Суперфрактал

• Фрактал — это магия

• Фрактал — это...

• Фрактальное подобие

• Фрактальный повтор

• Фрактальная размерность

• Пророчество Пифагорейцев

• Симметрия и суперсимметрия

• Фрактал: форма, алгоритм и число

• Фракталы Рона Эглеша

• Фракталы повсюду

• Фрактальная диалектика

Фрактал — это магия

Мир вокруг битком набит фракталами. Фрактальные структуры обнаруживают себя и в контурах горных хребтов, и в контурах леса на фоне неба, и в системах кровеносных сосудов, и в облаках, и в молниях. Снежинки, сталагмиты и сталактиты, подсолнух, папоротник, морские раковины, все они — фракталы. Они построены по правилам, которые моделирует фрактальный алгоритм.

Фрактальный алгоритм производит волшебные непредсказуемые формы. Это — своего рода магия. Привычно думать, что магии не существует. И все же она пропитывает все сущее. Она — в каждой вещи и в каждом движении. Это — факт. Волшебство и неповторимое чудо имеют то основание, что за всякой вещью и всяким действием есть нечто, производящее саму возможность для появления той или иной вещи, того или иного действия. Фраза из Апокалипсиса (1:8), описывающая Иисуса Христа, указывает на источник, порождающий и завершающий возможность вещей и явлений:

Эта формула означает, что божественный, неизменный и вечный мир есть по ту сторону вещей и по ту сторону явлений. И этот мир есть порядок и красота. Этот мир есть вместилище всех возникающих и исчезающих структур — в чистом виде суперструктура. Те, кто первыми брал в руки вышедшую в середине XIII века «Морализованную Библию», должно быть, представляли мир таким, как он изображен на минитюре «Сотворение мира»: замысловатым многообразием в умелых руках Создателя. Это многообразие по форме более всего напоминает фрактал.

Сотворение мира. Миниатюра (Морализованная Библия, Франция, XIII в. Национальная библиотека Австрии, Вена, рукопись №2554)

Фрактал — это нечто пластичное и одновременно цельное. Словами Бенуа Мандельброта:

Фрактал настолько пластичен, что способен совместить случай и строгий расчет в одном объекте, для которого Майкл Барнсли придумал название «суперфрактал». Тонкая фратальная изменчивость позволяет инкорпорировать в алгоритм построения фрактала генератор случайных возмущений и не разрушить при этом предопределенность фрактальной формы. Это оказывается возможным при том условии, что случайность в алгоритме построения фрактала подчинена строжайшей дисциплине.

Примерами могут служить фракталы Майкла Барнсли, полученные с помощью систем итерированных функций. Они в большинстве случаев построены при помощи вероятностной случайности. В книге «Фрактал: между мифом и ремеслом»[Деменок С. Л. Фрактал: между мифом и ремеслом.— СПб.: ООО «Ринвол: Академия исследования культуры, 2011.] (2011) было впервые описано семейство алеаторных фракталов, построенных по алгоритмам, содержащим «чистую» случайность. Есть еще стохастические фракталы. Стохастические фракталы могут быть строго детерминированными, как функция Вейерштрассе. В процессе построения таких фракталов нет никакой случайности. Но есть природные стохастические фракталы. Они, как правило, случайные. Это, например, броуновское движение.

Есть более сложные конструкции — суперфракталы. В них правила построения (алгоритмы) изменяются спонтанно.

Суперфрактал никогда не повторяется, он все время изменяется, не изменяя только самому себе. СУПЕР! Приставка «супер» стала трендом новейшего естествознания. Достаточно вспомнить суперструны и суперсимметрию. Причина такой тяги к приставке «супер» в том, что современная наука выходит за границу естественных вещей и явлений и смещается в область «сверхъестественного» — supernatural. Суперфрактал — объект этой новой волны.

Фрактал — это...

В середине 1970-х Бенуа Мандельброт изложил основы фрактальной геометрии в трех книгах — «Фрактальные объекты: форма, случай и размерность» (1975), «Фрактальная форма, случай и размерность» (1977) и «Фрактальная геометрия природы» (1977). В 1993 году Мандельброт получил престижную премию Вольфа за «изменение нашего взгляда на мир посредством концепции фрактальной геометрии».

Фрактальная геометрия радикально отличается от геометрии Евклида. Отличие не относится к аксиоме о параллельности, как в геометрии Лобачевского. Отличие — в отказе от принятого Евклидом по умолчанию требования гладкости. Мандельброт обратил внимание на то, что контуры окружающих нас предметов неровны, шершавы, изъязвлены множеством отверстий самой причудливой формы, пронизаны трещинами и порами, покрыты сетью морщин, царапин и кракелюров. Распространенным повсеместно, таким объектам присущи шероховатость, пористость и раздробленность.

Среди смятых, скомканных, изрезанных и рваных фигур есть огромный класс форм, раздробленность и пористость которых имеют «одинаковую степень в любом масштабе». Именно эти формы Мандельброт назвал фракталами. Увеличивая фрагменты фрактальных объектов, замечаем, что изменяются лишь незначительные детали, но форма в целом остается почти неизменной. Прорыв, который совершил Мандельброт, заключается в осознании того, что затейливые зигзаги имеют «код формообразования».

В книге «Фракталы, случай и финансы» Мандельброт дал определение фрактала с акцентом на неизменную «степень пористости» фрактального объекта:

Термин «фрактал» образован от латинского причастия fractus. Соответствующий глагол frangere переводится как «ломать, разламывать», т.е. создавать фрагменты неправильной формы. По созвучию слово «фрактал» указывает на «разрыв» —fracture и нечто дробное — fraction. Помимо значения «фрагментированный» (как, например, в словах «фракция» или «рефракция»), слово fractus несет значение «неправильный по форме». Примером сочетания обоих значений может служить слово «фрагмент». Но, как заметил Жан Бодрийяр в книге «Пароли», —

Фрактал и фрагмент — это не одно и то же. Фрагмент всегда сохраняет просвет между собой и другим фрагментом. Фрактал, состоя из фрагментов, постоянно заполняет просветы между фрагментами. Чем? Своими фрагментами. В этом смысле фрактализация — процесс, обратный фрагментизации, и у Бодрийяра есть все основания говорить о

Наконец, без намерения, быть может, только по наитию Мандельброт встроил в последний слог созданного им термина — фрактал — одну из самых важных ассоциаций — алгоритм:

Фрактальная форма проявляет себя в динамике. Только в процессе построения по алгоритму существует фрактал. Алгоритм построения фрактала не может быть завершен. Точка завершения предыдущего шага построения становится точкой начала следующего. Из этого следует, что построение фрактальной формы не имеет завершения.

Фрактал — это предельная форма. К ней можно стремиться, но поставить точку в построении фрактала невозможно. Любая фрактальная форма перед вами — это стоп-кадр, выхвативший фрагмент из бесконечного фрактального построения. В математике такое «промежуточное» состояние называется «предфракталом». Только их мы и видим на многочисленных картинках фракталов.

Рекурсивный алгоритм есть динамическое основание любого фрактала, причина фрактального подобия. В природе рекурсивный процесс формируется там и тогда, где и когда появляется петля обратной связи. Петля обратной связи уже в момент своего формирования содержит в латентной форме структуру, которая проявляется благодаря повторению. В природе деревья ветвятся, листья растут, береговые линии извиваются. Устойчивый рекурсивный алгоритм в ходе многократных повторений «овеществляется» в той или иной фрактальной форме.

