Быстрая математика: секреты устного счета

Глава 10 Возведение в квадрат

Возвести число в квадрат — значит умножить его на самого себя. Хороший способ представить себе это состоит в следующем. Если у вас во дворе нужно выложить плиткой квадратный участок и необходимо узнать, сколько для этого потребуется материала, то достаточно посчитать, сколько плитки пойдет на одну сторону, а затем умножить это число на самого себя. Если сторону участка занимают 3 плитки, тогда 9 плиток составят всю площадь участка (3 х 3 = 9). Если сторона составлена из 5 плиток, то весь квадрат состоит из 25 плиток (5 х 5 = 25).

5 в квадрате означает 5 х 5. Мы записываем это как 5. Маленькая 2, записанная после 5, означает, что речь идет о перемножении двух пятерок. А что означает маленькая 3, записанная после 5? Она означает, что надо перемножить подряд три пятерки. Это общепринятое математическое обозначение, и каждому человеку положено его знать. Вот несколько примеров:

5³ = 5 х 5 х 5

4⁵ = 4 х 4 х 4 х 4 х 4

7³ = 7 х 7 х 7

6² (произносится как «шесть в квадрате») = 36, потому что 6 х 6 = 36. Мы говорим, что 36 — это квадрат числа 6.

13² = 13 х 13 = 169

Мы легко можем вычислять подобные примеры, используя изученный выше метод перемножения чисел больше 10 и меньше 20. В частности, метод умножения с 100 использованием кружков особенно легко применять в отношении квадратов чисел, поскольку он лучше всего работает, когда перемножаемые числа являются близкими по значению. Добавлю, что все способы возведения в квадрат, представленные в настоящей главе, используют общий принцип перемножения чисел, рассмотренный нами ранее.

Метод возведения в квадрат чисел, которые оканчиваются на 5, использует ту же формулу, что и общий метод перемножения, освоенный нами ранее.

Если нам необходимо найти квадрат числа, оканчивающегося на 5, отделим прежде всего последнюю цифру 5 от находящейся перед ней цифры (или цифр). Прибавьте 1 к числу, состоящему из отделенной цифры (цифр), а затем перемножьте результат сложения и число. Припишите 25 справа к результату умножения, и вы получите окончательный ответ.

Например:

35² =

Отделим 5 от цифр впереди нее. В данном случае речь идет всего лишь о цифре 3, стоящей перед 5. Прибавим 1 к 3 и получим в результате 4.

3 + 1 = 4

Перемножим числа:

3 х 4 = 12

Припишем 25 (5 в квадрате) справа к 12. Полученное число и есть искомый ответ: 1225.

35² = 1225

Попробуем решить еще один пример:

75² (или 75 в квадрате) =

Отделим 7 от 5. Прибавим 1 к 7 и получим 8. 8 умножить на 8 равно 56. Это первая часть нашего ответа. Припишем 25 справа и получим искомый ответ: 5625.

75² = 5625

Сочетание этого метода с изученными ранее позволит получить еще более впечатляющие результаты. Рассмотрим это на примере:

135² =

Отделим 5 от 13. Прибавим 1 к 13 и получим 14. Произведение 13 х 14 дает 182 (используем метод, изученный в главе 2). Припишем 25 справа к 182 и получим ответ: 18225. Все эти расчеты можно легко произвести в уме.

135² = 18225

Еще один пример:

965² =

96 плюс 1 дает 97. Умножим 96 на 97 и получим 9312. Теперь припишем 25 справа к результату и получим ответ: 931225.

965² = 931225

Впечатляет, не так ли? Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

a) 15² = __; б) 45² = __; в) 25² = __; г) 65² = __; д) 95² = __; е) 115² = __; ж) 145² = __; з) 955² = __

Если вы использовали бумагу и ручку, чтобы вычислить ответы, попробуйте теперь повторить вычисления в уме. Вы обнаружите, что ничего сложного в этом нет.

Ответы:

а) 225; б) 2025; в) 625; г) 4225; д) 9025; е) 13225; ж) 21025; з) 912025

Данный метод применим также к числам с десятичной запятой. Например, в случае 6,5 х 6,5 мы просто «забываем» о запятой и находим ей место лишь в самом конце вычислений.

6,5² =

65² = 4225

В сумме у множителей в данном примере имеются две цифры после запятой, если квадрат записать в виде произведения двух одинаковых чисел, и в ответе после запятой также должно быть две цифры. Поэтому искомый ответ равен 42,25.

6,5² = 42,25

Тот же метод работает и для произведения 6,5 х 65, которое соответственно будет равно 422,5.

Подобным образом, если надо перемножить 3¹/₂ и 3¹/₂, это даст в ответе 12¹/₄ (то есть 12,25).

