Совершенная строгость. Григорий Перельман: гений и задача тысячелетия

Глава 9. Решение

Дата: Tue, 12 Nov 2002 05:09:02 -0500 (EST) От: Григорий Перельман Кому: [несколько адресатов] Тема: Новый препринт

Уважаемый [имя]/

Позвольте обратить Ваше внимание на мою статью math.DG 02111 $9, размещенную на сайте arXiv.

Аннотация

В настоящей статье вводится величина, монотонно изменяющаяся в силу потока Риччи в любой размерности и без дополнительных предположений о кривизне. Она (эта величина) интерпретируется как энтропия некоторого канонического ансамбля. Приведены несколько геометрических приложений. Так, (1) поток Риччи на пространстве римановых метрик, рассматриваемых с точностью до диффеоморфизма и масштабирования, не имеет нетривиальных, т.е. отличных от неподвижных точек, периодических орбит;(2) в области, где сингулярности возникают за конечное время, радиус инъективности контролируется кривизной; (3) поток Риччи не может быстро преобразовывать почти евклидову область в сильно искривленную область, вне зависимости от того, что происходит на отдалении. Мы также проверяем несколько утверждений программы доказательства гипотезы геометризации Терстона для замкнутого трехмерного многообразияу предложенной Ричардом Гамильтоном. Мы даем набросок доказательства этой гипотезы, использующего предшествующие результаты о коллапсировании с локальной нижней оценкой кривизны.

С наилучшими пожеланиями Гриша.

Такое письмо получила примерно дюжина американских математиков. Я уже упоминала, что днем ранее Перельман разместил статью на сайте arXiv.org, который принадлежит библиотеке Корнельского университета и создан для быстрого обмена информацией между учеными. Этот текст был первым из трех препринтов, содержащих результаты семилетней войны Перельмана с гипотезой Пуанкаре и гипотезой геометризации.

"Я начал читать статью, — рассказал мне Майкл Андерсон. — Хотя я не специалист по потокам Риччи, мне стало понятно, что Перельман сделал большой шаг вперед, что решение гипотезы геометризации и, следовательно, гипотезы Пуанкаре у меня перед глазами". Каждый, кто получил письмо Перельмана, годами сражался с одной из этих задач. Реакция каждого из них на новости оказалась противоречивой. С одной стороны, если российскому математику в самом деле удалось доказать обе гипотезы, то это грандиозное достижение, вызывающее восторг. С другой стороны, это достижение принадлежит другому и разрушает твою надежду на успех.

Андерсон посвятил доказательству гипотезы геометризации почти десять лет и, как он сказал мне, "погряз в технических деталях. Я продолжал надеяться на какое-то озарение, на прорыв, понимая, что этого не случится. Раз это кто-нибудь сделал, хорошо, что этим человеком оказался

Гриша. Мне он нравился. На следующий день я пригласил его приехать сюда, и, к моему удивлению, еще через день он согласился".

Тем временем американские и европейские топологи начали обмениваться ворохами электронных писем. Майкл Андерсон отправил несколько посланий такого содержания:

Здравствуйте, [имя]/ Надеюсь, у Вас все в порядке.

Не знаю, заметили ли Вы, что Гриша Перельман опубликовал статью о потоках Риччи по адресу: mathDG/0211159. Вы и Ваши коллеги занимаетесь этой проблематикой и, возможно, захотите взглянуть на этот текст. Гриша — очень необычный и очень способный человек. Я встретил его около девяти лет назад. В начале 1990-х мы много говорили о потоках Риччи и гипотезе геометризации трехмерных многообразий. Вчера, как гром среди ясного неба, от него пришло электронное письмо, в котором он сообщил о публикации своего препринта.

Я знаю о потоках Риччи недостаточно, однако мне кажется, что Гриша в своей статье решил многие фундаментальные задачи, которые прежде не мог решить никто. Похоже, что он вплотную приблизился к достижению цели, поставленной Гамильтоном, то есть доказательству гипотезы геометризации Терстона. Идеи кажутся мне новыми и очень оригинальными. Это очень похоже на Гришу. Он решил несколько неординарных задач в других областях математики в начале 1990-х, а после исчез из виду. Теперь, видимо, он вернулся.

Так или иначе, я хочу известить Вас об этом, а также попросить держать меня в курсе дискуссий (слухов) по поводу работы Перельмана. Разумеется, я хотел бы знать, насколько он близок к доказательству гипотезы Терстона (это касается и моей работы). Думаю, что статья Перельмана верна — я могу предположить это, поскольку знаю Гришу. Я отправил аналогичные письма нескольким своим знакомым, работающим над потоками Риччи.

С наилучшими пожеланиями Майкл.

