Гильберт. Основания математики

ГЛАВА 4 Кризис оснований

С развитием математической логики и теории множеств удалось приблизиться к понятию, которое до той поры казалось бесполезным, — бесконечность. Но при этом углубилась трещина, проходящая по основанию математики. Наличие многочисленных парадоксов показало, что здание математики построено на песке. Тогда математики включились в гонку переоснования своей науки. Некоторые ученые встали на сторону логицизма Фреге и Рассела, другие разделились на две непримиримые группы: лидером интуиционистов стал Брауэр, а формалистов возглавил Гильберт.

В 1920 году Гильберт направился в беспокойные воды оснований математики и до конца карьеры развивал исключительно эту область. В некоторой степени ученый с удвоенными усилиями возобновил свое исследование оснований математики, хотя на этот раз он был немного более амбициозен, чем 20 лет назад. Он действовал не в одиночку. Его верными оруженосцами стали Пауль Бернайс (1888-1977), один из его ассистентов в Гёттингене, и Вильгельм Аккерман (1896-1962), преподаватель средней школы, его бывший ученик (Гильберт отказался дать ему должность в университете, узнав, что тот намеревается обзавестись семьей, поскольку, по его мнению, это отвлекло бы его от исследовательской деятельности). Важной составляющей этой работы в долгий межвоенный период стали оживленные дискуссии немецкого математика и его ближайших коллег с виднейшими европейскими математиками, которые придерживались противоположных взглядов.

Началом размышлений вокруг предмета математики исторически считается последняя четверть XIX века. Однако любопытство в отношении природы математического знания не ново, ему 2000 лет. Первый кризис оснований произошел в Древней Греции, когда разрушилась пифагорова арифметика. Пифагорейцы полагали, что все числа рациональны, но вскоре выяснилось, что существуют также иррациональные числа (как V2). Открытие этих неизмеримых чисел вызвало раскол в их математике. Рациональные числа не полностью описывали действительность. Континуум действительных чисел (например, прямая) образован не дискретным набором индивидуальных атомов. Работы Евдокса (IV век до н.э.) по обоснованиям примирили сознание с иррациональной бесконечностью и заложили фундамент, на котором была воздвигнута евклидова геометрия.

Работы, связанные со вторым кризисом оснований, уже в XX веке разъясняли, в чем заключаются метод, строгость и истина новой математики — скорее аксиоматичной, чем интуитивной, скорее экзистенциальной, чем конструктивной. Нужно понимать, что не избежал Гильберт и подводных камней. В их числе выделим ряд антагонических понятий математики, которые возникли не из ничего, а уходят корнями в историю развития самой точной из наук. Распространение математического анализа с начала XIX века, наряду с зачатками теории множеств и математической логики, — это путеводная нить дисциплины, которая стала называться философией, или основаниями математики. Но вернемся на некоторое время к истокам.

Платонизм — изначальная философия математики. Приверженцами этой позиции среди прочих были Платон, Кантор, Гёдель... Любопытно, что первым платоником был не Платон, а Пифагор, который слепо верил, будто все есть число и математические объекты реально существуют. Как числа, так и треугольники или окружности существуют сами по себе, независимо от их толкования и нашего представления о них. Неоплатоники во главе с Блаженным Августином (IV век) утверждали, что бесконечное количество чисел в действительности существует в божественном разуме. И кому хватило бы глупости утверждать, будто Бог прекращает счет на каком-то числе, каким бы большим оно ни было?

Перенесение термина платонизм из области философии в математику произошло на лекции, которую в 1934 году читал Пауль Бернайс, первый помощник Гильберта. Бернайс хотел дать возбуждающее интерес название способу восприятия современной математики, в которой математические объекты не строятся, а понимаются как заданные. Для Кантора, например, реальность чисел была намного ощутимее реальности чувственного мира, поскольку числа существуют в виде вечных идей божественного интеллекта. Гёдель пошел еще дальше и рассматривал математические множества как объекты настолько же реальные, как и физические тела. Математики-платоники, имя которым легион, не изобретают математические теоремы, а открывают их.

Недостаток платонизма заключается в том, что он перенаселяет небеса. Платонизм хорош, когда необходимо утверждать, будто реально существуют простые математические сущности (треугольник в целом, квадрат в целом или общее количество натуральных чисел). Но он рушится, едва мы оставляем в стороне объекты античной математики и обращаемся к надуманным объектам современной математики — классам, множествам, функциям и сложным абстрактным структурам, которые выходили на первый план в XIX веке.

Греки основали геометрию и подчинили ей арифметику. Но благодаря алгебре постепенно арифметика стала независимой от геометрии, что 2000 лет спустя дало возможность осуществить обратное приведение. Геометрия нашла свое место в алгебре, которая, в свою очередь, располагалась в арифметике, усиленная новым исчислением Ньютона и Лейбница. Но арифметизацию математики, произошедшую между XVII и XVIII веками, требовалось вернуть к греческой строгости и положить конец фокусам исчисления бесконечно малых.

В начале XIX века мрак математического анализа был почти абсолютным. Огюстен-Луи Коши (1789-1857) порвал с традицией бесконечно малых и переосновал анализ на понятиях предела и функции. Понятие функции было уточнено одновременно с развитием теорий дифференцирования и интегрирования. Но «Курс анализа» Коши, который увидел свет в 1821 году, строился на понятии непрерывности. Как вычисление пределов, так и работа с функциями требовали выверенного определения континуума чисел, на основе которого производились операции. Но что же представляет собой континуум? Доказательствам основных теорем анализа требовалось предварительное доказательство непрерывности прямой действительных чисел. Те, кто преподавал анализ, не знали верных доказательств теорем и пытались сделать так, чтобы официальные мистические операции принимались на веру. Это происходило даже с базовой теоремой Больцано, гласящей, что если функция непрерывна на определенном отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где эта функция равна нулю. Нечто подобное происходило в то время и с геометрией, и именно Гильберт прояснил понятие непрерывности.

В середине XIX века основная проблема состояла в том, чтобы построить действительные числа (континуум) на основе рациональных чисел, поскольку было известно, как построить последние на основе целых, а целые — на основе натуральных. Натуральные, целые, рациональные, действительные... всю математику. В 1872 году были предложены несколько теорий построения действительных чисел. Во-первых, это теория действительных чисел: ее смогли воспроизвести на основе конспектов занятий Вейерштрасса, который идентифицировал каждое действительное число с бесконечной суммой рациональных чисел. Во-вторых, это теория Кантора, аналогичная теории Шарля Мерэ (1835-1911), в которой каждое действительное число — предел последовательности рациональных чисел. И наконец, это теория Дедекинда, в которой действительное число — всего лишь сечение, оно подразумевает разделение всех точек прямой на два класса: расположенные слева и справа от сечения. Для любого сечения на прямой всегда есть действительное число, которое делит прямую на две части. Если Платон утверждал, что бог вечно геометризует, то Дедекинд объявил, что человек вечно арифметизирует. Все числа свелись, по сути, к натуральным. Это настоящий интеллектуальный подвиг. Но что такое натуральные числа?

