Эйнштейн. Теория относительности

ГЛАВА 3 Складки пространственно- временного континуума

Академический мир покорился гению Эйнштейна. Еще будучи преподавателем в Цюрихе, ученый поставил перед собой задачу ввести в релятивистскую картину мира гравитацию. В 1915 году, находясь очень близко к цели, он обнаружил, что математик Давид Гильберт может создать единую теорию поля, или «теорию всего», раньше него. И Эйнштейн вступил в соревнование с Гильбертом, проявив при этом необыкновенную интеллектуальную продуктивность.

Статьи Эйнштейна, опубликованные в 1905 году, не вызвали взрыва в научном сообществе, но приняты были достаточно тепло. Первым их понял Планк, а последней, как этого и стоило ожидать, отреагировала университетская администрация. Отношения Эйнштейна с ней основывались на взаимных уступках, которых ученый упорно добивался, несмотря на нежелание второй стороны идти навстречу. Самый низкий ранг в немецком академическом мире соответствовал месту приват-доцента, без жалованья, но с возможностью вести занятия, получая скромное вознаграждение от студентов. Эйнштейн посчитал, что его заслуги позволяют ему претендовать на это место, и в 1907 году подал соответствующую заявку. Однако администрация Бернского университета проявила невероятную придирчивость. Среди обязательных условий фигурировало представление неопубликованной научной статьи. К тому времени Эйнштейн написал 17 статей, как минимум две из них впоследствии стали научной классикой. Однако все эти статьи уже были опубликованы. Ученый совет мог освободить его от этой формальности, признав за ним особые научные достижения. Однако Пауль Грюнер, профессор теоретической физики, считал теорию относительности «очень проблематичной», а профессор экспериментальной физики Айме Форстер не был столь деликатным и заметил по поводу статьи Эйнштейна «К электродинамике движущихся тел»: «Не могу понять ни слова из того, что вы написали». Преподаватели университета утверждали, что относительность «была отвергнута, так или иначе, большинством современных физиков». В результате Эйнштейн посчитал этот эпизод «забавным» и отказался от своего намерения занять место приват-доцента.

Каждый, кто по-настоящему понимает эту теорию, не может не быть ею очарован.

Альберт Эйнштейн об общей теории относительности

Через год, подавив гордость, Эйнштейн вновь попытал удачи в Бернском университете. В начале 1908 года он представил администрации статью «Влияние закона распределения энергии в излучении черного тела на состав излучения». Эта работа не произвела переворота в физике, но в глазах администрации она обладала несомненным достоинством: статья еще не была опубликована и, к тому же, не касалась щекотливой темы относительности. Университет принял заявку Эйнштейна в феврале, а в весеннем семестре 1908 года ученый поднялся на университетскую кафедру как преподаватель. Аудитория на его лекциях о молекулярной теории тепла, которые проходили в семь утра по вторникам и субботам, редко включала в себя больше, чем три человека. Среди слушателей непременно присутствовал Мишель Бессо. Иногда, чтобы поддержать Эйнштейна, приходила Майя, его сестра, которая в это время писала в Берне диссертацию по романским языкам. При такой посещаемости Эйнштейну не оставалось ничего другого, кроме как продолжать работу в патентном бюро.

В мае следующего года, после долгих переговоров, ученый был назначен доцентом Цюрихского университета. Вначале это место предложили его товарищу по Политехнической школе, Фридриху Адлеру, однако тот весьма изящно отказался от должности: «Если у нашего университета есть возможность добиться такого человека, как Эйнштейн, было бы абсурдом назначить на это место меня». Эйнштейн занял должность,

однако вскоре встал вопрос о его педагогических способностях. Основную критику вызывали монологи ученого на занятиях, однако тот, выслушав замечание, ответил: «Преподавателей хватает и без меня». Через некоторое время, в феврале 1909 года, Физическое общество Цюриха устроило Эйнштейну экзамен по дидактике, и ученый сдал его с трудом. Опасения у университетского комитета вызывала и национальность доцента. «В академической среде евреям не без оснований присваивают всевозможные неприятные свойства характера, такие как нескромность и дерзость. К тому же они относятся к академической работе с сознанием мелочных лавочников», – отмечалось в отчете комитета. Прения были непростыми, но в результате администрация сочла, что проявлять антисемитизм – ниже ее достоинства.

Однако вполне достойным университет посчитал предложить ученому оклад меньший, чем в бюро патентов. Эйнштейн отверг эти условия и потребовал увеличения годового жалованья до 4500 франков, которые он получал в Берне. Получив наконец долгожданный пост доцента, физик на поздравления коллег отвечал колкостями.

В июле 1909 года Эйнштейну была присвоена степень почетного доктора (honoris causa) Женевского университета, а в октябре он впервые представил свою кандидатуру на Нобелевскую премию. Карьера ученого, с трудом сдвинувшись с мертвой точки, начала стремительно развиваться. Он работал в Университете Карла-Фердинанда в Праге, своей альма-матер (апрель 1911 года), затем снова в Цюрихе (в августе 1912-го), и, наконец, в 1914 году ему предложили место без преподавательских обязанностей в Берлине и членство в Прусской академии наук.

Каждый переезд означал продвижение в обществе и большую финансовую стабильность для четы Эйнштейнов. Однако именно в этот период благосостояния брак Альберта и Милевы пошел трещинами. Цюрих стал городом, где состоялись все три акта драмы – завязка, кульминация и развязка. Здесь Эйнштейны полюбили друг друга, здесь их брак пережил первый кризис в 1909 году, когда был зачат их второй сын, Эдуард, в Цюрихе исчезла и последняя возможность спасти отношения. Когда Эйнштейн принял предложение о работе в Берлине, провал в его личной жизни стал очевидным.