Тем, кто не слышал прежде о Григории Перельмане, простительно не относиться к его статье серьезно. Заявки на доказательство гипотезы Пуанкаре появлялись регулярно, но почти за сто лет эту задачу никто не решил: все, даже маститые математики, включая самого Анри Пуанкаре, ошибались. Все заявки на доказательство, появлявшиеся каждые несколько лет, рано или поздно оказывались несостоятельными. Поэтому, чтобы сразу и всерьез принять заявку Перельмана, нужно было хорошо его знать — знать о том, например, что он никогда не позволяет себе "липу", как говорили в кружке Рукшина, и о том, насколько выверены и хорошо подготовлены все его публичные действия.

Но как определить, что доказательство верно? В статье речь идет о методах и даже задачах из различных разделов математики — не только топологии. Вдобавок к этому изложение было настолько сжатым, что, прежде чем решить, верно ли решение Перельмана, нужно было сначала дешифровать его статью. Перельман не оставил подсказок, помогающих понять, что предлагал сделать и как. Он даже не заявлял, что претендует на доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации, пока его прямо об этом не спросили. Электронные письма, разосланные Андерсоном, стали началом процедуры верификации. "Этого человека следует принимать всерьез, — давал понять Андерсон. — Если он действительно сделал то, что я думаю, — сообщите мне, пожалуйста".

Андерсон отправил письма в 5.38 утра после того, как получил письмо Перельмана. Спустя несколько часов Андерсон начал получать письма от геометров, которые тоже, как выяснилось, всю ночь изучали работу Перельмана. Они также сообщили, что математики, изучающие потоки Риччи, вне себя и что никто из них не слышал прежде о Перельмане.

Ни один из топологов, с которыми Перельман был знаком в Штатах, не принадлежал к "клубу изучения потоков Риччи", образовавшемуся вокруг Ричарда Гамильтона — основного адресата письма Перельмана и его статьи. Пока геометры обменивались имейлами, Гамильтон хранил молчание. "Есть какие-нибудь соображения насчет работы Перельмана? — через несколько дней поинтересовался Андерсон у математика, изучающего потоки Риччи. — Кто-нибудь из вас — тех, кто входит в группу Гамильтона, — изучает статью? Знает ли о статье Гамильтон? Насколько близко Перельман подошел к завершению его программы?"

Андерсону сообщили, что Гамильтону известно о статье и он нашел ее весьма важной.

В самом деле, Перельману хватило меньше половины объема его первой работы для того, чтобы преодолеть препятствие, которое двадцать лет мешало Гамильтону двигаться вперед. Неудивительно, что американец теперь молчал. Можно только догадываться, что он чувствовал: с мечтой его жизни разделался какой-то выскочка с нечесаными волосами и ужасными ногтями! Впрочем, его чувства легко себе представить, если понимать, что человеком движут скорее амбиции, дух соревнования, честолюбие, нежели интересы математики. Гриша Перельман этого не понимал.

Один из самых любопытных аспектов этой истории — количество математиков, забросивших собственную работу ради проверки и интерпретации препринтов Григория Перельмана.

В ноябре 2002 года Брюс Кляйнер находился в Европе. Перед самым началом его лекции в Университете Бонна профессор Урсула Гаменштедт, оказавшаяся в аудитории, спросила: "А вы, кстати, видели только что опубликованный препринт Перельмана о доказательстве гипотезы Пуанкаре?" Она, вероятно, высказалась осторожнее, но Брюс Кляйнер запомнил именно так: он точно знал, что Перельмана следует воспринимать всерьез.

"Никто из людей, читавших его работы или слушавших его лекции, не считал, что он способен на непродуманные заявления и гипотезы, которые оказываются несостоятельными, — рассказал мне Кляйнер. — Он опубликовал нечто на открытом сайте arXiv. Если он не слишком изменился с начала 1990-х, велика вероятность, что в его работе что-то есть или даже что он решил задачу полностью".

Жизнь Кляйнера круто изменилась. Как и Андерсон, он потратил годы на доказательство гипотезы геометризации (он использовал совершенно другой подход, нежели Перельман). В отличие от Андерсона, он не ожидал, что его поиски окажутся плодотворными. Кляйнер знал, что это был "рискованный проект" — знаменитая гипотеза, с которой кто-нибудь мог разделаться быстрее, но он не ожидал услышать, прямо перед собственной лекцией, о том, что его поиски подошли к концу. Следующие полтора года Кляйнер будет занят проектом "Перельман".

Сам Григорий Перельман между тем готовился к поездке в США. Он получил приглашение от Андерсона посетить Стоуни-Брук, а от Тяня — приехать в Массачусетский технологический институт и решил провести по две недели у обоих. Андерсону он сообщил, что не может приехать надолго, поскольку не может оставить свою мать одну больше чем на месяц. План позднее переменился (Перельман взял мать с собой), но срок поездки остался прежним.