Поскольку арифметика напоминала дерево, которое безустанно растет вверх, в то время как его корни уходят вглубь, возникло первое течение, связанное с основаниями, — логицизм. Познакомимся с ним и с его первым идеологом, Готлобом Фреге (1848-1925). Этот немецкий математик отстаивал идею, что вся математика базируется на натуральных числах. Но как их построить? Ключ был, по его мнению, в области логики.

Всю жизнь Фреге был угрюмым преподавателем в Йенском университете. Учеников у него было так мало, что регулярно его занятия посещали только двое: один философ и один военнослужащий в отставке, который учился для души. Он был неспособен говорить на другие темы, кроме логики и математики, и всегда тактично сводил любой разговор к ним. Результатом этой одержимости была «Концептография», опубликованная с подзаголовком «Подражающий арифметике формальный язык чистого мышления» в 1879 году. Фреге наполнил новым вином старые бурдюки логики, создав «математическую логику».

Традиционная логика пребывала не в лучшем состоянии, несмотря на то что, по-видимому, исчерпала себя еще при Аристотеле. Но логика начала лукавить с математикой. Раймунд Луллий (1232-1315) в Ars Magna и Хуан Карамуэль (1606— 1682) в Mathesis Audax задумали вид логической алгебры, в которой все рациональные истины понимались в рамках вида вычислений универсальной записи, названной Лейбницем как calculus ratiocinator. Философы больше не испытывали необходимости в полемике, иначе они решали бы их, как будто их можно вычислить. Они усаживались бы за свои столы, брали в руки перья и говорили друг другу: посчитаем! Эти семена проросли в алгебру логики, которую Джордж Буль (1815-1864) вывел в своих «Законах мышления» в 1854 году.

Но Фреге больше интересовался логикой алгебры, чем алгеброй логики, и в своей «Концептографии» формализовал логику пропозиций и предикатов (логику первого порядка), то есть рассуждений о некоторых объектах и свойствах, удовлетворяющих этим объектам, но не о свойствах, которые проверяют такие свойства (это епархия логики второго порядка). Позже в «Основах арифметики» (1884) он заложил базу программы логицизма, которую последовательно изложил в томах «Основных законов арифметики, выведенных концептографически» (1893-1903). Фреге утверждал, что логика предшествует математике и, следовательно, математические понятия должны быть сведены к логическим. Математика — лишь дополнение к логике.

Значит, арифметика была логикой в последней инстанции, и арифметические понятия должны быть проанализированы в чисто логических терминах: «вычислить значит вывести». Говоря словами Фреге, «арифметические предложения — это логические законы, хотя не первичные, а производные». Если упростить окаменелую строгость работ Фреге, в которых педантичности и точности поровну, можно сказать, что он пришел к определению чисел с помощью классов, то есть с помощью множеств, или ансамблей. Каждому натуральному числу соответствовал класс всех классов, которые были подобны (равномощны) заданному. Например, число 3 — это то, что есть общего у всех следующих классов: лепестки трилистника, цвета светофора и так далее. Таким образом, число 3 может быть идентифицировано классом всех этих классов. В целом Фреге идентифицировал число 0 с классом всех пустых классов, 1 — с классом всех одночленных классов, и так далее. И поскольку есть только одно пустое множество (которое обозначается как перечеркнутый кружок, здесь заменен Ǿ), 0 = Ǿ. Тогда число 1 определяется как класс из всех классов, равномощных классу [Ǿ], обладающий единственным элементом. Аналогично определялись остальные числа.

В 1888 году Рихард Дедекинд опубликовал книгу с привкусом логицизма «Что такое числа и для чего они служат»(Гильберт прочитал ее в молодости). Однако Дедекинд определил натуральные числа принципиально иначе, чем Фреге. В 1889 году в книге под названием «Принципы арифметики, изложенные согласно новому методу» итальянский математик Джузеппе Пеано подтвердил аргументы Дедекинда, хотя и не был знаком с его работой, и определил натуральные числа посредством трех первоначальных понятий (нуль, функция последующего члена и равенство) и пяти аксиом.

1. Нуль есть натуральное число.

2. Следующее за натуральным числом есть натуральное число.

3. Нуль не следует ни за каким натуральным числом.

4. Всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом.

5. Если какое-либо предложение доказано для нуля и если из допущения, что оно верно для натурального числа А, вытекает, что оно верно для следующего за А натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Пятая аксиома получила название принципа индукции и является основополагающей для доказательства теоремы о натуральных числах без необходимости проверять каждое из них по одному. Принцип формализует интуитивное представление о том, что когда все фишки домино выстроены в одну линию, падение первой из них (нуля) предполагает падение всех остальных (всех натуральных чисел). На основе этих аксиом можно определить сложение и умножение натуральных чисел, а также расположить их в упорядоченном виде. Результат известен как арифметика Пеано.

Джузеппе Пеано, около 1910 года.

К несчастью, смелая программа Фреге была поставлена под сомнение из-за обилия логических парадоксов. В своих работах Фреге всегда исходил из принципа выделения, согласно которому каждому понятию можно назначить его расширение, то есть любое свойство определяет класс элементов, которые удовлетворяют этому свойству. Аксиома существования классов была «Базовым Законом V» «Основных законов арифметики», и именно ею объясняется широкое распространение логицизма Фреге. В письме от 16 июня 1902 года молодой математик Бертран Рассел (1872-1970) проинформировал преподавателя Фреге о том, что в рамках его системы на основе этого несчастного закона может быть выведено противоречие. Парадокс Рассела показывал, что назначение каждому свойству связанного с ним класса было делом рискованным. Узнав об этом противоречии, Фреге добавил приложение ко второму тому «Основных законов арифметики», в котором попытался спасти свой огромный труд, ограничив применение принципа выделения. Вскоре он понял, что от этого мало проку, и остановил публикацию третьего тома своей главной работы. Он так и не оправился от удара. Погрузившись в меланхолию, без всякой надежды, но и без страха он признавал катастрофу:

«Нет для ученого ничего ужаснее, чем выяснить, что все основание его работы рушится, именно в тот момент, когда он эту работу заканчивает. Меня в эту ситуацию поставило письмо господина Рассела, моя работа была почти готова к печати».

Продемонстрировав интеллектуальную целостность, которой Рассел восхищался всю жизнь, Фреге ответил последнему, что арифметика, а с ней и вся математика вновь пошатнулись. Здравого смысла не было достаточно для поддержания безопасности математики перед лицом угроз, исходящих от логики.

До весны 1901 года, когда Рассел обнаружил свой парадокс, согласно Фреге, считалось, что каждому свойству соответствует один класс, который образован сущностями, обладающими этим свойством. Рассел изучал поведение собственных классов, то есть тех, которые являются членами самих себя. Например, класс всех классов (который, являясь другим классом, принадлежит сам себе) или класс всех понятий (являясь другим понятием, также принадлежит сам себе). Логические огрехи неизбежны: если в библиотеке поместить имеющий черную обложку каталог всех книг в библиотеке, у которых имеется черная обложка, этот каталог каталогизирует сам себя.

