Быстрая математика: секреты устного счета

Глава 5 Умножение: часть вторая

В главе 1 мы узнали, как перемножать числа, используя простой метод, превращающий эту операцию в незатейливое занятие. Он легок в применении, когда множители являются числами, расположенными недалеко от 10 или 100. А как насчет перемножения чисел, находящихся вблизи 30 или 60? Можно ли и для них использовать изученный метод? Безусловно.

Мы выбирали числа 10 и 100 в качестве опорных, поскольку на них легко умножать. Метод будет прекрасно работать и с другими опорными числами, однако надо стараться выбирать те из них, на которые легко умножать.

Легко умножать на 20, поскольку 20 равно 2 х 10, на которые умножать очень легко. Речь идет об умножении по множителям, а 10 и 2 являются множителями числа 20.

10 х 2 = 20

Рассмотрим пример:

23 х 24 =

23 и 24 больше, чем опорное число 20, поэтому рисуем кружки над множителями. Больше, но на сколько? На 3 и 4 соответственно. Вписываем эти числа в соответствующие кружки, которые мы нарисовали вверху, потому что речь идет о положительных числах (23 = 20 + 3, 24 = 20 + 4).

Складываем накрест, как раньше:

23 + 4 = 27 или 24 + 3 = 27

Теперь умножим полученный ответ на опорное число 20. Для этого умножим сначала на 2, а потом на 10:

27 х 2 = 54

54 х 10 = 540

(Позднее в этой же главе мы рассмотрим простой способ умножения 27 на 2.) В остальном все то же самое. Перемножаем числа в кружках и прибавляем к промежуточному результату 540.

3 х 4 = 12

540 + 12 = 552

Полностью решенный пример выглядит так:

Применим то, чему мы научились в главе 4, чтобы проверить, верный ли получили ответ:

Числами-подстановками для 23 и 24 будут 5 и 6 соответственно.

5 х 6 = 30

3 + 0 = 3

3 — это наше контрольное число.

Цифры исходного ответа (552) дают в сумме 3:

5 + 5 + 2 = 12

1 + 2 = 3

Полученное число равно контрольному, значит, ответ мы получили верный.

Попробуем решить еще один пример:

23 х 31 =

Пишем 3 и 11 в кружках над 23 и 31, поскольку наши множители больше опорного числа 20 на 3 и 11 соответственно.

Складывая накрест, получаем 34:

31 + 3 = 34 или 23 + 11 = 34

Умножаем полученный ответ на опорное число 20. Для этого сначала умножим 34 на 2, а то, что получится, — на 10.

34 х 2 = 68

68 х 10 = 680

Это наш промежуточный ответ. Теперь перемножаем числа в кружках:

3 х 11 = 33

Прибавим 33 к 680:

680 + 33 = 713

Полностью решенный пример выглядит следующим образом:

Проверку ответа осуществляем с помощью выбрасывания девяток.

Перемножим числа-подстановки, а затем суммируем цифры ответа:

Это совпадает с нашим контрольным числом, поэтому 713 можно считать верным ответом.

Вот несколько примеров, которые предлагаются вам для самостоятельного решения. Когда закончите, проверьте полученные вами ответы выбрасыванием девяток.

а) 21 х 26 = ___; б) 24 х 24 = ___; в) 23 х 23 = ___; г) 23 х 27 = ___; д) 21 х 36 = ___; е) 26 х 24 = ___

Вы должны уметь решать эти примеры в уме. Это нетрудно, если немного попрактиковаться.

А как насчет перемножения чисел, которые меньше 20? Если они (или хотя бы одно из них) больше 15, но меньше 20, можно использовать 20 в качестве опорного числа. Решим пример:

Взяв 20 в качестве опорного числа, получим:

Вычитаем накрест:

16 — 1 = 15 или 19 — 4 = 15

Умножаем на 20:

15 х 2 = 30

30 х 10 = 300

300 является нашим промежуточным ответом.

