Суперфрактал

• Хаос: сдвиг парадигмы

• Алеаторный детерминизм

• Динамическая система

• Диссипативная система

• Фазовый портрет

• Странный аттрактор

• Динамический хаос

• Фракталы и случай

• Обратная связь

• Логистическое уравнение Ферхюльста

Хаос: сдвиг парадигмы

Весь пафос картезианской парадигмы был в том, что по воле Бога все на свете подчинено законам. Картезианский мир напоминает часовой механизм, который работает согласно чертежу Великого Часовщика. Под картезианскими небесами человеческая мысль развивалась почти половину тысячелетия, со времен Возрождения. Но в XX веке картезианская парадигма потеряла свою привлекательность под давлением квантовой механики и теории хаоса.

Под знаками кота и бабочки утверждается новая парадигма. Случайность и Хаос теперь не на периферии, но в самой сердцевине окружающей нас реальности. Случайные флуктуации производятся повсюду. Случай запускает механизмы возникновения порядка из хаоса. Каждый фрагмент порядка проистекает из хаоса и всегда погружен в хаос. Между любыми фрагментами порядка есть область хаоса, в которой непременно найдется фрагмент порядка.

Старая парадигма заключается в том, что хаос превращает предсказания в бесполезное дело. Однако наша способность понять, описать и даже предсказать поведение нестабильных систем значительно расширилась благодаря исследованиям хаоса. Эти исследования выявили, что такие черты поведения хаотических систем, как нестабильность и нелинейность, присущи большому классу детерминированных систем.

По-настоящему хаотическое поведение нестабильных систем предсказать невозможно. Поведение стабильных динамических систем легко предсказуемо. Но есть еще такие динамические системы, которые, на первый взгляд, кажутся предсказуемыми, но предсказать их поведение никак невозможно. Собственно, это и есть так называемый «динамический хаос». В 1927 году сэр Артур Эддингтон так описал существо вопроса:

Когда Кеплер и Ньютон, а затем более точно Эйнштейн, объяснили раз и навсегда то, как отдельные планеты движутся вокруг Солнца по своим эллиптическим орбитам, создалось впечатление, что для полного описания движения системы трех или более тел требуется просто увеличить интенсивность вычислений. Наши спутники могут полагаться на ньютоновы законы движения и на то, что современные компьютеры направляют их к нужным целям. Однако по истечении достаточно большого периода времени траектории их движения становятся непредсказуемыми. До сих пор не получен ответ на старый вопрос об устойчивости Солнечной системы.

На рубеже XVIII-XIX вв. считалось, что она должна быть устойчивой. В начале XX в. — после Пуанкаре — имелись основания предполагать обратное. Сегодня мы уже допускаем, что долгосрочный прогноз поведения Солнечной системы (даже если ограничиться только гравитационным взаимодействием) невозможен. Как говорят специалисты, уравнения являются «неинтегрируемыми». Любая самая малая неточность в начальных условиях может позже очень сильно повлиять на последующее движение.

Слева: типичная траектория решения задачи трех тел в небесной механике. Вверху показано начало, а внизу — дальнейшая эволюция хаотического движения малой планеты вокруг двух светил с равной массой.

Справа: аттрактор Лоренца: хаотическое движение в диссипативной системе. В отличие от движения планет, это движение направляется к аттрактору силой трения. Но «странные аттракторы» допускают существование сложных движений, прыжки вперед и назад между двумя центрами. (Пайтген Х.-О., Рихтер П. X. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. 1989)

В середине XX века фон Нейман создал свой первый компьютер с твердым намерением использовать вычислительную машину для управления погодой. Он полагал, что сложная динамическая система имеет точки неустойчивости — критические моменты, в которые слабый толчок может привести к огромным последствиям, как это происходит с мячиком, балансирующим на вершине холма. Вопрос заключался в том, чтобы определить эти точки, воздействовать на систему в нужный момент и рассчитать на компьютере ее дальнейшее поведение. На практике это должно было выглядеть так: «Центральный комитет» метеорологов принимает решение изменить погоду. В небо поднимаются самолеты, чтобы оставить за собой дымовую завесу или разогнать облака. Прекрасная перспектива! Однако Нейман не учел вероятность хаоса, при котором неустойчива каждая точка.

В каждый отдельный момент причинная связь сохраняется, но после нескольких ветвлений она уже не видна. Рано или поздно начальная информация о состоянии системы становится бесполезной. В ходе эволюции любого процесса информация генерируется и запоминается. Законы природы допускают для событий множество различных исходов, но наш мир имеет одну-единственную историю. К 1970-м годам сформировалось понимание миропорядка не столько сквозь призму порядка, сколько сквозь призму хаоса. Работы Эдварда Лоренца и Ильи Пригожина сыграли в этом процессе решающую роль. Теория утверждала:

Природа риска неустранима. В режиме хаоса неустойчива каждая точка. Реальность изменяется хаотически. Изменения реальности невозможно предвидеть и невозможно точно предсказать. Неточность в наблюдениях сложным образом сливается с ошибкой в модели, заставляя нас переоценивать то, что считается хорошим прогнозом. Прогноз изменяется в режиме реального времени. Приходится жить в режиме интенсивного настоящего, постоянно сверяя и корректируя модель с реальностью. Такая стратегия поведения есть один из результатов исследования хаоса. Хаос постоянно разрушает порядок. Он же постоянно порядок и производит.

Порядок появляется из хаоса как результат формирования устойчивых петель обратного влияния. Такие петли возникают из «отклика» на случайный «оклик». И если происходит сцепление, то возникает повтор «отклика» на «отклик». Появляется устойчивая петля, которая синхронизирует себя со своим случайным окружением. И если такая синхронизация наступает, то петля встраивается в структуру уже существующих петель обратного влияния.

Случай рвет и склеивает устойчивые связи. Он создает элегантный хаос из строго детерминированных и алеаторных эффектов. Такой хаотический режим называют еще детерминированным, или динамическим, хаосом.

Любой прогноз лежит в области пространства наших представлений, но в равной мере — в поле влияния чужих намерений. И на этом основании мы не можем полностью доверять нашим моделям и расчетам. Как отмечал Альфред Норт Уайтхед,

В современном мире расчет и реальность, эмпирический факт и виртуальную фантазию разделить почти невозможно. Они, разнообразные и разнонаправленные, сливаются в реальности в одно единое и согласованное целое. Соединение, сопряжения или отторжения предрасположенностей и намерений случаются в коллизии фактов и фикций.