Милева отличалась импульсивным и сложным характером и была склонна к депрессиям, с ней было нелегко. Студенческий период в их отношениях был наполнен светом, но золотые годы постепенно уходили. В свое время она и Альберт мечтали о совместных занятиях наукой, однако преждевременная беременность Милевы не позволила осуществиться этим планам и оборвала многие надежды. В самые тяжелые моменты в Берне супруги вместе противостояли враждебному миру. Милева тонко выразила это в игре слов: «Вместе мы были как камень» (по-немецки ein Stein – «камень»). И хотя амбиции самого Эйнштейна были реализованы, о его жене того же сказать нельзя. «Мне бы хотелось побывать там, послушать немного и посмотреть на всех этих замечательных людей», – писала Милева Альберту, когда тот отправился на научную конференцию в Карлсруэ, а она осталась дома, в Праге. Один из биографов Эйнштейна, который был женат на дочери его второй жены, рассказывал, что Милева всегда стремилась участвовать в научных занятиях своего мужа, однако «он оставлял ее дома с детьми». После десяти лет совместной жизни, в 1912 году, оба чувствовали недовольство своим браком. Милева с каждым днем ощущала себя все более одинокой и непонятой, в то время как Эйнштейн ее просто избегал. Она упрекала его за частые отлучки: «Мы так давно не виделись, что я не уверена, что ты меня узнаешь». В письмах к своей подруге Элен Савич Милева открыто делилась своей тоской: «Он неустанно работает над своими задачами; можно сказать, что он и живет ради этого. Мне стыдно, но я должна тебе признаться, что мы для него на втором месте и ничего не значим».

Действительно, Эйнштейн предпочитал избегать привязанностей. В эссе «Мир, каким я его вижу», написанном с высоты его 50 лет, ученый говорил:

Альберт Эйнштейн в 1911 году и его кузина Эльза, ставшая впоследствии второй женой ученого.

Письменный стол Эйнштейна в патентном бюро в Берне – работа, которую он совмещал с преподаванием в Бернском университете.

«Чувство справедливости и социальной ответственности развито во мне очень сильно, но странным образом уживается с тем, что я совершенно не испытываю потребности в прямых контактах с другими представителями рода человеческого или их объединениями. Я всегда был сам по себе, никогда всем сердцем не принадлежал своей стране, своему дому, своим друзьям, даже своей семье».

Хотя наука и отнимала у Эйнштейна много времени, он все же не забывает и о личной жизни, правда, сменив объект своего внимания. В пасхальные каникулы 1912 года ученый отправился в Берлин, чтобы навестить мать. Паулина в это время находилась в гостях у своей сестры Фанни, муж которой, Рудольф, принадлежал к другой ветви Эйнштейнов. Его отец приходился дядей Герману, и, кстати, он также потерял значительную сумму, вложив деньги в семейное электротехническое предприятие. Этажом выше Рудольфа и Фанни поселилась их дочь Эльза, которая только что развелась.

Эльза и Альберт познакомились в Мюнхене. Ей нравилось рассказывать, что в детстве она влюбилась в своего двоюродного брата, когда тот играл на скрипке Моцарта. Неизвестно, что послужило в этот раз причиной для возрождения детского чувства, но, так или иначе, это произошло.

Хотя мы и не знаем деталей их встречи, известно, что по возвращении в Прагу Эйнштейн начал тайком флиртовать с Эльзой в письмах. В конечном счете он признавал, что не был таким уж одиночкой: «Я нуждаюсь в том, чтобы любить кого- нибудь, иначе жизнь чересчур печальна. И этот кто-то – Вы». Точнее всего Эльзу можно описать как полную противоположность молчаливой, замкнутой и измученной Милевы: она была веселой и общительной кокеткой, не проявлявшей ни малейшего интереса к науке. Если Эйнштейн задыхался в своих семейных отношениях, то в Эльзе не было ничего, что напоминало бы о них. Однако ученый чувствовал достаточно ответственности перед семьей, поэтому сделал шаг назад: «Если мы уступим нашему взаимному притяжению, мы вызовем только смятение и беду». В конце мая, казалось, он решил резать по живому: «« […] Я пишу Вам в последний раз и покоряюсь неизбежному […]». Однако в этом «последнем» письме Эйнштейн сообщает Эльзе о смене адреса. Перерыв в переписке длился год.

В марте 1913 года Эльза прервала молчание, поздравив Альберта с его тридцать четвертым днем рождения. Он ответил, и переписка возобновилась с новой силой.

Жизнь с Милевой продолжала рушиться. Они спали в раздельных комнатах, и Эйнштейн довел до совершенства искусство отсутствовать, прикрываясь своими профессиональными обязанностями. А в марте 1914 года семья переехала в Берлин, и теперь Эйнштейну ничто не мешало наслаждаться, как он писал своему другу Бессо, «бесконечно прекрасными и приятными отношениями» со своей кузиной. Создается впечатление, что Альберт не собирался расставаться с Милевой. «Мы прекрасно можем быть счастливы вместе, – объяснял он Эльзе, – без того, чтобы причинять ей боль». Возможно, Эйнштейн надеялся обойтись без жертв: сохранить отношения с женой, чтобы не ранить ее, не чувствовать себя виноватым, не расставаться со своими детьми, и в то же время окунуться с Эльзой в прекрасный мир чувств. Однако он напрасно считал, что его кузина готова довольствоваться ролью одной из вершин треугольника. Эльза не раз давала понять Эйнштейну, что развод нельзя откладывать бесконечно.

В итоге разразился неизбежный кризис, и Милева вместе с Гансом Альбертом и Эдуардом ранним утром в конце июля села на поезд в Цюрих. Поначалу казалось, что все еще можно вернуть. Друзья семьи попытались деликатно примирить супругов, и не исключено, что при других обстоятельствах это было бы возможно. Однако в это время Австро-Венгрия вторглась в Сербию, и вспыхнула Первая мировая война. Граница закрылась. Эйнштейн и Эльза оказались с одной ее стороны, в Берлине, а Милева с детьми – с другой, в Цюрихе.

Хотя Эйнштейн и находил утешение в новой любви, разлука с детьми его терзала. Два года спустя в письме к подруге своей жены он так рассказывал о случившемся:

«Для меня расставание с Мицей [Милевой] было вопросом жизни и смерти. Наша совместная жизнь стала невозможной, даже гнетущей, но я не смогу объяснить почему. Так что я разлучился с моими детьми, которых так люблю. За те два года, что мы живем порознь, я видел их два раза. Прошлой весной мы совершили с Альбертом небольшое путешествие. С глубокой печалью я осознал, что мои сыновья не понимают моих поступков, что они испытывают ко мне молчаливую неприязнь, и пришел к выводу, что, хотя мне и больно, но для них будет лучше не видеться с отцом».

В эти непростые годы Эйнштейн напряженно размышлял о гравитации и квантовой механике, оправдывая свое кредо: «Пока я могу работать, я не должен и не буду жаловаться. Работа – это единственное, что наполняет мою жизнь смыслом». В 1915 году для ученого начался один из периодов максимального умственного напряжения. К тому моменту вокруг него было открыто три фронта: Первая мировая война, развод с Милевой и, наконец, его соперничество с математиками из Гёттингена в том, кто раньше завершит геометрическую теорию гравитации.