Казалось, Григорий Перельман вернулся в мир. Он самостоятельно получил американскую визу для себя и своей матери (это непростая задача даже для людей, закаленных в борьбе с бюрократами) и купил билеты. Последние семь лет он прожил, пусть скромно, на деньги, сэкономленные во время американской стажировки (Перельман даже упомянул об этом в сноске в первом препринте, неукоснительно следуя правилу отдавать долги). Он обсуждал с Андерсоном и Тянем детали путешествия, в том числе вопрос о медицинской страховке, которой он явно придавал большое значение.

Возвращение Перельмана в мир, кажется, не повредило работе над доказательством. Он опубликовал второй из трех своих препринтов (22 страницы — то есть на восемь меньше, чем в первый раз) на сайте arXiv 10 марта 2003 года, когда добивался американской въездной визы. Перельман сформулировал в уме доказательство настолько четко, что заботы, серьезные и не очень, не помешали ему посвятить пару недель сочинению этих сжатых текстов (той весной он сказал Джеффу Чигеру, что подготовка первой статьи заняла у него три недели — меньше, чем потребовалось Чигеру для того, чтобы прочитать и разобраться в ней).

Перельман приехал в Массачусетский технологический институт в начале апреля 2003 года. Тяню показалось, что он почти не изменился — такой же худощавый, с длинными волосами и ногтями на руках, только без коричневого вельветового пиджака. Тех же, кто увидел Перельмана впервые, его облик поразил. Тем не менее он полностью соответствовал представлению о чудачествах математиков. Зал был переполнен. Некоторые из пришедших читали первую статью Перельмана и приготовили свои замечания, в том числе во время семинара, организованного Тянем. Большинство, однако, составляли люди, пришедшие просто увидеть человека, который, возможно, совершил прорыв века. Эти математики могли следить за ходом мысли лектора, но не могли задать ему после лекции осмысленные вопросы, что делало этих людей для Перельмана по меньшей мере неинтересными или даже вредными. Он запретил вести видеосъемку и дал понять слушателям, что желал бы вовсе избежать внимания СМИ. Нескольким журналистам все же удалось попасть в аудиторию.

Почти невероятно, но те, кто пришел на лекцию, чтобы увидеть математическое представление, получили свое. Нынешнее выступление Перельмана резко отличалась от его доклада на Международном конгрессе 1994 года: оно было четким, доходчивым, временами даже игривым.

Его отношения с гипотезой Пуанкаре переживали расцвет. Если бы гипотеза Пуанкаре была женщиной, то именно теперь он был готов жениться на ней: он ясно видел историю их отношений и у него не было сомнений насчет совместного будущего.

В течение двух недель после этой лекции Григорий Перельман почти ежедневно выступал перед меньшей аудиторией и мог потратить несколько часов, отвечая на вопросы (почти исключительно о гипотезе геометризации). Перельман завел обычай утром, по пути на лекцию, останавливаться у кабинета Тяня и беседовать с ним — в основном о математике. Вероятно, он искал новую задачу. Перельман расспрашивал Тяня о работе и даже высказал несколько идей, имеющих отношение скорее к специализации Тяня, чем к геометризации. Тянь, в отличие от Андерсона или Моргана, которые регулярно предпринимали попытки разговорить Перельмана, редко выходил за рамки обсуждения конкретных математических проблем. "Он был сосредоточенным и очень целеустремленным, — рассказал мне позднее Тянь. — Он способен игнорировать многое из того, чему люди придают значение, и сосредоточиться на математике. Я уважаю это".

Перельман при этом выглядел умиротворенным и даже дружелюбным. Поэтому однажды утром Тянь в разговоре упомянул о возможности для Перельмана остаться в Массачусетсом технологическом институте (университет был заинтересован в этом). Накануне вечером несколько коллег Тяня навестили Перельмана и попытались убедить российского математика в том, что Массачусетский технологический институт может предоставить ему условия для более продуктивной работы. Когда на следующий день Тянь спросил Перельмана, что тот думает об этом предложении, Перельман произнес нечто такое, что вежливый и тихий Тянь не решился мне повторить.

Проблема заключалась не только в том, что Перельман в этот раз не намерен был оставаться в США. Ему казалась оскорбительной мысль о том, что его наградой за успех может стать теплое местечко в каком-нибудь университете. Еще восемь лет назад Перельман ждал, что ему предложат профессорский пост. Его ум был тем же, что сейчас. Он заслуживал не меньшего. Но тогда они заставляли его доказывать, что он способен преподавать математику, а сейчас вели себя так, будто он наконец доказал это. На самом же деле Перельман доказал гипотезу Пуанкаре и другой награды не желал.

Тянь и Перельман вернулись к цивилизованным дискуссиям о топологических множествах, метриках и расчетах. Гнев Перельмана еще только однажды прорвался в этих разговорах. Первый "инцидент", как это называет Тянь, произошел 11 апреля, в конце пребывания Перельмана в Массачусетском технологическом институте. "Нью-Йорк тайме" тогда напечатала статью "Россиянин сообщил, что он решил знаменитую математическую задачу".

