Диалектические основы математики

КОММЕНТАРИИ

Работа А.Ф. Лосева над книгой «Диалектические основы математики» проходила в 1930-е годы. Началом ее можно считать заметку-эссе «О форме бесконечности», которая в дальнейшем целиком вошла в § 98 книги. Рукопись заметки точно датирована: начало работы – 31 июля 1932 г., окончание – 2 августа 1932 г.; даты соответствуют времени пребывания А.Ф. Лосева в Белбалтлаге (лагерь на ст. Медвежья Гора на берегу Онежского озера) примерно за год до освобождения из заключения. Уже на следующий день, 3 августа 1932 г., Лосев приступил к написанию текста под названием «Диалектика основных арифметических действий» (окончен 7 августа), в дальнейшем, практически без изменений, составившего §§ 115 – 118 книги. Вероятно, книга в целом (по крайней мере, в том объеме, который известен нам к настоящему времени) была закончена осенью 1935 г., о чем косвенно свидетельствует тот факт, что окончательное подробное оглавление книги (рукопись) сохранилась в архиве автора в виде блока, завернутого в газету «Правда» от 9 октября 1935 г. Подписанное В.М. Лосевой «Предисловие» к книге датировано 29 января 1936 г.

Общий замысел автора по философскому исследованию основ математики в некоторой мере отражает следующий план, сохранившийся в архиве А.Ф. Лосева среди бумаг, относящихся к книге (публикация А.А. Тахо-Годи, подготовка к публикации В.П. Троицкого; рукопись не датирована).

ВВЕДЕНИЕ

I. Общая теория числа

· I. Отграничения

· II. Фундаментальный анализ

· III. Аксиоматика

· IV. Функция

· V. Переход

II. Интенсивное число

· I.

· · A. Арифметика[116]

(от арг[умента] к ставшему, от непоср[едственного] бытия чисел через ф[ункцию] к непоср[едственно] ставшему)

· · · I. Бытие. Натур[альный] ряд

· · · II. Инобытие. Типы числа

· · · III. Становление. Действия

· · · IV. Ставшее:

· · · · a)

· · · · · 1. Отношение

· · · · · 2. Пропорция

· · · · · 3. Ряд (прогрессия)

· · · · b)

· · · · · 1. Делимость чисел

· · · · · 2. Комбинаторика

· · · · · 3. Детерминанты

· · · · c) Матрицы (не величина, но система величин)

· · · V. Выражение. Геометрия чисел (формы и группы)

· · B. Алгебра[117] (= от ставшей ф[ункции] к аргументу, уравнения)

· · C. Арифметич[еская][118] алгебра:

· · · a) арифметика многочленов

· · · b) алгебраич[еские] числа

· II. Скалярный анализ[119]

· · I. Бытие. Арифм[етика] и алгебра бесконечно-малых

· · II. Инобытие. Производная

· · III. Становление. Произв[одная] n-порядка

· · IV. Ставшее:

· · · a) ряды

· · · b) исследов[ание] ф[ункций]

· · · c) неопред[еленный] интеграл

· · · d) определ[енный] интеграл

· · V. Выражение:

· · · a) вариац[ионное] исчисление

· · · b) интегр[альные] и диф[ференциальные] ф[ункции] компл[ексного] переменного

· · · c) инт[егральные] и диф[ференциальные] уравнения

· III. Векторный анализ[120]

· · Тензорный анализ

· IV. Вект[орный][121] и тензорный анализ в условиях неоднородности (теория мнимых полей)

III. Экстенсивное число

· I.

· · A. Бытие:

· · · a)

· · · · 1. континуум

· · · · 2. топология

· · · · 3. проективная [геометрия]

· · · b) аффинная геометрия

· · · c) обыкновенная или полная [геометрия]

· · B. Инобытие. Аналитич[еская] геометрия

· · C. Опред[еленное] бытие. Прилож[ения] алг[ебры] к геом[етрии]

· II. Становление. Дифф[еренпиально]-интегр[альная геометрия]

· III. Ставшее. Общее метрич[еское] учение

· IV. Выражение:

· · парабол[ическая геометрия]

· · гипербол[ическая геометрия]

· · эллиптич[еская геометрия]

[На свободном месте в верхнем правом углу рукописи отдел «Алгебра» расписан более подробно]:

Алгебра

· I. Бытие. Функция. Полином

· II. Иноб[ытие]. Классиф[икация] функций

· III. Становл[ение]. Действия над полиномами

· IV. Ставшее:

· · a) Инварианты

· · b) Функц[иональные] детерминанты

· · c) Функц[иональные] матрицы

· V. Выражение. Уравнения (= функц[иональные] сравнения).

