Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

Мое самое раннее воспоминание о намеренном и продолжительном усилии что-то вообразить относится ко времени, когда мне было семь лет. Однажды вечером, лежа в постели, уже погасив свет и закрыв глаза, я осознал, что если хорошенько сконцентрируюсь, то смогу вообразить, что смотрю любимый мультфильм.

Я никому об этом не рассказывал.

Отлично помню, как я был восхищен и как тогда описал это явление для себя так: мне казалось, что я могу «смотреть телевизор в голове».

Мне удавалось визуализировать образы и сцены, которых я никогда не видел. Удавалось даже вообразить новые эпизоды. Меня это очень впечатлило и очень мне понравилось. Конечно, я продолжил этим заниматься.

С того времени переходы между бодрствованием и сном, как при засыпании, так и при пробуждении, играли центральную роль в моем интеллектуальном развитии. Во всех моих новых проектах, как только дела начинают идти всерьез, как только это меня действительно захватывает и я сталкиваюсь с реальной задачей на понимание и творчество, то размышляю над ней именно в эти фазы перехода.

Запись снов стала первой писательской работой в моей жизни.

Интересоваться этим я начал к 17 годам. Сначала мне казалось, что напрямую переносить сновидения на бумагу слишком трудно. Я попытался записывать себя на диктофон, рассказывая сны вслух. Я планировал собирать их, как делают остальные с записями в дневнике или с фото в альбоме.

Я был вынужден отказаться от этого проекта из-за совершенно неожиданного явления, которое вторглось в процесс. День ото дня, под воздействием моих усилий запоминать сны и облекать их в слова, сновидения становились все богаче и точнее.

Я видел сны все лучше и лучше. Так хорошо, что это стало мешать.

В первый раз мне удалось вспомнить лишь крошечные фрагменты, несколько обрывков единственного сна. Через две–три недели я мог каждый день рассказать по пять–шесть разных снов, все с законченной историей и таким обилием деталей, что их описание заняло бы несколько страниц на бумаге или долгие минуты на пленке.

Вот это меня и напугало. Воспоминания о снах занимали слишком много места в моей голове и в ежедневной жизни. Мне показалось, что это упражнение по самонаблюдению в конце концов поглотит меня.

Перестав записывать их на пленку, я продолжал фиксировать их на бумаге. Меня интересовал не поиск их смысла, а чистота и сложность процесса записи.

Задача письма для меня именно в этом. Оттолкнуться от образов и ощущений и найти средство обратить их в слова, чтобы прояснить и сделать прочнее. Восстановить ситуации, задачи, расположение людей и предметов, действия и маршруты. Описать все, что видишь и чувствуешь, как можно проще и точнее. Запечатлеть атмосферу, музыку, запахи и текстуры. Когда умеешь это, умеешь все.

В моем опыте запись снов – это деятельность, больше всего приближенная к математическому творчеству.

Я поражен количеством людей, говорящих, что никогда не помнят сны. Кто-то говорит, что никогда не видит снов. Это, конечно, невозможно. Мы все видим сны каждую ночь.

Помнить сны не врожденный дар. Это способность, которую можно развить самостоятельно, на практике. Есть приемы как начать и как совершенствоваться. Чем лучше умеешь верно записывать увиденное, тем больше видишь.

Долгое время у меня на тумбочке лежал блокнот, заложенный ручкой, чтобы записывать сны и все идеи, приходящие ночью. Я даже научился писать в полной темноте, вслепую.

Когда я перестаю записывать сны, то очень быстро теряю навык их помнить. Когда я снова заставляю себя их записывать, пусть даже для начала только отрывок, одно–два слова, этот навык постепенно возвращается. Иногда нужно настойчиво практиковаться несколько недель. Самое сложное – ухватить первый обрывок сна после того, как это долго не удавалось.

Став взрослым, я научился лучше использовать то совершенно особое состояние ума, предшествующее засыпанию. Я научился не размышлять на интересующие меня темы, а просто пропитываться ими. Различие тонкое, но ключевое. Размышлять – значит пытаться найти решения. Это никогда не работает и мешает спать. Пропитываться – значит созерцать без цели, рассеянно и незаинтересованно. Это уже почти то же самое, что видеть сны.