Почти каждое слово в этом заголовке было оскорбительным для Перельмана. Он никому ни о чем не "сообщал"; напротив, он признавался в том, что решил задачу, только если его об этом прямо спрашивали. Называть гипотезу Пуанкаре "знаменитой" на страницах газеты, которая издается миллионным тиражом, было, по убеждению Перельмана, чрезвычайно вульгарно.

Дело не ограничивалось одним заголовком. Четвертый абзац статьи, например, гласил, что "если доказательство будет принято к публикации в рецензируемом научном журнале и выдержит двухгодичную проверку, то д-р Перельман получит право на премию в размере миллиона долларов". Таким образом, из текста следовало, что Григорий Перельман занялся гипотезой Пуанкаре только затем, чтобы заработать миллион, и что он в принципе будет не против получить эти деньги, а также что он намерен опубликовать статью в рецензируемом журнале.

Все это было ложью. Григорий Перельман начал работать над гипотезой Пуанкаре задолго до учреждения "Премии тысячелетия". Хотя он пользовался деньгами и до некоторой степени ценил их, он не чувствовал нужды в них и уж точно не гонялся за ними. Кроме того, его решение выложить препринт на сайте arXiv было сознательным вызовом солидным журналам, распространяемым по платной подписке. И теперь, когда Перельман решил одну из сложнейших задач, он не собирался никого просить подготовить эти результаты к публикации.

Перед поездкой в Штаты Перельман дал понять всем, кто интересовался (например, Майклу Андерсону), что не ищет известности вне круга математиков. Перельман не говорил, что ему никогда не будет нужна известность — только что еще не пришло время. И, будучи строгим с журналистами, он спокойно относился к распространению своих работ и лекций среди коллег. Он бывал очень доволен, если организаторы его лекций пользовались своими списками рассылки. Он полностью доверял маститым математикам, так же инстинктивно не веря журналистам. Статья в "Нью-Йорк тайме" не только усилила его неприязнь по отношению к прессе (репортер интерпретировал факты и мотивы именно так, как Перельман боялся больше всего), но и подорвала доверие к коллегам.

Одним из двух процитированных в статье источников был математик Томас Мровка, который посещал семинары Тяня и Перельмана. Мровка не был досужим наблюдателем и все же произнес фразу, которой журналисты очень обрадовались и от которой Перельмана скорее всего передернуло: "Он или сделал это [доказал гипотезу], или добился значительного прогресса, и мы извлечем из этого урок".

В день, когда Перельман покидал Массачусетский технологический институт, он с Тянем отправился на прогулку в бостонский исторический район Бэк-Бэй. Там они пообедали. Перельман упомянул о вероятности своего возвращения в Штаты. Он рассказал, что получил предложения работы от Стэнфордского университета, Калифорнийского в Беркли, а также от Массачусетского технологического института (теперь, само собой разумеется, любой университет США принял бы любые его условия).

После обеда двое математиков прогулялись вдоль Чарльзривер. Умиротворенное состояние Перельмана — Бостон в это время года восхитителен — вдруг уступило место тревоге. Он признался Тяню, что его отношения с Юрием Бураго и вообще с российским математическим истеблишментом испортились. Тянь не стал раскрывать подробностей этой истории, сказав только, что вряд ли его друг оказался прав в той ситуации. Правда, о разрыве Перельмана с Бураго в Петербурге говорили столько, что восстановить картину происшествия оказалось достаточно легко.

Конфликт произошел из-за одного из сотрудников лаборатории Бураго. То, как этот человек цитировал чужие работы, по мнению Перельмана, было почти плагиатом. Этот ученый, следуя распространенной практике, отмечал позднейшее упоминание о предмете и не указывал предыдущие. Перельман потребовал, чтобы излишне толерантный Бураго подверг этого ученого едва ли не публичной порке. Отказ Бураго сделал его в глазах Перельмана сообщником преступления. Перельман кричал на своего наставника так громко, что об инциденте мгновенно узнали многие их коллеги.

Покинувший Бураго Григорий Перельман нашел пристанище в другой институтской лаборатории — у замечательного математика Ольги Ладыженской. Она была достаточно взрослой, достаточно мудрой и достаточно женщиной для того, чтобы принять Перельмана таким, каков он есть. Остальные (включая Бураго и Громова, который считал Перельмана почти безупречным) склонны были простить его, но они не видели в его нападках на практику цитирования ничего, кроме взбалмошности (в лучшем случае) и мелочности (в худшем).

Закончив читать лекции в Массачусетском технологическом институте, Перельман отправился в Нью-Йорк. Его мать снова остановилась у родственников, а сам он поехал в Стоуни- Брук вечерним поездом в воскресенье. Андерсон встретил его на станции и отвез в университетское общежитие — Перельман требовал, чтобы его разместили "как можно скромнее".

