Кантор. Бесконечность в математике.

ГЛАВА 1 Где начинается бесконечность

Есть вопросы, которыми человечество задается с тех самых пор, когда первые мужчины и женщины усаживались у огня и принимались размышлять и изучать то, что их окружало. Существовал ли мир всегда или у него было начало? Он перестанет существовать когда-нибудь? Есть ли предел у неба или оно не имеет преград?

В основе всех этих вопросов лежит одно из самых невероятных и глубоких понятий — бесконечность.

Почти все области математики являются результатом долгих исторических процессов, десятки или сотни лет они развивались благодаря множеству ученых, и трудно, если не невозможно, однозначно указать на одного зачинателя. Так, корни геометрии и алгебры уходят в Древний Египет и Месопотамию, а более «молодые» разделы науки, например методы счисления, выведены в конце XVII века одновременно и независимо друг от друга англичанином Исааком Ньютоном и немцем Готфридом Вильгельмом фон Лейбницем. Правда, они выразили идеи, которые их предшественники изучали веками (мы подробнее рассмотрим это в главе 3).

Однако математическая теория бесконечности (и теория множеств — как мы увидим, в сущности это одно и то же) появилась благодаря таланту и воображению единственного человека, создавшего ее фактически из ничего, — математика русско-немецкого происхождения Георга Кантора.

Можно даже назвать конкретную дату, когда произошел творческий прорыв, приведший Кантора к этой теории. Он писал 5 ноября 1882 года своему другу и коллеге Рихарду Дедекинду:

«[...] после наших недавних встреч в Гарцбурге и Эйзенахе [немецких городах, где они виделись в сентябре 1882 года] по воле всемогущего Бога меня озарили самые удивительные, самые неожиданные идеи о теории ансамблей и теории чисел [он имеет в виду, как мы увидим в главе 4, бесконечные числа]. Скажу больше, я нашел то, что бродило во мне в течение долгих лет».

Как же Кантор пришел к этим «удивительным открытиям»? Что послужило началом «брожения»? Чтобы понять это, мы шаг за шагом проследим путь его идей. Начнем, как и полагается, сначала.

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор родился 3 марта 1845 года в Санкт-Петербурге. Его отец, Георг Вальдемар Кантор, успешный торговец, датчанин по происхождению, был очень религиозен и ценил культуру и искусства. Мать, Мария Анна Бойм, дочь русских скрипачей, сама виртуозно играла на скрипке. Георг унаследовал ее музыкальный талант и годы спустя, то ли в шутку, то ли всерьез, сокрушался, что отец не позволил ему стать профессиональным скрипачом.

Музыка и искусство всегда были важны для Кантора. Он считал, что математика и искусство не так уж далеки друг друга и что математик должен обладать и творческой жилкой (это мнение разделяли многие его современники, а также автор этих строк). Так, в 1833 году он написал статью, в которой упоминал об «удивительных открытиях» (позже он рассказал о них в письме Дедекинду); среди прочего в ней были такие слова: «Вся общность математики заключается в ее свободе» (курсив Кантора). В ней же он писал:

«В силу этого исключительного положения, отличающего ее от всех других наук и объясняющего сравнительную легкость и отсутствие принуждения в занятии ею, она заслуживает совершенно особенным образом имени свободной математики — название, которое, будь мне предоставлен выбор, я дал бы охотнее, чем ставшее обычным наименование «чистая» математика».

Таким образом, математик может отпустить свое воображение в «свободный полет» и оперировать понятиями как ему вздумается — при условии, что они не ведут к логическим противоречиям. И если противоречий нет, то, как утверждал Кантор, можно быть уверенными, что эти объекты действительно существуют. Выходит, математик, способный выводить новые понятия, одновременно и ученый и художник. Эти идеи не просто отражали мысль Кантора, они, особенно в этой знаковой статье, играли стратегическую роль, о чем мы поговорим в следующих главах.

