Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

Глава 2 Неизвестное измерение. Составление карты Вселенной

В 1904 г. в Голландии появились упаковки какао-порошка, на которых было нанесено любопытное повторяющееся изображение. Это был не первый случай, когда художник обращался к подобному эффекту. За много лет до этого, в 1320 г., Джотто использовал этот прием в изображении алтаря на «Триптихе Стефанески». Но на эту особенность картины обратили внимание лишь по прошествии многих лет. В 1970 г. голландский журналист написал об этом художественном приеме статью и использовал для него название «эффект Дросте», ссылаясь тем самым на марку какао-порошка.

На этой пачке какао изображена медицинская сестра с подносом в руках, на котором находятся два предмета. Они привлекают наше внимание как раз потому, что на них снова изображена та же медсестра в той же позе и так далее, пока наши глаза способны различить мельчайшие детали. Если бы мы каким-то образом попали на одну из этих этикеток, то смогли бы увидеть всё так, как будто бы находились снаружи. Мы могли бы узнать, на какой этикетке находимся, только если бы наше тело не изменилось в размерах.

Здесь речь идет о частичном самоподобии. Это свойство называется самоподобием, так как малые изображения подобны большому, и частичным, поскольку большое изображение не состоит исключительно из повторяющихся малых. Для полного самоподобия необходимо, чтобы при увеличении любой части изображения его покрывало множество копий одного и того же портрета медсестры.

Рекурсивное изображение на этой упаковке какао дало название эффекту Дросте.

Рассмотрим известный рисунок, на котором большая рыба съедает маленькую. На первый взгляд кажется, что здесь мы имеем дело с тем же видом самоподобия, что и на упаковке какао: на рисунке изображено бесконечное множество маленьких рыб, каждая из которых хочет съесть еще более мелкую. Однако если мы увеличим любую часть изображения, то увидим, что на каждой чешуйке каждой рыбы также изображено множество крошечных рыбок, которые гонятся друг за другом. Здесь речь идет о полном самоподобии, которое обеспечивается за счет применения 11 различных функций. Каждая функция превращает большую фигуру в другую, меньшего размера, повернутую и (или) смещенную, которая затем помещается на общее изображение. Таким образом, на первом шаге поверх большой рыбы помещается одиннадцать более мелких изображений. Подобные функции можно применять до бесконечности, и в результате все изображение будет представлять собой коллаж.

Функции этого типа описал Барнсли, который доказал так называемую теорему коллажа. Позднее мы подробно расскажем о том, как создаются подобные функции, и узнаем, как благодаря теореме работает этот метод построения фигур.

Первая итерация изображения, на котором большая рыба съедает маленькую.

Третья итерация этого же изображения.

Финальная итерация.

_{(Источник иллюстраций: Мария Изабель Бинимелис и Лаура Элизабет Виолант.)}

По всей видимости, первые представления о рекурсивности и самоподобии появились в XVII веке благодаря разностороннему немецкому мыслителю Готфриду Вильгельму Лейбницу. Он упоминает схожие понятия как минимум дважды. Лейбниц так объяснил другу задачу об укладке фигур: «Представь себе круг, в который вписаны три равные окружности наибольшего радиуса. Последние могут содержать в себе три вписанных окружности каждая и так далее». Здесь также виден интерес Лейбница к задачам упаковки фигур, которые неизменно сохраняли популярность благодаря своему широкому применению.

Возможно, самой известной из подобных задач является гипотеза, предложенная Кеплером. Она гласит, что оптимальной укладкой пушечных ядер (такой, при которой они занимают минимально возможный объем) является пирамида, подобная тем, что выстраивают на прилавках торговцы фруктами. Эта на первый взгляд простая гипотеза была полностью доказана лишь в 2005 г. с помощью компьютера. Большая часть задач об упаковке берет начало в физике и биологии, применяется множеством способов в кристаллографии, при изучении структуры аморфных материалов и коллоидных растворов. Даже задача об оптимальной передаче цифровых сигналов может быть изложена как вариант задачи об упаковке сфер — так называемой задаче о контактном числе.

Во втором случае Лейбниц сказал, что капля воды содержит целую вселенную, которая, в свою очередь, также содержит более мелкие капли воды, каждая из которых вновь содержит в себе вселенную и так далее. Однако эта идея и многие другие, схожие с ней, со временем были отвергнуты, так как их нельзя было подтвердить экспериментально. Сегодня мы можем констатировать, что подобные рассуждения не столь нелепы, как может показаться. Было высказано множество идей о схожести модели атома Нильса Бора, где вокруг ядра по орбитам вращаются электроны, с законами вращения планет Кеплера. Здесь также прослеживается связь между микрокосмосом и макрокосмосом. Хотя нам известно, что эти модели совпадают не полностью, не стоит быть уверенным в том, что современные модели наилучшим образом отражают реальность. Возможно, что идеальной модели не существует, и мы будем вынуждены вечно довольствоваться лишь все более и более точными приближенными моделями.

Оставим в стороне эти метафизические вопросы и добавим, что сегодня известно множество объектов, которые содержат сами себя. Некоторые были описаны в теории, другие встречаются в природе. Самоподобием обладает множество событий и явлений, что будет показано в следующих главах. Хотя обнаружить самоподобные предметы несложно, практически не существует автоматизированной процедуры генерации рекурсивных функций, которые бы описывали подобные предметы.

Тот факт, что самоподобие и рекурсивные или итеративные события столь тесно связаны, может вызвать в нас странное чувство. Его попробовал выразить американский художник Дуэйн Майкл в своей серии фотографий Things are Queer («Странные вещи»). Человеческий разум притягивают бесконечные процессы. Они толкают нас на эксперименты с бесконечностью — недостижимой и влекущей. Возможно, подсознательно, а быть может, и нет, в этих поисках художники предлагают нашему вниманию столько же, сколько и ученые.

Серия фотографий Things are Queer Дуэйна Майклса.

Художник Мауриц Эшер, голландец (вспомним, что знаменитая этикетка с упаковки какао была также нарисована в Голландии), использует этот же эффект Дросте в своем шедевре «Галерея гравюр». Эту связь подтверждает и сам Эшер: «Юноша слева смотрит на гравюру, на которой изображен он сам». Но мы никак не можем это проверить, потому что именно в том месте, куда обращен взгляд юноши, находится подпись художника на белом круге. Это слепое пятно всегда было загадкой. Сам Эшер говорил, что «там все настолько детально, что продолжать было бы невозможно». Какую загадку скрывает этот ореол? Что мы увидели бы, если бы Эшер продолжил рисовать в соответствии с общим сюжетом гравюры? Говоря о сюжете, мы имеем в виду сеть линий, которые соответствуют горизонталям и вертикалям на рисунке без деформаций. Например, эту сеть частично формируют линии, образующие «вертикальные» и «горизонтальные» стороны картин и окон.