Приметой фрактальной формы служит то, что она выглядит похоже «вблизи или издалека». Когда мы приближаемся, желая что-либо лучше разглядеть, изменяются лишь незначительные детали так, что

То обстоятельство, что мера «изрезанности» одинакова во фрактале для любого масштаба, позволяет поставить в соответствие фракталу в целом и каждому его фрагменту одно и то же кодовое число — фрактальную размерность. Это ключевая идея фрактальный геометрии.

Обыкновенная евклидова геометрия утверждает, что пространство ровное и плоское. Точки, линии, углы, треугольники, кубы, сферы, тетраэдры существуют в нулевом, одномерном, двухмерном и трехмерном пространствах. Мандельброт замечал, что в реальности тела изрезаны, а поверхности скомканы таким образом, что они не помещаются в пространстве с размерностями 0,1,2 и 3.

Например, посмотрите на тонкий лист бумаги, скомканный в шар. Разве он двумерный? Нет, так как у него есть длина, ширина и высота. Но он не может быть и трехмерным, потому что он сделан из одного бесконечно тонкого листа и, к тому же, он не полностью однородный. Размерность такого предмета явно больше размерности тонкого двухмерного листа, но меньше размерности трехмерного шара. Согласно идеям Мандельброта фрактальная размерность такого объекта может быть дробной. Все фракталы, особенно фрактальные кривые, имеют фрактальные размерности. Мандельброт часто использовал пример того, что береговая линия Британии имеет бесконечную длину.

Позже Мандельброт определил, что фрактальная размерность береговой линии Британии составляет 1,25. И эта величина, в отличие от длины береговой линии, остается одной и той же в любом масштабе и для любого фрагмента береговой линии. Иными словами, фрактальная размерность есть инвариант для всех фрагментов фрактала.

На основании сказанного фрактал можно определить так:

Фрактальное подобие

Обычно самоподобие означает симметрию при любом масштабе. Логарифмическая спираль обладает самоподобием, поскольку, как ее ни увеличивай, выглядит всегда одинаково, как и череда вписанных друг в друга правильных пентаграмм.

Каждый раз, когда вы оказываетесь между двух параллельных зеркал, вы видите бесконечную череду собственных самоподобных отражений в двух параллельных зеркалах.

Пример самоподобной системы представляет собой «золотая последовательность». Чтобы создать ее, будем следовать простому алгоритму. Начнем с числа 1, затем заменим 1 на 10. Далее будем заменять все 1 на 10, а все 0 на 1. Тогда у нас получается следующий результат:

1

10

101

10110

10110101

1011010110110

101101011011010110101

И так далее. Очевидно, что мы начали с «ближнего» правила (простое превращение 0 в 1 и 1 в 10), а получили непериодический «дальний порядок». Обратите внимание, что количество цифр 1 в каждой строчке, как и количество цифр 0, начиная со второй строчки, составляют

Более того, отношение числа единиц к числу 0 по мере удлинения последовательности становится все ближе... «золотому сечению».

«Золотая последовательность» обладает множеством замечательных свойств, но сейчас нас интересует самоподобие. Так вот, «золотая последовательность» самоподобна при любом масштабе. Возьмем последовательность

Посмотрим на нее в лупу, конечно, не в буквальном смысле. Начнем слева и каждый раз, когда нам встретится 1, будем помечать группу из трех символов, а когда нам встретится 0 — группу из двух символов, только так, чтобы группы не перекрывались. Например, первая цифра у нас 1, поэтому мы отметим группу из первых трех символов — 101. Вторая цифра в ряду у нас 0, поэтому мы отметим группу из двух символов 10, следующую за первой группой 101. Третья цифра — 1, значит, отмечаем три цифры 101, которые следуют за 10, и т.д. Теперь размеченная последовательность выглядит так:

А теперь оставим первые две цифры из каждой группы по три и первую — из каждой группы по две. И взглянем на получившуюся последовательность из оставшихся цифр:

Видите? Новый ряд идентичен «золотой последовательности»!

Можно проделать другое упражнение. Скажем, в качестве подпоследовательности выберем 10 и будем подчеркивать это сочетание цифр в «золотой последовательности» везде, где оно встретится:

Если теперь мы будем обращаться с каждым сочетанием 10 как с единым символом и обозначим количество мест, на которые надо сдвинуть каждое сочетание 10, чтобы перекрыть его со следующим 10, то получим последовательность 2122121... (первое 10 надо сдвинуть на два места, чтобы оно наложилось на следующее, третье — на одно место и так далее). Если теперь в получившейся последовательности заменить каждую цифру 2 цифрой 1 и каждую 1 — нолем, мы снова получим «золотую последовательность». В общем, если взять любую закономерность в пределах «золотой последовательности», мы обнаружим, что та же закономерность присутствует в последовательности и при любом уменьшении масштаба.

Самоподобие в строгом классическом смысле есть условие того, что часть представляет собой уменьшенную копию целого. Строгое самоподобие редко встречается в природе. Природные формы представляют собой бесконечную последовательность мотивов, повторяющих самих себя внутри других мотивов на разных масштабах с некоторым искажением. Таковы раковина наутилуса или капуста брокколи. Если отламывать от кочана соцветия брокколи, то кусочки будут все меньше и меньше, они до какого-то предела все равно будут подобием целого кочана. Физические объекты редко оказываются самоподобными при увеличении более чем на четыре порядка. В биологии новые принципы самоорганизации проявляются обычно при увеличении на 2 порядка (макромолекулы имеют диаметр, примерно равный 100 атомам, простые клетки — диаметр около 100 макромолекул и т. д.). С изменением масштаба строгое самоподобие нарушается, но сохраняется некоторый лейтмотив, схожесть не совсем точная, но все-таки заметная. Это и есть нестрогое самоподобие. Нестрогое самоподобие, в свою очередь, есть условие того, что часть может представлять собой деформированную копию целого. Мандельброт отказался от строгого формализма и сформулировал условие, согласно которому фрактальное подобие не требует абсолютной идентичности. Енс Федер в книге «Фракталы» (1988) со ссылкой на частную беседу с Мандельбротом привел определение фрактала с акцентом на нестрогое самоподобие:

Фрактальный повтор

Когда какое-то действие необходимо повторить большое количество раз, используются циклические процессы и процедуры. Один шаг цикла называется итерацией.

Серийное производство есть «итерация по шаблону», т. е. на каждом шаге вычислений идет возврат к начальному условию. Здесь каждый новый цикл стартует «от печки». «Итерацию по шаблону» использует программист, когда ему нужно вывести сто раз на экран текст «Iteration». Вместо стократного повторения одной и той же команды вывода текста программист создает цикл, который повторяется сто раз, и сто раз выполняет то, что написано в «теле цикла».

Совсем иное дело, когда итерация имеет формат рекурсии. В этом случае результат предыдущего шага итерации становится начальным условием для следующего. Так, например, положение и скорость тела в каждый момент времени определяются через положение и скорость тела в предыдущий момент времени. Визуально рекурсия иллюстрирует рекламный трюк — эффект Дросте.

