили в секунду).

Но представьте себе, что мы рассматриваем различные газы при одном и том же давлении P и объеме V. При этих условиях оказывается (соответствующие опыты и их объяснения более подробно рассматриваются в учебнике по химии), что число присутствующих частиц (ЛО является одним и тем же для всех. Поэтому мы можем рассматривать P, V и N как константы, а потому если мы запишем уравнение 14.3 как v = √(3PV/N)√(1/m), то мы можем упростить его и привести к виду: v = k√(1/m). В таком случае можно сказать, что при стандартных условиях температуры и давления средняя скорость молекул газа прямо пропорциональна √(1/m). Другими словами, мы можем сказать, что она обратно пропорциональна квадратному корню из массы отдельных молекул, то есть «молекулярному весу».

Это заключение иногда называют законом Грэма, поскольку впервые этот вывод обосновал в 1829 году шотландский химик Томас Грэм (1805–1869). Он отметил, что степень диффузии газа (которая, оказывается, зависит от скорости его молекул) обратно пропорциональна квадратному корню его плотности (а плотность газа зависит от молекулярного веса).

Более подробно молекулярные веса рассматриваются в учебнике по химии, но мы можем сказать, что молекула водорода обладает ¹/₁₆ молекулярного веса молекулы кислорода. Так как молекулы водорода обладают массой в 16 раз меньшей, чем молекулы кислорода, то и двигаются они со скоростью равной √16, то есть в четыре раза быстрее. Если при температуре 273 °К (0 °C) молекулы кислорода перемещаются со скоростью 460 м/с (0,28 мили в секунду), то молекулы водорода при той же самой температуре перемещаются со скоростью 1840 м/с (или 1,12 мили в секунду). При температуре 546 °К (273 °С) скорости молекул и кислорода и водорода умножаются в 1,4 раза, и последние двигаются со скоростью 2600 м/с (или 1,58 мили в секунду).

Скорость звука в газе частично зависит от скорости, с которой газовые молекулы могут «качаться» вперед и назад, чтобы сформировать области сжатия и расширения. Поскольку с повышением температуры молекулы перемещаются более быстро, скорость звука также возрастает. Далее можно сказать, что в различных газах скорость звука обратно пропорциональна квадратному корню молекулярного веса, потому что он отображает изменение молекулярной скорости.

Поскольку воздух на ⁴/₅ состоит из азота (молекулярный вес равен 28), а на ¹/₅ — из кислорода (молекулярный вес равен 32), его «средний молекулярный вес» равен 29. Молекулярный вес водорода равен 2. При некоей данной температуре молекула водорода перемещается в √(29/2) или в 3,8 раза быстрее, чем «средняя» молекула воздуха. Поскольку скорость звука в воздухе при 20 °С равна 344 м/с, то при той же температуре скорость звука в водороде приблизительно будет равна 1300 м/с.

Столб воздуха в органной трубе, если его потревожить, будет вибрировать с собственной частотой, которая зависит от размера столба и скорости движения молекул воздуха. Поэтому органная труба данного размера при данной температуре издаст ноту данной высоты тона. Если мы заполним эту же трубу водородом, молекулы которого будут двигаться более быстро, чем молекулы воздуха, то та же самая труба при той же самой температуре издаст звук намного более высокого тона. (Если заполнить легкие человека водородом (эксперимент, который мы настоятельно НЕ рекомендуем проводить), то такой человек будет обладать, по крайней мере какое-то время, весьма пронзительным тембром голоса.)

Поскольку и тон органной трубы, и скорость звука зависят от скорости молекул газа, то эту зависимость можно рассчитать. Действительно, приблизительно в 1800 году немецкий физик Эрнст Ф.Ф. Хладни (1756–1827), его еще иногда называют «отец акустики», вычислил скорость звука в различных газах (что довольно трудно измерить непосредственным образом), отталкиваясь от высоты тона органных труб, заполненных газом (что измерить достаточно легко).

Безусловно фактические скорости отдельных молекул охватывают весьма широкий диапазон, и некоторые молекулы специфического газа перемещаются очень быстро. Даже при 0 °С между молекулами кислорода существует очень небольшое трение, что позволяет им двигаться, хотя бы какое-то время, со скоростями до 7 миль в секунду, что превышает среднюю скорость приблизительно в 25 раз.

Как мы помним, 7 миль в секунду являются второй космической скоростью, и молекула, перемещающаяся с поверхности Земли с такой быстротой, должна покинуть Землю и уйти в межпланетное пространство. По этой причине могло бы казаться, что кислород должен постоянно «просачиваться» из земной атмосферы. Да, это — так, но это не должно быть причиной для паники. Во-первых, существует лишь только весьма незначительное количество молекул кислорода, которые перемещаются со скоростью в 25 раз больше средней скорости. Во-вторых, из тех же молекул, которые смогли сделать это, только незначительное число молекул избегает ударов о другие молекулы, а соответственно потери своей необычайно высокой скорости, до того как оно поднимется в верхние слои атмосферы. Да, такая «утечка кислорода» имеет место, но она происходит настолько медленно, что недостатка кислорода на Земле не следует ожидать еще несколько миллиардов лет.

Однако в случае молекул водорода, скорость которых в четыре раза больше средней скорости молекул кислорода, можно ожидать гораздо большей утечки, так как вторая космическая скорость составляет все лишь 6 средних скоростей молекулы водорода. В данном случае утечка имеется, она достаточно серьезная, чтобы повлиять на атмосферу Земли в геологически короткий период времени. Есть основания полагать, что атмосфера Земли раньше была более богата водородом, а теперь она постепенно его теряет.

Луна, с ее намного меньшей второй космической скоростью, не способна даже удержать ни кислород, ни азот, если бы они когда-либо там существовали; фактически на Луне вообще не существует никакой атмосферы. Юпитер и другие внешние планеты, на которых вторая космическая скорость намного превышает земную, а температура поверхности — намного ниже, чем у Земли или Луны, способны очень легко удержать даже водород. Поэтому эти планеты имеют огромные, заполненные водородом атмосферы.

Реальные газы

В течение трех столетий после открытия закон Бойля принимался учеными как весьма полезный. Другое дело, что в течение двух с половиной из этих трех столетий данный закон (ошибочно) считался точным. Закон Бойля при всей его полезности является только аппроксимацией фактической ситуации, что впервые ясно дал понять французский физик Генри Виктор Регно (1810–1878), который в 1850-х годах измерил точные объемы различных газов под различными давлениями и нашел, что произведение этих двух (PV) не всегда является постоянной величиной, несмотря на то что температура тщательно поддерживается на одном уровне. При давлении в 1000 атмосфер это произведение может быть в два раза больше, чем при давлении в 1 атмосферу. Даже когда он работал с давлениями, которые были только не намного выше, чем расчетное в 1 атмосферу, он часто находил отклонения в произведении, достигающие пяти процентов. Кроме того, от газа к газу имеются дополнительные различия. При давлении, не превышающем 100 атмосфер, водород, азот и кислород отклоняются от закона Бойля достаточно незначительно, в то время как двуокись углерода отклоняется намного.

Однако закон Бойля может быть получен из кинетической теории газов. Что же тогда? Является ли кинетическая теория газа неверной? Нет, не обязательно. Однако при получении закона Бойля из кинетической теории газов мы сделали некоторые упрощения, два из которых не совсем справедливы, при рассмотрении реальных газов. Например, мы приняли, что между молекулами газов не существует никаких взаимных сил притяжения, поэтому движение одной молекулы может рассматриваться полностью независимым от других. Это не совсем правильно, так как среди молекул газов есть очень слабые силы притяжения.

Другим упрощением было то, что молекулы газа являются чрезвычайно маленькими по сравнению с вакуумом, который их разделяет, настолько маленькими, что их объем может быть принят равным нулю. И снова это не совсем правильно. Объем молекул действительно очень маленький, но он не равен нулю.

Теперь предположим, что мы не принимаем упрощения, но полагаем вместо этого, что в тот момент, когда молекула собирается удариться о стенку сосуда, к ней приложено некое суммарное, направленное в противоположную от стенки сторону напряжение от воздействия всех слабых межмолекулярных сил, приложенных к молекуле, которая собирается сталкиваться, со стороны всех остальных молекул. (Это своего рода газообразное поверхностное натяжение, подобное уже знакомому нам жидкостному поверхностному натяжению, которое описано ранее.) Из-за этого «обратного» натяжения молекула не будет ударять в поверхность с полной силой, и ее вклад в общее давление меньше, чем можно было бы ожидать, согласно кинетической теории газа, в том случае, если бы никаких межмолекулярных сил не существовало. Чтобы привести давление каждой индивидуальной молекулы к идеальному (без межмолекулярных сил), мы должны добавить маленькое дополнительное количество давления (P_x). Давление идеального газа в таком случае (P_i) будет равно фактически измеренному давлению плюс это дополнительное количество (P + P_x).

Чем большее количество молекул в газе находится в непосредственной близости к сталкивающейся молекуле (более отдаленные молекулы вносят такой ничтожный вклад в силу притяжения, что мы можем их игнорировать), тем больше величина обратного напряжения; чем больше фактическое давление (P) отстает по величине от идеального (P_i), тем больше значение P_x, которое мы должны добавить к P в рассматриваемом случае столкновения молекулы. Количество же близлежащих молекул пропорционально плотности газа (D).

Но давление зависит от общего количества молекул, ударяющихся о стенки сосуда в данный момент времени. Значение P_x также зависит от этой величины. Но эта величина, в свою очередь, зависит от плотности газа. Таким образом, P_x зависит от плотности газа сначала в связи с каждой отдельной сталкивающейся молекулой, а затем в связи с числом молекул, сталкивающихся в единицу времени. Полное значение P_x зависит от размера сталкивающейся молекулы, умноженного на число молекул, сталкивающихся в единицу времени, или на величину пропорциональную плотности, умноженную на коэффициент пропорциональности к плотности. Тогда полное значение — пропорционально квадрату плотности — D². Если в этом случае мы используем для обозначения коэффициента пропорциональности величину а, то можем сказать, что P_x = aD².

Для данного количества газа плотность обратно пропорциональна его объему. Чем более плотный газ, тем меньшее количество объема занимает его данное количество. Если P_x прямо пропорционально квадрату плотности, то оно должно быть обратно пропорционально квадрату объема, то есть P_x = a/V². Как я раньше уже сказал, идеальное давление равно P + P_x, поэтому теперь мы можем его записать: P + a/V².

Далее, что мы можем сказать относительно конечного объема молекул? Если все больше увеличивать давление на газ, то согласно закону Бойля будет происходить уменьшение объема, до тех пор пока он не достигнет нуля. Если закон Бойля совершенен, то объем уменьшаемого газа (V) равен объему идеального газа (V_i). Но если на газ действует очень большое давление, то его молекулы в конечном итоге вступают в реальный контакт друг с другом. После этого при дальнейшем увеличении давления уже не происходит никакого уменьшения объема. Объем идеального газа, доступный для сжатия, равен объему реального газа минус объем собственно молекул. Другими словами, V_i = V — b, где b — объем молекул.

