Суперфрактал

• Сложность простоты

• Фрактальные границы Ньютона

• Фрактал Мандельброта — метафрактал

• Клеточные автоматы

• Мультифракталы

• Перколяция: поры и сети

• Аффинное преобразование

• Игра хаоса

• Фрактальное кодирование

• Суперфракталы

• Алеаторные фракталы

Х.-О Пайтген, П. X Рихтер. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. 1989

Сложность простоты

Мир в целом становился более чувственным и более эмоциональным, оставаясь рациональным. Эмоциональное развивается в сторону все более сложных и тонких эмоций. Рациональное стремится к простоте. Оба тренда согласованы и чудесным образом совместимы:

Сложной форме границ сопутствует сложная внутренняя организация фрагментов сложных систем, таких, как многообразие Жюлиа. Разнообразие множеств Жюлиа кажется ошеломляющим. И все же каждое из множеств Жюлиа строго и точно сопряжено со всеми остальными множествами из семейства множеств Жюлиа. Эта согласованность проявляет себя в том, что есть некоторое организующее множество, своего рода путеводитель в мире множеств Жюлиа. Это множество Мандельброта. Каждая точка множества Мандельброта говорит нам о том, какого вида множество Жюлиа следует ожидать для данного значения постоянной С в алгоритме Жюлиа.

Многообразию множеств Жюлия сопутствует «единообразное многообразие» — множество Мандельброта. Оно проявляется снова и снова, различных размеров, но всегда одной и той же формы. Оно не является множеством Жюлиа, а представляет собой структуру организации таких множеств. Оно напоминает геном: каждая клетка содержит полный геном, совокупность всех форм проявления, но в любой точке организма на самом деле проявляется только некоторая малая часть этих форм.

Сам по себе порядок Мандельброта в структуре всех множеств Жюлиа свидетельствует о том, что сложное поддается систематическому изучению. Благодаря вычислительной технике удается привести в порядок огромный массив информации, придав ей вид и смысл.

Например, мы можем раскрасить фрактал. Это есть своего рода кодирование. Выбор цвета, с одной стороны, приводит к некоторой потере информации, с другой стороны — перераспределяет акценты внимания в силу воздействия на наше эмоциональное восприятие. Сложность появляется на границе множества Мандельброта. На простом черно-белом изображении этого не видно (черный цвет соответствует связным, а белый — разрывным множествам Жюлиа). Даже 256 оттенков могут дать только слабый намек на действительную сложность границы множества Мандельброта. Чтобы понять структуру границы, требуется рассматривать ее в динамике — в процессе построения.

Каким образом раскрашивается окрестность множества Мандельброта?

Представим себе, что множество изготовлено из металла и несет на себе электрический заряд. Тогда его поверхность имеет постоянный электрический потенциал, скажем, 1000 V. В области, окружающей проводник, потенциал падает до ноля, и мы отмечаем линии постоянного напряжения, так называемые эквипотенциальные линии. Например, линия, соответствующая потенциалу в 1 V, настолько далека от проводника, что выглядит почти окружностью, так как с такого расстояния М кажется почти точечным зарядом. Линия 900 V, напротив, несколько напоминает форму М, а линия 999 V уже довольно точно повторяет его контуры. Раскраска наших рисунков соответствует этим линиям. Все точки, лежащие между двумя такими линиями, окрашиваются одинаково. Разные цвета дают контурную карту электростатического потенциала между границей М и бесконечностью. В 1983 году француз Адриен Дуади и американец Джон Хаббард доказали, что эквипотенциальные линии точно отражают динамику критической точки х = 0. Эквипотенциальные линии являются линиями одинакового времени убегания в бесконечность начальной точки х₀ = 0.

Множество Мандельброта с эквипотенциальными линиями и силовыми линиями поля

Множество Мандельброта не относится к множествам Жюлиа, но они теснейшим образом связаны и структурно подобны. На это указывает тот факт, что формы отдельных фрагментов множества Мандельброта напоминают формы множества Жюлиа. Множество Мандельброта появилось как следствие исследования границы между сплошными и разрывными множествами Жюлиа. Именно граница множества Мандельброта указывает на изменение природы множеств Жюлиа. Когда параметр С покидает множество Мандельброта, множества Жюлиа теряют свою связность, взрываются и превращаются в пыль.

Этот переход «в пыль» связан с тем, что каждая точка множества Жюлиа одновременно касается областей притяжения всех аттракторов. На определенном удалении от скопления аттракторов такое пересечение границ теряет свою непрерывность.

Фрактальные границы Ньютона

Сэр Исаак Ньютон заложил основы классической механики, оптики, исчисления бесконечно малых. Но кроме того он открыл еще множество менее известных методов, с пользой применяющихся и сегодня. Например, он формализовал алгоритм «проб и ошибок», известный со времен античности. Решение начинается с выбора произвольного числа. Далее итерация этого числа по определенному алгоритму приводит к решению. Процесс обыкновенно идет достаточно быстро, и количество точных цифр после запятой, как правило, удваивается с каждым шагом. Примером такого итерационного алгоритма служит «метод касательных».

Пусть задана функция ƒ (х), для которой известно приближенное значение ее корня x₁ также значение функции ƒ (x₁) и ее производная ƒ′(x₁). Тогда, проводя касательную к графику функции ƒ (х) в точке х₁ и определяя ее пересечение с осью ОХ, получаем уточненное значение корня, равное х₂. Поскольку уравнение касательной имеет вид

то, приравняв его к нолю, получим формулу для расчета

Теперь, беря значение х₂ в качестве приближенного значения корня и повторяя этот алгоритм, находим следующее значение х₃ и так далее. Этот процесс быстро сходится к искомому значению корня.

Единственный досадный недостаток этого метода в том, что уравнения обычно имеют более одного корня, особенно если среди этих корней есть комплексные решения. Какое именно решение будет найдено с помощью метода итераций, зависит от первоначальной догадки и первого шага.

В 1879 году английский математик сэр Артур Кейли (1821-1895) опубликовал работу, в которой рассматривался собственно оператор Ньютона, а не его результаты. Найдя ответ для уравнения 2-й степени, Кейли объявил, что случай многочленов более высокой степени будет представлен в следующей публикации, которая так никогда и не появилась. Лорду Кейли пришлось оставить этот вопрос, поскольку он оказался слишком сложным.

Итерация Ньютона производит две области притяжения. Для квадратичного уравнения:

Это область в окрестности z = 1 и область в окрестности z = -1. Граница этих областей разбивает комплексную плоскость на два сектора по 180°. Естественно думать, что существуют три области притяжения, которые разбивают комплексную плоскость на три сектора по 120°. Для кубического уравнения:

Но, как обнаружил Артур Кейли, к своему крайнему изумлению, это не так.

Проблема, с которой он столкнулся, явилась начальной точкой исследований Хаббарда. В 1977 году тогда еще совсем молодому американскому математику Джону Хаббарду, преподававшему математику в Парижском университете Орсей, студенты-первокурсники задали невинный вопрос: как будет сходиться точка, равноудаленная от трех корней кубического уравнения? Как далеко простирается влияние притяжения различных центров и на что похожа граница между ними? Хаббард довольно быстро доказал, что для уравнения второй степени данная последовательность всегда будет сходиться к ближайшему корню. Исключение составляют случаи, когда начальная точка z₀ равноудалена от обоих корней, т. е. лежит на прямой, проведенной через середину отрезка, соединяющего два корня, перпендикулярно ему. В этом случае последовательность итераций все время остается на этой прямой, совершая хаотическое движение. В отличие от Кейли, у Хаббарда в распоряжении был компьютер. Уже к концу семестра им и его студентами было получено несколько важных экспериментальных результатов, описание которых заслуживает внимания.

Рассмотрим простое кубическое уравнение, при решении которого требуется найти кубический корень из единицы:

В случае с действительными числами решение вполне тривиально — единица. Однако данный многочлен имеет также два комплексных корня:

и

В самом грубом приближении комплексную плоскость можно было, как пирог, разделить на три равные части, каждая из которых являлась областью притяжения соответствующего корня.

Эта была именно та картинка, которую первоначально представлял себе Хаббард (и многие другие до него). Однако более скрупулезное компьютерное исследование выявило, что геометрия границ областей притяжения имеет гораздо более сложную форму.

Нанесенные на комплексную плоскость, три указанных корня образуют равносторонний треугольник. Коль скоро в качестве начальной точки выбрано любое комплексное число, вопрос заключается в том, чтобы увидеть, какое именно из трех решений даст вычисление по методу Ньютона. Это все равно что рассматривать данный метод как динамическую систему, а три решения — как три аттрактора. Метод Ньютона для кубического уравнения z³-1 = 0 сводится к итерационной формуле:

Анализ этой формулы показывает, что решения кубического уравнения ведут себя странно. Представим комплексную плоскость в виде ровной поверхности, спускающейся к трем углублениям, окрашенным для наглядности в разные цвета. Шарик, начав катиться из любой точки на плоскости, приведет в одну из долин: состояние, в котором оказалась динамическая система, зависит от ее начального состояния. Наивное предположение, будто любое z₀ будет сходиться к ближайшему из трех корней, следует отбросить по причине его несостоятельности. Например, начальное значение z₀ = -1 сходится к 1, наиболее удаленному от него корню. Системный расчет показывает, как некоторые расчетные точки быстро приводят к одному из корней, другие словно бы прыгают рядом с ним совершенно произвольно, пока не приближаясь к решению. Иногда кажется, что точка может стать началом периодического цикла, который будет повторяться вечно, не достигая ни одного из трех возможных корней (неравновесная устойчивость).

Интересно, что форма этих областей удивительно напоминает множества Жюлиа для многочленов второй степени. Можно сказать, что существуют «хорошие» (по отношению к методу Ньютона) уравнения, для которых почти все начальные точки ведут к какому-либо корню, и «плохие», для которых метод Ньютона иногда приводит к появлению притягивающего цикла.

Линии границ в конце концов открыли Хаббарду особое, фрактальное свойство:

Непостижимо, но каждую пограничную точку окаймляли зоны всех трех центров — совершенно безумное лоскутное одеяло. На границе между любыми двумя центрами притяжения всегда расположена гирлянда островков третьего центра притяжения. Границы этих островков, в свою очередь, состоят из гирлянд островков меньшего размера и т. д.

Фрактал Ньютона, полученный методом Ньютона, примененного для поиска решений кубического уравнения Z³ -1 = 0. Один из корней лежит в белой области рисунка. Два других корня — в черной области рисунка. Пограничный слой между этими тремя корнями представляет собой фрактал. Каждая точка спиралеобразных границ соприкасается с тремя областями трех корней кубического уравнения

Границы Ньютона с разрешением 2048 х 2048 пикселей

Такая феерия была бы невозможна, если бы не фрактальная природа границ: непрерывно уменьшаясь в размерах, детали границ постоянно воспроизводят сами себя. В результате оказывается, что каждая точка такой фрактальной границы соседствует сразу с тремя областями притяжения.

Таков естественный результат конкуренции нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между территориями в результате соперничества возникают редко. Чаще имеет место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже за самые малые участки. Между двумя конкурентами порой возникает третий, который пользуется разногласиями двух других и насаждает свою область влияния. Может случиться, что один центр захватит всю плоскость, но и его власть имеет границы в виде изолированных точек, которые неподвластны его притяжению, — это, так сказать, «диссиденты». Пайтген и Рихтер в книге «Красота фракталов» поясняют:

Удивительно, что столь сложная структура границ и чередующихся областей сформировалась в поле всего лишь трех точек притяжения. Траектория в поле притяжения трех тел заслуживает особого внимания.

