Наука Плоского Мира III: Часы Дарвина

Глава 14. Алеф- N-плекс

Волшебники не только постигают кажущуюся нелепость «квантов», всеобъемлющую фразу всех продвинутых физиков и космологов, но и взрывоопасное философское/математическое понятие бесконечности.

Они открыли для себя (конечно на свой манер) одно из величайших откровений математиков девятнадцатого века: существует множество бесконечностей, и некоторые их могут быть больше чем другие.

Звучит, конечно, нелепо. Тем не менее, не смотря на это совершенно естественное чувство, это оказывается истиной.

В отношении бесконечности следует понять две важные вещи. Вопреки тому, что бесконечность часто сравнивают с числами вроде 1,2,3, бесконечность сама по себе не является числом в традиционном смысле этого слова. Как выразился Думминг Тупс, до неё нельзя досчитать. А вторая важная вещь состоит в том, что даже в самой математике существует множество различных понятий, гордо несущих на себе ярлык «бесконечности». Если вы перепутаете их значения, то получится полная ерунда.

А третья, извините, третья важная вещь это то, что вы должны понимать, что бесконечность зачастую является процессом, а не предмет.

Но — четвёртая важная вещь — математики имеют привычку превращать процессы в предметы.

И пятая (всё в порядке, их пять) важная вещь — один вид бесконечности является числом, хотя и несколько не в традиционном смысле этого слова.

Так же как противостоят ей математики, волшебники противостоят физике. Является ли вселенная Круглого Мира конечной или бесконечной? Верно ли, что в любой бесконечной вселенной содержится не только всё то, что может произойти, но и то что должно? Может ли существовать бесконечная вселенная состоящая исключительно из стульев. неподвижная, низменная и дико неинтересная? Мир бесконечности парадоксален, или так кажется на первый взгляд, но мы не должны позволить кажущемся парадоксам вас запугать. Если мы сохраним ясную голову, то сможем направить наш путь сквозь парадоксы и превратить бесконечность в надёжного помощника мышлению.

Философы обычно различают два различных вида бесконечности — «актуальную» и «потенциальную». Актуальная бесконечность представляет собой нечто бесконечно большое и непроизносимое, что до недавнего времени пользовалась дурной славой. Более солидный вид бесконечности — потенциальная, которая возникает когда всякий раз даёт нам понять, что может продолжаться сколь угодно долго. Самый основной процесс такого вида это счёт: 1,2,3,4,5.. Можем ли мы дойти до «наибольшего возможного числа» и остановиться? Дети часто задают такой вопрос и сначала думают, что самое большое число которое они знают, это и есть самое большое число. Какое-то время они думают, что это шесть, потом что — сто, а потом — тысяча. Вскоре они понимают, что если вы можете досчитать до тысячи, то тысяча и один — это только первый шажок вперёд.

В своей книге 1949 года «Математика и воображение» Эдвард Каснер и Джеймс Ньюман представили миру гугл — число, которое содержит сотню нулей. Имейте ввиду, что миллиард содержит только девять нулей: 1000000000.

А гугл настолько большой, что занимает две строки: 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000. Имя было придумано девятилетним племянником Каснера и стало идеей для интернет-поисковика.

Даже при том, что гугл довольно большое число, он определённо не бесконечен. Легко написать ещё большее число:

10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001

Просто добавьте единицу. Ещё более захватывающий способ найти ещё большее число чем гугл это создать гуглплекс (имя так же любезно предоставлено племянником), которое является единицей с гуглом нулей. Даже не пытайтесь его записать: вселенная так мала, (если конечно вы не будете использовать шрифт субатомного размера), и её жизнь так коротка (не говоря уже о вашей).

Хотя гуглплекс довольно крупное число, он по прежнему является довольно определённым числом. В нём нет ничего странного. Он определенно оно не бесконечно (всегда можно добавить единицу). Однако для большинства целей оно достаточно большое, включая и большинства чисел, которые становятся астрономическими. Каснер и Ньюман заметили что «как только люди начинают говорить о крупных числах, они впадают в неистовство. И кажется находятся под впечатлением о том, что раз ноль не равен ничему, то его можно приписать к любому числу сколь угодно раз без каких-либо последствий». Эту фразу мог произнести сам Наверн Чудакулли. В качестве примера они сообщают, что в конце 40-ых годов выдающаяся научная публикация объявила, что число снежных кристаллов необходимых для того чтобы начать ледниковый период это миллиард в миллиардной степени. Это, говорят они, очень поразительно и очень глупо. Миллиард в миллиардной степени это единица с 9 миллиардами нулей. Нормальное число составляет единицу с 30 нолями, что фантастически меньше, хотя по прежнему больше чем состояние банковского счёта Билла Гейтса.

Какой бы не была бесконечность это не обычный «счёт». Если бы самым большим числом было бы энное количество газилионов, тогда то же самое энное количество газилионов и один было бы больше. И даже если всё усложнить, так что к примеру самым большим числом было бы энное количество газилионов, два миллиона девятьсот шестьдесят четыре тысячи, семьсот пятьдесят восемь, тогда энное количество газилионов, два миллиона девятьсот шестьдесят четыре тысячи, семьсот пятьдесят девять всё равно было бы больше.

Мы можете добавить к любому числу единицу и получить число, которое (хотя немного, но отличимо) больше.

Процесс счёта остановиться если вы перестанете дышать, он не закончится от того, что у вас кончатся цифры. Хотя возможно кто-нибудь бессмертный может исчерпать пространство вселенной в которой будет записывать числа или время, чтобы произнесли их все.

Если вкратце: существует бесконечное множество чисел.

Замечательный факт в этом утверждении состоит в том, что нет числа под названием «бесконечность», которое больше чем все остальные. Совсем наоборот: дело в том, что нет самого большого числа. Так что, хоть процесс счёта в принципе может продолжаться вечно, число, до которого вы добрались на каждом определённом этапе, является конечным. «Конечный» означает, что вы можете досчитать до этого числа и остановиться.

Как сказали бы философы: подсчёт это пример потенциальной бесконечности. Это процесс, который может длится вечно (или по крайней мере, так кажется нашим наивным умам), но никогда не достигнет «вечности».

Развитие новых математических идей обычно происходит согласно модели. Если бы математики строили дом, они начали бы со стен нижнего этажа парящих на высоте фута над влагостойким покрытием или там где это покрытие должно быть. Там не было бы дверей и окон, а просто отверстия правильной формы. Со временем добавился бы второй этаж, качество кладки замечательно бы улучшилось, стены внутри были бы отштукатурены, все двери и окна были бы на своих местах, а пол был бы достаточно прочным, чтобы по нему можно было пройти, не провалившись. Третий этаж был бы огромным, сложным, полностью покрытым коврами, на стенах висели бы картины, в комнатах было бы огромное количество мебели впечатляющего не совместимого друг с другом дизайна, в каждой комнате было бы шесть различных видов обоев… Чердак напротив был бы скромен, но элегантен — минималистичный дизайн, ничего лишнего и всё на своих местах. Тогда и только тогда они вернуться к нижнему этажу, выкопают фундамент, зальют его бетоном, проложат водонепроницаемый слой и будут достраивать стены вниз пока не дойдут до фундамента.

В конце вы получите дом, который не развалится. Хотя большую часть времени, потраченного на его стройку, он выглядел бы совершенно не вероятным. Но строители, в азарте возводя стены вверх и заполняя комнаты предметами интерьера, были слишком заняты чтобы это заметить пока строительные инспекторы не ткнули их носом в структурные недостатки.