Но вернемся к первым годам жизни Кантора. У его отца было слабое здоровье, и в 1856 году врачи посоветовали ему уехать от суровых петербургских зим в зону более благоприятного климата. Тогда Кантор-отец завершил все свои дела в России, и семья перебралась в Германию. Сначала они поселились в Висбадене, где Георг посещал гимназию, но вскоре переехали во Франкфурт. Ученый всегда с ностальгией вспоминал детство, проведенное в Санкт-Петербурге, и хотя всю оставшуюся жизнь прожил в Германии, никогда не ощущал себя там как дома. Насколько известно (и это очень похоже на его романтическую и даже экзальтированную натуру), после 1856 года он больше никогда не писал по-русски. По дневникам времен гимназии видна его все возрастающая склонность к математике. Хотя отец настаивал на том, чтобы Георг изучал инженерное дело, в 1863 году он поступил в Берлинский университет, желая посвятить себя своему настоящему призванию, и даже страсти, — математике. В то время это был один из главных мировых математических научных центров. Здесь преподавали знаменитые математики Карл Вейерштрасс и Эрнст Куммер, оба они стали учителями Кантора. Также его наставником был Леопольд Кронекер, со временем тот оказался одним из самых яростных противников теории бесконечности.

Кантор окончил Берлинский университет в 1867 году и спустя два года получил место профессора в Галльском университете. Забегая вперед, отметим, что именно в Галле ученый развил свою теорию математической бесконечности, именно там он сделал открытия, благодаря которым стал одной из важнейших фигур в математике. Его идеи не всегда встречали понимание и, напротив, часто вызывали отторжение. Мы уже упомянули о Кронекере, который сделал все возможное, чтобы воспрепятствовать распространению идей Кантора. Еще один пример относится к 1874 году, когда Кантор захотел опубликовать свои первые открытия в исследовании бесконечности. Черновик его статьи увидел Вейерштрасс и посоветовал Кантору не упоминать о самых радикальных выводах разбираемых теорем. Более того, он предложил вообще не говорить о бесконечности. Почему у Кантора было так много противников? Какие выводы следовали из статьи 1874 года и в чем заключалась их революционность? Чтобы ответить на эти вопросы, мы должны сначала ознакомиться с историей бесконечности.

Что такое бесконечность? Точнее, что мы имеем в виду, когда утверждаем, что совокупность объектов бесконечна? Прежде всего уточним, что будем использовать слово «объект» в самом широком значении, включающем в себя и абстрактные, и воображаемые объекты. Например, эта группа может состоять из всех дней декабря 3000 года.

Проанализируем сперва противоположное понятие, которое нам гораздо ближе, — конечность. Что мы подразумеваем, говоря, что некая группа объектов конечна?

Само по себе это слово означает «то, что заканчивается», «то, что не продолжается бесконечно». В таком случае принято думать, что группа объектов конечна, если хотя бы теоретически их можно пересчитать по одному так, что в определенный момент подсчет завершится.

Родители Кантора — Георг Вольдемар Кантор, успешный предприниматель, и Мария Анна Бойм, виртуозная скрипачка.

Мемориальная доска на доме в Санкт- Петербурге, где родился Кантор.

Берлинский университет, 1880 год. Здесь в 1867 году Кантор получил степень доктора математики.

Совокупность всех дней декабря 3000 года, которую мы привели выше, конечна. Возьмем еще один пример: представим, что всех взрослых людей, населяющих Землю в данный момент, попросили герметически закрыть бутылки с водой. Количество молекул кислорода, содержащихся в миллиардах этих бутылок, все равно будет конечным. Разумеется, на практике в этом случае было бы чрезвычайно трудно подсчитать все объекты, входящие в эту группу, но конкретные сложности не имеют значения для понятия конечности. Главное, что теоретически рано или поздно подсчет завершился бы, даже если на это ушли бы века. Бесконечной же группа является, если при пересчете по одному всех составляющих его частей они никогда не закончатся. Подчеркнем, что в этом определении мы используем слово «никогда» не в метафорическом смысле, не как синоним «очень большого количества времени», его надо понимать буквально: «никогда, бесконечно».

Понятие бесконечности — это замечание очень важно — трактуется двумя различными способами. Она может быть потенциальной или актуальной.

Чтобы понять разницу между ними, представим себе человека, который записывает все натуральные числа (числа, которые получаются путем прибавления 1, начиная с 0, то есть 0, 1, 2, 3, 4,...). Он начинает писать, в какой-то момент доходит до 100, потом до 1000, наконец до 10000. Работа, за которую он взялся, не закончится никогда, потому что когда он дойдет до 100000, ему надо будет продолжить со 100001, когда дойдет до 1000000 — с 1000001 и так далее. Он никогда не доберется до последнего натурального числа, просто потому что его не существует, эти числа никогда не закончатся.

