Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики

Обыкновенныя (простыя) дроби

Необходимость дробей должна чувствоваться всякимъ человѣкомъ, который желаетъ хоть немного выйти за предѣлы начальныхъ вычисленій. И въ практической жизни, и при первыхъ же шагахъ науки дроби совершенно необходимы, и безъ нихъ обойтись нельзя. Поэтому и въ самыхъ древнихъ и въ самыхъ короткихъ ариѳметическихъ рукописяхъ встрѣчаются непремѣнно замѣтки о доляхъ.

Прежде всего наталкиваетъ на необходимость дробей дѣленіе съ остаткомъ. Интересны попытки, которыя дѣлались старинными авторами для того, чтобы какъ-нибудь обойтись безъ дробей и провести все дѣло легко и спокойно, т. — е въ цѣлыхъ числахъ. Такъ, въ арабской рукописи 12-го вѣка по Р. X. рѣшается вопросъ «раздѣлить 100 фунтовъ между 11-ю человѣками поровну»; какъ видно, здѣсь получается остатокъ—1 фунтъ, его предлагаютъ промѣнять на яйца, которыхъ по существующимъ цѣнамъ придется 91 штука; тогда на каждаго человѣка можно дать по 8 яицъ и еще 3 яйца въ остаткѣ: что дѣлать съ ними? ихъ авторъ рекомендуетъ отдать тому, кто дѣлилъ, за его труды или же промѣнять на соль къ яйцамъ. Еще проще поступаетъ представитель римской монастырской учености IX вѣка Одо Клюнійскій. Требуется ему раздѣлить 1001 фунтъ на 100. Остатокъ 1 онъ дробитъ въ унціи, драхмы и т. д. до тѣхъ поръ, пока только можно дробить. И такъ какъ въ концѣ концовъ еще получается маленькій остатокъ, то его Одо предлагаетъ совсѣмъ бросить и не брать въ счетъ. Но при этомъ вѣдь происходитъ ошибка, хотя и небольшая, и автору ничего иного не остается, какъ извинить свою ошибку несовершенствомъ всего земного и всѣхъ людскихъ дѣяній и для большей убѣдительности привести даже латинскіе стихи.

Изъ нихъ авторитетно вытекаетъ, что только небесное свободно отъ ошибокъ и обладаетъ совершенствомъ.

Понятна та осторожность и та боязнь, съ которой въ старину относились къ дробямъ. Это былъ труднѣйшій и запутаннѣйшій отдѣлъ ариѳметики. Не даромъ и сейчасъ у нѣмцевъ сохранилась поговорка «попасть въ дроби» (in die Brüche gerathen), что совершенно равносильно нашему «стать въ тупикъ», т.-е. зайти въ такой проулокъ, выходъ изъ котораго застроенъ. Трудность увеличивалась и осложнялась, главнымъ образомъ, тѣмъ, что не принято было давать никакихъ объясненій, и вся старательность ученика направлялась на заучиваніе правилъ, безъ всякаго пониманія того, откуда эти правила вытекаютъ. Кстати, и самая глава о дробяхъ была мало разработана и представлялась неясной даже для составителей учебниковъ, потому что дроби то смѣшивались съ именованными числами, то принималисъ состоящими изъ 2 чиселъ—числителя и знаменателя. Въ понятіяхъ о дѣйствіяхъ надъ дробями была большая путаница, особенно, что касалось умноженія и дѣленія, да и сейчасъ въ наши дни этотъ туманъ не разсѣялся; напр., первые 2–3 года, пока ребенокъ учитъ цѣлыя числа, ему толкуютъ, что умножить значитъ увеличить въ нѣсколько разъ, а потомъ, когда онъ переідетъ къ дробямъ, его начинаютъ убѣждать, что умножить вовсе не значитъ увеличить. Между тѣмъ, какъ легко было бы устранить все это, если бы взглянуть на дѣло попроще и согласиться, что умножить въ цѣлыхъ числахъ значитъ взять слагаемымъ нѣсколько разъ, а въ дробяхъ—взять долю числа. Трудны были дроби прежде, нелегки онѣ и теперь, а такъ какъ изученіе ихъ очень полезно и необходимо, то преподаватели старались и въ прозѣ, и въ стихахъ ободрить своихъ учениковъ и цобудить ихъ пересилить трудности. Знаменитый римскій ораторъ Цицеронъ (въ 1 ст. до Р. X.) счелъ долгомъ сказать свое авторитетное слово по этому случаю: «sine fractionibus arithmetices peritus nemo esse potest»; это значитъ: «безъ знанія дробей никто не можетъ признаваться свѣдущимъ въ ариѳметикѣ». То же самое встрѣчаемъ у нашего Магницкаго въ такихъ стихахъ:

Особенное уваженіе къ дробямъ свидѣтельствуетъ авторъ одной славянской рукописи XVII в. Именно, разсуждая о тройномъ правилѣ, онъ говоритъ:

Разсмотримъ теперь подробно, какъ развилось ученіе о дробяхъ у различныхъ народовъ.