Действие уравнения идеального газа (см. уравнение 13.12) основано на условии отсутствия межмолекулярных сил и молекулярного объема, тогда оно действительно выражает взаимоотношение идеального давления и идеального объема: P_iV_i = RT. Если привести данное выражение к виду, в котором мы подставляем значения для реальных величин, то в соответствии со сказанными выше рассуждениями получаем:

Это уравнение называют уравнением Ван-дер-Ваальса, так как его в 1873 году впервые получил голландский физик Йоханнес Дидерик Ван-дер-Ваальс (1837–1923). Слабые силы притяжения между газовыми молекулами, которые и вызывают необходимость этой модификации уравнения Бойля, называют «силами Ван-дер-Ваальса». Значения для a и b в уравнении Ван-дер-Ваальса обычно весьма маленькие и отличаются от газа к газу, поскольку различные газовые молекулы имеют соответственно и различные объемы, и обладают специфическими силами взаимодействия между собой.

Межмолекулярные силы в газах при обычных условиях весьма невелики, но они могут вызвать важные изменения в свойствах газов. По мере увеличения давления происходит уменьшение объема газа, а соответственно по мере приближения молекул газа друг к другу сила притяжения между ними увеличивается. В тех случаях, когда силы притяжения между молекулами изначально достаточно велики, такое их дальнейшее увеличение приводит к тому, что они поднимаются до порога, при котором кинетической энергии молекул недостаточно для того, чтобы разделить их. Молекулы больше не способны двигаться обособленно, напротив, они будут сцепляться вместе, и газ превратится в жидкость. Газы типа сернистого газа, аммиака, хлора или углекислого газа могут таким образом быть превращены в жидкость давлением и при этом высоком давлении поддерживаться в жидком состоянии при комнатной температуре. (Если бы не существовало никаких межмолекулярных сил, сжижение газов не происходило бы ни при каких обстоятельствах. Все газообразные вещества оставались бы таковыми при любых условиях.)

Однако в газах, где межмолекулярные силы притяжения особенно слабы, даже такое движение молекул оказывается недостаточным для того, чтобы эти силы притяжения преодолели молекулярное движение, представляющее их кинетическую энергию. По этой причине газы типа кислорода, азота, водорода, гелия, неона или окиси углерода не могут быть превращены в жидкость при комнатной температуре независимо оттого, насколько велико созданное давление. Поэтому в начале XIX столетия такие газы получили название «перманентные газы».

Однако можно было бы увеличить силу притяжения и одновременно уменьшить кинетическую энергию. Первое можно получить, увеличивая давление, последнего можно добиться понижением температуры. Если достаточно низко опустить температуру газа, то кинетическая энергия его молекул уменьшится достаточно для того, чтобы силы притяжения между молекулами этих так называемых перманентных газов станут достаточными для того, чтобы произошло их сжижение. Температура, при которой такое сжижение становится возможным, называется «критической температурой». Выше этой критической температуры вещество может существовать только в газообразной форме. Существование критической температуры впервые было открыто в 1869 году ирландским физиком Томасом Эндрю (1813–1885).

Критическая температура для кислорода составляет 154 °K (или 119 °С), только после того как кислород опустится ниже этой температуры, станет возможным его сжижение. Межмолекулярные силы в водороде еще более слабые, чем в кислороде, поэтому его следует охладить до температуры 33 °K (или –240 °С), прежде чем кинетическая энергия молекул станет настолько низкой, чтобы быть нейтрализованной этими силами. Рекорд в этом отношении держит гелий (выделенный на Земле только в 1898 году). Гелий среди всех реальных газов наиболее близко стоит по отношению к идеальному газу. Его критическая температура -5 °К (или –268 °С).

С другой стороны, имеются вещества с настолько большими межмолекулярными силами, что они остаются жидкостями при комнатной температуре и даже под атмосферным давлением. (Эти межмолекулярные силы — больше, чем простые силы Ван-дер-Ваальса, и в этой книге мы их обсуждать не будем.) Вода — наиболее общеизвестный пример жидкости, существующей при обычной температуре и давлении. При температуре 373 °К (100 °С) и давлении в 1 атмосферу силы межмолекулярного притяжения благодаря увеличению кинетической энергии преодолеваются, и вода превращается в свою газообразную форму: пар, или водяной пар[69]. Однако если мы увеличим давление, то и при температуре, равной или выше 100 °С, вода может сохранять свою жидкую форму. Это означает, что точка кипения повышается с увеличением давления, факт, которым регулярно пользуются в кастрюлях-скороварках. Критическая температура воды — 647 °К (или 374 °С), только при температуре выше этой жидкая вода не может существовать независимо от других условий.

Даже в жидкостях силы притяжения между молекулами не настолько велики, чтобы предотвратить скольжение и смещение отдельных молекул относительно друг друга. Однако если мы будем еще далее понижать температуру, то достигнем точки, в которой энергии отдельных молекул недостаточно велики, чтобы дать им даже такую ограниченную свободу. Межмолекулярные силы становятся достаточно сильными, чтобы удержать молекулы твердо на одном месте. Они могут вибрировать вперед и назад, но среднее их положение остается фиксированным, и вещество превращается в твердое тело. Если мы будем поднимать температуру твердого тела, то эти колебания станут более энергичными, и при некоторой температуре (в зависимости от величины вовлеченных межмолекулярных сил) они станут настолько велики, что будут противостоять этим силам вплоть до разрешения молекулам скользить относительно друг друга; тогда твердое тело расплавится или превратится в жидкость. Однако на эту «точку плавления» давление воздействует весьма незначительно.

Межмолекулярные силы в водороде настолько слабы, что твердый водород плавится при температуре всего лишь 14 °К (или –259 °С), а жидкий водород кипит (при атмосферном давлении) при температуре, равной всего лишь 20 °К (или –253 °С). Однако гелий показывает даже еще более впечатляющие результаты. Его частицы состоят из отдельных атомов, а межатомные силы настолько слабы, что даже одной единицы кинетической энергии все еще достаточно, чтобы держать его в жидком состоянии при температуре, равной абсолютному нулю. Твердый гелий не может существовать независимо от того, насколько низка температура; для его появления необходимо увеличение давления — оно должно быть большим, чем атмосферное. Точка кипения гелия под давлением, равным одной атмосфере, находится на 4 °К (или –269 °С).

С другой стороны, некоторые вещества обладают межмолекулярными или межатомными силами настолько сильными, что они остаются твердыми телами при температуре, значительно превышающей обычную. Металлический вольфрам не плавится, пока не достигнет температуры 3370 °С, и не кипит при атмосферном давлении, пока не достигнет температуры 5900 °С.

Удельная теплоемкость

Пока что при обсуждении теплоты мы акцентировались на понятии «температура»; однако следует избегать путаницы между двумя разными терминами. Термины «теплота» и «температура» ни в коем случае не идентичны. Конечно, легко предположить, что если один образец воды имеет более высокую температуру, чем другой, то он более горячий, а потому обладает и большим количеством теплоты. Но это последнее утверждение, однако, не обязательно является истинным.

Наперсток, наполненный водой, при температуре 90 °C намного более горячий, чем ванна полная воды при температуре 50 °С, но ванна с водой имеет гораздо большее количество теплоты. Если оставить их стоять при комнатной температуре, то наперсток, полный воды, охладится до комнатной температуры за время, в течение которого ванна с водой едва ли охладится вообще. Наперсток с водой теряет свою полную теплоту быстрее, в частности, потому, что обладает гораздо меньшим количеством того, что ему следует терять.

Количество теплоты, которое содержит система, — это полная внутренняя энергия[70] молекул, составляющих эту систему, в то время как температура — это мера средней поступательной кинетической энергии отдельных молекул. Другими словами, теплота представляет собой полное количество энергии, а температура — количество из расчета на одну молекулу.

Постараемся объяснить эту разницу на примере такой аналогии. Предположим, что мы налили один литр воды в высокий тонкий цилиндрический сосуд так, чтобы он образовал столб воды высотой в один метр. Теперь нальем пять литров воды в гораздо более широкий цилиндрический сосуд так, чтобы получился водяной столб высотой в 0,1 метра. Вода в узком сосуде оказывает большее давление на его дно, однако, хотя высота столба воды в другом цилиндре составляет всего 0,1 от высоты первого, то есть давление составляет всего лишь десятую часть от первого, объем его в пять раз больше. Объем — это полное количество, в то время как давление — величина на единицу площади. Аналогична этой и взаимосвязь между теплотой и температурой.

Вам может показаться, что вводить такое различие между теплотой и температурой — ненужная трата сил? В конце концов, если мы, например, нагреваем воду, то она набирает теплоту, и температура идет вверх; эти две величины повышаются вместе, так почему бы не использовать одну как меру другой? К сожалению, это «параллельное» поведение теплоты и температуры может быть подсчитано только тогда, когда мы имеем дело с данным количеством некоего специфического вещества, и даже тогда это можно сделать только в некотором ограниченном диапазоне температур. Это хорошо можно увидеть, если сравнить содержание теплоты в двух различных предметах, находящихся при равной температуре.

Для того чтобы сделать это, мы нуждаемся в единице измерения теплоты. Ранее в книге я вскользь упомянул такую единицу, она называется «калория». Теперь давайте более детально рассмотрим, что же это такое.

Предположим, что мы добавляем теплоту к воде, таким образом поднимая ее температуру. Эксперименты показывают, что количество теплоты, требуемой, чтобы поднять температуру воды на установленное число градусов, изменяется вместе с массой воды, которая эту теплоту получает.

Мы можем, например, принять, что 100 граммов воды, находящихся при температуре кипения, содержат некоторое установленное количество теплоты. Если 100 граммов кипящей воды вылить в 5 килограммов (5000 граммов) холодной воды, температура холодной воды повысится приблизительно на 2 °С. С другой стороны, если 100 граммов кипящей воды вылить в 10 килограммов холодной воды, то температура холодной воды повысится только на 1 °С.

И снова, количество теплоты, требуемое, чтобы поднять температуру данной массы воды, изменяется в зависимости от числа градусов Цельсия, на которое требуется эту температуру поднять. Для того чтобы поднять температуру данного количества холодной воды на 10 °С, требуется вдвое больший объем кипящей воды, чем для того, чтобы поднять температуру этого же количества холодной воды на 5 °С. Поэтому единица измерения теплоты должна быть выражена в единицах массы и единицах повышения температуры, например количество теплоты, которое потребуется для того, чтобы поднять температуру одного грамма воды на один градус Цельсия. На самом деле более точные измерения показывают, что количество теплоты, которое требуется для того, чтобы поднять температуру одного грамма воды на один градус Цельсия, слегка изменяется в зависимости от первоначальной температуры воды, так что в определение следует также включить и первоначальную температуру. Таким образом, мы можем сказать, что одна калория — это количество теплоты, которое потребуется, чтобы поднять температуру одного грамма воды с 14,5 °С до 15,5 °С.

