Большая Советская Энциклопедия (ЭК)

Экстремум

Экстре'мум (от лат. extremum — крайнее), значение непрерывной функции f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х₀ функция f (x) имеет в x₀ максимум (минимум), если существует окрестность (x₀ + d, x₀ — d) этой точки, содержащаяся в области определения f (x ), и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство f (x₀ ), ³ f (x ) [соответственно, f (x₀ ) £ f (x )]. Если при этом существует такая окрестность, что в ней f (x₀ ) > f (x ) [или f (x₀ ) << f (x )] при х ¹ x₀ , то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае — о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис. 1 в точке А достигается строгий максимум, в точке В — нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция f (x ) имела Э. в некоторой точке x₀ , необходимо, чтобы она была непрерывна в x₀ и чтобы либо f` (x<sub>0</sub> ) = 0 (точка А на рис. 1 ), либо f` (x₀ ) не существовала (точка С на рис. 1 ). Если при этом в некоторой окрестности точки x₀ производная f' (x ) слева от x₀ положительна, а справа отрицательна, то f (x ) имеет в x₀ максимум; если f' (x ) слева от x₀ отрицательна, а справа положительна, то — минимум (первое достаточное условие Э.). Если же f' (x ) не меняет знака при переходе через точку x₀ , то функция f (x ) не имеет Э. в точке x₀ (точки D, Е и F на рис. 1 ). Если f (x ) в точке x₀ имеет п последовательных производных, причём f' (x₀ ) = f`` (x₀ ) =...= f ^(n-1) (x₀ )=0, a f ⁽ⁿ⁾ (x₀ )¹0, то при п нечётном f (x ) не имеет Э. в точке x₀ , а при п чётном имеет минимум, если f ⁽ⁿ⁾ (x₀ ) > 0, и максимум, если f ⁽ⁿ⁾ (x₀ ) < 0. Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции .

Аналогично Э. функции одного переменного определяется Э. функции нескольких переменных. Необходимым условием Э. является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2 частные производные равны нулю в точке М , на рис. 3 в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М (х₀ , y₀ ) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f (x, у ) и в самой точке f'_x = f'_y = 0,

D = f'' _xx f'' _уу > 0,

то f (x, у ) в точке М имеет Э. (максимум при f ''_xx < 0 и минимум при f ''_xx > 0); Э. в точке М не существует, если D < 0 (в этом случае М является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис. 4 ).

Достаточные условия Э. функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определённости квадратичной формы

S ⁿ _{i, k=1} a_ik Dx_i Dx_k

где a_ik — значение f''x_i x_k в исследуемой точке. См. также Условный экстремум .

Термин «Э.» употребляется также при изучении наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении .

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

Рис. 2. к ст. Экстремум.

Рис. 1. к ст. Экстремум.

Рис. 4. к ст. Экстремум.

Рис. 3. к ст. Экстремум.