На тернистом пути к общей теории относительности в течение восьми лет, сквозь все тени сомнений, Эйнштейна вела путеводная звезда, которая загорелась в ноябре 1907 года. Позднее он называл ее самой удачной идеей в своей жизни. Согласно анекдоту, все произошло из-за маляра, который упал с лесов. Когда Эйнштейн поинтересовался его самочувствием, тот рассказал, что во время падения был очень краткий миг, когда он будто бы парил в воздухе. Годами спустя ученый вспоминал: «Человек в свободном падении не почувствует собственного веса. Я вздрогнул. Эта простая идея оставила во мне глубокий след и подтолкнула к теории гравитации».

В этом письме американскому астроному Джорджу Эллери Хейлу в октябре 1913 года Эйнштейн объясняет возможность того, что «световые лучи отклоняются в гравитационном поле», и предполагает, что, в случае солнечной массы и очень близко от звезды, это отклонение достигает 0,84" и уменьшается пропорционально 1/R, где R – расстояние между лучом и центром Солнца. Эта идея представляет собой зачаток эксперимента, который в 1919 году доказал общую теорию относительности.

Так появился новый эпизод, позволивший человечеству исследовать природу гравитации. Сначала Галилей бросал с вершины Пизанской башни деревянные и свинцовые шары. Потом пришла очередь Ньютона и его яблока, и, наконец, появился Эйнштейн и несчастный случай с маляром.

В школе нас учат, что гравитация – это сила, которая поддерживает нас на земле, и что космонавты вдалеке от таких больших тел, как Земля, свободно парят во тьме космоса. Тем не менее мы все в некотором смысле космонавты. Если бы волшебным образом у нас под ногами разверзлась пропасть, то мы испытали бы то же свободное падение, что и парашютист, прыгнувший с самолета. Ни Земля, ни взаимное притяжение никуда бы не делись, однако исчезло бы наше ощущение веса. Когда падает чашка кофе, она разбивается на осколки. Если бы мы уронили ее в тот самый момент, когда под нашими ногами разверзлась бездна, чашка сопровождала бы нас в падении, летя рядом.

Человек, находящийся в замкнутом пространстве, не может сказать, парит ли он в вакууме космической капсулы или просто падает. Если он достанет из кармана бумажник и поместит его на уровне глаз, то увидит, что тот останется висеть в воздухе.

Впрочем, необязательно прибегать к уловкам вроде пропасти под ногами или человека, заключенного в замкнутом пространстве. Во время прыжка, сразу после достижения максимальной высоты, мы наслаждаемся кратким мигом свободного падения. Дети упиваются ощущением невесомости, которое они испытывают во время прыжков на батуте. Для тренировки космонавтов в НАСА используется тот же самый феномен: чтобы обеспечить 20 секунд невесомости, реактивный самолет КС-135 взлетает и падает с высоты, словно на воздушных горках. Однако преодоление гравитации имеет и побочные эффекты, недаром пассажиры КС-135 дали ему другое название – тошнолет [1 Англ. Vomit Comet.], и это подтверждает, что наш желудок – лучший детектор ускорений.

Эйнштейн обнаружил иллюзорность, заключенную в таком, казалось бы, основополагающем явлении, как гравитация. Двойственность гравитации и ускорения распространяется на любую массу. Находясь в кабине лифта при изменении его скорости каждый из нас может почувствовать себя легче или тяжелее. Возвращаясь к экспериментам Галилея, представим себе, что мы заключили Доменика в подобие корабельного трюма, без единого люка. Трюм, в свою очередь, находится в огромном космическом лифте, не имеющем никакой массы. Если лифт поднимается с ускорением, дающим Доменику ощущение его собственной массы, то он не сможет определить, на Земле он находится или в космосе.

Удачная идея Эйнштейна напоминает фокус иллюзиониста: с помощью ускорения возможно сымитировать как рост гравитации, так и ее исчезновение. Эту своеобразную связь он назвал принципом эквивалентности. Начиная с 1905 года важнейшей задачей, стоявшей перед ученым, было расширение специальной теории относительности, которая рассматривала исключительно тела, двигающиеся с постоянной скоростью. Совершенная физическая теория обязательно должна учитывать ускорение, а Эйнштейн хотел ввести в нее и понятие гравитации. Закон всеобщего тяготения функционировал на основе математического механизма, который после релятивистского переворота устарел. Знаменитое уравнение Ньютона

имело две проблемы.

Если мы присмотримся к нему, то обратим внимание на то, что в знаменателе находится г, расстояние между массами. Однако Эйнштейн знал, что, согласно сокращению Лоренца, два наблюдателя, один из которых находится в движении, а другой в покое, воспринимают расстояние по-разному. Как тогда учитывать эту величину в уравнении? С другой стороны, в этой формуле отсутствует время, то есть действие силы считается моментальным. Однако если m отдаляется от m' силы начинают действовать по-другому, и это нарушает основную заповедь релятивизма, согласно которой ничто не может двигаться быстрее света. Обнаружив эквивалентность гравитации и ускорения, Эйнштейн понял, что может одновременно решить две задачи: если ему удастся ввести ускорение в теорию относительности, гравитация также автоматически войдет в нее.

Изучив вопрос глубже, Эйнштейн понял, что человек, находящийся в замкнутом пространстве, все-таки может определить, парит ли он в невесомости. Попробуем это доказать. Допустим, что человек вынет все из карманов: бумажник, носовой платок, ключи, мобильный телефон – и разместит эти предметы вокруг себя. Бумажник будет парить у него над головой, платок – справа, ключи – слева, а телефон – под ногами. Итак, что будет происходить с этим человеком во время свободного падения на Землю и при парении в космическом вакууме?

1) Во время свободного падения.

Сначала обратимся к Ньютону: сила, с которой Земля притягивает другое массивное тело, обратно пропорциональна разделяющему их расстоянию в квадрате:

где G – гравитационная постоянная, равная 6,67 • 10^-11 м³ • с^-2 • кг^-1 , М – масса Земли, m – любая другая масса, r – расстояние.

Бумажник находится немного дальше от Земли, чем человек, поэтому притягивается меньше. В свою очередь, мобильный телефон находится ближе и испытывает большее притяжение. А что случится с носовым платком и ключами? Так как притяжение направлено к центру массы, линии, соединяющие эти предметы с центром Земли, не будут параллельны. Следовательно, через несколько секунд бумажник, как и телефон, тоже будет стремиться вниз, а носовой платок и ключи приблизятся к нему с двух сторон (рисунок 1). Иногда, чтобы описать это отклонение, говорят о приливных силах, поскольку эта же сила притяжения вызывает на Земле приливы и отливы.