Именно случаются. Случай играет конструктивную роль в процессе становления реальности. В каждый момент времени происходит создание, склеивание и стирание физических объектов и эффектов. Все происходит по случаю, но не как попало.

Научная мысль пытается изучить случай. Во времена Паскаля и Ферма сформировались представления о том, что случай бывает «ручной», а бывает случай «дикий». Первый случай связан с ошибками измерений и с неполнотой наших знаний о поведении динамических систем. Второй случай — это «чистая» случайность. Он — бросок игральной кости на зеленое сукно. Такой случай называют алеаторным.

Таков «клинамен» Лукреция. Иногда, считал Лукреций, в самое неопределенное время и в самых неожиданных местах вечное и всеобщее падение атомов испытывает слабое непроизвольное отклонение — «клинамен» (лат. clinamen — уклонение). Надежда и страх, вера и фатализм, азарт и расчет — все вовлечено в сферу влияния клинамена.

Клинамен — это алеаторная флуктуация. У нее нет причин, но есть ограничения. Случай ничего не может изменить в прошлом, и случай не может изменить горизонт будущих возможностей.

Событие зависит от причин, предшествующих событию. Событие также зависит от намерения и цели.

Предвестники — будь то голубь или радуга, будь то пророк или провидец, будь то холод или зной — они не предвещают, но предопределяют будущее. При такой трактовке неосведомленность не в прошлом (там все предопределено) и даже не в будущем (сценарии прогнозируемы), но только в настоящем, где выбор определяется случаем. Именно в настоящем в процессе вызова и выбора, которые завершаются актом действия: «alea jacta est» — «жребий брошен». С этого момента судьба зависит от случая.

Все, что есть, возникает по случаю из хаоса шаг за шагом, фрагмент за фрагментом. Древнегреческий поэт Гесиод знал и говорил:

Айзек Азимов в «Занимательной мифологии» пишет о том, что древние греки сравнивали «хаос» с «морским заливом с широким входом». За Геркулесовыми столпами нет ничего, кроме хаоса. На обширном пространстве может легко затеряться все что угодно, особенно в утренние часы с клубящимся туманом. Так можно представить себе первобытный хаос, в котором пока нет ни звезд, ни планет с определенными очертаниями, а есть нечто подобное клубящемуся туману. Из этого тумана возникает все и может возникнуть все что угодно.

Алеаторный детерминизм

Когда-то Жан Бодрийяр написал притчу «Смерть в Самарканде». Это история про солдата, встретившего Смерть по пути с базара и вообразившего, будто та подала ему какой-то угрожающий знак. Он спешит во дворец и просит у царя лучшего коня, чтобы ночью бежать куда подальше, в далекий Самарканд. Затем царь, встретив Смерть во дворце, упрекает Ее в угрозах одному из лучших его солдат. Но удивленная Смерть отвечает царю, что вовсе не хотела его напугать. Жест, который так напугал солдата, сложился от неожиданности встречи с тем, кто назавтра должен быть в Самарканде. Конечно: чем отчаянней мы пытаемся избежать своей судьбы, тем вернее она нас настигает. Неисповедимы пути знаков, неисповедимы наши трактовки знаков.

Однако вся интрига заключается в том, что неизбежное свидание солдата со Смертью могло и не состояться. Нет никаких оснований полагать, что солдат явился бы на него, не произойди эта случайная встреча, усугубленная случайностью «наивного жеста» Смерти, который «вопреки ее воле обернулся манящим жестом». Если бы Смерть просто призвала солдата, то история лишилась бы своего магнетизма. Все сводится к интерпретации знака и превращению его в угрожающий символ смертельного приговора. Знак Смерти вступает в игру без всякого ведома игроков (не только солдата, но и самой Смерти). Иначе откуда ей знать, что солдат назавтра будет в Самарканде? Ни сознательной стратегии, ни даже бессознательной уловки в поведении Смерти не заметно, именно это вдруг объясняет суть дела:

Все персонажи ведут себя безупречно свободно (Смерть вольна сделать некий жест, солдат волен бежать, царь волен дать коня). Но за этой кажущейся свободой выясняется, что каждый следовал какому-то правилу, которое по-настоящему никому не было известно, и даже Смерти. Самое интригующее во всей этой притче — игра, у которой нет определенных правил, но правила все-таки есть. Точнее, есть набор всевозможных правил, которые выбираются по случаю, но так, что они никогда не нарушают горизонты возможного.

С архаических времен шаманы, волхвы, жрецы, оракулы, конфуцианские монахи и даже христианские пророки делали свои предсказания на основе случайных знаков или знамений. «Книга Перемен» доказывает, что алгоритм предсказаний не нуждается в прозрении. Необходима отражающая поверхность, заслуживающая доверия (например, «Книга перемен», гексограмма типовых 64 ситуаций), и необходим алеаторный акт — бросание монеты или слепой выбор бамбуковой палочки. Дальше происходит «автоматическая сборка» — автореференция интерпретаций дает ответ на вопрос, который вопрошающий обращает, по сути, к самому себе. Интерпретация создает вектор желания и стимулирует эмоцию, энергия которой придает вес желанию. Эмоций нет в прошлом, нет их и в будущем. Эмоция, как и случай, есть качества настоящего состояния. В этом состоянии под влиянием случая стираются границы между порядками и хаосом, а под влиянием эмоций реальное перестает отличаться от иллюзорного.

Было сказано Крезу:

Какое царство? Свое собственное. Но оракул этого не сказал. Крез об этом даже и не думал. Галис перейден. Великое царство Креза разрушено. Акрополь пал под натиском персов. Случилось так, как тому следовало случиться. Оракул ничего не добавил к знанию Креза. Крез сам все решил.

Случай — вот то, что оказывается в центре внимания. Борхес в эссе «Лотерея в Вавилоне» рассказал свою притчу. Я ее коротко перескажу.