Древніе египтяне задались въ этомъ отношеніи чрезвычайно оригинальной мыслью. Они пользовались только такими дробями, у которыхъ числитель непремѣнно единица; всѣ остальныя дроби они считали неудобными для вычисленія и старались замѣнять ихъ этими основными дробями, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единицѣ, такъ что когда египтянину требовалось произвести какое-нибудь дѣйствіе надъ дробями, то онъ сперва замѣнялъ данныя дроби основными, за-тѣмъ дѣлалъ вычисленіе и уже въ концѣ-концовъ изъ ряда основныхъ дробей выводилъ одинъ общій отвѣтъ. Всѣ замѣны, которыя требовалось при этомъ дѣлать, совершались при помощи обширныхъ таблицъ, спеціально заготовленныхъ на этотъ случай. Вотъ какъ начинаются эти таблицы:

Здѣсь между долями подразумѣвается, очевидно, сложеніе, такъ

Съ дробями, у которыхъ числитель больше двухъ, приходилось немало хлопотать, и составителямъ таблицъ досталось немало труда, напр., надъ разложеніемъ дроби ⁷/₂₉. Ходъ вычисления такой:

При помощи такихъ таблицъ египтяне умѣли обходиться безъ приведенія дробей къ одному знаменателю; для этого они переводили слагаемыя въ основныя дроби на основаніи таблицъ, соединяли всѣ эти основныя дроби въ одну массу и потомъ смотрѣли, опять же руководствуясь таблицами, какой одной дроби равняется вся эта масса. Какъ составлялись подобныя таблицы? Точнаго отвѣта дать сейчасъ нельзя, тѣмъ болѣе, что они заимствованы изъ папируса Ринда, а этотъ папирусъ относится ко времени за 2000 лѣтъ до Р. X. Можно догадываться, что едва ли всѣ строки принадлежатъ одному составителю, вѣрнѣе всего отдѣльные результаты тщательно собирались въ общій сводъ, такъ что на нѣкоторые отвѣты приходилось наталкиваться случайно, при какихъ-нибудь другихъ вычисленіяхъ.

Такъ какъ египтяне пользовались только основными дробями, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единицѣ, то они, обыкновенно, вовсе и не писали числителя, а только подразумѣвали его, писали же одного знаменателя; но чтобы не смѣшать дробь съ цѣлымъ числомъ, они надъ цифрами знаменателя ставили точку. Изъ производныхъ же дробей разсматривалась только ²/₃ у которой былъ свой знакъ, такъ что эта дробь принималась за какую-то особенную величину, не стоящую въ прямой связи ни съ цѣлыми числами, ни съ дробями.

Арабы, очевидно, подъ вліяніемъ египтянъ, раздѣляли дроби на «выговариваемыя» и «невыговариваемыя». Такіе термины встрѣчаются, напр., въ VIII—IX в. по Р. X. Выговариваемыми дробями были тѣ, у которыхъ числитель единица, а знаменатель отъ 2 до 9; для нихъ есть особенныя названія, въ родѣ нашихъ «половина», «треть» и т. д. Невыговариваемыми дробями были всѣ остальныя, и, напрВыговариваемьши дробями были тѣ, у которыхъ числитель единица, а знаменатель отъ 2 до 9; для нихъ есть особенныя названія, въ родѣнашихъ «половина», «треть» и т. д. Невыговариваемыми дробями были всѣ остальныя, и, напр., ¹/₁₃ выражалась описательно такъ: одна изъ тринадцати долей; ¹/₃₀ такъ: шестая часть одной пятой.

