Солнечная система

Глава II НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА

Наряду с астрометрией небесная механика — древнейшая ветвь астрономии, существовавшая уже в третьем тысячелетии до н.э. Основная двуединая задача небесной механики от античности до наших дней — построение математической модели движения небесных тел и определение ее параметров из наблюдений.

В этой статье я буду использовать современные термины. Но для передачи аромата эпохи полезно иногда приводить и старые. Любя высокопарный стиль, наши предшественники говорили не «модель», а «Система Мира». Словосочетание небесная механика появилось и вошло в употребление лишь после публикации в 1798 г. одноименного сочинения П.С. Лапласа. А как же говорили до этого? В древности — никак. Астрономия, и все тут! Потом стали добавлять прилагательные и долго отождествляли теоретическую астрономию и небесную механику. Потом теоретические разделы появились и в других ветвях астрономии — прежде всего, в астрофизике, и сейчас термин «теоретическая астрономия» практически вышел из употребления.

История небесной механики делится на два больших периода: до и после выхода в 1686 г. книги И. Ньютона «Математические начала натуральной философии». С этого момента начинается наука в современном смысле слова. Движение предстало однозначным следствием физических причин, тогда как раньше причины известны не были и математические модели ничем не ограничивались, кроме как недостатком фантазии ученых или идеологическими догмами, господствовавшими в обществе.

Многие мои друзья-астрофизики (начало астрофизики как современной науки произошло еще при жизни некоторых ныне здравствующих долгожителей) говорят мне, что небесная механика как наука началась с Ньютона, а до этого была только преднаукой. Не буду спорить о терминологии, ведь по-существу мы представляем развитие науки одинаково. Щедро предлагаю противоположное: добавить к возрасту астрофизики несколько тысячелетий. Ведь цвет и яркость Луны, Солнца, звезд, планет говорят кое-что об их физических свойствах; мерцание света и цвета звезд, изменение цвета и яркости светил в зависимости от высоты над горизонтом, изменение цвета и яркости Луны при полном лунном затмении говорят о свойствах атмосферы третьей планеты; неизменное появление четок Бейли и короны при полном солнечном затмении говорит о рельефе Луны и свойствах солнечной атмосферы и короны. Можно и продолжить: метеоры, метеориты, кометы, новые звезды…

Древний, очень древний Китай, 2137 г. до н.э. Суд. Двое обвиняются в государственном преступлении. Прокурору нет нужды изобретать хитрые аргументы в поддержку обвинения. И вовсе не потому, что идет тридцать седьмой год. Обвинитель краток:

«Императорские астрономы Хи и Хо не предсказали солнечного затмения! Это знают и могут подтвердить все. В результате дракон начал пожирать Солнце на глазах у пораженного народа, не подготовленного к отражению страшной агрессии, не предупрежденного теми, кто должен был сделать это по долгу службы».

Он передохнул, вытянул обличающую руку в сторону бледных ученых и продолжал:

«А они предавались разврату ночью вместо того, чтобы наблюдать за светилами, пьянствовали днем вместо того, чтобы вычислять и обрабатывать наблюдения. К счастью, бдительные стражи Государственной Безопасности не растерялись, подняли народ и бросили его на борьбу с драконом. Страшный шум от сковородок, кастрюль, тазов, по которым неистово колотил с дикими воплями народ, испугал дракона и тот убрался восвояси. Иначе исчезло бы Солнце и погибла бы Поднебесная Империя (страшно подумать!) и все другие, варварские народы Земли (что, впрочем, несущественно и в обвинение не входит). Смерть государственным преступникам!»

Защита ничего не могла противопоставить — затмение действительно наступило, но не было предсказано. Несчастных казнили… А мы с вами по методу Шерлока Холмса сделаем выводы из этой печальной истории.

Вывод первый. Свыше четырех тысяч лет назад астрономия уже была настолько развита в Китае, что специалисты почти безошибочно предсказывали затмения Луны и Солнца. Если бы они ошибались хотя бы в одном случае из десяти, в Китае переказнили бы всех астрономов.

И в самом деле, китайцы уже тогда неплохо представляли себе движение Луны и Солнца по небесной сфере, что и нужно для предвычисления затмений.

Вывод второй. Астрономия находилась на государственной службе. Занятия наукой приравнивались к военным занятиям. Не потому ли Древний Китай — единственное из древних государств, не исчезнувшее с лица земли вслед за Шумерией, Вавилоном, Ассирией, Египтом, Карфагеном, Римом…

Вывод третий. Затмения предсказывают не за сутки, не за месяц, а по крайней мере на год-два вперед. Императору лучше об этом не говорить, а то уволит. Так что можно пьянствовать месяц подряд (больше тоже нельзя — заметят и выгонят), а потом наверстать упущенное. Значит, Хи и Хо НЕВИНОВНЫ! Просто астрономия была еще в зачаточном состоянии, и прогноз затмений изредка давал сбои. Подобное уже было немыслимо в цивилизованных странах со II века н.э. «Неожиданность» затмения перед битвой при Калке свидетельствует лишь о дикости большинства (но не всех!) русских князей того времени.

Какие научные истины о форме и движении блуждающих светил были твердо установлены учеными античности (ограничимся Грецией, эллинистическим Египтом и Римом, где наука не была эзотерической, тайной, а была доступна любознательным свободным гражданам). Кстати, ученые той эпохи очень удивились бы постановке такого вопроса, никак не связывая между собой форму и движение планет. Но теперь мы знаем, что и то, и другое определяется гравитацией и посему ставим вопросы рядом.

1. Земля имеет форму шара. В тысячах книг вы прочтете десятки доказательств этого. Например: в море горизонт кажется круглым, где бы ни находился ваш корабль. Действительно, только шар обладает таким свойством. Находись мы на огурце, расстояние до горизонта было бы различно в разных направлениях. Но с какой точностью нам известна округлость горизонта? С очень небольшой. Только астрономические наблюдения подтверждали шарообразность Земли с высокой точностью.

Например, если вы равномерно идете точно на юг, Полярная звезда (точнее, полюс мира) равномерно опускается к горизонту, исчезает на экваторе, и вы видите равномерно подымающийся южный полюс мира. Первое определение размеров земного шара выполнил в III веке до н.э. александрийский ученый Эратосфен.

2. Античные ученые утверждали, что Солнце и Луна — шары. Что касается Луны, то тут были веские основания. На Луне нормальным невооруженным глазом видно много деталей, подчеркнем — неизменных. Поэтому ясно, что Луна обращена к нам одной стороной. Но что это — сторона плоского диска или шара, без телескопа не различить. Однако форма линии терминатора убедительно показывает, что к нам обращено полушарие.

Зато слепящий диск Солнца (последний термин употребляется в астрономии до сих пор) никак не выдает своей выпуклой формы.

Итак, древние на самом деле не знали форму Солнца. Почему же они так возлюбили шар и убедили себя в шарообразности светил? Во-первых, по аналогии с Землей и Луной. Но главная причина — религиозные и философские (короче — идеологические) догмы. Небо совершенно, небесные тела совершенны, совершенна форма их поверхности, что по пифагорейским представлениям равносильно сферичности. Редчайший в науке случай, когда предвзятая, не имеющая ни малейшей естественнонаучной опоры догма приводит к правильному ответу. Теперь сферичность Земли и других ближних небесных тел не нуждается в доказательствах: достаточно взглянуть на снятые из космоса фотографии и кинофильмы. Научный интерес представляют лишь малые отклонения от сферической формы.

3. Солнце относительно звезд для земного наблюдателя движется по большому кругу небесной сферы, получившему странное имя эклиптика, что означает круг затмений. Дело в том, что лунные затмения происходят как раз тогда, когда Луна в полнолуние попадает на эклиптику. Солнечные затмения тоже происходят на эклиптике, когда туда Луна попадает в новолуние и закрывает от нас Солнце. Но это тривиально: Солнце по определению всегда находится на эклиптике. Все же назвать солнечный путь эклиптикой — то же самое, что шоссе назвать «путем автокатастроф».

Движение Солнца неравномерно: зимой оно движется быстрее, летом — медленнее. Движение Луны сложнее. Чтобы описать его, астрономы изобрели могущественнейший прием, играющий в механике важнейшую роль и сегодня: разложение сложного движения на совокупность простых. Именно, Луна описывает большой круг, наклоненный к плоскости эклиптики примерно на 5°. Но сама эта плоскость вращается вокруг оси эклиптики по часовой стрелке (если смотреть с севера), делая полный оборот за 18,6 лет. Как и Солнце, по своему кругу Луна тоже движется неравномерно, вдобавок точка ее наибольшей скорости (перигей) движется против часовой стрелки, делая полный оборот за 9,6 лет.

Знали астрономы и более тонкие детали в движениях Солнца и Луны по небу, что позволяло им с удивлявшей современников точностью предсказывать солнечные и лунные затмения.

4. Пути планет по небу чертят столь замысловатый клубок, что поражает воображение, как древние смогли распутать его и построить непревзойденный полторы тысячи лет шедевр — теорию их движения относительно земного наблюдателя. И, как обычно, неблагодарные потомки ругали, и, бывает, ругают их до сих пор за то, что эта теория геоцентрична.

Повторю, что античные ученые с высочайшей степенью совершенства описали движение планет по небесной сфере в прошлом, настоящем и будущем относительно звезд для земного наблюдателя. Решать же, как планеты движутся на самом деле, они фактически оставили потомкам, так же как и поставленный лишь в XX в. вопрос, что же такое планеты на самом деле.