Эффект Дросте — термин ввел в конце 1970-х годов журналист Нико Схепмакер по названию голландской марки какао фирмы Droste, которая использовала этот эффект на упаковке своей продукции в 1904 году.

Эффект рекурсии достигается таким образом: на фотографии размещается уменьшенный вариант той же фотографии или объекта с этой фотографии, на уменьшенной копии размешается еще более уменьшенная фотография, и так далее

Иллюстрация эффекта Дросте на примере видеоинтерпретации картины Эшера Galeria degrabados, 1956

Хорошей математической иллюстрацией рекурсии являются числа Фибоначчи. Этот термин придумал в XIX веке французский математик и автор многих популярных математических головоломок Эдуард Люка. Числа Фибоначчи — первая известная в Европе рекурсивная последовательность. Многие из тех, кто изучал математику, естественные науки или искусства, слышали о Фибоначчи исключительно благодаря следующей задаче из главы XII его «Liber abaci» («Книга абака», 1202):

Суть проста. Сначала у нас одна пара. Проходит первый месяц, первая пара порождает еще пару, их становится две. Проходит второй месяц, взрослая пара порождает еще одну юную пару, а молодая пара тем временем подрастает. Итак, у нас три пары. Проходит третий месяц, каждая из двух взрослых пар порождает еще по паре, а юная пара подрастает; итак, у нас уже пять пар. Проходит четвертый месяц, каждая из трех взрослых пар порождает еще по паре, а две юные пары подрастают, следовательно, у нас уже восемь пар. После пяти месяцев у нас по юной паре от каждой из пяти взрослых пар плюс три подрастающие пары — всего тринадцать пар.

Теперь мы уяснили закономерность и знаем, как получить число взрослых пар и юных пар и общее число пар кроликов в каждый последующий месяц. Предположим, нас интересует только число взрослых пар в каждый конкретный месяц. Это число состоит из числа взрослых пар в предыдущий месяц плюс количество юных пар (к данному моменту успевших повзрослеть) в тот же предыдущий месяц. Однако количество юных пар месяц назад на самом деле равно количеству взрослых пар в позапрошлом месяце. Итак, в каждый конкретный месяц, начиная с третьего, количество взрослых пар просто-напросто равно сумме количества взрослых пар за два предшествующих месяца. Итак, количество взрослых пар подчиняется последовательности

Ничего не напоминает?

Ну конечно, это же самоподобная «золотая последовательность»!

Из рисунка очевидно, что количество юных пар подчиняется в точности той же последовательности со сдвигом на один месяц. То есть количество юных пар равно

Естественно, общее количество пар — сумма этих последовательностей, и оно совпадает с последовательностью для количества взрослых пар без числа за первый месяц:

Последовательность, в которой каждое число, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих чисел, представляет собой ряд Фибоначчи:

Условие, согласно которому каждый член последовательности Фибоначчи равен сумме двух предыдущих членов, математически выражается формулой, которую в 1654 году вывел Альбер Жирар:

Здесь n — это номер члена последовательности (например, u₃ — это третий член последовательности), u_n+1— это следующий за ним член последовательности (то есть если n = 3, то n+1=4), а u_n+2 — это член последовательности, следующий за u_n+1, то есть пятый член последовательности Фибоначчи.

Рекурсивная функция Фибоначчи применяется сама к себе, не отсылая к начальному значению. Она как бы скользит по ряду чисел, и каждый результат предыдущей итерации становится начальным значением для следующей. Именно такое повторение реализуется при построении фрактальных форм.

Фрактальная размерность

Во фрактальном мире повторение, встроенное в процесс построения фракталов, производит эффект одинаковой «изрезанности», или «сморщенности» фрактальных фрагментов и фрактала в целом.

Мандельброт задался вопросом: как определить меру изломанности фрактальной структуры?

В мире евклидовой геометрии у любого предмета есть измерения. У точки число измерений — ноль, у прямой — одно, у плоских фигур вроде треугольников и пятиугольников — два, у объемных тел — три. А фрактальные кривые вроде молнии так агрессивно изгибаются, что попадают куда-то между одним и двумя измерениями. Если след молнии относительно гладкий, можно представить себе, что число фрактальных измерений близко к единице, если же он очень извилистый, следует ожидать числа измерений, близкого к двум.

Все эти размышления вылились в вопрос, сделавшийся в наши дни знаменитым:

Мандельброт дал на это неожиданный ответ:

Представьте себе, что вы начинаете со спутниковой карты Британии со стороной в один фут. Измеряете длину побережья, умножаете на нужный коэффициент, исходя из заданного масштаба карты. При таком методе, разумеется, пропадут всякие мелкие извивы береговой линии, которых на карте не видно. Теперь представьте себе, что вы вооружаетесь палкой метровой длины и начинаете долгое путешествие вдоль берегов Британии, тщательно измеряя береговую линию метр за метром. Результат, несомненно, будет гораздо больше прежнего, поскольку вам удастся зафиксировать куда более мелкие извивы и повороты. Однако вы наверняка заметите, что на более мелких участках вы все равно упустите какие-то подробности. Дело в том, что чем меньше будет наша линейка, тем больше окажется результат измерений, потому что всегда оказывается, что при уменьшении масштаба выявляется подструктура. Из этого следует, что, если имеешь дело с фракталами, в пересмотре нуждается даже концепция длины как средства передачи расстояния. Контуры береговой линии при увеличении не становятся прямыми, изгибы присутствуют при любом масштабе, и общая ее длина возрастает бесконечно — по крайней мере, пока мы не дойдем до атомов.

Зависимость длины фрактальной кривой от масштаба измерения

Прекрасный пример такой ситуации — линия «снежинки Коха». «Снежинка Коха» — кривая, которую первым описал в 1904 году шведский математик Нильс Хельге фон Кох. Начертим равносторонний треугольник со стороной в один сантиметр. Теперь в середине каждой стороны достроим треугольники поменьше — со стороной в одну треть сантиметра. В результате на этом этапе у нас получится звезда Давида. Обратите внимание, что периметр первоначального треугольника составлял три сантиметра, а теперь он состоит из двенадцати сегментов по трети сантиметра каждый, так что общая его длина равняется уже четырем сантиметрам. Теперь будем последовательно повторять эту процедуру — на каждой стороне треугольника будем достраивать новый с длиной стороны в одну треть предыдущей. Каждый раз длина периметра будет возрастать с коэффициентом 4/3, и так до бесконечности, несмотря на то что линия ограничивает замкнутое пространство конечной площади (можно доказать, что площадь стремится к 8/5 площади первоначального треугольника).

Мандельброт сформулировал вопрос:

Мандельброт понимал, что эта скорость равна степени извилистости фрактальной структуры. Такое интуитивное представление кажется очевидным. Продолжая поиски степени извилистости фрактальных форм, Мандельброт пришел к идее, которая далеко не очевидна. Он обнаружил, что степень извилистости описывает размерность Хаусдорфа — Безиковича.

Еще в 1919 году Феликс Хаусдорф выдвинул концепцию дробных измерений. Хотя поначалу подобная идея вызывает некоторую оторопь, оказалось, что именно дробные измерения — прекрасный инструмент, позволяющий охарактеризовать степень неправильности, или фрактальную размерность.