То, что на самом деле находится за первой аркой, стало известно лишь в 2000 г., когда Хендрик Ленстра, соотечественник Эшера, проанализировал эту сетку линий. Сначала он восстановил «Галерею гравюр» без искажений, и в центре картины появился пустой участок в форме бесконечной спирали. Затем он заполнил этот участок на основе имеющихся частей картины.

Слева — «Галерея гравюр», справа — ее неискаженное изображение.

_{(Источник: Notices of the AMS, том 50, номер 4.)}

Бруно Эрнст, изучавший картину Эшера, так описывает последовательность увеличенных изображений неискаженной картины: «Юноша смотрит на гравюры Эшера в галерее искусств, и его взгляд падает на гравюру, очень похожую на гравюру „Сенгела, Мальта“ 1935 года. Юноша внимательно смотрит в верхний правый угол, где можно увидеть часть полуострова Сенгела. Там он замечает строение с навесом, очень похожее на галерею искусств, куда он только что вошел. Если мы уделим пристальное внимание деталям, то увидим, что в галерее представлены работы Эшера, и даже можно увидеть юношу, который рассматривает гравюру с тем же видом Мальты».

Последовательное увеличение неискаженного рисунка.

_{(Источник: «Эффект Дросте и „Галерея гравюр“ Эшера», Бруно Эрнст.)}

На основе математического описания сетки линий и выпрямленного рисунка Ленстра создал компьютерную программу, с помощью которой узнал, что же находится внутри таинственного ореола, и пошел дальше, чем Эшер… до бесконечности. Слепое пятно исчезло, и оказалось, что в центре «исправленной» версии «Галереи гравюр» вся картина повторяется бесконечное число раз. Любопытнее всего то, что сетку линий до самого центра можно было продолжить, даже не располагая исходным изображением внутри спирали.

Увеличенное изображение центральной части полной версии литографии.

_{(Источник: «ЭффектДросте и „Галерея гравюр“ Эшера», Бруно Эрнст.)}

Эшер был прав, когда говорил, что заполнить центральный круг невозможно, так как нужно работать с бесконечно большой точностью. Однако с помощью анимации можно передать всю информацию, которая содержится на картине.

То, как Эшер манипулировал пространством, делая это интуитивно, руководствуясь эстетическими принципами, необычно для мира искусства. Он использовал отражения, растяжения, деформации, проекции и другие аналогичные преобразования, с помощью которых скрывал в своих произведениях новые сложные миры.

Название этого раздела «Вселенная внутри круга» содержит отсылку к шедевру «Галерея гравюр», в центральном круге которого вся картина повторяется снова и снова, закручиваясь в бесконечную спираль. Оно также говорит о группе базовых элементов, которые использовал Эшер для бесконечного замощения центральной круговой области картины.

Фактически все картины Эшера можно разделить на три типа. На картинах первого типа изображены пейзажи и сцены из повседневной жизни, представленные с необычных ракурсов. На картинах второго типа мы видим невозможные фигуры и сооружения. К третьему типу относятся гравюры, на которых вся плоскость или ее часть раскалывается на части.

Покрытие поверхности мозаикой, в основе которой лежит цикличность и различные виды симметрии, создает ощущение бесконечности. Эшер упорно хотел изобразить бесконечность и был недоволен тем, что холст картины ограничивает его в этом. Он искал способ изобразить бесконечность в конечном пространстве и с этой целью начал создавать фигуры, покрытые сетчатым узором из кругов и квадратов.

Он стал рисовать серии повторяющихся фигур, вложенных одна в другую, начиная с края круглого или квадратного холста. По мере приближения к центру фигуры уменьшались в размерах. Тем не менее похоже, что и этим приемом он остался недоволен.

В 1958 г. он ознакомился со статьей британского ученого Гарольда Коксетера под названием Cristal Symmetry and Its Generalizations («Симметрия кристаллов и ее обобщения»), где описывался оригинальный способ укладки плиток, который вдохновил Эшера на новые поиски. Речь шла о разбиении круга на треугольники так, что их число возрастало по мере приближения к краю.

Этим рисунком Коксетер иллюстрировал модель неевклидова метрического пространства, называемого диск Пуанкаре. Диск Пуанкаре является моделью геометрии Лобачевского, в которой через одну точку можно провести несколько прямых, параллельных данной, о чем мы рассказывали в прошлой главе.

Диск Пуанкаре является частью важного ряда моделей геометрии Лобачевского, так как в реальном трехмерном пространстве (на языке математики оно обозначается ) не существует поверхности, на которой бы выполнялись законы этой геометрии[14]. Следовательно, этот раздел геометрии отличается от эллиптической геометрии, прекрасной моделью которой является сфера.

Модель, описанная Пуанкаре, — это круг, метрика которого отличается от метрики евклидовой плоскости. Метрика диска Пуанкаре такова, что все уменьшается в размерах по мере приближения к границе круга[15]. Как следствие, человек, живущий в мире Пуанкаре, никогда не сможет попасть на «край света».

* * *

В серии работ «Предел — круг» Эшер попытался изобразить эту метрику и свойство прямых в гиперболической геометрии, в то же время дав собственную трактовку бесконечности как вселенной в капле воды. Схемы замощения могут отличаться: представленная на рисунке схема, которую использовал в своей работе

Пуанкаре, состоит из семиугольников. Каждая вершина семиугольника является общей еще для двух семиугольников. Особенный интерес представляет картина Зшера «Ангелы и демоны», на которой пятиугольники, в которых все углы «прямые», каждой вершиной соединяются еще с тремя.

Слева — треугольная функция, которую использовал Пуанкаре в работе об эллиптических функциях. Как позднее говорил сам Пуанкаре, в этой работе он применил неевклидову геометрию. Справа — «Ангелы и демоны» Эшера.

Чешский географ и статистик Яромир Корчак изучал влияние географического местоположения на население. В 1938 г. он провел статистические исследования числа больших островов в разных регионах мира и обнаружил закон, который сыграл ключевую роль в определении понятия размерности в математике. Для данной площади S он вычислил число островов с площадью, большей чем S. Подсчитав по этому правилу число островов N(S) для каждого S, он представил результаты в виде точек на оси координат. Выполнив эти действия для разных регионов, для каждого из них он получил соответствующий график. Он заметил, что эти графики похожи: N обратно пропорционально S в определенной степени, то есть N равно константе k, разделенной на S в степени, которую мы обозначим за D:

N(S) = k/S^D.

Корчак сопоставил каждому региону соответствующее значение D. Впоследствии его результаты были уточнены, и теперь нам известно, что D для Африки (где один большой остров окружен мелкими) равно 0,5; D для Индонезии и Северной Америки (где крупные острова преобладают не столь явно) равно 0,75, а для всей планеты это число равно 0,65.

В прошлом веке многие ученые выявили похожие законы, например для словарного запаса людей или уровня воды в Ниле. Во всех этих законах фигурирует показатель степени, схожий с D. Наиболее значимым из них является закон, открытый Льюисом Фраем Ричардсоном (1881–1953), английским ученым и пацифистом, который первым применил современные математические методы для прогнозирования погоды, а также для изучения причин возникновения войн и их предотвращения. Изучая закономерности возникновения войн, он решил исследовать взаимосвязь вероятности войны между двумя странами и протяженности границы между ними.