Возможно, я ошибаюсь, но мне кажется, что этот способ засыпать повышает мои шансы проснуться на следующее утро с интересными идеями.

Другая точка зрения

Мое любимое упражнение на геометрическое воображение выполняется как раз во время засыпания.

Лежа в постели с закрытыми глазами, я пытаюсь вспомнить комнаты, где мне доводилось спать. Я представляю, что нахожусь там, и восстанавливаю размер и расположение кровати, расстояние до стен и потолка, расположение дверей и окон. Воссоздаю физическое ощущение, что лежу в одной из этих комнат из далекого прошлого. Пытаюсь ощутить это всем телом. Я выбираю первую пришедшую в голову комнату, потом какую-нибудь другую, и еще одну, и еще, блуждая по ним и руководствуясь исключительно вдохновением. Интереснее всего найти комнату, которую я считал забытой.

Мне очень нравится это упражнение, потому что оно простое и успокаивающее. И хорошо подходит для начинающих.

Как я упоминал в главе 1, я очень рано начал развивать у себя интуитивное восприятие пространства и геометрии, не видя в этом никакой связи с математикой, которой меня учили в школе.

Все это было так давно, что я уже не могу точно сказать, когда. Я забавлялся, расхаживая с закрытыми глазами, чтобы запомнить расположение стен и предметов, в том же возрасте, когда воображал мультфильмы, лежа вечером в кровати.

Я прекрасно помню, какое у меня при этом было настроение. Мне очень рано, еще в детском саду, пришлось носить очки, потому что я был близорук. В моем детском воображении я полагал, что близорукость лишь первый этап и я неизбежно стану слепым. Я ходил с закрытыми глазами, чтобы потренироваться в преддверии дня, когда ослепну.

Так я и начал развивать способность к геометрической визуализации. Впоследствии у меня появилась мысль использовать эту способность, чтобы суметь, когда нужно, взглянуть на мир с другой точки зрения, отличной от моей.

Я говорю о «другой точке зрения, отличной от моей» в совершенно конкретном смысле.

Мне было лет 12, когда однажды учитель рисования задал нарисовать наши пеналы. Я нарисовал пенал изнутри, с огромными ручками, искаженными перспективой. Никто не учил меня рисовать в перспективе, и все же мне это казалось естественным – я просто рисовал то, что видел.

Я очень гордился этим рисунком, помню, он очень впечатлил моих одноклассников.

Когда мне было 15, мы стали изучать стереометрию, то есть геометрию в размерности 3. Здесь я осознал огромный разрыв между мной и моими друзьями в плане способности к визуализации. Наверное, это самое нереальное воспоминание за всю школу. Уроки и упражнения казались мне совершенно бессодержательными. Как занятия в детском саду. Ощущение было такое, как если бы преподаватель просто поднял указательный палец и спросил нас, сколько пальцев. А нам надо бы было просто ответить «один».

Я получал высшие баллы, не понимая, что тут может не удаваться. Но от друзей я знал, что для некоторых стереометрия была ужасно сложной темой. Она создавала им столько трудностей, что было неловко об этом говорить.

У меня не было причин подозревать, что мои упражнения по смене точки обзора так необычны. Я не сознавал, насколько геометрически перетренирован.

Вот наиболее чистое упражнение на смену точки обзора.

Выберите в своем окружении опорную точку, например, противоположный угол помещения, если вы в комнате, или окно дома, если вы идете по улице.

Попытайтесь представить, что бы вы увидели, если бы смотрели в вашу сторону с этой точки.

Это не упражнение на бинарную логику, где есть те, у кого получается, и те, у кого не получается. Оно трудно для всех. Вначале кажется, что не получится никогда. Но мы неизбежно что-то видим – обрывок образа, неясную эфемерную идею. С этого и надо начинать. Цель – улучшить яркость и разрешение изображения, стремясь удержать его в голове как можно дольше и увидеть как можно больше деталей.

