Быстрая математика: секреты устного счета

Глава 7 Умножение с помощью двух опорных чисел

Наш метод умножения прекрасно работал для чисел, которые не очень сильно разнятся между собой по величине. В противном случае метод также работает, но вычисления будут более громоздкими. Например, что, если бы мы захотели вычислить, сколько будет 13 х 64? Какое опорное число нам выбрать? В настоящей главе мы рассмотрим простой метод, позволяющий следовать прежней стратегии, но с использованием двух опорных чисел.

Можно перемножить два числа, которые сильно разнятся между собой по величине, с помощью двух опорных чисел. Давайте сначала рассмотрим суть вопроса, а затем я покажу, как работает метод. Возьмем произведение 8 х 27 в качестве примера. 8 ближе к 10, поэтому используем 10 в качестве первого опорного числа. 27 ближе к 30, поэтому

30 будет нашим вторым опорным числом. Из данных чисел выберем то, на которое легче всего умножать. Поскольку очень легко умножать на 10, выберем его. Оно будет нашим основным опорным числом. Второе опорное число должно быть кратным основному. Число, которое мы выбрали, является кратным основному, превышая его в три раза (30: 10 = 3). Вместо того чтобы рисовать кружок, я записываю два опорных числа в скобках слева от условия примера.

Основным опорным числом является 10. Второе опорное число — это 30, или 3 х 10. Мы записываем опорные числа в скобках в виде второго числа, выраженного через первое, то есть:

(10 х 3) 8 х 27 =

Оба множителя в примере меньше своих опорных чисел, поэтому рисуем кружки под множителями. Под цифрой 8, опорным числом которой является 10, нарисуем еще один кружок.

На сколько 8 и 27 меньше своих опорных чисел (не забывайте, что 3 представляет 30)? На 2 и 3. Вписываем 2 и 3 в кружки.

Теперь умножим 2, расположенное под множителем 8, на множитель 3 в скобках.

2 х 3 = 6

Впишем 6 в самый нижний кружок, под 2. Теперь вычтем число в самом нижнем кружке накрест из 27:

27 — 6 = 21

Умножим 21 на основное опорное число 10:

21 х 10 = 210

210 является нашим промежуточным ответом. Чтобы получить остальную его часть, перемножим числа в верхних кружках (2 и 3), что даст нам 6. Прибавим 6 к 210 и получим окончательный ответ: 216.

Решим другой пример:

9 х 48 =

Какие опорные числа нам следует выбрать? 10 и 50. Запишем пример по-новому:

(10 х 5) 9 х 48 =

Оба множителя меньше своих опорных чисел, поэтому располагаем кружки внизу. На сколько они меньше своих опорных чисел? На 1 и 2. Вписываем 1 и 2 в кружки:

Теперь умножим 1 под 9 на множитель 5, который в скобках.

1 х 5 = 5

Записываем 5 в самый нижний кружок, под 1. Решение нашего примера теперь выглядит следующим образом:

Вычтем 5 из 48:

48 — 5 = 43

Запишем 43 после знака равенства. Умножим 43 на опорное число 10 (для этого просто припишем 0 справа к 43), что и даст ответ.

43 х 10 = 430

В качестве последнего шага перемножим числа в двух верхних кружках:

1 x 2 = 2

Прибавим 2 к промежуточному ответу 430:

430 + 2 = 432

Полностью решенный пример теперь выглядит так:

Просто, не так ли? Единственная трудность, с которой вы можете столкнуться, состоит в том, чтобы вспомнить, каким должен быть следующий шаг.

Если множители больше опорных чисел, тогда мы поступаем следующим образом. Возьмем в качестве примера произведение 13 х 42:

Основным опорным числом является 10. Вторым мы взяли 40, или 10 х 4. Стараемся подобрать опорные числа так, чтобы они были либо меньше, либо больше перемножаемых чисел. Оба множителя в рассматриваемом примере больше соответствующих опорных чисел, поэтому мы нарисовали кружки сверху. Множителю 13 соответствует основное опорное число 10, поэтому мы рисуем над этим множителем два кружка. На сколько больше своих опорных чисел 13 и 42? На 3 и 2. Вписываем 3 и 2 в нижние кружки. Умножаем 3 в кружке над множителем 13 на 4 в скобках.

