Стратегические игры

1

Все материалы на сайте представлены на английском языке. Прим. ред.

2

Крис Эверт выиграла свой первый титул на Открытом чемпионате США по теннису в 1975 году. Навратилова выиграла свой первый титул чемпиона во время финального матча Открытого чемпионата США по теннису 1983 года.

3

В американских вузах оценка конкретного студента определяется относительно среднего количества баллов, набранных всеми студентами группы. Прим. ред.

4

Существуют разногласия по поводу того, как правильно называть эту дилемму — «дилемма заключенного» или «дилемма заключенных». Мы используем множественное число («дилемма заключенных»), учитывая тот факт, что эта дилемма существует только в случае, если в ситуации задействованы как минимум двое заключенных.

5

Этот пример взят из статьи Марка Грюнвальда «Игра в труса», опубликованной в его колонке At Home в Boston Globe Magazine: Michael Grunwald, “At Home” column, “A Game of Chicken,” Boston Globe Magazine, April 28, 1996.

6

Правительство США впервые ввело в действие национальную систему регулирования арендной платы во время Второй мировой войны. После ее окончания Нью-Йорк долгое время был единственным городом, в котором она сохранилась. Сегодня такой подход используется во многих городах. Прим. ред.

7

Цитата приводится в книге Виктора Нидерхоффера «Практика биржевых спекуляций» (Victor Niederhoffer, The Education of a Speculator [New York: Wiley, 1997], p. 169.) Мы благодарим Остина Джаффа за то, что он обратил наше внимание на этот афоризм.

8

Пикетт Дж. (1825–1875) — один из трех генералов Конфедерации, возглавлявших фатальную битву при Геттисберге 3 июля 1863 года. Поражение конфедератов в этом сражении изменило ход гражданской войны в США. Прим. ред.

9

James M. McPherson, American Victory, American Defeat, in Why the Confederacy Lost, ed. Gabor S. Boritt (New York: Oxford University Press, 1993), p. 19.

10

В американском футболе квотербек — лидер команды нападения, который определяет построение команды на поле и разыгрываемую комбинацию. Прим. ред.

11

В русской научной традиции теории игр игры с последовательными шагами принято называть последовательными играми, а игры с одновременными ходами — параллельными играми. Прим. ред.

12

Вследствие этого игры с нулевой суммой, когда выигрыш одного игрока в точности равен проигрышу другого, называют антагонистическими играми. Прим. ред.

13

Слипстрим — езда или бег непосредственно за другим участником соревнований, в завихрённой зоне. Сопротивление воздуха уменьшается как для едущего/бегущего сзади, так и (в меньшей степени) для едущего спереди. Прим. ред.

14

Молодые, успешные в бизнесе, состоятельные люди. Понятие возникло в США в 1980-е как противоположное хиппи. Прим. ред.

15

Вообще то, что здесь названо совершенной информацией, обычно называют полной информацией. А совершенная информация предполагает отсутствие стратегической неопределенности и возможное присутствие внешней неопределенности. Прим. ред.

16

Более подробную информацию о методах, использованных Рокфеллером для восхождения к власти, можно найти в книге Рона Черноу «Титан». Ron Chernow, Titan (New York: Random House, 1998).

17

Кооперативные игры иногда называют коалиционными играми. Прим. ред.

18

Примечание для студентов: решения этих упражнений можно найти на сайте http://books.wwnorton.com/studyspace/disciplines/economics.aspx?DiscId=6, бесплатный доступ к которому предоставляется всем желающим.

19

Символом S обозначаются упражнения с решениями (англ. solved exercises). Прим. ред.

20

Символом U обозначаются упражнения без решений (англ. unsolved exercises). Прим. ред.

21

На рис. 3.5 показаны варианты обозначения отсекаемых ветвей, а не отсечения игры «курение». Прим. ред.

22

В следующих главах мы внесем изменения в правила этой игры (в частности, в порядок ходов и выигрышей) и проанализируем, как они скажутся на ее исходе.

23

Как было сказано в разделе 1, в играх с последовательными ходами обычно принято перечислять выигрыши в том порядке, в котором игроки делают ходы, однако при наличии неоднозначности или просто для ясности лучше задавать порядок перечисления выигрышей в явной форме.

24

Если первый игрок ставит первый символ на центральную позицию, второй игрок должен поставить первый символ на угловую позицию. Далее второй игрок может обеспечить ничью, заняв третью позицию в любом ряду, столбце или диагонали, которую пытается заполнить первый игрок. Если первый игрок сначала ставит символ на угловую или боковую позицию, то второй игрок может гарантировать ничью, сперва поставив свой символ в центр, а затем придерживаясь того же метода блокирования. Обратите внимание, что если первый игрок выбирает угловую позицию, второй игрок — центральную позицию, а затем первый игрок выбирает угол, противоположный первоначальному ходу, то второй игрок не должен выбирать оставшиеся углы, чтобы обеспечить хотя бы ничью. Подробное описание такой исчерпывающей условной стратегии в игре крестики-нолики можно найти в онлайн-комиксе на странице http://xkcd.com/832/.

25

Описание правил игры в шахматы и много другой информации о шахматах можно найти в «Википедии».

26

Белые могут сделать ход любой из восьми пешек либо на одну, либо на две клетки вперед или одним из двух коней (на клетки a3, c3, f3 или h3).

27

Это можно было бы сделать только один раз, поскольку как только игра была бы решена, любой желающий мог бы воспользоваться этим решением и никому не было бы необходимости играть на самом деле. В таком случае все знали бы, выиграют ли белые или смогут ли черные добиться ничьей. Игроки бросили бы монету, чтобы решить, кто играет белыми, а кто черными. После этого игрокам был бы известен исход игры, поэтому они пожали бы друг другу руки и разошлись по домам.

28

Наш рассказ основан на следующих статьях, опубликованных в журнале Science: Adrian Cho, Program Proves That Checkers, Perfectly Played, Is a No-Win Situation, Science, vol. 317 (July 20, 2007), pp. 308–309; Jonathan Schaeffer et al., Checkers Is Solved, Science, vol. 317 (September 14, 2007), pp. 1518–22.

29

Дэвид Рейли впервые столкнулся с этой игрой, учась в магистратуре. Он был поражен тем, что, когда предложил другому студенту магистратуры, изучавшему экономику, разделить 100 долларов в соотношении 90:10, тот отказался. Подробное описание этой игры и других игр подобного рода можно найти здесь: Richard H. Thaler, Anomalies: The Ultimate Game, Journal of Economic Perspectives, vol. 2, no. 4 (Fall 1988), pp. 195–206; Douglas D. Davis and Charles A. Holt, Experimental Economics (Princeton: Princeton University Press, 1993), pp. 263–69.

30

Отчет о результатах индонезийских экспериментов можно найти здесь: Lisa Cameron, Raising the Stakes in the Ultimatum Game: Experimental Evidence from Indonesia, Economic Inquiry, vol. 37, no. 1 (January 1999), pp. 47–59. Роберт Слоним и Элвин Рот опубликовали выводы, аналогичные выводам Кэмерон, но также они обнаружили, что по мере увеличения выигрышей игроки реже отклоняют предложения (во всех раундах игры). См. Robert Slonim and Alvin Roth, Learning in High Stakes Ultimatum Games: An Experiment in the Slovak Republic, Econometrica, vol. 66, no. 3 (May 1998), pp. 569–96.

31

См. Alan Sanfey, James Rilling, Jessica Aronson, Leigh Nystrom, and Jonathan Cohen, The Neural Basis of Economic Decision-Making in the Ultimatum Game, Science, vol. 300 (June 13, 2003), pp. 1755–58.

32

Можно предположить, что такая социальная норма справедливости имеет определенную ценность в непрерывной эволюционной игре, в которую играет все общество. Игроки, ратующие за справедливость, сокращают промежуточные издержки и затраты на ведение споров, что может быть выгодно обществу в долгосрочной перспективе. Эти вопросы рассматриваются в главе 10 и главе 11.

33

Встречается и название «сороконожка». Прим. ред.

34

См. Steven D. Levitt, John A. List, and Sally E. Sadoff, Checkmate: Exploring Backward Induction Among Chess Players, American Economic Review, vol. 101, no. 2 (April 2011), pp. 975–90. Вот детали этой игры. Если игрок А выбирает «взять» в узле 1, то игрок А получает 4 доллара, а игрок Б — 1 доллар. Если игрок А пропускает ход, а игрок Б выбирает «взять» в узле 2, то игрок А получает 2 доллара, тогда как игрок Б — 8 долларов. Такой процесс удвоения выигрыша продолжается до узла 6, где в случае выбора игроком Б «взять» выигрыш игрока А составляет 32 доллара, а Б — 128 долларов. Однако если игрок Б выберет «пропустить», выигрыши составят 256 долларов для игрока А и 64 доллара для игрока Б.

35

Другие результаты были обнародованы в статье, опубликованной ранее: Ignacio Palacios-Huerta and Oscar Volij, Field Centipedes, American Economic Review, vol. 99, no. 4 (September 2009), pp. 1619–35. Из всех шахматистов, участвовавших в исследовании, 69 процентов выбрали вариант «взять» в первом узле, причем шахматисты с более высоким рейтингом чаще выбирали вариант «взять» при первой же возможности. Эти результаты свидетельствовали о чрезвычайно высокой способности игроков переносить накопленный опыт в новый игровой контекст, однако в более поздней работе, о которой шла речь выше, эти результаты не были воспроизведены.

36

Как вы увидите в упражнениях, еще одна ключевая особенность этой игры с нулевой суммой состоит в том, что один игрок может гарантированно одержать победу, независимо от действий другого игрока. Напротив, лучший ход игрока в игре «стоножка» зависит от его ожиданий в отношении действий другого игрока.

37

Русская версия шоу проходила под названием «Последний герой». Прим. ред.

38

Формально Руди сталкивается с необходимостью сделать выбор между поддержкой Рика или Келли в узле действия, после того как он победит в испытании на получение иммунитета. Поскольку все присвоили значение 0 вероятности того, что он выберет Келли (вследствие союза Рика и Руди), мы отображаем на дереве только ситуацию, в которой Руди выбирает Рика. Точно так же жюри предстоит сделать выбор между Риком и Руди в последнем узле действия, лежащем на этой ветви игры. В этом случае предрешенный исход также состоит в победе Руди.

39

Читатели, которым необходимо изучить или освежить в памяти правила сложения и умножения вероятностей, найдут краткие инструкции в приложении к главе 7.

40

Читатели, которые знакомы с алгеброй вероятностей, могут решить эту игру, воспользовавшись более общими символами вместо конкретных значений вероятностей, как в упражнении U10 к этой главе.

41

В действительности цена может быть указана в минимальных денежных единицах (например, в целых центах), а значит, может принимать конечное количество дискретных значений. Однако эта единица, как правило, настолько мала, что имеет смысл считать цену непрерывной переменной.

42

Если компании могут выбирать цену, выраженную в любом количестве центов в рамках одного доллара, тогда у каждой компании есть 100 дискретных стратегий, а значит, таблица будет иметь размер 100 на 100. Безусловно, она будет слишком громоздкой с точки зрения анализа. Использование алгебраических формул с непрерывными переменными — более простой, а не более сложный подход, как может показаться некоторым читателям. Подход «Алгебра — наш друг» рассматривается в главе 5.

43

Вот как рассчитывались выигрыши в этом примере. Когда команда нападения выбирает стратегию «средний пас», а команда защиты отвечает стратегией «защита в случае паса», по нашим оценкам, вероятность успешного завершения паса и получения 15 ярдов составляет 50 процентов, вероятность незавершенного паса (0 ярдов) — 40 процентов, а вероятность того, что пас будет перехвачен и команда потеряет 30 ярдов, — 10 процентов; в среднем это составляет 0,5 × 15 + 0,4 × 0 + 0,1 × (−30) = 4,5 ярда. Данные в таблице были предложены небольшой группой экспертов из числа соседей и друзей, собранной Дикситом в один осенний воскресный день. Все эксперты получили за свои консультационные услуги гонорар.

44

Эта концепция названа по имени математика и экономиста Джона Нэша, который сформулировал ее в докторской диссертации, написанной во время учебы в Принстонском университете в 1949 году. Кроме того, Нэш предложил решение кооперативных игр, которое мы рассмотрим в главе 17. В 1994 году Джон Нэш вместе с двумя другими специалистами по теории игр, Райнхардом Зелтеном и Джоном Харсаньи (мы проанализируем некоторые аспекты их работы в главе 8, главе 9 и главе 13), получил Нобелевскую премию по экономике. Биографическая книга Сильвии Назар «Прекрасный разум: жизнь гения математики и нобелевского лауреата Джона Нэша» (A Beautiful Mind: The Life of Mathematical Genius and Nobel Laureate John Nash (New York: Simon & Schuster, 1998) легла в основу художественного фильма, главную роль в котором исполнил Рассел Кроу. К сожалению, попытка объяснить в фильме концепцию равновесия Нэша оказалась неудачной. Мы расскажем о причинах в упражнении S13 в данной главе, а также в упражнении S14 в главе 7.

45

Однако обратите внимание, что сочетание стратегий «внизу», «посредине» с выигрышами 5, 5 не является равновесием Нэша. Если бы Строка выбрала вариант «внизу», лучший вариант выбора Столбца был бы не «посредине», а «справа». На самом деле вы можете проверить таким способом все остальные ячейки таблицы, чтобы убедиться, что ни одна из них не может быть равновесием Нэша.