Когда возникают новые математические идеи, никто не понимает их достаточно хорошо, что в принципе нормально, поскольку они новые. И никто не делает больших усилий чтобы разобраться во всех логических деталях, пока не убедится что идея будет стоящая. Таким образом, основные направления исследований состоит в развитии этих идей, если они ведут к чему-нибудь интересному. Для математика «интересно» в основном означает «могу я найти способы протолкнуть все это дальше?», но лакмусовой бумажкой в этом случае является вопрос «какие проблемы это сможет решить?» Только после получения удовлетворительных ответов на оба эти вопроса несколько упорных и педантичных душ спускаются в подвал решают проблему достойного основания.

Математики использовали бесконечность задолго до того как догадались что это такое и как использовать её на благо. В V в. до н. э., Архимед, выдающийся греческий математик и серьезный претендент на призовое место среди самых выдающихся учёных все времён, разработал способ нахождения объема сферы при помощи (концептуальной) нарезки её на бесконечное число бесконечно тоненьких дисков, подобно тонко-тонко нарезанному хлебу, затем взвешивая их чтобы сравнить их общий объем с объемом подходящего тела, который он уже знал. Как только он получит ответ при помощи этого удивительного метода, он вернулся к началу и нашёл логически приемлемый способ доказать свою правоту. Но без всей этой возни с бесконечностью, он не узнал бы где начать, а его логическое основание так и не сдвинулось бы с мертвой точки.

Ко времени Леонарда Эйлера, настолько продуктивного автора, что его можно считать Терри Пратчеттом математики восемнадцатого века, многие из ведущих математиков возились с «бесконечными рядами» — кошмаром любого школьника о сумме, которая никогда не заканчивается. Вот например:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +…, где двоеточие означает «и так далее». Математики пришли к выводу, что эта сумма не сводится ни к чему толковому, хотя в результате должна составлять два.[61] Если вы остановитесь на каком-либо конечном этапе, то получите нечто меньшее чем два. Но сумма отставания продолжает уменьшаться. Сумма вроде как подбирается к правильному ответу, но в действительности его не достигает. Однако то количество, на которое отстаёт можно можно сократить насколько позволит ваше желание и время.

Ничего не напоминает? Выглядит подозрительно похоже на один из парадоксов Зенона/Ксено. О том как стрела подкрадывается к своей цели, как Ахиллес догоняет черепаху. О том, что вы можете делать бесконечно многое за конечный промежуток времени. Сделайте первое дело. Спустя одну минуту сделайте второе. Спустя ещё полминуты сделайте третье… и так далее. Всего за две минуты вы сделаете бесконечно многое.

Понимание того, что бесконечные суммы имеют разумное значение, это только начало. Оно не развеивает всех парадоксов. По большей части оно только их обостряет.

Математики выяснили, что некоторые бесконечности безопасны, а другие нет.

Единственный вопрос, который возникает после такой блестящей догадки это: как вы узнали? Ответ в том, что если ваше понятие бесконечности не приводит к логическим противоречиям, тогда бесконечность безопасна, а если приводит — то нет. Ваша задача это дать разумный ответ на то, какая «бесконечность» вас интересует. Вы не можете предположить что она автоматически имеет смысл.

Не смотря на то, что на протяжении восемнадцатого и начала девятнадцатого века математики разработали очень много понятий «бесконечности», все они являются потенциальными. В проективной геометрии «бесконечно удалённая точка» это место где пересекаются две параллельные прямые, подобно тому как рельсы железной дороги сходятся на горизонте, и кажется что на горизонте они пересекаются. Но если по равнине едет поезд, горизонт бесконечно удаляется, и вообще не является частью равнины, а только оптическая иллюзия. Так что точка в бесконечности определятся бесконечным процессом движения по железнодорожным путям. Поезд никогда туда не приедет. В алгебраической геометрии круг заканчивается тем, что можно определить как «коническое сечение, которое проходит через две мнимых бесконечно удалённых точки», которое легко можно воссоздать с помощью пары циркулей.

Математики достигли общего консенсуса и он сводится к следующему. Всякий раз, когда вы используете термин «бесконечность», вы действительно подразумеваете процесс. Если этот процесс порождает четко определённый результат, но в связи со сложными интерпретациями, результат имеет значение, для которого в данном контексте вы используете слово «бесконечность».

Бесконечность это процесс зависящий от контекста. Она потенциальна.

И не может оставаться такой и дальше.

В конце девятнадцатого века Дэвид Гилберт был один из двух величайших математиков мира и был одним из величайших энтузиастов нового подхода к бесконечности, в котором, вопреки тому, что мы вам сейчас сказали, бесконечность рассматривается как предмет, а не процесс. Новый подход был детищем Георга Кантора, немецкого математика, чьи работы привели его на территорию чреватыми логическими ловушками. На протяжении века целая область оставалась запутанной. В конце концов он решил разобраться раз и навсегда решив сперва построить фундамент. Он был не единственным, кто делал это, но был одним из самых радикальных. Ему удалось разобраться в области, которая привела его к таким отрезкам времени, но только за счёт возникновения проблем в другом месте.

Многие математики ненавидели идеи кантора, но Гилберту они нравились, и он активно их защищал. «Никто», — заявлял он — «не сможет изгнать вас их рая, который создал Кантор». Это конечно же было настолько парадоксально как и сам рай. Гилберт объяснял некоторые их парадоксальных свойств бесконечности в терминах вымышленного отеля, теперь известного как отель Гилберта.

В отеле Гилберта находится бесконечное число номеров. Все они пронумерованы: 1,2,3,4 и так до бесконечности. Это пример фактической бесконечности — каждый номер существует сейчас и номер под номером энный газилион и один ещё не построен. И вот когда один воскресным утром вы туда приезжаете, то выясняется что все номера заняты.

В отеле с фиксированным количеством номеров, даже если их миллиард миллиардов и еще одна, это будет проблемой. Никакое количество толкущихся вокруг людей не может создать дополнительную комнату (для упрощения задачи условимся, что нормы безопасности и здравоохранения не позволяют подселить в номер второго человека).

Однако, в отеле Гилберта всегда есть комната для еще одного постояльца. Не под номером «бесконечность»,конечно, такой комнаты просто нет. Под номером «один».

А что же делать невезучему из первого номера? Он переезжает в комнату номер «2». Постоялец второй комнаты переезжает в третью, и так далее. Постоялец миллиард- миллиардной комнаты переезжает в комнату «миллиард-миллиардная и один», а хозяин миллиард-миллиардной и один — в миллиард-миллиардную и два. Постоялец комнаты под номером «N» просто переходит в комнату «N+1», и это работает для любого числа N.

В отеле с конечным числом комнат такая штука не прокатит. В нем нет комнаты под номером «миллиард-миллиардная и два», в которую мог бы переселиться постоялец из миллиард-миллиардной и один. В отеле Гилберта комнат бесконечное множество, поэтому каждый может переместиться в соседний номер. Как только это действие совершено, отель снова заполнен доверху.

Но это ещё не всё. В понедельник в совершенно полный отель Гилберта приезжает группа туристов. И нет проблем: управляющий переселяет всех на пятьдесят номеров вперёд. — номер 1 в 51, номер 2 — в 52, и так далее, в результате чего номера с 1-50 остаются свободными для всех туристов.

Во во вторник прибывает бесконечно большая группа туристов, содержащая бесконечное число людей, услужливо пронумерованных A1, A2, A3… Уверены, что на них не хватит номеров? Однако они есть. Уже поселенные гости переселяются в номера с чётными: гость из первого номера переезжает во второй, гость из второго номера переезжает в четвёртый, гость из третьего переезжает в шестой. и так далее. Затем, когда освободятся нечётные номера их занимают новоприбывшие гости: A1 отправляется в 1 номер, A2 отправляется в 3 номер, A3 отправляется в 5 номер. Ничего сложного.

