Знание-сила, 2007 № 11 (965)

Физика и математика: бурный роман

Приятно, когда твои статьи кто-то читает и не говорит при этом, что ты несешь полную чушь. В нашей науке это встречается не так уж часто. Научные работы по физике трудны для понимания, прочесть их могут единицы. Многие работы нужно писать только для того, чтобы ты сам разобрался в своих результатах и обдумал их как следует, для остальных — достаточно констатации, что и за этой дверью не оказалось клада. А для этого всю статью читать, как правило, ни к чему, достаточно ее краткого реферата или нескольких строк из введения. Поэтому я с интересом обнаружил, что мои статьи в журнале, в которых я попытался описать современное положение физики и математики, нашли своего читателя, который не поленился их обдумать и откликнуться на них в интернете. Статьи ему понравились, и он меня похвалил — спасибо на добром слове! В нашей физике, воспитанной школой Ландау, такое — редкость. Однако читатель подумал над статьями и высказал мысли, с которыми я далеко не во всем согласен. А это, в свою очередь, дает мне повод поговорить еще раз о тех науках, с которыми связана моя жизнь.

Мой заинтересованный читатель приписывает мне мысль (с которой он соглашается), что физика и математика — по существу, одна наука. Так говорили многие. Например, замечательный отечественный математик В.И. Арнольд прямо утверждал, что математика — область физики, в которой эксперименты стоят не миллионы, а копейки. Это, конечно, красивая передержка. Все-таки далеко не все интересные математические работы выросли на почве физики. Однако главное даже не это. На самом деле математики и физики очень по-разному смотрят на мир и по-разному познают его. Пограничье между математикой и физикой не выглядит, как поверхность гладкого озерка, а скорее, как океанский простор, в котором сталкиваются противоположные течения, громоздятся волны и водовороты, а корабли с трудом прокладывают путь через бурные воды. Давайте присмотримся, что происходит в этом своеобразном мире.

Роман между физикой и математикой — это, пожалуй, действительно самый примечательный факт в современной науке. Это видно хотя бы по тому, с какой завистью смотрят на него представители других наук, как безудержно переоценивают они возможности этого союза. Мне многократно приходилось, например, объяснять знакомым геологам, что конкретная математическая конструкция (они спрашивали о так называемом коэффициенте корреляции — сейчас не так важно, что это такое) — это вовсе не волшебное оружие, с помощью которого чудесным образом решаются все задачи. Иногда этот коэффициент корреляции действительно полезен, чаще — бесполезен, а иногда его вычислять просто вредно, поскольку это затемняет, а не проясняет суть дела. Через детский восторг при виде огромной эффективности математики в конкретной физической задаче прошли почти все, кто имел счастье наблюдать данное явление. Нечто подобное испытал, наверное, Декарт, воскликнувший после изобретения аналитической геометрии: «Я решил все задачи!» Этот восторг трудно разделить современному лектору по аналитической геометрии, который хорошо знает, что это — полезная наука, действительно позволяющая легко решить многие трудные школьные задачи по геометрии, но далеко не всемогущее волшебное оружие.

Мы порой не всегда осознаем, что физика далеко не всегда дружила с математикой. Для того, чтобы убедиться в этом, достаточно прочитать «Физику» Аристотеля. О его взглядах на физику любили писать в популярных книгах, изданных в моем детстве. В это время еще не выветрился пафос борьбы со средневековой схоластикой (мы сейчас относимся к Средневековью гораздо более сдержанно и отстраненно). Обычно писали, что Аристотель, а за ним и средневековые схоласты полагали, что основной закон динамики состоит в том, что сила пропорциональна скорости. На самом же деле, как учит нас второй закон Ньютона, сила пропорциональна ускорению. Ну и дальше популярно объяснялось, какие нехорошие люди были церковники-схоласты, которые не ставили опытов, и как посрамили их сначала Галилей, а потом — Ньютон.