Лотерея появилась и стала существенным элементом реальности в Вавилоне. Первоначально то была не более чем плебейская по характеру забава, в которую можно было лишь выиграть. Скоро она наскучила, так как «не была обращена ко всей гамме душевных способностей человека, только к надежде». Тогда игру попытались реформировать: в список счастливых номеров внесли небольшое количество несчастливых, и невезучему жребий присуждал уплату значительного штрафа. Именно это новшество радикально изменило ситуацию, развеяло иллюзию рациональной целесообразности игры. Отныне игра явилась в чистом своем виде, и умопомрачение, завладевшее вавилонским обществом, не знало более границ. Теперь по жребию могло выпасть все что угодно, лотерея сделалась тайной, бесплатной и всеобщей, всякий свободный человек автоматически становился участником священных жеребьевок, совершавшихся каждые шестьдесят ночей и определявших судьбу игроков вплоть до следующего розыгрыша. Счастливый розыгрыш мог сделать любого богачом, магом, даровать обладание желанной женщиной, несчастливый мог накликать на любого увечье или смерть.

Игра вводила случай во все щели социального миропорядка. И даже ошибки лотереи — «правильны», поскольку лишь укрепляют логику случая. Собственно, уже неважны сами правила лотереи, коль скоро они не нарушают алеаторную природу лотереи. Уловки и махинации с правилами никак не устраняют неопределенность. Случай невозможно обмануть.

Реальность не лишена правил, но комбинации правил зависят от случая. Они никому не известны. Они даже не могут быть известны. При таком положении дел любая симуляция, уловка, обман толкают на выбор того или иного мотива и определяют комбинацию законов, реализуемую в тех или иных обстоятельствах. В этом смысле «эффект лотереи универсален». Лотерея встроена в миропорядок. Даже гипотеза о существовании организаторов лотереи ничего не меняет, ведь устанавливаемые ими правила отражают их представления о реальности, которая изменяется тут же по провозглашении правил.

Бодрийяр заметил:

Осознание роли алеаторной симуляции — вот что радикально меняет картину мира. Наше бытовое представление признает «игру случая». Игра случая видится по обыкновению не слишком весомой надстройкой в сравнении с надежным базисом, добротной инфраструктурой законов. «Лабиринт» Борхеса все переворачивает «с ног на голову и неопределенность делает определяющей инстанцией». Отныне законы и участь индивидов определяются уже не только объективными условиями (предрасположенностью), не только тотальным индетерминизмом (игрой случайных флуктуаций), но еще и преднамеренными манипуляциями. Это означает, что

Предопределенность и неопределенность запутаны в плотный клубок и представляются одним неделимым актом, производящим реальность. Приходится набраться терпения, чтобы разобраться с запутанным переплетением причин и намерений. Вспомним Фауста во время омоложения в колдовском логове:

Нам, чтобы не застрять в облаках «высоких» материй, пришло время заняться деталями и обратиться к простым вещам, требующим терпеливого рассмотрения и понимания. Это, прежде всего, такие понятия, как динамическая система, диссипативная система, фазовые портреты, аттракторы, фракталы и случай.

Динамическая система

Когда-то в понятие динамической системы вкладывали чисто механическое содержание, имея в виду набор тел, связанных силовыми взаимодействиями и подчиняющихся системе дифференциальных уравнений, вытекающих из законов Ньютона. Постепенно это понимание изменилось.

Сегодня динамической называется такая система, в которой каждое значение параметра в любой последующий момент времени получается из исходного набора параметров по определенному правилу: вы вводите некоторое число и получаете обратно новое число, которое вы снова вводите в систему. Этот процесс называется «итерацией».

Правила поведения динамической системы могут быть описаны дифференциальным уравнением, если система ведет себя как поток, или рекуррентным отображением, если система ведет себя как каскад.

В первом случае траектория системы есть непрерывная линия в фазовом пространстве. Во втором случае фазовой траекторией динамической системы является дискретная последовательность точек в фазовом пространстве.

Например, траектория броуновского движения частицы. Под микроскопом величина и направление видимой скорости броуновской частицы изменяются самым безумным образом. Но присмотримся внимательнее. На отдельных участках частицы движутся по прямой. Если регистрировать частицу в сто раз чаще, мы получим сто промежуточных положений частицы. Эти новые данные превращают участок прямой траектории в ломаную, сложную кривую, сильно напоминающую исходную. Почти двести лет тому назад французский физик Жан Батист Перен обнаружил удивительное свойство броуновской траектории:

Самоподобие само по себе — это уже некоторый порядок. Порядок, как и хаос, — это качества поведения динамической системы. В свою очередь, динамическая система — это всего лишь объект, выделенный для наблюдения. Этим объектом может быть луг, на котором живут и размножаются кролики Фибоначчи, состояние атмосферы, которое отражают показания термометров на метеорологических станциях, экономика в той ее форме, которую фиксируют индексы цен на бирже, компьютерная программа, которая симулирует движение Луны на небосводе.

Таким образом, динамическая система — это некоторая абстракция. Никакая абстракция в точности не соответствует реальности. Поэтому, говоря о поведении динамической системы, мы имеем в виду поведение той или иной модели, описывающей выделенный для наблюдения объект реальности.

Диссипативная система

Классическая физика занималась такими динамическими системами, которые можно было не только выделить, но и отделить, изолировать от окружающей среды. В модели изолированной динамической системы ее энергия сохраняется. Такие системы называют консервативными. В частности, маятник, совершающий колебания без трения, представляет собой консервативную динамическую систему. В реальности механическая энергия не сохраняется, а постепенно рассеивается (диссипирует) и переходит в тепло, т. е. в энергию микроскопического движения молекул, составляющих систему и ее окружение. Такая модель называется диссипативной динамической системой. Строго говоря, в этом случае временная эволюция должна определяться не только состоянием самой системы, но и ее окружением. При этом оператор эволюции может обусловливать деградацию системы и ее «тепловую смерть», но может приводить к усложнению и развитию динамической системы.

Пусть в некотором фазовом пространстве есть кластер динамических систем, которые подчиняются единому оператору эволюции. Динамические системы кластера отличаются друг от друга только начальными параметрами. С течением времени каждая точка кластера перемещается в фазовом пространстве, как предписано оператором системы, так что форма кластера и его размеры будут меняться. Может случиться, что фазовый объем кластера в процессе временной эволюции будет оставаться постоянным. Это характерно для консервативных систем.