К среде управляющий уже рвёт на себе волосы, потому что бесконечные группы туристов всё появляются и появляются. Группы именуются буквами A, B, C.. из бесконечно долго алфавита, а люди в них — A1, A2, A3…, B1, B2, B3… C1, C2, C3…

.. и так далее. Но у управляющего появляется блестящая идея. На бесконечно большой парковке около бесконечно большого отеля он распределяет всех новых гостей в виде бесконечно большого квадрата: Al A2 A3 A4 A5…

Б1_Б2_Б3_Б4_Б5…

В1_В2_В3_В4_В5…

Г1_Г2_Г3_Г4_Г5…

E1_E2_E3_E4_E5…

Затем он выстроил их в одну бесконечно длинную прямую, в порядке А1-А2 Б1- А3 Б2 В1 — А4 Б3 В2 Г1 — А5 Б4 В3 Г2 Е1…

Чтобы понять смысл, посмотрите на диагонали, идущие из правого верхнего угла в левый нижний. Мы использовали дефисы, чтобы их разделить. Большинство людей предпочтет снова переселить уже живущих постояльцев в четные номера и заполнить нечетные новоприбывшими. Это сработает, однако есть и более элегантный метод, и управляющий, будучи математиком, немедленно его находит. Он загружает всех обратно в бесконечный автобус фирмы, распределяя места в порядке их следования в линии. Это оставляет только одну проблему, которая уже была решена ранее[62].

Отель Гилберта призывает нас к осторожности, когда мы делаем предположения относительно бесконечности. Она может быть не похожей на обычное конечное число. Если вы добавите к бесконечности единицу, она не станет больше. Если вы умножите бесконечность на бесконечность она всё равно не станет больше. Вот что такое бесконечность. Фактически проще сделать вывод о том, что любое действие с бесконечностью будет равняться бесконечности, потому что вы не сможете получить ничего больше чем бесконечность.

Вот как все считали, и это действительно так, но только если все ваши потенциальные бесконечности состоят из конечного числа шагов, которые вы делаете бесконечно долго.

Но в 1880 году Кантор поразмыслил о фактических бесконечностях и открыл ящик Пандоры с бесконечностями всех размеров. Он назвал их трансконечными числами и обнаружил их когда работал в классической, традиционной области анализа. Они были чертовски сложными штуками и привели его в ранее неизведанные закоулки. Погрузившись в глубокие размышления о природе этих вещей, Кантор отвлёкся от своей работы в совершенно респектабельной области анализа, и начал думать о более сложных вещах.

О подсчете.

Обычный способ знакомства с числами — это научить детей считать. Они узнают, что числа это «штуки, которые используются для счёта». Вот к примеру «семь» это там где вы окажетесь если начнёте считать с понедельника до воскресенья. Так что количество дней в неделе равно семи. Но что за зверь это «семь»? Слово? Нет, потому что вместо него можно использовать символ 7. Символ? Но тогда вместо него есть слово, и в любом случае, в какой-нибудь Японии используется совсем другой символ. Так что же такое семь? Легко сказать что такое семь дней, семь овец или семь цветов радуги… но что само по себе значит число? Вы вряд ли сталкивались с явной семёркой, она всегда соотносится с некой совокупностью вещей.

Кантор решил превратить нужду в добродетель и заявил, что число — это что-то, имеющее отношение к набору или скоплению вещей. Вы можете собрать набор из вообще любой коллекции вещей. Интуитивно понятно, что номер, который вы получите во время подсчета показывает, сколько вещей принадлежат к этому набору. Количество дней в неделе определяется числом «семь». Удивительная особенность подхода Кантора заключается в следующем: вы можете узнать, находятся ли в другом наборе семь предметов без каких-либо подсчетов. Для этого вам лишь нужно соотнести члены наборов друг с другом так, чтобы каждому члену из первого набора был подобран элемент из второго. Если, к примеру, второй набор — это цвета спектра, то наборы будут соотнесены таким образом: понедельник — красный, вторник — оранжевый, среда — желтый, четверг- зеленый, пятница — голубой, суббота — фиолетовый[63], воскресенье — октариновый.

Порядок, в котором вещи будут пронумерованы абсолютно неважен. Но нельзя соотносить вторник сразу и с фиолетовым, и с зеленым, или зеленый и со вторником, и с воскресеньем. Или пропускать некоторые элементы.

К примеру, вы попадете в беду, если захотите соотнести дни недели со слонами, на которых стоит Диск: воскресенье- Берилия, понедельник- Тьюбул, вторник- Великий Т’Фон, среда-Джеракин, а четверг?

Точнее, у вас кончатся слоны. Даже если мифический пятый слон возьмет на себя четверг.

В чем разница? Ну, в неделе семь дней, а в спектре семь цветов, поэтому вы можете соотнести эти два множества. А вот слонов у вас всего четыре (ну, может, пять), а четыре или пять никак нельзя приравнять к семи.

Глубокий философский смысл здесь в том, что вам не нужно знать чисел четыре, пять и семь, чтобы обнаружить что нет никакого способа соотнести эти два множества. Разговор о величине цифр подобен размахиванию кулаками после драки. Соотнесение логически первостепенно по отношению к счёту.[64]

Пока что ничего нового. Но соотнесение имеет смыл не только для конечных множеств, но и для бесконечных. Вы даже можете соотнести четные числа с остальными:

2 1

4 2

6 3

8 4

10 5 и так далее. Подобные соответствия объясняют происходящее в отеле Гилберта. Вот как у Гилберта появилась идея (помните, крыша вперед фундамента).

Какое же кардинальное число соответствует всем числам (и, соответственно, любого множества, которое можно с ним соотнести)? Классическое название это «бесконечность». Однако Кантор, будучи осторожным, предпочел название, которое не так сильно цепляло внимание, поэтому в 1883 году он дал ему имя «Алеф» — по первой буква еврейского алфавита, и подписал под ней небольшой ноль, по причинам, которые выяснились довольно скоро: Алеф-нуль.

Он знал что именно он начал:

«Я точно знаю, что выбрав такую процедуру я противопоставил свою позицию широко распространённому мнению относительно бесконечности в математике и текущим взглядам на природу числа. " Он получил то, что и ожидал: много критики и особенно от Леопольда Кроникера. «Бог создал целые числа: всё остальное — дело рук человеческих» — заявлял Кроникер.

Сейчас, правда, большинство их нас думает, что и целые числа создал человек.

Зачем тогда вводить новый символ? (тем более еврейский). Если бы по мнению Кантора существовала только одна бесконечность, он смело назвал бы её просто «бесконечность» и использовал бы классический символ перевёрнутой восьмёрки. Он быстро понял, что согласно его точки зрения, могут существовать и другие бесконечности, а он вполне вправе назвать их альф-один, алеф-два, алеф-три и так далее.

Как же могут существовать другие бесконечности? Это является большим и неожиданным последствием неразвитой идеи соотнесения. Чтобы объяснить как это происходит, в каком-то смысле нам нужно будет поговорить о действительно больших числах. Конечных и бесконечных. Чтобы убедить вас в том, что все они белые и пушистые мы введем простую условность.

Если n обозначает любое число любого размера, тогда n-плекс обозначает 10 в степени n, что означает единицу с n нулями. Так что 10 в степени 2 это 100, 10 в шестой степени это 1000 000, миллион; 10 в девятой степени это миллиард. Когда степень равна 100, то мы получает гугл. Таким образом гуглплекс можно описать как 10 в степени гугл.

