Космологические коаны. Путешествие в самое сердце физической реальности

1. Стрела (Киото, Япония, 1630 год)

Слегка сосредоточившись, сэнсэй Муненори плавно тянет на себя тетиву; лук изгибается. Стрела, как перезревший плод, высвобождается и летит.

Она устремляется прямо в твое сердце.

Во время длящегося вечность полета стрелы ты задаешь себе вопрос: «Что есть этот настоящий момент?»

Предвидя конец, твой ум становится острым как бритва, время разбивается на несчетное множество быстро проходящих моментов. В один такой прекрасный миг ты видишь стрелу, застывшую между двумя мельчайшими «тик-таками», отмеренными самыми точными часами. В этот момент безвременья стрела прекращает свое движение, и ничто не толкает и не тянет ее к твоему сердцу.

Как же тогда она движется?

В то время как твой еще неопытный ум пытается постичь эту тайну, стрела летит.

Что это такое — тот единственный момент, когда стрела неподвижно висит в воздухе? Мы обычно воспринимаем время как следующие друг за другом мгновения — вроде «тик-таков» часов. Но как только мы пытаемся сосредоточиться на одном конкретном текущем мгновении — одном тике самых точных часов, мы оказываемся в большой компании мыслителей, задумывавшихся над этим же, и начинаем ощущать наличие некоей тайны. Уильям Джеймс изложил это так: «Пусть кто-нибудь попытается, я не скажу — остановить, но только подметить настоящий момент времени, — и последует один из самых неудачных опытов. Где оно, это настоящее? Оно растаяло, исчезло прежде, чем мы могли его коснуться, ушло уже в самый момент возникновения»[5].

Давайте рассмотрим тот «момент времени», который наступает прямо сейчас, или какой-нибудь другой. Имеет ли он какую-либо протяженность? Длится ли он сколько-нибудь? Допустим, что да, немного, но длится. Тогда, как и любой интервал, он должен иметь начало, середину и конец. Давайте разделим его посередине на два более коротких интервала. Для каждого из них можно поставить тот же вопрос: «Длится ли он сколько-нибудь?» Поскольку мы можем повторять эту процедуру бесконечно, у нас появляется одна из двух возможностей. Первая: мы действительно можем вообразить себе любую сколь угодно малую протяженность интервалов времени и представить, что мы приблизимся к идеальному совершенному мгновению в точности нулевой длительности. И вторая возможность. В процессе своего бесконечного деления отрезков времени мы можем прийти к какому-то интервалу конечной длительности, который дальше разделить невозможно, — своего рода «атому времени».

И обе возможности — мгновения нулевой длительности или конечной длительности — заведут нас в тупик.

Предположим, интервал имеет строго нулевую длительность, то есть ничто не может происходить в течение этого временного интервала. Тогда в течение этого интервала стрела будет находиться только в одном определенном месте. Она зависнет в воздухе. Но если она действительно в течение этого периода находится только в этом одном месте, она, вероятно, не сможет сдвинуться в течение этого интервала, как не может сдвинуться на фотографии ее изображение. Движение подразумевает перемещение из одного места в другое, но в этот момент стрела находится только в одном месте. Теперь проблема ясна: если время есть цепь связанных друг с другом моментов, а стрела в любой момент неподвижна в пространстве, тогда как она вообще может куда-то долететь?

Этот способ рассуждений мог бы убедить нас в правильности альтернативного предположения: то, что мы называем мгновением, может иметь какую-то продолжительность, но это дискретная и неделимая величина, похожая на кадры, следующие друг за другом и образующие кино. С этой точки зрения мы представляем себе полет стрелы как кинофильм, в котором положение стрелы меняется при переходе от одного кадра к другому. Только когда кадры следуют друг за другом, они создают ощущение движения. Но если начинаешь задумываться глубже, то понимаешь, что эта аналогия не проясняет картину. Кадры, составляющие кино, разделены долей секунды, а в нашем сознании они сшиваются воедино, образуя движение. Что способно сшить друг с другом атомы времени? Фильм можно прокрутить на разных скоростях, а можно вообще остановить пленку в кассете. Если мир устроен подобно прокручиваемой кинопленке, то кто показывает это кино и на какой скорости? Что мешает всему совершиться одномоментно? И как один кадр соединяется со следующим? В кино стрела в одном кадре может находиться в определенном положении, но затем оператор переводит камеру — и в следующем кадре мы видим уже цель, в которую направлена стрела. А в реальности этого никогда не происходит, и кажется, что каждый следующий, неумолимо наступающий момент, плавно вытекает из предыдущего.

Короче, как может происходить движение, если время состоит из моментов и в каждом из них движения нет? Этот парадокс (как и многие другие) был сформулирован уже 2500 лет назад Зеноном Элейским, о чем рассказали Платон в своем диалоге «Парменид» и Аристотель в своем трактате «Физика». Этот парадокс и в самом деле может вас обескуражить. И если так и произойдет, то это будет правильно! Если же вы, что вполне возможно, не увидите здесь серьезной проблемы, то я посоветую вам подумать еще. А вот если вы ощутите неодолимое желание задуматься о чем-нибудь другом — не поддавайтесь ему! И уж тем более не отмахивайтесь от этой проблемы как от уже решенной или как от «чисто философской зауми», потому что это будет похоже на то, как если бы вы прошли мимо узкой заросшей тропинки в лесу и не выяснили, куда именно она ведет. На самом деле парадоксы Зенона, охарактеризованные Бертраном Расселом как «неизмеримо тонкие», чрезвычайно проницательные мыслители обдумывали и разгадывали в течение двух тысячелетий — и находили решение, снова и снова, и каждый раз другое!

Итак, предметы движутся, стрела летит. И теперь человечество знает о самой природе движения гораздо больше, чем знали о нем во времена Аристотеля. Мы можем предсказать час и минуту любого затмения на 50 лет вперед или нацелить космический корабль настолько точно, что он спустя годы совершит маневры вокруг Юпитера и приблизится к Нептуну. Мы понимаем о движении достаточно, чтобы описать его во многих ситуациях с удивительной точностью. И как же в таком случае наша поразительно точно описывающая движение физика объясняет парадокс Зенона со стрелой?

Рассмотрим скорость стрелы. Если стрела преодолевает расстояние 100 метров за одну секунду, мы можем сказать, что она движется со средней скоростью 100 метров в секунду (м/сек). Однако если приглядеться повнимательнее, то обнаруживается, что во время второй половины движения стрела летит медленнее и пролетает меньшее расстояние, поскольку трение о воздух в процессе движения замедляет ее. Возможно, она пролетает 55 метров в первую половину секунды и 45 во вторую. Возможно, в интервале между 0,1 секунды и 0,2 секунды своего полета, то есть за 0,1 секунды, стрела пролетит 12 метров, следовательно, скорость ее в этом интервале времени составит 12 метров / 0,1 секунды = 120 м/сек.

Во многом физика в знакомом нам виде родилась тогда, когда Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц разработали математический аппарат, позволивший довести эту проблему до логического завершения. Чтобы проиллюстрировать их интерпретацию движения, отложим на рисунке выше положение стрелы (в данном случае ее расстояние от выпускающего стрелу Муненори) в последовательные моменты времени. Ваш глаз измеряет эти положения, а время отсчитывается в вашем сознании, но все это делается очень приблизительно. Мы можем вообразить, что делаем измерения с гораздо большей точностью, — например, с помощью лазерной рулетки и атомных часов. В любом случае, сделав счетное число измерений, мы можем нарисовать гладкую кривую, которая точно описывает движение стрелы. Используя эту кривую, мы можем оценить, какие расстояния стрела пролетает за все более короткие интервалы времени.

Эта основная идея была понятна уже Аристотелю, но Ньютон и Лейбниц сделали решающий шаг и поняли, что случится, если интервал[6] Δt приближается к нулю, то есть к интервалу, о котором говорится в парадоксе Зенона. Они смогли показать, что, как и следовало ожидать, в течение этого бесконечно малого интервала времени приращение расстояния Δd стремится к нулю так же, как и Δt. Однако оказалось, что можно совершенно строго и математически точно доказать, что отношение Δd / Δt — скорость — стремится к определенному ненулевому значению. Этот математический метод, который составляет основу дифференциального исчисления, разрешает парадокс Зенона. Из него следует, что нельзя устремлять длительность интервала времени к нулю, не устремляя в то же самое время к нулю расстояние, преодолеваемое за это время, и если вы сделаете все правильно, скорость стрелы никогда не окажется равной нулю. Неважно, насколько короток интервал: стрела никогда не останавливается. Нет такого понятия как интервал времени, в течение которого стрела совсем не движется, — следовательно, исчезает как исходная предпосылка парадокса Зенона, так и необходимость обдумывать концепцию «атомов времени».

Парадокс объяснен? Возможно. Этот метод рассмотрения движения работает очень хорошо, и мы могли бы, если б захотели, просто оставить все как есть. Но физика — как и мир, который она описывает, — материя глубокая и тонкая, с секретными тропинками и потайными комнатами, так что нужно только толкнуть правильную дверь. Поэтому давайте зададимся несколькими вопросами о движении стрелы к своей цели по кривой траектории, описание которого кажется таким ясным.

Почему она летит именно по этой, а не по какой-либо другой траектории? Эта же стрела, если ее в одних и тех же условиях с одинаковым усилием выпускать опять и опять, полетит по той же самой траектории. Почему? И что именно выделяет именно эту траекторию из всех возможных траекторий, по которым она может лететь? (Способны ли вы вообразить, что стрела в действительности будет лететь по разным траекториям, образующим при усреднении одну прямую траекторию, которая только кажется изогнутой?)

Как в определенный момент времени стрела «узнает», по какой траектории нужно лететь? В этот момент она находится в определенном положении, но ее скорость зависит от того, где она была в предыдущий момент. Может стрела «помнить», где она была? Или ее скорость является присущим ей свойством — таким, например, как цвет? Почему стрела обладает инерцией, которая поддерживает ее движение в направлении ее скорости, но меняет направление так, чтобы следовать по предназначенной ей траектории?

Что случится, если мы попытаемся точно просчитать скорость стрелы в определенный момент времени, измерив пройденное ею расстояние Δd за бесконечно малый интервал времени Δt? В реальных условиях точные измерения провести невозможно, так что мы никогда не измерим точно ни Δd, ни даже Δt, и когда Δt приближается к нулю, скорость Δd/Δt становится совершенно неопределенной. Что мы будем с этим делать? Имеет ли вообще смысл воображать себе сколь угодно малые интервалы времени, если мы ничего не можем узнать о движении, происходящем в течение этих интервалов? Что вообще значит измерение скорости объекта? (Поверите ли вы в то, что так же как скорость объекта формируется из его различных положений, так и положение объекта, в свою очередь, формируется различными скоростями?)

Какой момент отвечает моменту «сейчас» на кривой, изображающей полет стрелы (гладкой кривой на рис. на стр. 27)? Не бойтесь, укажите на любой, который вам нравится, и ни одна физическая теория не оспорит и даже не прокомментирует это утверждение. На самом деле в физике для этого понятия нет места, оно вообще не играет никакой роли. Но все же вы момент «сейчас» чувствуете мгновенно. Попробуйте, если вам захочется, вместо этого ощутить будущее или прошлое. Не сможете, правда ведь? (Или сможете?) Как же так получается, что важнейшее свойство нашего личного опыта не находит отражения в физике?

Стрела состоит из неисчислимого количества связанных друг с другом атомов, которые все вместе участвуют в процессе, называемом нами «полет стрелы». Из чего сделаны атомы? Вы можете ответить: «Из кварков и электронов» или «Из суперструн». Но как бы ни назывались мельчайшие частицы, я утверждаю, что современная физика считает, что они, в свою очередь, состоят из информации. Значит, и стрела сделана из информации? Да! Но информации о чем? Известной кому или чему? И как информацию можно вставить в лук, оттянуть с тетивой назад и отпустить? И как она может пролететь по воздуху и поразить ваше сердце?

Эти вопросы можно задать очень быстро, всего за несколько сотен биений сердца. А вот для того, чтобы полностью осознать их, не говоря уж о том, чтобы дать на них ответы, времени потребуется куда больше. Так что тронемся в путь. Стрела приближается.

2. Отплытие (Венеция, 1610 год)

Шестьсот миллионов биений сердца назад[7]…

Над портом навис густой туман, отплытие откладывалось, и это, казалось, длилось бесконечно. Отважиться на такое безумное путешествие было непросто, но решение уже принято и тебе не терпится поскорее отправиться в путь. Ты уныло смотришь вокруг, разглядывая другие суденышки, выплывающие из тумана и растворяющиеся в нем.

Когда соседний корабль скользит мимо тебя к причалу, твое сердце замирает — тебе на мгновение кажется, что твой корабль наконец-то отплывает. Поражаясь своему нетерпению, ты понимаешь, что ошибся. Да когда же начнется это долгожданное путешествие?!

Но вот ты и в самом деле уже на пути к исламским империям и легендарным восточным королевствам, расположенным к востоку от них. Ночью ты очнулся от сна и ощутил, что в каюте как-то слишком тихо. Может, ветер утих? Или ты утонул и находишься на том свете? Не в силах уснуть от предвкушения приключений, ты поднимаешься на палубу и к своему удивлению видишь, что корабль плавно, но быстро движется по спокойной морской глади, подгоняемый легким ветерком.

Ты поражен: как это тебя угораздило спутать корабль, мчащийся под парусом, с кораблем, стоящим на якоре? Значит, ты не сумел отличить движение от покоя?

Возможно, ты подумаешь, засмотревшись на мерцающие звезды: а вдруг весь мир (с тобой вместе) мчится с невообразимой скоростью сквозь пространство? Узнаешь ли ты об этом когда-нибудь?

В данный момент, поскольку Земля вращается вокруг своей оси, мы вращаемся вокруг ее центра со скоростью порядка 1000 километров в час (км/час). Земля вращается вокруг Солнца со скоростью примерно 108000 км/час, или около 30 км /сек. В свою очередь Солнце вращается вокруг центра нашей Галактики — Млечного пути — со скоростью 220 км/сек, а наша Галактика несется в межгалактическом пространстве с почти вдвое большей скоростью[9]. В настоящий момент мы в буквальном смысле мчимся сквозь вселенную со скоростью около 1000 махов: такой скоростью кого угодно можно доставить в любую точку Земли меньше, чем за минуту. Вы ощущаете эту скорость?