Я против использования бесконечных величин как чего-либо законченного, это использование недопустимо в математике.

Карл Фридрих Гаусс, письмо от 1831 года

Писец поймет, что всей его жизни не хватит, чтобы завершить этот труд, и возьмет ученика, чтобы тот продолжил записывать числа после него. Этот второй писец, в свою очередь, возьмет еще одного ученика и так далее.

Будет ли список чисел, составленный всеми этими писцами, бесконечным? Ответ «да, будет, но только в потенции». Список чисел не является статичной группой, он постоянно растет, и этот рост никогда не закончится. На определенный момент времени — не важно, насколько далеко в будущем, — список будет конечным, но продолжит расти без ограничений.

Таким образом, потенциальная бесконечность — это бесконечность списка, который конечен на каждый момент времени, но может расти безгранично. В этом случае бесконечность приобретает негативный оттенок — это свойство, которое делает невозможным завершение работы.

Теперь возьмем группу, состоящую из всех натуральных чисел, абсолютно всех без исключения (вне зависимости от того, записаны они или нет). Разумеется, список будет бесконечным, только в таком случае мы имеем дело со статичной, завершенной бесконечностью. В эту группу входят все числа, к ней больше ничего не надо добавлять. Это и есть актуальная бесконечность.

Перенесем это понятие на такие величины, как вес, объем или длина. Например, если нарисовать отрезок (прямую, соединяющую точку А с точкой В), его длина, разумеется, будет конечной. Но геометрия говорит нам, что продолжать его можно сколько угодно. И если мы предположим, что это продолжение будет бесконечным, то получим линию с потенциально бесконечной длиной. Она всегда конечна, но способна бесконечно возрастать (см. рисунок 1).

Прямые, которые рассматриваются в современной геометрии, тем не менее имеют длину, считающуюся актуально бесконечной, и они тянутся непрерывно без начала и конца. Заметим, что такую линию невозможно изобразить.

Интересно, что все группы или величины, связанные с природными явлениями, никогда не являются актуально бесконечными, напротив, большинство из них конечны, и лишь очень малая часть — бесконечны, но только в потенции. Так, согласно принятым на сегодняшний день физическим теориям материя не является бесконечно делимой. Каждый атом состоит из определенного количества элементарных неделимых частиц. Возможно даже, что ни время, ни пространство не делимы бесконечно.

С другой стороны, космологи утверждают, что объем и диаметр Вселенной вполне могут быть потенциально бесконечными (диаметр Вселенной — это наибольшее расстояние, которое можно измерить, между двумя ее точками).

Число песчинок, содержащихся в шаре, равном миру, меньше тысячи единиц чисел «седьмых» [это единица с 51 нулем, огромное, но конечное число].

Архимед, «Псаммит»

Если верно, что Вселенная будет продолжать расширяться неопределенное количество времени, то и ее возраст в секундах будет потенциально бесконечен. Продолжая пример с писцами, представим, что они записывают по числу на каждую секунду, прошедшую с момента Большого взрыва. Список запротоколированных секунд постоянно возрастал бы, оставаясь при этом конечным.

Резюмируя, скажем, что время, материя и пространство были бы конечны или, максимум, бесконечны в потенции. Поэтому неудивительно, что в IV веке до н.э. Аристотель утверждал, будто актуальной бесконечности не существует.

РИС.1

Аристотель первым стал исследовать различие между «потенциальным бытием» и «актуальным». Можно сказать, что ребенок — это потенциальный взрослый, а глыба мрамора — потенциальная скульптура. Когда ребенок вырастает, он становится «актуальным» взрослым; скульптор превращает мрамор в актуальную скульптуру. «Звание потенциального мудреца равно дается и тому, кто ничего не изучает», — утверждает Аристотель в книге IX своей «Метафизики», видимо с долей иронии. В том же труде он говорит о бесконечности:

«Беспредельное же существует в возможности не в том смысле, что оно когда-то будет существовать отдельно в действительности».

Таким образом, бесконечность всегда существует потенциально, в возможности, но никогда не бывает актуальной. На протяжении более двух тысяч лет, точнее до середины XIX века, аристотелевское отрицание актуальной бесконечности поддерживали почти все западные ученые — и философы, и математики. Поэтому стоит задержаться по крайней мере на двух аргументах, приведенных Аристотелем для обоснования своего утверждения.