Возьмем класс R всех классов, которые обладают свойством не быть членами самих себя, формально: R = [х: х /ϵ х], где ϵ — символ принадлежности (/ϵ здесь замена перечеркнутого ϵ). И зададимся вопросом, является ли R членом самого себя, если R ϵ R. Мы выясним, что любой ответ сразу же предполагает противоположный ответ. Если это так, то это не так. Если это не так, то это так. Действительно, если R ϵ R, то есть если R принадлежит самому себе, то, по определению, R /ϵ R, то есть R не принадлежит самому себе, поскольку это класс всех классов с этим свойством. Но и наоборот, если R /ϵ R, то R ϵ R, поскольку оно выполняет свойство, определяющее класс всех классов, которые не являются членами самих себя. В итоге получается противоречие: R ϵ R только тогда, когда R /ϵ R. Класс R принадлежит самому себе только тогда, когда он не принадлежит самому себе. Рассел был в недоумении от абсурда, с которым он столкнулся. Этому противоречию он затем дал название парадокса брадобрея: цирюльник в деревушке утверждает, что бреет всех мужчин, которые не бреются сами, и никого больше. В один прекрасный день, проснувшись, он задается вопросом, кто же бреет его, и в замешательстве осознает, что бреет сам себя тогда и только тогда, если не бреет сам себя. Бедный цирюльник попадает в настоящее логическое болото.

Французский математик Анри Пуанкаре был первым, кто указал на то, что источник парадоксов, атакующих логику, заключается в цикличности, в виде автореференции или принадлежности самому себе. Парадоксы держались на использовании непредикативных определений — тех, в которых определяемое входит в состав определения. Позже Рассел назвал это принципом порочного круга. Неудивительно, что нарушение этого принципа ведет к парадоксам, антиномиям и противоречиям, многие из которых признаются даже вне формальных языков, в естественных языках. В качестве примера служит хорошо известный парадокс лжеца, приписываемый Эпимениду Критскому (в своих письмах о нем упоминает даже святой Павел). В одном из стихотворений Эпименид порицает критян, называя их лжецами. Но поскольку он сам критянин, его утверждение, относящееся к самому себе, преобразуется в «я лгу». В этом случае то, что он говорит, не может быть правдой, значит, критяне не лгут. Но если они не лгут, то и Эпименид тоже, поэтому получается, что критяне лгут, и так далее.

Математическая логика, как ее стали называть вслед за Пеано, создавала одни только неприятности. И Пуанкаре, который считал ее бесполезной, смеялся: «Она уже не стерильна, она порождает противоречия». Несмотря ни на что логистическая программа, составленная Фреге, получила развитие благодаря бесцеремонности Бертрана Рассела и Альфреда Норта Уайтхеда (1861-1947).

В 1900 году на международном конгрессе по философии, проходившем в Париже, Рассел столкнулся с символической реформой Пеано. В 1889 году Пеано представил свои «Принципы арифметики», содержащие знаменитые пять аксиом (включая принцип индукции) для натуральных чисел, используя новую символику, которую разработал сам. В сообществе логиков и математиков одномерная символика Пеано была принята лучше, чем двумерная символика Фреге (за исключением его учеников, которые взбунтовались и не успокоились, даже когда Пеано предложил поставить всем зачет). В 1902 году, верный логицизму Фреге и символизму Пеано, Рассел опубликовал «Принципы математики». Но медовый месяц логики был коротким, потому что незадолго до публикации он открыл парадокс, который сегодня носит его имя. До 1910 года Рассел работал с Уайтхедом, и оба стремились справиться с противоречиями, которые вскрыл парадокс. В книге Principia mathematica (1911-1913) они глубже, чем кто-либо на сегодняшний день, погрузились в основания математики. Эта блестящая работа стала, говоря словами Гильберта, «коронацией аксиоматизации».

Гёттингенский профессор придумал метафору, которая просто и ясно объясняет некоторые парадоксы, связанные с бесконечностью и открытые математиками одновременно с логическими парадоксами. Несмотря на то что это кажется невероятным, в отеле с бесконечным числом номеров всегда есть место для новых гостей, хотя все номера заняты. Действительно, если мы переселим гостя из первого номера во второй, того, что во втором, — в четвертый, того, что в третьем, — в шестой, и так далее, мы освободим все нечетные номера. Поскольку существует бесконечное количество нечетных чисел, есть место не только для нового постояльца, который подойдет к гостиничной стойке, но также и для бесконечного числа постояльцев. Из этой же самой ситуации мы могли бы сделать больше удивительных выводов...

— В отеле заняты все номера, и один гость уезжает. Тогда число постояльцев остается тем же самым (бесконечным).

— Если уезжают все гости, занимающие четные номера, то число постояльцев остается тем же самым (бесконечным).

— Однако если из отеля уедут все гости, занимающие номера, например с пятого и далее, то число постояльцев не будет тем же самым (в этот раз их число будет конечным).

Все это наводит нас на мысль о гибкости математической бесконечности и об осторожности, с которой нужно высказываться о ней.

Чтобы избежать парадоксов, Рассел и Уайтхед сформировали теорию типов, в которой для того, чтобы X ϵ Y было правильно составленной формулой, требуется, чтобы тип значения Y был непосредственно выше типа значений X. Таким образом, пропозиция «класс всех стульев не является стулом» — не истинная и не ложная, а попросту лишена смысла, поскольку стульями могут быть только объекты, а не классы объектов. Другими словами, ошибочно распространять свойство одного типа на другой. При применении этой хитроумной теории авторы могли утверждать, что формулировки, ведущие к парадоксу Рассела, перестают иметь смысл: R ϵ R теперь являлось неправильно составленной формулой, поскольку в ней было задействовано не больше одного типа.

Математика [...] обладает не только истиной, но и высшей красотой, холодной и суровой, подобной скульптуре.

Бертран Рассел

В Principia после устранения парадоксов Уайтхед и Рассел перешли к выведению математики из логики, поскольку в их понимании граница здесь невозможна. С технической точки зрения проект логификации математических теорем натолкнулся на многочисленные трудности. Ученым потребовалось более 379 страниц (!), чтобы доказать, что 1 + 1 = 2. Настоящее безумие. Кроме того, они были вынуждены расширить логику до крайне обобщенной теории отношений, в которую включили такие малоудовлетворительные аксиомы, созданные для данного случая, как редуктивность и бесконечность. Неуклюжая аксиома редуктивности работала как нечто вроде deus ex machina, — авторы прагматично обосновывали ее тем, чтобы работать с антиномиями и логифицировать математику: когда формула оказывается слишком сложной, предполагалось, что ее всегда можно упростить до другой, более низкого уровня.