Средневековые писатели действительно часто руководствовались соображениями, совершенно нам чуждыми. Они сплошь и рядом предпочитали некритически переписать цитату из уважаемого автора, вместо того, чтобы посмотреть в окно и свериться с тем, как дело обстоит в действительности. Кто хочет в этом убедиться лично, может почитать недавно изданный перевод книги авторитетного писателя VI — VII веков Исидора Севильского, который писал, в частности, об астрономии. В отличном комментарии к этой книге приведены впечатляющие примеры такого некритического отношения к действительности.

Важно, однако, что Аристотель вовсе не утверждал, что сила пропорциональна скорости тела. Как показывает чтение его труда, он вообще не думал, что есть какое-то уравнение, посредством решения которого можно найти закон движения тела. Его просто не посещала мысль о том, что физические вопросы нужно решать с помощью математики. Я до сих пор искренне благодарен моему соавтору аспирантских лет Вите Турчанинову, который во время одного из наших споров по конкретному физическому вопросу просто для того, чтобы отвлечься от сложных выкладок, обратил мое внимание на соответствующее место у Аристотеля.

Конечно, Аристотель знал, кто такие пифагорейцы (мы, собственно, знаем о них во многом из его книг), которые много говорили о числе, с помощью которого нужно объяснять мир. Это, конечно, здорово, только как-то совсем не похоже на использование математики в современной физике.

В книге Аристотеля есть еще много странного и неожиданного. По его мнению, к физике в основном относятся такие вопросы, которые совершенно выпадают из круга интересов физики современной. Чего стоит вопрос о перводвигателе! Я как-то затрудняюсь сказать, какую точку зрения занимает по этому вопросу современная физика. Аристотель систематически задается совершенно лишними с сегодняшней точки зрения вопросами (вроде вопроса о сущности движения), вместо того чтобы выписать какое-нибудь уравнение, порешать его, а потом посмотреть, похоже или непохоже получилось на данные эксперимента.

В этом, собственно, и состоят достоинства (и недостатки) того союза, которые физика заключила с математикой. Этот союз создался, по-видимому, постепенно, во времена между Галилеем и Ньютоном. Во всяком случае, Галилей еще любит рассуждать о ненужных (с современной точки зрения) вопросах, да и Ньютон, непонятно зачем, предпочитает подкреплять решение уравнений (он же творец математического анализа!) геометрическими доказательствами. Даже Максвелл, как говорят немногие энтузиасты, читавшие его труды, снабжал свои уравнения электромагнитного поля какими-то, мягко говоря, странными модельками из шестеренок и колесиков, лучше иллюстрировавшими, по его мнению, суть дела.

Современные физики совсем распоясались и позволяют себе мыслить предельно абстрактно, часто просто напрямую оперируя уравнениями. Точнее, обычно физик как-то представляет себе, скажем, электрон, но вовсе не настаивает на том, что именно этот зрительный образ правильный и окончательный. Например, очень полезно представлять себе атомное ядро в виде капли жидкости. Это позволило достичь нетривиальных результатов в ядерной физике. Однако психически нормальный человек отдает себе отчет в том, что атомное ядро и капля воды — разные вещи. В этой связи вспоминается анекдот с аспирантских экзаменов. «Некая аспирантка излагала модель атома Бора, в которой электроны движутся вокруг атомного ядра по стационарным орбитам. Ее в шутку спросили, что находится между орбитами, на что она, не смутившись, ответила: «Воздух!» (на самом деле в рассматриваемых масштабах представление о сплошной среде вроде воздуха просто утрачивает смысл).

Подобный подход позволил решить огромное количество задач (результаты их решения встречаются буквально на каждом шагу, например, я пишу на компьютере и езжу на работу на метро), однако за это достижение пришлось дорого заплатить. Есть еще один известный анекдот. «Экзаменующийся отвечает на билет про электричество и говорит: «Профессор! Я только что знал, что такое электричество, но забыл». — «Я немедленно поставлю вам пятерку, как только вы это вспомните, до сих пор никто не знает, что такое электричество». Это, что называется, не в бровь, а в глаз. С определением основных физических понятий дело обстоит, с точки зрения логики, из рук вон плохо. Что такое сила? В учебнике написано, например, сила — причина движения. В переводе на русский язык это значит, что сила — то, что написано в левой части второго закона Ньютона. Не очень содержательно, да и откуда эту силу брать? На практике это означает, что физика — логически незамкнутая наука. Кроме динамики Ньютона (или Эйнштейна — это сейчас не важно), в ней есть еще многие разделы, откуда в каждом конкретном случае и приходится брать формулу для силы. Невозможно себе представить Аристотеля, излагающего эту невразумительную рекомендацию, а она работает — и отлично работает — многие столетия!