Эта непредсказуемость завораживает. Иначе почему же по всему миру продают игрушку — маятник, состоящий из подвешенного на конце нити железного шарика. Под маятником находятся три магнита, притягивающие шарик. Траектория шара выглядит весьма запутанно и очень чувствительна к исходным условиям: начальному положению шара, трению и силе гравитации.

После серии колебаний маятник замрет, а шарик зависнет точно над одним из трех магнитов. Но всегда ли шарик устремится к тому из аттракторов, который окажется ближайшим к его начальному положению? Отнюдь нет! Попробуйте — и убедитесь сами. При различных начальных условиях шарик описывает весьма замысловатую траекторию, а его конечное положение представляется совершенно непредсказуемым, будучи предопределенным. Иначе говоря, траектория шарика в поле притяжения трех магнитов есть траектория на фрактале — фрагмент странного аттрактора.

Существует много вариантов перехода от порядка к хаосу. Но в их разнообразии есть нечто неизменное, нечто типовое — это конкуренция нескольких центров за доминирование. Простые границы в результате такого соперничества возникают редко. Чаще имеет место филигранно точная и чрезвычайно сложная организация границ в поле притяжения простого фрактального аттрактора.

Существует множество разнообразных фрактальных границ. Это не только фрактальные границы Ньютона. Это, например, гиперболический синус, гиперболический косинус и многие другие. Все они описываются простыми по форме функциями (не сложнее формулы Ньютона), которые занимают ничтожно мало места в памяти компьютера, производят огромное разнообразие форм, для их хранения не хватит памяти даже самого мощного компьютера. И это напоминает генетическую организацию живой материи, принцип которой в том, что ограниченный набор генов определяет неограниченное разнообразие фенотипов организмов, иными словами:

Исследуя границы Ньютона, Хаббард обнаружил еще одну странную особенность. Независимо от числа аттракторов, расположенных на плоскости, каждая точка границы одновременно касается областей притяжения всех аттракторов.

В случае трех аттракторов каждая точка границы будет местом, в котором встречаются все три области!

Все это звучит неправдоподобно, но «планета» на рисунке, взятом из статьи Хайнца-Отто Пайтгена и Питера Рихтера «Границы хаоса», иллюстрирует такую возможность.

Темным, светлым и серым цветами окрашены определяемые алгоритмом Ньютона области влияния для корней некоторого полиномиального уравнения. Где бы ни встретились, чтобы образовать границу, две области (например, окрашенные в светлый и темный цвета), третья область (серая) вклинивается между ними. Чтобы эти клинья не сформировали двусторонние границы со своими соседями, они в свою очередь окружаются цепочками островов, образуя структуры, повторяющиеся вновь и вновь до бесконечно малых размеров. Маленькая луна показывает обратную сторону планеты.

Фрактал Мандельброта — метафрактал

В эпистемологии приставка «мета-» означает «о себе». Например, метаданные — данные о данных (кто выдает их, когда, какой формат данных используется и т.п.). Аналогично, метапамять в психологии обозначает интуицию личности о том, сможет ли она вспомнить нечто, если сконцентрируется на воспоминании. Фрактал Мандельброта — это метафрактал, это фрактал-ландшафт для фракталов Жюлиа.

Сложные формы, производимые простыми алгоритмами, появились на экранах мониторов после того, как Бенуа Мандельброт запустил на одном из первых компьютеров IBM итерацию Жюлиа. Описанное Жюлиа еще в 1918 году отображение выглядит крайне просто:

Берем ноль, возводим его в квадрат и прибавляем к результату комплексную константу С. Полученный результат возводим в квадрат и добавляем ту же константу С. И так можно продолжать до бесконечности. Это отображение может быть применено к комплексным числам Z и С. Использование комплексных чисел усложняет расчеты, но вместе с тем позволяет увидеть весь ландшафт с «высоты птичьего полета». Когда такая возможность была реализована, появилась фрактальная геометрия.

Вычислительные машины стали детонатором фрактальных представлений. В 1977 году появилась техническая возможность рассчитать и визуализировать сложные, многократно повторяющиеся расчетные алгоритмы. Мандельброт тогда работал на фирме IBM и по роду службы имел дело с лучшими на то время компьютерами. На экране его монитора — вдруг, словно по мановению «невидимой руки», — появились узоры, замысловатые и странные.

В 1980 году Мандельброт обнаружил множество, которое мы называем теперь фракталом Мандельброта. Это не просто причудливая фигура. Это еще и принцип перехода от связного и упорядоченного — к разрывному и хаотическому состоянию форм. Множество Мандельброта содержит в себе универсальность Фейгенбаума, но не ограничивается ею.

С самого начала предпринятого им исследования Мандельброт искал пограничную линию между связными и разрывными множествами Жюлиа. Он анализировал комплексное итерационное уравнение Жюлиа:

Начнем с простейшего из возможных значений константы С, а именно

Тогда при каждой итерации вычисляется точный квадрат исходного числа:

Для этой последовательности в зависимости от Z_Q имеются три возможности:

1. Числа получаются все меньшими и меньшими, их последовательность приближается к нолю. Мы говорим, что нуль является аттрактором для процесса Z → Z². Все точки, находящиеся на расстоянии меньше 1 от этого аттрактора, движутся к нему.

2. Числа становятся все большими и большими, стремясь к бесконечности. Мы говорим, что бесконечность является аттрактором для такого процесса. Все точки, лежащие на расстоянии больше 1 от ноля, движутся к бесконечности.

3. Точки находятся и продолжают оставаться на расстоянии 1 от ноля. Их последовательности лежат на границе двух областей притяжения, в данном случае на окружности единичного радиуса с центром в ноле.

Ситуация ясна. Плоскость делится на две зоны влияния, а границей между ними является просто окружность.

Дело обстоит сложнее, когда мы выберем ненулевое значение С, отличное от ноля. Например,

Здесь для последовательности Z₀ → Z₁ → Z₂ → ... также имеются три из перечисленных выше возможностей, но внутренний аттрактор (отмеченный точкой на рисунке) уже не является нолем, а граница уже не выглядит гладкой. Она сильно изломана. Причем под лупой граница выглядит столь же изломанной, как и без нее. Она фрактальна.

Одной из характерных особенностей этой границы является ее самоподобие. Если взглянуть на любой из ее поворотов или заливов, можно обнаружить, что одна и та же форма встречается в различных местах и имеет разные размеры.

Если выбрать новое значение С, скажем,

то получим множество, которое представляет собой не единственную деформированную окружность, а состоит из бесконечного числа деформированных окружностей, образующих, однако, связное множество. Внутренние точки этого множества притягиваются не одной неподвижной точкой, а циклом из трех точек, отмеченных на рисунке более крупно. И эти границы также фрактальны.

Множества Жюлиа с одной притягивающей неподвижной точкой С = -0.12375 + 0.56508i и множество Жюлиа с притягивающим циклом периода 3С = -0.12 + 0.74i

Оба эти множества — представители семейства множеств Жюлиа. Во время Первой мировой войны французские математики Гастон Жюлиа и Пьер Фату изучили их свойства, но их исследования долгое время оставались малоизвестными даже для большинства математиков. Это не удивительно. Без компьютерной графики было почти невозможно передать их тонкие идеи. Например, Жюлиа и Фату было хорошо известно о самоподобии. Они установили, что всю границу можно восстановить по любой произвольно малой ее части, используя конечное число итераций отображения

Еще более трудно представить сложную динамику множеств Жюлиа, не прибегая к компьютерной графике. Не менее сложно предсказать, какой вид будет иметь множество Жюлиа при том или ином значении параметра С.

Исследование Мандельброта позволило преодолеть эти трудности. Ученый нашел и построил границу, внутри которой каждой точке соответствует то или иное связное множество Жюлиа. Любой точке за пределами этой границы соответствует такое множество Жюлиа, которое как бы рассыпается на бесконечное число оторванных друг от друга фрагментов.

Представим себе некоторый путь, начинающийся внутри множества Мандельброта и заканчивающийся вне его. Если менять С, двигаясь вдоль этого пути, то самые драматические изменения происходят с множествами Жюлиа тогда, когда наш путь пересекает границу множества Мандельброта. Здесь, на границе, множества Жюлиа, как будто взорвавшись, превращаются в облако из бесконечного числа точек. В этом смысле граница множества Мандельброта определяет момент математического фазового перехода для множеств Жюлиа.

Эта граница занимает область в диапазонах

и

Множество Мандельброта для процесса Z→Z²+C. Показана часть комплексной C-плоскости -2,4 < Re C < 0,8; -1,5< Im C < 1,2

Различным зонам множества Мандельброта отвечают некоторые качественные утверждения о множестве Жюлиа.

Например, кардиоида, очерчивающая главное тело, содержит все значения С, при которых множество Жюлиа будет более или менее деформированной окружностью, охватывающей область притяжения некоторой неподвижной точки.

На действительной оси множества Мандельброта реализуется Ферхюльстов сценарий удвоения периода. Период два будет устойчивым внутри большой почки, которая примыкает к основному телу с левой стороны и размещается в интервале на действительной оси:

Точка С = -2 является крайней точкой антенны множества Мандельброта.

Мы видим, что по сравнению с анализом на действительной оси выход в комплексную плоскость дает более полную картину перехода от связного порядка к разрыву и хаосу.

На что же похоже множество Жюлиа для значений С из какой-либо почки множества М, примыкающей к основному телу?

Один из примеров представляет собой параболический бассейн около неподвижной точки при

Это значение С соответствует месту прорастания почки, дающей устойчивые циклы периода 5. Все пять точек таких циклов отщепляются от жирной точки, когда С переходит внутрь почки.

Параболический бассейн около неподвижной точки С = -0,481762 - 0,531657i

Помимо точек прорастания почек основное тело множества Мандельброта обладает граничными точками совершенно иных типов. Неподвижная точка будет устойчивой для

В отличие от параболического случая, граница не подходит к неподвижной точке, да и остальные точки при движении ее тоже не достигают. Окружности, охватывающие неподвижную точку, являются инвариантными, т. е., выбрав начальную точку на какой-нибудь из этих окружностей, мы ее уже никогда не покинем при последующих итерациях.

Внутри области, ограниченной множеством Жюлиа, процесс протекает следующим образом: сначала точки перескакивают из меньших, периферийных, точек в большие до тех пор, пока не попадут внутрь диска, содержащего неподвижную точку. Этот диск назван диском Зигеля в честь немецкого математика Карла Людвига Зигеля. После того как точки попадают туда, они начинают просто вращаться вокруг неподвижной точки по своим инвариантным окружностям.

Диск Зигеля около неподвижной точки и его прообразы при С = -0,39054 - 6,58679 i

Описанные выше четыре примера иллюстрируют все типичные случаи, когда граница, порожденная отображением Z → Z² + С, охватывает область с внутренними точками.

Итак:

• Если С лежит внутри основного тела множества Мандельброта, то некоторая фрактально деформированная окружность охватывает единственную притягивающую неподвижную точку (пример 1).

• Если С лежит внутри одной из точек, то множество Жюлиа состоит из бесконечного числа фрактально деформированных окружностей, охватывающих точки периодического аттрактора и их прообразы (пример 2).

