Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

Для тех, кому нужно больше

Этот раздел заметок содержит дополнения и биографические отсылки. Если ниже не указано французское издание, перевод иноязычных цитат выполнен автором.

К вопросу о записи «99.9999 %»: в этой книге мы используем точку (а не запятую) в качестве десятичного разделителя в соответствии с самым распространенным международным написанием. В компьютерном программировании такое использование стало всеобщей нормой.

«У меня нет какого-то особого таланта. Я просто страсть как любопытен»: оригинал Ich habe keine besondere Begabung, sondern bin nur leidenschaftlich neugierig взят из письма Эйнштейна его биографу Карлу Зелигу от 11 марта 1952 года.

«Не переживай насчет своих проблем с математикой, уверяю тебя, у меня их намного больше»: из письма Эйнштейна школьнице по имени Барбара Уилсон от 7 января 1943 года.

«Я верю в интуицию и вдохновение»: из интервью Эйнштейна Джорджу Сильвестру Виреку, опубликованного в The Saturday Evening Post от 26 октября 1929 года.

Многие цитаты Эйнштейна, которые можно найти повсеместно, ложно приписаны ему или искажены. Те, что я привел в этой работе, проверены посредством сборника цитат с указанием источников The Ultimate Quotable Einstein, составленному Элис Калапрайс (Princeton, Princeton University Press, 2011).

Математику считают:

● самым сложным предметом 37 % из 1028 американских подростков, опрошенных Институтом Гэллапа в исследовании 2004 года. См. Lydia Saad, "Math Problematic for U.S. Teens," Gallup, May 17, 2005, URL: https://news.gallup.com/poll/16360/math-problematic-us-teens.aspx;

● самым любимым предметом 23 % американских подростков, она далеко опережает английский язык (13 %), согласно исследованию, проведенному Институтом Гэллапа в 2004 году; опрошено 785 американцев в возрасте от 13 до 17 лет. См. Kiefer, "Math = Teens Favorite School Subject," Gallup, June 15, 2004, URL: https://news.gallup.com/poll/12007/Math-Teens-Favorite-School-Subject.aspx;

● самым ненавистным предметом – вне зависимости от количества опрошенного населения, в бесчисленном множестве опросов.

Число 999 999 999 было бы легко записать в вавилонской шестидесятеричной системе, изобретенной 4000 лет назад, то есть задолго до римской эпохи. Объяснение этой системы счисления дается в главе 2 книги Микаэля Лонэ «Большой роман о математике. История мира через призму математики»: Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths. De la préhistoire à nos jours, Paris, Flammarion, 2016.

Даже если записать это число римскими цифрами сложно, его легко вычислить с помощью абака – разновидности счетов, используемой римлянами, чье устройство подразумевало десятичную систему. Проблему создает именно ясная запись вне счетов.

После классической Античности римские цифры были дополнены символами, обозначающими миллион, миллиард и т. д. Но запись числа 999 999 999 продолжает создавать проблемы, несмотря на дополнения, потому что нужно использовать много символов: уже «девять миллионов» девять раз задействует символ миллиона.

«У меня не было цели выиграть, у меня была цель хотя бы не проиграть»: фраза Фосбери взята из видеоинтервью 2014 года, которое доступно онлайн: https://www.youtube.com/watch?v=gGqQXDkpgss.

«Могу себе представить, что теперь многие мальчишки будут пытаться…»: цитируется в статье: Joseph Durso, "Fosbury Flop Is a Gold Medal Smash," The New York Times (October 22, 1968).

Статья: William P. Thurston, «On Proof and Progress in Mathematics,» Bulletin of the American Mathematical Society, 30, no. 2 (1994): 161–177, URL: https://arxiv.org/pdf/math/9404236.pdf.

Письмо о «треклятом сочинении» приведено в издании переписки Александра Гротендика и Жан-Пьера Серра: Alexander Grothendieck et Jean-Pierre Serre, Correspondance Grothendieck-Serre, éditée par Pierre Colmez et Jean-Pierre Serre, Paris, Société mathématique de France, 2001.