Много лет Ричардсон собирал данные о протяженности границ между странами, но результаты его исследований были опубликованы лишь в 1961 г., спустя восемь лет после его смерти. В своей статье он отметил, что разные страны приводят разную длину одних и тех же границ с другими странами (для этого было достаточно обратиться к соответствующим справочникам). Например, в испанских справочниках длина границы между Испанией и Португалией равна 987 км, в португальских — 1214 км. Аналогично в голландских источниках указана длина границы с Бельгией в 380 км, в бельгийских источниках приведена цифра в 449 км.

* * *

На основе графиков Ричардсон попытался выяснить причину столь заметных различий, которые могут достигать 20 %. Его объяснение столь же удивительно, сколь и очевидно: единица измерения, используемая одной страной, может быть намного меньше, чем единица измерения, применяемая в другой стране. В чем же заключались эксперименты Ричардсона? Допустим, мы фиксируем раствор циркуля, равный 10 см. Затем мы с помощью циркуля по карте измеряем протяженность береговой линии, непрерывно отсчитывая ее длину. Полученное значение является лишь приближенным, так как береговая линия на карте имеет выпуклости и вогнутости размерами меньше 10 см. Затем уменьшим раствор циркуля и установим его равным 1 см, после чего повторим измерения. Очевидно, что в этот раз результат измерений будет больше, так как ломаная линия, прочерченная циркулем, будет точнее соответствовать береговой линии. Здравый смысл подсказывает, что эти значения сходятся к некоторому конечному числу, которое и будет истинной длиной побережья или границы. Однако Ричардсон показал, что результат измерений будет бесконечно возрастать по мере уменьшения единицы измерения и увеличения масштаба карты. Этот удивительный факт известен под названием «эффект Ричардсона».

Приближенные вычисления длины береговой линии острова Мальорка, выполненные с различной точностью. Измерения слева производились отрезком большей длины, чем на иллюстрации справа. Нетрудно видеть, что точность измерения на рисунке справа выше. Удивительно, но в соответствии с эффектом Ричардсона с ростом точности пределом измерений будет не истинная длина береговой линии, а бесконечность.

В свое время научное сообщество проигнорировало исследования Ричардсона, однако сегодня они считаются крайне важными, так как дали толчок к изучению фракталов. Бенуа Мандельброт цитирует Ричардсона в известной статье 1967 г. под названием «Какова длина побережья Великобритании?». В этой статье Мандельброт объясняет, что понятие длины для объектов неправильной формы, например для побережья, не имеет смысла. Как следствие, математики определили число, которое являлось бы количественной оценкой площади подобных объектов неправильной формы. Это число — экстраполяция числа «привычных» измерений объектов классической геометрии (одно, два, три измерения и так далее). Следовательно, «неевклидовы» объекты неправильной формы подобного типа часто имеют дробное число измерений.

Геометрия Евклида, в которой число измерений может быть только целым, не отражает всей сути фигур неправильной формы. Эксперимент Ричардсона равносилен вычислению длины в разных масштабах. Если мы измерим длину побережья из космоса, то полученный результат будет меньше, чем если мы, подобно муравью, пройдем вдоль всего побережья, считая каждую песчинку.

Рассмотрим в качестве примера клубок ниток. Издалека он кажется точкой, иными словами, фигурой с нулем измерений. Если наблюдатель подойдет ближе, то увидит, что клубок напоминает сферу, то есть имеет три измерения. Если он еще приблизится, то увидит, что в клубок свернута одна нить; таким образом, клубок будет иметь всего одно измерение. Когда наблюдатель приблизится настолько, что сможет рассмотреть структуру нити, то клубок снова станет трехмерным, поскольку станут видны отдельные волокна, из которых состоит нить. Подобный процесс можно продолжать и далее. Таким образом, очевидно, что о числе измерений клубка ниток нельзя говорить объективно: все зависит от положения наблюдателя, то есть от масштаба наблюдений.

Продемонстрируем эффект Ричардсона, сравнив приближенное значение длины окружности с одной стороны и периметр острова Мальорка — с другой. Пусть окружность имеет диаметр 100 км — это величина одного порядка с диаметром острова. Длина окружности будет в 71 раз больше диаметра, то есть 314,15… км. Поместим результаты на логарифмическую шкалу, чтобы лучше оценить результаты для разных растворов циркуля, которые мы будем применять при измерениях. Отметим на горизонтальной оси логарифм величины, обратной раствору циркуля, что можно интерпретировать как точность измерений: при малом растворе циркуля s точность измерений 1/s будет выше. На вертикальной оси будем отмечать логарифмы от рассчитанных значений периметра.

Для раствора циркуля, эквивалентного 50 км, наилучшим приближением окружности будет шестиугольник со стороной в 50 км и периметром в 300 км. Если в качестве приближения окружности мы выберем 12-угольник со стороной 25,882 км, то приближенное значение ее длины составит 310,584 км, для 24-угольника со стороной 13,053 км — 313,272 км, для 48-угольника со стороной 6,54 км — 313,92 км, для 96-угольника со стороной 3,272 км — 314,112 км и для 192-угольника со стороной 1,636 км снова получим длину, равную 314,112 км. Мы видим, что по мере уменьшения раствора циркуля приближенное значение длины окружности все ближе и ближе к реальному.

Однако при измерении длины побережья Мальорки все иначе. Если в качестве приближения выберем многоугольник со стороной 28 км, получим периметр 362,2 км, для многоугольника со стороной 14 км периметр будет равен 416,7 км, при стороне, равной 7 км, периметр будет равен 467,7 км, при стороне 3,5 км периметр достигнет 524,8 км.

В обоих случаях точки графика с хорошей точностью аппроксимирует прямая. Очевидно, нельзя ожидать, что точки будут лежать точно на одной прямой — это невозможно в силу неизбежной погрешности измерений. В случае с окружностью прямая расположена практически горизонтально; для береговой линии Мальорки прямая имеет наклон (угловой коэффициент d = 0,17). Уравнение прямой можно выразить в виде log l = d∙log (1/s) + k, где l — приближенное значение периметра для раствора циркуля s; d — рассчитанный угловой коэффициент прямой; k — некая постоянная. При переходе к экспоненциальной форме получим:

l = с/s^d,

где с — основание логарифма в степени k.

Заметьте, насколько эта формула похожа на закон Корчака.

Итог работы Ричардсона таков: традиционное понятие длины при измерении береговой линии не имеет смысла. Он предложил использовать новую величину, которую можно назвать «морщинистость», определяемую значением углового коэффициента d из предыдущего примера. Для реальных границ и побережий были получены следующие значения d:

d = 0,25 для западного побережья Британии, одного из самых изрезанных заливами берегов на планете;

d = 0,15 для границы Германии;

d = 0,14 для границы Испании с Португалией;

d = 0,13 для побережья Австралии;

d = 0,02 для южноафриканского побережья, одного из наиболее ровных берегов.

