Гильберт. Основания математики

Введение

Зайдите в любую библиотеку и окиньте взглядом ее стеллажи. Вы сразу обнаружите книги Евклида, Ньютона или Эйнштейна, а рядом — труды Платона, Аристотеля или Канта, не говоря о произведениях Сервантеса и Шекспира. Настоящее рядом с прекрасным. Но почему порядок именно такой? Возможно, все дело в небрежности библиотекаря или же, если не брать в расчет случайность, здесь есть какая-то глубинная причина? Вероятно, следует начать с вопроса: почему работы Евклида (а значит и Архимеда, Лейбница, Эйлера или Гаусса) все еще присутствуют в нашей жизни, почему они все еще актуальны? Ведь не зря труд Евклида «Начала геометрии» веками оставался учебником, который знакомил с научными истинами целые поколения студентов. Какой была роль геометрии и математики в целом во множестве знаний? Для одних математика стала дверью и ключом к науке, для других — еще и алфавитом философии.

Однако на вопрос об основании и природе математики дали слишком много ответов. Почти столько же, сколько в мире было математиков, начиная с работавших под сенью пирамид землемеров, заканчивая нашими современниками и не забывая о греческих геометрах. С глубокой древности говоря «математика», подразумевают «доказательство». Доказательство, как клей, скрепляет математику. Но что такое доказательство?

Ответу на этот вопрос наш герой, Давид Гильберт (1862-1943), посвятил значительную часть своей научной деятельности. В чем состоит доказательство математической теоремы? И все ли математические истины доказуемы? Эти и другие загадки, возникшие на стыке науки и философии, сосредоточились возле оснований математики. Глубокая озабоченность данным вопросом определяла привязанность Гильберта к этой науке.

Давид Гильберт — пожалуй, один из значительнейших математиков XX века. Его работы в области алгебры, геометрии, анализа, физики, логики и оснований математики дают ему право называться математиком века. И это не пустые слова. Его вклад (как в качественном, так и в количественном отношении) обладает неизмеримой, беспрецедентной значимостью. Гильберт — ученый уровня Гаусса и Пуанкаре. Но в чем заключается легендарность этой личности? К постоянным нововведениям и выдающимся результатам, к которым привыкли его современники, следует добавить личную харизму, очаровывавшую тех, кто с ним встречался. Путь, проделанный математикой в XX веке, невозможно объяснить без учета его вклада. Его влияние сказалось на целом ряде поколений, работавших над теми знаменитыми проблемами, которые он обозначил в программе столетия. Он был математиком из математиков.

В то время как личная жизнь ученого протекала в похвальном спокойствии, жизнь интеллектуальная бурлила приключениями. Такое положение дел, возможно, не вписывается в представления о герое, зато подходит образу творческой личности, и эта история только и ждет, чтобы ее рассказали. Гильберту посчастливилось жить в эпоху, когда и математика, и физика чрезвычайно прогрессировали, хотя параллельно испытывали глубокие потрясения, приведшие к новому математическому методу и к свершению революции в физике. Описываемый период пришелся на настоящий творческий расцвет, и Гильберт был среди ведущих действующих лиц.

Обзор жизни и научной деятельности Давида Гильберта сосредоточится на нескольких этапах, обусловленных его математическими интересами (алгеброй, геометрией, анализом, теоретической физикой и основаниями математики): разрабатываемые им годами, они и определили его легендарную репутацию. Но в этой книге мы не только расскажем о понятиях, которые он ввел или в становление которых внес вклад; мы также познакомимся с некоторыми важнейшими деятелями науки начала XX века. Минковский, Пуанкаре, Эйнштейн, фон Нейман и Гедель появятся на этих страницах в числе многих других. Читатель получит удовольствие от знакомства и постоянных встреч с людьми, имена которых известны каждому студенту благодаря понятиям и теоремам, названным в их честь.

Детство и молодость Гильберт провел в родном Кёнигсберге, а в зрелом возрасте переехал в Геттинген, где жил до конца своих дней. Будучи профессором университета, он способствовал созданию математического института, который привлек лучшие умы того времени. Вокруг него выстраивался авангард немецкой науки, да и европейской тоже, пока нацисты не превратили Геттинген в пустошь.

Карьера молодого Гильберта пошла в гору, когда, к удивлению коллег, он решил насущную алгебраическую проблему, казавшуюся непреодолимой. Однако через некоторое время он оставил алгебру и переключился на основания геометрии, взяв на вооружение аксиоматический метод. В его работе этот метод имел решающее значение. Гильберт больше, чем кто-либо, научил математиков мыслить аксиоматически и определил новый метод как самый надежный в математической вселенной.

На лекции, прочитанной им на Международном конгрессе математиков в Париже 8 августа 1900 года (в тот день стояла удушающая жара), он продемонстрировал научному сообществу свою проницательность, и его стали воспринимать как человека, за которым — будущее математики. Логика необходима этой науке, но именно проблемы обеспечивают ее жизнедеятельность. Круг из 23 проблем, сформулированных Гильбертом, определил равное количество вызовов, которые мотивировали ведущих математиков последующие 100 лет. В итоге математика стала развиваться во многих направлениях. Некоторые из этих проблем были решены однозначно (как, например, в случае континуум-гипотезы), в то время как другие (скажем, гипотеза Римана) все еще ждут своей очереди.

Гильберт — легендарная личность и для физики тоже. Уравнения общей теории относительности — результат его творческой гениальности в не меньшей степени, чем гениальности Эйнштейна. Квантовая механика, в свою очередь, тесно связана с математической структурой, гильбертовым пространством. Кроме того, новый век стал свидетелем того, как немецкий математик очерчивает (не в полной мере осознавая это) новую область математического анализа — функциональный анализ.

