Кантор. Бесконечность в математике.

ГЛАВА 5 Алефы

Было бы наивно предположить, что «бесконечность плюс бесконечность» даст просто «бесконечность» и к ней нельзя ничего добавить. Однако во второй половине 1890-х годов Георг Кантор опубликовал статью, в которой ввел обозначение для бесконечных кардинальных чисел — букву «алеф» еврейского алфавита. С ее помощью он создал «арифметику бесконечности», которая показала, что вопрос «сложения бесконечности и бесконечности» требует более пристального рассмотрения.

В первой половине XX века немецкий физик Макс Планк (1858-1947) писал:

«Новая научная истина торжествует не потому, что ее противники признают свою неправоту Просто ее оппоненты со временем вымирают, а подрастающее поколение знакомо с нею с самого начала».

Планк имел в виду квантовую механику — теорию, которая произвела революцию в физике XX века, но это замечание прекрасно подходит и для теории Кантора. Действительно, многие математики поколения, родившегося в последние десятилетия XIX века, далекие от предрассудков своих старших коллег, видели в теории бесконечности интересный и стимулирующий потенциал. Одним из самых известных сторонников Кантора был Давид Гильберт, блестящий немецкий математик, родившийся в 1862 году. Когда в начале XX века в теории бесконечности были обнаружены парадоксы и многие из тех, кто сначала верил в нее, начали сомневаться, Гильберт стал главным защитником идей Кантора.

В 1900 году Гильберт был приглашен на конференцию, посвященную открытию Второго международного конгресса математиков в Париже. Это было свидетельством признания его академических заслуг.

На знаменитой конференции Гильберт представил 23 задачи, которые не могли быть решены на тот момент и которые, как он полагал, задали бы направление развитию математики в XX веке. Первым пунктом списка значилась задача, в которой требовалось подтвердить или опровергнуть континуум- гипотезу (напомним, она была сформулирована Кантором в 1878 году, и согласно ей между мощностью множеств натуральных и вещественных чисел отсутствует промежуточная).

Благодаря новому поколению математиков, к 1890 году теория множеств и теория бесконечности не только оказались приняты, но и стали основой многих новых областей математики, появившихся в те годы. Прежде всего, понятия теории множеств, в частности различия между счетными и несчетными множествами, являются фундаментальными в теории меры — обобщении исчисления, созданном в последние годы XIX века французскими математиками Эмилем Борелем (1871-1956) и Анри Лебегом (1875-1941). Также они имеют основополагающее значение в топологии — еще одной обобщенной теории исчисления, которая зародилась в тот же период в работах другого французского математика Анри Пуанкаре (1854-1912) (хотя впоследствии из-за большого количества вскрытых парадоксов Пуанкаре стал одним из противников теории множеств).

В это время обрела форму идея того, что теория множеств может быть основой всей математики. Но что конкретно это значило? На протяжении веков образцом математической мысли была классическая древнегреческая геометрия. Более того, считалось, что самый четкий способ объяснения математических понятий — это представление их посредством геометрии. Число, в частности иррациональное число, можно было представить как отрезок, а числовые операции — как построения.

Георг Кантор, около 1894 года.

Анри Лебег, французский математик.

Эмиль Борель, 1929 год. Вместе с Лебегом он начал обобщать понятия теории множеств, чтобы создать на их основе теорию меры.

В 1890-е годы Анри Пуанкаре утверждал, что понятия теории множеств необходимы и для топологии.

Декарт в сочинении «Правила для руководства ума», написанном в 1620-е годы, объясняет, что умножение двух чисел, то есть двух отрезков, в сущности состоит в том, чтобы построить прямоугольник, сторонами которого и будут эти отрезки. Отметим: Декарт не говорит, как мы сейчас, что произведение сторон позволит нам получить площадь прямоугольника. Он утверждает, что прямоугольник является произведением двух чисел; понятия и операции воспринимались как геометрические объекты и построения.

Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором.

