Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

«Дорогой Серр, спасибо за все статьи, которые ты мне любезно прислал, и за твое письмо. У меня никаких новостей. Закончил треклятое сочинение по гомологической алгебре».

Так начинается письмо Александра Гротендика Жан-Пьеру Серру от 13 ноября 1956 года. Удивителен его небрежный тон – особенно если знаешь, кто такой Серр, кто такой Гротендик и о чем это письмо.

Жан-Пьер Серр – один из величайших математиков XX века. Научная карьера не измеряется полученными наградами, но когда человек получает их все – это определенно что-то значит. Серр получил Филдсовскую премию в 1954 году в 27 лет – рекордно юный возраст, и этот рекорд не побит до сих пор. Премия вручается математикам моложе 40 лет, и долгое время не было другой награды за выдающуюся математическую карьеру в целом. В тот год перед вручающим ее комитетом стояла ответственная задача: из всех живущих математиков надо было выбрать того, кто заслуживал получить ее первым. И премия была присуждена Серру.

Что до Гротендика – он даже больше, чем великий математик. Еще задолго до своей смерти в 2014 году он стал легендой.

Он один из тех редких математиков (их всего несколько человек за всю историю), чей вклад не ограничивается глубокими результатами или эффектными теориями. Гротендик придумал свой способ подходить к математическим задачам, настолько новый и плодотворный, что он как будто изменил саму природу математики.

Именно поэтому его часто считают величайшим математиком ХХ века, если это понятие вообще имеет какой-то смысл.

Математик Александр Гротендик[5]

Что же касается «треклятого сочинения по гомологической алгебре», речь идет о статье «О некоторых вопросах гомологической алгебры», вышедшей в 1957 году в японском научном журнале Tohoku Mathematical Journal.

Эта статья стала первым опытом Гротендика в тематике исследований, которая принесет ему известность. Под влиянием Серра он приобщился к алгебраической геометрии. Между молодыми людьми завязалась математическая дружба, которой суждено было войти в историю как одной из самых плодотворных. Позже Гротендик скажет о своей встрече с алгебраической геометрией, что это было все равно что «вдруг обрести вновь "землю обетованную" с ее сказочными богатствами».

Описанию этой земли обетованной Гротендик посвятит 15 лет своей жизни. Письмо он называл сердцем своей методики. Вплоть до того, что заявлял: «Занимаясь математикой, человек прежде всего пишет».

Эта страсть к писанию делает его письмо к Серру глубоко загадочным. Ведь «треклятое сочинение» – это всего лишь первый рассказ о путешествии Гротендика в эту землю обетованную. Но редактура кажется ему настолько нудным занятием, что завершение этой работы, занимавшей его больше года, он вовсе не считает событием: «У меня никаких новостей».

Именно этими словами Гротендик сообщает о завершении исторической статьи.

Может быть, он шутил? Вряд ли. В интервью 2018 года Серр рассказывает, что одной из особенностей Гротендика было как раз полное отсутствие чувства юмора: «Не припомню, чтобы он когда-либо отпускал остроты. Например, про математику с ним шутить было нельзя».

За этим кажущимся парадоксом скрывается глубокая тайна о природе математической работы. Отстраненность и небрежность Гротендика могут казаться непонятными, но когда вы узнаете больше о его интеллектуальных действиях, вы поймете, что все это прекрасно согласуется.

Шутка вышла чересчур неуклюжей

Среди широкой общественности все знают, кто такой Эйнштейн, но мало кто знает Гротендика.

Сравнивать их не так уж нелепо. Эйнштейн совершил революцию в представлении физиков о пространстве и времени. Гротендик совершил революцию в представлении математиков о понятии пространства. Более того, он даже изобрел заново само понятие точки и предложил геометрический взгляд на понятие истины.

