Быстрая математика: секреты устного счета

Глава 6 Произведение десятичных дробей

Числа состоят из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Цифры подобны буквам, из которых мы составляем слова. 23 — это двузначное число, состоящее из цифр 2 и 3. Положение цифры в числе определяет разряд, соответствующий этой цифре. Например, цифра 2 в числе 23 соответствует разряду десятков и обозначает 2 десятка, а цифра 3 — разряду единиц и обозначает 3 единицы. 435 — это трехзначное число. Цифра 4 соответствует разряду сотен и обозначает 4 сотни, или 400. Цифра 3 соответствует числу десятков и обозначает 3 десятка, или 30. Цифра 5 соответствует числу единиц и обозначает 5 единиц, или просто 5. Когда мы записываем число, порядок, в котором в нем расположены цифры, имеет немаловажное значение.

Когда мы записываем цену, или число, соответствующее количеству денег, мы используем десятичную запятую, чтобы отделить доллары от центов. Например, 1,25 доллара обозначает 1 доллар и 25 сотых доллара (25 центов). Первая цифра после запятой обозначает десятые доллара (10 монет по 10 центов составляют 1 доллар). Вторая цифра после запятой обозначает сотые доллара (100 центов составляют 1 доллар).

Перемножение десятичных дробей[2] не более сложная операция, чем перемножение любых других чисел. Рассмотрим на примерах.

Например:

1,3 х 1,4 =

(1,3 — одна целая и три десятых; 1,4 — одна целая и четыре десятых.)

Записываем пример как есть, однако не обращаем внимания на запятые:

Хотя мы и записали 1,3 х 1,4, пример будем решать так, будто он выглядит следующим образом:

13 х 14 =

Забудьте про запятую и скажите про себя: «Тринадцать плюс четыре равно семнадцать, умножим на десять, сто семьдесят. Четырежды три — двенадцать. плюс сто семьдесят. сто восемьдесят два».

Решение примера выглядит так:

Однако нашим искомым произведением являлось 1,3 х 1,4, а мы пока вычислили только 13 х 14. Пример решен не до конца. Нам необходимо выяснить, где расположить десятичную запятую в полученном ответе. Чтобы это сделать, посмотрим на множители и отсчитаем количество цифр после запятой. Имеются две цифры после запятой: 3 в числе 1,3 и 4 в числе 1,4. Поскольку имеем в сумме две цифры после запятой в множителях, в ответе также должно быть две цифры после запятой. Отсчитываем две цифры с конца и ставим запятую между цифрами 1 и 8.

1,82 ОТВЕТ

Простым способом проверки полученного ответа является оценка приближением. Это означает, что вместо того, чтобы использовать исходные числа (1,3 и 1,4), мы округлим их до 1 и 1,5 соответственно. Произведение 1 х 1,5 дает 1,5. Таким образом, искомый ответ должен находиться где-то между 1 и 2, а не, скажем, 20 или 200. Это дает нам понять, что мы правильно определили место десятичной запятой.

Попробуем решить такой пример:

9,6 х 97 =

Запишем задачу так, как она поставлена, однако будем считать, что речь идет о числах 96 и 97.

Где нам поставить десятичную запятую? Сколько всего цифр после запятой имеется в множителях примера? Одна. Столько же цифр после запятой должно быть и в ответе.

931,2 ОТВЕТ

Для того чтобы определить, где поставить десятичную запятую, мы должны подсчитать общее количество цифр после запятой у обоих чисел, которые мы перемножаем. Не забудьте проследить, чтобы такое же число цифр после запятой было и в ответе. Можно дополнительно проверить ответ, умножив 10 (округленное значение числа 9,6 в сторону увеличения) на 90 (округленное значение числа 97 в сторону уменьшения), что дает 900. Теперь мы знаем, что ответ должен быть где-то в районе числа 900, а не 9000 или 90.