Первая лекция должна была состояться на следующее утро. Расписание следующих двух недель выглядело так: по утрам — лекции, после обеда — семинары. Тем, кто приходил послушать Перельмана, лекции и семинары казались настоящим чудом. Перед ними был человек, о котором некоторые ничего не слышали, некоторые считали, что после победы над гипотезой Пуанкаре он скрывается. Он демонстрировал фантастическую ясность ума на лекциях и невероятное терпение во время дискуссий.

Это соответствовало представлению Перельмана о том, как следует заниматься математикой, — так его учили. Он шел на лекцию, чтобы исполнить свое предназначение, и это объясняет и ясность его речи, и его терпение. Но за стенами университета в Стоуни-Брук все шло не так, как он предполагал.

В день его приезда "Нью-Йорк тайме" опубликовала еще одну статью о доказательстве гипотезы Пуанкаре. Газета ошибочно утверждала, что Перельман заявляет о доказательстве им гипотезы и связывает свой успех с миллионным призом.

Далее шла цитата — единственная — Майкла Фридмана, получившего медаль Филдса за доказательство гипотезы Пуанкаре для размерности 4 и теперь работавшего в корпорации "Майкрософт". Он назвал достижение Перельмана вызывающим "тихую грусть" у топологов: по его словам, российский математик сделал эту отрасль неинтересной для молодых исследователей.

Это был серьезный удар, сравнимый со ссорой Перельмана с Бураго. Аудитория Перельмана, и без того небольшая, сократилась до нескольких человек, которые были в состоянии понять его доказательство. Как-то он сказал Тяню, что людям для этого потребуется полтора-два года. Но Фридман-то должен был сразу оценить стройность и правильность решения Перельмана! То, что Фридман счел победу Перельмана грозящей регрессом их совместной области работы да еще сделал это в интервью газете, читатели которой никогда не поймут ни задачи, ни ее решения, больно задело Перельмана. Еще более его огорчила иррациональность реакции Фридмана.

Если кто и мог авторитетно высказаться о работе Перельмана (в частности, о первом препринте), то это был Гамильтон: российский математик следовал намеченной американцем программе. Один из самых странных и трагических аспектов этой истории заключался в том, что орбиты Перельмана и Гамильтона не пересеклись. Перельман не принадлежал к "клубу изучения потоков Риччи", который образовался вокруг Гамильтона за два десятилетия, в течение которых он старался заставить форму вести себя в соответствии с гипотезой. Перельман сделал две попытки установить контакт с Гамильтоном — в первый раз он обратился к нему после его лекции, затем, уже из Петербурга, отправил Гамильтону письмо.

В обоих случаях Перельман просил пояснить то, что Гамильтон уже напечатал или о чем публично рассказал. Во второй раз Гамильтон не ответил на письмо. Перельман мог бы это понять, если бы применял к поведению других людей те же стандарты, что и к собственному. Действительно, Гамильтон, необычайно общительный для математика, по каким-то своим соображениям — вероятно, совершенно иным, чем у Перельмана, — порой уклонялся от общения и с большой задержкой отвечал на письма и звонки. Но, вместо того чтобы проявить понимание, Перельман огорчился. Он привык к тому, что его просьбы, как правило, выполняются.

Теперь Гамильтон хранил молчание. То, что он не посещал лекции Перельмана в Массачусетском технологическом институте, вызывало разочарование, но было объяснимо. Но когда Перельман перебрался в Стоуни-Брук, находящийся всего в полутора часах езды от Нью-Йорка (Гамильтон преподавал в Колумбийском университете), молчание американца стало вызывающим. Другие нью-йоркские математики сумели приехать. Один из них, Джон Морган, попросил Перельмана прочитать в выходные лекцию в Колумбийском университете. Перельман ответил согласием. После этого он согласился выступить еще с одной лекцией в тот же уикэнд — в Принстоне.

В пятницу 25 апреля Перельман выступил в Принстонском университете. Руководство университета снова предложило ему работу, и Перельман отказался. В субботу он прочитал лекцию в Колумбийском университете. Гамильтон пришел, а после обеда остался послушать дискуссию. В аудитории были только Перельман, Морган, Громов (он работал тогда в Курантовском институте) и Гамильтон. "Все ждали, что Ричард [Гамильтон] скажет, что он об этом думает, — вспоминал Морган. — Это ведь его теория, его идея. Это был удобный повод. Он должен был дать свою оценку".

Сделал ли это Гамильтон? Трудно сказать. "Ричард с самого начала собирался подтвердить (и подтвердил), что то, что было в первой статье [Перельмана], было верно и являлось большим шагом вперед", — Морган выбирает слова, стараясь не задеть коллегу.