• Если С является точкой прорастания почки, то имеет место параболический случай; граница имеет усики, дотягивающиеся до маргинально устойчивого аттрактора (пример 3).

• Если С является любой другой точкой границы кардиоиды или точки (имеются некоторые технические условия относительно иррациональности точки), то мы имеем диск Зигеля (пример 4).

В фундаментальной математической работе в 1983 году американец Деннис Салливан показал, что указанные четыре случая описывают все возможные характерные структуры, которыми может обладать область, ограниченная множеством Жюлиа, за исключением одной. Пятая возможность — так называемые кольца Эрмана. Они названы так в честь американского математика Михаила Эрмана, первым построившего этот тип множеств Фату в 1979 году.

Эти примеры отнюдь не исчерпывают список всех возможных структур множеств Жюлиа. Множество Мандельброта окружено шипами и иглами, похожими на антенны. Если мы поместим С на самый конец одной из таких антенн, то получим и множества Жюлиа, по форме подобные иглам. При более внимательном рассмотрении оказывается, что каждая антенна множества Мандельброта содержит множество маленьких копий всего множества Мандельброта. Они как бы нанизаны на нити, и между двумя большими копиями имеется еще одна, меньшая, и так далее без конца. На рисунке показан пример С = i. Такие дендриты не имеют внутренности, но сохраняют связность. До тех пор, пока С принадлежит множеству Мандельброта, множество Жюлиа остается связным. Согласно теореме Адриена Дуади и Джона Хамала Хаббарда множество Мандельброта также связно.

Оператор приближения «zoom», примененный к фракталу Мандельброта

Если взять значение C вне множества Мандельброта, то единственным аттрактором будет бесконечность, но теперь множество Жюлиа распадается в облако точек, называемое «пылью Фату». Эта пыль становится все мельче с удалением точки С от множества Мандельброта. Если С находится вблизи границы множества Мандельброта, то пыль образует завораживающие семейства, такие как дендриты с бусинками и ряды морских коньков.

Выход Мандельброта в комплексную плоскость по сравнению с анализом на действительной оси позволяет сгладить разрывы и сделать картину перехода более плавной, более непрерывной. Иллюстрацией этому служит связь между множеством Мандельброта и сценарием удвоения периода. В первом случае С — комплексное число. Во втором случае С — действительное число. Как видно из рисунка на следующей странице, бифуркации соответствуют прорастанию почек, периодические окна, разрывающие хаотическую пелену, соответствуют малым копиям множества Мандельброта, расположенным на главной антенне.

Открытие Мандельбротом универсальной формы, фрактала Мандельброта, радикально изменило отношение между простым и сложным. Теперь сложность стала проявлением простоты, а простота стала необходимым условием сложности.

Типичные множества Жюлиа для процесса Z→ Z² + С:

а) параболический случай; при подходящем произвольно малом изменении С: маргинально устойчивая неподвижная точка превращается в притягивающий цикл периода 20;

б) параболический случай С = -1.25: С > - 1.25: притягивающий цикл периода 2; С < -1.25: притягивающий цикл периода 4;

в) связное множество Жюлиа (притягивающий цикл периода 3) незадолго до превращения в канторово множество (см. рис. е);

г) пыль Фату;

д) дендрит, С = i;

е) Канторово множество, получающееся из рис. 6 при малом изменении параметра С.

Пыль Фату:

а) Дендрит с бусами. Множество Жюлиа для значения С из вторичного множества Мандельброта;

б) Множество Жюлиа при некотором значении С из долины морских коньков.

Связь между множеством Мандельброта и сценарием удвоения периода. Бифуркации соответствуют прорастанию почек, периодические окна, разрывающие хаотическую пелену, соответствуют малым копиям множества Мандельброта, расположенным на главной антенне

Клеточные автоматы

Алекс Беллос, автор книги «Красота в квадрате», пишет:

Итак, клеточные автоматы — это математические объекты с дискретными пространством и временем. Каждое положение в пространстве представлено отдельной клеткой, а каждый момент времени — дискретным временным шагом или поколением. Состояние каждой пространственной клетки определяется очень простыми правилами взаимодействия. Эти правила предписывают изменения состояния каждой клетки в следующем такте времени в ответ на текущее состояние соседних клеток.

Преобразование системы по правилу «сумма по модулю два»

Например, если пустой клетке присвоено значение 0, а занятой клетке — 1, то правила можно представить, скажем, так: на каждом шаге каждой клетке присваивается значение 0, если две ближайшие к ней клетки либо обе пусты, либо обе заняты. В арифметическом смысле это соответствует правилу, согласно которому новое значение каждой клетки равно сумме значений ближайших к ней клеток по модулю два. Далее такое построение можно автоматически повторять на каждом следующем шаге — отсюда название «клеточный автомат».

Впервые идея таких автоматов появляется в 1940-х годах в работах Джона фон Неймана и Станислава Улама. Улам и фон Нейман были близкими друзьями, эмигрантами из Восточной Европы, выходцами из верхушки среднего класса с еврейскими корнями. Оба очутились в одинаковой политической ситуации и оба обладали выдающимся интеллектом. В 1935 году фон Нейман пригласил Улама в США, а четыре года спустя сделал Уламу, работавшему тогда в Висконсинском университете, более интригующее предложение: перебраться в Нью-Мексико и присоединиться к нему в работе над неизвестным проектом. Улам взял в университетской библиотеке путеводитель по штату Нью-Мексико и увидел, что до него путеводитель брали его коллеги, которые исчезли куда-то без всяких объяснений. Выяснив, в каких областях они работали, он понял, что именно его просят сделать. Так Улам присоединился к Манхэттенскому проекту в Лос-Аламосе.

В ходе разработки термоядерного оружия Улам понял, что если поведение физической системы является слишком сложным, то для того, чтобы его прогнозировать, нужно предоставить компьютеру возможность сделать множество случайных оценок, а затем получить более точные показатели с помощью статистических методов. Во время одной из поездок на автомобиле Улам объяснил этот метод фон Нейману; тогда и было придумано для него название — «метод Монте-Карло». Например, для того чтобы определить вероятность того, что шарик рулетки остановится на черном, игроку не нужно решать уравнение — он может просто подсчитать, сколько раз шарик выпадает на черное после сотен случайных бросков.

Так Улам увлекся теорией игр. Все свое свободное время в Лос-Аламосе он тратил на изобретение игр с одним участником. Эти игры сводились к созданию шаблонов из ячеек решетки. Изменение правил создания таких шаблонов позволяло строить фигуры, которые могли разрастаться и меняться весьма необычными способами. Эти игры вдруг пересеклись с исследованиями, в которых фон Нейман пытался выяснить, что понадобится машине, чтобы воспроизвести себя.

Ему понадобилось посвятить 200 страниц своей книги «Теория самовоспроизводящихся автоматов» доказательству того, что «универсальный строитель» принципиально возможен. Однако он обнаружил, что самовоспроизводиться способна только машина, преодолевшая определенный порог сложности. Это очень важный вывод: качественно новые свойства появляются у системы только тогда, когда она обладает достаточным уровнем сложности.

Улам выдвинул предположение, что для того, чтобы сосредоточиться исключительно на логических аспектах самовоспроизведения, вместо работы с реальной машиной фон Нейману следует проанализировать фигуры, образующиеся на решетке ячеек. В процессе обсуждения этой задачи двое ученых изобрели новую математическую концепцию — «клеточный автомат».

Фон Нейман разработал клеточный автомат, в котором каждая клетка находилась в одном из 29 состояний, и придумал правила, призванные обеспечить самовоспроизведение исходного шаблона, состоящего из 200 000 клеток. Клеточные автоматы не привлекали к себе особого академического интереса до тех пор, пока на них не обратил внимание британский математик с еще более «игривым разумом, чем у Улама».

В 1960-х годах в комнате отдыха математического факультета Кембриджского университета преподаватели и студенты постоянно играли в настольные игры и придумывали новые. Идей было так много, что один преподаватель даже вел файл под названием Games Without Names («Игры без названий») и сопутствующий файл — Names Without Games («Названия без игр»). Здесь Джон Конвей, ливерпульский фанатик игры в нарды и талантливый математик, изобрел свой клеточный автомат на квадратной сетке, которому он дал имя Game of Life («Игра "Жизнь"»).

В этой игре клетка является либо живой, либо мертвой и подчиняется следующим правилам.

• Рождение: мертвая клетка, имеющая три живые соседние клетки, становится живой.

• Выживание: живая клетка, имеющая две или три живые соседние клетки, продолжает жить.

• Смерть от одиночества: живая клетка, у которой нет по соседству живых клеток или есть только одна такая клетка, умирает.

• Смерть от перенаселенности: живая клетка с четырьмя или более соседними клетками умирает.

• Примечание. У каждой клетки есть восемь соседей; к их числу относятся четыре смежные клетки и четыре клетки, с которыми она соприкасается по диагоналям в углах. Перечисленные выше законы применяются по отношению ко всем клеткам одновременно, и каждый раз, когда это происходит, появляется новое поколение клеток.

Вот и все. Простота локальных правил может генерировать невероятно сложное поведение системы. При этом самая увлекательная особенность игры «Жизнь» заключается в том, что она разнообразна и совершенно непредсказуема. Нет другого способа узнать, что произойдет даже с самыми простыми фигурами, кроме отслеживания их жизни на протяжении многих поколений. Конвей и его коллеги делали это вручную. Живые клетки были фишками, которые размещались на доске для игры го с разметкой 19 х 19 линий. Когда для шаблона требовалось больше места, на полу укладывали дополнительные доски. Были найдены новые устойчивые конфигурации, получившие такие названия, как «батон», «корабль», «лодка» и «змея». Иногда исходный шаблон погибал или быстро менялся, превращаясь в одну из известных устойчивых конфигураций, а иногда начинал жить своей жизнью, что приводило всех в сильное волнение. Например, пентамино в форме буквы R состояло всего из пяти клеток, но продолжало эволюционировать на протяжении десятков поколений, пока на 69-м поколении не произошло исключительное событие. Эта конфигурация произвела на свет фигуру из пяти клеток, скользившую по доске.

Новая фигура получила имя «глайдер» (от англ. Glider — «планер», ее поведение проиллюстрировано на рисунке ниже). Через два поколения конфигурация переворачивается на другую сторону, а еще через два снова поворачивается таким образом, что оказывается на одну клетку ниже и на одну дальше от исходной позиции. Глайдер продолжает смещаться на одну клетку вниз и одну вперед каждые четыре поколения. Он будет двигаться в одном и том же направлении по диагонали до бесконечности, если ничто не преградит ему путь.