Как следует из рассмотрения данного документа в сопоставлении с известным оглавлением «Диалектических основ математики», А.Ф. Лосев практически полностью реализовал этот план в его «арифметической» части (соответственно, до второй части первого раздела «Интенсивного числа»), т.к. в последнем, не оконченном § 126 книги уже излагалось учение о кольцах и полях (см. заключительный пункт «Выражение. Геометрия чисел (формы и группы)» указанного плана). Остальной же материал книги явно обдумывался и предполагался автором к оформлению, о чем свидетельствует, например, ряд имеющихся в книге отсылок к будущему тому, посвященному геометрической тематике (ей соответствует раздел «Экстенсивного числа» в плане).

Современная публикация книги «Диалектические основы математики» проходила в несколько этапов, по мере выявления и обработки соответствующих рукописей в архиве философа. Сначала увидело свет несколько небольших отрывков из книги (см.: Начала. 1993. № 2. С. 113 – 123, – «Предисловие» В.М. Лосевой; Начала. 1994. № 2 – 4. С. 29 – 45, – «Оглавление» книги и эссе «О форме бесконечности»). Затем, после подготовки В.П. Троицким текста по выявленным в архиве двум неидентичным экземплярам машинописи 1930-х годов, которые имели многочисленные лакуны и искажения, особенно в формульной части, значительная часть книги впервые была опубликована в составе тома трудов А.Ф. Лосева «Хаос и структура», подготовленного в издательстве «Мысль» (М., 1997. С. 5 – 608; охватывался состав книги вплоть до § 107). Названные машинописные экземпляры имели весьма плачевный вид, поскольку они были в свое время извлечены из воронки от тяжелой авиабомбы, уничтожившей в ночь на 12 августа 1941 г. дом на Воздвиженке, 13, где жили Лосевы. Некоторое время считалось, что на этом издание сохранившейся части «Диалектических основ математики» завершено. Однако в связи с проведением капитального ремонта в доме на Арбате, где долгие годы (с конца 1941 г. по 1988 г.) жил Лосев, пришлось целиком – для временного хранения, – перемещать не только архив, но и гигантскую домашнюю библиотеку философа. И тогда-то на самом дне книжного шкафа с латинскими изданиями неожиданно была обнаружена ранее неизвестная большая рукопись, тщательно упакованная в советские газеты с датировками от августа 1941 г. Рукопись представляла собой полный текст «Диалектических основ математики» (вплоть до § 126), а даты газет свидетельствовали все о той же бомбежке и катастрофе. Рукопись, оказывается, в 1941 г. отыскали и спасли, но отложили в «долгий ящик», где она и пребывала до 1999 г. В итоге по данной рукописи было подготовлено издание оставшейся части «Диалектических основ математики» (§§ 108 – 126), которое было включено как приложение в состав очередного тома сочинений А.Ф. Лосева – «Личность и Абсолют» (М., 1999. С. 516 – 646).

Для настоящего издания текст «Диалектических основ математики» подготовлен заново и в полном объеме, с необходимыми исправлениями, с учетом всех выявленных архивных материалов и опорой на авторскую рукопись. Без упоминания в примечаниях исправлены опечатки и явные описки (искажения слов, рассогласования членов предложения, механические повторы и т.п.), унифицированы шрифтовые выделения, в ряде случаев уточнена нумерация параграфов. Изменена устаревшая орфография (проэктивный, итти и др.), но сохранено авторское написание термина «трансцедентный» (и производных от него, в том числе «трансцедентное число»), поскольку этого предпочтения А.Ф. Лосев явно придерживался многие годы в своих работах 1920 – 40-х годов. Рисунки в тексте – с учетом авторских отсылок в рукописи, – подготовлены по следующим изданиям: Энциклопедия элементарной математики. Т. 2. Одесса, 1909 (рис. 1 – 5); Богомолов С.А. Основания геометрии. М., Пг., 1923 (рис. 6, 7); Лямин А.А. Неэвклидова геометрия. М., 1914 (рис. 8); остальные рисунки воспроизводятся по копиям, подготовленным автором.

Все конъектуры помещены в квадратные скобки вида [.]; в настоящем издании встречается также стандартное в математике обозначение отрезка с помощью квадратных скобок. В случаях, когда в тексте заподозрено искажение, но характер исправления спорен, в примечаниях указано: «так в рукописи».

Подготовка текста к публикации, послесловие, комментарии, а также примечания к тексту (помеченные сокращением ред., переводы иноязычных выражений) выполнены В.П. Троицким. Эта работа поддержана грантом РГНФ, код проекта 11-03-00408а.