46

В данной главе мы рассматриваем только равновесия Нэша в чистых стратегиях, а именно в изначально перечисленных в описании игры, а не в комбинации двух или более стратегий. Следовательно, в таком равновесии каждый игрок уверен в действиях других игроков, а значит, стратегическая неопределенность отсутствует. При рассмотрении равновесия в главе 7 в смешанных стратегиях стратегическая неопределенность каждого игрока будет включать вероятности, с которыми различные стратегии используются в равновесных комбинациях стратегий других игроков.

47

Во многих других странах подобные игры ведутся с центральными банками, имеющими операционную независимость в выборе монетарной политики. В разных странах фискальную политику могут определять различные политические органы (исполнительные или законодательные).

48

Мы используем эти имена в надежде на то, что они помогут вам вспомнить, какой игрок выбирает строку («Ровена» от англ. row), а какой — столбец («Колин» от англ. column). Такой изобретательный способ обозначения игроков предложил Роберт Ауман, разделивший Нобелевскую премию с Томасом Шеллингом в 2005 году, идеи которого рассматриваются в главе 9.

49

В качестве альтернативного способа можно как-то отмечать стратегии, которые игроки не выбирают. Например, на рис. 4.3 Строка не выбирает стратегии «вверху», «высоко» и «внизу» как ответы на стратегию Столбца «справа». Это можно было бы показать, зачеркнув косыми линиями выигрыши ряда в этих случаях — 10, 6 и 9 соответственно. Когда это будет сделано по всем стратегиям обоих игроков, выигрыши стратегий («низко», «посредине») останутся незачеркнутыми; это и есть равновесие Нэша в данной игре. Такие варианты, как выделение кружками выбранных стратегий и зачеркивание косыми линиями невыбранных, связаны друг с другом на концептуальном уровне, так же как выделение выбранных ветвей стрелками и отсечение невыбранных в случае игр с последовательными ходами. В каждом из этих случаев мы отдаем предпочтение первому варианту, поскольку полученная в результате картина более наглядна и лучше передает суть происходящего.

50

Имена позаимствованы из художественного фильма 1989 года When Harry Met Sally («Когда Гарри встретил Салли») с его классической фразой «Мне то же, что и ей», главные роли в котором исполнили Мэг Райан и Билли Кристал.

51

Томас Шеллинг предложил классический подход к решению координационных игр и сформулировал концепцию фокальной точки в своей книге The Strategy of Conflict (Шеллинг Т. Стратегия конфликта. — М.: ИРИСЭН, Социум, 2016). Его объяснение фокальных точек основывалось на результатах анализа ответов на вопросы, которые он ставил своим студентам и коллегам. Самым памятным был следующий вопрос: «Предположим, вы договорились встретиться с кем-то в Нью-Йорке в определенный день, но не назначили конкретное место или время, и у вас нет возможности связаться с этим человеком. Куда вы пойдете и в какое время?» Пятьдесят лет назад, когда этот вопрос был задан впервые, общепринятым фокальным местом считался Центральный вокзал; в настоящее время это могла бы быть лестница у театральной кассы TKTS на Таймс-сквер. Фокальным временем остается двенадцать часов дня.

52

Классический пример игры в доверие — охота на оленя, описанная французским философом XVIII столетия Жан-Жаком Руссо. Несколько человек могут успешно провести охоту на оленя и получить большое количество мяса, если будут взаимодействовать. Если один из охотников уверен, что остальные примут участие в охоте, ему также выгодно присоединиться к группе. Но если он сомневается, будет ли группа достаточно большой, ему лучше одному отправиться на охоту за более мелким животным, скажем за зайцем. Однако, по мнению Руссо, есть основания утверждать, что каждый охотник предпочел бы охоту на зайца независимо от действий других игроков, а это сделало бы охоту на оленя дилеммой заключенных с несколькими участниками, а не игрой в доверие. Мы рассмотрим данный пример в контексте коллективного действия в главе 11.

53

Майкл Чхве развивает эту тему в книге: Michael Chwe, Rational Ritual: Culture, Coordination, and Common Knowledge (Princeton: Princeton University Press, 2001).

54

Несколько измененный вариант этой игры стал знаменитым в 1955 году благодаря фильму с участием Джеймса Дина Rebel Without a Cause («Бунтарь без идеала»). В фильме два парня мчатся на своих автомобилях параллельно друг другу по направлению к крутому обрыву. Трусом станет тот, кто первым выпрыгнет из машины, прежде чем она рухнет в пропасть. Если другой слишком долго будет оставаться в машине, он рискует упасть в пропасть вместе с ней. Герои фильма называли это «игрой в труса». В середине 1960-х британский философ Бертран Рассел и другие борцы за мир использовали эту игру в качестве метафоры ядерной конфронтации между Соединенными Штатами Америки и Советским Союзом, а специалист по теории игр Анатоль Рапопорт дал ее формальное описание с точки зрения теории игр. Другие специалисты по теории игр предпочитают интерпретировать гонку вооружений как дилемму заключенных или игру в доверие. Короткий обзор и интересное обсуждение этой темы можно найти здесь: Barry O’Neill, Game Theory Models of Peace and War, in The Handbook of Game Theory, vol. 2, ed. Robert J. Aumann and Sergiu Hart (Amsterdam: North Holland, 1994), pp. 995–1053.

55

С какой стати потенциальному сопернику играть в труса против игрока с репутацией человека, который никогда не сдается? Проблема в том, что на самом деле участие в такой игре, как и в случае судебных разбирательств, нельзя назвать добровольным. Другими словами, принятие решения об участии в игре в труса — уже само по себе игра в труса. Томас Шеллинг сказал об этом так: «Если вам публично предложили сыграть в труса, а вы отказываетесь, то вы уже сыграли в эту игру [и проиграли]» (Arms and Influence, New Haven: Yale University Press, 1965, p. 118).

56

Для тех из вас, кто помнит только последних звезд, которые сияют пару лет, а затем гаснут, мы приводим некоторые поразительные факты об этих двух теннисистках, которые почти два десятка лет занимали ведущие позиции в этом виде спорта и все это время вели между собой незабываемое соперничество. Навратилова играла левой рукой и выполняла подачи с подходом к сетке. В турнирах Большого шлема она одержала 18 побед в одиночном разряде, 31 победу в парном разряде и 7 побед в смешанном парном разряде. Общее количество ее побед во всех турнирах — 167, рекордный показатель. У Эверт, которая играла правой рукой и предпочитала играть на задней линии, было рекордное соотношение побед и поражений за всю карьеру (90 процентов побед), а также 150 титулов, из которых 18 титулов в одиночном разряде, полученных в турнирах Большого шлема. По всей вероятности, именно она изобрела (и, разумеется, популяризовала) столь распространенный в наше время двуручный удар слева. За период с 1973 по 1988 год эти две теннисистки играли друг с другом 80 раз; в целом Навратилова получила небольшой перевес 43−37.

57

В действительности рестораны ведут конкурентную борьбу на протяжении длительного периода, поэтому каждый из них может отследить, какие цены устанавливал другой ресторан в прошлом. Такое повторение игры приводит к появлению новых факторов, которые мы рассмотрим в главе 10.

58

Читатели, которые немного знакомы с экономикой, поймут, что уравнения, связывающие количество с ценами, — это функции спроса на два продукта X и Y. Величина спроса на каждый продукт уменьшается по мере повышения цены самого продукта (кривые спроса наклонены вниз) и растет по мере повышения цены другого продукта (если эти продукты взаимозаменяемы).

59

Хотя в полной игре цена P_y, выбранная Yvonne’s, — это переменная, здесь мы ограничимся только частью игры, а именно — наилучшим ответом Xavier’s, который рассматривает выбор Yvonne’s как фактор, не поддающийся его контролю, а значит, как константу.

60

Без такой симметрии два уравнения наилучшего ответа были бы иными, но, учитывая другие характеристики, по-прежнему линейными. Так что решить асимметричную задачу было бы не намного труднее. У вас будет возможность это сделать в упражнении S2 в конце данной главы.

61

Компании действительно пытаются вступать в явный сговор, когда им кажется, что они могут избежать наказания за это. Забавный и поучительный случай такого сговора можно найти в книге Курта Эйхенвальда «Информатор» (Курт Эйхенвальд. Информатор. М.: Азбука-классика, 2009).

62

Превосходный глубокий анализ этой темы представлен в книге David M. Kreps, Game Theory and Economic Modelling (Oxford: Clarendon Press, 1990).

63

Roger Myerson, Game Theory (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1991), p. 106.

64

См. David Kreps, A Course in Microeconomic Theory (Princeton: Princeton University Press, 1990), pp. 392–93, 414–15.

65

Пример взят из статьи, в которой впервые была сформулирована концепция рационализации: Douglas Bernheim, Rationalizable Strategic Behavior, Econometrica, vol. 52, no. 4 (July 1984), pp. 1007–1028. См. также Andreu Mas-Colell, Michael Whinston, and Jerry Green, Microeconomic Theory (New York: Oxford University Press, 1995), pp. 242–45.

66

Обратите внимание, что в каждом случае лучший выбор для Столбца однозначно лучше стратегии С4. Следовательно, она не может даже претендовать на роль наилучшего ответа. Можно провести различие между слабой и строгой неспособностью стратегии быть наилучшим ответом, подобно тому как мы различали слабое и строгое доминирование. В данном случае наблюдается неспособность быть наилучшим ответом в строгом смысле.

67

Когда допускается использование смешанных стратегий (как в главе 7), чистая стратегия может быть доминируемой по отношению к комбинации других чистых стратегий. При таком расширенном определении доминируемой стратегии итеративное исключение строго доминируемых стратегий становится эквивалентом рационализации. Детали лучше оставить для углубленного курса теории игр.

68

Следует отметить некоторые интересные свойства этого решения, хотя они и второстепенны для наших целей. Значения количества разнятся, поскольку разнятся затраты: более эффективная лодка (с меньшими затратами) может продать больше продукции. Различия между затратами и количеством влекут за собой еще более существенные различия между полученной прибылью. Преимущество первой лодки перед второй по затратам составляет всего 20 процентов, но при этом первая лодка получает почти в четыре раза больше прибыли по сравнению со второй.

69

Этот пример можно также решить посредством итеративного исключения доминируемых стратегий, однако аргументация на основе концепции доминирования — это трудный процесс, требующий более сложных расчетов, тогда как свойство «не может быть наилучшим ответом» отображено в явном виде на рис. 5.7, поэтому мы используем более простую аргументацию.

70

Аналогичная аргументация применима и по отношению к кривым наилучших ответов с восходящим уклоном (как в случае игры в ценообразование, представленной на рис. 5.1) для сужения диапазона наилучших ответов, начиная с низких цен. Сужение диапазона начиная с более высоких значений возможно только при наличии очевидной отправной точки; она должна представлять собой очень высокую цену, которая ни при каких обстоятельствах не может быть превышена по какой-то внешней причине, например если у людей просто нет денег, чтобы платить цены, превышающие определенный уровень.

71

Douglas D. Davis and Charles A. Holt, Experimental Economics (Princeton: Princeton University Press, 1993), Chapter 2.

72

См. John B. Van Huyck, Raymond C. Battalio, and Richard O. Beil, Tacit Coordination Games, Strategic Uncertainty, and Coordination Failure, American Economic Review, vol. 80, no. 1 (March 1990), pp. 234–48. В ходе последующих исследований были предложены методы, позволяющие стимулировать координацию действий игроков для достижения наилучшего равновесия. Как показано в статье Subhasish Dugar, Non-monetary Sanction and Behavior in an Experimental Coordination Game, Journal of Economic Behavior & Organization, vol. 73, no. 3 (March 2010), pp. 377–86, игрокам постепенно удается координировать свои действия в целях получения исхода игры, обеспечивающего максимальный выигрыш, если в перерывах между раундами им просто разрешают выразить свое недовольство решениями друг друга. В статье Roberto A. Weber, Managing Growth to Achieve Efficient Coordination in Large Groups, American Economic Review, vol. 96, no. 1 (March 2006), pp. 114–26, идет речь о том, что если начать с небольшой группы и постепенно включать в нее дополнительных игроков, то это позволяет обеспечить равновесие с максимальным выигрышем, из чего можно сделать вывод, что компании лучше увеличивать численность персонала медленно, с тем чтобы новобранцы могли усвоить корпоративную культуру сотрудничества.

73

Известный специалист по теории игр Йорген Вейбулл подробно обосновывает эту точку зрения в своей работе: Jörgen Weibull, Advances in Understanding Strategic Behaviour: Game Theory, Experiments and Bounded Rationality: Essays in Honour of Werner Güth, ed. Steffen Huck (Basingstoke, UK: Palgrave MacMillan, 2004), pp. 85–104.

74

См. Kaushik Basu, The Traveler’s Dilemma, Scientific American, vol. 296, no. 6 (June 2007), pp. 90–95. Информацию об этих экспериментах и построении модели можно найти здесь: C. Monica Capra, Jacob K. Goeree, Rosario Gomez, and Charles A. Holt, Anomalous Behavior in a Traveler’s Dilemma? American Economic Review, vol. 89, no. 3 (June 1999), pp. 678–90. Концепция квантильного равновесия впервые была сформулирована в следующей работе: Richard D. McKelvey and Thomas R. Palfrey, Quantal Response Equilibria for Normal Form Games, Games and Economic Behavior, vol. 10, no. 1 (July 1995), pp. 6–38.