Фрактальные объекты в природе обычно можно увидеть в границах и деревьях.

К границам относятся границы между любыми двумя средами в биологии, физике, химии и так далее, а также между двумя разными поверхностями: границы между странами, берега рек, морские побережья, облака и многое другое.

К деревьям в этом смысле можно отнести все случаи ветвления с самоподобием: деревья, кусты и растения, бассейны рек, молнии и так далее.

Некоторые растения и бассейны некоторых рек при наблюдении с высоты имеют фрактальную структуру.

Кривые, поверхности и объемные тела могут быть столь сложны, что измерение их параметров может вызвать серьезные затруднения. Однако длина, площадь и объем не изменяются произвольно в зависимости от выбранного масштаба, и существуют законы, позволяющие вычислить одну из этих величин, если известна другая. Закон, открытый Ричардсоном (а также открытия Корчака, Ципфа и Херста), согласно которому длина является степенной функцией точности с показателем степени d, будет полезен в обсуждении нового понятия — размерности.

В начале XX в. одной из крупнейших задач математики было определение размерности и ее свойств. Ситуация осложнилась, когда начали появляться различные виды размерности: топологическая, размерность Хаусдорфа, фрактальная, самоподобия и многие другие. Все они связаны между собой, в определенных ситуациях некоторые из них имеют смысл, а другие нет, иногда они совпадают, иногда отличаются. Вопреки тому, что можно было бы ожидать, не следует думать, будто существует некое единственное определение размерности, которое полностью раскрывает смысл этого понятия. Поиски единого приемлемого универсального определения, подобно поискам Святого Грааля, оказались безрезультатны.

Джеральд А. Эдгар в своей книге Measure, Topology and Fractal Geometry («Измерения, топология и фрактальная геометрия») так иллюстрирует понятие размерности:

Идея определения размерности по индукции восходит к «Началам» Евклида, где неявно приводится похожая формулировка: говорят, что фигура является одномерной, если ее граница состоит из точек; двумерной, если ее граница образована кривыми; трехмерной, если ее граница состоит из поверхностей.

Пуанкаре заново рассмотрел этот вопрос, оперируя похожими терминами, и ввел понятие топологической размерности. Он дал такое определение: пространство имеет размерность n, если его можно каким-либо способом разделить пространством, имеющим размерность n — 1. Однако, чтобы это определение стало более строгим, нужно корректно определить значение формулировки «каким-либо способом разделить». В 1913 г. первую попытку уточнить это определение предпринял Брауэр, затем десять лет спустя Урысон. Каждый привел различные толкования, но для локально связных пространств они совпадают. Так, в настоящее время наиболее важными считаются три определения топологической размерности: индуктивное определение Урысона (и Менгера), индуктивное определение Брауэра (и Чеха), а также размерность Лебега, определенная посредством покрытий[16].

Топологическую размерность Лебега (далее мы будем именовать ее просто топологической размерностью) очень удобно использовать для множеств, имеющих неправильную структуру.

Наглядно изобразить топологическую размерность очень просто. Покрытием подмножества S на ⁿ является семейство открытых множеств[17] таких, что их объединение содержит множество S. На рисунке показано покрытие кривой на ².

Покрытие кривой с кратностью 2.

_{(Источник иллюстраций на этой странице: Мария Изабель Бинимелис.)}

Аналогичные действия можно выполнить для любой части заданной плоскости. Приведем простую аналогию. Пусть нужно закрасить определенную область зеленым цветом. У нас есть одна или несколько печатей, которые могут иметь круглую или другую форму. Покрытием этой области будет раскрашивание ее в зеленый цвет без промежутков. Очевидно, что некоторые участки будут покрыты несколько раз, поэтому они будут окрашены в более темный цвет. Выберем из всех таких участков один (или несколько) самого темного цвета, то есть такой, который был закрашен наибольшее число раз, и назовем это число кратностью покрытия. Взгляните на рисунок ниже.

Рассмотрим первое покрытие (слева) и обратим внимание на маленький участок, почти точку, закрашенный черным цветом: он покрыт пятью печатями, и нет никакого другого участка, который был бы покрыт большее число раз. Следовательно, кратность этого покрытия равна пяти. Можно ли уменьшить эту кратность? Иными словами, можно ли поставить печать на всех точках поверхности, не покрывая какую-либо точку пять раз? На рисунке справа видно, что это возможно: мы слегка уменьшили площадь печатей (каждая из них содержится внутри соответствующей печати, расположенной в том же месте на рисунке слева), и вся нужная область оказалась покрытой полностью. Это новое покрытие называется подпокрытием предыдущего. Для нового покрытия кратность уменьшилась до четырех.

Можно получить покрытие кратности 3, как показано на следующем рисунке, но покрытие кратности 2 уже невозможно.

Заданная область, каждый участок которой покрыт не более чем тремя печатями.

_{(Источник: Мария Изабель Бинимелис.)}

В целом говорят, что множество имеет топологическую размерность п, если наименьшая возможная кратность его покрытия равна n + 1. Следовательно, говорят, что топологическая размерность первой фигуры (кривой) равна 1, размерность второй фигуры (области) равна 2. Точка является 0-мерной, линия — одномерной, плоскость — двумерной, а евклидово пространство ⁿ является n-мерным.

С этой точки зрения размерность произвольного пространства (точки, линии, поверхности и других) соответствует минимальному числу параметров, необходимых, чтобы описать различные точки этого пространства. Например, чтобы описать все точки плоскости, достаточно всего двух координат: абсциссы (которая, например, определяет длину) и ординаты (определяет ширину). Пространство требует наличия уже трех координат: длины, ширины и высоты.

Необходимость ввести определение топологической размерности была в значительной степени вызвана тем, что традиционное определение размерности (в котором фигурировали интуитивно понятные и неточные термины, например «тонкость») было поставлено под сомнение в последние годы XIX в. Первое определение следует из доказательства Кантора, которое подтверждает взаимно однозначное соответствие между множеством точек вещественной прямой ¹ и вещественной плоскости ².Второе определение основано на том, что существует непрерывная функция ¹ на ², открытая Пеано.

Одна из задач вычислений — это выполнение различных измерений, например, измерение длин кривых, площадей фигур, объемов тел и так далее. Иногда точно измерить длину кривой непросто, но можно получить приближенный результат с очень хорошей точностью, используя спрямление кривой (приближение кривой ломаными линиями или полигональное приближение). Чем меньше отрезки ломаной линии, тем точнее результат. На следующем рисунке показано приближение синусоидальной кривой отрезками ломаной линии, расположенными так, что концы отрезков лежат на этой кривой.

Приближение кривой ломаными.

Кривая называется спрямляемой, если длины вписанных в нее ломаных стремятся к определенному общему значению L, когда длины отрезков ломаных стремятся к нулю, то есть отрезки становятся все короче и короче. Это общее значение L и будет длиной заданной кривой. Для вычисления площадей используются аналогичные рассуждения с той лишь разницей, что вместо длин отрезков вычисляется площадь прямоугольников.