Конечно, между так неясно очерченными основными понятиями физики и основными понятиями математики есть очевидная перекличка. Никто не знает не только, что такое электричество, но и что такое прямая. Лучше сказать, на вопрос, что такое прямая, отвечают описанием ее свойств (они фиксируются в аксиомах). Однако позиции физика и математика здесь во многом различны. Математик обещает сначала сформулировать все свойства прямой, а только потом их использовать. Это пообещал в древности Эвклид, правда, реально это удалось только Гильберту на рубеже XX века. Физик же, как карточный шулер, все время вынимает из рукава, как козырные тузы, новые свойства своих конструкций. Математик декларирует, что он больше всего интересуется логической стройностью своей теории, а что она значит на практике, не так уж и важно. Физик, наоборот, подчеркивает, что чем проще объяснение, тем лучше, а уж строгое оно или основано на эвристических доводах — дело десятое.

Физик все время стремится по-разному подойти к своей задаче, интерпретировать ответ то с одной, то с другой точки зрения. Математик говорит: я доказал эту теорему, так к чему теперь ее доказывать еще раз другим способом (как будто нет книжек типа «101 доказательство теоремы Пифагора»!). По этому поводу тоже есть исторический анекдот. «Великий математик XX века Андрей Николаевич Колмогоров начинал как историк. Он изучал какой-то тонкий вопрос о правовой системе средневекового Новгорода и открыл нечто интересное, по словам специалистов, до сих пор. Он сделал доклад на соответствующем научном семинаре, и ученые мужи сказали: «Отлично, юноша! Докажите ваш вывод еще тремя способами, и в него поверят». Он обиделся и ушел в математику, где результат достаточно доказать только один раз. Математика от этого выиграла. Выиграла или проиграла история, мы никогда не узнаем».

Но правда ли то, что математика так уж намного более логична, чем физика? И да, и нет. Конечно, в физике есть много рассуждений, которые выживают только благодаря ссылке на результаты эксперимента и которые не допустит ни один математик. Однако только вчера я объяснял студентам, что дифференциальные уравнения — совершенно безнравственная область математики. Совершенно не важно, из каких шатких соображений вы взяли решение какого-нибудь дифференциального уравнения. Если вы подставили его в уравнение и оно обратилось в тождество, то вы действительно получили его решение.

Ближе всего, пожалуй, к нелогичности физики то, что называется развитием понятия функции в математическом анализе. Вы начинаете читать курс анализа и объясняете студентам, что функция — это закон, который ставит данному значению аргумента некоторое определенное (любым способом) значение функции. Это называется определением (лучше сказать — пониманием) функции по Дирихле. Проходит семестр. Вы начинаете читать теорию неявных функций, и выясняется, что теперь функция — решение некоторого уравнения, зависящего от аргумента. Она может, вообще говоря, принимать несколько значений, образующих так называемые ветви. Дальше начинается курс теории функций комплексной переменной (или комплексного переменного — здесь мнения расходятся). Выясняется, что теперь аналитическая функция (а других и не рассматривают) — нечто вроде явно сформулированного закона, какими были элементарные функции в школьной программе. Финальный удар — теория обобщенных функций, у которых нет конкретных значений в данной точке, а они определяются некоторыми интегральными соотношениями. Не правда ли, образец логичности?!

Конечно, в физике и математике можно выделить уголки, в которых взаимное влияние не очень ощущается. Однако почти везде стоит чуть- чуть подумать, и оказывается, что физическое объяснение «на пальцах» совсем не полностью вяжется с математическими формулами. Две точки зрения, физика и математика, помогают сохранить объемное зрение на предмет и понять его лучше, чем сохранив только одну точку зрения.