Или мы можем сказать, что одна тысяча калорий, или одна килокалория, — это то количество теплоты, которое потребуется для того, чтобы поднять температуру одного килограмма (1000 граммов) воды с 14,5 °С до 15,5 °С.

Предположим теперь, что один грамм алюминия был помещен в кипящую воду на время, достаточное для того, чтобы быть уверенным, что он приобрел температуру кипящей воды (100 °С). Давайте быстро погрузим горячий алюминий в 100 граммов воды при 0 °С. Алюминий будет охлаждаться, и его теплота будет добавлена воде, тем самым ее температура поднимется от 0 °С до примерно 0,22 °С.

Чтобы поднять температуру 100 граммов воды на 0,22 градуса Цельсия, потребуется приблизительно 22 калории (100 умножить на 0,22). То есть один грамм алюминия, охлаждаясь от 100 °С до 0,22 C°, освободил приблизительно 22 калории. В соответствии с законом сохранения энергии мы ожидаем, что если это охлаждение освободило 22 калории, то добавление 22 калорий к холодному алюминию поднимет его температуру до 100 °С. Грубо говоря, тогда мы можем сказать, что потребуется 22 калории, чтобы поднять температуру 1 грамма алюминия на 100 °С, или 0,22 калории, чтобы поднять его температуру на 1 °С. Данная величина представляет собой «удельную теплоемкость» алюминия; удельная теплоемкость вещества — это то количество теплоты, которое требуется для того, чтобы поднять температуру 1 грамма этого вещества на 1 градус Цельсия.

Экспериментальным путем можно найти, что удельная теплота железа равна 0,11, меди — 0,093, серебра — 0,056, а свинца — 0,03. Если добавить одну калорию теплоты к одному грамму алюминия с температурой 0 °С, то этого количества теплоты будет достаточно, чтобы нагреть его на ¹/_0,22, или на 4,5 C°, то есть до температуры 4,5 °С. То же самое количество теплоты при тех же самых условиях поднимет температуру одного грамма железа до 9 °С, меди — до 11 °С, серебра — до 18 °С, а свинца — до 33 °С.

Вот тут мы хорошо видим пользу от разницы между теплотой и температурой: действительно, то же самое количество теплоты может быть добавлено к данной массе каждого из множества различных веществ, и каждое из них достигнет различной температуры. Следовательно, температура сама по себе не является мерой содержания полного количества теплоты.

(Если обратиться назад, к нашему сравнению и связи между давлением и объемом, то это подобно тому, как если бы мы налили равный объем воды в цилиндрические сосуды различных диаметров. Объемы могут быть теми же самыми, однако величины давлений разнятся, и давление не может считаться мерой полного объема.)

Концепция удельной теплоемкости была впервые выдвинута в 1760 году шотландским химиком Джозефом Блэком (1728–1799).

Причиной для этого изменения удельной теплоемкости от вещества к веществу отчасти является различие в массах атомов, составляющих каждое из них. Масса атома свинца приблизительно в 7,7 раза больше, чем масса атома алюминия, масса атома серебра в 4 раза больше массы атома алюминия, масса атома меди в 2,3 раза больше массы атома алюминия, и, наконец, масса атома железа в 2,1 раза больше массы атома алюминия.

Из-за этого данная масса свинца, например 1 грамм, содержит только ¹/_7,7 часть количества атомов, что и та же масса, но алюминия. Таким образом, при добавлении некоторого количества теплоты в 1 грамм свинца мы вовлекаем в движение меньшее количество атомов, и соответственно требуется меньшее количество теплоты, чтобы увеличить кинетическую энергию отдельных атомов до уровня, достаточного, чтобы обеспечить повышение температуры на один градус Цельсия. По этой же причине удельная теплоемкость свинца, равная 0,03, примерно равна ¹/_7,7 таковой алюминия, которая равна 0,22. Точно так же удельная теплоемкость серебра равна примерно ¼ таковой алюминия, удельная теплоемкость меди равна примерно ¹/_2,3 и, наконец, удельная теплоемкость железа равна примерно ¹/_2,1удельной теплоемкости алюминия.

Общим правилом для большинства элементов является то, что произведение удельной теплоемкости на относительную массу атомов рассматриваемого вещества имеет примерно одно и то же значение для всех элементов. Рассматриваемая здесь относительная масса атомов различных химических элементов («атомный вес») выбирается таким образом: атом водорода, который является самым легким, имеет вес чуть более единицы; исходя из этого, для большинства химических элементов произведение удельной теплоемкости на атомный вес дает нам приблизительно шесть калорий.

Это заключение известно как закон Дюлонга и Пети, названный так в честь французских физиков Пьера Луи Дюлонга (1785–1838) и Алексиса Тереса Пети (1791–1820), которые впервые выдвинули это предположение в 1819 году.

Латентная (скрытая) теплота

Вам могло бы показаться, что понятия температуры как меры содержания количества теплоты и теплоты будут очень сближаться, стоит только воспользоваться для расчетов атомами или молекулами вместо граммов. Это было бы так, если бы закон Дюлонга и Пети был справедлив для всех веществ и при любых условиях, но это не так. Он справедлив только для твердых элементов и только в некотором температурном диапазоне. Действительно, можно показать случаи, когда содержание количества теплоты может сильно изменяться без всякого изменения температуры вообще, и этого вполне достаточно, чтобы прекратить использование понятия температуры как меры содержания теплоты.

Предположим, что к 100 граммам жидкой воды с температурой 0 °С добавлены 100 граммов жидкой воды с температурой 100 °C. После перемешивания окончательная температура смеси будет равна 50 °С.

Затем предположим, что 100 граммов льда с температурой 0 °С добавлены к 100 граммам жидкой воды с температурой 100 °С. После таяния льда и перемешивания смеси (предполагая, что во время ожидания не произошло никакой потери теплоты в окружающую среду или увеличения теплоты из окружающей среды, — задача, которая может быть решена посредством изоляции всей системы) мы обнаружим, что температура смеси составляет всего лишь 10 °С.

Почему так получилось? Понятно, что жидкая вода с температурой 0 °C содержит большее количество теплоты, пригодной для того, чтобы внести ее в окончательную смесь, чем лед при тех же 0 °С, и все же? Ведь и жидкая вода, и лед имели одну и ту же температуру. Кажется разумным предположить, что во втором случае некоторое количество теплоты, которое содержится в горячей воде, было использовано на процесс таяния льда, и, таким образом, для подъема температуры смеси осталось гораздо меньшее его количество.

Действительно, если мы будем нагревать смесь льда и воды, то обнаружим, что независимо от того, какое количество теплоты было передано смеси, температура системы остается равной 0 C°, пока последний кусочек льда не будет расплавлен. И только после того, как лед расплавится, теплота начинает преобразовываться в кинетическую энергию, и только тогда температура воды может начать повышаться. Эксперимент показывает: для того чтобы расплавить один грамм льда, из окружающей среды поглощается примерно 80 калорий теплоты и в процессе этого расплава не происходит никакого повышения температуры смеси. Лед, находящийся при температуре 0 °С, преобразуется и воду, находящуюся при тех же 0 °C.

Да, но если теплота, которую получает лед, не преобразуется в кинетическую энергию молекул, что же случается с ней? Ведь согласно закону сохранения энергии, как мы знаем, она не может просто исчезнуть.

Молекулы воды во льду связаны вместе сильными силами притяжения, которые и удерживают вещество в виде твердого тела. Чтобы преобразовать лед в воду, то есть в жидкую форму (в которой молекулы, как во всех жидкостях, являются практически свободными от взаимных связей, вплоть до способности взаимно скользить и перемещаться относительно друг друга), необходимо противостоять этим силам. Во время плавления льда тепловая энергия расходуется на противодействие этим межмолекулярным силам. При одной и той же температуре молекулы воды содержат большее количество энергии, чем молекулы льда, но не в форме более быстрого движения или вибрации, а в форме способности к сопротивлению силам притяжения, старающимся стянуть их между собой.

Согласно закону сохранения энергии, изменение энергии в процессе замораживания должно быть равно и противоположно по знаку при таянии. Если жидкой воде при температуре 0 °C предоставить возможность отдавать теплоту в окружающую внешнюю среду, то способность молекул сопротивляться силам притяжения постепенно будет потеряна. Все большее количество молекул будет крепко связано вместе, и в конце концов вода замерзнет. Отданное в окружающую внешнюю среду количество теплоты, которое теряет система в процессе этого замораживания, равно 80 калориям на каждый грамм получившегося льда.

Короче говоря, 1 грамм льда, находящийся при температуре, равной 0 °С, поглощает 80 калорий и плавится, образуя 1 грамм воды с температурой 0 °С; а 1 грамм воды, находящейся при температуре, равной 0 C°, выделяет 80 калорий, в то время как замораживается в 1 грамм льда с температурой 0 °С.

Теплота, использованная в процессе плавления льда (или любого другого твердого тела), преобразуется в своего рода потенциальную энергию молекул. Как камень, находящийся наверху горы, имеет благодаря своему расположению и с точки зрения гравитационного притяжения большее количество энергии, чем подобный же камень, но находящийся у подножия горы, так и свободно перемещающиеся молекулы в жидкостях благодаря своему положению и с точки зрения межмолекулярного притяжения обладают большим количеством энергии, чем те же или подобные молекулы в твердых телах, где они жестко связаны.

Представление о количестве теплоты вещества дает его суммарная внутренняя энергия, представляющая собой и кинетическую и потенциальную энергию молекул. Температура дает нам отражение в изменении только кинетической энергии молекул. В процессе изменения только потенциальной энергии, как это было в приведенном примере с плавлением или замораживанием льда, полное количество теплоты, которое содержится в веществе, меняется без изменения температуры.

Первооткрывателем того факта, что теплота плавит лед без поднятия его температуры, был Джозеф Блэк — тот самый, кто первым рассчитал значение удельной теплоемкости. Он назвал теплоту, использованную в процессе плавления льда, «латентной, или скрытой, теплотой». Слово «латентная» означает нечто, что присутствует в веществе, но не явным образом. Это примерно то же самое, что и «потенциальная энергия». Таким образом, ясно просматривается связь между «латентной теплотой» и «потенциальной энергией».