Нет, не ощущаете, как не ощущаете движения плавно скользящего в воздухе со скоростью 1000 км/час самолета (очень медленного по отношению к приведенным выше скоростям), когда, сидя в нем, потягиваете свой коктейль. И вспомните еще моменты смятения, связанные с автомобилем, когда вы никак не можете понять, что происходит: это вы едете вперед — или ваш сосед сдает назад? Вы наверняка замечали эту странность нашего мира, но скорее всего не слишком о ней размышляли. А если все же поразмышлять?

Сначала определим условия опыта, подобно тому, как сделал это Галилей в своем знаменитом «Диалоге»: если мы внутри закрытой каюты корабля, тогда наши наблюдения — в той мере, в какой они ограничены пространством внутри каюты (причем наружу мы не выглядываем), — одинаковы, они не зависят от того, стоит ли корабль на якоре или движется с любой постоянной скоростью в любом направлении[10]. На основании этих наблюдений у нас появляется дилемма.

Во-первых, возможно, мы недостаточно внимательно проводили наблюдения и с помощью более точного эксперимента нам удастся понять, что мы движемся. Например, мы можем принять как постулат, что у детей имеется специальное чувство, которое позволяет им засыпать, когда судно разгоняется до скорости больше 100 км/час, и просыпаться, когда скорость его падает ниже этой величины. Но это, конечно, чепуха. Это крохотные добавки к скорости 108000 км/час, с которой мы движемся вокруг Солнца, так что непонятно, как ребенок может почувствовать эту дополнительную скорость, однако не чувствовать ту, с какой мы вращаемся вокруг Солнца. (По-видимому, на младенцев оказывают снотворное действие шум мотора или вибрация.) Более того: в ходе невероятно точных лабораторных экспериментов, проводившихся в течение более ста лет, не удалось найти ни одного эффекта, который бы позволил распознать абсолютную скорость нашего движения.

Так что выберем-ка мы другой путь и просто постулируем, что нет никакого способа зарегистрировать абсолютно равномерное движение. Но если оно принципиально не регистрируется, то не стоит ли нам просто отбросить идею об абсолютном движении? Естественно, двигаться мы можем, что легко доказать, просто сделав это. То есть концепцию движения как такового мы должны оставить, но только — движения относительно чего-то. Другими словами, два человека могут совершенно справедливо иметь разные точки зрения относительно того, движется данный объект или нет. Но они определенно согласятся в том, что два объекта движутся друг относительно друга. Побочным следствием этой относительности движения будет то, что вы всегда можете считать, будто не двигаетесь, даже если это значит, что множество других предметов движется относительно вас. В этом смысле каждый наблюдатель несет на себе своего рода «систему координат», относительно которой все остальное можно рассматривать как движущееся или покоящееся. Звучит несколько эгоцентрично, но поскольку не существует абсолютной системы координат, каждый имеет право воспользоваться собственной системой. Посмотрим теперь, куда эта «относительность» нас приведет.

Первый и необычайно глубокий вопрос, который следует задать, звучит так: «Если объект находится в движении, нужна ли посторонняя сила для того, чтобы поддерживать это движение (иначе объект вернулся бы к состоянию покоя)?» Аристотель полагал (и с ним тысячелетиями соглашались лучшие умы человечества), что посторонняя сила для поддержания движения необходима. Но считаете ли и вы так же, притом что мы смело заявили (и опыт это подтвердил), что абсолютного движения не существует?

Я надеюсь, что нет. И что вы оцените глубочайшее прозрение Галилея: если нет такой вещи как абсолютное движение, то нет ничего особо естественного, простого или специального в состоянии покоя. Покоиться так же естественно, как и двигаться с постоянной скоростью! Галилей сформулировал это следующим образом: «Если (тяжелый объект) приведен в состояние покоя, он останется в этом состоянии; если же он, к примеру, движется на запад, он самостоятельно будет продолжать это движение»[11]. Предположение Аристотеля о том, что объекту для продолжения движения требуется внешняя сила, неверно.

Справедливости ради нужно сказать, что у Аристотеля были веские причины думать так, как он думал, и то, что человечество столь долго принимало эту его ошибочную концепцию, вовсе не должно удивлять — ведь в обычной жизни предметы именно так и поступают! Когда вы сдвинете с места свой холодильник, он не продолжит вечно скользить по прямой без усилий с вашей стороны. Он остановится, и в обычных условиях очень скоро — как только вы перестанете его толкать. И чем сильнее вы его толкаете, тем быстрее он движется, так что вас можно простить за веру в то, что движение с постоянной скоростью требует применения силы. Однако же нет, не требует: то усилие, которое вы прикладываете, идет на противодействие силе трения между холодильником и полом. Если пол вдруг станет очень гладким, можно представить, что холодильник и в самом деле проскользит очень далеко, а если вы вообразите, что нет вообще никаких сил, замедляющих движение, то сможете представить себе холодильник скользящим бесконечно, причем для продолжения этого движения ему не понадобится никакая внешняя сила. (История физики могла бы быть совсем другой, если бы Аристотель имел возможность экспериментировать с огромными ледяными поверхностями.)

Но если состояния движения и покоя (относительно вас) холодильника равно естественны, то значит ли это, что перейти из одного состояния в другое легко? Наверняка вы согласитесь, что вовсе нет! Двигать холодильник — это нелегкая работа, и остановить движущийся агрегат не менее трудно, чем заставить его двигаться. Таким образом, холодильник будет сохранять состояние покоя или равномерного движения без применения силы, но будет сопротивляться изменению этого состояния. Назовем это свойство инерцией.

Довольно странно, что нам потребовались тысячелетия, дабы понять, что мир устроен именно так, хотя это понимание и основывается на анализе повседневного опыта, — например, иллюзии того, что корабль движется, хотя на самом деле он неподвижен, или иллюзии того, что он неподвижен, в то время как он уже плывет. Так какие еще истины мы не замечаем?

Перед концепцией инерции «плещется» целое море новых идей. Отправимся же в плаванье. В коане «СТРЕЛА» мы пришли к выводу, что в каждый момент объект обладает неким внутренним свойством, называемым скоростью. Но теперь, приняв идею относительности движения, мы видим, что это внутреннее свойство — иллюзия. Оно ничему не соответствует: мы не сможем однозначно сказать, нулевой или большой скоростью обладает объект. Но если понятия «большая скорость» или «нулевая скорость» в фундаментальном смысле не имеют никакого значения, то понятие «относительная скорость» наполнено смыслом и изменение скорости от одного значения к другому так же реально, как то, что движущийся холодильник трудно остановить! За этой реальностью скрывается инерция, которой мы называем способность объектов сопротивляться изменению их скорости. Хотя термин «инерция» нам и знаком, сама инерция — вещь очень странная. Да, она служит мерой изменения скорости, но абсолютная скорость бессмысленна, и даже относительная скорость кажется весьма эфемерной величиной, зависящей от того, со скоростью какого объекта вам приходится ее сравнивать. Как объекты узнают, каким образом сопротивляться изменению чего-то столь эфемерного? Может быть, объект «чувствует» все объекты вокруг себя, узнает, как он движется относительно них, и затем сопротивляется изменению этого движения? Но что же это за «чувство» такое? Что именно представляет собой инерция?

Другой вариант — применить наш собственный опыт неравномерного движения. Когда наш самолет ныряет в воздушную яму, поезд поворачивает, автомобиль сталкивается с препятствием или лодка налетает на камни, изменение движения сразу становится очевидным! Когда автомобиль ускоряется, каждый даже с закрытыми глазами чувствует — насколько, и никто не рискнет заявить, что это ощущение — иллюзия. Поразительно! Равномерное движение — движение только относительное, что означает, что мы можем измерить скорость одного объекта относительно скорости другого, однако не можем выбрать универсальную референтную скорость, относительно которой можно измерить скорости всех остальных объектов. Но неравномерное — то есть «ускоренное» — движение легко и непосредственно ощущается без явного сравнения с каким бы то ни было внешним объектом. Тогда относительно чего мы его ощущаем?

Что есть инерция и что есть ускорение? Как ни парадоксально это звучит, никто на Земле не сможет полно и убедительно ответить на эти два вопроса, которые были заданы Эйнштейном и которые не разъяснены до конца даже в его глубочайших теориях. И когда я пишу это, я понимаю, что фактически этого не знаю, и потому предвкушаю восхитительное приключение.

3. Сущность времени (Храм Зуйо-дзи, Япония, 1630 год)

Ты сидишь в зале для медитаций, и часы тебе кажутся днями, а дни — мгновениями ока.

Твое путешествие, которое кончилось здесь, забрасывало тебя в заморские страны, в пещеру и в императорские дворцы, полные роскоши. Ты пересекал неизвестные пустыни, спускался c горных перевалов и проходил через волшебные ворота. Ты провел годы среди горных вершин и в услужении у хана. Потом ты переплыл небольшое море и от мудрецов и воинов узнал, что на самом деле вовсе и не покидал эту ужасную пещеру, — и у тебя созрел неспешно разворачивающийся во времени замысел.

И вот ты сидишь неподвижно, пробираясь сквозь годы. Или годы проносятся сквозь тебя?

Созерцая течение времени и вспоминая о прошлом, ты возвращаешься мыслями к самому началу своего путешествия, к моменту отплытия из того туманного порта. И неожиданно у тебя возникают вопросы, просыпается прежнее любопытство: «Итак, я пробираюсь сквозь годы, перемещаюсь во времени, причем непрерывно. Но как же я чувствую это движение, если я не могу почувствовать „корабль“, на котором плыву? Если движение не имеет смысла, может, и потока времени тоже нет?»

Хотя ты предельно сконцентрировался на этом ощущении движения сквозь время, оно неожиданно прекращается, и время уносится куда-то, как весенний ветерок.

Так же как вечность порождает время, ветерок становится предвестником удара за мгновение до того, как хлыст опустится на твое плечо. Твои глаза распахиваются, чтобы встретить взгляд мастера Дзеньё: «Твое сердце стремительно мчится навстречу стреле, — шепчет он с яростной силой. — Можно ли избежать этой встречи?»

В какой-то момент ваше сердце перестанет биться, вы сделаете вдох… и следующего уже не будет. Тень последней мысли пробежит в голове и исчезнет. Хотя вы и не знаете, когда это случится, и, возможно, не любите размышлять на эту тему, вы убеждены, что не сможете в будущем избежать этой участи, как убежден в том, что неизбежно разобьется при падении на землю, парашютист с неисправным парашютом. Это будущее неотвратимо надвигается на вас. (Или вы надвигаетесь на него?) Существует ли оно уже, как существует стрела, и приближается ли к вам в уже готовом виде — или же вы можете увернуться от одной судьбы и получить передышку перед тем, как вам будет назначена другая судьба?

Время — ключевой фактор человеческого опыта, но оно всегда с трудом поддается анализу. Давайте подумаем о движении во времени. Действительно ли мы двигаемся в нем? Мы часто думаем, например, что если кто-то в час дня находится в определенном месте, то в «другой точке по оси времени» — в 2 часа дня — он тоже должен находиться в каком-то месте, хотя, возможно, не в том же самом, что час назад. Это вроде бы просто сказать словами, но глядите-ка — путаница уже тут как тут: в коане «СТРЕЛА» мы говорили, что движение стрелы характеризуется изменением ее положения в пространстве за отрезок времени; следовательно, теперь, когда мы говорим о движении во времени, это должно быть изменение во времени в течение отрезка времени? Что это вообще может значить?

Однако нам кажется, что нечто точно движется. Сейчас час дня, а позже «сейчас» — это два часа дня. Движется ли само понятие «сейчас»? Что это значит? «Сейчас» всегда кажется существующим именно здесь (как оно и было раньше), а куда оно переместится потом? Но возможно, это время течет сквозь «сейчас»: будущее приближается, становится «сейчас» и уходит в прошлое. По крайней мере, мы так это ощущаем. Но не слишком ли мы эгоцентричны? Мы же не думаем, идя по улице, что стоим на ней неподвижно, а она под нами перемещается. Пожалуй, это похоже на наше непонимание того, который из кораблей движется. Пожалуй, с одинаковым успехом можно считать и что время движется сквозь нас, и что мы движемся сквозь время.

Чтобы попытаться прояснить ситуацию, вернемся к полету СТРЕЛЫ. Когда мы изображали ее путь в пространстве и времени, это казалось довольно простым делом. В разные моменты времени мы отмечали ее положение в пространстве и одновременно фиксировали время. Каждая пара отсчетов определяла точку на графике, и мы вырисовывали траекторию стрелы, соединяя эти точки. Эта траектория в действительности представляет собой набор меток — каждой точке линии соответствуют числа; назовем их координатами. Они рассказывают нам о том, в какой точке пространства в данное время находится стрела. В принципе нам нужно четыре таких числа: три[12] из них показывают, где точно в пространстве находится стрела, и одно — какому моменту времени эта точка соответствует. Если полную траекторию стрелы, часто называемую «мировой линией», рассматривать под этим углом зрения, время становится очень похожим на пространство — это просто еще одна метка, указывающая на то, «где» в пространстве-времени находится стрела на пути своего движения.

Для того чтобы почувствовать, что такое мировые линии, представим подобные траектории для разных видов движения объектов, как это изображено на рисунке на стр. 40. (Из-за того, что на двумерном листе бумаги можно изобразить только движение в одномерном пространстве, на графике, кроме времени, отложена лишь одна пространственная координата — скажем, расстояние от некоторой точки по линии запад-восток.) Равномерное движение будет представлено прямой линией, причем чем медленнее движение, тем круче наклон прямой, поскольку при медленном движении объекту требуется больше времени для преодоления определенного расстояния. Для покоящегося объекта мировая линия будет вертикальной прямой, для стрелы — почти горизонтальной, поскольку стрела летит очень быстро и только со временем, когда она замедляется, ее мировая линия слегка искривляется в сторону вертикали. Для вращающегося объекта соответствующая мировая линия будет выглядеть как волнообразная кривая, а для резвящегося щенка мировая линия будет напоминать запутанный клубок.