Интуитивно мы чувствуем, что кривая Коха занимает больше пространства, чем одномерная линия, но меньше, чем двухмерный квадрат. Но разве так бывает, чтобы у чего-то было дробное измерение? Ведь между 1 и 2 нет никаких целых чисел. Чтобы получить внятное объяснение, возьмем за основу знакомые представления о целочисленных измерениях, так называемой топологической размерности — 1, 2 и 3. Идея Хаусдорфа в интерпретации Марио Левио заключается в том, что одно и то же деление измерений на части в одномерном, двухмерном и трехмерном пространствах производит разную степень дробления одномерных, двухмерных или трехмерных объектов.

Например, если разделить одномерный отрезок пополам, то получим два сегмента (коэффициент сокращения ƒ = 1/2). Если разделить двухмерный квадрат на «подквадраты» с половинной длиной стороны (коэффициент сокращения опять же ƒ = 1/2), то получим 4 = 2² квадрата. Если же мы возьмем длину стороны в 1/3 первоначальной (ƒ = 1/3), квадратов станет 9 = З². Если же мы поступим так же с трехмерным кубом, то деление ребра пополам (ƒ = 1/2) даст нам 8 = 2³ кубиков, а ребро в 1/3 первоначального — 27 = 3³ кубиков. Если изучить все эти примеры, обнаружим, что между количеством «фрагментов» n, коэффициентом сокращения длины ƒ и измерением D есть определенная взаимосвязь. И вот какая:

Если применить эту формулу к «снежинке Коха», получится фрактальное измерение, равное

Ремесленники издавна использовали этот подход на практике. Так, для измерения площади фигуры сложной формы они использовали палетку. Палетка — это прозрачная пластина, на которой нанесена сетка с квадратными ячейками, стороны которых одинаковы и равны некоторой величине δ. Если такую сетку наложить на карту Великобритании и подсчитать количество клеток, попавших в область объекта измерения, то можно оценить его площадь, которая пропорциональна количеству ячеек, попавших в его границы. Точность оценки возрастает с уменьшением шага сетки. Число ячеек, попавших в границы измеряемого объекта N, возрастает с уменьшением стороны ячейки 8. При измерении площади

При аналогичном измерении длины извилистой кривой

а при аналогичном измерении объема некоторого тела

Степень в этих отношениях указывает на топологическую размерность, не правда ли? Однако эта степень не обязана быть целым числом. Она может быть дробной.

Рассмотрим пример. Пусть подопытная частица помещена в прозрачный раствор. Мысленно представим, что в процессе движения она растворяется, оставляя след, который проецируется на плоскость. Вначале там появится ломаная траектория, размерность которой легко определить с помощью палетки. Как у всякой кривой, она будет равна 1. После продолжительного броуновского блуждания в замкнутом объеме траектория полностью «заштрихует» проекцию — не останется ни одного видимого просвета. Размерность такой заполненной траекторией области будет равна 2. Между этими пределами мы можем зафиксировать промежуточное состояние, в котором траектория броуновской частицы уже перестала напоминать линию, но еще не заполнила плоскость. В этот момент она напоминает паутину, которая постоянно уплотняется. Размерность такой паутины принимает промежуточное значение между 1 и 2.

Именно такое обобщенное понятие размерности предложил Хаусдорф. Результатом работ Хаусдорфа и Безиковича стало новое техническое определение размерности, согласно которому при уменьшении величины δ размерность измеряемого объекта равна отношению логарифма от N к логарифму от 1/δ. По существу это показатель степени q в формуле

Такое отношение запросто может быть не только целым, но и дробным, притом что топологическая размерность — всегда целое число — 1, 2, 3.

Суть рассуждений Хаусдорфа и Безиковича заключается в следующем. Пусть у нас есть пластичная универсальная палетка, которая для одномерного объекта трансформируется в отрезок, для двумерного — в квадрат, а для трехмерного — в куб. Мерой ячейки этой палетки будут: для одномерного объекта — длина δ¹, для двумерного — площадь δ², и для трехмерного — объем δ³. В обобщенном случае мерой ячейки является величина δ^d. Мерой объекта, покрытого такими ячейками, является, очевидно, величина N — число ячеек, соприкасающихся с измеряемым объектом. При условии, что размер ячейки 8 уменьшается, стремясь к нолю, величина

Таким образом, мера N зависит от выбранной наблюдателем размерности палетки — от величины d. Вместе с тем мы видели, что число ячеек N, соприкасающихся с измеряемым объектом, есть величина, обратно пропорциональная размеру ячейки δ в некоторой степени q:

Величина q при этом характеризует структуру измеряемого объекта и не имеет отношения к палетке наблюдателя. Оба условия совмещаются, если

To есть

Знак «~» означает «пропорционально» и может быть заменен знаком равенства при умножении комплекса δ^d-q на некоторую константу — const:

При δ → 0:

если d - q > 0,

величина N → 0,

а если d - q < 0,

то величина N → ∞. Только при

мера N принимает конечное значение, равное постоянной const, которое и называется размерностью Хаусдорфа — Безиковича. Это своего рода условие, при котором совпадают меры измеряемого и измеряющего объектов.

В практических расчетах для определения размерности Хаусдорфа — Безиковича используются упрощения, вполне обоснованные для большинства сложных форм. Так, на основании приведенной выше формулы

размерность d может быть представлена отношением ln(N) к ln(δ). Рассчитать размерность d можно по двум точкам (N₁, δ₁)и (N₂, δ₂):

Алгоритм определения фрактальной размерности обычно сводится к следующему. Строится график зависимости N от δ в логарифмических координатах. Точки на графике обычно ложатся на отрезок прямой, угол наклона которой и равен d (см. рисунок). Например, размерности прибрежных пограничных кривых для западного побережья Норвегии — 1,52; для Великобритании (линия 1) — 1,25; для Германии (линия 2) — 1,15; для Австралии (линия 3) — 1,13; для сравнительно гладкого побережья Южной Африки (линия 4) — 1,02 и, наконец, для идеально гладкой окружности (линия 5) — 1,0.

Размерность Хаусдорфа — Безиковича отличается от евклидовой. Она может принимать нецелые значения. Она неизменна (инвариантна) при рассмотрении объекта «вблизи или издалека». Будучи трансмасштабной, она не имеет отношения к геометрии фрагмента или фрактала в целом. Фрактальная размерность, если она отражает геометрию, то прежде всего геометрию трансформации фрагмента при переходе от одного масштаба к другому.

Обратим внимание на то, что дробная размерность не имеет ничего общего с «дырами» в пространстве. Дробность связана с тем, как сетка наблюдателя соотносится со структурой объекта наблюдения.

Как бы ни приближались друг к другу меры измерения и измеряемого, между ними всегда возможно некоторое различие. Различие проявляет себя в дробной размерности, выраженной рациональными или иррациональными числами. Появление последних говорит о несоразмерности мер измеряющего и измеряемого, но это не исключает их соизмеримости.

Греческие мыслители внимательно и тщательно изучали иррациональные числа. Постигая гармонию сфер и правильных фигур, греческая цивилизация сделала следующий шаг. Греки обратили внимание на такое качество окружающих их вещей и явлений, как симметрия. Греческое слово ΣYM-METPIA означает «совместно измеренное». Греки интуитивно угадывали, что такое качество, как иррациональность чисел и такое качество, как симметрия структур, оба имеют отношение к процессу «совместного измерения».