2) В космосе.

Для того чтобы предметы вели себя описанным образом, необходима близость Земли, и в этом случае герою нашего эксперимента лучше заранее приготовиться к болезненному приземлению (рисунок 2).

За короткое время и не имея всей информации, человек не сможет понять, находится он в свободном падении или парит при нулевой гравитации. Похожие ощущения возникают даже при обычном прыжке: в самой высокой точке траектории невозможно отличить падение от невесомости, и на этой двойственности основан принцип эквивалентности. Но если немного подождать, то рано или поздно в невесомости возникнет отклонение. Вспомним геометрию: на небольших расстояниях мы не можем понять, круглая Земля или плоская, но при значительной дистанции мы замечаем, как прямая линия отклоняется, обнаруживая закругление Земли. И в этой аналогии – ключ к введению гравитации в релятивистскую теорию.

Когда слепой жук ползет по поверхности шара, он не замечает, что пройденный им путь искривлен, мне же посчастливилось заметить это.

Ответ Эйнштейна на вопрос его сына Эдуарда о том, почему он так знаменит.

Летом 1912 года, сразу после возвращения в Прагу из Цюриха, Эйнштейн обратился к своему другу Марселю Гроссману с просьбой: «Ты должен помочь мне или я сойду с ума». В студенческие годы Гроссман частенько одалживал будущему ученому конспекты, когда тот пропускал занятия, а впоследствии спас его от нищеты, предложив место в патентном бюро. Сейчас же Эйнштейн стал авторитетом в неевклидовой геометрии. Гроссман охотно согласился сотрудничать с ним, и они предприняли экскурс в мир поверхностей, очень похожий на тот, что ожидает нас.

Если два человека начертят на плоской поверхности прямые, перпендикулярные другой линии, то эти прямые будут параллельны и никогда не пересекутся. Однако если эти два человека будут находиться на экваторе шара, все окажется иначе. В зависимости от размеров сферы рано или поздно линии пересекутся (рисунок 1).

При гигантских размерах шара, возможно, довольно долго никто не догадается, что его поверхность не плоская. Сегодня, когда мы имеем возможность взглянуть на Землю из космоса, ее сферическая форма кажется чем-то само собой разумеющимся. Однако чтобы прийти к этому открытию, человечество потратило тысячи лет. Вероятно, в первый раз о том, что Земля не плоская, задумались моряки, которые в длительных плаваниях ориентировались по звездам. Эксперимент с параллельными прямыми – это дедуктивный способ, который помогает человеку, находящемуся на поверхности Земли, понять, круглая она или плоская. Достаточно довольно долго вести линию перпендикулярно экватору. Через некоторое время линии сблизятся – обнаружится закругление. А что произойдет, если у нас не будет времени на то, чтобы нарисовать достаточно длинные прямые? Ведь при больших размерах сферы два коротких отрезка будут практически параллельны, и с их помощью невозможно оценить, на плоскости или на шаре мы обитаем.

РИС. 1

РИС. 2

РИС. 3

РИС. 4

Вообразим себе лист бумаги и поставим на нем две точки (рисунок 2). Если нас попросят соединить их кратчайшим образом, мы сделаем это с помощью прямой линии (рисунок 3). Однако точки, поставленные на поверхности шара, соединяет не прямая, а дуга окружности (рисунок 4).

Такие кратчайшие линии называются геодезическими. Их можно провести на любой поверхности, даже имеющей довольно сложную геометрию, правда, и форма геодезических линий тоже изменится (рисунок 5).

К любой точке даже самой сложной поверхности мы всегда можем приблизиться с помощью касательной плоскости (рисунок 6).

Повторив операцию со множеством точек, мы обнаружим, что замостили поверхность плоскостями на каждом достаточно гладком участке. Если рельеф особенно неровный, поверхность превратится в мозаику из маленьких плоских участков.

РИС. 5

РИС. 6

РИС. 7

РИС. 8

РИС. 9

Возьмем поверхность, на которой отмечены две точки и соединяющая их геодезическая линия, и попытаемся замостить ее плоскими участками (рисунки 7 и 8). Мы увидим, что поверхность со сложным рельефом распадается на плоские плитки, а геодезическая линия превращается в последовательность прямых линий (рисунок 9). Для обитателя поверхности, который ориентируется только в рамках одной такой плоской плитки, мир будет плоским, а геодезические линии – прямыми. Заключенный в ограниченном пространстве, он не знает, на ровной поверхности он живет или нет. Но по мере того как будут расширяться его знания о мире, прямые линии вокруг него начнут искривляться и превращаться в более сложные геодезические. Эта ситуация напоминает неопределенность, которую можно испытать в свободном падении: понять, падаешь ты или паришь, можно лишь по прошествии достаточного количества времени. Эйнштейн предположил, что в этих двух случаях речь идет об одном и том же.

Летом 1912 года он пришел к выводу, что теория поверхностей, созданная математиком Карлом Фридрихом Гауссом, «содержала ключ к разгадке» для введения гравитационного взаимодействия в релятивистскую теорию. Это открытие побудило его как можно скорее углубиться в математические изыскания, а Гроссман помог ему овладеть необходимыми инструментами для переложения физической интуиции на формальный язык дифференциальной геометрии.

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) по масштабу своего мышления может сравниться разве что с Ньютоном или Архимедом. Некоторые из самых значительных его открытий, такие как неевклидова геометрия и алгебра комплексных чисел, не были опубликованы, чтобы избежать научных споров. Гаусс мог себе это позволить: напечатанной части его работ было достаточно, чтобы произвести переворот в математике. Риман обобщил идеи Гаусса в дифференциальной геометрии. В 1854 году он прочитал лекцию на эту тему, завершив выступление словами: «Это приводит нас в сферу другой науки, физики, куда сегодня мы не можем углубиться». Риман остановился на границе, которую осмелился пересечь только Альберт Эйнштейн, родившийся четверть века спустя. Однако познать тайну строения космоса ему помогли разработанные Риманом математические инструменты.

До начала XIX века и публикации работы Гаусса «Общие исследования о кривых поверхностях» двумерные пространства рассматривались с трехмерной перспективы, словно со стороны. Заслуга Гаусса состоит в том, что он погрузился в саму поверхность, сталкиваясь, по мере своего продвижения, с различными новыми задачами. Это воображаемое путешествие стало первым шагом в изучении внутренней геометрии поверхностей, которая получила мощный толчок в развитии благодаря одному из учеников Гаусса, Бернхарду Риману (1826-1866).

