Совершенная строгость. Григорий Перельман: гений и задача тысячелетия

Глава 8. Задача

"Самая возможность математического познания кажется неразрешимым противоречием"[2], — более века назад писал Анри Пуанкаре, известный среди математиков как последний универсалист — он преуспел во всех областях математики. Если математические объекты — только плод интуиции, то "откуда у нее [математики] берется та совершенная строгость, которую никто не решается подвергать сомнению"? И если законы формальной логики заменяют в математике эксперимент, то "каким образом математика не сводится к бесконечной тавтологии»? И неужели "возможно допустить, что изложение всех теорем, которые занимают столько томов, есть не что иное, как замаскированный прием говорить, что Л есть Л"?

Согласно Пуанкаре, математика все-таки является наукой, поскольку математические рассуждения предполагают движение от частного к общему. Математик, который строит суждения с достаточной строгостью, может вывести законы, действительные для остального поля его взаимодействия с другими математиками. Иными словами, он не только способен доказать, что Л есть Л, но и объяснить, почему Л — это Л и ничто иное и где мы можем отыскать или построить другие Л.

"Мы все знаем, каково это — быть влюбленными или, например, испытывать боль. Для передачи этой информации нам не нужны строгие определения, — рассуждает американский профессор математики, который после сочинения многочисленных специальных трудов взялся объяснить широкой публике, что такое топология. — Тем не менее математические объекты лежат вне обыденного опыта. Если человек не даст точного определения этих объектов, он не сможет правильно оперировать ими, не сможет говорить о них".

Это может быть так, а может и не быть. На самом деле большинство из нас устраивает небрежность таких понятий, как "длинный" и "короткий" в разговоре о расстоянии, "пологий" и "крутой", — когда речь идет о склоне. В отношении линий, кругов и сфер у нас есть интуитивное чувство, что появление в объекте отверстия иногда (но не всегда) способно изменить свойства объекта. Так, проколотый воздушный шар для нас вовсе не то же самое, что целый шар. Тем не менее пончик с джемом и без дырки представляет для нас фактически то же самое, что пончик с дыркой, с джемом или без. Это часть нашего общего опыта. Но в разобранном на составляющие мире математики использование неустойчивых понятий и неточных координат способно недопустимо исказить картину. В математике видимая схожесть объектов ничего не значит до тех пор, пока она не будет доказана. Ничто не известно, пока не имеет точного определения. Ничто — или почти ничто — не является само собой разумеющимся.

На заре математики Евклид говорил о вещах, которые казались сами собой разумеющимися. В своем главном труде, в "Началах", он привел пять постулатов, пять аксиом и 35 определений[3] — от определения точки ("то, что не имеет частей") до определения параллельных прямых (это прямые, "которые, будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются"). Кроме того, Евклид объявляет (аксиома 1), что "равные одному и тому же равны и между собой".

Пять постулатов Евклида гласят:

1.От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2.Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3.Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

4.Все прямые углы равны между собой.

5.Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то эти прямые, продолженные неограниченно, встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Строго говоря, даже в этих пяти утверждениях слишком многое принимается как данность. "Мне говорили, что Евклид все доказывал, и я был очень разочарован тем, что он начал с аксиом, — вспоминал Бертран Рассел о своем первом знакомстве с "Началами" в детстве. — Я отказывался принимать их на веру, пока брат не назовет мне вескую причину для этого. Он сказал, что если я этого не сделаю, мы не сможем двигаться дальше. Поскольку учиться я хотел, то скрепя сердце согласился".

Сначала первые четыре постулата Евклида принимались на веру им самим, его современниками и многими поколениями математиков. Они описывают пространство, которое мы можем не просто вообразить, но даже увидеть воочию. Их можно проверить эмпирически, нацарапав линию чем-нибудь острым, проведя окружность циркулем или натянув кусок веревки. Даже если длина сегмента окружности или ее радиус будут такими, что человеческий глаз не сможет их охватить, свойства их не изменятся. Это было очевидно и не нуждалось в доказательствах.