Итак, тепло, которое требуется для того, чтобы расплавить грамм льда, называется его «скрытой теплотой плавления» (слово «плавление» в случае льда является синонимом слова «таяние»). Необходимым уточнением является слово «плавление», так как существует и другой тип латентной теплоты, который возникает в процессе кипения или парообразования. При преобразовании одного грамма жидкой воды, находящейся при температуре, равной 100 °С, в один грамм пара с температурой 100 °С происходит полная нейтрализация всех межмолекулярных связей, которые еще остались после преобразования твердого вещества в жидкость. Только после этого молекулы начинают демонстрировать свойства, типичные для молекул газов, то есть свое практически независимое движение. При имевшем место ранее процессе таяния была нейтрализована только незначительная часть межмолекулярных сил притяжения, а основная часть их продолжает действовать. По этой причине «латентная, или скрытая, теплота парообразования» данного вещества в общем случае значительно выше, чем латентная теплота плавления того же самого вещества. Например, латентная теплота парообразования воды, а именно: количество теплоты, которое требуется для того, чтобы преобразовать 1 грамм воды с при температурой 100 °С в 1 грамм пара с той же температурой 100 °С, равно 539 калориям. То есть для воды латентная теплота парообразования почти в семь раз больше, чем латентная теплота плавления.

Таким образом, энергосодержание пара на удивление высоко. Сотня граммов воды, находящихся при температуре, равной 100 °С, в процессе охлаждения от этой температуры до точки замерзания отдает около 10 000 калорий. Сотня же граммов пара, находящихся при температуре, равной 100 °C, однако, отдает около 53 900 калорий, просто преобразовываясь в воду. Получившаяся вода тогда отдает еще и 10 000 калорий, по мере охлаждения до точки замерзания. По этой причине паровые двигатели обладают таким высоким коэффициентом полезного действия, который никогда бы не был доступен «двигателям на горячей воде». (Не вызывает удивления тот факт, что Джеймс Ватт, изобретатель парового двигателя, был студентом у Джозефа Блэка.)

Существует способ использования латентной теплоты парообразования. Предположим, что газ типа аммиака помещен под давлением в закрытый сосуд. Если увеличивать давление, то это заставит газ сжижаться. Поскольку аммиак сжижается, он отдает некоторое количество теплоты окружающей среде. Эта теплота может поднять температуру как непосредственно окружающей среды, так и самого аммиака. Однако если сосуд с аммиаком погрузить в проточную воду, то выделенная теплота будет уноситься этой водой, а жидкий аммиак будет оставаться при температуре, которая была у него в газообразном состоянии.

Если теперь сосуд с аммиаком вынуть из воды и снизить давление так, чтобы жидкий аммиак снова закипел и стал газом, он должен поглотить количество теплоты, эквивалентное тому, которое он отдал до того. Он и поглощает эту теплоту из самых близких источников — из себя и из своего непосредственного окружения. Часть кинетической энергии его собственных молекул преобразуется в потенциальную энергию газообразного состояния, и температура аммиака резко падает вниз.

Если мы возьмем газ, подобный аммиаку, и сделаем его частью механического устройства, которое поочередно то сжимает его, то позволяет ему испаряться, в результате мы получим тепловой насос, который потребляет теплоту из аммиака и непосредственно из близлежащей окружающей среды. Далее, поместив такой насос в некую изолированную коробку, мы получим рефрижератор, то есть холодильник.

Понижение температуры по мере испарения используется и нашими собственными телами. Благодаря действию потовых желез мы покрыты тонкой влажной пленкой, которая по мере испарения забирает теплоту от нашего тела и дает нам прохладу. Вода имеет самую высокую латентную теплоту парообразования среди обычных веществ, а так как наш пот является почти чистой водой, это означает, что мы все немного испаряемся, хотя обычно так мало, что совсем и не замечаем этого. В жаркую погоду процесс ускоряется, и если внешние условия изменяются, то мы хорошо можем видеть результат этого парообразования — конденсация (пот) накапливается в больших количествах. Все мы прекрасно знаем это чувство дискомфорта — результат частичного пробоя нашей личной системы охлаждения — как говорится: «в пот бросило».

Тепловой поток

В предыдущей главе я говорил относительно смешивания горячей и холодной воды и, в частности, сказал, что в процессе была достигнута промежуточная температура. Легко видеть, что это было достигнуто простым физическим смешиванием молекул горячей воды (которые обладают высокой средней кинетической энергией) с молекулами холодной воды (которые обладают низкой средней кинетической энергией). Молекулы же окончательной смеси обладают средней кинетической энергией некоего промежуточного значения между этими двумя.

Газы так же и таким же образом способны к сглаживанию экстремальных температур. Теплые воздушные массы смешаются с холодными (и такое смешение воздушных масс — источник происхождения погоды), и, как результат, температура земной поверхности сохраняется в некотором промежуточном значении. Может показаться, что смесь теплого и холодного воздуха не так уж эффективно воздействует на Землю, если сравнить это воздействие с таковым от плавучих льдин полярных областей или насыщенных паром тропических джунглей. Однако могло быть и хуже. Наша Луна находится на том же среднем расстоянии от Солнца, как и Земля, но в отличие от Земли она испытывает недостаток атмосферы. В результате части ее освещенной солнцем стороны становятся даже более горячими, чем тропические области Земли. А части поверхности на ее затемненной стороне становятся намного более холодными, чем области вечной антарктической зимы на Земле.

Перенос и передача теплоты потоками газа или жидкости называется «конвекцией» (от латинских слов, означающих «нести вместе»)[71].

Однако для передачи теплоты такое фактическое движение материи не является необходимым. Если нагреть один конец длинного металлического прута, то теплота в конечном счете распространится и на другой его конец. Естественно предположить, что в пределах твердого металлического прута нет никаких потоков перемещающейся материи. На самом деле получается примерно вот что: поскольку один конец прута становится горячим, атомы металла на этой части прута увеличивают свою кинетическую энергию. Поскольку прут остается твердым, среднее расположение каждого атома остается фиксированным, но каждый из атомов может вибрировать относительно этого положения. По мере того как энергия атомов нарастает, колебания становятся все более быстрыми, а движения распространяются все дальше от среднего равновесного положения. Атомы, находящиеся в самой горячей части прута, вибрируют наиболее энергично, они толкают соседние атомы, и эти атомы в результате непосредственных соударений тоже начинают более энергично вибрировать. Таким образом, кинетическая энергия как бы «проталкивает» себя от атома к атому и постепенно от одного конца прута к другому. Это перемещение теплоты в толщу твердого тела называется «теплопроводностью» («кондукцией» — от латинских слов, означающих «вести вместе»).

Тот факт, что атомы и молекулы твердых тел по мере повышения температуры вибрируют со все большей амплитудой, означает, что каждый атом или молекула начинают занимать больше места. Тогда становится понятным, почему объем твердого тела или жидкости увеличивается с повышением температуры и уменьшается с ее понижением, даже несмотря на то, что молекулы остаются в фиксированном положении и твердо связаны между собой, вплоть до точки кипения.

(Однако это — не единственный фактор, вовлеченный в объемное расширение, которому твердые тела и жидкости подвергаются по мере изменения температуры. Немаловажную роль играет и вопрос взаимного расположения молекул, молекулярной структуры. Молекулярная структура в твердых телах обычно более компактна, чем в жидких, поэтому при замерзании последних проявляется внезапное изменение объема и соответствующее увеличение плотности. В этом отношении вода проявляет исключительные свойства. Ее молекулярная структура менее компактна в твердом состоянии, чем в жидком. Как результат, лед является менее плотным, чем жидкая вода и будет плавать в ней, а не тонуть.)

Оба понятия — и конвекцию и теплопроводность — можно объяснить в терминах механики. В обоих случаях имеется фактическое воздействие более энергичных атомов или молекул на менее энергичные атомы или молекулы, и поэтому энергия передается прямым контактом. Однако теплота может быть передана и вообще без какого-либо контакта. Если заключить в вакуум некий горячий объект, то он будет передавать свою теплоту через него, несмотря на то что вокруг него нет ничего, что могло бы эту теплоту перенести посредством конвекции или теплопроводности. Солнце отделено от нас почти на 93 000 000 миль вакуума, гораздо более качественного, чем любой, который мы можем получить в лабораторных условиях, и все же его теплота достигает нас — это очевидно. Такая теплота кажется проистекающей из горячего объекта во всех направлениях, подобно обычным лучам, которые любят рисовать исходящими из солнца многие мультипликаторы. По-латински слово «луч» звучит как «радиус», и поэтому явление переноса теплоты через вакуум было названо «радиацией». Детальное рассмотрение явления радиации будет нами сделано во втором томе этой книги.

Интерес к любым законам, управляющим движением теплоты различными методами, наиболее остро поднялся в первой части XIX столетия из-за все возрастающей важности парового двигателя, изобретенного Джеймсом Ваттом, работа которого зависела от величины теплового потока. В паровом двигателе теплота передается от сжигаемого топлива к воде, преобразуя последнюю в пар. Теплота, содержащаяся в паре, затем переходит в холодную воду, охлаждающую конденсор, и пар, теперь охлаждаясь, отдает теплоту, превращаясь опять в воду. Этот тепловой поток, который обращает воду в пар и обратно, каким-то образом выделяет достаточное количество энергии, которая может быть конвертирована в кинетическую энергию поршня, а последний, в свою очередь, может выполнять полезную работу.

Изучение движения теплоты (сначала — в связи с вниманием по отношению к работе парового двигателя) в результате привело к созданию раздела физики, который называется «термодинамика» (от латинских слов, означающих «движение теплоты»). Конечно, при любом рассмотрении потока теплоты для начала нужно принять, что теплота не может обращаться в нуль или в ничто и не может проистекать из ничего. Приведенная фраза отражает закон сохранения энергии, и это обобщение настолько важно для термодинамики в целом, что его часто называют «первым законом термодинамики».

Однако первый закон термодинамики просто заявляет, что в закрытой системе содержание полной энергии есть величина постоянная, и не дает нам представления о том, как именно энергия в такой системе может передаваться от одной части системы к другой. Но даже небольшой опыт показывает, что такие энергетические изменения происходят по одному и тому же образцу.

Например, представим себе некоторую изолированную систему (то есть такую, в которой не происходит никакого обмена энергии с внешним миром: ни выделения энергии наружу, ни поглощения ее извне); она может, например, состоять из некоторого количества льда, помещенного в горячую воду. Мы можем быть совершенно уверены, что по мере того, как лед будет плавиться, вода охладится. Полная энергия не изменилась; однако часть ее перешла из горячей воды в лед, и весь опыт человечества говорит нам, что такое изменение существует. Точно так же раскаленный камень, оставленный на воздухе, постепенно охладится, в то время как воздух, находящийся в непосредственной близости от него, будет постепенно нагреваться.

Поток теплоты от горячего объекта к холодному объекту продолжается до тех пор, пока температура различных частей изолированной системы не сравняется, и это истинно независимо от того, как передается эта теплота: конвекцией, кондукцией или радиацией.

На раннем этапе развития термодинамики исследователи, столкнувшиеся с этим явлением, характеризующим поток теплоты, выбрали наиболее легко визуализируемое понятие: они думали о теплоте как о своего рода жидкости, и эта жидкость даже получила имя — «каллорик» — от латинского слова, означающего «теплота».