Данный метод находит много применений.

Метод для возведения в квадрат чисел, близких по значению к 50, использует ту же формулу, что и при перемножении любых чисел. Однако есть еще один способ, позволяющий значительно упростить вычисления.

Например:

46 в квадрате означает 46 х 46. Округляя, получаем 50 х 50 = 2500. Берем 50 и 2500 в качестве опорных чисел.

46 меньше, чем 50, поэтому рисуем кружок под примером.

46 на 4 меньше 50, поэтому вписываем 4 в кружок. Впереди ставим минус.

Отнимаем 4 из числа сотен в 2500.

25 — 4 = 21

Это число сотен в искомом ответе. Его можно записать как 2100 (21 х 100). Чтобы получить остальную часть ответа, возведем в квадрат число в кружке.

4² = 16

2100 + 16 = 2116 ОТВЕТ

Рассмотрим другой пример:

56² =

56 больше, чем 50, поэтому рисуем кружок над примером.

Прибавляем 6 к числу сотен в 2500 (25). 25 плюс 6 дает 31. Промежуточный ответ равен 3100.

6² = 36

3100 + 36 = 3136 ОТВЕТ

Попробуем решить еще один пример:

25 + 12 = 37 (промежуточный ответ равен 3700)

12² = 144

3700 + 144 = 3844 ОТВЕТ

Попробуйте решить самостоятельно следующие примеры:

а) 57² = __; б) 51 ² = __; в) 48² = __; г) 39² = __; д) 45² = __

Ответы:

а) 3249; б) 2601; в) 2304; г) 1521; д) 2025.

Немного попрактиковавшись, вы вскоре будете в состоянии незамедлительно называть ответ.

Метод напоминает тот, что мы использовали для чисел, близких по значению к 50.

500, умноженное на 500, дает 250000. Берем 500 и 250000 в качестве опорных чисел.

Например:

506² =

506 больше, чем 500, поэтому рисуем кружок вверху. В него вписываем 6.

Число в кружке следует прибавлять к числу тысяч.

250 + 6 = 256 тысяч

Возведем в квадрат число в кружке:

6² = 36

256000 + 36 = 256036 ОТВЕТ

Разберем другой пример:

250 + 12 = 262

Промежуточный ответ — 262000

12² = 144

262000 + 144 = 262144 ОТВЕТ

Для возведения в квадрат чисел, которые немного меньше 500, используйте следующий способ.

Рассмотрим пример:

488² =

488 меньше, чем 500, поэтому рисуем кружок внизу. Поскольку 488 на 12 меньше, чем 500, вписываем в кружок 12.

250 тысяч минус 12 тысяч дает 238 тысяч. Прибавляем 12 в квадрате (12² = 144).

238000 + 144 = 238144 ОТВЕТ

Можно добиться результата еще более впечатляющим способом.

Например:

250000 + 35000 = 285000

35² = 1225

285000 + 1225 = 286225 ОТВЕТ

Все это легко рассчитывается в уме. Мы использовали два ускоряющих метода: метод для возведения в квадрат чисел, близких по значению к 500, и метод для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.

А как насчет 635?

250000 + 135000 = 385000

135² = 18225

Чтобы вычислить 135², мы используем способ для вычисления квадрата чисел, оканчивающихся на 5, и способ для перемножения чисел больше 10, но меньше 20 (13 + 1 = 14, 13 х 14 = 182). Приписываем 25 справа к 182, получаем: 135²= 18225.

Можно произносить полученный ответ так: «Восемнадцать тысяч, два, два, пять».

Чтобы прибавить 18000, прибавляем 20 и вычитаем 2.

385 + 20 = 405

405 — 2 = 403

Припишем 225 справа.

Искомый ответ: 403225.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 506² = __; б) 534² = __; в) 489² = __; г) 445² = __

Ответы:

а) 256036; б) 285156; в) 23912;1 г) 198025

Решим последний пример вместе:

250 — 55 = 195 (195 х 1000 = 195000)

55² = 3025 (используем способ для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5)

195000 + 3025 = 198025

Мы могли бы решить данный пример, используя лишь способ возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Число, составленное из цифр перед 5, равно 44.

Припишем 25 справа к промежуточному ответу 1980 и получим 198025.

Таким образом, у вас теперь есть несколько методов на выбор.

Данный способ применяется для возведения в квадрат любого числа, оканчивающегося на 1. Если вы попробуете перемножить два подобных числа традиционным способом, то поймете, почему данный метод работает. Например:

31² =

Во-первых, вычтем 1 из числа, возводимого в квадрат. Число теперь оканчивается на нуль, и его легко возвести в квадрат.

30² = 900 (3 х 3 х 10 х 10)

Это наш промежуточный результат.