Теперь перемножим числа в кружках и прибавим результат к промежуточному ответу:

1 х 4 = 4

300 + 4 = 304

Полностью решенный пример выглядит так:

Попробуем решить тот же пример, взяв на этот раз 10 в качестве опорного числа:

Сложим накрест, а затем умножим результат на 10, получив промежуточный ответ:

19 + 6 = 25

10 х 25 = 250

Перемножим числа в кружках и прибавим результат к промежуточному ответу:

9 х 6 = 54

250 + 54 = 304

Полностью решенный пример выглядит следующим образом:

Это подтверждает ранее полученный результат.

Большой разницы между двумя использованными опорными числами нет. Это вопрос личных предпочтений. Просто выбирайте то опорное число, с которым вам легче работать.

Третий случай — это когда одно число больше, а другое меньше 20. Например:

Можно либо сложить 18 и 12, либо вычесть 2 из 32, а затем умножить результат на опорное число:

32 — 2 = 30

30 х 20 = 600

Теперь перемножаем числа в кружках:

2 х 12 = 24

На самом деле мы перемножаем минус 2 и 12, поэтому ответом будет —24.

600 — 24 = 576

Решение примера выглядит следующим образом:

(Чтобы отнять 24, вычитаем сначала 30, а затем прибавляем 6.)

Проверим ответ путем выбрасывания девяток:

Произведение 0 х 5 равно 0, поэтому ответ верен.

В предыдущем разделе речь шла о способе перемножения пар чисел вплоть до 30 х 30. Как быть, если надо перемножить числа еще большей величины? В этом случае в качестве опорного числа можно использовать 50. Умножать на него легко, поскольку 50 — это половина 100, или 100, деленное на 2. Поэтому, чтобы умножить на 50, можно умножить число сначала на 100, а затем разделить результат на 2.

Давайте попробуем на примере:

Вычитаем накрест:

46 — 2 = 44 или 48 — 4 = 44

Умножим 44 на 100:

44 х 100 = 4400

Про себя проговариваем при этом так: «44 на 100 равно 4400». Теперь берем половину, что равносильно умножению 44 на 50, и получаем 2200.

4400: 2 = 2200

Теперь перемножим числа в кружках и прибавим результат к 2200:

Что может быть проще? Разберем еще один пример:

Складываем накрест, затем умножаем результат на опорное число (умножаем при этом на 100, а затем делим на 2):

57 + 3 = 60

60 х 100 = 6000

6000: 2 = 3000

Перемножаем числа в кружках и прибавляем результат к 3000:

3 х 7 = 21

3000 + 21 = 3021

Полностью решенный пример теперь выглядит так:

Решим следующий пример:

Складываем накрест и умножаем результат на опорное число (умножаем сначала на 100, а затем делим результат на 2):

63 + 2 = 65

65 х 100 = 6500

Теперь надо разделить на 2.

Никаких проблем! Говорим про себя: «Половина от шести тысяч — это три тысячи. Половина от пятисот — это двести пятьдесят. Всего получается три тысячи двести пятьдесят».

Теперь перемножим числа в кружках:

2 х 13 = 26

Прибавив 26 к промежуточному результату 3250, получаем 3276. Полностью решенный пример теперь выглядит так:

Проверим правильность ответа выбрасыванием девяток:

6 плюс 3 в множителе 63 равно 9, которое вычеркивается, оставляя после себя 0.

В ответе 3 + 6 = 9 и 2 + 7 = 9, то есть вычеркиваются все цифры. 7, умноженное на 0, дает 0, так что ответ верен.

Предлагаю ряд примеров для самостоятельного решения. Попробуйте решить в уме столько примеров, сколько сможете.