Аксиома бесконечности была нужна для определения натуральных чисел в комплексе. Следуя за Фреге, они определили 2 как класс всех пар, 3 — как класс всех троек... Но они были вынуждены ввести аксиому (в ней утверждалось, что для любого числа существует другое, больше него), обоснование которой не могло строиться ни на одном из классов логической или математической догадки (что было бы нарушением принципа «логика или математика, основывающаяся на самой себе»), а лишь на характерной структуре мира, которому приписывалось то, что он должен включать в себя бесконечное число объектов. Если бы в мире существовало не бесконечное число вещей, а только максимальное число вещей n, Рассел и Уайтхед не смогли бы определить число n + 1, поскольку класс всех скоплений (n + 1) был бы пустым, так как не было бы n + 1 объектов в мире. Герман Вейль, ученик Гильберта, решительно отверг это: «Принципы...» испытывали веру, как Отцы Церкви.

Баланс заключался в том, что в лучшем случае Расселу и Уайтхеду удалось свести математику к виду мегалогики, раю для логиков. Логистический тезис является либо ложным (если логика не включает в себя теорию классов — то, что называется теорией множеств), либо тривиальным (если включает ее). На сегодняшний день некоторые логики пытаются возродить этот тезис, чтобы перевести математику в подходящую логику второго порядка (поскольку логики первого порядка оказалось недостаточно). Но, как говорили многие математики, логика второго порядка — это всего лишь замаскированная математика множеств. Так как в логике второго порядка допустимо говорить не только об объектах, но и о свойствах, можно определить множество понятий, типичных для теории множеств. Количественно оценивать свойства — в конечном итоге все равно что количественно оценивать множества, множество объектов, выполняющих свойство. Следовательно, речь идет о логике, лежащей в основе собственно теории множеств. Ее наибольшая выразительная сила, позволяющая охарактеризовать бесконечность или формализовать принцип индукции в одной-единственной аксиоме (вместо схемы аксиом, заключающей в себе бесконечности), — это обоюдоострое оружие. Мы находимся там же, где и были: если логика включает в себя теорию множеств, то логистический тезис истинный, но тривиальный; если логика его не включает, он радикально ложный.

Логики шли на невероятные хитрости, чтобы решить проблему парадоксов. Но какое решение давали математики? Если логики хотели логифицироватъ математику, то математики хотели омножествитъ ее. Омножествление математики началось издалека. Абстрактная теория множеств была создана Кантором, но связанный с множеством подход в математике предшествовал ей. Он присутствовал у Римана и в основном у Дедекинда. Риман предложил понятие многообразия в значении, граничащем со значением множества, в качестве основания всей чистой математики. И Дедекинд выдвинул подход множеств к алгебре, введя такие понятия, как группа, тело и идеал (только понятие кольца не поддалось ему и было введено позже Гильбертом).

Героическая эпоха теории множеств начинается в 1872 году. Тогда, опубликовав свои построения действительных чисел, Дедекинд и Кантор приступили к бурному личному взаимодействию. В 1874 году Кантор доказал, что существует два типа бесконечности: счетная (как множество натуральных чисел) и несчетная (как действительные числа, то есть как континуум). Он заявил, что множество алгебраических чисел счетное, и доказал это на основе метода, который Дедекинд передал ему в письме, хотя и не признал здесь заслуги последнего (этот конфликт, скорее всего, и стал причиной их разрыва). В 1879 году Кантор представил понятие кардинального числа множества, которое обобщает понятие числа элементов множества в области бесконечных множеств. Проверка того, обладают ли два конечных множества одним и тем же числом элементов, состоит в одновременном удалении по одному элементу из каждого из них столько раз, сколько возможно. Если оба множества заканчиваются одновременно, мы точно знаем, что у них одно и то же число элементов, или кардинальное число. Так как эта идея не предполагает счета, она распространяется на бесконечные множества: о множествах A и В говорят, что они имеют одно и то же кардинальное число, и это записывается как |A| = |B| если между ними можно установить биекцию, то есть соответствие один к одному.

Одним из великих открытий Георга Кантора стали несчетные множества, для которых невозможно провести биекцию с натуральными числами.

Одно из них — это континуум. И если целые и рациональные числа счетные, то действительные числа такими не являются. Нельзя связать их попарно с натуральными числами, их нельзя пронумеровать, поставить в список одно за другим. Возьмем числовую прямую и рассмотрим отрезок от 0 до 1. Выразим все входящие в этот отрезок числа в двоичном коде, то есть с помощью последовательностей 0 и 1. Например: 101001000... (опустив 0 и запятую, отделяющую десятичную дробь, которые должны предшествовать выражению). Докажем, что предположение о том, что это счетное множество, приводит к противоречию. Действительно, если бы это было так, мы могли бы записать все его элементы в списке, подобном следующему:

1.° → 0100...

2.° → 0110...

3.° → 1101...

... ...

Теперь обратим внимание на элементы главной диагонали, они подчеркнуты. Построим элемент, который несмотря на то, что является последовательностью 0 и 1, не входит в список. Для этого образуем последовательность, состоящую из следующих чисел: так как первый выделенный член был 0, запишем 1; так как второй был 1, запишем 0; так как третий был 0, запишем 1; и так далее. Итоговый элемент начинается с 101... и не совпадает ни с одним из элементов в списке. Это не может быть первая последовательность, поскольку первый член отличается, не вторая, потому что мы изменили второй член, и не третья, и так далее. Это противоречит предположению, что речь идет о счетном множестве, которое, следовательно, может быть выражено в виде списка. Использованный метод доказательства получил название диагонализации и повлиял на последующие значимые доказательства в истории оснований математики.

Георг Кантор.

Между тем Дедекинд дал более удачное определение бесконечному множеству, чем Кантор. По прошествии времени оба определения, избавленные от ошибок, оказались равносильными (в соответствии с аксиомой выбора, о которой речь пойдет позже). Для Кантора множество бесконечно, если оно не конечно, то есть если нельзя провести биекцию с каким- нибудь натуральным числом. Для Дедекинда, наоборот, под влиянием предположений Галилея и Больцано, множество бесконечно только тогда, когда можно провести биекцию с его собственной частью. Например, натуральные числа бесконечны, потому что можно провести биекцию с четными числами, при этом 0 соответствует 0; 1 - 2; 2 - 4; и в целом каждому числу n — вдвое большее число 2n.

Его теория представляется мне наиболее заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека. [...] Никто не изгонит нас из рая, который создал нам Кантор.

Давид Гильберт о Георге Канторе, «О бесконечном» (1925)

К концу 1882 года Кантор разработал свою арифметику кардинальных и порядковых (трансфинитных) чисел, а также выдвинул континуум-гипотезу. Натуральные числа образуют бесконечное множество наименьшего размера, который мы можем вообразить. Следовательно, его кардинальное число, то есть первое бесконечное кардинальное число, обозначается буквой алеф еврейского алфавита с нижним индексом 0: ϰ₀. Это кардинальное число соответствует всем счетным множествам, и это первая веха на пути к бесконечности. Кардинальное число континуума, действительных чисел, равно (по ряду сложных причин) 2^ϰ₀. При таких условиях континуум-гипотеза устанавливает, что нет никакой другой бесконечности между натуральными и действительными числами, или, говоря другими словами, что 2^ϰ₀ =ϰ₁ Последовательность кардинальных чисел ϰ₀, ϰ₁, ϰ₂,... работает как своего рода модель для измерения размера вселенной множеств, где существует бесконечное число бесконечностей. Безрезультатные попытки доказать континуум-гипотезу и постоянные нападки Кронекера на теорию трансфинитных множеств спровоцировали у Кантора депрессию, которая отдалила его от математики и подтолкнула в сторону теологии (он также увлекался идеей, что Бэкон был истинным автором произведений Шекспира).