Где на этом графике время? Мы можем его рассматривать с двух точек зрения. Во-первых, как временные метки, которые мы использовали при составлении рисунка и которые, по-видимому, отмеряются какими-то часами на заднем плане. И во-вторых, как ощущение времени, которое может возникнуть у нас, когда мы неподвижно сидим или катаемся на карусели (возможно, схожее с ощущением времени у щенка; у стрелы, оно, вероятно, не такое). Отличие в этих подходах всем знакомо: одно дело, когда мы сидим и читаем книгу, ощущая, что время идет, другое, когда потом мы смотрим на часы, чтобы проверить, сколько времени прошло «на самом деле». И, как мы хорошо знаем, эти интервалы времени могут несколько отличаться в зависимости от состояния нашего сознания. Как в шутку сказал Эйнштейн, «если вы в течение двух часов сидите с симпатичной девушкой, вам кажется, что прошла всего лишь минута, а если вы посидите минуту на горячей плите, вам покажется, что прошло два часа»[13].

Исходя из этого, словосочетание «движение во времени» становится несколько более осмысленным: время, так же как и пространство, дано нам в ощущениях, и, по мере того как отсчитывается наше внутреннее время, мы ощущаем себя и в разных местах пространства, и в различные моменты времени по внешним часам. В этом смысле мы движемся в пространстве и времени: и то, и другое существует, открыто нам и не зависит от нас, перемещающихся в них. И это наглядно отображается мировыми линиями, изображенными на рисунке: они все представляют собой пути в пространстве-времени, и мы двигаемся вдоль них.

И все же, глядя на картинки такого рода, мы упускаем довольно важные аспекты нашего восприятия времени. Во-первых, если мы посмотрим на сколь угодно большое количество мировых линий реальных объектов, то заметим, что на всех кривых отсутствуют некие детали: вы никогда не увидите траекторию, которая делает петлю и возвращается назад к прежнему значению по оси времени! Это означает, что, скажем, с расположенной в определенном месте кирпичной стеной избежать столкновения очень легко, а вот со временем дело обстоит иначе. Если мы выберем некоторый момент в будущем — например, момент, когда стрела попадает в цель, — то наша мировая линия должна пройти через этот момент. Мы движемся во времени только в одну сторону — вперед.

Другой же упущенный аспект вот какой: если бы вам пришлось нарисовать вашу собственную мировую линию и пометить точку, соответствующую моменту «сейчас», то часть графика, относящаяся к будущему по отношению к «сейчас», существенно отличалась бы по смыслу от части, относящейся к прошлому по отношению к нему. Вы вообще не можете знать, как нарисовать часть диаграммы, относящуюся к будущему! Даже если мы не можем еще раз вернуться в то время, в котором мы уже были, мы, конечно, можем о нем знать. В действительности мы можем знать все, что нужно для того, чтобы нарисовать полную мировую линию во всем пространстве вплоть до настоящего момента. Но как только мы доходим до момента «сейчас», мы перестаем понимать, что именно рисовать: вы останетесь здесь или уйдете? Щенок побежит сюда или туда? Стрела пролетит мимо цели, замедлившись из-за подувшего ветерка, или поразит вас в самое сердце и оно перестанет биться? Никто никогда не скажет, что события «слева» существуют и известны, а «справа» не известны и не определены. А вот о событиях в будущем мы говорим как о неопределенных, а о событиях в прошлом — как об определенных и неизменных.

И еще одна особенность процессов во времени. В пространстве нет выделенных направлений: разве можете вы придумать процессы, которые происходят «справа» и не происходят «слева»? Но есть масса процессов, развивающихся во времени только в одном направлении. Например, легко порвать страницу этой книги. Однако попробуйте склеить ее, вернув в первоначальное состояние (что в точности означало бы, что вы запустили процесс разрывания страницы в обратном направлении во времени). Нет, не получится. Если уж вы действительно порвали страницу, то так и останетесь с порванной. Время течет по-разному в направлении будущего и прошлого. Эту однонаправленность часто называют стрелой времени, направленной в будущее, и это название очень ей подходит.

Эти особенности времени хорошо нам знакомы и составляют ткань нашей жизни. Мы не можем переделать прошлое, а воссоздать прошлые события способны только в своей памяти. И нам не дано предугадать, что случится с нами завтра, — мы можем только мечтать, строить планы и составлять расписание на будущее. И если вдруг вы что-то однажды беспечно нарушите, восстановить это уже не получится. Но эти ограничения компенсируются замечательным даром. Мы умеем создавать по-настоящему новые вещи: вчера этой музыки не существовало, а сегодня она есть. Мы можем выбирать судьбу: мое сегодняшнее решение в состоянии изменить течение моей жизни. Наше ощущение времени абсолютно и сосредоточено исключительно на настоящем — это та «точка во времени», в которой мы можем выбирать, действовать и создавать. На самом деле, у нас нет ничего, кроме настоящего: ведь то, что мы знаем про прошлое, основано на памяти, а то, что мы знаем о будущем, — на предположениях. Как сказал великий мастер дзен-буддизма Эйхэй Догэн, «в каждом моменте заключена вся жизнь, весь мир. Задумайтесь сейчас, остается ли какая-то жизнь и мир за границами настоящего момента»[14].

Но есть и другая, практически противоположная точка зрения на то, как устроен мир. Рассмотрим нашу летящую стрелу. Давайте, подойдя к конечной точке первой половины ее траектории, которая завершается «сейчас», зададимся вопросом, есть ли у нее выбор пути, по которому она может лететь дальше. Кажется, что нет: мы довольно хорошо знаем, по какой кривой стрела полетит, и можем довольно точно начертить оставшуюся часть ее траектории. Это значит, что мы можем предсказать ее будущий путь при условии, что мы все знаем о первой половине траектории — путь стрелы, ее скорость и направление движения, плотность воздуха.… возможно, даже возникновение встречных порывов ветра. Нам кажется, что чем больше мы знаем, тем лучше сможем предсказать ее будущий полет.

Если бы мы могли довести эту способность рассчитать траекторию до совершенства, то есть могли бы предсказать путь стрелы с идеальной точностью, то нам удалось бы нарисовать абсолютно достоверную траекторию: пусть мы не смогли бы увидеть будущее, но, во всяком случае, смогли бы узнать, каким оно будет. И этим законам физики подчиняется не только стрела. Нашу судьбу, выпади мы из самолета без парашюта, тоже можно было бы предсказать с полной определенностью. Эти законы применимы в том числе и к нам, даже если их действие понять очень сложно. Мы даже можем сказать, что то, что прямо сейчас мы считаем будущим, уже для нас приготовлено. Чтобы увидеть, как это будущее выглядит, нам придется чуть-чуть погодить, но оно уже нас поджидает. С этой точки зрения, которую мы можем назвать этерналистской, время рассматривается почти так же, как и пространство: то и другое уже раз и навсегда подготовлено. Будущее, точно так же, как прошлое, уже существует. А настоящее — это вид иллюзии, один случайно выбранный из многих момент времени, не имеющий особого значения. Ничего нового не создается, поскольку будущее уже существует. Момент, когда перестанет биться ваше сердце, уже выбран, и вы неуклонно движетесь сквозь пространство-время, прикладывая все силы, чтобы к этому моменту приблизиться.

Действительно ли дело обстоит именно так? Мы не должны сразу отметать это представление только потому, что оно противоречит нашей житейской интуиции в вопросе взаимодействия человеческого сознания и внешнего мира. На страницах моей книги вас ожидает немало встреч с тем, что оказывается верным, хотя и противоречит интуиции.

Но что же мы — с этерналистской точки зрения — делаем, когда собираемся что-то решить, когда мучаемся над тем, какой путь избрать? Почему нам кажется, что мы можем принять и правильное, и ошибочное решение? Почему мы чувствуем сожаление, вину, почему осуждаем? Неужели все это — иллюзии? Но если так, то что тогда вообще реально в этом мире?

Загадка, которую шепотом задает Дзеньё, сложна: «Время — это всё или ничто?»

4. Башня (Пиза, 1608 год)

Мы, пожалуй, могли бы сказать, что твое путешествие начинается в Пизе. Стоит жаркий, пыльный день, ты карабкаешься вверх по ступеням пизанской башни, а в руках у тебя тяжелый чугунный шар. В тот момент тебя не удивляет, что твой наставник — Галилей — несет гораздо менее тяжелый деревянный шар: идеи, на которые он открыл тебе глаза, настолько увлекательны, что капающий со лба пот и промокшая майка не кажутся чрезмерной платой.

Когда вы добираетесь до верха, Галилей объявляет, что вы оба одновременно должны бросить свои шары вниз. Он спрашивает тебя: «Как ты думаешь, какой шар упадет на землю раньше? Аристотель утверждал, что чугунный шар весом сто фунтов, сброшенный с высоты 100 локтей, упадет на землю еще до того, как деревянный шар весом один фунт пролетит один локоть. Да и судя по твоему потному лбу, чугунный шар притягивается к Земле гораздо сильнее».

На это ты, все еще тяжело дыша, можешь только кивнуть. А Галилей продолжает: «Но рассуждения Аристотеля ошибочны! Подумай как следует. Чугунный шар также гораздо тяжелее сдвинуть — нужно приложить немалое усилие, даже чтобы катить его по земле».

Пока ты обдумываешь услышанное, он продолжает: «Вот и скажи мне, что перевешивает: большее усилие, необходимое, чтобы сдвинуть чугунный шар, или, наоборот, большее притяжение его к земле? Что пересилит? Какой шар в действительности полетит быстрее? Я совершенно уверен, что на самом деле Аристотель никогда не проверял свое утверждение».

Ты говоришь, что не знаешь. Галилей кивает и дает знак начать эксперимент. Но даже когда ты видишь результат своими глазами, в него нелегко поверить: оба шара ударяются о землю точно в одно и то же время, поднимая далеко внизу облака пыли (хотя и разного размера). Ты поворачиваешься к внимательно наблюдающему за тобой Галилею. «Как такое может быть, — спрашивает он вкрадчиво, — что два таких разных предмета падают совершенно одинаково?»

Когда в коане «ОТПЛЫТИЕ» мы размышляли о движении и времени, то решили, что утверждения об абсолютном равномерном движении бессодержательны. А вот относительное движение и изменения движения представляются вполне реальными. Из них, как из кирпичиков, строится поведение нашего физического мира, поскольку оно может быть разложено на мельчайшие движения материи под действием различных сил. Вы толкаете холодильник, и он начинает двигаться, он падает, и вы вместе с ним.

Нам хорошо знакомы эти силы. Мы знаем, что для того, чтобы поднять или передвинуть более массивный (или более «тяжелый») предмет, нужно приложить большую силу (то есть «больше усилий»). Нам также известно, что если в воздухе отпустить предмет, он упадет. У нас имеется достаточно обширный набор интуитивных знаний об этих движениях, которые позволяют нам с легкостью бросать или ловить мячи, уворачиваться от быстро движущихся массивных транспортных средств и т. д. Благодаря тому, что поведение объектов подчиняется строгим и глубоким закономерностям, эти интуитивные навыки помогают нам в повседневной жизни. Интересно, что на протяжении всей своей истории человечество (за редкими исключениями) довольствовалось тем, что использовало эти закономерности в основном интуитивно и довольно ограниченно, особо не подвергая их анализу.

Галилей, вероятно, был первым, кто начал систематически изучать эти закономерности. С помощью ряда гениальных экспериментов, вроде того эксперимента в Пизе (возможно, апокрифического), он показал, что движениями в повседневном физическом мире управляют универсальные, математические законы. Удивительно, но эти основополагающие законы, над которыми стали задумываться тысячи лет назад и разъяснением которых серьезно занимался Галилей, сложились в законченную систему всего за несколько десятилетий, причем завершающим аккордом тут стали работы сэра Исаака Ньютона. Эта система законов получила название механики, и она до сих пор является основой нашего понимания физики. Посмотрим же на эти законы повнимательнее, дабы понять, что именно они говорят об экспериментах Галилея, которые не только заложили фундамент для работ Ньютона, но и явились источником вдохновения для Эйнштейна.

Исходя из наших представлений о положении в пространстве, скорости и инерции, ньютоновскую механику можно очень кратко сформулировать следующим образом: изменение скорости тела со временем, то есть ускорение, равно силе, приложенной к объекту, деленной на инерционную массу[16] тела:

или иначе

Отсюда немедленно следует, что если к телу не приложена сила, то нет и ускорения, то есть скорость не меняется; значит, если тело двигалось, оно продолжит двигаться с постоянной скоростью, а если покоилось — останется в неподвижном состоянии.

Эти концепции, хотя и довольно точные, в некотором смысле отличаются от их расхожих смыслов, поэтому ради прояснения их значений стоит проделать несколько мысленных экспериментов. Вообразите, например, что вы катите по земле очень большой деревянный шар, который под действием этой силы катится все быстрее и быстрее. Если теперь вы его отпустите, он будет какое-то время катиться с постоянной скоростью, пока другая сила, например, сила трения, не замедлит его движение[17]. Теперь вообразите, что вы точно так же толкнете чугунный шар того же размера. Если вы приложите то же усилие, чугунный шар будет катиться гораздо медленнее, чем деревянный. Действительно, его масса много больше, так что если приложить ту же силу, возникшее ускорение будет много меньше. Теперь допустим, что у вас есть двойник, который, видя ваши мучения с чугунным шаром, приходит вам на помощь. Вы вместе с двойником, прикладывая одинаковые усилия в течение того же времени, что и в предыдущем случае, можете заставить чугунный шар двигаться вдвое быстрее: вы удвоили силу, и, следовательно, ускорение тоже удвоилось.

Определив математически ускорение, массу и силу, а также закон, связывающий их, Ньютон показал, что движения тел можно рассчитать точно, если знать три параметра: начальные положение и состояние движения каждого тела, массу каждого тела и силу, с которой каждое тело действует на все другие тела. В коане «СТРЕЛА» мы обсудили, как можно, хотя бы в принципе, измерить положения тел и их скорости. Для определения положения мы измеряем их расстояние до фиксированного предмета. После этого мы определяем их скорости, для чего находим, насколько далеко они переместятся за короткое время. Ну, а как насчет их масс и сил?

