Новый взгляд на мир [Фрактальная геометрия] (Мир математики. т.10.)

1

В отличие от Гесиода, орфизм считает Хаос потомком Хроноса и Ананке.

2

Несмотря на это, руководствуясь современными критериями точности, Бертран Рассел указал, что четвертое определение из первой книги «Начал» является «бессмысленным», и возмутился тем, что это определение до сих пор включают в учебники.

3

В 1899 г. немецкий математик Давид Гильберт написал труд «Основания геометрии», в котором на основе 21 аксиомы (постулата) доказываются элементарные теоремы геометрии. Гильберт также исправил некоторые неточности в работе Евклида.

4

Согласно Проклу, понятия «общее утверждение» и «аксиома» являются синонимами для Аристотеля и других логиков, хотя в «Началах» никогда не говорится об аксиомах (axiómata), а Аристотель предпочитает вести речь о принципах (archai) и общих предпосылках (tá коná). По-видимому, постулаты и общие утверждения появились именно в геометрии, хотя последние общеупотребительны во всей математике. Общие утверждения выражают фундаментальные свойства математических объектов, а постулаты определяют возможные геометрические операции. Под постулатом будем понимать утверждение, которое очевидно считается истинным. Сегодня под аксиомами понимаются не очевидные истины, а логические выражения (предположительно верные), используемые в дедукции. Постулат стал архаичным синонимом аксиоме.

5

Евклид совершил еще одну ошибку, опустив как минимум два постулата. Первый из них гласит: две окружности, удаленные друг от друга на расстояние, меньшее двух их радиусов, пересекаются в двух точках. Второй звучит так: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

6

Исходная формулировка этого постулата, эквивалентная данной, такова: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

7

Ошибочное доказательство, приписываемое Фалесу Милетскому, основано на предположении, что существует четырехугольник, все углы которого прямые. Однако существование прямоугольников нельзя доказать, не используя постулат о параллельности прямых.

8

Перспектива, от латинского perspicere — «проникать взором», эквивалентна греческому термину optiké — «оптика». Изначально перспективой называлось изучение зрительных феноменов. Именно в таком значении это понятие использовалось в Античном мире и в Средние века. То, что понимается под перспективой начиная с эпохи Возрождения и до наших дней, в Античности именовалось scaenographia. Эта дисциплина охватывала как изображения зданий, так и рисунки театральных декораций.

9

На языке математики проективным называется геометрическое преобразование, которое оставляет неизменным соотношение между отрезками гармонической четверки точек А, В, С и D так, что АВ/СВ = DA/DC.

10

В общем случае это алгебраические уравнения, в которых фигурируют производные. Подобные уравнения описывают поведение потоков, движение тел в силовых полях и многое другое.

11

Ферма доказал, что свет распространяется по тому пути, вдоль которого время движения минимально, а не вдоль пути, имеющего минимальную длину. Это еще раз доказывает, что физические законы зависят не от равенства углов, а от соотношения их синусов.

12

Чтобы множество, на котором определена некая операция, являлось группой, должны выполняться следующие условия. Операция должна обладать свойством ассоциативности; это означает, что для любых трех элементов множества а, b, с результат операции не зависит от того, в каком порядке группируются элементы. Далее, должен существовать нейтральный элемент; иными словами, множество должно содержать такой элемент е, что результатом операции над этим элементом и любым другим элементом а этого множества всегда будет элемент а.

Наконец, для каждого элемента должен существовать обратный. Это означает, что для любого элемента а этого множества должен существовать элемент a^-1 этого же множества, такой, что результатом операции над элементом а и обратным ему будет нейтральный элемент.

13

Николя Бурбаки — коллективный псевдоним группы французских математиков, которые в 1930-е гг. задались целью пересмотреть основы математики, используя крайне строгий подход. Среди членов группы были такие знаменитые математики, как Анри Картан, Жан Дьёдонне, Андре Вейль, Жан-Пьер Серр и Александр Гротендик.

14

Если использовать более точные математические термины, то не существует изометрического погружения (то есть такого, которое сохраняет расстояния) полной (то есть такой, где геодезические линии можно продлевать бесконечно) гиперболической плоскости в , хотя существуют локальные погружения, например псевдосфера, а также погружения, где первая производная является непрерывной.

15

В этой метрике расстояние между двумя точками Р и Q определяется как d(P,Q) = |ln(PA∙QB/PB∙QA)|, где А и В — точки на границе круга, через которые проходит единственная прямая, проходящая через Р и Q. (РВ — обычное евклидово расстояние между точками Р и В, аналогично для РА, QB и QA.) Это определение, автором которого является выдающийся британский математик Артур Кэли, подтверждает свойства этой метрики и точно выражает увеличение расстояния по мере приближения одной из точек к границе круга. Для точки, лежащей на границе круга, это расстояние будет бесконечно велико.

16

По определению Брауэра, размерность, равную —1, имеет пустое множество и только оно. Размерность пространства — наименьшее целое n такое, что для любого элемента этого пространства существует ряд произвольно малых открытых множеств с границами, размерность которых строго меньше n.

17

Чтобы определить открытое множество, сначала нужно понять, о каком пространстве идет речь и какая метрика используется. В нашем случае для простоты рассматривается реальное пространство с евклидовой метрикой.

18

Преобразование, открытое Кантором, взаимно однозначно, но не непрерывно. Пеано, напротив, ставил целью найти непрерывное преобразование единичного отрезка в квадрат с единичной стороной, которое не было бы взаимно однозначным (иными словами, несколько точек единичного отрезка отображались бы в одну и ту же точку). Это означало, что отрезок единичной длины и квадрат с единичной стороной не являются эквивалентными. Строгое доказательство этому нашел голландский математик Ян Брауэр в 1911 г.

19

Лобачевский в 1838 г. дал такое определение: «Функция от х есть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной».

20

В современных теориях, например в нестандартном анализе, эти понятия снова стали использоваться, но уже в другой трактовке.

21

Любое линейно связное множество является связным, но не наоборот.

22

Это определение эквивалентно определению непрерывности Коши — Вейерштрасса или определению на языке эпсилон-дельта.

23

Размерность Хаусдорфа для множеств Жюлиа варьируется в зависимости от значения с. Для с = i размерность Хаусдорфа приблизительно равна 1,2; для с = —0,123 + 0,745i она равна примерно 1,3934. Все эти значения найдены эмпирическим путем, а точная размерность для большинства из них неизвестна.

24

В основу этого раздела легла книга Musica fractal: El sonido del caos («Фрактальная музыка: звучание хаоса») Хуана Антонио Переса Ортиса, члена кафедры языков и информационных систем университета Аликанте, Испания.

25

Топологическая размерность кривых, покрывающих плоскость, равна 2, так как именно такую размерность будет иметь фигура, полученная в финальной итерации.

26

Выражение «зависимость от начальных условий» стало широко использоваться еще в 1906 г. после публикации П. Данхема.

27

Возможные последствия невинного взмаха крыла бабочки изобразил Рэй Бредбери в коротком рассказе 1952 г., посвященном путешествию во времени. До него эту же тему раскрыл Чарльз Гой Форт в двух романах 1923 г., в которых он размышлял о том, что перелет птиц в Нью-Йорке может вызвать ураган в Китае.