Кластер диссипативных систем ведет себя иначе. С течением времени он «съеживается» и концентрируется в итоге на одном или нескольких аттракторах — подмножествах фазового пространства нулевого или ограниченного объема. С точки зрения динамики во времени это означает, что режим, возникающий в системе, предоставленной самой себе, в течение времени «забывает» свое начальное состояние и принимает состояние аттрактора, к которому стремится.

Динамическая система может вести себя устойчиво или неустойчиво. В первом случае траектории, близкие в начальном состоянии, остаются близкими в процессе эволюции динамической системы. Во втором случае траектории, близкие в начальный момент, в процессе эволюции динамической системы быстро удаляются друг от друга. Сколь бы малой ни была погрешность в определении исходного состояния системы, со временем она быстро нарастает, пока не достигнет размера аттрактора. После этого положение динамической системы в фазовом пространстве становится «размытым», и точно предсказать поведение системы практически невозможно. Однако можно говорить о вероятности того, что динамическая система обнаружит себя в той или иной точке аттрактора.

Процесс временной эволюции для консервативных систем

Между теорией динамических систем и теорией вероятности много общего. Так, множеству событий в ограниченном объеме фазового пространства можно приписать некоторое число, аналогичное понятию вероятности. Это число получило название «инвариантной меры». Ее можно интерпретировать как вероятность того, что траектория посетит данное множество. Связь между теорией динамических систем и теорией вероятности оказывается глубже, чем формальная аналогия.

Дело в том, что в основе теории динамических систем лежит понятие фазового пространства, а в основе теории вероятности — «пространство элементарных событий». То и другое исключают только один параметр — время. Пространство элементарных событий подразумевает идею о том, что все возможные исходы случайного процесса можно представить в виде точек в пространстве. В простых случаях это пространство сводится к нескольким точкам, однако в сложных ситуациях может представлять собой их непрерывное множество, совсем как фазовое пространство. В пространстве элементарных событий также существуют области притяжения — аттракторы. Уже в XVI веке Джероламо Кардано в «Трактате об азартных играх» отделял фатум, удачу и примету от манипуляций при играх в карты или в кости. Он, опытный игрок, знал лучше многих, как изменение центра тяжести кости притягивает более частое выпадение одной из ее сторон. Реализацию одного из элементарных событий система притягивает как магнит. И это напоминает области притяжения динамических систем в фазовом пространстве — аттракторы.

Аттракторы

Фазовый портрет

Абстрактное понятие «фазовый портрет» появилось в XX веке. После того как Эйнштейн показал, что по отношению к свету все движется с одинаковой скоростью, идея представления динамического поведения системы в форме застывших линий стала казаться естественной.

Для иллюстрации этой идеи рассмотрим маятник. Простота его колебаний обманчива. Судите сами. Аристотель рассматривал колебания камня на нити, а Галилей наблюдал колебания люстры в Пизанском соборе. При этом первый видел, как конечная точка предопределяет траекторию движения камня, а второй — как, опускаясь в процессе колебаний, люстра приобретала скорость, позволяющую ей подняться на ту же высоту.

Первые опыты с маятником Жан Фуко проводил в 1851 году в погребе, потом в парижской обсерватории, потом под куполом Пантеона. Наконец, в 1855 году маятник Фуко был подвешен под куполом парижской церкви Сен-Мартен-де-Шан (ставшей к этому времени парижским Музеем искусств и ремесел). Длина каната маятника Фуко — 67 м, вес гири — 28 кг. Именно его описывает Умберто Эко в своем романе «Маятник Фуко»:

И это всего лишь один из возможных режимов колебаний маятника с одного из возможных ракурсов обзора. С огромного расстояния маятник выглядит как точка. Точка всегда неподвижна. Приближаясь, мы различим систему с тремя типовыми траекториями: гармонический осциллятор (sin φ ≈ φ), маятник (колебания назад-вперед), пропеллер (вращение). Там, где локальный наблюдатель видит одну из трех возможных конфигураций движения шара, отстраненный от процесса аналитик может предположить, что шар совершает одно из трех типовых движений. Это не только можно предположить, но даже изобразить на одном плане.

Необходимо условиться, что мы переместим «шар на нити» в абстрактное фазовое пространство, имеющее столько координат, сколько степеней свободы имеет рассматриваемая система. В этом случае мы говорим о двух степенях свободы — скорость v и угол наклона нити с шаром к вертикали φ. В координатах φ — v траектория гармонического осциллятора представляет собой систему концентрических окружностей, по мере увеличения угла φ эти окружности становятся овальными, а при φ = ± π теряется замыкание овала. Это означает, что маятник перешел в режим пропеллера: v ≈ const.

Здесь любое действие пред-дано, но не всякое действительно. От геометрии остается только топология, вместо мер — параметры, вместо размеров — размерности. Здесь любая динамическая система имеет свой уникальный отпечаток — фазовый портрет. И среди них встречаются фазовые портреты довольно странные: будучи сложными, они определены одним-единственным параметром; будучи соизмеримыми, они несоразмерны; будучи непрерывными, они дискретны. Такие странные фазовые портреты появляются в окрестности странных аттракторов.

Странный аттрактор

Мир полон соблазнов. Соблазны конкурируют между собой. Это создает не столько хаос, сколько свободу выбора. Собственно выбор возможен только при наличии центров притяжения. Парадокс заключается в том, что несводимые друг к другу центры притяжения друг с другом соединены, связаны и, пожалуй, даже есть фрагменты единой сети. В архаические времена этот парадокс был подмечен и сформулирован в «Аватамсака-сутре». В пересказе сэра Чарлза Элиота фрагмент «Аватамсака-сутры» звучит так:

Вообразите бриллиантовую сеть, в каждом узле которой находится бриллиант: в его гранях отражаются все бриллианты, и сам он тоже отражается во всех остальных бриллиантах. Бриллианты находятся в движении, но их движение согласовано таким образом, что в любой момент каждый бриллиант отражается во всех остальных. Эта фантастическая бриллиантовая паутина нависает над дворцом бога Индры.