Давид Гильберт (1862-1943), немецкий математик

Это господство геометрии в XIX веке стало постепенно сходить на нет — процесс был назван арифметизацией исчисления. В результате математические понятия, особенно связанные с исчислением, перестали пониматься через призму геометрии и отныне основывались исключительно на числах. Однако если числа — это не отрезки, то что тогда? Некоторые математики, среди которых был и Рихард Дедекинд, увидели ответ на этот вопрос в теории множеств. Если определения чисел и операции с ними больше не отталкивались от геометрических понятий, то их место могли бы занять понятия теории множеств.

В 1872 году Дедекинд уже использовал теорию множеств для определения вещественных чисел, но в нем предполагалось существование рациональных чисел, а они, в свою очередь, определяются на основе натуральных.

Как мы определяем натуральные числа, которые находятся в начале этой цепи понятий (рисунок 1)?

Дедекинд ответил на этот вопрос в статье Was sind und was sollen die Zahlen {«Что такое числа и для чего они служат»), опубликованной в 1887 году как самостоятельная монография. В ней Дедекинд использует определение множества, предложенное Кантором в 1883 году (Дедекинд называл множества «системой элементов»), а также объединения множеств. По мнению ученого, натуральные числа — всего лишь кардинальные числа конечных множеств. Он называет число 0 кардинальным числом пустого множества (такого, в котором нет членов), 1 — кардинальным числом любого множества с одним членом и так далее.

РИСУНОК 1: Определения числовых множеств. После определения натуральных чисел остальные множества могут быть последовательно определены на их основе.

РИСУНОК 2: Для того чтобы объединение не было равно сумме, у двух множеств не должно быть общих элементов.

В свою очередь, сумма чисел определяется посредством объединения множеств. Так, когда мы говорим: «1 + 1 = 2», на самом деле мы утверждаем, что если даны два множества и кардинальное число каждого равно 1, то их общее кардинальное число будет равно 2 (рисунок 2 на предыдущей странице).

Таким же образом все математические понятия могут быть сведены к понятиям теории множеств. Мнение о том, что математика основана на теории множеств, серьезно повлияло на науку XX века и продолжает влиять на нее сейчас.

Последнее десятилетие XIX века началось для Кантора чрезвычайно благоприятно. Молодые математики принимали, изучали и применяли его теорию бесконечности, а Рихард Дедекинд тем временем предлагал сделать из теории множеств основу всей математической науки. К этим обстоятельствам добавилось еще одно событие, внушавшее оптимизм: в 1890 году было создано Немецкое математическое общество, и Кантор был избран его первым президентом. Он занимал эту должность до 1893 года.

Появление общества было результатом интенсивной работы, в которой оправившийся от депрессии Кантор принял активное участие и которая совпала с объединением Германии.

В начале XIX века страна в действительности была разделена на 38 политически независимых «государств», у которых, тем не менее, были общий язык, культура и история. Самым сильным из них была Пруссия. Примерно в 1860 году прусский первый министр, «железный канцлер» Отто фон Бисмарк начал процесс объединения, в ходе которого произошли три военных конфликта и были заключены несколько политических союзов. Процесс завершился 18 января 1871 года провозглашением Германской империи, объединенной под короной Вильгельма I, бывшего до этого королем Пруссии.

Тот, кто хоть раз испытал на себе очарование личности Кантора, знает, что он полон проницательности, темперамента, изобретательности и оригинальности.

Артур Мориц Шенфлис (1853-1928), немецкий математик

Однако в конце 1880-х годов Кантор и его коллеги, среди которых знаменитый геометр Феликс Клейн (1849-1925), заметили, что хотя с момента объединения страны прошло уже почти 20 лет, в отдельных регионах еще сохранялась зависть к соседям, мешавшая плодотворному сотрудничеству. Поэтому многие ученые увлеклись идеей создания общества, которое объединило бы всех немецких математиков. Этот проект обрел реальные черты в 1890 году, а Кантор стал первым президентом новой ассоциации.

Открытие Немецкого математического общества состоялось в сентябре 1891 года, и в знак примирения со старым врагом Кантор лично пригласил Кронекера прочитать лекцию.

Тот принял приглашение, но, к сожалению, не смог приехать, так как в августе его жена стала жертвой несчастного случая и спустя месяц умерла. Кронекер пережил ее не намного: его не стало 29 декабря того же года.