С 1900 года теория Кантора, как и логика, стала мостом над бурными водами. Параллельно с логическими парадоксами возникли антиномии теории множеств. Большинство парадоксов, в которых говорилось о классах, были переформулированы с помощью теории множеств (например, парадокс Рассела). Но появились и новые: парадоксы бесконечности. В то время как логические парадоксы были связаны с цикличностью определения некоторых классов, парадоксы множеств отсылали к бесконечности. Главный в их числе — парадокс Кантора о собрании всех множеств. Пусть V — «множество» всех множеств. Поскольку, как доказал Кантор, кардинальное число любого множества меньше кардинального числа его показательного множества (которое обозначается ϑ(A) и включает в себя все подмножества или части A), получается, что |V| < |ϑ(V)|. С другой стороны, из определения V следует, что показательное множество V должно содержаться в V, поскольку V — это абсолютное множество, самое большое, которое включает в себя все остальные, и нет ничего выше него. Поэтому |V| ≥ |ϑ(V)|, что является абсурдом, противоречием по отношению к предыдущему результату.

Эрнст Цермело (1871-1953) был первым математиком, который различил нелогистический выход из лабиринта (не зря он открыл парадокс, подобный парадоксу Рассела): следовало перейти от интуитивной к аксиоматической теории множеств. С 1897 года Цермело находился в Геттингене и выполнял инструкции Гильберта, который воодушевил его сформулировать систему аксиом для теории Кантора. Его вклад в аксиоматический метод теории множеств сравним с вкладом Гильберта в геометрию. В 1908 году Цермело представил первую аксиоматизацию теории множеств, отшлифованную Абрахамом Френкелем (1891-1965) в 1922 году (и фон Нейманом в 1925 году, когда тот включил в нее аксиому регулярности, или основания).

Теория множеств Цермело — Френкеля также исходит из логики первого порядка и принимает отношение принадлежности ϵ в качестве первоначального. Аксиомы ZF, озвученные вербально, следующие.

1. Два множества равны тогда и только тогда, когда они имеют идентичные элементы (аксиома объемности).

2. Существует множество без единого элемента Ǿ.

3. При заданном множестве х и свойстве, которое можно сформулировать на языке первого порядка теории множеств, существует множество всех элементов X, которые удовлетворяют свойству (аксиома выделения).

4. Если x и у — множества, то неупорядоченная пара {х, у} — множество.

5. Объединение множеств во множество — множество.

6. Можно образовать потенциальное множество любого множества, то есть собрание всех подмножеств или частей любого множества — другое множество.

7. Существует как минимум одно бесконечное множество (аксиома бесконечности).

8. Образ множества, заданный функцией, является множеством (аксиома преобразования).

9. x не принадлежит x (аксиома основания, или регулярности).

Если к этим аксиомам добавить так называемую аксиому выбора, получится система ZFC (С — от английского choice — «выбор»). В 1930-е годы теория множеств ZFC была расширена теорией классов и множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя (известной среди математиков по аббревиатуре NBG). Фон Нейман предложил иерархическую и накопительную конструкцию вселенной множеств, которую обычно схематично представляют в виде перевернутого конуса (см. рисунок). На основе пустого множества, путем повторения (с помощью трансфинитной рекурсии) операций «части множества- и «объединение множества- он построил все этажи, на которых упорядоченно располагаются множества — от самых маленьких до самых больших: 0 = Ǿ, 1 = {0} = {Ǿ}, 2 = {0, 1} = {Ǿ, {Ǿ}} и так далее. В этой теории парадоксы Рассела и Кантора доказывают, что R и V — не множества, а классы, которые принимаются в рамках этой теории. Кофинальные элементы, обладающие иерархией, не являются членами никакого другого множества, потому что они слишком большие и соответствуют классам.

Иерархическая конструкция вселенной множеств, разработанная фон Нейманом.

С тех пор она известна как аксиоматика ZF (по их инициалам) теории множеств. Итак, в ZF парадокс класса Рассела превращается в доказательство того, что этот класс не является множеством, другими словами, что его не существует в рамках этой теории, в связи с чем антиномия испаряется в воздухе. Если мы предположим, что R — это множество, и столкнемся с абсурдом, это будет означать, что R — не множество.

Аналогично, парадокс Кантора превращается в доказательство того, что «множество» всех множеств V — это не множество, поэтому его также не существует внутри теории. В ZF такая загадка, как парадокс брадобрея, демонстрирует отсутствие существования индивидуума с этими характеристиками. Более того, аксиомы ZF блокируют цикличность, которая с помощью различных стратегий делает очевидной несостоятельность парадоксов. Формулы типа R ϵ R запрещены в ZF, поскольку в аксиоме основания, или регулярности, установлено, что ни одно множество не принадлежит самому себе, то есть (перевернутое A)x(x /ϵх).

При этой аксиоме опасных множеств просто не существует.

Следует заметить, что при наличии ZF не только были устранены парадоксы неформальной теории множеств, но и стало возможным омножествление математики: с определением функции как множества упорядоченных пар, предложенным Феликсом Хаусдорфом (1868-1942) и Казимиром Куратовским (1896-1980) чуть позже, это понятие (столп анализа) оказалось омножествленным, что упрочило обоснование математики с помощью множеств. Все головокружительное разнообразие математических структур оказалось сведено к их самым базовым компонентам — множествам.

Однако работы Цермело вызвали большой ажиотаж и крайне враждебную реакцию специалистов. Пытаясь доказать континуум-гипотезу, в 1904 году Цермело сформулировал аксиому выбора. Эта аксиома гласит, что можно одновременно выбрать элемент каждого множества из бесконечного собрания непустых множеств. Формально если S = {А, B, С,...} — это собрание непустых множеств, то существует множество Z, которое состоит ровно из одного элемента множества А, одного из B, одного из С и так далее. Бертран Рассел объяснял это на следующем примере. Представим себе миллионера, который, каждый раз покупая пару туфель, покупает и пару носков. Предположим, он уже обладает бесконечным набором коробок с туфлями и таким же количеством упаковок с носками. Если бы он хотел удостовериться, что у него действительно равное количество пар туфель и носков, он мог бы доставать по одному правые туфли и находить им пару из одного носка (или если бы коробки с туфлями и неоткрытые упаковки носков закончились одновременно, он бы знал, что их у него одинаковое количество). Но он не может совершить последнее действие, не применив аксиому выбора, поскольку эта аксиома позволяет осуществлять бесконечное число произвольных выборов в коллекции наборов носков (в то время как из каждой коробки туфель он всегда может выбрать правый, между носками нет никакой разницы, поскольку не существует правого носка, отличного от левого).