Подобно Кантору можно легко представить 10 в степени бесконечность. Но давайте быть точнее: как быть с алеф в степени ноль? Что такое 10 в степени алеф-ноль?

Примечательно что оно имеет совершенно разумное значение. Это кардинальное число множества всех действительных чисел — чисел которые могут быть представлены в виде бесконечной десятичной дроби. Вспомним эфебского философа Фтагонала, который знаменит высказыванием «Диаметр делит окружность. тогда соотношение должно равняться трём. Но так ли это? Нет. Три, запятая, один, четыре и куча других цифр после запятой. И нет числа этим чёртовым числам.» Конечно это отсылка к самому знаменитому из вещественных чисел — числу Пи, которое нуждается в бесконечном количестве знаков после запятой, чтобы оценить его точность. Округлённое до одного знака после запятой, оно равно 3,1. Округлённое до двух знаков после запятой оно равно 3,14. До трёх — 3,141. Так до бесконечности.

Кроме Пи, существует множество других вещественных чисел. Насколько велико фазовое пространство всех вещественных чисел?

Подумайте о знаках после запятой. Если мы рассматривает один знак, то для него есть 10 возможных вероятностей: любое из чисел от 0 до 9. Если мы рассматриваем два знака после запятой, то для него есть 100 вероятностей: от 00 до 99. Если мы рассматриваем три знака после запятой, тогда для него существует 1000 вероятностей: от 000 до 999.

Закономерность понятна. Если мы рассматриваем n знаков после запятой, тогда существует 10 в степени n вероятностей. А это n-плекс.

Если знаки после запятой могут продолжаться «вечно», первым делом нужно спросить какого вида «вечность» имеется ввиду. И ответом является алеф-ноль Кантора, потому что в нём есть первый знак после запятой, второй, третий. эти места соответствую целым числам. Так что если всё множество чисел n равно аллеф-нолю, мы обнаружим, что кардинальное число этого множества всех вещественных чисел (не принимая внимания знаки после запятой) равно 10 в степени алеф-ноль. То же самое верно в силу более сложных причин, если мы не будем учитывать все знаки после запятой.[65]

Всё отлично, но предположительно 10 в степени алеф-ноль окажется очень хорошо замаскированным алеф-нолём, поскольку все бесконечности должны быть равны? Нет, они не равны. Кантор доказал, что нельзя соотносить вещественный и целые числа. Так что 10 в степени алеф-ноль больше чем алеф-ноль.

Он пошёл дальше. Гораздо дальше. Он доказал[66], что поскольку n является любым бесконечным кардинальным числом, 10 в степени n является ещё большим кардинальным числом. Так что 10 в степени алеф-ноль ещё больше, а 10 в степени 10 в степени алеф-ноль ещё больше… и так далее.

Бесконечностям Кантона нет числа. И нет какой-то самой большой «гипербесконечности».

Понятие бесконечности как о «самом большом из возможным чисел» встречает здесь определённые трудности. И это разумный способ создать бесконечную серию арифметических рядов.

Если вы начнёте с любого кардинального алеф-n, тогда 10 в степени алеф-n ещё больше. Естественно предположить, в результате у вас получится алеф-(n+1) — это утверждение называется обобщённой континуум-гипотезой. В 1963 году Пол Коэн (не имеющий отношения ни к Джеку, ни к Коэну) доказал, что… ну это от много зависит. В некоторых вариациях теории множеств это утверждение является правдой, а в других оно ложно.

Таковы математические основы, вот почему лучше сначала построить дом, а только потом закладывать фундамент. В этом случае, если они вас не устраивают, вы можете построить вместо них что-нибудь другое. Не разрушая сам дом.

Таким образом Кантор создал Рай: совершенно новая система счисления алефов, бесконечностей сверх всякой меры и очень сильно ощущение «никогда». Оно совершенно естественно возникает из одного простого принципа: для установки логических оснований арифметики вам нужна только техника «соотнесения». Большинство действующих математиков теперь согласны с Гилбертом и идеи Кантора, вначале казавшиеся удивительными были вплетены в саму ткань математики.

Волшебники не просто противостоят математике бесконечности. Они ещё хорошенько запутались с физике. А здесь возникают совершенно новые вопросы на тему бесконечности. Является ли вселенная конечной или бесконечной? Какого вида эта конечность/бесконечность? И что там со всеми параллельными мирами о которых говорят космологи и квантовые физики? Даже если каждая их этих вселенных конечна, бесконечно ли их общее число?

Согласно современной космологии обычно мы полагаем, что наша вселенная конечна. Она родилась в качестве крошечной точки в результате большого взрыва, а затем на протяжении 13 миллиардов лет расширялась с конечной скоростью, так что она продолжает быть конечной Конечно в мелких масштабах она может быть бесконечно неделимой, подобно математической длине или плоскости, но с позиций квантовой механики на уровне ниже Планковской длины может быть определённо зернистой, так что вселенная имеет огромное, но конечное число возможных квантовых состояний.

Многомировая интерпретация квантовой теории была изобретена физиком Хью Эверетом как способ связать квантовое понимание мира с повседневным «здравым» смыслом. Она утверждает, что всякий раз когда свершается выбор — к примеру, какой именно спин имеет электрон или находится ли кот в живом или мёртвом состоянии — вселенная не просто совершает выбор и отказывается от всех альтернатив. Это так кажется нам, но на самом деле вселенная совершает все возможные выборы. Бесчисленные «альтернативные» или «параллельные» миры ответвляются от того, который мы ощущаем. В одном из них Гитлер выиграл Вторую Мировую, а в другом за ужином вы съели лишнюю оливку.

Повествовательно говоря, многомировое описание, которое предоставляет квантовая механика, выглядит довольно привлекательно. Ни один автор в поисках впечатляющего научного трюка, который оправдывает перемещение персонажей в альтернативную сюжетную линию (здесь мы признаём свою вину) не может ему противостоять.

Проблема в том, что с научной точки зрения, многомировая интерпретация скорее переоценена. Конечно, способ, которым она обычно описывается, вводит в заблуждение. Фактически большая часть физики мультиверсума как правило объясняется таким вот способом. И это печально, поскольку опошляет множество глубоких и красивых идей. Предположение о том, что существует смежная с нашей реальная вселенная, где Гитлер разгромил союзные силы, является довольно отталкивающим для большинства людей. Это звучит настолько абсурдно, чтобы даже попытаться к прислушаться. «Если это и есть современная физика, то я предпочитаю чтобы мои налоги пошли на что-нибудь более полезное, вроде рефлексологии».

Наука о мультивселенной (о том, что существует множество альтернатив, которые только уместны) очень привлекательна. И в чём-то даже полезна.

И в чём-то (не обязательно в полезной составляющей) может оказаться правдой. И мы попытаемся вас убедить в том, что они не подразумевают Гитлера.

Всё началось с открытия того, что математически квантовое поведение можно описать в виде Большой Суммы. Все что происходит в действительности является суммой того что могло произойти. Ричард Файнман с присущей ему ясностью объяснил это в своей книге КЭД (Квантовая электродинамика). Представьте себе фотон, световую частицу, отскакивающую от зеркала. Вы можете выяснить его путь «сложением» всех возможных путей, по которым он может последовать. В действительности вы складываете уровень яркости и интенсивность света, а не сам путь. Путь представляет собой концентрированную полосу яркости, а затем эта полоса встречает зеркало от отскакивает под тем же самым углом.