Цитаты Серра взяты из его увлекательной беседы с Аленом Конном (тоже математиком первой величины, получившим Филдсовскую премию в 1982 году) в Фонде Юго при Коллеж де Франс 27 ноября 2018 года. Этот уникальный рассказ о личностях Гротендика и Серра доступен онлайн: https://www.youtube.com/watch?v=pOv-ygSynRI.

Хорошее введение в биографию Гротендика – статья Эллин Джексон «Как будто призван из небытия» в двух частях: Allyn Jackson, "Comme Appelé du Néant – As If Summoned from the Void: The Life of Alexandre Grothendieck," Notices of the American Mathematical Society, vol. 51, no. 9, Pp. 1038–1056, и vol. 51, no. 10, Pp. 1196–1212, URL: https://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf и https://www.ams.org/notices/200410/fea-grothendieck-part2.pdf.

Отрывки из «Урожаев и посевов» (с подзаголовком «Размышления о прошлом математика») взяты из трехтомного издания, которое вышло в издательстве Gallimard в серии Tel в январе 2022 года. В 1980-х годах Гротендик ожидал публикации в издательстве Christian Bourgois и даже написал предисловие. В итоге эта публикация так и не состоялась.

Герметический характер текста не объясняет в достаточной мере, почему произведение такой важности так долго оставалось неизданным. Более очевидное объяснение – проблемы с необоснованными обвинениями, которыми бросается Гротендик. Так, он обвиняет своих студентов в том, что они забросили его творчество – совершенно абсурдный упрек (по этому поводу см. очень справедливый ответ Серра Гротендику в письме от 23 июля 1985 года). Другие, намного более резкие обвинения, вполне могли навлечь на издателя преследования за клевету.

В 2000-х годах коллектив под названием «Круг Гротендика» (The Grothendieck Circle) работал над изданием и помещением в свободный доступ многочисленных неопубликованных текстов и документов, в том числе «Урожаев и посевов», но также и «Ключа к сновидениям», еще одного примечательного, при всей герметичности, текста.

Работа была прервана после того, как 3 января 2010 года Гротендик распространил «декларацию о намерении не публиковаться», где заявляет, в частности, следующее: «У меня нет намерения издавать или переиздавать какое бы то ни было произведение или текст, автором которых я являюсь, в какой бы то ни было форме. […] Любое издание или распространение таких текстов, которое могло иметь место в прошлом без моего согласия или будет иметь место в будущем при моей жизни, вопреки моей открыто выраженной здесь воле, я считаю незаконным».

Тем не менее месяц спустя, 3 февраля 2010 года, Гротендик снова заговорил о важности «Урожаев и посевов» в письме математику Франсу Оорту, которое процитировано Ching-Li Chai, Frans Oort, "Life and Work of Alexander Grothendieck," Notice ICCM, 5, no.1 (2017): Pp. 22–50: «Это размышление, это свидетельство о моей жизни математика, каким бы нечитаемым – могу это допустить – оно ни было, очень много значит для меня».

Страницы, описывающие теорию осязания через вершины и впадины, похожи на настоящий текст математического исследования. Если этот фрагмент вам понравился, вам также придется по душе и официальная математика.

В размерности 3 существует 5 видов правильных (то есть с одинаковыми правильными гранями) выпуклых многоугольников: тетраэдр (4 грани), куб (6 граней), октаэдр (8 граней), додекаэдр (12 граней) и икосаэдр (20 граней). Этот список известен уже несколько тысячелетий. В частности, эти 5 многогранников фигурируют в диалоге Платона «Тимей». Пусть даже Платон лишь воспроизвел информацию, известную задолго до него, с тех пор эти многогранники обозначаются как платоновы тела.

Понятие правильного многогранника можно обобщить в любой размерности: тогда они называются правильными политопами. Классификация правильных политопов в любой размерности введена в работах швейцарского математика Людвига Шлефли (1814–1895). Эти объекты также находятся в центре творчества великого канадского геометра Г. С. М. Коксетера (1907–2003). Классификация выявляет крайне своеобразный феномен в размерности 8 с исключительным и примечательным объектом под названием «E8», который мы встретим ниже в примечаниях к главе 15.

Цитаты Пьера Делиня взяты из беседы с двумя математиками, Мартином Рауссеном и Кристианом Скау, доступной онлайн: https://www.youtube.com/watch?v=MkNf00Ut2TQ. Ее расшифровку, опубликованную в издании Notices of the American Mathematical Society в 2014 году, можно найти здесь: https://www.ams.org/notices/201402/rnoti-p177.pdf.