Некоторые математики даже считают, что сравнение с Эйнштейном несправедливо. Труды Эйнштейна они находят прекрасными, изысканными, блестящими, восхитительными. Они говорят, что это произведения очень сильного автора. Что же до трудов Гротендика, они находят их необыкновенными, головокружительными, великолепными и ужасающими. Они говорят, что подобные вещи не могут быть созданы человеком. Идеи Гротендика не всегда просто понять, но, когда понимаешь хоть немного, кажется невероятным, что кому-то могло такое прийти в голову.

Жан-Пьер Серр не стесняется говорить о творчестве Гротендика, что лично он не смог бы создать такого, поскольку «это требует огромной силы». Когда речь заходит о Гротендике, Серр упоминает «мощь, исходившую из его головы» и говорит о сверхъестественной силе его ума: «И в физическом, и в интеллектуальном плане – одинаково необыкновенно. Не знаю никого, в ком было бы столько силы. Я знаю людей с очень сильным интеллектом, но Гротендик – это просто животная мощь».

Гротендик это мнение не разделяет. Он не считает себя одареннее других. Его необыкновенный творческий потенциал происходит не отсюда:

«Эта власть – отнюдь не особый "дар", как, скажем, исключительная способность рассудка […] Подобные дары без сомнения драгоценны и уж, конечно, достойны зависти тех, кто (как я) не был от рождения наделен ими так щедро».

Гротендик дает совершенно другое объяснение: «Годны ли в дело изобретательность и фантазия искателя, определяется степенью напряженности его внимания, с каким он прислушивается к голосам вещей».

Мы словно в точности возвращаемся к словам Эйнштейна – нашей точке отсчета в начале главы 1: «У меня нет особого таланта. Я просто страсть как любопытен».

Но Гротендик идет еще дальше. И все же он знает, что никто не станет ему верить, потому что такие заявления никто никогда не принимает всерьез:

«Стоит лишь упомянуть о чем-нибудь подобном, как со всех сторон – на лице ли самого безнадежного тупицы, на устах ли ученейшего из ученых, о чьих заслугах простому смертному и мечтать грешно, – встречаешь одну и ту же, стесненную, понимающую улыбку. Дескать, шутка вышла чересчур неуклюжей».

У Эйнштейна была репутация шутника. Насчет Гротендика можно не беспокоиться – он не шутит никогда.

Жаль, что у нас так и не состоялся этот пресловутый разговор с Эйнштейном, где он раскрыл бы нам секреты своего творческого потенциала, согласился бы ответить на наши вопросы и рассказал бы правду в подробностях, как он это делает.

А вот Гротендик написал на эту тему текст размером больше тысячи страниц. Там он в точности описывает, что происходит у него в голове, когда он занимается математикой. Он признается в полной неспособности прочесть какой бы то ни было математический текст, даже простой, пока не создаст в мыслях нужные образы. Признается и в том, что не способен следить за конференциями, потому что для него все происходит слишком быстро. Объясняет, как справляется с ощущением полного непонимания. А главное – точно указывает, где для него во всем этом таится удовольствие.

Этот необыкновенный рассказ называется «Урожаи и посевы». Рукопись долго оставалась неизданной. Она передавалась из-под полы более 35 лет, и нужно было дождаться 2021 года, чтобы нашелся издатель, решившийся опубликовать ее[6].

Уникальное свидетельство

«То, что ведет и преобладает в моей работе, является ее душой и смыслом существования, – мысленные образы, возникающие в ходе работы, дающие возможность приблизиться к реальности математических объектов»[7].

«Всю жизнь я был неспособен прочесть математический текст, каким бы безобидным или упрощенным он ни был, если мне не удавалось придать этому тексту "смысл" в понимании моего опыта математических объектов, то есть когда текст не вызывал во мне мысленных образов и интуиции, которые вдохнули бы в него жизнь»[8].

Эти абзацы, как и все процитированные здесь, взяты из «Урожаев и посевов».