Когда мы сравнивали реакцию чугунного и деревянного шаров на одну и ту же силу, мы как раз и сравнивали их инерционные массы (инерции). Если под действием одной и той же силы деревянный шар ускоряется в 10 раз быстрее, чем чугунный, мы можем заключить, что его масса в 10 раз меньше. И если мы возьмем одно «стандартное» тело, массу которого примем за единицу, тогда массы других тел мы можем измерять в этих единицах, сравнивая их ускорение с ускорением нашего стандартного тела. Таким образом, даже если мы точно не знаем, что такое масса, ее измерение (в любом случае относительно какого-то стандарта) — не такое уж сложное дело.

И наконец, как обстоит дело с силами? Есть силы, хорошо нам знакомые — например, сила, с которой человек толкает предмет, или же сила ветра, обдувающего тело. Другой известный пример — магнитные силы. Представьте себе, что вы держите огромный подковообразный магнит и подносите его к чугунному шару. Медленно, но верно чугунный шар под действием магнита покатится к вам. Если же вы поднесете два одинаковых магнита вместо одного, он покатится вдвое быстрее. А вот на деревянный шар ваш магнит не подействует. Такое впечатление, что магнитная сила, действующая на предмет, зависит от его внутренних свойств — в том числе от состава, от количества материала, из которого предмет состоит, и даже от его температуры. Это свойство можно назвать его магнитным зарядом.

И теперь мы подходим к гравитационной силе, которая привязывает нас к земной поверхности и заставляет предметы падать с башен. Хотя для понимания истинной природы гравитации пришлось ждать Ньютона, а потом и Эйнштейна, Галилей понял про нее две существенные вещи. Во-первых, она тянет тела вниз, к центру Земли. Мы можем назвать эту способность Земли притягивать тела к своему центру ее гравитационным полем. Во-вторых, как и в случае с магнетизмом, сила гравитации зависит от внутренних свойств тел, которые мы можем назвать их гравитационными зарядами. Гравитационный заряд, умноженный на гравитационное поле, дает силу, с которой тело притягивается к Земле, то есть, другими словами, — его вес. (Однако смысл последних двух понятий нужно различать: например, если вас удалить с Земли, ваш гравитационный заряд сохранится, а вес — нет.)

Теперь, вооружившись знаниями, мы можем вернуться назад и проанализировать проблему, сформулированную Галилеем: определить, какой шар будет падать быстрее — чугунный или деревянный. Чугунный шар притягивается к Земле с большей силой (из-за его большего гравитационного заряда и, следовательно, большего веса), но двигаться (из-за его большей массы) ему тяжелее, чем деревянному шару. Какое обстоятельство победит?

Пусть ответ нам даст ньютоновская механика. Если сила равна ускорению, умноженному на инерционную массу, и если на тела действует сила, равная их гравитационному заряду, умноженному на внешнее гравитационное поле, то есть:

то, объединяя эти два выражения, получаем

или иначе:

Это позволяет нам определить ускорение любого объекта, если известно гравитационное поле и два свойства, присущие объекту: отклик объекта на гравитационное поле (гравитационный заряд) и его способность сопротивляться ускорению (инерция или инерционная масса).

Гравитационное поле везде на Земле более-менее одинаково. Но без дополнительной информации о том, как гравитационные заряды объектов соотносятся с их массами, ответить на вопрос Галилея представляется невозможным: объекты, у которых при заданной массе сравнительно больший гравитационный заряд, должны ускоряться быстрее, а те, у кого меньший — медленнее.

Похоже, мы в тупике. Ведь эксперимент Галилея (а также его последователей) говорит о том, что если мы сможем убрать все негравитационные силы, окажется, что в заданном гравитационном поле все объекты приобретают одно и то же ускорение. Если это правильно, тогда гравитационный заряд и инерционная масса должны совпадать! Другими словами, дополнительные трудности по перемещению чугунного шара в точности, идеально[18] компенсируются дополнительной силой притяжения его к Земле! Это несправедливо в отношении магнетизма или любой другой силы.

Данный поразительный факт оставался по существу необъясненным в течение 300 лет, пока Альберт Эйнштейн не показал, что этому есть глубокая причина и что ее объяснение требует от нас радикально изменить наше отношение к пространству и времени. Вспомним коан «СТРЕЛА», из которого мы узнали, что когда нет никаких сил, объекты движутся по прямой с постоянной скоростью. Другими словами, если не приложены никакие силы, объекты движутся по прямой в пространстве-времени. Чтобы увидеть это, давайте построим траектории шаров так же, как мы сделали это для стрелы. До тех пор, пока шар катится с постоянной скоростью в одном направлении, его путь в пространстве-времени остается прямолинейным. Но если шар ускоряется (например, если мы поставили перед ним магнит), он за одинаковые интервалы времени будет продвигаться на все большее и большее расстояние и его путь в пространстве-времени искривится, а путь деревянного шара, на который магнитная сила не действует, останется прямолинейным (верхний рисунок на стр. 52). Мы также можем вообразить, что на шары подул сильный ветер. В этом случае на шары действует одинаковая сила, но у деревянного шара наименьшая масса и он максимально подвержен действию ветра; свинцовый же шар будет ускоряться меньше всего (нижний рисунок на стр. 52). А гравитационное поле Земли притягивает все три шара и ускоряет их. Разница с предыдущими случаями, как установил Галилей, состоит в том, что в этом случае все три кривые искривляются одинаково (рисунок на стр. 53).

С этой точки зрения силы — то есть то, что вызывает ускорение движущихся объектов, — в действительности являются причиной того, что объекты отклоняются от прямолинейного пути в пространстве-времени. Если сил нет, путь в пространстве-времени — прямая линия, а чем больше сила (при заданной массе), тем более искривленным становится путь.

Но мы видели, что гравитация — это странная сила, поскольку в отличие от других сил она меняет пути объектов способом, не зависящим ни от массы объекта, ни от материала, из которого он сделан, ни от иных его свойств. Ускорение объекта в гравитационном поле никак не связано с тем, что представляет из себя объект, — оно зависит только от его окружения. Мы могли бы вообще не обратить на это внимания, посчитав курьезом. Но для Эйнштейна это послужило ключом к разгадке истинной природы гравитации. На основе данного ключевого свойства Эйнштейн провозгласил, что гравитация — вовсе и не сила.

Погодите-ка! Но если это не сила, тогда почему предметы не движутся по прямой в пространстве-времени?

Согласно Эйнштейну, предметы под действием гравитационного поля все-таки движутся по прямой в пространстве-времени!

Да как же это?!

5. Идеальная карта (Шэньян, Китай, 1617 год)

Довольно длинный путь вниз по довольно извилистой тропинке… Весь замысел сначала казался хотя и дерзким, но довольно простым. Картография входила в число многих других увлечений Кундулун-хана, планы по расширению собственной империи были весьма амбициозны, и потому его бесила неточность существующих карт. Однажды, собрав картографов, он объявил: «Ученейшие из ученых! Я желаю составить карту непревзойденной точности. Она должна быть высечена на гладком каменном полу здания Военного совета и быть столь совершенной, чтобы я и мои генералы могли с абсолютной точностью найти расстояния между пунктами моей растущей империи, просто измерив расстояние между соответствующими точками на карте».

Следуя придуманному им самим плану, хан собрал огромную армию всадников, снабдил их инструментами, позволяющими рассчитывать местоположение, астрономическими приборами и бумагой для записи наблюдений. Хан разместил всадников на одинаковых расстояниях друг от друга вдоль линии, берущей свое начало на самой западной границе империи и простирающейся на восток. Каждый всадник получил команду ехать на север и в каждом месте, где был какой-то ориентир, отмечать расстояние, пройденное от предыдущей отметки. А какая же роль отводилась тебе? Ценя твои математические познания, хан поручил тебе помочь его картографам проверять, сопоставлять и осмысливать данные.

Сначала все казалось простым, и, использовав собранный материал, ты с учеными хана смог составить для него отличные карты. Но идеальную карту нарисовать не получалось: чем тщательнее вы вырисовывали детали, тем запутаннее и противоречивее становилась общая картина. Проходила неделя за неделей — и наконец вы признались хану в своем фиаско.

Однажды поздним вечером, созерцая полную луну, ты неожиданно понимаешь, что ваши проблемы были вызваны тем, что Земля не плоская, а круглая! Однако хан, выслушав тебя, презрительно воскликнул: «Естественно, Земля круглая, но если бы я хотел получить глобус, я бы пригласил специалистов по изготовлению глобусов. Остальные картографы понимающе кивнули. А хан продолжил: „Я хочу иметь плоскую карту и думал, что твоего интеллекта хватит, чтобы изготовить ее для меня. Разве важно, что Земля круглая? Везде, где я побывал, она выглядела достаточно плоской! Уходи и возвращайся, когда будет готово что-то, чем я смогу воспользоваться!“»

Ты кланяешься и уходишь, чувствуя себя наказанным. Китай обошелся с тобой не слишком дружелюбно, и ты затосковал по времени, проведенному в горах. Тебе показалось, что оно прошло слишком быстро. Ты представил, как Трипа Драгпа[19] говорит что-нибудь мудрое и ободряющее, например: «Двигайся постепенно, шаг за шагом. Скоро хан оценит тебя по-настоящему».

А потом, после долгих раздумий, до тебя наконец доходит! И ты направляешься прямо к хану.

Минуточку, насколько прямо?

Нам всем хорошо знакомы карты и то, как ими пользоваться, а современная картография столь совершенна, что мы редко думаем о точности карт или о том, как именно они изготовлены. Но (что вовсе не редкость) за этой привычностью скрываются некие очень любопытные тонкости. Стоит лишь начать тщательно и глубоко разбираться в том, что есть карта и как ею пользоваться, — и нюансы оказываются весьма важны. Некоторые из этих вопросов, напрямую связанных именно с нашими усилиями понять, что такое пространство, время и движение, и мучили Кундулун-хана и его ученых. Так что же такое карта?

На самом базовом уровне карта — это представление (обычно в графическом виде) территории, которую она отображает, причем соотношение между элементами отображаемой территории должно быть правильным. Это значит, что хорошая карта «похожа» на отображаемую территорию и по ней можно понять, как выглядит эта территория и как на ней ориентироваться. Но для хана этого было недостаточно: на своей карте он хотел математически точного отображения территории — такого, чтобы по ней можно было точно измерить расстояние между городами или же найти точные размеры разных регионов его империи. Чтобы понять, чего хан добивался от картографов и почему огорчился, не получив этого, мы должны задуматься о том, что делает карту точной.

С чего начинается процесс составления карты? С собирания необработанных данных о местоположении всех чем-то примечательных физико-географических точек территории. Всадники хана как раз и составляли списки таких данных, когда скакали в северном направлении, отправившись в путь из своих исходных пунктов, расположенных вдоль протянувшейся с запада на восток линии (рис. на стр. 59). Каждый из них отмечал расстояние от исходной линии до всех встречающихся по пути заметных объектов, давая ученым возможность составить таблицу, в которой каждому такому объекту соответствовало две координаты, определяющие его положение: расстояние в восточном направлении (свое для каждого всадника) и расстояние в северном направлении (измеренное всадником). Эти координаты очень похожи на долготу и широту, которые используются в современных картах.

Но этот список еще не похож на отображаемую территорию. Сходство возникнет, когда на карту нанесут каждую отметку, а также сетку из линий, в которой длина стороны каждой ячейки-клетки соответствует определенному расстоянию на местности. В примере с картой Кундулун-хана мы можем изобразить сетку, вертикальные линии которой будут соответствовать пути каждого всадника и пересекаться с горизонтальными линиями, расположенными на одинаковых расстояниях друг от друга по ходу движения каждого всадника (рис. чуть ниже). Соотношение между реальными физическими расстояниями и расстояниями на карте определяет масштаб карты (например, 1 см на бумаге может соответствовать расстоянию 10 км на местности). В точности как хан и надеялся, большие расстояния на местности можно было бы получать, просто измерив маленькие расстояния на бумаге, а потом умножив их на масштаб.

Такая система великолепно знакома всем, кто пользовался картами, и предполагает, что составление действительно точных карт — процедура незамысловатая. Но это не так[20]. И мы убедимся в этом, если отправим еще одного всадника далеко на север — в самый конец карты, которую мы только что составляли. Мы можем измерить расстояние между двумя горами по карте и определить, что оно составляет 10 см, что соответствует, по нашим представлениям, 100 км на местности. Однако всадник может измерить реальное расстояние, и расстояние между горами окажется равным 96 км! Значит, что-то здесь не так! Масштаб зависит от места: измеренный в одной части карты, он меняется при переходе к другой части. И, что еще хуже, при тщательном исследовании обнаруживается, что не только общий масштаб меняется от точки к точке, но и масштаб на линии север-юг часто отличается от масштаба по линии восток-запад. Вот это как раз и расстроило хана, а расстроенный хан всегда опасен.

Но почему эта сложность обязательно должна возникать? Не существует ли другого способа сделать «идеальную» карту? Нет, не существует. Сложность в том, что мы проецируем сферическую поверхность земли на плоскую карту, а при этом нельзя добиться идеальности. Вы можете проверить, что дело именно в этом, вообразив, будто вы отодрали бумагу, которой обклеен глобус (рис. ниже) и на которой изображена карта, и попытались как-то наклеить ее на ровную поверхность, не вытягивая карту и не делая на ней складок (что изменило бы масштаб). У вас это не получится, и именно по той причине, по которой возникали искажения, портившие карту хана.

Существует множество способов составления карт мира, и во всех них используются разные варианты переноса тех или иных деталей земной поверхности на карту. Например, вы можете поставить условие, чтобы площади объектов на карте были пропорциональны соответствующим площадям на земле. Это один способ. Или вы зададитесь целью сделать так, чтобы форма объектов на карте была такой же, как на земле. Но вам не удастся сделать так, чтобы и площади объектов были пропорциональны, и их очертания были подобны.

В этом смысле составление карт открывает нам нечто очень важное о местности, карту которой мы составляем: не только расположение объектов, но и кривизну «подложки» — собственно, Земли. Невозможность отобразить на плоской карте земную поверхность в едином масштабе говорит о том, что поверхность искривленная. Человечеству потребовалось довольно много времени, чтобы преодолеть интуитивное представление о том, что Земля плоская. Мы пришли к тому же выводу путем тщательного анализа и логических рассуждений. Какие еще скрытые структуры и кривизны могли бы мы обнаружить в нашем мире?