75

Если вы примете во внимание собственный выбор, это только подтвердит правильность таких расчетов. Предположим, в игре участвуют N игроков. В случае самого худшего сценария, когда все остальные (N — 1) игроков выберут число 100, а вы — число x, среднее значение выбранных чисел составит [x + (N — 1)100] / N. Тогда ваш лучший выбор составит две трети от этого числа, а значит, x = (2/3)[x + (N — 1)100] / N, или x = 100(2N — 2) / (3N — 2). Если N = 10, то x = (18 / 28) × 100 = 64 (приблизительно). Следовательно, любой вариант выбора больше 64 будет доминируемым по отношению к варианту 64. Такие же рассуждения применимы и в очередных раундах игры.

76

Вы проанализируете игры такого рода в упражнении S12 и упражнении U11. Краткий обзор результатов масштабных экспериментов с участием тысяч игроков, проведенных с помощью европейских газет, можно найти здесь: Rosemarie Nagel, Antoni Bosch-Domènech, Albert Satorra, and Juan Garcia-Montalvo, One, Two, (Three), Infinity: Newspaper and Lab Beauty-Contest Experiments, American Economic Review, vol. 92, no. 5 (December 2002), pp. 1687–1701.

77

Тем, кто хотел бы немного больше узнать о практическом применении теории игр, мы предлагаем следующие источники. Все студенты, изучающие теорию игр, обязательно должны прочитать книги Томаса Шеллинга «Стратегия конфликта» (М.: ИРИСЭН, 2007) и «Оружие и влияние» (Arms and Influence, New Haven: Yale University Press, 1966). Классический учебник по применению теории игр в области промышленности — книга Жана Тироля: Jean Tirole, The Theory of Industrial Organization (Cambridge, Mass.: MIT Press, 1988). Один из первых классических трудов по применению теории игр в политологии написал Уильям Райкер: William H. Riker, Liberalism Against Populism (San Francisco: W. H. Freeman, 1982). Ряд статей, содержащих углубленный анализ исследований в области теории игр, можно найти здесь: The Handbook of Game Theory with Economic Applications, ed. Robert J. Aumann and Sergiu Hart (Amsterdam: North-Holland/Elsevier Science B. V., 1992, 1994, 2002). Особого внимания заслуживает статья Barry O’Neill, Game Theory Models of Peace and War, (том 2), а также две статьи, представленные в томе 3: Kyle Bagwell and Asher Wolinsky, Game Theory and Industrial Organization и Jeffrey Banks, Strategic Aspects of Political Systems.

78

Информацию о моделях ценовой конкуренции с одновременными ходами можно найти здесь: Timothy F. Bresnahan, Empirical Studies of Industries with Market Power, in Handbook of Industrial Organization, vol. 2, ed. Richard L. Schmalensee and Robert D. Willig (Amsterdam: North-Holland/Elsevier, 1989), pp. 1011–57. Описание моделей выхода на рынок представлено здесь: Steven Berry and Peter Reiss, Empirical Models of Entry and Market Structure, in Handbook of Industrial Organization, vol. 3, ed. Mark Armstrong and Robert Porter (Amsterdam: North-Holland/Elsevier, 2007), pp. 1845–86.

79

Pankaj Ghemawat, Capacity Expansion in the Titanium Dioxide Industry, Journal of Industrial Economics, vol. 33, no. 2 (December 1894), pp. 145–63. Больше примеров приведено здесь: Pankaj Ghemawat, Games Businesses Play: Cases and Models (Cambridge, Mass.: MIT Press, 1997).

80

Stephen Jay Gould, Losing the Edge, in The Flamingo’s Smile: Reflections in Natural History (New York: W. W. Norton & Company, 1985), pp. 215–29.

81

Издана на русском языке: Льюис М. Moneyball. Как математика изменила самую популярную спортивную лигу в мире. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2013. Прим. ред.

82

Susan Slusser, Michael Lewis on A’s ‘Moneyball’ Legacy, San Francisco Chronicle, September 18, 2011, p. B-1. Исходная книга: Michael Lewis, Moneyball: The Art of Winning an Unfair Game (New York: W. W. Norton & Company, 2003).

83

В статье, авторы которой пытаются найти недостатки равновесия Нэша в экспериментальных данных и в которой представлены альтернативные модели преодоления этих недостатков, основанные на концепции квантильного равновесия, два известных исследователя пишут: «Мы первыми готовы признать, что начинаем анализ новой стратегической задачи с рассмотрения равновесий, полученных посредством стандартной теории игр, прежде чем рассматривать другие возможности». См. Jacob K. Goeree and Charles A. Holt, “Ten Little Treasures of Game Theory and Ten Intuitive Contradictions,” American Economic Review, vol. 91, no. 5 (December 2001), pp. 1402–22.

84

Безусловно, мы приводим здесь только самый короткий, самый быстрый способ анализа, исключив из рассмотрения все вопросы, связанные с функциями, у которых нет производных, с функциями, точка экстремума которых находится вне того интервала, на котором они определены, и т. д. Одним читателям будет известно все, что мы здесь скажем, другие узнают намного больше. Тем читателям, которые захотят изучить эту тему еще глубже, следует обратиться к любому учебнику по математическому анализу.

85

Иногда одновременная составляющая такой игры содержит равновесия в смешанных стратегиях; это требует применения инструментов, которые мы представим в главе 7. В данной главе мы будем упоминать об этой возможности там, где это уместно, а также предоставим вам шанс применить такие методы в упражнениях к следующим главам.

86

Как всегда в случае дилеммы заключенных, если бы компании могли вступить в сговор и установить высокие цены, обе получили бы более высокий выигрыш 2. Однако такой исход игры не является равновесным, поскольку у каждой компании остается соблазн обмануть другую, чтобы обеспечить гораздо более высокий выигрыш 6.

87

Некоторые считают, что природа — это недоброжелательный игрок, который играет с нами в игру с нулевой суммой, а значит, его выигрыши повышаются, когда наши падают. Например, если мы забыли взять зонтик, с большей вероятностью пойдет дождь. Мы понимаем такую позицию, но ее не подтверждают реальные статистические данные.

88

Питчер — игрок защищающейся команды, подающий мяч; бэттер — игрок команды нападения, отбивающий мяч питчера битой. Прим. ред.

89

Когда случайное событие имеет только два возможных исхода, часто говорят о шансах в пользу или против одного из них. Если обозначить два возможных исхода символами A и Б, вероятность исхода A составляет p, а вероятность исхода Б равна (1 − p), тогда соотношение p / (1 − p) представляет собой шансы в пользу A, а обратное соотношение (1 − p) / p дает шансы против A. Следовательно, если Эверт выберет стратегию ПД с вероятностью 0,25 (25 %), шансы против того, что она выберет ПД, составляют 3 к 1, а шансы в пользу этого выбора равны 1 к 3. Эта терминология часто используется в контексте игр, в которых заключаются пари, так что те из вас, кто потратил на такие игры свою молодость, должны быть лучше знакомы с этими терминами. Тем не менее такое употребление терминов не всегда распространимо на ситуации, в которых возможны три или более исхода, поэтому мы избегаем их использования в данной книге.

90

Теория игр исходит из того, что игроки должны рассчитывать и пытаться максимизировать свой ожидаемый выигрыш в случае вероятностных комбинаций стратегий или исходов игры. Мы более подробно рассмотрим этот вопрос в приложении к данной главе, а пока будем использовать данную концепцию, но с одной важной оговоркой. Слово «ожидаемый» в словосочетании «ожидаемый выигрыш» — это специальный термин из теории вероятностей и статистики, которым просто обозначается взвешенное по вероятности среднее значение. Слово «ожидаемый» не означает, что игрок должен рассчитывать на что-то как на то, что ему причитается по праву.

91

Не всякая смешанная стратегия гарантирует более высокий результат, чем чистые стратегии. Например, если Эверт смешает стратегии ПЛ и ПД в соотношении 50 на 50, Навратилова сможет сократить ожидаемый выигрыш Эверт до 50, то есть в точности до уровня, обеспечиваемого чистой стратегией ПЛ. А комбинация, в которой стратегии ПЛ отведено менее 30 %, будет для Эверт хуже чистой стратегии ПЛ. Мы предлагаем вам проверить правильность этих утверждений как пример полезного упражнения по отработке навыков вычисления ожидаемых выигрышей и сравнения стратегий.

92

Если в той или иной численной задаче, которую вы пытаетесь решить, линии ожидаемых выигрышей в случае чистых стратегий не пересекаются, это говорит о том, что одна чистая стратегия является наилучшей для всех смешанных стратегий соперника, то есть она всегда будет наилучшим ответом.

93

Вероятность того, что каждый игрок выберет Starbucks в случае равновесия, равна 2/3. Вероятность того, что каждый из них выберет Local Latte, составляет 1/3. Вероятность того, что один игрок выберет Starbucks, тогда как другой — Local Latte, равна (2/3) × (1/3). Однако это может произойти двумя разными способами (один из них, когда Гарри выберет Starbucks, а Салли Local — Latte, а второй, когда оба игрока сделают противоположный выбор). Следовательно, общая вероятность того, что Гарри и Салли не встретятся, составляет 2 × (2/3) × (1/3). Более подробная информация об алгебре вероятностей представлена в приложении к данной главе.

94

В главе 12 мы рассмотрим другой тип устойчивости, а именно эволюционную устойчивость. В эволюционном контексте вопрос состоит в том, может ли среди участников игры в труса сформироваться и сохраниться устойчивая совокупность игроков, выбирающих варианты «ехать прямо» и «свернуть».

95

Описание общей теории воздействия изменения выигрыша в определенной ячейке на равновесную комбинацию и ожидаемые выигрыши в равновесии можно найти здесь: Vincent Crawford and Dennis Smallwood, Comparative Statics of Mixed-Strategy Equilibria in Noncooperative Games, Theory and Decision, vol. 16 (May 1984), pp. 225–32.

96

Обратите внимание, что значение V — не обязательно денежная сумма; это может быть величина полезности с учетом нерасположенности к риску. Мы рассмотрим вопросы, связанные с риском, более подробно в главе 8, а об отношении к риску и ожидаемой полезности рассказывается в приложении к этой главе.

97

Этот результат получен с учетом того, что мы можем полностью исключить V из уравнения безразличия соперника, а значит, он не зависит от конкретных значений вероятности успеха, указанных на рис. 7.6. Следовательно, такой результат типичен для игр со смешанными стратегиями, в которых каждый выигрыш равен произведению вероятности успеха и значения выигрыша в случае успеха.

98

К числу немногочисленных научных работ, предлагающих альтернативные основы теории игр, можно отнести следующие: Vincent P. Crawford, Equilibrium Without Independence, Journal of Economic Theory, vol. 50, no. 1 (February 1990), pp. 127–54; and James Dow and Sergio Werlang, Nash Equilibrium Under Knightian Uncertainty, Journal of Economic Theory, vol. 64, no. 2 (December 1994), pp. 305–24. А наше описание данной проблемы в первом издании книги вдохновило некоторых ученых на написание статьи, посвященной новым методам ее решения: Simon Grant, Atsushi Kaji, and Ben Polak, Third Down and a Yard to Go: Recursive Expected Utility and the Dixit-Skeath Conundrum, Economic Letters, vol. 73, no. 3 (December 2001), pp. 275–86. К сожалению, в этой статье используются более сложные концепции, чем концепции начального уровня, которые рассматриваются в данной книге.

99

Даже если игрок располагает только двумя чистыми стратегиями, он может не применять одну из них в равновесии. В таком случае другой игрок обычно обнаруживает, что одна из его стратегий более эффективна в игре против той стратегии, которую первый игрок все же использует. Иными словами, такая равновесная «комбинация» стратегий сводится к частному случаю чистых стратегий. Однако если в распоряжении одного или обоих игроков есть три или более стратегии, мы можем получить настоящее равновесие в смешанных стратегиях, где некоторые из чистых стратегий остаются неиспользованными.

100

В общем случае, если у игрока N чистых стратегий, то его комбинация содержит (N − 1) независимых переменных, или степеней свободы выбора.

101

Покер — это игра с неполной информацией, поскольку каждый игрок располагает только личной информацией о своих картах. Мы проанализируем такие игры более подробно в главе 8, а пока отметим, что они могут включать в себя равновесия в смешанных стратегиях (так называемые полуразделяющие равновесия), в которых случайные комбинации стратегий предназначены именно для того, чтобы помешать другому игроку раскрыть вашу личную информацию на основании ваших действий.

102

Харрингтон Д., Роберти Б. Харрингтон о холдеме. Профессиональная стратегия для турниров по безлимитному покеру. Том 1. Стратегическая игра. Самара: Сафари, 2008.

103

Douglas D. Davis and Charles A. Holt, Experimental Economics (Princeton: Princeton University Press, 1993), p. 99.

104

Colin F. Camerer, Behavioral Game Theory (Princeton: Princeton University Press, 2003).

105

R. S. Beresford and M. H. Peston, “A Mixed Strategy in Action,” Operations Research, vol. 6, no. 4 (December 1955), pp. 173–76.

106

Mark Walker and John Wooders, “Minimax Play at Wimbledon,” American Economic Review, vol. 91, no. 5 (December 2001), pp. 1521–38.

107

Ignacio Palacios-Huerta, Professionals Play Minimax, Review of Economics Studies, vol. 70, no. 20 (2003), pp. 395–415.

108

Pierre-André Chiappori, Timothy Groseclose, and Steven Levitt, Testing Mixed Strategy Equilibria When Players are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer, American Economic Review, vol. 92, no. 4 (September 2002), pp. 1138–51.