В приведенном примере мы используем различные объекты, имеющие топологическую размерность 1 (отрезки), чтобы вычислить приближенное значение объекта такой же размерности (кривой). Алгоритм действий удивительно остроумен и в то же время интуитивно понятен.

Существует ли вероятность аппроксимации объектов любой евклидовой размерности с помощью других объектов меньшей размерности? Например, можно ли найти приближенное значение площади квадрата с помощью кривой? Интуитивно понятно, что это невозможно: кривые не имеют толщины, следовательно, не могут покрывать пространство полностью. Иными словами, объект, имеющий топологическую размерность 1 (кривую) нельзя преобразовать в объект размерности 2 (например, в квадрат). Кажется, что предполагать обратное было бы попросту нелепо.

Итальянский математик Джузеппе Пеано в 1890 г. открыл непрерывную кривую, проходящую через все точки квадрата с единичной стороной, то есть кривую размерности 1, которую можно преобразовать в объект размерности 2. Пеано следовал тем же путем, что и Кантор, который ранее доказал противоречащее интуиции утверждение: мощность бесконечного множества точек отрезка единичной длины равна мощности бесконечного множества точек любой поверхности, например квадрата с единичной стороной. Подробнее мы рассмотрим это революционное открытие несколько позже[18].

Интуиция подсказывает, что непрерывная кривая — это «путь, которым следует точка при непрерывном движении». Чтобы устранить неоднозначность определения и подчеркнуть значимость открытия Пеано, Жордан в 1887 г. ввел следующее строгое определение непрерывной кривой: «Непрерывная кривая является непрерывным отображением отрезка, определенным для всех точек единичного отрезка». Стандартный алгоритм построения кривой Пеано — это повторяющийся процесс, при котором каждый из девяти отрезков исходной кривой заменяется кривой, сгенерированной на каждой итерации алгоритма.

Девять отрезков исходной кривой приведены на рисунке ниже (первый отрезок обозначен цифрой 1 и так далее):

Затем процесс повторяется для каждого из девяти исходных отрезков (иными словами, каждый из девяти отрезков заменяется всем рисунком) и так далее. В результате получим кривую следующего вида (на нижней тройке изображений углы срезаны, чтобы наглядно показать, что кривую Пеано можно построить, не отрывая карандаша от бумаги).

После бесконечного числа итераций кривая Пеано примет форму квадрата.

Однако сам Пеано нашел лишь аналитическое построение, но не определил этот итеративный процесс и также не смог изобразить эту кривую графически (однако он привел рисунок в виде перевернутой восьмерки, чтобы показать непрерывность найденной им кривой). Пеано просто показал, как именно график найденной им функции будет постепенно заполнять квадрат. Другие математики в попытках графически представить абстрактную функцию, описанную Пеано, предложили итеративный алгоритм ее построения, показанный на рисунках выше, а также на следующем рисунке:

Как следствие, мы не знаем, какую именно из этих кривых можно назвать собственно кривой Пеано. Обе они в пределе образуют одну и ту же фигуру — квадрат.

В статье Пеано, которая была опубликована в 1890 г., впервые описывалась кривая, покрывающая плоскость.

Также существуют варианты кривой Пеано, которые не покрывают плоскость. Одну из них можно получить аналогичным преобразованием исходных девяти отрезков с тем отличием, что вертикальные линии будут короче горизонтальных.

Еще одну кривую подобного вида можно получить, если удалить центральный отрезок. Эта кривая обладает интересным свойством: ее график является непрерывным, но функция, которая определяет эту кривую, непрерывной не является.

Еще до того, как появились графические изображения кривой Пеано, Давид Гильберт открыл другую кривую, которая также покрывает плоскость. Базовый принцип, лежащий в основе кривой Гильберта, слегка отличается от принципа кривой Пеано: используется не единственный шаблон, а несколько, и к каждому из них применяются различные правила. Подобные построения называются нестандартными.

Блестящий немецкий математик Давид Гильберт.

На рисунке показано, как на каждом шаге части кривой соединяются тремя отрезками, которые непрерывно уменьшаются в размерах. Именно так описал построение этой кривой сам Гильберт в 1891 г. в короткой статье всего на двух страницах. Существует стандартное построение этой же кривой, в основе которого лежит несколько иная фигура. Оставим поиски этого построения заинтересованному читателю. Отличие кривой Гильберта от кривой Пеано в том, что в первой на каждом шаге построения длины отрезков и квадратов уменьшаются в два раза, а в кривой Пеано — в три раза.

Существуют интересные вариации кривой Гильберта: в одной из них в качестве исходной фигуры используется перевернутая буква V, в другой, за авторством Карла Хансена, исходной фигурой является буква Н (очевидно, по первой букве фамилии Гильберта — Hilbert). Кривая Гильберта обладает еще одной любопытной особенностью: ее можно видоизменить так, что она будет покрывать объемную фигуру, как показано на рисунке:

Эта трехмерная версия кривой Гильберта имеет большое значение в устройствах передачи данных, в особенности там, где для выявления ошибок используется так называемый код Грея — вариация двоичного кода. В традиционном двоичном коде числа от 0 до 7 записываются так: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Затем каждое число этой последовательности располагается в одной из вершин куба так, чтобы двоичные разряды соответствовали координатам этой вершины. Например, число 001 нужно расположить в точке с координатами (0, 0, 1). После этого числа нужно упорядочить, следуя вдоль кривой Гильберта, как показано на рисунке ниже.

Эта последовательность двоичных чисел является кодом Грея, который обладает особым свойством. При внимательном рассмотрении заметно, что соседние значения различаются только в одном разряде (одним битом информации), что не выполняется для традиционной последовательности чисел, где, например, за 001 следует 010 (эти числа отличаются двумя разрядами). Говоря техническим языком, расстояние Хэмминга между двумя соседними 3-битными числами равно 1. Если нам нужно закодировать не первые восемь натуральных чисел, а больше, то понадобится следующая итерация кривой Гильберта, с помощью которой мы закодируем числа от 0 до 31. Код Грея позволяет существенно снизить количество ошибок при передаче информации. В частности, он широко применяется в наземных сетях цифрового телевидения.

Кривая Гильберта также используется при цифровой обработке изображений. Если мы хотим распечатать изображение в градациях серого на лазерном принтере первого поколения, то нам понадобится приближенная бинарная модель изображения, так как принтер «понимает» только значение 0 или 1 (тонер/нет тонера). Для этого применяется так называемый дизеринг. Эта техника имитирует широкую палитру цветов, хотя в действительности используется крайне ограниченное число оттенков. Она также применяется при моделировании множества оттенков серого в двоичном коде.

На рисунке слева — исходное изображение в 256 оттенках серого (именно эта конкретная фотография обычно приводится в качестве примера в научных статьях, посвященных обработке изображений). На втором рисунке слева — увеличенное изображение с примененным эффектом дизеринга, который позволяет имитировать 256 оттенков серого, когда реальное число градаций серого меньше 256. Далее приведено еще два увеличенных изображения. Для генерации последнего использовалась кривая Гильберта.