В теории комплексных диссипативных динамических систем сложилось представление, которое в целом напоминает сеть бога Индры. Траектории диссипативной динамической системы, выходящие из различных начальных точек, с течением времени сгущаются в некоторых сравнительно небольших областях фазового пространства. Эти области называют аттракторами. Термин «аттрактор» происходит от английского слова attract, что значит притягивать. Точка или замкнутая линия, притягивающая к себе все возможные траектории поведения системы, есть аттрактор. Аттрактор — это геометрический образ устойчивого поведения динамической системы, который притягивает на свою орбиту поведение других частей системы, первоначальное поведение которых совершенно отлично от поведения систем на аттракторе. Аттрактор — это пространственно-временной объект, охватывающий весь процесс. Аттрактор — это и причина, и следствие. Он формируется лишь системами с ограниченным числом степеней свободы.

Если нет существенных внешних возмущений, то траектории динамических систем, попав в область аттрактора, остаются в ней постоянно. Картина напоминает ситуацию в бассейне реки или моря — потоки воды сливаются в реки, которые впадают в море. Поэтому область притяжения, в которых траектории стремятся к одному или нескольким аттракторам, называют бассейном аттракторов. Попав в бассейн аттрактора, динамическая система не может его покинуть. Аттрактор притягивает к себе динамические системы, как черные дыры притягивают материю, волны и даже свет. Каким бы ни было начальное состояние системы, оно будет «забыто». После поглощения системы аттрактором мы сможем сказать лишь то, что оно «где-то на аттракторе». Можно выделить несколько типовых по своей структуре аттракторов.

Простейшим видом асимптотического поведения является состояние равновесия, которому соответствует неподвижная точка в фазовом пространстве. Такой аттрактор называется точечным. Это, например, точка равновесия для маятника с трением. Более сложным является периодическое поведение, которому соответствует круговой аттрактор. Например, орбита в задаче Ньютона о вращении одного тела относительно другого. Еще более замысловато, чем движение по кругу, выглядит циклическое движение на поверхности тора. Спиралевидные круги после множества оборотов возвращаются в исходную точку, и цикл повторяется. Гораздо более сложными являются квазипериодические колебания, когда в системе наблюдаются две частоты ω₁ и ω₂, причем их отношение ω₁/ω₂ — иррациональное число. Эта ситуация реализуется, только если размерность фазового пространства не меньше трех. Асимптотическое поведение такой системы соответствует заполнению траекторией поверхности двухмерного тора. Так, ни одна весна не походит на другую. Но каждый год возвращается весна. Ни один поворот планеты вокруг Солнца не тождественен другим, ибо отклонения изменяют линию орбиты, изменяется тело планеты, изменяется Солнце, вся планетная система передвигается в мировом пространстве, тем не менее каждая планета вращается вокруг своего Солнца по постоянной орбите.

Далее степень сложности может нарастать при увеличении числа независимых частот. Траектория при этом может заполнять трехмерный, четырехмерный и многомерный тор.

Это довольно сложные траектории, но они много проще тех траекторий, которые производит странный аттрактор. Термин и понятие «странный аттрактор» распространились сразу после появления в 1971 году статьи француза Давида Рюэлля и голландца Флориса Такенса «Природа турбулентности». Эта статья изменила парадигму понимания турбулентности, созданную Ландау и общепринятую на тот момент в научном сообществе.

Странный аттрактор Давида Рюэлля

Суть этой классической парадигмы в том, что турбулентный поток представляет собой суперпозицию вихрей всех возможных масштабов, т. е. число степеней свободы системы бесконечно. Вместо рассмотрения системы перекрывающих друг друга вихрей в 1970-х годах Рюэлль и Такенс предположили, что может существовать аттрактор с набором характеристик турбулентного потока: устойчивостью, ограниченным числом степеней свободы и иррегулярностью. Исходя из математических резонов, Рюэлль и Такенс провозгласили, что описанный феномен должен существовать, хотя они никогда не видели и не изображали его. Упоминание о том, что непрерывный спектр будет ассоциироваться с незначительным числом степеней свободы, многие физики посчитали ересью.

С геометрической точки зрения вопрос казался чистой головоломкой. Какой вид должна иметь орбита, изображаемая в ограниченном пространстве, чтобы она никогда не повторяла и не пересекала саму себя? Чтобы воспроизвести каждый ритм, орбита должна являть собой бесконечно длинную линию на ограниченной площади. Другими словами, ее аттрактор должен быть фракталом. На тот момент фракталов еще не существовало, но геометрические формы с требуемыми свойствами уже были — «пыль Кантора», «снежинка Коха», «ковер Серпинского». Более того, уже в 1963 году Эдвард Лоренц описал подобный объект — устойчивую, иррегулярную траекторию с ограниченным числом степеней свободы — в метеорологии. Траектория Лоренца была устойчивой, непериодической, имела малое число степеней свободы и никогда не пересекала саму себя. Если бы пересечение случилось, то движение в дальнейшем имело бы периодический характер, но такого не происходило.

Именно такой объект Давид Рюэлль назвал «странным аттрактором». Траектории на таком аттракторе ведут себя довольно странно. Если в начальный момент выделить некоторый малый объем — «каплю» — в фазовом пространстве на странном аттракторе, то с течением времени эта «капля» размажется по всему аттрактору. Такое интенсивное перемешивание указывает на то, что любые близкие траектории быстро расходятся, иными словами, они локально неустойчивы. Следствием этого является существенная зависимость от начальных условий: малейшее изменение начальных условий существенно влияет на положение системы в процессе ее эволюции.

Странный аттрактор, по определению Рюэлля, демонстрирует три качества, друг к другу не сводимых, но на практике существующих вместе:

• фрактальность (вложенность, подобие, согласованность);

• детерминированность (зависимость от начальных условий);

• сингулярность (конечное число определяющих параметров).

Поясним эти «странные» признаки аттрактора Рюэлля.

Прежде всего «странный» аттрактор выглядит странно. Он представляет собой бесконечное число петель и спиралей, которые постоянно друг от друга удаляются, отстраняются и никогда друг с другом не пересекаются (неповторимость) в ограниченном пространстве. Он содержит все масштабы, он бесконечен и при этом ограничен. Странные аттракторы фрактальны: ограниченная область заполняется непредсказуемо движущейся точкой, траектория которой порождает фигуру дробной размерности. При этом траектория на странном аттракторе ведет себя довольно странно. Она постоянно изгибается, по случаю перепрыгивает от одного центра притяжения к другому, хаотически мечется взад и вперед. При этом ее поведение очень сильно зависит от начальных условий — той точки, из которой траектория берет свое начало.