«Он сильнее меня»: утверждение Гротендика о Делине взято из разговора с Джорджем Мостоу (1923–2017), который сам процитировал мне его в частной беседе.

О детстве Билла Тёрстона рассказано в статье: David Gabai, Steve Kerckhoff (coord.), «William P. Thurston, 1946–2012,» Notices of the American Mathematical Society, 62, no. 11 (December 2015): 1318–1332; 63, no. 1 (January 2016): 31–41, URL: http://www.ams.org/notices/201511/rnoti-p1318.pdf, https://www.ams.org/notices/201601/rnoti-p31.pdf.

«Люди не понимают, как я могу визуализировать четыре или пять измерений…»: эти слова Тёрстона переданы в статье: Leslie Kaufman, "William P. Thurston, Theoretical Mathematician, Dies at 65," The New York Times (August 22, 2012).

По поводу геометрической интуиции Тёрстона всячески рекомендую посмотреть анимационный фильм Outside In, снятый Геометрическим центром Миннесотского университета на основе одного из его доказательств, а также Landau Lectures – серию лекций, которую Тёрстон прочел в Еврейском университете в Иерусалиме. Все эти видео находятся в свободном доступе в сети.

К вопросу о дальтонизме: оценка частоты случаев у мужчин в 8 % относится к населению Северной Европы (источник: https://en.wikipedia.org/wiki/Color_blindness). Речь идет об ошибке кодировки, мешающей проявлению одного из белков, то есть о рецессивной мутации. Ген передается с X-хромосомой, что объясняет, почему частота случаев у мужчин равна возведенной в квадрат частоте случаев у женщин.

Оригинальная статья Дальтона «Необычные случаи цветовосприятия» (Extraordinary Facts Relating to the Vision of Colours), опубликованная в 1798 году, указывает, что сообщение имело место 31 октября 1794 года. Статья написана удивительно хорошо и прекрасно читается даже в наши дни.

Документальный фильм Эллиотта Маккеффри «Мальчик, который видит без глаз» (The Boy Who Sees Without Eyes) (2007), доступный в сети, позволяет составить представление о способностях Бена Андервуда. Исследования человеческой эхолокации наводят на мысль, что у слепых эта способность мобилизует области мозга, обрабатывающие зрительную информацию у зрячих.

Цитаты Даниэля Канемана приведены по изданию: Système 1 / Système 2. Les deux vitesses de la pensée, Paris, Flammarion, 2012.

История про Билла Тёрстона изложена в его биографии: David Gabai, Steve Kerckhoff (coord.), «William P. Thurston, 1946–2012,» art. cit.

Цитата Пьера Делиня взята из разговора, опубликованного в 2014 году и упомянутого в примечаниях к главе 9.

«Как слона или пантеру…»: цитаты в третьем абзаце взяты из письма Декарта Пьеру Шаню от 31 марта 1649 года. Шаню был не только послом Франции в Швеции, но и близким другом Декарта.

Рассказ Декарта о своих трех снах присутствовал в ныне утраченном тексте «Олимпика», известном лишь в передаче Адриана Байе (1649–1706), его первого биографа, в «Жизни господина Декарта» (1691). У Байе был доступ к многочисленным оригинальным документам и прямым свидетельствам, и сегодня его текст – единственный источник информации о многих аспектах жизни и творчества Декарта.

Цитаты о ночи с 10 на 11 ноября 1619 года, как и описание «Искусства фехтования», также взяты из произведения Байе. Там же можно найти фразу, перекликающуюся с темой главы 6: «Тем не менее следует признать, что он мало читал, что у него было очень мало книг и что большинство из тех, что нашлись в его библиотеке после его смерти, были подарками его друзей».

Оригинальный текст «Правил для руководства ума» написан на латыни. Для упрощения чтения я немного изменил французский перевод приведенных отрывков по сравнению с классическими переводами, на которые часто ссылаются.

Истории о Канторе взяты здесь: https://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor.