3 х 4 = 12

Записываем 12 в верхний кружок над 13. Теперь складываем накрест.

42 + 12 = 54

Произведение 54 на опорное число 10 дает 540. Это наш промежуточный ответ. Теперь перемножим числа в нижних кружках.

3 х 2 = 6

Прибавим 6 к 540, чтобы получить окончательный ответ: 546. Так выглядит полностью решенный пример:

Основным опорным числом необязательно должно быть 10. Чтобы найти произведение 23 х 87, разумнее использовать 20 в качестве основного опорного числа, а 80 (20 х 4) — в качестве второго опорного.

Давайте закрепим усвоенное на примере:

(20 х 4) 23 х 87 =

Оба множителя в примере больше, чем их опорные числа (20 и 80), поэтому рисуем кружки вверху. На сколько больше? На 3 и 7. Вписываем 3 и 7 в соответствующие кружки.

Умножаем 3, которое над множителем 23, на 4 в скобках.

3 х 4 = 12

Вписываем 12 в верхний кружок, над 3. Проделанная вами работа теперь выглядит так:

Теперь сложим 12 и 87.

87 + 12 = 99

Умножаем 99 на основное опорное число 20:

99 х 20 = 1980

(Умножаем 99 сначала на 2, а полученный результат — на 10. 99 — это 100 минус 1. 2 умножить на 100 минус 1 дает 200 минус 2, а это равно 198. Теперь умножим 198 на 10 и получим ответ для произведения 99 х 20.)

Теперь перемножим числа в нижних кружках.

3 х 7 = 21

1980 + 21 = 2001

Окончательное решение примера выглядит так:

Предлагаю три примера для самостоятельного решения:

а) 14 х 61 = __; б) 96 х 389 = __; в) 8 х 136 = __

Чтобы вычислить произведение 8 х 136, используйте числа 10 и 140 (10 х 14) в качестве опорных.

Ответы:

а) 854; б) 37344;в) 1088

Давайте решим примеры б) и в) вместе:

б) 96 х 389 =

Будем использовать 100 и 400 в качестве опорных чисел:

Умножаем 4 в кружке под множителем 96 на 4 в скобках:

4 х 4 = 16

Вписываем 16 в нижний кружок, под 4. Решение пока выглядит следующим образом:

Вычтем 16 из 389 и получим 373. Далее умножим 373 на основное опорное число 100, это даст нам 37300.

Теперь перемножим 4 и 11 в кружках, в результате чего получим 44. Сумма 44 и 37300 дает 37344.

Полностью решенный пример выглядит так:

Теперь попробуем решить пример в):

8 х 136 =

Возьмем 10 и 140 (10 х 14) в качестве опорных чисел:

Умножим 2 под множителем 8 на число 14, которое в скобках:

2 х 14 = 28

Записываем 28 в нижний кружок, под 2. Теперь вычтем 28 из 136 (сначала отнимаем 30, а затем еще 2) и получаем 108. Умножаем теперь 108 на основное опорное число 10, получая в ответе 1080. Проделанная до сих пор работа выглядит следующим образом:

Теперь перемножим числа 2 и 4 в кружках.

2 х 4 = 8

Прибавим 8 к 1080 и получим окончательный ответ: 1088.

Чтобы умножить 96 на 47, мы могли бы использовать в качестве опорных числа 50 или 100: 50 х 2 или 100: 2. В данном случае 100: 2 было бы лучше, поскольку 100 тогда станет основным опорным числом. На 100 умножать легче, чем на 50. Обратите внимание, что, записывая пример для решения, лучше указывать первым тот множитель, который относится к основному опорному числу.

Итак, приступим к решению:

96 х 47 =

Возьмем 100 и 50 в качестве опорных чисел:

Разделим число 4, находящееся в кружке под множителем 96, на делитель 2 в скобках:

4: 2 = 2

Полученный ответ 2 запишем в еще один кружок под 96.