В 1890-е годы Кантор, выздоровевший и примирившийся с научным сообществом, возобновил свои математические исследования. Их результатом стала публикация двух статей — последних, которые он отправил в печать при жизни. Первая называлась Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre («Об одном элементарном вопросе учения о многообразиях») и была опубликована в 1892 году в первом ежегодном альманахе Немецкого математического общества.

Вторая статья стала одной из самых известных и была издана в двух частях: первая в 1895-м, а вторая в 1897 году. Обе вышли в журнале «Математические анналы» под заголовком Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre («К обоснованию учения о трансфинитных множествах»).

В диаметре Алеф имел два-три сантиметра, но было в нем все пространство Вселенной, причем ничуть не уменьшенное.

Из рассказа «Алеф» Хорхе Луиса Борхеса

Проанализируем содержание этих статей, но в обратном хронологическом порядке.

Историк Хосе Феррейрос совершенно справедливо утверждает, что теория трансфинитных множеств — это «научное завещание Кантора». Действительно, в этой работе ученый использует все основные понятия своей теории бесконечности, в частности кардинальных и ординальных чисел, и изучает их свойства и взаимоотношения.

Одним из нововведений стало обозначение бесконечных кардинальных чисел (мощностей) алефом, א. Это первая буква еврейского алфавита. Первое бесконечное кардинальное число, соответствующее множеству натуральных чисел, как любое другое счетное множество, Кантор назвал X₀ (читается «алеф-нуль»);

(далее в тексте алеф заменяется на X)

X₁— второе бесконечное кардинальное число, X₂ — третье и так далее. Следовательно, множество всех ординальных чисел первого класса, то есть всех натуральных чисел, имеет мощность X₀ . Добавив ординалы второго класса, мы получим мощность X₁, третьего класса — множество с мощностью X₂ и так далее (см. рисунок). После этого замечания вопрос о том, верна ли континуум-гипотеза, то есть верно ли предположение Кантора, что промежуточной мощности между мощностью натуральных и вещественных чисел не существует, видоизменяется: равна ли мощность вещественных чисел X₁? (Обратим внимание, что меньшая бесконечная мощность — это X₀, а непосредственно за ней идет X₁ ; мы также знаем, что мощность вещественных чисел не равна X₀ потому что они несчетны; поэтому, если она не равна X₁, единственная альтернатива — что она больше этого значения.)

Каждый раз, добавляя целый следующий класс ординальных чисел, мы непосредственно переходим к следующему кардинальному числу.

Последовательность алефов начинается с X₂ ,X₁ ,X₀,,... Но сколько их всего? Каждому натуральному числу соответствует один алеф и, следовательно, они счетные? На самом деле нижние индексы — ординальные числа. После бесконечного числа X_n, где n — все натуральные числа, идут X_ω+1, X_ω+1, ..., X_ω+ω, X_ω+ω+1,... и так далее. Значит, ответ на вопрос таков: бесконечных кардинальных чисел столько же, сколько ординальных (всех классов).

В своем «Обосновании» Кантор опирается на работу Дедекинда 1887 года, хотя и не ссылается на нее открыто. Как и Дедекинд, он считает, что натуральные числа — кардиналы конечных множеств, а их сумма получается посредством объединения. Однако Кантор распространил эту идею и на бесконечные кардинальные числа и открыл область, которую назвал трансфинитной арифметикой. С точки зрения теории множеств 1 + 1 = 2 означает, что если мы объединим два разных множества с мощностью каждого, равной 1, то получим множество с мощностью 2. Можно выразить это другим способом, сказав, что если к множеству с мощностью 1 мы прибавим еще один объект, то результатом будет множество с мощностью 2. Следуя логике этих рассуждений, если к натуральным числам (с мощностью X₀ ) прибавить число -1, мы получим множество -1, 0, 1, 2, 3, 4,..., эквивалентное множеству натуральных чисел и, следовательно, имеющее мощность X₀ (напомним, что два эквивалентных множества равномощны). Итак, прибавляя новый объект к множеству мощностью X₀ , мы получим другое множество с мощностью X₀ ; говоря языком трансфинитной арифметики, X₀ + 1 = X₀ (см. рисунок 3).