Продолжим совершенствовать наш инструментарий. Если мы не можем составить карту территории, как хотели бы, то есть выдерживая постоянный масштаб, так не можем ли мы пожелать, чтобы измерения были проведены с нужной нам точностью? Да, можем, хотя это потребует дополнительной работы и смекалки. Нам на помощь придет вот какое обстоятельство: если мы рассмотрим первый маленький кусочек территории — скажем, тот, который был исследован несколькими соседними всадниками, — то наша карта с фиксированным масштабом будет чрезвычайно точной. Отклонения в масштабе проявятся, только когда мы будем сравнивать между собой отдаленные участки нашей карты.

Из этого следует, что можно учесть изменения в масштабе, разбив территорию на маленькие области. При движении с севера на юг и с запада на восток при переходе от одного фрагмента карты к другому масштаб может меняться, но внутри фрагмента он будет фактически постоянным — причем чем фрагмент меньше, тем с большей точностью это будет выполняться. Теперь вообразим кривую, представляющую собой возможный путь по территории от одной точки на карте к другой (рис. выше). Мы бы хотели узнать реальную физическую длину этого пути, и мы уже знаем, что из-за вариаций масштаба ее невозможно получить, просто умножив длину кривой на масштаб. Однако мы можем разбить путь на маленькие отрезки — будем продвигаться постепенно — шаг за шагом. Теперь нам надо измерить длину каждого отрезка как в горизонтальном, так и в вертикальном направлении (рис. ниже). По этим отрезкам на карте мы уже сможем определить соответствующие им реальные расстояния, используя почти постоянные масштабы в направлении север-юг и запад-восток. Из этих двух реальных физических расстояний можно получить реальную длину пути, соответствующего этому маленькому сегменту, который представляет собой гипотенузу треугольника[21]. Суммируя длины всех этих сегментов, мы получаем полную реальную длину выбранного пути между двумя точками[22].

Такой метод можно использовать для вычисления точных расстояний (о чем и мечтал хан), только он гораздо более сложный. (Фактически именно это проделывают современные программы по обработке карт, когда вы запрашиваете расстояние между двумя пунктами при езде на автомобиле.) Мы также видим, что сферическая геометрия земного шара для тех, кто интересуется только ближайшей к себе окрестностью, скрыта от глаз: картина мира вокруг них всегда локально плоская — и масштаб не меняется. Но когда приходится состыковывать эти локальные фрагменты друг с другом, необходимость изменения масштабов обнаруживает геометрию всего нашего мира как целого.

Итак, теперь мы понимаем, как — шаг за шагом — организовать наше путешествие, чтобы узнать, какое реальное расстояние мы проехали. Но если мы, вооруженные этим пониманием, хотим направиться прямиком к хану, то какой путь мы должны избрать? Тот, что выглядит прямым на карте, может выглядеть прямым и на сферической поверхности земли, но — может и не выглядеть.

Если объекты действительно стремятся двигаться по прямой в пространстве-времени, о чем поведали нам работы Эйнштейна и коан «БАШНЯ», то нам нужно знать, какой путь на самом деле является прямым.

6. Космическое «сейчас» (Сейчас)

Прямо сейчас, когда вы читаете эти строки, где-то в Индии новорожденный ребенок делает свой первый вдох, а старуха — последний. Молодая пара слилась в первом поцелуе. В темном небе сверкнула молния. Порыв ветра растрепал волосы одинокого путника, бредущего по пустыне Сахара.

С космического спутника виден восход Солнца над Землей. Ураган безостановочно раздувает облака над Юпитером. В третьем кольце Сатурна как раз сейчас сталкиваются две каменных глыбы. В нашей Галактике на какой-то планете, вращающейся вокруг звезды, приближается новый год. Возможно, она обитаема и там есть кому праздновать. Наша Галактика приблизилась на 100 миль к своей соседке — Андромеде, — и с этого момента до их столкновения и слияния остается один миллиард лет.

Звезда в далекой галактике взрывается и заканчивает свою стомиллионнолетнюю жизнь — происходит мощнейший взрыв суперновой. В то же мгновение впервые загораются сотни новых звезд.

В наблюдаемой вселенной возникает новое пространство, которого достаточно для образования сотен новых галактик.

Все это во вселенной случается прямо сейчас, в эту самую секунду. Да вот только понятия «прямо сейчас во всей вселенной» не существует.

Действительно ли ребенок в Индии только что сделал свой первый вдох? Возможно. В Индии живет около миллиарда (10⁹) жителей. Если каждый из них доживает до 100 лет, то для того, чтобы население Индии не уменьшалось, ежегодно должно рождаться по крайней мере 10 миллионов (10⁷) детей. В году 365 дней, в каждом по 24 часа, содержащего 60 минут, в каждой из которых по 60 секунд. Всего 30 миллионов секунд. Следовательно, в среднем каждые 3 секунды в Индии рождается ребенок. Ну, а при более аккуратном расчете оказывается, что ребенок рождается каждую секунду, так что вполне вероятно, что за последнюю секунду какой-то ребенок вздохнул в первый раз.

О чем это говорит? Во-первых, о том, что можно получить много полезных — хоть и приблизительных, но достаточно правильных оценок, — лишь использовав несколько цифр, которые мы случайно помним или легко можем найти. Это часто называют оценкой по порядку величины. Искусство выполнения таких расчетов заключается в том, чтобы найти самые важные параметры данной задачи, понять, как они соотносятся друг с другом, и отыскать способ получить правильный по порядку величины результат. В данном случае это означает, что вы можете утверждать: каждую секунду в Индии рождается один ребенок, а не 10 и не один в 10 секунд.

Эти числа показывают также, насколько велик наш мир. Рождение — событие, которое случается в жизни каждого человека только раз, а в мире — в какой-то его части — происходит каждую секунду! Аналогично, смерть звезды при взрыве суперновой случается только однажды в течение жизни небольшой группы звезд, длящейся сотни миллионов лет, а в наблюдаемой вселенной такое где-нибудь да случается много раз в секунду[23]. Это огромное пространство! (И оно становится все больше, увеличиваясь примерно на 10⁶² кубических метров в секунду.)

Когда мы размышляем над всеми этими событиями, происходящими сейчас, нам интуитивно ясно, что мы имеем в виду, говоря о «сейчас»: некое событие либо происходит сейчас, либо нет, правильно?

А вот и неверно.

Чтобы понять, почему, давайте подумаем, что мы имеем в виду, когда говорим, что «что-то происходит сейчас», и, в частности, откуда мы знаем, что оно происходит сейчас. Когда вы говорите, что падающий лист упал на землю «сейчас», вы имеете в виду, что это событие совпадает с вашим внутренним ощущением текущего момента. Когда вы говорите, что лист упал 10 секунд назад, вы подразумеваете, что ваши внутренние (или ручные) «часы» отсчитали 10 секунд с момента вашего ощущения того, что лист приземлился.

Но представьте себя во время грозы, случившейся в какой-то точке Земли в данный момент. Вы замечаете, что вспышка молнии и сопровождающий ее гром согласно вашим внутренним часам происходят в различные моменты времени. Объяснение простое: гром — звуковая волна, распространяющаяся со скоростью звука, и для того, чтобы добраться до вас, ей требуется время. А для вспышки молнии, распространяющейся с гораздо большей скоростью — со скоростью света, — требуется ничтожное время. Так же, как для упавшего листа, эта задержка за счет конечности скорости света так мала, что вы обычно считаете, что вспышка происходит в тот же самый момент, в который вы ее видите.

На более крупных масштабах, однако, эти эффекты становятся довольно заметными и даже критическими. Когда специалисты по космосу отправляют исследовательские космические корабли куда-то в Солнечную систему, они вынуждены считаться с задержками в минуты или даже часы между происшедшим событием и сигналами, его описывающими. Глядя на ночное небо, вы видите звезды такими, какими они были десятки, сотни и даже тысячи лет назад. И когда астрономы наблюдают далекие галактики, которые удаляются от нашей из-за расширения вселенной, они видят события космической истории, произошедшие миллиарды лет назад, когда не только галактики были моложе, но и сама вселенная расширялась с другой скоростью. Мы можем заглянуть даже дальше: так называемое космическое микроволновое реликтовое излучение состоит из света, который свободно шел к нам 13,8 миллиарда лет — с того момента, когда он последний раз провзаимодействовал со смесью горячих газов водорода и гелия. Этот свет позволяет получить изображение структуры вселенной в тот момент, когда она только что возникла и зародыши будущих галактик, планет и звезд существовали лишь в виде ряби на поверхности космического моря. Это изображение нашей зарождавшейся вселенной всегда у нас перед глазами: то самое реликтовое излучение образует небольшой фон статического электричества («снег») при включении аналогового ТВ, когда мы еще не настроились на канал. И на экране мы видим вселенную на ранней стадии развития в том же смысле «прямо сейчас», в каком видим прямо сейчас падающий лист.

Это смешение настоящего и самого отдаленного прошлого дает нам представление о том, что соотношение этих понятий сложное и что существует громадная разница между тем, что происходит прямо сейчас, и тем, что мы наблюдаем прямо сейчас. В частности, предполагается, что мы фиксируем только вещи, которые происходят в одно и то же время и в одном и том же месте (одно и то же «событие»). Например, восприятие листа «сейчас» означает, что свет попадает в наши глаза в тот же момент (почти) и в то место, которые соответствуют нашему внутреннему восприятию «сейчас». Реальное столкновение листа с землей — это другое событие. Аналогично, если вы выключили свой телевизор несколько лет назад, взглянув в последний раз на картину зарождающегося космоса, то это событие сильно разнилось с начальным выбросом этого излучения от раннего космического огненного шара.

Вы можете спросить: ну и что? Несмотря на то, что мы уже знаем о вселенной, интуиция подсказывает нам, что есть нечто вроде больших космических часов, отсчитывающих время где-то на заднем плане, и оно не зависит ни от нашего восприятия, ни от нашего знания о том, когда события происходили. Как говорил Ньютон, «абсолютное истинное математическое время, само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно безотносительно чего-либо внешнего»[24]. Это означает, что, хотя мы и видим звезды с задержкой, нам все же кажется, что они каким-то особым способом существуют прямо сейчас; чтобы их увидеть, надо просто немного подождать. В основе этого интуитивного представления лежит мысль, согласно которой мы могли бы обладать сколь угодно быстрым способом передачи информации: воспользовавшись им, мы сумели бы увидеть звезды в том настоящем виде, в котором они действительно светят именно сейчас.

Даже если такого способа передачи пока не существует, мы все же можем события, происходящие прямо сейчас, представить себе позже, в ретроспективе. Предположим, сейчас 5 часов вечера и инженеры из НАСА посылают команду на исследовательский корабль на Марсе: сделать фотографию и отослать ее обратно. Допустим, инженер получает эту фотографию в 5:20 и видит на ней, что кто-то машет щупальцем и старается схватить камеру; он, естественно, предполагает, что первый контакт произошел в 5:10. Однако в 5:10 он еще не знал, какие удивительные вещи происходят на Марсе «прямо сейчас». Аналогично, мы можем говорить обо всех событиях, которые происходят прямо сейчас, используя относящееся к этому случаю определение, данное Эйнштейном: если бы мы послали световой сигнал к месту, где происходит событие, некоторое время t назад и если бы этот сигнал достиг этого события, развернулся и вернулся к нам через такое же время t в будущем, тогда мы могли бы сказать, что событие происходит сейчас. События, для которых это условие не выполняется, либо происходили в прошлом, либо будут происходить в будущем. Взгляните на рисунок ниже.

Пересечение вашей мировой линии (вертикаль) и оси «сейчас» дает точку, отвечающую понятию здесь и сейчас. Такие события, как падающий лист или светящиеся звезды, которые мы можем видеть здесь и сейчас, — это те события, световой сигнал о которых приходит к нам сейчас, и они расположены на биссектрисе, помеченной надписью «события, которые мы можем видеть». События типа рождения ребенка в Индии, марсианина, машущего своими щупальцами, планеты, сваливающейся в черную дыру, происходят «сейчас», но не здесь. Мы пока не можем их видеть (мы, например, должны подождать какое-то время t, чтобы получить возможность увидеть, что в Индии родился ребенок). Эти «происходящие сейчас» события можно определить как события, запрос о которых мы мысленно послали в виде светового сигнала время t назад: он дошел до события, развернулся и воротился в точности через время t, отсчитанное от «сейчас». В этом смысле мы можем расширить наше понятие «сейчас» на понятие «космическое сейчас».

Доведя эти рассуждения до логического конца и вообразив все сигналы отовсюду по всей вселенной, мы вправе прийти к выводу, что можно сконструировать, по крайней мере в принципе, понятие космического сейчас. То есть мы можем вообразить все виды событий в космосе, даже те, которые мы еще долгое время не сумеем наблюдать в действительности (или не сумеем вообще никогда). И тогда мы явственно ощутим, происходит — или нет — то или иное событие прямо сейчас.

Эта конструкция совершенно разумна и вполне соответствует нашей интуиции. Однако представление об универсальном «сейчас» как о массе всех событий, происходящих везде в тот самый момент, когда вы читаете эти слова, хотя определенно и существует в вашем сознании, всего лишь иллюзия.