Рассказ Гротендика – долгий монолог, увлекательный, но обескураживающий, с пророческими нотками. Не могу сказать, что рекомендую вам его прочесть. Во всяком случае, только с серьезным предупреждением: это монструозный текст, длинный и трудный, местами блестящий, местами невнятный. Он множит метафоры и аллегории, усеян примечаниями и сносками, у которых есть собственные примечания и сноски. На протяжении сотен страниц автор блуждает в личных обидах и необоснованных упреках, отчего рассказ становится откровенно нечитаемым.

Это текст только для посвященных, но даже им крайне трудно добраться до конца.

Однако же все согласны, что «Урожаи и посевы» – самое потрясающее свидетельство о математическом опыте, когда-либо написанное. Как и многие мои друзья и подруги из мира математики, я нашел там моменты ослепительной ясности и правильности.

Не раз я останавливался при чтении и говорил себе: «Он прав. Так и есть. В этом и тайна. Вот так все в голове и происходит. На самом деле именно через эти мысленные действия, очень простые, вот эти действия, которые выглядят совершенно невинно, но которые никто и не думает выполнять, становишься очень сильным в математике. Никогда не читал ничего настолько же важного. То, что рассказывает Гротендик, надо бы суметь объяснить всем».

И все же я знаю, что мысль Гротендика в необработанном виде слишком загадочна, чтобы ее могли услышать за пределами ограниченного круга специалистов.

В итоге у нас в некотором роде та же проблема, что и с Эйнштейном. Нам не хватает возможности устроить честный разговор, задать простые вопросы. Гротендик пошел дальше, чем Эйнштейн. Он раскрыл нам невероятные подробности. Но, чтобы расшифровать его свидетельство, нужно связать его с нашим конкретным опытом. «Урожаи и посевы» – визионерский, но эзотерический текст, написанный слишком рано – в эпоху, еще не готовую получить это послание, – да еще и слишком одиноким человеком.

Прежде чем поделиться с вами тем, что лично мне запало в память при чтении, что созвучно моему собственному опыту, я хочу рассказать чуть побольше о жизни Гротендика и его выдающейся личности.

Ребенок-дикарь

Александр Гротендик родился в Берлине в 1928 году. Его родители были анархистами, вынужденными бежать от нацистского режима. В 1933 году, когда ему было пять лет, мать передала его на воспитание семье Вильгельма Гейдорна, лютеранского пастора из Гамбурга.

Похоже, что до этого момента Гротендик получал очень своеобразное воспитание, вдохновленное анархистскими принципами его родителей. Его приемная мать Дагмар Гейдорн сразу после знакомства с ним описывала его как ребенка-дикаря, грязного и без тени робости. Доверяя ей сына, Ханка Гротендик попросила, чтобы его никогда не посылали в школу и никогда не стригли ему волосы.

Александр Гротендик в детстве[9]

Гейдорны остригли ему волосы и отправили в школу. Пожалуй, это единственный мирный и «нормальный» период его существования. Он на всю жизнь сохранил привязанность к своей приемной семье.

В апреле 1939 года, опасаясь за безопасность Гротендика (его отец был евреем), Гейдорны посадили его в поезд, идущий в Париж, и там он воссоединился с родителями, бежавшими во Францию. Вскоре после этого его отец был арестован и отправлен в Освенцим, где умер в 1942 году. С 1940 года Гротендик с матерью жили на юге Франции в лагерях для интернированных.

Тогда и стало вырисовываться пристрастие Гротендика к математике. Дальнейшее похоже на штампы голливудского кино. В послевоенной Франции мать и сын не имели гражданства. Они жили бедно, зарабатывая уборкой домов и сбором винограда. Юного студента заметил один из преподавателей и написал ему рекомендательное письмо. В 1948 году, в возрасте 20 лет, Гротендик отправился в Париж и встретился там с несколькими величайшими математиками того времени.