На мониторах ПК, планшетах или смартфонах появился целый зоопарк «живых» клеточных образований. В 1982 году Джон Конвей выдвинул предположение о том, что если бы решетка игры «Жизнь» была достаточно большой и в исходном состоянии клетки располагались на ней в случайном порядке, то

И если на этом не остановиться, то у разумных клеточных существ могут появиться компьютеры, способные содержать внутри себя новые клеточные автоматы, в которых

Эта идея восходит к работам фон Неймана над машинами, которые были бы способны самостоятельно воспроизводиться. Размышляя над тем, как машина может построить точную копию самой себя, он столкнулся с логической проблемой. Вычисляющие машины, как мы знаем, состоят из аппаратного и программного обеспечения. Аппаратное обеспечение «конструирует» новый аппарат, следуя инструкциям, закодированным в программе. В идеале машина создаст новую машину с точно такой же программой. В этом случае программа должна содержать инструкции по поводу создания новой программы, которая в свою очередь должна содержать инструкции по поводу того, как создать инструкции в отношении построения новой программы, и так далее до бесконечности. В итоге мы получаем бесконечную регрессию инструкций, содержащихся в данной программе, что недопустимо, поскольку программа должна быть конечной. С другой стороны, если программа не включает никакую информацию о себе, машина не сможет себя полностью воссоздать, поскольку в новой машине нет программного обеспечения. Фон Нейман решил эту головоломку следующим образом: для того чтобы машина могла воспроизвести себя, необходимо ввести в систему новый элемент — устройство для копирования программы. Машина-конструктор считывает программу, строит новую машину, совершенную во всех отношениях, кроме одного — в ней нет программы. На последнем этапе устройство копирования создает копию программы и отправляет ее в новую машину. Самовоспроизводящаяся машина фон Неймана использует программу двумя разными способами: машина-конструктор читает ее как набор инструкций, а копировальное устройство создает ее копию.

Теоретическая модель фон Неймана абсолютно точно отображает механизм самовоспроизведения живых организмов.

В каждой клетке есть символический каркас (ДНК), содержащий закодированные инструкции по репродукции новых клеток. Однако в ДНК нет описания самой ДНК. Та ДНК, которая появляется в новой клетке, представляет собой результат копирования (двойная спираль ДНК делится на две части, а ферменты создают две точные копии исходной ДНК). Подобно тому как машина фон Неймана прочитывает макет двумя способами, ДНК также ведет себя по-разному в процессе воспроизводства живой клетки. Она служит инструкцией для построения клеток, а затем делится и воспроизводит свою вторую половину из окружающей среды каждой новой клетки. По сути это означает, что информационная, или символическая, составляющая ДНК настолько активна, что способна создать свой отпечаток в окружающей среде.

Конвей не сомневался в том, что клеточные существа рано или поздно оживут, он ломал голову над тем, как в искусственном мире клеточных существ создать аналог персонального компьютера. Внутренняя схема компьютера на базовом уровне состоит из следующих компонентов: проводники, логические элементы и регистр памяти. Генератор тактовых импульсов порождает электронные импульсы, представляющие двоичные числа. Наличие импульса — это 1, а его отсутствие — 0. Все логические элементы выполняют операции трех базовых типов: НЕ, И и ИЛИ. Конвей сконструировал конфигурации, имитирующие логические элементы для таких операций. Он показал, что можно сделать так, чтобы потоки глайдеров меняли направление движения, что моделировало изгибы проводников. Конвей также продемонстрировал, как сделать потоки глайдеров разреженными, чтобы два потока могли пересечься, избежав при этом столкновения глайдеров, что изображало пересечение проводников. Кроме того, он показал, как сделать регистр памяти из блоков. Каждый блок представляет собой какое-то число, в зависимости от его расстояния от определенной точки. Глайдеры, которые врезаются в блок, перемещают его ближе к этой точке или дальше от нее, меняя значение блока. Конвей доказал, что игра, ставшая его математическим хобби, теоретически способна имитировать любой существующий в нашем мире компьютер. Получив приведенное выше доказательство, Джон Конвей потерял интерес к игре. Однако Пол Чэпмен решил, что работу необходимо продолжить, ведь

На рубеже столетий он построил компьютер внутри игры. Игровая имитация компьютера имела «железо» и «программы». Первое — конфигурация устойчивых фигур, с которыми сталкиваются динамические фигуры, перемешиваются с другими динамическими структурами и перемещаются по всей системе. Процесс напоминает игру в одну из разновидностей бильярда. В регистр входа поступал сигнал, означающий величину 1, и сигнал, означающий величину 2. Система состояла из нескольких миллионов живых клеток и программы, содержащей инструкции по поводу того, как вычислить сумму 1 + 2. В конце концов блок в регистре вывода показывал число 3. Пол Чэпмен был в восторге. Он вспоминал:

Все эти достижения внушают оптимизм, но остаются загадочными сами основы «жизни». Чтобы разобраться в «механике жизни», Стивен Вольфрам первым в восьмидесятых годах глубоко изучил самые простые одномерные клеточные автоматы. Он обладал необычайными математическими способностями, рано начал научную карьеру, опубликовав свою первую исследовательскую работу еще во время учебы в Итоне в 1970-х. Когда ему исполнилось немногим более двадцати лет, он уже работал в Институте перспективных исследований в Принстоне. Вольфрам разработал язык программирования, который лег в основу системы компьютерной алгебры Mathematica — пакета программ, позволяющих чертить кривые и решать уравнения. В настоящее время она широко используется в сфере образования и разных отраслях экономики. С 1987 года Вольфрам возглавил компанию Wolfram Research, которая благодаря успеху системы Mathematica дала ему возможность проводить собственные научные исследования независимо от университетов. Все свое свободное время он посвятил исследованию так называемых линейных автоматов. Линейный автомат — это такой клеточный автомат, полем в котором служит кольцо толщиной в одну клетку. Следующее поколение получается из предыдущего и отображается под всей структурой. Таким образом, мы имеем плоскость, по одной оси которой единственная пространственная координата, а по другой — время, в результате чего мы можем просмотреть всю эволюцию популяции. Правила автомата довольно просты — они похожи на правила «Жизни» в одномерном случае:

• если над исследуемой клеткой количество соседей равно 3, клетка рождается;

• если над клеткой соседей меньше 2, то она «умирает».

Правило жизни в линейном автомате. Показаны восемь возможных комбинаций клетки и двух ее соседей. Под каждой комбинацией изображено состояние клетки после смены поколения. В первой комбинации живая клетка находится в окружении двух живых соседних клеток. Значит, в следующем поколении она умрет. Вторая комбинация содержит живую клетку слева и мертвую справа, стало быть, средняя клетка останется в следующем поколении в живых. Если две соседние клетки одинакового цвета, внизу будет получена белая клетка. Если разного, нижняя клетка будет черной

Начнем фиксировать эволюцию одномерного клеточного автомата с одной живой клетки (поколение 0). Согласно описанным правилам на следующем ряду (поколение 1) мы обнаружим две живых клетки и одну мертвую клетку между ними. Затем, применив это правило к каждой клетке данного ряда, получим следующий новый ряд (поколение 2), и т. д. В процессе развития такой популяции получается структура, идентичная «салфетке Серпинского»!

«Правило 90»: эволюция линейного автомата

Вольфрам определил, что существует 2x2x2 = 8 комбинаций клетки и ее соседей, а также два возможных состояния (живая или мертвая клетка), а значит, есть 28 = 256 разных наборов «генетических правил» для одномерных клеточных автоматов. Эти правила он пронумеровал от 1 до 256. На представленном выше рисунке показано «правило 90», порождающее упорядоченные фигуры. Другие правила, такие, как «правило 30», более причудливы. Это правило, а также конфигурация, которую оно порождает начиная с одной живой клетки, проиллюстрировано на рисунке далее. Данная конфигурация представляет собой совокупность упорядоченных и хаотичных фрагментов. Зигзагообразная корка на левой боковой поверхности демонстрирует упорядоченность. Однако по мере передвижения направо мы видим неупорядоченную бугристую поверхность, состоящую из треугольников самых разных форм и размеров. Когда Вольфрам увидел «правило 30», он был поражен тем, что такое простое правило способно сгенерировать столь сложную конфигурацию, и высказался эмоционально:

Вольфрам был поражен. Он внимательно проанализировал колонку, расположенную под исходной живой клеткой.

«Правило 30»: его генетические законы, его эволюция после 50 поколений и эволюция после более 200 поколений (А. Беллос. «Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры») в первом ряду. Если взять за основу то, что живая клетка — это 1, а мертвая — 0, то эта колонка состояла из таких клеток:

«Правило 30»: его генетические законы, его эволюция после 50 поколений и эволюция после более 200 поколений (А. Беллос. «Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры»)

В этом не было никакой закономерности. К большому удивлению Вольфрама, стандартные статистические тесты показали, что это абсолютно произвольная последовательность. «Правило 30» полностью детерминировано, однако конфигурация ячеек в центральном столбце настолько непредсказуема, что ее невозможно отличить от последовательного подбрасывания монеты. Вольфрам запатентовал «правило 30» как генератор псевдослучайных чисел и применил его в продукте Wolfram Research — Mathematica. Также это правило было предложено для использования как шифратор последовательностей в криптографии. Однако Сиппер и Томассини показали, что «правило 30» плохо проходит тест на критерий согласия Пирсона (критерий χ²) в сравнении с другими псевдослучайными последовательностями, которые были получены при помощи других клеточных автоматов.

Порядок из хаоса. Все начинается с произвольного заполнения первого ряда клеток, которые в процессе работы клеточного аппарата спонтанным образом производят упорядоченные образования с долгосрочными корреляциями (в данном случае фракталы Серпинского). См.: Пол Девис. Новые открытия творческой способности природы к самоорганизации. М., 2011

Вольфрам открыл следующее:

Таким образом, энтропия в процессе эволюции сложного клеточного автомата может сокращаться, а порядок может спонтанно возникать из беспорядка. В этом смысле клеточный аппарат моделирует поведение диссипативных структур Пригожина, в которых порядок появляется из хаоса. Вольфрам и его коллеги утверждают:

Клеточные автоматы — это дискретные математические модели, в которых простые локальные правила генерируют неожиданно сложное поведение в более крупном масштабе. Вольфрам — один из главных сторонников той точки зрения, что клеточные автоматы — не только увлекательная математическая игра, но и способ объяснить сложность физического мира. Мысли Вольфрама по этому поводу изложены в книге «А New Kind of Science» («Новый вид науки»), которую он опубликовал на свои средства в 2002 году. В частности, в ней Вольфрам утверждает, что информация, полученная благодаря анализу «правила 30», открывает новую научную парадигму примирения порядка и хаоса. Правило представляет интерес, потому что оно порождает сложные, во многих отношениях случайные структуры из простых, четко определенных правил. Вольфрам полагает, что клеточные автоматы в целом и «правило 30» в частности — ключ к пониманию того, как простые правила могут порождать сложные структуры и различное сложное поведение разных природных объектов. В своей книге он задается фундаментальным вопросом о структуре Вселенной и дает неожиданный ответ:

Вне пространства и времени существует символическая реальность. В начале книги я говорил, что необходимо изменить наши представления о реальности так, чтобы признать символ столь же реальным и весомым как вещество и действие. Символ существует вне пространства и вне времени, но он структурирует материю и упорядочивает ее поведение в пространстве и времени. Собственно само пространство и само время есть символические качества, которые доступны нам благодаря шестому чувству — сознанию. Сознание — это такое чувство, которое позволяет воспринимать и различать символы. Символы благодаря своему рациональному и чувственному воздействию формируют реальность, которая поддерживает и производит символический строй.

Мультифракталы

Перколяция: поры и сети

Термин «перколяция» происходит от латинского слова percolare, которое означает «просачиваться» или «протекать». В физике и химии — это процесс протекания жидкостей через пористые материалы, электричества через смесь проводящих и непроводящих частиц и другие подобные процессы.