Пятый постулат Евклида — единственный, для которого требуется воображение: если две прямые не являются параллельными третьей, они когда-нибудь пересекутся. Верно и обратное: две прямые, параллельные третьей, никогда не пересекаются, какой бы длины они ни были. Этот постулат интерпретируют и так: в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Это не так уж очевидно, да и проверить это нельзя. А раз это нельзя проверить, то нужно доказать. Столетиями математики трудились над этой задачей, но решить ее не сумели.

В XVIII веке были предприняты две попытки доказать пятый постулат Евклида от противного. Идея заключалась в выдвижении противоположного пятому постулату утверждения и доведении его до абсурда. Однако прямые линии вели себя не так, как от них ждали, и в результате математики получили воображаемую внутренне непротиворечивую картину, которая при этом противоречила пятому постулату. Оба математика сочли это нелепым и оставили свои попытки.

Около века спустя трое математиков (россиянин Николай Иванович Лобачевский, венгр Янош Бойяи и немец Иоганн Карл Фридрих Гаусс) пришли к выводу о возможности существования иной, неевклидовой геометрии, в которой соблюдаются четыре первых постулата, а пятый — нет. Но что значит — возможность существования? Она существует до тех пор, пока математики не найдут в ней просчеты или внутренние противоречия. Но можем ли мы воочию увидеть ее, как видим линию, сегмент или окружность? Невооруженным взглядом мы, как бы ни старались, увидим как раз евклидову геометрию. Так как мы поймем, что правильно?

Великий американский математик Рихард Курант (его именем назван математический институт в Нью-Йоркском университете) и его соавтор Герберт Роббинс (профессор

Рутгерского университета) считали, что обе геометрии оказываются практически одинаково пригодными для употребления и для наших целей вполне годится евклидова модель: "Так как работать с евклидовой геометрией гораздо легче, чем с гиперболической, то мы и пользуемся ею, покуда рассматриваются небольшие (порядка нескольких миллионов миль!) расстояния. Однако нет оснований ожидать, что она наверное оказалась бы подходящей при описании физического мира в целом, во всех его обширных пространствах"[4].

Но как быть, если нам приходится описывать частицу Вселенной — скажем, Землю или яблоко? (Помните: с точки зрения геометра Земля и яблоко, в сущности, одно и то же.) Представим поверхность Земли или, например, яблока плоскостью. Нарисуем на яблоке треугольник. Если применить к поверхности яблока евклидову геометрию, то сумма углов этого треугольника должна будет равняться 180°. Но поскольку поверхность яблока искривлена, то сумма углов получается большей. Это может означать, что пятый постулат Евклида для этой плоскости не действует. Мы увидим, как на искривленной поверхности две прямые, будучи продолжением сегмента, соединяющего две точки кратчайшим путем, пересекутся. Все прямые, проведенные на поверхности яблока (или на поверхности Земли), — это большие окружности с центрами в центре сферы.

Немецкий математик Бернхард Риман в XIX веке разработал геометрию, которая реализуется на плоскостях с [постоянной положительной гауссовой] кривизной, где вместо прямых линий — геодезические и любые две из них пересекаются. Эту геометрию, которую называют эллиптической, или римановой, использовал Эйнштейн в общей теории относительности.

Картина мира по Евклиду была ограниченной и плоской. Наш мир искривлен. Современные люди легко покрывают расстояния достаточно большие для того, чтобы почувствовать на себе кривизну Земли. Конечно, никто из нас не ездит так далеко все время, однако мы можем легко вообразить (а воображение есть место, где вершится математика) кратчайшее расстояние между точками — траекторию авиаперелета, который осуществляется вдоль геодезической линии, даже если прежде этого термина не слышали.

Прямые не длятся бесконечно, а замыкаются, образуя окружности. И разумеется, любые линии пересекаются. То, что казалось абсурдом в XVIII веке, стало точным отражением нашего повседневного опыта. Другими словами, наш мир значительно вырос. Но тут возникли два вопроса: насколько вырос мир и что значит "больше"?