В теории движения планет, разработанной Гиппархом (II в. до н.э.) и доведенной почти до совершенства Клавдием Птолемеем (II в.н.э.) условно можно выделить два направления. Одно описывало движения малым числом сложно устроенных элементов, второе — большим числом просто устроенных элементов. Не будь провала средних веков, первое направление быстро привело бы к кеплеровскому эллипсу, второе — к ряду Фурье.

Опишем лишь более понятное второе направление.

Воображаемая точка Р₁ равномерно с угловой скоростью ω₁ движется по некоторой окружности радиуса R₁. Воображаемая точка Р₂ равномерно с угловой скоростью ω₂ движется по окружности радиуса R₂ с центром в точке Р₁. И так далее. Всего имеется κ окружностей, и по последней из них движется само светило Р. Это может быть Луна, Солнце или любая из пяти известных древним планет. Описанные κ окружностей назовем эпициклами, хотя сами авторы именовали так все окружности, кроме первой — деферента.

Рис. Наблюдаемое петлеобразное движение внешней планеты воспроизводится ее равномерным круговым движением по эпициклу, центр которого равномерно движется по круговому деференту.

Как не очень трудно показать, при достаточно большом κ и хорошо подобранных параметрах системы (радиусы R_s, угловые скорости ω_s, ориентации плоскостей эпициклов, т.е. долготы узлов Ω_s и наклоны i_s, положение центра деферента, начальные положения точек P_s) эпициклическая модель сколь угодно точно описывает реальное движение планет. Самое интересное, что необходимое число эпициклов для каждой планеты невелико, если ограничиться точностью античных наблюдений в 0,2°: например, два эпицикла для Солнца и четыре для Марса. Так что миф о сложности системы Птолемея имеет лишь одно основание. Вплоть до Коперника включительно параметры модели из наблюдений определяли безобразно плохо, что и влекло массу ненужных эпициклов, не обеспечивающих тем не менее требуемой точности. Модель Птолемея — чудо человеческого разума, рядом с которой меркнут все семь чудес древнего мира, вместе взятые.

Начали греки и построение гелиоцентрической системы мира, описывающей в хорошем приближении, как движутся планеты «на самом деле», т.е. с точки зрения не земного, а удаленного наблюдателя, скажем, от звезды γ Дракона. Теперь, хоть и в ослабленной мере, мы имеем возможность взглянуть на Солнечную систему со стороны. Из дальнего космоса глазами «Пионеров», «Вояджеров», «Галилео», «Улисса», «Кассини» мы видим внутренние планеты, включая Землю с Луной, мчащимися вокруг Солнца. Гелиоцентрическая модель гораздо экономичнее описывает движения небесных тел и позволяет находить расстояния, недоступные в классической геоцентрической теории. С чисто научной точки зрения непонятно, почему была отброшена система Аристарха Самосского, который жил много раньше Птолемея и даже Гиппарха, в III в. до н.э., начал серьезную разработку гелиоцентрической системы мира, но был изгнан из Афин.

На небе, как на учебном пособии, простые траектории вокруг Солнца описывают Меркурий и Венера. Чтобы присоединить к ним Землю, Марс, Юпитер и Сатурн, нужен был гений Аристарха. Но как только идея высказана, она уже очевидна любому умному человеку. Только проклятием идеологических догм можно объяснить, что система Аристарха была объявлена неверной и даже вредной. Она была признана отвечающей действительности лишь через сто лет после смерти Коперника, т.е. тогда, когда от модели Аристарха почти ничего не осталось — она была заменена значительно более совершенной моделью Кеплера.

Модель Кеплера стала последней чисто математической, т.е. описывающей движение без объяснения его причин. В конце XVII в. одним из многочисленных следствий ньютоновской революции в естествознании стало объяснение законов Кеплера единым фундаментальным законом всемирного тяготения.

Древний Египет. Народ толпится у Храма бога Птаха. Сияет солнце. Пейзаж, как в «Аиде». Выходит Верховный жрец:

«Боги гневаются на вас! Вы погрязли в пороках! Вместо трудолюбия — лень. Пирамида, если считать от последней перестройки, выстраивается пятнадцатый год, а конца не видать. Ваши трудолюбивые предки, что ушли на Запад, делали больше за пять лет. Да что там, пятилетку они выполняли за четыре года! А ваша жадность? Личные интересы ставите выше общественных! Лишь бы набить живот. А где жертвы богам? Где приношения Храму? Я мог бы назвать еще мешок мелких преступлений: убийства, кражи друг у друга и т.д., но и этого достаточно. Взгляните!»

Театральным жестом показывает на Солнце. Народ подымает глаза и в ужасе замирает. Пылающий диск уменьшается. В отчаянии все падают ниц.

«Кайтесь! Молитесь Птаху, Хатор, Ра! Клянитесь трудиться, как велит моральный кодекс Строителя Пирамид! Не покладать рук от восхода до заката! Жертвуйте Храму! Все лучшее — богам и их детям! Клянитесь громче, и да услышат вас бессмертные боги!»

Долгий нечленораздельный, чередующийся с членораздельным, вой. Диск Солнца увеличивается, затмение кончается. Народ ликует — конец света отложен. Чаша «на воссоздание Храма Ра-Спасителя» быстро наполняется.

Какие выводы сделаем мы из этой обычной истории?

Вывод первый. Астрономия была достаточно развита в Древнем Египте. Примерно то же можно сказать и о древней Месопотамии, где также происходили подобные сценки.

Вывод второй. В отличие от Китая астрономия, да и вся наука, в Древнем Египте была не на государственной службе, а прозябала в храмах, была важной частью занятий жрецов и только жрецов.

Вывод третий. Астрономия целиком (а другие науки — частично) была эзотерической, т.е. тайной. Жрецы тщательно скрывали свои занятия наукой, выдавая за общение с богами свои наблюдения светил, а за записи воли богов — свои вычисления моментов затмений путем решения алгебраических и тригонометрических уравнений (увы, дифференциальных им боги не открыли). Если бы кто-то из жрецов прочел бы публичную лекцию «Солнечные и лунные затмения, их причины и следствия», он не дожил бы до следующего дня. Убийства за нарушение эзотеричности были в то время обычным явлением. Ведь трудно удержаться и не рассказать хоть кому-то тайну, которой владеешь. Теперь эзотеричность науки осталась только в ее военной части. Желаю вам дожить до времени, когда она исчезнет совсем. А если вы увидите или услышите о «докторе эзотерических наук», отнеситесь к этому как к вредному, а не полезному ископаемому.

Согласно Исааку Ньютону, любые две материальные частицы Q₁ и Q₂ притягиваются друг к другу с силой F, прямо пропорциональной массам m₁, m₂ и обратно пропорциональной квадрату расстояния r.

F=Gm₁m₂ /r² (1).

Коэффициент пропорциональности G называют постоянной тяготения или гравитационной постоянной.

Какой контраст с прошлым! Вместо непонятно откуда взятых нагромождений кругов — простая, коротенькая и кристально ясная формула. Все сложные движения небесных тел, и не только в крошечной Солнечной системе, а во всей Вселенной, предстали математическими следствиями соотношения (1)! С точки зрения математики, запись (1) приводит к дифференциальным уравнениям движения небесных тел. По определению, дифференциальные уравнения механики представляют собой закон, по которому положениям и скоростям всех небесных тел ставятся в соответствие их ускорения. Скорость v любого тела есть вектор, равный производной по времени, от вектора положения r. Вектор ускорения w есть скорость изменения скорости, т.е. производная от скорости или, что то же, вторая производная от вектора положения. А сила и ускорение отличаются лишь скалярным множителем — массой.

Мы не будем здесь составлять и решать дифференциальные уравнения. Дадим лишь пояснения. Дифференциальное уравнение всегда имеет бесконечно много решений. Именно, фиксируем какой-либо момент времени t₀. Положения и скорости всех тел в этот момент могут быть произвольными. Если их закрепить, то положения всех тел для любого времени t как в будущем, так и в прошлом определяются однозначно. В астрономии принято t₀ называть начальной эпохой (хотя ничего ни первоначального, ни эпохального здесь нет), положения и скорости — состоянием системы, положения и скорости в начальную эпоху — начальными данными. Таким образом, состояние системы однозначно определяется начальными данными.

В качестве простейшего примера приведем движение по прямой по инерции как решение дифференциального уравнения движения частицы в бессиловом поле. Силы нет, ускорение равно нулю и уравнение тривиально:

ω=0. (2)

Его общее решение описывает прямолинейное и равномерное движение:

υ=υ₀

r=r₀+υ₀(t-t₀), (3)

где индексом 0 помечены положение и скорость в начальную эпоху. То, что линейные функции времени (3) удовлетворяют уравнению (2), очевидно. То, что других решений нет, вытекает из теоремы, согласно которой интеграл определяется однозначно с точностью до постоянного слагаемого.

Вернемся к Ньютону. Формула (1) была ясна ему (и не одному ему) интуитивно, по аналогии со светом. Освещенность от точечного источника в среде без поглощения ослабевает обратно пропорционально квадрату расстояния. С чего бы гравитации подчиняться другому закону? Но интуиция может подвести даже гения (таких случаев история знает сколько угодно). Главная заслуга Ньютона — доказательство закона тяготения. Ученый выбрал метод, похожий на доказательство от противного. Именно, он выводит проверяемые следствия (1) и убеждается, что все они согласуются с наблюдениями в пределах ошибки измерений. Если хоть раз натолкнуться на разительное противоречие, то закон тяготения надо похоронить. Если нет… Математик скажет, что из последнего ничего не следует. «Противное» может лишь опровергнуть ваше предположение, но не доказать его. Но астрономия, физика, все естественные науки в корне отличны от математики. Закон (1) проверялся тысячами ученых на миллионах объектов во всех частях Вселенной в самых разных условиях и всегда выходил победителем. Так что истинность его установлена с наивысшей степенью надежности.