Аналогично мы можем доказать, что если к множеству с мощностью X₀ прибавить два объекта, то результатом опять будет множество мощностью X₀ , то есть X₀ + 2 = X₀ ; это же справедливо и для X₀ +3 = X₀ и X₀ + 4= X₀ , и так далее для всех натуральных чисел. Эти равенства свидетельствуют о том, что если к счетному множеству прибавить конечное количество объектов, мы снова получим счетное множество.

Что происходит с X₀ + X₀ ? Другими словами, какую мощность мы получим, объединив два счетных множества? В «Основаниях·» Кантор доказал, что объединением двух счетных множеств будет также счетное множество. Например, натуральные числа и отрицательные -1,-2, -3, -4,... в результате дадут множество целых чисел. Следовательно, мы можем сказать, что X₀ + X₀ = X₀ .

Рассмотрим последний пример. Мы уже отметили, что у множества ординальных чисел первого класса (то есть натуральных) мощность равна X₀ и что если мы прибавим к ним множество ординальных чисел второго класса (которое начинается c ω. ω + 1, ω + 2,...), то образованное множество будет иметь мощность X₁ . Кантор же доказал, что и множество ординалов второго класса само по себе имеет мощность X₁ . Если к множеству мощностью X₁ (то есть только ординалов второго класса) прибавить множество мощностью X₀ (ординалы первого класса), мы получим множество с мощностью X₁ (ординалы первого и второго классов вместе); в терминах трансфинитной арифметики это означает, что X₀ + X₁ = X₁ (см. рисунок 4).

В действительности мы можем доказать, что дважды сложив одно и то же бесконечное кардинальное число, в результате получим его же (как в случае с X₀ + X₀ = X₀ ), и если мы сложим два разных бесконечных кардинальных числа, то результатом будет большее из них ( X₀ + X₁ = X₁). Следовательно, можно утверждать, что X₁ + X₁ = X₁ и X₂ + X₂ = X₂ .

РИС. 3

РИС. 4

Рассмотрим еще одну операцию трансфинитной математики, но сначала необходимо ввести несколько терминов. Множество надо понимать как вещь в себе, отличную от членов, которые его составляют. Так, Q, множество всех рациональных чисел, и I, множество иррациональных, являются каждое одним объектом. Тогда мы можем представить множество, составленное только этими двумя объектами — Q и I, — которое мы условимся называть D. Членов D всего два: это Q и I, следовательно, его мощность равна 2. Не следует путать D с объединением Q и I, которое получается, если в одно множество собрать все члены двух множеств, и в результате дает множество всех вещественных чисел R. Число 3/2, например, является членом Q и R, но не D. Здесь можно провести аналогию со множеством, образованным планетами солнечной системы, назовем его 5. В нем восемь членов: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун. С другой стороны, Земля сама по себе может быть представлена как множество, члены которого — человеческие существа.

В рамках трансфинитной арифметики помимо суммы мы можем определить произведение кардинальных чисел. Для этого надо обратиться к так называемому декартову произведению множеств. Если А и В — произвольные множества, их декартово произведение будет записываться как А x В и определяться как множество, образованное всеми парами, первые члены которых являются элементами А, а вторые — В. Как это делается в текстах по теории множеств, пара, образованная, например, числами 1 и 2, обозначается как (1,2). Порядок записи элементов очень важен, поскольку (1,2) — не та же самая пара, что (2,1). Поэтому обычно говорят об упорядоченных парах. Итак, если А — это множество, образованное числами 0 и 1, а В — числами 2,3 и 4, то А х В — это множество, состоящее из пар (0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4). Обратим внимание на то, что А имеет мощность 2; В — мощность 3, а А х В — мощность 6. Как следствие из предыдущего примера, произведение мощности А на мощность В будет мощностью А x В (в отличие от того, что происходит в случае сложения, здесь не имеет значения, есть ли у А и В общие члены). Чему равно X₀ х X₀ ? Если мы возьмем множество всех натуральных чисел N (мощность которого, как мы знаем, равна X₀ ), то исходя из предыдущего определения X₀ ∙ X₀ — мощность N x N (множество всех пар натуральных чисел). Далее будет доказано, что N х N счетное.

Чтобы доказать, что N х N счетное, запишем все составляющие его пары в последовательность. Начнем с единственной пары, дающей в сумме 0, потом пары, сумма которых равна 1, затем — 2 и так далее.