Здесь на авансцену выходит топология — раздел математики, родившийся в 1736 году в Санкт-Петербурге. Швейцарский математик Леонард Эйлер, работавший тогда в России, освободил геометрию от бремени измерения расстояний. Он напечатал статью, посвященную задаче о семи мостах Кенигсберга. Мэр этого города задал знаменитому математику вопрос: можно ли пройти по всем семи мостам, не проходя ни по одному из них дважды?

Эйлер пришел к выводу, что это невозможно. Он показал также, что в любом городе, где есть мосты, подобную прогулку можно совершить, если и только если нечетное число мостов ведут в два района города (или не ведут ни в один), но нельзя, если нечетное число мостов ведут более чем к двум районам. Третье следствие, к которому пришел Эйлер, решая задачу о мостах, для которой важны координаты места, а не расстояния, — открыло новый раздел математики (Эйлер назвал его "геометрией поверхностей").

В этой новой дисциплине размер объектов — расстояние в точном смысле слова — не имеет значения. Важно не количество сделанных шагов, а направление, в котором они были пройдены. Решение вопроса о том, что данный объект больше или меньше другого, теперь зависело от количества данных, нужных для его размещения в пространстве, точнее — от координат, описывающих его. Точка нольмерна, линия — одномерна, поверхность наподобие треугольника, квадрата или сферы — двумерна. Это верно: поверхность, которую мы представляем как плоскую, и поверхность, которую мы представляем как выпуклую, топологи, в целях удобства, считают сходными. Это оттого, что когда топологи рассуждают о поверхности сферы или, допустим, яблока, они имеют в виду только поверхность, а не то, что находится внутри сферы или яблока.

Тополога можно сравнить с жуком, ползущим по яблоку, или же с Евклидом, шагающим по земле. Никому из них нет дела до того, что сумма углов описываемого ими треугольника больше 180° или что прямая линия, вдоль которой они идут, не будет длиться бесконечно, а где-нибудь замкнется, образуя большую окружность. Искривленность поверхности, на которой они находятся, — это функция третьего измерения, которое они не воспринимают.

Современные люди, знающие, что Земля — это шар и что его поверхность обладает [положительной] кривизной, живут в трехмерном мире. Но есть и четвертое измерение — время. Однако, поскольку мы не умеем перемещаться во времени, мы не в состоянии обнаружить трехмерную природу собственного существования так, как мы можем следить за животными, живущими в двух измерениях. Мы ограничиваемся исследованием пространства вокруг нас и строим догадки, как все это выглядит из точки, о которой мы можем только догадываться — но попасть в нее или даже вообразить ее мы не можем. В этом заключается суть гипотезы Пуанкаре: последний универсалист предположил, что Вселенная имеет форму трехмерной сферы.

Во время моей работы над книгой один молодой математик давал мне уроки топологии, терпеливо наблюдая, как я мучительно пыталась закрутить ум в трубочку, чтобы постичь основы этой науки. Он презрительно морщился всякий раз, когда речь шла о том, что гипотеза Пуанкаре описывает форму Вселенной. Если говорить точнее, доказательство гипотезы Пуанкаре может оказать неоценимую помощь науке в изучении формы и свойств Вселенной. Но не это занимало Григория Перельмана. Перед ним стояла четко сформулированная еще сто лет назад задача, которую до сих пор никто не решил.

Так же, как моего наставника и многих других математиков, с которыми мне довелось пообщаться, Перельмана нисколько не заботила физическая форма Вселенной или опыт населяющих ее людей. Математика предоставила ему возможность жить среди абстракций в его собственном воображении, и именно там надлежало решить задачу.

В 1904 году Анри Пуанкаре напечатал статью о трехмерных многообразиях. Многообразие — это объект или пространство (существующее в воображении математика, но не обязательно в реальности), которые могут быть разделены на множество отдельных окрестностей. Каждая отдельно взятая окрестность имеет обычную евклидову геометрию, однако все вместе окрестности представляют собой нечто гораздо более сложное.