Тут самое время сделать существенную оговорку. Согласно любой из развитых философий наши знания отражают действительность не точно, а с некоторой погрешностью. Прогресс науки заключается, в частности, в том, что эта погрешность усилиями ученых уменьшается, но нулем ее сделать невозможно. Некоторые отклонения в движениях светил от ньютоновских правил все же были обнаружены, что в конце концов привело к созданию А. Эйнштейном более совершенной теории тяготения, включающей ньютоновскую в предельном случае малых (по сравнению со скоростью света) скоростей и сравнительно слабых полей тяготения. Модель Эйнштейна получила странное имя — Общая теория относительности; о ней мы поговорим позже. А пока заметим, что в подавляющем большинстве случаев релятивистскими поправками (от лат. относительными поправками, что сбивает с толку настолько, что русский перевод никогда не употребляется; имеются в виду поправки, вводимые теорией относительности, общей или частной) можно пренебречь и считать ньютоновскую теорию абсолютной истиной. Рассмотрим, по каким траекториям будут тогда двигаться небесные тела.

Траектории небесных тел сложны и запутаны. Чтобы в них разобраться, поступим согласно канонам теории возмущений. Именно, выделим главные силы, действующие на систему и пренебрежем всеми остальными. Полученную упрощенную систему назовем невозмущенной. Решим ее. А уже потом добавим другие, малые силы. А малое воздействие, — как принято говорить, малое возмущение, — учесть значительно легче (об этом позже).

Массы планет значительно меньше массы дневного светила. Юпитер в тысячу раз легче Солнца, Сатурн в три раза легче Юпитера, Земля в сто раз легче Сатурна… Поэтому в первом приближении можно считать, что на каждую из планет действует только притяжение Солнца.

Еще более идеализируем задачу, предполагая планету материальной частицей пренебрежимо малой массы. Но Солнце считать «частицей» нельзя, оно имеет внушительные видимые размеры. Примем, что Солнце — идеальный шар, плотность которого зависит лишь от расстояния до его центра. Как доказал И. Ньютон, шар притягивает внешние частицы как материальная точка той же массы, помещенная в его центре. Мы пришли к модельной задаче одного притягивающего центра. Каковы траектории частицы в поле притяжения массивной центральной точки S? Как показал Ньютон, возможны четыре типа орбит:

1. Луч или отрезок, лежащие на прямой L, проходящей через центральное тело S. Этот случай имеет место, если начальная скорость направлена точно к S или точно в противоположную сторону. Это свойство сохраняется во все время движения, что лишний раз подчеркивает условность термина «начальная». Остальные три типа орбит — плоские кривые, не содержащие прямолинейных участков.

2. Эллипс (рис.2). Центральное тело S, как ни странно это звучит, находится не в центре эллипса, а в одном из двух его фокусов. Отличие эллипса от окружности измеряется эксцентриситетом е — отношением расстояния между фокусами к длине большой оси. Эксцентриситет окружности равен нулю. Эллипс тем более вытянут, чем ближе е к единице.

Рис.2

3. Парабола (рис.3). По параболе частица уходит в бесконечность. Скорость частицы уменьшается, неограниченно приближаясь к нулю. Фигурально выражаясь, частица уходит в бесконечность и останавливается там.

Рис.3.

4. Гипербола (рис.4). По гиперболе частица уходит в бесконечность, приближаясь к некоторой прямой, асимптоте. Скорость частицы приближается к некоторой положительной величине υ_∞ — скорости на бесконечности, оставаясь все время больше нее.

Рис.4.

По какой из трех кривых будет двигаться частица зависит от полной механической энергии Е единицы массы, включающей в себя кинетическую Е_к и гравитационную потенциальную Е_р. Поскольку трения нет, то Е сохраняется во все время движения. Оказывается, частица движется по эллипсу, если Е<0; по параболе, если Е=0; по гиперболе, если Е>0. Напомню, что потенциальная энергия имеет смысл с точностью до постоянного слагаемого. В физике и астрономии это слагаемое принято фиксировать условием Е_р=0, когда частица находится бесконечно далеко от S.

При таком соглашении

Е_к=υ²/2 и Е_р=—К²/r, (4)

где К =√GM, а М — масса S. Если расстояния измерять в километрах, время — в секундах, то К=364305, если S — Солнце; К = 631,35, если S — Земля. На практике часто вместо Е используют более наглядную величину — скорость υ=√2Е_к. Критическому значению Е=0 отвечает вторая космическая скорость υ_II (называемая также скоростью убегания или параболической скоростью). Понятно, что υ_II — не число, а зависящая от расстояния до S величина: скажем, для спутника Земли υ_II=11 км/с вблизи поверхности планеты, но υ_II=1,5 км/с у орбиты Луны. Полезно знать, что первая космическая (круговая) скорость υ_I и параболическая скорость υ_II различаются только множителем √2: υ_II=υ_I√2≈1,41υ_I

Между круговой и параболической скоростями есть принципиальная разница. Чтобы двигаться по окружности, круговую скорость следует направить перпендикулярно радиусу-вектору, соединяющему центральное тело и частицу. Чтобы уйти на бесконечность, достаточно развить параболическую скорость; при этом ее направление безразлично, лишь бы избежать столкновения с S.

За исключением специального случая (когда скорость направлена точно к S или точно в противоположную сторону) орбиты оказались кривыми линиями. К тому же, движение по орбитам неравномерно. Самая большая скорость — в перицентре (ближайшей к S точке орбиты), и чем дальше от перицентра, тем она меньше. Наименьшая скорость в случае эллипса — в апоцентре (наиболее удаленной от S точке орбиты).

Дадим количественные соотношения. Расстояние r_р от S до перицентра выражается через большую полуось а (среднее расстояние от движущегося тела до S) и эксцентриситет е по формуле r_p=а(1—е). Расстояние r_а от S до апоцентра r_а=а(1+е). Скорости в экстремальных точках (апсидах) эллипса составляют:

υ_p=υ_I(a)√(1+e)/√(1—e) и υ_a=υ_I(a)√(1—e)/√(1+e)

Здесь υ_I(a) — круговая скорость на расстоянии от a до S. В свою очередь υ_I убывает обратно пропорционально квадратному корню из расстояния до S: υ_I=K/√r.

Между большой полуосью и периодом обращения существует связь, открытая еще И. Кеплером в начале XVII в.:

Р = 2π(а^3/2/K) (5)

Разумеется, выражение постоянной К через G и М — заслуга Ньютона.

Если эллипс близок к окружности, различие скоростей в разных точках орбиты невелико. У Земли в ее движении вокруг Солнца е=0,016, υ_p=31км/с, υ_a=29км/с. У кометы Галлея эллипс очень вытянут: е=0,96; так что υ_p=51км/с, υ_a=1км/с. Такой характер ускорений и замедлений на орбите понять легко, если воспользоваться аналогией с вращением грузика на стержне вокруг горизонтальной оси. Внизу скорость наибольшая, наверху — наименьшая. В нашей задаче «вниз» — это направление к притягивающему центру, «вверх» — прочь от него. Причина изменений скорости и для планеты, и для маятника одна: закон сохранения энергии. «Наверху» потенциальная энергия гравитации максимальна, «внизу» — минимальна. Для кинетической энергии соотношение противоположно.

Набор орбит оказался небольшим. В век космонавтики мы можем выбирать высоту или период обращения искусственных небесных тел в широких пределах, но в силу (5) по отдельности, а не вместе. Наименьший период обращения ИСЗ — полтора часа — соответствует круговой орбите минимальной высоты. Максимального периода теоретически нет, но подавляющее большинство ИСЗ имеют период не более 24 час.

Многие искусственные спутники Земли (ИСЗ) летают низко, почти царапая Землю: в масштабе школьного глобуса (1:50000000) не далее сантиметра от него. Тут уж даже Землю шаром считать нельзя, хоть на глазок это и незаметно. А вот Юпитер и особенно Сатурн обладают отчетливо видимым сжатием. Одним словом, чтобы идти дальше, надо разобраться с формой небесных тел и их притяжением.

Начнем с последнего. Пусть нам известна форма и строение протяженного небесного тела Т. Как определить силу тяготения, с которой Т притягивает какую-либо частицу Q? Перейдем к ускорению — оно не зависит от массы пробной частицы (уникальное свойство гравитационного поля, открытое Г. Галилеем). Поэтому можно считать, что Т создает вокруг себя (и в себе самом тоже) поле ускорений, математически точное описание гравитационного поля. Как найти его? Разобьем мысленно Т на столь малые кубики, чтобы их размерами можно было бы пренебречь по сравнению с расстоянием до Q (рис.5).