Один из них дал Гротендику прочесть свою последнюю статью, которая заканчивалась списком из 14 важных нерешенных задач. Список из разряда тех, где целеустремленный студент может откопать хорошую тему диссертации: он выбирает проблему, три года над ней размышляет, призывает на помощь научного руководителя, решает проблему наполовину, и все довольны. Гротендик удалился к себе работать и вернулся через несколько месяцев. Он решил все 14 проблем.

Вплоть до 1970 года Гротендик неуклонно поднимался по ступеням, отделявшим безымянного беженца от вершины мировой науки. Он стал величайшим и сильнейшим. Мощь его работы феноменальна. Вокруг него возник исследовательский институт. В 1966 году ему была присуждена Филдсовская премия, на вручение которой он не явился, но это просто смехотворно в сравнении со всем остальным. Гротендик и его студенты взялись за титанический визионерский проект по реконструкции алгебраической геометрии, наследие которого в значительной степени дало пищу современным математическим исследованиям.

Но в 1970 году, в возрасте 42 лет, Гротендик резко оборвал научную карьеру. Он ушел из созданного вокруг него института и начал новый жизненный период, посвященный общественной деятельности и участию в движении глубинной экологии.

В середине 1980-х годов, через 15 лет после ухода, он пишет «Урожаи и посевы». Он намерен создать текст для широкой публики, поскольку считает себя носителем важного послания. В письме от 2010 года он признаёт, что это удалось ему не полностью: «Это размышление, это свидетельство о моей жизни математика, каким бы нечитаемым – могу это допустить – оно ни было, очень много значит для меня».

В 1990 году Гротендик удалился от мира. Он поселился в маленькой деревушке Ласер в департаменте Арьеж, у подножия Пиренеев, где предавался медитации и жил в полном одиночестве и аскетизме до самой своей смерти в 2014 году. Он дошел до того, что пытался кормиться исключительно супом из одуванчиков.

Гротендик никогда не переставал писать. После него осталось огромное количество математических, философских и мистических заметок, в том числе, кажется, размышление на 30 000 страниц, посвященное «проблеме зла».

Близость математического опыта к опыту безумия – это тема, которую мы не можем проигнорировать. Мы вернемся к ней в главе 17.

«С жадностью вслушиваясь в голоса вещей»

«Право открытия принадлежит ребенку; о нем-то я и поведу речь. О маленьком ребенке, который еще не оглядывается, как взрослые, на каждом шагу: как бы не ошибиться, не опростоволоситься на людях […] О ребенке, которого не пугает досадная манера иных вещей оказываться совсем не такими, какими мы привыкли их себе воображать».

Этот абзац «Урожаев и посевов» звучит как банальность, которую мы слышали уже сотню раз, и она явно лжива. Нет, из маленьких детей не выходит больших ученых. И даже если бы это было так, нам-то с этого что? Мы уже не станем детьми.

Но ведь Гротендик выражается метафорически. Он имеет в виду ребенка, живущего «в нас», с которым «мы потеряли связь». В начале своего рассказа он обращается к читателю именно с этими удивительными словами: «С тем, кто умеет быть один, с ребенком в тебе – только с ним я и хочу говорить».

По мнению Гротендика, его необычайный творческий потенциал берет начало в близости, которую он поддерживает с ребенком внутри себя: «Каким-то образом (я еще не задумывался над причиной) у меня такая невинность все же сохранилась».

Он описывает это как «дар одиночества», способность, «с жадностью вслушиваясь в голоса вещей, предаваться во власть этой младенческой игры целиком».

«Искать и находить, то есть спрашивать и жадно ловить ответ, – есть ли на свете более естественное занятие! И ведь оно доступно каждому, ни у кого нет особых привилегий. Это подарок; судьба наделяет им каждого из нас еще в колыбели».

Что бы мы ни думали о Гротендике, о его странности, эксцентричных манерах, причудливых увлечениях, нужно заставить себя заглянуть глубже. Если кто-то и может с полным правом поведать нам об этом, то только он.