Как правило, этот процесс обычно выглядит так: для преобразования изображения в 256 градаций серого используется проход по линиям или блокам пикселей. Каждому пикселю присваивается оттенок серого из сокращенной палитры цветов в зависимости от оттенков соседних пикселей таким образом, чтобы снизить общую ошибку. Как видно на втором рисунке, после применения дизеринга на изображении возникают характерные мелкие дефекты. Чтобы избавиться от них, вместо прохода вдоль горизонтальных линий используется обход вдоль кривой Гильберта, проходящей через все пиксели изображения. Преимущество этого метода заключается в том, что в этом случае отсутствуют ярко выраженные дефекты, которые нетрудно заметить при других способах обхода изображения.

После публикаций Пеано и Гильберта многие другие математики стали предлагать похожие примеры. Среди них были Хельге фон Кох, Поль Леви и Эрнесто Чезаро, Вацлав Серпинский и Исаак Шёнберг. Швейцарский математик Хельге фон Кох в 1904 г. опубликовал статью «Об одной непрерывной кривой, не имеющей касательных, построенной с помощью методов элементарной геометрии». Под этим пугающим названием скрывалось нечто очень простое и столь же удивительное. Рассмотрим отрезок горизонтальной прямой, имеющий единичную длину. Заменим исходный отрезок четырьмя отрезками длиной 1/3 и получим первую кривую для итеративного построения, которое показано на рисунке ниже:

Если построить три копии кривой Коха на сторонах равностороннего треугольника, получится так называемая снежинка Коха. Эта кривая обладает удивительным свойством: ее длина бесконечна, а площадь закрашенной области — нет.

Мы уже определили понятие размерности для любых объектов и увидели, что существуют кривые, подобные кривым Гильберта и Пеано, которые имеют размерность 1, но покрывают область размерностью 2. Возникает необходимость дать понятию размерности другое определение, которое согласовывалось бы с результатами наших наблюдений. Кривая Коха будет идеальным примером, который проиллюстрирует наши рассуждения. Новая размерность, о которой мы поговорим далее, называется фрактальной размерностью. Затем мы продемонстрируем фрактальную размерность для фигур, не обладающих свойством самоподобия.

Понятие самоподобия более подробно обсуждается в следующей главе. Здесь же мы укажем лишь его некоторые основные свойства. Объект обладает самоподобием, если имеет ту же форму, что и его части. Части самоподобного объекта могут быть получены путем преобразований этого объекта, которые называются преобразованиями подобия. Например, если мы возьмем кривую Коха, уменьшим ее в три раза и сделаем три копии новой, уменьшенной кривой, то сможем соединить их так, что получится новая кривая Коха. Мы последовательно расположим копии кривой так, что первая будет располагаться горизонтально, вторая — с поворотом на 60°, третья — с поворотом на —60°, четвертая — вновь горизонтально.

Этим свойством обладают и другие, даже самые простые объекты: например, можно уменьшить отрезок в два раза, соединить между собой две его уменьшенные копии и снова получить исходный отрезок. Нечто подобное можно сделать с квадратом: его можно уменьшить в четыре раза, затем соединить четыре уменьшенные копии и снова получить исходный квадрат. Во всех структурах, обладающих свойством самоподобия, существует взаимосвязь между коэффициентом уменьшения r (коэффициентом масштаба) и количеством частей n, на которые делится исходный объект. Рассмотрим эту взаимосвязь подробнее.

В случае отрезка коэффициент уменьшения r = 1/2, а для восстановления исходного отрезка нужно n = 2 копии. Если коэффициент уменьшения r равен 1/3, то нам понадобится n = 3 копии. Следовательно, во всех случаях n = 1/r. В случае квадрата для коэффициента уменьшения r = 1/2 потребуется n = 4 копии, чтобы восстановить исходный квадрат. Если коэффициент уменьшения r равен 1/3, то нам понадобится n = 9 копий. Во всех случаях будет выполняться соотношение n = 1/г².

Выполнив аналогичные подсчеты для куба, получим, что при коэффициенте уменьшения, равном 1/2, для восстановления исходного квадрата потребуется 8 копий, при коэффициенте уменьшения, равном 1/3, — 27 копий. В обоих случаях справедливо соотношение n = 1/r³. Показатель степени г всегда совпадает с топологической размерностью исходной фигуры.

Однако если мы проведем подобные вычисления для кривой Коха, то получим, что в первой итерации n = 4, r = 1/3. В этом случае взаимосвязь уже не столь очевидна. Руководствуясь результатами, полученными для отрезка и квадрата, предположим, что аналогичное соотношение выполняется и для кривой Коха, следовательно, 4 = 3^D, где D — условная размерность рассматриваемой кривой. Вычислить D очень просто: нужно взять логарифм от обеих частей уравнения. Получим: log 4 = D∙log 3, D = log 4/log 3 = 1,2629. Если мы выполним аналогичные вычисления для второй итерации кривой, получим 16 = 9^D или, что аналогично,

Фотографии Нила, Амазонки и Великих озер, сделанные с самолета. Можно увидеть крайне неравномерную структуру, которая описывается с помощью моделей фрактальной геометрии.

Силуэт большой рыбы, которая съедает маленькую, — аттрактор системы из 11 итерируемых функций. Шесть из них описывают тело рыбы, четыре — хвост, еще одна — силуэт маленькой рыбы. На рисунке приведена третья итерация.

Скульптура, автора которой вдохновил тетраэдр Серпинского. Он строится аналогично треугольнику Серпинского, единственная разница состоит в том, что вместо трех треугольников на плоскости используются четыре тетраэдра в пространстве.

Построение кривой Такаги, или бланманже, из многоугольников. Каждый следующий многоугольник строится на основе предыдущего по алгоритму, известному как «смещение средней точки».

Его использовал еще Архимед для вычисления площади сегмента, ограниченного дугой параболы и ее хордой.

Для создания этих искусственных пейзажей использовался тот же алгоритм, что и при построении графика функции Такаги, но уже в трех измерениях, с некоторыми изменениями и со случайным набором параметров. Генерирование фрактальных пейзажей применяется при съемках многих фильмов.

Некоторые объекты природы, например облака, легче моделируются с помощью фрактальной, а не евклидовой геометрии. Симуляция облаков производится с помощью приема компьютерной графики, который называется плазма. В нем используется коэффициент рассеивания, от которого будет зависеть итоговый результат.

Генетический код растений и других живых существ строится по принципу наименьшего действия. Инструкции, определяющие рост живых организмов, записываются в генетическом коде максимально экономичным образом. Именно поэтому большинство из них обладает свойствами самоподобия и имеет фрактальную структуру.

Изображение объемного множества Мандельброта, полученное с помощью алгоритма, основанного на кривых потенциала. Высота точки определяется числом итераций, после которых орбита этой точки удаляется от начала координат.

Увеличенное изображение объемного множества Мандельброта вблизи вершины большой кардиоиды. Все множество Мандельброта в таком масштабе по размерам будет сопоставимо с орбитой Юпитера. Оно подобно необозримой вселенной, полной замысловатых узоров, в которой обитают слоны, морские коньки, улитки.

