Большая Советская Энциклопедия (ЛА)

Лагранжа метод множителей

Лагра'нжа ме'тод мно'жителей, метод решения задач на условный экстремум; Л. м. м. заключается в сведении этих задач к задачам на безусловный экстремум вспомогательной функции — т. н. функции Лагранжа.

Для задачи об экстремуме функции f (х₁, x₂,..., x_n) при условиях (уравнениях связи) j_i(x₁, x₂, ..., x_n) = 0, i = 1, 2,..., m, функция Лагранжа имеет вид

.

Множители y₁, y₂, ..., ym наз. множителями Лагранжа.

Если величины x₁, x₂, ..., x_n, y₁, y₂, ..., ym суть решения уравнений, определяющих стационарные точки функции Лагранжа, а именно, для дифференцируемых функций являются решениями системы уравнений

, i = 1, …, n; , i = 1, …,m,

то при достаточно общих предположениях x₁, x₂, ..., x_n доставляют экстремум функции f. Функция Лагранжа L применяется также при исследовании задач вариационного исчисления и математического программирования. Впервые Л. м. м. был предложен в 1797 Ж. Лагранжем в связи с задачами дифференциального исчисления.

Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 2, М., 1970.