Мы можем использовать понятие жидкости как аналогию, для того чтобы изобразить поток теплоты. Представьте себе два сосуда, связанные между собой трубкой с вентилем, в левом сосуде — более высокий уровень жидкости, а в правом — более низкий. Естественно, давление воды слева будет выше, чем справа, так что у нас имеется суммарное давление слева направо. Если трубка с вентилем будет открыта, вода потечет слева направо и будет продолжать течь до тех пор, пока уровни с обеих сторон не сравняются. Более высокий уровень воды будет падать; низкий уровень повысится, а окончательный уровень с обеих сторон будет иметь некое промежуточное значение по высоте. И хотя полный объем воды в системе не изменился, произошло изменение в распределении воды в пределах системы, которое привело к уравниванию давлений в системе.

Изменив некоторые ключевые слова, мы получим высказывание, имевшее место ранее: «Хотя полная теплота системы не изменилась, произошло изменение в распределении теплоты в пределах системы, которое привело к уравниванию температуры». (Мы проводим аналогию между объемом/давлением и теплотой/температурой.)

Если мы подумаем о температуре как о своего рода движущей силе, направляющей поток теплоты аналогично тому, как давление жидкости направляет поток воды, то нам покажется очень естественным, даже очевидным, что эта теплота должна течь из области высокой температуры к области низкой температуры независимо от общего содержания теплоты в каждой области.

Давайте рассмотрим, например, грамм кипящей воды и сравним его с килограммом ледяной воды. Чтобы заморозить килограмм ледяной воды, от него требуется отобрать приблизительно 80 000 калорий теплоты. Чтобы опустить температуру грамма кипящей воды до точки замерзания, а затем заморозить, потребуется отобрать 100 плюс 80 калорий, или всего лишь 180 калорий. Любое дальнейшее охлаждение килограмма льда, полученного в первом случае, по сравнению с граммом льда, полученного в втором, потребует отбора в тысячу раз большего количества теплоты, чем от второго, на каждый градус Цельсия. Это происходит потому, что, несмотря на разницу в температурах, полная теплота, которая содержится в килограмме ледяной воды, будет намного выше, чем полная теплота, которая содержится в грамме кипящей воды.

Однако, если грамм кипящей воды добавить к килограмму ледяной воды, поток теплоты потечет от кипящей воды в ледяную воду. Направление потока теплоты определяет вовсе не разность в полном содержании теплоты. Скорее его определяет разница в температуре. И снова наша аналогия: если в связанных между собой сосудах, упомянутых выше, левый будет иметь более узкий диаметр, а правый — более широкий, то вода будет течь со стороны меньшего объема к области большего объема. Не разница в полном объеме, но разница в давлении будет диктовать направление потока воды.

Скорость, с которой вода будет течь из одной части системы к другой, будет зависеть от величины разности давлений. Сначала, когда мы откроем вентиль на трубке, вода потечет быстро, но по мере того, как разность давлений по обе стороны трубки будет уменьшаться, эта скорость (или «расход жидкости») также упадет. Расход становится все меньше по мере того, как падает разница в давлениях и обращается в нуль, как только вода «находит свой уровень» и разница в давлениях исчезает.

Очевидно, аналогично можно изобразить передачу потока теплоты при помощи теплопроводности. Расход теплоты из горячей области в холодную зависит частично от разницы температур между ними. Обычно вычисляют количество теплоты, которое будет протекать за одну секунду через куб с ребром, равным одному сантиметру, у которого одна сторона на 1 °C холоднее, чем противоположная. Это количество теплоты называется «коэффициентом теплопроводности» и измеряется в калориях на сантиметр за секунду на градус Цельсия (кал/см∙с∙°С).

Даже если мы имеем некую заданную разность в давлениях воды, все равно мы можем изменить величину водного потока в зависимости от того, течет ли он через широкое отверстие, узкое отверстие, ряд узких отверстий, губку, грубое полотно, утрамбованный песок и так далее. То же самое истинно и для теплоты: даже в тех случаях, когда имеется перепад температур, теплота будет более быстро перетекать через одно вещество, чем через другое. Другими словами, коэффициент теплопроводности изменяется от вещества к веществу.

Считается, что вещества, у которых коэффициент теплопроводности является высоким, — хорошие проводники теплоты; те же, у которых коэффициент теплопроводности низкий, считаются плохими проводниками тепла. Вообще металлы — хорошие проводники теплоты, а неметаллы — плохие. Лучший проводник среди металлов — медь, с коэффициентом теплопроводности, равным 1,04 кал/см∙с∙°С. Для сравнения: вода имеет коэффициент теплопроводности, равный 0,0015 кал/см∙с∙°С, а некоторые виды древесины имеют коэффициенты теплопроводности даже еще ниже, вплоть до 0,00009 кал/см∙с∙°С.

Именно по этой причине холодный металл ощущается как намного более холодный, чем холодная древесина. Металл и древесина могут иметь равную температуру, но тепло покидает руку гораздо быстрее, когда она находится в контакте с металлом, чем с древесиной. Температура той части руки, которая вступила в контакт с металлом, понижается намного быстрее. Аналогично, мы можем без опаски поднять ведро кипящей воды за деревянную или пластмассовую накладку на ее ручке, поскольку теплота от металла (которого мы рекомендуем не касаться) проходит через древесину или пластмассу крайне неохотно и недостаточно интенсивно, чтобы нанести нам ущерб.

Система, полностью окруженная материалом с низкой удельной теплопроводностью, очень медленно отдает теплоту в окружающую внешнюю среду; она также и получает теплоту извне крайне медленно, даже невзирая на то, что разница в температурах, внешней и внутренней, может быть значительной. Система выглядит как остров, если можно так выразиться, специфической температуры посреди внешнего моря различной температуры. Поэтому такую систему называют «изолированной» (от латинского слова, означающего «остров»), а материал, обладающий низкой удельной теплопроводностью, называют «теплоизолятором» или «теплоизоляционным материалом».

Газы обладают низкими коэффициентами теплопроводности, поэтому воздух является хорошим теплоизолятором. Шерстяные одеяла и одежда «заманивают в ловушку» слой воздуха, который содержится в крошечных промежутках между волокнами, поэтому тепло очень медленно уходит из нашего тела во внешнюю холодную окружающую среду, благодаря этому мы и имеем ощущение теплоты, которое нам дает одежда. Шерсть и воздух сами по себе не греют, но создают эффект нагрева, помогая нашему телу сохранить свою собственную теплоту. Для этой цели было бы достаточно и одного воздуха, если бы мы могли заставить его не двигаться. Но нагретый воздух около наших тел постоянно сменяется прохладным воздухом в результате вездесущих воздушных потоков. Теплоту уносит конвекцией, поэтому, кстати, ветреный день кажется нам более холодным, чем безветренный, несмотря на то что температура вокруг нас остается той же самой.

Все вещества имеют коэффициенты теплопроводности больше нуля, и не существует никакого вещества, которое бы имело его равным нулю, то есть было бы абсолютным теплоизолятором. Предположим, тем не менее, что мы воспримем фразу «никакое вещество» буквально и окружим систему вакуумом. Тогда мы получим самый лучший изолятор, чем какой-либо из тех, что мы можем найти в царстве материалов. Физический вакуум обладает коэффициентом теплопроводности, равным нулю, а также не может вызывать теплоотдачу и через конвекцию. Однако даже вакуум не является абсолютным теплоизолятором, он все еще будет служить тропою для потери теплоты через радиацию.

Потеря тепла через радиацию, однако, является более медленным процессом, чем потеря его через кондукцию или конвекцию. Чтобы использовать свойства вакуума, некоторые сосуды делают /двухслойными, а в промежутке между внешней и внутренней стенками создают вакуум. Кроме того, стенки могут быть сделаны зеркальными, так чтобы любая теплота, исходящая через вакуум в любом направлении, почти полностью отражалась. Как результат, процесс проникновения теплоты через такой «вакуумный сосуд» или «термос» происходит чрезвычайно медленно. Горячий кофе в термосе остается горячим в течение длительного периода времени, а холодное молоко настолько же долго остается холодным.

Такие устройства были впервые в 1892 году созданы шотландским химиком Джеймсом Дьюаром (1842–1923). Он использовал их, чтобы хранить чрезвычайно холодные вещества типа жидкого кислорода, создавая им условия, при которых доступ теплоты снаружи минимизирован, а соответственно минимизировано и парообразование. Такие сосуды до сих пор применяются в химических лабораториях и для той же цели; в его честь они называются «сосудами Дьюара».

Второй закон термодинамики

Подводя итог всему, что было написано в предыдущей главе, мы можем сказать, что в соответствии с опытом всего человечества в любой изолированной системе теплота будет спонтанно перетекать из области с более высокой температурой в область с более низкой температурой. Справедливо считать это «вторым законом термодинамики».

Представление о теплоте как о своего рода жидкости достигло своего пика в 20-х годах XIX века. Строгий математический анализ потока теплоты согласно этому представлению был выдвинут в 1822 году Фурье — основоположником гармонического анализа. Но еще дальше развил это представление другой французский физик — Никола Леонар Сади Карно (1796–1832).

В 1824 году Карно проанализировал работу парового двигателя в терминах, которые мы можем рассматривать аналогичными тем, что могли бы применяться к анализу водопада. Энергию водопада можно использовать для того, чтобы вращать колесо водяной мельницы, а это движение в дальнейшем может быть использовано для механического привода различных устройств. Таким образом энергия падающей воды может быть преобразована в работу.

Для данного объема воды количество энергии, которое может быть преобразовано в работу, зависит от высоты падения воды, то есть от разности высот от поверхности воды, куда падает водопад, до излома скалы, с которой он падает.

Мы можем измерить эти две высоты от любой согласованной точки отсчета. Приняв уровень воды в водоеме за «нулевую» точку, мы можем сказать, что его высота (h₁) равна нулю. Тогда если высота скалы (h₂) равна 10 метрам, то величина перепада высот будет равна +10 метрам. То есть расстояние, которое пролетает падающая вода, будет равно h₂ – h₁, то есть 10 — 0, или 10 метрам.

Можно точно так же взять за нулевую точку и высоту над уровнем моря. В этом случае h₁, будет равняться +1727 метров, а h₂ будет + 1737 метров; h₂ — h₁, в этом случае будет равен 1737–1727, или все тем же 10 метрам. Наиболее строго и верно (по крайней мере, на Земле) было бы взять за нулевую точку центр Земли. В этом случае значения h₁ и h₂ составили бы соответственно 6 367 212 метра и 6 367 222 метра, а h₂–h₁ — все те же самые 10 метров. Ну и как вариант мы могли бы позволить быть нашей нулевой точкой вершине горы. Тогда если h₂ равняется нулю, то h₁, которая представляет собой уровень воды в водоеме, находящийся на 10 метров ниже, чем вершина горы, будет иметь значение –10 метров. В этом случае перепад высот h₂ – h₁, будет составлять 0 – (–10), или все те же 10 метров.