(0,0), (0,1), (1,0), (0,2), (1,1), (2,0), (0,3), (1,2), (2,1), (3,0),...

Эта запись позволяет нам установить взаимно однозначное соответствие между «индивидуальными» натуральными числами и парами натуральных чисел:

Это соответствие доказывает, что N х N счетное, следовательно, его мощность равна X. Итак, с одной стороны, произведение мощностей дает понять, что мощность N x N равна X₀ ∙ X₀ . С другой стороны, мы только что доказали: мощность N х N равна X₀ . Отсюда следует, что X₀ ∙ X₀ = X₀ .

Мы — члены Земли, но не 5, поскольку не являемся планетами Солнечной системы. С точки зрения S каждая планета — самостоятельный объект, и не имеет никакого значения, как он образован. Аналогично, множество D определенное выше, состоит из двух членов, и для него не важно, из чего, в свою очередь, состоят они.

Теперь рассмотрим множества, образованные натуральными числами. Например, множество N, состоящее из всех натуральных чисел, множество четных чисел, нечетных, простых; множество, состоящее только из числа 45; только из тех чисел, которые оканчиваются на 8; состоящее только из чисел 5,7 и 22 и многие другие, каждое из которых, как в случае с Q и I, должно приниматься как самостоятельный объект. Итак, мы можем рассмотреть множество, члены которого — это все множества, могущие быть образованными при помощи натуральных чисел — как упомянутые выше, так и все остальные возможные множества. Это новое множество обычно обозначается 'P(N) и читается как «части N», а его члены, следовательно, — это множества, а не числа. Множество всех четных чисел — член 'P(N), как и множество, состоящее из числа 2; но само число 2 — не член 'P(N), так как его члены — только множества. Здесь для теории множеств проходит тонкое, но очень важное различие: число 2 и множество, состоящее из числа 2, — не одно и то же. Чтобы подчеркнуть это различие, множество из числа 2 обычно записывается как {2}. Фигурные скобки позволяют нам графически показать разницу между 2 — числом — и {2} — множеством. Так же, например, множество, образованное числами 2 и 34, обозначается {2, 34}, а множество четных чисел — {0, 2, 4, 6, 8,...} (см. рисунок). Таким образом, множество D упомянутое выше и состоящее из множеств Q и I, будет записано как {Q и I}.

Арифметику кардинальных чисел нельзя путать с арифметикой ординальных. Кардинальные числа связаны с понятием количества, а их сумма — с идеей добавления элементов. Следовательно, как мы только что увидели, X₀ + 1 = X₀ , то есть X₀ + 1 не больше X₀ . Ординальные же числа выражают понятие «места в последовательности», и их сумма связана с идеей продвижения по этой последовательности. Так, например, ω + 1 обозначает позицию, идущую непосредственно за ω, и поэтому ω + 1 больше, чем ω. В «Обоснованиях» Кантор также писал и об ординальной арифметике, которая не рассматривается в этой книге.

Некоторые множества, образованные натуральными числами.

Вопрос, на который Кантор ответил в своей статье 1892 года, гласит: «Какова мощность 'P(N) ?» Для ответа нужно найти удобный способ представления множеств, образованных натуральными числами. Для определения числового множества достаточно знать, какие числа принадлежат множеству, а какие нет. Представим, что двое, Алиса и Бруно, играют в игру: Алиса загадывает множество, а Бруно должен отгадать его. Для этого он по порядку называет натуральные числа: 0, 1,2, 3, 4,...; каждый раз, когда названное число входит в загаданное множество, Алиса говорит «Да», если нет — «Нет». Если она говорит: «Нет, да, нет, да, нет, да, нет, да,...», Бруно может заключить, что речь идет о множестве нечетных чисел. Если все ее ответы — «Да», то это множество 'P(N) ; если это множество простых чисел, то ответы будут: «Нет, нет, да, да, нет, да, нет, да, нет, нет, нет, да,...». Каждое «Да» мы можем заменить числом 1, а каждое «Нет» — числом 0. Таким образом, каждое множество, состоящее из натуральных чисел, будет являться бесконечной последовательностью нуля и единицы. Если мы перезапишем ответы Алисы, то множество нечетных чисел будет представлено последовательностью 010101..., множество 'P(N) — 11111..., а множество простых чисел — 001101010001... То есть каждой бесконечной последовательности нуля и единицы соответствует некое множество, и наоборот, каждому множеству соответствует бесконечная последовательность нуля и единицы. Это взаимно однозначное соответствие подразумевает, что вопрос о мощности 'P(N) и мощности всех бесконечных последовательностей нуля и единицы — одно и то же (см. рисунок).