«Урожаи и посевы» часто напоминают учебник по йоге, и в некотором роде именно о нем и идет речь. Через метафоры и истории из жизни эта книга описывает особую манеру владеть своим телом, очень конкретный психический настрой, необычное отношение к языку и к истине.

Гротендик – великий йог, придумавший собственную технику медитации. Она строится вокруг обретения радикальной формы любопытства и безразличия к чужому мнению, которую мы могли бы назвать позицией маленького ребенка.

Все математики развивают у себя подобные техники, но редко их осознают и редко могут объяснить. А вот Гротендик дает нам инструкцию.

Этот настрой психики совершенно определенно лежит в основе его рабочего метода. В самых общих чертах – вот в чем он состоит.

«Сам я более или менее уверен в моем утверждении»

Открыть книгу по математике на теме, в которой вы ничего не понимаете, – это примерно как оказаться за пультом управления пассажирского самолета или АЭС. Там куча кнопок и циферблатов, у вас нет ни малейшего представления об их назначении и ни малейшего желания наделать глупостей. Вы бы и хотели понять, но не понимаете. Нормальная реакция – сидеть смирно и, главное, ничего не трогать. Прежде чем трогать, надо все изучить и обдумать.

Но если вы посадите за пульт управления двухлетнего ребенка, он отреагирует иначе. Он перенажимает на все кнопки, в первую очередь на красные и на те, которые мигают.

Рекомендация Гротендика – поступать как двухлетний ребенок. Желая что-то понять, Гротендик испытывает удачу напрямую, без комплексов, как поступил бы маленький ребенок. Он не ждет, пока что-то поймет, прежде чем броситься туда с головой. Он идет не раздумывая, отчасти наобум:

«Когда в математике или в чем угодно та или иная вещь пробуждает во мне любопытство, я как будто ее расспрашиваю. Умны ли мои вопросы, не покажутся ли они кому-нибудь глупыми или не слишком продуманными, – об этом я не тревожусь».

«Бывает, я задаю ей вопрос-утверждение; это как проба лотом с борта корабля. Сам я уверен в нем настолько, насколько, к моменту его формулировки, я продвинулся на пути к пониманию общей картины».

«Часто, особенно в начале исследования, утверждение бывает заведомо ложным – достаточно сформулировать его, чтобы в этом убедиться».

Еще бы понять, что в его понимании означает расспрашивать вещи, задавать вопросы и брать пробы лотом.

На всем протяжении книги Гротендик описывает математическую работу как последовательность конкретных физических действий. Но что точно значит расспрашивать вещи? Если я хочу расспрашивать вещи, как мне поступать? При близком рассмотрении это весьма загадочное выражение, почти настолько же загадочное, как его зеркальный двойник, которым также пользуется Гротендик: вслушиваться в голоса вещей.

И кстати, раз уж мы здесь, – что такое «математическая вещь»? Где можно встретить эти самые вещи и как вступить с ними в общение?

Гротендик никогда не утруждает себя уточнением, вероятно, потому, что он настолько привык вести диалог с этими вещами, что уже забыл, что и ему самому пришлось этому учиться.

Математические вещи – это вещи, которые люди, не связанные с математикой, называют математическими понятиями или математическими абстракциями. Речь может идти о числах, множествах, пространствах, геометрических формах различной природы или других типах абстрактных структур. А вот математики любят называть это математическими объектами, потому что представление этих вещей в роли конкретных объектов, которые можно потрогать, облегчает понимание.

Расспрашивать вещи, вслушиваться в голоса вещей – значит пытаться представить их, изучить мысленный образ, который у нас возникает, попытаться сделать его прочнее, точнее, обнаружить в нем больше подробностей, словно пытаясь вспомнить сон.

Удовольствие ошибаться

Нужно выразить этот подход в конкретных терминах. Язык «Урожаев и посевов» настолько образен, что может создаться впечатление, будто автор намеренно стремится сохранить недосказанность.