Рис.5

Вектор ускорения w_s, сообщаемого Q со стороны s-гo кубика, равен согласно (1)

w_s=—(Gm_s/r_s³)r_s (6)

Поясним, откуда взялся минус и куб в знаменателе. Модуль ускорения равен Gm_s/r_s², и он умножен на единичный вектор —r_s/r_s направления от массы m_s к точке Q (рис.5). Полное ускорение равно векторной сумме (6) по всем кубикам. Разумеется, так получается приближенная величина. Чтобы вычислить точную, нужно перейти к пределу, устремляя ребро кубика к нулю. В пределе получим тройной интеграл по телу Т. С помощью хорошего компьютера интеграл взять нетрудно. Но ведь даже для данного тела его нужно считать в огромном количестве точек пространства. Чаще всего идут другим путем. Как уже говорилось, Ньютон сумел вычислить интеграл для шара со сферическим распределением плотности и убедился, что внешние частицы шара притягивают в точности как материальная точка той же массы, помещенная в его центре. А дальше П.-С. Лаплас предложил следующую схему определения гравитационного поля Т. Во-первых, проще вместо векторного поля ускорений иметь дело со скалярным полем гравитационной потенциальной энергии Е_р единицы массы Q. Оба поля однозначно определяют друг друга. Во-вторых, представим поле в виде ряда, т.е. суммы бесконечного числа слагаемых:

Е_р=V₀+V₁+V₂+… (7)

Здесь начальное слагаемое описывает притяжение шара с центром в центре масс Т и нам уже известно из формулы (4): V₀=—К²/r. В отличие от силы, потенциал шара убывает обратно пропорционально первой степени расстояния от центра масс Т. Следующие слагаемые V_s убывают обратно пропорционально r^s+1, причем V₁=0. Если Q далеко, то достаточно взять несколько первых членов (7) или даже только начальный член, чтобы получить удовлетворительную точность. Иными словами, гравитационное поле любого тела с удалением от него все больше напоминает поле шара, в полном соответствии с наблюдением древних софистов, что издали и квадратная башня кажется круглой. Для близких Q (например, если Т — Земля, Q — ИСЗ) для высокоточного определения гравитации надо брать десятки и сотни слагаемых. Каждое из них представляет не очень сложную функцию координат точки Q. Например,

V₂=(A₁x²+A₂y²—(A1+A2)z²+A₃xy+A₄yz+A₅zx)/r⁵

Важно, что V_s содержит числовые коэффициенты. Например, в V₂ их пять: A₁÷А₅. Эти коэффициенты можно определить, измеряя гравитационный потенциал, или ускорение на поверхности тела или вблизи нее. А можно следить за движением его искусственных спутников. В любом случае мы получаем систему многих алгебраических уравнений со многими неизвестными (коэффициентами типа A_s). Ее решение непросто, но современная математика и вычислительная техника с этим справляется.

Итак, мы описали два способа представления гравитационного поля любого тела: тройным интегралом и рядом Лапласа. Существует еще несколько способов, и в каждой конкретной задаче можно выбрать оптимальный.

Перейдем к вопросу о форме, которую придает гравитация небесному телу. Пусть выполнены следующие три допущения. Во-первых, тело изолировано и компактно, т.е. никакие другие тела на него не действуют, а самогравитация значительна. Во-вторых, тело находится в жидком, газообразном или пластическом состоянии. В третьих, в теле нет источников энергии. Насколько реальны эти допущения?

1. Полной изолированности, конечно, нет. В качестве примера сравним силы, с которыми притягивают каждого из нас Земля (F₁) и Луна (F₂). В подлунной точке (там, где Луна видна в зените) в момент, когда Луна в перигее своей орбиты, F₂ максимальна. Но и тогда F₂/F₁≈4×10^-6. На самом деле влияние Луны на форму Земли еще меньше. Именно оно вызывает приливы, о чем еще будет рассказано. Сейчас достаточно заметить, что изолированность в Солнечной системе выдержана в очень хорошем приближении.

2. Солнце состоит из газа, планеты-гиганты тоже, с возможным включением жидкой и твердой фазы в центральных слоях, что несущественно. Земля же тверда, и только в центральной части присутствует жидкая фаза. Но на длительные воздействия Земля отвечает как пластическое тело, течет, как воск. — А горы? — спросите вы. Да, некоторые напряжения твердая земля может выдержать. Горы не сплющиваются, впадины не заполняются у нас на глазах. Но высота гор не может превзойти значения порядка 10 км, иначе давление превысит критическое, вещество подошвы станет пластическим, начнет расползаться под действием веса, и в результате высота горы уменьшится.

Подобная пластичность наблюдается у всех больших тел, вплоть до 500 км в диаметре. У малых тел, меньших 200 км в диаметре, гравитация незначительна, предположение пластичности не выполняется. Промежуточный случай 200-500 км с трудом поддается анализу, поскольку нужно знать древнюю историю тел. Если они подвергались сильному нагреву, то в это время были текучими и успели принять форму, диктуемую гравитацией. В противном случае они представляют собой бесформенные глыбы.

3. У планет земной группы, спутников, малых планет внутренние источники энергии существуют в виде рассеянных — в основном в коре — радиоактивных элементов. Но их энерговыделение крайне незначительно и может вызвать перемешивание вещества со скоростями разве что в сантиметры за год. Юпитер выделяет тепло за счет продолжающегося сжатия. Это приводит к конвекции вещества и дифференциальному вращению (период оборота вокруг оси зависит от широты и глубины). Солнце и большинство нормальных звезд спокойно выделяет энергию ядерных реакций, происходящих в центральной части. В результате мы наблюдаем конвекцию и дифференциальное вращение, как у планет группы Юпитера. Это вносит незначительные поправки в чисто гравитационную форму небесных тел.

Можно заключить, что все три предположения выполняются для крупных тел Солнечной системы и для большинства звезд. Хотя бы одно из них неверно для тесных двойных звезд, туманностей и молекулярных облаков, мелких (менее 200-300 км в диаметре) тел, бурно выделяющих энергию звезд. Эти случаи исключим из рассмотрения. Какую форму примет самогравитирующее неподвижное небесное тело? Без всяких вычислений ясно, что форму шара, причем плотность вещества будет зависеть лишь от расстояния до центра шара, убывая от центра к краю. Всякое поднятие над поверхностью должно расползтись, выемка — заполниться, всякое более тяжелое включение должно опуститься, более легкое — всплыть. А нет ли еще каких-либо неожиданных экзотических фигур равновесия неподвижного тела? Нет, и это доказал наш великий соотечественник А.М. Ляпунов (1857—1918), петербургский академик. Как обычно, доказательство несуществования оказалось очень сложным. Стоило ли вообще им заниматься? Стоило, ведь интуиция может подвести, как это видно на примере эллипсоидов Якоби и груш Пуанкаре (см. ниже). Вот откуда шарообразность Луны, Земли, Солнца и множества других небесных тел: правит бал гравитация, а не мифическое совершенство небес.

Теперь включим вращение. В наших предположениях тело будет вращаться вокруг неподвижной оси как целое. Такое вращение называют твердотельным: тело жидкое, но вращается, как будто оно твердое, так что расстояния между частицами неизменны. Действительно, всякие внутренние течения без источников энергии должны в конце концов затухнуть из-за трения.

Раз вращение твердотельно, естественно рассматривать положение каждой частицы в системе отсчета, жестко связанной с небесным телом, вращающейся вместе с ним. Именно такая система естественна для всех, кроме космонавтов. Сидя на стуле, мы считаем себя неподвижными, хотя вертимся вместе с Землей с угловой скоростью 1 оборот в сутки, чему соответствует линейная скорость на экваторе 460м/с (в Петербурге она снижается до 230м/с). Однако вращающаяся система, как принято говорить в физике, неинерциальна. Это значит, что правильное описание движений в такой системе достигается введением сил инерции. В случае равномерного вращения вокруг неподвижной оси таких сил две: кориолисова и центробежная. Кориолисова действует лишь на движущиеся в нашей системе частицы и исчезает, если они не перемещаются друг относительно друга. Центробежная направлена прочь от оси вращения (правильнее было бы говорить об «осебежной» силе, но так не принято) и сообщаемое ею ускорение равно ω²R, где ω — угловая скорость, R — расстояние до оси. Частица ощущает лишь векторную сумму двух сил: тяготения и центробежной. Сумма эта называется силой тяжести. Направление последней воспринимается как «низ», противоположное — «верх».

Поверхность находящейся в равновесии фигуры должна быть перпендикулярна силе тяжести. Тогда маленький участок поверхности кажется горизонтальным. В противном случае этот участок будет наклонным, и жидкость потечет сверху вниз. Ясно, что шар уже не может служить фигурой равновесия. Она должна быть сжата у полюсов (рис.6). Чтобы найти поверхность тела T, нужно перевести выделенные курсивом слова на язык уравнений и решить их. Вы знаете немало примеров того, как коротенькая формула заменяет долгое и неуклюжее словесное описание. Здесь ситуация противоположна: коротенькая фраза, выражающая физический смысл явления, приводит к сложным и громоздким уравнениям. Ведь тяготение описывается тройным интегралом по телу, форма которого неизвестна! Задача о форме небесных тел далека от окончательного решения, хотя основные результаты получили еще классики: И. Ньютон, К. Маклорен, Дж. Дарвин (Великобритания), П. Лаплас, Э. Рош (Франция), К. Якоби, Л. Лихтенштейн (Германия), П.Л.Чебышёв, А.М. Ляпунов (Россия), С. Чандрасекар (Индия, США) и другие.

Рис.6. Силы, действующие на поверхностную частицу тела во вращающейся вокруг оси z системе отсчета: F₁ — сила тяготения, F₂ — центробежная сила, F — результирующая сила тяжести. Слева — сечение шара, справа — фигуры равновесия; ГГ — линия математического горизонта.

