Большая Советская Энциклопедия (ХА)

Характер (в математике)

Хара'ктер в математике, функция специального вида, применяемая в чисел теории и теории групп .

В теории чисел Х. называют функцию c(n ) ¹ 0, определённую для всех целых чисел n и такую, что: 1) c(nm ) = c(n )c(m ) для всех n и m , 2) существует такое целое число k (период), что c(n + k ) = c(n ) для всех n . Наименьший из положительных периодов называется основным модулем характера c, а характер с основным модулем k обозначается c(n , k ). Примерами Х. являются: 1) главный Х. по модулю k ; c(n , k ) = 0, если (n , k ) > 1, и c(n , k ) = 1, если (n , k ) = 1, 2) c(n , k ) = 0, если (n , k ) > 1, c(n , k ) = , если (n , k ) = 1, — Якоби символ , k > 1 — нечётное натуральное число. Х. степени q по модулю k называется Х., равный единице для чисел и, для которых разрешимо сравнение x^q º a (modk ) (см. Степенной вычет ). Такие Х. играют важную роль в теории алгебраических чисел. Многие вопросы теории чисел (например, вопрос о распределении простых чисел) связаны с изучением функций L (s c) = (т. н. L -функций Дирихле). Частным случаем таких функций является дзета-функция x(s ), для которой Х (n ) º 1.

Условие периодичности c(n + k ) = c(n ) позволяет трактовать характеры c(n , k ) при фиксированном k > 1 как функции, заданные на приведённой системе вычетов по модулю k , рассматриваемой как группа по умножению, и удовлетворяющие там функциональному уравнению:

c(ab ) = c(a ) c(b ). (1)

Такая трактовка понятия Х. позволяет непосредственно перенести его на любую конечную коммутативную группу G . При этом, если n — порядок, e — единица, a — произвольный элемент группы G , то [c(a )] ⁿ = c(a ⁿ ) = c(e ) = 1, т. е. c(a ) — корень n -й степени из единицы: в частности

|c(a )| º 1. (2)

Х. произвольной коммутативной группы G (не обязательно конечной) называют всякую функцию c(а ), определённую на G и удовлетворяющую условиям (1) и (2). Если G — топологическая группа, то требуют ещё, чтобы c(а ) была непрерывна.

Совокупность всех Х. группы G образует группу G₁ , относительно обыкновенного умножения Х. как функций. Если G конечна, то G₁ изоморфна G . Для бесконечных групп это уже, вообще говоря, неверно. Например, если G — группа целых чисел, то её Х. служат c(n ) = e^{in j} , где (j — любое действительное число, приведённое по модулю 2p, так что группа Х. совпадает с группой вращений окружности. В свою очередь, группа Х. для группы вращений окружности совпадает с группой целых чисел [каждый такой Х. имеет вид: c(j) = e^{in j} ]. Эта двойственность была обобщена Л. С. Понтрягиным на широкий класс групп и применена к решению важных проблем топологии (т. н. проблем двойственности для компактов).

Лит.: Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; Чудаков Н. Г., Введение в теорию L-функций Дирихле, М. — Л., 1947; Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972.