Перколяция — основной способ производства настоек. Перколяция проводится следующим образом. Подлежащее извлечению измельченное сырье смачивают в отдельном закрытом сосуде (перколяторе) достаточным количеством экстрагента, добавляя его до полного и равномерного смачивания сырья. Оставляют все это на 4 часа, после чего набухший материал плотно укладывают в перколятор и при открытом спускном кране добавляют такое количество экстрагента, чтобы слой его (зеркало) над поверхностью составлял 30-40 мм. Вытекающую из крана жидкость наливают обратно в перколятор, закрывают кран и оставляют на 24 часа, затем медленно перколируют, спуская за 1 час объем жидкости, соответствующий примерно 1/48 используемого объема перколятора, до получения необходимого количества настойки.

Теория перколяции описывает поведение связных структур, состоящих из отдельных элементов — кластеров. Кластер представляет собой дискретную решетку с узлами и связями. Когда все узлы заблокированы или все связи закрыты, то поток через кластер прекращается. Когда они открыты, по связям через узлы идет ток. При каком-то критическом значении «открытости» происходит «перколяционный» переход, являющийся аналогом перехода металл-изолятор. Теория перколяции важна именно в окрестности такого перехода.

Своим появлением теория перколяции обязана работе английских ученых Бродбента и Хаммерсли. В середине пятидесятых годов прошлого века Бродбент занимался разработкой противогазовых масок для шахт по заданию Британского объединения по исследованию применения угля. Столкнувшись с математической проблемой, Бродбент привлек математика Джона Хаммерсли.

Основной элемент маски — это уголь, через который должен проходить газ. В угле есть поры, причудливо соединяющиеся друг с другом, так что образуется нечто вроде запутанного лабиринта. Газ может проникать в эти поры, адсорбируясь (осаждаясь) на их поверхности. Оказалось, что если поры достаточно широки и хорошо связаны друг с другом, то газ проникает в глубь угольного фильтра. В противоположном случае газ не проникает дальше поверхности угля. Движение газа по лабиринту представляет собой процесс нового типа, существенно отличающийся от хорошо известного в физике явления диффузии. Бродбент и Хаммерсли назвали такие явления «процессами протекания» (по-английски percolation processes).

За 25 лет, прошедшие с первой работы Бродбента и Хаммерсли, выяснилось, что теория протекания необходима для понимания широчайшего круга явлений, относящихся, главным образом, к физике и химии. Вероятно, наиболее разработанной в настоящее время областью применения теории протекания являются электрические свойства неупорядоченных систем, таких как аморфные полупроводники, кристаллические полупроводники с примесями или материалы, представляющие собой смесь двух разных веществ — диэлектрика и металла.

Самым существенным в теории перколяций являются так называемые критические явления. Эти явления характеризуются «критической точкой», в которой определенные свойства системы резко меняются. К критическим явлениям относятся также фазовые переходы второго рода (например, переход металла из нормального состояния в сверхпроводящее при понижении температуры). Физика всех критических явлений состоит в том, что

Очертания блоков при этом случайны. В некоторых явлениях вся конфигурация хаотически меняется со временем за счет теплового движения, в других явлениях она заморожена, но меняется при переходе от образца к образцу. Блоки расположены беспорядочно, так что, глядя на мгновенную фотографию системы, трудно увидеть какие-либо закономерности. Однако «в среднем» эта геометрия, которую можно назвать «геометрией беспорядка», обладает вполне определенными свойствами.

Например, физические свойства кристаллов определяются геометрией кристаллических решеток. Точно так же ряд свойств системы, находящейся вблизи критической точки, определяется «геометрией беспорядка». Самое интересное то, что благодаря большим размерам блоков эта геометрия фактически не зависит от атомной структуры вещества и потому обладает универсальными свойствами, одинаковыми для многих совершенно разных систем. Отсюда следует универсальность физических свойств, проявляющаяся в окрестности критических точек. Такого рода связь между физикой и геометрией проявляет себя в теории перколяции.

Основное положение теории перколяции заключается в предположении, что существует порог протекания, вблизи которого все параметры системы степенным образом зависят от близости к этому порогу.

Для иллюстрации рассмотрим «переход через болото». Перепрыгивая с кочки на кочку, иногда удается преодолеть болото. Это возможно, если кочки находятся достаточно близко друг от друга. Может случиться так, что кочки окажутся на далеком расстоянии. И это не даст возможности пересечь болото. Существует критическая плотность n_с расположения кочек, при котором становится возможным преодолеть болото. Такую ситуацию называют порогом протекания. Вблизи порога протекания все параметры системы степенным образом зависят от разности Δn = n - n_с. Когда n >> п_c, кочки расположены достаточно плотно, и путник в конце концов преодолеет болото. Если п < п_с, то кочки расположены далеко друг от друга, и путник не сможет прыгать по ним. Вблизи n ≈ n_с путник может и не пройти болото. Все теперь зависит от размеров путника и от распределения расстояний между кочками на болоте. Сопряжение этих параметров описывается различными фрактальными размерностями.

1. Перколяционный кластер и его остов. Задача узлов на квадратной решетке. Узлы остова отмечены черным цветом; узлы, принадлежащие мертвым концам, — серым.

2. Перколяционный кластер, его полный и внешний периметры.

Перколяционный кластер является фрактальным образованием, в котором можно выделить фрактальные подструктуры. Рассмотрим пример «задачи узлов на квадратной решетке». Типовая решетка состоит из островов и связей (проводящая часть кластера), а также из мертвых концов. Мертвые концы составляют большую часть кластера, однако не участвуют в проводимости. Критические связи — одиночные связи, при разрушении которых перколяционный кластер перестает проводить ток. Скелет кластера — объединение всех кратчайших путей от данного узла до узлов на заданном расстоянии. Эластичный остов — объединение всех кратчайших путей между двумя данными узлами. Оболочка, или внешний периметр, состоит из тех узлов кластера, которые соприкасаются с пустыми узлами и соединены с бесконечностью посредством пустых узлов. Полный периметр включает также пустоты внутри кластера.

Было предложено несколько геометрических моделей, описывающих структуру перколяционного кластера. Первой моделью такого рода была модель Скал — Шкловского — де Жена.

В 1974 году советские физики А. С. Скал и Б. И. Шкловский, а в 1976 году независимо от них французский физик Пьер Жиль де Жен, предложили модель, описывающую структуру остова перколяционного кластера в пренебрежении мертвыми концами. Модель была предложена, чтобы предсказывать и описывать такие свойства, как проводимость и эффект Холла. В этой модели предполагается, что кластер состоит из искривленных связей, соединенных узлами, образуя нерегулярную сверхрешетку с параметром ξ, т. е. ξ является средним геометрическим расстоянием между ближайшими узлами.

Перколяционный кластер в модели капель и связей. Показана только малая часть мертвых концов (тонкие линии). Капли представлены в виде окружностей. Расстояние между каплями и их диаметры имеют величину порядка корреляционной длины

Первые три шага построения иерархической модели

Несмотря на то что модель представляет ограниченный практический интерес, она имеет один важный аспект: является точной мерой плотности проводящих путей в типичном сечении образца. Это следует из того, что главное упрощающее предположение, сделанное в модели, является предположением о том, что в бесконечном кластере имеется только одна петля. Это справедливо только в случае больших размерностей (6 и выше). В случае малых размерностей кластер состоит из петель, находящихся внутри других петель, которые в свою очередь находятся в других петлях, и т. д. Это справедливо во всех размерностях, и среднее расстояние между независимыми проводящими путями равно ξ.

В 1977 году Стенли предложил модель капель и связей. Она подробно исследована в 1982 году Конильо. В этой модели предполагается, что возникающий бесконечный кластер состоит из фрагментов, в которых существуют многочисленные связи (капли), эти фрагменты соединены друг с другом одиночными связями.

Эта модель уже прямо указывает на фрактальную интерпретацию эффектов перколяции. Посмотрите на фрактал Мандельброта — Гивена. В структуре фрактала Мандельброта — Гивена можно обнаружить петли, ветви и мертвые концы всех размеров. Таким образом, фрактал содержит те же элементы, что и перколяционный кластер. Это одна из многочисленных фрактальных структур, которые успешно применяются для моделирования перколяционных кластеров, таких как «ковер Серпинского» или «губка Менгера».

Этапы построения фрактала Мандельброта — Гивена

Перколяция и гидродинамика Вселенной В. И. Арнольд, «Математическое понимание природы»

Аффинное преобразование

В 1981 году вышла книга британского ботаника Джона Хатчинсона «Фракталы и самоподобие», в которой рассматривался новый метод преобразования изображений. В 1985 году Майкл Барнсли, ведущий исследователь компании «Georgia Tech», опубликовал работу, в которой он ввел в математику понятие системы итерируемых функций (СИФ). Преобразование образов с помощью систем итерируемых функций стало одним из наиболее замечательных и глубоких достижений в теории фракталов. С легкой руки Майкла Барнсли этот метод приобрел броское, почти рекламное обозначение. Его стали называть «игрой хаоса».

Прежде чем перейти к «игре хаоса», договоримся о понятии аффинного преобразования. Преобразования сжатия, растяжения, переноса и поворота объекта называются аффинными преобразованиями. Аффинные преобразования есть линейные преобразования в том смысле, что они могут быть представлены в виде линейной функции:

где параметр А задает аффинное преобразование, а В — перенос, или так называемую трансляцию образа.

Действие аффинного отображения на единичный квадрат ABCD

Аффинное преобразование на комплексной плоскости можно задать системой уравнений:

или матрицей:

В общем случае аффинное преобразование на плоскости определяется шестью независимыми действительными числами. Два числа е и ƒ описывают обычную трансляцию, а четыре числа а, b, с, d задают произвольное линейное преобразование при неизменном положении начала координат (0,0). Коэффициенты а, b, с, d, e, f можно считать символическим кодом некоторого аффинного преобразования. Каждая точка образа переводится посредством аффинной трансформации в новую точку на той же плоскости. Обычно преобразование образа сводится к нескольким аффинным преобразованиям, выполненным одно за другим. Коды всех преобразований можно представить в форме матрицы С:

Для примера рассмотрим треугольник Серпинского. Построение треугольника Серпинского можно описать простым геометрическим алгоритмом. Для начала из правильного треугольника удалим среднюю четверть в виде подобного ему правильного треугольника. С оставшимися тремя треугольниками повторим ту же процедуру. И так далее — с остающимися на каждом шаге треугольниками поступают аналогично.

Этот алгоритм можно формализовать с помощью трех аффинных преобразований:

Исходный блок может быть треугольником, но может иметь и любую другую форму. Форма блока не имеет значения. Пусть это будет квадрат. Преобразования ω будут смещать и уменьшать исходный квадрат:

Первые несколько итераций изображены на рисунке.

Теперь мы готовы рассмотреть «игру хаоса».

Игра хаоса

Суть предложенной Барнсли «игры» в том, что каждая строка матрицы С и, следовательно, каждое преобразование будет выбираться случайным образом с вероятностью р. Причем сумма вероятностей всех строк равна единице.

Для иллюстрации выберем на листе начальную точку — неважно, где именно. Придумываем два правила — для орла и для решки. Правила указывают, каким образом надо перемещать фишки, например: «переместиться на два дюйма на восток» или «приблизиться на 25% к центру». Подбрасывая монетку, начинаем отмечать точки на игровом поле. Используем правило орла, когда выпадает орел, и правило решки — когда выпадает решка. Если мы отбросим первые пятьдесят точек, то обнаружим, что точки на плоскости формируют фигуру, обычно — фрактал. Форма этой фигуры зависит только от установленных нами правил!

