Диалектические основы математики

1

В рукописи сноска к этому месту не сохранилась (ред.).

2

В рукописи сноска к этому месту не сохранилась. А.М. Горький в своей статье «О борьбе с природой» (Правда. 1931. 12 дек.) относил А.Ф. Лосева к

(ред.).

3

В рукописи: всегда (ред.).

4

В современной русской транскрипции – Брауэра (E. Brower) (ред.).

5

В рукописи сноска к этому месту не сохранилась. См.: Франк С. Новая русская философская система («Путь» (Париж). 1928. № 9. С. 89):

(ред.).

6

В рукописи сноска к этому месту не сохранилась. См.: Деборин А. Современные проблемы философии марксизма // Вестник Коммунистической академии. 1929. № 32 (2) (ред.).

7

то же самое через то же самое (лат.).

8

В рукописи: математических (ред.).

9

Лосев А.Ф. Музыка как предмет логики. – М., 1927. – 262 с. (ред.).

10

Здесь и ниже нумерация аксиом дана по кн. Д. Гильберта «Основания геометрии» (русский перевод с нем. – Пг., 1923) (ред.).

11

См.: Д. Гильберт. Основания геометрии. Пг., 1923. С. 109.

12

Клейн сообщает, что сам Кантор сказал ему однажды, что он, Кантор, хотел достигнуть в теории множеств «истинного слияния арифметики и геометрии» («Элем. матем. с т.зр. высшей». 1933. I 397).

13

с соответствующими изменениями (лат.).

14

См. его «Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей» в «Сообщениях Харьковского математич. общества» за 1917 г. и в общем курсе «Теории вероятностей». М.; Л., 1934. II.

15

M. Pasch. Vorles[ungen] üb[er] neuere Geometrie. Lpz., 1882; 1926².

16

Энриквес. Начала геометрии. – Нов. идеи в мат. СПб., 1914. № 9, 21.

17

[Zermelo E. Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann]. Mathem. Ann. 59 Bd. [1904. S. 514 – 516].

18

предвосхищение основания (лат.).

19

Букв.: анализ положения (лат.).

20

Fraenkel A. Einl[eitung] in d[ie] Mengenl[ehre. Berlin, 1923². S.] 213.

21

Hausdorff [A.] Grundz[üge der Mengenlehre. Leipzig, 1914. S.] 70.

22

Теория вероятностей ³, 23.

23

Пуанкаре А. Последние мысли. Пер. под ред. А.П. Афонасьева. Пг., 1923 (статья «Почему пространство имеет три измерения?»).

24

Определение непрерывности у Р. Дедекинда: Непрерывность и иррацион[альные] числа. Пер. С. Шатуновского. Од., 1909.

25

<…> 1871. V 128 [В рукописи сноска к этому месту сохранилась частично. Возможно, имеется в виду: Mathemathische Annalen. Berlin, 1872. Bd. 5. S. 128.].

26

Учение о континууме Г. Кантор формулировал в «Основах общего учения о многообразиях». Рус. пер. в «Нов. идеях в математике». СПб., 1914. № 6. § 10.

27

Гильберт Д. Основ. геометр. 12.

28

Veronese G. Grundzüge der Geometrie. Leipzig, 1894².

29

Гильберт. Указ. соч. §§ 22 – 30.

30

Отчет о работах Гильберта. – в той же книге Гильберта, стр. 120.

31

Лузин Н. Интеграл и тригонометрич. ряд. Математич. сборн. 1916. Т. XXX, 12 слл.

32

Осн. геом., § 5.

33

Относительно того, какие именно теоремы основаны на аксиоме Цермело и насколько она необходима в разных отделах теории множеств, деловую сводку можно найти у В.К. Серпинского. – Аксиома Zermelo и ее роль в теории множеств и в анализе // Математический сборник 1922. Т. 31. Вып. 1.

34

Poincaré H. Théorie des groupes fuchsiens. – Acta mathem. 1882. I;

Он же. Mémoire sur les groupes kleinéens. – Там же. 1893. III;

Klein F. Nicht-Eukleidische Geometrie. [Göttingen, 1893];

Weber H. и Wellstein J. Энциклопедия элементарной математики, т. II, кн. 1-я / Пер. под ред. В. Кагана. Одесса, 1909 (ценные примечания редактора перевода);

В. Каган. Основания геометрии. T. II // Исторический очерк развития учения об основаниях геометрии. Одесса, 1907.