Когда речь идет о плоскости, кажется разумным экстраполировать свойства небольшого участка на другие, близкие ему. Однообразие плоскости подразумевает, что все ее участки идентичны. Однако в более сложной среде каждая неровность становится новой точкой отсчета. Мы различаем возвышения и углубления, и особенности одного участка плоскости нельзя приписать другому ее участку. Следовательно, чтобы изобразить внутреннюю структуру поверхности, мы должны составить карту всей ее площади.

Для того чтобы это сделать, Гаусс обратил внимание на то, что произойдет, если мы возьмем любую точку на поверхности и немного продвинемся от нее в случайном направлении. Если мы находимся на плоской поверхности, такой, например, как пол в доме, то в каком бы направлении мы ни двигались, пройденный путь будет равен расстоянию до точки. Но на изогнутой поверхности все оказывается сложнее. Двинувшись направо, мы, возможно, спустимся вниз, а повернув налево, можем обнаружить крутой подъем.

В качестве примера рассмотрим положение двух людей на рисунке со следующей страницы. Оба двигаются от точки А к точке В, расположенной неподалеку. Первый человек идет по прямой линии на плоском участке, а второй движется в углублении. Чтобы дойти от А до В, второй человек должен пройти больше, чем первый, из-за геометрической кривизны участка (рисунок 10). И для каждого из них расстояние от А до В будет разным.

РИС. 10

РИС. 11

РИС. 12

Гаусс ввел новую математическую функцию, метрику (она обозначается буквой g), которая показывает расстояние до точки поверхности в зависимости от того, в каком направлении мы движемся. Как вы уже понимаете, на неровной поверхности эта информация от точки к точке меняется.

Метрику можно считать руководством по устройству поверхности, поскольку она содержит все интересующие нас данные. Когда рассматриваешь пространство из более высокого измерения, его неровности становятся заметны невооруженным взглядом, а метрическая функция позволяет нам оценить их, находясь непосредственно на поверхности.

Геометрические свойства поверхности должны быть независимы от системы координат, выбранной для ее описания, – так же, как в новостях, на какой бы язык мы их ни перевели, речь должна идти об одном и том же. Расстояние между двумя точками – это информация, которая не меняется с «переводом», то есть с изменением координат. Точки 1 и 2 находятся на разных расстояниях от точек А и В, но расстояние между ними самими не меняется, то есть, на языке алгебры, расстояние является инвариантом (рисунок 11). С помощью метрической функции возможно определить расстояние между любыми двумя точками на поверхности. Также она позволяет построить другие инварианты, например кривизну, то есть величину, выражающую, насколько отклоняется поверхность от евклидовой плоскости (рисунок 12).

Чтобы построить метрическую функцию, Гаусс начал с расстояния между любыми двумя ближайшими точками на поверхности, координаты которых различались бы ничтожно мало. Самое элементарное понятие расстояния можно получить из теоремы Пифагора (рисунок 1). Чтобы указать, что мы можем произвольно уменьшить расстояние между точками (х₁; у₁) и (х₂ ;у₂ ), изменим обозначение Δх (измеряемая величина) на dх (дифференциальная величина) (рисунок 2). Это обозначение перестает работать, когда координаты больше не указывают на две перпендикулярные оси, х и у, либо если мы находимся на искривленной поверхности, например на поверхности шара (рисунок 3).

РИС. 1

РИС. 2

РИС.3

Чтобы расширить рамки теории, Гаусс работал с более общими координатами, и и v, и установил, что квадрат расстояния между двумя точками, разделенными бесконечно малым расстоянием (u, v) и (u + du, v + dv) определяется по формуле:

где Е, F и G – функции координат.

Чтобы измерить длину, достаточно сложить по всей длине кривой все бесконечно малые расстояния ds² , заключенные между двумя ее крайними точками. Немец Бернхард Риман не удовлетворился исследованием поверхностей в двух измерениях и расширил вопрос, поставленный Гауссом, на любое их число. В этом случае

где n может быть любым натуральным числом.

Числа g являются функциями координат. Следовательно, квадрат расстояния между двумя ближайшими точками ds² увеличивается и уменьшается по мере того, как мы перемещаемся по поверхности и обнаруживаем ее неровности.

Если сделать формулировку Гаусса более общей, как предложил Риман, получим следующее:

n = 2 x₁ =u x₂ =v

g₁₂=g₂₁=F g₁₁=E g₂₂=G

Совокупность функций g (метрик) отражает неровности рельефа. Их можно представить в виде квадратной матрицы из n² элементов:

Инварианты отражают объективные свойства пространства и не зависят от точки зрения, выбранной для описания поверхности. Это свойство предлагало вторую аналогию, очень заманчивую для Эйнштейна, который задавался вопросом: возможно ли, что принцип относительности продолжает действовать для систем, которые обладают ускорением одна по отношению к другой? Иными словами, если принцип выполняется в системах с постоянной скоростью, будет ли он выполняться в системах с переменной скоростью? Вспомним, что один из постулатов специальной теории относительности звучит так: «Любое физическое явление протекает одинаково во всех инерциальных системах отсчета». Этот постулат кажется связанным со следующим геометрическим принципом: «Инварианты, такие как расстояние и кривизна, одинаковы в любой системе координат». Этот параллелизм позволил Эйнштейну подойти очень близко к границе физики и геометрии.

Немецкий математик Герман Минковский (1864-1909) подготовил почву для того, чтобы выразить идеи Эйнштейна на языке Гаусса. Он предложил четырехмерное псевдоевклидово пространство в качестве геометрической интерпретации пространства-времени специальной теории относительности. Минковский сделал не лишенное театральности заявление: «Отныне пространство и время по отдельности отступают на второй план, и лишь их единый континуум будет рассматриваться как независимая реальность». Аналогичную операцию он провел и с тремя пространственными координатами – шириной, глубиной и высотой.

Если представить себе муху, перемещающуюся по прямой линии, то логично вообразить ее передвижение с помощью моментальных снимков через определенные интервалы времени. Можно представить насекомое в виде точки, которая скользит по диагонали на двумерной плоскости, где t и х- подобные переменные.

Движение тел в пространстве с течением времени представляет собой перемещение по четырехмерной гиперповерхности, на которой каждому событию соответствуют три координаты трехмерного евклидова пространства и четвертая – координата времени. После этого концептуального скачка параллели между свободным падением и невесомостью и между кривой поверхностью и касательной к ней плоскостью перестали быть простыми аналогиями. Геодезические линии и инварианты метрической функции немедленно приобрели физический смысл.