Я испробовал немало вариантов этого упражнения. Пробовал я и совершенно идиотские, нереальные вещи, чисто из спортивного интереса.

Когда я часто ездил на поезде из Парижа в Ла-Рошель, то пытался зрительно запечатлеть в памяти весь пейзаж, сидя всегда с одной и той же стороны поезда (западной), и собрать его в голове в единую картину. Должна была получиться очень вытянутая картина – 50 метров в высоту и 500 километров в длину. То есть нужно было создать картину, чья длина в 10 000 раз больше ширины, и заполнить ее всю.

У меня так ничего и не получилось.

Увидеть невидимое

Используя воображение, чтобы «видеть» мир с других точек обзора, я привык систематически пытаться «увидеть» все те вещи, которые считаются истинными, пусть даже они невидимы.

Лучший способ рассказать об этом конкретнее – привести пример, скажем, мыльных пузырей.

По сути, мыльный пузырь – это то же самое, что воздушный шарик. Мыльная вода образует эластичную мембрану, раздутую давлением воздуха, заключенного внутри. Кстати, именно поэтому пузыри имеют сферическую форму: для заданного объема воздуха сфера – форма с минимальной поверхностью, необходимой для охвата этого объема.

Когда пузырь только что образовался, мы видим, как он колеблется несколько секунд, прежде чем принять сферическую форму. В этой фазе колебаний довольно легко «почувствовать», что его поверхность эластична. Пузырь колышется медленно, словно воздушный шарик, наполненный водой. Нам знакомо это движение, мы «видим» в нем физические свойства пузыря.

Я натренировался и дальше «видеть» эластичность пузыря, когда он уже принял сферическую форму. Я натренировался «видеть», что воздух внутри пузыря находится под более высоким давлением, чем снаружи.

Я беру слово «видеть» в кавычки, потому что знаю, что на самом деле я не вижу этого глазами. Это зрительное ощущение, и в то же время не вполне зрительное. Я, кстати, не смог бы нарисовать то, что вижу. Это своеобразное физическое ощущение в моем поле зрения, нечто сверхъяркое. В каком-то смысле можно сказать, что это галлюцинация. Но это взращенная, выстроенная и контролируемая галлюцинация.

Когда я смотрю на любой мост, то вижу силовые линии. Я вижу, что некоторые части моста работают на сжатие, а другие на растяжение.

Я могу вызвать эти ощущения, когда мне заблагорассудится, лишь слегка сосредоточившись. Они позволяют мне лучше видеть и понимать мир.

По сути, это тот же процесс, который позволяет вам увидеть, что веревка слишком сильно натянута и сейчас порвется или шарик слишком сильно надут и сейчас лопнет. Вы научились видеть натяжение, словно это слой дополненной реальности, добавочная информация, которая возникает в вашем поле зрения, как какой-нибудь цвет, но на другом уровне реальности.

Эти примеры могут показаться пустяковыми. Стремление видеть такие вещи может показаться ребяческим и бесполезным. И все же мне кажется, что именно такой подход, систематически применяемый на протяжении всей моей жизни укрепил мою научную картину мира и позволил мне создать оригинальные математические работы.

То, что я не могу «увидеть» или «почувствовать», даже если я знаю, что это считается истинным, сохраняет для меня особый статус. Я не игнорирую внешнюю информацию, выраженную в языке, но отношусь к ней как к предположению, не веря в нее полностью.

Пока я не вижу, почему нечто должно быть истинным, я в нем сомневаюсь. Такая информация может очень долго оставаться в промежуточном статусе. Счет может идти на часы, дни, годы или десятилетия.

Мне до сих пор случается внезапно «понять» то, чему меня научили в детстве или юности.

В старших классах на уроках географии мне объяснили, что вырубка лесов вызывает эрозию почвы. Эта информация, полученная из слов, без визуализации и истинного понимания, влетела мне в одно ухо и вылетела из другого. Меня это не заинтересовало и не убедило.