В статье 1892 года «Об одном элементарном вопросе учения о многообразиях» Кантор доказывает по существу две вещи. Прежде всего — что множество всех последовательностей нуля и единицы не является счетным, поэтому и 'P(N) несчетно. Для этого ученый использовал диагональный метод (см. главу 2). В действительности данный метод впервые появился именно в этой работе 1892 года. Доказательство несчетности, которое привел Кантор в 1874 году, следовало другой логике и основывалось на определении вещественных чисел.

Доказательство, что 'P(N) несчетное, основывается на алгоритме, описанном в главе 2 для вещественных чисел. Однако несчетность 'P(N) и R, даже если в ходе доказательства мы рассуждали так же, не гарантирует, что у них одинаковая мощность. Метод диагонали дает нам отрицательный результат, то есть позволяет убедиться, что ни у 'P(N), ни у R мощность не равна X₀ , но не показывает, какую конкретно мощность имеет каждое из них, и не дает оснований заключить, что их мощности равны.

Взаимнооднозначное соответствие между множествами и последовательностями нуля и единицы.

В статье 1892 года Кантор доказал, что эти множества равномощные, однако это нельзя заключить на основе диагонального метода; необходимо предъявить отдельное доказательство. Итак, требуется доказать, что 'P(N) и R эквивалентны или что R эквивалентно всем бесконечным последовательностям нуля и единицы.

Для начала вспомним, что способ привычной нам записи натуральных чисел основан на десятичной системе, так как для них необходимы все 10 цифр, а также на степенях числа 10. Когда мы записываем число 235, на самом деле мы пишем 2 · 10² + 3 х 10¹ + 5 · 10⁰ (напомним, что 10¹ = 10, а 100 = 1). Нечто похожее происходит с числами, которые не являются целыми, но в этом случае используются степени с отрицательным знаком: 10-1 равное 0,1; 10^-2, равное 0,01, и так далее. 0,76 на самом деле означает 7 ∙ 10¹ + 6 ∙ 10^-2. Интересно подчеркнуть, что числа с бесконечным количеством цифр после запятой, такие как 0,3333..., можно представить в виде бесконечных сумм.

Действительно, 0,333... = 3 ∙ 10^-1 + 3 ∙ 10^-2 + 3 ∙ 10^-3 + 3 ∙ 10^-4 + ... Хотя десятичная запись используется чаще всего, она не единственно возможная: например, числа можно записывать на основе так называемой двоичной системы. Как явствует из ее названия, в ней используются только две цифры — 0 и 1, — а основана она на степенях числа 2. Число 13 в двоичной системе будет записано как 1101, поскольку 13 = 1 ∙ 2³ + 1 ∙ 2² + 0 ∙ 2¹ + 1 ∙ 2⁰. Как и в предыдущем случае, этот способ записи не распространяется на целые числа. Например, в двоичной системе число 0,333... будет выглядеть как 0,01010101..., поскольку бесконечная сумма 0 ∙ 2^-1 + 1 ∙ 2^-2 + 1 ∙ 2^-4 + 0 ∙ 2^-5 + 1 ∙ 2^-6 в результате даст 0,333... (записанное в десятичной системе).

Понятия теории множеств — известные и необходимые инструменты.

Жак Адамар, французский математик (1865-1963), на конференции 1897 года

Теперь докажем, что множество всех вещественных чисел с 0 по 1 на отрезке числовой прямой эквивалентно 'P(М). Необходимо получить такой результат, при котором каждому числу с 0 по 1 точно соответствует множество натуральных чисел.

Возьмем число 0,333... Как найти эквивалентное ему множество? На рисунке показано, что сначала мы должны записать его в двоичной системе. Получив выражение 0,01010101..., возьмем только его часть после запятой, в данном случае 010101..., и посмотрим, какое множество соответствует этой последовательности. Поскольку это последовательность нечетных чисел, то 0,333... соответствует ей.