Странный аттрактор Клиффорда

Фрагмент траектории хаотичен. Можно было бы предположить, что траектория осциллирует с произвольной частотой между центрами притяжения. Но это не так. Из всех возможных частот избираются только некоторые — так, что формируется система конечной размерности. Рюэлль в своей книге «Регулярная и хаотическая динамика» указывает на то, что колебания температуры в экваториальной зоне Тихого океана за 900 000 лет представляют собой странный аттрактор малой размерности. Локальные температуры являются результатом взаимодействия большого числа переменных, каждая из которых подвержена своему статистическому распределению. Однако небольшого числа независимых переменных достаточно, чтобы описать долговременные вариации климата.

Любая область странного аттрактора в процессе эволюции стягивается. Например, в трехмерном фазовом пространстве размерность аттрактора d < 3. Требование сильной зависимости от начальных условий обеспечивается только для аттракторов с размерностью d > 2. Таким образом, размерность хаотического аттрактора в трехмерном фазовом пространстве определяется неравенством 2 < d < 3. Это чисто техническое условие стягивает объект в ограниченную область.

Траектория динамической системы, попав в область «странного аттрактора», совершает причудливые маневры, ухитряясь никогда не пересекать саму себя, с собой не соприкасаться и при этом не выходить за пределы аттрактора. Траектория динамической системы при этом никакой гладкой поверхности в фазовом пространстве не заполняет. Будучи локализованной в небольшой области фазового пространства, она демонстрирует сложную структуру, определяющую весьма запутанное и одновременно точное и строгое поведение динамической системы. Такая филигранная точность предполагает существенную зависимость поведения траектории от начальных условий.

После появления работ Мандельброта стало ясно, что странный аттрактор есть траектория в поле фрактала. Открытия Мандельброта и Лоренца запустили процесс, в результате которого ученые и инженеры изменяют представление о мире вокруг нас. Физики, биологи, психологи, геологи, химики и механики на всех направлениях применяют фрактальную геометрию и хаотическую динамику для построения моделей, симуляций и манипуляций процессами и явлениями. Феномен настоящего заключается в том, что новые методы позволили вторгнуться на территорию, ранее неизвестную, — в область хаоса, турбулентности и свернутых пространств.

Динамический хаос

Хаотическим режимам присуща нерегулярность и, как следствие, непредсказуемость. Режим динамического хаоса и предопределен, и регулярен, но также непредсказуем. Динамический хаос ассоциируется с наличием странных аттракторов — сложно устроенных фрактальных множеств, притягивающих к себе все траектории из своего бассейна. Попав в область странного аттрактора, близкие траектории демонстрируют быстрое «разбегание» притом, что фазовый объем динамической системы не увеличивается. Любая сколь угодно малая область фазового пространства, выделенная в начальный момент, со временем «перемешивается», «распыляется» по всей области странного аттрактора. Происходит своего рода стирание памяти о начальном состоянии системы. Обратной стороной этого процесса является невозможность предсказания поведения системы в будущем в силу сверхчувствительной зависимости режима к сколь угодно малым отклонениям начальных условий. Именно это ведет к потере предсказуемости. Поэтому динамическая система, будучи полностью предопределенной, ведет себя непредсказуемо.

Согласно принятым сегодня представлениям такой режим регулярного хаоса наступает при выполнении трех условий:

1. Существует, по крайней мере, одна плотная орбита. Плотная орбита — это такое скопление точек, в любой окрестности каждой из которых со временем появится точка той же орбиты.

2. Имеет место квазипериодическое возвращение траекторий, которому сопутствуют неустойчивость, нелинейность и перемешивание.

3. Наблюдается существенная зависимость поведения траекторий от начальных условий.

Поясним понятие плотной орбиты. Еще Лейбниц утверждал, что линией как паутиной можно покрыть плоскость. В этом случае для любой точки на плоскости найдется сколь угодно близкая точка такой линии. В 1891 году появилась статья немецкого математика-универсала Давида Гильберта, в которой он представил кривую, покрывающую плоскость без пересечений и касаний. Для любой точки этой линии, в любой сколь угодно малой ее окрестности со временем появится точка, принадлежащая той же самой линии. Кривая Гильберта, таким образом, иллюстрирует плотную орбиту.

Построение кривой Гильберта. Шаги 1,2,3,5, 7

Что же такое «квазипериодическое возвращение траекторий»? Рассмотрим поведение нелинейной динамической системы с неустойчивым режимом. Слегка нарушив режим малым воздействием, мы поначалу будем фиксировать нарастание возмущения в силу неустойчивости режима. Будь система линейной, возмущение могло бы возрастать до бесконечности. В большинстве реальных диссипативных систем нарастание возмущений имеет предел. При больших отклонениях изменяется характер сил, определяющих поведение системы, и возмущение начинает затухать. Система начинает возвращаться в исходное состояние.

Однако возвращение точно в то же состояние маловероятно, так как система неустойчива. С большей вероятностью система вернется в малую окрестность исходного состояния (подойдет очень близко к состоянию неустойчивого равновесия) и вновь (в силу неустойчивости) начнет от него удаляться.

Например, так. Пусть у нас есть пружина, для которой зависимость амплитуды отклонения φ (х) от исходного состояния х определяется соотношением

где k и b — положительные коэффициенты. Пусть х = 0 — точка неустойчивого равновесия. Если x<<1, то Ьх³<<kх и слагаемым Ьх³ можно пренебречь. Тогда

В этом случае φ (х) линейно возрастает с увеличением х. Если х становится сравнимым с единицей, то членом Ьх³ пренебрегать уже нельзя. Здесь отклонение φ (х) начнет испытывать ограничение. При некоторых х значение φ (х) вновь будет близко к нулю, т. е. система вернется в малую окрестность исходного состояния (подойдет очень близко к состоянию неустойчивого равновесия) и вновь (в силу неустойчивости) начнет от него удаляться. Это как изюминка в коме теста, которое перемешивает пекарь. В общем случае траектория, испытав действие механизма нелинейного ограничения, возвращается в окрестность исходного состояния. Этот процесс будет длиться и длиться без ограничений и без повторений.

