Быстрая математика: секреты устного счета

Глава 9 Вычитание

Большинство людей считают, что вычитать сложнее, чем складывать. Вовсе не обязательно. В настоящей главе мы познакомимся с подходами, которые сделают для вас вычитание пустяковым делом.

Прежде всего рассмотрим, как вычитать числа в уме.

Чтобы вычесть два числа в уме, попробуйте округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.

Чтобы вычесть 9, отнимите 10, а затем прибавьте к ответу 1; чтобы вычесть 8, отнимите 10 и прибавьте 2; чтобы вычесть 7, отнимите 10 и прибавьте 3. Например:

Чтобы вычесть 9 из 56 в уме, самый простой способ сделать это — сначала вычесть 10 (получив в ответе 46), а затем прибавить 1 (47).

Вычитая 8 из 47, отнимите 10 (37) и прибавьте 2 (39).

Чтобы вычесть 38 из 54, отнимаем сначала 40 (что даст нам 14), а затем прибавляем 2, получив окончательный ответ 16.

На бумаге решение выглядело бы так:

54 минус 40 и плюс 2 (в кружке) дает 16.

Чтобы вычесть число, близкое по величине к 100, отнимайте 100 и прибавляйте разницу. Например, вычитая 87 из какого-нибудь числа, отнимаем 100 и прибавляем 13, поскольку 100 — 87 = 13.

Отнимем 100, что даст нам 336. Прибавим 13 (для чего сначала прибавляем 10, а затем еще 3), получив в ответе 349. Все очень просто.

Если вычитаемое (число, которое вычитают) меньше 100, а уменьшаемое (число, из которого вычитают) больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме.

Например:

76 на 24 меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24 к 34 и получим легкий ответ: 58.

Решим другой пример:

Решите несколько примеров самостоятельно:

а) 142 — 88 = __; б) 164 — 75 = __; в) 123 — 70 = __; г) 114 — 80 = __; д) 112 — 85 = __; е) 136 — 57 = __

Просто, не так ли? Если знать, как это делается. Ответы:

а) 54; б) 89; в) 53; г) 34; д) 27; е) 79

Если вы допустили ошибку, прочтите заново описание метода. Затем попробуйте еще раз.

Тот же принцип применим и к числам, которые больше или меньше 10. К примеру:

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 12 — 7 = __; б) 15 — 8 = __; в) 13 — 9 = __; г) 14 — 8 = __

Ответы:

а) 5; б) 7; в) 4; г) 6

Тот же подход справедлив и для вычитания трехзначных чисел:

Мы выполняем лишь одно несложное вычитание, все остальное в решении — это сложение.

Попробуем еще:

Про себя можно проговорить решение так: «Четырнадцать, которых не хватает до трехсот, плюс пятьсот, которых не хватает до восьмисот, дает пятьсот четырнадцать, плюс тридцать четыре — это пятьсот сорок восемь».

Чтобы прибавить 34, сначала приплюсовываем 30, а потом еще 4.

В этом состоит простой метод вычитания в уме. Не надо переносить или забирать разряды, и не представляет труда удерживание в уме сразу нескольких чисел.

Попробуйте решить следующие примеры сами:

а) 541 — 87 = __; б) 263–198 = __; в) 725–375 = __; г) 429–168 = __

Ответы:

а) 454; б) 65; в) 350; г) 261

В последнем примере можно было округлить 429 до 430, а потом отнять добавленную единицу в самом конце вычислений.

Сейчас я расскажу о методе вычитания на бумаге, которому меня научили в третьем классе. Если вы достаточно освоили приемы умножения, описанные выше, данный метод не представит для вас труда.

Легкий способ вычитания используется в каждом из двух методов с переносом разрядов. О них вы непременно узнаете.

Разница между стандартным и легким способами вычитания является незначительной, но важной. Я объясню, как легче вычитать с помощью обоих методов, где используется перенос цифр из одного разряда в другой. Применяйте тот метод, который вам привычнее или кажется более простым.