Такое «сложение» является прямым математическим следствием законов квантовой механики, и в этом нет ничего предосудительного или даже ужасно удивительного. Оно работает, потому что все «неправильные» пути мешают друг другу, практически ничего не внося в общую сумму. Все, что в итоге выживает и является «верным» путем. Можно принять этот математический факт без возражений и посмотреть на него с физической точки зрения, а именно: свет действительно идет несколькими путями, но мы можем видеть лишь их сумму, следовательно, мы видим только один путь, на котором луч света падает на зеркало и отражается под одним и тем же углом.

С философской точки зрения такое объяснение уже менее спорно, но оно ведет к действительно сложным терминам. У физиков есть привычка использовать математические описания в буквальном смысле — не только выводы, но и действия, необходимые для их получения. Они называют это «мыслить физически», хотя получается наоборот: они как бы «проектируют» математические функции на реальный мир, «материализуя» абстракции.

Мы не говорим, что это неправильно — обычно у них получается, однако такое «овеществление» делает из отличных физиков плохих философов, так как они забывают, чем занимаются.

Одной из проблем «мышления физически» является то, что в математике иногда встречаются эквивалентные способы описания чего-либо, разные пути, чтобы сказать одну и туже вещь на математическом языке. И если верен один из них, верны и остальные. Но вот их физические воплощения могут быть противоречивыми.

Хороший пример можно найти в классической (не квантовой) механике: движущуюся частицу можно описать с помощью одного из законов Ньютона — ускорение частицы пропорционально силе, действующей на нее. С другой стороны, движение может быть описано с помощью вариационного принципа: действием называется величина, связанная с каждым из возможный путей частицы. Путь, по которому идет частица с наименьшим значением относительно остальных, и будет тем «нужным».

Логическим эквивалентом законов Ньютона и принципа наименьшего действия выступает математическая теорема. На математическом уровне нельзя принять одно из них и не принять остальные. О значении «действия» задумываться не надо, здесь это не играет роли. Важна разница между реальными интерпретациями этих двух логически одинаковых описаний.

Законы Ньютона действуют на близком расстоянии. То, куда пойдет частица здесь и сейчас, зависит только от сил, действующих на нее здесь и сейчас. Особой мудрости здесь не требуется- надо лишь соблюдать эти правила.

У принципа наименьшего действия другой стиль — он глобален. Он говорит нам, что для путешествия из пункта А в пункт Б частица должна каким-то образом увидеть все возможные пути между этими точками. Она должна вычислить действие, необходимое для движения по каждому из этих путей и выбрать наименьшее. Это «вычисление» не локально, потому что включает в себя весь путь (пути) и в некотором смысле должно быть проведено до того, как частица решит, куда ей двигаться. Вот она естественная интерпретация математики — частицы оказываются наделены чудесной дальновидностью и способностью выбирать, прямо-таки обладают рудиментарным видом интеллекта.

Так что же верно? Бессмысленный кусок материи, постоянно подчиняющийся местным правилам или квазиразумное существо с огромными вычислительными способностями, которое среди всех возможный путей предусмотрительно может выбирать то, на преодоление которого потребуется меньше всего сил?

Мы то знаем, что выбрали бы сами.

Интересно, что принцип наименьшего действия является механическим аналогом интерпретации Фейнмана в оптике. Они действительно очень похожи. Да, вы можете сформулировать математику квантовой механики таким образом, что она будет подразумевать, что свет следует по всем возможным путям и складывает их. Но нельзя слепо верить, что это описание реальной физики реального мира, даже если оно работает в математике.

Последователи теории мультивселенной не только безоговорочно в это верят, но и идут дальше: не история одного фотона отразилась от зеркала, но история всей вселенной. Это тоже является суммой всех возможностей — использование квантовой волновой функции Вселенной вместо интенсивности света, обусловленного фотонами, так что мы можем интерпретировать математику в похожем смысле. Вселенная действительно совершает все возможные действия. Мы видим лишь то, что случается, когда все эти возможности складываются вместе.

Конечно, есть более «реальное» объяснение: вселенная плывет, подчиняясь местным законам квантовой механики, и делает ровно одно действие… которое только случайно, по чисто математическим причинам, равно сумме всех действий, которые она могла бы сделать.

Ну и что вам больше нравится?

Математически, если верно одно, верно и другое. Однако с физической точки зрения они совершенно по-разному объясняют устройство мира. Наше мнение таково, что, как и в случае с частицей, их математическое равенство не обязывает вас принимать их физические описания за святую истину (учитывая, что эквивалентом законов Ньютона и принципа наименьшего действия является разумная частица, обладающая способностью предсказывать будущее).

Многомировая интерпретация квантовой механики держится на непрочном основании, хотя его математические основы безупречны. Но обычное представление этой интерпретации идёт дальше, добавляя изрядную долю рассказия. Именно это и привлекает авторов научной фантастики и очень жаль что оно простирает интерпретацию далеко за пределы переломного момента.

Обычно мы говорим следующее. В любой момент времени, когда бы ни был совершён выбор, вселенная распадается на серию «параллельных миров», в которых происходит каждый из вариантов. Да, в этом мире вы просыпаетесь, съедаете свои кукурузные хлопья на завтрак и отправляетесь на работу. Но где-то в просторах мультивселенной, существует другая вселенная, в которой на завтрак у вас была рыба, поэтому вы вышли из дома минутой позже, так что когда вы переходили дорогу, у вас случилось небольшое недоразумение с автобусом, которое для вас оказалось фатальным.

Ошибочно здесь как ни странно не утверждение о том, что мир это в «действительности» сумма многих других. Возможно на квантовом уровне так и есть. Почему нет? Однако неправильно описывать эти альтернативные миры с точки зрения человека, как сценарий, согласно которому всё происходит в соответствии с повествованием, которое имеет смысл для человеческого ума. Тогда как миры с рыбой и автобусом не имеют смысла вообще. И ещё менее допустимо делать вид, что каждый из этих параллельных миров это небольшая вариация на тему нашего, в котором некоторые выборы на уровне человека происходят по разному.

Если эти параллельные миры существуют, то они описываются различными изменением квантово-волновых функций, сложность которых находится за пределами человеческого понимания. Результат не обязательно должен соответствовать сценариям понятным человеку. Подобно того как мелодия сыгранная на кларнете может быть разложена на чистые тона, но большинство комбинаций этих тонов не будет соответствовать мелодии, сыгранной на любом кларнете.

Рыба и автобусы являются естественными компонентами человеческого мира. Естественные компоненты квантовых волновых функций мира это не квантовые волновые функции рыбы и автобусов. Они совсем другие и по другому перекраивают реальность. Они изменяют спин электрона, полюсы и термодинамические фазы.

Они не превращают кукурузные хлопья в рыбу.

Это похоже на то, чтобы взять историю, случайно изменить буквы, поменять местами слова, и возможно изменить указания для наборщика, чтобы буквы не соответствовали ни одному известному алфавиту. Вместо того чтобы из гимна Анк-Морпорка получить песню про Ёжика вы получите бессмыслицу. Очень похоже на то.

По словам Макса Тегмарка, написавшему в майском номере Scientific American за 2003 год, в настоящее время физики признают четыре уровня параллельных вселенных. На первом уровне в некоторых отдалённых уровнях вселенных практически точно повторяется то, что происходит в нашей области. Второй уровень подразумевает более или менее изолированные «пузырьки», зародыши вселенных, в которых различные аспекты физических законов, вроде скорости света, являются другими, хотя основные законы остаются такими же. Третий уровень это многомировой квантовый параллелизм Эверета. Четвертый уровень включает совершенно различные физические законы, не только вариации на тему нашей собственной вселенной, а совершенно различные системы описываемые всеми мыслимыми математическими структурами.