Рассмотрим еще один способ применения системы итерируемых функций. Возьмем кость. Вместо цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 на шести гранях нанесем всего три буквы х, у, z. Каждая из них будет повторяться дважды. На листе бумаги нарисуем треугольник, вершины которого обозначим теми же буквами х, у, z. Перед началом игры внутри треугольника отмечают произвольную начальную точку. После первого броска расстояние от исходной точки до вершины треугольника, обозначенной буквой, выпавшей при бросании кости, делят пополам и наносят первую точку. Далее алгоритм повторяется от этой точки и т. д. Постепенно на листе бумаги появляется известный фрактал Серпинского. Разумеется, для этой игры совершенно несущественно, чтобы исходный треугольник был равносторонним. С равным успехом «играть в хаос» можно с треугольником любой формы. Дело в том, что фрактал Серпинского является аттрактором для данного алгоритма.

Изменим правила игры. Станем фиксировать точки не на середине отрезка, а на расстоянии в 1/3 от соответствующей вершины. Результат показан на рисунке. Получившееся множество точек — «пыль Серпинского» аналогично множеству «пыль Кантора». Фрактальная размерность такого множества равна единице.

В качестве исходной фигуры можно выбрать и любой другой многоугольник. Например, квадрат. Однако в случае квадрата нас ожидает сюрприз. Если проводить игру по тем же правилам, что и для треугольника Серпинского (т. е. ставить новую точку на середине отрезка), то точки равномерно заполнят весь квадрат. Но если, например, взять правильный шестиугольник и ставить точку не в середине отрезка, а на расстоянии в 1/3 от соответствующей вершины, то эти точки в процессе итераций образуют множество, которое условно можно назвать шестиугольником Серпинского.

Шестиугольник Серпинского состоит из шести одинаковых частей, каждая из которых подобна целому, но имеет размер в три раза меньше исходного. Поэтому его фрактальная размерность D = ln6/lnЗ = 1,6309... Кстати, именно в этом случае игра в хаос будет подобна настоящей игре в кости: на шести гранях игрального кубика можно поставить цифры от одного до шести, соответствующие каждой из вершин шестиугольника.

Заметьте также, что внутренняя граница этой фигуры представляет собой уже известный нам фрактал — «снежинку Коха».

В книге «Фракталы: между мифом и ремеслом» я привел множество фракталов, полученных с помощью систем итерируемых функций. Одним из наиболее известных примеров, несомненно, является открытая Барнсли система из четырех сжимающих аффинных преобразований, аттрактором для которой является множество точек, поразительно напоминающее по форме изображение листа папоротника. Эти аффинные преобразования можно представить в виде матрицы:

Каждая строчка этой матрицы соответствует одному аффинному преобразованию с коэффициентами а, b, с, d, e, f. В последнем столбце таблицы приведены вероятности р, в соответствии с которыми выбирается то или иное преобразование. Результат действия этой системы итерируемых функций на некоторую начальную точку для разного числа итераций показан на рисунке.

Лист папоротника. Слева направо показаны 2000, 4000, 10000, 50000 и 200000 итераций

Видно, как с ростом числа итераций действительно возникает все более и более четкое изображение листа папоротника, удивительным образом напоминающее существующее в природе растение. Это множество точек бесконечно самоподобно, как и полагается всякому фракталу. Кроме того, разрешение образа достигается не за счет увеличения числа исходных данных, но за счет увеличения числа итераций. Всего лишь увеличив количество итераций — звучит здорово, пока не попробуешь проделать это на практике. Но труды стоят того: исходные 28 чисел содержат всю необходимую информацию о листе папоротника и о любом сколь угодно маленьком фрагменте этого листа.

Еще один пример — кленовый лист. Он может быть закодирован следующей матрицей:

На нижнем рисунке показан образ кленового листа и также выделены зоны листа, произведенные каждым из четырех преобразований. Мы видим, что образ кленового листа формируется по большей части тремя фрагментами, похожими на кленовый лист в целом. Этот эффект есть следствие фрактального самоподобия.

Изображение кленового листа может быть воспроизведено с помощью относительно простой системы итерируемых функций, так как этот вид изображений обладает высокой степенью самоподобия. Это значит, что целое изображение состоит из уменьшенных копий его самого. Увеличивая такое изображение, мы будем наблюдать одну и ту же степень детализации независимо от разрешения. Реальные изображения не обладают высоким уровнем самоподобия, которое присутствует в изображениях, полученных с помощью систем итерируемых функций. Более того, реальные изображения могут быть представлены различной глубиной цвета от битовых— 1 bit/px (черный/белый) до TrueColor— 24 bit/px и более качественных. Если мы хотим представить такое изображение как результат действия системы итерируемых функций, то, очевидно, нам понадобятся разные системы итерируемых функций для разных фрагментов изображения.

В то же время совершенно очевидно, что изображение можно закодировать в виде систем уравнений. При этом нет необходимости запоминать изображение в высоком разрешении. Достаточно помнить алгоритм, который почти не требует сколько-нибудь значимого объема памяти. В 1985 году Барнсли разработал метод фрактального сжатия изображений, на который им был получен патент. Этот метод давал потрясающие результаты.

Фрактальное кодирование

Цифровые изображения занимают все большую часть медийного мира. Развитие Интернета, наряду с доступностью все более мощных компьютеров и прогрессом в технологии производства цифровых камер, сканеров и принтеров, привело к широкому использованию цифровых изображений. Отсюда постоянный интерес к улучшению алгоритмов сжатия изображений. Это важно как для скорости передачи, так и эффективности хранения. Кроме многих видов коммерческого использования, технологии сжатия представляют также интерес для военных, например, приложения обработки данных телеметрии, полученных от перехватчиков ракет, или для архивного хранения данных об изображении местности для моделирования оборонительных действий. Решение проблемы сжатия изображения, или, в более общем смысле, кодирования изображения, использовало достижения и стимулировало развитие многих областей техники и математики.

Выявление структуры данных — ключевой аспект эффективного представления и хранения этих данных.

Широко распространено кодирование образов JPEG. Конкуренцию алгоритму сжатия JPEG составляет фрактальное кодирование изображений. Барнсли и Слоун впервые увидели возможность применения фрактального кодирования в середине 1980-х годов. В 1987 году они основали компанию «Iterated Systems Inc.». Оборот компании составил $1,5 млн в 1991 г., $4,5 млн— в 1992-м, $10,5 млн— в 1993-м и $10,5 млн — в 1994 г. В 2001 г. «Iterated Systems Inc.» была переименована в «MediaBin Inc.», а в 2003 г.— куплена компанией «Interwoven Inc.».

Для продвижения бизнеса Барнсли и его коллеги провели блестящую рекламную кампанию. Они опубликовали несколько искусственно созданных картин со сжатием 10 000:1, что значительно превосходит типовой коэффициент сжатия изображений по стандарту JPEG (50:1). Более того, обратный процесс извлечения изображения из фрактального кода — один из самых простых и быстрых. Как и в случае сжатия JPEG, фрактальное сжатие не исключает потери в том смысле, что восстановленное изображение может не соответствовать исходному изображению «точка в точку».

Еще в начале 1990-х годов этот растущий бизнес был защищен патентами: U.S. Patent 5065447 (англ), U.S. Patent 4941193, 5065447, 5384867, 5416856 и 5430812. Патенты покрывают широкий спектр возможных изменений фрактального сжатия и серьезно сдерживают его развитие. Сегодня срок действия большинства патентов истек или истекает в ближайшем будущем. Это, возможно, приведет к ренессансу фрактального метода сжатия изображений.

Суть фрактального кодирования состоит в том, что на изображении обнаруживаются самоподобные участки, а затем осуществляется полное покрытие всего исходного изображения множеством уменьшенных трансформированных его копий.

Таким образом, перед нами задача, обратная той, в которой для данной системы итерируемых функций мы находим соответствующую этой системе геометрическую форму. Теперь требуется для данной формы найти наиболее подходящую систему итерируемых функций. Первым шагом в этом направлении стала теорема коллажа, которую Барнсли сформулировал в 1985 году.

Суть теоремы в том, что исходное изображение искажается, затем искаженные изображения накладываются друг на друга. Отличие между полученным и исходным образами говорит нам о том, сколь сильно отличается аттрактор этих искажающих преобразований от исходного образа. Возьмем кленовый лист. С помощью системы трех итерируемых функций мы можем получить три отображения, напоминающих исходный кленовый лист. Составим коллаж из этих отображений так, чтобы получился образ, более всего напоминающий исходный лист. Отличие полученного изображения от исходного образа кленового листа укажет, насколько изображение, соответствующее данной системе итерируемых функций, отличается от исходного изображения.

Теорема коллажа ничего не говорит о системе итерируемых функций, которые используются при формировании коллажа. Произвольные изображения, в отличие от фракталов, не самоподобны, так что это не так просто — разбить его на повторяющиеся фрагменты.

В 1992 году Арнольд Джеквин (в то время он был аспирантом Майкла Барнсли) придумал, как это сделать. Прежде всего необходимо найти самоподобие фрагментов данного изображения. Самоподобие необходимо, иначе ограниченные в своих возможностях аффинные преобразования не смогут верно описать изображение. Если подобия не прослеживается между частью и целым, то можно поискать его между частью и частью.

Упрощенная схема кодирования выглядит так. Изображение делится на небольшие квадратные области — блоки. Параллельно покрываем изображение доменами. Каждый из доменов в четыре раза больше блока. Домены могут пересекаться, их пул покрывает все изображение.

Для каждого блока по очереди подбираем доменный блок: ищем такое преобразование, которое делает домен наиболее похожим на текущий блок. Пара «преобразование — домен», которая приблизилась к идеалу, ставится в соответствие блоку. В закодированном изображении для каждого блока сохраняются коэффициенты преобразования и координаты домена.

Затем находим преобразование, которое переводит домены в ранговые области. Домены могут перекрываться, а ранговые области — нет, и притом обязательно покрывают единичный квадрат.

Получение оптимального преобразования — отдельная тема, однако большого труда оно не составляет. Но другой недостаток схемы виден невооруженным глазом. Двухмегапиксельное изображение будет содержать огромное число доменных блоков размером 32 х 32. Полный их перебор для каждой ранговой области и есть основная проблема такого вида сжатия — кодирование занимает очень много времени. С этим борются при помощи различных ухищрений, вроде сужения области поиска или предварительной классификации доменных блоков.

Декодирование же производится просто и довольно быстро. Берем любое изображение, делим на ранговые области, последовательно заменяем их результатом применения соответствующего преобразования к соответствующей доменной области (что бы она ни содержала в данный момент). После нескольких итераций исходное изображение станет похоже на себя.

Фрактальное кодирование и «игра хаоса» стоят в одном ряду с теорией цепей Маркова и методом Монте Карло. Цепь Маркова, говоря нестрого, есть последовательность особых случайных событий. Их особенность в том, что при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого. Это замечательная идея! Мы с ней живем. Будущее зависит от нашего поведения в настоящем. Наше поведение в настоящем может идти вразрез с прошлыми намерениями и линиями поведения. В каждой точке настоящего совершается разрыв с прошлым. Но и от прошлого мы не можем отказаться.