Такое согласие получается далеко не всегда. Например, биология давно хотела бы также подружиться с математикой. Нет недостатка в работах по темным предметам вроде математической биологии. На первый взгляд биология вполне подходит для такого союза. Биолог охотно обсуждает вопрос о том, что такое вид, существует ли он реально или является удобной абстракцией. Физик с трудом поддерживает разговор на такие темы. Однажды меня попросили принять участие в аспирантском экзамене на соседней кафедре. Бедного экзаменующегося спросили, какая из физических величин первична, магнитное поле или магнитная индукция. Он не знал. Я занимаюсь магнитной гидродинамикой всю жизнь и не знаю тоже. Конечно, вопрос имел какой-то смысл в контексте конкретных задач этой кафедры (там работают вменяемые люди). Однако в целом физика на дух не приемлет подобные вопросы.

Более того, биологи обожают вопросы, до которых не доходит ум самого изощренного математика. Как показывает опыт, они четко различают понятия «число» и «количество». Конечно, я вижу здесь небольшую стилистическую разницу, более того, я знаю, что есть еще понятие «цифра», которая в разных областях точных наук употребляется немножко по-разному, но зачем доводить дело до абсурда, мне (и всем моим коллегам, с которыми я обсуждал этот волнующий вопрос) остается непонятным.

И все напрасно! Несмотря на все усилия, биологам не удается подружиться с математиками. Не удается в чем-то самом главном, что удалось физикам где-то между временем Галилея и временем Ньютона.

Я думаю, что вечная борьба между физикой и математикой, борьба, которая проходит через каждую физическую работу и многие работы по математике, — огромный источник развития для обеих наук. Для многих средневековых соборов существует поверье, что их нельзя достроить. Кельнский собор достраивали во времена Гете, деньги на достройку его башни собирал друг Гете Буассере, его ремонтируют и сейчас. Поэтому собор живет и не превращается в мертвый памятник, хотя сама эпоха готики — далекое прошлое. Нечто подобное поддерживает и развитие физики и математики.

Нам вообще с трудом дается осознание того, что мир — не гармоническое кладбище, а сцепление борющихся противоречий, нечто, вырастающее из этой борьбы. Даром что учили тому, что в марксизме называлось диалектикой. Видимо, мы отторгали ее вместе со всем этим учением. По этому поводу расскажу еще одну историю. В этом году начальство решило провести в университете День науки. Дело, наверное, хорошее, хотя и не совсем ясное. Попал случайно на секцию, в которой обсуждались проблемы киноведения (есть и такая наука!). Обсуждали, почему так популярна экранизация, хотя кино и литература — две разные эстетические системы, так что средствами кино нельзя адекватно воспроизвести литературное произведение. А я подумал, не было ли бы правильнее сказать, что народ именно потому и любит экранизацию, что тут сталкиваются две эстетические системы и их столкновение дает то, чего не может дать ни одна из них по отдельности?

Мы кратко рассмотрели длящийся уже не одно столетие роман между физикой и математикой. Конечно, есть связи и между физикой и биологией (это называется биофизикой), физикой и геологией (геофизика), физикой и химией (тут чудесным образом есть сразу физическая химия и химическая физика). Однако страсти здесь далеко не достигают того накала, как в романе физики и математики. Один мой знакомый едко (и не вполне справедливо) говорил, что геофизика подобна морской свинке, которая и не свинка, и плавать не умеет. Про математическую физику так никто не скажет, да и пограничье математики и физики заполняет почти все эти науки, а не сводится к одной матфизике (даже если экзамен по ней — камень преткновения для студентов). Поэтому писать о геофизике и ее сестрах не так интересно. Замечательно, что кроме закадычной дружбы с математикой, у физики есть два закадычных врага — философия и филология. Об истории этой взаимной неприязни (переходящей в любовь) стоит поговорить в другой раз. У математики тоже есть свои привязанности, отдельные от привязанностей физики. Информированные люди говорят, что на глазах развивается и становится все более интересным роман между математикой и лингвистикой. До нас в виде алгоритмических языков программирования и историй о машине Тьюринга доходят только обрывки этого захватывающего сюжета, о котором придется писать людям, более знакомым с предметом.

Михаил Вартбург