Для математика геодезическая линия статична, это просто линия на бумаге. Однако среди четырех измерений пространства Минковского присутствует время: геодезические линии приобретают динамику, превращаясь в траектории. Временная координата выражает не просто точку в событии, а изменение координат в системе отсчета.

Но возможен и обратный взгляд – на физику со стороны геометрии. Посмотрим на двумерное изображение Луны на ее орбите (рисунок 13).

Если мы сейчас задумаемся, как изобразить положение Луны в зависимости от времени, то интуиция нам подскажет: надо представить, как спутник описывает обороты вокруг нашей планеты. И воспринимая время как одну из пространственных характеристик, мы получим трехмерное геометрическое изображение движения Луны (рисунок 14).

Минковский ввел новое понятие – собственное время, обозначив его греческой буквой тау. Эта величина соответствует расстоянию не между двумя положениями тела, а между двумя событиями. Каждая совокупность координат включает в себя три пространственных значения и одно временное, определяя, где и когда произошло событие.

РИС. 13

РИС. 14

Два плоских изображения системы, состоящей из Земли и Луны, где пространство описывается только в двух измерениях.

На втором изображении (рисунок 14) добавляется время.

Перемещаясь из одной точки в другую, мы оставляем четырехмерный след – мировую линию. Нашу жизнь можно рассматривать как траекторию в пространстве Минковского, как последовательность мест и событий, связанных между собой. Мемуары физика Георгия Гамова так и называются – «Моя мировая линия: неформальная автобиография».

В предыдущей главе мы обнаружили, насколько пластично наше восприятие. Стоит только войти в зеркальный лабиринт относительности, перескакивая от одной системы отсчета к другой, как время и расстояние начинают вести себя, словно в декорациях сюрреалистического фильма, – они деформируются, растягиваются и сплющиваются. Движущиеся предметы сжимаются и замедляют ход своих часов. Однако собственное время продолжает быть расстоянием, то есть геометрическим свойством со всеми вытекающими последствиями. Таким образом, собственное время – это инвариант, предлагающий во всех системах отсчета, для любого наблюдателя одну и ту же информацию.

Если в евклидовом пространстве квадрат расстояния между двумя ближайшими точками (ds) определяется как ds² = dx² + dy² + dz² , то в пространстве Минковского аналогичный ему квадрат интервала равен ds² = dx² + dy² + dz² – c² dt² .

В результате умножения скорости света с (в международной системе она измеряется в м/с) на t (в секундах) четвертая переменная обретает ту же размерность, что и три пространственные переменные. Величина ds² инвариантна. Измерив ее в двух разных системах координат (х, у, z, t) и (х', у', z', t’), мы получим один и тот же результат:

ds² =dх² + dу² +dz² -c² dt²

=> c/s² =c/s'²

ds'² = dx'² +dy'² + dz'² – c² dt'²

Стремясь соединить две системы координат так, чтобы выполнялось равенство ds² = ds'² , мы приходим к уравнениям Лоренца. Извлечем метрическую функцию из формулы ds² :

В этом случае составляющие g с постоянными значениями образуют плоскость без каких-либо искривлений и неровностей. Ее геодезические линии прямые, но из- за изменения знака временной координаты они соответствуют не кратчайшей дистанции между двумя точками пространства-времени, а наиболее длинной.

Чтобы рассмотреть это подробнее, используем трехмерную параболу. Поставим стержень вертикально около стены и осветим его двумя прожекторами, сверху и сбоку. Тень, отбрасываемая благодаря вертикальному прожектору, будет иметь вид точки на полу, а с помощью бокового прожектора на стену упадет тень от всего стержня (рисунок 15).

Если теперь мы начнем наклонять стержень (в плоскости, определяемой двумя источниками света), то тень на полу будет расти, в то время как тень на стене – уменьшаться (рисунок 16).

РИС. 15

РИС. 16

РИС. 17

Переведя стержень в горизонтальное положение, мы увидим ситуацию, обратную начальной: тень на стене имеет вид точки, в то время как тень на полу равна всей длине стержня (рисунок 17).

Можно сказать, что пол и стена – это двумерные плоскости, обитатели которых могут наблюдать, как стержень укорачивается (в пространстве) и удлиняется (во времени). А мы получили геометрическую интерпретацию сжатия Лоренца и временного расширения. Обитатели наших двумерных поверхностей могли бы обеспокоиться, обнаружив, что длина стержня меняется при движении. Однако они могли бы разработать трехмерную математическую модель и прийти к выводу, что эти изменения иллюзорны. Во время движения стержня меняются исключительно размеры теней, а длина самого стержня в пространстве с большим количеством измерений остается неизменной.

В наших примерах используются как двумерные, так и трехмерные пространства. Между тем пространство Минковского нуждается в еще одном параметре: искривление пространства-времени выражается четырьмя координатами. Соотнося результаты наблюдений двух обитателей, следует учитывать: часть того, что для одного – пространство, для другого – время, и наоборот. Это обстоятельство легко выразить в математическом уравнении или с помощью подобия, но почти невозможно прийти к нему на интуитивном уровне.

Пространство-время Минковского предполагает некоторую аскетичность, так как тела в нем движутся с постоянной скоростью. С четырехмерной перспективы предметы без ускорения изображаются как точки или как прямые линии. С введением гравитации и ускорения прямые искривляются, они ведут себя подобно двум параллельным линиям, проведенным на поверхности сферы. Прямая линия из двумерного мира, огибая шар, превращается в дугу, а прямые траектории из специальной теории относительности превращаются в геодезические кривые с ускорением в мире общей теории относительности.

На искривленной поверхности мы можем описать окрестность точки с помощью касательной плоскости. Этот же способ поможет нам, хотя и на небольших участках, физически описать траекторию тела с ускорением при помощи свободного падения. Приближение будет более или менее точным в зависимости от кривизны пространства (иными словами, в зависимости от ускорения, воздействующего на тело).

Общая теория относительности захватила пространство Минковского и искривила его. Из-за чего это произошло? Из-за присутствия массы. Чем больше материи (или энергии) присутствует в пространстве, тем сильнее оно искривлено. Как сказал американский физик Джон Уилер, «гравитация – это не чуждая физическая сила, действующая в пространстве, а проявление геометрии пространства там, где находится масса».

Теперь мы можем выразить суть общей теории относительности в двух утверждениях.