В русле этой модели американский математик польского происхождения Станислав Улам разработал метод, названный им «методом Монте Карло». Во время долгого выздоровления после болезни Улам раскладывал пасьянсы и задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс сложится. Вместо того чтобы использовать обычные для подобных задач соображения комбинаторики, Улам предположил, что можно просто поставить эксперимент большое число раз и, подсчитав число удачных исходов, оценить вероятность. Эти идеи легли в основу развития теории суперфракталов.

Суперфракталы

Обычные фракталы, которые мы строим по строго определенным правилам, не способны описать природное разнообразие. В книге «Суперфракталы» Майкл Барнсли пишет:

Такая модель появилась в 2002 году в процессе интенсивного сотрудничества Майкла Барнсли, Джона Хатчинсона и Оржана Стенфло в Австралийском Национальном университете (Камберра).

Традиционно математические пространства и множества содержат в себе точки. Сжимающие отображения уменьшают расстояния между точками. Если взять любую точку и начать последовательно применять к ней одно и то же сжимающее отображение ƒ(x), то результатом будет всегда одна и та же точка на множестве X — точечный аттрактор данного отображения.

Аттрактор системы итерированных функций представляет собой не точку, но фигуру, форма которой часто представляет собой фрактал — некое предельное множество точек Н (х). Если мы станем применять ту же систему итерируемых функций для точек множества Н (X), то аттрактором таких преобразований будет то же самое множество Н (X).

Если бы реальные динамические системы можно было описать системой итерируемых функций на фрактале, то разнообразие организованных форм давно бы себя исчерпало. Однако этого не происходит. Происходит то, что еще Чарльз Дарвин заметил и описал в последнем параграфе «Происхождения видов»:

«Цветущая сложность бытия» есть манифест того, что реальность обладает потенциалом креативности новых форм. Опыт показывает, что природа расточительна на производство материальных форм и экономна на создание операций для их производства. Идея суперфракталов позволяет смоделировать экономную расточительность природы.

Для иллюстрации этих идей представим себе дерево, которое растет таким образом, что в каждом поколении его ветви расщепляются на V ветвей. Этот алгоритм роста назовем «V-изменчивым» (V-variability). Комбинаторика типовых ветвей может изменяться от поколения к поколению, но число типовых ветвей не изменяется и равно V (своего рода «ген»).

Обыкновенный детерминированный фрактал генерируется одной системой итерируемых функций. Более сложный фрактал генерирует еще более сложный составной фрактал — семейство систем итерируемых функций. Он состоит из отдельных фракталов, как бы сложенных вместе. Каждый из этих составных фракталов генерируется одной из систем семейства систем итерируемых функций.

Естественным логическим шагом является случайное перемешивание действия систем итерируемых функций. В результате получается некоторый стохастический гомогенный фрактал с двумя уровнями выбора операций. Сначала мы выбираем с определенной вероятностью систему итерируемых функций, а затем выбираем с определенной вероятностью саму функцию. Далее эту процедуру усложнения можно продолжать, добавляя уровни сложности, соединяя один гомогенный фрактал с другим гомогенным фракталом.

Получается своего рода операциональная матрешка, в которой системы операций внутреннего уровня встроены в семейства операций внешнего уровня благодаря вероятностному выбору. Операторы вероятностного выбора выполняют функцию клея. Они слаженно связывают действие функций одной системы между собой и между семействами систем итерируемых функций и далее между семействами семейств систем итерируемых функций.

Идея V-изменчивого фрактала радикально отличается от описанного выше сложного гомогенного фрактала тем, что применяет склеивающее свойство вероятностного выбора не только к итерируемым функциям, но и к состояниям, в которых фиксируется результат. И если раньше операциональным элементом являлась функция в семействах систем итерируемых функций, то теперь вводится квант состояния — ячейка, в которую попадает результат после расчета на каждом шаге итерационного процесса.

V-изменчивый фрактал, как и гомогенный фрактал, генерируется семейством систем итерируемых функций с наложенной на них вероятностью выбора одной из систем на каждом шаге итерации. Однако при записи результата в одно из V состояний выбор этого состояния для записи также реализуется по случаю с определенной вероятностью. В общем случае мы можем иметь N систем и V состояний записи результата.

Между тем из условия суперсимметрии число систем итерированных функций должно совпадать с числом состояний N=V. Вероятность выбора на каждом шаге итераций семейства систем итерированных функций и состояния записи результата определяется V x V матрицей вероятности.

Представим себе, что правила преобразования V типовых «генов» описывают V систем итерируемых функций. В первом поколении возникнет V типов ветвей — аттракторов. На втором шаге мы будем применять те же V систем итерируемых функций к точкам сформировавшихся аттракторов. Если каждую из V систем итерируемых функций применить к точкам аттракторов, образованных этой системой на предыдущем шаге, то второе поколение будет повторять первое поколение. Однако, если мы случайным образом перетасуем системы итерируемых функций и применим их к «чужим» аттракторам, то получим новое разнообразие из V типов аттракторов. Однако самое замечательное то, что после многочисленных итераций вне зависимости от набора типовых «генов» мы получим своего рода аттрактор аттракторов — суперфрактал.

Графическое представление четырех уровней «2-изменчивого» дерева

Для иллюстрации рассмотрим простой случай, когда V = 2. Поставим следующий компьютерный эксперимент. Зарезервируем два буфера памяти — левый L и правый — R, в которых разместим аттракторы первого поколения, полученные вследствие многократного повторения расчета систем итерируемых функций F и G.

Далее случайным образом выберем одну из систем итерированных функций F или G. Затем выберем случайным образом буфер (L или R) и запишем результат применения выбранной системы итерированных функций. Снова выберем буфер случайным образом (это может оказаться буфер, выбранный шагом ранее) и поместим в него аттрактор после второй трансформации. Объединим результаты двух трансформаций в новый буфер L′. Снова выберем случайным образом систему итерируемых функций. Снова выберем буфер L или R и поместим туда трансформированный аттрактор. Возьмем вторую систему итерированных функций и выберем случайным образом буфер L или R. Поместим в него очередной трансформированный аттрактор. Объединим результаты и поместим их в новый буфер R′. Далее содержимое буфера L′ поместим в буфер L, а содержимое буфера R′ поместим в буфер R.

Продолжим все сначала. Вероятность выбора того или иного буфера и вероятность выбора той или иной системы итерируемых функций установим равными 1/2. После нескольких повторений этого цикла аттракторы в обоих буферах станут совершенно независимыми от начальных условий. Суперпозиция полученных аттракторов представляет собой совершенно новую фрактальную форму, называемую суперфракталом.

Для определенности возьмем две системы итерируемых функций F={ƒ₁,ƒ₂} и G={g₁,g₂}, где:

Аттракторы этих функций показаны на рисунке.

Аттракторы функций F = {ƒ₁, ƒ₂} (верхняя часть узора) u G = (g₁, g₂) (нижняя часть узора)

Далее реализуем процедуру построения 2-изменчивой системы. Эта реализация показана на следующей странице. После многочисленных итераций каждый следующий образ приближается к некоторому аттрактору, который и называется суперфракталом.

Барнсли заменил исходное изображение — линию — на образ «прыгающей рыбы». Он показал, что форма суперфрактала не зависит от формы исходного образа.

Фактически суперфрактал есть отображение системы итерируемых функций на систему итерируемых функций. Суперфракталы представляют своего рода математический мост между детерминистскими и стохастическими фракталами. При V = 1 суперфрактал совпадает с детерминистским фракталом, а при V → ∞ суперфрактал совпадает со стохастическим фракталом.

Напомним алгоритм построения «салфетки Серпинского» с помощью системы итерируемых функций в его графической форме.

Представленная на рисунке система итерированных функций основана на отношении 1/2. Назовем ее системой F.

Добавим вторую систему итерированных функций, точно такую, как и первая, но основанную на отношении 1/3. Обозначим эту систему как G. Пусть обе системы имеют одни и те же фиксированные точки исходного треугольника. Их аттракторы S_F:F (1/2) и S_g: G (1/3) показаны на рисунке.

На следующем рисунке показаны первые три поколения формирования суперфракталов с V = 1, V = 2 и V = 3. Там же приведены соответствующие им символические «деревья»...

Фракталы, построенные на базе систем итерируемых функций F и G c V=1, V=2 u V→∞ соответственно. (Источник: Robert Scealy. V-variable fractals and interpolation. A thesis submitted for the degree of Doctor of Philosophy of the Australian National University. April 20,2009, 93 p.)

Теперь рассмотрим аттрактор подобных форм при многократной трансформации «салфетки Серпинского» двумя системами итерируемых функций F и G при степени изменчивости V = 2. Результат таких трансформаций показан на рисунке.

Суперфрактал «салфетка Серпинского». (Источник: Notices of the AMS Volume 57, Number I)

Фрагмент суперфрактала, построенного на основе систем итерируемых функций «салфетки Серпинского» с V = 2, показан слева. Присмотревшись к этому фрагменту, вы замечаете, что он состоит из двух симметричных субфрагментов. Если присмотреться еще более внимательно, то обнаружится, что субфрагменты состоят из симметричных подфрагментов и так далее.

Из рисунка мы видим, что суперфракталы обладают локальной симметрией и масштабным подобием. Они не зависят от структуры исходных объектов. Их форма есть сложный аттрактор систем итерируемых функций, «склеенный» посредством вероятностного распределения случайного выбора операций.

В методе Барнсли вероятность управляет последовательностью применения того или иного оператора. При таком подходе случайные величины, проходя через организованную матрицу операций, производят предопределенную форму, точки которой, вновь пропущенные через ту же матрицу, произведут то же множество. Совсем иной алгоритм использован при построении алеаторных фракталов.

Алеаторные фракталы

Нас окружают повторяющиеся процессы. Их повторение происходит не в клинически чистых условиях, но в поле воздействия многих случайных влияний. Искажения возникают при каждом повторении одной и той же операции. В математической модели такое искажение может быть учтено обращением к генератору случайных чисел при каждом новом повторе. Сам процесс повторения со случайным отклонением можно назвать «алеаторным повторением».

Суть идеи «алеаторного повторения» поясним примером обычного производственного процесса. Пусть одни и те же процессы и процедуры изо дня в день повторяются на предприятиях в Санкт-Петербурге и в Тбилиси. Эти процессы повторяются не в «безвоздушном стерильном пространстве», но в атмосфере постоянного влияния внешних факторов — от макроэкономических до микробиологических. В результате бизнес-процессы становятся уникальными настолько, что структуры компаний в Санкт-Петербурге и в Тбилиси существенно отличаются друг от друга притом, что обе компании производят и поставляют на рынок один и тот же продукт.

Модель, которая может производить разные структуры при сохранении типовых процессов, должна включать случайные вмешательства, приходящие извне. Такую математическую модель мы можем реализовать при построении фракталов. На каждом шаге построения фрактала мы станем обращаться к генератору случайных чисел.

Алеаторные фракталы отличаются от фракталов, построенных с помощью СИФ-алгоритмов тем, что операции на каждом шаге построения алеаторных фракталов остаются одинаковыми.

СИФ-алгоритм чередует операции из заданного перечня операций с определенной вероятностью. Так, погода может изменить наши планы на выходные дни, но в течение рабочей недели возможность изменения плана весьма ограничена.

Последовательность операций фиксирована. Операции повторяются циклически. Повторное выполнение одной и той же операции сопровождается внешними флуктуациями. Для моделирования влияния внешнего «шума» добавим генератор случайных чисел. При больших случайных флуктуациях любая геометрическая форма будет ими рассеяна. Если флуктуации пренебрежимо малы, то они не изменят исходную форму сколько-нибудь заметным образом.