Слева направо и сверху вниз представлена последовательность увеличенных изображений множества Мандельброта. Центр каждого изображения примерно совпадает с центром предыдущего.

Множество Мандельброта и множества Жюлиа, соответствующие различным значениям с, использованным при их построении.

Графическое изображение аттрактора Лоренца. Представлена орбита точки в пространстве, движение которой описывают определенные дифференциальные уравнения. Эти уравнения моделируют поведение потока жидкости и других схожих процессов. Точка вращается вокруг двух центров, перескакивая с одной орбиты на другую бесконечное множество раз. По словам Джеймса Глейка, это великолепное изображение, подобное рисунку оперения совы или крыльев бабочки, стало символом первых исследователей хаоса.

D = log 4²/log З² = (2log 4)/(2log 3) = 1,2629. Для любой итерации это соотношение будет выполняться при D = 1,2629. Это число называется размерностью подобия и обозначается D_S, в отличие от других фрактальных размерностей. Оно вычисляется по следующей формуле:

D_S = log n / log (1/r).

Мы нашли взаимосвязь между коэффициентом уменьшения r (коэффициентом масштаба) и количеством частей n, на которые делится исходный объект.

Чтобы лучше понять определение размерности подобия, рассмотрим несколько классических математических объектов, обладающих свойством самоподобия. Первым из таких объектов, который был открыт задолго до кривой Пеано (она также обладает свойством самоподобия; ее размерность мы вычислим позднее), было канторово множество. В наши дни Георг Кантор известен прежде всего благодаря своим трудам о бесконечности, в которых, в частности, доказал, что между точками пространства ¹ и точками пространства ² существует взаимно однозначное соответствие (об этом мы упомянули выше). Канторово множество было описано в 1883 г. За необычный внешний вид его также называют канторовой пылью. Построить его достаточно просто: начнем с единичного отрезка и удалим его среднюю треть, то есть интервал от 1/3 до 2/3. Затем удалим из каждого из двух полученных отрезков его среднюю треть (длиной 1/9), затем удалим среднюю треть (длиной 1/27) у всех четырех полученных отрезков и так далее. Результатом построения и будет канторово множество:

Это множество сложно изобразить, так как оно постепенно «исчезает», но нетрудно представить, как оно будет выглядеть, если мы продолжим процесс построения. Заметим, что если мы уменьшим канторово множество в три раза, то получим его левую часть. Если мы сделаем копию полученного множества и перенесем ее на 2/3 вправо, то получим правую часть канторова множества. Таким образом, канторово множество состоит из двух частей, каждая из которых в три раза меньше целого. По формуле размерности подобия получим:

D_s = log 2 / log 3 ~ 0,6309.

В канторовом множестве отсутствует какая-либо связь между точками, следовательно, его топологическая размерность равна нулю. Как можно видеть, его размерность подобия больше, чем топологическая размерность.

Для кривой Пеано, которая строится из девяти отрезков, n = 9, коэффициент уменьшения равен 1/3. Следовательно, ее размерность подобия равна

D_s = log3 ²/ log 3 = 2.

Двумерным аналогом канторова множества является так называемый ковер Серпинского. Его впервые описал польский математик Вацлав Серпинский в 1916 г. Первые четыре итерации построения ковра Серпинского выглядят так:

Можно сказать, что при построении ковра Серпинского на каждой итерации мы удаляем центральный квадрат полученной фигуры. Ковер Серпинского можно построить и другим способом: для этого нужно удалить центральный отрезок при построении кривой Пеано из девяти отрезков. Так как его можно получить из восьми копий оригинала, уменьшенных в три раза, то его размерность подобия будет равняться log 8/log 3–1,8928. Серпинский показал, что полученная кривая является универсальной, то есть содержит любую кривую, которую можно построить на плоскости. Если мы выполним аналогичное построение, взяв за основу пятиугольник или любой другой правильный многоугольник, то получим бесконечное множество «ковров». Наиболее известный из них, который строится на основе треугольника, — это так называемый треугольник Серпинского, изучением которого также занимался этот польский математик. Этот треугольник тоже можно получить итеративным построением на основе кривой; он имеет топологическую размерность 1 и размерность подобия, равную log 3 / log 2 ~ 1,5850.

Первые итерации построения треугольника Серпинского

Если мы перейдем к трем измерениям и обобщим построение канторова множества для куба, получим еще один удивительный объект — губку Менгера, названную в честь австрийского математика Карла Менгера, который открыл эту фигуру в 1926 г., когда занимался изучением топологической размерности. Это также универсальная кривая, но уже в трехмерном пространстве. Она имеет размерность подобия, равную log 20/log 3 ~ 2,7268, так как ее можно получить из 20 кубиков, каждый из которых в три раза меньше всей фигуры.

Скульптурное изображение губки Менгера.

«Близким родственником» этой кривой является тетраэдр Серпинского, который строится путем удаления центрального из пяти одинаковых тетраэдров. Он имеет чуть меньшую размерность подобия, нежели губка Менгера: log 4 / log 2 = 2.

Тетраэдр Серпинского.

Теперь, когда мы знаем, как вычисляется размерность подобия, попробуем связать ее с показателем степени, который фигурирует в законе Ричардсона, описывающем измерение границ и береговых линий. Представим, что мы хотим найти формулу Ричардсона для берега воображаемого острова, который имеет форму снежинки Коха. Этот остров (назовем его остров Коха) образован тремя одинаковыми кривыми, каждая из которых состоит из четырех самоподобных частей; коэффициент уменьшения равен 1/3. Следовательно, будет разумным выбрать для измерения длины берега раствор циркуля, равный 1/3, 1/9, 1/27 и так далее. Измерим один из трех берегов острова. Начнем с раствора циркуля, равного 1/3. Допустим, что длина стороны исходного треугольника равна единице. Первое приближенное значение длины берега будет равно 4/3. Выбрав раствор циркуля, равный 1/9, получим значение длины 16/9. Выполнив аналогичные расчеты, получим, что для раствора циркуля s = 1/3^k имеем l = (4/3)^k.

Представим полученные значения на логарифмической шкале. Мы можем выбрать любое основание логарифма. Будем использовать логарифмы по основанию 3 — это упростит вычисления, так как коэффициент уменьшения равен 1/3. Вспомним, что уравнение прямой, найденное Ричардсоном, имеет вид log₃ l = d∙log₃ (1/s). Если мы подставим в нее значения, вычисленные для стороны острова, получим log₃ (4/3)^k = d∙log₃3^h. Упростив, получим d = log₃ (4/3) = 0,2619.

Вспомним, что размерность подобия для снежинки Коха равнялась D_s = 1,2629. Как видим, дробные части этих чисел совпадают. Можно показать, что для объекта, обладающего самоподобием, наклон прямой Ричардсона d и размерность подобия связаны следующей простой формулой: D_s = 1 + d. Это означает, что размерность подобия можно вычислить двумя способами. Первый основан на геометрических свойствах фигуры, в нем фигурирует число частей структуры, подобных всей структуре в целом, и коэффициент уменьшения. Этот способ мы уже неоднократно использовали. Второй способ заключается в измерении расстояний с помощью циркуля.