Таким же образом, если у нас есть множество, образованное, например, числами 2 и 3, и мы хотим узнать, какому числу оно соответствует, сначала мы должны представить его в виде последовательности нуля и единицы. В данном случае это будет выражение 00110000..., и рассмотрим его как цифры после запятой некоего числа, записанного в двоичной системе. Это число 0,001100000..., которое в десятичной системе будет выглядеть как 0,1875. Таким образом, множеству, состоящему из чисел 2 и 3, соответствует число 0,1875.

Итак, мы видим, что 'P(N) эквивалентно множеству всех чисел между 0 и 1. Но в главе 3 отмечалось, что оно эквивалентно R (любой отрезок эквивалентен всей прямой); таким образом, мы выводим, что 'P(N) эквивалентно R. Наконец, на вопрос, какова же мощность 'P(N), в 1892 году Кантор ответил, что она равна мощности R.

Взаимно однозначное соответствие между вещественными числами (в промежутке от 0 до 1) и множествами, состоящими из вещественных чисел.

Рассмотрим еще одну операцию из области трансфинитной математики.

Вернемся к последовательностям нуля и единицы, но теперь рассмотрим только конечные. Сколько таких последовательностей мы можем образовать, если в них должно быть только две цифры? Всего четыре последовательности: 00, 01, 10 и 11. Если цифр три, то их будет восемь: 000, 001, 010, 100, 110, 101,011, 111, а если цифр всего четыре, то 16. Если цифра одна, то последовательностей будет только две: 0 и 1.

Итак, у нас есть 2¹ последовательности из одной цифры, 2² последовательности из двух цифр, 2³ последовательности из трех цифр и так далее. Логично было бы предположить, что мощность последовательностей из «X₀ цифр» будет равна 2^X0. Действительно, в «Обоснованиях» Кантор дает определение возведению мощностей в степень и основывает его на понятии, которое он назвал покрытием. Когда мы составляем бесконечную последовательность из нуля и единицы, утверждает Кантор, мы покрываем каждый элемент N нулем или единицей.

Ответить на вопрос, какова мощность множества всех бесконечных последовательностей, состоящих из 0 и 1, — значит покрыть N, используя два этих элемента. Всего способов «покрытия» чисел 0, 1 и 2 с использованием двух элементов — 2³; покрытия чисел 0, 1, 2 и 3 — 2⁴, значит, как писал Кантор, по определению, мощность всех способов покрытия N двумя элементами равна 2^X0 . К тому же, поскольку множество всех последовательностей нуля и единицы эквивалентно R, мы можем заключить, что и мощность R равна 2^X0 . Поэтому континуум-гипотезу можно сформулировать и как вопрос «равно ли 2^X0 X₁ ?».

Если бы мы покрывали N тремя элементами, то получили бы мощность 3^X0; другими словами, множество всех бесконечных последовательностей 0, 1 и 2 имеет мощность 3^X0. Но не стоит путаться. Сперва можно подумать, что 3^X0 больше 2^X0 , однако это не так. На самом деле 2^X0 = 3^X0. Чтобы доказать это, достаточно увидеть, что множество последовательностей нуля и единицы эквивалентно множеству последовательностей 0,1 и 2. За этим доказательством стоит идея, что поскольку последовательности нуля и единицы могут рассматриваться как числа, записанные в двоичной системе, таким же образом и последовательности 0, 1 и 2 могут быть представлены как числа, записанные в троичной системе. Таким образом, соответствие между двумя множествами устанавливается посредством изменения системы исчисления.

Исходя из определения степени мощностей, мы можем сказать, что, поскольку мощность ординальных чисел второго класса равна X_1? для этих ординальных чисел существует 2^X₁ возможных покрытий; также, хотя и кажется очевидным, что 2^X₁ больше 2^X0 , это еще не было доказано. Подчеркнем, что данное утверждение действительно нуждается в доказательстве. Мы не можем просто сказать, что поскольку X₁ больше X₀ , то и 2^X₁ обязательно больше 2^X0 , — мы ведь уже видели, что хотя 3 и больше 2, при этом X₁3 не больше 2^X0 . Отсюда следует: когда речь идет о бесконечности, то, что кажется само собой разумеющимся, не всегда верно. Как мы можем представить покрытие ординальных чисел второго класса? Заметим, что если дано количество X₁ ординальных чисел второго класса, то каждое из его покрытий будет иметь X₁ цифр, то есть по цифре на ординал.