Я потратил столько времени и сил на эту точку только для того, чтобы абсолютно ясно дать понять, что значения h₁ и h₂ не являются абсолютными величинами, которые оказывают влияние на расчет количества работы, которое можно получить из энергии падающей воды; только разность между ними — перепад высот — имеет решающее значение.

Если мы и дальше продолжим рассмотрение водопада, то, кроме того, обнаружим ясное различие между содержанием полной энергии воды и свободной энергии. Вода падает сверху к основанию водопада и образует там спокойный водоем. Несмотря на то что водоем сам по себе не способен к вращению водяного колеса, он все же содержит много потенциальной энергии. Если мы выроем в водоеме отверстие, то вода пойдет по нему вниз, и часть ее энергии можно будет преобразовать в работу при условии, что водяное колесо будет помещено на дне отверстия. Идеальным было бы прорыть отверстие к центру Земли, тогда мы могли бы использовать всю потенциальную энергию воды (по крайней мере, относительно Земли). Однако на практике никто не роет никаких отверстий, а используется только энергия падающей воды существующего водопада. Эта энергия доступна нам. Оставшаяся потенциальная энергия воды, если считать ее от центра Земли, присутствует, но недоступна нам.

Этот же тип рассуждений мы можем применить и к потоку теплоты. В паровом двигателе (или в любом другом тепловом двигателе, например в таком, который мог бы использовать пары ртути, а не водяной пар) потоки теплоты двигаются из горячей области — парового цилиндра — к холодной области — конденсору. Теплота течет из области высокой температуры к области низкой температуры так же, как поток жидкости течет от большей высоты к меньшей. Количество энергии, которая может быть конвертирована в работу, определяет совсем не величина высокой или низкой температуры, а скорее разность температур. В таком случае будет справедливо по отношению к тепловому двигателю представлять «доступную энергию» в терминах разницы температур в пределах двигателя. Наиболее удобно выражать это в терминах абсолютной температуры, концепция, которую Карно не успел полностью разработать из-за своей преждевременной смерти от холеры в возрасте 36 лет. Если мы обозначим температуру горячей области теплового двигателя T₂, а холодную область его же T₁, то тогда доступная энергия может быть представлена как T₂ – T₁.

Холодная область парового двигателя, конечно, все еще содержит теплоту. Если температура конденсора равна 25 C°, воду, которую он содержит (образовавшуюся из сжатого пара), в принципе можно охладить дальше и заморозить или охладить еще дальше — до абсолютного нуля; таким же образом воду в принципе можно опустить к центру Земли. Полная энергия системы будет представлена разностью температур между горячей областью и абсолютным нулем, то есть разность становится равной Т₂ – 0, или просто Т₂.

Максимальная эффективность (КПД — коэффициент полезного действия) £ такого теплового двигателя будет равна отношению доступной энергии к полной энергии. Если по условиям работы теплового двигателя мы в принципе можем преобразовать всю энергию системы, то эффективность (КПД) его будет равна 1,0; если только половина полной энергии может быть преобразована в работу, то £ будет равняться 0,5, и так далее. Тогда, выражая доступную энергию и полную энергию в терминах разницы температур, мы можем сказать, что:

Теперь предположим, что мы имеем тепловой двигатель, в котором пар, находящийся при температуре 150 °С (или 423 °К), конденсируется в воду с температурой 50 °С (или 323 °К). Максимальная эффективность (КПД) такого двигателя тогда будет равна (423–323)/423, или 0,236. То есть мы видим, что лишь менее чем четверть полной теплоты, содержащейся в паре, была бы доступна для преобразования ее в работу.

Больше того, даже это значение может быть достигнуто только в том случае, если тепловой двигатель механически идеален, то есть если не имеется никаких потерь энергии во внешнюю среду — ни через трение, ни через тепловое излучение и так далее. В реальной жизни тепловые двигатели обладают гораздо меньшей эффективностью, чем тот максимум, который предсказан нам в уравнении 15.1. Однако уравнение 15.1 устанавливает максимум, за который не могут заходить даже идеальные механические конструкции.

Уравнение 15.1 получено при условии, что теплота течет только из горячей области к холодной и никогда — наоборот. Таким образом, оно поэтому также является выражением второго закона термодинамики, то есть второй закон может рассматриваться как устанавливающий некоторые, нового вида, ограничения на использование энергии.

Первый закон термодинамики (закон сохранения энергии) однозначно дает понять, что никто не может извлечь большее количество энергии от системы, чем то ее полное значение, которое содержится в ней. Второй закон термодинамики утверждает, что невозможно получить большее количество работы из системы, чем количество доступной свободной энергии, и что величина доступной свободной энергии является неизменно меньшей, чем величина полной энергии, в том случае если не будет достигнута температура абсолютного нуля[72].

Второй закон термодинамики указывает нам на очень важный факт. Чтобы получить работу от теплового двигателя, должна иметься разность температур. Предположим, горячая и холодная области имеют одну и ту же температуру T₂, тогда в уравнении 15.1 разность температур (T₂ — T₁) станет равна (T₂ – T₂)/T₂, или 0, то есть величина доступной энергии становится равной нулю. (Таким же образом водопад с высотой нуль метров не способен выполнять никакую работу.)

Если бы это было не так, можно было бы, например, представить себе, что судно, плывущее по океану, могло бы впитывать в себя воду, использовать часть энергии, содержащейся в ней, а затем удалять эту воду (более холодную, чем она была прежде) назад в океан. Все суда в мире и многие другие устройства, придуманные человечеством, могли управляться за счет пустяковой доли огромного количества энергии, которая содержится в Мировом океане. Конечно, во время этого процесса океан слегка бы охладился, а атмосфера нагрелась бы, но поток теплоты был бы направлен назад — от воздуха к воде, и все бы было хорошо.

Однако пока второй закон термодинамики выражается уравнением 15.1, это невозможно. Чтобы извлечь теплоту из океана, нам бы понадобился бассейн с водой более холодной, чем в океане, и устройство охлаждении, чтобы поддерживать эту воду более холодной, чем в океане. Но энергия, израсходованная на охлаждение, была бы больше, чем энергия, извлеченная из океана (предполагая, что устройство охлаждения должно быть механическим, то есть не идеальным, поскольку это невозможно), а значит, мы не получили бы ничего. Фактически мы можем только потерять энергию. И действительно, все «вечные двигатели» придуманы изобретателями в тщетной надежде так или иначе нарушить второй закон термодинамики. Патентные бюро даже перестали рассматривать заявки на изобретения такого рода, пока не будут представлены работающие модели, а такие модели до сих пор представлены не были, и шансы на их построение — весьма невелики.

Энтропия

Карно рассматривал приложение второго закона термодинамики к очень ограниченной сфере. Он имел дело только с тепловыми двигателями[73] и специально отбросил рассмотрение двигателей, которые используют другие виды топлива или источники энергии: человеческий или животный привод или, например, силу ветра.

Действительно, во времена Карно даже первый закон термодинамики еще не был полностью понят в самом широком его смысле.

Однако когда в 1840-х годах Джоуль продемонстрировал взаимное преобразование теплоты и других разнообразных видов энергии, а Гельмгольц определенно доказал, что закон сохранения энергии имеет универсальную сущность, казалось, что и второй закон, который определяет направление потока теплоты, может также быть объявлен универсальным по применению. В тепловых двигателях разность температур была необходимой для того, чтобы извлечь работу из энергии, но отнюдь не все производящие работу устройства были тепловыми двигателями. В некоторых системах было возможно извлечь работу, несмотря на то что имелся только один уровень температуры.

Вот, например, работа может быть получена от электрической батареи, где, однако, не существует никакой разницы температур.

Но здесь имеется разница в электрических потенциалах (этот вопрос мы не будем обсуждать в данной книге), которые представляют доступную энергию. Еще, например, химические реакции могут работать, хотя конечные продукты реакции могут обладать той же самой температурой, что и первоначальные реактивы. В этом случае доступную энергию поставляет разность в химических потенциалах.

Чтобы полностью обобщить второй закон термодинамики, он должен быть справедливым по отношению к любым видам энергии: электрической, химической и другим формам энергии, а не только к одной тепловой. Работа может быть извлечена из любой существующей формы энергии, однако работа может только быть получена, если энергия присутствует в более интенсивном состоянии в одной части системы и в менее интенсивном — в другой ее части. (В случае теплоты интенсивность измеряется как температура; при других же формах энергии она измеряется другими способами.) Именно эта разность в интенсивности и определяет величину доступной энергии. То, что остается от полной энергии, после того как из нее вычитается доступная свободная энергия, — связанная энергия.

В 1850 году немецкий физик Рудольф Юлиус Эмануэль Клаузиус (1822–1888) раскрыл истинную общность результатов Карно и определил свои наблюдения как второй закон термодинамики. (По этой причине Клаузиуса обычно и называют его первооткрывателем.)

Теперь давайте снова вернемся к рассмотрению второго закона. В тепловом двигателе мерой доступной энергии является разница температур между горячей и холодной областями. Однако второй закон заявляет, что в закрытой системе поток теплоты должен проистекать от горячей области к холодной. Со временем, однако, эта разность температур должна уменьшиться: поскольку поток теплоты движется только в единственном направлении, горячая область остывает, а холодная нагревается. Следовательно, со временем свободная энергия уменьшается. Так как полная энергия остается постоянной, по мере уменьшения свободной энергии связанная энергия должна увеличиться.

Конечно, мы могли бы удалять ограничения, связанные с замкнутостью системы, то есть мы могли бы разрешить теплоте входить в горячую область снаружи и предотвращать ее охлаждение. Мы можем также отбирать теплоту из холодной области и предохранять ее от нагревания. (Так и сделано в реальных паровых двигателях, в которых горение топлива непрерывно поддерживает паровую камеру в горячем состоянии, а проточная холодная вода поддерживает конденсор в максимально холодном состоянии.)

Однако для того чтобы закачать теплоту в горячую область и отобрать ее из холодной области, потребуется дополнительная энергия. Мы увеличиваем полную энергию системы просто для того, чтобы поддержать величину доступной свободной энергии на постоянном уровне. Поскольку полная энергия увеличивается, в то время как доступная энергия остается постоянной, связанная энергия также возрастает.

Короче говоря, независимо оттого, как мы будем подходить к рассмотрению процессов, происходящих в тепловом двигателе, со временем величина связанной энергии увеличивается. Мы могли бы делать это увеличение очень медленным, если достаточно хорошо изолируем систему, минимизировав поток теплоты от теплых частей к холодным. Если бы мы могли создать абсолютный изолятор, то могли бы даже прийти к ситуации, когда связанная энергия не будет увеличиваться.