Несмотря на кажущуюся невинность, аксиома выбора имеет удивительные следствия, противоречащие интуиции. Одно из них, по примеру Цермело, — это принцип вполне упорядочивания, который гласит, что любое множество, каким бы странным оно ни казалось, может быть вполне упорядоченным, то есть упорядоченным линейно, как натуральные числа, где любое подмножество всегда обладает первым элементом. Более того, аксиома выбора вскоре оказалась необходимой для доказательства того, что арифметика кардинальных чисел работает корректно (что два любых кардинальных числа всегда сравнимы), а также для доказательства через лемму Цорна многочисленных базовых результатов алгебры и анализа. Это спровоцировало международную дискуссию между сторонниками и противниками аксиомы выбора (это даже нашло отражение в специальном номере журнала Mathematische Annalen, издаваемого Клейном и Гильбертом). С одной стороны, этот мощный инструмент защищали Цермело, Рассел и Гильберт. С другой — против его необоснованного использования боролся молодой нидерландский математик Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1871-1956), который рассчитывал на поддержку важных французских математиков: Рене-Луи Бэра (1874-1932), Эмиля Бореля (1871-1956) и Анри Лебега (1875-1941). Если на островах главенствовали логицисты, то на континенте буйствовали формалисты — под предводительством Гильберта — и интуиционисты, во главе которых стоял Брауэр.

Брауэр заявлял, что «пируэты Цермело» способствуют прочному обоснованию математики раз и навсегда. Его беспокоило то, что последние 25 лет абстрактная математика возводила воздушные замки. Ему нельзя отказать в проницательности в том, что касается рисков аксиомы выбора. Благодаря ей были извлечены на свет многочисленные математические монстры. И в их числе, несколькими годами позже (в 1926 году), парадокс Банаха — Тарского. Теорема, стоящая за ним, обязательно использует эту сомнительную аксиому и производит следующее парадоксальное распределение множеств в трехмерном пространстве: шар можно разложить на конечное число отдельных частей, так что на их основе можно вновь построить два шара, идентичных исходному. Это такой математический аналог библейского чуда хлебов и рыб (единственное, что сочетается со здравым смыслом, — то, что оба шара, идентичных исходному, не измеряются в понимании Лебега, поэтому данный парадокс никогда не появляется при вычислении объемов).

В 1907 году Брауэр получил степень доктора наук в Амстердамском университете, защитив диссертацию «Об основаниях математики», в которой наблюдались интуиционистские черты. Через пять лет, 14 октября 1912 года, уже получив признание как математик, с огромным профессиональным багажом за спиной, он прочитал лекцию под названием «Интуиционизм и формализм». Эта лекция обозначила начало его плана по обоснованию математики, и сразу же на нее навесили ярлыки «интуиционизм» и «формализм». В этой лекции Брауэр отсылал к Канту, Кронекеру и недавно скончавшемуся Пуанкаре (самой яркой из «звезд») как к своим предшественникам.

В 1877 году Кантор построил биекцию между отрезком и квадратом. В отрезке было столько же точек, сколько и в квадрате. Возможность установить соответствие по одному между одномерной прямой и двумерной плоскостью заставила его воскликнуть: «Я это вижу, но я в это не верю!» Дюбуа-Реймон пошел еще дальше и заявил, что это «противно здравому смыслу». С1890 по 1891 год Пеано и Гильберт вообразили соответствующие непрерывные кривые, способные пройти через каждую точку квадрата. Кривые Пеано и Гильберта (одномерные линии, способные заполнить двумерные квадраты) только усугубили проблему размерности. Как различить «измерения»? Пуанкаре подчеркнул необходимость надлежащего определения измерения.

С 1908 по 1911 год Брауэр взял паузу в жестокой борьбе за интуиционизм и заложил основы новой математической дисциплины — топологии, «геометрии на резиновом листе» (как выразился Пуанкаре). Для начала он предложил несколько контрпримеров, о которые разбивались большинство результатов, полученных Артуром Шёнфлисом (1853-1928), другом Гильберта. И уже в 1911 году он представил теорему об инвариантности размерности с помощью бинепрерывного приложения, то есть гомеоморфизма, что положило конец сомнениям, зароненным Кантором, Пеано и Гильбертом: m-мерное и п-мерное пространства негомеоморфны, если m отличается от n. Они могут поддаваться биекции, но никогда не гомеоморфны, потому что эта биекция не будет непрерывной. Топология демонстрировала торжество здравого смысла.

После каждой итерации кривая Г ильберта змеится все больше и больше, прежде чем (в пределе) полностью покрыть квадрат.

Вклад Гаусса, Римана и, наконец, Гильберта позволил геометрии окончательно освободиться от наследия Евклида и Канта (несмотря на протест Фреге). Брауэр предложил отказаться от априорного подхода Канта к пространству, но более решительно придерживался априорного подхода ко времени. Математика ведала свойствами времени, поскольку его ход сводился к арифметической последовательности: 0, 1, 2, 3, 4... 1 после 0, но до 2, и так далее.

Согласно Брауэру, нужно было восстановить конструктивистское видение математики Пуанкаре. Несмотря на перевод и адаптацию работ Кантора на французский язык, Пуанкаре получал шпильки в свой адрес со стороны Рассела и Цермело, которые называли его ретроградом, игнорирующим новый математический метод. Но и Пуанкаре не молчал, насмехаясь над логицистским течением: «Логика не стерильна, она порождает противоречия». Кроме того, он указывал на то, что если бы всю математику можно было вывести на одних только правилах логики, получилось бы, что математика была всего лишь гигантской тавтологией, логической истиной в стиле А = А. С его точки зрения, логика напоминала машину по производству сосисок: на входе помещают свинью, а на выходе получается вполне упорядоченная связка. Но математика работает не как пианола. Математическое доказательство представляло собой творческий механизм: благодаря интуиции мы способны доказать бесконечное число силлогизмов за конечное число шагов (принцип индукции). Именно этот переход от конечного к бесконечному определяет, по мнению Пуанкаре, чудо математики. Интуиция — это молния, которая освещает математику путь посреди ночи и позволяет ему изобретать математику. Посредством интуиции именно человеческий разум создает математические объекты.

Искусство математики заключается в том, чтобы найти этот особый случай, содержащий в себе все истоки обобщенности.

Давид Гильберт

Брауэр перенял эту живописную философию математики Пуанкаре, с которым лично встретился в 1909 году. В противоположность платонизму и логицизму, утверждающим, что математические истины открываются сами, интуиционизм утверждает, что на самом деле они изобретаются (этот тезис сближает его с формализмом). Однако на вопрос, где находится математическая точность, интуиционизм Брауэра отвечает: «разум», а формализм Гильберта: «бумага».