Не слишком быстро вращающееся однородное тело принимает форму сжатого эллипсоида вращения (эллипсоида Маклорена). Его параметры — большая и малая полуоси — однозначно определяются массой и угловой скоростью вращения (рис.7). Если вращать быстрее, появляются трехосные эллипсоиды (эллипсоиды Якоби). Их открытие — а они появились как решение некоторой системы уравнений — повергло ученый мир в изумление. Интуиция ясно говорила, что однородное вращающееся тело должно быть телом вращения, каламбур воспринимался как тавтология! Ан нет! Вращение тела не обязано давать тела вращения! Потом были открыты еще более экзотические тела: вращающиеся на боку груши и даже тела с волнистой поверхностью. Правда, подобная экзотика существует только на бумаге (употребим старое выражение, как-то неловко звучит «на электронных носителях»). Реальные тела вертятся медленно, и для них выполнена теорема Ляпунова: фигура равновесия осесимметрична и обладает экватором, т.е. каждое меридиональное сечение одинаково, северное и южное полушария одинаковы. Даже скучновато немного. Но природа изощренна и сумела обойти ограничения Ляпунова в тесных двойных и полуразделенных системах, где нарушено условие изолированности.

Рис.7. Формы вращающихся тел. Указаны последовательности фигур равновесия несжимаемых, «жидких» тел (сплошные линии) и сжимаемых, газовых тел (пунктир). Оси вращения у всех фигур на рисунке расположены вертикально.

Небесные тела лунных и более размеров резко неоднородны: плотность в центре существенно превышает плотность у поверхности. Для Земли — на порядок, для Юпитера — на 4-5 порядков, для Солнца — на 7 порядков. Так что однородные фигуры равновесия служат лишь крайне упрощенными моделями. Но в случае медленного вращения форму поверхности можно представить аналогичным (7) рядом Ляпунова:

ƒ(φ)= R[ƒ₀(φ)+ƒ₁(φ)+ƒ₂(φ) +…] (8)

Тут требуются пояснения. Форму поверхности вращения естественно задавать уравнением r=ƒ(φ), связывающим широту φ с расстоянием от поверхности до центра масс r функциональной зависимостью ƒ. Таков смысл левой части (8). В правой части R — характерный размер тела, например, радиус равновеликого шара. Тогда ƒ₀ тождественно равна единице, так что в нулевом приближении тело является шаром r=R — const. Остальные члены ряда дают малые поправки, причем ƒ_s пропорциональна q^s. Здесь q=ω²R³/(GM) представляет собой безразмерный малый параметр, равный отношению центробежной силы к силе тяготения на экваторе шара массы М и радиуса R. Для Земли, Юпитера, Солнца q равно соответственно 0,0034; 0,083; 0,00002. Наибольшим значением q=0,139 в Солнечной системе обладает Сатурн.

Функция ƒ₁ имеет вид ƒ₁(φ)= Aq(1—3sin²φ), где число А определяется распределением масс внутри тела Т. Для однородного тела А=5/12. Для противоположного крайнего случая сосредоточенной в центре массы, окруженной невесомой атмосферой, А=1/6. Остальные ƒ_s можно найти последовательно методом Ляпунова.

Функция ƒ, представляющая поверхность сжатого эллипсоида вращения Е, также может быть разложена в ряд (8), причем ƒ₀=1. ƒ₁=е²(1—3sin²(φ))/6, где е — эксцентриситет меридионального сечения. Подбирая его так, чтобы Aq=е²/6, добьемся совпадения Rƒ₀ и Rƒ₁ у Т и Е. Таким образом, любая фигура равновесия в нулевом приближении — шар, в первом — сжатый эллипсоид вращения.

Как рассчитывают трассы небесных тел в сложных гравитационных полях? Простых формул, подобных выведенным Кеплером и Ньютоном для описания движения частицы вокруг шара, для сложных полей не существует. Более того, за редчайшими исключениями вообще не существует абсолютно точных формул. Это следствие реальной сложности движений. Какими же средствами располагает современная наука? В самых общих чертах их можно разделить на две группы.

1. Аналитические методы. С их помощью сложное движение можно представить как наложение бесконечного числа простых движений. До предела упрощенный пример — знакомая по школьным учебникам формула суммы бесконечного числа членов геометрической прогрессии

1/x=1+(1-x)+(1-x)²+(1-x)³+… (9)

Предположим, что марсиане умеют складывать, вычитать и умножать числа, представленные десятичными дробями, и знают, что есть и обратное умножению действие — деление, но делить не научились. Так вот, левую часть (9) марсиане смогут вычислить, складывая большое количество чисел из правой части, а каждое из них получается умножением (1—х) самого на себя. Уже на этом простейшем примере видны две особенности аналитического подхода.

Во-первых, для получения точного ответа нужно проделать бесконечно много операций, что невозможно. Но для достижения заданной точности нужно произвести уже конечное число операций. Последнее тем больше, чем выше требования к точности. Пусть, например, х=1,1. Чтобы ошибка (9) составила не больше 0,01, следует взять два слагаемых справа; четыре слагаемых гарантируют погрешность менее 0,0001.

Во-вторых, формулы аналитического метода работают не для одного какого-то набора значений переменных величин, а для любых их значений из некоторой области. Так, равенство (9) можно применять не только при х=1,1, а для всех значений х от нуля до двух. Но для х=—1,5 формула (9) не годится и приходится прибегать к другим соотношениям. Напимер, для —2<х<0 можно применить формулу 1/х=—[1+(1+х)+(1+х)²+(1+х)³+…]. В небесной механике орбиты разного типа также описываются разным набором аналитических формул.

2. Численные методы представляют собой вычисление положения и скорости частицы в последовательные моменты, разделенные небольшими промежутками времени, по соответствующим значениям этих величин и действующих сил в предшествующие моменты. Такой путь прост и универсален. Большое количество вычислений в век электроники — недостаток не самый важный. Хуже, что получается лишь одна траектория и даже для соседней все вычисления приходится выполнять с самого начала.

На практике нередко комбинируют аналитический и численный методы, что привело к впечатляющим успехам в описании движения планет, их спутников, комет, астероидов. Но мы нарушим исторический порядок, обратившись сначала к искусственным небесным телам. ИСЗ ближе к нам и двигаются сравнительно просто. Естественно переходить от простого к сложному.

Свой виток вокруг планеты спутник проходит почти точно по эллипсу, но виток не замкнется. Следующий оборот будет отличаться от предыдущего примерно на 1/300, так как настолько притяжение Земли вблизи ее поверхности отличается от притяжения шара. За триста оборотов (примерно месяц для близких ИСЗ) орбита может измениться до неузнаваемости. Меняется не все. Истинное движение мало (в пределах 10км) отклоняется от движения по некоторому опорному эллипсу. Опорный эллипс имеет фиксированные размер, форму и наклон к плоскости экватора, но вращается вокруг двух осей одновременно. Во-первых, линия апсид (соединяющая перигей и апогей) поворачивается в плоскости эллипса с угловой скоростью ω₁. Во-вторых, сама эта плоскость поворачивается вокруг полярной оси с угловой скоростью ω₂. В терминах небесной механики перицентр испытывает вековое возмущение со скоростью ω₁ а восходящий узел орбиты на экваторе — вековое возмущение со скоростью ω₂. В результате траектория типичного ИСЗ приобретает вид запутанного клубка, изображенного на рис.8. Описанные свойства надо учитывать при проектировании, чтобы спутник с успехом выполнял свою работу.

Рис.8

Возьмем для примера ИСЗ «Молния». Его основное назначение — осуществлять связь между западом и востоком России и СНГ. Следовательно, орбита должна быть достаточно высокой, чтобы сверху была видна значительная часть территории. Связь подчиняется суточному ритму (скажем, телепередача «Время» транслируется в одно и то же время в каждой зоне вещания), так что период ИСЗ обязан укладываться в сутках целое число раз. С учетом предыдущего условия получаем для периода одно из трех значений: 6, 8, 12 часов (особый случай 24 часов надо рассматривать отдельно). Наклон i плоскости орбиты к экватору должен лежать в пределах 40°÷80° для покрытия широтной зоны, в которой расположен СНГ. Эксцентриситет следует взять близким к единице и направить апогей в Северное полушарие, тогда спутник будет почти все время в рабочей зоне, быстро пролетая Южное полушарие (вспомните о скоростях в разных точках эллипса). В результате отпадают периоды в 6 и 8 часов, так как для них эксцентриситет нельзя сделать большим, ведь внутри эллипса должна еще поместиться Земля с ее атмосферой. Остается период в 12 час.

Пока мы ограничивались рамками задачи одного притягивающего центра. Но «Молния» рассчитана на долгие годы работы, и выбранная орбита должна быть устойчивой на многих тысячах витков. Поэтому необходим учет несферичности Земли, что ставит под сомнение весь проект. Вращение линии апсид с угловой скоростью ω₁ через 180°/ω₁ суток (если ω₁ измерять в градусах за сутки) повернет апогей в Южное полушарие, и наша «Молния» станет обслуживать Австралию. Однако величина ω₁, как показывают расчеты, содержит множитель (4—5sin²i) и обращается в нуль при i=63,4°. Такой наклон нас вполне устраивает. Реальные «Молнии» двигаются по орбитам с близким к указанному наклоном. Орбита «Молнии» (рис.9.) отличается от изображенной на рис.8. тем, что все апогейные точки располагаются на окружности, имеющей широту около 63°.

Рис.9

По рис.9 может показаться, что из-за вращения плоскости орбиты вокруг полярной оси территория России постепенно будет уплывать из-под орбиты «Молнии». Это, конечно, не так. На рисунке, в отличие от кино, не изобразить вращения планеты. Земля вертится, делая один оборот в то время, за которое спутник делает два оборота. Из двух витков «Молнии» лишь один — рабочий. Поэтому (хотя не только поэтому) надо иметь несколько таких спутников.

Обратимся к 24-часовым спутникам. Этот вариант активно используется в системах спутниковой связи многих стран — но только в круговом экваториальном варианте е≈0, i≈0. Для земного наблюдателя спутник на небе кажется неподвижным, «висящим» над одной и той же точкой земной поверхности. Влияние несферичности Земли, а также притяжение Луны и Солнца медленно уводит ИСЗ от «точки стояния», в результате чего приходится время от времени корректировать его орбиту.