Не следует, однако, понимать бытие [бесконечного] в возможности [в том смысле], что как вот этот [материал] есть статуя в возможности, поскольку он [на деле] может стать статуей, так же может стать актуально существующим какое-нибудь бесконечное.

Аристотель, «Физика»

В книге III «Физики» Аристотель говорит, что существование актуальной бесконечности недопустимо, поскольку во Вселенной нет ни одного тела с бесконечным объемом, ни одного промежутка времени с бесконечной длительностью, другими словами, нет актуально бесконечных величин. Аристотель подкрепляет это несуществование философскими рассуждениями. Однако не будем останавливаться на них, поскольку современная физика соглашается с древнегреческим ученым. Например, если объем Вселенной бесконечен только в потенции, в ней не может быть тела с актуально бесконечным объемом.

Поскольку не существует бесконечных величин, нет смысла говорить об «актуально бесконечных числах» или об «актуально бесконечном количестве», ведь они ничего бы не измеряли и были бы лишены всякого смысла.

Сопоставим рассуждения Аристотеля (определявшие европейскую науку тысячи лет) с процитированным в начале главы письмом, в котором Кантор сообщает Дедекинду, что он пришел к «самым удивительным, самым неожиданным идеям» в теории бесконечных чисел. Это противоречие является первой причиной такой революционности и такого количества противников. Второй аргумент, который мы прокомментируем, Аристотель приводит в книге VIII «Физики»: неверно, что отрезок состоит из бесконечного числа точек. Ученый приводит философское доказательство, но оно также может быть перенесено в область математики. Уточним, что говоря «точка», мы подразумеваем «математическую точку», то есть объект, не имеющий длины, ширины и высоты. «Орфографическая точка», которая ставится в конце предложения, не является математической — это просто очень маленькая окружность, точнее цилиндр, нарисованный чернилами, с очень маленьким, но не нулевым основанием и очень маленькой, но не нулевой высотой (см. рисунок 2). В случае с математической точкой ее длина по определению всегда равна нулю. Если мы соединим несколько точек, их общая длина будет равна 0 + 0 + 0 + 0 +... Не важно, сколько раз мы сложим нули — определенное число или бесконечное (даже если бы это было возможно), — сумма всегда будет равна нулю. Итак, если бы отрезок состоял из точек, он имел бы нулевую длину. Тем не менее мы знаем, что длина отрезков больше нуля, значит, они не могут состоять из точек. Мы вернемся к этому парадоксу в главе 3. Получается, что отрезок невозможно разделить на бесконечное количество частей. Возьмем отрезок длиной 10 см и разделим его на 10 одинаковых частей. Каждая из них будет равна 1 см. Если мы разобьем его на 100 равных частей, каждая будет равна 0,01 см. Если же мы разобьем его на бесконечное количество частей, каждая из них будет равна 0 см. Получится, что отрезок состоит из частей, равных нулю. Это невозможно, следовательно его нельзя разделить на бесконечное число частей.

Аристотель говорит, что этот второй аргумент доказывает существование бесконечности по делению (нельзя разделить объект на бесконечное количество частей), а первый аргумент — по сложению (не существует бесконечно больших величин). В любом случае, заключает он, актуальной бесконечности не существует.

РИС. 2

Начиная со Средневековья положение Аристотеля о бесконечности стало практически религиозной догмой. Например, в V веке Святой Августин (354-430) в самом знаменитом своем труде «О граде Божием» писал: «Неужели Бог не знает всех чисел вследствие их бесконечности», не следует «признавать их не подлежащими божественному ведению, [...] мы не должны сомневаться в том, что Ему известно всякое число», хотя бы потому, что «разум Его неизмерим». Таким образом, актуальная бесконечность существует, но ее знание подвластно только безграничному разуму Бога. Требовать от человеческого разума понимания бесконечности — означает поставить его в один ряд с божественным, что является ересью. Георг Кантор был религиозным человеком и отдавал себе отчет в том, что касается этой стороны вопроса. Как мы увидим, развитие собственной математической теории актуальной бесконечности стоило ему немалых душевных усилий.

Теперь перенесемся во времени и рассмотрим работу Галилео Галилея (1564-1642) «Беседы и математические доказательства относительно двух новых наук» (1638). Как видно из названия, она написана в форме дискуссий. В них участвуют три персонажа: Сальвиати, выражающий точку зрения Галилея, Сагредо, образованный человек той эпохи, и Симплицио, представитель традиционной науки, основывающейся в том числе на трудах Аристотеля.