О размерах бесконечностей также см. серию «На пути к бесконечности» (Sur la route de l'infini) (2021) легкодоступного научно-популярного сериала «Путешествие в страну математики» (Voyages au pays des maths), снятого Денисом Ван Веребеке и выходящего на канале Arte.

В самых общих чертах рассуждение разворачивается следующим образом: стратегия доказательства, что два узла различны, заключается в выявлении «инварианта», различающего их. Инвариант узла – это общая характеристика, присутствующая на всех его изображениях, как бы сложны они ни были.

Вот пример инварианта. Говорят, что рисунок узла «триколорируется», если можно раскрасить «части» рисунка (под этим подразумеваются видимые части рисунка, как если бы волокно, проходящее под пересечением, делилось на два) в три разных цвета, по одному на часть, с соблюдением следующего правила: на каждом пересечении все три участвующие в нем части (та, что «сверху», и две «снизу») имеют либо три разных цвета, либо один и тот же цвет.

Даже если это не очевидно на первый взгляд, можно доказать, что это действительно инвариант: узел триколорируется вне зависимости от выбранного рисунка. Чтобы доказать это, будем опираться на факт, что два рисунка изображают один и тот же узел, если – и только – от первого ко второму можно перейти через последовательность простых преобразований, именуемых движениями Рейдемейстера, и покажем, что движения Рейдемейстера сохраняют триколорируемость.

Например, простой узел триколорируется (см. ниже), а тривиальный узел нет (у него только одна часть, поэтому нельзя использовать три разных цвета).

Если бы простой узел был тем же самым, что и тривиальный узел, триколорировались бы оба или ни один из них. Так, выявив различающий их инвариант, мы доказали, что это два различных узла.

Даже если определение триколорируемости позволяет доказать результат, оно выглядит столь же произвольным, как и пресловутая «хитрость» для расчета суммы целых чисел от 1 до 100.

Как всегда, кажущаяся «хитрость» – знак, что есть более глубокий способ понять происходящее. Увы, лично я не в состоянии объяснить это в простой форме. Здесь задействован тип интуиции, который сложно выразить в нескольких словах.

По поводу сложных рисунков тривиального узла см. дискуссию «Существуют ли очень сложные тривиальные узлы?» (Are There any Very Hard Unknots?), начатую на сайте MathOverflow Тимоти Гауэрсом, лауреатом Филдсовской премии 1998 года: https://mathoverflow.net/questions/53471/are-there-any-very-hard-unknots.

«Сложный» рисунок тривиального узла, показанный в этой главе, называется гордиевым узлом. Мы обязаны им Вольфгангу Хакену (1928–2022), немецкому математику, известному тем, что он вместе с Кеннетом Аппелем доказал знаменитую теорему о четырех красках.

Короткое видео на YouTube – Haken's Gordian Knot Animation – показывает, почему на этом рисунке изображен тривиальный узел (https://www.youtube.com/watch?v=hznI5HXpPfE).

Что касается гипотезы Кеплера: хотя доказательство Тома Хейлза обращается к феноменальному количеству расчетов на компьютере, оно также содержит глубокую и оригинальную «концептуальную» часть. Априори совершенно неочевидно, что гипотеза может сводиться к конечному числу расчетов и их можно на практике выполнить на компьютере.

Доказательства с помощью компьютера иногда становятся предметом обсуждения в математическом сообществе: если никто из людей не смог их прочесть и понять, следует ли действительно считать их доказательствами? И как мы можем быть уверены, что в цифровом коде нет ошибок?

После первого доказательства Том Хейлз начал масштабный проект с целью выстроить «формальное» подтверждение, компьютерное доказательство, проверяющее собственную истинность. Проект увенчался успехом. О нем рассказывается, в частности, в докладе «Формализация доказательства гипотезы Кеплера» (Formalizing the Proof of the Kepler Conjecture), доступном онлайн (https://www.youtube.com/watch?v=DJx8bFQbHsA). Этот доклад, прочитанный Хейлзом в Париже в 2014 году (в институте Анри Пуанкаре), не предназначен для широкой публики, но он показывает, какой может быть «живая» реальность современной науки.

Возможность определить плотнейшие упаковки шаров в размерностях 8 и 24 объясняется существованием исключительных геометрических структур, специфичных для этих размерностей, которые порождают особо плотные упаковки. Методы Марины Вязовской специфичны для этих размерностей.