Для спутников «Молния» выбраны орбиты, на которых ω₁=0. Активно используются в космонавтике и орбиты, на которых ω₂=0. Это полярные орбиты (i=90°), единственные, где спутник может быть виден в зените на полюсах.

Еще более интересен пример широко применяемых траекторий, для которых ω₂=0,986°/сут. Именно с такой угловой скоростью Земля обращается вокруг Солнца. Поэтому рассматриваемые орбиты называются солнечно-синхронными. Линия Солнце-Земля составляет с плоскостью орбиты постоянный угол. В частности, может совпадать с ней, вследствие чего спутник пролетает над каждым районом земной поверхности почти в одно и то же местное солнечное время. Это весьма удобно при сравнении фотоснимков, полученных в разные дни спутниками, исследующими Землю.

Пусть спутник Земли поднят так высоко, что может сближаться с Луной. В результате наложения земной и лунной гравитации разнообразие орбит становится поистине фантастическим. Никто пока не сумел перечислить все их типы. Рассмотрим один интересный класс замкнутых периодических орбит. Для простоты будем считать лунную орбиту окружностью.

Сначала надо ввести геоцентрическую систему отсчета, вращающуюся вместе с Луной. В этой системе Луна неподвижна, неподвижен и центр Земли, а сама Земля вращается с периодом в 24 ч. 50 мин. Этот период легко определит каждый из вас. В ясную лунную ночь отметьте положение тени какого-либо неподвижного предмета и засеките время. В следующую ясную ночь тень будет на том же месте через 24 ч. 50 мин. Введенная система отсчета кажется несколько искусственной. Но это не совсем справедливо. Такая система естественна для селенитов (воображаемых жителей Луны и будущих обитателей лунных баз). В их небе Солнце всходит и заходит. А Земля висит неподвижно, показывая одни и те же города каждые 24 ч. 50 мин. Здесь можно напомнить о том, что период вращения Земли вокруг оси равен 23 ч. 56 мин. Это звездные сутки. Для земного наблюдателя через это время каждая звезда возвращается на прежнее место, например, точно на небесный меридиан. Относительно Солнца период вращения Земли равен 24 ч. Это солнечные сутки. Наконец, относительно Луны — 24 ч. 50 мин. Этот период можно бы назвать лунными сутками Земли. Именно с таким периодом повторяются условия передач земных радиостанций для селенитов.

Периодические орбиты — это траектории, замыкающиеся в нашей вращающейся вместе с Луной системе отсчета после истечения некоторого периода Т. Простейшими периодическими орбитами будут положения равновесия. Ведь точечную траекторию можно считать периодической при произвольном периоде Т. Как показали Л. Эйлер и Ж. Лагранж, в нашей системе существует ровно пять положений равновесия, так называемых точек либрации L₁—L₅ (рис.10). Три из них, найденные Эйлером, лежат на прямой Земля-Луна. Одна из них, находящаяся между Землей и Луной точка либрации L₁, представляет и практический интерес. В будущем ее предполагается использовать как место перевалочной базы при освоении Луны. Точки либрации L₁, L₂, L₃ неустойчивы. Поэтому время от времени необходима незначительная коррекция космического аппарата (КА), находящегося в окрестности L₁, во избежание его ухода от L₁ на неприемлемое расстояние.

Рис.10

Не исключено и создание базы в одной из открытых Лагранжем точек L₄, L₅, лежащих в плоскости лунной орбиты и образующих вместе с Землей и Луной два равносторонних треугольника. Это тем заманчивее, что L₄ и L₅ оказались устойчивыми, в отличие от L₁, L₂, L₃. Неучтенное притяжение Солнца все же может вывести КА из приемлемой окрестности L₄ или L₅. Так что коррекция орбиты может понадобиться и здесь, но гораздо реже.

Вокруг каждой из точек L₁—L₅ существуют и «настоящие» периодические орбиты. Траектории вокруг лежащей дальше Луны точки L₂, похожие на овал в плоскости, перпендикулярной прямой Земля-Луна, получили особое наименование гало-орбит. В будущем они сыграют важную роль в освоении Луны. На гало-орбитах разместятся спутники-ретрансляторы, позволяющие поддерживать радиосвязь между Землей и базой, расположенной на обратной стороне Луны.

На рис.11 изображена более замысловатая периодическая орбита, показывающая их богатое разнообразие. КА на такой орбите попеременно является то спутником Земли, то спутником Луны.

Рис.11

Задача о движении КА в гравитационном поле Земли и Солнца математически тождественна задаче о движении в поле Земли и Луны. Тут тоже существуют периодические орбиты и точки либрации. Более того, они уже используются на практике. Космический аппарат SOHO для исследования процессов на Солнце находится все время на гало-орбите вблизи точки L₁.

Решения задачи о движении объекта в окрестности двух массивных тел оказывается очень полезным, и не только в приложении к Солнечной системе: они используются и при изучении движения вещества в двойных звездных системах, и в звездных скоплениях, и в системах галактик. Но нужно помнить, что все эти полезные решения получены при определенных предположениях. Например, точки Лагранжа существуют в рамках ограниченной задачи: два тела имеют конечные массы (любые; обе массы могут быть даже равны друг другу), а третья бесконечно мала (у нас это космический аппарат). Движение в окрестности коллинеарных точек либрации L₁, L₂, L₃ всегда неустойчиво. Устойчивость движения в окрестности треугольных точек Лагранжа L₄, L₅ зависит от соотношения между массами основных тел. Обозначим массы основных тел через m₁≥m₂. Введем безразмерный параметр µ, выражающий отношение этих масс:

µ=m₂/(m₁+m₂)

А.М. Ляпунов доказал, что движение в окрестности треугольных точек либрации устойчиво в первом приближении при 27µ(1—µ)<1, что равносильно условию

µ<µ₀=0,0385209.

Для системы Земля-Луна µ<(1/3)/µ₀, значит, треугольные точки либрации устойчивы (при отсутствии не учтенных в задаче возмущений!). А вот для системы Плутон-Харон µ>3,7µ0. Устойчивости нет. В системах двойных звезд, как правило, µ>µ₀ и движение неустойчиво.

Итак, у нас в запасе внушительный набор орбит, по которым можно двигаться долго-долго, не затрачивая ни малейших усилий. Но как попасть туда? Будем считать, что мы уже вышли в космос на круговую орбиту искусственного спутника Земли. А теперь нам надо перейти на более высокую орбиту. Тоже круговую и лежащую в той же плоскости. Имея супер-ракету, можно перелететь с орбиты на орбиту множеством способов. Но современные ракеты пока не позволяют развивать скорости в сотни километров в секунду, так что не все способы реализуемы. А поскольку каждый лишний грамм груза на борту — все равно что кирпич в рюкзаке у туриста, из возможных способов следует выбрать оптимальный, т.е. требующий минимального количества топлива.

Реактивные двигатели работают без перерыва несколько минут, тогда как перелеты длятся часы, а межпланетные — месяцы и годы. Так что можно считать без большой ошибки, что космический корабль практически мгновенно получает добавку скорости (как говорят, к аппарату прикладывается импульс скорости). Чтобы уйти с орбиты старта, нужен по крайней мере один импульс υ₁. Чтобы остаться на орбите финиша — еще один υ₂. Так называемая характеристическая скорость υ₁+υ₂, а с ней и расход топлива, будут минимальными, если импульсы прикладывать по касательным (рис.12). Это было доказано еще в 1920-е гг. В. Гоманом в Германии и Ф.А. Цандером у нас.

Рис.12

В космосе все движения обратимы. Точнее, если все скорости всех тел изменить на противоположные, то они будут двигаться по тем же орбитам, но в противоположную сторону. В частности, если все стрелки на рис.12 перевернуть, то получим тоже допустимые движения. Это значит, что оптимальный перелет с высокой на низкую орбиту — тот же эллипс Гомана-Цандера с теми же импульсами υ₂ и υ₁, но на этот раз не разгонными, а тормозными, в результате чего в дальнейшем можно ограничиться перелетами на более высокие орбиты.

Отнюдь не всегда начальная и конечная орбиты лежат в одной плоскости. Существенное изменение плоскости орбиты — задача, непосильная для современных ракет (опять космический парадокс: автомобилю трудно забираться на гору, но ничего не стоит свернуть направо). Действительно, чтобы повернуть плоскость орбиты на 60°, по правилу векторного сложения скоростей требуется импульс, равный скорости движения КА, т.е. 8 км/с для низких спутников Земли.

Но задача о стыковке двух ИСЗ решается и для совсем разных орбитальных плоскостей, лишь бы совпадали их наклоны к экватору. Действительно, плоскости орбит близкого и далекого ИСЗ из-за влияния сжатия Земли вращаются вокруг полярной оси и притом с разными угловыми скоростями. Достаточно выждать неделю-другую, пока плоскости орбит не совпадут, тогда и надо включать двигатели по описанной схеме.