Лучший пример многообразия — поверхность нашей планеты, запечатленная на нескольких картах, каждая из которых изображает небольшой фрагмент поверхности. Вообразите, например, карту Манхэттена: это несомненно евклидово пространство. Если карты сложить в атлас, то параллельные прямые на них по-прежнему не будут пересекаться, а сумма углов построенных треугольников не будет превышать 180°. Но если бы мы захотели построить из набора этих карт модель Земли, то сначала получили бы многогранный объект, напоминающий дискотечный зеркальный шар. Потом мы сгладили бы углы и в результате получили глобус, отражающий сложную кривизну планеты. Если мы продолжим на глобусе линии Первой и Второй авеню, то они пересекутся — в отличие от евклидова пространства. Эти понятия — карты, атласы, многообразия — являются основой топологии.

Одно многообразие отличается от другого тем, что имеет отверстие (или более чем одно отверстие). Для тополога шар, шкатулка, булка и пузырь суть одно и то же, а бублик — нет. Если воображаемую резиновую ленту (не менее важный для топологического воображения инструмент, чем атлас) надеть на воображаемый объект, она будет сжиматься.

Если обернуть очень тугую ленту вокруг шара, она соскользнет, причем вне зависимости от того, на какую часть шара она была надета. С бубликом все иначе: будучи продетой сквозь отверстие, резиновая лента, какой бы тугой она ни была, не соскользнет. Резиновая лента соскользнет с шара, шкатулки, булки или пузыря без отверстий, и это означает, что они схожи, или, говоря языком топологии, диффеоморфны друг другу (это означает, что эти объекты можно трансформировать один в другой).

Это подводит нас к вопросу, в чем заключается гипотеза Пуанкаре. Чуть больше ста лет назад Пуанкаре задал невинный вопрос: если трехмерное многообразие гладкое и односвязное, то диффеоморфно ли оно трехмерной сфере? Гладкое многообразие — это нескрученное многообразие (в самом деле, скомканные листы осложнили бы работу с картами). Односвязность предполагает отсутствие в объекте отверстий. Мы знаем, что такое диффеоморфность. Мы также знаем, что значит трехмерное. Итак, трехмерное многообразие — это поверхность четырехмерного объекта.

Теперь разберем, что такое сфера. Это множество точек, равноудаленных от данной фиксированной точки, называемой центром. Одномерная сфера, знакомая нам по школьному курсу геометрии, представляет собой эту совокупность точек, расположенных в двухмерном пространстве, то есть на плоскости. Двухмерная сфера — поверхность шара — это совокупность точек в трехмерном пространстве.

Сферы особенно интересны топологам оттого, что относятся к гиперповерхностям, то есть объектам, которые обладают столькими размерностями, сколько возможно в данном пространстве (одно измерение в двухмерном пространстве, два измерения — в трехмерном и так далее). Трехмерная сфера, свойства которой так занимали Анри Пуанкаре, — это поверхность четырехмерного шара. Мы не в состоянии вообразить этот объект — и тем не менее, возможно, живем в нем.

Топологи часто подходят к задачам, пробуя решить их для разных размерностей. Эквивалент гипотезы Пуанкаре для двух измерений — это азы топологии (вы, разумеется, помните, что поверхности шара, шкатулки, булки и пузыря диффеоморфны друг другу). Но в случае трех измерений, как раз и описываемом гипотезой Пуанкаре, это становится затруднительно. Математики сражались с гипотезой Пуанкаре для трех измерений большую часть XX века, но первые успехи принесла работа над более высокими размерностями.

В начале 1960-х несколько математиков (сколько именно и при каких обстоятельствах — вопрос до сих пор открытый) доказали гипотезу Пуанкаре для размерности $ и более высоких размерностей. Один из них — американец Джон Столлингс. Он опубликовал доказательство гипотезы для размерности 7 и выше в 1960-м — всего год спустя после получения кандидатской степени в Принстоне. Вполне возможно, что другой американец, Стивен Смейл, закончил работу над доказательством раньше Столлингса. Однако он опубликовал результаты (из них следовала справедливость гипотезы Пуанкаре для размерности $ и выше) несколькими месяцами позднее. Следом английский математик Кристофер Зиман применил доказательство Столлингса к размерностям $ и 6. Американец Эндрю Уоллес опубликовал в 1961 году доказательство, по сути аналогичное доказательству Смейла. Это, однако, не было простым совпадением, поскольку Уоллес был знаком с препринтами Смейла. И наконец, японец Хироси Ямасуге опубликовал в 1961 году собственное доказательство для размерности 5 и выше.