7. Венецианские сны (Венеция, 1609 год)

Стоит теплый, располагающий к лени весенний день. Покачивание скользящей по каналам Венеции гондолы почти усыпило тебя. Но неутомимый ум Галилея отдыхает редко; внезапно ученого осеняет некая мысль, и он вынимает из кармана маленький мячик. «Наблюдай! — произносит он чуть громче, чем нужно. — Когда я бросаю мяч, он падает прямо на дно лодки, так же, как он упал бы на земле — движение гондолы не влияет на его падение». Этот факт кажется вполне очевидным, и Галилей говорил об этом и раньше. Но ты настораживаешься, когда он продолжает: «Однако посмотри на девушку на мосту. Когда я бросаю мяч, что видит она?» Первое, что тебе приходит в голову, это то, что она видит то же самое, что и ты. Но догадываясь, что Галилей спрашивает не просто так, ты не торопишься с ответом, и до тебя наконец доходит. «А, — отвечаешь ты, — она видит не только как мячик падает вниз, но еще и как он движется вперед вместе с гондолой». Галилей приходит в восторг: «Очень хорошо! На самом деле девушка то же событие видит по-другому — мячик для нее движется с другой скоростью, чем для нас здесь, на лодке. На самом деле то, что видят разные наблюдатели, связано математическим соотношением. Например, если я брошу девушке мяч, когда мы приближаемся к мосту, на котором она стоит, ей покажется, что я кидаю мяч с большей силой, чем мои старческие руки могут это сделать, поскольку она видит, как мяч в броске летит со скоростью, равной сумме скоростей мяча и нашей гондолы. Если же я брошу ей мяч уже после того, как мы проплыли под мостом, ей покажется, что я затратил на бросок на столько же меньше сил, чем на самом деле, поскольку мяч летит с меньшей скоростью». Ты обдумываешь это замечание в течение некоторого времени и приходишь к выводу, что оно, несомненно, правильно и соответствует всему твоему опыту.

Весь этот день ты чувствуешь удовлетворение — ведь ты понял новое для тебя свойство мироздания. Но в ту ночь тебе приснился странный и страшный сон: ты плывешь ночью в гондоле по каналу, где полно и других лодок, и в каждой — свой Галилей. У всех Галилеев в руках светящиеся шары, которыми они перебрасываются. Однако все происходит совсем не так, как твой учитель продемонстрировал тебе днем: это выглядит как пародия на дневную демонстрацию. Независимо от того, с какой силой один Галилей бросает шар другому Галилею, и независимо от относительной скорости их гондол шары прилетают к цели с одной и той же скоростью. Затем ты замечаешь еще более фантастическое искажение событий: два Галилея перебрасываются шарами, но создается такое впечатление, что чем быстрее скользят по воде их гондолы, тем медленнее они движутся, словно застывая в янтаре. События запутываются так стремительно, что скоро ты уже не можешь отличить интервал в пространстве (расстояние) от интервала по времени (продолжительности) — или действие от бездействия.

Ты просыпаешься в холодном поту, встаешь, зажигаешь свечу и с облегчением понимаешь, что вернулся в нормальный, разумный мир. И даже не предполагаешь, что все, что ты видел во сне, было правдой.

Мысль о том, что нет никакого смысла в абсолютном равномерном движении, привела нас вслед за Галилеем и Ньютоном к поиску математических правил, управляющих повседневным миром, в котором мы обитаем. Продвигаясь дальше по этому пути, мы обнаруживаем, что в некоторых аспектах этот повседневный мир сильно отличается от того, каким кажется.

Физика, которая легла в основу физики Ньютона, была разработана Галилеем и опиралась на два столпа. Первым была именно эта эквивалентность различных состояний равномерного движения, часто называемая эквивалентностью инерциальных систем координат. Здесь «эквивалентность» означает, что вы не можете отличить одну систему координат от другой, используя эксперименты, которые вы проводите внутри этой системы координат. «Инерциальная» означает, что система не ускоренная, а «система координат» означает своего рода систему отсчета — например, окружающая вас в данный момент среда или интерьер лодки, — все то, относительно чего вы можете установить положение и скорости движения объектов. Второй столп физики Галилея — очень мудрое правило, определяющее, как скорости, измеренные в разных инерциальных системах, должны сравниваться и соотноситься друг с другом. Как продемонстрировал Галилей, если с борта гондолы, плывущей относительно моста со скоростью v_gond, бросить мяч вперед со скоростью v_ball, то стоящему на мосту человеку будет казаться, что мяч летит со скоростью v_ball + v_gond. Это математическое правило, которое сформулировал Галилей. Оно устанавливает соответствие между скоростью мяча в инерциальной системе координат, связанной с гондолой v_ball, и скоростью мяча в инерциальной системе, связанной с мостом: v_bridge = v_ball + v_gond, при этом относительная скорость двух инерциальных систем равна v_gond[26].

Когда вы думаете об этом, все кажется таким ясным, что усомниться трудно, не так ли? Но в конце девятнадцатого века физики поставили это правило под сомнение. Один из них, физик Джеймс Клерк Максвелл, который изучал электрическую и магнитную силы, порождаемые соответствующими полями, что пронизывают все пространство, вывел красивую систему уравнений, управляющую поведением этих двух полей, объединив их в одно электромагнитное поле. Один из самых интересных выводов из уравнений Максвелла — существование в электромагнитном поле электромагнитных волн, подобных (звуковым) волнам в воздухе или волнам на поверхности воды. И когда он рассчитал скорость этих волн, то обнаружил, что они всегда движутся с фиксированной скоростью с — около 300 ооо км/сек — и никогда — с другой. Это было и удивительно, и замечательно, и обескураживающе.

Это было удивительно, потому что их скорость совпала со скоростью света, и Максвелл вполне естественно предположил, что эти его электромагнитные волны и были светом. Это предположение позволило и понять глубинную природу света, и установить связь между электромагнетизмом и другими областями физики. Это было замечательно еще и потому, что полностью соответствовало принципу эквивалентности инерциальных систем координат Галилея: согласно уравнениям Максвелла, если вы проведете эксперимент по измерению скорости света, она окажется равной 300000 км/сек во всех инерциальных системах координат, так что ее величину нельзя использовать для того, чтобы отличить одну систему координат от другой. Но по той же самой причине это и обескураживало, поскольку данное правило выполнялось также и для сигналов, посланных из одной системы координат в другую: сигнал, посланный со скоростью с в первой системе координат, будет иметь ту же скорость с в другой системе независимо от того, насколько быстро вторая система движется относительно первой. Такое поведение противоречило постулату Галилея о преобразовании скорости при переходе от одной системы координат к другой. Действительно, согласно правилу Галилея, наблюдатели в разных системах координат должны наблюдать разные скорости того же луча света — так же как для брошенного шара на гондоле!

Эйнштейн разрешил эту проблему. Казалось, очевидным решением было бы сказать, что уравнения Максвелла не совсем корректны и свет должен вести себя так же, как и любой другой объект или волна. Но Эйнштейн, известный тем, что не принимал очевидные вещи как данность, отверг галилеевское правило преобразования скоростей. В своей специальной теории относительности он выдвинул принцип, гласящий, что все физические законы, включая уравнения Максвелла, в которые входит скорость света, одинаковы во всех инерциальных системах координат. Это означает, что равномерное движение не может быть обнаружено никаким способом, включая наблюдение за поведением света. Логические выводы из этого принципа странны, поразительны, но — что самое главное! — правильны!

Чтобы понять некоторые из этих выводов, вернемся ко сну с гондолами. У всех Галилеев были светящиеся шары, обладающие странным свойством всегда, как и свет, лететь с одной и той же скоростью, — скажем, 2 м/сек. Они не могут замедлиться или ускориться, хотя направление их движения может измениться.

Теперь вообразим себе, что мы на гондоле, плывущей по реке вниз по течению со скоростью 1 м/сек. В этой гондоле находятся два Галилея, стоящие у противоположных бортов лодки и перебрасывающие туда-сюда, как в игре в мяч, светящиеся шары (верхний рисунок далее). Поскольку шар летит со скоростью 2 м/сек и два Галилея стоят на расстоянии 2 метров друг от друга, вы видите, что мяч перелетает от одного Галилея к другому Галилею и обратно за 2 секунды, так что его движение формирует естественные часы, которые «тикают» раз в секунду.

А теперь проделаем один трюк. Вообразим себе, что мы высадились на мосту и наблюдаем за той же самой гондолой, когда она проплывает под мостом. Что вы ожидаете увидеть? Нарисуйте пройденный шаром путь — так, как он видится сверху. Из-за движения гондолы этот путь уже будет не прямолинейным, а зигзагообразной линией (нижний рисунок далее). Какова длина каждого отрезка? Ширина гондолы 2 метра, требуется 1 секунда, чтобы поймать брошенный Галилеем шар, и за это время гондола продвинется вперед на 1 метр. Таким образом, в той же геометрии, о которой мы писали в коане «ИДЕАЛЬНАЯ КАРТА», квадрат длины каждого сегмента должен быть равным сумме квадратов двух сторон. Или 2² + 1² = 5, откуда получаем длину каждого отрезка, равную √5 = 2,2, то есть длина всего пути в оба конца равна 4,4 метра. Но у нас появилась проблема: сидя на мосту, мы (в чем только что убедились) должны увидеть, что шар пролетит 4,4 м за 2 секунды, то есть его скорость должна была бы составить 2,2 м/сек, а это невозможно. Согласно нашему постулату, шар может лететь только со скоростью 2 м/сек. В каком месте наше рассуждение стало неправильным?

Галилеи, перебрасывающиеся светящимся шаром (белый кружочек) в системе координат, связанной с гондолой (верхние рисунки A, B, C), и в системе, связанной с мостом (нижние рисунки A’, B’, C’). От события A (мяч внизу) к B (мяч вверху) и к C (опять внизу) формируется последовательность трех событий, составляющих одно «тиканье» неких часов.

Проблема не в том, что неправильно применена теорема Пифагора или выбраны неправильные длины (если бы мы захотели, мы могли бы измерить расстояния между точками, в которых был пойман шар). Есть только одно утверждение, в правильности которого можно усомниться, и первым это сделал Эйнштейн. Он увидел, что слабое место в аргументации — это негласное предположение, будто одна секунда времени на лодке и секунда на мосту — одинаковы. Но вдруг это не так?

На лодке шару требуется 2 секунды «лодочного времени», чтобы пролететь от одного Галилея к другому и обратно. А если смотреть с моста, шар преодолевает 4,4 м, двигаясь (как и должен) со скоростью 2 м/сек, и ему требуется 4,4/2 = 2,2 секунды «мостового времени», чтобы пересечь гондолу дважды. Но поскольку мы имеем дело с одним и тем же событием, единственный вывод, который можно сделать, — лодочное время отличается от мостового времени. Это означает, что то, что требует 1 секунды на лодке, на мосту требует 1,1 секунды.

Однако за принятие принципа специальной теории относительности Эйнштейна мы должны заплатить некую цену: отказаться от универсальности времени. Если мы будем рассматривать интервалы времени между двумя событиями (например, первое — когда Галилей бросает шар, и второе — когда шар прилетает обратно), то для разных наблюдателей эти интервалы будут разными. Придя к такому выводу, Эйнштейн вывел точную формулу, описывающую то, насколько быстро идет время в одной инерциальной системе относительно другой системы. Представим себе более жизненную ситуацию и применим формулу Эйнштейна, подставив в нее реальные цифры: если ваша подружка уходит на 10 минут (по ее часам) на прогулку, а вы остаетесь дома, то из-за того, что она двигается, а вы сидите на месте, для вас в момент ее возвращения пройдет 10 минут и 3 фемтосекунды.

Поскольку свет распространяется со скоростью 300000 километров (а не 2 метра) в секунду, в реальной жизни этот эффект невероятно, невообразимо мал, — в отличие от того, что происходило в венецианском сне. Вы могли бы жить тысячи лет и никогда не замечать его в повседневной жизни, но этот эффект прячется здесь, поблизости, и иллюстрирует тот факт, что существует фундаментальная разница между вашим представлением о том, как устроен мир, и тем, как он устроен на самом деле. И не сомневайтесь: этот эффект реален и хорошо исследован. Например, каждый спутник в системе глобального позиционирования (GPS) снабжен точнейшими атомными часами. Время на этих спутниках течет с другой скоростью, чем на Земле. И этот, и другие релятивистские эффекты нужно аккуратно учитывать, чтобы система GPS функционировала нормально. Ошибочный их учет привел бы к ошибке в определении вашего положения до десяти километров в день[27]!

Это может выглядеть как малые «поправки», которые следует принимать во внимание только в некоторых технологиях, — в остальных же случаях они не имеют значения и их можно считать курьезами. Однако они имеют глубокие и многочисленные следствия, и это можно увидеть, если вернуться к вопросу о КОСМИЧЕСКОМ «СЕЙЧАС». Вспомним, что мы тщательно определяли понятие «сейчас» в удаленных точках, вообразив, что мы послали сигнал в такое удаленное место некоторое время t назад. И если мы получим обратный сигнал из этого места через время t после текущего момента, то тогда мы определим место и время отражения сигнала как событие, которое случается сейчас. Но попытаемся применить это к нашему сну о гондолах. Вообразим гондолу, в которой один Галилей стоит в центре и бросает шар другому Галилею на корме и третьему Галилею на носу лодки, причем второй и третий Галилеи находятся на расстоянии 3 метра от центра. В системе отсчета, связанной с гондолой, каждый шар пролетает 3 метра за 1,5 секунды, поскольку он летит со скоростью 2 м/сек. Если Галилеи мгновенно отбросят шары назад, центральный Галилей поймает их в одно и то же время, то есть это будет одним событием. Таким образом, центральный Галилей скажет, что оба Галилея ловят шары одновременно — через 1,5 секунды после того, как центральный Галилей бросил им эти шары.

Это кажется достаточно очевидным: бросьте два мяча на одинаковое расстояние в двух разных направлениях, и если эти мячи мгновенно отбрасываются обратно, то они прилетят обратно в одно и то же время. Но теперь давайте посмотрим на систему отсчета, связанную с мостом. В этой системе во время полета мяча лодка движется вперед — в направлении собственного носа. Следовательно, мяч, брошенный в сторону носа лодки, должен пролететь большее расстояние, что требует большего времени. Таким образом, мяч достигнет носа лодки позже, чем другой мяч достигнет кормы. Два события, одновременные для Галилеев в лодке, не одновременны относительно наблюдателя на мосту.

Поскольку инерциальная система, связанная с гондолой, и система, связанная с мостом, эквивалентны, мы не можем сказать, что одно определение одновременности более правильно, чем другое. Мы не замечаем этой неоднозначности в повседневной жизни, потому что по сравнению со светом мы движемся медленно и имеем дело только с расстояниями, которые свет пролетает невероятно быстро. Но это обстоятельство станет довольно существенным, когда мы попытаемся расширить нашу систему отсчета на большие расстояния — такие, чтобы можно было говорить о понятии «сейчас» применительно к большим расстояниям.

