Большая Советская энциклопедия (ГА)

Гармоническое расположение

Гармони'ческое расположе'ние , такое расположение четырёх точек M₁ , М₂ , М₃ , М₄ на прямой ll₁ (см. рис. ), при котором точка М₃ лежит внутри отрезка M₁ M₂ , точка М₄ — вне этого отрезка и отношения

равны.

Обычно отношение двух отрезков считают положительным, если их направления на прямой одинаковы, и отрицательным при различных направлениях. Поэтому Г. р. точек M₁ , M₂ , М₃ , М₄ можно охарактеризовать и тем, что т. н. двойное отношение этих точек, т. е. отношение

равно -1.

Гармонически расположенные точки при проектировании на какую-нибудь прямую переходят в гармонически расположенные точки. Поэтому Г. р. есть одно из основных понятий проективной геометрии . Г. р. точек M₁ , M₂ , M₃ , M₄ связано со следующей геометрической конфигурацией. Пусть точки M₁ и M₂ являются точками пересечения попарно противоположных сторон четырёхугольника ABCD , тогда точки M₃ и M₄ будут точками пересечения диагоналей этого четырёхугольника с прямой M₁ , M₂ .

Понятие Г. р. переносится и на др. геометрические объекты: четыре луча, проектирующие из одной точки гармонически расположенные точки, образуют гармонический пучок лучей. Аналогично определяется гармонический пучок плоскостей.

Э. Г. Позняк.

Рис. к ст. Гармоническое расположение.