Во-вторых, сложим 30 и 31 (число, которое мы возвели в квадрат, и число, которое собираемся возвести в квадрат):

30 + 31 = 61

Прибавим полученный результат к 900 и получим 961.

900 + 61 = 961 ОТВЕТ

На втором этапе решения вы могли бы просто удвоить число, которое ранее возвели в квадрат (30 х 2 = 60), а затем прибавить 1.

Разберем другой пример:

121² =

121 — 1 = 120

120² = 14400 (12 х 12 х 10 х 10)

120 + 121 = 241

14400 + 241 = 14641 ОТВЕТ

Попробуем еще:

351² =

350² = 122500 (используем способ для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5)

350 + 351 = 701

122500 + 701 = 123201 ОТВЕТ

Еще один пример:

86² =

Можно использовать способ для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 1, а также для чисел, оканчивающихся на 6. Например, вычислим 86². Будем рассматривать 86 как число, которое на 1 больше 85.

85² = 7225

85 + 86 = 171

7225 + 171 = 7396 ОТВЕТ

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

a) 21² = __; б) 41² = __; в) 61² =__; г) 71² = __; д) 81² = __; е) 131² = __; ж) 141² = __; з) 66² = __

Ответы:

a) 441; б) 1681; в) 3721; г) 5041; д) 6561; е) 17161; ж)19881; з) 4356

Чтобы решить эти примеры в уме, я называю первый промежуточный результат в виде сотен — тогда вторую часть ответа легче прибавлять. Например, для возведения в квадрат 71 в уме я проговариваю про себя: «Семьдесят в квадрате равно сорок девять сотен; семьдесят на два — сто сорок, пятьдесят сотен и сорок плюс один, пять тысяч сорок один (5041)».

На самом деле я говорю еще короче: «Сорок пять сотен; пять тысяч сорок… один».

Чтобы найти квадрат 66 в уме, я говорю про себя: «Шестьдесят пять в квадрате — сорок два и двадцать пять», использовав способ для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. «Шестьдесят пять на два равно сто тридцать, сорок три пятьдесят пять плюс один, сорок три пятьдесят шесть (4356)».

Теперь попробуйте решить примеры, предложенные выше, в уме.

Пример:

29² =

Во-первых, прибавим 1 к числу, возводимому в квадрат. Теперь оно оканчивается на 0, и его квадрат легко найти.

30² = 900 (3 х 3 х 10 х 10)

Это наш промежуточный результат. Теперь сложим 30 и 29 (число, которое мы возвели в квадрат, и число, которое собираемся возвести в квадрат):

30 + 29 = 59

Вычтем 59 из 900 и получим в ответе 841. (Я удваиваю 30, получая 60, а затем вычитаю 60 из 900 и потом прибавляю 1.)

900 — 59 = 841 ОТВЕТ

Разберем еще один пример:

119² =

119 + 1 = 120

120² = 14400 (12 х 12 х 10 х 10)

120 + 119 = 239

14400 — 239 = 14161

14400 — 240 + 1 = 14161 ОТВЕТ

Возьмем другой пример:

349² =

350² = 122500 (используем способ для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5)

350 + 349 = 699

(Вычтем 1000, а потом прибавим 301, чтобы вычислить ответ.)

122500 — 699 = 121801 ОТВЕТ

А как нам вычислить 84 в квадрате?

Можно использовать способ для возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 9 или 4. Будем рассматривать 84 как число, которое на 1 меньше 85.

84² =

85² = 7225

85 + 84 = 169

Теперь вычтем 169 из 7225:

7225 — 169 = 7056 ОТВЕТ

(Вычитаем 200, а затем прибавляем 31, чтобы получить ответ.)

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

a) 69² = __; б) 79² = __; в) 89² = __; г) 74² = __

Ответы:

а) 4761; б) 6241; в) 7921; г) 5476

Решим пример б) вместе. Чтобы найти квадрат 79 в уме, я сказал бы про себя: «Восемьдесят в квадрате дает шестьдесят четыре сотни. Дважды восемьдесят — сто шестьдесят. Шестьдесят четыре сотни минус двести равно шестьдесят две сотни, плюс сорок — шестьдесят две сотни сорок, плюс один — шестьдесят две сотни сорок один (6241)».

Разумеется, проговаривать всего этого не требуется. Можно просто сказать: «Шестьдесят четыре сотни, шестьдесят две сорок. один».

В примере в), возможно, легче было бы использовать общий метод перемножения чисел с опорным числом: используя 100 в качестве опорного и перемножая просто 89 и 89.

Вы можете выбрать для себя наиболее легкий метод и успешно его применять.

Упражняйтесь в решении подобных примеров в уме, и со временем вы будете делать это легко.