Пророчество пифагорейцев

Пифагорейцы, быть может, первыми осознали силу числа — символа в его самом чистом виде. Пифагорейцам открылось, что число, будучи по существу виртуальным и воображаемым, не менее реально, чем любой существующий предмет или любое имевшее место явление. И пифагорейцы обнаружили числа не только в том, что можно рассмотреть, но и в том, что можно расслышать. Пифагорейцы искали и находили гармонию чисел во всем: в образах, в звуках, в логике и мистике.

Их не могла не тревожить задача о «квадратуре круга». Построить квадрат той же площади, что и круг, с помощью циркуля и линейки пифагорейцам никак не удавалось. Главная причина была в том, что им мешали странные числа, которые не сводятся к отношению двух целых чисел. Эти числа мы называем иррациональными.

Иррациональные числа пугали пифагорейцев. Их древняя мудрость остерегает открывать эти числа неподготовленным, ибо кто коснется тайны этих чисел, тот погрузится в «пучину возникновения и будет обмываемым ее волнами, не знающими покоя». В схолиях к X книге «Начал» Евклида приведена пифагорейская легенда о гибели при кораблекрушении Гиппаса Месопотамского, разгласившего, что отношение диагонали к стороне квадрата не может быть выражено в виде отношения двух натуральных чисел, то есть является иррациональным. И силу этого пророчества через несколько столетий испытал на себе Фидий. Фидий, открывший самое известное иррациональное число sectia aurea — «золотое сечение», — скончался в изгнании, обвиненный противниками Перикла в том, что присвоил часть золота для статуи Афины, а также изобразил на щите Афины среди прочих себя. Все это мистическим образом подтверждало предостережение пифагорейцев.

Что же такое иррациональное число? Величина корня из двух — быть может, простейшее иррациональное число. Оно представляет собой решение простого квадратичного уравнения

Мы регулярно сталкиваемся с ним при использовании листов формата А — A3, А4, А5, но мало кто знает, что их соразмерность достигается притом, что их стороны друг с другом несоизмеримы. Нельзя найти такой меры длины, которая укладывалась бы целое число раз по периметру всех известных форматов. И это связано с тем, что соотношение сторон листов формата А равно иррациональному числу 1,4142... Так, для формата А4 это 210х197 мм: 210/197 = 1,4142... Для формата А5 — 197x148 мм: 197/148 = 1,4142... и так далее. При этом, как видно из рисунка, все форматы соразмерно размещаются на листе мастер-формата АО.

Иррациональных чисел существует великое множество. В общем, иррациональное число — это вещественное число, которое не может быть представлено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Многие иррациональные числа нам хорошо знакомы.

И эта вездесущесть числа π связана с тем, что окружность есть самая симметричная из всех симметричных фигур.

Симметрия и суперсимметрия

Симметрии пронизывают все вокруг. Их много. Они разные. По большей части они скрыты от глаз. Человек распознал симметрию, как и красоту, когда стал осознанным, когда австралопитек стал Homo Sapiens. Благодаря шестому чувству — сознанию — человек стал различать символическую структуру вещей и явлений. Это случилось более тридцати тысяч лет тому назад. Появились зарубки на костях бабуина. Появилась пещерная живопись. И вскоре появился орнамент. Он появился уже в палеолите. Геометрическим узором покрыты браслеты, всевозможные фигурки, вырезанные из бивня мамонта. Первые орнаменты — это множества абстрактных зигзагообразных линий. Орнамент радикально отличается от блестящих по реализму пещерных рисунков. Изучив с помощью увеличительных приборов структуру среза бивней мамонта, исследователи заметили, что они по своей природе состоят из зигзагообразных узоров, очень похожих на зигзагообразные орнаменты. Таким образом, человек создал орнамент, когда увидел и распознал структуру, созданную самой природой. Но древние художники не только копировали природу, они вносили в первозданный орнамент новые комбинации и элементы.

Наскальные рисунки. Форсельв. Норвегия

Ваза шумерского царя Энтемены, 2700 г. до н. э. Это зеркально-симметричная симметрия и симметрия при повороте на 180°

Новый уровень понимания симметрии мы обнаруживаем в осколках шумерской цивилизации. Шумеры — древнейшее население Междуречья между реками Тигром и Евфратом. Шумеры изображали не только зеркальную симметрию, но также менее очевидную симметрию, когда один фрагмент переводится в другой не отражением, а поворотом на 180°.

Пифагорейцы изучали выпуклые равносторонние многогранники. На плоскости можно нарисовать равносторонний многоугольник с любым числом сторон. Но в трех измерениях таких фигур, любая из граней которых есть один и тот же правильный многоугольник, существует всего пять. Считается, что пифагорейцы знали только три такие фигуры. Весь набор из пяти фигур впервые был описан древнегреческим математиком Теэтетом, близким к Академии Платона. Эти многогранники называют «Платоновыми телами», поскольку в своем трактате «Тимей» Платон придал им глубокий философский смысл. Четырем из них он сопоставил стихии (землю, воздух, воду и огонь): земля — куб, воздух — октаэдр, вода — икосаэдр, а огонь — тетраэдр. Основанием этому служат эмоциональные ассоциации: жар огня ощущается четко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если ее взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно не похожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. А с пятым элементом — додекаэдром — Платон связывал квинтэссенцию, буквально «пятую сущность».

Слева направо: гравюра Альбрехта Дюрера «Меланхолия», додекаэдр и икосаэдр (из книги Луки Пачоли «Божественная пропорция»)

Симметрии тетраэдра: 8 поворотов относительно вершины; 3 поворота относительно середин сторон ребер; 12 отражений.

Итого 24 преобразования

В последней, XIII книге «Начал» Евклид суммировал выводы греческих геометров и дал полное описание симметрий правильных многогранников. Он заметил, что все они «как бы состоят» из тетраэдров. Тетраэдр — простейший элемент. И у него 24 преобразования симметрии. Уже здесь проявилось понимание того, что симметрия не только форма, но и процесс преобразования формы.

Следующий прорыв в понимании симметрии был сделан в эпоху Возрождения. О телах Платона тогда много писали геометры, архитекторы и художники. Например, Пьеро дела Франческо, Дюрер, Лука Пачоли и Леонардо да Винчи. Леонардо да Винчи собирал из дерева каркасные модели Платоновых тел и изучал то, что скрыто по ту сторону от их форм. Его вдохновлял тот факт, что в телах Платона вдруг обнаружились символические числа — «золотая пропорция» и числа Фибоначчи в додекаэдре. Кодовые числа как бы скрываются в тени симметрии.

Идею прекрасного, но скрытого порядка, который можно явить только в числах, формулирует Гален. Гален, пересказывая казной древнегреческого скульптора Поликлета, приходит к выводу:

Симметрия привлекательна для человека тем, что она есть манифестация чисел. И эта идея получила свое развитие в XX веке. В 1910-х годах Феликб Клейн (автор книги об икосаэдре) писал:

Речь идет о теории групп, изобретенных французским математиком Эваристом Галуа в XIX веке. Галуа обнаружил, что произведение любых перестановок из списка корней алгебраического уравнения само является перестановкой этого уравнения. Именно такой набор перестановок Галуа назвал «группой».