Вычитание: первый метод

Возьмем типичный пример вычитания: 7254–3897 =

Вычтем 7 из 4. Это сделать невозможно, поэтому забираем 1 из разряда десятков. Вычеркиваем 5 и пишем выше 4. И вот в чем отличие. Вы не говорите «четырнадцать минус семь», а произносите: «Семь вычесть из десяти равно три», а затем прибавляете число, записанное над 7 (4), и получаете 7 — это первая цифра ответа.

Пользуясь таким подходом, вы никогда не вычитаете из числа, большего чем 10. Все остальное представляет собой операцию сложения. 9 вычесть из 4 невозможно, поэтому забираем 1 из разряда сотен. 10 минус 9 дает 1, 1 плюс 4 равно 5 — следующая цифра ответа.

8 вычесть из 1 нельзя, поэтому снова переносим 1 из следующего разряда. 10 минус 8 равно 2; 2 плюс 1 равно 3 — следующая цифра ответа.

6 минус 3 дает 3 — последняя цифра ответа.

Вычитание: второй метод

Вычитаем 7 из 4. Этого сделать нельзя, поэтому переносим 1 из разряда десятков. Ставим 1 перед 4, чтобы получилось 14, а также записываем маленькую 1 перед 9 в колонке десятков. Вы не говорите «семь вычесть из четырнадцати», а произносите: «Семь вычесть из десяти дает три», плюс 4 сверху — получается 7 — это первая цифра ответа.

10 (9 плюс перенесенная 1) вычесть из 5 не удается, поэтому забираем 1 из следующего разряда, как и раньше.

10 при вычитании из 15 дает 5, или 10 минус 10 получается 0, прибавляем 5, равно 5.

9 из 2 не вычитается, поэтому опять переносим 1. 9 из 10 дает 1, прибавляем 2 и получаем 3.

7 минус 4 равно 3. Ответ готов.

Вам не надо запоминать комбинации однозначных чисел, которые дают в сумме числа, превышающие 10. Используя способ простого вычитания, вы никогда не отнимаете от чисел, больших 10. Это упрощает вычисления и снижает вероятность ошибки.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

Данный подход очень важен. Если вы вполне овладели умножением с помощью простых подходов, с которыми я познакомил вас ранее, то должны были усвоить комбинации чисел, дающих в сумме 10. Существует всего пять таких комбинаций.

С другой стороны, если бы вам пришлось выучить все комбинации однозначных чисел, которые дают в сумме число больше 10, то их уже 20. Используя же рассматриваемый подход, эти комбинации вообще не придется запоминать. Чтобы вычесть 8 из 15, отнимаем 8 от 10 (получаем 2), а затем прибавляем 5 и получаем ответ: 7.

а)

7325

- 4568

¯¯¯¯¯

б)

5417

- 3179

¯¯¯¯¯

Ответы:

а) 2757; б) 2238

Мой преподаватель в третьем классе учил меня никогда не вычитать из числа больше 10. Вероятность того, что вы допустите ошибку, вычитая из числа больше 10 и меньше 20, гораздо выше, нежели при вычитании из 10. Пользуясь таблицей умножения и правилами умножения из первых глав этой книги, вы почти никогда не допустите ошибок, вычитая из 10: ответы у вас будут получаться почти автоматически.

Правило такое:

Например:

1000

- 574

¯¯¯¯¯

Можно начинать либо с левой стороны, либо с правой.

Попробуем сначала справа. Вычитаем цифру, соответствующую разряду единиц, из 10.

10 — 4 = 6

Это последняя цифра ответа. Теперь вычтем остальные цифры из 9. А из первой цифры уменьшаемого (1000) вычтем 1.

10 минус 4 дает 6, 9 минус 7 дает 2, 9 минус 5 дает 4, 1 минус 1 дает 0. Таким образом, ответ равен 426.

