Прощай, нищета!

Техническое приложение

В данном приложении с помощью простых алгебраических операций выводятся все формулы, используемые в книге.

1. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РОСТА

Если у — выпуск продукции на душу населения, k — капитал на душу населения, z — земля на душу населения, а А — уровень эффективности, то для любой экономики

g_y = ag_k + cg_z + g_a, (1)

где g_x обозначает темп роста переменной, а — доля продукции, выплачиваемая собственникам капитала, и с — доля, выплачиваемая собственникам земли. Чтобы убедиться в этом, выразим общее соотношение между выработкой и другими переменными в виде

y = AF(k,z). (2)

Здесь А служит мерой того, насколько эффективно экономика преобразует факторы производства в продукцию. Точная природа функции F(k,z) не определена, и в этом нет необходимости.

Небольшое изменение эффективности ДА приводит к изменению выработки на величину AF(k,z). Так, повышение эффективности на 1 % приводит к возрастанию выпуска продукции на 1 %. Небольшое изменение величины капитала на душу населения Δr влечет за собой изменение выработки на rΔk, где r — арендная плата за единицу капитала. Так происходит из-за того, что в конкурентной экономике сумма выплат собственникам каждого фактора производства равна возрастанию выпуска при использовании дополнительной единицы факторов производства. Аналогично изменение Δz приводит к изменению выпуска на sΔz, где s — рента за единицу земли. Суммируя эти величины, мы можем выразить небольшое изменение выпуска продукции на душу населения в виде

Δy = rΔk + sΔz + ΔAF(k,z). (3)

Деление обеих частей уравнения (3) на у и перестановка дают нам

Δy/y = rk/y Δk/y + sz/y Δs/s + ΔAF(k,z)/AF(k,z). (4)

и из уравнения (4) следует уравнение (1).

2. ТЕМПЫ РОСТА ЭФФЕКТИВНОСТИ

Из уравнения (1) следует, что мы можем выразить темп поста эффективности как

g_a = g_y — ag_k — cg_z.

Точно таким же образом можно выразить рост эффективности как средневзвешенный темп роста выплат собственникам труда, капитала и земли. То есть

g_y = ag_k + bg_w + cg_s, (5)

Для того чтобы вывести это соотношение, отметим, что стоимость продукции равна сумме выплат владельцам труда, капитала и земли. Поэтому

y = w + rk + sz. (6)

Из уравнения (6) следует, что для небольших изменений опять же

Δy = Δw + Δrk + rΔk + Δsz + sΔz ⇒ Δy — rΔk — sΔz = Δw + Δrk + Δsz.

3. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В МАЛЬТУЗИАНСКОЙ ЭКОНОМИКЕ

Для периода до 1800 года уравнение (1) приобретает особый вид, в котором в долгосрочном периоде g_y = g_k = 0. Кроме того, g_z = — g_N, где N — уровень численности населения. Так, если численность населения возрастает на 1 % в год, то количество земли на душу населения сокращается в этом же темпе. Подстановка этих значений в уравнение (1) дает в долгосрочном периоде

g_А = сg_N .

Поскольку доход на душу населения в мальтузианской экономике в долгосрочном периоде не изменяется и поскольку в первом приближении заработная плата и прибыль от капитала должны быть постоянными, то из уравнения (5) следует, что

g_А = сg_s .

Поэтому темп роста реальной земельной ренты в мальтузианском мире при неизменных реальных процентных ставках должен быть равен темпу роста населения.

4. ИСТОЧНИКИ РОСТА ЭФФЕКТИВНОСТИ

Если в экономике существует j секторов, то общий темп роста эффективности экономики может быть разложен на вклады, вносимые каждым сектором, в виде

g_А = ∑ θ_jg_Aj ,

где θ_j — стоимость выпуска в секторе j по отношению к стоимости всей готовой продукции экономики.

5. СОВРЕМЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ РОСТ

В современную эпоху доля земельной ренты в национальном доходе индустриализованных экономик резко сократилась, как правило, составляя менее 4 % (см. рис. 10.3). Из этого следует, что для современной эпохи мы можем еще больше упростить фундаментальное уравнение роста:

g_y ≈ ag_k + g_a.

Более того, рост эффективности стимулирует еще большие инвестиции в основной капитал. Объем этого стимулированного накопления капитала можно оценить, исходя из того факта, что

a = rk/y.

Поскольку в современную эпоху a — величина относительно постоянная и составляет около 0,25, а реальная процентная ставка r также относительно постоянна, то, соответственно

g_k ≈ g_y.

Таким образом,

g_k ≈ g_a/ (1-a).

В современную эпоху величины agr и cgs близки к 0, поскольку gr и с близки к 0. Поэтому

g_a = bg_w

Таким образом, почти вся выгода от роста эффективности современной экономики достается наемным работникам. И мы можем оценить темп роста эффективности в современную эпоху, исходя из одного лишь роста реальной заработной платы.

6. ОБОБЩЕНИЯ

Вышеприведенные результаты для источников роста дохода на душу населения получены для экономики с од-ним-единственным типом продукции, одним типом труда, одним типом земли и одним типом капитала (который представляет собой просто накопленную продукцию). Но все эти результаты легко обобщить для экономики с многочисленными типами продукции, труда, земли и капитала, получив аналогичные выражения. Так, для экономики с i типами продукции рост выпуска представляется в виде

g_Y = ∑ θ_ig_Yi ,

где θ_i — доля товара или услуги i в стоимости продукции. Рост трудового вклада превращается в

g_Y = ∑ (b_i / b)g_Yi ,

где b_j — доля общих выплат собственникам факторов производства, выплачиваемая работникам типа j. Рост запаса капитала аналогично выражается в виде

g_Y = ∑ (a_i / a)g_Ki .