В процессе перемешивания система «забывает» информацию о своем начальном состоянии. Грубо говоря, сколь бы точно ни было известно начальное положение точки, с течением времени возможное ее местонахождение становится все более и более плотным множеством. Это означает, что потребуется более высокая точность в ее определении. Так, если мы поместим в стакан с водой капельку чернил и размешаем воду чайной ложкой, то чернила практически равномерно окрасят воду. Частички, первоначально сосредоточенные в капельке чернил, после перемешивания можно обнаружить в любой части стакана. Если до перемешивания чернила можно было зафиксировать координатой капельки чернил, то после перемешивания мы вынуждены говорить о фиксации молекул чернил. Согласитесь, что это совсем другой уровень точности. В этом смысле системе все труднее идентифицировать свое начальное состояние. Система как бы теряет память вследствие локальной неустойчивости, но при этом сохраняет «грубую» структурную устойчивость. Суть «грубой» устойчивости в том, что при малом изменении параметра изменяются детали поведения динамической системы, но принципиально режим поведения системы сохраняет свою грубую структурную идентичность.

Фракталы и случай

Фракталам присущи эффекты, которые часто встречаются в природе: изрезанность, изломанность, комковатость. Вместе с тем, есть существенное отличие между строго самоподобной кривой фон Коха и, например, побережьем Норвегии. Последнее, не являясь строго самоподобным, проявляет подобие в статистическом смысле. Обе кривые при этом изломаны настолько, что ни к одной из их точек вы не сможете провести касательную, или, иными словами, не сможете ее дифференцировать. Такие кривые — своего рода «монстры» среди нормальных евклидовых линий.

В свое время Лагранж в течение десяти лет пытался доказать теорему о том, что любая непрерывная функция является гладкой, или, как говорят математики, — «дифференцируемой». Но у него не получилось. И вот на рубеже XIX и XX веков Карл Вейерштрасс построил парадоксальный пример функции, которая была непрерывной, но не являлась гладкой. Эта функция напоминала по форме пилу. Причем при увеличении перед глазами снова вырастает пила. Оказалось, что очевидные вещи надо доказывать. Очевидность не является критерием истины. И никогда не являлась.

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс первым построил непрерывную функцию, не имеющую касательной ни в одной своей точке. Его работа была представлена Королевской Прусской академии 18 июля 1872 года и опубликована в 1875 году. Вскоре после этого Шарль Эрмит, выдающийся математик своего времени, высказался эмоционально относительно непрерывных функций, не имеющих производных. Он сказал:

Функции, описанные Вейерштрассом, выглядят подобно шумам, приведенным на рисунке. В то же время между функциями Вейерштрасса и шумами есть существенное различие. Любая точка функции Вейерштрасса строго детерминирована, а точка на графике шума — случайна.

Такие случайные траектории скорее являются правилом, чем исключением.

Посмотрите на графики биржевых бюллетеней, сводку колебаний температуры или давления воздуха — и обнаружите некую регулярную изрезанность. Причем при увеличении масштаба характер изрезанности сохраняется. И это отсылает нас к фрактальной геометрии. Так, анализ траектории броуновского движения на плоскости показывает, что она имеет фрактальную размерность, равную двум, а фрактальная размерность границы броуновского движения частицы равна 1,33...

Броуновское движение — один из самых известных примеров стохастического процесса. В 1926 году Жан Перрен получил Нобелевскую премию за исследование характера броуновского движения. Именно он обратил внимание на самоподобие и недифференцируемость броуновской траектории. Еще в 1828 году шотландский ботаник Роберт Броун (1773-1858) описал, как частички пыльцы самопроизвольно перемещаются в пробирке с водой. Он объяснил свои наблюдения следующим образом:

Вряд ли уместно пересказывать здесь те презабавные истории, которые породила причудливая пляска частиц цветочной пыльцы под микроскопом. Какие только фантастические интерпретации ни предлагались — от живых молекул, наделенных свободой воли, до прямого вмешательства сверхъестественных сил. Достаточно сказать, что когда Броун кипятил, замораживал и вновь нагревал жидкость, частицы все так же продолжали свою безумную пляску, весьма напоминающую столпотворение. Появилось объяснение: движение происходит из-за случайных колебаний водных молекул, бомбардирующих зерна пыльцы с различных направлений. Это тривиальное толкование скрывает самое интересное — то, что нашел Жан Батист Перрен. В своей известной работе «Les Atomes» он описал эффект самоподобия броуновских траекторий:

Масштабное самоподобие! Под микроскопом типичная траектория частицы пыльцы выглядит как изломанная лента из прямых звеньев. Но стоит только увеличить разрешение микроскопа, как каждый прямой участок превратится в новое скопление прямых звеньев. И это новое скопление будет подобно скоплению, зафиксированному на более грубом масштабе.

С появлением компьютеров стало возможным не только фиксировать стохастическое поведение в природе, но и моделировать стохастические процессы. Для этого применяются компьютерные генераторы случайных чисел, которые используют различные алгоритмы. Для примера опишем два.

Генератор случайных чисел RND (от англ. random — случайный, беспорядочный), хотя и подчиняется вполне определенному алгоритму, «вырабатывает» числа, которые можно считать случайными.

На первом этапе выбираем 4 случайных числа, например 1, 2, 3,4, и составляем из них число 4321. На этом все случайное в этом процессе заканчивается. Теперь возведем это число в квадрат, получим 18671041 и отбросим крайние числа. Останется четырехзначное число 6710. Для получения третьего числа в квадрат возводится число, полученное на предыдущем этапе После шестого шага результат — выборка из четырех цифр — подчиняется нормальному закону распределения случайных величин. Заметим, вопреки тому, что весь процесс строго детерминирован, его результат неотличим от случайного выбора или «выбрасывания» числа по случаю.

Другой часто используемый генератор случайных чисел, FRAC (от англ. fraction — доля, дробный), в качестве случайного числа «вырабатывает» дробную часть некоего рекуррентного алгебраического выражения, такого, например, как

Параметр х — выражение вещественного типа. Результат — дробная часть x, то есть

Как логически следует из принципа действия оператора FRAC, полученное число больше или равно 0 и меньше 1.