В размерности 8 исключительной структурой будет геометрия типа E8 (см. примечания к главе 9 о классификации политопов). В соответствующей упаковке шаров количество контактов между соседними шарами (именуемое контактным числом) равно 240.

В размерности 24 геометрия упаковки – это решетка Лича, исключительная структура, характерная для размерности 24 (https://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice). Следует отметить, что контактное число 196 560 отсылает к размерности 196 883, упомянутой в главе 20 и ассоциирующейся с Монстром. Это не совпадение. Математики знают, что подобные «нумерологические странности» часто служат знаком куда более глубоких связей. Монстр, один из самых интригующих математических объектов, связан со многими другими исключительными структурами (см. также Гипотезу чудовищного вздора, https://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine).

Основные источники, касающиеся Унабомбера.

● О фрагментах дневника: David Johnston, "In Unabomber's Own Words, A Chilling Account of Murder," The New York Times, April 29, 1998.

● О теракте на рейсе 444 авиакомпании American Airlines: Stephen J. Lynton, Mike Sager, "Bomb Jolts Jet", The Washington Post, November 16, 1979.

● «Манифест Унабомбера»: доступен, например, на сайте The Washington Post: https://www.washingtonpost.com/wp-srv/national/longterm/unabomber/manifesto.text.htm.

● О подробностях терактов и расследования: конференция от 19 ноября 2014 года в суде округа Сакраменто, штат Калифорния, снималась и транслировалась каналом C-SPAN: https://www.c-span.org/video/?322849-1/unabomber-investigation-trial.

● О роли Билла Тёрстона в расследовании рассказано в статье: Steven G. Krantz, Mathematical Apocrypha. Stories and Anecdotes of Mathematicians and the Mathematical, The Mathematical Association of America, 2002.

Цитата Перельмана («Деньги и слава меня не интересуют») взята из статьи Russian Maths Genius Perelman Urged to Take $1m Prize, BBC News, March 24, 2010: http://news.bbc.co.uk/2/hi/europe/8585407.stm.

Дискуссия Билла Тёрстона и muad на сайте MathOverflow доступна по адресу: https://mathoverflow.net/questions/43690/whats-a-mathematician-to-do. Следует отметить, что комментарий Тёрстона: «Я пытаюсь писать то, что кажется мне реальным. Теперь я уже не боюсь чужих суждений, что делает все для меня проще», – перекликается с темой эпилога: чтобы осмелиться рассказать о человеческом опыте понимания, математики должны преодолеть нежелание своего сообщества затрагивать эту «несерьезную» тему.

«Проблема видов», то есть невозможность четко определить, что такое вид животных, – давно известная гносеологическая проблема, обсуждавшаяся многократно.

Среди прочих классических проблем, иллюстрирующих хрупкость человеческого языка, можно указать «парадокс кучи» (также известный как «парадокс сорита», от греческого «сорос», что значит «куча»): если убрать песчинку из кучи песка, это все еще будет куча песка; но если продолжить, в какой-то момент это уже не будет кучей – где находится граница? Этот парадокс, как и «парадокс лысого» (если вырвать волос у человека, не являющегося лысым, он не станет лысым – но можно ли действительно определить границу между «быть лысым» и «не быть лысым»?), обычно приписывается Евбулиду, греческому философу, жившему в IV веке до нашей эры.

Цитаты Людвига Витгенштейна взяты из параграфов 106 и 107 «Философских исследований» (французское издание: Recherches philosophiques, Paris, Gallimard, Tel, 2014), текста, законченного к 1949 году и опубликованного посмертно в 1953 году. Однако в первой половине жизни Витгенштейн, похоже, был близок к логицистским взглядам Бертрана Рассела (см. мой Эпилог), в отличие от фазы, когда он задавался вопросами «Философских исследований». Поздние работы Витгенштейна – прекрасное дополнение к этой главе и к главе 19. Самая доступная из них – возможно, сборник «О достоверности», собранный посмертно из его заметок (французское издание: De la certitude, Paris, Gallimard, Tel, 1976 [1969]).