В центре нашей Галактики правит бал гигантская черная дыра. Представим себе, что прямо сейчас эта черная дыра резко налетает на какую-то обитаемую планету и разрывает ее. Поскольку это происходит далеко, то для того, чтобы понятие «прямо сейчас» имело смысл, мы должны мысленно сконструировать инерциальную систему, включающую нас (в состоянии покоя) и бедную планету. Теперь мы можем считать, что в этой системе разрушение планеты происходит одновременно с нашим ощущением «сейчас». Но рассмотрим точно такую же конструкцию, составленную кем-то, кто не спеша движется мимо нас в направлении центра Галактики. В его системе планета была съедена черной дырой уже целый час назад! Кто прав? Бесчисленные разумные существа той цивилизации все еще живы и доживают свои последние минуты — или же они уже трагически и безвозвратно сгинули?

Эйнштейн говорит нам, что, несмотря на наше интуитивное представление о том, что происходит либо одно, либо другое, осмысленного ответа на этот вопрос нет.

Универсальное «сейчас» — это фикция.

8. Дороги, которые мы выбираем (Гималаи, 1612 год)

От вида с горного перевала захватывает дух, и ты застываешь, наслаждаясь бесконечными изгибами гор и манящими долинами, раскинувшимися под бескрайним небом.

То есть дух бы наверняка захватывало, если бы ты мог нормально дышать… Ты немедленно начинаешь корить себя за то, что наслаждаться было бы гораздо легче, если бы твоя лошадь не сбежала, или повозка, в которую погружен весь твой скарб (и которую ты так легкомысленно отцепил от лошади), могла бы передвигаться сама по себе, или хотя бы дорога, по которой ты вынужден ее тащить, была бы сухой, а не размокшей из-за недавнего ливня.

Ниже по склону ты видишь паутину троп, оставленных многочисленными спускающимися с перевала караванами. Ты слишком устал, чтобы как следует обдумать, какой путь самый лучший, и начинаешь спускаться по первой попавшейся тропе. Но очень скоро ты осознаешь, что ошибся, и приходишь к двум важным заключениям.

Во-первых, повозка слишком тяжела, чтобы ты смог протащить ее по поднимающейся вверх тропе на заметное расстояние. Если же уклон становится слишком пологим, повозка увязает и ее очень трудно сдвинуть — и значит, существует минимальная крутизна тропинки, при которой ты с твоей повозкой можешь передвигаться.

Во-вторых, пользоваться крутыми спусками гораздо легче и приятнее. Но если выбирать только их, то часть времени неизбежно придется либо перемещаться по слишком пологим участкам, либо подниматься в гору. Соответственно, ты должен найти баланс между крутыми участками пути и участками более пологими, которых на твоем пути больше. Наконец ты видишь вдалеке свою цель — все тропинки сходятся там у реки, которая разливается по равнине. Но вот вопрос: по какой тропе ты можешь попасть туда с наименьшими усилиями?

Твои ноги гудят от усталости. Ты вспоминаешь, что вся еда осталась в тюках, навьюченных на лошадь, и что ты уже давно не ел. Руки и спина ноют от тяжелой ноши.

Сложная сеть скрещивающихся троп протянулась на многие мили вниз по склону горы. Но как выбрать свою тропу?

Так выбери же ту, что подходит именно тебе!

Проблема спуска с горы с затратой наименьшего усилия — это очень распространенный тип задачи о том, как выбрать путь в пространстве, когда какой-то параметр минимизируется. Например, мы часто ищем путь наименьшей длины, то есть хотим попасть к месту назначения самым быстрым из всех возможных способом. Эта задача предполагает, что вы — в уме или на бумаге — перечислите возможные пути, измерите их длину и найдете кратчайший. Но вскоре вы можете обнаружить, что кратчайший и быстрейший пути — это не одно и то же: иногда по более длинной автостраде вы доедете гораздо быстрее, чем по короткой проселочной дороге. Чтобы найти самый быстрый путь, вы должны каждый из возможных путей разбить на сегменты длиной A d и в каждом сегменте оценить скорость v, с которой вы можете преодолеть этот сегмент. Время, за которое вы преодолеваете данный сегмент, равно ∆t = ∆d/v, а суммируя время по всем сегментам, вы получаете общее время, которое затрачивается при движении по этому пути. Сравнивая времена, относящиеся ко всем возможным путям, вы находите самый быстрый.

Задача нахождения легчайшего пути при спуске с горы немного другая. Ваша цель — не побыстрее спуститься с горы, а затратить при этом как можно меньше усилий. Сложность состоит в том, что после того как вы спуститесь с определенной высоты, вам придется преодолеть горизонтальный участок (чтобы попасть к выходу реки на равнину). Вы можете выбрать пологие участки, по которым спускаться тяжелее, но которые зато покрывают большую часть пути, а можете выбрать крутые участки, где спускаться хотя и легче, но высота теряется слишком быстро. Мы можем написать выражение для усилия в виде:

Здесь сложность определяется тем, с каким напряжением вам придется спуститься с данной высоты. И мы знаем, что сложность тем больше, чем более плоска на данном участке тропа.

Мы, как и в случае сложения интервалов времени при движении между двумя точками пространства, должны суммировать усилия при спуске от начальной точки до конечной, разделив весь путь на маленькие отрезки. Затем для каждого такого маленького отрезка мы умножим потерю высоты на этом отрезке на сложность его преодоления и в результате найдем усилие, затраченное на спуск на этом сегменте пути. Суммируя все эти небольшие усилия, мы получим полное усилие, затраченное на весь спуск с горы.

Процедура расчета проста: и для вычисления времени, затраченного на путь, и для вычисления усилий, затраченных на спуск, мы должны сначала разделить весь путь на сегменты, затем умножить каждый интервал на некую величину — назовем ее, скажем, L, и наконец просуммировать все произведения. Величина L может зависеть от различных особенностей пути, например, от скорости или от того, насколько тяжело приходится работать, спускаясь со склона с заданной крутизной. Нахождение оптимального пути сводится к тому, чтобы просуммировать L по каждому пути, получить для него значение суммы — назовем ее S, — а затем выбрать путь с минимальным S. И этим способом находится как путь с минимальным временем, так и путь с минимальным затраченным усилием.

Это похоже на решаемую нами проблему, а значит, нужно рассмотреть все возможные пути, ведущие вниз с горы, разбить каждый из них на сегменты, найти крутизну каждого сегмента, определить, насколько сложно будет тащить повозку по склону с данной крутизной (имея в виду, что крутизна не может быть ниже критической величины, так как при меньшей крутизне повозка двигаться не будет), умножить сложность преодоления этого участка на его высоту и просуммировать результаты по всем сегментам. Повторить эту процедуру для всех троп и в конце концов найти ту, для которой суммарное усилие окажется наименьшим.

Что-то слишком уж трудоемко, правда? И как же вы поступите на практике? Разумеется, не так — следовать правилам слишком сложно. Вместо этого вы скорее всего выберете путь с разумным перепадом высоты при разумной длине пути — то есть самую подходящую тропу. Для начала вы хорошенько осмотритесь, наметите еще сверху, с перевала, соответствующее направление — так, чтобы не застрять где-то, а затем справитесь со спуском и вдобавок получите удовольствие от окружающего пейзажа.

И разве не удивительно, что, спустившись по выбранной тропе, вы обнаружите, что выбрали в точности самый простой из всех возможных путей, ни разу не сделав неправильного поворота?

И это как раз то самое, что делают физические частицы! Через 150 лет после Галилея Джозеф Луи Лагранж вывел замечательную систему уравнений, в которых лагранжиан (мы ввели обозначение L не случайно) связывается с силой, действующей на частицу, перемещающуюся в пространстве-времени между двумя событиями. Эти уравнения позволяют нам взглянуть на ту же физику, то есть на законы, которые определяют то, как объекты перемещаются в пространстве и времени, с двух разных, но эквивалентных точек зрения.

С одной точки зрения (с которой мы уже познакомились), объект в каждый момент подвергается действию силы, принуждающей его изменить скорость определенным образом. Действие этой силы во времени определяет траекторию частицы.

С другой точки зрения, данный путь в целом «отбирается» природой из всех возможных путей, поскольку на нем достигается минимум или максимум (экстремум) суммарной величины L. Этот метод, у которого есть и другие приложения, часто называют принципом наименьшего действия (хотя, как мы вскоре увидим, это название слегка сбивает с толку, поскольку иногда это на самом деле принцип наибольшего действия). Данный метод и метод сил и скоростей приводят в точности к одним и тем же результатам. Замечательно!

Но как быть с частицей, на которую не действует никакая сила? Мы вместе с Галилеем видели, что она должна двигаться по прямой, а это значит, что ее скорость не должна меняться. Но мы также можем идентифицировать прямой путь как путь, при котором расстояние в пространстве минимально. Для расчета пространственного расстояния мы разбиваем путь на маленькие кусочки и суммируем их физические длины. В этом смысле, если не приложены силы, суммарный лагранжиан L есть просто физическое расстояние.

Мы с вами можем предпринять еще кое-что. Для Галилея говорить только о пространстве — это нормально. Но если мы хотим следовать Эйнштейну, то должны рассматривать пространство и время совместно. Вспомним: обсуждая БАШНЮ, мы поняли, что объект, на который не действуют силы, движется по прямой в пространстве-времени. Можем ли мы определить эту траекторию с помощью минимизации (максимизации) какой-либо величины? Да, но с осторожностью — эта величина должна иметь физический смысл и быть однозначно определенной, а не чем-то вроде проходимого в пространстве расстояния или затраченного на него времени. Действительно в коане «ВЕНЕЦИАНСКИЕ СНЫ» мы видели, что и то, и другое — величины относительные, то есть зависящие от системы отсчета.

Предположим, что к нашему объекту, движущемуся в пространстве-времени, приделаны часы; если же это человек, то у него есть внутренние часы — сердце (будем называть отсчитанное им время собственным временем). Поскольку между двумя событиями в пространстве-времени объект движется по некоторому пути, часы должны зафиксировать количество прошедших между событиями секунд. Обозначим эту величину ∆T. Эта величина — факт безусловный, оспорить ее не могут даже те, кто находится в других системах отсчета, с другими ощущениями одновременности и пройденных расстояний в этих системах. Однако существует соотношение между ∆T и этими зависящими от системы отсчета расстояниями и длительностями. Эйнштейн (и Герман Минковский) показал, что для маленьких отрезков пути время ∆T, зарегистрированное внутренними часами объекта, можно выразить через пространственное расстояние ∆d и временной интервал ∆t в других системах, — почти так же, как в коане «ИДЕАЛЬНАЯ КАРТА» мы смогли рассчитать пространственное расстояние ∆d по расстояниям в направлении запад-восток и север-юг. Но здесь есть два ключевых отличия. Во-первых, мы должны превратить ∆d во временной интервал, разделив его на скорость света с. Во-вторых, мы должны этот найденный временной интервал не складывать с временным интервалом At, а вычитать из него. В результате получаем

Что замечательно в этом соотношении, так это то, что оно справедливо для всех систем отсчета, независимо от того, в какой из них вычисляется ∆t и ∆d. (В действительности мы можем взглянуть на это с другой точки зрения: это уравнение в каком-то смысле определяет соотношение между инерциальными системами отсчета в специальной теории относительности Эйнштейна.) Эта величина теперь может играть роль лагранжиана L или пространственного расстояния d: разделим путь, по которому может двигаться частица, на сегменты, вычислим ΔT на каждом сегменте, потом сложим их и получим T, отвечающее всему пути. Посмотрим на этот подход на примере трех различных путей в пространстве-времени (рис. ниже).

Первый — левый путь — прямой. Второй состоит из двух отрезков прямых, и посередине, в точке их пересечения, меняется скорость. Временная протяженность обоих путей одинакова и равна Δt, но в первом случае нет пройденного пространственного расстояния Δd, которое нужно было бы вычитать. Таким образом, собственное время ΔT, которое отсчитали наши наручные часы, больше для первого пути, чем для второго. Аналогично, для третьего пути, когда объект движется взад-вперед, время ΔT меньше, чем для первого пути.

Вывод очевиден: любое изменение направления движения ведет к уменьшению времени, отмеряемого внутренними часами, поэтому прямой путь — это путь с максимальным временем по нашим наручным часам.

Просуммируем сказанное: путь частицы через пространство-время можно определить путем нахождения максимума сумм S величин L вдоль каждого пути. Эта величина L включает в себя и время ∆Т, измеряемое внутренними часами, и другие составляющие, связанные с приложенными силами.

Все это хорошо, но если серьезно подумать, здесь кроется загадка, а именно: частица подчиняется силам, которые она ощущает в данный конкретный момент, и движется с некоей скоростью, которую она имеет в данный момент. Но при этом частица полностью уверена, что в течение следующего года пройдет путь, который по прошествии этого года в ретроспективе окажется путем с наибольшим действием S, отобранным из всех возможных путей, которыми она могла пройти в течение этого года. По пути она могла провзаимодействовать с разными объектами весьма сложным образом. Но в конце путь окажется в точности таким, каким нужно. Как это может быть?

Вы сделаны из частиц. Вы и составляющие вас частицы прямо сейчас выбирают направление движения. Оглянувшись назад, сможете ли вы вспомнить, какой путь вы всегда выбирали?

9. Прыжок с обрыва (Монастырь Ганден, Тибет, 1612 год)

Ты мирно сидишь, читаешь книгу и наслаждаешься закатом в горах, как вдруг в поле твоего зрения появляется Трипа Драгпа. Ты поднимаешь глаза и видишь, как просвечивающее через копну его волос солнце образует фантастическое гало вокруг его головы.

«Брось книгу подальше, — приказывает он. — Брось ее! Ответь, полетит ли она по прямой? Если скажешь да, ты на правильном пути, но тебе придется выколоть глаза. Если же скажешь нет, тебе придется прыгнуть с обрыва».

Так как она полетит?

Если бросить предмет, его траектория окажется искривленной (нужно быть слепым, чтобы не заметить этого), поскольку гравитация тянет предмет к земле. Эйнштейн описал мысль, которая его осенила, когда он сидел в кресле в патентном бюро, как «самую счастливую в жизни», поскольку в конце концов она привела ученого к пониманию того, что траектория, которая выглядит искривленной, должна считаться прямолинейной.