Такое впечатление ошибочно. Гротендик изо всех сил старается быть точным. Его загадочный лексикон служит для решения насущной проблемы – его текст говорит о действиях, которые мы производим у себя в голове, и мысленных образах, которыми мы манипулируем, но в нашем языке нет нужных слов. Не существует специального лексикона, чтобы простыми словами рассказать об этих действиях и этих образах. Никто не позаботился сказать нам, что у нас есть право об этом говорить.

Позиция маленького ребенка – это не аллегория, а совершенно конкретный настрой ума.

Базовый принцип прост, но представляет собой настоящую революцию. Это тот тип идей, о которых почти никто не задумывается, потому что это слишком просто и противоречит нашему инстинкту. Тот тип идей, который как раз и способен все изменить, на всех уровнях обучения математике, включая совсем начинающих и так называемых неспособных.

Когда мы узнаём новое математическое понятие, нам сложно его представить. Оно является нам в форме абстрактного определения, последовательности слов на странице или предложения, произнесенного преподавателем. Эта последовательность слов не имеет для нас никакого смысла. Она ни о чем нам не говорит.

Обычно учащиеся не чувствуют себя вправе представлять математические объекты, которых они еще не понимают. Они ощущают необходимость узнать больше, прежде чем осмелиться их увидеть. А пока удовлетворяются расшифровкой. Они ничего не понимают, у них трещит голова, но они говорят себе, что если будут упорствовать, то смогут собрать самую важную информацию, а пытаясь ее запомнить, может быть, в конце концов поймут. Только вот это никогда не работает.

Гротендик поступает иначе. Он знает, что ни к чему накапливать информацию о вещах, которые не удается увидеть. Вместо этого он разрешает себе представлять эти вещи сразу же, ничего не дожидаясь, даже если он твердо знает, что ему это не удастся, а его способ их представить будет до нелепого неверным.

Он совершенно не боится ошибаться. Более того, он уверен, что непременно ошибется, и именно к этому и стремится.

Гротендик активно ищет ошибку, как маленький ребенок ищет, каких бы еще наделать глупостей. В своем исследовании математического мира каждый раз, как он чувствует что-то странное или интригующее, неясное или неудовлетворительное, противоречивое или неприятное, он направляется именно туда.

Когда в его видении мира что-то идет не так, это вызывает в нем чувство беспокойства. Он углубляется в поиск, чтобы обнаружить источник этого беспокойства, так как это единственный способ унять его. Обнаружение ошибки – это источник удовольствия и облегчения.

«Момент, когда тебе наконец открывается ошибка в работе, можно смело назвать решающим. Для всякого труда, связанного с открытием, это – момент истинного творчества. И не так уж важно, о чем здесь идет речь, будь то математическая работа или труд, посвященный открытию себя самого. Это – то самое мгновение, когда наше знание, о чем-то или о ком-то, вдруг обновляется».

То, что Гротендик пишет об ошибках, имеет вселенский размах, далеко выходящий за пределы науки. Эти слова следовало бы выгравировать на фасадах школ:

«Бояться ошибки – по сути то же, что бояться истины. Тот, кто боится промахнуться, неспособен сделать открытие. Страх оступиться придает ошибке каменную неуязвимость».

Мало кто знает, что в математике основные препятствия имеют психологическую природу, и не только в начале, а на протяжении всего пути, до самого высокого уровня науки. Взрослея, мы боимся выглядеть глупо. Учимся стыдиться своих ошибок. Учимся скрывать, в том числе от самих себя, что мы почти ничего не поняли. Чтобы добиться успехов в математике, надо научиться дезактивировать именно этот рефлекс все скрывать. А это очень сложно.

В возрасте, когда мы еще были вольны задавать глупые вопросы, в том числе сотню раз подряд задавать один и тот же вопрос, неспособных к математике не было. Великие математики изобретают и внедряют специальные техники, чтобы вновь обрести эту детскую невинность. Все они заявляют, что это необходимо. Мы вернемся к этому в главе 13.

