Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики

Фальшивое правило.

Существовало и такое правило, и не только существовало, но пользовалось громаднымъ вниманіемъ. По крайней мѣрѣ, у Магницкаго особая 4-я часть его ариѳметики была посвящена правиламъ „фальшивымъ или гадательнымъ“, въ то время, какъ въ 1-й части шли дѣйствія надъ цѣлыми числами, во 2-й надъ дробями, въ 3-й помѣщено тройное правило и въ 5-й и послѣдней о „прогрессіи и радиксахъ (т. е. корняхъ) квадратныхъ и кубичныхъ". Что же это за фальшивое правило, и почему у него такое странное названіе? Магницкій какъ бы предвидитъ подобный вопросъ и потому объясняетъ успокоительно:

Объяснимъ это правило на общеязвѣстной задачѣ о гусяхъ, кстати она и помѣщена въ ариѳметикѣ Румовскаго (1760 г.), какъ примѣръ фальшиваго правила. Задача такая:

Рѣшеніе такое: положимъ, во-первыхъ, что гусей было хоть двадцать; сочтемъ теперь, что составитъ столько, да полъ столько, да четверть столько, да еще одинъ, и выйдетъ всего гусей 20 + 20 + 10 + 5 + 1 = 56; а ихъ надо 100, слѣдовательно не достаетъ 44-хъ. Положимъ теперь, во-вторыхъ, что гусей было 24, и сосчитаемъ опять итогъ, выйдетъ 24 + 24 + 12 + 6 + 1=67, не достаетъ до 100 33-хъ. Итакъ, первое предположеніе было 20, недостатокъ 44, второе предположеніе 24, недостатокъ 33. Теперь слѣдуетъ перемножить накрестъ 20 24 и изъ большаго произведенія

20 24

X

44 33

вычесть меньшее, т.-е. 44 · 24 - 20 · 33 = 1056 - 660= 396 и этотъ остатокъ 396 раздѣлить на разницу между обоими недостатками 44 — 33, получится 396 :11 = 36, вѣрный отвѣтъ задачи. Общее правило выражается такъ: надо принять для вопроса задачи какое-нибудь произвольное значеніе, высчитать тотъ результатъ, который получится, когда подставимъ въ задачу это произвольное число, затѣмъ высчитать погрѣшность; точно также берется второе произвольное значеніе и вычисляется второй результатъ и вторая погрѣшность; тогда

Способъ фальшиваго правила былъ извѣстенъ индусамъ и арабамъ еще въ IX в. по Р. X., при чемъ выводъ его принадлежитъ, по всей вѣроятности, индусамъ. Въ латинскихъ рукописяхъ Парижской библіотеки говорится, что индусское сочиненіе, относящееся къ этому предмету, было переведено въ XII в. на еврейскій языкъ испанскимъ евреемъ Авраамомъ бэнъ-Эзра. Съ еврейскаго языка это сочиненіе было переведено впослѣдствіи на латинскій. У арабскихъ писателей фальшивое правило пользовалось широкимъ распространеніемъ, и объ немъ говорятъ всѣ арабскіе математики.

Альхваризми (въ IX в. по Р. X.) даегь слѣдующій примѣръ: «найти такое число, что если отнять отъ него ⅓ и ¼ его, то въ остаткѣ будетъ 8»; положимъ, что число будетъ 12, тогда остатокъ вышелъ бы 5, вмѣсто 8, т.-е. на 3 меньше; пусть число 24, тогда остатокъ оказался бы больше настоящаго на 2, теперь въ формулѣ рѣшенія намъ придется сложить 2 произведенія, о которыхъ говорилось выше въ правилѣ, а не вычесть одно изъ другого, и это потому, что въ задачѣ одинъ отвѣтъ больше настоящаго, а другой меньше его (24.3 +12.2) : (3 + 2) = 19¹/₅. О фальшивомъ правилѣ много говоритъ также Леонардо Фибонначи, итальянскій математикъ 13 ст. Въ русскихъ математическихъ рукописяхъ XVII в. это правило извѣстно подъ такимъ именемъ: «статья цифирная именуется вымышленая или затѣйчивая. Высокаго остропамятнаго разума и умнаго прилежаніе ея-же нѣціи фальшивою строкою нарекоша, иже ни малымъ чѣмъ погрѣшается».

Сущность фальшиваго правила лучше всего объясняется алгебраически. Возьмемъ одно уравненіе первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ: ax+b = 0. Примемъ x равнымъ произвольному количеству k₁; подставивъ k₁ вмѣсто х, пусть мы получимъ во второй части вмѣсто нуля т₁, такъ что ak₁ + b = n₁ т.-е. ошибка оказалась во второй части на n₁. Дадимъ иксу другое произвольное значеніе k₂, и пусть вторая часть обратится въ n₂, такъ-что ошибка второй части уравненія будетъ n₂. Теперь мы получимъ такую систему:

то образуется слѣдующее выраженіе для неизвѣстнаго:

Изъ этой формулы выходитъ: n₁x- n₂x= n₁k₂- n₂k₁, или n₁(x-k₂)=n₂(x-k₁) откуда получается пропорція: n₁: n₂=(х-k₁) : (х-k₂), т. е. ошибки неизвѣстныхъ пропорціональны ошибкамъ уравненій. Этой пропорціей и устанавливается связь между фальшивымъ правиломъ и способомъ пропорцій.

Фальшивое правило вводилось во всѣ учебники ариѳметики до начала 19-го вѣка и считалось необходимой ихъ частью и однимі изъ самыхъ важныхъ отдѣловъ. Оно встрѣчается, между прочимъ, въ ариѳметикѣ Безу, переведенной на русскій языкъ В. Загорскимъ въ 1806 году. Въ настоящее время это правило совершенно исключено изъ ариѳметическаго курса, и его нигдѣ найти нельзя. Двѣ причинь содѣйствовали его исключенію. Во-первыхъ, выводъ его можетъ быті сдѣланъ только алгебраически и, слѣдовательно, въ ариѳметикѣ онъ не можетъ быть объясненъ ученикамъ и требуетъ отъ нихъ прямого заучиванія; во вторыхъ, никакой учебникъ не разграничивалъ, какія задачи можно рѣшать фальшивымъ правиломъ, и какихъ нельзя имі рѣшать; а, между тѣмъ, это существенно важно, потому что, еслі примѣнить правило къ тому, къ чему оно непримѣнимо, то выйдетъ конечно, одно печальное недоразумѣніе. На самомъ дѣлѣ это правило можетъ имѣть силу только для тѣхъ задачъ, гдѣ вся задача сводится къ умноженіямъ и дѣленіямъ неизвѣстнаго.