Теперь вычтем 2 из 47 и умножим ответ (45) на основное опорное число (100). В результате получаем 4500:

Далее умножим первые две цифры в кружках (—4 х — 3 = 12) и прибавим полученный результат к 4500. В итоге получаем 4512:

Если бы вы перемножали 96 и 23, можно было бы использовать 100 в качестве основного опорного числа, а 25 (100: 4) — в качестве второго опорного. Это выглядело бы так:

96 на 4 меньше 100, а 23 на 2 меньше 25. Теперь разделим 4 под 96 на 4 в скобках. 4, деленное на 4, дает 1. Впишем это число в еще один кружок под 96:

Вычтем 1 из 23, получив в ответе 22. Умножим 22 на основное опорное число 100 и получим 2200.

Перемножим числа в двух верхних кружках.

4 х 2 = 8

Прибавим 8 к 2200 и получим окончательный ответ: 2208.

А если бы нам надо было перемножить 97 и 23? Применима ли наша стратегия в данном случае? Давайте попробуем:

3, деленное на 4, — это ³/₄. Вычтем ³/₄ из 23 (надо отнять 1 и прибавить ¹/₄):

23 — ³/₄ = 22¹/₄

Одна четверть в виде десятичной дроби записывается как 0,25 (¹/₄ от 100 равна 25). Таким образом:

22¹/₄ х 100 = 2225

Перемножим числа в кружках.

Таким образом, наш метод работает одинаково хорошо и в таких случаях.

А как насчет 88 х 343? Можно использовать в качестве опорных чисел 100 и 350.

Чтобы найти произведение 3¹/₂ х 12, умножьте 12 на 3, а затем прибавьте к ответу половину от 12, то есть 6. У вас получится 42.

343 — 42 = 301

301 х 100 (основное опорное число) = 30100

12 х 7 = 84

30100 + 84 = 30184

Подробное объяснение я давать не буду, а попробую показать на примере. Рассмотрим произведение 8 х 17.

Мы могли бы удвоить 8, чтобы получить 16, затем умножить 16 на 17 и взять половину ответа, который и будет правильным для исходной задачи. Это довольно длинный путь, однако он показывает, почему метод с использованием двух опорных чисел работает. Будем использовать 20 в качестве опорного числа.

Вычтем 4 из 17 и получим 13. Умножив 13 на опорное число 20, получим в ответе 260. Теперь перемножим числа в кружках:

4 х 3 = 12

Прибавив 12 к промежуточному ответу 260, получим окончательный результат: 272. Но мы ведь умножали на 16 вместо 8, поэтому на самом деле удвоили ответ. 272, деленное на 2, дает нам ответ для примера 8 х 17, а именно 136.

Половина от 272 равна 136. Таким образом:

8 х 17 = 136

Итак, мы удвоили множитель в самом начале, а затем уменьшили ответ вдвое в самом конце. Эти две операции взаимно гасят друг друга. При этом можно избавиться от значительной части вычислений. Посмотрим, как в данном случае работает метод двух опорных чисел:

Обратите внимание, что мы вычитаем 4 из 17 во втором способе решения; то же самое мы сделали, когда решали по первому способу. В результате мы получили 13, которое затем умножили на 10. Решая первым способом, мы удвоили 13 перед тем, как умножать его на 10, а затем уменьшили в два раза ответ в конце. Решая вторым способом, мы перемножили числа в кружках (2 и 3), что дало в ответе 6, то есть половину от 12, полученного при решении первым способом.

Можно использовать любую комбинацию опорных чисел. Общие правила таковы:

• Прежде всего на роль опорных чисел надо подбирать те, на которые легко умножать, то есть 10, 20, 50 и т. д.

• Второе опорное число должно являться кратным основному, то есть превышать его вдвое, втрое, вчетверо и т. д.

Поэкспериментируйте с предложенными способами решений самостоятельно. Всегда имеется возможность как-то упростить математические вычисления. И всякий раз, используя данные методы, вы совершенствуете свои математические навыки.