35

Bulletin de la Société mathématique de France. T. XV. № 7, 203 – 216. Есть рус. пер. Д.М. Синцова: «Об основных гипотезах геометрии» в сб. «Об основаниях геометрии». Каз., 1895.

36

В рукописи сноска к этому месту не сохранилась (ред.).

37

Так в рукописи (ред.).

38

Journal für d. reine u. angewandte Mathemat. 1878. Bd 84.

39

Лузин Н.Н. Современное состояние теории функций действительного переменного. М.; Л., 1933. 52.

40

способ выражения (фр.).

41

В рукописи: чего (ред.).

42

Дальнейшее изложено главным образом по Я.И. Френкелю: Волновая механика. Л. – М., 1934. I.

43

Так в рукописи (ред.).

44

Так в рукописи (ред.).

45

Пропуск строки в тексте (ред.).

46

Wallis. Algebra. Opera mathemat. 1693. II, гл. 66 – 69.

47

Wessel C. Essai sur la représentation de la direction. Copenhague, 1897.

48

Argand J.R. Essai sur une maniéré de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. Paris, 1806.

49

Gauss C. Theoria residuorum biquadraticorum. [Höttingae, 1832.] А также см. его собственный реферат об этом сочинении, отрывок из которого о геометрическом представлении комплексных чисел приведен у А. Васильева. Введение в анализ. Каз. 1908. 183 сл.

50

Так в рукописи (ред.).

51

Journal des Mathematiques purget appliques. T. XV и XVI (1-я сер.).

52

Contel Rendus, 1873, vol. 77, стр. 18 – 24, 74 – 79, 226 – 233, 285 – 293, a также в Собр. соч. 1912. Т. III, 150 слл.

53

Гильберрем, – Mathem. Annal. 1893. T. 43.

54

Sitzungsber. d. Berl. Akad. 1882, 679 и Mathem. Annal. 1882. 20, 213.

55

Sitz. d. Berl. Akad. 1885.

56

Хорошее изложение разных доказательств – у К.А. Поссе. О трансцедентности чисел e и π. Известия Технологического Института. 1894.

57

Crelles Journ. T. 77. 1873.

58

Comptes rendus. 1899. T. 78. Ср. уточнения у Popken. Mathem. Zeitschr. 1929, T. 29.

59

К теории трансцедентных чисел. Протоколы О-ва Естествозн. при Варш. Универе. 1913, и

О некоторых свойствах трансц. чисел первого класса. – Матем. сб. 1927. T. XXXIV, 55 – 100, где автор дает очень интересные построения (напр., определение трансц. чисел при помощи корней ряда уравнений с целыми коэффициентами в условиях роста степеней и высот).

60

Давший целый ряд знаменитых построений, напр., доказавший теоремы Эрмита и Линдемана и решивший Гильбертову проблему трансцедентности e^x и др. при помощи теорий конечных разностей и комплексного переменного (Очерк истории и современного состояния теории трансц. чисел. – Естествозн. и марксизм. 1930, 1/5, 33 – 55). Он же нашел и необходимый признак тр[ансцедентного] числа. – О необходимом и достаточном признаке трансцендентного числа. МГУ. Учен, записки. 1933,6 – 8.

61

Gelfond A. Jor. les nombres transcendences. Contes Renel. 1929, T. 189. P. 1224. Ср. также – Естеств. и маркс. 1930, 1/5. 52 сл.

62

Одно слово в рукописи прочесть не удалось (ред.).

63

Малоупотребительные названия натурального (Неперов) и десятичного (Бриггов) логарифмов (ред.).

64

Так в рукописи (ред.).

65

Оба перепечатаны – Grassmann H. Gesammelte mathematische u. physikalische Werke. I. Lpz., 1894 – 1898.

66

Есть нем. пер.: Elemente d. Quaternionen, deutsch, v. P. Glan. Lpz., 1882 – 1884. I – II.

67

О них можно получить представление по мемуару В. Клиффорда «Предварительный очерк бикватернионов» – приложение в книге «Здравый смысл точных наук». Пер. А.Р. Кулишер. М., 1910, 314 – 344.

68

Ср.: Котельников А.П. Винтовое исчисление. Каз., 1896;

Он же. Проективная теория векторов. Каз., 1899.

69

Bellavitis G. Sposizione del metodo delle equipollenze. Modena, 1854.