Так, если взять некоторое кубическое уравнение, можно задаться вопросом о его симметриях — тех перестановках, которые сохраняют все алгебраические соотношения между корнями. Нахождение того, какие перестановки являются симметриями этого уравнения, представляет собой технически сложное упражнение. Но есть то, в чем можно быть уверенным без всяких вычислений. Набор всех симметрий любого заданного уравнения должен быть подгруппой в группе всех перестановок корней. Почему? Предположим, например, что перестановки Р и R сохраняют все алгебраические отношения между корнями. Если к некоторому алгебраическому уравнению применить R, то получится верное соотношение. Если применить Р, то снова получится верное соотношение. Теперь, если применить R, а затем Р, — это то же самое, что применить Р, а затем — R. Следовательно PR = RP, то есть PR является симметрией. Другими словами, набор симметрий обладает групповым качеством. Все это Эварист Галуа понял в свои двадцать лет. Это, собственно, и есть то, что сделал Галуа. Он открыл, что с любым алгебраическим уравнением связана некая группа симметрии. Такую абстрактную симметрию Эвариста Галуа теперь называют «группой Галуа».

В 1872 году в докладе по случаю вступления в должность профессора Эрлангенского университета Феликс Клейн предложил рассматривать геометрию как

Идею геометрического подобия и геометрической симметрии Клейн соединял с идеей перемещений. При изучении геометрии, утверждал Клейн, нужно рассматривать не только треугольники, окружности, икосаэдры или какие-либо другие фигуры, но и перемещения. Перемещения, которые могут растягивать и скручивать объекты, так же как сдвиг, следует считать геометрическими. Кроме того, соотношения между группой и симметрией намного легче понять в геометрическом контексте. Прежде всего следовало строго определить понятие симметрии. Ученик Давида Гильберта Герман Вейль смог точно и элегантно определить симметрию:

До Галуа это понятие было довольно расплывчато. После Галуа симметрия — это специальный вид преобразований. Это некоторый способ «шевелить» объект. Если объект выглядит неизменным после преобразования, то данное преобразование представляет собой симметрию.

В таком определении симметрии есть три ключевых слова: «преобразование», «структура» и «сохраняет». Симметрия есть нечто, что сохраняется в переменчивом мире вещей и явлений. Эта идея стала популярной после того, как в 1918 году Амалия Эмми Нетер, приват-доцент Геттингенского университета, доказала одну из самых известных теорем. Теорема Нетер утверждает, что управляющие энергией законы неизменны (инвариантны) относительно непрерывных изменений или преобразований во времени.

Что же такое «непрерывное преобразование симметрии»? Поясним на примере. Круг симметричен относительно непрерывного вращения, поскольку, на какой бы угол мы его ни повернули, он будет выглядеть не изменившимся. С квадратом такая манипуляция не пройдет. Квадрат симметричен только при повороте на 90°. Применительно к симметрии законов сохранения это означает следующее. Математические уравнения, описывающие динамику энергии в физической системе в какой-то момент времени, будут точно такими же и через бесконечно малый промежуток времени. Это хорошая новость. Вы только представьте себе мир, в котором законы меняются на каждом шагу!

Подчеркнем, что речь идет о физических законах, а не о физических событиях. Так, купить акции Россельхозбанка в прошлом квартале — это не то же самое, что купить их год назад. При этом процесс покупки не изменяется, коль скоро сохраняются правила в работе банка. Именно об этом речь. Энергия — величина того уровня реальности, который соответствует правилам поведения, уравнениям движения, но не самому поведению и не фактическому его результату.

Симметрия проявляет себя в геометрических формах. Симметричными могут быть аккорды, тексты, уравнения, частицы вещества и кванты действия. Симметрия стала любимицей физиков. Она помогла им разобраться с классификациями кристаллов и элементарных частиц, помогла решать уравнения, вычислять вероятности квантовых переходов и делать фантастические обобщения. Одно из таких обобщений было сделано в Московском математическом институте им. Стеклова доктором Ю.А. Гольфандом и его аспирантом Е. П. Лихтманом в 1970 году и получило название «суперсимметрия». Идея суперсимметрии в том, что элементарные частицы вещества (такие как кварки и электроны) и элементарные взаимодействия (такие как глюоны и фотоны) могут поменяться местами так, что ничего вокруг не изменится. Символично то, что суперсимметрию между веществом и взаимодействием обнаружили математики. Они рассматривали вещество и взаимодействие в символическом плане. Они изучали формулы. Формулы состоят из символов, означающих величины и связывающие их операции. В этом смысле суперсимметрия есть символическая симметрия — симметрия символов.

Можно сделать следующий шаг и распространить принцип суперсимметрии на вещество, действие и информацию. По аналогии и по смысловому созвучию с понятием «гиперреальность», введенному философами постмодернизма, мы назовем гиперсимметрией такое обстоятельство, при котором символ может заместить вещь или действие таким образом, что в реальности ничего не изменится.

Эта догадка, высказанная мной в 2015 году в работах «Просто символ» и «Символ и капитал», находит подтверждение в повседневном опыте. Благодаря внедрению цифровых платформ происходит смещение потребления от приобретения вещей и услуг — к совместному пользованию вещами и услугами. Например, миллионы людей через цифровые платформы получают доступ к миллиардам книг в магазине Kindle Store компании Amazon, могут слушать почти любую музыку с помощью Spotify или присоединиться к предприятию по совместному использованию автомобилей. Реальность сама собой раскрывает себя как единство вещей, действий и символов. Это, собственно, и есть гиперреальность. Но вернемся к фракталам.

Открытие фракталов стало открытием еще одной формы преобразований, относительно которой может сохраняться инвариантность формы. Типичное свойство фракталов — самоподобие — заключается в инвариантности формы относительно изменений масштаба. На этом основании самоподобие также называют масштабной симметрией или симметрией подобия. Фрактальное подобие допускает «исчезающе малое искажение». Это значит, что фрактальная симметрия позволяет вносить хаотичность как в процесс построения фрактала, так и в структуру фрактала. Именно такое семейство фракталов сконструировал Майкл Барнсли в 2002 году. Он назвал его суперфракталом. Но об этом позже...

Сейчас заметим только то, что

Фрактал: форма, алгоритм и число

Фракталы Рона Эглеша

Такими словами Рон Эглеш приветствовал многие африканские семьи, которые встречал во время исследования фрактальных узоров, замеченных в деревнях на этом континенте...

А все началось с того, что математик Рон Эглеш в 80-х годах прошлого века обратил внимание на фрактальные структуры африканских деревень. В своей монографии «African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design» Рон Эглеш приводит множество примеров. Некоторые из них мы скопировали. Но наиболее интересно видео, запечатлевшее выступление Рона Эглеша на конференции TED (Technology, Entertainment and Design) в 2007 году, которое можно найти по QR-коду.