Макс предпринимает героическую попытку убедить нас в том, что все эти уровни действительно существуют, что возможно сделать проверяемые предсказания, ошибочность которых может быть установлена научным путём и так далее. Ему даже удаётся переосмыслить принцип бритвы Оккама, который состоит в том что объяснения должны быть по возможности просты.

Все эти размышления, как может показаться являются отличительными признаками космологии и физики. И как раз тот вид теоретизирования, который следует обсудить в этой книге: творческий, ошеломляющий и передовой. Мы вынуждены сделать такой вывод, хотя эта аргументация имеет серьезные недостатки. Очень жаль, что концепция параллельных миров очень богата рассказием, отчего любой автор научной фантастики будет пускать слюнки подобно собаке Павлова.

Что ж, обобщим несколько точек теории Тегмарка, опишем несколько доказательств, которые он приводит в её пользу, выскажем несколько критических замечаний и позволим вам сформировать своё мнение в этом вопросе.

Параллельные миры 1 уровня возникают если (и отчасти потому что) пространство бесконечно. Не так давно мы сказали вам, что оно конечно, потому что Большой Взрыв случился определённое время назад, так что у вселенной не было времени чтобы расширится до бесконечности.[67] Однако очевидно что данные о реликтовом излучении не содействуют в определении конечности вселенной. Даже очень большая и конечная вселенная создавала бы точно такие же данные.

— Существует ли копия вас, читающая эти строки? — спрашивает Тегмарк. Если предположить, говорит он, что вселенная бесконечна, то даже маловероятные события где-нибудь могут иметь место. Ваша копия довольно вероятна, так что она может иметь место. Где? Непосредственные вычисления показывают, что «ваш близнец находится в галактике примерно в 10 в 10^21 степени метров отсюда». Не в 10 в 21 степени метров, что уже в 25 раз больше наблюдаемой вселенной, а в 1 с 1028 нолями. И не только: полная копия (наблюдаемой части) нашей вселенной должна существовать в 10 в 10^118 степени метров… А дальше..

Нам нужен подходящий смысл поговорить о действительно больших числах. Символы вроде 10^118 слишком формальны. Записывать все эти нули бессмысленно и просто невозможно. Вселенная огромна, а мультиверсум ещё огромней. Не так что просто подобрать числа чтобы выразить насколько она больше, а подобрать что-то действительно читабельное ещё труднее.

К счастью мы уже решили эту проблему, условившись, что если n — любое число, тогда n-плекс означает 10 в степени n, что означает единицу с n нолями.

Если n=118, тогда получается 118-плекс, что приблизительно равно числу протонов во вселенной. Когда n = 118-плекс, то у нас получается 118-плексплекс — число о которым Тегмарк просил нас подумать — 10 в степени 10 в степени 118. Эти числа возникают из-за того, что объем Хаббла — наблюдаемая вселенной — имеет огромное, но конечное число возможных квантовых состояний.

Квантовый мир выглядит зернистым с нижним пределом того как могут быть разделены пространство и время. Так что довольно большая область пространства будет содержать большое количество объемов Хаббла, так что каждое из этих квантовых состояний может было бы размещено. В частности объем Хаббла содержит 118-плекс протонов. Каждый из которых имеет два возможных квантовых состояния. Одно из самых полезных правил этой мега-арифметики, то что нижнее число в этом нагромождении плексов — а здесь это 2 — может быть заменено на что-нибудь более удобное, например на 10, не оказывая сильного влияния на верхнее число. Так что область приблизительно в 118-плексплексов метров может содержать одну копию каждого объема Хаббла.

Миры второго уровня возникают на основе предположения, что пространственно-временной континуум представляет собой своего рода пену, каждый пузырёк которой содержит вселенную. Основная причина в это верить это «инфляционная модель вселенной», теория которая объясняет почему наша вселенная плоская. В период инфляции пространство быстро растягивается, и может растянуться настолько, что две части пространства станут независимы друг от друга, поскольку свет не может попасть с одного на другой достаточно быстро чтобы связать их причинно-следственной связью. Так что пространственно-временной континуум превращается в пену, каждый пузырёк которой возможно имеет свой вариант законов физики — с теми же самыми математическими основами, но другими константами.

Параллельные миры 3 уровня это те, что возникают в многомировой интерпретации квантовой теории, и их мы уже обсудили.

Все описанное отходит на второй план, когда мы доходим до четвертого уровня. Здесь различные вселенные могут иметь совершенно другие законы физики. Тегмарк говорит, что здесь существуют все мыслимые математические структуры: как насчёт вселенной, которая подчиняется законам классической физики, но без квантовых явлений? Как насчёт времени, которое идёт дискретными шагами, вместо того чтобы быть непрерывным? Как насчёт вселенной которая так же проста как пустой додекаэдр? На N уровне мультиверсума все эти альтернативные реальности действительно существуют.

Но так ли это?

В науке вы получаете доказательства с помощью наблюдений и экспериментов.

Относительно теории Тегмарка не может быть и речи о прямых наблюдениях, по крайней мере пока не возникнут значительные технологии космических путешествий. Наблюдаемая вселенная простирается не более чем 27-плексов от Земли. Сейчас невозможно наблюдать объект (даже размером с нашу видимую вселенную), который находится в 118-плексах от нас, и никакое мыслимое улучшение не может справиться с этой задачей. Легче бактериям наблюдать всю известную вселенную, чем человеку наблюдать объект, находящийся в 118-плексах метров отсюда.

Мы со всем пониманием относимся к аргументу, что невозможность непосредственных экспериментов не делает теорию ненаучной. Нет прямого способа проверить факт существования динозавров или хронологию (и сроки возникновения) Большого Взрыва. Мы предполагаем всё это исходя из косвенных доказательств. Так какие же косвенные доказательства подтверждают факт существования бесконечного пространства и точных копий нашего собственного мира в дальних уголках мультиверсума?

Пространство бесконечно, утверждает Тегмарк, потому что об этом говорит нам реликтовое излучение вселенной. Если пространство было бы конечным, тогда следы этого были бы показаны в статистических свойствах реликтового фона и составляющих его различных частот излучения.

Любопытный аргумент. Всего лишь год назад или где-то около некоторые математики использовали определённые статистические особенности реликтового фона вселенной, чтобы сделать вывод о том, что вселенная не только конечна, но и имеет форму похожую на футбольный[68] мяч. Недостаток излучения с очень большой длинной волны является достаточным основанием для вывода о том, что вселенная слишком мала чтобы вместить волны такой длинны. Так же и гитарная струна длинной в один метр не может поддерживать колебания с длинной волны сто метров — для волны такого размера просто нет подходящего места.

Другие доказательства имеют довольно разную природу — не наблюдения как таковые, а наблюдения о том, как мы толкуем наблюдения. Космологи, которые анализируют фон микроволнового излучения чтобы вычислить форму и размеры вселенной, обычно сообщают о своих выводах в форме " такие формы и размер с вероятностью одна тысячная могут соответствовать нашим данным. " Это означает с 99,9-ти процентной вероятностью мы исключаем такой размер и форму. Тегмарк говорит, что один из способов интерпретации этого, что не более одного объема Хаббла на тысячу такого размера и формы будут проявляться в данных наблюдения. «Урок заключается в том, что теория мультивселенной может быть проверена и признана ошибочна, даже если мы не можем видеть других вселенных. Разгадка в том, чтобы предсказать множество параллельных вселенных и точно определить вероятностное распределение в этом множестве.»