У Брауэра и Гильберта, которые познакомились во время отпуска в 1909 году, имелись две конфликтные темы: прежде всего это природа математики — как свободная конструкция человеческого понимания или как аксиоматическая теория — и роль принципа исключенного третьего в математике. Нерв интуиционизма именно в отрицании этого логического принципа, отсылающего к Аристотелю и утверждающего, что дизъюнкция пропозиции и ее отрицание — это логическая истина, то есть она всегда истинна, в любой модели или вселенной толкования (╞Av ¬A). Другими словами, либо А истинно, либо истинно отрицание А, потому что любой третий вариант систематически исключен (именно поэтому говорят об «исключенном третьем»). Наряду с принципом непротиворечия (╞¬(A^¬A)) и принципом идентичности (╞(перевернутое A)x(x = х)) этот принцип образовывал три классических закона рассуждения.

Однако для Брауэра это необязательно было так. Поскольку мы не знаем, содержит ли десятичное продолжение числа π 20 нулей подряд, пропозиция «десятичное продолжение числа π содержит 20 нулей подряд» не является (и в этом ключ к интуиционизму) ни истинной, ни ложной. Ее истинность на сегодняшний день не может быть определена. Один единомышленник Брауэра утверждал, что принцип исключенного третьего для такого типа пропозиций может быть справедливым для Бога (Он знает всю бесконечную последовательность знаков после запятой такой, как она есть), но такое невозможно для человеческой логики. Совершив разворот на 180° по отношению к логистической догме, интуиционисты считали такую логику ответвлением математики, а не наоборот.

Этот образ мысли положил начало тому, что с тех пор известно как «интуиционистская логика», формализованная прилежным учеником Брауэра Арендом Гейтингом (1898— 1980). В классической логике двойное отрицание пропозиции равносильно пропозиции, то есть ¬¬А↔А. Но интуиционистская логика отрицает, что из двойного отрицания пропозиции можно вывести исходную пропозицию. Следовательно, ¬¬А→А не принимается. Этот интуиционистский пересмотр классической логики отвечает на вопрос: почему Брауэр отвергал рассуждения доведением до абсурда (к которым нередко прибегал Гильберт)? Доказательством ложности отрицания А не доказывалось, что А истинно, поскольку был оставлен принцип исключенного третьего.

Нидерландский математик считал справедливыми только конструктивные доказательства. Доказать, что отрицание теоремы противоречиво, — неравносильно доказательству, что теорема истинна, поскольку, прежде чем доказать последнее, нужно открыто сконструировать ее содержание. Для математиков-интуиционистов неконструктивные доказательства существования (доведением до абсурда) свидетельствуют о том, что в мире есть скрытое сокровище, но не указывают его местонахождение, поэтому такие доказательства имеют исключительно эвристическую ценность. Для существования математического объекта недостаточно, чтобы он не порождал никакого противоречия; нужно ввести эффективную процедуру его построения.

Парадоксы, открытые в рамках теории множеств, по мнению Брауэра, явно представляли собой опасность для чисто экзистенциальной математики. Не зря Кронекер всегда ожесточенно спорил с Кантором о том, что если не построить множества, о которых тот говорил (а он не мог их построить, поскольку подавляющее большинство их было бесконечным), теоремы теории множеств растворятся в воздухе. Нужно было вернуться на путь греческой математики, которая была конструктивной, а значит интуиционистской, при этом бесконечность присутствовала только в потенции, но никогда не была актуальной. Гаусс уже высказывал подобное мнение: «Я прежде всего протестую против применения бесконечной величины как завершенной, в математике это никак не допустимо.

Понятие бесконечности есть лишь способ выражения понятия предела». Для интуиционистов все трудности оснований математики исходили из использования бесконечности как чего-то законченного и идеального. Это нарушение происходит при попытке определить реальное число, такое, например, как число π = 3, 141592... Это многоточие после первых знаков после запятой создает у нас ложное ощущение, будто перед нами закрытый объект.

В итоге речь зашла о восстановлении классической математики, насколько это возможно, без обращения к принципу исключенного третьего и к доведению до абсурда. В 1918 году Брауэр начал реализацию своего плана, который он назвал «вторым актом интуиционизма» («первый» акт предполагался как интуитивное основание математики), в статье «Основание теории множеств, независимо от принципа исключенного третьего». Держась за интуиционизм Канта, Брауэр основывался на временной перечислимости и признавал возможность только счетных множеств, считая несчетные множества противоречащими интуиции. Как говорил Кронекер, «Бог создал натуральные числа, все остальное создано человеком». С несчетными множествами работать нельзя, чтобы не столкнуться с серьезными парадоксами. В интуиционистской теории множеств сами множества получают имя видов, и единственные позволенные собрания чисел — конечные собрания: {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}... Ни в коем случае не разрешено внезапно образовывать ансамбли из всех натуральных чисел {0, 1, 2,...}. Следовательно, алефы Кантора исчезают в тумане.

Бесконечность! Ни один другой вопрос так не вдохновлял человека, ни одна другая идея так не стимулировала его интеллект, ни одно другое понятие не требует большего разъяснения.

Давид Гильберт

Аренд Гейтинг, в свою очередь, вплотную подошел к арифметике. Интуиционистская арифметика включает в себя те же математические законы, что и классическая, но она подчиняется только логическим законам, которые удовлетворяют интуиционистов. В отличие от интуиционистской теории множеств, которая жертвовала значительной частью классической теории множеств, интуиционистская арифметика приготовила сюрприз: тесную связь с классической арифметикой. В 1933 году Курт Гёдель доказал, что для каждой формулы, доказуемой в арифметике Пеано, существует равносильная формула, которая доказуема в арифметике Рейтинга, и наоборот. Интуиционистская арифметика только внешне была слабее классической.

Наконец, в своей работе «Континуум» (1918) Герман Вейль попытался восстановить анализ с интуиционистских позиций. Он отказывался принимать произвольные множества натуральных чисел, учитывая только те бесконечные множества, которые можно было определить, построить. Поэтому ему удалось определить только те действительные числа, которые соответствуют арифметическому закону. То есть он восстановил только счетное количество несчетных чисел, которые составляют континуум. Для классического математика числовая прямая содержит все возможные последовательности Коши или сечения Дедекинда, а не только те, которые определимы, то есть те, которые можно уточнить с помощью построительного правила. И поскольку они представляют собой счетное количество, то оставляют числовую прямую полной отверстий, — это атомизированный континуум. Из чего следует, что интуиционистский анализ чрезвычайно отличается от классического. Математики-интуиционисты не принимают, например, теорему Больцано. И наоборот, классические математики не принимают многих результатов интуиционистов (для интуиционистов, например, не существует разрывных функций).

Интуиционистская реконструкция логики и математики не очень-то вдохновляла, хотя имела широкое распространение. Это была не реконструкция, а скорее разрушение. Интуиционистская математика искалечила классическую математику.

Снимок с торжества по случаю 60-летия Давида Гильберта. Рядом с ним вдова его друга Минковского (справа) и его жена Кёте. В тот период он полностью отдался спору с интуиционистами об основаниях математики.

Гильберт в своем саду вместе с Германом Вейлем, одним из своих любимых учеников, который, однако, выступал на стороне интуиционистов.