а) 46 х 42 = ___; б) 47 х 49 = ___; в) 46 х 47 = ___; г) 44 х 44 = ___; д) 51 х 55 = ___; е) 54 х 56 = ___; ж) 51 х 68 = ___; з) 51 х 72 = ___

Ответы:

а) 1932; б) 2303; в) 2162; г) 1936; д) 2805; е) 3024; ж) 3468; з) 3672

Как вы справились с заданием? Если вы достаточно упражнялись до этого, то у вас не должно было возникнуть проблем с их решением в уме. Проверьте полученные ответы путем выбрасывания девяток.

Чтобы использовать 20 и 50 в качестве опорных чисел, необходимо уметь без проблем удваивать числа и делить их пополам.

Иногда, когда нам, например, приходится делить пополам двузначное число, у которого число десятков является нечетным, ответ не напрашивается сам собой. К примеру:

78: 2 =

Чтобы разделить пополам 78, вы могли бы 70 разделить на 2, потом 8, а затем сложить полученные результаты. Но есть способ еще проще.

78 = 80 — 2. Половина от 80 — 2 равняется 40 — 1. Это и есть ответ:

40 — 1 = 39

Чтобы удвоить 38, мысленно представьте это число в виде 40 — 2. Удвоенная величина будет 80 — 4, то есть 76.

Попробуйте сами решить следующие примеры:

а) 38 х 2 = ___; б) 29 х 2 = ___; в) 59 х 2 = ___; г) 68 х 2 = ___; д) 39 х 2 = ___; е) 47 х 2 =

Ответы:

а) 76; б) 58; в) 118; г) 136; д) 78; е) 94

А теперь решите такие примеры:

а) 38: 2 = ___; б) 56: 2 = ___; в) 78: 2 = ___; г) 94: 2 = ___; д) 34: 2 = ___; е) 58: 2 = ___; ж) 18: 2 = ___; з) 76: 2 = ___

Ответы:

а) 19; б) 28; в) 39; г) 47; д) 17; е) 29; ж) 9 з) 38

Этот же подход может быть использован для умножения и деления довольно больших чисел на 3 и 4. К примеру:

19 х 3 = (20 — 1) х 3 = 60 — 3 = 57

38 х 4 = (40 — 2) х 4 = 160 — 8 = 152

Если перемножаемые числа близки либо к 200, либо к 500, вычисления не представляют особого труда, поскольку и 200, и 500 легко использовать в качестве опорных чисел.

Как, например, нам найти произведение 216 х 216? Если использовать 200 в качестве опорного, пример решается легко, в том числе и в уме:

Вычисляем 16 х 16, взяв 10 в качестве опорного числа.

А как насчет 512 х 512?

512 х 500 равно произведению 524 х 1000, деленному на 2.

524 х 1000 = 524000, или 524 тысячи.

Половина от 524 тысяч равняется 262 тысячам.

Для деления 524 тысяч пополам можно разбить его на 500 тысяч и 24 тысячи. Половину обоих чисел легко вычислить в уме. Половина от 500 тысяч равна 250 тысячам. Половина от 24 тысяч равна 12 тысячам. 250 тысяч плюс 12 тысяч дает 262 тысячи.

Теперь перемножим числа в кружках:

12 х 12 = 144

262000 + 144 = 262144 ОТВЕТ

Попробуем найти произведение 6 х 4:

Мы используем в качестве опорного число 10. Кружки рисуем ниже множителей, потому что и 6, и 4 меньше 10. Вычитаем накрест:

6 – 6 = 0 или 4 – 4 = 0

Теперь перемножим числа в кружках:

4 х 6 =

Мы вернулись к исходной задаче (6 х 4). Метод как будто бы ничем нам не помог. Можно ли заставить его работать и для таких случаев? Можно, но для этого необходимо использовать другое опорное число. Попробуем взять в качестве такового число 5. 5 — это 10, деленное на 2, или половина 10. Умножение на 5 проще всего производить путем умножения на 10 и деления результата на 2.