Вопрос пластичности

Когда Гротендик говорит об «ошибке внутри нас», это не имеет никакого отношения к логике. Это не ошибка в вычислении и не ошибка в рассуждении. Ошибка, о которой говорит Гротендик, – это ошибка интуиции, ошибка видения: образ вещей, который мы себе создали, неверен.

Как мы будем наблюдать на протяжении всей этой книги, главная задача понимания математики – суметь постепенно изменить наш способ представлять себе предметы, сделать его яснее, точнее и ближе к реальности.

Иногда говорят, что полушария нашего мозга якобы функционируют по-разному. Левая часть мозга специализируется на логическом мышлении и счете, а правая – на ассоциативном и интуитивном мышлении.

Это нелепость. Столь фантазийное толкование нашей анатомии родом из 1960-х годов и с тех пор уже дискредитировано. На самом деле две половины нашего мозга очень похожи друг на друга и на самом глубинном уровне работают по ассоциативному и интуитивному принципу. Органа, который позволяет понимать мир логически, не существует. Если вы на него рассчитываете, чтобы продвинуться в математике, ждать придется долго.

Наша удивительная способность обучаться и изобретать берет свое начало в пластичности мозга, то есть в неосознанной способности без конца перестраивать ткань ассоциаций, связанных с образами и ощущениями, которая, как в буквальном, так и в переносном смысле, и есть подлинная структура нашего мозга и нашей мысли.

Постижение нового – это всегда вопрос пластичности мозга. Ошибка играет здесь основную роль – она и есть двигатель пластичности. Научиться видеть, ходить, пользоваться ложкой, завязывать шнурки, говорить, читать и писать – все это всегда означает перестройку мозга. Она никогда не происходит сразу. Ребенок не умеет ходить, пока не попробует и не потерпит неудачу. Ему нужно падать, чтобы научиться стоять. Только накопление ошибок позволяет ему постепенно развить интуитивное чувство равновесия.

Как любой психомоторный навык, осмысление нового математического понятия идет через перестройку интуиции, что предполагает фазу поисков наощупь. Если переформулировать слова Гротендика об ошибке применительно к ходьбе, они становятся кристально ясными:

Бояться упасть – по сути то же, что бояться ходить. Тот, кто боится разбить себе нос, уже тем самым неспособен научиться ходить. Именно решение остаться сидеть на месте придает изначальной неловкости форму психомоторного нарушения.

Роль логики

В мире мысленных образов законы физики неприменимы. Можно представить что угодно, в том числе взаимоисключающие вещи, и не споткнуться о них. Можно не бояться ошибиться.

Именно в этой точке математический подход расходится с нашим обычным способом использовать интуицию. Математики придумали метод, который позволяет обнаружить ошибки, пока они у нас в мыслях. Он опирается на письмо, а точнее – на письмо на официальном языке математики, который строится вокруг логического формализма.

Логика нужна не для того, чтобы думать. Она нужна, чтобы обнаружить, в каком месте мы думаем неправильно.

Когда Гротендик берет пробы лотом, чтобы расспросить вещи, которые хочет понять, именно письмо дает ему ответ.

«Часто, особенно в начале исследования, утверждение бывает заведомо ложным – достаточно сформулировать его, чтобы в этом убедиться. Стоит лишь записать его на бумаге, как несообразность предположения бросается в глаза – а пока не запишешь, какая-то рябь, как при головокружении, словно нарочно скрывает эту очевидность».

«После этого, возвращаясь к задаче, чувствуешь, как у тебя прибавилось уверенности: есть надежда уже не так безбожно промахнуться со следующим ответом».

В отличие от биолога, который пишет статью после завершения экспериментов, математик пишет в разгаре своей исследовательской работы, потому что письмо «и есть» эта работа. Вот что говорит об этом Гротендик:

«Роль письма не в том, чтобы запечатлеть результаты исследования, но сам процесс исследования»[10].