Выступление Рона Эглеша, 2007 год

План города Лагун-Бирни (Logone-Birni) в Камеруне (а), первые три итерации фрактальной модели Лагун-Берни (б)

Поселение Бамилек (Bamileke settlement) План поселения в i960 (а), фрактальная симуляция поселения (б), увеличение четвертой итерации (в)

Лаббезанга (Labbezanga) в Мали. Вид с высоты птичьего полета (а), фрактальный аналог (б)

Случилось так, что Рон Эглеш, будучи в Южной Замбии, попал в деревню Ба-йла. Вот его рассказ:

Сама деревня Ба-йла имеет 400 метров в диаметре. Это большое кольцо. Кольцо, представляющее границы семьи, становится шире и шире, когда вы идете по направлению к краю, и там находите кольцо вождя, которое тоже направлено к краю, а там — семья вождя в этом кольце. Деревня как целое — кольцо из колец с семейством вождя, с близкими родственниками вождя. Маленькие деревни рядом с большими. Люди живут в деревнях, подобных большой деревне. В маленьких деревнях — совсем маленькие алтари, по форме подобные деревне, но только совсем крошечные. Это потому что они не для людей, но для духов. Это духи предков. Им надо совсем мало места. Но их место в центре.

Аэрофотосъемка деревни Ба-йла (Ba-ila) накануне 1944 года (American Geographic Institute). Фрактальная симуляция структуры Ба-йла

Обычно архитектура имеет в своей основе линейные круговую или квадратную решетки. Такие основания мы видим в египетских и мексиканских пирамидах. Линейные решетки широко распространены по всему миру. Для Африки, однако, характерны нелинейные концентрические круги. Линейные структуры имеют конечное число вложенных элементов в ограниченном пространстве. Аналогичные нелинейные структуры могут иметь бесконечное число уровней в ограниченном пространстве за счет нелинейного уменьшения расстояний между соседними окружностями или квадратами. Различие линейных и нелинейных кривых демонстрируют спираль Архимеда и логарифмическая спираль. Первая — линейная. Расстояния между соседними линиями сохраняется на всем протяжении спирали Архимеда, и в ограниченном пространстве может разместиться только конечное число оборотов спирали Архимеда. В логарифмической спирали расстояние между соседними линиями возрастает по мере удаления от центра и уменьшается по мере приближения к центру. Благодаря этому в ограниченном пространстве может совершаться неограниченное число оборотов по логарифмической спирали.

Линейная спираль Архимеда (а) и нелинейная логарифмическая спираль (6)

Кроме того, в африканской культуре встречаются структуры с множеством центров такие, как, например, круги разных масштабов, помещенные в круге. Эти структуры напоминают фрактал Аполлона.

Типичные линейные архитектурные решетки: круг (а) и квадрат (б). Нелинейные круговые решетки, присущие африканской архитектуре: структура с единым центром (в) и со множеством центров (г)

Доктор Рон Эглеш обнаружил фракталы не только в африканской архитектуре, но и во всех слоях африканской культуры. Идея единства и вложенности пронизывает культуру африканского континента с доисторических времен. Быть может, самое сильное выражение этого принципа мы обнаруживаем в рекурсивных повторах космологических мифов Древнего Египта. Посмотрите на рисунок, заимствованный из работы Фурье 1821 года. Здесь богиня Земли Геба в окружении бога воздуха Шу заключена в оболочку божественного небосвода — Нут.

Космологическая картина мира Древнего Египта: Геба (Земля), окруженная Шу (Воздух), заключена в оболочку Нут (Небо)

Корни этих представлений проистекают из внимательных наблюдений, интуитивных представлений и креативных симуляций структуры окружающей реальности. Не столько геометрия, сколько символическое мировосприятие лежит в основе такого чувственного восприятия реальности. Быть может, самым знаковым выражением такого активного восприятия реальности, облеченного в техническую оболочку, стало древнее гадание на песке в Бамане. Такая система гадания обнаруживается по всей Африке. Суть одна. Вы наугад рисуете линии на песке, а затем считаете их, и если это нечетное число, вы записываете один штрих, а если это четное число, то записываете два штриха. Рон Эглеш пишет:

Баманское гадание по линиям на песке: а) линии на песке; б) четность той или иной линии; в) процесс повторяется четыре раза и результаты объединяются; г) результаты четырех сетов объединяются в один, производя седьмой символ

Оказывается, это генератор псевдослучайных чисел с использованием детерминированного хаоса. Когда у вас есть четырехбитный символ, вы составляете его с другим по сторонам. Так четное плюс нечетное дает нечетное. Нечетное плюс четное дает нечетное. Четное плюс четное дает четное. Нечетное плюс нечетное дает четное. Это сложение по модулю 2, прямо как проверка четности бита в вашем компьютере. Затем вы берете этот символ и вводите его снова, так что получается самосоздающееся разнообразие символов.

Генератор псевдослучайных чисел

Новое открытие Рона Эглеша оказалось не таким уж и новым. Уже в XII веке Уго Санталия привез тайное знание от исламских мистиков в Испанию. И там оно вошло в алхимическое сообщество как геомантия: гадание по земле. Карта геомантии нарисована для короля Ричарда Второго в 1390 году.

Африканский метод гаданий в Европе стал известен как «геомантия». Приведенная на рисунке карта геомантии была создана в 1390 году для короля Ричарда Второго.

Фракталы повсюду

Мир вокруг битком набит фрактальными структурами. С помощью фрактальной геометрии можно описать самые разные предметы — от контуров леса на фоне неба до системы кровеносных сосудов. Тот факт, что фрактальные структуры проявляются повсеместно, и то, что существует целый мир фрактальных форм, иногда порождает сдвиг от рассмотрения «вселенной фракталов» к рассмотрению «Вселенной как фрактала». Эту фикцию закрепляют новостные агентства, когда в лентах новостей появляются сообщения, подобные следующему:

Основанием таких «мировоззренческих» трактовок часто служит одна из моделей Вселенной, которая называется хаотической теорией инфляции. Объясню суть этой концепции в самых общих чертах. Теория космической инфляции, которую выдвинул американский физик и космолог Алан Харви Гут, предполагает, что когда нашей Вселенной была всего доля секунды отроду, наше пространство практически мгновенно раздулось до пределов, далеко превосходящих возможности наших телескопов. Движущая сила, стоявшая за этим колоссальным расширением, — весьма необычное состояние материи под названием «ложный вакуум». Эту ситуацию можно уподобить мячу, лежащему на вершине пологого холма. Дело в том, что пока Вселенная оставалась в состоянии ложного вакуума, то есть мяч лежал на вершине холма, она расширялась очень быстро, вдвое увеличиваясь в размерах за крошечную долю секунды. Стремительное расширение прекратилось, лишь когда мяч скатился с холма в низкоэнергетическую «канаву» у подножия (которая символически отражает тот факт, что ложный вакуум распался).

Согласно инфляционной модели, так называемая наша Вселенная пребывала в состоянии ложного вакуума очень недолго и все это время расширялась в фантастическом темпе. Затем ложный вакуум распался, и наша Вселенная стала расширяться куда более лениво, что мы и наблюдаем сегодня. Вся энергия и субатомные частицы нашей Вселенной были созданы во время осцилляции, последовавшей за распадом. Однако модель космической инфляции предсказывает также, что темп расширения в состоянии ложного вакуума гораздо стремительнее темпа распада. Следовательно, Вселенная начинается с участка ложного вакуума. С течением времени какая-то часть этого участка отделяется и порождает так называемую «карманную вселенную» вроде нашей. Одновременно участки, остающиеся в состоянии ложного вакуума, продолжают расширяться, приобретают те же размеры, что и уже отделившаяся карманная вселенная. Время течет дальше, центральная карманная вселенная продолжает медленно развиваться согласно общепринятой теории Большого взрыва. Однако каждый из двух оставшихся участков ложного вакуума развивается в точности так же, как и первоначальный участок ложного вакуума: часть его распадается, и возникает карманная вселенная. Каждый участок ложного вакуума расширяется и производит свою «карманную вселенную». Таким образом создается бесконечное количество карманных вселенных — и фрактальный узор: одна и та же последовательность участков ложного вакуума и карманных вселенных повторяется в постоянно уменьшающемся масштабе. Если выяснится, что эта модель и в самом деле отражает эволюцию вселенной в целом, значит, наша карманная вселенная — всего лишь одна из бесчисленного множества существующих карманных вселенных.