109

Результаты первого из упомянутых выше исследований представлены в статье: Ignacio Palacios-Huerta and Oskar Volij, Experientia Docet: Professionals Play Minimax in Laboratory Experiments, Econometrica, vol. 76, no. 1 (January 2008), pp. 71–115. Результаты второго исследования опубликованы здесь: Steven D. Levitt, John A. List, and David H. Reiley, What Happens in the Field Stays in the Field: Exploring Whether Professionals Play Minimax in Laboratory Experiments, Econometrica, vol. 78, no. 4 (July 2010), pp. 1413–34.

110

Jack Ochs, “Games with Unique Mixed-Strategy Equilibria: An Experimental Study,” Games and Economic Behavior, vol. 10, no. 1 (July 1995), pp. 202–17.

111

Когда мы говорим о формировании случайного исхода, это означает, что в нем нельзя обнаружить закономерность или же ее нельзя определить с помощью доступных научных методов прогнозирования и вычислений. На самом деле движение монет и игральных костей полностью подчиняется законам физики, а опытные игроки могут манипулировать колодами карт, однако для всех практических целей подбрасывание монет, бросание костей и тасование карт можно использовать в качестве инструментов случайности, позволяющих генерировать случайные исходы. Тем не менее добиться случайности не так легко, как кажется. Например, в случае идеального тасования колода карт делится на две равные части, после чего карты перемешиваются посредством поочередного сброса по одной карте из каждой половины колоды. На первый взгляд может показаться, что это хороший способ нарушить первоначальный порядок расположения карт в колоде. Однако математик из Корнелльского университета Перси Диаконис показал, что после восьми тасований первоначальный порядок полностью восстанавливается. Он пришел к выводу, что при несколько менее идеальном тасовании, которое люди выполняют в реальной жизни, порядок расположения карт в колоде сохраняется порой даже после шести тасований, а случайный порядок внезапно возникает на седьмом тасовании! См. Persi Diaconis, How to Win at Poker, and Other Science Lessons, The Economist, October 12, 1996. Интересное обсуждение этой темы можно найти здесь: Deborah J. Bennett, Randomness (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1998), chs. 6–9.

112

Ряд примеров такого вычисления вероятностей приведен в книге: Bennett, Randomness, chs. 4 and 5.

113

Если вы хотите ознакомиться с более подробным описанием правил сложения и умножения вероятностей, а также получить доступ к большему количеству упражнений для отработки этих правил, рекомендуем вам следующую книгу: David Freeman, Robert Pisani, and Robert Purves, Statistics, 4th ed. (New York: W. W. Norton & Company, 2007), chs. 13 and 14.

114

В 2001 году пионеры теории асимметричной информации в экономике Джордж Акерлоф, Майкл Спенс и Джозеф Стиглиц получили Нобелевскую премию по экономике за вклад в изучение этих вопросов.

115

График плотности вероятности нормального закона. Прим. ред.

116

Авинаш Диксит и Барри Нейлбафф приводят знаменитый пример использования этой стратегии во время парусной регаты в книге Thinking Strategically (Нейлбафф Б., Диксит А. Стратегическое мышление в бизнесе, политике и личной жизни. М.: Вильямс, 2007). Общий теоретический анализ этой темы можно найти здесь: Luis Cabral, R&D Competition When the Firms Choose Variance, Journal of Economics and Management Strategy, vol. 12, no. 1 (Spring 2003), pp. 139–50.

117

Предостережение: не следует путать скрининг и подавление сигналов. Слово «скрининг» может иметь разные значения. В теории игр оно используется в значении «тестирование», «тщательная проверка». Таким образом, менее информированный игрок использует скрининг для того, чтобы выяснить, что известно более информированному игроку. В качестве альтернативного значения слова «скрининг» («маскировка», «прикрытие») в теории игр используется термин «подавление сигнала». Следовательно, более информированный игрок применяет подавление сигнала для того, чтобы помешать менее информированному игроку узнать правду на основании соответствующего действия (иными словами, помешать ему осуществлять скрининг более информированного игрока).

118

Такая аргументация подразумевает, что выигрыши Гарри соответствуют тому, что указано в таблице, а также что этот факт известен обоим игрокам. Если Салли заподозрит, что Гарри хочет, чтобы она отправилась в Local Latte, а он тем временем пойдет в Starbucks на встречу с другой девушкой, она выберет совсем другую стратегию! Следовательно, анализ игр с асимметричной информацией зависит от того, сколько разных типов игроков возможны в этой игре на самом деле.

119

На языке теории вероятностей та вероятность, которую вы присваиваете определенному событию после того, как увидели или услышали информацию или свидетельства о нем, известна как апостериорная вероятность данного события. Таким образом, вы присваиваете апостериорную вероятность 1 заявленному качеству инвестиционного актива. Теорема Байеса, подробное разъяснение которой приводится в приложении к данной главе, представляет формальный способ количественной оценки связи между априорной и апостериорной вероятностями.

120

Мы исходим из того, что если вы не инвестируете в рекомендуемый актив, вам не удастся определить фактическую прибыль консультанта, а значит, он не понесет никаких репутационных издержек. Это предположение хорошо согласуется с распространенным толкованием дешевого разговора. Любое сообщение не влечет за собой никаких последствий для отправителя с точки зрения выигрыша; такие последствия возникают только тогда, когда получатель действует в соответствии с полученной в сообщении информацией.

121

Здесь в вычислении выигрыша консультанта не учитываются 20 % вашей прибыли. Консультант знает, что на самом деле актив относится к типу П, а значит, ему известно, что вы понесете убытки, которые он с вами не разделит.

122

В этом случае расчеты консультанта также не включают в себя часть вашей прибыли, поскольку вы понесете убыток: актив относится к типу П и консультант знает об этом.

123

Теория частичной коммуникации сформулирована в следующей знаковой работе: Vincent Crawford and Joel Sobel, Strategic Information Transmission, Econometrica, vol. 50, no. 6 (November 1982), pp. 1431–52. Простейшее объяснение этой теории и обзор дальнейших исследований в данной области можно найти здесь: Joseph Farrell and Matthew Rabin, Cheap Talk, Journal of Economic Perspectives, vol. 10, no. 3 (Summer 1996), pp. 103–118.

124

Кстати, это указывает на определенную произвольность языка. Не имеет значения, сообщает ли консультант тип Х или «не-П», если смысл этих сообщений понятен всем сторонам. Можно даже принять обратные условные обозначения, в которых «плохое» означает «хорошее» и наоборот, если только смысл этих терминов представляет собой общее знание для всех сторон, вовлеченных в процесс коммуникации.

125

George Akerlof, The Market for Lemons: Qualitative Uncertainty and the Market Mechanism, Quarterly Journal of Economics, vol. 84, no. 3 (August 1970), pp. 488–500.

126

A. Michael Spence, Market Signaling: Information Transfer in Hiring and Related Screening Processes (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1974), pp. 93–94. Авторы данной книги приносят от имени Спенса извинения всем тем жителям Кливленда, которых может обидеть необоснованное предположение о том, что именно там скрываются теневые продавцы подержанных автомобилей!

127

Здесь мы не рассматриваем вероятность того, что застрахованный водитель сознательно может вести себя за рулем менее осторожно. Это моральный риск, который можно уменьшить с помощью схем совместного страхования наподобие тех, о которых идет речь в данной главе. Но в настоящий момент нас интересует только неблагоприятный отбор, когда некоторым водителям осторожность свойственна от природы, а другие в равной степени невнимательны и неосторожны за рулем.

128

См. Michael Rothschild and Joseph Stiglitz, Equilibrium in Competitive Insurance Markets: An Essay on the Economics of Imperfect Information, Quarterly Journal of Economics, vol. 90, no. 4 (November 1976), pp. 629–49.

129

Более формальный анализ идеи самоотбора представлен в разделе 5 данной главы.

130

Kyle Bagwell and Gary Ramey, Coordination Economies, Advertising, and Search Behavior in Retail Markets, American Economic Review, vol. 84, no. 3 (June 1994), pp. 498–517.

131

Diego Gambetta and Heather Hamill, Streetwise: How Taxi Drivers Establish Their Customers’ Trustworthiness (New York: Russell Sage Foundation, 2005).

132

Даже если это место — ресторан или офис, а не дом, вы все равно оставляете больше данных о себе, вызывая такси по телефону, чем когда ловите его на улице.

133

О том, как можно читать и интерпретировать такие самопроизвольные сигналы, рассказывается в книге: Экман П. Психология лжи. Обмани меня, если сможешь. СПб.: Питер, 2016.

134

Обзор этих идей и подтверждающих данных можно найти здесь: Alan Drazen in The Political Business Cycle after 25 Years, in NBER Macroeconomics Annual 2000, ed. Ben S. Bernanke and Kenneth S. Rogoff (Cambridge, Mass.: MIT Press, 2001), pp. 75–117.

135

Matt Ridley, The Red Queen: Sex and the Evolution of Human Behavior (New York: Penguin, 1995), p. 148.

136

Deborah J. Bennett, Randomness(Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1998), pp. 2–3 and ch. 10. В следующей книге можно найти интересный рассказ о том, как некоторые специалисты по теории вероятностей, а также блестящий и плодотворный математик Пал Эрдеш неправильно решили простую задачу на вероятность и даже не смогли понять свою ошибку, когда им ее объяснили: Paul Hoffman, The Man Who Loved Only Numbers (New York: Hyperion, 1998), pp. 233–40.

137

Обзор и анализ таких экспериментов представлен в главе 7 книги: Douglas D. Davis and Charles A. Holt, Experimental Economics (Princeton: Princeton University Press, 1995).

138

Вы можете задаться вопросом, может ли тот факт, что в распоряжении двух типов есть разные внешние возможности, использоваться для проведения различия между ними. Например, работодатель может сказать: «Покажите мне предложение о работе с оплатой 125 000 долларов, и я отнесу вас к типу Т и заплачу 160 000 долларов». Тем не менее такое конкурирующее предложение может быть фальшивым или полученным в сговоре с кем-то, поэтому оно не заслуживает доверия.

139

Наше требование состоит в том, чтобы выигрыш от выбора варианта, рассчитанного на соответствующий тип, был как минимум таким же высоким, как и в случае выбора другого варианта, а не строго больше. Тем не менее существует возможность приблизиться к результату этого анализа настолько, насколько это необходимо, обеспечивая выполнение строгого неравенства; следовательно, от этого предположения не зависит ничего существенного.

140

Если в каком-то другом контексте соответствующая переменная выбора не обязательно должна быть целым числом (например, если речь идет о денежной сумме или количестве времени), то весь ее непрерывный диапазон значений будет удовлетворять обоим ограничениям совместимости стимулов.

141

На языке экономики студенты типа П оказывают отрицательное внешнее воздействие на студентов типа Т. Мы рассмотрим эту концепцию более подробно в главе 11.

142

Эта ситуация противоположна разделению типов, о котором шла речь выше, когда игроки с отличающимися характеристиками получают разные результаты, поэтому полученный результат полностью раскрывает тип игрока.

143

Мы не приводим здесь все вычисления, необходимые для определения цен, максимально увеличивающих прибыль, а также прибыли, которую в итоге получит компания в каждом из этих случаев. Для дополнительной практики вы можете выполнить эти расчеты самостоятельно, воспользовавшись методами, изученными в главе 5.

144

Вероятность того, что у компании Tudor низкий уровень издержек, можно обозначить символом z. Равновесие будет тем же, независимо от значения z, что вы должны будете доказать в упражнении S5 в конце данной главы.

145

Это кажется очевидным: зачем выбирать цену, отличающуюся от цены, обеспечивающей максимальную прибыль? Назначение высокой цены в случае низких издержек не только приводит к потере части прибыли на протяжении периода 1 (если компания Tudor с низким уровнем издержек назначит цену 20, ее объем продаж упадет настолько, что она получит прибыль всего 75 вместо 100 в случае установления цены 15), но и повысит риск выхода Fordor на рынок, а значит, приведет к сокращению прибыли на протяжении периода 2 (конкурируя с Fordor, Tudor с низким уровнем издержек получит прибыль всего 69 вместо 100 в случае монополии). Тем не менее специалисты по теории игр нашли неожиданные равновесия, при которых высокая цена на автомобили Tudor на протяжении периода 1 неправильно интерпретируется как доказательство низкого уровня издержек, и им пришлось применить большую изобретательность, чтобы исключить эти равновесия из рассмотрения. Мы пропустим эти сложности, как и ранее в случае равновесий дешевого разговора, но читатели, которых интересует эта тема, могут найти соответствующую информацию в статье: In-Koo Cho and David Kreps, Signaling Games and Stable Equilibria, Quarterly Journal of Economics, vol. 102, no. 2 (May 1987), pp. 179–222.

146

Подробное объяснение теоремы Байеса дается в приложении к данной главе. Здесь же мы просто применяем представленный в приложении анализ к игре «выход на рынок».

147

Англ. boondocks — «захолустье». Прим. пер.

148

Дополнительную информацию об использовании ожидаемой полезности и отношения игроков к риску можно найти во многих интересных работах по микроэкономике, таких как: Hal Varian, Intermediate Microeconomics, 7th ed. (New York: W. W. Norton & Company, 2006), ch. 12; Walter Nicholson and Christopher Snyder, Microeconomic Theory, 10th ed. (New York: Dryden Press, 2008), ch. 7.

149

Критику этого метода и описание альтернативных методов можно найти здесь: R. Duncan Luce and Howard Raiffa, Games and Decisions(New York: John Wiley & Sons, 1957), ch. 2 and app. 1, for an exposition; and Mark Machina, Choice Under Uncertainty: Problems Solved and Unsolved,” Journal of Economic Perspectives, vol. 1, no. 1 (Summer 1987), pp. 121–54. Хотя теория принятия решений, основанная на этих альтернативных методах, стала весьма популярной, это еще не оказало существенного влияния на теорию игр.