«Я никогда не скупился на усилия, чтобы как можно тщательнее обозначить посредством математического языка эти образы и понимание, которое они дают»[11].

«Именно в этом непрерывном усилии сформулировать несформулированное, уточнить пока еще расплывчатое, возможно, кроется динамика, характерная для математического труда (а также, возможно, для любого творческого интеллектуального труда)»[12].

Математическое письмо – это работа по транскрипции живой (а потому смутной, нестабильной и невербальной) интуиции в текст, точный и стабильный (а потому мертвый, как ископаемое).

А точнее, это была бы просто работа по транскрипции, если бы интуиция сразу была точной и правильной. Но интуиция никогда не бывает сразу точной и правильной. Сначала она расплывчата и ошибочна – впрочем, она всегда отчасти такой и остается. По мере записывания интуиция становится все менее расплывчатой и все менее ошибочной. Это медленный и постепенный процесс.

Математическое творчество – это постоянное чередование усилия воображения (умения увидеть предметы) и усилия вербализации (умения облечь увиденное в слова).

Этот процесс меняет и нашу интуицию, и наш язык. Мы учимся видеть одновременно с тем, как учимся говорить. Мы учимся видеть новые вещи и придумываем язык, который позволяет их назвать, – тот новый язык, который для Гротендика «теперь должен возникнуть из кажущегося небытия неосязаемого тумана»[13].

Результат этой работы воплощается двумя разными путями. Первое воплощение невидимо – это изменение понимания мира и состояния сознания у человека, выполнившего работу. Второе воплощение – это математический текст.

Гротендик знает, что это второе воплощение, со стороны языка – единственный видимый результат, которым можно поделиться. Но не это мотивирует его действия. По его мнению, «отнюдь не в этом аспекте находится душа понимания математических вещей»[14].

Процесс записывания позволяет Гротендику развить собственную интуицию. Как только ему все становится ясно, он смотрит на собственные статьи отстраненно, словно это инструкции к тостерам.

Треклятый диплодок

В следующей главе мы увидим, как столь своеобразное функционирование математического языка делает его чудотворным инструментом для прояснения мыслей.

А эту главу закончим возвращением к загадке, с которой мы начали, – к небрежному тону письма, которое 28-летний Гротендик пишет Серру 13 ноября 1956 года, чтобы сообщить, что закончил свое «треклятое сочинение».

В июне 1955 года, 17 месяцами ранее, Гротендик писал Серру, чтобы поделиться первыми заметками. В то время его тон был полон энтузиазма, так как Гротендик находился на начальной стадии открытия. Он проводил пробы лотом, совершал неимоверные ошибки и быстро двигался вперед. В этот период он еще называл отдельные пассажи своих заметок «неснесенными яйцами», из которых, возможно, «вылупится чушь».

В течение следующего года Гротендик их высиживал. Он смотрел, как лопается скорлупа, и вскармливал странное создание, которое оттуда вышло. По мере того, как рукопись росла и обретала структуру, Серр и Гротендик говорили о ней все более небрежно, вплоть до того, что прозвали ее «диплодоком».

Великие идеи заняли свое место. Удовольствие открытия, то есть удовольствие от пришедшего наконец понимания, уже начало блекнуть. Сюрпризы происходят редко. Остался лишь вопрос отделки, технических деталей, приведения в соответствие с почти бюрократическими требованиями официального языка математики.

В последние месяцы редактуры работа стала каторгой. Гротендик беспокоился: кто вообще захочет публиковать его треклятого диплодока? Он выбрал японский журнал Tohoku Mathematical Journal, потому что «вроде бы статьи-реки их не пугают».

В письме от 13 ноября 1956 года Гротендик даже извиняется. Он создал чудовище, но выбора у него не было: «Это единственный способ, которым я, продолжая настаивать, могу понять, как все работает».