Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики

Дѣленіе.

«Dura cosa e la partita»—звучитъ старинная итальянская поговорка, которая значитъ въ русскомъ переводѣ: «трудная вещь—дѣленіе». Не даромъ Лука де-Бурго, итальянскій математикъ XVI вѣка, утѣшаетъ начинающихъ учиться юношей и говоритъ, что «кто умѣетъ дѣлить, тому все остальное пустяки, потому что все заключается въ дѣленіи». И нашъ Магницкій не отстаетъ въ этомъ случаѣ и тоже, кончивши дѣленіе, вздыхаетъ свободно и назидаетъ своихъ «мудролюбивыхъ отроковъ» стихами:

Трудно дѣленіе нашимъ школьникамъ и въ настоящее время. Но неизмѣримо, безконечно труднѣе было оно въ старинныя времена и особенно въ началѣ среднихъ вѣковъ. Тогда изъ столкновенія римской и арабской учености не успѣло еще выработаться сколько-нибудь сносной системы, да кромѣ того, самъ характеръ преподаванія, котораго держались тогда въ монастырскихъ школахъ, былъ сухъ, безсердеченъ, неприноровленъ къ силамъ дѣтей и требовалъ отъ нихъ нечеловѣческаго напряженія. Тотъ, кто оказывался въ состояніи понимать дѣленіе, признавался чуть не геніемъ и ему давали почетный титулъ «доктора абака», въ родѣ нашего «доктора математики» или «доктора медицины». Нормальнымъ, зауряднымъ дѣтямъ нечего было и мечтать о такомъ трудномъ, мудреномъ дѣйствіи, и они скромно ограничивались сложеніемъ и вычитаніемъ, съ придачей таблицы умноженія. Вотъ что значило неумѣнье преподавать, отсутствіе понятныхъ учебниковъ и усложненность вычисленій. Вотъ откуда пошло вредное повѣрье, будто для математики надо родиться со спеціальными способностями, и что кто не рожденъ атематикомъ, тотъ не будетъ въ ней успѣвать, несмотря на свое стараніе и на искусство учителя. Смѣшно теперь слышать, что средневѣковые педагоги требовали прирожденныхъ способностей для умноженія и дѣленія: вѣдь, въ наше время съ ними удачно справляется всякій мальчикъ въ сельской школѣ и всякая дѣвочка; но курьезъ сохраняется и въ наши дни, когда съ авторитетнымъ видомъ заявляютъ, что для алгебры и геометріи нужны какія-то особыя исключительно математическія способности. Онѣ, конечно, нужны, но лишь въ такой мѣрѣ, въ какой и для каждаго учебнаго предмета, и виной неуспѣха слѣдуетъ признать, обыкновенно, не отсутствіе способностей, а плохое преподаваніе, особенно вначалѣ, когда разрабатываются элементы, основы предмета, и когда зарождается расположеніе къ нему. Стоитъ только вмѣсто расположенія и пониманія возбудить отвращеніе и непониманіе, и дѣло пропало, при томъ пропало болѣе, чѣмъ въ какомъ бы то ни было другомъ предметѣ, потому что въ математикѣ все послѣдующее вытекаетъ изъ предыдушаго, и если только зародышъ слабъ, то и весь организмъ будетъ хилымъ.

Перейдемъ теперь къ способамъ дѣленія и разберемъ ихъ по порядку.

1) Объясненіе дѣленія начнемъ съ нашего способа и прежде всего замѣтимъ, что имя ему было «золотой» способъ за его удобства и «французскій» за то, что французы предпочитали его болѣе всего. Первые намеки на него мы можемъ видѣть у Альхваризми, араба, жившаго въ IX в. по Р. X. Въ болѣе ясной формѣ онъ встрѣчается у индуса Баскары (XII в. по Р. X.). Въ нѣмецкой литературѣ можно указать на рукопись, найденную въ мюнхенской библіотекѣ и принадлежащую къ XII вѣку. Въ ней вычисленія располагаются колоннами, при чемъ вверху колоннъ подписано римскими цифрами ихъ значеніе, такъ что въ сущности здѣсь идетъ вычисленіе на абакѣ. Примѣръ: 100000:20023 = 4 и ост. 19908.

Порядокъ дѣйствія, какъ видимъ, такой: подписавши дѣлителя и его высшій разрядъ, помѣщаемъ подъ нимъ дѣлимое 100000 и задаемся цифрой частнаго; она не будетъ 5, потому что въ дѣлителѣ кромѣ 20000 есть еще другіе разряды, слѣд. цифра частнаго будетъ 4; такъ какъ 2×4 = 8, а 10 - 8 = 2, то остатокъ послѣ высшаго разряда дѣлителя, умноженнаго на частное, составитъ 2; далѣе множимъ на частное десятки дѣлителя, ихъ всего 2, 2×4=8, но чтобы вычесть 8 дес. изъ 20000, надо сперва 20000 замѣнить черезъ 19900+100 и тогда легко становится отнять 80 отъ 100, остатокъ будетъ 20; наконецъ, 3×4 =12, вычитаемъ 12 изъ 20, получаемъ 8, а всего послѣ дѣленія ииѣемъ въ остаткѣ 19908. Частное пишется въ самомъ низу. Вообще во всемъ этомъ примѣрѣ мы наблюдаемъ ходъ дѣйствія такой же, какъ и у насъ, но въ подробностяхъ много особеннаго: не пишется нулей, потому что мѣста цифръ достаточно указываются надписями надъ колоннами; не по нашему расположены дѣлимое, дѣлитель и частное; умноженіе идетъ съ высшихъ разрядовъ; вычитаніе производится постепенно, разрядъ за разрядомъ, какъ только они образуются.

2) Слѣдующій разъ мы встрѣчаемся съ этимъ способомъ уже въ XV—XVI в. А какъ же вычисляли въ промежуткѣ между XII и XVI вв.? Кстати, какъ вычисляли до XII вѣка, вѣдь, очевидно, и тогда было дѣленіе? Конечно, вычисляли, но только не по нашему пріему, а совсѣмъ по другому, непохожему, который развивался и удерживался вплоть до XIX вѣка и въ началѣ его исчез, о немъ рѣчь будетъ впереди, теперь же приведемъ образецъ нашего дѣленія, который встрѣчается у Луки де-Бурго, итальянца. Раздѣлить требуется 97535376 на 9876, получится въ частномъ 9876. Расположеніе то же, что и у насъ, только дѣлитель и частное пишется вверху; а не сбоку.

3) Въ знаменитомъ трудѣ по ариѳметикѣ, который у арабовъ считается образцовымъ, классическимъ, и который принадлежитъ Бэгаэддину (1547—1622), встрѣчается такое расположеніе: (975741: 53= 18410).

Частное пишется въ самомъ верху. Цифры дѣлимаго не сносятся внизъ, но вмѣсто этого чертятся, для удобства, колонны, чтобы не сбиться въ цифрахъ. Оба разряда дѣлителя, 5 дес. и 3 ед., помножаются отдѣльно на частное и отдѣльно же вычитаются. Дѣлитель переписывается столько разъ, скодько разрядовъ въ частномъ. Здѣсь повторяется опять то же, что мы видѣли и въ умноженіи, гдѣ множитель переписывался нѣсколько разъ. Причина опять та же, что и въ умноженіи, и заключается она въ слѣдующемъ. Способъ Бэгаэддина получилъ начало, очевидно, еще тогда, когда вычисленія шли на абакѣ, покрытомъ пескомъ, и когда, слѣд., легко было дѣлителя стереть и его же переписать снова, расположивши снова подъ тѣми разрядамі, которые дѣлятся; съ теченіемъ времени абакъ былъ оставленъ, математики стали пользоваться бумагой, а между тѣмъ манера переписыванія все еще сохранилась и привела къ большимъ неудобствамъ, къ затратѣ лишняго труда, къ потерѣ времени и мѣста. Вотъ что значитъ инерція, не просвѣтленная лучами разума!