150

Мы видели в главе 7 и снова увидим в главе 12, что в этой игре существует третье равновесие, равновесие в смешанных стратегиях, в котором у обоих игроков складывается далеко не лучшая ситуация.

151

Возможно, такая оценка степени важности стратегий покажется вам неприменимой к вам или вашим преподавателям. Мы просим вас принять ее в данном примере, основная цель которого — максимально простым способом сформулировать некоторые общие идеи по поводу обязательств. Эта оговорка касается всех последующих примеров.

152

Мы снова просим вас принять эту систему выигрышей в качестве инструмента для передачи идей. Вы можете поэкспериментировать с таблицей выигрышей, чтобы увидеть, как это скажется на роли и эффективности стратегических ходов.

153

В главе 10 мы более подробно проанализируем важность повторяющихся или постоянных отношений в попытке обеспечить кооперативный результат в дилемме заключенных.

154

Sun Tzu, The Art of War, trans. Samuel B. Griffith (Oxford: Oxford University Press, 1963), p. 110. (Сунь-цзы. Искусство войны. М.: Кладезь, АСТ, 2012.)

155

Шеллинг Т. Стратегия конфликта. М.: ИРИСЭН, Социум, 2016.

156

Sun Tzu, The Art of War, pp. 109–110 (Сунь-цзы. Искусство войны. М.: Кладезь, АСТ, 2012).

157

Мы благодарны профессору политологии Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе Томасу Шварцу за идею для этого упражнения.

158

William C. Charron, Greeks and Games: Forerunners of Modern Game Theory, Forum for Social Economics, vol. 29, no. 2 (Spring 2000), pp. 1–32.

159

Отказ от сотрудничества в качестве ответной меры, предпринимаемой в соответствии с требованиями триггерной стратегии, часто обозначают термином «наказание», чтобы отличить от исходного решения отказаться от сотрудничества.

160

В приложении к данной главе дается подробное описание решения бесконечных сумм.

161

Мы могли бы также выразить R через r и p; в таком случае R = (1 + r)/p — 1.

162

Издержки, связанные с отказом от сотрудничества, могут быть меньше в случае несовершенной передачи информации (как в играх с большим количеством участников), поэтому могут возникнуть трудности с идентификацией игрока, отказавшегося сотрудничать, а также с координацией схемы наказания. Аналогичным образом прибыль, полученная в связи с отказом от сотрудничества, может быть больше, если соперники не могут сразу обнаружить отказ от сотрудничества.

163

Обратите внимание, что в этом случае мы получаем тот же результат, что и в повторяющейся игре, которую анализировали в разделе 2.

164

Вспомните о таких персонажах, как Рип Ван Винкль или герой Вуди Аллена из фильма «Спящий», только в данном случае продолжительность сна гораздо меньше.

165

Mancur Olson, The Logic of Collective Action (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1965), p. 29.

166

Существует огромное множество книг и статей о дилемме заключенных. Краткий обзор этих работ представлен здесь: Alvin Roth, The Handbook of Experimental Economics (Princeton: Princeton University Press, 1995), pp. 26–28. Ссылки на другие источники можно найти в журналах по психологии и экономике. Описание некоторых примеров, анализируемых в данной книге, можно найти здесь: Kenneth Terhune, Motives, Situation, and Interpersonal Conflict Within Prisoners’ Dilemmas, Journal of Personality and Social Psychology Monograph Supplement, vol. 8, no. 30 (1968), pp. 1–24; R. Selten and R. Stoecker, End Behavior in Sequences of Finite Prisoners’ Dilemma Supergames, Journal of Economic Behavior and Organization, vol. 7 (1986), pp. 47–70; and Lisa V. Bruttel, Werner Güth, and Ulrich Kamecke, Finitely Repeated Prisoners’ Dilemma Experiments Without a Commonly Known End, International Journal of Game Theory, vol. 41 (2012), pp. 23–47. Роберт Аксельрод изложил результаты организованного им компьютерного турнира по разработке лучшей стратегии в бесконечно повторяющейся дилемме заключенных в книге Robert Axelrod, Evolution of Cooperation (New York: Basic Books, 1984).

167

David Kreps, Paul Milgrom, John Roberts, and Robert Wilson, “Rational Cooperation in a Finitely Repeated Prisoner’s Dilemma,” Journal of Economic Theory, vol. 27 (1982), pp. 245–52.

168

Axelrod, Evolution of Cooperation, p. 110.

169

Описание и анализ экспериментов Аксельрода с использованием компьютерного моделирования с биологической точки зрения можно найти здесь: Matt Ridley, The Origins of Virtue (New York: Penguin Books, 1997), pp. 61, 75. Описание различий между экспериментами с участием компьютерных программ и экспериментами с участием людей см. здесь: John K. Kagel and Alvin E. Roth, Handbook of Experimental Economics (Princeton: Princeton University Press, 1995), p. 29.

170

См. Wendy M. Grossman, “New Tack Wins Prisoner’s Dilemma,” Wired, October 13, 2004: http://archived.wired.com/culture/lifestyle/news/2004/10/65317 (accessed August 1, 2014).

171

Larry Conik, Science Classics: The Bowerbird’s Dilemma, Discover, October 1994.

172

Шалашники (беседковые птицы) — птицы семейства воробьиных. Обитают в Австралии, Новой Гвинее и на прилегающих островах. Для спаривания самцы строят на земле «шалаши» и украшают площадку вокруг них разнообразными цветными предметами. Прим. ред.

173

Печатные объявления о политике гарантии лучшей цены в Toys «R» Us размещены на видных местах во всех магазинах. Обычный телефонный звонок подтвердил, что в Kmart придерживаются такой же политики. Аналогичная политика проводится во многих отраслях, в том числе в сфере кредитных карт, где можно встретить объявления о «гарантии лучшей процентной ставки». См. Aaron S. Edlin, “Do Guaranteed-Low-Price Policies Guarantee High Prices, and Can Antitrust Rise to the Challenge?” Harvard Law Review, vol. 111, no. 2 (December 1997), pp. 529–75.

174

Данные о повышении цен в случае гарантии лучшей цены представлены здесь: J. D. Hess and Eitan Gerstner, “Price-Matching Policies: An Empirical Case,” Managerial and Decision Economics, vol. 12 (1991), pp. 305–315. Противоположные свидетельства, подтверждающие снижение цен в случае гарантии лучшей цены, можно найти здесь: Maria Arbatskaya, Morten Hviid, and Greg Shaffer, “Promises to Match or Beat the Competition: Evidence from Retail Tire Prices,” Advances in Applied Microeconomics, vol. 8: Oligopoly (New York: JAI Press, 1999), pp. 123–138.

175

См. Subhasish Dugar, “Price-Matching Guarantees and Equilibrium Selection in a Homogeneous Product Market: An Experimental Study,” Review of Industrial Organization, vol. 30 (2007), pp. 107–119.

176

См. Nicholas Stern, The Economics of Climate Change: The Stern Review (Cambridge: Cambridge University Press, 2007).

177

Майкл Либрайх представил результаты анализа Киотского протокола как повторяющейся дилеммы заключенных в своей статье «Как спасти планету: доброжелательность, возмездие, прощение и предсказуемость». См. Michael Liebriech, How to Save the Planet: Be Nice, Retaliatory, Forgiving and Clear,” New Energy Finance White Paper, September 11, 2007. Статья доступна для скачивания на сайте: www.bnef.com/InsightDownload/7080/pdf/ (accessed August 1, 2014).

178

James Andreoni and Hal Varian, Preplay Contacting in the Prisoners’ Dilemma,” Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 96, no. 19 (September 14, 1999), pp. 10933–38.

179

Специалист по бесконечным суммам сказал бы, что здесь мы имеем дело с суммой бесконечной убывающей прогрессии, формула для вычисления которой известна из курса средней школы. Прим. ред.

180

Общественные блага рассматриваются более подробно в учебниках по экономике общественного сектора, таких как Jonathan Gruber, Public Finance and Public Policy, 4th ed. (New York: Worth, 2012), Harvey Rosen and Ted Gayer, Public Finance, 9th ed. (Chicago: Irwin/McGraw-Hill, 2009) и Joseph Stiglitz, Economics of the Public Sector, 3rd ed. (New York: W. W. Norton & Company, 2000).

181

Garrett Hardin, The Tragedy of the Commons, Science, vol. 162 (1968), pp. 1243–48.

182

В нескольких упражнениях в конце главы содержится ряд примеров простых ситуаций с нелинейными функциями выигрышей и множествами равновесий. Более общий анализ и классификацию таких графиков можно найти в книге: Thomas Schelling, Micromotives and Macrobehavior (New York: W. W. Norton & Company, 1978), ch. 7. Эту теорию можно развить еще дальше, предоставив в распоряжение каждого игрока непрерывный выбор действий (например, участие на протяжении определенного количества часов) вместо бинарного выбора — участвовать или нет. Анализ многих подобных ситуаций представлен в специализированных книгах по теме коллективного действия, как то: Todd Sandler, Collective Action: Theory and Applications (Ann Arbor: University of Michigan Press, 1993); Richard Cornes and Todd Sandler, The Theory of Externalities, Public Goods, and Club Goods, 2nd ed. (New York: Cambridge University Press, 1996).

183

Термин «положительная обратная связь» может создать впечатление, будто это нечто хорошее, но на формальном языке этим термином просто обозначается соответствующий процесс и он не содержит никаких оценочных суждений в отношении исхода игры. В данном примере один и тот же механизм положительной обратной связи может привести либо к исходу «все пользователи Unix», либо к исходу «все пользователи Windows»; при этом один исход может оказаться хуже другого.

184

Не все согласны с тем, что клавиатура Дворака и видеомагнитофон Betamax однозначно были лучшими альтернативами. См. две статьи по этой теме: S. J. Liebowitz and Stephen E. Margolis, Network Externality: An Uncommon Tragedy, Journal of Economic Perspectives, vol. 8 (Spring 1994), pp. 146–49, and The Fable of the Keys, Journal of Law and Economics, vol. 33 (April 1990), pp. 1–25.

185

Кейнс Дж. Общая теория занятости, процента и денег. М.: Гелиос APB, 2015. Информацию о формальных теоретико-игровых моделях равновесий в условиях безработицы можно найти здесь: John Bryant, “A Simple Rational-Expectations Keynes-type Model,” Quarterly Journal of Economics, vol. 98 (1983), pp. 525–28, and Russell Cooper and Andrew John, “Coordination Failures in a Keynesian Model,” Quarterly Journal of Economics, vol. 103 (1988), pp. 441–63.

186

Упомянутые здесь великие старые книги многократно переиздавались во многих версиях. По каждой книге мы указываем год первой публикации и данные об одном новом издании, к которому сравнительно легко получить доступ. В каждом новом издании есть предисловие редактора, в котором для удобства кратко изложены основные идеи книги. Thomas Hobbes, Leviathan; or the Matter, Form, and Power of Commonwealth Ecclesiastical and Civil, 1651 (Everyman Edition, London: J. M. Dent, 1973); David Hume, A Treatise of Human Nature, 1739 (Oxford: Clarendon Press, 1976); Jean-Jacques Rousseau, A Discourse on Inequality, 1755 (New York: Penguin Books, 1984); Adam Smith, An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations, 1776 (Oxford: Clarendon Press, 1976). Переводы на русский язык: Гоббс Т. Избранные произведения, т. 1–2. М., 1964; Юм Д. Сочинения в двух томах. М.: Мысль, 1996; Руссо Ж.-Ж. Трактаты. М.: Наука, 1969; Смит А. Исследование о природе и причинах богатства народов. М.: Эксмо, 2007.

187

Mancur Olson, The Logic of Collective Action (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1965).

188

Вот самые известные из этих работ: Michael Taylor, The Possibility of Cooperation (New York: Cambridge University Press, 1987); Elinor Ostrom, Governing the Commons (New York: Cambridge University Press, 1990) (Остром Э. Управляя общим. Эволюция институтов коллективной деятельности. М.: Мысль, ИРИСЭН, 2011); Matt Ridley, The Origins of Virtue (New York: Viking Penguin, 1996) (Ридли М. Происхождение альтруизма и добродетели. От инстинктов к сотрудничеству. М.: Эксмо, 2013).

189

Проблема необходимости достижения сотрудничества и ее решения существуют не только в человеческом обществе. Биологи объясняют примеры кооперативного поведения в животном мире с точки зрения генетического преимущества и эволюции инстинктов. Более подробную информацию об этом можно найти в главе 12 книги Мэтта Ридли «Происхождение альтруизма и добродетели».

190

См. главы 6 и 7 книги Мэтта Ридли «Происхождение альтруизма и добродетели».