Ян Брауэр, нидерландский математик, который возглавил интуиционистское движение, считая своими предшественниками Канта, Кронекера и Пуанкаре. Самый ярый противник Гильберта.

Интуиционизм с его постоянным воззванием к конструктивности, основанной на временной перечислимости и на отказе от принципа «третьего не дано», выбросил за борт более половины классических достижений. С Брауэром математика обрела ясность, но математики наблюдали, как передовые теории, которые казались им прочными как скалы, обращаются в пепел. Хотя нидерландский математик без колебаний принял разрушение анализа, большая часть математического сообщества сочла это неприемлемым. Некоторые математики заговорили о «большевистской угрозе», которую несет Брауэр. И тут Гильберту пришлось вмешаться.

Полемика между формализмом и интуиционизмом лежала в основе всего спора об основаниях в 1920 годы, при этом Гильберт и Брауэр были ее главными участниками. Спор, то ли из-за сложного характера Брауэра, то ли из-за большого авторитета Гильберта, перешел чисто академические границы и обрел форму личного противостояния. Началось оно в 1921 году, и сразу потеря в лагере Гильберта: дезертировал его блестящий ученик Герман Вейль. В этом году он опубликовал памфлет «О новом кризисе оснований математики», в котором поддерживал разгромные тезисы Брауэра и называл себя апостолом интуиционизма, предсказывая приход математической революции.

Спор затрагивал важнейшие стороны концепции математики Гильберта, но его бурная реакция отчасти объяснялась вопросами репутации. Если самый выдающийся ученик перешел в стан врага, почему этого не смогут сделать остальные?

В счастливые 1920-е, которые совпали с последним исследовательским этапом в его карьере, уже пожилой Гильберт посвятил себя спору об основаниях математики. И он вмешался в него со всем пылом, что определило в споре действительно новый поворот. Немец предложил «программу Гильберта» (уже намеченную в его знаменитой лекции в Париже в 1900 году), чтобы раз и навсегда заложить основы математики.

Для Гильберта наука была организмом, который растет и развивается одновременно во многих направлениях. Прояснение оснований с помощью аксиоматического метода было одной из фаз этого роста, и несмотря на всю важность, она необязательно была приоритетной. Для описания этой концепции Гильберт использовал характерную для себя метафору:

«Здание науки строится не как дом, где сначала закладывают прочный фундамент, а потом уже переходят к сооружению конструкции и отделке комнат. Наука прежде всего охватывает широкое пространство, чтобы иметь возможность свободно развиваться. И только после того, как проявляются первые признаки того, что ее слабый фундамент не выдерживает, принимаются за его укрепление и переопределение. Это признак не слабости науки, а наоборот. Это правильный и здоровый путь ее развития».

В математике время исследования оснований уже пришло. С 1900 года убежденный в надежности аксиоматического метода, который так хорошо себя показал в геометрии, Гильберт навязывал аксиоматический подход остальным математическим дисциплинам, в частности теории множеств, а также сделал первые шаги для основания математической теории доказательства. Пока платонизм и логицизм утверждали, что точностью математики ведает царствие небесное, а интуиционизм приписывал это человеческому разуму, формализм Гильберта связывал ее с исписанным листом бумаги. Математику можно рассматривать как игру знаков, лишенных значения, как цепь символов на бумаге, свободных от смысла, но подчиняющихся некоторым правилам, чтобы с ними можно было работать. Формалистская позиция, которую развили Гильберт и его соратники (Бернайс и Аккерман), предлагала решение, основанное на двух моментах: во-первых, на общей аксиоматизации математики и логики, а во-вторых, на доказательстве непротиворечивости этой формальной системы. Доказательство, что внутри системы нельзя вывести никакого противоречия, было краеугольным камнем формалистского здания.

Однако сперва требовалось дать отпор набравшему силу интуиционизму европейских математиков. После Первой мировой войны критика классической математики, сформулированная Брауэром и Вейлем, усилилась и побудила Гильберта попытаться искоренить все скептические сомнения. Гильберт осознавал, что позиция Брауэра и Вейля не лишена обоснования и нужно действовать осторожно, чтобы не спровоцировать парадоксы теории множеств. Но он не был готов отказаться ни от теории Кантора (не зря первой проблемой в списке 1900 года была его континуум-гипотеза), ни от достижений классической математики (включая достижения, полученные с использованием самой многострадальной аксиомы, аксиомы выбора). Значительная часть его успеха как математика обязана доказательствам существования, как раз против таких доказательств Брауэр (как до него Кронекер и Гордан) и выступал.

Пытаясь пресечь его влияние, Гильберт задался вопросом, что можно сделать, чтобы не отказываться от принципа исключенного третьего. По его мнению, отнять этот принцип у математика было равносильно тому, чтобы запретить астроному использовать телескоп или боксеру пускать в ход кулаки. Профессор из Гёттингена был удивлен и разочарован тем, что целый круг математиков, не церемонясь, заняли сторону противника, и это серьезно сказалось на математике. Континуум или трансфинитные числа Кантора оказались в положении обреченных математических объектов. А теорема, доказывающая существование бесконечного количества простых чисел, в свою очередь, была ярким примером запрещенного образа мысли. Действительно, принятие идеи, что любая значимая пропозиция либо истинна, либо ложна, является основополагающим для метода косвенного доказательства. Евклид доказал существование бесконечного количества простых чисел, продемонстрировав, что противоположный тезис является ложным, то есть воспользовавшись принципом исключенного третьего. Поскольку его доказательство не было конструктивным и не позволяло определить и-ное простое число, оно не годилось для интуиционистов.

По сравнению с классической интуиционистская математика предполагала жалкий остаток, ряд изолированных и бессвязных результатов. Постоянный страх Гильберта был вызван тем, что интуиционизму удастся расчленить математику и при этом будут утрачены ценные достижения. Он был насколько удручен этим положением вещей, что, борясь с интуиционизмом, даже переходил на личности и оперировал не совсем академическими аргументами:

«Программа Брауэра — это не революция, а банальное повторение старых методов [отсылка к Кронекеру] бесплодного поиска, который, даже если применить его с удвоенной силой, полностью проваливается. Сегодня мы вооружены благодаря работам Фреге, Дедекинда и Кантора. Попытки Брауэра и Вейля заранее обречены на поражение».

В конце десятилетия, когда борьба между двумя группами достигла апогея, Гильберт почувствовал, что силы на исходе и злокачественная анемия убивает его. И тогда он испугался, что после его смерти Брауэр обретет могущество и склонит к интуиционизму журнал Mathematische Annalen, который Гильберт возглавлял. В итоге в 1928 году он совершил немного грязный маневр и исключил Брауэра из редколлегии. Несмотря на возражения Эйнштейна, большинство ученых прислушались к воле Гильберта, и Брауэру пришлось уйти. Это столкновение надломило нидерландского математика, и он более чем когда-либо ударился в солипсизм. Гильберт назвал этот эпизод «войной мышей и лягушек». Гильберт выиграл битву, но не войну.