Намного позже я наконец понял. Отлично помню этот момент. Я сидел на математической конференции, слушал доклад и скучал, потому что ничего не понимал. Я смотрел в окно, за которым росли деревья, и развлекался, визуализируя пейзаж во всей его полноте. Воображал деревья целиком, вместе с корнями. И внезапно это предстало перед мной как очевидность.

Зрелище было впечатляющим. Сеть корней образовывала гигантскую арматуру, удерживающую землю и гравий, подобно тому как металлические прутья удерживают железобетон. Эта композитная структура объясняла физическую прочность почвы и то, почему она не осыпается по склону. И она же объясняла явление, однажды поразившее меня: выкорчевать пень неимоверно тяжело, настолько тяжело, что в это с трудом верится.

Еще пример: я мог сколько угодно знать, что самолеты способны летать, но часть меня по-прежнему отказывалась в это верить, потому что не считала это нормальным и не понимала на интуитивном уровне, как это возможно.

Эта часть меня проявлялась, когда я сидел в самолете, разгоняющемся по взлетной полосе. Тихий голосок шептал мне что-то вроде: «Да вы шутите, эта штука слишком тяжелая, ничего не выйдет, мы никогда не взлетим».

По правде говоря, я подозреваю, что у большинства людей звучит в голове такой голосок. Но они не осмеливаются в этом признаться, чтобы не показаться идиотами.

Мы социально сформированы так, чтобы считать нормальным, что самолеты могут летать, и хихикать над мыслью, что кто-то может в этом сомневаться. Но многие ли реально понимают, как так получается, что самолеты летают?

Серьезно сомневаться в способности самолета взлететь не значит быть идиотом. Это значит проявить здравый смысл и независимость мышления.

Мои сомнения ни разу не помешали мне летать на самолете. Я не доходил до отрицания очевидного. Я прекрасно видел, что самолеты способны летать. Это было нечто, что я поневоле признавал, потому что у меня не было выбора, меня поставили перед свершившимся фактом. Я признавал это с практической точки зрения, но не с чувственной.

Разумеется, на свете гораздо больше вещей, которые я вынужден признать таким образом, чем вещей, которые действительно способен понять.

Лишь несколько лет назад я полностью смирился с мыслью, что самолеты способны летать. Я научился физически это чувствовать. Для этого мне понадобилось научиться чувствовать плотность воздуха и явление подъемной силы. Понадобилось осознать, что самолеты далеко не такие тяжелые, как кажутся. Понадобилось научиться чувствовать крылья, как они приподнимаются и изгибаются, ощущать их внутреннюю структуру, как они крепятся к самолету и почему не ломаются.

В конце концов моя интуиция сочла это нормальным. Самолет стал продолжением моего тела.

Ощущать математику всем телом

Испытав геометрическую интуицию на сложных математических темах и буквально построив на них карьеру, я стал более чем уверен в ней.

Она касается, в частности, объектов, геометрической природы которых большинство людей не замечает. Например, когда я узнал об открытии флоресского, а затем денисовского[27] человека, двух исчезнувших видов людей, соседствовавших с нашим видом в не такие уж отдаленные времена, я не удивился. Я ожидал подобных открытий, потому что интуитивно ощущал нечто, что не могу назвать иначе, чем «геометрия живого» и «геометрия расположения ископаемых».

Это не делает меня волшебником. Столь своеобразную манеру видеть и понимать мир я выстроил сам и прекрасно знаю, как это сделал. Я лишь довел до предела способность, от природы живущую в каждом из нас.

Математика научила меня, что действительно можно идти вперед и развиваться в жизни, не отказываясь от ребяческого стремления сидеть ниже плинтуса и признавать лишь конкретное и очевидное.

Мне никто не говорил, что это возможно. Я сам себе придумал эти упражнения на воображение и визуализацию, не ожидая, что они сумеют настолько преобразить меня.

В математике, как и во многих других областях, творчество – просто наивысшая форма понимания, которое, в свою очередь, лишь естественный результат нашей умственной деятельности. Это то, что мы создаем, когда заставляем себя и дальше смотреть на настораживающие нас вещи, пока они не станут знакомыми и очевидными.