Таким образом, гипотеза Пуанкаре в течение более полувека после того, как она была сформулирована, начала потихоньку поддаваться. Названные мной математики, как и их многочисленные безымянные коллеги, не преуспевшие в доказывании гипотезы, рассчитывали разобраться с тремя измерениями, то есть собственно с задачей Анри Пуанкаре. И хотя их будут помнить за выдающийся вклад в победу над гипотезой, по меньшей мере один ученый, кажется, считает свою неудачу не менее примечательной, чем чужой успех.

Джон Столлингс, ныне почетный профессор в Беркли, перечисляет всего несколько названий своих статей на своем вебсайте (первая датирована 1966 годом и называется "Как не доказать гипотезу Пуанкаре"). "Я совершил грех, неверно доказав гипотезу Пуанкаре, — пишет Столлингс. — Теперь, в надежде предостеречь других от таких ошибок, я расскажу о моем ошибочном доказательстве. Кто знает: а вдруг небольшое изменение или новая интерпретация выправят его!" Эта надежда на чудо, осознание бесплодности своих попыток, соединенное с навязчивым нежеланием оставить их, ярко характеризует почти столетнюю историю доказательства гипотезы Пуанкаре.

Прошло еще двадцать лет, прежде чем задача снова чуть- чуть поддалась. В 1982 году молодой американский математик Майкл Фридман (ему был тогда 31 год) опубликовал доказательство гипотезы Пуанкаре для размерности 4. За это достижение Фридман получил медаль Филдса. Однако справедливость гипотезы для размерности 3 оставалась под сомнением: ни один из методов, применимых для более высоких размерностей, не сработал. Нужен был революционно новый путь — такой, какой и сам Анри Пуанкаре не смог себе представить. Одна из сложностей, которые вызывает четырехмерное пространство, заключается в том, что, в отличие от большего числа размерностей, это не вполне абстракция. Мы способны жить в трехмерном пространстве, у которого четыре измерения. И пусть большинство из нас не в состоянии это себе представить.

Говорят, правда, что один из ныне живущих людей, американский геометр Уильям Терстон, способен вообразить четыре измерения, а его геометрическая интуиция несравнима ни с чьей. "Когда вы смотрите на него или говорите с ним, часто бывает так — он смотрит в пространство, и вы понимаете — он видит в этот момент картинки, — рассказал мне Джон Морган, профессор Колумбийского университета, друг Терстона и соавтор одной из книг о доказательстве Перельманом гипотезы Пуанкаре. — Такого глубокого интуитивного проникновения в геометрию я не встречал ни у кого. Есть ли другой такой математик, как Билл Терстон? Как человек может обладать такой способностью к постижению геометрии? У меня самого есть приличные математические способности, но я и близко не подошел к умозаключениям, какие делает он".

Терстон говорил о трехмерных множествах в четырехмерных пространствах так, как если бы он мог видеть их и манипулировать ими. Он рассуждал о том, как их можно разрезать на кусочки и что при этом произойдет. Для тополога это очень важное упражнение. Сложные объекты обыкновенно изучают, разделяя их на более простые составные части. Понимание свойств этих частей и их связей существенно для понимания более крупного объекта.

Терстон предположил, что трехмерные многообразия можно "препарировать" и получить объекты, относящиеся к одной из восьми разновидностей трехмерных многообразий. Было бы не совсем верным назвать гипотезу Терстона шагом на пути доказательства гипотезы Пуанкаре. На самом деле гипотеза Терстона более сложна, хотя и менее знаменита, и если бы ему самому удалось доказать свою гипотезу, справедливость гипотезы Пуанкаре стала бы простым ее следствием. Но Терстон не смог этого сделать.

"Я видел, что Билл [Терстон] делает успехи, — вспоминает Морган. — И когда у него ничего не вышло, я подумал — раз у него не получилось, не получится ни у кого. Как сказал как-то Джефф [Чигер], "заниматься гипотезой Пуанкаре стало слишком трудно".