То, что справедливо для тепловых двигателей, должно также быть справедливо для любых производящих работу устройств. Тогда мы можем сказать, что связанная энергия любой системы может оставаться неизменной при идеальных условиях, но всегда увеличивается со временем при реальных условиях.

Клаузиус придумал слово «энтропия» (слово неизвестного происхождения) для того, чтобы эта величина служила мерой недоступности энергии[74]. Он показал, что энтропия может быть выражена как теплота, разделенная на температуру. Таким образом, единицы измерения энтропии — калории на градус Цельсия. Мы можем сказать, что энтропия системы будет оставаться неизменной при идеальных условиях, но всегда возрастает со временем при реальных условиях. И это также является еще одним выражением второго закона термодинамики.

Не следует забывать, что законы термодинамики справедливы и обращаются только к замкнутым системам. Если мы рассмотрим открытые системы, то будет достаточно просто найти примеры очевидного уменьшения энтропии.

Например, в рефрижераторе теплота постоянно передается от холодных объектов внутри камеры в теплую атмосферу извне, что представляет собой явный вызов второму закону. Теплый объект, который мы помещаем в пределы камеры рефрижератора, остывает; поэтому свободная энергия (представленная разностью температур между воздухом извне и объектом внутри рефрижератора) увеличивается.

Во всех случаях, когда мы рассматриваем иные, чем теплота, формы энергии, можно обнаружить аналогичные «нарушения» второго закона термодинамики. Человек может подниматься вверх по холму, тем самым увеличивая свободную энергию, измеряемую как разность в потенциальной энергии в нем, когда он находится у основания холма и наверху. Железную руду можно очистить до чистого железа, а израсходованная аккумуляторная батарея может быть заряжена: первый пример демонстрирует «движение вверх по холму» применительно к химической энергии, последний — «движение вверх по холму» применительно к электрической энергии.

Дело в том, что во всех упомянутых случаях система не замкнута; энергия проистекает в систему снаружи. Для того чтобы сделать второй закон термодинамики имеющим силу, следует включить источник этой внешней энергии в систему так, чтобы он больше не был «снаружи».

Таким образом, вещество, находящееся в камере рефрижератора, остывает не само по себе (а как мы помним, первоначальное определение второго закона, говорит только о естественном, независимом потоке теплоты). Вместо этого охлаждение имеет место только потому, что внутри рефрижератора работает двигатель. И хотя энтропия внутренней камеры рефрижератора уменьшается, энтропия двигателя увеличивается. Кроме того, увеличение энтропии двигателя — гораздо больше, чем уменьшение ее в камере холодильника; таким образом, суммарное изменение в энтропии всей системы, представляющей собой камеру рефрижератора плюс его двигатель, говорит об ее увеличении.

Таким же образом уменьшение энтропии, которое происходит при превращении железной руды в железо, меньше, чем увеличение энтропии, которое происходит при горении кокса и других химических реакциях, вызывающих очистку железа. Увеличение энтропии в электрогенераторе, снабжающем электричеством для заряда аккумуляторную батарею, больше, чем уменьшение энтропии непосредственно аккумуляторной батареи по мере ее зарядки. Уменьшение энтропии человека, идущего вверх по холму, меньше, чем увеличение энтропии, которое происходит благодаря химическим реакциям внутри его тканей, которые извлекают химическую энергию из пищевых продуктов и создают усилия, которые требуются человеку для осуществления этого подъема.

Все это истинно и для различных крупномасштабных, планетарного масштаба процессов, которые, как кажется, вызывают уменьшение энтропии. Примерами таких, уменьшающих энтропию явлений являются: нерегулярное нагревание атмосферы, которое вызывает ветер и создает погоду; подъем бесчисленных тонн воды на мили вверх в противодействие силе тяжести, который порождает дождь и создает реки; преобразование растительным покровом планеты углекислого газа, содержащегося в атмосфере, в сложные органические соединения, которые являются основой и бесконечной пищевой цепочки Земли, и таких энергоносителей, как уголь и нефть. Именно благодаря всем этим явлениям свободная энергия Земли остается приблизительно на одном и том же уровне за всю историю ее существования; эти явления также объясняют, почему мы можем не опасаться в обозримом будущем того, что свободная энергия будет исчерпана.

И все же все эти явления не должны рассматриваться отдельно друг от друга, поскольку все они имеют место за счет достигающей Земли солнечной энергии. Именно солнечная энергия нагревает атмосферу и испаряет воду, именно она служит движущей силой для фотосинтеза различных покрывающих Землю растений. В процессе излучения теплоты и света Солнце подвергается гораздо более обширному увеличению энтропии[75], чем то относительно малое уменьшение, которое происходит благодаря земным планетарным явлениям.

Иными словами, если мы включим в пределы нашей системы все действия, которые затрагивают ее, то окажется, что суммарное значение ее энтропии всегда увеличивается. Если же мы вдруг обнаруживаем уменьшение энтропии системы, что случается достаточно часто, то это означает, что мы исследуем лишь часть системы и не видим ее целиком.

В реальности, на практике мы никогда не можем быть уверенными, что имеем дело с замкнутой системой. Независимо от того, насколько хорошо мы изолируем систему, всегда имеются внешние воздействия — приток энергии и потери энергии — как в систему, так и из нее. На все процессы на Земле воздействует солнечная энергия, и, даже если мы будем рассматривать Землю и Солнце вместе как одну большую систему, все равно останутся гравитационные и радиационные влияния от других планет и даже от других звезд. Мы не сможем убедиться, что имеем дело с действительно замкнутой системой, пока не возьмем для нашей системы нечто меньшее, чем вся Вселенная.

В терминах Вселенной мы можем (как это и сделал Клаузиус) выразить законы термодинамики с предельной общностью. В этом случае первый закон термодинамики звучал бы так: «Полная энергия Вселенной есть величина постоянная», а второй закон термодинамики звучал бы так: «Полная энтропия Вселенной непрерывно возрастает».

Теперь предположим, что Вселенная конечна в своем размере. Тогда она может содержать только некое, конечное, количество энергии. Если энтропия Вселенной (которая является мерой содержания ее связанной, бесполезной энергии, энергии, из которой невозможно извлечь работу) непрерывно увеличивается, то в конечном итоге величина связанной энергии достигнет точки, в которой она равна полной энергии. Так как связанная энергия не превысит этого значения, энтропия Вселенной достигнет своего максимума. В этом состоянии максимальной энтропии не останется никакой свободной энергии, то есть не смогут протекать никакие процессы, которые вовлекают передачу энергии, не может быть выполнена никакая работа. Вселенная «выключится», прекратит свое существование.

Беспорядок

В первой половине XIX столетия в результате проводившихся тогда исследований ученые пришли к выводу, что теплота является жидкостью. Однако в самом начале столетия они стали обнаруживать все больше и больше свидетельств, указывающих на то, что теплота является не жидкостью, а формой движения.

Например, в 1798 году Бенджамин Томпсон, граф Румфорд (1753–1814), английский изгнанник из Соединенных Штатов, работал в арсенале и занимался сверлением орудий на службе у курфюрста Баварии. Он обратил внимание на тот факт, что при сверлении орудийных стволов выделяется количество теплоты гораздо больше расчетного. И орудие, которое сверлят, и используемый для сверления инструмент перед началом работы находились при комнатной температуре, однако теплота, которая возникала в процессе сверления, была вполне достаточной, чтобы через некоторое время довести воду до кипения; и чем дольше продолжался процесс сверления, тем большее количество теплоты выделялось. Создавалось впечатление, что орудие и инструмент обладают неистощимым запасом теплоты.

Если теплота была жидкостью и, таким образом, формой материи, то предположить, что она была сформирована в процессе сверления, было бы достаточно трудно. К тому времени французский химик Антуан Лоран Лавуазье (1743–1794) уже открыл закон сохранения материи, согласно которому материя не может быть ни создана, ни разрушена; и все большее количество ученых того времени полагали, что это обобщение имеет силу. Если действительно произошло возникновение теплоты, то она должна быть чем-то другим, а не материей. Как показалось Румфорду, наиболее вероятной возможностью было то, что движение сверлящего инструмента по металлу орудия было преобразовано в движение мелких частей как сверла, так и сверлимого металла и что это внутреннее движение представляло собой теплоту.

В течение нескольких последующих десятилетий такая точка зрения на теплоту в значительной степени игнорировалась учеными. Предположение о том, что маленькие части объекта могли бы незримо перемещаться, казалось в 1800 году столь же трудным для восприятия, как предположение о создании материи, а возможно, даже и более трудным. Однако через десятилетие после экспериментов Румфорда была выдвинута и стала набирать популярность атомная теория. Под «внутренним движением материи» теперь стали понимать движение или колебание атомов и молекул, составляющих эту материю, а предположение о непрерывности такого движения стало более приемлемым. В 1840-х годах эксперименты Джоуля по преобразованию работы в теплоту расширили и углубили наблюдения Румфорда и, как результат, закончились победой атомного представления о тепловом движении. Ну и наконец, в 1860-х годах Максвелл и Больцман окончательно утвердили кинетическую теорию газов и концепцию теплоты как формы движения, на атомном уровне.

Это отнюдь не подразумевало, что законы термодинамики, установленные на основе жидкостной теории теплоты, оказались ложными. Нисколько! Законы были основаны на наблюдавшихся явлениях, и они остались имеющими силу. Изменились лишь теории, которые объясняли, почему они имеют силу. Жидкостная теория теплоты, что и говорить, объясняла эти явления с достаточной аккуратностью[76], но атомная теория движения смогла объяснить, кроме того, и все то же, что и жидкостная теория теплоты, чем доказала также свою способность выступать как устойчивая основа для законов термодинамики, основанных на наблюдениях и экспериментах.

Безусловно, представление о теплоте как об атомном движении несколько более трудно для восприятия, чем представление теплоты как жидкости. В последнем случае мы можем думать о таких знакомых объектах, как водопады; в первом же лучшее, что мы можем представить, — это набор совершенно упругих бильярдных шаров, подпрыгивающих в относительно прочно замкнутой камере. Согласно бритве Оккама, из предложенных двух теорий, объясняющих факты, следует выбрать наиболее простую. Однако бритва Оккама применяется должным образом только тогда, когда две или более теории объясняют с равной справедливостью все относящиеся к ним факты. В существующем случае — это не так.

Если мы ограничиваемся только жидкостной теорией теплового потока, то, конечно, для восприятия она проще, чем атомное движение. Однако, если нам потребуется объяснить воздействие теплоты на давление и объем в газах, если нам нужно будет объяснять явления удельной теплоемкости, латентной теплоты и множество других явлений, жидкостная теория становится достаточно трудной к использованию. Со своей стороны, атомная теория движения не только может объяснить тепловой поток, но также и все другие явления, в которые вовлечена теплота.