Есть много способов усвоить математику. Каждый приступает к этому, раскрывая свои сильные и слабые стороны. Геометрия – одна из моих сильных сторон с детства, и у меня за плечами долгая история зрительного воображения.

Есть у меня и слабые места. Числа – одно из них. При этом, в силу частого взаимодействия, я неплохо с ними справляюсь. Я выстроил с ними определенную близость. В некоторой степени я их понимаю. Но я никогда не чувствовал себя способным на творчество в теории чисел или арифметике. Как теннисист, у которого относительно слабый удар слева, и потому он встает так, чтобы играть справа, я привык обходить числа везде, где это возможно, выражая количественные сообщения через геометрическую интерпретацию.

Моя более серьезная слабость – неспособность ориентироваться в сложных записях и следить, не отвлекаясь, за рассуждениями с большим количеством символов и формул. Из-за этого меня отталкивают целые области математики, в частности анализ. Со временем стало только хуже, потому что терпения у меня убавилось.

По некоторым темам, где изначально я был не очень силен, мне все же удалось со временем добиться успеха. Чтобы понять абстрактные структуры алгебры, создававшие мне столько проблем в 20 лет, я научился развивать особую форму чувственной интуиции.

Это очень мощные ощущения, но их невозможно передать словами. Я воспринимаю некоторые математические концепции через невидимые моторные ощущения, очаги напряжения и силовые линии в собственном теле, как если бы, в некотором роде, я мог перенестись внутрь этих объектов и ощутить их изнутри.

Я чувствую математику в затылке, в позвоночнике, в спинном мозге.

Единственный способ это описать – выполнить упражнение на воображение, которое очень помогало мне, когда я стремился в этом совершенствоваться. Я смотрел на какой-нибудь предмет, например на флакон шампуня на краю ванны, и задавался вопросом: а если бы мое тело имело форму этого флакона, что я чувствовал бы физически?

Выполняя то же упражнение с математическими объектами, я сумел их понять. В год, когда мне исполнилось 35, этот метод позволил мне пережить самый интенсивный всплеск творчества за всю карьеру.

Все началось с невинного замечания, состоявшего в переводе на язык теории категорий одного вопроса насчет некоторых кос в размерности 8, которым я задавался. Эта неожиданная связь двух интуитивных прозрений совершенно разной природы озарила новым светом задачи, над которыми я бился годами.

Я как будто перебросил мост между двумя областями мозга, которые до сих пор не сообщались. Произошел огромный всплеск понимания, а затем множество импульсов поменьше. Мое математическое воображение подверглось глобальному переустройству. Я пытался что-то записывать, но понимание развивалось быстрее, чем моя способность зафиксировать его.

Каждое утро я просыпался с новыми идеями. Часть из них была связана с задачей, которую я хотел решить (гипотеза начала 1970-х годов), но другие уводили меня от нее. Я находил эти идеи прекрасными, но мне приходилось отказаться от желания следовать за ними, потому что изучить их все одновременно было физически невозможно.

Это состояние озарения длилось полтора месяца, пока я не закончил формулировать доказательство гипотезы.

Я не мог спать и был обессилен. Как-то раз я проснулся в четыре часа утра от импульса немедленно заглянуть в книгу, которую я купил за 10 лет до того (второй том «Репрезентаций и когомологии» (Representations and Cohomology) Дейва Бенсона) и тогда мало что в ней понял. Я взял эту книгу из шкафа и залпом прочел сотню страниц, словно это был комикс. Мне никогда не доводилось так читать книгу по математике. Я мог читать настолько быстро лишь потому, что уже знал, что там написано: как будто я только что видел это во сне.

Казалось, за эти полтора месяца я понял в математике больше, чем за все время с начала работы над диссертацией. Все неслось так быстро, что меня укачивало. Это было чересчур жестоко, я хотел, чтобы это прекратилось. Мне было плохо физически, я нуждался в отдыхе. Но это было невозможно. Математика как будто захватила контроль над моим мозгом и сама мыслила в голове против моей воли.

Впервые в жизни я осознал, что математика, доведенная до предела, – опасный вид спорта.