Заметим, что размерность, вычисленная по алгоритму Ричардсона, является обобщением размерности подобия (они отличаются на единицу). Иными словами, мы можем вычислить фрактальную размерность для кривых, которые не обладают свойством самоподобия, например для берегов или границ. Но как можно вычислить размерность объектов, которые напоминают по форме пятно, губку или облако? В этих случаях циркуль нам не поможет. Расчет фрактальной размерности объекта может оказаться трудной задачей. Существует множество фракталов, размерность которых до сих пор не удалось рассчитать.

В этом случае нужно использовать размерность Минковского-Булигана. Она также известна как размерность Минковского, или грубая размерность. Она широко применяется в науке, так как ее можно очень просто рассчитать с помощью компьютера. Она также схожа с топологической размерностью и размерностью подобия.

Рассмотрим, почему это так. Проанализируем покрытие объекта, для которого мы хотим вычислить размерность. Если этот объект находится на плоскости, будем использовать для покрытия круги сравнительно малого радиуса. Если же объект находится в пространстве, будем использовать сферы. Это схоже с топологической размерностью Лебега, определенной посредством покрытий. Чтобы мы могли использовать общее обозначение для отрезков прямой, кругов на плоскости и сфер в пространстве, будем говорить о «шариках» радиуса эпсилон (ε). Будем обозначать N (ε) число шариков радиуса ε. Вычислим натуральный логарифм от этого числа и разделим его на log (1/ε), что, в свою очередь, отсылает к определению размерности подобия. Вспомним, что, применяя последнюю формулу к различным коэффициентам уменьшения, мы всегда получали один и тот же результат. Для объектов, которые не обладают свойством самоподобия (именно такие объекты мы сейчас рассматриваем), это не так. Определим размерность Минковского D_m как

D_M = lim_e->0 (log N(ε) / log (1/ε)).

Иными словами, размерность Минковского равна значению выражения log N (ε) / log (1/ε), когда ε стремится к 0.

* * *

Иными словами, размерность Минковского равна значению выражения log N (ε) / log (1/ε), когда ε стремится к 0.

Эта формула находит свое применение при подсчете клеток. Выполняются практически те же действия, что и при измерении расстояний на карте с помощью циркуля. Дана фигура, размерность которой мы хотим найти. Фигура помещается поверх сетки с шагом ε, который принимает значения 1 мм, 1 см и так далее в зависимости от размеров фигуры. Затем подсчитывается число квадратиков или клеток, которые покрывает фигура. Будем постепенно уменьшать значение и подсчитывать соответствующее число клеток для каждого. Затем, подобно алгоритму Ричардсона, построим график, осями которого будут логарифмические шкалы. На оси абсцисс будем обозначать логарифмы 1/ε, на оси ординат — логарифмы N(ε). Угловой коэффициент прямой, аппроксимирующей точки графика, будет равен D_M. Эта процедура применима к любым прямым, плоскостям и пространствам.

Подсчет клеток привлекает своей простотой, но размерности Минковского не хватает некоторых свойств, желательных с теоретической точки зрения. Немецкий математик Феликс Хаусдорф (1868–1942) из Боннского университета занимался теорией измерений и предложил новое определение размерности. Оно не применяется на практике, но имеет большое теоретическое значение и порой полезно для сравнения размерности некоторых разнородных множеств, которые имеют одинаковую размерность Минковского. В целом размерность Хаусдорфа меньше или равна размерности Минковского.

Рассмотрим подробнее последнюю и самую удивительную кривую — так называемую кривую дракона. Впервые она была исследована в 1960 г. тремя физиками NASA — Хайвеем, Бэнксом и Хартером. Она приобрела популярность несколько позднее, когда Мартин Гарднер рассказал о ней в своей колонке «Математические игры» в журнале Scientific American. Ввиду того что эту кривую очень просто построить и она обладает удивительными свойствами, ее изучением занялись исследователи из самых разных разделов математики.

Согласно Гарднеру, Хайвей построил эту кривую, сложив пополам полоску бумаги так, как показано на рисунке. Чтобы получить кривую дракона, нужно много раз сложить полоску бумаги в форме буквы «V», а затем развернуть ее так, чтобы все углы в местах сгиба были прямыми.

Первые итерации построения кривой дракона.

_{(Источник: Мария Изабель Бинимелис.)}

* * *

Американский писатель Майкл Крайтон использовал кривую дракона в своем романе «Парк Юрского периода». В начале каждой главы изображена соответствующая итерация кривой дракона с кратким комментарием одного из героев романа Яна Малькольма — математика и специалиста по теории хаоса. В книге рассказывается о клонировании динозавров на основе их ДНК, и кривая дракона служит метафорой этого сложного и нестабильного процесса.

Кривая дракона в заголовках глав «Парка Юрского периода».

Граница этой кривой имеет неправильную форму, но, что удивительно, идеально вписывается в границы других кривых дракона так, что ими можно целиком замостить плоскость. Согнуть лист бумаги можно двумя способами: «долиной» и «горкой». Если мы будем сгибать лист разными способами на каждой итерации, то вид кривой заметно изменится. Существует 16 способов построения кривой дракона, но лишь пять из них являются основными.

В 1958 г. Мандельброт начал работу в научно-исследовательском центре IBM, где занимался анализом шумов и электрических помех. Он обнаружил, что шумы подчиняются определенному образцу: группы колебаний повторялись при разном масштабе наблюдений. Повторяющиеся шаблоны совпадали не полностью, а были статистически подобными. Но несмотря на это, такие колебания все равно нельзя было описать известными методами математической статистики. Мандельброт начал подробнее исследовать это явление, стремясь обнаружить подобные шаблоны, которые нельзя описать методами математической статистики, в других системах. В попытках дать ответ на эти вопросы он разработал методы наблюдений, основанные на самоподобии, и с их помощью открыл фракталы. Мандельброт показал, что эти методы являются очень мощным инструментом для изучения случайных событий в столь различных сферах, как геостатика, экономика, физика и медицина.

В этой главе мы уже увидели, что задолго до Мандельброта изучением фракталов занимались некоторые известные математики. Мир, который описывает геометрия Евклида, ограничивается кубами, конусами и сферами и образован прямыми линиями, плоскими поверхностями и окружностями. Вейерштрасс, Кантор, Пуанкаре, Пеано, Гильберт, Кох, Серпинский и Хаусдорф смотрели дальше и видели неясные очертания другого, удивительного мира — мира текстур, ветвей и расщелин, из которых состояли многочисленные и сложные объекты.

Фигуры, открытые этими математиками, бросали вызов общепринятым определениям. Эти фигуры часто называли математическими монстрами, сравнивали с патологиями и болезнями. Тем не менее революционные работы этих ученых существенно продвинули вперед всю математику в целом.