Вернемся к задаче перелета между компланарными круговыми орбитами. А что, если не ограничиваться двумя импульсами? Как показал в тридцатых годах А.А. Штернфельд (родившийся в Польше, работавший сначала во Франции, затем в СССР), решение в этом случае зависит от отношения ρ радиусов внешней и внутренней окружностей. Если 1<ρ≤11,9, то полуэллипс остается оптимальной траекторией. Если ρ≥15,6, то более экономичен трехимпульсный перелет, осуществляемый по схеме типа Петербург-Одесса через Владивосток (рис.13). В точке А₁ дается разгонный импульс υ₁, больший, чем нужно для выхода на эллипс Гомана-Цандера, но меньший, чем нужно для ухода на бесконечность. В результате получим полуэллипс А₁А₂, заходящий за орбиту цели. В его апоцентре А₂ снова прикладывается разгонный импульс υ₂, обеспечивающий полет по полуэллипсу А₂А₃, касательному к орбите цели. В точке А₃ дается уже тормозной импульс υ₃, переводящий космический аппарат на круговую орбиту. И что удивительно: чем дальше расположена точка тем меньше характеристическая скорость υ₁+υ₂+υ₃. А оптимального перелета нет! Он существует лишь как некая абстракция: надо уйти в «бесконечность», приложить там «нулевой» импульс и вернуться в точку А₃.

Рис.13

Если 11,9<ρ<15,6, то трехимпульсный переход по-прежнему экономичнее двухимпульсного, но только для достаточно удаленного расположения точки А₂. Если запретить далеко отрываться от родной Земли, то перелет Гомана-Цандера может все же оказаться оптимальным.

Перелеты Штернфельда — еще и средство изменения плоскости орбиты. Если точка А₂ расположена очень далеко, то импульс скорости υ₂ там очень мал. Его можно направить в любом направлении, затрачивая дополнительно совсем мало топлива, и получить орбиту желаемого наклона.

Покинем теперь околоземное пространство и устремимся к другим планетам. Как ни удивительно, ничего нового изобретать не придется. Достаточно в наших рассуждениях заменить Землю Солнцем, орбиту старта — орбитой Земли и орбиту финиша — орбитой планеты-цели. Правда, около самих планет надо учитывать их притяжение. Но зона, в которой это притяжение существенно (так называемая сфера влияния планеты), очень мала по сравнению с межпланетными расстояниями. Как применяется описанная теория в космонавтике? Почти каждая траектория перелета КА на околоземных орбитах или полет к Луне, Венере, Марсу представляет собой сокращенный эллипс Гомана-Цандера. Слово «сокращенный» означает, что радиус-вектор, соединяющий центральное тело и КА, поворачивается на угол, несколько меньший 180°. Так что траектория КА близка к оптимальной, но отличается от нее, причем почти всегда в одну сторону. Объясняется это тем, что мы учитывали до сих пор лишь один фактор — расход топлива. Но время перелета также играет не последнюю роль. Чем оно короче, тем лучше: меньше нужно запасать энергии для работы приборов, меньше вероятность выхода приборов из строя. А уж для пилотируемых полетов роль времени не нуждается в пояснении. Далее требуется уменьшить чувствительность к неизбежным неточностям при выведении на орбиту. А эллипс Гомана-Цандера к ним очень чуток. Немного не добрал скорость — и уже недолет. Все это и заставляет сокращать переходную орбиту.

А где же перелеты Штернфельда? В межпланетных полетах они вряд ли будут применяться. Они выгоднее двухимпульсных лишь для достижения Урана, Нептуна, Плутона и …Солнца. Но и прямой-то полет к внешним планетам требует десятков лет. А уж трехимпульсный перелет с вылетом из Солнечной системы займет сотни и тысячи лет. Недопустимо затянется и полет к Солнцу. Но не надо отчаиваться — мы расскажем о других путях достижения этой цели.

Радиус лунной орбиты содержит 60 радиусов Земли, так что ρ значительно превышает предел 15,6. Полет к Луне через залунные области даст экономию около 8% топлива. Пока такая схема перелета не применялась: ведь время в пути — несколько месяцев вместо нескольких дней прямого полета. Но не исключено, что при освоении Луны для товарных ракетных поездов будет использоваться именно траектория Штернфельда. Сегодня же по подобным траекториям часто выводят на орбиту 24-часовые ИСЗ: это оптимальный способ получить высокую орбиту нулевого наклона при запуске с космодрома с широтой, превышающей 40°. Отметим очередной космический парадокс: легче вывести КА на орбиту Луны, чем на орбиту 24-часового ИСЗ, в 9 раз более близкую.

Сфера влияния планеты очень мала. Но проникновение в нее может дать значительный эффект. КА попадает туда всегда с гиперболической скоростью — ведь он приходит из «бесконечности», имея там уже немалую скорость. Траектория относительно планеты в сфере влияния представляет собой небольшой кусок гиперболы. Для инопланетного зрителя результатом почти мгновенного прокола сферы влияния явится поворот вектора скорости на угол α между асимптотами (рис.4). Но в системе Коперника с центром в Солнце к скоростям относительно планеты нужно еще прибавить гелиоцентрическую скорость самой планеты. В результате скорость КА изменится и по направлению, и по величине. Мы не только можем развернуть КА по нашей воле, но еще и увеличить (а если нужно, и уменьшить) его скорость. Энергия здесь черпается (или отдается) из кинетической энергии обращения планеты вокруг дневного светила. Поскольку масса КА неизмеримо меньше массы планеты, изменение энергии планеты не ощутимо никакими самыми точными приборами.

Чем теснее подходит частица к притягивающему центру, тем меньше угол α между асимптотами отличается от 180° и тем эффективнее гравитационный маневр. Но мы не можем подлететь к центру планеты ближе, чем на ее радиус (с учетом атмосферы). А чем массивнее планета, тем больше ее размер. Поэтому на первый взгляд трудно сказать, какие планеты лучше подходят для гравитационного маневра. Поскольку же масса растет пропорционально кубу радиуса, вывод однозначен: чем массивнее планета, тем большие возможности предоставляет она для маневрирования. Маломассивный Меркурий и Марс не в состоянии сколько-нибудь существенно изменить орбиту КА. Венера и Земля уже способны на это. Однако для значительного изменения орбиты потребуется несколько сближений с этими планетами, причем сближения можно чередовать в любой последовательности. Например, три раза подряд подойти к Венере и затем два раза к Земле. Мощный преобразователь орбит — Юпитер: достаточно однократного прохождения вблизи него, чтобы покинуть Солнечную систему или упасть на Солнце.

Для маневра можно использовать и гравитационное поле Луны: для переходов внутри системы Земля-Луна и для выхода из этой системы в межпланетное пространство.

Первый в мире гравитационный маневр был совершен в 1959 г. зондом «Луна-3». В результате искусного использования гравитационного поля Луны (несмотря на его малость!) «Луна-3», стартовавшая с северного полушария Земли, облетев наш естественный спутник, вернулась снова в Северное полушарие, что тогда казалось неслыханным чудом. Так в СССР были получены первые фотографии обратной стороны Луны.

Сейчас гравитационное маневрирование стало обычным. Именно таким образом американский зонд «Вояжер-2» после пролета Юпитера достиг Сатурна, а затем Урана и Нептуна (рис.14). Советские «Вега-1» и «Вега-2» встретились с кометой Галлея после гравитационного маневра в поле Венеры. Американский «Международный исследователь комет» встретился с кометой Джакобини-Циннера после сложных маневров в системе Земля-Луна. Множественные маневры в поле Земли и Венеры совершили «Галилео» и «Кассини». Международный зонд «Улисс», предназначенный для исследования полярных областей Солнца, смог высоко подняться над плоскостью эклиптики только за счет гравитационного маневра в поле Юпитера.

Рис.14

В будущем, возможно, предпримут запуск зонда в солнечную корону. Для прямого падения на Солнце нужно погасить орбитальную скорость Земли (30 км/с), а полет через Юпитер требует добавки 12 км/с к орбитальной скорости Земли. Можно достичь окрестностей Солнца, используя лишь маневры у Венеры и Земли, но такой полет потребует около десятка тесных сближений с этими планетами. Гравитационный маневр у Юпитера — единственное приемлемое средство достижения Плутона, Харона и других тел пояса Койпера.

До сих пор мы рассматривали импульсные перелеты. Даже гравитационный маневр можно считать импульсным. Но уже испытываются и скоро станут обычными так называемые двигатели малой тяги. Тяга у них малая, но работать она может месяцы и годы. Начальный участок траектории в этом случае представляет собой раскручивающуюся спираль. Двигатели малой тяги работают на иных принципах, чем обычные химические импульсные двигатели большой тяги. Например, в электрореактивных двигателях до огромных скоростей ускоряется пучок ионов. Поэтому такие двигатели очень экономичны. Для маневров на орбите они незаменимы. Однако с их помощью КА не может оторваться от Земли: реактивное ускорение много меньше ускорения свободного падения g. Так что начальный участок траектории, упоминающийся выше, это — первоначальная орбита, на которую КА выводится классической ракетой-носителем.

К двигателям малой тяги можно отнести и солнечный парус. Давление света в обычных условиях едва или вовсе не ощутимо. Но если в космосе развернуть парус из тончайшей пленки площадью в несколько тысяч квадратных метров, то этого хватит для создания малой, но длительной тяги. Запаса топлива как для корабельного, так и для космического паруса не требуется. Солнечный парус пока лишь испытывается: только недавно были созданы легкие, прочные и непрозрачные пленки. Обратите внимание: пленка должна быть непрозрачной (лучше — зеркальной), иначе свет ее «не заметит» и никакого давления не окажет. Полеты под солнечными парусами — дело ближайшего будущего. Где же они наиболее эффективны?

Сила солнечного излучения ослабевает обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца. В окрестностях Марса она в два раза слабее, чем у Земли. В окрестностях Юпитера — в 30 раз слабее, Нептуна — в 900 раз. Поэтому солнечный парус разумно применять для маневрирования на околоземных орбитах и для полетов к Марсу и во внутренние области Солнечной системы: к Венере, Меркурию, Солнцу. При полете к Солнцу надо еще добиться, чтобы парус не сгорел и не расплавился.