Представьте себе, что вы прыгаете с обрыва, держа в руках эту самую книгу. Поскольку все это происходит лишь в воображении, вам не нужно волноваться по поводу того, что случится, когда вы долетите до дна. Вы также можете при падении пренебречь сопротивлением воздуха и считать, что гравитация — это единственное, что на вас действует. Лучше всего просто расслабиться, насладиться свободным падением и провести эксперимент с книгой. Бросайте ее. Что можно сказать о траектории книги, вспоминая об экспериментах Галилея в Пизе? Будет она криволинейной или прямолинейной?

Давайте проанализируем. Согласно изысканиям Галилея (сейчас точно подтвержденным экспериментально), и вы, и книга, и все остальное ускоряется Землей одинаково. Когда вы бросаете книгу (или воображаете, что делаете это) и она летит по воздуху, ее траектория искривляется, поскольку в каждый следующий момент времени притяжение Земли увеличивает вертикальную составляющую ее скорости. А вот в экспериментах Галилея, о которых мы рассказывали раньше, прямолинейное движение в пространстве характеризовалось постоянной скоростью.

Если, однако, вы собираетесь бросить книгу во время падения, для вас ее траектория будет выглядеть иначе. В этом случае, как и раньше, вертикальная составляющая скорости книги будет постоянно возрастать из-за гравитации, но то же самое будет происходить и с вашей скоростью. Таким образом, скорость книги относительно вас будет оставаться постоянной, и траектория книги будет вам казаться прямолинейной, в точности как если бы гравитации не существовало вообще. Представьте себе, что и вы, и книга помещены в некий воображаемый ящик, падающий вместе с вами. В этом случае вам казалось бы, что книга уплывает от вас с постоянной скоростью (рис. ниже)[29].

Для наблюдателя, который смотрит на эту картину с края обрыва, траектория книги, так же, как и ваша, выглядит искривленной, но для вас, прыгнувшего с обрыва, она будет выглядеть прямолинейной. Так кто тут прав? Прямолинейная она или нет? Этот вопрос очень похож на вопрос о расстоянии между двумя различными событиями или о временном интервале между ними: каждый наблюдатель описывает происходящее по-своему, в зависимости от того, в какой системе отсчета он находится, — и все описания одинаково правильны. Однако есть и нечто объективное, что характеризует «расстояние» между двумя событиями, а именно — пространственно-временной интервал. Можем ли мы и в этом случае, используя свойства пространства-времени, как-то устранить противоречия в вопросе о прямолинейности пути? И если мы используем пространственно-временной подход, станет ли траектория прямолинейной?

Эйнштейн сказал «да» и еще раз «да», и в этих «да» заключен весь новый взгляд на гравитацию, пространство и время. Чтобы понять, в чем он состоит, мы должны собрать вместе три линии рассуждений, которым мы следовали до сих пор, и присовокупить к ним те несколько подсказок, которые были сделаны по пути. Давайте вспомним про эти три нити и попытаемся сплести их вместе.

Первая нить повела нас от стрелы Муненори к экспериментам с передвигаемыми холодильниками и катящимися мячами; потом мы блуждали по местности, составляя идеальную карту; затем спускались с горного перевала. В этих «путешествиях» мы увидели, что объекты обладают естественной склонностью либо оставаться неподвижными, либо двигаться по прямой с постоянной скоростью. Их поведение можно описать очень просто: как движение по прямой сквозь пространство и время. Их траектории обладают особым свойством: так же как прямая в пространстве есть кратчайшее расстояние между двумя точками, так и путь объекта сквозь пространство-время есть длиннейший путь между двумя событиями, если мы измеряем пространственно-временную длину между двумя событиями по часам, отсчитывающим время по сердечному ритму наблюдателя, движущегося по этому пути между этими событиями. Наконец, силы можно рассматривать как любое воздействие, приводящее к отклонению пути объекта от этой его естественной траектории в пространстве-времени.

Мы следовали за второй нитью, которая вела нас за кораблем и гондолой. Благодаря ей мы узнали, что только что рассмотренное «естественное» движение по прямой возникает лишь в определенных системах отсчета. Система отсчета — это своего рода крупномасштабная рамка, внутри которой измеряются положение, скорости и момент времени, в какой происходит событие. Примерами систем отсчета являются комната или место, в котором вы сейчас находитесь, а также внутренность корабля, гондолы или самолета. Назовем те специальные системы отсчета, в которых объекты движутся в пространстве-времени по прямолинейным траекториям, инерциальными системами отсчета. Если задана одна инерциальная система (скажем, мост), вторая система отсчета, движущаяся с постоянной скоростью и в фиксированном направлении относительно первой системы (скажем, гондола), тоже является инерциальной, и нет никаких оснований считать одну из них особой или предпочтительной по сравнению с любой другой.

Существует специальное правило для того, чтобы с помощью описания поведения объекта в одной инерциальной системе отсчета получить его описание в другой инерциальной системе. Например, объект, покоящийся в одной инерциальной системе, если его описывать в другой инерциальной системе, будет двигаться, причем в точности по тем правилам, которые разработал и описал Галилей. Но Эйнштейн обнаружил, что из-за того, что свет имеет одну и ту же скорость во всех инерциальных системах отсчета, правило Галилея следует заменить другим. Согласно этому модифицированному правилу, временные и пространственные интервалы искажаются таким образом, что два события, разделенные некоторым интервалом времени в одной инерциальной системе, в другой инерциальной системе будут разделены другим интервалом времени. Но это преобразование не изменяет интервал времени между двумя событиями, отсчитываемого по «сердечному ритму» (то есть пространственно-временной интервал). Таким образом, все системы отсчета считают интервал времени между двумя событиями, отсчитанный по «сердечному ритму», одним и тем же. А как обстоит дело с неинерциальными системами отсчета, которые вращаются или ускоряются относительно инерциальной? В них нет ничего зловредного, но если мы станем описывать события в одной из них, то объекты в отсутствие сил уже не будут стремиться двигаться по прямолинейной траектории с постоянной скоростью. Вместо этого они будут двигаться так, как будто на них действуют «фиктивные»[30] силы, толкающие их туда-сюда. (Они похожи на фиктивные силы, что бросают вас вперед при резком торможении машины, и защищает вас от них только ремень безопасности.)

Третья нить потянула нас наверх в башню и вниз с обрыва, и мы увидели, что все предметы падают с одинаковой скоростью, так что свободно падающая система (маленькая и не вращающаяся) — хотя она и кажется ускоренной! — неотличима от инерциальной системы, в которой гравитация отсутствует. Следовательно, гравитация и ускорение в некотором смысле взаимозаменяемы. Мы можем продолжить эту мысль и представить, что в башне есть лифт. Если мы войдем в него и начнем подниматься, то заметим две силы, действующие на нас. Во-первых, как всегда, сила притяжения тянет нас, как и все остальные предметы в лифте, вниз, к полу лифта. Однако есть и вторая сила: пол лифта движется вверх и давит на нас и на все, что находится внутри кабины. Поскольку и гравитация, и ускорение лифта вверх влияют на все «содержимое» лифта в точности одинаково, нет способа рассмотреть оба эффекта отдельно. Иначе говоря, когда лифт ускоряется вверх, это все равно как если бы сила притяжения внезапно слегка увеличилась. А когда он ускоряется вниз, вы, соответственно, ощущаете себя чуть более легким.

А теперь сплетем все нити вместе. Основной нашей подсказкой будет тут утверждение Эйнштейна, что траектория летящей по комнате книги «прямолинейна», несмотря на то, что она кажется искривленной. В действительности она и есть искривленная, и если вы измерите длину различных траекторий, соединяющих точку вылета и точку падения, длина траектории книги не будет самой короткой. Но это из-за того, что до этого момента мы рассматривали траекторию только в пространстве. А теперь давайте станем большими эйнштейновцами и рассмотрим траекторию в пространстве-времени. Для этого мы должны вернуться к нашему определению «прямого пути» как пути с максимальным временем по сердечному ритму. Сначала нам покажется, что эта методология не поможет: когда прежде мы рассматривали задачу о прямолинейной траектории, мы получали пути, по которым объект движется с постоянной скоростью и в постоянном направлении, и это не похоже на траекторию полета брошенной книги. Но в предыдущих рассуждениях содержалось крупное скрытое допущение. Это допущение было таким же важным — и таким же неверным, — как предположение о том, что владения хана можно точнейшим образом отобразить на плоской карте.

Гений Эйнштейна проявился в том, что он увидел такую возможность, — однако же он понятия не имел, как описывать это искривленное пространство-время. К счастью, это смогли сделать другие. В начале XIX века независимо друг от друга Янош Бойяи, Николай Лобачевский и Карл Гаусс разработали геометрию искривленных пространств, где изначально параллельные линии могут сходиться и расходиться. Используя эту математику, можно составить карту (иначе называемую системой координат), описывающую поверхность, а также своего рода масштаб (по-научному называемый метрикой), что дает возможность вычислять реальные расстояния на такой поверхности по координатам. Однако эта математика позволяла сделать много больше, и скоро другие ученые, включая Германа Грассмана и Бернхарда Римана, разработали «неевклидову» геометрию, которую можно было применять и к трехмерному пространству (типа того, что мы видим вокруг себя), и даже к четырехмерному пространству-времени[31]. Математическое сообщество испытало шок, когда выяснилось, что искривленные пространства, в которых параллельные прямые могут встретиться, а сумма углов треугольника может не быть равной 180 градусам, оказывается, осмысленны и полезны, а их теория — самосогласованна. Эти искривленные пространства обычно считали очень абстрактными, странными и не имеющими ничего общего с реальной картиной мира.

Эйнштейн был достаточно дерзок для того, чтобы опровергнуть это предубеждение. Если пространство-время искривлено так же, как поверхность Земли, и так же, как это описывается математикой Римана, то природу гравитации можно объяснить легко и элегантно: искривление пространства-времени способно изменить длину пути в нем. Следовательно, самый длинный путь, то есть тот, по которому будет следовать объект, тоже изменится. Поскольку гравитация в действительности есть не сила, а изменение структуры пространства-времени, то на все объекты она действует совершенно одинаково. «Совпадение», то есть равенство скоростей всех падающих на землю предметов, обнаруженное Галилеем, объясняется в рамках этой гипотезы легко и красиво.

Рецепт Эйнштейна для нахождения траекторий, соответственно, состоял в том, чтобы считать, что при отсутствии сил негравитационного происхождения объекты изберут пути, при следовании по которым собственное время T (отмеряемое «сердечными часами») максимально. Но вместо того чтобы вычислять T по формуле, приведенной в коане «ДОРОГИ, КОТОРЫЕ МЫ ВЫБИРАЕМ», T нужно вычислять по похожей, но более сложной формуле, включающей кривизну пространства-времени. T выражалось бы той простой формулой, лишь если бы пространство-время не имело кривизны. Этот путь, если его изобразить только в пространстве или нанести на карту, может совершенно не выглядеть прямолинейным. Но на самом деле он настолько прям — или, точнее, настолько длинен, — насколько возможно. Если вернуться к вашему прыжку с обрыва, то окажется, что траектория книги и ваша траектория в пространстве-времени прямолинейны. Это пространство-время вокруг вас искривлено.

Следование этой логике приводит к радикально новому взгляду на гравитацию и на то, что значит оставаться в состоянии покоя. Рассмотрим систему отсчета, находящуюся в состоянии покоя на самом краю обрыва. Является ли эта система инерциальной? Нет. Принцип эквивалентности Эйнштейна говорит нам, что по-настоящему инерциальной системой является свободно падающая система. Но эта свободно падающая система отсчета ускоряется в направлении земли относительно системы отсчета, покоящейся на краю обрыва. Если мы перевернем ситуацию, окажется, что система отсчета, расположенная на краю обрыва, ускоряется относительно инерциальной системы, и, следовательно, в системе на краю обрыва мы должны ощущать «фиктивные» силы. И ведь мы их действительно ощущаем! Мы чувствуем, что нас тянет вниз таинственная сила, взявшаяся как бы ниоткуда. Это гравитация! В теории Эйнштейна гравитация — фиктивная сила, не более и не менее реальная, чем центробежная сила, действующая на наши руки, когда мы крутимся в пируэте, или вжимающая нас в кресло в самолете, попавшем в полосу турбулентности. Это в действительности способ, которым кривизна пространства-времени проявляет себя: инерциальные системы, где пространство-время выглядит не искривленным, все еще присутствуют, но их взаимоотношения друг с другом интересным образом модифицируются. Так, когда мы находимся в гравитационном поле и не падаем на притягивающее тело, это означает, что мы ускоряемся относительно инерциальной системы и чувствуем притяжение. Притяжение, которое вы чувствуете прямо сейчас и которое тянет вас вниз, сродни дополнительному весу, ощущаемому вами в поднимающемся лифте, только это очень большой лифт!

Что же, однако, определяет кривизну пространства-времени? Материя[32]. Чем больше материи, тем больше пространство-время искривляется вокруг нее. То обстоятельство, что Земля притягивает вас (и все остальное), эквивалентно тому факту, что все вещество на Земле искривляет пространство-время особым образом — таким, что самый длинный путь и, следовательно, тот путь, по которому объекты естественным образом движутся, смещается к центру Земли и уже в трехмерном пространстве не кажется прямым. Завершая картину, Эйнштейн вывел в своей общей теории относительности уравнение, связывающее кривизну пространства-времени и наличие материи. (Надо отметить, что этот вывод он сделал после многих лет напряженного труда, о котором сказал: «По сравнению с этой проблемой специальная теория относительности — детская игра»[33].) Из общей теории относительности следуют все результаты теории гравитации Ньютона, но из нее также следуют новые и поразительные явления, которые не имели объяснений в рамках предыдущих теорий.

Когда вы сидите под обрывом, воспользуйтесь моментом и оцените твердость земли, и тогда вы, возможно, поймете, почему Макс Борн назвал сформулированную Эйнштейном общую теорию относительности «величайшим достижением человеческого мышления в познании природы»[34].

Но это лишь слегка приоткрыло завесу тайны, и мы сделали только первый шаг на своем пути.