– Траектория тела в гравитационном поле в четырехмерном пространстве принимает форму геодезической линии.

– Отношение между присутствием массы и формой четырехмерного пространства определяется следующим уравнением:

С помощью того же Уилера объясним эту формулу более простым языком: «Пространство говорит материи, как двигаться, а материя говорит пространству, как искривиться». В левой части уравнения мы определим g из метрической функции g_μv. Как R_μv так и R – это математические конструкции, формирующиеся на основе g. Эти инварианты отражают, насколько отклоняется пространство от пространства Минковского, измеряя кривизну в каждой его точке.

Второй член, тензор энергии-импульса (T_μv, воплощает материю.

Уравнение Эйнштейна объясняет нам, что в определенной части пространства его кривизна пропорциональна числу (константа G) и количеству материи (или энергии), которая в нем содержится. Мы можем представить себе мир с малой плотностью и постоянными скоростями как гладкий лист бумаги, испещренный прямыми линиями, который начинает сморщиваться, когда увеличивается плотность и появляется ускорение, вплоть до излома линий. Это изменение отражает метрика Минковского, константы которой в определенный момент начинают изменяться.

Предположим, что несколько человек держат на весу простыню. В ее центр помещают тяжелый шар. Если начать покачивать простыню, на ее поверхности появятся складки и морщины, которые приведут шар в движение. Он будет двигаться по всем возможным траекториям, скатываясь вниз и замедляясь на подъемах. Движение шара будет полностью зависеть от формы, которую принимает поверхность простыни, от ее геометрии. Однако шар играет не только пассивную роль: под его весом и от его движений поверхность простыни также меняется. А если на простыню бросить маленький стеклянный шарик, его траектория будет зависеть не только от движения простыни, но и от перемещений большого шара. Если бы простыня была невидимой, мы могли бы заметить, как таинственная сила, исходящая из центра большого шара, воздействует на стеклянный шарик, словно притягивая его к себе. Нам бы не пришло в голову объяснить кривую, которую вычерчивает стеклянный шарик, деформацией невидимой простыни, геометрия которой зависит от присутствия и движения тел, находящихся на ней. Эту аналогию можно перенести на гравитационные поля, в которых присутствие массы (и, следовательно, энергии) деформирует структуру пространства-времени, ускоряя, замедляя или отклоняя от траектории все тела, участвующие в этом танце.

Присутствие массы позволяет нам в точности воссоздать архитектуру четырехмерного пространства, о котором говорится во втором утверждении, а первое утверждение описывает траектории любого тела, движущегося в этом пространстве.

Уравнение Эйнштейна отражает важное геометрическое свойство. Оно включает инварианты и, следовательно, справедливо для любого наблюдателя. Если расстояние и кривизна пространства не зависят от системы координат, то физические феномены также не обусловлены положением наблюдателя в пространстве – так можно обобщить один из постулатов специальной теории относительности: любое физическое явление протекает одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Однако мы можем пойти дальше и сказать: физические законы действуют одинаково во всех системах отсчета, движущихся с ускорением.

С легкой руки Германа Минковского «вирус» теории относительности захватил Гёттингенский университет. В близкое окружение ученого входил один из самых влиятельных и плодовитых математиков XX века – Давид Гильберт. Минковский потратил годы, чтобы привить ему любовь к физике, прибегая при этом даже к дружескому шантажу в виде отказа посетить Гильберта в рождественские каникулы: «Учитывая обстоятельства, не знаю, нуждаешься ли ты в моем обществе. Мне кажется, ты посчитаешь, что я заражен физикой до мозга костей. Так что я останусь в карантине, пока Гурвиц и ты не пригласите меня вновь на свои прогулки, чтобы вести беседы о математических абстракциях».

На своей первой лекции по теории относительности, в 1907 году, Минковский так описал разницу между физиками и математиками: «Похоже, что электромагнитная теория света привела к полному перевороту в наших представлениях о пространстве и времени, что должно вызывать особый интеpec у математиков. Математики при этом находятся в привилегированном положении, они всегда могут приспособить новые точки зрения к уже известным концепциям. И если они продолжают спокойно двигаться по старой проторенной дороге, то физики должны заново открывать знакомые понятия, прорубая дорогу через непроходимый лес». Минковский, который тоже «прорубал дорогу сквозь непроходимый лес», был очень удивлен догадливостью своего бывшего ученика: «Ох, этот Эйнштейн, вечно пропускавший занятия! Никогда бы не подумал, что он способен на такое!»

Минковский скоропостижно скончался от аппендицита, оставив свою работу незавершенной. Гильберт тяжело переживал его смерть. Он заметно изменил свое отношение к физике и после смерти товарища словно продолжал его мысли: «Рассуждая письменно, физики легко пропускают важные логические ходы […], в то время как ключ к пониманию физических процессов часто находится у математиков». Или, как говорил Гильберт в неформальной обстановке, «физика становится слишком сложной, чтобы оставить ее физикам».

Сознательно или нет, математик решил осуществить программу своего старого друга. Одним из его основных достижений была аксиоматизация геометрии, а сейчас он собрался провести ту же операцию с физикой. Гильберт провозгласил лозунг: «Мы провели реформу математики, теперь мы должны реформировать физику, а потом придет очередь химии». Именно этим он занимался, встретив Эйнштейна, работавшего в то время над общей теорией относительности.

Почти год прошел с начала Первой мировой войны, которая была еще далека от развязки. В апреле 1915 года немцы впервые применили химическое оружие, распылив хлор около реки Ипр. Окопы накрыл желтовато-зеленый туман. В развитии теории относительности также намечалась битва, хотя и менее кровопролитная. В конце июня Эйнштейн принял приглашение Гильберта и поехал в Гёттинген, чтобы в цикле из шести лекций рассказать об общей теории относительности. Остановился он в доме у Гильберта, и оба светила провели немало оживленных научных бесед.

Ученые произвели друг на друга великолепное впечатление. «К моей большой радости, я полностью преуспел в том, чтобы убедить Гильберта и Кляйна», – поздравлял себя Эйнштейн. Гильберт также не скрывал удовлетворения: «Летом у нас побывали Зоммерфельд, Борн и Эйнштейн. Лекции последнего о теории гравитации стали особым событием».