191

В общественных науках нет точного общепринятого определения таких терминов, как «традиция» и «норма»; различия между ними также не всегда бывают понятны и однозначны. В данном разделе мы предлагаем ряд определений, но в других книгах вы можете встретить другой контекст употребления этих терминов. Мы придерживаемся подхода, аналогичного подходу в следующих статьях: Richard Posner and Eric Rasmusen, “Creating and Enforcing Norms, with Special Reference to Sanctions,” International Review of Law and Economics, vol. 19, no. 3 (September 1999), pp. 369–82 и David Kreps, “Intrinsic Motivation and Extrinsic Incentives,” American Economic Review, Papers and Proceedings, vol. 87, no. 2 (May 1997), pp. 359–64. Крепс использует термин «норма» для всех тех концепций, которые мы обозначаем другими терминами. Социологи используют классификацию норм, отличающуюся от классификации экономистов. Она основана на степени важности социальных норм (простые нормы, такие как правила поведения за столом, обозначаются термином «обычаи», а для более важных норм предназначен термин «нравы») и на том, обеспечивается ли их формальное закрепление в виде законов. Кроме того, социологи проводят различие между ценностями и нормами, учитывая то, что некоторые нормы могут противоречить ценностям человека, а значит, для их выполнения потребуются определенные санкции. Это различие соответствует нашему разделению на традиции, принятые нормы и принудительные нормы. Конфликт между личными ценностями человека и социальными целями возникает в случае принудительных норм, но не в случае традиций или соглашений, как мы их называем, или принятых норм. См. Donald Light and Suzanne Keller, Sociology 4th ed. (New York: Knopf, 1987), pp. 57–60.

192

В книге, посвященной теме появления сотрудничества, биолог-эволюционист Ли Дугаткин называет это «эгоистичной командной работой». Он утверждает, что вероятность формирования такого поведения повышается в периоды кризиса, поскольку каждый человек играет в такое время ключевую роль. В кризисной ситуации исход группового взаимодействия может оказаться катастрофическим для всех, если хотя бы один человек не внесет свой вклад в усилия всей группы, направленные на поиск выхода из кризиса. В связи с этим каждый человек готов внести свой вклад, если это делают все остальные. В главе 12, посвященной эволюционным играм, мы вкратце расскажем о подробной классификации альтернативных подходов к сотрудничеству, разработанной Дугаткиным. См. Lee Dugatkin, Cheating Monkeys and Citizen Bees (New York: Free Press, 1999).

193

Анализ этой темы вместе с многочисленными примерами и областями применения можно найти здесь: Michael Chwe, Rational Ritual: Culture, Coordination, and Common Knowledge (Princeton: Princeton University Press, 2001).

194

См. Colin Camerer, Behavioral Game Theory (Princeton: Princeton University Press, 2003), pp. 65–67. Информацию об особенностях просоциального поведения в случае различных аспектов демографических характеристик представителей разных культур можно найти на с. 63–75.

195

Информацию, подтверждающую существование врожденной склонности к альтруистическому наказанию, можно найти в статье: Ernst Fehr and Simon Gächter, Altruistic Punishment in Humans, Nature, vol. 415 (January 10, 2002), pp. 137–40.

196

Наше разграничение между общепринятыми и принудительными нормами аналогично предложенному Крепсом разграничению между функциями и нормами (Kreps, Intrinsic Motivation and Extrinsic Incentives, p. 359). Помимо наказания за нежелательные действия, общество может также вознаграждать людей за желаемые действия. Вознаграждение, будь то материальное или нематериальное, может предоставляться извне или выигрыши игрока можно изменить таким образом, чтобы ему нравилось делать правильные вещи. Два типа вознаграждений могут переплетаться друг с другом. Например, титул пэра или рыцаря, который присваивается британским филантропам и другим людям, совершающим добрые дела для британского общества, — это внешнее вознаграждение, но люди ценят эти титулы только потому, что уважение к пэрам и рыцарям в Великобритании социальная норма.

197

Assar Lindbeck, “Incentives and Social Norms in Household Behavior,” American Economic Review, Papers and Proceedings, vol. 87, no. 2 (May 1997), pp. 370–77.

198

Orlando Figes, A People’s Tragedy: The Russian Revolution 1891–1924 (New York: Viking Penguin, 1997), pp. 89–90, 240–41, 729–30. Другие примеры того, как внешние, навязанные правительством способы решения проблем использования общих ресурсов на самом деле только усугубили их, можно найти в книге Элинор Остром «Управляя общим».

199

Avner Greif, “Cultural Beliefs and the Organization of Society: A Historical and Theoretical Reflection on Collectivist and Individualist Societies,” Journal of Political Economy, vol. 102, no. 5 (October 1994), pp. 912–50.

200

Олсон М. Логика коллективных действий: Общественные блага и теория групп: Пер. с англ. / М. Олсон. М.: Фонд Экономической Инициативы, 1995.

201

E. E. Schattschneider, Politics, Pressures, and the Tariff (New York: Prentice-Hall, 1935); see especially pp. 285–86.

202

Stephen V. Marks, “A Reassessment of the Empirical Evidence on the U.S. Sugar Program,” in The Economics and Politics of World Sugar Policies, ed. Stephen V. Marks and Keith E. Maskus (Ann Arbor: University of Michigan Press, 1993), pp. 79–108.

203

Яркое обоснование этого эффекта можно найти в главах 3 и 4 книги David Landes, The Wealth and Poverty of Nations (New York: W. W. Norton & Company, 1998), ch. 3 and ch. 4.

204

Более полное описание истории Китти Дженовезе и анализа ситуаций такого рода с точки зрения социальной психологии можно найти здесь: John Sabini, Social Psychology, 2nd ed. (New York: W. W. Norton & Company, 1995), pp. 39–44. Наша теоретико-игровая модель основана на следующей работе: Thomas Palfrey, Howard Rosenthal, “Participation and the Provision of Discrete Public Goods,” Journal of Public Economics, vol. 24 (1984), pp. 171–93. Не так давно многие предполагаемые факты об этом случае были поставлены под сомнение в книге Kevin Cook, Kitty Genovese: The Murder, the Bystanders, and the Crime that Changed America (New York: W. W. Norton & Company, 2014). Тем не менее влияние первоначально опубликованной истории на мышление американцев сохраняет свою силу и по-прежнему представляет подходящий пример для анализа с точки зрения теории игр.

205

Рассмотрим случай, когда B = 10, а C = 8. Значение P равно 0,8 при N = 2, увеличивается до 0,998 при N = 100 и приближается к 1 по мере дальнейшего увеличения N. Вероятность совершения действия любым членом группы составляет 1 — P, и она падает от 0,2 до 0, когда N увеличивается от 2 до бесконечности.

206

John Tierney, “The Boor War: Urban Cranks, Unite — Against All Uncivil Behavior. Eggs Are a Last Resort,” New York Times Magazine, January 5, 1997.

207

Канеман Д. Думай медленно… решай быстро. М.: АСТ, 2014.

208

Динамика фенотипов обусловлена базовой динамикой генотипов, однако по крайней мере на элементарном уровне в эволюционной биологии анализ фокусируется на уровне фенотипов, а генетические аспекты эволюции отодвигаются на второй план. В своем описании эволюционных игр мы поступим аналогичным образом. Некоторые теории, рассматривающие эволюцию на уровне генотипов, можно найти в работах, перечисленных в следующей сноске.

209

Robert Pool, “Putting Game Theory to the Test,” Science, vol. 267 (March 17, 1995), pp. 1591–93 — прекрасная статья для широкой аудитории, в которой много примеров из биологии. Джон Смит анализирует такие игры в биологии в следующих книгах: John Maynard Smith, Evolutionary Genetics, 2nd ed., (Oxford: Oxford University Press, 1998), ch. 7; Evolution and the Theory of Games (Cambridge: Cambridge University Press, 1982). В первой книге содержится также много информации об эволюции. Продвинутым читателям рекомендуем следующие книги: Peter Hammerstein and Reinhard Selten, “Game Theory and Evolutionary Biology,” in Handbook of Game Theory, vol. 2, ed. R. J. Aumann; S. Hart (Amsterdam: North Holland, 1994), pp. 929–93; Jorgen Weibull, Evolutionary Game Theory (Cambridge, Mass.: MIT Press, 1995).

210

На самом деле области применения эволюционной теории не должны ограничиваться теорией игр. Приведенная ниже шутка предлагает «эволюционную теорию гравитации» в качестве альтернативы физическим теориям Ньютона или Эйнштейна.

Вопрос: Почему яблоко падает с дерева на землю?

Ответ: Поначалу яблоки, которые отрывались от веток дерева, отправлялись во всех направлениях. Но только те из них, которые были генетически предрасположены к падению на землю, смогли размножиться.

211

В контексте рационального поведения, о котором шла речь в предыдущих главах, мы сказали бы, что «отказ от сотрудничества» — это строго доминирующая стратегия.

212

Эта игра — всего лишь один пример дважды повторяющейся дилеммы заключенных. При других выигрышах в основной игре в случае двойного повторения равного счета может и не быть. Именно такая ситуация сложилась в истории о попавших в тюрьму супругах из главы 4. Если и первичный, и вторичный критерий дают равный счет, ни один из фенотипов не удовлетворяет нашему определению эволюционно устойчивой стратегии, поэтому нам необходимо расширить понимание того, что образует равновесие в эволюционной игре. Мы проанализируем эту возможность в разделе 5, а в разделе 6 сформулируем общую теорию решения вопросов, связанных с таким исходом.

213

Строго говоря, доля определенного типа в популяции представляет собой конечное число и может принимать только такие значения, как 1 / 1 000 000, 2 / 1 000 000 и т. д. Однако если популяция достаточно большая и мы показываем все эти значения на прямой линии (как на рис. 12.4), тогда эти точки находятся очень близко друг от друга и мы можем считать, что они образуют непрерывную линию. Это равносильно допущению, что доля того или иного типа в популяции может представлять собой любое действительное число от 0 до 1. В таком случае мы можем говорить о проценте определенного поведенческого типа в популяции. На том же основании можно утверждать, что если один отдельно взятый член популяции попадает в тюрьму и его удаляют из популяции, это не меняет соотношения в ней различных фенотипов.

214

Теперь вам следует построить аналогичный график для игры с двумя повторениями. Вы увидите, что линия типа В находится над линией типа О при всех значениях x меньше 1, но у правого края рисунка, где x = 1, эти две линии сходятся.

215

Можно было бы снять интересную фантастическую комедию под названием «Вторжение тюфяков-мутантов».

216

Могут существовать также эволюционно устойчивые смешанные стратегии, когда каждый член популяции использует смешанную стратегию. Мы проанализируем эту идею более подробно в разделе 6.Д.

217

В книге «Теория эволюционных игр» Йорген Вейбулл определяет нейтральную устойчивость как ослабление стандартных критериев эволюционной устойчивости.

218

Более подробная информация о пятнистобоких игуанах представлена в статье: Kelly Zamudio and Barry Sinervo, “Polygyny, Mate-Guarding, and Posthumous Fertilizations As Alternative Mating Strategies,” Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 97, no. 26 (December 19, 2000), pp. 14427–32.

219

В одном из упражнений в главе 7 рассматривается рациональное теоретико-игровое равновесие в одной из версий игры КНБ. Вы должны без особых усилий суметь подтвердить тот факт, что в этой игре нет равновесия в чистых стратегиях.

220

Для того чтобы убедиться в том, что сумма трех долей равна 1, необходимо приложить немного больше усилий, но все же это можно сделать. В целях простоты объяснения идей мы не приводим здесь математические выкладки. В упражнениях, рассчитанных на читателей с достаточной математической подготовкой, мы даем более строгое описание этой динамики.

221

Результаты исследований по теме кишечной палочки можно найти здесь: Martin Nowak and Karl Sigmund, “Biodiversity: Bacterial Game Dynamics,” Nature, vol. 418 (July 11, 2002), p. 138. Если бы три штамма этой бактерии принудительно перемещались на регулярной основе, один штамм мог бы взять верх над остальными в течение нескольких дней: «победивший» штамм превзошел бы по численности второй штамм, который мог бы быстро уничтожить третий.

222

Читатели, которые, напротив, хотят получить более подробную информацию по этой теме, могут найти ее в книге: John Maynard Smith, Evolution and the Theory of Games (особенно с. 14–15). Джон Смит — основоположник теории эволюционных игр.

223

Если исходная популяция полиморфна и m — это доля типа J, тогда значение m может и не быть малым, Тем не менее в этом случае величина m не играет особой роли, поскольку теперь второй член выражения W(I) — W(J) считается равным нулю.

224

На самом деле первичный критерий немного более строгий, чем стандартное определение равновесия Нэша, которое больше соответствует критерию нейтральной устойчивости.

225

В эволюционной биологии игры такого типа называются «асимметричными» играми. Симметричные игры — это игры, в которых игрок не может определить тип другого игрока посредством наблюдения за его внешними характеристиками; в асимметричных играх игроки могут различать друг друга.

226

Осмелимся предположить, что разделение мужчин и женщин на отдельные виды — это возможность, о которой многие из вас думали хотя бы раз в жизни!

227

Этот вывод подтверждает и представляет в другом свете свойство равновесий в смешанных стратегиях, согласно которому комбинация стратегий, выбранных каждым игроком, поддерживает безразличие другого игрока в отношении выбора одной из чистых стратегий. Теперь мы можем описать эту ситуацию так: в полиморфном эволюционном равновесии в игре с участием двух видов доля типа каждого вида поддерживает одинаковый уровень приспособленности выживших типов других видов.

228

Превосходное описание этой классификации можно найти в книге: Lee Dugatkin, Cheating Monkeys and Citizen Bees: The Nature of Cooperation in Animals and Humans (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 2000).

229

В данном разделе мы не можем уделить достаточно внимания всем этим вопросам и дискуссиям. Превосходный популярный обзор содержится в следующей книге, из которой взяты многие приведенные здесь примеры: Matt Ridley, The Origins of Virtue (New York: Penguin, 1996) (Мэтт Ридли. Происхождение альтруизма и добродетели. Эксмо, 2013.) Следует отметить, что в данном разделе нет подробного анализа связи между генотипами и фенотипами или роли пола в эволюции. Увлекательное описание этой темы можно найти в другой книге Мэтта Ридли: Matt Ridley, The Red Queen (New York: Penguin, 1995) (Мэтт Ридли. Секс и эволюция человеческой природы. Эксмо, 2011.).