70

Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Пер. Д.А. Крыжановского. Под ред. В.Ф. Кагана. М. – Л., 1933. I, 106 – 107.

Ср.: Он же. О геометрических основаниях Лоренцовой группы. Рус. пер. в «Нов. идеях в математике». 1914, V, 144 – 174.

71

Матем. сб. 1927. XXXIV 61.

72

Кронекер Л. Понятие о числе. Рус. пер. в «Основаниях арифметики», изд. Казанского математич. студенч. кружка, 1907.

73

Богатейший материал из орнаментики дает Owen Jones, [см.:]

Jaeger F.M. Lectures on the principle of symmetry. Amsterdam, 1917.

Prisse d’Avennes. Atlas de l’histoire de l’art Egyptien. Par., 1878.

Нижеследующий материал изложен по:

Speiser A.D. Theorie d. Gruppen von endlicher Ordnung. Berl., 1927, 77 – 106.

74

Одно слово в рукописи разобрать не удалось (ред.).

75

Polya G. Ueber d. Analogie d. Kristallsymmetrie in Ebene. Zeitschr. für Kristallographie. 1924. Bd. 60, 278 – 282 и там же, 283 – 298;

Niggli P. Die Flächensymmetrien homogener Disckontinuen.

76

См.: Prisse d’Avennes. Atlas de l’histoire de l’art Egyptien. Par., 1878 (рисунки отсюда воспроизводятся y нас без красок).

77

Prisse d’Avennes. L’art arabe. [Paris, 1877].

78

Vogué M. de. Syrie centrale.

79

Делоне Б., Падуров Н., Александров А. Математические основы структурного анализа кристаллов <…> М. – Л., 1934. Руководство это написано чрезвычайно ясно и просто, с массой иллюстраций.

80

В рукописи текст обрывается посреди страницы (ред.).

81

Письмо А.Ф. Лосева к В.М. Лосевой от 12 декабря 1931 года. Обмолвка «под хорошим руководством» показательна – в «потоках» ГУЛАГовских «университетов» можно было изучать едва ли всё в размахе от генетики до шумерской клинописи.

82

Работа впервые издана в журнале «Вопросы философии». 1994. № 11. С. 82 – 134.

83

Эти работы сохранились в архиве А.Ф. Лосева, часть из них была опубликована недавно: это «О методе бесконечно-малых в логике» и «Некоторые элементарные размышления к вопросу о логических основах исчисления бесконечно-малых» (в кн.: Лосев А.Ф. Хаос и структура. М., 1997).

84

Цифрами в скобках здесь и далее указываются страницы настоящего издания.

85

Точнее, по обыкновению тех лет интересующий нас заголовок многоярусен:

Заметка не подписана, но можно предположить, учитывая примыкающие публикации, что ее автор – А. Кут.

86

Вестник Коммунистической Академии. 1929. № 32 (2). С. 4 – 5.

87

Франк С. Новая русская философская система // Путь (Париж). 1928. № 9. С. 89, 90.

88

Брушлинский В. Отклики на философскую дискуссию 1930 г. в иностранной прессе // Под знаменем марксизма. 1936. № 1. С. 189 – 191.

89

Волков К. Диалог о диалектике // Научное слово. 1930. № 7 – 8. С. 44, 56.

90

Богомолов А.Н., Роженко Н.М. Опыт «внедрения» диалектики в математику в конце 20-х – начале 30-х гг. // Вопросы философии. 1991. № 9. С. 37.

91

См.: Charles Ford E. Dmitrii Egorov: Mathematics and Religion in Moscow // The Mathematical Intelligencer. 1991. Vol. 13. № 2.

Статья в основном обобщает сведения, полученные в результате поисков С.С. Демидова и С.М. Половинкина. Отметим также новое исследование:

Грэхэм Л., Кантор Ж.-М. Имена бесконечности: правдивая история о религиозном мистицизме и математическом творчестве. СПб., 2011.

92

Яркий тому пример – «Манифест» московских имяславцев (около 1922 года), составленный рукою Лосева и подписанный Д.Ф. Егоровым, среди прочих – первым. Копия этого документа была передана А.А Тахо-Годи из Центрального архива ФСБ РФ в 1995 году, он частично опубликован в ее книге «Лосев» (серия «Жизнь замечательных людей». М., 1997; 2007).

93

Письмо Н.Н. Лузина П.А. Флоренскому от 4.08.1915 г. // Историко-математические исследования. М., 1989. Вып. 31. С. 178.