Пока другие математики благоразумно избрали себе другую сферу приложения усилий, Ричард Гамильтон, профессор из Беркли, продолжал биться над гипотезой Пуанкаре, а затем над гипотезой Терстона. Эпитет, которым обычно награждали Гамильтона журналисты, — "колоритная личность". Это подразумевало, что Гамильтона интересовала не только математика, но также серфинг и женщины. Он общителен, обаятелен и, безусловно, блестящий ученый — потому что именно он открыл путь к доказательству обеих гипотез.

В начале 1980-х Гамильтон предложил подход, который казался обманчиво простым. Поверхность сферы в любой размерности обладает постоянной положительной кривизной. Это основное свойство объекта. Если кто-нибудь смог бы найти способ измерить кривизну поверхности неопознаваемого и невообразимого трехмерного шара, а после принялся бы его деформировать, все время измеряя кривизну поверхности, то пришел бы в точку, в которой кривизна постоянна и положительна. Отсюда следовало бы, что шар является трехмерной сферой. То есть что шар все это время был сферой, поскольку трансформация не изменяет топологические свойства объектов, а просто делает их более узнаваемыми.

Гамильтон открыл способ помещения метрики на шар, чтобы измерить кривизну его поверхности, и составил уравнение, описывающее, как шар и метрика будут меняться в процессе деформации. Гамильтон доказал, что в случае деформированного шара кривизна поверхности будет не уменьшаться, а, напротив, расти. Это помогло ему показать, что кривизна будет положительной. Но как убедиться в том, что так будет всегда, Гамильтон не знал.

Рассмотрим простую функцию вроде тех, которые вы изучали в школе, например \/х. Ее график будет выглядеть как плавная линия, пока не дойдет до точки, в которой х = о. Здесь начинается бедлам: делить на о нельзя: график стремится к бесконечности. Эта точка называется сингулярностью.

Процесс трансформирования метрики, описываемый уравнением, предложенным Гамильтоном, назвали потоками Риччи. Если воздействовать на воображаемую метрику невообразимого шара этим теоретическим инструментом, то могут возникнуть сингулярности.

Гамильтон предполагал, что их можно обойти. Для этого при подходе к ним функцию — поток Риччи — останавливают, вручную исправляют ошибку и возобновляют поток. Когда математики говорят, что они исправили что-то вручную, это означает, что в проблемном месте они воспользовались другой функцией. Похожее часто происходит в компьютерном программировании: в различных условиях пользуются разными функциями. Например, функция всегда равна ху если х равен или больше о, и равна -х во всех случаях, когда х меньше о. В топологии, где воображаемые участвуют в воображаемой деформации воображаемых объектов, такое вмешательство называют хирургией. Поэтому метод, предложенный Гамильтоном, называется потоками Риччи с хирургией.

Гамильтон не был первым математиком, решившим, что он знает, как доказать гипотезу Пуанкаре. И не он первым столкнулся с непреодолимыми препятствиями на пути к доказательству. Чтобы его программа, то есть план доказательства, сработала, истинными должны были оказаться несколько вещей. Во-первых, кривизна поверхности, которую стремился измерить Гамильтон, должна иметь постоянный предел. Если предположить, что это так, то истинность доказательства подтверждается. Но как узнать, что предположение верно? Во-вторых, хотя Гамильтон разработал метод потока Риччи с хирургией и показал, что этот метод эффективен в некоторых случаях, он не смог доказать, что его можно применить к любым сингулярностям. Он размышлял над их классификацией, но не мог найти универсальный способ обезвредить их или даже определить все их разновидности. Так Гамильтон стал еще одним математиком, который делал успехи, но не преуспел и которому, по выражению Моргана и Чигера, стало "слишком трудно заниматься гипотезой Пуанкаре".

Сейчас, четверть века спустя, очевидны две вещи: во-первых, в действительности у Гамильтона не было плана доказательства разом гипотезы геометризации и гипотезы Пуанкаре. Во-вторых, его личная трагедия оказалась так же велика, как и его научное достижение: Гамильтон застрял, когда ему было сорок лет, и с тех пор ничуть не продвинулся вперед.