Гипотеза — это утверждение, ложность или истинность которого еще не доказана. Многие из них касаются бесконечности, например гипотеза о совершенных числах. Совершенное число равно сумме собственных делителей (включая 1, но не считая само число). Например, 6 — совершенное число, поскольку его делителями являются 1,2,3, а 6 = 1 + 2 + 3. Еще один пример — число 28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14. Согласно пока не подтвержденной гипотезе, количество совершенных чисел бесконечно.

Две новые науки, упомянутые в заголовке этого труда, — статика и динамика, а вся книга в целом представляет собой критику аристотелевских законов физики. Хотя Галилей и разрушает большую часть постулатов древнегреческого ученого, он разделяет его настороженность в отношении актуальной бесконечности. Рассмотрим аргументы, предвосхищающие рассуждения Кантора.

Для начала вообразим себе огромный бальный зал, в котором находится большое, но конечное количество мужчин и женщин (см. рисунок 3). Предположим, что мы хотим узнать, кого из присутствующих больше: женщин, мужчин или же тех и других поровну. Один из способов ответить на этот вопрос состоит в том, чтобы пересчитать всех собравшихся женщин, потом мужчин и сравнить полученные данные. Поскольку это количество конечное, подсчет производится без проблем. Но есть и более изобретательный метод: когда заиграет музыка, можно попросить всех разделиться на пары (см. рисунок 4). В каждой паре должен быть один мужчина и одна женщина.

Если партнеров хватает всем и ни один мужчина и ни одна женщина не остаются без пары, то в зале одинаковое количество мужчин и женщин. Если же у всех женщин есть пара, но несколько мужчин остались одни, значит мужчин больше. Наконец, если пара есть у всех мужчин, но не у всех женщин, то в зале больше женщин.

Таким образом, если у нас имеются две законченные группы и каждый член одной из них соотносится с членом из противоположной группы так, что не остается «лишних», мы можем быть уверены, что в этих группах одинаковое количество членов. Можно ли перенести этот принцип на бесконечные группы?

От лица персонажа Сальвиати Галилей рассмотрел две конкретные группы: состоящую из натуральных чисел 0,1,2,3, 4,5,... и из квадратов чисел, получаемых при умножении числа на само себя, 0,1,4,9,16, 25,... Очевидно, считает Галилей, что если мы объединим группы квадратов чисел и не квадратов, то этих последних будет больше.

РИС.З

РИС. 4

Следовательно, в первой группе больше членов, чем во второй. На самом деле Галилей начинал считать с 1, а не с 0, как мы, но это не меняет сути.

С другой стороны, продолжает ученый, каждому числу из первой группы можно подобрать число из второй. Достаточно взять натуральное число и его квадрат.

Это распределение по парам доказывает, что натуральных чисел столько же, сколько их квадратов, и противоречит сказанному выше — тому, что натуральных чисел больше. Так что же верно? Как решить этот парадокс? Галилей отвечает так:

«[...] понятия «больший», «меньший», «равный» не имеют места не только между бесконечно большими, но и между бесконечно большим и конечным».

Другими словами, он приходит к выводу, что абсурдно сравнивать группы с бесконечными членами и нельзя сказать, что одна бесконечная группа больше, меньше или равна другой бесконечной группе. И тем не менее примерно 250 лет спустя Георг Кантор решил измерить и сравнить бесконечные группы и сделал выводы, которые и Галилей, и Аристотель сочли бы неприемлемыми. Об этом следующая глава.

«Книга песка» — это рассказ аргентинского писателя Хорхе Луиса Борхеса (1899-1986) из одноименного сборника, опубликованного в 1975 году. В нем протагонист, сам Борхес, покупает у уличного торговца книгу. Выясняется, что в ней бесконечное количество страниц. У нее нет ни начала, ни конца; открыв какую-то страницу, ее невозможно найти вновь. Этот чудовищный предмет внушает Борхесу страх, но он боится, что и огонь, который сожжет бесконечную книгу, будет «тоже бесконечным», и вся планета задохнется от его дыма. Тогда Борхес решает спрятать ее на первой попавшейся полке в Национальной библиотеке Буэнос- Айреса.

Хорхе Луис Борхес, 1976 год.