Теперь попробуем слева направо: 1 минус 1 дает 0, 9 минус 5 равно 4, 9 минус 7 равно 2, 10 минус 4 равно 6. Ответ: 426.

Если нужно вычислить 40000 минус 2748, последовательность ваших действий должна быть такой:

40000

- 2742

¯¯¯¯¯

Вычитаем 1 из крайней левой цифры (4) и получаем 3 — это первая цифра ответа. 9 минус 2 дает 7, 9 минус 7 дает 2, 9 минус 4 дает 5 и 10 минус 8 дает 2.

Таким образом, ответ равен 37252.

Используя этот способ, нам нужно лишь вычитать из чисел, не превышающих 10, а также выполнять сложение, когда это нужно.

Сам подход точно такой же, как и прежде. Единственная разница состоит в том, что вы произносите про себя свои действия.

Решите самостоятельно:

а)

10000

- 3456

¯¯¯¯¯

б)

50000

- 27214

¯¯¯¯¯

Ответы:

а) 6544; б) 22786

Если вычитаемое число имеет меньше разрядов, чем уменьшаемое, тогда прибавьте нули перед числом (по крайней мере, мысленно), перед тем как вычислять.

Например:

Вычитаемое (число, которое вычитают) следует дополнить слева нулями до первой цифры уменьшаемого (число, из которого вычитают), отличающегося от нуля. Из этой цифры вы отнимаете 1. 3 минус 1 дает 2.

Отнимите каждую последующую цифру от 9, пока не дойдете до последней цифры, которую следует вычитать из 10.

Согласно методу, которому обучают в школе, вы выполняете точно такое же вычисление, однако вам необходимо все время помнить о цифрах, переносимых из разряда в разряд. Преимущество метода, который предлагаю я, состоит в том, что вычисления с его помощью становятся механическими и выполняются с меньшей вероятностью ошибки.

Для операции вычитания метод, используемый нами для проверки ответов, похож на тот, который мы применяли в отношении примеров на сложение. Но есть небольшое отличие.

Рассмотрим пример:

8465

- 2897

¯¯¯¯¯

5568

Верен ли полученный ответ?

Давайте выбросим девятки и посмотрим.

5 минус 8 равно 6? Может ли такое быть? Хотя в исходном примере мы вычитаем меньшее число из большего, в случае с подстановками вычитаемое больше, чем уменьшаемое.

Есть два пути. Один из них состоит в том, чтобы прибавить 9 к числу, из которого мы вычитаем.

5 плюс 9 дает 14. Задача выглядит так:

14 — 8 = 6

Имеет место равенство с контрольным числом, значит, наши вычисления верны.

А вот путь, который предпочитаю я. Решим ту же задачу в обратном направлении. Скорее всего, именно так вас учили проверять ответ в примерах на вычитание. Прибавьте ответ к числу, которое вычитали, и если получили уменьшаемое (контрольное число), значит, ответ правильный.

Проделаем то же самое с числами-подстановками. Сложим их в направлении снизу вверх:

6 + 8 = 5

6 + 8 = 14 и 1 + 4 = 5

Ответ верный.

Теперь проверьте правильность решения нижеприведенных примеров посредством выбрасывания девяток. Если обнаружите ошибку, исправьте ее и еще раз проверьте ответ.

Все примеры были решены правильно, за исключением

в). Исправили ли вы этот ответ и проверили ли снова полученный ответ путем выбрасывания девяток? Правильный ответ — 7047.

а)

5672

- 2596

¯¯¯¯¯

3076

б)

5967

- 3758

¯¯¯¯¯

2209

в)

8542

- 1495

¯¯¯¯¯

7147

г)

3694

- 1236

¯¯¯¯¯

2458

Данный метод позволяет выявить большинство ошибок в примерах на сложение и вычитание. Используйте его и сделайте неотъемлемой частью своих вычислений. Займет он совсем немного времени, но поможет вам заслужить репутацию человека, исключительно точного в операциях с числами.