В первом препринте речь шла только о потоках Риччи — открытии, которое, бесспорно, сделал Гамильтон. Во втором препринте говорилось о потоках Риччи с хирургией. Этот метод также предложил Гамильтон. Однако Перельман соединил метод Гамильтона с пространствами Александрова и привлек результаты своей совместной работы с Громовым и Бураго. Гамильтон не был специалистом по пространствам Александрова, поэтому ко второму препринту, вероятно, отнесся с недоверием (и, может быть, надеждой, что Перельман ошибся).

"Мне кажется, он подумал: "А вдруг там ошибка? Тогда, стало быть, появляется место для моего маневра". Поэтому он, вероятно, решил выждать, посмотреть, что будет", — предположил Морган. Если бы оказалось, что Перельман ошибся во втором препринте, то кто-нибудь — рассуждая логически, в первую очередь сам Гамильтон — мог бы воспользоваться достижениями Перельмана, содержащимися в первой его статье. Но это, разумеется, только гипотеза: когда Гамильтон говорил о работе Перельмана публично, он всегда делал это очень изящно — просто не так часто, как другие (в том числе Перельман) от него ждали.

В тот день в Колумбийском университете, по словам Моргана, "все прошло пристойно, хотя и без восторгов. Явной напряженности не было. Гриша не собирался никого атаковать. Со стороны это выглядело как обычная встреча математиков, обычный обмен идеями. Иными словами, что бы Ричард тогда ни чувствовал, в разговоре он своих чувств не выразил".

Морган пригласил Перельмана к себе домой на бранч следующим утром. "Он спросил, кто там будет. Я ответил — моя жена, дочь, сказал, что могу пригласить еще пару человек. Он сказал: "Ну нет". Думаю, что на математическое собрание он бы согласился прийти. А в социальных контактах он совершенно не был заинтересован".

В тот день Перельман гулял с Громовым по Нью-Йорку. Они обсуждали гипотезу Пуанкаре и конфликт с Бураго. Затем Перельман отправился на Брайтон-Бич (там жили родственники, у которых остановилась мать), чтобы следующим вечером вернуться в Стоуни-Брук и снова приступить к чтению лекций и дискуссиям.

Перельман вернулся в Стоуни-Брук обескураженным. Он заявил Андерсону, что разочарован уровнем беседы с Гамильтоном: кажется, автор метода потоков Риччи не нашел времени для того, чтобы тщательно изучить доказательство Перельмана. Причин этому было несколько. Гамильтону было не только трудно воспринять логику Перельмана, но еще и тяжело смириться с видом пролома в стене, о которую он бился головой двадцать лет. Перельман же, как и двадцать лет назад, был беспредельно терпелив, объясняя решение всем, кому оно было интересно. И так же, как тогда, он не мог себе вообразить, что у кого-либо возникнут сложности с тем, что казалось ему самому ясным и почти самоочевидным.

Перельмана раздражали настойчивые попытки руководства Принстона заполучить его. Кто-то из университета позвонил Андерсону после лекции Перельмана и попросил помочь его "завербовать". По требованию Перельмана Андерсон помогать отказался, но из Принстона все равно прислали официальное приглашение. Письмо расстроило Перельмана. "Они очень назойливы", — пожаловался он Андерсону. Одно из правил Перельмана гласило: "Никто не должен ни на кого давить". Принстонский университет, в котором Перельмана однажды оскорбили, попытавшись заставить его просить места, снова оскорбил его.

Андерсон, вдобавок к своему искреннему восхищению Перельманом, кажется, остро чувствовал, где начинается его личное пространство, и старался не задеть его чувств. Но цель Андерсона была та же, что у многих его американских коллег: он хотел оставить Перельмана в своем университете и вывести его в свет.

Андерсон долго убеждал Перельмана прийти на ужин, и тот неожиданно согласился. Он устроил в своем доме вечеринку для Перельмана. Вечеринка вышла не слишком удачной: Андерсон и его друг Чигер начали громко спорить об американском вторжении в Ирак (Чигер одобрил его, Андерсон — нет), и Андерсон очень разозлился. Перельман же, по его словам, просто слушал: "Кажется, у него не было мнения на этот счет". Андерсон ошибся: Перельман твердо держался мнения, что споры о политике ниже достоинства математика.

Андерсон устроил Перельману встречу с Джимом Саймонсом. Этот неординарный человек руководил математическим факультетом в Стоуни-Брук и превратил его в один из лучших в США, а после стал управляющим хедж-фондом. Эта перемена принесла Саймонсу большие деньги, которые он щедро тратит на благотворительность и университет в Стоуни-Брук. "Саймоне дал понять, что хочет пригласить Гришу сюда на любых условиях, с любым жалованьем, даже на один месяц в году, — рассказал Андерсон. — У Саймонса было достаточно денег и влияния для этого. Гриша ответил: "Спасибо, это очень любезно, но я не хочу обсуждать это сейчас. Я должен вернуться в Петербург, чтобы учить старшеклассников". Он получил это предложение осенью 2003 года".