Древніе греки часто вводили въ вычисленія дроби. Обозначали они ихъ такъ: сперва писали числителя и сверху справа ставили значекъ въ родѣ запятой, потомъ дважды повторяли знаменателя и приписывали каждый разъ значокъ въ видѣ 2-хъ запятыхъ. Напр., ³/₂₁= γ′Kα′′ Kα′′, такъ какъ у грековъ γ обозначаетъ 3, а α единицу, К двадцать. Однако чаще всего греки, по примѣру египтянъ и арабовъ, пользовались основными долями и при этомъ обыкновенно пропускали числителя, а знаменателя писали съ присоединеніемъ 2 черточекъ, и выходило, напр., что ¹/₂₁=Kα′′. Если нѣсколько основныхъ дробей писалось подъ рядъ, то это значило, что ихъ надо сложить. Особенные знаки были для половины: σ (старинная греческая буква сигма) и для 2 третей: ω.

Индусы, въ лицѣ одной изъ древнѣйшихъ своихъ отраслей — доисторическаго племени Тамуловъ, выражали всѣ доли при помощи только ½, ¼, ¹/₁₆, ¹/₄₀, ¹/₈₀, ¹/₉₆₀. Для которыхъ у нихъ были особенныя названія и знаки. Всѣ другія дроби они старались привести къ шести указаннымъ, и это имъ въ болыпинствѣ случаевъ удавлось порядочно, такъ какъ комбинаціи этихъ долей даютъ почти цѣлую единицу.

У индусскаго математика Брамагупты (въ XI в. по Р. X.) имѣется довольно развитая система простыхъ дробей. У него встрѣчаются различныя дроби, и простыя и производныя, т.-е. съ числителемъ и 1, и любое число. Числитель и знаменатель пишутся такъ же, какъ у насъ, но только безъ горизонтальной черты, а просто ставатся одинъ подъ другимъ. Выше числителя помѣщается цѣлое число, если оно есть. И выходитъ по индусскому порядку {| | ||7 |- |5|| |- | |8 |}, а по нашему—5⁷/₈.

Представители позднѣйшей арабской учености (XI в.) копируютъ индусскій порядокъ. Если цѣлыхъ нѣтъ, то они вверху помѣщаютъ нуль. Вотъ изображеніе восточно-арабскими цифрами;

отсюда видно, что нуль у восточныхъ арабовъ писался въ видѣ точки. Итальяинецъ Леонардо Фибонначи, слѣдуя манерѣ восточныхъ народовъ (семитовъ) писать справа налѣво, помѣщаетъ, въ случаѣ смѣшанныхъ чиселъ, справа цѣлое число, а лѣвѣе дробь, но читаетъ написанное общепринятымъ европейскимъ порядкомъ, т.е. сперва цѣлое число, а потомъ уже дроби.

Своеобразную систему дробей наблюдаемъ мы у римлянъ. Народъ серьезный, практичный, дѣловой, они предпочитали отвлеченному мышленію наглядность, и поэтому ничего нѣтъ естественнѣе въ ихъ положеніи, какъ замѣнить отвлеченныя доли подраздѣленіями употребительныхъ мѣръ. Они остановили свое вниманіе на мѣрѣ вѣса— фунтъ (ассъ, въ настоящее время аптекарскій фунтъ). Ассъ дѣлится на 12 частей—унцій. Изъ нихъ образуются всѣ дроби со знаменателемъ 12, т.-е.

при этомъ каждая изъ такихъ дробей выражается особеннымъ знакомъ и особеннымъ словомъ; любую дробную величину можно было выражать посредствомъ унцій, напр., вмѣсто того, чтобы сказать: «я прочиталъ ⁵/₁₂ книги», говорили «я прочиталъ 5 унцій книги». Такимъ образомъ, фунтъ являлся и именованной единицей, и въ то же время отвлеченной, такъ какъ его долями выражались всевозможныя дроби.

Эта римская система дробей держалась въ школахъ Западной Европы вплоть до тѣхъ поръ, когда принесенная чрезъ Испанію арабская — вѣрнѣе сказать, индуссая—ариѳметика стала вступать въ свои права и получила силу и перевѣсъ. Это относится къ XV—XVI вѣк. по Р. X. Въ эти вѣка ученіе о дробяхъ уже получаетъ настоящій обликъ, знакомый намъ теперь, и формируется приблизительно въ тѣ же самые отдѣлы, которые встрѣчаются въ нашихъ настоящихъ учебникахъ. Но все это было еще очень мудрено, туманно и трудно для начинающихъ учиться. О происхожденіи дробей тогда не говорили или же говорили очень мало и съ пропусками. Вмѣсто того прямо начинали съ выговариванія дробей и съ ихъ письм. обозначенія. Вотъ цитата изъ Грамматеуса, нѣмецкаго автора XVI в.:

Въ русскихъ матем. рукописяхъ XVII в. мы видимъ то же самое, что въ западно-европейскихъ XVI и даже XV столѣтія, потому что, чтобы знанію дойти до Россіи, требовалось столѣтіе или болѣе. «Статія численая о всякихъ доляхъ указъ» начинается прямо съ письм. обозначенія дробей и съ указанія числителя и знаменателя. При выговариваніи дробей интересны такія особенности: четвертая доля называлась четью, доли же со знаменателями отъ 5 до 11 выражались словами съ окончаніемъ «ина», такъ что ¹/₇, = седмина, ¹/₅ пятина, ¹/₁₀ = десятина; доли со знаменателями, большими 10, выговаривались съ помощью слова «жеребей», напр., ⁵/₁₃—пять тринадцатыхъ жеребевъ. Нумерація дробей была прямо заимствована изъ западныхъ источниковъ, въ чемъ авторъ рукописи сейчасъ же сознается:

Числитель назывался верхнимъ числомъ, а знаменатель исподнимъ.

У Магницкаго (славянская ариѳметика 1703 г.) можно найти яркій примѣръ того, какъ смутно вырисовывалась глава о дробяхъ въ представленіи самихъ авторовъ учебниковъ. Первый разъ упоминаетъ о дробяхъ Магницкій совершенно неожиданно, когда у него идетъ дѣленіе съ остаткомъ. На стр. 17 рѣшается примѣръ 130 : 3, и въ концѣ рѣшенія говорится такъ:

Больше никакихъ разъясненій нѣтъ совершенно. Слѣдующій примѣръ дѣленія съ остаткомъ приведенъ на стр. 21, и тутъ уже прямо подписанъ отвѣтъ 77446399 : 2864=27041 ⁹⁶⁸/₂₈₆₄. Затѣмъ встрѣчается еще немало примѣровъ дѣленія съ остаткомъ, и во всѣхъ въ нихъ остатокъ подписывается именно такимъ образомъ, т.-е. въ видѣ числителя дроби, у которой дѣлитель служитъ знаменателемъ. Трудно сказать, что хотѣлъ изобразить этимъ Магницкій: хотѣлъ ли онъ представить отвѣтъ въ видѣ цѣлаго числа съ дробью, или же это вовсе, по его мнѣнію, не дробь, а только своебразное обозначеніе дѣленія съ остаткомъ. Если это дробь, то лучше было бы отложить ее до полнаго разсмотрѣнія дробей, или, въ крайнемъ случаѣ, подробно ее объяснить; если же это не дробь, и если черта не отдѣляетъ числителя отъ знаменателя, то какая же сбивчивость и неясность возникнетъ для ученика, когда онъ начнетъ изучать дроби и увидитъ, что онѣ пишутся почему-то точно такъ же, какъ и остатокъ съ дѣлителемъ при дѣленіи съ остаткомъ. Почему все это такъ? Едва ли умъ ученика будетъ въ состояніи переварить этотъ вопросъ, и, вѣроятно, придетсяему бѣдному просто запомнить и затвердить, не мудрствуя сверхъ силъ.

На стр. 42 начинается у Магницкаго вторая часть ариѳметики, въ которой говорится «о числахъ ломаныхъ или съ долями».

Затѣмъ идетъ «нумераціо», или «счисленіе въ доляхъ», т.-е. дается рядъ дробныхъ примѣровъ и указывается, какъ ихъ выговаривать.

Полезно еще здѣсь объяснить, что значатъ старинныя русскія выраженія «полтретья», «полпята» и т. п, Полпята вовсе не значитъ половина пяти, но это будетъ 4½ потому что, по нашему говоря, это половина пятаго. т.-е. 4 цѣлыхъ и отъ пятаго половина. Точно такъ же полтретья значитъ половина третьяго, т.-е. 2½. У насъ осталось и сейчасъ выраженіе полтора; оно произошло изъ полвтора, т.е. половина второго, слѣд., одинъ съ половиной, 1½. Теперь понятна задача изъ Магницкаго на стр РВI[8]: купилъ полторажды полтора аршина, далъ полтретьяжды полтретьи гривны, колико дати за полдевятажды полдевята аршина придетъ 20 рублевъ 2 алтына и 3⁷/₈ полуденьги.