Таким образом, очевидно, что числа, полученные нами в результате применения функций RND и FRAC, имеют одинаковый масштаб и ни одно из них не выделяется из ряда других и не выглядит небоскребом «Тайбей 101» в квартале одноэтажных халуп. Согласно центральной предельной теореме, сумма достаточно большого количества полученных случайных или псевдослучайных чисел будет иметь нормальное или близкое к нормальному распределение. На практике достаточно суммы всего шести таких чисел, чтобы получить случайную величину, которая может считаться нормальной.

Заметим, что псевдослучайность не лишена эстетической привлекательности. Так, программа MONDRIAN производит отрезки, положение, длина и ориентация которых задаются генератором случайных чисел. Результат — эскиз a la Mondrian, приведенный на соседней странице.

Компьютерный эскиз a la mondrian и работы Питера Мондриана «Буги-Вуги на Бродвее» (1942-1943), «Победа буги-вуги» (1942-1944).

Обратная связь

Типовая схема петли обратной связи показана на схеме. Она сводится к изменению переменного параметра х по правилу

при постоянном контролируемом параметре С. Единственное, что при этом требуется, — нелинейная зависимость между результатом и начальным значением, т. е. динамический закон

должен быть более сложным, чем простая пропорциональность

Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого произвольного значения х₀, то его результатом будет последовательность х₁, х₂ ... Эта последовательность может сходиться к некоторому предельному значению X, стремясь к состоянию стабильности и покоя. Но она же может выйти на некоторый цикл значений, которые будут повторяться вновь и вновь. Наконец, эта последовательность может вести себя непредсказуемо, хотя и предопределенно.

Процессы с обратной связью известны давно. Еще в Вавилоне люди оперировали простыми уравнениями для вычисления площади поля или поголовья стада. Это обыкновенные уравнения. Ньютон открыл технику дифференциальных уравнений.

Логистическое уравнение Ферхюльста

Рассмотрим пример. Рост некоторой популяции за несколько лет обычно описывают при помощи коэффициента прироста, т.е. отношения ежегодного прироста численности популяции к ее общей численности. Если эта величина остается постоянной в течение всего периода времени, то говорят, что закон роста является линейным, а сам рост называют экспоненциальным. Например, при коэффициенте прироста в 5% популяция удваивает свою численность каждые 14 лет. Законы такого типа, однако, применимы только на ограниченных промежутках времени. Для роста всегда существуют пределы.

Одним из первых обратил на это внимание бельгийский математик Пьер Франсуа Ферхюльст, сформулировав в 1845 году закон, содержащий ограничение на рост. Он объяснил это тем, что любая экологическая ниша может обеспечить существование популяции только определенного максимального размера X и что коэффициент прироста должен снижаться, когда размеры популяции приближаются к X. Таким образом, он пришел к необходимости рассматривать переменный коэффициент прироста. В результате этого процесс становился нелинейным, что коренным образом изменило его динамическое поведение.

Прошло более ста лет, прежде чем были осознаны все вытекающие из этого проблемы. При малых коэффициентах прироста, очевидно, ничего особенного не произойдет: численность популяции будет просто регулироваться так, чтобы достичь оптимального значения X, увеличиваясь, когда она меньше его, и уменьшаясь, когда больше. Однако, как только коэффициент превысит 200%, нас ожидают сюрпризы. Собственно, именно на один из этих сюрпризов натолкнулся Лоренц в 1963 году, обнаружив странное поведение турбулентных потоков, когда коэффициент велик. Затем с подобными сюрпризами ученые встретились при исследовании лазера, гидродинамики и кинетики химических реакций.

Но вернемся к процессу Ферхюльста при большом коэффициенте роста. Прежде всего, когда параметры роста превысят 200%, становится невозможным достижение оптимальной численности X. Когда популяция мала, энергичный рост неизменно приводит к превышению оптимального размера, что вызывает ответную реакцию, в результате чего популяция уменьшается до размеров, значительно меньших X. После этого появляются устойчивые колебания между двумя размерами, большим и меньшим.

Когда параметр роста превышает 245%, начинается дальнейшее усложнение поведения. Колебания происходят сначала между 4, затем 8, затем 16 различными величинами численности популяции и так далее до тех пор, пока для параметров, больших, чем 257%, не возникает хаос. Попросту говоря, система выходит из-под контроля. Не существует способа предсказать ее поведение на длительное время. Беспорядочные скачки вверх и вниз упорно продолжаются и никогда не превратятся в упорядоченную последовательность. Чтобы понять удивление, которое испытал Лоренц при этом открытии, напомним, что никакой неопределенности не предполагается. Процесс по-прежнему описывается законом Ферхюльста, последовательность определена своим начальным значением — и все же ее поведение невозможно предсказать, остается предоставить процессу развиваться самому по себе.

Эта очень странная ситуация требует некоторого более подробного объяснения. Утверждение о том, что последовательность определена своим начальным значением, подразумевает возможность определения последующих значений с бесконечной точностью. Это является верным только «в принципе». Любое реальное описание начальной величины, например ее представление в компьютере, можно получить только с конечной точностью. Изучаемый процесс можно сравнить с получением информации: чем дольше мы его будем наблюдать, тем лучше будем знать в ретроспективе точную величину начального значения.

И все же наиболее впечатляющим в динамике Ферхюльста является не хаос как таковой, а сценарий, по которому порядок превращается в хаос. В процессе Ферхюльста обнаруживается закономерность уменьшения длин интервалов изменения параметра роста, при которых происходят бифуркации от колебаний периода 2n к колебаниям периода 2n+1. Эти интервалы сокращаются при каждом удвоении периода, причем с ростом n множитель, характеризующий сокращение, приближается к универсальному значению (Гроссманн и Томэ, 1977):

Это число появляется снова и снова в разных процессах. Оно является такой же характеристикой для сценариев удвоения периодов, как число π для отношения длины окружности к ее диаметру, которое называют теперь «числом Фейгенбаума». Один из пионеров теории хаоса американец Митчелл Фейгенбаум проделал вычисления на своем калькуляторе в Лос-Аламосе для целого ряда различных процессов и получил в каждом случае один и тот же множитель. Он установил универсальность этого числа.

Это открытие вызвало невероятную активность ученых во многих областях науки. Было поставлено огромное число экспериментов, показавших, что сценарий удвоения периода действительно наблюдается во многих естественных системах. Одним из первых, кто осознал важность изучения процесса Ферхюльста, был один из создателей современной биоматематики биолог Роберт М.Мэй. Еще в 1976 году он писал: