Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики

Сокращеніе дробей и приведеніе къ одному знаменателю.

Умѣнье сокращать дроби восходитъ довольно далеко и замѣчается у математиковъ, жившихъ еще до Р. X. Самымъ простымъ способомъ былъ тотъ, который практикуется и у насъ, т. е. дѣленіе числителя и знаменателя на одно какое - нибудь небольшое число, въ родѣ 2, 3, 5 и т. д. Эвклидъ (за 300 л до Р. X.) въ совершенствѣ знаетъ способъ послѣдовательнаго дѣленія, т.е. когда большее число дѣлится на меньшее, меньшее на первый остатокъ, первый на второй и т. п. до тѣхъ поръ, пока не будетъ найденъ общій дѣлитель. Этотъ способъ разработанъ былъ Эвклидомъ въ геометріи и имъ же предлагается для сокращенія дробей. Въ трудѣ ученаго Боэція (въ VI ст. по Р. X.) рекомендуется послѣдовательное вычитаніе, какъ средство для сокращенія дробей; при этомъ, схоже съ Эвклидомъ, меньшее число отнимается отъ большаго столько разъ, сколько можно, первый остатокъ отнимается отъ меньшаго числа, второй остатокъ отъ перваго и т. д. до тѣхъ поръ, пока, подобно Эвклиду, не будетъ найдено общаго дѣлителя, на котораго затѣмъ и остается раздѣлить числителя и знаменателя. Кромѣ того, въ средніе вѣка составлялись довольно длинныя таблицы для сокращенія дробей; въ нихъ выписывалось подробно, на какихъ именно производителей можетъ разлагаться каждое изъ составныхъ чиселъ. Былъ и еще пріемъ довольно своеобразный. Требуется, положимъ, сократить ¹⁴/₂₁. Для этого помножаемъ числителя и знаменателя дроби на такое число, чтобы новый числитель содержалъ въ себѣ прежняго знаменателя; въ нашемъ примѣрѣ достаточно помножить 14 на 3, получится 42, дѣлимъ это число на 21; будетъ 2, а весь отвѣтъ составить ⅔. Этотъ способъ можетъ и теперь иногда пригодиться, напр., въ устномъ счетѣ.

Въ старинныхъ русскихъ ариѳметикахъ сокращеніе называлось такъ: «уменьшеніе долямъ». Это выраженіе неправильно, потому что величина дроби при сокращеніи не измѣняется и, слѣд., не уменьшается, а уменьшается только числитель и знаменатель; такимъ образ., здѣсь сама дробь смѣшивается съ ея членами, а это вовсе не одно и то же. Подобный неправильнйй терминъ встрѣчается еще и сейчасъ въ нѣмецкой литературѣ: verkleinern — уменьшеніе, вмѣсто слова сокращеніе.

Приведеніе дробей къ одному знаменателю встрѣчалосъ еще у древнихъ египтянъ, хотя они предпочитали обходиться безъ него. Общимъ знаменателемъ у нихъ не всегда было наименьшее кратное число; напр., чтобы привести къ одному знаменателю дроби ¹³/₁₅ и ⁷/₂₀, они не брали обязательно числа 60 и не замѣняли данныхъ дробей чрезъ 52/60 и 21/60; они пользовались знаменателемъ и 120 и 300 и т. п., и выражали предыдущія дроби чрезъ ¹⁰⁴/₁₂₀ и ⁴²/₁₂₀, ²⁶⁰/₃₀₀ и ¹⁰⁵/₃₀₀. Мало того, знаменателемъ выбиралось иногда такое число, которое вовсе не дѣлилось на данныхъ знаменателей. Попытаемся, напр., привести дроби ¹³/₁₅ и ⁷/₂₀ къ общему знаменателю 30, тогда получится ²⁶/₃₀ и 10½ тридцатыхъ, такъ какъ тридцатыя доли въ полтора раза мельче двадцатыхъ. Такимъ образомъ, мы видимъ, что древніе египтяне не стѣснялись формой числителя и допускали дробныхъ числителей. Это указываетъ на значительное пониманіе ими свойствъ дробей: они, слѣд., вникали въ ихъ смыслъ, умѣли обращаться съ ними свободно и увѣренно и примѣняли ихъ, смотря по удобству, къ различнымъ особенностямъ задачъ. Средневѣковая ариѳметика уступаетъ въ этомъ отношеніи древней. Въ ней гораздо больше механизма, заученныхъ правилъ, строго очерченныхъ пріемовъ, и поэтому гораздо меньше свободнаго соображенія. Это обусловливается общимъ отпечаткомъ средневѣковой науки, какъ исключительно ремесленной, сухой, не позволяющей вникать въ суть и вертѣвшейся на формахъ. Въ XVI в. по Р. X. учебники относительно этого говорили кратко и внушительно: «перемножъ крестъ-накрестъ, затѣмъ перемножь знаменателей!» Косой крестъ считался даже знакомъ приведенія дробей къ одному знаменателю, потому что онъ лучше всего указывалъ порядокъ вычисленія: достаточно числителя первой дроби помножить на знаменателя второй, а числителя второй дроби на знаменателя первой, — это будутъ числители, общимъ же знаменателемъ будетъ произведеніе данныхъ знаменателей. Похоже на это, и знакомъ дѣленія дробей служилъ въ то время косой крестъ, потому что и при дѣленіи надо множить крестъ на крестъ, т.-е. числителя одной дроби на знаменателя другой.

Механическое правило, по которому дроби приводятся къ одному знаменателю, касалоеь не только двухъ дробей, но и нѣсколькихъ. Дано, напр., выразить въ одинаковыхъ доляхъ ⁴/₁₅, ⁷/₂₀, ⁹/₂₅. Тогда составляли сперва произведеніе 15 на 20 и приводили первыя двѣ дроби въ такой видъ: ⁸⁰/₃₀₀, ¹⁰⁵/₃₀₀. Потомъ составляли произведеніе 300 на 25 и получали общимъ знаменателемъ число 7500, такъ что 3 данныхъ дроби превращались уже въ ²⁰⁰⁰/₇₅₀₀, ²⁶²⁵/₇₅₀₀, ²⁷⁰⁰/₇₅₀₀. Знаменатель, какъ видимъ, возросъ до значительной величины, и все оттого, что математики не научились пользоваться наименьшимъ кратнымъ данныхъ знаменателей. У Магницкаго дроби ⅔, ¾, ⁵/₆, ⁴/₅ приведены къ знаменателю 360, вмѣсто того, чтобы имъ имѣть общаго знаменателя 60; у него получаются такіе отвѣты: ²⁴⁰/₃₆₀, ²⁷⁰/₃₆₀, ³⁰⁰/₃₆₀, ²⁶⁸/₃₆₀ послѣ ряда длинныхъ вычисленій, занимающихъ цѣлую страницу книги. Даже въ ариѳметикѣ Степана Румовскаго (С.-Петерб., 1760 г.) дроби ⅓ и ²/₉ приводятся къ обще-му знаменателю 27, а не 9, какъ это сдѣлали бы мы. Изъ всего этого видно, что правило, по которому общ. знаменателемъ должно служить наименьшее кратное, является сравнительно новымъ правиломъ и замѣнялось прежде тѣмъ порядкомъ, что общій знаменатель составлялся прямо перемноженіемъ данныхъ знаменателей.