Те же обстоятельства определяют и эффективность солнечных батарей. За орбитой Марса они неэкономичны. Лететь к Юпитеру и дальше можно только с атомными источниками электричества на борту.

При движении на высотах 200-1000 км. ИСЗ медленно, но неуклонно тормозится сопротивлением верхних слоев атмосферы. Спутник движется в окружающей среде со скоростью порядка 8 км/с. По сравнению с ней собственная скорость атмосферы мала. Сопротивление можно считать направленным прямо против вектора скорости ИСЗ. Ориентация орбиты в этом случае сохраняется. Но размеры и форма меняются существенно. Плотность воздуха падает с высотой очень быстро. Падает с высотой и скорость ИСЗ. Поэтому для низкоперигейного ИСЗ, эксцентриситет орбиты которого не исчезающе мал — хотя бы больше 0,01 — основное торможение осуществляется в окрестности перигея. Из-за этого на каждом витке значительно уменьшается высота апогея, и лишь ненамного — высота перигея. Орбита становится все ближе и ближе к круговой. Далее торможение равномерно распределяется по траектории и спутник начинает плавное снижение по спирали. Парадоксально, но скорость его при этом увеличивается!

Дело тут в следующем. Торможение в атмосфере приводит к уменьшению механической энергии спутника. Последняя складывается из кинетической и потенциальной (гравитационной). Снижаясь, ИСЗ теряет потенциальную энергию. Расчеты показывают, что несмотря на потерю механической энергии, кинетическая энергия возрастает. Так происходит вплоть до входа в плотные слои атмосферы (для Земли — ниже 150 км.). Там уже сопротивление воздуха становится сравнимым с притяжением. В результате — перегрузки, обгорание и падение скорости. Мелкие спутники сгорают, не долетая до земли. Крупные спутники и последние ступени ракет-носителей обгорают, разваливаются, а их обломки падают на Землю со скоростями в десятки метров в секунду. И лишь самые крупные долетают до поверхности планеты с существенно большими скоростями. Таковы, скажем, орбитальные станции «Скайлэб», «Салют», «Мир». Когда кончается ресурс такой станции, ее спуск специально регулируют, чтобы упала она в ненаселенной местности или в океан. К сожалению, это не всегда удавалось. «Скайлэб» и «Салют-7» разбились не совсем так, как планировалось в центрах управления. К счастью, катастроф все же не произошло.

До сих пор мы рассматривали атмосферу лишь как причину торможения ИСЗ. Вспомним о самолетах — воздух может быть и источником подъемной силы. Это качество давно уже используется в космонавтике. При спуске пилотируемые космические корабли благодаря небольшой подъемной силе сейчас сравнительно долго проходят верхние слои атмосферы, что значительно уменьшает перегрузки. Иногда используется эффект отражения от атмосферы. Это явление напоминает пускание «блинчиков» на воде, когда брошенный полого плоский камень многократно отражается от водной глади.

Сопротивление атмосферы и подъемную силу можно комбинировать с гравитационным маневром. Например, проникнув сначала в верхние слои атмосферы Венеры для последующего достижения околосолнечного пространства. Или для того, чтобы погасить гиперболическую планетоцентрическую скорость и стать спутником планеты. Такие маневры уже использовались для перевода американских зондов на околомарсианскую орбиту (к сожалению, не всегда удачно).

Довольно регулярно, раз в десяток лет, желтые издания публикуют мрачные прогнозы профессиональных и полупрофессиональных запугивателей населения о парадах планет. Две последних шумихи приходятся на 1978 и 1999 гг. Введенный термин означает такую конфигурацию планет, когда все они находятся на одном луче, исходящем от Солнца. Разберем здесь два вопроса: как часто случаются парады и возможны ли они вообще; что они несут нам. Начнем с последнего.

Пресса действует по шаблону египетских жрецов (см. выше) с небольшими модификациями. Вместо затмения — парад планет. Вместо запугивания во время явления — его предсказание и обещания землетрясений, извержений вулканов, наводнений, пожаров (к этому обязательному набору-минимум добавляют по вкусу засуху, тайфуны, саранчу, эпидемии, войны и т.д. и т.п.). Предположим, парад планет действительно состоялся. Как это отразится на Земле?

Это было бы чудное зрелище! Простым глазом вы увидите ночью Марс, Юпитер и Сатурн рядышком друг с другом. В небольшой телескоп к ним добавятся Уран и Нептун. А днем в телескоп вы увидите то, что еще никто никогда не наблюдал: черная капля Венеры ползет по диску Солнца, потом ее обгоняет меньшая столь же черная капля Меркурия. Словом, днем и ночью красота неописуемая (которая спасет мир, если верить Ф.М. Достоевскому). Но наши мозахисты-предсказатели-несчастий об этом даже не упоминают! А будет ли заметно физическое воздействие планетной конфигурации на Землю? То-то и оно, что нет. Разберем по порядку возможные механизмы влияния.

1) Гравитация: приливы на Земле. Мы знаем, что влияние гравитации на явления, происходящие на поверхности Земли, осуществляется приливными силами. Примем приливное ускорение от Луны в подлунной точке, когда Луна находится на среднем расстоянии от Земли, за единицу. Соответственно лунное приливное ускорение в моменты прохождения Луной перигея и апогея будет 1,15 и 0,85. Наибольшее приливное ускорение от Венеры, когда последняя находится в нижнем соединении, равно 10^—4; от Юпитера, когда последний в противостоянии, равно 10^—5. От остальных планет оно в десятки, сотни и тысячи раз меньше.

Таким образом, влияние планет ничтожно и тонет не только каплей в море лунных и солнечных приливов, но даже в их вариациях от недели к неделе. Но давайте забудем о лунных и солнечных приливах, будто их и нет вовсе. Даже тогда парад планет не внесет практически ничего. Ведь он добавляет всего несколько процентов к приливу от Венеры в нижнем соединении, а такое событие случается чаще, чем раз в два года!

2) Гравитация: приливы на Солнце. Планеты вызывают приливы и на Солнце, что в принципе может вызвать нежелательные землянам изменения. Эти приливы на Солнце столь же ничтожны, что и на Земле. По-прежнему главный прилив — от Венеры, затем — от Юпитера, а от остальных планет не будет и процента. По-прежнему парад планет не вызовет ничего, даже если забыть о малости воздействия. Приливы от Венеры и Юпитера будут складываться каждые четыре месяца (в моменты, когда для жителя Венеры Юпитер находится в соединении или противостоянии), добавка же от парада практически нулевая.

3) Электромагнетизм. Земля имеет сильное магнитное поле, мощные радиационные пояса заряженных частиц. Влияние планет на электромагнитные поля Земли ничтожно. Еще меньше электромагнитное влияние планет на Солнце.

А был ли парад планет? Разумеется, парада не было ни разу за всю историю Солнечной системы и не будет никогда. Ведь плоскости планетных орбит не совпадают. Для парада нужно, чтобы нашелся такой момент t₀, в который все плоскости планетных орбит пересекались бы по одной прямой (общей линии узлов). Вдобавок и сами планеты должны оказаться на этой прямой, да еще с одной стороны. История орбит в Солнечной системе прослежена на миллиарды лет вперед и назад, и такого момента в ней нет.

Но давайте ослабим требования к параду, разрешив планетам собираться не только на луче, но внутри конуса с вершиной в центре Солнца. Угол а раствора конуса выберем в десять градусов. Какой же парад при α=20°, например, когда планеты бродят чуть не по целому созвездию?

Мы проследили за положением планет на миллион лет вперед и назад и убедились, что даже такого ослабленного парада не было и не будет. Жаль, очень было бы красиво! Впрочем, собрание не всех, а трех-пяти планет в одном созвездии происходят не так уж редко, и вы, наверное, уже видели это (газеты всегда сообщают об этом событии заранее).

Если предположить, что планеты притягиваются только Солнцем и не оказывают воздействия друг на друга, то они описывают кеплеровские эллипсы. Каждая планета с некоторым периодом Т возвращается на прежнее место. Периоды у планет различны и общего для всех периода не существует. Так что движение планетной системы не является периодическим с точки зрения математики. Напомню, что в математике явление называется Т-периодическим, если по прошествии времени Т система возвращается в прежнее состояние. Но в природе лишь исключительно простые процессы могут быть такими, например, колебания маятника.

Рассмотрим более сложную систему: смена времен года. Скажем, 1 июля в одном и том же месте в разные годы погода бывает разной, и можно говорить лишь о приблизительной периодичности. Но точные науки не терпят приблизительных терминов. Изобретено понятие квазипериодичности для явления, раскладывающегося на сумму периодических (создателем теории квазипериодических функций был рижский профессор П.Г. Боль).

Невозмущенное движение планет квазипериодично. В сумму скольких периодических процессов оно раскладывается? Вопрос кажется тривиальным — конечно, n, если через n обозначить число планет. Это так, но нельзя ли уменьшить число процессов до n₀? Оказывается, иногда можно. Рассмотрим два процесса с периодами Т₁ и Т₂. Пусть T₁/T₂=р₁/р₂, где р₁, р₂ — целые взаимно-простые числа. Тогда оба процесса имеют общий период Т=р₂Т₁=р₁Т₂. Например, если две планеты имеют периоды обращения Т₁ и T₂, то по прошествии времени Т первая планета совершит р₂ оборотов, вторая — р₁ оборотов и обе окажутся на прежнем месте. В таком случае говорят о резонансе, точнее, о резонансе р₁:p₂ в движении планет. Если же таких целых чисел p₁, р₂ не существует, то говорят об отсутствии резонанса в системе.