Если бы требовалось перемножить 9,6 и 9,7, мы получили бы в ответе 93,12. Данный факт может помочь нам найти пути еще большего упрощения вычислений, которые иначе были бы не так очевидны. Мы скоро рассмотрим эти возможности. А сейчас попробуйте решить самостоятельно следующие примеры:

а) 1,3 х 1,3 = __; б) 1,4 х 1,4 = __; в) 14 х 0,14 = __; г) 96 х 0,97 = __; д) 0,96 х 9,6 = __; е) 13 х 1,5 = __

Ответы:

а) 1,69; б)1,96; в) 1,96; г) 93,12; д) 9,216; е) 19,5

Предположим, что вам надо было бы решить следующий пример:

0,13 х 0,14 =

Вспомним, что:

13 х 14 = 182

Где нам поставить запятую? Сколько всего цифр после запятой у обоих множителей? Четыре: цифры 1 и 3 в первом множителе и цифры 1 и 4 во втором. Стало быть, необходимо отсчитать четыре цифры в ответе, начиная с конца. Нам придется добавить одну цифру, поскольку у нас получился трехзначный ответ (182). Поэтому отсчитываем три цифры и добавляем 0.

Наш ответ теперь выглядит следующим образом:

0,0182 ОТВЕТ

Нам также необходимо поставить 0 и перед запятой, поскольку перед ней всегда должна стоять хотя бы одна цифра. В нашем случае мы добавляем 0 в качестве четвертой цифры после запятой, а также ставим 0 перед запятой.

Рассмотрим еще один пример, чтобы закрепить усвоенное:

0,014 х 1,4 =

14 х 14 = 196

Где должна стоять запятая? У множителей в сумме четыре цифры после запятой, а именно: 0, 1 и 4 — у первого множителя и 4 — у второго. Поэтому и в ответе после запятой должны стоять четыре цифры. Поскольку цифр в ответе всего три, мы добавляем 0 в качестве четвертой цифры после запятой.

Ответ таков:

0,0196 ОТВЕТ

Решите следующие примеры самостоятельно:

а) 23 х 2,4 = __; б) 0,48 х 4,8 = __; в) 0,048 х 0,48 = __; г) 0,0023 х 0,23 = __

Легко, не так ли?

А вот ответы для контроля:

а) 55,2; б) 2,304; в) 0,02304; г) 0,000529

Знание этого простого принципа поможет нам решить некоторые задачи, которые могут показаться трудными, если применить к ним изученный нами метод. После некоторой модификации условия задачи можно значительно упростить решение. Рассмотрим пример:

8 х 68 =

Какое опорное число нам использовать в данном случае? Можно было бы взять 10 в качестве опорного для множителя 8, но для 68 лучше взять 100, поскольку эти числа ближе друг к другу. Может быть, попробовать 50? Однако наш метод работает лучше, когда числа расположены недалеко друг от друга. В таком случае как нам решать задачу? А почему не написать 8,0 вместо 8?

Между 8 и 8,0 нет никакой разницы. Первое число (8) означает, что мы имеем 8 единиц, а второе (8,0) — что у нас есть 8 единиц с точностью до одного десятичного знака. Однако этот знак, будучи нулевым, ничего ни прибавляет, ни убавляет от целой части (8).

Итак, мы получили:

Теперь задача решается легко. Вычитаем накрест:

68 – 20 = 48

Умножаем 48 на опорное число 100 и получаем 4800. Перемножим числа в кружках.

20 х 32 = 640

(Чтобы умножить на 20, умножаем сначала на 2, а затем на 10, поскольку 2 х 10 = 20.)

4800 + 640 = 5440

Таким образом:

Теперь необходимо правильно расположить десятичную запятую. Сколько цифр после запятой в множителях в условии задачи? Одна, тот нуль, что мы прибавили сами. Таким образом, мы отсчитываем одну цифру справа в ответе.

544,0 ОТВЕТ

Подобное число мы обычно записываем без нуля после запятой, то есть 544.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 9 х 83 = __; б) 9 х 67 = __; в) 9 х 77 = __; г) 8 х 86 = __; д) 7 х 89 = __

Вот ответы для контроля:

а) 747; б) 603; в) 693; г) 688; д) 623

Решение примеров не составило труда, не так ли?

Применив немного воображения, вы сможете использовать данные подходы для решения любой задачи на умножение.