Эйнштейну, несомненно, удалось соблазнить гёттингенских математиков своим геометрическим подходом к изучению сил тяготения. Ученый при этом не догадывался, что математики, не сговариваясь, посчитали, что он находится на распутье – в той точке, где физика становится слишком сложной, чтобы оставить ее физикам. Великий патриарх гёттингенской школы, Феликс Кляйн, сетовал: «В работе Эйнштейна есть несовершенства, которые не наносят вреда его значительным идеям, но, тем не менее, скрывают их». А Гильберт позволял себе шутки по этому поводу: «Любой гёттингенский юноша понимает в четырехмерной геометрии больше, чем Эйнштейн».

В ноябре карты были раскрыты. Толчком к этому стало признание Эйнштейна в том, что он «потерял всякую веру» в уравнения поля, которые защищал последние три года. Ученый решил вернуться к рассуждениям, которые он оставил в стороне еще в 1912 году как противоречащие ньютоновской физике. Известие, что Гильберт обнаружил ошибки в его работе и начал собственную атаку на уравнения поля, было как снег на голову. Гильберт значительно превосходил Эйнштейна в математических познаниях, и это казалось определяющим фактором для решения задачи. Однако Эйнштейн обладал немыслимым чутьем в физике.

Он ускорил работу и погрузился в бездну уравнений, которые без конца исправлял, вымарывал и писал заново, рассматривая все возможные варианты. Ученый отказался практически от любой деятельности, которая могла его отвлечь, он не отличал дня от ночи и иногда даже забывал поесть. Это упорство наконец дало результаты. Туман вокруг математического обоснования теории почти развеялся… 14 ноября в почтовый ящик Эйнштейна положили письмо со штемпелем Гёттингена – от Гильберта. Математик хвастался своим успехом:

«На самом деле до того как предложить аксиоматическое решение твоей исключительной задачи, мне бы хотелось подумать о каком-нибудь его применении, важном для физиков, вроде верного отношения между физическими константами».

Переписка между Гильбертом и Эйнштейном стала настоящим поединком предложений и предупреждений. 18 ноября Эйнштейн наконец вышел в свет. Последняя версия его теории объясняла аномальное отклонение прецессии [2 Прецессия – явление, при котором момент импульса тела меняет свое направление в пространстве под действием момента внешней силы. – Примеч. ред.] орбиты Меркурия, описанное французским математиком Урбеном Леверье в 1859 году и оставшееся без объяснения в рамках ньютоновской физики. Также теория предсказывала искривление траектории луча света в поле тяготения. Уравнения Эйнштейна сводились к ньютоновским в гравитационных полях малой интенсивности – это открытие на несколько дней привело его в состояние эйфории.

Гильберт родился в прусском городе Кёнигсберге в 1862 году. Он сделал блестящую карьеру и с самого начала стал лидером своего поколения математиков. Совместно с Феликсом Кляйном он превратил Гёттингенский университет в один из мировых центров математических исследований. На Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году Г ильберт предъявил перечень из 23 задач, решение которых, как он считал, определяло путь развития математики в целом. Несмотря на соперничество Гильберта с Эйнштейном, у них было много общего, и ученые понравились друг другу с первых дней знакомства. Оба отказались подписать декларацию в поддержку немецкой интервенции в Первой мировой войне. У Гильберта, как и у Эйнштейна, был сын-шизофреник, и отношения между ними также были довольно сложными. Роднило этих ученых и стремление к афористичности. Гильберт говорил: «Важность научной работы можно оценить по числу предыдущих публикаций, которые та делает избыточными».

Математик дожил до 81 года и в последние годы жизни вынужден был наблюдать, как нацисты уничтожают его математическую школу, которая создавалась в течение 30 лет. Однажды на банкете в 1934 году министр культуры спросил Гильберта, насколько верны слухи о том, что немецкая математика пострадала от национал-социалистических чисток.

Ученый ответил: «Пострадала? Математики совершенно не пострадали, господин министр. Их больше просто не существует».

25 ноября 1915 года Эйнштейн представил свою версию уравнений поля Берлинской академии: «Наконец общая теория относительности получила логическую структуру». Пятью днями ранее Гильберт выступил с докладом о своей аксиоматической программе перед Гёттингенской академией наук. Кто победил в этом состязании?

Хотя Гильберт и представил результаты публике первым, в его первоначальной статье, написанной на основе лекции в Гёттингене, нет верных уравнений гравитационного поля. Они появляются только в версии, опубликованной в марте 1916 года. Следовательно, первенство принадлежит Эйнштейну. Если мы оценим результат в соответствии с поставленной задачей, то увидим, что Эйнштейн решил ее, а Гильберт достаточно сильно промахнулся.

Математик практически полностью проигнорировал экспериментальный контекст. Релятивистское прочтение гравитации было одним из аспектов его аксиоматической теории, которая охватывала не только гравитацию, но также электромагнетизм и его взаимодействие с материей. Гильберт считал, что фундаментальные уравнения физики должны быть выведены из функции, которую он назвал мировой, а ее свойства определил в паре аксиом. Его лекция имела название «Основания физики», и речь в ней шла о дисциплине, из которой теперь должна была «возникнуть такая наука, как геометрия».

Математик использовал гораздо более сложный аппарат, чем Эйнштейн, и решил некоторые задачи более прямым образом. Однако его стремление унифицировать относительность и электромагнетизм, между делом осмыслив внутриатомные процессы, не увенчалось успехом. Впрочем, Эйнштейн считал, что достижение этой цели потребовало бы сверхчеловеческих усилий.

Возможно, Герман Вейль, ученик Гильберта, сделавший важный вклад в теоретическую физику, как никто другой понял произошедшее: «Такие люди, как Эйнштейн и Нильс Бор, прокладывают себе дорогу на ощупь, в темноте, пока не достигнут своих концепций общей теории относительности или структуры атома. Их опыт и воображение отличаются от тех, которыми обладают математики, хотя математика, несомненно, очень при этом важна».

Эйнштейн крайне ревниво воспринял работу Гильберта, и это заметно в некоторых письмах ученого. Однако Гильберт никоим образом не пытался оспорить его первенства, и 20 декабря 1915 года Эйнштейн написал примирительное письмо.

«Между нами возникла некоторая враждебность, причины которой я не берусь анализировать, – писал ученый. – Я боролся с чувством горечи, которое пробудилось во мне, и победил его полностью. Я снова думаю о тебе с теплотой и очень прошу тебя попытаться сделать то же по отношению ко мне».

По иронии судьбы, после того как Минковский заразил Гильберта своим увлечением физикой, Гильберт, в свою очередь, передал Эйнштейну свои масштабные, практически сверхчеловеческие устремления, и тот посвятил последние десятилетия своей жизни построению теории, объединяющей электромагнитное и гравитационное поля. Это был поиск, обреченный на провал.