Однако самая обширная тема — это основания математики. Парадоксы логики и теории множеств, а также плеяда открытых вопросов о надежности классической математики спровоцировали глубокий раскол в научном сообществе и все нараставшие споры об основаниях этой дисциплины. К 1920 году, находясь на пике карьеры, наш герой ринулся создавать амбициозную программу основания, причем ему пришлось помериться силами с некоторыми виднейшими европейскими математиками. Как архитектор, исследующий фундамент старого дворца, который вот-вот рухнет, Гильберт пересмотрел основания математики, пытаясь устранить ее трещины и обеспечить ей устойчивость на долгие века. Он хотел стереть уродливое пятно парадоксов с идеального здания математики. На это его воодушевляла слепая вера в то, что можно доказать: математика, снабженная подходящими аксиомами, не содержит никаких противоречий, она устойчива. Это одна из главных проблем математики, которую Гильберт озвучил на лекции 1900 года.

Изучая его вклад, мы вновь переживем это эпическое и страстное приключение в поисках точности, где сошлись великие логики и математики конца XIX — начала XX века: Фреге, Рассел, Кантор, Пуанкаре, Брауэр и Гёдель. Вдохновленные богатством современной им математики, эти ученые задумались о ее природе и целях. В ту пору выделились три тенденции. Логицизм, проявившийся у Фреге и оживленный Расселом, утверждал, что все математические принципы могут быть сведены к логическим законам. Интуиционизм — порождение Пуанкаре и Брауэра — отрицал методы классической математики, которые привели ее к парадоксам. И наконец, формализм, отождествляемый с мыслью Гильберта, стремился полностью аксиоматизировать математику, доказав, что аксиомы никогда не ведут к противоречию.

Гильберт был лидером школы формализма, по сути он отстаивал позицию, что математические рассуждения могут быть представлены аксиоматически, в рамках формальной системы и без какого-либо упоминания о значении символов. Эта ключевая идея позволяла уклониться от любого упоминания о скользкой и парадоксальной бесконечности. Гильберт считал, что все математические теоремы можно вывести на основе одного или более правил посредством символического управления ограниченным числом аксиом, причем за конечное число шагов. Тогда можно было рассматривать математику как игру формул, а проблему доказательства непротиворечивости аксиом — как вопрос конечной сочетаемости, тщательного анализа формул, которые могут быть доказаны в рамках формальной системы, последовательностей символов, производимых системой. Но упорные попытки Гильберта решить этот вопрос, заложить основы математики, не вызывающие никакого рационального сомнения, закончились поражением.

Об австрийском логике Курте Гёделе заговорили, когда в 1931 году он объявил: чтобы доказать непротиворечивость математики, методов Гильберта недостаточно. Теоремы Гёделя о неполноте стали ушатом холодной воды для самого Гильберта и его последователей. Более того, они означали крах его программы. Оказалось, что непротиворечивую устойчивость математики невозможно доказать. Непоколебимая убежденность в том, что математика — самая надежная из наук, вылилась для многих в историческое коллективное разочарование. Математика несет в себе черты неуверенности, случайности и необоснованности, но тем не менее продолжает прогрессировать.

Гильберт олицетворял идеал математика межвоенного поколения. Его влияние прочитывается в современной математике — аксиоматической науке, изучающей абстрактные структуры. Она порвала с математикой прошлого, которая была сосредоточена на числах, формулах и фигурах, изначально ее составлявших.

Давид Гильберт определенно являлся ученым-универсалом, поскольку знал почти все ответвления современной ему математики, и оказался последним представителем этого уже исчезнувшего вида.

1862 Давид Гильберт появляется на свет в городе Кёнигсберге, Пруссия.

1880 Начинает изучать математику в Кёнигсбергском университете. Зарождается его дружба с Адольфом Гурвицем и в особенности с Германом Минковским.

1888 Его первая крупная математическая победа: он решает проблему Гордана в теории инвариантов.

1892 Становится ординарным профессором в Кёнигсбергском университете. Женится на Кёте Ерош.

1895 Благодаря стараниям Феликса Клейна становится профессором Гёттингенского университета.

1897 Публикует «Отчет о числах», сборник актуальных знаний в области алгебраической теории чисел.

1899 Публикует «Основания геометрии», в которых представляет все возможные геометрии посредством исключительно аксиоматического метода.

1900 Читает знаменитую лекцию «Проблемы математики» на II Международном конгрессе математиков в Париже.

1904 Возрождает принцип Дирихле для вариационного исчисления.

1912 Собирает в монографию все свои статьи об интегральных уравнениях, используемых физиками того времени, а также набор инструментов развития квантовой механики с 1925 года.

1915 Соревнуется с Альбертом Эйнштейном в выведении уравнений поля общей теории относительности.

1922 Практически в одиночку вновь пробуждает интерес к основаниям математики, стремясь доказать непротиворечивость классической математики, чтобы нейтрализовать скептицизм интуиционистов.

1928 В соавторстве с Вильгельмом Аккерманом публикует «Основы теоретической логики», первый учебник по математической логике в ее современном понимании.

1930 Уходит в отставку. Читает оптимистичную лекцию по случаю получения звания почетного гражданина Кёнигсберга, завершая ее лозунгом: «Мы должны знать. Мы будем знать». Курт Гёдель накладывает ограничения на формализм Гильберта на конгрессе, проходящем в то же время.

1934 В соавторстве с Паулем Бернайсом публикует первый том «Оснований математики», в который включены некоторые достижения в этой области.

1943 Умирает в Гёттингене (Германия) в то время, как своим жестоким чередом идет Вторая мировая война.