Ответ Перельмана был вполне понятен только Перельману. Мне на ум приходит популярный российский анекдот об актере, которому предложили большую роль в Голливуде и который от предложения отказался, узнав, что съемки начнутся в конце декабря: — Нет, не поеду — у меня елки...

Отговорка Перельмана звучит и абсурдно и трогательно. Но это только отговорка. Насколько я знаю, единственное предложение, которое Перельман получил осенью 2003 года, было участие в однодневном математическом соревновании в физико-математической школе в Петербурге. Перельман согласился, но это обязательство ничуть не мешало ему принять предложение любого американского университета.

Настоящая причина была другой. Григорию Перельману предельно не нравилась мысль, что он может стать чьим-либо трофеем.

Перельман вернулся в Россию в конце апреля. 17 июля он опубликовал третий, и последний препринт, посвященный доказательству гипотезы Пуанкаре, — в этот раз всего семь страниц. Дискуссия продолжалась уже без него.

В июне Кляйнер вместе с Джоном Лоттом, его коллегой из Мичиганского университета, создал веб-сайт, на котором они начали публиковать свои записи, касающиеся первого препринта Перельмана. К концу года Американский математический институт (город Пало-Альто, Калифорния) и Исследовательский институт математических наук в Беркли провели совместный семинар, посвященный первому препринту. Кляйнер, Лотт, Тянь и Морган стали наиболее активными его участниками.

Летом 2004 года эти четверо ученых организовали еще один семинар — в Принстоне. Спонсором выступил Институт Клэя, который, будучи распорядителем миллионной премии, решил поставить на Перельмана. Тем временем у четырех математиков, глубже других изучивших его работы, не осталось больше сомнений в правильности доказательства. В нем обнаружились несколько ошибок, в изложении были некоторые пробелы, но ничто из этого не мешало заявить: Перельман доказал гипотезу Пуанкаре и, возможно, гипотезу геометризации (по второму вопросу ученые достигли консенсуса чуть позднее). Как и предсказывал Перельман, на то, чтобы разобраться в его доказательстве, у ученых ушло полтора года.

После летнего семинара 2004 года Тянь и Морган решили написать книгу о доказательстве Перельмана, которую обещал напечатать Институт Клэя, спонсировавший также работу Кляйнера и Лотта. Институт, кроме этого, организовал в 2005 году месячную летнюю школу по изучению доказательства. Проверка препринтов Перельмана начала превращаться в своего рода индустрию. Многие математики, посвятившие много времени доказательству двух гипотез, лишились надежды на собственный успех и теперь стремились получить немножко выгоды от крупнейшего математического достижения своего времени.

Если бы Перельман избрал более традиционный путь, то есть написал обычную статью (или несколько статей) и отправил в математический журнал, его работа вряд ли подверглась бы такому жесткому разбору. Редакция журнала отправила бы текст (или тексты) на рецензию коллегам Перельмана. Круг топологов настолько узок, что среди рецензентов могли оказаться те же, кто разбирал препринты сейчас. Разница заключается в том, что рецензенты изучают присланные работы приватно, а не в условиях семинара или летней школы и оформляют свои впечатления от прочитанного в письме редактору журнала, а не публикуют в интернете, где их мнение становится известным всем.

В процесс проверки, последовавший за интернет-публикацией Перельмана, в высококонцентрированной форме, вероятно, было вовлечено столько же людей, сколько было бы задействовано в подготовке традиционной статьи в математическом журнале. Однако процесс, запущенный Перельманом, оказался гораздо более публичным и взаимным, к тому же куда более оперативным: Перельману не потребовалось ждать месяцы или даже годы. Перельман не был идеологическим противником заведенного порядка публикации научных работ. Он просто не видел в нем никакого смысла и не принимал его во внимание.

Но какая роль вне общепринятой практики отводилась таким людям, как Кляйнер, Лотт, Тянь или Морган, которые не только поняли сами, но и объяснили другим суть доказательства Перельмана? В определенном смысле их можно назвать его соавторами. Перельман и сам прежде оказывался в подобной ситуации. Когда я попросила Громова рассказать, как он работал в соавторстве с Перельманом над одной из статей, он рассказал:

Ну работа и работа. Я по-настоящему с ним не пересекался. Я поговорил с Юрой Бураго, потом Бураго поговорил с Перельманом, Потом, по-видимому, Перельман сел и написал.

Вы не просматривали рукопись? — не поверила я.

Нет. Я знал, что там написано.

Но разве не было риска, что один из вас ошибся?

Конечно был. Риск всегда есть. Так случается, когда кто- то делает одну часть работы, еще кто-то — другую и эти части не сходятся. Весьма известные математики писали такие неправильные совместные работы.

Но разве это не причина прочитать рукопись?

Конечно нет. Совершенно неинтересно читать сделанную работу. Сделал — и забыл.

