Большая Советская Энциклопедия (ТЕ)

Тейлора формула

Те'йлора фо'рмула, формула

изображающая функцию f (x), имеющую n -ю производную f ^{(n )} (a ) в точке х = а, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х —а, и остаточного члена R_n (x ), являющегося в окрестности точки а бесконечно малой более высокого порядка, чем (x—a ) ⁿ [то есть R_n (x ) = an (x )(x —a ) ⁿ , где an (x ) ® 0 при х ® а ]. Если в интервале между а и х существует (n + 1)-я производная, то R_n (x ) можно представить в видах:

,

где x и x₁ — какие-то точки указанного интервала (остаточный член Т. ф. в формах Лагранжа и соответственно Коши). График многочлена, входящего в Т. ф.. имеет в точке а соприкосновение не ниже n-го порядка с графиком функции f (x ). Т. ф. применяют для исследования функций и для приближённых вычислений.

Лит.: Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, М.. 1953; Фихтенгольц Г. М.. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М.. 1969.