230

Dugatkin, Cheating Monkeys, p. 99.

231

Согласно строгой теории эволюции, которая делает акцент на отборе на уровне генов, групповой альтруизм считался невозможным, однако эта концепция получила дальнейшее развитие в современных теориях. Более подробный анализ этой темы можно найти здесь: Dugatkin, Cheating Monkeys, pp. 141–145.

232

Apsley Cherry-Garrard, The Worst Journey in the World (London: Constable, 1922; reprinted New York: Carroll and Graf, 1989), pp. 485–86 (Черри-Гаррард Э. Самое ужасное путешествие. М.: Паулсен, 2014).

233

Фактические данные, подтверждающие существование альтруистического наказания, представлены здесь: Ernst Fehr and Simon Gachter, “Altruistic Punishment in Humans,” Nature, vol. 415 (January 10, 2002), pp. 137–40.

234

Мэтт Ридли. Происхождение альтруизма и добродетели.

235

Коэффициентом эластичности предложения называется отношение процентного изменения величины предложения к процентному изменению какого-либо фактора, влияющего на это предложение. Предложение будет неэластичным, если коэффициент эластичности меньше 1. В случае неэластичного предложения темпы роста предложения меньше темпа изменения фактора, от которого зависит предложение. Прим. ред.

236

“Economics Focus: Secrets and the Prize,” Economist, October 12, 1996.

237

Тип политики ценообразования, подразумевающей установление разных цен для разных групп клиентов на основе определенной отличительной характеристики, обозначается термином «ценовая дискриминация третьей степени». Такая ценовая дискриминация отличается от варианта ценовой дискриминации, о котором шла речь выше. Существует также ценовая дискриминация второй степени, когда компании назначают разные цены клиентам, покупающим разное количество продуктов (пример — оптовые скидки).

238

В общем случае за контракт на строительство автомагистрали могут конкурировать многие подрядчики. В данном примере мы ограничимся ситуацией, в которой подрядчик только один.

239

В реальном контракте будет много пунктов, оговаривающих качество и сроки выполнения работ, надзора за строительством и пр. Мы опускаем здесь эти детали для простоты изложения основных идей разработки механизмов.

240

Если за получение этой работы конкурируют несколько подрядчиков, то те из них, кого не выбрали, могут раскрыть информацию об истинном объеме затрат. Однако в крупных проектах по строительству автомагистралей (как и во многих других правительственных проектах, таких как военные заказы) участвует небольшое количество подрядчиков, которым выгоднее вступить в тайный сговор и не раскрывать такую конфиденциальную информацию. Для простоты мы ограничимся случаем, когда есть только один подрядчик.

241

Tim Harford, The Undercover Economist: Exposing Why the Rich Are Rich, the Poor Are Poor — and Why You Can Never Buy a Decent Used Car! (New York: Oxford University Press, 2005). (Издана на русском языке: Харфорд Т. Экономист под прикрытием. М.: BestBusinessBooks, 2009. Прим. ред.). В первых двух главах книги приведены примеры механизмов ценообразования.

242

Классический труд по этой теме: JeanJacques Laffont and Jean Tirole, A Theory of Incentives in Procurement and Regulation (Cambridge, Mass.: MIT Press, 1993).

243

Важно, чтобы в случае возникновения разногласий вы (или менеджер) были в состоянии показать третьей стороне (такой как арбитражный или обычный суд), вложил ли менеджер оговоренные усилия в выполнение работы или нет. Это условие, которое часто обозначают термином «проверяемость», более строгое по сравнению с наблюдаемостью действий сторон контракта (в качестве которых в данном случае выступаете вы и менеджер). Когда мы используем термин «наблюдаемость», мы имеем в виду именно такую публичную наблюдаемость или проверяемость.

244

В ситуации, когда владелец также не расположен к риску, применимы те же методы.

245

В действительности страховые компании рассматривают неспособность держателей полисов принимать меры предосторожности, направленные на снижение степени риска, как безнравственное поведение; от этого и происходит термин «моральный риск».

246

Строго говоря, функция полезности выглядит теперь так: u = √I − E, где I — доход; E — отрицательная полезность усилий, составляющая 25 в случае качественного и 0 в случае некачественного резервуара.

247

Сравните первый член в левой части с первым членом в правой части неравенства, описывающего ограничение совместимости стимулов. Приложение усилий к строительству качественного водосборного резервуара повышает постоянный множитель при высокой полезности с 0,50 до 0,75. Сравнив таким же образом вторые члены в обеих частях неравенства, вы увидите, что отказ от усилий повышает постоянный множитель при низкой полезности с 0,25 до 0,50. Эти различия аналогичны тем аспектам схемы стимулирования из раздела 5.А, которые соответствуют «кнуту» и «прянику».

248

Прекрасный обзор теории и практики механизмов стимулирования можно найти в статье: Canice Prendergast, The Provision of Incentives in Firms, Journal of Economic Literature, vol. 37, no. 1 (March 1999), pp. 7–63. В ней Прендергаст приводит ссылки на оригинальные научные труды, многие выводы и истории из которых упоминаются в данном разделе, поэтому мы не будем повторять соответствующие отсылки к источникам. Следующая книга охватывает более широкий круг вопросов управления персоналом, объединяя теории из области экономики, социологии и социальной психологии: James N. Baron and David M. Kreps, Strategic Human Resources: Frameworks for General Managers (New York: Wiley, 1999). Главы 8, 11 и 16, а также приложения C и D больше всего связаны с темой данной главы и книги.

249

Вот две замечательные работы, в которых идет речь об изучении примеров из практики с теоретическим обоснованием: Pankaj Ghemawat, Games Businesses Play: Cases and Models (Cambridge, Mass.: MIT Press, 1997); Robert H. Bates, Avner Greif, Margaret Levi, Jean-Laurent Rosenthal, and Barry Weingast, Analytic Narratives (Princeton: Princeton University Press, 1998). Более широкий анализ этого подхода можно найти здесь: Alexander L. George and Andrew Bennett, Case Studies and Theory Development in the Social Sciences (Cambridge, Mass.: MIT Press, 2005).

250

Мы пользовались следующими источниками: Robert Smith Thompson, The Missiles of October (New York: Simon & Schuster, 1992); James G. Blight and David A. Welch, On the Brink: Americans and Soviets Reexamine the Cuban Missile Crisis (New York: Hill and Wang, 1989); Richard Reeves, President Kennedy: Profile of Power (New York: Simon & Schuster, 1993); Donald Kagan, On the Origins of War and the Preservation of Peace (New York: Doubleday, 1995); Aleksandr Fursenko and Timothy Naftali, One Hell of a Gamble: The Secret History of the Cuban Missile Crisis (New York: W. W. Norton & Company, 1997). И последний, самый полный источник: The Kennedy Tapes: Inside the White House During the Cuban Missile Crisis, ed. Ernest R. May and Philip D. Zelikow (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1997). Книга Грэма Аллисона «Сущность решения: Объяснение кубинского ракетного кризиса» (М., 1971; переиздана в 1999 году) сохраняет свою актуальность не только благодаря сюжету, но и благодаря анализу и интерпретации кризиса. Наша точка зрения несколько отличается от мнения ее автора по некоторым важным вопросам, но мы по-прежнему благодарны ему за ценные идеи. Эти идеи в более полном виде представлены в книге: Нейлбафф Б., Диксит А. Стратегическое мышление в бизнесе, политике и личной жизни. М.: Вильямс, 2007 (глава 8). Когда мы ссылаемся на эти источники для документального подтверждения некоторых моментов, соответствующие ссылки приводятся в тексте в скобках с указанием номеров и диапазона страниц. В названиях некоторых из представленных выше книг выделены ключевые слова.

251

Тем, у кого нет доступа к информации из первых рук или кому необходимо начальное знакомство с подробностями и драмой этого ракетного кризиса, рекомендуем посмотреть художественный фильм Thirteen Days («Тринадцать дней»). Новая, сравнительно небольшая книга Шелдона Стерна содержит документальные свидетельства о Карибском кризисе, полученные на основании записей совещаний в администрации Кеннеди, что позволило составить максимально точное описание и выполнить анализ этого кризиса. Книга Шелдона Стерна — пожалуй, лучшая краткая книга по данной теме для заинтересованного читателя. См. Sheldon Stern, The Cuban Missile Crisis in American Memory: Myths versus Reality (Stanford, Calif.: Stanford University Press, 2012).

252

Из обширной советской и российской литературы, посвященной Карибскому кризису, здесь мы рекомендуем только одну книгу, которая отличается научной основательностью, документальной обоснованностью выводов и глубиной анализа. Это книга Микоян С. А. Анатомия Карибского кризиса. М.: Academia, 2006. Прим. ред.

253

Richard Rhodes, Dark Sun: The Making of the Hydrogen Bomb (New York: Simon & Schuster, 1995), pp. 573–75. Кертис Лемей, известный своими крайними взглядами и привычкой постоянно жевать незажженную сигару, предположительно стал прототипом героя художественного фильма 1963 года «Доктор Стрейнджлав» Джека Риппера, который отдал своим бомбардировщикам приказ совершить неспровоцированное нападение на Советский Союз.

254

Эта история была обнародована во время конференции, которая проходила в октябре 2002 года в Гаване и была посвящена 40-летней годовщине Карибского кризиса. См. Kevin Sullivan, “40 Years After Missile Crisis, Players Swap Stories in Cuba,” Washington Post, October 13, 2002, p. A28. Член экипажа этой советской подводной лодки Вадим Орлов сообщил о том, что офицером, который отказался запускать торпеду, был Василий Архипов, который умер в 1999 году.

255

Этот результат известен в политологии как закон Дюверже, который мы проанализируем более подробно в разделе 3.А.

256

Классический учебник по этой теме, который сыграл важную роль в популяризации теории игр в области политических наук: William Riker, Liberalism Against Populism (San Francisco: W. H. Freeman, 1982). Общий обзор этой темы можно найти в сборнике статей: “Economics of Voting,” Journal of Economic Perspectives, vol. 9, no. 1 (Winter 1995). Одна из первых научных работ по этой теме: Michael Dummett, Voting Procedures (Oxford: Clarendon Press, 1984). В следующей книге представлены новые идеи, которые мы проанализируем ниже в данной главе: Donald Saari, Chaotic Elections (Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2000).

257

Обратите внимание на то, что такие индексы (или показатели) должны предусматривать точный порядок действий в случае ничьих. Во время чемпионата мира по футболу применяется система, в которой ничья получает заниженную оценку, с тем чтобы стимулировать более агрессивную игру. См. Barry Nalebuff and Jonathan Levin, “An Introduction to Vote Counting Schemes,” Journal of Economic Perspectives, vol. 9, no. 1 (Winter 1995), pp. 3–26.

258

В отличие от других методов, история которых насчитывает несколько столетий, одобрительный метод голосования разработал в 1971 году, еще будучи студентом, Роберт Вебер. В настоящее время Роберт Вебер профессор экономики управления и теории принятия решений Северо-Западного университета и специализируется на теории игр.

259

Парадокс Кондорсе получил настолько широкую известность, что экономисты называют его просто парадоксом голосования. По всей вероятности, политологи лучше осведомлены в этом вопросе, поскольку чаще используют официальное название данного парадокса. Как мы увидим ниже, помимо парадокса Кондорсе, существует еще немало других парадоксов голосования.

260

См. Peter Ordeshook, Game Theory and Political Theory (Cambridge: Cambridge University Press, 1986), p. 58.

261

Полное описание этой теоремы, которую часто называют «общей теоремой о возможности Эрроу», можно найти в книге: Kenneth Arrow, Social Choice and Individual Values, 2nd ed. (New York: Wiley, 1963). (Эрроу К. Дж. Коллективный выбор и индивидуальные ценности. М.: ГУ ВШЭ, 2004).

262

Уолтер Николсон и Кристофер Снайдер приводят подробное описание теоремы о невозможности Эрроу в книге: Walter Nicholson, Christopher Snyder. Microeconomic Theory, 11th ed. (New York: Cengage Learning, 2012), ch. 19.

263

Duncan Black, “On the Rationale of Group Decision-Making,” Journal of Political Economy, vol. 56, no. 1 (February 1948), pp. 23–34.

264

См. Partha Dasgupta and Eric Maskin, On the Robustness of Majority Rule, Journal of the European Economic Association, vol. 6 (2008), pp. 949–73.

265

Более точная информация о работе Саари по теореме Эрроу представлена здесь: D. Saari, Mathematical Structure of Voting Paradoxes I: Pairwise Vote, Economic Theory, vol. 15 (2000), pp. 1–53. Дополнительную информацию об этом результате и о робастности подсчета Борда можно найти здесь: D. Saari, Chaotic Elections (Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2000).

266

В политике спойлером называют кандидата или партию на выборах, который не имеет шансов победить, но оттягивает на себя часть голосов за другого кандидата со сходной программой, повышая тем самым шансы на победу кандидата или партии с противоположной позицией по главным вопросам. Прим. ред.

267

Обратите внимание, что в случае применения метода одобрительного голосования такой проблемы нет.

267

“Ross Reruns,” Newsweek, Special Election Recap Issue, November 18, 1996, p. 104.