У покрытий ординалов второго класса более сложная структура, чем у N. Чтобы определить покрытие N, достаточно просто сказать, что оно «начинается с 01 и продолжается, повторяя эти цифры». Эта фраза полностью описывает покрытие 010101..., поскольку, пользуясь этим единственным правилом, мы знаем, какой цифрой — 0 или 1 — покрывать каждое натуральное число.

Но этого определения недостаточно для полного описания покрытия ординальных чисел второго класса, так как они устроены сложнее, чем натуральные числа. Ординалы второго класса начинаются с ω, ω + 1, ω + 2, ..., после бесконечного числа этапов переходят κω + ω,ω + ω+ 1,ω + ω + 2,..., после бесконечных переходов — к ω + ω + ω... и после бесконечного числа бесконечных переходов — κω + ω + ω + ω... (ω, взятому бесконечное число раз), ω + ω + ω + ω... (ω, взятое бесконечное число раз) + 1... и так далее.

Таким образом, если мы говорим, что покрытие ординалов второго класса «начинается с 01 и состоит из повторения этих цифр», это подскажет нам, какова будет только первая часть последовательности ω, ω + 1, ω + 2,... Перейдя κω + ω, мы должны указать способ начать покрытие заново. Оно может быть снова 01 или каким-то другим. И опять, когда мы дойдем до ω + ω + ω, мы должны будем начать все сначала; потом все сначала, дойдя до ω + ω + ω + ω, и так далее.

Если мы решим начинать каждый раз с 01, то у нас получится «базовое» покрытие N 010101..., которое будет повторяться несчетное количество раз.

Континуум-гипотеза гласит, что 2^X₀ = X₁. Кантор не смог ни доказать, ни опровергнуть это утверждение. Обобщенная континуум-гипотеза была сформулирована Кантором в его «Обоснованиях» и расширяет предыдущую. По ней, не только 2^X₀ = X₁ но и 2^X₁ = X₂, 2^X₂ = X₃, 2^X₃ = X₄ и так далее. При жизни ученый так и не узнал, верные эти гипотезы или ложные.

Членами множества 'P(N) являются все множества, которые можно образовать с помощью членов N. Эту идею, разумеется, можно обобщить. Если А — произвольное множество, то множество, члены которого — все множества, которые можно создать посредством элементов А, будет называться 'P(A) (читается «части А»), Как 'P(N) имеет мощность 2^X0 , так же можно доказать, что 'P(N) имеет мощность, равную «2 в степени мощности A». Если бы континуум-гипотеза была верной, то мощность 'P(R) равнялась бы 2^X₁ .

Мы знаем, что N счетное, a 'P(N) — нет; другими словами, мощность Τ(Ν) больше, чем Ν. Это тоже можно обобщить. Согласно теореме Кантора, мощность 'P(А) всегда будет больше А. Одним из следствий теоремы Кантора является то, что для любого множества всегда будет существовать большая мощность, но только в тех случаях, когда речь идет о множествах, образованных ординальными числами. Теорема Кантора позволяет распространить это утверждение на все множества, вне зависимости от того, какова природа их членов. Возьмем универсальное множество, то есть содержащее в себе все, абсолютно все возможное. По теореме Кантора, существует множество с большей мощностью. Но может ли быть мощность, превышающая мощность множества, в котором содержится вся Вселенная? Такого большого множества не может существовать, однако теорема Кантора утверждает обратное.

Таким образом, мы оказываемся перед противоречием. В теории множеств обнаруживается еще один парадокс, известный как «парадокс Кантора». В начале XX века был открыт третий парадокс, названный именем Бертрана Рассела. Без преувеличения можно утверждать, что он вызвал настоящий кризис в математике. В следующей главе мы рассмотрим все парадоксы теории Кантора и проанализируем влияние, которое они оказали на математику.