Представим себе, например, что у нас имеются горячее и холодное тела, находящиеся в контакте. Молекулы в горячем теле в среднем перемещаются или вибрируют более быстро, чем молекулы в холодном теле. Безусловно, молекулы в обоих телах обладают неким диапазоном скоростей: и в холодном теле могут существовать некоторые молекулы, которые перемещаются быстрее, чем некоторые молекулы в горячем теле, но это — исключительная ситуация. Когда молекула горячего тела («Н-молекула») сталкивается с таковой холодного тела («С-молекулой»), велика вероятность того, что из этих двух именно Н-молекула перемещается более быстро. По-другому мы можем сказать это так, что если большое число Н-молекул сталкивается с большим числом С-молекул, то будут несколько случаев, когда скорость перемещения С-молекулы больше, чем скорость перемещения Н-молекулы, с которой она сталкивается, но абсолютное превосходство составляют случаи, когда скорость перемещения Н-молекулы является большей из двух.

Теперь давайте рассмотрим ситуацию, когда два перемещающихся объекта сталкиваются и рикошетят; скорости обоих объектов могут изменяться в огромном диапазоне значений и направлений. Однако эти изменения могут быть сгруппированы в два основных класса. В первом случае более медленный объект в результате столкновения потеряет скорость, тогда как более быстрый объект увеличит скорость. Результатом этого будет то, что более медленный объект будет перемещаться еще медленнее, а более быстрый объект будет перемещаться еще быстрее. Во втором случае в результате столкновения более медленный объект получит дополнительную скорость, тогда как более быстрый объект эту скорость потеряет. В первом классе столкновений значения скоростей станут больше, во втором классе — они уменьшатся.

Однако в большинстве случаев столкновение принадлежит ко второму классу, а не к первому. Это означает, что если мы рассмотрим большое количество случайных столкновений, при которых скорость после столкновения перераспределяется тем или другим способом, то обнаружим, что число столкновений второго класса, при котором суммарные скорости уменьшаются, превалирует над числом столкновений первого класса, при котором они увеличиваются. Случайные столкновения вызывают «среднее уменьшение» скоростей[77].

Когда горячее и холодное тела вступают в контакт, большое количество Н-молекул сталкивается с большим количеством С-молекул; результатом этого является то, что после столкновений Н-молекулы в целом перемещаются медленнее, а С-молекулы перемещаются быстрее. Это означает, что Н-молекулы стали более холодными, С-молекулы — более теплыми, то есть от Н-молекул к С-молекулам произошел отток теплоты. Температура горячего тела в месте контакта снижается, а температура холодного тела в месте контакта повышается.

Такие столкновения продолжаются не только на границе контакта, по которой касаются горячее и холодное тела, но также и в пределах вещества, из которого состоит каждое. В горячем теле, например, Н-молекулы, которые были охлаждены в результате столкновения с С-молекулами, сталкиваются с соседними молекулами, которые не были охлаждены; в этом случае также имеется общее замедление скоростей.

Результатом этих случайных столкновений и случайных изменений скорости по всей системе является то, что в конечном счете средние скорости молекул в произвольно взятой части системы будут теми же и в любой другой ее части; это среднее число будет иметь значение, которое лежит между двумя первоначальными экстремумами. (Проще говоря, горячее и холодное соединятся для того, чтобы создать теплое.) Как только скорости в среднем по системе уравняются, столкновения могут продолжать изменять скорости, так что отдельно взятые молекулы могут перемещаться быстро в один момент времени и медленно — в другой; однако средняя величина скорости изменяться больше не будет. Система в целом достигла промежуточной равновесной температуры, поток теплоты прекратился.

Как в жидкостной теории теплоты, так и в атомной теории движения теплота рассматривается спонтанно проистекающей из горячей области к холодной; это в конце концов является утверждением второго закона термодинамики. Все же относительно такого потока теплоты между этими двумя теориями существует принципиальная разница.

В жидкостной теории поток теплоты абсолютен. Он способен только к движению «вниз по холму», а движение «на подъем» не представляется возможным. В атомной теории движения, однако, поток теплоты является статистической величиной и не абсолютен. Результатом случайных изменений скорости в результате случайных столкновений является высокая вероятность, но не уверенность в том, что поток теплоты проистекает от горячего к холодному. Чрезвычайно маловероятным, но не невозможным является тот факт, что при каждом столкновении более быстрая молекула сможет получить прирост скорости за счет более медленной, так что результатом этого может явиться то, что теплота потечет «на подъем» — от холодного к горячему.

Максвелл предпринял попытку еще более развить эту возможность при помощи научной фантазии. Представьте себе два наполненных газом сосуда, Н и С, связанных между собой трубкой с вентилем. Сосуд Н является более горячим, и молекулы газа в нем в среднем двигаются более быстро.

Но как мы помним, Н-молекулы двигаются быстрее, чем С-молекулы, только среднестатистически. Случается, что некоторые Н-молекулы двигаются медленно, а некоторые С-молекулы, случается, двигаются быстро. Предположим, что у нас есть некое разумное существо размером с атом, которое может контролировать положение вентиля трубки (это существо обычно упоминается как «демон Максвелла»). Когда ему встречается одна из небольшого количества медленных Н-молекул, «демон Максвелла» открывает трубку с вентилем и позволяет ей перейти в С-камеру. Когда же он замечает одну из небольшого количества быстрых С-молекул, «демон Максвелла» открывает трубку с вентилем и позволяет ей перейти в Н-камеру. Во все остальное время «демон» держит трубку с вентилем закрытой. Таким образом, имеется медленный, но устойчивый поток низкоскоростных молекул в камеру С и такой же медленный, но одинаково стабильный поток высокоскоростных молекул в камеру Н. Средняя скорость молекул в камере С снижается, в то время как средняя скорость молекул в камере Н повышается, и поток теплоты идет «вверх по холму» — от холодного к горячему.

В обычном мире вероятность возникновения таких «подъемных» потоков теплоты (или любой другой формы энергии) настолько фантастически мала, что будет достаточно безопасно ее игнорировать. Однако изменение условий от «уверенности» к «вероятности» имеет принципиально важное значение. Поскольку в течение XX столетия ученые все глубже и глубже проникали в субатомный мир, статистический анализ событий и их последствий стал все более и более важным, а любое событие, которое имеет статус «невероятного» (но не «невозможного»), получает определенный шанс иметь место, по мере того как мы все более и более убеждаемся в существовании комбинаций типа «причина/эффект», которые обычно кажутся нам очень, очень, очень невероятными. Короче говоря, статистическая интерпретация Максвеллом потока теплоты отмечает собой один из первых шагов по пути от «классической физики» XIX столетия (которую мы рассматривали в этом томе) к «современной физике» XX столетия.

Теперь возвратимся к вопросу о том, как же энтропия может интерпретироваться в свете атомного представления о движении теплоты? Энтропия согласно второму закону термодинамики всегда увеличивается. Хорошо, тогда что же является тем, что всегда увеличивается в результате молекулярных столкновений? Рассматривая этот вопрос в свете идущего разговора, мы можем сказать, что увеличивается замедление молекул. Если первоначально в системе теплота была накоплена, сконцентрирована в одной части, а в другой ее части имелся дефицит теплоты, то столкновение молекул замедляет их увеличение и распространяет теплоту более равномерно по всей системе. В конце концов, когда достигнуто температурное равновесие, теплота распространяется по системе настолько равномерно, насколько это возможно.

Энтропию можно поэтому интерпретировать как меру неравномерности, с которой распределена энергия. Этот подход может применяться к любой форме энергии, а не только к тепловой. Когда электрическая батарея разряжается, ее электрическая энергия все более равномерно распределяется по ее веществу и по материалу, вовлеченному в передачу электрического тока. В ходе непосредственной химической реакции химические энергии более равномерно распределяются по вовлеченным в нее молекулам.

Более того, равномерность распределения энергии «более равномерна», если так можно выразиться, в том случае, когда она распределена среди молекул, находящихся в хаотическом движении. Преобразование любой формы нетепловой энергии в тепловую приводит к увеличению равномерности в распределении энергии, а потому — к увеличению энтропии.

По этой причине любой процесс, включающий в себя передачу энергии, приводит к возникновению теплоты как стороннего продукта. Тело, находящееся в движении, произведет теплоту в результате трения или сопротивления воздуха, и часть его кинетической энергии будет распространяться по молекулам, с которыми оно вошло в контакт. При преобразовании электрической энергии в свет или движение также производится и теплота, что мы можем легко обнаружить, прикоснувшись к электрической лампочке или электродвигателю.

И наоборот, это означает, что если бы теплота была полностью преобразована в некоторую форму нетепловой энергии, то автоматически это вызвало бы уменьшение энтропии. Но уменьшение энтропии в замкнутой системе настолько чрезвычайно маловероятно, что возможность его возникновения при обычных условиях можно полностью игнорировать. Да, конечно, некоторое количество теплоты может быть преобразовано в другие формы энергии, но только за счет дальнейшего увеличения энтропии теплоты, остающейся в системе. В паровом двигателе, например, преобразование энергии теплоты пара в кинетическую энергию поршней, то есть в часть, уменьшающую энтропию, приводит к ее увеличению за счет (все большего) увеличения энтропии горящего топлива, благодаря которому производится пар.

Увеличивающаяся равномерность в распространении энергии может интерпретироваться как увеличивающийся «беспорядок». «Порядок» мы интерпретируем как качество, характеризующее расположение частей системы: например, распределение вещей по категориям, расположение карточек в алфавитном порядке, занесение предметов в список по мере увеличения их количества. Равномерное распространение предметов должно игнорировать все это дифференцирование. Как результат мы получаем, что специфическая категория объектов равномерно распределяется среди остальных категорий: такое явление мы можем назвать «максимальным беспорядком».

По этой причине, когда мы перемешиваем аккуратно сложенную колоду карт в случайном порядке, мы можем говорить об увеличении энтропии. Да и вообще все процессы, которые непосредственно происходят, кажется (в соответствии со вторым законом термодинамики), вызывают увеличение беспорядка. Если не предпринять специальных усилий, чтобы полностью изменить порядок вещей (что увеличит нашу собственную энтропию), то опрятные комнаты будут иметь тенденцию стать неряшливыми, неубранными, блестящие объекты будут иметь тенденцию стать мутными, пыльными, вещи, которые мы запомнили, будут иметь тенденцию забываться, и так далее.

Таким образом, здесь, в этой книге, мы пришли к достаточно парадоксальной симметрии. Мы начали с греческих философов, сделавших первую попытку установить систематические обобщения, лежащие в основе порядка Вселенной. Они были уверены, что такой порядок, в основном простой и постижимый, существует. В результате развития предложенных ими идей мы действительно обнаружили такие обобщения. И из них наиболее мощные из всех обнаруженных обобщений -первые два закона термодинамики — демонстрируют нам, что порядок во Вселенной прежде всего бесконечно увеличивает беспорядок в ней же.