269

Во многих книгах, посвященных теме голосования, отмечается тот факт, что участники голосования, которым необходимо сделать выбор из пары альтернатив, в последнем туре всегда голосуют в соответствии со своими истинными предпочтениями.

270

Более подробный анализ этого примера можно найти здесь: Riker, Liberalism Against Populism, pp. 152–57.

271

Этот результат можно найти в книге: P. Ordeshook and T. Palfrey, “Agendas, Strategic Voting, and Signaling with Incomplete Information,” American Journal of Political Science, vol. 32, no. 2 (May 1988), pp. 441–66. Представленный ниже пример основан на результатах анализа, выполненного Ордешуком и Палфри.

272

Тип «центрист» может повлиять на результат голосования, только если остальные голоса распределены между вариантами П и С поровну. Следовательно, должно быть ровно (n — 1)/2 участников голосования правого типа, выбравших вариант С в первом туре, и (n — 1)/2 остальных голосующих, выбравших вариант П. Если проголосовавшие за вариант П относятся к «левому» типу, тогда вариант П не победит во втором туре голосования, а «центрист» получит выигрыш 0. Для того чтобы выигрыш «центриста» составил 1, необходимо, чтобы все участники голосования, выбравшие вариант П, относились к типу «центрист». Вероятность наступления этого события составляет [p_ц/(p_л + p_ц)]^(n–1)/2; тогда ожидаемый выигрыш «центриста» от голосования в соответствии со своими предпочтениями будет таким, как указано выше. См. Ordeshook and Palfrey, p. 455.

273

Более подробную теоретическую информацию об этой теореме можно найти здесь: A. Gibbard, “Manipulation of Voting Schemes: A General Result,” Econometrica, vol. 41, no. 4 (July 1973), pp. 587–601, and M. A. Satterthwaite, “Strategy-Proofness and Arrow’s Conditions,” Journal of Economic Theory, vol. 10 (1975), pp. 187–217. Теорема носит имена обоих ученых, поскольку они доказали ее независимо друг от друга.

274

Информацию о классификации Ханну Нурми можно найти здесь: H. Nurmi, Comparing Voting Systems (Norwell, Mass.: D. Reidel, 1987).

275

Любое сходство между нашими гипотетическими кандидатами и реальными прошлыми или будущими кандидатами в Соединенных Штатах не означает реальный анализ или прогноз их показателей в контексте равновесия Нэша. Распределение избирателей в нашем примере также не отображает реальных предпочтений американских избирателей.

276

В целях упрощения анализа мы не принимаем во внимание те сложности, которые создает коллегия выборщиков, и исходим из предположения, что значение имеют только голоса, поданные избирателями на президентских выборах.

277

Экономисты изучают этот вывод в контексте модели пространственного расположения Хотеллинга. См. Harold Hotelling, “Stability in Competition,” Economic Journal, vol. 39, no. 1 (March 1929), pp. 41–57.

278

Однако распределение идеальных позиций избирателей на шкале политического спектра необязательно имеет только один максимум; например, на гистограмме на рис. 15.7 присутствует два максимума — в точках Л и КП.

279

Это та же схема, которую мы использовали в главе 11 и главе 12 для анализа больших совокупностей отдельных членов.

280

Строго говоря, здесь изображены не функции распределения, а функции плотности распределений. Прим. ред.

281

Мы не будем углубляться в техническую сторону теории распределения или интегрального исчисления, необходимого для вычисления точной доли избирателей, находящихся слева или справа от определенной позиции на непрерывной шкале политического спектра. Здесь мы приводим только ту информацию, которая убедит вас в том, что теорема о медианном избирателе справедлива и для непрерывного распределения.

282

Такая позиция, смещенная влево от x на бесконечно малую величину, возможна в случае непрерывного распределения. В нашем примере с дискретным распределением кандидаты вынуждены выбирать в точности ту же позицию.

283

John Allen Paulos, A Mathematician Reads the Newspaper (New York: Basic Books, 1995), pp. 104–106.

284

Список ссылок на источники дополнительной информации по теории и практике аукционов можно найти в заключительном разделе данной главы.

285

Работа Роджера Майерсона «Оптимальная структура аукционов» (“Optimal Auction Design,” Mathematics of Operations Research, vol. 6, no. 1 (February 1981), pp. 58–73) была одной из первых в области общей теории аукционов и важной частью работы, за которую он получил Нобелевскую премию по экономике в 2007 году. Книга Пола Клемперера «Аукционы: теория и практика» (Paul Klemperer, Auctions: Theory and Practice (Princeton: Princeton University Press, 2004) дает самую лучшую современную трактовку этой теории.

286

В качестве примера можно привести аукционы по продаже прав на шельфовое бурение нефтяных скважин в США, в том числе прав на бурение в Мексиканском заливе и у побережья Аляски. В 2002 году в штате Пенсильвания на аукционе было продано около четверти миллиона акров (100 тысяч гектаров) лесных угодий штата; это был первый анонимный интернет-аукцион, проходивший в реальном времени.

287

Оценки 10 компаний будут находиться в диапазоне от 0,9 миллиарда долларов до 1,1 миллиарда долларов (по 100 миллионов с каждой стороны от значения 1 миллиард долларов). Низкая и высокая оценки в среднем будут располагаться в крайних точках распределения.

288

См. Steven Landsburg, The Armchair Economist (New York: Free Press, 1993), p. 175.

289

Richard Thaler, “Anomalies: The Winner’s Curse,” Journal of Economic Perspectives, vol. 2, no. 1 (Winter 1988), pp. 191–201.

290

Викри был одним из самых оригинальных мыслителей в области экономики за прошедших четыре десятилетия. В 1996 году он стал лауреатом Нобелевской премии за исследования по разработке механизмов проведения аукционов и процедур раскрытия информации. К сожалению, Викри умер всего за три дня до объявления о присуждении ему Нобелевской премии.

291

Один из нас (Диксит) выставил на аукцион билеты стоимостью 10 долларов на посещение своего занятия по стратегическим играм и заработал за счет группы из 20 студентов прибыль в размере 60 долларов. В Принстоне существует традиция в конце семестра выражать профессору благодарность аплодисментами. Однажды Диксит предложил 20 долларов студенту, который будет непрерывно аплодировать дольше всех. Это открытый аукцион «платят все» с натуральной оплатой (в виде аплодисментов). Несмотря на то что большинство студентов выбыли из дальнейшей борьбы через 5–20 минут, трое продержались дольше всех: целых 4,5 часа!

292

Функция P(x) называется функцией кумулятивного распределения вероятностей для случайной переменной x. Более знакомая функция плотности вероятностей переменной — это ее производная P´(x) = p(x). В таком случае p(x) обозначает вероятность того, что переменная примет значение, попадающее в небольшой интервал от x до x + dx.

293

Ожидаемая цена предложения любого отдельно взятого игрока рассчитывается как ожидаемое значение x с помощью функции плотности распределения вероятностей p(x). В данном примере p(x) = P´(x) = [1/(n — 1)]x^{(2 — n)/(n –1)}, а ожидаемое значение x — это сумма или интеграл от 0 до 1, а именно ∫ x p(x) dx = 1/n.

294

Более подробную информацию о поощрительных премиях можно найти в статье: Matthew Leerberg, “Incentivizing Prizes: How Foundations Can Utilize Prizes to Generate Solutions to the Most Intractable Social Problems,” Duke University Center for the Study of Philanthropy and Voluntarism Working Paper, Spring 2006. Информация о фонде X Prize представлена на сайте www.xprize.org.

295

В книге Пола Клемперера «Аукционы: теория и практика» (Paul Klemperer, Auctions: Theory and Practice), особенно в главах 3 и 4, представлены предостережения и подробный анализ всех этих аспектов.

296

В 1999 году произошло слияние Onsale.com и Egghead.com. В 2001 году Amazon выкупила активы компании, образовавшейся в результате слияния. Три интернет-аукциона, первоначально носившие названия Onsale, Egghead и Amazon, образовали аукцион Amazon Auctions, место которого заняла впоследствии торговая площадка Amazon Marketplace, на которой товары продаются по фиксированным ценам.

297

Федеральная резервная система использует такой механизм голландского аукциона для продажи казначейских векселей.

298

Более подробную информацию о снижении популярности аукционов в области интернет-продаж можно найти здесь: Liran Einav, Chiara Farronato, Jonathan D. Levin, and Neel Sundaresan, “Sales Mechanisms in Online Markets: What Happened to Internet Auctions?” NBER Working Paper No. 19021, May 2013.

299

Из русской литературы, связанной с аукционами, посоветуем две книги: Синецкий Б. И. Основы коммерческой деятельности: учебник. М.: Юристъ, 2000; и Стровский Л. Е., Казанцев С. К., Паршина Е. А. и др. Внешнеэкономическая деятельность предприятия: учебник для вузов М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. Прим. ред.

300

Как мы видели в разделе 3.Б главы 5, этот тип игры можно использовать в качестве примера, подтверждающего обоснованность критических замечаний о неопределенности концепции равновесия Нэша. В контексте переговоров мы могли бы сказать, что множественность равновесий — это просто формальный способ описания той неопределенности, к которой ранее предъявляли претензии аналитики.

301

John F. Nash Jr., “The Bargaining Problem,” Econometrica, vol. 18, no. 2 (1950), pp. 155–62.

302

См. Roger Fisher and William Ury, Getting to Yes, 2nd ed. (New York: Houghton Mifflin, 1991).

303

Одна, и только одна из (выгнутых) линий уровня может быть касательной к (вогнутой) линии эффективной границы; на рис. 17.2 такая линия обозначена как c₂. Все линии уровней, расположенные ниже (например, c₁), пересекаются с линией эффективной границы в двух точках, а все линии уровней, расположенные выше (например, c₃), не пересекаются с линией эффективной границы вообще.

304

Если вы изучали начальный курс микроэкономики, вам знакома концепция социальной оптимальности, графически представленная в виде точки касания между границей производственных возможностей экономики и кривой социального безразличия. Наш рис. 17.2 близок к этой концепции по своей сути: эффективная граница в переговорах подобна границе производственных возможностей, а изолинии цели кооперативных переговоров схожи с кривыми социального безразличия.

305

См. Larry DeBrock and Alvin Roth, “Strike Two: Labor-Management Negotiations in Major League Baseball,” Bell Journal of Economics, vol. 12, no. 2 (Autumn 1981), pp. 413–25.

306

Для простоты аргументации мы представляем этот процесс в виде переговоров один на один. В реальной ситуации может быть несколько болельщиков и несколько спекулянтов, что превращает эту ситуацию в рынок. В представленном на сайте учебнике есть дополнительная глава, посвященная взаимодействию на рынках.

307

Для простоты анализа мы исключили вероятность того, что матч может оказаться захватывающим, а значит, стоимость билета может возрастать с каждой очередной четвертью. Такая неопределенность усложняет задачу, но при этом делает ее и более интересной. Способность справляться с такими задачами должна вызвать у вас желание выйти за рамки данного учебника или курса и заняться изучением теории игр на более продвинутом уровне.

308

Более подробную информацию можно найти здесь: Douglas D. Davis and Charles A. Holt, Experimental Economics (Princeton: Princeton University Press, 1993), pp. 263–69, and The Handbook of Experimental Economics, ed. John H. Kagel and Alvin E. Roth (Princeton: Princeton University Press, 1995), pp. 255–74.

309

Результаты студентов, которые лучше знали математические аспекты теории игр (такие как множества задач), оказались немного ниже средних, поскольку они слишком старались извлечь дополнительную выгоду и встретили сопротивление. Кроме того, женщины справились с игрой немного лучше мужчин.

310

Мы выбрали кратчайший путь, просто предположив, что такое равновесие существует и что выигрыши однозначно определены. Более строгая теория доказывает эти условия. Для того чтобы сделать один шаг в этом направлении, ознакомьтесь с работой John Sutton, Non-Cooperative Bargaining: An Introduction, Review of Economic Studies, vol. 53, no. 5 (October 1986), pp. 709–24. Абсолютно строгая (и достаточно сложная) теория представлена здесь: Ariel Rubinstein, Perfect Equilibrium in a Bargaining Model, Econometrica, vol. 50, no. 1 (January 1982), pp. 97–109.

311

Информацию о выводах специалистов-практиков мы позаимствовали из следующего источника: Andrée Brooks, Honing Haggling Skills, New York Times, December 5, 1993.

312

Более подробную информацию по этой теме можно найти здесь: Howard Raiffa, The Art and Science of Negotiation (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1982), parts III and IV.

313

Экономисты используют концепцию менового отношения, или цены, выраженной здесь в виде количества бутылок вина, которые можно обменять на одну буханку хлеба. Важно то, что вероятность получения выгоды для обеих стран есть при любом соотношении в диапазоне от 2:1, при котором Фридония может конвертировать хлеб в вино, и соотношением 1:1, при котором это может сделать Илирия. При соотношении, близком к 2:1, Фридония отдает почти все свои дополнительные 200 бутылок вина и получает немногим более 100 буханок хлеба, которыми она пожертвовала ради производства дополнительного вина; следовательно, Илирия получает почти всю выгоду. Напротив, если соотношение близко к 1:1, почти всю выгоду получает Фридония. Предмет переговоров — разделение выгоды, а значит, меновое отношение или цена, по которой эти страны должны обмениваться продукцией.

314

Подробности этой переговорной игры представлены здесь: “A Web Site by Any Other Name Would Probably Be Cheaper,” Boston Globe, July 29, 1998; Hiawatha Bray’s “Compaq Acknowledges Purchase of Web Site,” Boston Globe, August 12, 1998.