6 больше 5, поэтому для него рисуем кружок выше. 4 меньше 5, поэтому для него кружок рисуется ниже. 6 больше 5 на 1, как и 4 меньше 5 на 1, поэтому вписываем 1 в каждый из кружков.

Накрест складываем 4 и 1 или вычитаем 1 из 6:

6 – 1 = 5 или 4 + 1 = 5

Умножаем 5 на опорное число, которое тоже равно 5.

Для этого умножаем сначала на 10, что дает нам 50, а затем делим результат на 2, получая 25. Теперь перемножаем числа в кружках:

1 х -1 = -1

Поскольку результат является отрицательным числом, мы вычитаем его из промежуточного ответа, а не прибавляем к нему:

25 — 1 = 24

Таким образом:

Это очень длинный и громоздкий способ перемножения небольших чисел, но он показывает, что данный метод можно заставить работать во всех случаях, проявив немного изобретательности. Более того, подобные подходы помогают развить способность к латеральному мышлению, которое очень важно для математика и вообще для любого человека, если он желает добиться в жизни успеха.

Разберем еще один пример, даже если вы хорошо знаете таблицу умножения:

Вычитаем накрест:

4 – 1 = 3

Умножим результат на опорное число:

3 х 10 = 30

30: 2 = 15

Теперь перемножим числа в кружках:

1 х 1 = 1

Прибавим этот результат к промежуточному ответу:

15 + 1 = 16

Таким образом:

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 3 х 4 = __; б) 3 х 3 = __; в) 6 х 6 = __; г) 3 х 6 = __; д) 3 х 7 = __; е) 4 х 7 = __

Ответы:

а) 12; б) 9; в) 36; г) 18; д) 21; е) 28

Уверен, что решение данных примеров не представило для вас ни малейших проблем. Я не считаю, что это наилучший способ выучить таблицу умножения для малых чисел. Думаю, что проще всего — это выучить ее. Но некоторые люди желают знать, как перемножать небольшие числа с помощью данного метода, чтобы проверить его универсальность. Другим это может понравиться потому, что они будут уверены, что, даже если они и забудут таблицу умножения, существует простой способ вычислить требуемое произведение. Кроме того, даже если вы знаете таблицу умножения наизусть, иногда бывает полезным и занимательным поиграть в подобные игры и поэкспериментировать с числами.

Как мы видели, чтобы умножить на 5, можно умножить сначала на 10, а потом результат поделить пополам. 5 равно половине от 10. Чтобы умножить 6 на 5, можно умножить 6 на 10, что даст 60, а затем разделить результат пополам, получая в ответе 30.

Попробуйте самостоятельно:

а) 8 х 5 = __; б) 4 х 5 = __; в) 2 х 5 = __; г) 6 х 5 = __

Ответы:

а) 40; б) 20; в) 10; г) 30

А вот как следует поступать, когда число десятков нечетное. Умножим 7 на 5:

7 х 10 = 70

Если вам трудно сходу разделить 70 пополам, представьте его как сумму: 60 + 10. Ее половина равна 30 + 5, что составляет 35.

Рассмотрим еще один пример:

9 х 5 =

9 умножить на 10 равно 90. 90 можно представить как 80 + 10. Половина от 80 + 10 равна 40 + 5, так что ответ — 45. Решите самостоятельно:

а) 3 х 5 = __; б) 5 х 5 = __; в) 9 х 5 = __; г) 7 х 5 = __;

Ответы:

а) 15; б) 25; в) 45; г) 35

Это простой способ усвоения таблицы умножения для числа 5. И он работает для любых чисел, умножаемых на 5. Например:

14 х 5 =

14 х 10 = 140, а 140 при делении на 2 дает 70.

Аналогичным образом:

23 х 5 =

23 х 10 = 230

230 = 220 + 10

Половина от 220 + 10 равна 110 + 5

110 + 5 = 115

Все эти вычисления гораздо быстрее выполняются в уме после некоторой тренировки.