Там, где остановился Гамильтон, начал Перельман. С этого же времени он начал исчезать: все реже посещал семинары, постепенно свел к минимуму присутственные часы в Институте им. Стеклова и в конце концов стал приходить только за зарплатой. Постепенно интенсивность его электронной переписки уменьшилась настолько, что большинство знакомых решило: Перельман — один из тех, кто, однажды прогремев, столкнулся с неразрешимой задачей, был погребен под ней и покинул математику.

Теперь мы знаем, что причина была не в этом. Григорий Перельман закончил изучать математику и желал применить свои знания. Так вышло, что желание учиться или, если быть точным, желание узнавать о математике от других связывало Перельмана с внешним миром. Теперь же полезность мира стремилась к нулю, а следовательно, требования внешней среды стали еще менее обоснованными и вызывали еще большее раздражение, чем прежде. Перельман повернулся к миру спиной, к задаче — лицом.

Мир научил Григория Перельмана заострять внимание на одной проблеме. Гамильтон, по сути, превратил гипотезу Пуанкаре в олимпиадную суперзадачу и, если так можно выразиться, сбил с нее спесь.

В мире ведущих математиков интеллектуальная элита — это люди, которые открывают новые горизонты и формулируют вопросы, на которые пока ни у кого нет ответов. Ступенью ниже стоят те, кто способен указать путь, ведущий к решению этих вопросов (часто это члены элиты, находящиеся внизу карьерной лестницы, например те, кто работает в аспирантуре над диссертацией, доказывая чужие теоремы, но не формулируя пока собственные). И наконец, есть редкие одиночки, которые доводят доказательство до конца — упорные, требовательные и терпеливые математики, которые идут до конца по пути, намеченному другими. Если применить эту классификацию к нашей истории, то Пуанкаре и Терстона следует отнести к первой группе, Гамильтона — ко второй, Перельмана — к третьей.

Так кто же такой Перельман? Человек, которому никогда не попадалась задача, которую он не мог решить. Возможно, работа над пространствами Александрова, которой он был занят в Беркли, стала исключением и Перельман в самом деле тогда застрял. Но возможно, однако, что это был единственный раз, когда он попытался сделать нечто, чтобы взойти с третьей на вторую или даже первую ступень математического Олимпа.

Третья категория сильно напоминает решение олимпиадных задач. Не только само задание было четко сформулировано, но и дополнительные условия: путь к решению, который наметил Гамильтон. Итак, это была очень, очень сложная олимпиадная задача — ее нельзя было решить за несколько часов, недель или даже месяцев. Это была задача, которую, возможно, не мог решить никто, кроме Перельмана, а Перельман как раз искал такую задачу, чтобы заставить работать свой мозг на полную мощность.

Перельману удалось доказать две основные вещи. Во-первых, он показал, что Гамильтону не нужно было предполагать, что кривизна всегда будет одинаковой: в воображаемом пространстве, в котором применяется доказательство, это и так будет всегда верно. Во-вторых, Перельман показал, что все сингулярности, которые могут возникнуть в процессе деформации, имеют одинаковую природу и могут появиться, когда кривизна начинает неуправляемо раздуваться. Поскольку все сингулярности имеют единую природу, для устранения их всех нужен один инструмент — хирургия, предложенная Гамильтоном. Более того, Перельман доказал, что некоторые сингулярности, о которых говорил Гамильтон, вообще не появятся.

В перельмановой доказательной логике есть нечто забавное, отчасти ироничное. Перельман преуспел благодаря непостижимой способности своего ума охватывать весь широчайший спектр возможностей. Он имел все основания утверждать: он знает все, что может случиться с объектом по мере его деформации. И, зная это, он смог исключить некоторые сценарии как невозможные. Рассуждая о воображаемом четырехмерном пространстве, он ссылался на то, что может и что не может произойти "в природе". По сути, Перельману в математике удавалось то, что он пытался делать в жизни: охватить все возможности, существующие в природе, и отбросить все, что выходит за рамки естественного — будь то голоса кастратов, автомобили, антисемитизм или еще какие неудобные сингулярности.