4) Апіанъ въ XVI ст. даетъ такое же расположеніе, какое дали бы и мы, но только онъ подписываетъ числа не разрядъ подъ разрядомъ, а просто крайнюю цифру подъ крайней. Раздѣлить 97535376 на 9876, получится 9876. Пишется дѣлимое, подъ нимъ дѣлитель, а частное сбоку. a b c

9 7 5 3 5 3 7 6 ( 9 8 7 6

9 8 7 6

8 8 8 8 4

8 6 5 1 3 a

7 9 0 0 8

7 5 0 5 7 b

6 9 1 3 2

5 9 2 5 6 c

5 9 2 5 6

5) Тарталья, изобрѣтательный итальянскій математикъ XVI в., не только учившій по старинѣ, но и отъ себя предлагавшій много оригинальныхъ и удобныхъ пріемовъ, для большей ясности расчленяетъ дѣйствіе на рядъ отдѣльныхъ вычисленій, смотря по тому, сколько цифръ въ частномъ.

Вотъ, какъ онъ выполняетъ дѣленіе 2596860019 на 38784.

Частное 67019, остатокъ 7807. При этомъ Тарталья говоритъ, что хорошо бы передъ дѣленіемъ заготовлять произведенія дѣлителя на всѣ однозначныя числа; тогда виднѣе было бъ, какою цифрою задаваться въ частномъ, да и не нужно составлять отдѣльно произведеній дѣлителя на цифры частнаго, такъ-какъ они ужъ есть, и останется прямо вычитать.

6) Клавіусъ въ XVII ст. вводитъ нашъ знакъ дѣленія (при помощи угла), но числа при дѣленіи располагаетъ не по нашему. Примѣръ: 1902942 : 2978=639.

7) Вендлеръ, нѣмецкій педагогъ XVII в., употребляетъ почти нашъ пріемъ, съ тою только разницей, что дѣлитель и частное у него ставятся по обѣимъ сторонамъ дѣлимаго.

Кромѣ того, цифры дѣлимаго не сносятся, а остаются на своемъ прежнемъ мѣстѣ вверху.

8) Пешекъ въ XVIII ст. вычисляетъ такъ же, какъ и Вендлеръ. Пешекъ даетъ нашему способу названіе французскаго.

9) Баргь въ XVIII ст. пишетъ дѣлителя подъ дѣлимымъ при всякомъ частномъ дѣленіи, слѣд. столько разъ, сколько разрядовъ въ частномъ. 66734 : 325= 205 ¹⁰⁹/₃₂₅

10) Въ русскихъ математическихъ рукописяхъ XVII столѣтія встрѣчаются, какъ и слѣдовало ожидать, тѣ же самые пріемы, какіе выработала Западная Европа. Они перешли къ намъ черезъ Польшу, такъ какъ именно польская ученость давала пищу русской образованности XVII вѣка. Чаще всего въ это время встрѣчается способъ Апіана (см. выше, 4). У Магницкаго, стр. К а оборотѣ представлено дѣленіе въ такомъ видѣ.

Здѣсь дѣлимое 5175 помѣщено во второй строкѣ, частное справа, дѣлитель 15 переписывается трижды (въ третьей и пятой строкахъ), четвертая и пятая строка отведены частнымъ произведеніямъ, а верхняя—остатку отъ вычитанія. Изъ этого видно, что цифры расположены довольно несистематично и неудобно, такъ что сбиться въ нихъ очень легко. Но, по правилу, «изъ двухъ золъ выбирай менынее», Магницкій очень доволенъ этимъ способомъ и одобряетъ его въ слѣдующихъ выраженіяхъ: «Мнози убо дѣлятъ перечни сицевымъ образомъ: егда дѣлителемъ емлютъ, изъ числъ дѣлимаго, и написавши за чертою, умножаютъ имъ весь дѣлитель и, подписавши вычитаніемъ, вычитаютъ изъ дѣлимаго. И намъ видится, сицевымъ образомъ есть удобнѣйше, но тѣмъ иже слабѣйшеее разумѣніе и тщаніе имутъ: зане не толикаго есть домышленія, и остроты». Далѣе у Магницкаго идетъ способъ, цохожій на Барта (см. выше, 9), и способъ Вендлера (выше, 7). Вліяніе Вендлера вполнѣ замѣтно въ ариѳметикѣ Василія Адодурова (1740 г), Румовскаго (1760 г.), Кузнецова (1760 г.). У Загорскаго (1806 г.) является нашъ нормальный способъ во всей чистотѣ.