Фрактальные структуры объективно существуют, и существуют повсеместно. Любая структура сама по себе есть объективная символическая категория реальности, стоящая в одном ряду с такими категориями, как вещество и действие (взаимодействие). В этом смысле «фрактал — один из объектов реальности». Но из этого не следует, что «объективная реальность есть фрактал». На самом деле структура мира не сводится к фракталу. Но фрактальная интерпретация оказывается полезной и конструктивной во многих случаях.

Фрактал, соединив форму, функцию и число (символ), иллюстрирует совмещение дискретности и непрерывности (на формальном уровне), детерминизма и непредсказуемости (на функциональном уровне), предметного и операционального (на символическом уровне).

Фрактальная диалектика

Рассмотрим диалектический принцип «единства противоположностей». Это древняя головоломка, которую великолепно интерпретирует фрактал как модель единства и различия фрагментов. Фрактал демонстрирует соединение различных форм в одной единообразной структуре одновременно двумя путями: взаимопроникновением в процессе построения фрактальной формы (1) и сдвигом на новый масштаб (2).

Рациональное мышление всегда склонялось то в сторону примирения противоположностей (1), то в сторону их комплиментарности (2). Первый путь сводится к поиску ракурса, в котором противоположности представляются единым целым. Второй путь основан на введении ортогональной оси, на которую, как шашлык на шампур, нанизаны комплиментарные планы реальности.

Быть может, наиболее образно сопряжение противоположностей интерпретирует древнекитайский символ тайцзы. Ось времени, на которой разворачиваются события вне плоскости Ян и Инь, им ортогональна. Именно вдоль оси времени Инь, расширяясь, поглощает Ян, но, едва поглощенный, Ян возрождается из самой сердцевины Инь и поглощает Инь; будучи едва поглощенный, Инь возрождается из самой сердцевины Ян и расширяется снова...

Диалектика, истоки которой восходят к Гераклиту, утверждает «вечное становление» как результат взаимодействия противоположных, взаимоисключающих фактов и трендов, которые сталкиваются, пересекаются, конфликтуют. Как борцы на арене, они напряжены, доводя соперника до крайности. Один фрагмент доводит до предела другой, но каждый действует так, чтобы один преодолевал предел другого. Они сжимают друг друга, отстраняясь как можно дальше и отталкивая туда, куда не выйти в одиночку. Во взаимном напряжении различные влияния стимулируют появление самых удаленных гармоний. Всякое созвучие, едва оформившись, тут же диссонирует. И это становится началом повторения борьбы влияний. Повторение за повторением производит поток, который никогда не повторяется. Здесь противоположности совмещаются во времени — во времени они комплиментарны.

Платон видел путь к истине посредством сведения противоречащих сторон в единое целое. Это путь гармоничного примирения. Платон, защищая Бога от обвинений в попустительстве зла, сохранил рациональность, наделив Бога абсолютной «трансцендентностью». Теперь Бог вне пространства наблюдаемой реальности, в пространстве ему ортогональном, его пронизывающем, но от него отделенном. Это допущение обеспечивает комплиментарность Бога и Мира, исключает конфликты и противоречия. Николай Кузанский соединяет противоположности во времени:

От абстрактных положений Николай Кузанский подошел к технике взаимопроникновений противоположностей — coincidentia oppositorum (лат. — совпадение противоположностей). Классическая немецкая философия (И. Кант, И. Фихте, Ф. Шеллинг) делала акцент на комплиментарности противоположностей. Марксистская философия (К. Маркс, Ф. Энгельс, В. И. Ленин) утверждала «принцип единства и борьбы». Энгельс писал:

Маркс продолжил:

В начале 1927 года во время отпуска в Норвегии Нильс Бор сформулировал «принцип дополнительности». Формулировка Бора была призвана разрешить корпускулярно-волновой дуализм квантовой механики. При этом Бор с опорой на философов Сёрена Къеркегора, Харальда Гёффдинга и Уильяма Джеймса просто признал допустимым употребление двух языков, каждый из которых базируется на обычной логике. Стоит только допустить дополнительность двух взаимоисключающих интерпретаций — волновую непрерывность и корпускулярную дискретность, — как наблюдаемые квантовые эффекты удается объяснить и интерпретировать. При этом, согласно принципу неопределенности Гейзенберга, не может возникнуть такой физической ситуации, в которой оба дополнительные аспекта явления проявились бы одновременно и одинаково отчетливо. Сам Гейзенберг распространял этот принцип далеко за рамки квантовой физики. Гейзенберг писал:

Философы постмодернизма (Жак Деррида, Жиль Делёз, Жак Бодрийяр) представляли совмещение противоположностей как умножение дифференциалов до той гомогенной массы, в которой противоположности уже неразличимы и из которой они перманентно произрастают. Постмодернисты указывают, что отторжению противоположностей друг от друга предшествует процесс накопления существенных различий, который предваряется зарождением различий (Даррида). Зарождению различий сопутствует процесс дефиниций и означений. Исходное противопоставление в процессе накопления различий размазывается, диспергируется, распыляется во множестве знаковых смыслов. Однако распыляемое, влияя на процесс распыления, формирует связный кластер вещей, явлений и символических знаков. Последние проявляют себя в информационных структурах и петлях обратного влияния.

Проницательный мистик Раджниш Ошо в книге «Дхаммапада. Из хаоса рождаются звезды» приводит метафору:

Танцор, художник, певец, музыкант, поэт — все они знают эти мгновения, но это лишь мгновения в их жизни: мгновение вдохновения. Посредством медитации — в высшей степени рационально — эти моменты можно продлить настолько, что танцор исчезает навсегда, наступает состояние «нирваны»:

Появление звезд — притягательно ярких и ясных символов — вот новое измерение жизни, которое формируется в процессе стирания противоположностей между собой и с самим процессом означивания и дифференцирования. Вещественное, сливаясь с операциональным, указывает на символическое.

На прагматичном техническом языке фрактал геометрически ясно иллюстрирует то же самое — связность формального и операционального планов реальности в ортогональном им символическом пространстве. Фрактальная интерпретация не просто популяризирует новую картину реальности, но стимулирует креативные и экстравагантные решения, которые создают реальность новейшую, в которой плюрализм, уникальность и гетерогенность легко и естественно совмещаются с глобальностью, универсальностью и сплоченностью.

Фрактал примиряет разрыв с непрерывностью, это делает фрактал такой структурой, которая может обеспечить связь между порядком и хаосом. Поэтому фрактальные структуры часто наблюдаются на границе порядка и хаоса — фракталы там, где хаос.