Большая Советская Энциклопедия (ХА)

Характеристическое уравнение

Характеристи'ческое уравне'ние в математике,

1) Х. у. матрицы — алгебраическое уравнение вида

;

определитель, стоящий в левой части Х. у., получается из определителя матрицы А = ||a_ik ||ⁿ ₁ вычитанием величины l из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х — характеристический многочлен. В раскрытом виде Х. у. записывается так:

,

где S₁ = a₁₁ + a₂₂ +... a_nn — т. н. след матрицы, S₂ — сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида (i < k ) и т.д., а S_n — определитель матрицы А . Корни Х. у. l₁ , l₂ ,..., l_n называются собственными значениями матрицы А . У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все l_k действительны, у действительной кососимметричной матрицы все l_k чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |l_k | = 1.

Х. у. встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к Х. у.; отсюда и второе название для Х. у. — вековое уравнение.

2) Х. у. линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

a₀ ly ^{(n )} + a₁ y ^{(n-1 )} +... + a_n-1 y' + a_n y = 0

— алгебраическое уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции у и её производных соответствующими степенями величины l, т. е. уравнение

a₀ lⁿ + a₁ l^n-1 + ... + a_n-1 y' + a_n y = 0.

К этому уравнению приходят при отыскании частного решения вида у = се ^lх для данного дифференциального уравнения. Для системы линейных дифференциальных уравнений

_, ,

Х. у. записывается при помощи определителя

Х. у. матрицы A = , составленной из коэффициентов уравнений данной системы.