Перельман думал так же. Когда он читал лекции в Стоуни-Брук, Кляйнер и Лотт обнаружили, что он находится в хорошем расположении духа и охотно говорит о своей работе, как делал бы любой другой математик. Но когда в конце визита Перельмана Кляйнер и Лотт спросили, хочет ли он взглянуть на их записи, когда они будут готовы, Перельман отказался. "Ему понадобилось бы полчаса, чтобы просмотреть рукопись и, может быть, сделать несколько замечаний, — вспоминал Кляйнер, который даже пять лет спустя кажется сбитым с толку реакцией Перельмана. — Вполне обычная вещь, другой был бы к этому готов. Но, знаете, Гриша необычный человек". Как вспоминает Кляйнер, Перельман объяснил им, что если он согласится просмотреть записи, то это сделает его в какой-то мере ответственным за их работу.

Это отличный пример гипертрофированного чувства личной ответственности Перельмана и одновременно солипсистского взгляда на важность любой математической задачи. Во вселенной, в центре которой стоял Перельман, гипотеза

Пуанкаре была доказана и, превратившись в теорему, уже осталась в прошлом. Как сказал мне Громов: сделал работу — и забыл. Перельман понимал, что через несколько месяцев, когда Кляйнер и Лотт закончат проверку, ему будет уже неинтересно говорить об этом.

Кляйнер и Лотт продолжили работу над текстами Перельмана самостоятельно. Это было непросто. Однажды Кляйнер решил, что они столкнулись с серьезной, может быть — даже роковой для всего решения, ошибкой. Однако Лотт разубедил его. Они убедились в том, что Перельман остался верен себе и изложил в своих очень плотных текстах не одно только свое решение, а целую историю решения. Когда иссследование Кляйнера и Лотта подходило к концу, они поняли, что некоторые части статьи были совершенно самостоятельными и не имели отношения к доказательству.

В сентябре 2004 года, после семинара, организованного Институтом Клэя, Тянь отправил Перельману электронное письмо о том, что "теперь мы понимаем доказательство", и напомнил, что со времени их прогулки вдоль Чарльз-ривер прошло как раз полтора года. Тянь поинтересовался также, собирается ли Перельман опубликовать вслед за препринтом полноценную статью (Тянь и Морган тогда подумывали о публикации книги о доказательстве).

Перельман не ответил. "Он, вероятно, считал, что публикации препринтов на сайте arXiv достаточно, — предположил в беседе со мной Тянь. — Или ему тогда уже было некомфортно со мной. Как правило, я стараюсь избегать встреч с журналистами: во-первых, мне не нравится с ними говорить, во-вторых, это отнимает время". Но весной 2004 года Тянь по просьбе друга нарушил молчание и встретился с репортером-фрилансером, сочинявшим статью для журнала "Сайенс". И теперь Тянь подозревал, что Перельман узнал о его проступке и потому не отвечал. Больше похоже на правду, что Перельману просто нечего было сказать. Он не планировал печатать ничего, кроме уже опубликованных препринтов, а его предположение о правильности доказательства подтвердилось — к чему лишние разговоры?

Моргану повезло с Перельманом больше. Работавший в паре с Тянем Морган задал российскому математику несколько вопросов, касающихся математики, и был поражен точностью его ответов. "Я задавал вопрос и почти сразу же получал ответ, который мне был нужен, — рассказал мне Морган. — Обычно математики общаются так: вы спрашиваете о чем-либо; собеседник или не вполне вас понимает, или же вам его ответы кажутся двусмыслеными, так как его подход отличен от вашего, и вы не получаете то, что ждете. Тогда вы формулируете вопрос иначе, уточняете его. Вот тогда, может быть, вы получите такой ответ, на который рассчитываете. В случае с Перельманом все было не так. Я задавал вопрос; он, казалось, знал, что именно меня волновало, чего я не понимал, что мне было нужно для прояснения ситуации".

Приободренный Морган попробовал расширить рамки взаимодействия. У него было несколько злободневных вопросов к Перельману. Во-первых, он хотел увидеть препринты напечатанными — для истории, например. Морган намекнул российскому математику, что готов подготовить их к печати и опубликовать в журнале, в котором служил соредактором. Во- вторых, он хотел пригласить Перельмана в Колумбийский университет: "Не хотели бы вы приехать сюда на неделю, на месяц, на семестр, на год или на всю оставшуюся жизнь?" Морган искусно вставлял подобные вопросы между математическими. И получал ответы наподобие: "Это ответ на ваш первый вопрос. Вот ответ на второй. На остальные ваши вопросы у меня нет ответов". То есть Перельман хотя бы реагировал на них, а это больше, чем могли от него добиться другие.

А потом математические вопросы у Моргана иссякли. В 2006 году он и Тянь закончили работу над книгой и отправили рукопись Перельману. Посылка вернулась с отметкой: "Адресат от получения отказался".