Вопрос о происхождении абстрактных концептов известен в философии как проблема универсалий. Реалистическая позиция утверждает, что концепты есть явления реальные, то есть существующие вне зависимости от человеческого восприятия. Номинализм (и его концептуалистский) вариант утверждает, что это условности языка (или явления, существующие у нас в голове). Исторически реалистическая позиция долгое время преобладала. В Средние века этот вопрос в Европе стал предметом активных обсуждений, известных как Спор об универсалиях, которые подпитывало, в частности, принятие номиналистской концептуалистской позиции Пьером Абеляром (1079–1142) и Уильямом Оккамом (1285–1349), чьи тезисы были осуждены Церковью. В каком-то смысле глубокое обучение в конце концов признало их правоту.

Что касается специализации нейронов, знаменитая статья в Nature описывает экспериментальное выявление «нейрона Дженнифер Энистон», реагирующего именно на присутствие актрисы на изображении. См. R. Quian Quiroga, L. Reddy, G. Kreiman et al., «Invariant Visual Representation by Single Neurons in the Human Brain», Nature, no. 435, 2005, Pp. 1102–1107.

Вступительный курс глубокого обучения Массачусетского технологического института (MIT 6.S191, Introduction to Deep Learning) находится в свободном доступе онлайн.

Две цитаты Билла Тёрстона взяты из его предисловия к The Best Writing on Mathematics 2010, изд. Mircea Pitici, Princeton, Princeton University Press, 2011.

Цитата Гротендика взята из «Урожаев и посевов».

Статья Боба Томасона и Тома Тробо называется так: R. W. Thomason, Thomas Trobaugh, "Higher Algebraic K-Theory of Schemes and of Derived Categories", The Grothendieck Festschrift, vol. III, Boston, Birkhäuser, Pp. 247–429.

В первом письме к Годфри Харди от 16 января 1913 года Сриниваса Рамануджан утверждает, что ему 23 года. Но он родился в декабре 1887 года, и ему было 25 лет. Я не нашел объяснения этому расхождению.

Рецензия Харди на «Основания математики» называется «Новая символическая логика». Она вышла в The Times Literary Supplement за 7 сентября 1911 года и начинается словами: «Возможно, в Англии эту книгу прочтут двадцать или тридцать человек».

Именно Харди Расселл рассказал о приснившемся ему кошмаре: в далеком будущем остался лишь один экземпляр «Оснований математики» в большой университетской библиотеке. Сотрудник библиотеки просматривает полки в поисках книг, ставших бесполезными, чтобы уничтожить их и освободить место. Он берет последний экземпляр «Оснований математики» и колеблется.

Помимо нечеловеческого характера, формалистский подход в основе этой книги проблематичен с логической точки зрения. Курт Гёдель (1906–1978) доказал своей знаменитой теоремой о неполноте, что такие формальные системы, как в «Основаниях математики», всегда содержат «нерешаемые», то есть недоказуемые утверждения, следовательно, их отрицание также недоказуемо.

На первом курсе Высшей нормальной школы моим любимым предметом был курс Ксавье Вьенно, который учил нас «вычислять» с помощью интуитивных объектов (похожих на фигурки лего или тетриса), благодаря которым можно было «зрительно убедиться» в некоторых результатах Рамануджана. Это примечательное преподавание во многом вдохновило меня и позволило понять, как столь эзотерические формулы, как у Рамануджана, могут кодировать невербальные озарения, одновременно простые и неуловимые. Хорошей иллюстрацией служит доклад Вьенно в Ченнаи (бывшем Мадрасе) в 2017 году Proofs Without Words: the Example of Ramanujan Continued Fractions. Заметки (http://www.xavierviennot.org/coursIMSc2017/lectures_files/RamanujanInst_2017.pdf) и видеозапись (https://www.youtube.com/watch?v=jQchTFnKBQs) доступны онлайн.

Другие произведения, процитированные в этой главе:

Alfred North Whitehead, Bertrand Russel, Principia Mathematica, vol. 1, Cambridge, Cambridge University Press, 1910.

Misha Gromov, "Math Currents in the Brain" // R. Kossak, P. Ording (dir.), Simplicity: Ideals of Practice in Mathematics and the Arts, Cham, Springer, 2017.

G. H. Hardy, A Mathematician's Apology, Cambridge, Cambridge University Press, 1992 [1940].