Это замечательный аргумент. Неизбежно он путает фактический объем Хаббла с потенциальным. К примеру если рассматриваемая форма это футбольный мяч длинной 27-плексов метров длинной[69] — справедливое предположение, что для нашего собственного объема Хаббла — тогда вероятность» одна тысячная» это вычисление основанное на потенциальном массиве футбольных мячей такого размера. Они не являются частью одной бесконечной вселенной: они являются различными концептуальными «точками» фазового пространства огромных футбольных мячей.

Если бы вы жили в таком футбольном мяче и производили такие наблюдения, тогда можно ожидать получения таких данных в одном случае их тысячи.

В этом заявлении нет, чего что могло бы заставить нас сделать вывод о существовании всех этих тысяч футбольных мячей в действительности, не говоря уже о том, что все они находятся в одном, куда большем по размеру, о чём нас как раз и просят. Тегмарк просит нас усвоить общий принцип: если у вас есть фазовое пространство (статистики назовут его выборочным пространством) с четко определённым распределением вероятностей, тогда всё что находится в этом должно быть реальным.

А это совершенно не так.

И простой пример показывает почему. Предположим что вы подбросили монетку сто раз. И получили результат вроде ОРОРООРО…ОРОРР. Фазовое пространство всех возможных подбрасываний содержит ровно 2100 таких последовательностей. Если монета правильной формы, то есть разумный способ определить вероятность нашей последовательности — а именно один шанс из 2100. И вы можете проверить такое «распределение» вероятностей множеством косвенных способов. К примеру, вы можете провести миллион экспериментов, каждый из которых включает 100 подбрасываний, и вычислить что соотношение «орла» и «решки» будет 50 на 50 или даже 49 на 51. Такой эксперимент вполне осуществим.

Если принцип Тегмарка верен, то существует целое фазовое пространство всех последовательностей подбрасывания монетки. Не как математическая концепция, а как физическая реальность.

Однако монетки сами себя не подбрасывают. Кто-то же должен это делать.

Если бы вы могли подбрасывать 100 монет каждую секунду, то потребовалось бы 24-плекса лет чтобы провести 2100 экспериментов. А это примерно в 100 триллионов лет больше возраста вселенной. Монеты же существуют только несколько тысяч лет. Фазовое пространство всех последовательностей 100 подбрасываний монетки не реально. Оно существует только в потенциале.

Поскольку принцип Тегмарка не работает для монетки, нет смысла думать что он подходит для вселенной.

Доказательства в пользу существования параллельных миров четвёртого уровня ещё тоньше. Они сводятся к мистической притягательности известного замечания о «необычайной эффективности математики» как описания физической реальности. По сути, Тегмарк говорит нам, что если мы не можем чего-то вообразить и представить, значит этого не существует.

Мы можем себе представить фиолетового бегемотика едущего по краю Млечного Пути и поющего что-нибудь из произведений Монтеверди. Было бы прекрасно, если бы это означало, что это в действительности существует, но в некотором смысле с проверкой реальности здесь всё в порядке. Мы не хотим произвести на вас впечатление, что нам нравится обливаться холодной водой при каждой творческой попытке выразить чувства от некоторых замечательных концепций современной физики и космологии. Так что мы закончим самым последним дополнением к компании параллельных миров. Неудивительно, что главным для неё сейчас является толика экспериментальных доказательств.

Наша новая теория на сцене это теория струн. Она даёт философски разумный ответ на старый вопрос «почему мы здесь?» И даже не используя при этом гигантских количеств параллельных вселенных.

Просто она более осторожна в обращении с ними.

Наш источник это статья «Ландшафт теории струн» Рафаэля Буссо и Джозефа Полчински в сентябрьском номере Scientific American — в специальном выпуске, посвященном Альберту Эйнштейну.

Если и есть единственная проблема в основе современной физике, то это объединение квантовой механики и теории относительности. Эти поиски «Теории Всего» необходимы потому что, хотя обе теории чрезвычайно успешно помогают нам понимать и предсказывать различные аспекты окружающего мира, они полностью не совместимы между собой. Найти согласованную, единую теорию довольно трудно и пока эти поиски не увенчались успехом. Но одна математически привлекательная попытка, теория струн, концептуально привлекательна, даже если в её пользу нет никаких данных наблюдений.

Теория струн утверждает, что то, что мы обычно считаем отдельными точками пространства и времени, которые не интересны по своей структуре, на самом деле являются очень-очень крошечными многомерными поверхностями очень сложной формы. Классической аналогией является садовый шланг. Со стороны шланг выглядит как линия, которая является одномерным пространством — измерением является всё расстояние вдоль шланга. При более близком взгляде можно увидеть, что шланг имеет два дополнительных измерения, находящиеся под прямым углом к этой линии и в этом направлении шлаг представляет собой округлую линию.

Может быть наша вселенная похожа на этот шланг. Пока мы не посмотрим достаточно близко, мы не увидим ничего кроме трех измерений в пространстве и ещё одно о времени. Ужасно много физики наблюдается только в этих четырёх измерениях, так что феномен такого типа имеют приятное четырёх мерное описаний — снова теория относительности. Но в других, «скрытых» измерениях может быть всё по другому — к примеру, та же самая толщина шланга. К примеру, представим, что в каждой точке видимого четырёхмерного пространства, есть нечто, что кажется точкой и в действительности является крошечным кружком, выпирающим под прямым углом к самому пространству и времени. Эти кружки могут вибрировать. Если так, то это будет похоже на квантовые описания частицы. Частицы имеют различные квантовые числа, такие как, например, спин. Эти числа возникают как целые числа кратные некоторой общей суммы. Так же происходит и с вибрациями кружков: в круг вписывается одна волна или две, или три… но никак, например, не две с четвертью.

Вот почему всё это называется «теорией струн». Каждая точка пространственно-временного континуума является крошечной струной.

Для того чтобы реконструировать нечто, что согласуется с квантовой теорией мы не можем в действительности использовать округлую струну. Существуют слишком много разных квантовых чисел и слишком много трудностей необходимо преодолеть. Есть предположение о том, что вместо точки нужно использовать более сложную, многомерную форму известную как «бран».[70] Представьте её в виде поверхности.

Существует много различных топологических типов поверхностей: сфера, бублик, два соединённых между собой бублика, три бублика. и в большем количестве измерений чем два существуют более экзотические формы.

Частица соответствуют крошечным замкнутым струнам, которые оплетают бран. Если множество различных способов оплести струну вокруг бублика — продеть через дырку один раз, два раза, три раза. Физические законы зависят от формы брана и траекториям, которым следуют эти петли.

Наиболее предпочтительны бран имеет шесть измерений, что в общем составляет все десять. Считаются, что дополнительные измерения очень плотно свернуты, меньше Планковской длины, которая является размером при котором вселенная начинает быть зернистой. Практически невозможно наблюдать что-то меньшее это длины, потому что из-за крупной зернистости всё выглядит размыто и невозможно различить мелкие детали. Так что нет никакой надежды непосредственно наблюдать какие-либо дополнительные измерения. Фактически, недавно обнаруженное ускорение темпов расширения вселенной может быть объяснено таким же образом. Конечно, это объяснение может быть неверным: нужно больше доказательств.