Итак, построение алеаторных фракталов сводится к построению любых фракталов, как линейных, так и нелинейных, по любому детерминированному алгоритму, включая СИФ-алгоритм, с тем отличием, что после каждой операции встроено обращение к генератору случайных чисел (оператору Random). В простейшем случае генератор производит возмущения, которые подчиняются нормальному распределению случайных величин, а их интенсивность характеризуется двумя параметрами — математическим ожиданием μ (х) и среднеквадратичным отклонением σ(x). Математическое ожидание — число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины, а среднеквадратичное отклонение — мера рассеяния случайной величины от его математического ожидания. Для иллюстрации того, как работают генераторы случайных чисел, рассмотрим два примера, которые представляют в наше время лишь исторический интерес, но позволяют «почувствовать» то, что представляет собой нормальное распределение и смысл процесса алгоритмизации чистой случайности.

Примеры типовых фракталов: (а) треугольник Серпинского; (б) лист папоротника; (в) ковер Менгера; (г) раковый сфероид. Первые три фрактала (а-в) получены с помощью систем итерированных функций. Первый ряд представляет исходные фракталы без влияния внешних воздействий. Второй ряд — те же фракталы в присутствии внешнего шума с σ² = 10. Третий ряд — в присутствии внешнего шума с σ² = 100. (Н. Ahammer, T.T.J. DeVaney. The influence of noise on the generalized dimensions. Chaos, Solitons & Fractals Volume 26, Issue 3, November 2005, Pages 707-717)

Прежде всего, рассмотрим так называемую «доску Гальтона». Английский ученый Фрэнсис Гальтон создал первый экземпляр своего «квинкункса» в 1873 году. Бросая свинцовые шарики в квинкункс, Гальтон моделировал вероятностную систему, в которой каждый шарик с вероятностью 50:50 отправится в одну или другую сторону от «гвоздя», с которым сталкивается, и таким образом получается колоколообразное (нормальное) распределение шариков. Обратите внимание, что здесь мы имеем дело с более чем одноразовым взмахом крыльев бабочки: пути двух соседних свинцовых шариков могут совпасть или разойтись на каждом уровне. Тем не менее, как бы ни вел себя каждый шарик, на дне доски Гальтона появляется колоколообразная форма из множества брошенных на гвозди шаров. Это и есть так называемое «нормальное» распределение случайной величины. Вероятность того, что n-й шарик окажется в k-м столбике, равна

При достаточно большом n эта формула аппроксимирует нормальное распределение.

С появлением ЭВМ появились алгоритмы компьютерной генерации случайных чисел. Одним из первых был предложен алгоритм «середины квадрата». Он был предложен в 1946 году фон Неманом. Алгоритм позволяет генерировать числа с любым числом знаков, соответствующим возможности ЭВМ.

Метод очень прост. Допустим, что нужны четырехзначные числа. Выбираем первое число Х₀ произвольно. Например, X₀ = 8219. Возводим его в квадрат. Получится восьмизначное число 67 551 961. Извлекаем средние цифры: 5519. Следующим числом последовательности является X₁ = 5519. Возводим в квадрат 5519, получаем 30459361. Следующее случайное число Х₂ = 4593. Если первые из средних цифр оказываются нолями, то получается число с меньшим количеством знаков. Например, Х₂² =21095 649, Х₃ = 956. Возводя его в квадрат, нужно получить восьмизначное число, дописав спереди ноли Х₃² = 00913936, так что Х₄ = 9139 и т. д. Производные случайные числа Y_n, равномерно распределенные в интервале от ноля до единицы, получаются из чисел Х_n по формуле Y_n = Х_n/1000, где n = 0, 1, 2, 3, ..., так что Y₀ = 0,8219; Y₁ = 0,5519; Y₂ = 0,4593 и т. д.

На первый взгляд метод кажется хорошим. Однако тщательное исследование показало, что это далеко не так. Главный недостаток метода состоит в том, что при некоторых начальных числах последовательность «зацикливается». Выяснилось, например, что в классе четырехзначных чисел последовательности часто завершаются циклом 6100, 2100, 4100, 8100, 6100. Период цикла равен всего-навсего четырем, что, конечно, никуда не годится. Существует число, которое сразу же воспроизводит самое себя. Это 3792 (3792²= 14 379 264). Воспроизводит себя также ноль, и очень часто последовательности, полученные методом середины квадрата, вырождаются в ноль. Поэтому метод середины квадрата представляет в наше время лишь исторический интерес. В настоящее время разработано множество более совершенных методов. При этом оказывается, что для ЭВМ различных конструкций оптимальными являются разные генераторы.

В любом случае математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение внешних воздействий — задаются до начала расчетов. В качестве примеров рассмотрим алеаторные кривые Коха и алеаторные фракталы Мандельброта. Алеаторные фракталы Коха построены при μ = 0. Расчеты показывают, что математическое ожидание не влияет на форму линейного фрактала, приводя только к смещению его относительно осей координат. Что же касается среднеквадратичного отклонения, то с увеличением рассеяния случайных возмущений форма фрактала Коха «размазывается и распыляется».

В наших расчетах использовался генератор случайных чисел Random (G), производящий случайное рассеивание с нормальным законом распределения. Построение кривой Коха выполняется с помощью двух СИФ-преобразований функций вида:

где b = 1/(2sqrt(3)).

Возмущающее воздействие на каждом шаге итерации вводится как на расчетные параметры (α = α + RandAB, b = b + RandAB), так и на координаты (PX+RandP, PY+RandP) согласно итерационному алгоритму «замешивания» случайной величины. Алгоритм вычислений показан на рисунке на с. 204.

Результат вычислений производит ожидания. Алеаторные фракталы Коха были получены при μ = 0. Как в случае нормального распределения случайных величин, так и при генерации квазислучайных действительных чисел качественно результат одинаков: с увеличением степени рассеяния случайных величин кривая Коха не просто распыляется, но производит скопление точек с явно видной направленностью. Математическое ожидание в случае линейного фрактала Коха приводит лишь к сдвигу фигуры по осям координат, который не влияет на форму самой фигуры.

Построение фрактала Мандельброта производится по формуле

с добавлением оператора Random по параметру С или по координатам точки Z.

Алеаторный фрактал Коха при μ = 0:

а) при нормальном распределении случайных величин и σ = 0; σ = 0,03; σ = 0,3 соответственно;

б) при квазислучайном распределении действительных чисел с диапазоном разброса 20, 60 и 300 соответственно

Упрощенный алгоритм расчета, записанный на условном языке программирования, приведен на рисунке (с. 206).

Необходимо отметить, что возмущающее воздействие по параметру (а = а + RandAB, b = b + RandAB) перекрестно влияет на действительную и мнимую части координат, а возмущающее воздействие на координаты точки Z (PX+RandP, PY+RandP) имеет независимый и более грубый характер влияния на их значения. Результаты, полученные при μ = 0, демонстрируют формирование асимметрии, сопутствующей размыванию привычной картинки Мандельброта.

Нами замечено, что, в отличие от линейного фрактала Коха, форма нелинейного фрактала Мандельброта чувствительна к величине математического ожидания, что отлично иллюстрируют алеаторные фракталы Мандельброта, приведенные на верхнем рисунке (с. 208).

Наконец, самый наглядный эффект влияния случайных возмущений на форму фрактала в целом показан на последнем рисунке. Здесь мы видим, что главные кардиоида и круг радикально изменяют свою форму при изменении случайного воздействия. Появляются совершенно новые формы — символы, напоминающие сердце, знак пик, знаки слияния и разделения.

Алеаторный фрактал Мандельброта при μ = 0:

а) в полном изображении при σ = 0; σ = 0,042 и σ = 0,073 соответственно;

б) в увеличенном фрагментарном изображении в прямоугольнике Xmin = -1,5; Хтах = +0,5 и Ymin = -1,0; Ymax = + 1,0 при σ = 0; σ = 0,05; σ = 0,07 и σ = 1,0

Алеаторные фракталы Мандельброта при σ = 0 и μ = 0,03; μ = 0,1; μ = 0,3; μ = 0,5 соответственно

Любая модель, будучи абстракцией, не столько отражает реальность как она есть, сколько служит инструментом для выявления реальности как она должна стать. Аттрактор в фазовом пространстве динамической системы — это пример того, что с высокой степенью вероятности может стать реальностью. Аттрактор может быть точкой, кругом, тором или фракталом.

Фрактал может служить иллюстрацией описанных представлений, в которых формальное (имеющее форму), действенное (процесс) и символическое (инвариант) образуют единое согласованное целое. Форма фрактала и алгоритм построения фрактала «некоммутативны» в том смысле, что они не зависят друг от друга. Чтобы они сцепились, чтобы активировался тот или иной алгоритм и чтобы появилась та или иная форма, нужен своего рода резонанс. Если структура алгоритма, структура формы и структура внешних условий входят в согласие, появляется фрактал. Алгоритм работает, форма появляется, окружение не сопротивляется. Фрактал есть репрезентация того, что структурирована не форма сама по себе и не алгоритм сам по себе, но организация формы, алгоритма и внешних условий. Эффект такого резонансного поведения формы, алгоритма и внешних условий символизирует появление символического кода — фрактальной размерности.

Фрактальная размерность — символический инвариант фрактальной структуры, особый вид симметрии — как бы симметрия формы относительно масштаба. Фрактальная размерность есть число, присущее всему фракталу и любому фрагменту фрактальной структуры. Фрактальная структура — это сложная и незавершенная конструкция. Каждый фрагмент фрактала есть одновременно элемент фрактала большего масштаба и организующий блок для структур меньшего масштаба. Мы сталкиваемся с такой бесконечной регрессией структур, у которой есть одна глобальная структура, которая поглощает все остальные. Эффект самозаглатывания лежит в основе принципа неполноты. Этот эффект обеспечивает открытость системы. В открытой системы нет никакой пред-данности, хотя это не отменяет предрасположенности. Открытость наделяет случай влиятельной силой.

Реальность одновременно и регламентирована, и алеаторна, она постоянно рассчитывает саму себя притом, что она не обязательно подчиняется тем или иным аксиомам. Все изменяется и одновременно всегда что-либо остается неизменным. Случай способен разрушить алгоритм и форму. Но он же способен склеить и сохранить совершенно разные логики и привести к построению совершенно новой, непредсказуемой и невообразимой формы. В умелых руках, на экране монитора конусы, окружности и квадраты гибко и пластично мнутся, ломаются и превращаются в горный ландшафт, листья папоротника, облака или вспышку молнии. Вся эта магия происходит в результате расчета на основе алгоритма.

Реальность не обязана быть алгоритмизированной. И это ведет нас к представлениям о «фрактале с переменной размерностью». Можно вообразить возможность изменения набора алгоритмов построения фрактала по случаю в интервале неопределенности между построением двух соседних точек фрактала. При этом сохраняется существенное требование, а именно: фрактал должен сохранять свою целостность в том смысле, что каждый его фрагмент согласован с любым другим фрагментом этого фрактала после фиксации любого шага построения фрактала. В каждой точке процесса построения фрактала перед нами незавершенный, но внутренне согласованный фрактал, которому присуща своя определенная фрактальная размерность. Технически такая связность сохраняется, если фрактал имеет переменную размерность, изменение которой непрерывно. Но это тема будущих исследований...