94

Это драматическое признание зафиксировано: Письмо Н.Н. Лузина А.Н. Крылову от 7.12.1934 г. // Там же. С. 243, 244.

95

Лосев Алексей. Из воспоминаний // Студенческий меридиан. 1990. № 5. С. 31.

96

Флоренский П.А. Природа // Детям моим. Воспоминанья прошлых дней. М, 1992. С. 78.

97

Несколько подробнее об этом сопоставлении см.: Троицкий В.П. «Античный космос и современная наука» и современная наука // Лосев А.Ф. Бытие – Имя – Космос. М., 1993. С. 887 – 890.

98

Первая публикация: Флоренский Павел. Письма с Соловков // Наше наследие. 1988. № 4. С. 128; здесь же воспроизведены некоторые рисунки о. Павла – потрясающие документы духовной биографии мыслителя.

99

В фонде В.Н. Муравьева в Рукописном отделе РГБ хранятся, к примеру, рукописи с такими характерными названиями:

· «Диалектическое построение множественности» (ф. 189, п. 10, е.х. 11),

· «Основной элемент ряда чисел» (п. 11, е.х. 5),

· «Пифагорейское учение о числах и современные проблемы» (п. 13, е.х. 1),

· «Имяславие» (п. 13, е.х. 24).

Недавно вышло в свет двухтомное собрание трудов В.Н. Муравьева (подготовлено А.Г. Гачевой), но в нем, к сожалению, не нашлось места этим работам по «философии множественности».

100

Муравьев В.Н. [Имяславие. Тезисы] // ОР РГБ, ф. 189, п. 13, е.х. 24 а, л. 2; е.х. 24 б, л. 7.

101

Обоснованно нелестные оценки этим попыткам и распространенному пониманию антиномичности «множеств» даны еще около 1925 года в книге «Античный космос и современная наука».

102

Теорема Гёделя (о неполноте) довольно быстро вошла в круг тем, обсуждавшихся советскими философами; см.: Кольман Э. Предмет и методы современной математики. М., 1936 (особенно с. 261 – 268).

103

Работы впервые переизданы в кн.: Лосев А.Ф. Миф – Число – Сущность. М., 1994. С. 527 – 876; здесь же помещен наш комментарий к ним – «О смысле чисел».

104

А.Ф. Лосев дал подробную критику идейных основ гильбертовской программы, см.: Лосев А.Ф. Критические заметки о буржуазной математической логике // Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 8 (43). 2003. С. 339 – 401. Работа написана в 1944 г.

105

Клини С. Математическая логика. М., 1973. С. 232, 233.

106

Франк С.Л. Предмет знания. Об основах и пределах отвлеченного знания. СПб., 1995. С. 39 – 40.

107

Там же. С. 288, 290.

108

Лосев А.Ф. Музыка как предмет логики // Лосев А.Ф. Форма – Стиль – Выражение. М., 1995. С. 594.

109

Бердяев Н.А. Два типа миросозерцания (По поводу книги С.Л. Франка «Предмет знания») // Вопросы философии и психологии. 1916. Кн. 134. С. 305, 312.

110

Лосев А.Ф. Диалектика художественной формы // Лосев А.Ф. Форма – Стиль – Выражение. С. 257, 264.

111

Шпенглер О. Закат Европы. Т. 1. М., 1993. С. 208.

112

Вальков К.И. Моделирование и формализация. Л., 1984.

113

Фанг Дж. Между философией и математикой: их параллелизм в «параллаксе» // Вопросы истории естествознания и техники. 1992. № 2. С. 8.

114

К очевидно-оценочной ассоциации («почетный кортеж») здесь нужно присовокупить профессиональную семантику алгебраистов, кортежем называющих последовательность элементов некоторого множества, некий набор «букв» из строго фиксированного «алфавита».

115

Кулаков Ю.И. Еретические горизонты физики // Вопросы истории естествознания и техники. 1996. № 4. С. 167.

116

Сверху над словом надписано: быт[ие]. Возле номера отдела (I) пометка: Сущность.

117

Сверху надписано: иноб[ытие].

118

Сверху надписано: опред[еленное] б[ытие].

119

Сверху надписано: становл[ение]. Возле номера отдела (II) пометка: Явление.

120

Сверху надписано: становление. Возле номера отдела (III) пометка: Действ[ительность].

121

Возле номера отдела (IV) пометка: Выраж[ение].