Идеи здесь меняются каждый день, так что мы не берём на себя обязательство ясно выразить свою точку зрения на излюбленную в настоящий момент структуру из шести измерений. Мы можем созерцать любое количество различных бран и завитков. Каждый выбор — назовём это петляющим браном — имеет определённую энергию, связанную с формой брана, с тем как плотно он свернут и насколько плотно его обвивает петля. Эта энергия — «энергия вакуума» соответствующей теории. В квантовой механике вакуум представляет собой кипящую массу частиц и античастиц появляющихся на мгновение прежде чем столкнуться и снова друг с другом аннигилируют. Энергия вакуума показывает насколько сильно они кипят. Мы можем использовать энергию вакуума чтобы сделать вывод какой из бранов соответствует нашей вселенной, чья энергия вакуума чрезвычайно мала. До недавнего времени считалось, что она крайне мала, но сейчас она равна1\120-плекса единиц, где единицей явялется одна Планковская масса умноженная на Планковскую длину в кубе, что примерно равняется гуглу граммов на кубический метр.

А сейчас мы послушаем космическую сказку про Машу и трёх медведей. Большой Папа Медведь предпочитает энергию вакуума более чем +1/118-плексов единиц, но такие пространственно-временные континуумы будут подвергаться более активному расширению чем сверхновая звезда. Добрая Мама Медведь предпочитает вакуумную энергию меньше чем -1/120-прексов единиц (обратите внимание на знак минус), но в этом случае пространственно-временной континуум с космическим хрустом сожмётся и исчезнет. Малвш Медвежонок и Маша предпочитают энергию вакуума где-то посередине: в невероятно крошечном диапазоне между +1/188 плексов и -1/120-плексов единиц. Это зона Машеньки, в которой как мы знаем может существовать жизнь.

Не случайно, что мы живём со вселенной, чья энергия вакуума находится в этой зоне, поскольку, как нам известно, сами являемся жизнью. Если бы мы жили в любом другом типе вселенной, то слово «жизнь» имело бы другой смысл. Она была бы возможной в принципе, но не для нас.

А эта наш старый знакомый антропный принцип, используемые в разумном способе соотнести то как устроены мы и какой тип вселенный больше для нас подходит. Вопрос здесь не в том почему мы живём в такой вселенной, а почему существует такая вселенная, в которой мы можем жить. Это спорный вопрос о тонкой надстройке вселенной и невероятность случайной вселенной соответствовать именно нужным цифрам часто используется чтобы что-то доказать — часто говорят «Мы не знаем, существуют ли пришельцы», но почти все думают «Бог создал эту вселенную именно для нас».

Но учёные придерживающиеся теории струн изготовлены из прочного теста и у них есть более разумный ответ.

В 2000 году Буссо и Полчински скомбинировали теорию струн с более ранней идеей Стивена Вайнберга чтобы объяснить почему для нас не удивительно, что существует вселенная с нужным уровнем энергии вакуума. Основная идея заключается в том, что фазовое пространство возможных вселенных просто гигантское. Оно даже больше чем 500-плекс. Эти 500-плексов вселенных плотно распределяют свою энергию вакуума в диапазоне от -1 до + 1 единицы. Получающиеся в результате числа расположены ещё более плотно, чем 1\118 плекса единиц, что определяет масштабы «приемлемого» диапозона энергии вакуума для известной нам жизни. Хотя очень маленькая доля этих 500-плексов вселенных попадает в этот диапазон, их так много, что это крошечная доля выглядит абсолютно гигантской — 382-плекса вселенных. Так что огромного множества 382-плексов вселенных из фазового пространства 500-плексов бранов вполне достаточно чтобы обеспечить всё необходимое для нашей жизни.

Однако это всё равно лишь небольшая доля. Если вы выберете один случайный бран, шансы на то, что он окажется в рамках этого диапазона чрезвычайно малы.

Без проблем. У учёных придерживающихся теории струн есть ответ и на это. Если подождать достаточно долго, такая вселенная обязательно появится. Фактически все вселенные из фазового пространства бранов в конечном итоге становятся «настоящими» вселенными. И когда бран настоящей вселенной попадает в так называемую зону Машеньки обитатели новой вселенной даже не догадываются о всём этом ожидании. Их ощущение времени начинается с того момента когда возникает этот конкретный бран.

Теория струн не только говорит нам что мы здесь, потому что мы здесь, она объясняет почему должно существовать подходящее «здесь».

Причина по которой в теории струн все эти 500-плексов или больше вселенных на законных основаниях можно считать «реальными» возникает из двух особенностей этой теории. Первая это систематический способ для описания всех возможных бранов. Вторая подразумевает немного квантовой теории чтобы объяснить почему в долгосрочной перспективе они могут существовать. Если кратко, то фазовое пространство бранов можно представить в виде «энергетического ландшафта», который мы назовём браншафтом. Каждое положение на этом ландшафте соответствует одному возможному выбору брана, высота этой точки соответствует определённой энергии вакуума.

Холмы представляют браны с высокой энергией вакуума, низины представляют браны с низкой энергией вакуума. Стабильные браны находятся в низинах. Вселенные, чьи скрытые измерения выглядят как эти конкретные браны сами являются стабильными. которые физически могут существовать лишь доли секунды.

В горных районах мира, ландшафт представляет собой трудно проходимое место, что означает что на нём находятся много холмов и низин. Они ближе к друг другу чем где бы то ни было, но по прежнему независимы друг от друга. Браншафт на самом деле очень бугрист и имеет большое количество низин. Но все эти низины энергий вакуума должны помещаться в диапазоне от -1 до +1 единицы. И такое большое количество чисел просто набиты очень плотно.

Для того чтобы во вселенной могла существовать жизнь вроде нашей, энергия вакуума должна находится в диапазоне Машеньки, где всё соответствует очень точно. И здесь существует такое большое количество бранов, что большое их количество должно иметь энергию вакуума, которая должна попадать в этот диапазон.

Большая их часть в этот диапазон не попадет, но это не важно.

У теории есть одно большое преимущество: она объясняет почему наша вселенная имеет такую небольшую энергию вакуума, без необходимости того чтобы она была равной нолю — а теперь мы знаем, что она не равна нолю.

Результатом всей этой математики является то, что каждая стабильная вселенная находится в некоторой низине браншафта, и огромное их множество (хотя это лишь небольшая доля целого) находятся в Диапазоне Машеньки. Но все эти вселенные потенциальны, а не актуальны. Здесь есть только одна реальная вселенная. Поэтому если мы просто выберем случайный бран, шанс что он попадёт в диапазон Машеньки практически равен нолю. С такими шансами вы бы не поставили и на лошадь, не говоря уж о вселенной.

К счастью на подмогу нам спешит старина квант. Квантовые системы могут и даже создают «туннели» от одной энергетической низины до другой. Принцип неопределённости позволяет им заимствовать для этого достаточное количество энергии, а потом они возвращают её так быстро, что соответствующая неопределённость не допускает чтобы это кто-то заметил. Если вы подождёте достаточно долго — n-плексплексплекс лет или n-плексплексплексплексплекс, если этого мало — то единственная квантовая вселенная исследует каждую низинку во всём браншафте. В какой-то момент она окажется в диапазоне Машеньки. Возникнет жизнь, похожая на нас, и будет интересоваться почему она здесь.

Она не будет знать, что в мультиверсуме уже прошло n-плексплексплекслплекс лет: просто прошёл один их многих миллиардов лет с тех пор как на пути блуждающей вселенной оказался диапазон Машеньки. Теперь и только теперь эти человекоподобные обитатели начинают интересоваться почему возможна их жизнь, учитывая такие смешные шансы на обратное. В конечном итоге, когда они догадываются, что существуют благодаря браншафту и квантам, становятся известны истинные шансы.

Прекрасная история, даже если в последствии она окажется ошибочной.